apuntes-topologia-general

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Facultad de Ciencias - Departamento de Matemáticas
TOPOLOGIA GENERAL
G. PADILLA
Resumen. Estas notas fueron realizadas entre 2006 y 2008, fecha en la cual dicté dicho curso en la
Universidad Central de Venezuela.
Contenido
1. Espacios métricos
1.1. Espacios métricos
1.2. Conjuntos cerrados
1.3. Sucesiones
1.4. Funciones continuas entre espacios métricos
1.5. Más ejercicios de espacios métricos
2. Espacios topológicos
2.1. Espacios topológicos
2.2. Continuidad
2.3. Bases y sub-bases
2.4. Topologı́a producto
2.5. Espacios cociente
2.6. Axiomas de numerabilidad
2.7. Subespacios topológicos
2.8. Conexidad
2.9. Componentes conexas
2.10. Conexidad por arcos
2.11. Separación
2.12. Más ejercicios de topologı́a
3. Espacios compactos
3.1. Compacidad
3.2. Espacios Hlc
3.3. Espacios paracompactos
4. Convergencia en espacios topológicos
4.1. Redes
4.2. Sub-redes
4.3. Redes universales
4.4. Espacios completamente regulares
5. Espacios metrizables
5.1. Espacios totalmente acotados
5.2. Separación de cerrados con funciones continuas
5.3. El teorema de extensión de Tietze
Fecha: Julio 2008, actualizadas en marzo 2012.
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5.4. Espacios acotados
5.5. Convergencia puntual y uniforme
6. El truco de Bredon
7. Fibrados topológicos
7.1. Amalgama de espacios topológicos
7.2. Familias amalgamables y semigrupos de cociclos
7.3. Fibrados Generales
7.4. Ejemplos
7.5. Morfismos fibrados
7.6. Unicidad de los espacios fibrados
Referencias
40
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44
44
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45
46
46
46
47
1. Espacios métricos
Incluimos en este breve capı́tulo las propiedades más importantes de los espacios métricos y topológicos.
Hemos seguido especialmente a [2].
1.1. Espacios métricos. Un espacio métrico es un par (E, d) tal que E 6= ∅ es un conjunto y E ×
d
- [0, ∞) es una función real tal que para cualesquiera x, y, z ∈ E se tiene
(a) Unicidad: d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(b) Simetrı́a: d(x, y) = d(y, x)
(c) Desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Dado x ∈ E la bola abierta (resp. cerrada) con centro en x y radio δ > 0 es el conjunto B(x, δ) =
{y ∈ E : d(x, y) < δ} (resp. el conjunto B(x, δ) = {y ∈ E : d(x, y) ≤ δ}). La distancia entre dos subconjuntos no vacı́os A, B ⊂ E se define como el ı́nfimo
E
d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
Un subconjunto A ⊂ E es abierto ⇔ para todo punto x ∈ A hay un δ > 0 suficientemente pequeño tal
que B(x, δ) ⊂ A.
Lema 1.1.1. Para cualesquiera x, y, z ∈ E se tiene |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).
[Demostración] Por la desigualdad triangular tenemos que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Si d(x, z) ≥
d(y, z) entonces 0 ≤ d(x, z) − d(y, z) ≤ d(x, y) y el enunciado vale. En caso contrario, si d(x, z) > d(y, z)
entonces por la misma desigualdad triangular d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) y con el mismo procedimiento
anterior 0 ≤ d(x, z) − d(y, z) ≤ d(x, y).
Lema 1.1.2. En todo espacio métrico (E, d);
(1) ∅ y E son abiertos.
(2) Toda bola B(x, δ) es abierta en el sentido anterior.
(3) A es abierto ⇔ es unión de bolas abiertas.
(4) La unión arbitraria de abiertos es un abierto.
(5) La intersección finita de abiertos es un abierto.
[Demostración] Vamos por pasos.
(1) Es trivial.
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3
(2) Sean y ∈ B(x, δ), ρ = d(x, y) y δ 0 = min{ρ, δ − ρ}. Si d(y, z) < δ 0 entonces por la desigualdad
triangular d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ≤ ρ + (δ − ρ) = δ; luego B(y, δ 0 ) ⊂ B(x, δ).
(3) Directo de la definición.
(4) Si A = ∪Ai es unión de abiertos entonces, por el paso anterior, como cada Ai es unión de bolas
i
abiertas, luego A también es unión de bolas abiertas. Por el paso anterior A es abierto.
(5) Por inducción y asociatividad de la intersección, es suficiente verlo para la intersección A ∩ B dos
abiertos A, B ⊂ E. Dado z ∈ A ∩ B como A es abierto existe δ > 0 tal que B(z, δ) ⊂ A y, como
B es abierto, existe δ 0 > 0 tal que B(z, δ 0 ) ⊂ B. Entonces B(z, ρ) ⊂ A ∩ B para ρ = min{δ, δ 0 }.
Dados un subconjunto Z ⊂ E y un punto x ∈ E; diremos que Z es un entorno de x, o bien x es un
punto interior de Z; si y sólo si existe un δ > 0 suficientemente pequeño tal que B(x, δ) ⊂ Z. Diremos
que x es exterior a Z ⇔ x es un punto interior de E\Z. Dado otro subconjunto Y ⊂ X diremos que Z
es un entorno de Y ⇔ Z es un entorno de todos los puntos de Y .
Lema
(1)
(2)
(3)
1.1.3. Dado un espacio métrico (E, d) y dos subconjuntos Y, Z ⊂ E.
Z es entorno de Y ⇔ existe algún abierto U ⊂ E tal que Y ⊂ U ⊂ Z.
La unión de entornos de Y es un entorno de Y .
La intersección finita de entornos de Y es un entorno de Y .
[Demostración] Para ver (1) tomamos, para cada y ∈ Y , una bola abierta de radio suficientemente
pequeño δy > 0 tal que B(y, δy ) ⊂ Z. Por 1.1.2-(3) el subconjunto U = ∪ B(y, δy ) es el abierto buscado.
y∈Y
Las propiedades (2) y (3) son consecuencia de la primera y las propiedades de los abiertos, cf. de nuevo
1.1.2.
El interior de un subconjunto Z ⊂ E en un espacio métrico (E, d) es el subconjunto
◦
Z = {z ∈ X : B(z, δ) ⊂ Z para algún δ > 0}
de todos los puntos interiores de Z.
Lema 1.1.4. Dado un espacio métrico (E, d) y subconjuntos Y, Z ⊂ E;
◦
(1) Y ⊂ Y es el abierto más grande contenido en Y .
◦
◦
(2) Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.
◦
◦
◦
(3) (Y ∩ Z) = Y ∩ Z.
◦
(4) Y es abierto ⇔ Y es entorno de todos sus puntos ⇔ Y = Y .
[Demostración] Vamos por pasos.
◦
◦
(1) El interior Y es abierto: Si y ∈ Y entonces hay algún δ > 0 suficientemente pequeño tal que
B(y, δ) ⊂ Y . Por 1.1.2, B(y, δ) es abierta, luego para cualquier otro punto x ∈ B(y, δ) hay algún > 0
◦
◦
tal que B(x, ) ⊂ B(y, δ) ⊂ Y , con lo cual x ∈ Y . Se deduce que en realidad B(y, δ) ⊂ Y , con lo cual
◦
el interior Y es unión de bolas abiertas, luego es abierto por 1.1.2-(3). Si A ⊂ Y es cualquier abierto
contenido en Y entonces, para cualquier a ∈ A, existe un δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ A ⊂ Y con lo cual
◦
◦
a ∈ Y por definición de los puntos interiores; luego A ⊂ Y .
4
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◦
(2) Si Y ⊂ Z y x ∈ Y es un punto interior a Y , entonces existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ Y ⊂ Z con lo
cual x es un punto interior a Z.
(3) Hay que ver una contención doble. Como Y ∩ Z ⊂ Y y Y ∩ Z ⊂ Z, por el paso anterior se tiene que
◦
◦
◦
◦
◦
(Y ∩ Z) ⊂ Y ∩ Z. Para ver la otra contención suponga que x ∈ Y ∩ Z; sean , δ > 0 tales que B(x, ) ⊂ Y
y B(x, δ) ⊂ Z. Entonces B(x, min{, δ}) ⊂ Y ∩ Z.
(4) Es directa de las definiciones.
Lema 1.1.5. Un punto x ∈ E es exterior a Y ⊂ E ⇔ d(x, Y ) > 0.
[Demostración] Porque x es exterior a Y ⇔ x es interior a E\Y . Esto último sucede ⇔ existe algún
δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ E\Y ; es decir que B(x, δ) ∩ Y = ∅, lo cual pasa si y sólo si d(x, Y ) > 0.
Lema 1.1.6. Para cada Y ⊂ E y cada δ > 0 el subconjunto V (Y, δ) = {x ∈ E : d(x, Y ) < δ} es un
entorno abierto de Y .
[Demostración] Basta demostrar V (Y, δ) = ∪ B(y, δ). Ambas contenciones son obvias, pues un
y∈Y
punto x pertenece a V (Y, δ) si y sólo si existe algún y ∈ Y tal que d(x, y) < δ; y esto sucede si y sólo si
x ∈ B(y, δ) para algún y ∈ Y .
1.2. Conjuntos cerrados. Un subconjunto C ⊂ E es cerrado ⇔ su complemento E\C es abierto.
Lema 1.2.1. En todo espacio métrico,
(1) La intersección de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado.
(2) La unión finita de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado.
(3) ∅, E son cerrados.
[Demostración] Es inmediato de §1.1.2 y las operaciones de conjuntos.
6 Y ⊂ E se define como el conjunto de los puntos no exteriores
La adherencia Y de un subconjunto ∅ =
a Y ; es decir Y = {x ∈ E : d(x, Y ) = 0}.
Proposición 1.2.2. Dado un espacio métrico (E, d); y Y, Z ⊂ E;
(1) Y ⊂ Y .
(2) x ∈ Y ⇔ toda bola abierta centrada en x intersecta a Y .
(3) Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.
(4) Y ∪ Z = Y ∪ Z.
(5) Y es la intersección de todos los entornos de la forma V (Y, δ) con δ > 0.
(6) Si x ∈ (Y \Y ) 6= ∅ entonces la intersección de cualquier entorno de x con Y es un subconjunto
infinito.
(7) Y es cerrado ⇔ Y = Y .
(8) Y = Y .
(9) Y es el cerrado más pequeño que contiene a Y .
(10) La adherencia de toda bola abierta B(x, δ) es la bola cerrada B(x, δ).
[Demostración] Procedemos por pasos.
(1) Directa de la definición de adherencia.
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5
(2) Como la distancia de x a Y es el ı́nfimo de las distancias d(x, y) variando a y ∈ Y ; se tiene que
d(x, Y ) = 0 ⇔ para cada δ > 0, existe algún y ∈ Y tal que d(x, y) < δ; luego y ∈ B(x, δ) ∩ A 6= ∅.
(3) Si Y ⊂ Z y entonces, por propiedades de los ı́nfimos, para cualquier punto x ∈ E se tiene
d(x, Y ) = inf{d(x, w) : w ∈ Y } ≥ inf{d(x, w) : w ∈ Z} = d(x, Z)
En particular, d(x, Y ) = 0 ⇒ d(z, Z) = 0.
(4) De las dos contenciones, ⊃ es directa del paso anterior. Para ver ⊂ vamos por contrarrecı́proco. Si
x 6∈ Y ∪ Z entonces d(x, Y ) > 0 y d(x, Z) > 0. Existen pues 1 , 2 > 0 tales que B(x, 1 ) ∩ Y = ∅ y
B(x, 2 ) ∩ Z = ∅. Basta tomar = min{1 , 2 }. Por construcción, B(x, ) ∩ (Y ∪ Z) = ∅; luego x 6∈ Y ∪ Z.
(5) Para ver que Y = ∩ V (Y, δ) demostramos las dos contenciones. De ellas, ⊂ es directa de las definiδ>0
ciones. Ahora bien, x ∈ ∩ V (Y, δ) si y sólo si x ∈ V (Y, δ) para cada δ > 0; es decir, si y sólo si para
δ>0
cada δ > 0 existe algún yδ ∈ Y tal que d(x, yδ ) < δ. Ello implica que, para todo δ > 0, la bola abierta
centrada en x con radio δ intersecta a Y , pues yδ ∈ B(x, δ) ∩ Y 6= ∅. Entonces x ∈ Y por definición.
d(x,y1 )
(6) Sea x ∈ Y \Y . La bola B(x, 1) intersecta a Y en algún punto y1 6= x. Como 0 < δ1 =
, la
2
d(x,y )
2
,
bola B(x, δ1 ) intersecta a Y en algún punto y2 6= x. Por construcción, y2 6= y1 . Como 0 < δ2 =
2
la bola B(x, δ2 ) intersecta a Y en algún punto y3 6= x y por construcción, y3 es diferente de y1 , y2 . Si
continuamos el proceso de modo inductivo, por el axioma de elección es posible construir una sucesión
y1 , . . . , yn , . . . de puntos diferentes en Y tales que d(x, yn+1 ) < d(x, yn )/2 para cada n.
(7) Por el paso (1) de este lema, basta ver una sola contención. Es decir, Y es cerrado ⇔ Y ⊃ Y . Ahora
bien, Y es cerrado si y sólo si E\Y es abierto; ello sólo sucede ⇔ todo punto de E\Y es un punto interior:
x 6∈ Y si y sólo si existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ E\Y , luego B(x, δ) ∩ Y = ∅. Se concluye que Y es
cerrado si y sólo si vale el condicional x 6∈ Y ⇒ x 6∈ Y ; o dicho de otro modo, Y ⊂ Y .
(8) La contención Y ⊂ Y sale del paso (1). Para ver la otra contención tome un punto x ∈ Y .
Dado cualquier δ > 0, la bola centrada en x con radio δ intersecta a Y . Sea z ∈ B(x, δ) ∩ Y 6= ∅ y
= min{d(x,z),δ−d(x,z)}
. Entonces B(z, ) ⊂ B(x, δ) y B(z, ) ∩ Y 6= ∅; luego B(x, δ) ∩ Y 6= ∅. De la
2
arbitrariedad de δ se deduce que x ∈ Y por el paso (2).
(9) Por (7) y (8) Y es cerrado. Si Y ⊂ C y C es cerrado, por los pasos (3) y (7) tenemos que Y ⊂ C = C.
(10) si z es un punto en la adherencia de B(x, δ) y z 6∈ B(x, δ) entonces, para cada entero positivo n > 0
podemos elegir yn ∈ B(z, n1 ) ∩ B(x, δ). Por la desigualdad triangular
1
+δ
n
Tomando el lı́mites para n 7→ ∞ se tiene d(z, x) ≤ δ. Por otro lado, como z 6∈ B(x, δ) tenemos que
d(z, x) ≥ δ; luego d(z, x) = δ.
d(z, x) ≤ d(x, yn ) + d(yn , x) <
Dados Y, Z ⊂ E decimos que Y es denso en Z si Z ⊂ Y ; en particular, decimos que Y es denso si
es denso en E, es decir, si Y = E. El espacio E es separable si existe posee algún subconjunto denso y
numerable.
Lema 1.2.3. Si X es denso en Y y Y es denso en Z entonces X es denso en Z.
6
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[Demostración] Si X ⊂ Y y Y ⊂ Z entonces, por §1.2.2-(8) tenemos que X ⊂ Z = Z.
La frontera ∂Y de Y se define como el conjunto de puntos que son adherentes a Y y a E\Y ; es decir
∂Y = {z ∈ E : d(x, Y ) = d(x, E\Y ) = 0}.
Dado cualquier espacio métrico (E, d) y un subconjunto Y ⊂ E; la métrica de subespacio de Y es
la restricción de d a Y × Y .
1.3. Sucesiones. Fijamos un espacio métrico (E, d). Una sucesión en E es la imagen de una función
x
- E; escribimos x = x(n). Usualmente escribimos también a la sucesión x como un
cualquiera N
n
subconjunto numerable {xn : n = 0, 1, . . . } ⊂ E en el cual pueden haber repeticiones. Si {xn }n∈N es
una sucesión en E, una sub-sucesión es la composición de x con cualquier función inyectiva y creciente
k
- N; es decir, i < j ⇒ k < k . Una sucesión converge si existe algún x ∈ E tal que, para cada
N
i
j
> 0, hay un entero N tal que n > N ⇒ d(x, xn ) < ; es decir, la cola de la sucesión a partir de N
está contenida en la bola de centro x y radio . En tal caso escribimos
Lim xn = x
n
y decimos que la sucesión {xn }n converge a x. Si una sucesión no converge a ninún punto decimos que
diverge.
Lema 1.3.1. En un espacio métrico toda sucesión convergente posee un único lı́mite.
[Demostración] Si {xn }n converge a x, x0 entonces para cada hay un entero N tal que valen los dos
condicionales siguientes:
• n > N ⇒ d(x, xn ) < ; y
• n > N ⇒ d(x0 , xn ) < .
0
)
. Entonces las
Si x 6= x0 entonces, por definición de las métricas, d(x, x0 ) 6= 0. Basta tomar = d(x,x
3
0
bolas B(x, ) y B(x , ) son disjuntas, por lo cual no pueden ser válidos ambos condicionales al mismo
tiempo.
Una sucesión {xn }n en E es de Cauchy ⇔ para cada > 0 existe un entero N tal que vale el siguiente
condicional
m, n > N ⇒ d(xm , xn ) < Lema 1.3.2. Toda sucesión convergente contiene una sub-sucesión de Cauchy.
[Demostración] Si {xn }n converge a x entonces para cada hay un entero N tal que vale el condicional
siguiente:
n > N ⇒ d(x, xn ) <
2
Entonces, si m, n > N tenemos que d(xm , xn ) ≤ d(xm , x) + d(x, xn ) <
2
+
2
= .
De este modo, dada cualquier sucesión convergente, podemos asumir salvo ajustes que se trata de una
sucesión de Cauchy. Un espacio métrico E es completo si toda sucesión de Cauchy en E converge a
algún punto en E.
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1.4. Funciones continuas entre espacios métricos. Dados dos espacios métricos (E, d) y (E 0 , d0 )
f
- E 0 es continua en un punto x ∈ E si y sólo si para cada > 0 hay algún δ > 0
una función E
(que depende de x y de ) tal que d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < .
Proposición 1.4.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
f
- E 0 es continua en x ∈ E.
(1) E
(2) Para cada entorno V 0 de f (x) existe algún entorno V de x tal que f (V ) ⊂ V 0 .
−1
(3) f (V 0 ) es un entorno de x para cada entorno V 0 de f (x).
[Demostración] (1) ⇒ (2): Dado cualquier entorno V 0 de f (x) basta tomar cualquier > 0 suficientemente pequeño tal que B(f (x), ) ⊂ V 0 . Como f es continua, hay algún δ > 0 tal que vale el condicional
d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < ; en otras palabras f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ) ⊂ V 0 . El entorno buscado
es V = B(x, δ).
(2) ⇒ (3): Si V 0 es un entorno de f (x), como existe un entorno V de x tal que f (V ) ⊂ V 0 , tenemos que
−1
−1
x ∈ V ⊂ f (V 0 ) con lo cual f (V 0 ) es un entorno de x.
−1
(3) ⇒ (1): Si tomamos en particular V 0 = B(f (x), ) para cualquier > 0, como f (B(f (x), )) es un
−1
entorno de x; existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f (B(f (x), )). Entonces f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ) o, en
otras palabras, vale el condicional d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < .
Decimos que f es continua ⇔ f es continua en todo punto de E.
Proposición 1.4.2. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
f
- E 0 es continua.
E
−1
0
f (A ) es abierto en E para cada abierto A0 ⊂ E 0 .
−1
f (C 0 ) es cerrado en E para cada cerrado C 0 ⊂ E 0 .
f (Y ) ⊂ f (Y ) para todo Y ⊂ E.
Si x = Lim xn entonces f (x) = Lim f (xn ).
n
n
[Demostración] (1) ⇒ (2): Es directa de §1.4.1.
(2) ⇒ (3): Por propiedades de las imágenes inversas, un cerrado C 0 ⊂ E tenemos que A0 = E 0 \C 0 es
−1
−1
−1
−1
abierto; por (2) su imagen inversa A = f (A0 ) = f (E 0 \C 0 ) = E\f (C 0 ) es abierto; luego C = f (C 0 )
es cerrado.
−1
(3) ⇒ (4): La imagen inversa f (f (Y )) es un cerrado que contiene a Y . Por §1.2.2-(9) la adherencia de
−1
Y es el menor cerrado que lo contiene, luego Y ⊂ f (f (Y )) o, lo que es lo mismo, f (Y ) ⊂ f (Y ).
(4) ⇒ (1): Supongamos que (1) no es cierta. Entonces existen x ∈ E y > 0 tales que para cada
entero positivo n ≥ 1 se puede conseguir algún yn ∈ E tal que d(x, yn ) < δ y d(f (x), f (yn )) ≥ . Por
construcción x está en la adherencia de Y = {yn : n ≥ 1}; sin embargo f (x) 6∈ f (Y ), . Esto contradice
(4).
(1) ⇒ (5): Si {xn }n es una sucesión que converge a x entonces, puesto que f es continua, para cada > 0
existe un δ > 0 tal que vale el condicional d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < . Ahora bien, sea Nδ un entero
tal que vale el condicional n > Nδ ⇒ d(x, xn ) < δ; entonces de ambos condicionales deducimos que vale
n > Nδ ⇒ d0 (f (x), f (xn )) < . De la arbitrariedad de se deduce que {f (xn )}n converge a f (x).
(5) ⇒ (1): Supongamos que {xn }n converge a x en E y {f (xn )}n no converge a f (x) en E 0 . Entonces
existe algún > 0 tal que el conjunto de los enteros n tales que d0 (f (x), f (xn )) ≥ es infinito. Al mismo
tiempo para cada δ > 0 existe algún entero Nδ tal que vale el condicional n > Nδ ⇒ d(x, xn ) < δ. De
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G. PADILLA
este modo, es posible conseguir algún n > Nδ tal que valgan ambas a la vez, vale decir, d(x, xn ) < δ
y d0 (f (x), f (xn )) ≥ . De este modo, es un número tal que para todo δ > 0 es falso el condicional
d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < . Se concluye que f no es continua en x.
Proposición 1.4.3. La composición de funciones continuas es continua.
g
f
- E0 y E0
- E 00 continuas, z = g(f (x)) para algún x ∈ E. Dado
[Demostración] Sean E
cualquier > 0 existen δ1 , δ2 tales que se satisfacen los siguientes condicionales
• d0 (f (x), w) < δ1 ⇒ d00 (g(f (x)), g(w)) < .
• d(x, y) < δ2 ⇒ d0 (f (x), f (y)) < δ1 .
Combinando ambos condicionales deducimos que d(x, y) < δ2 ⇒ d00 (g(f (x)), g(f (y))) < . De la arbitrariedad de x, deducimos que gf es continua.
f
- E 0 entre espacios métricos es uniformemente continua ⇔ para cada > 0
Una función E
existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < para todo x, y ∈ E.
Proposición 1.4.4. (1) Toda función uniformemente continua es continua.
(2) La composición de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua.
[Demostración] (1) es directa. Para (2) vale la misma demostración de §1.4.3 con ligeros ajustes. Proposición 1.4.5. Si D ⊂ E es denso y E
(a) f es continua en E; y
(b) f es uniformemente continua en D;
entonces f es uniformemente continua.
f
- E 0 es una función entre espacios métricos, tal que
[Demostración] Para cada > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < para todo
x, y ∈ D. Como D es denso en E tenemos que D = E luego, para cualquier x ∈ X, se tiene que
d(x, D) = 0. De este modo, dados cualesquiera x, y ∈ E siempre
1.5. Más ejercicios de espacios métricos.
(1) Verifica que los siguientes son ejemplos de espacios métricos:
n
• E = R y d la distancia usual.
n
• E = R y d(x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn |.
n
• E = R y d(x, y) = máx {|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |}.
X
• X 6= ∅ cualquier conjunto, E es el conjunto de funciones acotadas en R y d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ X}.
• E 6= ∅ cualquier conjunto y d es la distancia discreta dada por d(x, y) = 0 si x = y y d(x, y) = 1
en caso contrario.
2
• E es el conjunto de sucesiones de números reales x = (xn )n tales que la serie correspondiente Σ|xn |
n
2
converge; y d(x, y) = Σ|xn − yn | .
n
(2) Para n = 2, haga un dibujo de la bola abierta centrada en el origen, con radio δ = 1; para los casos (a),
(b) y (c) del problema anterior.
TOPOLOGIA GENERAL
R1
9
2
(3) Muestra que d(f, g) = 0 |f (t) − g(t)| dt es una distancia en el espacio E de todas las funciones reales
continuas definidas en [0, 1]. ¿Sigue siendo d una distancia si en lugar de funciones continuas tomamos
funciones integrables de Lébèsgue?
(4) Dos distancias d, d0 definidas en E 6= ∅ son equivalentes ⇔ definen los mismos abiertos, es decir, si y sólo
si todo d-abierto es un d0 -abierto y viceversa. Muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) d, d0 son distancias equivalentes.
(b) Toda d-bola abierta es unión de d0 -bolas abiertas; y toda d0 -bola abierta sea una d-bola abierta.
(c) Dados > 0, y ∈ Bd (x, ) y y 0 ∈ Bd0 (x0 , ); existe un δ > 0 tal que Bd0 (y, δ) ⊂ Bd (x, ) y
Bd (y 0 , δ) ⊂ Bd0 (x, ).
(5) Muestra que si y 6∈ B(x, δ) entonces d(y, B(x, δ)) ≥ d(y, x) − δ. ¿Vale para la bola cerrada B(x, δ)?
(6) Si (E, d) es un espacio métrico y A ⊂ E; muestra que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).
(7) Verifica cada una de las propiedades de 1.1.
(8) Muestra que en la recta real con la distancia usual, el conjunto de los naturales N no posee un sistema
fundamental numerable de entornos.
(9) (E, d) es un espacio métrico discreto ⇔ todo subconjunto es abierto.
(10) Prueba que toda d−esfera unitaria S(x, 1) = {y ∈ E : d(x, y) = 1} es un conjunto cerrado.
(11) Muestra que si A ⊂ E es abierto entonces A ∩ Y ⊂ A ∩ Y para cada Y ⊂ E.
(12) Mostrar que en general es falsa la igualdad A ∩ B = A ∩ B para cualesquiera A, B ⊂ E en un espacio
métrico (E, d). Más aún; da un ejemplo para E = R con la distancia usual, de subconjuntos A, B tales
que A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B y A ∩ B son todos diferentes, y A ∩ B no está contenido en A ∩ B.
(13) Muestra en todo espacio métrico (E, d), un punto x es adherente a A ⇔ x es el lı́mite de alguna sucesión
de puntos en A.
(14) Verifica cada una de las propiedades de 1.2.
n
(15) Muestra que R con la métrica usual es un espacio separable.
(16) Prueba que en un espacio métrico E la unión de un subconjunto abierto y de su exterior es densa.
(17) Un punto x ∈ A ⊂ E es aislado en A si existe un entorno V de x tal que V ∩ A = {x}. Muestra que si
E es separable entonces el conjunto de puntos aislados en E es a lo sumo numerable.
(18) Si E 0 ⊂ E entonces E 0 es un espacio métrico con la distancia restringida d0 (x, y) = d(x, y) para todo
i
- E es continua.
x, y ∈ E 0 . La inclusión E 0
(19) Toda función constante entre espacios métricos es continua.
(20) Si (E, d) es un espacio métrico entonces, para cada y ∈ E, la función f (x) = d(x, y) es continua.
(21) Si (E, d) es un espacio métrico entonces, para cada A ⊂ E, la función f (x) = d(x, A) es continua.
2. Espacios topológicos
Seguimos en esta sección a [1, 4, 6].
2.1. Espacios topológicos. Un espacio topológico es un conjunto X al cual asociamos una familia
de subconjuntos T de X, que llamaremos la topologı́a de X; y que satisface:
(a) ∅ y X pertenecen a T .
(b) La unión de toda colección de conjuntos en T pertenece a T .
(c) La intersección de toda colección finita de conjuntos en T pertenece a T .
Notemos que los subconjuntos que pertenecen a la familia T satisfacen en X propiedades análogas a las
que poseen los subconjuntos abiertos en un espacio métrico cualquiera, §1.1.2; sólo que ahora no hay una
distancia a la cual se remitan dichas propiedades. Esta sencilla abstracción permite pensar en abiertos o
cerrados de manera conjuntı́stica, sin tener una métrica prefijada.
En adelante diremos que un subconjunto A ⊂ X es abierto ⇔ pertenece a T . Un subconjunto C ⊂ X
es cerrado ⇔ su complemento X\C es abierto. Dado un punto x ∈ X y un subconjunto Y ⊂ X diremos
indistintamente que ”Y un entorno de x” o ”x es un punto interior de Y ” si exsite algún abierto A
10
G. PADILLA
◦
tal que x ∈ A ⊂ Y . El interior de Y es el conjunto Y de todos los puntos interiores de Y . Un entorno
de Y ⊂ X es un abierto A tal que Y ⊂ A.
Proposición 2.1.1. En todo espacio topológico
(1) La unión (resp. intersección finita) de entornos de Y es un entorno de Y .
◦
(2) Y ⊂ Y y es el abierto más grande contenido en Y .
◦
◦
(3) Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.
◦
◦
◦
(4) (Y ∩ Z) = Y ∩ Z.
◦
A es abierto ⇔ A es entorno de todos sus puntos ⇔ A = A.
La intersección (resp. unión finita) de subconjuntos cerrados es un cerrado.
∅, X son cerrados.
Para cada Y ⊂ X existe un cerrado minimal Y ⊂ Y dado por la intersección de todos los cerrados
que contienen a Y . Un punto x ∈ X pertenece a Y ⇔ todo entorno de x intersecta a Y .
(9) Y es cerrado ⇔ Y = Y .
(10) Si Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.
(11) Y ∪ Z = Y ∪ Z.
(5)
(6)
(7)
(8)
[Demostración] (1) Por las propiedades §2.1-(b) y (c).
◦
(2) Que Y ⊂ Y es inmediato. Dado cualquier abierto A tal que A ⊂ Y ; por la definición de puntos
◦
◦
interiores todo punto x ∈ A es interior a Y , es decir x ∈ Y ; luego A ⊂ Y .
(3) Es directa.
◦
◦
(4) Por el paso anterior se tiene la contención ⊂. Vemos la otra: Suponga que x ∈ Y ∩ Z. Si A, B son
abiertos tales que x ∈ A ⊂ Y y x ∈ B ⊂ Z entonces x ∈ A ∩ B ⊂ Y ∩ Z. Como A ∩ B es abierto,
obtenemos x es un punto interior en Y ∩ Z.
(5) Si A es abierto entonces todos sus puntos son interiores y él es entorno de todos sus puntos.
Recı́procamente, si A es entorno de todos sus puntos entonces, para todo x ∈ A existe un abierto
Bx tal que x ∈ Bx ⊂ A. Luego A es unión de la familia de abiertos {Bx : x ∈ A}, y por la propiedad
§2.1-(b) A es abierto. Esto da el primer ⇔; el segundo es trivial.
(6) Es consecuencia de las leyes de De Morgan para las uniones e intersecciones de complementos, más
las propiedades §2.1-(b) y (c). Por ejemplo: Si {Ci }i es cualquier familia de cerrados entonces cada
Ai = X\Ci es abierto. Por la propiedad §2.1-(b) se tiene que ∪Ai es abierto, luego su complemento
i
∩Ci = ∩(X\Ai ) = X\ ∪Ai es cerrado. De modo similar se procede con las uniones finitas de cerrados.
i
i
i
(7) Directa de la propiedad §2.1-(a).
(8) Defina Y como el conjunto de puntos x ∈ X que satisfacen el siguiente condicional:
∃A ∈ T (x ∈ A) ⇒ A ∩ Y 6= ∅
Un punto z 6∈ Y si y sólo si existe algún abierto A tal que z ∈ A y A ∩ Y = ∅. En tal caso, por el mismo
condicional de arriba, es inmediato que A ∩ Y = ∅; es decir, A está contenido en el complemento de Y .
Por el paso (5) se deduce que el complemento de Y es abierto; luego Y es cerrado. Para ver que es el
cerrado más pequeño que contiene a Y suponga que Y ⊂ C y C es cerrado. Entonces el abierto A = X\C
no intersecta a Y , e.d. A ∩ Y = ∅ de donde, por la misma observación anterior, A ∩ Y = ∅. Deducimos
TOPOLOGIA GENERAL
11
que (X\C) ∩ Y = ∅; ello implica que Y ⊂ C.
(9) Veamos el condicional doble. (⇒): Siempre se tiene que Y ⊂ Y para cualquier Y ⊂ X. Si Y es
cerrado, por el paso anterior, como Y es el cerrado más pequeño que contiene a Y , se tiene Y ⊂ Y ; luego
son iguales. (⇐): Si Y = Y entonces, por el paso anterior, Y es cerrado.
(10) Si x ∈ Y entonces, para todo abierto A se tiene que x ∈ A ⇒ A ∩ Y 6= ∅. Cuando Y ⊂ Z esto
implica que, para tdo abierto A, si x ∈ A entonces ∅ =
6 A ∩ Y ⊂ A ∩ Z. Luego x ∈ Z.
(11) El paso anterior implica la contención ⊃. Para ver la otra vamos por contrarrecı́proco. Si x 6∈ Y ∪ Z
entonces, por la definición de adherencias, existen dos abiertos A, B que contienen a x y además satisfacen
A ∩ Y = ∅, B ∩ Z = ∅. Entonces A ∩ B es un entorno de x y (A ∩ B) ∩ (Y ∪ Z) = ∅. Deducimos que
x 6∈ Y ∪ Z.
f
- X 0 entre espacios topológicos (X, T ) y (X 0 , T 0 ) es continua
2.2. Continuidad. Una función X
−1
−1
0
0
0
⇔ f (A ) ∈ T para cada A ∈ T . Resumimos esta situación diciendo que ”f (abierto) = (abierto), o
−1
bien que f [T 0 ] ⊂ T .
Proposición 2.2.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
f
- X 0 es continua.
(1) X
−1
0
(2) f (C ) es cerrado en X para cada cerrado C 0 ⊂ X 0 .
(3) f (Y ) ⊂ f (Y ) para todo Y ⊂ X.
[Demostración] Vamos por pasos:
−1
(1) ⇒ (2): Si C 0 ⊂ X es cerrado entonces A0 = X 0 \C 0 es abierto. Como f es continua, X\f (C 0 ) =
−1
−1
−1
f (X 0 \C 0 ) = f (A0 ) es abierto, luego f (C 0 ) es cerrado.
(2) ⇒ (1): Es análoga al paso anterior.
−1
(2) ⇒ (3): Como f (Y ) es cerrado en X 0 , su preimagen f (f (Y )) es cerrado en X y contiene a Y . Por
−1
§2.1.1-(8), Y ⊂ f (f (Y )) o, en otras palabras, f (Y ) ⊂ f (Y ).
−1
(3) ⇒ (2): Sea C 0 ⊂ X 0 cerrado y C = f (C 0 ). Como C 0 = C 0 por §2.1.1-(9); tenemos que f (C) ⊂
−1
f (C) = C 0 = C 0 ; de donde C ⊂ f (C 0 ) = C. Ahora bien, por la definición en §2.1.1-(8) tenemos que
C ⊂ C, luego son iguales.
Proposición 2.2.2. La composición de funciones continuas es continua.
g
f
-Y
- Z funciones continuas entre espacios topológicos. Dado
[Demostración] Sean X
−1
cualquier abierto A ⊂ Z; puesto que g es continua se tiene que g (A) es abierto en Y . Puesto que
−1
−1
−1
f es continua se tiene que (gf ) (A) = f
g (A) es abierto en X.
Un homeomorfismo es una biyección X
es continua.
f
Proposición 2.2.3. Una biyección continua X
Y ⊂ E.
- X 0 tal que f es continua y su inversa g = f −1 también
f
- X 0 es homeomorfismo ⇔ f (Y ) = f (Y ) para todo
12
G. PADILLA
[Demostración] Es inmediata de §2.2.1.
Una base de entornos de un punto x ∈ X es una familia V de entornos de x tal que, dado cualquier
entorno Y de x, existe algún V ∈ V tal que x ∈ V ⊂ Y . Si V ⊂ T decimos que es una base de entornos
f
- X 0 es continua en x ∈ X ⇔ para cada entorno V 0 de f (x) existe algún
abiertos. Diremos que X
entorno V de x tal que f (V ) ⊂ V 0 .
Lema 2.2.4. En todo espacio topológico (X, T );
(1) V(x) = {A : A ∈ T , x ∈ A} es una base de entornos abiertos de x.
(2) Si A y A0 son dos bases de entornos abiertos de x entonces {A ∩ A0 : A ∈ A, A0 ∈ A0 } es una
base de entornos de x.
[Demostración] Trivial.
Lema 2.2.5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X
(2) f
−1
f
- X 0 es continua en x.
n −1
o
[A] = f (V ) : V ∈ A es una familia de entornos de x; para cada base de entornos A de
f (x).
[Demostración] (1) ⇒ (2): Si V ∈ A es un entorno de f (x) entonces, como f es continua en x, existe
−1
−1
algún entorno U de x tal que f (U ) ⊂ V . En tal caso x ∈ U ⊂ f (V ) de donde f (V ) también es un
−1
entorno de x. Se deduce que f [A] es una familia de entornos de x.
(2) ⇒ (1): Dado cualquier entorno V 0 de f (x); sea A la familia de todos los entornos de f (x). Puesto
−1
que V 0 ∈ A; por (2) se tiene que f (V 0 ) es un entorno de x. De la arbitrariedad de V 0 se deduce que f
es continua en x.
Lema 2.2.6. X
f
- X 0 es continua ⇔ es continua en todo punto de X.
[Demostración] (⇒) Dado x ∈ X y un entorno V 3 f (x) en X 0 ; sea A 3 f (x) cualquier abierto tal
−1
que A ⊂ V . Como f es continua, W = f (A) es abierto en X y x ∈ W . Por construcción f (W ) ⊂ V .
−1
−1
(⇐) Sea A ⊂ X 0 cualquier abierto. Si f (A) = ∅ entonces es abierto. Supongamos que f (A) 6= ∅.
−1
Entonces, para cada x ∈ f (A) se tiene que A es un entorno abierto de f (x). Puesto que f es continua
−1
en x, existe algún entorno V ⊂ X de x tal que f (V ) ⊂ A, luego x ∈ V ⊂ f (A). Se deduce que todo
−1
−1
punto de f (A) es un punto interior. Por §2.1.1-(5), f (A) es abierto.
2.3. Bases y sub-bases.
Lema 2.3.1. La intersección T = ∩Ti de cualquier familia de topologı́as {Ti }i de X es una topologı́a de
i
X.
[Demostración] Es inmediato de los axiomas de topologı́a, cf. 2.1.
Proposición 2.3.2. Dado un conjunto X y una familia de subconjuntos S ⊂ P(X) hay una topologı́a
minimal T (S) que satisface:
(1) S ⊂ T (S).
TOPOLOGIA GENERAL
13
(2) Si T es cualquier topologı́a de X y S ⊂ T entonces T (S) ⊂ T .
(3) A ∈ T (S) ⇔ A = ∅, ó A = X, ó A se puede escribir como unión de intersecciones finitas de
elementos de S.
[Demostración] Sea
T = {T ⊂ P(X) : S ⊂ T y T es una topologı́a de X}
Esta familia no es vacı́a pues P(X) ∈ T. Tomamos como T (S) a la intersección de todas las topologı́as
en T. Entonces (1) y (2) son inmediatas. Para demostrar (3) sea
T0 = {∅, X} ∪ { uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de S}
Entonces
• T0 es una topologı́a: Que T0 es cerrada por uniones arbitrarias se deduce directamente de la
definición. Veamos que T0 es cerrada por intersecciones finitas. Sea A1 , . . . , An una colección
finita de conjuntos en T0 ; y apliquemos inducción en n. Para
n = 1 es trivial. Para n > 1 podemos
asumir por hipótesis inductiva que A = A1 ∩ · · · ∩ An−1 ∈ T0 . Sea B = An y escribamos
A = ∪ Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi
B = ∪ Sj,1 ∩ · · · ∩ Sj,mj
i∈I
j∈J
donde I, J son dos conjuntos arbitrarios de ı́ndices y Sk,l ∈ S para cualesquiera k, l. Entonces,
por las leyes de DeMorgan,
A∩B = ∪ ∪
i∈I j∈J
h
Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi
i
∩ Sj,1 ∩ · · · ∩ Sj,mj
es unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de S; luego A1 ∩ · · · ∩ An = A ∩ B ∈ T0 .
• Si S ⊂ T y T es una topologı́a entonces T0 ⊂ T : Si T es cualquier topologı́a que contiene a S
entonces todo conjunto A ∈ T0 , que se escribe de la forma A = ∪ Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi , pertenece
i∈I
a T por los axiomas de topologı́a. Se deduce que T0 ⊂ T .
• T0 = T (S): La contención ⊂ es consecuencia del paso anterior. La contención ⊃ se deduce de
que T (S) satisface la propiedad (2).
Fijemos a continuación un espacio topológico (X, T ). Diremos que S es una sub-base de X ⇔ T =
T (S). Una familia de subconjuntos B ⊂ P(X) es una base de (X, T ) ⇔
• B⊂T.
• Todo abierto se escribe como una unión de subconjuntos de la familia B.
Si B es una base, los subconjuntos de la familia B se llaman abiertos básicos.
Lema 2.3.3. Toda base es una sub-base. Por otra parte, si S es una sub-base, entonces la familia B
dada por todas las intersecciones finitas de subconjuntos en S es una base.
[Demostración] La primera afirmación es inmediata de §2.3.2 y la definición de una sub-base; si B es
una base de (X, T ) entonces T (B) = T . Por otra parte, si S es una sub-base entonces T = T (S). Por
§2.3.2, todo abierto se escribe como uniones arbitrarias de intersecciones finitas de subconjuntos de la
familia S. Si B es la familia de las intersecciones finitas de subconjuntos de la familia S entonces B ⊂ T
pues las intersecciones finitas de abiertos son abiertas. Más aún, todo abierto se escribe como unión
arbitraria de subconjuntos de la familia B; luego B es una base.
14
G. PADILLA
Proposición 2.3.4. Sea (X, T ) un espacio topológico y B ⊂ T una familia de abiertos. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes
(1) B es una base.
(2) Dado cualquier entorno V de x existe algún U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ V .
◦
[Demostración] (1) ⇒ (2): Sea V un entorno de x. El interior V es un abierto de X que contiene a
◦
x; luego se puede escribir como unión arbitraria de algunos abiertos básicos, digamos V = ∪Ui tales que
i
cada Ui ∈ B es un abierto básico. Entonces x ∈ Ui para algún i; luego x ∈ Ui ⊂ V .
(2) ⇒ (1): Sea A abierto. Para cada x ∈ A sea Ux ∈ B algún abierto tal que Ux ⊂ A. Entonces
A = ∪ Ux . Luego todo abierto se escribe como arbitraria de subconjuntos de la familia B; es decir B es
x∈A
una base.
2.4. Topologı́a producto. Dado un espacio topológico (Y, T ), un conjunto X 6= ∅ y una función
f
f
−1
- Y ; la familia T = {f (A) : A ∈ T } es la topologı́a más pequeña en X tal
cualquiera X
f
que f es continua, llamamos a T la topologı́a inicial inducida por f . Más en general, una situación
similar se puede reproducir para cualquier familia de espacios topológicos no vacı́os.
Proposición 2.4.1. Dado un conjunto X 6= ∅, una familia {(Xi , Ti : i ∈ I)} de espacios topológicos y
n −1
o
f
ifunciones X
Xi para cada i; y sea S = fi (A) : A ∈ Ti , i ∈ I . Entonces T (S) es la topologı́a
más pequeña en X tal que todas las fi son continuas.
[Demostración] Que T (S) es una topologı́a es inmediato de §2.3.2 y esta es la topologı́a más pequeña
que contiene a S. Si T es cualquier otra topologı́a en X tal que todas las funciones fi son continuas
entonces, por la def. de continuidad §2.2 y la def. de S se tiene trivialmente que S ⊂ T . Por construcción
T (S) ⊂ T .
Esta T (S) dada en el enunciado de §2.4.1 es la topologı́a inicial inducida por las {fi , i ∈ I}. En
particular, para cada familia de espacios topológicos no vacı́os {(Xi , Ti )}i , la topologı́a producto en
Q
π
iX = Xi es la topologı́a inicial inducida por las proyecciones coordenadas X
Xi , πi (x) = xi .
i
Dotado de dicha topologı́a llamamos a X el espacio producto de los Xi -es.
Proposición 2.4.2. Sea X =
Q
Xi el espacio producto de una familia {(Xi , Ti ) : i ∈ I} de espacios
i
topológicos no vacı́os. Una base de X es dada por todos los subconjuntos de la forma

Aj1 × · · · × Ajn × 

Y
Xj 
n ∈ N; j1 , . . . , jn ∈ J ; Ajk abierto en Xjk ∀k = 1, . . . , n
j∈I\{j1 ,...,jn }
[Demostración] Dado i ∈ I y cualquier abierto Ai en Xi , notemos que Ai ×
Q
−1
Xj = πi (Ai ) es
j6=i
un subconjunto de la familia S que genera la topologı́a inicial en el producto cartesiano cf.§2.4.1. Por
§2.3.3 una base B de X es dada por la familia de las intersecciones finitas de estos subconjuntos. Un
TOPOLOGIA GENERAL
15
subconjunto de B, e.d. un abierto básico cualquiera, se escribe entonces de la forma


Y
−1
−1
A=π
Aj ∩ · · · ∩ π
Xj 
Aj = Aj × · · · × Aj × 
j1
jn
1
n
n
1
j∈I\{j1 ,...,jn }
para cierta familia finita de subı́ndices.
Corolario 2.4.3. Si X = X1 × · · · × Xn es un producto finito de espacios topológicos, entonces todo
abierto en X se escribe de la forma A = A1 × · · · × An donde cada Aj es abierto en Xj para j = 1, . . . , n.
A continuación estudiamos las funciones continuas en espacios producto.
Q
Proposición 2.4.4. Sea X = Xi el producto cartesiano de una familia {(Xi , Ti ) : i ∈ I} de espacios
i
topológicos no vacı́os, dotado de la topologı́a producto. Una función Y
i la composición con la i-ésima proyección Y
f
-X
π
i
f
- X es continua ⇔ para cada
- X es continua.
i
[Demostración] (⇒) Es directa de §2.2.2. (⇐) Basta ver la continuidad de f sobre la familia de
abiertos básicos dada en §2.4.2. Sea


Y
−1
−1
A = πj1 Aj1 ∩ · · · ∩ πjn Ajn = Aj1 × · · · × Ajn × 
Xj 
j∈I\{j1 ,...,jn }
un abierto básico de X. Dado que cada composición πi f es continua para todo i, tenemos que Bjk =
−1 −1
f
πj Ajk
es abierto en Y para cada k = 1, . . . , n. Luego
k
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
f (A) = f
πj1 Aj1 ∩ · · · ∩ πjn Ajn = f
πj1 Aj1 ∩ · · · ∩ f
πjn Ajn = Bj1 ∩ · · · ∩ Bjn
es abierto en Y .
Por la proposición anterior solemos decir que una función en un espacio producto es continua si y sólo
si es continua coordenada a coordenada.
2.5. Espacios cociente. Dado un espacio topológico no vacı́o (X, T ), un conjunto Y 6= ∅ y una función
f
- Y ; T = {A ⊂ Y : f −1 (A) ∈ T } es la topologı́a más grande en Y tal que f es
cualquiera X
f
continua. Esta Tf es la topologı́a final inducida por las f . En particular
f
Proposición 2.5.1. Dado un espacio topológico no vacı́o (X, T ), y una función sobreyectiva X
(1) La relación ”a ∼f b ⇔ f (a) = f (b)” es una equivalencia en X.
-Y;
π
- X/ ∼ es la proyección cociente que manda a cada punto x en su clase de equivalencia
(2) Si X
f
[x]; entonces (X/ ∼f , Tπ ) ∼
= (Y, Tf ).
[Demostración] (1) Es trivial. (2) Veamos que la biyección inducida X/ ∼f
−1
f
- Y dada por
−1
−1
f [x] = f (x) es un homeomorfismo. Dado un subconjunto A ⊂ Y notemos que f (A) = π (f (A)) es
−1
unión de clases de equivalencia (es un conjunto ”saturado”). Ahora bien, A es abierto en Y ⇔ f (A) es
16
G. PADILLA
−1
abierto en X ⇔ f (A) es abierto en X/ ∼f ; de aquı́ se deduce que f es continua. La continuidad de la
inversa de f se ve de modo similar.
La proposición anterior garantiza que, cuando f es sobreyectiva, la topologı́a final inducida por f se
puede obtener de un cociente en X por clases de equivalencia. Por ello la llamamos topologı́a cociente.
En adelante, dado un espacio topológico (X, T ) y una relación de equivalencia cualquiera ∼ en X; siempre
π
- X/ ∼ y hablamos del
dotamos a X/ ∼ de la topologı́a cociente Tπ inducida por la proyección X
espacio cociente X/ ∼. Un subconjunto A ⊂ X es π-saturado ⇔ A es unión de clases de equivalencia
−1
⇔ A = π (B) para algún B ⊂ X/ ∼.
Proposición 2.5.2. Principio de trasgresión: Sea X/ ∼ un espacio cociente. Una función cualquiera
X/ ∼
g
- Z es continua ⇔ la composición X
gπ
- Z es continua.
[Demostración] (⇒) Es directa de §2.2.2. (⇐) Supongamos que gπ es continua y sea A ⊂ Z abierto.
−1
−1
−1
−1
Entonces (gπ) (A) = π (g (A)) es abierto en X. Como X/ ∼ tiene la topologı́a cociente, g (A) es
abierto en X/ ∼.
Si R, R0 son dos relaciones de equivalencia en X, decimos que R0 refina a R y escribimos R0 ≺ R
si y sólo si vale el siguiente condicional (x, y) ∈ R0 ⇒ (x, y) ∈ R. En otras palabras: R0 ≺ R ⇔ toda
clase de equivalencia en R es unión de clases de equivalencia en R0 . Vistas en términos de las particiones
inducidas, R0 ≺ R ⇔ la partición inducida por R0 refina a la partición inducida por R.
Corolario 2.5.3. Si R, R0 son equivalencias en X y R0 refina a R entonces
X/R0
π
- X/R
[x]R0 7→ [x]R
es continua.
[Demostración] Si πR , πR0 son las proyecciones de X en X/R y X/R0 respectivamente, entonces
πR 0 π = πR .
2.6. Axiomas de numerabilidad. Dado un espacio topológico (X, T ) diremos que
• X satisface el primer axioma de numerabilidad o es ”1-numerable” ⇔ todo punto en X
posee una base numerable de entornos abiertos.
• X satisface el segundo axioma de numerabilidad o es ”2-numerable” ⇔ X posee una base
numerable.
2.6.1. Ejemplos. Notemos que
(1) Todo espacio 2-numerable es 1-numerable.
(2) Todo espacio métrico (E, d) es 1-numerable: La topologı́a es dada por las bolas abiertas. En todo
punto x ∈ E una base de entornos de x es dada por las bolas abiertas B(x, δ) con radio racional
+
no negativo δ ∈ Q .
n
n
(3) El espacio euclı́deo R es 2-numerable: Una base de R es dada por las bolas de radio racional
centradas en puntos de coordenadas racionales.
TOPOLOGIA GENERAL
17
2.7. Subespacios topológicos. Dado un subconjunto Y ⊂ X la topologı́a relativa de Y en X es
la familia TY = {Y ∩ A : A ∈ T }. Dotado con la topologı́a TY decimos que Y es subespacio de X; y
f
f
- X tal que Z
- f (Z) es
escribimos Y ≤ X. Un embebimiento es una función continua Z
un homeomorfismo de Z en su imagen f (Z) como subespacio de X. Si existe un embebimiento de Z en
X decimos que Z es embebible en X y escribimos Z ≺ X.
Lema 2.7.1. Sea (X, T ) espacio topológico y Y ⊂ X un subespacio. Entonces
(1) C 0 ⊂ Y es cerrado en Y ⇔ C 0 = Y ∩ C con C ⊂ X cerrado en X.
(2) Para cada Z ⊂ Y ⊂ X escribamos Z Y para la adherencia de Z como subconjunto del espacio
(Y, TY ). Entonces Z Y = Z ∩ Y .
[Demostración] (1) C 0 es cerrado en Y ⇔ A0 = Y \C 0 es abierto en Y ⇔ A0 = A ∩ Y donde A ⊂ X
es abierto en X. Entonces C = X\A satisface C ∩ Y = (X\A) ∩ Y = Y \A = Y \A0 = C 0 . (2) Por el paso
anterior y las propiedades de la adherencia, se tiene directamente que
Z Y = ∩{C 0 : Z ⊂ C 0 , C 0 cerrado en Y }
= ∩{C ∩ Y : Z ⊂ C, C cerrado en X}
= ∩{C : Z ⊂ C, C cerrado en X} ∩ Y
=Z ∩Y
Lema 2.7.2. Sea (X, T ) espacio topológico.
(1) Dado un subconjunto Y ⊂ X dotado de alguna topologı́a T 0 :
(a) La inclusión (Y, T 0 )
ı
- (X, T ) es continua ⇔ T ⊂ T 0 .
Y
ı
- (X, T ) es un embebimiento ⇔ T = T 0 .
(b) La inclusión (Y, T 0 )
Y
(2) Y ≤ X ⇒ Y ≺ X.
(3) Z ≺ X ⇔ Z ∼
= Y para algún Y ≤ X.
−1
[Demostración] (1) Para cada subconjunto Z ⊂ X la preimagen ı (Z) = Z ∩ Y es la intersección de
Z con Y . De este modo, ı es continua ⇔ A ∩ Y ∈ T para todo abierto A ⊂ X; es decir ⇔ T 0 ⊂ TY .
Esto demuestra (a) , (b) es inmediata.
(2) Es consecuencia de (1)-(b).
(3) Directa de la definición.
La frontera topológica de un subconjunto Y ⊂ X es la intersección de su adherencia con la adherencia de su complemento relativo: ∂Y = Y ∩ X\Y . Diremos que Y es denso en X ⇔ Y = X. Diremos
◦
que Y es nunca denso en X ⇔ Y = ∅.
2.8. Conexidad. Fijemos un espacio topológico (X, T ). Una disconexión de X es una partición de X
en dos subconjuntos disjuntos, abiertos y no vacı́os X = A t B; A, B ∈ T , A 6= ∅, B 6= ∅. Decimos que
X es conexo si no existe ninguna disconexión de X.
Proposición 2.8.1. X es conexo ⇔ Los únicos subconjuntos abiertos y cerrados de X son ∅ y el propio
X.
18
G. PADILLA
[Demostración] (⇒): Si A ⊂ X es un conjunto abierto y cerrado entonces X = A t (X\A) es una
partición de X en dos conjuntos abiertos. Por hipótesis X no posee disconexiones, luego A = ∅ ó
(X\A) = ∅, en este último caso A = X.
(⇐): Si X = A t B es una partición cualquiera de X en dos abiertos disjuntos; como B = X\A es abierto
se tiene que A es cerrado. Entonces por hipótesis A = ∅ ó A = X, en este último caso B = ∅. Se deduce
que X no posee disconexiones.
Un espacio discreto es un espacio topológico (Z, P(Z)) tal que la topologı́a en Z es toda la familia de
partes de Z. Una función discreta en X es una función continua X
Z.
f
- Z en algún espacio discreto
Proposición 2.8.2. X es conexo ⇔ toda función discreta en X es constante.
[Demostración] Para cualquiera de los casos X = ∅ ó X = {x} la equivalencia es trivial. Podemos
asumir que X posee más de un punto. Verificamos ambos condicionales por contrarrecı́proco.
f
- Z discreta y no constante. Fijemos algún z ∈ f (X).
(⇒): Supongamos que existe alguna función X
−1
Entonces f (X) ⊂ Z posee más de un punto, por lo cual Z\{z} =
6 ∅. Tomando las preimágenes A = f (z)
−1
y B = f (Z\{z}) obtenemos una disconexión X = A t B; luego X no es conexo.
(⇐): Si X no es conexo fijemos alguna disconexión X = AtB. Puesto que A, B son abiertos disjuntos no
vacı́os, si consideramos el espacio 2 = {0, 1} con la topologı́a discreta, entonces la función caracterı́stica
1
x∈A
-2
1A : X
1A (x) =
0
x 6∈ A
−1
−1
−1
−1
es continua. En efecto 1A (2) = X, 1A (1) = A, 1A (0) = B y 1A (∅) = ∅. Se deduce que 1A es una
función discreta no constante.
Corolario 2.8.3. La adherencia de un subespacio conexo es conexa.
[Demostración] Sea Y ⊂ X un subespacio conexo. Por la def. de la topologı́a de subespacio, una
disconexión de Y es dada por un par de abiertos A, B ⊂ X tales que
• Y ⊂ A ∪ B.
• A∩B∩Y =∅
Puesto que Y ⊂ Y notemos que Y ⊂ A ∪ B, y A ∩ B ∩ Y ⊂ A ∩ B ∩ Y = ∅, luego A ∩ B ∩ Y = ∅. Se deduce
que A, B son una disconexión de Y . Puesto que Y es conexo, se tiene que A ∩ Y = Y o B ∩ Y = Y .
Sin pérdida de generalidad supongamos que A ∩ Y = Y , es decir, que Y ⊂ A. Entonces, por la def. de
adherencia, Y ⊂ A. Se deduce que A, B son una disconexión trivial de Y , luego Y es conexo.
Proposición 2.8.4. [Propiedades de la conexidad]
(1) La imagen de un espacio conexo por una función continua es conexa.
(2) La unión de subespacios conexos no disjuntos 2 a 2 es conexa.
(3) En todo espacio topológico X, la relación ”a ∼ b ⇔ ∃Y ⊂ X tal que Y es un subespacio
conexo y a, b ∈ Y ”; es una equivalencia en X.
[Demostración] (1) Sea X conexo y X
f
- Y cualquier función continua. Si f (X)
g
- Z es
TOPOLOGIA GENERAL
19
cualquier función discreta entonces la composición gf también es discreta; puesto que X es conexo gf es
constante; luego g es constante.
(2) Sea {Yi : i ∈ I} cualquier familia de subespacios conexos de X, tales que Yi ∩Yj 6= ∅ para cualesquiera
f
i, j ∈ I; y escribamos Y = ∪Yi . Si X
- Z es cualquier función discreta entonces las restricciones
i
fi = f |Yi son constantes para cada i ∈ I. Es inmediato que fi |Yi ∩Yj = fj |Yi ∩Yj para cada i, j; de donde
f |Y es constante. Se deduce que toda función discreta definida en Y es constante. Por la arbitrariedad
de f se tiene que Y es conexo.
(3) La relación es reflexiva pues para todo x ∈ X el átomo {x} es conexo. La simetrı́a es trivial. Para
la transitividad supongamos que a ∼ b y b ∼ c. Sean Y, Z ⊂ X subespacios conexos tales que a, b ∈ Y y
b, c ∈ Z. Puesto que b ∈ Y ∩ Z 6= ∅, por el paso enterior, Y ∪ Z es un subespacio conexo que contiene a
a, c; luego a ∼ c.
2.9. Componentes conexas. Una componente conexa de X es un subespacio conexo de X que es
maximal por contenciones. Toda componente conexa de X es una clase de equivalencia de la relación
definida en §2.8.4-(3). anterior. Por §2.8.3 toda componente conexa es cerrada. Una equivalencia más
débil es la siguiente:
(1)
a ∼ b ⇔ f (a) = f (b)
f
∀X
- Z discreta
Una casi-componente de X es una clase de equivalencia de la relación anterior.
Lema 2.9.1. [Propiedades de las componentes conexas]
(1) Toda componente conexa es cerrada.
(2) Toda casi-componente es cerrada.
(3) Toda componente conexa de X está contenida en una casi-componente.
(4) Toda casi-componente es unión de componentes conexas.
(5) X es la unión disjunta de sus componentes conexas (resp. de sus casi-componentes).
[Demostración] Procedemos por pasos: (1) Por §2.8.3.
(2) Dado x ∈ X la casi-componente que contiene a x es su clase de equivalencia por la relación §2.9-(1);
es decir,
(
Cx =
Es suficiente notar que Cx =
)
y ∈ X : f (x) = f (y)∀ X
∩
f discreta
f
−1
f
- Z discreta
(f (x)) es intersección de cerrados en X.
(3) Por §2.8.2.
(4) De nuevo por Por §2.8.2, la relación de equivalencia §2.8.4-(3) es más fuerte que (refina a) la equivalencia de arriba §2.9-(eq equivalencia casi-componentes).
(5) Trivial.
Diremos que X es localmente conexo si todo punto de X posee una base de entornos conexos.
20
G. PADILLA
Lema 2.9.2. Si X es localmente conexo entonces
(1) Toda componente conexa es abierta.
(2) Las componentes conexas coinciden con las casi-componentes.
[Demostración] (1) Sea C ⊂ X una componente conexa y x ∈ C. Dado cualquier entorno abierto
conexo Ux 3 x, por la maximalidad de las componentes, tenemos que Ux ⊂ C. Entonces C es la unión
de los abiertos Ux variando a x ∈ C; luego C es abierto.
(2) Por §2.9.1-(4); si C 0 es una casi-componente entonces es unión de componentes conexas; digamos
C 0 = tCi . Por el paso (1) de esta demostración cada componente conexa Ci es abierta; luego C 0 es
i
abierta. Ahora bien; por §2.9.1-(2) C 0 es cerrada. Puesto que en X los subconjuntos cerrados y abiertos
maximales son precisamente sus componentes conexas, se deduce que C 0 es ella misma una componente
conexa.
f
- X continua, tal que f (0) = a y
2.10. Conexidad por arcos. La relación ”a ∼ b ⇔ ∃[0, 1]
f (1) = b” es una equivalencia. Una componente arco-conexa de X es un clase de equivalencia de la
relación anterior. Diremos que X es arco-conexo ⇔ para todo par de puntos a, b ∈ X se tiene a ∼ b; es
decir ⇔ X posee una sola clase de equivalencia por dicha relación. Con un procedimiento similar al de
§2.8.4-(2) se puede verificar que la unión de subespacios arcoconexos no disjuntos 2 a 2 es un subespacio
arcoconexo, luego una componente arco-conexa de X es un subespacio arco-conexo maximal de X. Un
espacio X es localmente arco-conexo ⇔ todo punto de X posee una base de entornos arco-conexos.
Lema 2.10.1. [Propiedades de la conexidad por arcos]
(1) El intervalo [0, 1] es conexo.
(2) Todo espacio arco-conexo es conexo.
(3) Todo espacio localmente arco-conexo es localmente conexo.
(4) Toda componente arco-conexa está contenida en alguna componente conexa.
(5) Toda componente arco-conexa es abierta y cerrada.
(6) Si X es localmente arco-conexo entonces toda componente arco-conexa es una componente
conexa.
[Demostración] (1) Vamos por reducción al absurdo: Supongamos que existe una función discreta y no
f
- 2 = {0, 1}. Como [0, 1] es un espacio métrico la continuidad se expresa en términos
constante [0, 1]
de lı́mites y sucesiones. Supongamos sin pérdida de generalidad que f (0) = 0. Ya que f no es constante,
−1
f ({1}) es un subconjunto no vacı́o y acotado, contenido en [0, 1]. Sea a = inf{t ∈ [0, 1] : f (t) = 1}.
Por construcción a > 0 y f (t) = 0 para todo t ∈ [0, a). Pero entonces existe un entero positivo n > 0
1
suficientemente grande tal que la sucesión {tm = a − m
: m > n} está contenida en [0, a) y converge a
a. Sin embargo f (tm ) = 0 para todo m, y f (a) = 1. En términos de lı́mites, para todo δ < 1/n existe
m > n tal que |tm − a| < δ y sin embargo |f (tm ) − f (a)| = 1; es decir, f no es continua en a; luego no es
una función discreta.
(2) Sea X un espacio arcoconexo y X
[0, 1]
σ
f
- Z una función discreta.
Dados cualesquiera a, b sea
- X un camino continuo tal que σ(0) = a y σ(1) = b. Por el paso anterior [0, 1] es conexo.
TOPOLOGIA GENERAL
21
Puesto que la composición g = f σ es continua, es una función discreta definida en [0, 1]; luego es constante. Se deduce que f (a) = g(0) = g(1) = f (b). Dejando fijo a a ∈ X y moviendo arbitrariamente a
b ∈ X se deduce que f ≡ f (a) es la función constante de valor f (a). Por §2.8.2 y la arbitrariedad de f ,
se deduce que X es conexo.
(3) Consecuencia del paso (2).
(4) Consecuencia del paso (2).
(5) Sea C0 una componente arco-conexa. Por la condición de arco-conexidad local C0 es abierta (la dem.
es análoga a la de §2.9.2-(1) para componentes conexas). Veamos que C0 es cerrada; para ello, sea C la
componente conexa que contiene a C0 . Escribamos a C = C0 t Cj como unión de algunas componentes
j
arco-conexas en X. Con el mismo argumento de antes, cada Cj es abierta. Por el paso (3) de esta
demostración X es localmente conexo; por §2.9.1-(1) C es cerrado. Entonces
C0 = C\ t Cj = C ∩ X\ t Cj
j6=0
j6=0
es intersección de dos cerrados, luego es cerrado.
(6) Es consecuencia del paso anterior; la demostración es análoga a la de §2.9.2-(2).
2.11. Separación. Estos son los axiomas de separación en un espacio topológico (X, T ):
T0 Dados dos puntos diferentes en X, existe un abierto que contiene a sólo uno de los dos.
T1 Dados dos puntos x 6= y en X, existe un abierto que contiene a x y no a y; y otro entorno que
contiene a y y no a x.
T2 Propiedad de Hausdorff: Dados dos puntos x 6= y en X, existen dos abiertos disjuntos
A ∩ B = ∅ tales que x ∈ A, y ∈ B.
T3 Regularidad: X es T1 y dado un cerrado C ⊂ X y un punto x ∈ X\C, existen dos abiertos
disjuntos A ∩ B = ∅ tales que x ∈ A, C ⊂ B.
T4 Normalidad: X es T1 y dados dos cerrados disjuntos C, D ⊂ X, C ∩ D = ∅ existen dos abiertos
disjuntos A ∩ B = ∅ tales que C ⊂ A, D ⊂ B.
Por ejemplo: En un espacio T0 los puntos se pueden distinguir por los abiertos a los que pertenecen.
En un espacio T1 todo conjunto unitario es cerrado. Esta es otra manera de caracterizar la regularidad
y la normalidad:
Lema 2.11.1. Si X es un espacio T1 entonces
(1) X es regular ⇔ dado x ∈ X y un entorno abierto U de x existe un abierto A tal que
x ∈ A ⊂ A ⊂ U.
(2) X es normal ⇔ dado un cerrado C ⊂ X y un entorno U ⊃ C existe un abierto A tal que
C ⊂ A ⊂ A ⊂ U.
[Demostración] (1) Vemos el doble condicional: (⇒) El cerrado C = X\U es disjunto de x. Por
regularidad existen abiertos disjuntos A, B ⊂ X que separan a x de C. Es decir, A ∩ B = ∅, x ∈ A y
C ⊂ B. De ello se deduce que A ∩ C = ∅, es decir, A ⊂ U . (⇐) Recı́procamente, si vale la propiedad
citada, C es cualquier cerrado y x 6∈ C es un punto fuera de C; entonces U = X\C es un entorno abierto
de x. Basta tomar cualquier abierto A 3 x tal que A ⊂ U . Por construcción C = X\U ⊂ X\A = B y B
es un abierto disjunto de A.
(2) Se procede de modo similar al primer paso sustituyendo a x por un cerrado D disjunto de C.
22
G. PADILLA
El axioma de separación más importante es posiblemente el axioma T2 o axioma de Hausdorff.
Proposición 2.11.2. [Propiedades de los espacios Hausdorff ]
(1) Todo subespacio de un espacio Hausdorff es Hausdorff.
(2) El producto cartesiano de una familia de espacios Haudorff (con la topologı́a producto) es
Hausdorff.
(3) Un espacio Hausdorff X es regular ⇔ para cada x ∈ X los entornos cerrados de x forman una
base de entornos.
[Demostración] (1) Si Y ⊂ X es un subespacio de X y éste último es Hausdorff entonces, dados
cualesquiera a, b ∈ Y diferentes, basta tomar dos abiertos U, V ⊂ X que los separen, e.d. U ∩ V = ∅,
a ∈ U y b ∈ V . Entonces U 0 = U ∩ Y y V 0 = V ∩ YQson abiertos que separan a a, b en Y .
Sea Xi una familia de espacios Hausdorff y X = Xi el espacio producto. (2) Si x, y son dos puntos
i
diferentes en X entonces sus coordenadas xi , yi difieren en algún ı́ndice i. Basta tomar dos abiertos
e = U × Q X y Ve = V × Q X son dos abiertos básicos
Ui , Vi ⊂ Xi que separen a xi de yi . Entonces U
i
j
i
j
j6=i
j6=i
en X que separan a x, y.
(3) Es directa de §2.11.1.
Proposición 2.11.3. Todo subespacio de un espacio regular es regular.
[Demostración] Sea X un espacio regular y Y cualquier subespacio. Primero que nada notemos Y
es T1 . La regularidad de Y es consecuencia del comportamiento de las adherencias en subespacios, cf.
§2.7.1, y la caracterización de la regularidad con bases de entornos cerrados, cf.§2.11.1.
2.12. Más ejercicios de topologı́a.
(1) Muestra que los siguientes son ejemplos de espacios topológicos:
(a) La topologı́a trivial o ”indiscreta”: X cualquier conjunto y T = {∅, X}.
(b) La topologı́a ”discreta”: X cualquier conjunto y T = P(X) la familia de todos los subconjuntos de
X.
(c) La topologı́a del ”orden”: (X, <) cualquier conjunto parcialmente ordenado y T la topologı́a generada familia de todos los segmentos iniciales Ix = {y : y < x} y finales Fx = {y : x < y}, variando
a x ∈ X.
(d) La topologı́a ”métrica”: (X, d) cualquier espacio métrico y T la familia de todos subconjuntos
abiertos en el sentido de 1.1.
(e) La topologı́a ”cofinita”: X cualquier conjunto de cardinal infinito y T contiene a ∅ y a todo subconjunto A cuyo complemento X\A es finito.
(2) Da un ejemplo de un espacio métrico que no satisfaga el 2do axioma de numerabilidad.
(3) Sea X = N ∪ {N} con la topoloı́a T inducida por el orden entre cardinales. Muestra que no existe una
distancia d definida en X que induzca a T .
f
−1
- X 0 es continua ⇔ f (S) es abierto para todo S ∈ S.
(4) Si S es una sub-base de X; muestra que X
(5) Verifica que las definiciones de interior, adherencia y frontera en espacios topológicos coinciden con las
dadas en 1 cuando la topologı́a proviene de una métrica.
◦
◦
(6) Dado un espacio topológico (X, T ) verifica que X\A = X\A y X\A = (X\A).
(7) Dado un espacio topológico (X, T ) y una familia de subconjuntos {Yi }i muestra que
◦
◦
(∩Yi ) ⊂ ∩Yi
i
i
TOPOLOGIA GENERAL
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
23
Da un ejemplo de una tal familia para la cual no se tiene la igualdad. Halla una relación similar para las
adherencias.
◦
Dado un espacio topológico (X, T ) y Y ⊂ X muestra que X = Y t ∂Y t (X − Y ).
Muestra que un espacio métrico es 2-numerable ⇔ posee un subconjunto numerable y denso. En tal caso
decimos que el espacio es separable.
Verifica que la unión finita de subconjuntos nunca densos es nunca densa.
Si Y ⊂ X es conexo en X y Y ⊂ Z ⊂ Y entonces Z es conexo.
Muestra que el intervalo [0, 1] es conexo en R.
(13) Sea X = {(0, 0); (0, 1)} ∪
t {1/n} × [0, 1]
2
⊂ R con la topologı́a de subespacio. Mostrar que {(0, 0)}
n∈N+
y {(0, 1)} son componentes conexas, pero no son casi-componentes.
(14) Muestra que
(a) En un espacio regular todo par de puntos distintos pueden ser separados por dos abiertos cuyas
adherencias son disjuntas.
(b) En un espacio normal todo par de cerrados disjuntos pueden ser separados por dos abiertos cuyas
adherencias son disjuntas.
(1) Toda topologı́a del orden es regular.
f,g
(2) Si X
- Y son continuas y Y es Hausdorff, entonces {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado.
3. Espacios compactos
Fijamos un espacio topológico (X, T ).
3.1. Compacidad. Un cubrimiento de Y ⊂ X es cualquier familia de subconjuntos de X cuya unión
contiene a Y . Un subcubrimiento de Y es una subfamilia de un cubrimiento de Y tal que ella misma
es un cubrimiento de Y . Decimos que X es compacto ⇔ posee la propiedad de Heine-Borel: De cada
cubrimiento abierto de X se puede extraer un subcubrimiento (abierto) finito.
(1)
(2)
(3)
(4)
f
- Y es continua y X es compacto entonces f (X) es compacto.
Si X
El cociente de un espacio compacto es compacto.
Si Z ⊂ Y ⊂ X y Z es compacto en Y entonces Z es compacto en X.
Si X es compacto y Y ⊂ X es cerrado entonces Y es compacto.
Lema 3.1.1. El intervalo [0, 1] es compacto en R .
[Demostración] Sea U cualquier cubrimiento abierto de [0, 1] y sea
S = {t ∈ [0, 1] : [0, t] posee un subcubrimiento finito de U}
Puesto que 0 ∈ S, tenemos que éste es un conjunto no vacı́o y superiormente acotado en R. Sea b = sup(S)
el supremo de dicho conjunto. Notemos que si t ∈ S y 0 ≤ s ≤ t entonces [0, s] ⊂ [0, t] se cubre con
un número finito de abiertos de U, es decir que s ∈ S. De dicha observación se deduce que S es un
intervalo; luego S = [0, a) ó S = [0, a] para algún a ≤ b. Por unicidad del supremo se deduce que a = b,
es decir S = [0, b) ó S = [0, b]. Si b 6∈ S entonces basta tomar cualquier U ∈ U tal que b ∈ U . Este
abierto U debe entonces contener un intervalo de la forma (b − , b] para cierto > 0. Entonces, como
(b − /2) ∈ S, [0, b − /2] se cubre con un número finito de abiertos en U; digamos U1 , . . . , Un . Notemos
que U1 , . . . , Un , Un−1 = U es un cubrimiento finito de [0, b] luego b ∈ S (contradicción). La suposición
b 6∈ S lleva al absurdo, luego b ∈ S y en consecuencia S = [0, b], con b ≤ 1. Finalmente, si b < 1,
entonces U contiene a todo un intervalo de la forma (b − , b + ) para cierto > 0 y, en este último caso,
U1 , . . . , Un , Un−1 = U es un cubrimiento finito de [0, b + /2] luego b ∈ S no es el supremo (contradicción).
Se deduce que b = 1.
24
G. PADILLA
Proposición 3.1.2. Si X es compacto, entonces la proyección coordenada X × Y
π
- Y es cerrada.
[Demostración] Esta función es continua pues X × Y posee la topologı́a producto. Si C ⊂ X × Y
es cualquier cerrado, basta mostrar que U = Y \π(C) es abierto. Tomemos t ∈ U ; esto implica que
(x, t) ∈ V = (X × Y )\C para todo x ∈ X. Fijado cualquier x ∈ X, puesto que V es abierto en X × Y
podemos tomar un abierto básico A × B ⊂ V tal que x ∈ A ⊂ X y t ∈ B ⊂ Y . Por construcción;
π(A × B) = B ⊂ U . Se deduce que U es abierto.
f
- Y es propia ⇔ la preimagen f −1 (C) de todo subespacio compacto
Una función continua X
C ⊂ Y es un subespacio compacto en X.
f
- Y es una función continua y cerrada. Si f −1 (y) es
Proposición 3.1.3. Supongamos que X
compacto para todo y ∈ Y entonces f es propia.
−1
[Demostración] Sea C ⊂ Y compacto y U un cubrimiento abierto de K = f (C). Para cada y ∈ C
1
ny
−1
sea Uy = {Uy , . . . , Uy } una subfamilia finita de U que cubre a f (y) y Wy la unión de los abiertos
−1
en Uy . Como f es cerrada, Vy = Y \f (X\Wy ) es un entorno abierto de y. Además f (Vy ) ⊂ Wy para
cada y ∈ C. Obtenemos un cubrimiento abierto {Vy : y ∈ C} de C. Por compacidad podemos extraer
un subcubrimiento finito Vy1 , . . . , Vyk . Entonces K es cubierto por Wy1 , . . . , Wyk quienes, a su vez, son
uniones finitas de abiertos de U.
Corolario 3.1.4. Si X, Y son compactos, entonces X × Y es compacto.
π
- Y es cerrada; y por 3.1.3 π es propia. Dado
[Demostración] Por 3.1.2 la proyección X × Y
que el espacio de llegada Y es compacto y π es sobreyectiva, el espacio de partida X × Y es compacto. n
n
Corolario 3.1.5. El producto cartesiano [0, 1] = [0, 1] × · · · × [0, 1] ⊂ R es compacto.
[Demostración] Por inducción: para n = 1 es el lema 3.1.1. Si vale para n entonces, para n + 1,
n+1
n
tenemos que [0, 1]
= [0, 1] × [0, 1] es producto de dos compactos y usamos 3.1.4.
Proposición 3.1.6. Si X es Hausdorff entonces todo subespacio compacto de X es cerrado.
[Demostración] Sea K ⊂ X compacto, x ∈ X\K. Para cada y ∈ K sean Ay , By abiertos tales que x ∈
Ay , y ∈ By y Ay ∩ By = ∅. Puesto que la familia {By : y ∈ K} es un cubrimiento abierto de K, podemos
extraer de ella un subcubrimiento abierto finito, digamos By1 , . . . , Byn . Entonces K ⊂ By1 ∪ · · · ∪ Byn .
Por construcción A = Ay1 ∩· · ·∩Ayn es un entorno abierto de x y A∩Byj = ∅ para cualquier j = 1, . . . , n;
luego A∩K = ∅. Se deduce que A ⊂ X\K con lo cual el complemento de K es abierto, e.d. K es cerrado.
n
Corolario 3.1.7. Un subespacio de R es compacto ⇔ es cerrado y acotado.
n
[Demostración] (⇒): Sea K ⊂ R compacto. Por 3.1.6 K es cerrado, de modo que basta ver que
es acotado. Para n = 1 es inmediato pues K puede ser cubierto por un número finito de intervalos de
diámetro finito, luego es acotado. Para n > 1, por el ejercicio (1) de 3.1, cada proyección coordenada
n
R
πj
- R manda a K en algún subespacio compacto π (K) que es cerrado y acotado en R , luego
j
TOPOLOGIA GENERAL
25
πj (K) ⊂ [aj , bj ] está contenido en algún intervalo cerrado. Tomando imágenes inversas se deduce que
K ⊂ [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ]. Como la topologı́a de las bolas es equivalente a la topologı́a de las cajas en
n
R , basta tomar > 0 y cualquier bola abierta de diámetro finito B tal que K ⊂ (a1 − , b1 + ) × · · · ×
(an − , bn + ) ⊂ B.
(⇐): Si K es acotado entonces posee diámetro finito, existe alguna bola abierta de diámetro finito centrada
en el origen B(0, δ) que contiene a K. Puesto que la topologı́a de las bolas es equivalente a la topologı́a
n
de las cajas en R , existe alguna caja abierta, que es un abierto básico de la forma (a1 , b1 ) × · · · × (an , bn )
n
y contiene a K. Pero entonces K ⊂ [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] y este último subespacio es compacto en R
por 3.1.5. Si K es cerrado entoces, por el ejercicio (4) de 3.1, K es compacto en [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ].
Luego K es compacto.
Lema 3.1.8. Toda biyección continua de un compacto en un Hausdorff es un homeomorfismo.
f
- Y una biyección continua. Debemos
[Demostración] Sea X compacto, Y Hausdorff y X
−1
mostrar que f es un homemorfismo, es decir que su inversa g = f
es continua. Para ello basta
ver que f es cerrada (manda cerrados en cerrados). Si C ⊂ X es cerrado entonces, por la propiedad (4)
C es compacto. Por la propiedad (1) la imagen directa f (C) es un subespacio compacto de Y , el cual es
Hausdorff. Por el lema anterior 3.1.6, f (C) es cerrado en Y .
Corolario 3.1.9. Toda función continua a valores reales con dominio compacto alcanza el supremo (y
el ı́nfimo) en el dominio.
Lema 3.1.10. Todo espacio Hausdorff y compacto es T4 (es decir, normal).
[Demostración] Sea X un espacio Hausdorff y compacto. Verificamos que
• X es T3 : Es decir, regular. Sea C ⊂ X un cerrado y x ∈ X\C. Siga la demostración en 3.1.6; los
abiertos x ∈ A y B = By1 ∪ · · · ∪ Byn conseguidos allı́ son los deseados para separar a x y C.
• X es T4 : Es decir, normal. Sean C, C 0 ⊂ X cerrados disjuntos. Para cada x ∈ C 0 sean Ax , Bx abiertos
tales que x ∈ Ax , C ⊂ Bx y Ax ∩ Bx = ∅. Por la propiedad (4) C es compacto y {Ax : x ∈ C}
es un cubrimiento abierto de C; podemos extraer un subcubrimiento finito Ax1 , . . . , Axn . Entonces
C ⊂ A = Ax1 ∪ · · · ∪ Axn es abierto; C 0 ⊂ B = Bx1 ∩ · · · ∩ Bxn es abierto; y A ∩ B = ∅ por construcción.
3.2. Espacios Hlc. Un espacio (X, T ) es localmente compacto ⇔ todo punto posee algún entorno
compacto. En adelante, dado un espacio Hausdorff localmente compacto diremos que X es Hlc.
(1) En un espacio Hlc los entornos compactos forman una base de entornos en cualquier punto.
(2) Si X es Hlc y A ⊂ X es abierto, entonces A es Hlc.
(3) Si X es Hlc y C ⊂ X es cerrado, entonces C es Hlc.
∞
Sea (X, T ) un espacio Hlc. La compactificación de Alexandrof de X es el espacio X = X t {∞}
∞
∞
∞
con la topologı́a T siguiente: Un subconjunto A de X pertenece a T ⇔:
• A ⊂ X y A ∈ T ; o bien
∞
• C = X \A es compacto en X.
Lema 3.2.1. Dado un espacio Hlc (X, T );
∞
(a) X es un subespacio de X .
∞
(b) X es compacto y Hausdorff.
26
G. PADILLA
(c) T
∞
es la única topologı́a en X
∞
tal que X
∞
satisface (1) y (2).
[Demostración] La propiedad (a) es por definición: En efecto, sea A ⊂ X
∞
un abierto. Si ∞ 6∈ A
∞
entonces A ⊂ X es un abierto de X. En caso contrario, si ∞ ∈ A entonces C = X \A ⊂ X es compacto
en X. Puesto que X es Hausdorff, C ⊂ X es cerrado en X (lema 3.1.6). Entonces A ∩ X = X\C es
abierto en X.
∞
Para ver (b) tomemos cualquier cubrimiento abierto U de X . Algún subconjunto U ∈ U debe contener
∞
al punto infinito; e.d. ∞ ∈ U . Entonces C = X \U es compacto en X. Dado que X es subespacio de
∞
∞
X (punto anterior) C también es compacto en X (ejercicio (3) de 3.1); luego C es cubierto por un
número finito de abiertos de U.
∞
Para (c) supongamos que T 0 es cualquier otra topologı́a de X que satisface (1) y (2) y tomemos un
∞
abierto U ∈ T 0 . Si ∞ 6∈ U entonces U ⊂ X. Como X es un subespacio de (X , T 0 ) se deduce que U es
∞
∞
abierto en X; luego U está en T . Por otra parte, si ∞ ∈ U entonces C = X \U es cerrado. Puesto
∞
∞
que (X , T 0 ) es compacto, C es compacto en (X , T 0 ) (ejercicio (4) de 3.1). Puesto que C ⊂ X y X es
∞
∞
∞
subespacio de (X , T 0 ), C es compacto en X; luego U ∈ T . Con esto deducimos que T 0 ⊂ T . La
otra contención es análoga.
Lema 3.2.2. Si X, Y son Hlc entonces X
definiendo fe(∞X ) = ∞Y .
f
- Y es propia ⇔ f admite la extensión continua X ∞
fe
-Y∞
[Demostración] (⇒) La función fe está bien definida, basta verificar que es continua. Dado cualquier
∞
−1
∞
abierto A ⊂ Y debemos ver que fe (A) es abierto en X . Si ∞Y 6∈ A entonces A ⊂ Y es abierto en Y
∞
−1
−1
pues Y es subespacio de Y . En este caso A0 = fe (A) = f (A) es abierto en X por la continuidad de
∞
∞
f , luego es abierto en X . Por otra parte, si ∞Y ∈ A entonces C = Y \A es compacto en Y . Puesto
−1
−1
−1
∞
∞
que f es propia; C 0 = fe (C) = f (C) es compacto en X, luego fe (A) = X \C 0 es abierto en X .
∞
∞
(⇐) Dado cualquier compacto C ⊂ Y , por definición A = Y \C es abierto en Y y contiene al punto
−1
∞
infinito ∞Y . Si fe es continua entonces fe (A) es abierto en X y contiene al punto infinito ∞X . Entonces
−1
−1
∞
−1
f (C) = fe (C) = X \fe (A) es compacto en X. Se deduce que f es propia.
Lema 3.2.3. Toda función propia entre espacios Hlc es cerrada (manda cerrados en cerrados).
f
fe
- Y una función propia entre espacios Hlc y X ∞
- Y ∞ la extensión
[Demostración] Sea X
∞
continua del lema anterior. Todo cerrado C ⊂ X es también cerrado en X , pues X es subespacio de
∞
∞
∞
X . Puesto que X es compacto, C es compacto en X (ejercicio (4) de 3.1). Su imagen f (C) = fe(C)
∞
∞
es entonces compacta en Y (ejercicio (1) de 3.1). Como Y es Hausdorff se deduce que f (C) es cerrado
∞
∞
en Y (lema 3.1.6). Como f (C) ⊂ Y y Y es subespacio de Y ; se deduce que f (C) es cerrado en Y . Un subespacio Y ⊂ X es localmente cerrado en X ⇔ para cada punto y ∈ Y existe algún entorno
abierto Uy en X tal que Uy ∩ Y es cerrado en Uy .
Lema 3.2.4. Y ⊂ X es localmente cerrado ⇔ Y = A ∩ C donde A ⊂ X es abierto y C ⊂ X es cerrado.
TOPOLOGIA GENERAL
27
[Demostración] (⇒) Para cada y ∈ Y sea Uy un entorno abierto tal que Uy ∩ Y es cerrado en Uy .
Tomemos el abierto U = ∪ Uy y el cerrado C = Y (la adherencia de Y ). Entonces
y∈Y
U ∩C =Y ∩U =Y ∩
∪ Uy = ∪ Y ∩ Uy = ∪ Y ∩ Uy = Y
y∈Y
y∈Y
y∈Y
La otra implicación es trivial.
Proposición 3.2.5. En un espacio Hausdorff X las siguientes proposiciones son equivalentes.
(1) X es Hlc.
(2) X es un subespacio localmente cerrado de algún espacio Hausdorff compacto.
(3) X es un subespacio localmente cerrado de algún espacio Hlc.
∞
[Demostración] (1) ⇒ (2): Si X es Hlc entonces X es abierto en X , que es compacto y Hausdorff.
∞
∞
Puesto que X es subespacio de X ; todo subespacio compacto de X es cerrado en X (lema 3.1.6). En
∞
particular, como X es Hlc, es localmente cerrado en X .
(2) ⇒ (3): Es trivial.
(3) ⇒ (1): Si X es subespacio localmente cerrado de un espacio Y Hlc, por el lema 3.2.3 escribamos
X = A ∩ C tales que A ⊂ Y es abierto y C ⊂ Y es cerrado. Puesto que Y es localmente compacto; dado
cualquier punto x ∈ C, x posee un entorno compacto V ⊂ Y . Como Y es Hausdorff, V es cerrado en Y
(lema 3.1.6). Entonces C ∩ V es cerrado en V , luego C ∩ V es compacto (ejercicio (4) de 3.1). Se deduce
que C es localmente compacto. Puesto que X = C ∩ U es un abierto de C con la topologı́a de subespacio;
se deduce que X es localmente compacto.
3.3. Espacios paracompactos. Una familia S de subconjuntos de X es localmente finita (en adelante
lf) ⇔ todo punto de X tiene un entorno que intersecta a lo sumo un número finito de subconjuntos de
la familia S.
Lema 3.3.1. Sea S una familia lf en un espacio topológico X. Entonces
(1) {S : S ∈ S} es lf.
(2) ∪ S = ∪ S.
S∈S
S∈S
[Demostración] (1) Sea x ∈ X y U un entorno de x que intersecta un número finito de conjuntos en
la familia S. Fijemos un conjunto S ∈ S de la familia. Basta verificar que U intersecta a S si y sólo si
U intersecta a S. Una de las dos implicaciones es inmediata pues S ⊂ S. Por otra parte, si x ∈ U ∩ S
entonces, por definición de adherencia, todo entorno de x intersecta a S. En particular para U intersecta
a S.
(2) Puesto que cada S0 está contenido en la unión ∪ S; por monotonı́a de la adherencia (ejercicio (10)
S∈S
de 2.1) tenemos que S0 ⊂ ∪ S. Tomando uniones del lado izquierdo obtenemos que ∪ S ⊂ ∪ S. Para
S∈S
S∈S
S∈S
verificar que ∪ S ⊂ ∪ S tomemos un punto z ∈ ∪ S y un entorno abierto U de z que intersecta un
S∈S
S∈S
S∈S
número finito de conjuntos de la familia S; digamos S1 , . . . , Sn . Por definición de adherencia, para cada
entorno abierto V de z, se tiene que V ∩ U intersecta a ∪ S; luego intersecta S1 ∪ · · · ∪ Sn . Se deduce
S∈S
que
z ∈ S1 ∪ · · · ∪ Sn = S1 ∪ · · · ∪ Sn
La última igualdad se tiene pues la unión es finita (ejercicio (11) de 2.1). Luego z ∈ Sj para algún j. 28
G. PADILLA
Dados dos cubrimientos abiertos U, V de X diremos que V refina a U si cada subconjunto de la
familia V está contenido en algún subconjunto de la familia U. Dados cualesquiera cubrimientos U, V
siempre existe algún cubrimiento W que los refina a ambos; podemos tomar por ejemplo la familia de
intersecciones U ∩ V con U ∈ U y V ∈ V. Un espacio Hausdorff X es paracompacto si para cada
cubrimiento abierto existe un refinamiento abierto lf.
Lema 3.3.2. Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto.
[Demostración] Sea X un espacio paracompacto y C un cerrado en X. Dado cualquier cubrimiento
abierto U de C, la familia V = U ∪ {X\C} es un cubrimiento de X. Extraigamos un refinamiento lf de
W; los abiertos en W que intersectan a C dan un refinamiento lf de U.
Proposición 3.3.3. Todo espacio paracompacto es normal.
[Demostración] Sea X un espacio paracompacto. Entonces:
• X es regular: Dado un cerrado C en X y un punto x ∈ X\C. Como X es Hausdorff, para cada y ∈ C
podemos tomar dos abiertos disjuntos Ay , By tales que x ∈ Ay , y ∈ By . Tomemos el cubrimiento abierto
de X que consta de todos los abiertos By y el abierto X\C; y tomemos un refinamiento abierto lf U de
dicho cubrimiento. Sea
U = V ∈ U : V ⊂ Vy para algún y ∈ C
Notemos que C ⊂ U . Por 3.3.1-(2) y la monotonı́a del operador de adherencia (ejercicio (10) de 2.1)
tenemos que
U = ∪ V : V ∈ U, V ⊂ Vy para algún y ∈ C ⊂ ∪ Vy
y∈C
de donde x 6∈ U . Esto implica que x posee algún entorno W disjunto de U , por la definición de adherencia.
• X es normal: Dados dos cerrados C, C 0 ; por el paso anterior para cada punto x ∈ X\C 0 podemos tomar
dos abiertos disjuntos Ax , Bx tales que C 0 ⊂ Ay y x ∈ By . Tomemos el cubrimiento abierto de X que
consta de todos los abiertos By y el abierto X\C 0 . Repitiendo en adelante el mismo razonamiento del
paso anterior se llega separar C, C 0 con dos abiertos disjuntos.
Lema 3.3.4. Dado un espacio paracompacto X y una familia localmente finita F = {Cα }α de cerrados
disjuntos; hay una familia {Vα } de abiertos disjuntos que los separan.
[Demostración] Sea C = t Cα . Como F es localmente finita, para cada Cα el subconjunto (C − Cα )
α
también es cerrado; en consecuencia hay un entorno abierto Uα de Cα cuya adherencia no intersecta
a (C − Cα ). Puesto que X es paracompacto, del cubrimiento abierto {X − C} ∪ {Uα }α extraemos un
refinamiento abierto localmente finito W = {Wγ }γ . Por la finitud local de W,
∪ Uβ = ∪
∪ Wγ = ∪
∪ Wγ = ∪
∪ Wγ = ∪ U β
β6=α
β6=α Wγ ⊂Uβ
β6=α Wγ ⊂Uβ
β6=α Wγ ⊂Uβ
β6=α
de donde
Kα = ∪ Uβ
β6=α
es cerrado. Basta ahora definir Vα = (Uα − Kα ).
4. Convergencia en espacios topológicos
Fijamos un espacio topológico (X, T ).
TOPOLOGIA GENERAL
29
4.1. Redes. Un conjunto dirigido es un conjunto parcialmente ordenado (D, ≤) tal que, para cuaα
- X definida de
lesquiera i, j ∈ D siempre existe algún k ≥ i, j. Una red en X es una función D
un conjunto dirigido en X; en tal caso escribiremos usualmente xi = α(i) para cada i ∈ D. Dado Y ⊂ X
y cualquier red α en X; diremos que α
• Cae en Y ⇔ α(D) ⊂ Y .
• Cae frecuentemente en Y ⇔ para cada i ∈ D existe algún j ≥ i tal que α(j) ∈ Y .
• Cae a la larga en Y ⇔ existe algún i ∈ D tal que α(j) ∈ Y para todo j ≥ i.
Dada una red α en X y un punto x ∈ X, diremos que α converge a x si y sólo si para todo entorno
abierto U de X se tiene que α cae a la larga en U . Note que, si α converge a x entonces x es un punto
de adherencia de α(D).
Lema 4.1.1. Sean Y, Z ⊂ X y α una red en X. Si α cae eventualmente en Y y α cae eventualmente en
Z entonces Y ∩ Z 6= ∅ y α cae eventualmente en Y ∩ Z.
[Demostración] Sean i, i0 ∈ D tales que α(j) ∈ Y (resp. α(j) ∈ Z) para cada j ≥ i (resp. j ≥ i0 ).
Entonces, como D es dirigido, basta tomar k ≥ i, i0 . Por construcción, para cada j ≥ k se tiene que
α(j) ∈ Y ∩ Z.
Lema 4.1.2. X es Hausdorff ⇔ toda red converge a lo sumo a un único punto.
[Demostración] Probamos el doble condicional.
(⇒) Sea X es Hausdorff y α una red que converge a dos puntos x, y. Si x ∈ U , y ∈ V son dos entornos
abiertos entonces, por definición, α cae eventualmente en U y cae eventualmente en V . Por el lema
anterior, α cae eventualmente en U ∩ V 6= ∅ con lo cual x, y no pueden separarse por entornos disjuntos.
Puesto que X es Hausdorff eso implica que x = y.
(⇐) Suponga que X no es Hausdorff y sean x, y dos puntos en X que no pueden separarse por entornos
abiertos disjuntos. Consideremos el conjunto parcialmente ordenado (D, ≤) definido como sigue: Un
elemento de D es un par (U, V ) tal que U es un entorno abierto de x y V es un entorno abierto de y.
Definimos la relación de orden parcial como sigue: (U, V ) ≤ (U 0 , V 0 ) si y sólo si U 0 ⊂ U y V 0 ⊂ V .
Puesto que, para cada par (U, V ) en D, la intersección U ∩ V 6= ∅ es no vacı́a, por el axioma de elección
α
- X. Afirmamos que α
podemos elegir un elemento x(U,V ) ∈ U ∩ V . Esto define entonces una red D
converge a x y a y. Para ver que α converge a x tomemos cualquier entorno abierto W de x. Entonces,
para cualquier (U, V ) ≥ (W, W ) en D, se tiene que x(U,V ) ∈ U ∩ V ⊂ W ; luego α cae a la larga en W . De
modo similar se ve que α converge a y.
En un espacio Hausdorff X toda red α converge, a lo sumo, a un único punto x y, en tal caso decimos
que x es el lı́mite de α y escribiremos x = Lim xi , o bien x = Lim α.
i∈D
Lema 4.1.3. X
Y converge a f (x).
f
- Y es continua ⇔ dada cualquier red α en X que converge a x ∈ X, la red f α en
[Demostración] Mostramos el doble condicional. (⇒) Suponga que f es continua y sea α una red en
−1
X que converge a x. Sea U un entorno abierto de f (x). Como V = f (U ) es un entorno de x, la red α
cae a la larga en V ; es decir, existe algún i tal que α(j) ∈ V para todo j ≥ i. Entonces f (α(j)) ∈ U para
todo j ≥ i; es decir, f α cae a la larga en U .
30
G. PADILLA
f
- Y cualquier función entre dos espacios topológicos que satisface la
(⇐) Recı́procamente sea X
condición del enunciado: Para cada red α en X que converja a un punto x, la red compuesta f α converge
−1
a f (x). Supongamos que f no es continua y sea V ⊂ Y algún abierto tal que su preimagen U = f (V ) no
◦
es abierto en X. Tomemos cualquier punto x ∈ U \U 6= ∅. Consideremos el conjunto dirigido D = V(x)
de todos los entornos de x ordenados por contención: dados A, B ∈ D diremos que A ≤ B si y sólo si
B ⊂ A. Por la selección del punto x, ningún entorno de x puede estar contenido en U . Luego, para
cualquier A ∈ D tenemos que A ∩ (X\U ) 6= ∅ y podemos escoger wA ∈ A ∩ (X\U ) por el axioma de
α
- X dada por α(A) = w . Si W es cualquier entorno
elección. De este modo construimos una red D
A
abierto de x y A ≥ W , es decir, si A ⊂ W , entonces A ∩ (X\U ) ⊂ W ∩ (X\U ), luego wA ∈ W . Se deduce
que α cae eventualmente en W . De la arbitrariedad de W deducimos que α converge a x. Sin embargo,
f (wA ) = f (α(A)) 6∈ V para todo A ∈ D; luego f α nunca cae a la larga en V y, por tanto, no converge a
f (x).
Por la proposición anterior, dada cualquier red α que converge en X, la condición de continuidad se
traduce
f (Lim xi ) = Lim f (xi )
i∈D
i∈D
Lema 4.1.4. Dado Y ⊂ X, tenemos x ∈ Y ⇔ x es un punto lı́mite de alguna red que cae en Y .
[Demostración] (⇒): Si x ∈ Y entonces, para el conjunto parcialmente ordenado D = V(x) de todos
los entornos abiertos de x con el orden parcial U ≤ V ⇔ V ⊂ U ; por el axioma de elección podemos
elegir xU ∈ U ∩ Y 6= ∅ para cada U ∈ D. Entonces α(U ) = xU define una red D
a x.
(⇐): Si x = Lim xi es punto lı́mite de alguna red D
α
α
- X que converge
- Y ⊂ X entonces, por definición, para cada
i∈D
entorno U de x, α cae a la larga en U . En particular, ∅ =
6 α(D) ∩ U ⊂ Y ∩ U . Se deduce que x ∈ Y . 4.2. Sub-redes. Dados cualesquiera conjuntos paracialmente ordenados (D, ≤) y (D0 , ≤) una función
g
- D0 es
• Creciente: ⇔ se satisface i ≤ j ⇒ g(i) ≤ g(j).
• Final: ⇔ se satisface que, para cada i0 ∈ D0 , existe i ∈ D tal que j ≥ i ⇒ g(j) ≥ i0 .
Notemos que toda función creciente es final, luego las funciones finales generalizan la idea de subsucesiones.
D
Dada una red D0
D
g
α
- X; una subred de α es la composición αg de α con cualquier función final
- D0 .
Lema 4.2.1. Una red α en X cae frecuentemente en todo entorno de x ∈ X si y sólo si existe una subred
de α que converge a x.
α
- X cae frecuentemente en todo entorno de x. Sea D el
[Demostración] (⇒) Suponga que D0
conjunto parcialmente ordenado de los pares (i, U ) tales que i ∈ D0 , U es un entorno abierto de x y
xi = α(i) ∈ U ; con el orden parcial (i, U ) ≤ (j, V ) ⇔ i ≤ j y V ⊂ U . Puesto que α cae frecuentemente
en U ∩ V ; existe algún k ≥ i, j tal que xk ∈ U ∩ V . En consecuencia (k, U ∩ V ) ∈ D y (k, U ∩ V ) ≥ (i, U );
TOPOLOGIA GENERAL
31
análogamente (k, U ∩ V ) ∈ D y (k, U ∩ V ) ≥ (j, V ), por lo cual D es un conjunto dirigido. Consideramos
g
- D0 dada por g(i, U ) = i. Esta función es final pues, dado i0 ∈ D0 , podemos tomar
la función D
0
(i , X) ∈ D y por la definición de g, si (j, V ) ≥ (i0 , X) entonces j ≥ i0 . De este modo, αg es una subred
de α. Para ver que αg converge a x sea W cualquier entorno abierto de x. Como α cae frecuentemente
en todo entorno de x existe algún ı́ndice i tal que xi ∈ W ; luego (i, W ) ∈ D. Si (j, V ) ≥ (i, W ) entonces
j ≥ i y α(g(j, V )) = α(j) = xj ∈ V ⊂ W . De la arbitrariedad de (j, V ) se deduce que αg cae a la larga
en W y, de la arbitrariedad de W , que αg converge a x.
α
g
- X una red en X, D
- D0 una función final y supongamos que la subred αg
(⇐) Sea D0
converge a x. Dado cualquier entorno abierto U de x existe algún i0 ∈ D tal que α(g(j)) ∈ U para
todo j ≥ i0 . Dado ahora i0 ∈ D0 , como g es final, existe algún i1 ∈ D tal que vale el condicional
j ≥ i1 ⇒ g(j) ≥ i0 . Puesto que D es dirigido basta tomar i ≥ i0 , i1 . Obtenemos el condicional
j ≥ i ⇒ k = g(j) ≥ i0 y xk = xg(j) = α(g(j)) ∈ U . De la arbitrariedad de i0 deducimos que αg cae
frecuentemente en U .
4.3. Redes universales. Una red D
la larga, en Y ó en X\Y .
α
- X es universal ⇔ para cada Y ⊂ X se tiene que α cae, a
Lema 4.3.1. La composición de una red universal con cualquier función es una red universal.
α
- X es una red universal, X
- Z es cualquier función entre espacios
[Demostración] Si D
−1
topológicos y Y ⊂ Z; entonces, por definición, α cae eventualmente en A = f (Y ) ó en X\A =
−1
f (Z\Y ). Luego αf cae eventualmente en Y ó en Z\Y .
Teorema 4.3.2. Toda red posee una subred universal.
[Demostración] Sea D
que
α
- X una red. Sea R el conjunto de todas las familias S ⊂ P(X) tales
(1) S ∈ S ⇒ α cae frecuentemente en S.
(2) S, S 0 ∈ S ⇒ S ∩ S 0 ∈ S.
Esta familia es no vacı́a pues {X} ∈ R. Notemos que:
• R posee una familia maximal S0 : Demos a R el orden parcial de inclusión. Supongamos que {Si }i es
una cadena en R; es decir, que para cualesquiera i, j tenemos que Si ⊂ Sj ó Sj ⊂ Si . Consideremos
entonces S = ∪Si . Entonces:
i
(1) S ∈ S ⇒ S ∈ Si para algún i, luego α cae frecuentemente en S.
(2) S, S 0 ∈ S ⇒ S ∈ Si y S 0 ∈ Sj para algunos i, j. Sin pérdida de generalidad asumamos que
Si ⊂ Sj . Entonces S, S 0 ∈ Sj ⇒ S ∩ S 0 ∈ Sj ; luego S ∩ S 0 ∈ S.
De las observaciones anteriores deducimos que S ∈ R; luego toda cadena en R posee un supremo en la
familia. Por el lema de Zörn, R posee una familia maximal S0 .
• α posee una subred universal: Consideremos a continuación el conjunto D0 = {(S, i) : S ∈ S0 , i ∈
D, xi ∈ S} con el orden parcial
(S, i) ≤ (R, j) ⇔ R ⊂ S y i ≤ j
32
G. PADILLA
g
- D dada por g(S, i) = i. Notemos que g es final: Dado i ∈ D y cualquier S ∈ S ,
y la función D0
0
como α cae frecuentemente en S existe algún j ≥ i tal que xj = α(j) ∈ S. Luego (S, j) ∈ D0 . Si ahora
(R, k) ≥ (R, j) entonces, por definición, g(R, k) = k ≥ j ≥ i. Afirmamos que la subred αg es universal.
Para ver esto último supongamos que S ⊂ X es un subconjunto tal que αg cae frecuentemente en S.
Entonces, para cada (R, j) ∈ D0 existe algún (T, k) ≥ (R, j) tal que xk = α(g(k)) ∈ S ∩ T ⊂ T ∩ R.
Deducimos que α cae frecuentemente en S ∩ R para cualquier R ∈ S0 . Pero entonces
S 0 = S0 ∪ {S} ∪ {S ∩ R : R ∈ S0 }
contiene a S0 y satisface las condiciones (1) y (2). Por maximalidad, deducimos que S 0 = S0 . En
particular, S ∈ S0 . Del mismo modo, si αg cae frecuentemente en (X\S), entonces (X\S) ∈ S0 . Ahora
bien, ambas no pueden pasar al mismo tiempo pues, en tal caso, por la propiedad (2), tendrı́amos que
∅ = S ∩ (X\S) ∈ S0 , lo cual contradice la propiedad (1). Ya que no suceden las dos al tiempo, alguna de
las dos es falsa. Si αg no cae frecuentemente en S (resp. en X\S) entonces cae a la larga en X\S (resp.
en S). Se concluye que αg es universal.
Lema 4.3.3. Toda subred de una red universal es universal.
g
α
- X es una red universal y D
- D0 es final, tomemos un subconjunto
[Demostración] Si D0
0
0
Y ⊂ X. Si α cae a la larga en Y , entonces existe algún i ∈ D tal que j 0 ≥ i0 ⇒ xj0 ∈ Y . A su vez, existe
algún i ∈ D tal que j ≥ i ⇒ g(j) ≥ i0 ; luego α(g(j)) = xg(j) ∈ Y . Se deduce que αg cae a la larga en Y .
De modo similar, si α cae a la larga en X\Y entonces αg también.
Teorema 4.3.4. [Teorema de Bolzano-Weierstrass] Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es compacto.
(2) Toda colección de subespacios cerrados en X con la propiedad de intersección finita (toda intersección finita de elementos de la familia es no vacı́a), posee intersección no vacı́a.
(3) Toda red universal en X converge en X.
(4) Toda red en X posee una subred convergente.
[Demostración] Procedemos por pasos.
(1)⇒(3): Sea α = {xi : i ∈ D} una red universal que no converge en X. Dado cualquier y ∈ X existe
algún entorno Uy de y tal que α no cae a la larga en Uy . Por universalidad, α cae a la larga en K = X\Uy ;
e.d. que existe algún ı́ndice iy ∈ D tal que j ≥ iy ⇒ xj 6∈ Uy . Ahora bien, {Uy : y ∈ X} es un cubrimiento
abierto de X, por compacidad, podemos extraer un subcubrimiento finito Uy1 , . . . , Uyn . Basta entonces
tomar cualquier k ≥ iy1 , . . . , iyn . Por construcción; j ≥ k ⇒ xj 6∈ Uyr ∀r = 1, . . . , n ⇒ xj 6∈ X, lo cual es
absurdo.
(3)⇒(4): Inmediata del lema §4.3.3.
(4)⇒(2): Sea F una familia con la propiedad de intersección finita. Si añadimos a F todas las intersecciones
finitas de elementos de la familia podemos asumir que F es cerrada por intersecciones finitas. Entonces
F es ordenada por la relación C ≥ C 0 ⇔ C 0 ⊂ C. Con esta relación F es un conjunto dirigido. Por
el axioma de elección, para cada C ∈ F podemos elegir algún xC ∈ C con lo cual obtenemos una red
F
α
- X dada por α(C) = x . Por hipótesis, podemos extraer una subred convergente β = αg, para
C
g
- F. Esta subred satisface β(i) = α(g(i)) = x
alguna función maximal D
∈ g(i) ∈ F. Sea x ∈ X
g(i)
tal que β converge a x y C ∈ F. Como g es maximal existe algún i ∈ D tal que j ≥ i ⇒ g(j) ≥ C, lo cual
TOPOLOGIA GENERAL
33
en el orden de F implica que g(j) ⊂ C. Del lema 4.1.4 se deduce que
x ∈ β({j : j ≥ i}) = {xg(j) : j ≥ i} ⊂ C = C
pues C es cerrado. De la arbitrariedad de C obtenemos que x ∈ ∩ C; lo cual demuestra (2).
C∈F
α
Proposición 4.3.5. Dada una familia de espacios topológicos {(Xi , Ti )}i ; una red D
- QX coni
i
Q
verge a x = (xi )i ∈ Xi ⇔ cada composición con una proyección coordenada D
π α
i
- X converge a
i
i
πi (x) = xi para cada i.
[Demostración] La dirección (⇒) es directa de la continuidad de las proyecciones coordenadas. Para
ver (⇐) supongamos que απi converge a πi (x) = xi para cada i y sea U cualquier
Q entorno abierto de
x. Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que U = (Ui1 × · · · × Uin ) ×
Xi es un abierto
i6=i1 ,...,in
básico. Para cada k = 1, . . . , n tenemos que πik α cae a la larga en Uik . Entonces, para cada ı ∈ D
existen ı1 , . . . , ın tales que  ≥ ık ⇒ πik (α()) ∈ Uik . Puesto que D es dirigido, existe algún ı0 tal que
 ≥ ı0 ⇒ πik (α()) ∈ Uik para todo k = 1, . . . , n. Pero entonces  ≥ ı0 ⇒ α() ∈ U . Se deduce que α cae
a la larga en U . De la arbitrariedad de U obtenemos que α converge a x.
Teorema 4.3.6. [Teorema de Tijunov] El producto arbitrario de espacios compactos es compacto.
[Demostración] Sea X =
Q
Xi el producto de una familia de espacios compactos y D
α
-X
i
π α
icualquier red universal. Entonces por 4.3.1, para cada i la composición D
Xi es una red universal
en Xi . Como cada Xi es compacto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass 4.3.4 πi α converge en Xi para
cada i. Por la prop. anterior 4.3.5, α converge en X. De nuevo por el teorema de Bolzano-Weierstrass,
X es compacto.
4.4. Espacios completamente regulares. Un espacio Hausdorff X es completamente regular o
T3 1 ⇔ para cada punto x ∈ X y cada cerrado C ⊂ X tal que x 6∈ C; existe una función continua
2
X
f
- [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (y) = 1 para todo y ∈ C.
Lema 4.4.1. Todo espacio completamente regular es regular.
f
- [0, 1]
[Demostración] Sea X completamente regular, C un cerrado y x 6∈ C un punto de X. Si X
−1
es cualquier función continua tal que f (x) = 0 y f (y) = 1 para todo y ∈ C; entonces U = f [0, 1/3) y
−1
V = f (2/3, 1] son dos abiertos disjuntos en X que separan a x de C.
Lema 4.4.2. Sea C ⊂ [0, 1] cerrado y x ∈ [0, 1]\C. Existe una función continua [0, 1]
que f ≡ 0 en un entorno de x y f ≡ 1 en un entorno de y.
f
- [0, 1] tal
[Demostración] Puesto que C es cerrado y acotado, es un compacto contenido en [0, 1]. Como R
Hausdorff existen > 0 y 0 ≤ a < b ≤ 1 tales que C ⊂ (a − , b + ) y (x − , x + ) ∩ (a − 2, b + 2) = ∅.
34
G. PADILLA
g
- R tal que g ≡ 1 en [a − , b + ] y g ≡ 0 en R\(a − , b + );
Tome cualquier función continua R
por ejemplo se puede tomar a g como una función cuyo grafo es una poligonal. La restricción f = g|[0,1]
es la función buscada.
Dado un espacio X completamente regular, consideramos el conjunto F = C(X, [0, 1]) de todas las
funciones continuas de X en [0, 1]. Consideramos el producto cartesiano de [0, 1] consigo mismo F-veces;
Q
F
es decir [0, 1] =
[0, 1] con la topologı́a producto, por el teorema de Tijunov 4.3.6 este espacio es
f ∈F
F
compacto. Un elemento de [0, 1] se puede ver como una secuencia (tf )f ∈F subindicada por funciones
F
continuas con tf ∈ [0, 1] para cada f ∈ F. Equivalentemente, un elemento de [0, 1] es una función
F = C(X, [0, 1])
que a cada función continua X
(2)
X
Ψ
f
µ
- [0, 1]
- [0, 1] le asigna un real t = µ(f ) ∈ [0, 1]. Definimos
f
- [0, 1]F
Ψ(x) = x
b:F
- [0, 1]
x
b(f ) = f (x)
Es decir, Ψ(x) = x
b es el operador que a cada función f definida en X la evalúa en x. La compactación
F
de Stone-C̆ech de X es la adherencia de Ψ(X) como subespacio de [0, 1] . La denotamos
β(X) = Ψ(X) ⊂ [0, 1]
(3)
F
F
Puesto que [0, 1] es compacto y Hausdorff, β(X) es compacto y Hausdorff.
Proposición 4.4.3. Si X es un espacio completamente regular entonces X
bimiento.
Ψ
- β(X) es un embe-
[Demostración] Debemos verificar que:
f
- [0, 1].
• β es inyectiva: Si Ψ(x) = Ψ(y) entonces f (x) = f (y) para cualesquiera función continua X
Puesto que X Hausdorff, los conjuntos {x} y {y} son cerrados. Como X es completamente regular, si
x 6= y entonces existe alguna función continua f tal que f (x) = 0 y f (y) = 1; pero esto es imposible por
nuestra suposición, luego x = y.
• β es continua: Sea D
continua X
f
α
- X cualquier red en X que converge a x ∈ X. Entonces, para cada función
- [0, 1], en virtud de 4.1.3 tenemos que
Lim Ψα(f ) = Lim Ψ(xi )(f ) = Lim x
bi (f ) = Lim f (xi ) = f (x) = x
b(f ) = Ψ(x)(f )
i∈D
i∈D
i∈D
i∈D
De la arbitrariedad de f y el hecho de que f (x) es precisamente la f -ésima coordenada de x
b en β(X) ⊂
F
[0, 1] como subespacio del producto; se deduce que Ψ es continua coordenada a coordenada. Por 4.3.5,
deducimos que Ψ es continua, es decir
Lim Ψα = Ψ(x) = Ψ Lim α
i∈D
i∈D
TOPOLOGIA GENERAL
35
• La inversa de β es continua: Supongamos que α es una red en X tal que Ψα converge a Ψ(x) para
f
algún x ∈ X. Entonces, para cada función continua X
- [0, 1],
Lim f (xi ) = Lim x
bi (f ) = Lim Ψ(xi )(f ) = Ψ(x)(f ) = f (x)
i∈D
i∈D
i∈D
es decir, f α converge a f (x). Ahora bien, si α no converge a x entonces existe algún entorno U de x tal
que α no cae a la larga en U ; por lo cual α cae frecuentemente en C = X\U ; el cual es un cerrado que
f
- [0, 1] tal que
no contiene a x. Puesto que X es totalmente regular, existe una función continua X
f (x) = 0 y f (y) = 1 para todo y ∈ C. De este modo, f α es frecuentemente 1 pero f (x) = 0; lo cual
contradice la igualdad de arriba.
f
Teorema 4.4.4. Si X es completamente regular y X
una función continua [0, 1]
donde X
Ψ
fb
F
- R es una función continua y acotada, existe
- R tal que fb extiende a f de modo único en β(X); es decir, fbΨ = f
- β(X) es el embebimiento de Stone-Cech.
[Demostración] Sin pérdida de generalidad podemos suponer que f (X) ⊂ [0, 1]. En ese caso consideramos la función
[0, 1]
F
fb
fb(µ) = µ(f )
-R
α
F
- [0, 1]F es una
En otras palabras, el valor de fb(µ) es la f -ésima coordenada de µ en [0, 1] . Si D
red que converge a µ entonces, por 4.3.5, la red converge coordenada a coordenada. En particular, la
πf
F
- [0, 1] converge a π (µ). Puesto que
composición πf α con la f -ésima proyección coordenada [0, 1]
f
F
πf (τ ) = τ (f ) = fb(τ ) para cualquier τ ∈ [0, 1] , tenemos que
Lim fb(µi ) = Lim µi (f ) = Lim πf (µi ) = πf Lim µi = πf (µ) = µ(f ) = fb(µ)
i∈D
i∈D
i∈D
i∈D
Por 4.1.3 deducimos que fb es continua. Dado x ∈ X, por la definición de fb tenemos que
fb(Ψ(x)) = Ψ(x)(f ) = x
b(f ) = f (x)
luego fbΨ = f , con lo cual fb restringida a β(X) coincide con f .
Proposición 4.4.5. Si X
g
- Y es una función continua entre espacios completamente regulares
entonces existe una única función continua β(X)
g
b
- β(Y ) tal que gbΨ = Ψ g.
X
Y
[Demostración] La función gb es única y se puede definir como el pull-back por composición. Sea
FX = C(X, [0, 1]) y FX
µ
- [0, 1] un elemento de [0, 1]FX . Definimos
FY
g
b(µ)
- [0, 1]
gb(µ)(f ) = µ(f g)
36
G. PADILLA
f
- [0, 1] es continua entonces la composición X
El operador está bien definido pues, si Y
es continua y podemos evaluar µ(f g). Obtetenemos de este modo una función
[0, 1]
FX
g
b
- [0, 1]FY
fg
- [0, 1]
µ 7→ gb(µ)
Entonces;
• gb es continua: Dada una red D
función coordenada
α
- [0, 1]FX que converge a µ; por 4.3.5 la composición con cualquier
[0, 1]
converge para cualquier función continua X
FX
π
h
- [0, 1]
h
- [0, 1] a π (µ). En particular
h
Lim gb(µi )(f ) = Lim µi (f g) = Lim πf g (µi ) = πf g Lim µi = πf g (µ)
i∈D
i∈D
i∈D
i∈D
5. Espacios metrizables
En esta sección volvemos a revisar los espacios métricos, ahora con todas las herramientas de topologı́a
disponibles.
5.1. Espacios totalmente acotados. Un epacio métrico (E, d) es totalmente acotado ⇔, para todo
> 0, X posee un cubrimiento finito por bolas abiertas de radio .
Teorema 5.1.1. [Bolzano-Weierstrass en espacios métricos] En un espacio mético (E, d) las siguientes afirmaciones son equivalentes
(1) E es compacto.
(2) Toda sucesión en E posee una subsucesión que converge en E.
(3) E es completo y totalmente acotado.
[Demostración] (1) ⇒ (2) Sea S = {xn } una sucesión en E. Si S no posee subsucesiones convergentes
entonces, dado cualquier x ∈ E, como x no es el lı́mite (de ninguna subsucesión) de S; podemos escoger
algún entorno Ux que contiene a lo sumo una cantidad finita de elementos de S. Puesto que X es compacto,
del cubrimiento U = {Ux : x ∈ X} podemos extraer un subcubrimiento finito, digamos U1 , . . . , Un de
abiertos, cada uno de los cuales contiene a lo sumo una cantidad finita de elementos de S. Se deduce
entonces que S es finito; pero en ese caso por el principio del casillero, alguno de los elementos z ∈ S
x
- E. De x−1 (z) podemos
es escogido un número infinito de veces por la función de la sucesión N
extraer una subsuecsión constante, lo cual es una contradicción.
(2) ⇒ (3) Sea S = {xn } una sucesión de Cauchy en E. De (2) se deduce que S posee una subsucesión
S 0 = {xnk } que converge a un punto x ∈ E. Pero entonces toda la sucesión converge a x; esto se puede
ver por desigualdad triangular. En efecto: Dado > 0 existen enteros N1 , N2 > 0 tales que
• n, m > N1 ⇒ d(xn , xm ) < /2.
• k > N2 ⇒ d(xnk , x) < /2.
Basta tomar el máximo N = max(N1 , N2 ) y notar que si k > N entonces d(xk , x) ≤ d(xk , xnk ) +
d(xnk , x) < . De aquı́ se deduce que E es completo. Por otra parte, supongamos que E no es completamente acotado. Entonces existe algún > 0 tal que X no se puede cubrir con un número finito de bolas
TOPOLOGIA GENERAL
37
de radio . En tal caso, podemos conseguir una sucesión de puntos S = {z1 , z2 , . . . } en E tales que la
distancia entre cualesquiera dos de ellos es siempre mayor o igual a . Entonces de S no se puede extraer
una subsucesión convergente, lo cual contradice (2).
(3) ⇒ (2) Sea S = {xn } una sucesión cualquiera. Si S es un conjunto finito, por el principio del casillero,
alguno de los elementos z ∈ S es escogido un número infinito de veces por la función de la sucesión
x
- E. De x−1 (z) podemos extraer una subsuecsión constante (ergo convergente) y no hay más
N
que hacer. Supongamos entonces que S es un subconjunto infinito (propiamente numerable). Puesto
que X es totalmente acotado, se le puede cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio 1. De
nuevo por el principio del casillero alguna de estas bolas, digamos B1 , contiene una cantidad infinita de
elementos de S; digamos B1 . Con un argumento inductivo podemos dar una familia de bolas abiertas
B1 , B2 , . . . , Bn , . . . cada una de ellas de radio respectivo 1/n, tales que cada Bn+1 contiene una cantidad
infinita de elementos de Sn = S ∩ B1 ∩ · · · ∩ Bn . Finalmente, puesto que cada Sn es no vacı́o y contiene
una cantidad infinita de elementos de S; por el axioma del buen orden en los naturales y el axioma de
elección, podemos seleccionar para cada k un elemento xnk ∈ Sk de tal suerte que k1 < k2 < k2 < · · · .
De este modo construimos una subsucesión S 0 = {xnk : k ∈ N}; notemos que por construcción S 0 es de
Cauchy. Puesto que E es completo, S 0 converge en E. Esto demuestra (2).
(2) ⇒ (1) Sea U un cubrimiento abierto de E. Como ya demostramos (2) ⇒ (3) podemos asumir que
E es completo y totalmente acotado. Notemos entonces que E es separable. En efecto: Para cada entero n > 0 el espacio E se puede cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio 1/n, centradas
sobre un conjunto finito de puntos, digamos B(xn,j , n1 ) para j = 1, . . . , kn . Entonces, por construcción,
+
D = {xn,j : n ∈ N , j = 1, . . . , kn } es un subconjunto denso y numerable en E. Sea
D = {x1 , x2 , . . . }
una renumeración de los elementos de D. Cada xi ∈ D pertenece a algún abierto Vi ∈ U del cubrimiento
original y podemos conseguir algún entero ni tal que B(xi , n1i ) ⊂ Vi . Dado cualquier x ∈ E y cualquier
> 0, por argumento de densidad existe algún xi ∈ D tal que d(x, xi ) < . En particular, existe algún xi
tal que d(x, xi ) < n1i , es decir x ∈ B(xi , n1i ) ⊂ Vi . Se deduce que V = {Vi : i ∈ N} es un subcubrimiento
numerable de U. Si V posee un subcubrimiento finito de E concluimos la demostración. Supongamos lo
contrario: Entonces los conjuntos cerrados Ci = E\(V1 ∪ · · · Vi ) son todos no vacı́os y encajados, vale
decir, C1 ⊃ C2 ⊃ · · · etc. Por nuestra suposición, D posee una subsucesión S = {xnk : k ∈ N} que
converge a un punto x ∈ E. Por construcción xnk ∈ Ci para todo nk > i. Puesto que cada Ci es cerrado,
el punto ı́mite x pertenece a cada Ci . En consecuencia
x ∈ ∩Ci = E\ ∪ Vi = ∅
i
lo cual es absurdo.
i
5.2. Separación de cerrados con funciones continuas. Primero que nada desarrollamos las herramientas para separar cerrados con funciones continuas. Fijamos un espacio topológico X.
Lema 5.2.1. Supongamos que para cada racional diádico r = 2mn (con m > 0,n ≥ 0 enteros) existe un
abierto Ar en X tal que se satisface el siguiente condicional: r < s ⇒ Ar ⊂ As . Entonces
(
inf{r : x ∈ Ar }
x ∈ A1
f
X
R
f (x) =
1
x 6∈ A1
es continua.
38
G. PADILLA
[Demostración] Supongamos que f (x) < r para cierto racional diádico r. Entonces, por propiedades
del ı́nfimo, existe algún diádico s < r suficientemente pequeño tal que f (x) < s < r y x ∈ As ⊂ As ⊂ Ar .
Luego, por contrarrecı́proco, f satisface el siguiente condicional: x 6∈ Ar ⇒ f (x) ≥ r. Para cualquier
t > 0 tenemos que
f
−1
(−∞, t) = {x : f (x) < t} = {x : f (x) < r < t, r diádico} = ∪ Ar
r<t
−1
es abierto en X. De modo similar se verifica que f (t, ∞) es abierto. Puesto que los abiertos de la forma
(−∞, t) y (t, ∞) generan la topologı́a de R , se deduce que f es continua.
Proposición 5.2.2. [Lema de Urysohn] Si X es normal, C ⊂ X es cerrado, A ⊂ X es abierto y
f
C ⊂ A; existe una función continua X
- [0, 1] tal que f | ≡ 0 y f |
≡ 1.
C
X\U
[Demostración] Definimos una familia de abiertos {Ar : r diádico} que satisfaga la condición de
§5.2.1. Como los diádicos son de la forma r = 2mn con m > 0 y n ≥ 0 enteros; hacemos inducción en n
para construir los abiertos deseados.
• Caso n = 0: Definimos A1 = A.
• Caso n ≥ 1: Por hipótesis inductiva supongamos que hemos definido los abiertos Am/2n para 1 ≤ m ≤
n
2 .
n+1
• Caso n + 1: Para cada 1 ≤ k ≤ 2
definimos A n+1 del modo siguiente: Si k = 2j es par tomamos
k/2
A n+1 = Aj/2n . Si k = 2j + 1 es impar, puesto que X es normal podemos elegir un abierto B tal que
k/2
i
h
C ⊂ B ⊂ B ⊂ A1/2n ∩ · · · ∩ Aj+1/2n
Definimos A n+1 = B.
k/2
Habiendo construido la familia de abiertos deseada, aplicamos el lema §5.2.1.
5.3. El teorema de extensión de Tietze. Este es un resultado técnico, sin embargo importante, sobre
la construcción de extensiones de funciones continuas.
Teorema 5.3.1. [Extensiones de Tietze] Sea X normal, C ⊂ X cerrado y C
f
- R continua.
h
- R tal que
Existe una función continua X
(1) h(x) = f (x) para todo x ∈ C.
(2) sup{f (x) : x ∈ C} = sup{h(x) : x ∈ X}.
(3) inf{f (x) : x ∈ C} = inf{h(x) : x ∈ X}.
[Demostración] Comenzamos considerando el caso en que f es acotada. Sin pérdida de generalidad
−1
−1
podemos suponer que 0 ≤ f ≤ 1; con ı́nfimo 0 y supremo 1. Sea C1 = C ∩ f ([0, 13 ]) y A1 = f ([0, 23 )).
Por el lema de Urysohn §5.2.2 existe una función X
r1 |C1 ≡ 0
r
1
- [0, 1] tal que
r1 |X\A ≡ 1
1
es decir
r1 (x) =

 0
x ∈ C y f (x) ≤
 1
f (x) ≥
1
3
2
3
TOPOLOGIA GENERAL
Entonces la función h1 =
X
1
3
h
1
r1 satisface
- [0, 1/3]
h1 (x) =

 0
x ∈ C y f (x) ≤
1
3
x ∈ C y f (x) ≥

Sea f1 = f − h1 . Notemos que 0 ≤ f1 (x) ≤
podemos conseguir una función continua
h
X
2
39
2
3
- [0, 2/9 = (1/3) · (2/3)]
1
3
2
3
para todo x ∈ C. Repitiendo el mismo proceso para f1 ;
h2 (x) =

 0
x ∈ C y f1 (x) ≤
2
9
x ∈ C y f1 (x) ≥

2
9
4
9
=
2
3
·
2
3
Sea f2 = f1 − h2 . Notemos que 0 ≤ f2 (x) ≤ 32 − 29 = 3·2−2
= 94 para todo x ∈ C. Continuando
9
este proceso de modo inductivo supongamos que hemos definido f1 , . . . , fn ; y que ésta última satisface
n
0 ≤ fn (x) ≤ 32
para todo x ∈ C. Aplicando de nuevo el lema de Urysohn podemos conseguir una
función continua

2 n
1

0
x
∈
C
y
f
(x)
≤

n
3
3
- [0, (1/3) · (2/3)n ]
n
hn+1 (x) =
hn+1 : X
n

x ∈ C y fn (x) ≥ 23 23
 31 23
y definimos fn+1 = fn − hn+1 la cual satisface
0 ≤ fn+1 (x) = fn − hn+1
n n n+1
2
1
2
2
≤
−
=
3
3
3
3
Hemos construido una sucesión de funciones continuas y acotadas {hn : n = 0, 1, . . . }. Consideremos
X
h(x) =
hn (x)
n
Esta función está bien definida pues, para cada x, el lado derecho es una serie que converge uniformemente.
En efecto:
n
n
X n X
X 1 2
1 − 32
1
1
2
=1
hn (x) ≤
=
=
Lim
n
3
3
3
3
3
1 − 23
n
n
n
A continuación, para cada x ∈ C, tenemos
f (x) − h1 (x) = f1 (x)
f (x)n − hn+1 (x) = fn+1 (x) ∀n ≥ 1
De este modo
f (x) − [h1 (x) + h2 (x)] = [f (x) − h1 (x)] − h2 (x) = f1 (x) − h2 (x) = f2 (x)
Aplicando inducción es posible ver que
f (x) − [h1 (x) + · · · + hn (x)]
= f (x) − h1 (x) + · · · + hn−1 (x) − hn (x)
= fn−1 (x) − hn (x) = fn (x)
Como fn ≤
2
3
n
en C; tomando lı́mites
n
2
f (x) − h(x) = Lim fn (x) ≤ Lim
=0
n
n
3
Con esto verificamos la propiedad (1). Las propiedades (2) y (3) sobre las cotas se dan por construcción
de la sucesión de las hn . Finalmente, en el caso no acotado distinguimos tres sub-casos:
40
G. PADILLA
(a) f no es acotada.
(b) f es acotada inferiormente por a ∈ R .
(c) f es acotada superiormente por b ∈ R .
Sea α cualquier homeomorfismo
• R
α
- (0, 1) en el caso (a) .
• [a, ∞)
• (−∞, b]
α
- [0, 1) en el caso (b) .
α
- (0, 1] en el caso (c) .
Entonces F = αf es acotada. Aplicamos el procedimiento del caso acotado a F . Dejamos los detalles al
lector.
5.4. Espacios acotados. Un espacio métrico (E, d) es acotado ⇔ existe algún λ > 0 tal que d(x, y) ≤ λ
para todo x, y ∈ E. El diámetro de E es el menor λ tal que eso ocurre.
Lema 5.4.1. Dado un espacio métrico (E, d) siempre existe una métrica d0 tal que d0 (x, y) ≤ 1∀x, y ∈ E
y d0 genera la misma topologı́a de d.
[Demostración] Se puede considerar por ejemplo
(
d(x, y)
d0 (x, y) =
1
si d(x, y) ≤ 1
en otro caso
0
Dejamos de ejercicio ver que d es una métrica. Para ver que d y d0 son equivalentes basta notar que es
suficiente generar la topologı́a con bolas abiertas de radios pequeños. En otras palabras un subconjunto
A ⊂ E es abierto (con cualquiera de las dos distancias) ⇔ A es unión de bolas abiertas de radio menor
que 1.
5.4.1. Ejemplos. Si (E1 , d1 ), . . . , (En , dn ) es una familia finita de espacios métricos, el producto cartesiano
E = E1 × · · · × En se puede dotar de varias métricas distintas; por ejemplo
• La métrica de la suma d(x, y) = Σdi (xi , yi ).
i
q
• La métrica de Pitágoras: d(x, y) = Σ d2i (xi , yi ).
i
• La métrica del máximo: d(x, y) = máx {di ( xi , yi ): i = 1, . . . , n}.
Proposición 5.4.2. Sea {(EQn , dn ) : n = 1, 2, · · · } una familia numerable de espacios métricos acotados
de diámetro 1; y sea E = En el espacio producto. Entonces E es un espacio métrico acotado de
n
diámetro 1. La topologı́a producto de E es generada por la siguiente distancia
∞
X
dn (xn , yn )
d(x, y) =
2n
n =1
Q
[Demostración] Escribamos E = En para el espacio producto, y (E 0 , d) para el mismo conjunto
n
con la topologı́a métrica inducida por la distancia d definida en el enunciado. Queremos demostrar que
la función identidad E 0
id
- E es un homeomorfismo.
TOPOLOGIA GENERAL
41
• id es continua: Por §2.4.4, basta mirar la continuidad coordenada a coordenada. Cada comπn
- E es una función entre espacios métricos y satisface d(π (x), π (y)) =
posición E 0
n
n
n
n
d(xn , yn ) ≤ 2 d(x, y). De esta desigualdad se deduce inmediatamente la continuidad, en términos
de lı́mites de sucesiones.
• id es abierta: Basta demostrar que, para cada x ∈ E, la bola abierta B(x, ) contiene un entorno
de x en la topologı́a producto. Ahora bien,
(
)
∞
X
dn (xn , yn )
B(x, ) = y ∈ E :
<
2n
=1
n
−m
Sea m > 0 suficientemente grande tal que 2
dn (xn , yn ) < 2 para n = 1, . . . , m − 1 entonces:
∞
P
dn (xn ,yn )
d(x, y) =
2n
<
4.
Si y ∈ E es cualquier punto tal que
n =1
m−1
=
P
n =1
<
2
+
dn (xn ,yn )
2n
2
∞
P
+
n =m
dn (xn ,yn )
2n
m−1
<
P
n =1
n+1
2
+
4
∞
P
n =0
1
2n
=
Se concluye que
Y
B(x1 , /2) × · · · × B(xm−1 , /2) ×
Em
n≥m
es un abierto básico de la topologı́a producto que contiene a x y está contenido en B(x, ).
Proposición 5.4.3. [1er teorema de metrización] Sea X un espacio Hausdorff. Supongamos que
f
iexiste una familia numerable de funciones continuas F = {X
[0, 1]; i = 1, 2, . . . } tales que, para
cada cerrado C ⊂ X y cada x ∈ (X\C) existe algún i tal que fi (x) = 0 y fi (y) = 1 para todo y ∈ C.
Entonces
X
ϕ
- [0, 1]N
+
ϕ(x) = (fi (x))i
es un embebimiento.
[Demostración] Procedemos por pasos.
• ϕ es continua: Por §2.4.4, basta mirar la continuidad coordenada a coordenada. La composición con
cada proyección es precisamente πi ϕ = fi .
• ϕ es inyectiva: Como X es Hausdorff todo punto en X es cerrado. Si x 6= y; existe entonces algún
ı́ndice i tal que fi (x) = 0 y fi (y) = 1; luego ϕ(x) 6= ϕ(y).
• ϕ es un embebimiento: Para ver que ϕ es homeomorfismo en su imagen basta mostrar que es cerrada,
vale decir, que si C ⊂ X es cerrado entonces f (C) es cerrado en f (X). Sean que {cn }n es una sucesión
en C y x ∈ X tales que la sucesión ϕ(cn ) converge a ϕ(x). Debemos demostrar que ϕ(x) ∈ ϕ(C) para lo
cual es suficiente ver que x ∈ C. Supongamos lo contrario, es decir, que x 6∈ C. Entonces existe algún
ı́ndice i tal que fi (x) = 0 y fi (y) = 1 para todo y ∈ C. Pero entonces 1 = πi (ϕ(cn )) para todo n, y
dicha sucesión constante no converge a 0 = fi (x) = πi (ϕ(x)). Luego πi ϕ no es continua, e.d que ϕ no es
continua coordenada a coordenada. Por §2.4.4, esto implica que ϕ no es continua, lo cual contradice el
primer paso de esta demostración.
42
G. PADILLA
Corolario 5.4.4. Todo espacio normal 2do numerable es completamente regular
[Demostración] Dado un espacio normal X, por el lema de Urysohn, cf. §5.2.2, para cada par de
f
- [0, 1] tal que f | ≡ 0 y f | ≡ 1.
cerrados disjuntos C, D se puede hallar una función continua X
C
D
Puesto que la base de X es numerable, los pares de conjuntos cerrados constituyen una familia numerable
de modo que se puede construir una familia numerable de funciones F que satisfaga la hipótesis de §5.4.3.
Proposición 5.4.5. [2do teorema de metrización] Sea X espacio 2do numerable completamente regular. Supongamos que para cada par de cerrados disjuntos C, D existe una función continua X
tal que f |C ≡ 0 y f |D ≡ 1. Entonces X es metrizable.
f
- [0, 1]
[Demostración] Sea X 2do numerable y completamente regular. Demostraremos que X satisface las
hipótesis de §5.4.3. La idea es la siguiente: Fijemos una base numerable B de la topologı́a de X. Para
f
- [0, 1] tal
cada par de abiertos U, V ∈ B tales que U ⊂ V , fijemos alguna una función continua X
que f |U ≡ 0 y f |X\V ≡ 1. Sea F la familia de estas funciones. Entonces
• F es numerable: Porque B × B es numerable.
• F satisface la hipótesis de §5.4.3: Sea C ⊂ X cualquier cerrado y x ∈ (X\C). Tomemos un abierto
básico V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ (X\C). Como X es completamente regular existe alguna función continua
g
- [0, 1] tal que g(x) = 0 y g|
≡ 1. Salvo ajustes en la función g, podemos asumir que g se
X
X\V
anula en todo un entorno de x; de modo que existe algún abierto básico U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ V y
g|U ≡ 0. Por la continuidad de g tenemos entonces que U ⊂ V . Podemos entonces reemplazar a g por
alguna función f ∈ F tal que f |U ≡ 0 y f |X\V ≡ 1.
Teorema 5.4.6. [Teorema de Urysohn] Todo espacio 2do numerable completamente regular es metrizable.
[Demostración] Es suficiente construir la familia de funciones que satisface la hipótesis de §5.4.5. 5.5. Convergencia puntual y uniforme.
f
(4) Si D ⊂ E es denso y E
- E 0 es una función tal que (a) f es continua en E; y (b) f es
uniformemente continua en D; entonces f es uniformemente continua.
(5) Un espacio métrico (E, d) es completo ⇔ toda sucesión de Cauchy en E converge en E. Todo
espacio métrico (E, d) se puede embeber en un espacio métrico completo (E 0 , d0 ); de tal modo
que E sea denso en E 0 .
(6) Toda función uniformemente continua E
de modo que g|E ≡ f .
Una sucesión de funciones E
función E
g
fn
f
- E 0 se puede extender a las completaciones E
g
- E0
- E 0 , con n ∈ N, se dice que converge uniformemente a cierta
- E 0 ⇔ para cada > 0 existe algún N ∈ N tal que vale el siguiente condicional
n > N ⇒ d0 (fn (x), g(x)) < ∀x, y ∈ E
TOPOLOGIA GENERAL
43
fn
- E 0 son uniformemente continuas y convergen uniformemente a g entonces g es
(7) Si unas E
uniformemente continua.
fn
- E 0 convergen uniformemente a f , y unas E 0
(8) Si unas E
mente a g entonces las gn fn convergen uniformemente a gf .
gn
- E 00 convergen uniforme-
f
- R acotada y uniformemente continua. Para cada x ∈ E definamos g(x) =
(9) Sea E × E 0
inf {f (x, y) : y ∈ E 0 } y h(x) = sup {f (x, y) : y ∈ E 0 }. Mostrar que g, h son acotadas y uniformemente continuas. Idea: Dado > 0 y u, v ∈ E tales que d(u, v) < δ ; entonces ∀z ∈ E 0 se tiene
que f (v, z) ≤ f (u, z) + ≤ g(u) + . De aquı́ se deduce que |h(u) − h(v)| < . Para g se procede
de modo similar.
f
i[0, 1] es cualquier familia de funciones uniformemente continuas. En(10) Supongamos que E
tonces h(x) = sup {fi (x) : i ∈ I} y g(x) = inf {fi (x) : i ∈ I} son uniformemente continuas de E
en [0, 1]. Idea: Con la misma demostración del ejercicio anterior, tome E 0 = I con la m
etrica discreta y defina f (x, i) = fi (x).
f
i[0, 1]; con i ∈ N, convergen uniformemente a f ; entonces las hi (x) =
(11) Si unas E × E 0
sup {fi (x, y) : y ∈ E 0 } convergen uniformemente a h(x) = sup {f (x, y) : y ∈ E 0 } y las gi (x) =
inf {fi (x, y) : y ∈ E 0 } convergen uniformemente a g(x) = inf {f (x, y) : y ∈ E 0 }.
6. El truco de Bredon
La demostración del truco de Bredon data, de 1962, año en que el autor daba un curso sobre grupos
de Lie. Fue usado por el autor para dar una demostración accesible del teorema de De Rham sin recurrir
a sucesiones espectrales [1, p.289-291]. Desde entonces y debido a su comodidad, ha sido empleado
en artı́culos de de topologı́a algebraica, como una manera alterna a la aproximación axiomática de la
cohomologı́a, al uso de complejos dobles, sucesiones espectrales y cohomologı́as de C̆ech. El truco de
Bredon persigue demostrar una afirmación ϕ referida a abiertos de un espacio topológico X, pasando de
la validez local a la validez global.
Proposición 6.0.1. Sea X un espacio topológico paracompacto, U un cubrimiento abierto y ϕ(U ) una
afirmación referida a los abiertos de X, tales que se satisfacen las siguientes propiedades:
(BT1)
(BT2)
(BT3)
(BT4)
(BT5)
U contiene una base de la topologı́a de X.
Si U, V ∈ U entonces U ∩ V ∈ U.
ϕ(U ) es cierta para todo U ∈ U.
Dados dos abiertos U, V ⊂ X; si ϕ(U ), ϕ(V ) y ϕ(U ∩ V ) son ciertas entonces ϕ(U ∪ V ) es cierta.
Dada cualquier familia disjunta de abiertos {Vj }j ; si ϕ(Vj ) es cierta para todo j entonces ϕ(tVj )
j
es cierta.
Entonces ϕ(X) es cierta.
[Demostración] Procedemos por pasos:
• Q vale sobre toda unión finita de abiertos de U: Veamos que ϕ(U ) vale siempre que U = U1 ∪· · ·∪Un
es una unión finita de abiertos del cubrimiento U. Para n = 1 es inmediata y, si asumimos por inducción
el paso n entonces, dado cualquier Un+1 tal que vale Q(Un+1 ); tendremos que
U ∩ Un+1 = (U1 ∩ Un+1 ) ∪ · · · ∪ (U1 ∩ Un+1 )
44
G. PADILLA
es una unión de n abiertos en U por BT2. Como valen ϕ(U ) por h.i., ϕ(Un+1 ) por BT3 y ϕ(U ∩ Un+1 ) de
nuevo por h.i.; en virtud de BT4 se deduce ϕ(U ∪ Un+1 ).
f
- [0, ∞). Por
• Q(X) es cierta: A continuación tomemos cualquier función continua y propia X
∞
ejemplo: como X es Hlc la compactificación de Alexandroff X es un espacio compacto. Basta tomar
f
∞
- R ; por compacidad, f alcanza su valor ı́nfimo en X ∞ ; ajustando f con
cualquier función real X
una traslación adecuada podemos asumir que f ≥ 0; cf. 3.2.1, 3.2.2.
−1
Subdividamos al espacio X en ”capas de cebolla” compactas An = f [n, n + 1]. Por la compacidad
−1
de An y la propiedad BT1, podemos cubrir a An con un abierto Vn ⊂ f (n − 31 , n + 13 ) que sea unión
finita de abiertos del cubrimiento U, luego vale ϕ(Vn ) para cada n, por el primer paso. Por construcción,
además, Vn ∩ Vn+2 = ∅ para todo n. En virtud de la propiedad BT5 entonces ϕ(V ) vale para V = tV2n
n
y, del mismo modo, ϕ(W ) vale para W = tV2n+1 . Finalmente, notemos que
n
V ∩ W = tV2n ∩ tV2n+1 = t Vn ∩ Vn+1
n
n
n
Cada Vn ∪ Vn+1 es una unión finita de abiertos que pertenecen a U por la propiedad BT2; de nuevo por
el primer paso vale ϕ(Vn ∪ Vn+1 ) para cada n. De la igualdad anterior y la propiedad BT5 se deduce la
validez de ϕ(V ∩ W ). Como X = V ∪ W Por la propiedad BT4 tenemos la validez de ϕ(X).
7. Fibrados topológicos
Dedicamos esta última sección a introducir la idea de fibrados generales. Seguimos aquı́ a [9].
7.1. Amalgama de espacios topológicos. Sean X, Y dos espacios topológicos, Z ⊂ X un subespacio
yZ
f
- Y una función continua. La amalgama X, Y a través de f es el espacio cociente
(
{a}
a 6∈ Z t f (Z)
X tY
X ∪Y =
[a] =
−1
f
∼
f (a) t {a}
a ∈ f (Z)
q
- X ∪ Y la
La función f de arriba se llama función de pegamento o amalgama. Sea X t Y
f
−1
proyección cociente. Un abierto básico de X ∪ Y es de la forma q
A ∪ B donde A ⊂ X y B ⊂ Y son
f
f
abiertos. En particular, notemos que
A ∪ ∅ = (A\Z) ∪
f
A∩Z
f
∅∪B =f
f
−1
(B) ∪ (B\f (Z))
Como ejemplos sencillos citemos:
• Si f es una función constante entonces todo Z se identifica con la clase del único punto [y] en el
2
rango de f . Por ejemplo; si X = R , Z = {x ∈ X : |x| > 1} y Y = {∞} es un punto (en cuyo
2
caso f toma el valor constante ∞), entonces X ∪ Y = S es la 2-esfera.
f
2
• Si X = R , Z = {x ∈ X : |x| > 1} y Y = [0, ∞) y f toma el valor constante 0, entonces entonces
2
X ∪ Y = S es un globo con cordel.
f
TOPOLOGIA GENERAL
45
2
• Si X = S = Y y Z = {(0, 0, 1)} es el polo norte (en cuyo caso f toma un solo valor) entonces
2
2
entonces X ∪ Y = S ∨ S son dos esferas pegadas por un punto. Con este ejemplo, de modo
f
inductivo, se puede construir un bouquet de esferas pegadas por un punto.
• Un caso particular que nos interesa es cuando Z ⊂ X es un abierto y f es un embebimiento (un
homeomorfismo en su imagen). ¿Puede el lector hacer un dibujo de los abiertos básicos en cada
uno de los ejemplos anteriores?
7.2. Familias amalgamables y semigrupos de cociclos. Serı́a deseable generalizar el proceso anterior
a fin de amalgamar una familia cualquiera de espacios topológicos. Como veremos, al aparecer más de
dos espacios surgen condiciones necesarias para tener una amalgama bien definida. Supongamos que
X = {Xi : i ∈ I} es una familia de espacios topológicos, y que hemos seleccionado un subespacio Zi ⊂ Xi
para cada i; y una función continua Zj
f
ij
- X para cada i, j ∈ I. Para que la relación
i
a ∼ b ⇔ ∃i, j ∈ I(a ∈ Zj ) ∧ (b ∈ Xi ) ∧ (fij (a) = b)
sea una equivalencia en tXi ; necesitamos que sea
i
• Simétrica: Supongamos que a ∈ Zj , b ∈ Xi y a ∼ b, entonces b ∼ a por lo cual b ∈ Zi y fji (b) = a.
−1
Entonces, por definición, para cada i, j ∈ I se tiene que fij Zj = Zi y fji = fij es la inversa
de fij .
• Reflexiva: Dado a ∈ Zi , entonces a ∼ a, con lo cual fii (a) = a, luego fii = idZi para cada i ∈ I.
• Transitiva: Dados a ∈ Zk , b ∈ Zj y c ∈ Zi tales que a ∼ b y b ∼ c; entonces a ∼ c luego fjk (a) = b,
fij (b) = c y fik (a) = c. En particular fik (a) = fij fjk (a) . Dejando fijos a i, j, k y variando
a, b, c se deduce que fik = fij fjk .
Decimos que la familia X es amalgamable si se satisfacen las condiciones anteriores. Ello sucede ⇔ el
conjunto de funciones
G = fij : i, j ∈ I
satisface las siguientes propiedades:
(1) Cerrado por composiciones: fik = fij fjk .
−1
(2) Cerrado por inversos: fji = fij .
(3) Posee identidades: fii = idZi para cada i ∈ I.
Es decir G es un semigrupo (las identidades no son únicas); lo llamamos el semigrupo de cociclos
asociado a la familia amalgamable X . Las condiciones (1),(2),(3) se llaman condiciones de cociclos.
7.3. Fibrados Generales. Un fibrado es una cuadrupla ξ = (E, π, B, F ) que satisface las siguientes
condiciones:
(1) E, B, F son espacios topológicos, a E se le llama techo, a B base y a F fibra de ξ.
π
- B es una función continua, se le llama proyección de ξ.
(2) E
(3) Para cada b ∈ B existen un entorno abierto b ∈ U ⊂ B y un homeomorfismo
α
−1
- π (U ) tal que π(α(u, z)) = u para todo u ∈ U y z ∈ F . En dicha situación
U ×F
−1
decimos que (U, α) es una carta fibrada de ξ, el abierto EU = π (U ) es un entorno trivial
del fibrado.
Las siguientes propiedades se deducen directamente de la definición anterior
(a) π es sobreyectiva.
(b) B (resp. E) se cubre con una familia de cartas fibradas (resp. de entornos triviales).
46
G. PADILLA
(c) Si (α, U ) (β, V ) son dos cartas fibradas tales que U ∩ V 6= ∅ entonces el cambio de cartas se
escribe del modo siguiente
αβ
−1
: (U ∩ V ) × F
donde (U ∩ V )
(d) Para cada u ∈ U ;
g
- (U ∩ V ) × F
αβ
−1
(u, z) = (u, gαβ (u, z))
αβ
- F es una función continua que depende de las funciones α, β.
- F dada por g (u)(z) = g (u, z) es un homeomorfismo.
(i) La función gαβ (u) : F
αβ
αβ
−1
(ii) La familia G|u de todas las funciones gαβ (u) que provienen de algún cambio de cartas αβ
−1
definido en u; es un semigrupo de cociclos. Es decir, gβα (u) = gαβ (u) ; gαβ (u) ◦ gβγ (u) =
gαγ (u) y gαα (u) = idF para cualesquiera α, β, γ que provengan de cartas fibradas.
En adelante denotamos por G(ξ) al semigrupo de cociclos de ξ que consta de todas las
−1
funciones gαβ inducidas por los cambios de carta αβ , variando a α, β.
7.4. Ejemplos.
(1) Un fibrado ξ = (E, B, π, F ) es trivial ⇔ B se puede cubrir con una sola carta (α, B), en cuyo
caso, el techo E es homeomorfo al producto cartesiano B × F .
(2) Todo producto cartesiano B × F induce un fibrado trivial (B × F, B, pr1 , F ).
τ
-F
(3) Dado un fibrado ξ = (E, B, π, F ) una trivialización de ξ es una función continua E
tal que, cuando es restringida a cada fibra, τ es un homeomorfismo. Cuando E es Hausdorff
localmente compacto, entonces ξ posee alguna trivialización ⇔ es un fibrado trivial. Para ver
la implicación (⇒); si τ es una trivialización de ξ basta tomar la carta (α, B) inducida por la
−1
inversa α = φ de la función φ(e) = (π(e), τ (e)). El recı́proco se deja de ejercicio.
7.5. Morfismos fibrados. Dados dos fibrados ξ = (E, B, π, F ), ξ 0 = (E 0 , B 0 , π 0 , F 0 ); un morfismo de
fibrados ξ
- ξ 0 es un diagrama conmutativo
E
f1
- E0
π0
π
?
B
f2
?
- B0
cuyas horizontales son continuas. Un isomorfismo de fibrados es un cuadrado como arriba, tal que f1 , f2
son homeomorfismos; y un automorfismo es un isomorfismo tal que B = B 0 y f2 = idB es la identidad
del espacio base B.
7.6. Unicidad de los espacios fibrados. Denotamos en adelante por U(ξ) al conjunto de todas las
cartas fibradas de ξ. Como las propiedades (d)-(i),(ii),(iii) de §7.3 son las mismas propiedades (1),(2),(3)
de §7.1; se deduce que la familia
X (ξ) = {U × F : (U, α) ∈ U(ξ)}
es amalgamable.
Teorema 7.6.1. Si dos fibrados tienen la misma base, la misma fibra y la misma familia de cociclos,
entonces son isomorfos.
TOPOLOGIA GENERAL
47
[Demostración] Sea ξ = (E, π, B, F ) un fibrado cualquiera. La idea esencial es que ξ se puede
recuperar a través de la amalgama de los ”ladrillos triviales” del tipo U × F que pertenecen a la familia
X (ξ).
• Las familias X (ξ), G(ξ) inducen un nuevo fibrado (E, p, B, F ): Consideremos
t
U ×F
(α,U )∈U (ξ)
(u, z) ∼ (u0 , z 0 ) ⇔ (u = u0 ) ∧ ∃α∃β(z 0 = gαβ (u, z))
∼
la amalgama de los ladrillos triviales por la familia de cociclos G(ξ). Este espacio cociente está bien
definido porque X (ξ) es amalgamable. Denotamos en adelande por [u, z] ∈ E a la clase de equivalencia
de un punto (u, z) en algún ladrillo trivial. Definimos
E=
p
E
-B
p([u, z]) = u
0
0
Esta función está bien definida pues si [u, z] = [u , z ] entonces, por la definición de la relación de equivalencia, u = u0 de modo que el valor u = p([u, z]) no depende del representante de la clase [u, z].
• Cartas fibradas: Cada carta (U, α) ∈ U(ξ) induce una nueva carta en E dada por la función obvia
ıU
U ×F
- p−1 (U )
ıU (u, z) = [u, z]
que a cada punto lo manda en su clase de equivalencia. La continuidad de esta función se deja de
ejercicio.
• Cambios de carta y cociclos: Si (U, α); (V, β) ∈ U(ξ) son dos cartas del fibrado original, tales que
U ∩ V 6= ∅ y ıU (u, z) = ıV (v, z 0 ) entonces, por la definición de las funciones se tiene que [u, z] = [v, z 0 ] ∈
−1
p (U ∩ V ); luego (u, z) ∼ (v, z 0 ) son equivalentes en (U × F ) t (V × F ). Ello sucede si y sólo si u = v y
z 0 = gαβ (u)(z). En consecuencia
−1
ıV (ıU (u, z)) = (u, gαβ (u)(z))
Dado que los cambios de carta en E son los mismos del fibrado original, los cociclos se preservan.
• Isomorfismo de fibrados: Se define como sigue:
E
ψ
-E
ψ(α(u, z)) = [u, z] ∀(U, α) ∈ U(ξ) ∀u ∈ U ∀z ∈ F
La función ψ está bien definida por el paso anterior.
Referencias
[1] BREDON, G. Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics Vol. 139 Springer-Verlag. New YorkHeidelberg- Berlin (1993).
[2] DIEUDONNÉ, J. Fundamentos de análisis moderno. Reverté, 1965.
[3] DOLD, Lectures on Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics Vol. 200. Springer-Verlag. New YorkHeidelberg- Berlin (1980).
[4] DUGUNDJII, J. Topology. Allin & Bacon Boston (1966).
[5] HOCKING, J. & YOUNG, G. Topology. Dover. (1988).
[6] MUNKRES, J. Topology, a first course. Englewood Cliffs, N. J. ,Prentice-Hall 1974.
[7] ROTMAN, X. Introduction to group theory.
[8] SINGER, I. et al. Lecture notes on elementary topology and geometry. Undergraduate texts in mathematics, SpringerVerlag, 1976.
[9] STEENROD, N. The topology of fiber bundles. Princeton University Press. Princeton-New Jersey . (1951).
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias., Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Cl.45
AK30 Edif.404, Ofic. 315-404. Tel. 3165000 ext 13166.
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