CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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CUADERNO DE TRABAJO No.02
ECUACIONES, SISTEMAS DE
ECUACIONES E INECUACIONES
Mag. Mauro Ochoa Correa
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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CUADERNO DE TRABAJO No.02
ECUACIONES, SISTEMAS DE
ECUACIONES E INECUACIONES
MAURO OCHOA CORREA
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Presentación
En el presente cuaderno no se pretende hacer un estudio detallado sobre ecuaciones, sistemas de
ecuaciones e inecuaciones, sino realizar un breve “repaso” del contenido que ya fue visto en los grados
octavo y noveno. El repaso se orienta al fortalecimiento de habilidades para resolver ecuaciones de
primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones, teniendo en cuenta
que estos contenidos serán herramientas fundamentales en el estudio del Cálculo que se hará durante
el tercer y cuarto periodo académico.
Específicamente, el objetivo general de aprendizaje del presente cuaderno es demostrar habilidades
para plantear y resolver problemas en los que se requiera utilizar ecuaciones lineales, ecuaciones
cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones. Los desempeños que se esperan
fortalecer son:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Comprueba la veracidad de ecuaciones aritméticas
Traduce situaciones dadas en lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa.
Completa ecuaciones algebraicas.
Demuestra habilidad en el uso de la “Pista algebraica”.
Resuelve ecuaciones lineales utilizando las propiedades de las igualdades.
Demuestra habilidad en el manejo de “la balanza algebraica”.
Resuelve ecuaciones lineales haciendo transposición de términos.
Resuelve ecuaciones cuadráticas
Plantea y soluciona problemas en los que se aplique ecuaciones lineales y/o ecuaciones
cuadráticas .
Identifica y sustenta cuando un conjunto de ecuaciones son sistemas de ecuaciones lineales
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción o eliminación
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de determinantes
Resuelve problemas de aplicación utilizando al menos dos métodos distintos para comparar
las respuestas
Identifica los valores que cumplen una desigualdad
Representa desigualdades gráficamente y en forma de intervalos
Resuelve inecuaciones
Resuelve problemas de aplicación de inecuaciones
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Para cada una de estas temáticas se dan algunos ejemplos resueltos y los ejercicios y problemas que
se deben resolver. Finalmente se presenta el link al que se debe acceder para realizar la
autoevaluación que permitirá valorar el propio aprendizaje. La autoevaluación ha sido diseñada en
Google Formularios, para que cada estudiante pueda observar los resultados de la misma.
Adicionalmente, se indicarán algunos videos a los cuales se puede recurrir para complementar el
aprendizaje.
Este cuaderno ha sido diseñado para ser resuelto completamente en un tiempo máximo de ocho horas
de clase, es decir que se debe haber desarrollado completamente en 15 días, con lo cual se estaría
culminando el primer periodo académico.
Bienvenidos al estudio de las ecuaciones, los sistemas de ecuaciones y las inecauciones…
Recuerda: ¡Se disciplinado en tu estudio, estás abriendo las puertas de la universidad y estás
llamado a recorrer sus aulas con éxito!
Mag. Mauro Ochoa Correa
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1. Ecuaciones
Situación problema a resolver
Juan compró un lote de terreno de forma
rectangular para construir una casa. Si un lado
mide 8 metros más que el otro lado y el
perímetro del terreno es 56 metros, determinar
las dimensiones del lote.
(Dibujo tomado de:
https://www.construyendoseguro.com/como-hacerbuenos-trazos-de-linderos/)
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones denominadas miembros y que involucran
sumas y/o restas de una o más variables.
En la ecuación indicada, al reemplazar X por 1 y hacer la operación indicada en el miembro izquierdo
se obtiene que esta es igual al miembro derecho, razón por la cual ella realmente es una ecuación.
2.(1) + 3 = 2 + 3
=5
Por eso, resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita o variable
X para que se cumpla la igualdad.
Ahora, si el mayor exponente de la variable es 1, se dice que la ecuación es de primer grado (o lineal),
si es 2 se dice que es de segundo grado (o cuadrática), si es 3 es de tercer grado y así
sucesivamente. Como en este caso, solo interesa las de primer y segundo grado, a continuación, se
muestran algunos ejemplos:
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Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de segundo grado
X=6
X2 = 9
X+3 = 8
X2 + 5X = 0
2X + 5 = 13
X2 + 3X -10 = 0
3X – 4 = 11
2X2 + 11X + 15 = 0
En general, se dice que una ecuación es de primer grado si tiene la forma aX ± b = 0 ; a ≠ 0 y
es de segundo grado si tiene la forma . aX2 ± bX ±c = 0 ; a ≠ 0. En este último caso, si a = 0, se
tendría una ecuación de primer grado.
En el primer y segundo ejemplo de ecuaciones de primer grado a = 1; en el tercer ejemplo a = 2
y en el cuarto ejemplo a = 3. Para los ejemplos de ecuaciones de segundo grado se tiene que en
el primer ejemplo: a = 1, b = 0 y c = 0; en el segundo a = 1, b = 5 y c = 0; en el tercero a = 1,
b =3 y c = - 10; y finalmente, en el cuarto ejemplo a = 2, b = 11 y c = 15.
Actividad Práctica 1
1. Comprueba cuales igualdades aritméticas se cumplen:
• 2 + 8 + 15 = 11 + 14
• (5 x 15) + (125 / 25) = 100
• 18 + 12 – 25 = 32 -12 -15
• (12 x 3) + (18 x 2) = (23 x 4) – ( 100 / 4)
• 122 – 84 = 23 + 25
• 32 + 25 = 72 – 8
• 322 + 124 -223 = 425 – 236
• (23)2 = 43
• 12 x 3 = 108 / 3
• √144 - 34 = 52 – 94
2. Si X representa la cantidad de dinero que tienes ahorrado, escribe la expresión algebraica que
representaría:
a. El doble de la cantidad de dinero que tienes ahorrado
b. El triple de la cantidad de dinero que tienes ahorrado
c. La mitad de la cantidad de dinero que tienes ahorrado
d. La quinta parte de la cantidad de dinero que tienes ahorrado
e. Las dos terceras partes de la cantidad de dinero que tienes ahorrado
f. Un tercio de la cantidad de dinero que tienes ahorrado aumentado en $ 60.000
g. El doble de la cantidad de dinero que tienes ahorrado disminuido en $ 150.000
h. El cuadrado de la cantidad de dinero que tienes ahorrado dividido en 9 millones es equivalente
al triple de la cantidad de dinero que tienes ahorrado aumentado en 100 mil.
3.
Si en el punto anterior, X = 300.000, cuanto tendrías en cada caso de los literales anteriores.
4.
Si X representa la distancia en kilómetros recorrida por un ciclista en una etapa de la vuelta a
Colombia, ¿que representaría las siguientes expresiones algebraicas?
• 2X
• X/2
• X + 20
• 2/3 X + 50
• 3X
• X/3
• X – 20
• ½ X – 20
• 4X
• X/4
• 2X + 30
• 2X + 5X
• 5X
• X/10
• 2(X + 30)
• X + 20 = 3X – 50
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5. Dibuje rectángulos que cumplan las siguientes condiciones:
a. Altura igual al doble de la base.
b. La base igual a la mitad de la altura.
c. Altura igual a dos tercios de la base.
d. La base igual a tres veces la altura.
e. Base igual a la mitad del triple de la altura.
6.
Si X = 5, completa las siguientes ecuaciones algebraicas:
a.
b.
c.
d.
X+6=
X - 12 =
X + 23 =
X - 26 =
e.
f.
g.
h.
2X + 12 =
3X - 25 =
2 ( X + 5) =
5X2 - 3 =
i.
j.
k.
l.
1/5 X + 5 =
2X + 3X =
X2 =
2X - X =
¿Cómo resolver una ecuación de primer grado?
Tal como ya se manifestó, resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la
incógnita o variable X para que se cumpla la igualdad. Para ello se deben realizar las operaciones
que sean necesarias para que la incógnita X quede sola en uno cualquiera de los dos miembros. A
continuación, se mostrarán algunos ejemplos, utilizando dos procedimientos. El primero, haciendo uso
de las propiedades de la igualdad, de tal forma que cada operación que se haga en uno de los
miembros se deberá realizar en el otro para que la igualdad se conserve; y el segundo, haciendo
transposición directa de términos.
Procedimiento 1: Haciendo uso de las propiedades de la igualdad.
Ejemplo 1:
Ecuación:
X+5=8
X+5-5=8–5
X+0=3
X=3
Justificación:
Para dejar sola la X en un miembro se debe “quitar” el 5 y por eso se ha
restado 5 (esto hay que hacerlo en ambos miembros para conservar la
igualdad)
Aplicando propiedad cancelativa y clausurativa en la suma
Aplicando propiedad modulativa en la suma
Ejemplo 2:
Ecuación:
2.X = 10
2X / 2 = 10 / 2
1X = 3
X=3
Justificación:
Para dejar sola la X en un miembro se debe dividir por 2 en ambos
miembros, dado que X está multiplicándose por 2.
Aplicando propiedad cancelativa y clausurativa en la multiplicación.
Aplicando propiedad modulativa en la multiplicación.
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Ejemplo 3: (Completa la justificación)
Ecuación:
3.X – 5 = - 17
3.X – 5 + 5 = - 17 + 5
3.X = - 12
3.X / 3 = - 12 / 3
1.X = - 4
X=-4
Justificación:
Ejemplo 4: (Completa la justificación)
Ecuación:
Justificación:
3X – 4 = 14
3X – 4 + 4 = 14 + 4
3X + 0 = 18
3X/ 3 = 18 / 3
X =6
Procedimiento 2: Se resolverán los mismos ejemplos, pero ahora haciendo transposición de
términos.
Ejemplo 1:
Ecuación:
X+5=8
X
=8-5
X
=3
Justificación:
Como el 5 está sumando con la X, entonces se transpone a restar
Ejemplo 2:
Ecuación:
2.X = 10
X = 10 / 2
X=5
Justificación:
Como el 2 multiplica a X, entonces se transpone a dividir.
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Ejemplo 3: (Completa la justificación)
Ecuación:
3.X – 5 = - 17
3X
= - 17 + 5
3X
= - 12
X
= - 12 / 3
X
=-4
Justificación:
Ejemplo 4: (Completa la justificación)
Ecuación:
Justificación:
3X – 4 = 7 . 2
3X – 4 = 14
3X
= 18 + 4
3X
= 18
X
= 18 / 3
X
=6
Actividad Práctica 2
1.
Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando las propiedades de las igualdades:
• X + 12 = 23
• X + 3 = -15
• 2x + 15 = 3
• 2X = 20
• X – 12 = 25
• X – 3 = -15
• 3m – 7 = 8
• 5X = 40
• 7=X+9
• X – 3 = 15
• 5y – 4 = 16
• X / 5 = 21
• a–8=3
• X + 3 = 15
• - 9 + 20 x = -26
• X / 3 = 12
• m + 4 = -12
• 8=Y+5
• 5 – 3x = -10
• X/4 -5=1
2.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
• X + 3 = 15
• (X + 5) / 4 = 10
• X + 12 = -25
• ( X – 4) / 3 = -12
• X – 5 = 34
• 6X – 8 = 3X + 7
• X – 8 = - 22
• 9m – 12 = - 3m + 72
• 2X = 48
• 3r + 5 – 8r + 2 = 6r – 1
• 3X = - 36
• -5X + 4 + 9X – 6 = 2X – 8
• - 5X = 75
• -9a + 12 = 3a - 8 + 6a – 9
• - 6X = - 72
• 10X – 21 = 8X – 7 – 12X – 6
• 4X - 8 = 32
• 5.( X + 1) = 8.(X - 3)
• 3x + 12 = 72
• 9.(m - 3) = -4.(m + 2)
• X / 2 + 15 = 25 • 12.(b+8) = -16.(b + 1)
• X/3 – 12 = 2
• 3x – [ 4x – (5x +1) ] – 3 = -(4x +2)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1/4.(x -2) = 9/5.(x + 1/3)
3/4.(x +5) = - 1/2.(x – 3)
3x/2 + 1/3 = x/4 + 7/12
2x/5 – 1/3 = 4
x/5 + 2x/3 = 2/3
8y/3 – 7y/2 + 1/5 = 0
2z/3 – 8z/4 – ½ = 1/5
3m/4 – 2/5 = 2m
7x/2 = x/4 – 1/3
7y/3 + 5y/4 – y/12 = 16
2/ (3x-2) – 7/4 = 0
5/(x+4) = 3/(x+3)
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3. Resolver:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
11X + 5X – 1 = 65X – 36
16 + 7m – 5 + m = 11m -3 – m
X –(2X + 1) = 8 – (3X +3)
15X -10 = 6X –(X +2) + (-X +3)
(5 -3X) – (- 4X +6) = (8X +11) – (3X -6)
X – [ 5 + 3X - { 5X – (6 + X) } ] = - 3
X + 3(X – 1) = 6 – 4(2X + 3)
5(x – 1) + 16( 2X + 3) = 3(2X -7) – X
i.
j.
k.
l.
m.
n.
ñ.
o.
X/6 + 5 = 1/3 – X
3X/5 – 2X/3 + 1/5 = 0
1/2X + 1/4 - 1/10X = 1/5
X/2 + 2 – X/12 = X/6 – 5/4
3X/4 – 1/5 + 2X = 5/4 – 3X/20
2/3X – 5/X = 7/10 – 3/2X + 1
1 + 1/X + 2/X + 3/X + 4/X = 0
(1/X)/(1/2X) = 2X
4. En las siguientes ecuaciones, despejar la incógnita solicitada:
a) En v = x / t despejar t. ( v= velocidad, x= espacio, t= tiempo)
b) En vf = vi + a.t despejar a. (vf= velocidad final, vi= velocidad inicial, a= aceleración)
c) En x = vi.t + at2/2 despejar a.
d) En F = m.a despejar a. (F = fuerza)
e) En p = m.g despejar m. (p= peso)
f) En ac = v2 / r despejar r. (r= radio)
g) En P = T / t despejar t. (P=potencia, T=Trabajo)
5. Resolver cada uno de los siguientes problemas y comprobar su respuesta:
a. Si la edad de Camilo se incrementa en 12 años, se tiene como resultado 25 años. ¿Cuál es
la edad de Camilo?
b. El doble de la cantidad de dinero que tiene Andrés disminuido en $4.000 equivale a $11.800.
¿Qué cantidad de dinero tiene Andrés?
c. La tercera parte de los estudiantes de grado undécimo que no perdieron materias en el
primer periodo aumentado en 15, equivale al doble de estos estudiantes disminuido en 25.
¿Cuántos estudiantes de grado octavo no perdieron materias en el tercer periodo?
d. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números.
e. La suma de dos numeros naturales consecutivos es 21. Hallar los números.
f. La suma de tres numeros naturales consecutivos es 54. Hallar los números.
g. Andrés tiene 14 años menos que Carlos y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene
cada uno?
h. Entre Alberto y Camilo tienen $11.540 pesos y Camilo tiene $ 3.450 menos que Alberto.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?
i. La edad de Maritza es el triple de la edad de Cristhian y ambas edades suman 40 años.
Hallar ambas edades.
j. Jaime hizo mercado el fin de semana por un valor de $300.000. Si lo de aseo y granos
costó 4 veces lo de las verduras, ¿Cuánto costaron las verduras?
k. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la
mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?
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¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado?
Recuerda que una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es de la forma
donde a es diferente de cero.
Primero se darán algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas, es decir, aquellas donde
el coeficiente lineal b = 0 y/o el coeficiente independiente c = 0, para luego resolver ecuaciones
cuadráticas completas.
Ejemplo 1:
Ecuación:
X2 = 9
√ X2 = √ 9
X
= ±3
Justificación:
b=0yc=0
Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros
Todo número real tiene dos raíces cuadradas: Una positiva y una
negativa.
Así, la solución a la ecuación dada es X = +3 y X = - 3. Tiene dos soluciones reales.
Ejemplo 2:
Ecuación:
X2 + 3 = 19
X2 = 19 – 3
X2 = 16
√ X2 = √ 16
X
= ±4
Justificación:
b=0
Haciendo transposición de términos
Aplicando propiedad clausurativa
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros
Ejemplo 3: (Completa la justificación)
Ecuación:
X2 + 5X = 0
X. (X + 5) = 0
Luego
X = 0 o (X + 5) = 0
Si X + 5 = 0, se tiene que X = - 5
Por lo tanto se tiene dos soluciones:
X=0yX=-5
Justificación:
c=0
Factorizando (Factos común)
Porque si m x n = 0, entonces m = 0 o n = 0
Haciendo transposición de términos
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Ejemplo 4: Trinomios de la forma X2 + bX + c = 0, es decir aquellos donde a = 1, b y c diferentes
de cero
Ecuación:
X2 + 3X - 10 = 0
(X
). (X ) = 0
(X+
). (X -
) =0
( X + 5 ). ( X - 2 ) = 0
Luego
X+5=0
o
X–2 =0
Si X + 5 = 0, entonces X = - 5
Si X – 2 = 0, entonces X = 2
Justificación:
a = 1, b = 3 y c = - 10
Se buscan los dos factores de tal forma que el primer
término de cada factor es la raíz de la potencia
cuadrática.
En el primer factor se coloca el primer signo y en el
segundo factor el producto de los dos signos.
Se buscan dos números que multiplicados den c y
sumados den b.
Porque si m x n = 0, entonces m = 0 o n = 0
Haciendo transposición de términos
Haciendo transposición de términos
Por lo tanto se tiene dos soluciones:
X=-5yX=2
Ejemplo 5: Trinomios de la forma aX2 + bX + c = 0.
Ecuación:
6X2 + 11X - 10 = 0
36X2 + 11(6X) – 60 = 0
(6X)2 + 11(6X) – 60 = 0
(6X + 15 ) . ( 6X - 4 ) = 0
Luego
6X + 15 = 0
o
6X – 4 = 0
Si 6X + 15 = 0, entonces X = - 5/2
Si 6X – 4 = 0, entonces X = 2/3
Por lo tanto se tiene dos soluciones:
X = - 5/2 y X = 2/3
Justificación:
Se multiplica y divide por 6 para conservar la igualdad.
Por 6 porque este es el coeficiente cuadrático e interesa
convertir el primer término en una potencia cuadrática.
Se aplica propiedad distributiva. Observe que en el
segundo término solo se ha dejado indicada la
multiplicación sin colocar el producto.
Se hizo transposición del divisor ( el 6)
Se ha escrito el trinomio de tal manera que ahora sea de
la forma X2 + bX + c = 0.
El primer término de cada factor es la raíz de la potencia
cuadrática y se buscaron dos números que ultiplicado
dieran - 60 y sumados 15.
Porque si m x n = 0, entonces m = 0 o n = 0
Haciendo transposición de términos
Haciendo transposición de términos
Ahora, como ejemplo 6, se va a resolver un trinomio pero utilizando la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas. Ella es:
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Ejemplo 6: Solución de trinomios utilizando la fórmula general.
Resolver la ecuación: 2X2 - 4X - 6 = 0
En esta ecuación a = 2, b = - 4 y c = - 6. Aplicando la fórmula general se tiene:
Actividad Práctica 3
1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a. X2 = 49
b. 25X2 = 1
d. 3X2 - 9 = 0
e. 6X2 = – 3X
2
g. 4X - 20X + 25 = 0
h. X2 – 14X + 49 = 0
2
j. X - 6X = 7
k. X2 + 10X + 3 = 0
c. X2 - 25 = 0
f. X2 – 10X + 25 = 0
i. 2X2 - 2 = – 3X
l. 4X2 = X – 3
Nota: Los últimos cinco ejercicios resuélvelos por factorización y utilizando la fórmula general.
Compara las respuestas.
2. En las siguientes ecuaciones, despejar la incógnita solicitada:
a) En 2ax = vf2 – vi2 despejar vf
b) En y = g.t2 / 2 despejar t. ( y=altura, g= gravedad)
c) En ac = v2 / r despejar v. (r= radio)
4. En el punto anterior calcular lo despejado en cada literal, con los datos dados:
a) a= 2 m/s2, x = 15 m, vi = 1 m/s
b) y= 10 m, g= 9,8 m/s2
c) ac = 2 m/s2, r = 1 m
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2. Sistemas de ecuaciones
Situación problema a resolver
Si se organiza la cantidad de fallecidos en Colombia
(a la fecha) por CIVID-19 en tres grupos, a saber:
Grupo 1, menores o iguales a 36 años, Grupo 2 entre
36 y 60 años y Grupo 3 mayores o iguales a 60 años;
de acuerdo con la información publicada por el
Instituto Nacional de Salud (INS) en la página
https://www.ins.gov.co/Noticias/paginas/coronavirus.
aspx, al 4 de febrero, se tiene que:
1. La cantidad total de fallecidos en los tres
grupos es 254.
2. El doble de fallecidos del grupo 1 más los
fallecidos del grupo 2 son 61
3. Seis veces la cantidad de fallecidos del grupo 2
disminuido en la cantidad de fallecidos del grupo
3, son 40.
(Imagen
tomada
de
¿Cuántas personas han fallecido por COVID 19 en https://www.ins.gov.co/Noticias/paginas/coronavirus
Colombia en cada grupo?
.asp)
¿Qué es un Sistema de Ecuaciones lineales?
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones con dos o más variables cuyos
valores de las variables son solución para cada una de las ecuaciones. Si se tienen dos ecuaciones
con dos variables se dice que es un sistema 2x2, si se tienen tres ecuaciones con tres variables se
dice que es un sistema 3x3 y así sucesivamente. A continuación, se muestran dos ejemplos:
2X+ Y=4
X + 3Y = 7
Este es un sistema de ecuaciones 2x2, porque hay dos ecuaciones con
dos incógnitas: X y Y. Si se reemplaza a X por 1 y a Y por 2, las dos
ecuaciones se cumplen.
X + 2Y – Z = 7
3X + Y + 2Z = 11
2X – 2Y - Z = -3
Este es un sistema de ecuaciones 3x3, porque hay tres ecuaciones con
tres incógnitas: X, Y y Z. Si se reemplaza a X por 2, a Y por 3 y a Z por 1,
las tres ecuaciones se cumplen.
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De manera general, un sistema de ecuaciones lineales mxn es:
Donde m es el número de
ecuaciones, n el número de
incógnitas o variables,
Xi son las variables, aij los
coeficientes de las variables y bi
son términos libres.
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución (se denomina compatible determinado),
o infinitas soluciones (se denomina compatible indeterminado) o no tener solución (se denomina
incompatible). Los dos ejemplos anteriores son sistemas de ecuaciones lineales compatibles
determinados porque cada uno de ellos tiene una solución. Ahora, el sistema:
X + 2Y = 3
2X + 4Y = 6
Es un sistema de ecuaciones compatible indeterminado porque tiene
infinitas soluciones. Si hacemos (X,Y) igual a (-3,3) o (-1,2) o (1,1) o (3,0)
o (5,-1) o (7,-2), etc., cualquiera de ellos satisface el sistema.
X + 2Y = 3
X + 2Y = -1
Es un sistema de ecuaciones incompatible porque no existe una pareja
(X,Y) que satisfaga al mismo tiempo las dos ecuaciones.
Esto se revisará con mayor detalle cuando se estudie el método gráfico para resolver sistemas de
ecuaciones.
¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?
A continuación se mostrarán diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
Gráfico, sustitución, igualación, reducción y determinantes. Se utilizará el mismo sistema 2x2 para los
diferentes métodos, para que se pueda verificar que sin importar el método a utilizar, siempre se
obtiene la misma respuesta si el procedimiento se desarrolla correctamente. Finalmente se dará un
ejemplo de solución de un sistema 3x3.s
Para los ejemplos 2x2, se utilizará el sistema y se explicará paso a paso el respectivo procedimiento.
2X+ Y=4 →
X + 3Y = 7 →
A esta ecuación se le llamará (1)
A esta ecuación se le llamará (2)
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Método gráfico:
Paso 1: Se despeja Y en cada una de las ecuaciones:
De la ecuación (1) se tiene que: Y = 4 – 2X
De la ecuación (2) se tiene que: Y = (7- X) / 3
Paso 2: Se grafica cada una de estas funciones en un mismo plano cartesiano. Como se sabe que
las ecuaciones son de primer grado, entonces su traza es una recta, de tal forma que al
realizar la tabla basta con tomar dos valores para X, así:
Para Y = 4 – 2X:
Para Y = (7- X) / 3:
Las rectas obtenidas son:
La solución al sistema de
ecuaciones está dado por el
punto de corte de las dos
rectas, es decir X = 1 y Y = 2
porque el punto de corte es
(X,Y) = (1,2).
Si las dos rectas coinciden, es decir, si una queda sobre la otra, entonces se dice que el sistema es
compatible indeterminado y si las dos rectas son paralelas, es decir, que no se cortan en ningún punto,
entonces se dice que el sistema es incompatible. Se puede comprobar con los ejemplos dados
anteriormente.
Método de sustitución.
Se denomina sustitución porque se busca despejar una de las variables (X o Y, cualquiera de las dos)
y luego sustituir este resultado en la otra ecuación, de tal forma que solamente quede una variable
para despejar y hallar su valor, el cual se reemplaza en el despeje de la variable inicial. Este proceso
sería así: (Recuerda que estamos tomando el mismo sistema de ecuaciones utilizado en el método
anterior).
2X+ Y=4 →
X + 3Y = 7 →
Ecuación (1)
Ecuación (2)
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Paso 1: Se despeja X o Y en la ecuación que se desee.
En este caso se despejará Y de (1) y se tiene que:
Paso 2: Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2), así:
Paso 3: Se despeja X:
Paso 4: El valor de X se reemplaza en la ecuación (3):
Y = 4 – 2X
Ecuación (3)
X + 3(4 – 2X) = 7
X + 12 – 6X = 7
X – 6X = 7 – 12
- 5X = -5
X = -5 / -5
X=1
Y = 4 – 2(1)
Y=4–2
Y=2
Método de igualación
Se denomina igualación porque se busca despejar la misma variable (la que se desee) en las dos
ecuaciones y luego igualar los resultados. De esta forma solamente queda una variable para despejar
y hallar su valor, el cual se reemplaza en el despeje de la variable inicial en cualquiera de las dos
ecuaciones. Este proceso sería así:
2X+ Y=4 →
X + 3Y = 7 →
Ecuación (1)
Ecuación (2)
Paso 1: Se despeja la variable que se desee. En este caso se despejará Y de (1) y se tiene que:
Y = 4 – 2X
Ecuación (3)
Paso 2: Se despeja la misma variable en la ecuación (2), así:
Y = (7 – X) / 3 Ecuación (4)
Paso 3: Se igualan los miembros derechos de (3) y (4):
4 – 2X = (7 – X) / 3
Paso 4: Se despeja X:
(4 – 2X).3 = (7 – X)
12 – 6X = 7 – X
– 6X + X = 7 – 12
– 5X = - 5
X=-5/-5
X=1
Paso 5: Se reemplaza el valor de X en la ecuación (3):
Y = 4 – 2(1)
Y=4–2
Y=2
Método de reducción
Se denomina reducción porque se busca hacer operaciones sobre las ecuaciones de tal forma que
una de las variables tengan como coeficientes sus opuestos aditivos. Así, al sumar las dos ecuaciones
una de las variables se puede cancelar, reduciendo las dos variables a una sola. Luego, solamente
queda una variable para despejar y hallar su valor, el cual se reemplaza en cualquiera de las
ecuaciones iniciales para determinar su valor. Este proceso sería así:
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Paso 1: Para que X tengan coeficientes opuestos, se multiplica la ecuación (2) por -2 y el sistema
queda de la siguiente forma:
2X+ Y=4
X + 3Y = 7 → x(-2)
2X+ Y=4
-2X - 6Y = -14
Paso 2: Se suman las dos ecuaciones:
2X+ Y=4
-2 X - 6Y = -14
- 5Y = - 10
Paso 3: Se despeja Y del resultado de la suma:
-5Y = -10
Y = -10 / -5
Y=2
Paso 4: Se reemplaza el valor de Y en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En este caso se
hará en la ecuación (2): X + 3(2) = 7
X+6=7
X=7–6
X=1
Método de determinantes
El determinante de una matriz S, denotado por ΔS, es el número que resulta de la suma de los
productos elementales de la matriz cuadrada (igual número de filas y de columnas) que se forma con
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones. Por ejemplo, en el sistema que se está
trabajando,
2X+ Y=4
X + 3Y = 7
Se puede obtener una matriz S con los coeficientes de las variables y un vector columna V con los
términos libres (los del miembro derecho), tal como se muestra a continuación:
Así, X = ΔX / ΔS y Y = ΔY / ΔS, donde ΔX resulta de intercambiar en S la columna de los
coeficientes de x por los términos libres y ΔY de intercambiar en S la columna de los coeficientes de
Y por los términos libres, tal como se muestra a continuación.
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Se verifica que sin importar el método que se utilice, la respuesta debe ser la misma si el procedimiento
desarrollado es correcto.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales 3x3
Vistos ya los diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones 2x2, se puede utilizar
cualquiera de estos o combinaciones de ellos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 3x3,
4x4, etc. La idea es que al tener un sistema nxn este se pueda reducir a un sistema (n-1)x(n-1), luego
a un sistema (n-2)x(n-2) y así sucesivamente hasta tener una sola variable. En el caso del sistema
3x3, se busca reducirlo a un sistema 2x2 y luego a tener una sola variable. A continuación se presenta
un ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales
X + 2Y – Z = 7
3X + Y + 2Z = 11
2X – 2Y - Z = -3
Ecuación (1)
Ecuación (2)
Ecuación (3)
Aplicando el método de reducción y teniendo en cuenta que los coeficientes de Y en las ecuaciones
(1) y (3) son opuestos aditivos, entonces se suman:
X + 2Y – Z = 7
2X – 2Y - Z = -3
3X
- 2Z = 4
Ecuación (1)
Ecuación (3)
A esta ecuación se le llamará Ecuación (4)
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Ahora, se multiplica la ecuación (2) por – 2 y se suma con la ecuación (1) para eliminar también la
variable Y
X + 2Y – Z = 7
- 6X - 2Y - 4Z = - 22
-5X
- 5Z = - 15
Ecuación (1)
Ecuación (2) multiplicada por -2
A esta ecuación s ele llamará Ecuación (5)
Observe que ahora se tiene un sistema de ecuaciones lineales 2x2:
3X
-5X
- 2Z = 4
- 5Z = - 15
Ecuación (4)
Ecuación (5)
Si se multiplica a (4) por 5, se tiene:
Y si se multiplica a (5) por -2, se tiene:
Al sumar estas dos ecuaciones:
Se despeja X:
15X – 10Z = 20
10X + 10Z = 30
25X
= 50
X = 50 / 25
X = 2
Reemplazando el valor de X en la ecuación (4): 3 (2) – 2Z = 4
6 - 2Z = 4
- 2Z = 4 - 6
Z = -2 / -2
Z=1
Reemplazando los valores encontrados de X y Z en la ecuación (2), se tiene:
3(2) + Y + 2(1) = 11
6 + Y + 2 = 11
Y + 8 = 11
Y
= 11 – 8
Y = 3
Así, la solución al sistema de ecuaciones es ( X, Y, Z) = ( 2, 3, 1)
Actividad Práctica 4
1. Identifica cuáles conjuntos de ecuaciones son un sistema de ecuaciones lineales
a. X + 2Y = 5
X = 3Y
b. X2 = Y
X+Y=5
c. X + Y + Z = 6
Y–X=2
d. X + 7 = - 2Y
X–Y=4
e. X + Y = -2
XY = 3
f. X2 + Y = 4
X–Y=2
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando al menos dos métodos para cada uno
de ellos. Compara las respuestas.
a. X + Y = 5
2X – Y = 4
b. 2X + Y = 9
3X - Y = 1
c. 3X - 2Y = 11
– 2X + 2Y = -8
d. 2m + n = 9
m–n =3
e. 3X - 5Y = 0
X – 2Y = 1
f. 4X + Y = 0
-4X – Y = -2
g. 3a – 11b = 5
2a + 4b = 1
h. 4X + 3Y = 2
- 3X – 2Y = -1
i. – 3X + 4Y = 5
X – 9Y = - 2
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a. X + Y + Z = 3
X – Y + 2Z = 5
X – Y – 3Z = -10
b. 3a – 2b + c = 2
a + 4b – c = 6
2a + 5b – 7c = -9
4. Resuelve los siguientes problemas:
a. La suma de dos números es 73 y su diferencia es 33. Hallar los números.
b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo equivale a 5 veces el
ancho. Hallar las dimensiones de la sala.
c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500; 17 entradas de niños y 14
de adultos cuestan $134.500. Hallar el precio de entrada de un adulto y de un niño.
d. La edad de Antonio hace 8 años era el triple de la edad de su hija María. Dentro de 4 años la
edad de María será 5/9 de la edad de su padre. ¿Cuáles la edad actual de María y de Antonio?
e. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2
y el residuo es 4. Hallar los números.
f. Si la suma de las alturas del monte Everest en el Himalaya y el volcán Kilimanjaro equivale a
14,744 metros y la altura del monte Everest es 3/2 de la altura del Kilimanjaro aumentada en
4 metros. Encontrar las alturas en metros del monte Everest y el volcán Kilimanjaro.
g. El Mauna Kea es un volcán de Hawái. Tiene la base en el fondo del mar. Si se midiera desde
ahí en lugar de medirlo desde el nivel del mar, sería 1.355 metros más alto que el monte
Everest. ¿Qué altura tiene el Mauna Kea medido desde su base?
h. El volcán más alto del sistema solar es el monte Olimpo ubicado en Marte. Es tres veces más
alto que el Everest y nueve veces más alto que el monte Olimpo de Grecia. ¿Cuál es la altura
del Monte Olimpo en Marte? ¿Cuál es la altura del monte Olimpo en Grecia?
i. La suma de tres números es 12. El tercero es el cuádruple del segundo y el segundo es igual
a 6 veces el primero. ¿Cuáles son esos números?
j. 4 kilos de arroz, 5 de azúcar y 3 de lenteja cuestan $ 14.500 y 3 de azúcar, 5v de arroz y 4 de
lenteja cuestan $11.800; 2 de lenteja, 1 de azúcar y 2 de arroz cuestan $4.600. Hallar el precio
de un kilo de cada uno de los productos.
k. Se quiere repartir un premio de $500.000 entre tres personas. La primera persona debe recibir
el doble de la segunda y la segunda debe recibir el triple de la tercera. ¿Cuánto dinero recibirá
cada persona?
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3. Inecuaciones
Situación problema a resolver
Sebastián, estudiante de grado Once del ITI, desea
comprarse un celular que le cuesta $ 840.000, para lo
cual decide trabajar en las horas de la tarde. Por cada
tarde que trabaje le pagarán $30.000. Si su mamá
decide regalarle $ 300.000, ¿Al menos cuántas tardes
debe trabajar Sebastián para reunir el dinero suficiente
para comprar el celular?
(Imagen tomada de https://freepikpsd.com/celular-modernodibujo-png-transparent-images/207860/celular-moderno-dibujopng-transparent-images-2/)
¿Qué es una Inecuación?
Una inecuación es una desigualdad algebraica que se relaciona mediante los signos: <, >, ≤ o ≥.
En este cuaderno solo trabajaremos inecuaciones de primer grado o inecuaciones lineales. Algunos
ejemplos de inecuaciones lineales son: 2X + 3 < 5; X -8 > 3; 3X – 2 ≤ -2; -2X + 3 ≥ 4; …
Todos los valores que satisfacen la desigualdad, se conocen como la solución de la inecuación. Se
tomarán los anteriores ejemplos para mostrar el procedimiento a seguir en su solución.
Ejemplo 1: Resolver la inecuación 2X + 3 < 5
Esta inecuación se resolverá utilizando las propiedades de las desigualdades:
2X + 3 < 5
2X + 3 – 3 < 5 – 3
2X + 0 < 2
2X
<2
2X / 2 < 2 / 2
X<1
Restamos 3 en ambos miembros
Aplicamos propiedad cancelativa
Aplicamos propiedad modulativa
Dividimos ambos miembros por 2
Aplicamos propiedad cancelativa
Esto quiere decir que todos los números reales que sean estrictamente menores que 1, hacen parte
de la solución de esta inecuación. Esta solución se puede expresar mediante una representación
gráfica o un intervalo, tal como se muestra a continuación:
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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En la representación gráfica el punto correspondiente al 1 se ha dibujado “hueco” para indicar que el
1 no se incluye en el conjunto solución. En caso contrario, es decir, si se incluyera el 1, entonces el
punto se dibujaría “relleno”. Cuando la representación es en intervalo, se coloca un paréntesis para
indicar que el extremo no se incluye, y en caso de incluirse se colocaría un 2corchete”. El - ∞ y el +∞,
“nunca” se incluyen. El intervalo ( - ∞, 1) es un intervalo ABIERTO, porque ninguno de los extremos
se incluyen en el conjunto solución.
Ejemplo 2: Resolver la inecuación X – 8 > 3
Esta inecuación se resolverá haciendo y trasposición de términos.
X–8>3
X
>3+8
X
> 11
La solución está formada por todos los valores estrictamente mayores que 11.
Ejemplo 3: Resolver la inecuación 3X – 2 ≤ -2
3X – 2
3X
3X
X
X
≤ -2
≤ -2 + 2
≤ 0
≤ 0/3
≤ 0
La solución está formada por todos los valores menores o iguales al 0, es decir, INCLUYE el 0.
El conjunto solución corresponde a un intervalo SEMIABIERTO porque es abierto en un extremo (en
- ∞ ) y cerrado en el otro ( en 0 ), razón por la cual en la representación gráfica el punto 0 está
completamente 2relleno” y en el intervalo se ha colocado un “corchete” en el extremo del 0.
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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Ejemplo 4: Resolver la inecuación - 2X + 3 ≥ 4
- 2X + 3 ≥ 4
- 2X
≥4-3
- 2X
≥1
- 2X (-1) ≤ 1 . (-1)
2X
≤-1
X
≤ -1 / 2
→ Observe que al multiplicar por -1 se cambia el signo de la desigualdad.
El conjunto solución está formado por todos los valores menores o iguales a – 1/2, incluyéndolo.
Actividad Práctica 5
1. Representa en la recta real y en forma de intervalo los siguientes conjuntos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2.
Resuelve las siguientes desigualdades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3.
A = { x Є R / x < 5}
B = { x Є R / x > -3/2 }
C = { x Є R / x ≤ -7 /4 }
D = { x Є R / x ≥ - 1,75 }
E = { x Є R / 0 < x < 5}
F = { x Є R / -2 < x ≤ 4}
G = { x Є R / - 3/2 ≤ x < 4}
H = { x Є R / - 1 ≤ x ≤ 7/2 }
3X – 4 < 7
2X + 6 > 12
5X – 2 ≤ -3
4X + 3 ≥ 5
-2X + 5 < 15
3 - 4X > 11
3X – 4 < 6X – 2
5 – 3X ≥ X - 3
Resuelve la situación problema inicial y crea un problema similar.
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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4. Actividades de refuerzo y
profundización.
Resuelve los siguientes problemas:
1. Una máquina de cambiar monedas, cambia los billetes de $1.000 en monedas de $50 y de $20.
Si usted recibe 29 monedas, después de introducir un billete de $1.000, ¿Cuántas monedas de
cada tipo recibe?
A.
B.
C.
D.
14 monedas de $50 y 15 monedas de $20
14 monedas de $20 y 15 monedas de $50
12 monedas de $50 y 17 monedas de $20
18 monedas de $50 y 12 monedas de $20
2. El sistema que mejor expresa el enunciado “Dos ángulos suplementarios son tales que la medida
del primero es 6º menor que el doble de la medida del segundo. ¿Cuáles son los ángulos?” es:
A. X + Y = 180°; X – 2Y = - 6°
B. X + Y = 180° ; X – 2Y = 6°
C. X + Y = 90°; X – 2Y = - 6°
D. X + Y = 90°; X – 2Y = 6°
3. El enunciado que podría corresponder al sistema X + Y = 10 y 2X + 4Y = 32; es:
A. Un examen consta de un total de 10 preguntas y se puntúan con 4 puntos las acertadas y con
menos 2 puntos las erróneas. Al final se ha obtenido un 32 de puntuación en el examen.
¿Cuántas preguntas se han acertado y cuantas se han fallado?
B. Tenemos 32 bolas de colores y las repartimos en bolsas de 2 y de 4 bolas cada una. Al final nos
quedan 10 bolas sueltas. ¿Cuántas bolsas de cada tipo tenemos?
C. En un aparcamiento hay 10 vehículos entre motos y coches. En total hay 32 ruedas, sin contar
las de repuesto. ¿Cuántas motos y coches hay en el garaje?
D. En una granja hay 10 porcinos entre hembras y machos. Si la cantidad de hembras es el doble
de machos, ¿Cuántas hembras hay?
4. El gerente de una empresa invita a sus socios a cenar y solo tiene $ 150.000. Si todos (incluyendo
al gerente) piden platos de $30.000 le falta dinero, pero si pide platos de $22.000 le sobra dinero.
La cantidad de socios que el gerente invitó a cenar, es:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
CUADERNO DE TRABAJO No. 02: ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
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5. Un granjero prepara un abono especial para sus árboles mezclando dos tipos de nutrientes, de tal
forma que la cantidad del nutriente B debe ser el doble de la cantidad del nutriente A. Si el costo del
nutriente A es de $7.000 el kilo y el nutriente B es de $4.000 3l kilo, ¿Cuál es la cantidad máxima
que debe comprar de cada nutriente si dispone de $120.000 para ello?
A.
B.
C.
D.
8 K del Tipo A y 16 k del Tipo B.
16 K del Tipo A y 8 k del Tipo B.
10 K del Tipo A y 14 k del Tipo B.
14 K del Tipo A y 10 k del Tipo B.
5. Evaluación
Autoevaluación
Es necesario valorar autónomamente y con mucha honestidad cada uno de los desempeños dados
en la siguiente tabla, utilizando la escala de 1.0 a 5.0. Teniendo en cuenta el desarrollo de las
prácticas dadas en este cuaderno de trabajo, coloca la valoración que consideres adecuada en la
columna indicada como VALOR de lo aprendido; y finalmente promedia estos valores.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
DESEMPEÑO
Comprueba la veracidad de ecuaciones aritméticas
Traduce situaciones dadas en lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa.
Completa ecuaciones algebraicas.
Demuestra habilidad en el uso de la “Pista algebraica”.
Resuelve ecuaciones lineales utilizando las propiedades de las igualdades.
Demuestra habilidad en el manejo de “la balanza algebraica”.
Resuelve ecuaciones lineales haciendo transposición de términos.
Resuelve ecuaciones cuadráticas
Plantea y soluciona problemas en los que se aplique ecuaciones lineales y/o
ecuaciones cuadráticas .
Identifica y sustenta cuando un conjunto de ecuaciones son sistemas de
ecuaciones lineales
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción o
eliminación
Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de determinantes
VALOR
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16
Resuelve problemas de aplicación utilizando al menos dos métodos distintos
para comparar las respuestas
17 Fue disciplinado en su trabajo
18 Identifica los valores que satisfacen una desigualdad.
19 Representa desigualdades en diferentes formas (simbólica, en la recta real y en
forma de intervalo).
20 Representa en forma de inecuación expresiones dadas en lenguaje natural
21 Resuelve inecuaciones
22 Resuelve problemas de aplicación de inecuaciones.
23 Realizó consultas, ejercicios y problemas adicionales a las dadas en el
cuaderno de trabajo
24 Se esmeró por hacer las prácticas propuestas
25 Apoyó a otros compañeros en el desarrollo de las prácticas
PROMEDIO (Sume todo y divida por 25)
Es importante que se analice de forma crítica los resultados de la autoevaluación para identificar
aquellos desempeños que se deben fortalecer mediante las actividades de refuerzo que se
presentan en este apartado.
Heteroevaluación
Ahora, se debe ir al siguiente link y desarrollar el cuestionario indicado
https://docs.google.com/forms/d/1Qs2YdZUa33fAXLoOUfRrI3qU8-D-HVba7ZdSDXim7o4/edit
De acuerdo con las dificultades identificas tanto en la autoevaluación como en la heteroevaluación,
se recomienda ver los videos adjuntos en la carpeta de Matemáticas (o busca videos en youtube
sobre las temáticas vistas). Los videos adjuntos son:
•
•
•
•
•
V1 Ecuaciones lineales,
V2 Ecuaciones de segundo grado incompletas,
V3 Ecuaciones de segundo grado completas y
V4 Sistema de ecuaciones lineales.
V5 Inecuaciones lineales
¡ Felicitaciones…has culminado el Cuaderno No. 2 !
