PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ.

IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ.
1.
La concentració (en mil·ligram ) d’una substància durant les tres hores en les quals ha actuat un reactiu
0 ≤ t ≤ 3, vé donada per la funció C (t) = - 2t3 + 9t2 – 11t + 8 . Troba els instants que s’aconsegueix el valor
màxim i mínim de concentració.
Solució: Sabem que el valor màxim i mínim de la funció continua en l’interval [0, 3] es buscarà entre els punts
següents: 1) Punts C’(t) = 0 ; 2) Punts no existeix derivada ; 3) x = 0 ; x = 3 (extrems de l’interval)
Procedirem, però, estudiant el gràfic de C(t) a partir de la taula de monotonia ja que així podrem deduir el valor màxim i
mínim de la funció. Considerarem els punts C ‘ (t) = 0 ⇒ -6t2 + 18 t – 11 = 0 ⇒ t = 0.85 ; t = 2. 15
0
0< t < 0.85
0.85
0.85 < x < 2.15
2.15
2.15<x<3
3
-
0
+
0
-
0
Signe C ’
Valor C(t)
min
MAX
La forma del gràfic obliga a estudiar el que passa en t = 0 i en t = 3. Substituint obtenim que C(0) = 8; C(0.85) = 3.92
; C(2.15) = 6.08; C(3) = 2 , per tant, el valor màxim s’aconsegueix quan t =0 i el valor mínim quan t = 3 (observem que
no són els extrems relatius, cosa que com veurem en els exercicis successius no és lo habitual)
2.
Un pastor aprofitant una paret existent de 60 metres que li servirà com a tot o una part d’un dels costats vol
construir una tanca rectangular per al seu ramat. Si disposa de 100 metres de tanca i es designa x la mesura
de cadascuna de les parets laterals i 100 – 2 x la mesura de la paret frontal: a) expressa l’àrea de la tanca en
funció de x b) quin és el domini d’aquesta funció c) com aconseguirà la tanca d’àrea més gran ? d) Quant
val aquesta àrea?
Solució: a)
Funció a maximitzar:
AREA = x·y
(depén de 2 variables)
Relació entre les variables (restriccions): 2x + y = 100 → y = 100 – 2x
x
x
y
Substituint, resulta Àrea = x · (100 – 2x) ⇒ f (x) = 100 x – 2 x2
b) Evidentment x >0, ja que és un problema real.
- Si agafem tota la paret y = 60; llavors 2x + 60 = 100 ; 2x = 40 ; x = 20
- També y >0; 100 – 2x >0 ; per tant x < 50 ( també es pot treure de lògica). Per tant
c) FUNCIÓ A OPTIMITZAR f (x) = x · (100 –2x) ⇒ f (x) = 100x – 2 x2 ,
Dom(f) = [20, 50)
Domini:
20 ≤ x < 50
Es tracta d’una paràbola (cap avall). El valor màxim estarà en el vèrtex.
Càlcul del vèrtex:
xv =
− b −100
=
= 25 ;
2a
−4
Nota: També es pot resoldre a partir de
la derivada: buscar els punts on f ‘(x) = 0
i fer l’estudi dels màxims i mínims.
⇒ y = 50 m.
Per tant l’àrea màxima s’aconsegueix quan el rectangle de 50 x 25.
d) ÀREA màxima = 50 ·25 = 1250 m2
3.
o també f(25) = 100 ·25 – 2 · 252 = 1250 m2
Es desitja construir un celler amb forma de paral·lelepíped rectangular de 100 m3 de volum de manera que
el llarg de la seua base siga 4/3 de l'amplària x de la seua base. Se sap que els preus d'un metre quadrat de
sòl, sostre i de paret lateral són, respectivament, 225 €/m2, 300 €/m2 i 256 €/m2. Determinar raonadament:
a) El valor x de l'amplària de la base que minimitza el cost. b) El cost mínim.
Sol: a) Si x és l’amplària de la base, el llarg de la base serà 4x/3 i si l’altura del celler la denotem . El cost del sòl,
4
4
 4

sostre i de paret lateral vindrà donat per la funció C = 225· x 2 + 300· x 2 + 256  2· x + 2x  y
3
3
 3

Com el volum del paral·lelepíped vé donat per V = x · 4x/3 · y = 4x2y / 3 i es vol construir-ne un de 100 m3,
substituint 100 =4x2y / 3 i aillant obtenim y = 75/x2
89600
Substituint i operant en la funció cost resulta
C(x) = 700x 2 +
(funció racional); Domini = (0, +∞)
x
89600
Estudi de la funció: busquem el mínim: Monotonia Punts a considerar: C'(x)= 1400x =0 ⇒ x=4
x2
0< x < 4
4
x>4
Per tant, en x = 4 tenim el mínim absolut del
cost (també és mínim relatiu)
Signe C’
0
+
C
Minim
b) Substituint C(4) = 33 600 €
1
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
4.
A
Volem anar del punt A al punt B atravesant nadant el canal
de la figura adjunta. Si nadem a una velocitat de 1m/s i
caminem a una velocitat de 2m/s, quin ha de ser el punt C
per arribar a B en el menor temps possible ?
I en el major temps?
40 m
x
100 - x
C
100 m
P
Mesures: PC= x ; CB= 100 – x =
Funció a minimitzar: Temps ;
1600 + x 2
100 − x
+
;
1
2
t =
Domini 0 ≤ x ≤ 100
Estudi de la funció: busquem el temps mínim.
Considerem els punts t ‘ (x) = 0
2x
→ t ‘(x) =
2 1600 + x
0
0 < x < 40
Signe t ’
3
2
-
1
=0
2
40
-
→ x = 40
3
40
0
t
-
B
3
3 < x < 100
100
+
Min
La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que en x = 40
també és el mínim absolut de la funció.
3 hi ha un míxim relatiu, que
I el valor màxim? Observant la forma de la funció i calculant els valors en x = 0 i x = 100, que donen
f (0) = 90 s ; f (100) = 107,70 s. , concluim que en x = 100 m, es a dir si nada tota l’estona des de A fins a B fa com
era de preveure, s’inverteix el major temps possible
5.
Troba les dimensions del cilindre de volum màxim que es pot inscriure en un con de radi 25 cm. i altura 50
cm. Quin és el volum màxim?
Dimensions del cilindre: x (radi de la base) , y (altura)
Funció a maximitzar: VOLUM = π x2 y ( depén dues variables)
Relació entre les variables : Semblança de triangles
FUNCIÓ A MAXIMITZAR
50
y
=
25 25 − x
f (x) = π x2 ( 50 – 2x ),
; y = 50 – 2x ;
Domini: 0 < x < 25
50
y
( observem que x = 0 ; x = 25 no són realment cilindres)
Estudi de la funció: busquem el valor màxim.
Monotonia:
Punts f ‘(x) =0
→
0< x < 50/3
Signe f ’
+
f
x
π (100x – 6x2) =0 → x = 0; x =
50/3
x> 50/3
0
-
Max
50
3
25
La forma de la funció ens indica que en
x = 50/3 s’aconsegueix el valor màxim de la
funció (també és màxim relatiu)
. Si x = 50/3 (radi) , llavors y = 50/3 (altura). Aquest és el radi i l’altura del cilindre de volum màxim.
Substituint, resulta Vmax = f (50/3) =
6.
125000π
cm3
27
En una determinat camp quan es planten 25 arbres per hectàrea el rendiment mitjà de cada arbre és de 370
fruits. D’altra banda, s’ha comprovat sobre el terreny que quan es planten més de 25 arbres per hectàrea
comença a produir-se “saturació” i disminueix el rendiment de cada arbre en 10 fruits per arbre addicional
plantat. Quin és el nombre òptim d'arbres que cal plantar per hectàrea per a obtenir la màxima producció?
I quin nombre d’arbres s’haurien de plantar per aconseguir la mínima producció?
Solució: a)
Funció a maximitzar: f(x) = (25 + x) · (370 – 10x) , sent x = nbe d’arbres addicionals que es planten: x
Restriccions: x ≥0 ; x≤37 ja que 370 – 10x ≥ 0 ; x ≤37
FUNCIÓ A OPTIMITZAR f (x) = 9250 + 120 x – 10 x2 , Domini: 0 ≤ x ≤ 37
2
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
Estudi de la funció: busquem el valor màxim. (en l’interval tancat [0, 37] ) (*)
Taula de monotonia de la funció. Punts a considerar f ‘(x) = 0
0
0< x < 6
6
6< x <37
+
0
-
Signe f ’
f
→ 120–20x = 0 → x = 6
9250
x=37
MAX
0
La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en
x = 6: és el màxim absolut de la funció i també relatiu. Per tant, el nombre òptim d’arbres per aconseguir la màxima
producció serà 25 + 6 = 31 arbres.
La mínima producció s’aconseguiria quan x =37, es a dir 25 + 37 = 62 arbres.
(*) NOTA: També en tractar-se de l’estudi d’una funció en un interval tancat podríem procedir com es fa habitualment
per a calcular els extrems absoluts: localitzats els punts x=0 ; x = 6; x = 37 s’obtenen els valors f (0) = 9250 ;
f (6) = 9610; f (37)=0, observant-se clarament que en x = 6 hi ha el màxim i en x = 37 hi ha el valor mínim
7.
Troba un punt de la paràbola y = 4 - x2 , en el que la tangent a la paràbola en aquest punt, i en el primer
quadrant, determina un triangle d'àrea mínima amb els eixos.
Solució:
Designem P (a , 4- a2) , el punt de la paràbola.
La recta tangent a f en P, tindrà per equació y – (4 – a2 ) = -2·a (x – a)
Aquesta recta talla els eixos en els punts M, i N talls amb l’eix d’abscisses i
ordenades respectivament.
4−a2
4+ a2
+a =
2a
2a
x = 0; substituint, queda y = 4 – a2 +2 a2 = 4 + a2
Punt M
y = 0 ; substituint x =
Punt N
, Domini :
0≤a≤2
Estudi de la funció: busquem el mínim.
Monotonia. Punts a considerar:
1) f ‘ (a) =
0
0< a < 2
Signe f ’
3a 4 + 8a 2 − 16
=0 ⇒ a = ± 2 i ;
4a 2
3
2
-
3
0
f
a=± 2
2
3
; 2) a = 0
3 <a≤2
-
Min
Per tant el valor del triangle d’àrea mínima s’aconsegueix agafant el punt P ( 2
8.
→
FUNCIÓ A MINIMITZAR: àrea del triangle rectangle de vèrtexs OMN
4 + a2
·(4 + a 2 )
base·alt
(4 + a 2 ) 2
16 + 4a 2 + a 4
2a
=
=
Substituint, ÀREA =
⇒ f (a) =
4a
2
2
4a
4+ a2
, 0)
2a
N ( 0, 4 +a2 )
→ M (
3 , 8/3). (és també mínim realtiu)
Es vol tancar un camp rectangular que hi ha a la vora del camí. Si la tanca que dóna al camí, que no volem
de longitud inferior a 150m ni superior a 200 m, costa a 8 €/m i la dels altres costats a 1 €/m, troba l'àrea
màxima de camp que es pot tancar amb 2 880 €. I quina és l’àrea mínima?
Solució: a)
y
x
Funció a maximitzar:
ÀREA = x · y
(depén de dos variables)
Relació entre variables: 8 x + x + y + y = 2 880 → y =
2880 − 9x
2
Restriccions x >150 ; y > 0 ; 2880 – 9x >0 → x < 320 . Per tant 150 <x <320
3
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
FUNCIÓ A MAXIMITZAR
Substituint queda f (x) =
2880x − 9x 2
,
2
Domini:
150 < x < 200
La funció és f (x) = -4,5 x2 + 1440 ⇒ paràbola (cap avall) : el valor màxim està en el vèrtex ⇒ x v =
- Àrea màxima: El valor màxim de la funció s’aconsegueix en x =160 : és el
màxim absolut de la funció i també relatiu. Si x = 160 m ⇒ y = 720 m. Per tant, el
recinte d’àrea màxima serà de 160 x 720 m.
- Àrea mínima: Hi haurà que calcular f (150)= 11 4750 ; f(200) = 108 000
per tant, el camp d’àrea mínima tindrà dimensions de 200 x 540 m
9.
− b −1440
=
= 160
2a
−9
Nota: També es pot resoldre a
partir de la derivada: buscar els
punts on f ‘(x) = 0 i fer l’estudi
dels màxims i mínims.
Un full de paper ha de contenir 18 cm2 de text imprès. Els marges superior i inferior han de tenir 2 cm
d’altura cadascun i els laterals 1 cm. Troba les dimensions del full perquè la despesa de paper siga mínima?
Funció a minimitzar: A= x · y ; sent x , y són les dimensions del full
Relació entre les variables:
18
4x + 10
(x – 2 ) (y – 4 ) = 18 ; aïllant “y” resulta → y =
+ 4;
y=
.
x−2
x−2
Altres restriccions: observar que x >2 ; y> 4
4x 2 + 10x
,
x−2
FUNCIÓ A MINIMITZAR. Substituint , obtenim
Busquem el valor mínim de la funció: Estudi de la funció. Monotonia
Punts a considerar f ‘ (x) = 0;
f ‘(x) =
f (x) =
(8x + 10)(x − 2) − (4x 2 − 10)
(x − 2)
2
=
2<x<5
5
x>5
-
0
+
Signe f ’
f
y
Domini:
2<x
x
4(x 2 − 4x − 5)
(x − 2)2
= 0 → x = 5 ; x = -1
min
La forma del gràfic de la funció en l’interval ens indica que en x = 5 tenim el valor mínim.
Si x = 5, llavors y = 10 cm. Aquestes són les dimensions del paper.
10. De tots els cilindres inscrits en una esfera de radi 1 metre troba el volum del que el tinga màxim.
Solució: Siga r el radi del cilindre inscrit, h la seua altura i V el volum.
-
Funció a maximitzar: Hi ha que maximitzar la funció V = π r2 h, que en principi depén de les variables r, h.
-
Condició que compleixen les variables: Observem de la figura que es compleix 12 = r2 +
Aïllant r2 = 1 -
h2
4
h2
4 − h2
=
4
4
r
Funció a maximitzar: Substituint en la funció, resulta V =
Valor màxim de la funció. Estudi de la funció. Monotonia
Punts a considerar V’ =
Volum V
;
0<h<2
h/2
1
π
2
2
( 4 − 3h 2 ) = 0 ⇒ 4 – 3 h = 0 ⇒ h = ±
= ± 1.15
4
3
0< h < 2
Signe V ’
π
( 4h − h3 )
4
+
3
2
3
0
h> 2
-
MAX
3
La forma de la funció ens indica que si la
funció pren el seu valor màxim en el seu
màxim relatiu h = 2
3 . En tal cas, r2 =
i el volúm màxim resulta, VMAX =
4
4π
3 3
2
3
m3
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
11. Trobeu les dimensions del cartell d’àrea màxima amb forma de rectangle que té dos vèrtexs subjectes a una
estructura rígida parabòlica d’equació y =12 - x2 , i els altres dos vèrtexs estan situats sobre l’eix OX .
Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema
-
Vèrtexs del rectangle sobre la paràbola (x, 12-x2) ; (-x , 12 – x2)
FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Rectangle de base 2x i altura 12 – x2
Area = 2x ·(12 – x2) ; 0 <x< 12
; Operant queda A(x) = 24x – 2x3
-
Valor màxim de la funció en el seu domini
Punts a considerar A’(x) = 24 – 6x2 =0 ⇒ x = 2 ; x = -2 (aquest el rebutgem)
Signe A ’
0< x < 2
2
2<x< 12
+
0
-
Àrea
La forma de la funció mostra que quan x = 2 tenim
àrea màxima. Si x = 2 ; y = 12 – 22 = 8. Les
dimensions del cartell seran 4 x 8
MAX
40 - 5x
tones d’acer d’alta qualitat. La
10 - x
producció màxima diària d’acer de baixa qualitat és de 8 tones. Si el preu d’una tona d’acer de baixa qualitat és de 100 euros i el preu d’una tona d’acer d’alta qualitat és de 250 euros, demostreu que s’han de produir 5 tones per dia d’acer de baixa qualitat per a que el valor de venda de la producció diària siga màxim
40 - x
FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta f (x) = 100x + 250
, Domini: 0 ≤ x ≤ 8
10 - x
12. Uns alts forns produeixen al dia x tones d’acer de baixa qualitat i
Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia) en el seu domini
2500
Punts a considerar: f ‘(x) = 100 = 0 → → x = 15 (no vàlida) ; x = 5
(10 - x)2
0
Signe f ’
0< x <5
+
f
5
5<x<8
0
-
8
Max
La forma del gràfic indica que si x =5
s’obté el valor de venda màxim ( x = 0
i x = 8 són candidats a valor mínim)
13. Un triangle isòsceles que té 10 cm de perímetre gira al voltant de la seua altura engendrant un con. Troba les
mesures dels costats del triangle per a que el volum engendrat siga màxim.
y
y
h
Dimensions del con: x (radi de la base) , h (altura)
Funció a maximitzar: Volum del con ⇒ En aquest cas V = π x2 h / 3
Relació entre les variables 2x + 2 y = 10 ; x2 + h2 = y2
Operant y = 5 – x ; x2 + h2 = ( 5 – x )2; x2 + h2 = 25 – 10 x + x2 ⇒ h2 = 25 – 10 x
⇒ h = 25 − 10x
Restriccions: Queda clar que h existeix quan 0 < x < 2,5
x
π x2
25 - 10x
,
3
FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta
Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia)
100 x 3 - 50x 4
Punts a considerar: f ‘(x) = π
= 0 → 100x3 - 50x4 = 0 → x3(100 -50x) = 0 → x = 0 ; x = 2
6 25x 4 - 10x 5
Signe f ’
f
f (x) =
0< x <2
2
2 < x < 2,5
+
0
-
Domini: 0 < x < 2,5
Max
La forma del gràfic, indica que en x = 2 tenim el màxim absolut de la funció.
Si x = 2 m, llavors y = 3 m. Les dimensions del triangle isòsceles són: Base = 2x = 4 cm; costats iguals y = 3 cm.
5
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
14. A un terreny rectangular se’l vol tancar exteriorment i també dividir-lo amb tres rectangles iguals
mitjançant dues tanques divisòries paral·leles als costats més xicotets del terreny. Si únicament disposem de
80 metres de tanca, quines dimensions del terreny maximitzen l’àrea? Quant val aquesta àrea?
Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema
-
FUNCIÓ A MAXIMITZAR:
( depèn de dues variables)
x
x
x
Area = 3x y
y
Condició que compleixen les variables
 80 − 6x 

 4 
La funció és una paràbola cap avall
3
4
x
A(x) = - 4.5 x2 + 60 x
El valor màxim està en el vèrtex⇒ x v =
y
y
6x + 4 y = 80
= (80x − 6x 2 )
Substituint, resulta A(x) = 3 x 
y
−b −60 20
=
=
.⇒
2a
3
−9
x
x
Domini = (0, 40/3 )
Si x =
20
; y = 10
3
→ ÀREA MÀXIMA = 200 m2
15. Una finestra té la forma de semicercle muntada sobre un rectangle. El rectangle és de cristall transparent,
mentre que el semicercle és de cristall d’un color que transmet la meitat de llum per unitat d’àrea
transparent. Si el perímetre total de la finestra és de 100 m, com s’ha de construir la finestra per aconseguir
la major quantitat de llum?
Solució: Funció a maximitzar: Quantitat llum⇒ Àrea total = Àrea rectangle + Àrea semicercle
Àrea total = x · y +
1 π ( x 2)
·
2
2
2
= x ·y +
π 2
x
16
Relació entre les variables: Les variables x, y compleixen la següent equació
Operant i aïllant y, resulta 2y = 100 – x -
y
⇒ Area total = x ·y + 0,19625 x2 (depen dos variables)
x + 2y +
2 π (x 2)
= 100
2
x
πx
x πx
→ y = 50 − −
= 50 − 0,5x − 0,785x → y = 50 - 1,285 x
2 4
2
Substituint en la funció, resulta f (x) = x· ( 50 − 1, 285x ) + 0,19625x 2 ⇒
f (x) = 50x - 1,08875 x2
És tracta d’una paràbola. El valor màxim està en evidentment el vèrtex(*) x =
−b
−50
50
=
=
= 22,96
2a 2(−1,08877) 2,1775
Per tant, les mesures que permeten la major quantitat de llum són x = 22, 96 m ;
Substituint y = 50 – 1.285 x = 20,4964 m
(*) NOTA: El valor màxim també es podria buscar utilitzant derivades
16. Considerem el triangle rectangle de vèrtexs O(0, 0), A (x, 0) i B(x, y), x >0, y >0 estant el vèrtex (x, y) sobre
l’el·lipse d’equació x2 + 2y2 = 2 tal com indica la figura. Troba les coordenades del vèrtex B per a que el
triangle rectangle tinga àrea màxima.
Solució:
Funció a maximitzar: Àrea = x · y /2
2
; x , y base i altura triangle rectangle
2
2
2
Relació entre les variables : x + 2y = 2 ;x = 2 - 2y ;
FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Àrea =
Substituint f (y) =
1
y
2
2 − 2 y2 =
x = ± 2 − 2y
B
2
O
A
1
x y , que en principi depèn de dues variables.
2
2
y 1 − y2
2
⇒
f(y) = 0'71 y 2 - y 4
Domini = (0, 1]
Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia)
f ‘ (y) = 0'71
2y − 4y3
2 y2 − y 4
; Punts f ‘ (y ) = 0 ⇒ 2y – 4y3 = 0
⇒
Punt a considerar y = 0’71 per ser y > 0.
Signe f ’
Àrea f
0
No ∃
0< y < 0,71
+
0,71
0
MAX
0,71<y <1
-
1
No ∃
y =0
;
y = ± 2 2 = ± 0'71
La forma de f indica que el seu
valor màxim és y = 2 2 = 0'71
⇒ Si y =
2 2 = 0'71 , x = 1 ;
per tant el vèrtex B(1,
6
2 2)
IES “La Plana” – Castelló
Francesc Beltran Castell
17. Amb una corda de 6 m de longitud quin és el triangle isòsceles d’àrea màxima que podem construir?
Solució: Dimensions del triangle : 2x (base) , y (costats iguals)
2x·h
Funció a maximitzar: AREA =
= xh ,
sent h l’altura del triangle
y
y
2
Restriccions: 2x + 2y = 6
→
y=3–x
y2 = h2 + x2
→
h2 = y2 – x2 = 9 – 6x → h = 9 − 6x
x
x >0 ; y> 0 ; h >0
→ 0 < x < 3/2
FUNCIÓ a optimitzar
f(x) = x· 9 - 6x ,
Busquem el valor màxim. Estudi de la funció (monotonia)
18x − 18x 2
f (x) = 9x 2 − 6x 3
; f ‘(x) =
2 9x 2 − 6x 3
Punts a considerar
f ‘(x) =
18x − 18x 2
2 9x 2 − 6x 3
Taula de monotonia de la funció
Domini:
0 < x < 3/2
→ x = 0 ( no vàlid) ; x = 1
=0
0< x < 1
1
1 < x < 3/2
+
0
-
Signe f ’
f
MAX
La forma del gràfic indica que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en x = 1 (és també màxim relatiu)
Si x = 1 m, llavors y = 2 m. Per tant, el triangle d’àrea màxima té base 2x = 2 m i costats iguals y = 2 m, o siga un
triangle equilàter.
18. Provar que el volum de qualsevol con recte inscrit en una esfera es menor que el 30% del volum de la
mateixa. (Selectivitat Juny 2005 A)
Si el con de volum màxim que podem inscriure en una esfera té un volum menor que el 30% del volum de l’esfera,
estarà comprovat l’enunciat. Es tracta, per tant, bàsicament d’un problema d’optimització.
Funció a maximitzar: VOLUM DEL CON = π r2 h / 3 ⇒ V = π x2 (R + y) / 3
R
Relació entre les variables (restriccions): R2 = x2 + y2 ⇒ x2 = R2 - y2
y
Substituint, queda V = π (R2 – y2) (R + y) / 3 que és una funció de “y”
R
x
Funció a maximitzar f (y) =
Busquem el valor màxim:
f '(y) =
f ‘(y) = 0 → R2 – 2Ry – 3y2 = 0
π 2
( R − y2 ) (R + y) ⇒
3
f (y) =
π 3
( R + R 2 y − Ry 2 − y3 )
3
π
(0 + R 2 − 2Ry − 3y 2 )
3
Equació de 2n grau.
Solucionat l’equació 3y2 + 2Ry – R2 =0 , queda y =
−2R ± 4R 2 + 12R 2 −2R ± 4R ր y = R / 3
=
=
6
6
ց y = −R
Valor a considerar y = R/3 ; És màxim? Ho comprovarem pel mètode de la segona derivada
f ''(y) =
π
R
 R  π
(−2R − 6y) substituint f ''   =  −2R − 6  < 0 Per tant és MÀXIM
3
3
3
3
 

El cón de volum màxim s’aconsegueix quan y = R/3, es a dir quan les seues dimensions són:
- altura h = y + R = R/3 + R = 4R/3 ; - radi base x = R 2 − y 2 = R 2 − R 2 9 = 8R 2 / 9 = 8 R / 3
R
R 2 R 3  π  27R 3 + 9R 3 − 3R 3 − R 3
R  π
−
Volum Con Màxim = f   =  R 3 + R 2 − R
= 
3
9 27  3 
27
 3  3
Volum esfera =
4πR 3
3
Relació entre els volums =
7
 π  32R 3  32πR 3
= 
=
81
 3  27 
Vcon
32πR 3 81 32 / 81 8
=
=
=
= 0,296 < 30%
Vesfera
4/3
27
4πR 3 3