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Muñeca esférica y cinemática inversa

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Muñeca esférica y cinemática inversa
A. Calderón, R. Velástegui
agcalderon@espe.edu.ec, rjvelastegui@espe.edu.ec
Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE

Resumen - Este documento tiene por objetivo resumir los
capítulos 5.4, 6.2, 6.3 y 6.4 del libro “Theory of Applied Robotics”
con la finalidad de comprender de mejor manera temas como lo
son “Muñeca esférica”, “Técnica de transformación inversa”,
“Técnica iterativa” y “Comparación de las técnicas de la
cinemática inversa”. Aclarando subtemas tales como “Existencia
y singularidad de una solución” y “Técnicas de cinemática
inversa”.
Ilustración 1. Representación de una muñeca esférica.
Índice de Términos - Muñeca esférica, roll, pitch, yaw,
cinemática directa, cinemática inversa.
Donde su matriz de transformación desde el antebrazo hasta
la pinza es:
I.
T
INTRODUCCIÓN
eniendo las variables conjuntas de un robot, podemos
determinar la posición y la orientación de cada eslabón del
robot, para un conjunto dado de geometrías características del
robot. Adjuntamos un marco de coordenadas a cada eslabón y
determinar su configuración. Este análisis se llama cinemática
directa.
La determinación de las variables conjuntas se reduce a
resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas acopladas no
lineales. Aunque no existe un método estándar y de aplicación
general para resolver el problema cinemático inverso, existen
algunos métodos analíticos y numéricos para resolver el
problema. La principal dificultad de la cinemática inversa es la
múltiple de soluciones.
Para clasificarlas descompondremos en tres las rotaciones
alrededor de los 3 ejes ortogonales, siendo estas:


Roll: Cualquier rotación que hace girar la pinza
alrededor de su eje cuando la muñeca está en la
posición de reposo.
Pitch y Yaw: Son perpendiculares al eje de la pared
de la pinza, y se definen en la posición de reposo.
II. CINEMÁTICA DIRECTA E INVERSA
A. Muñeca esférica
La muñeca esférica se caracteriza por estar formada por 3
enlace tipo R-R, con ejes de la articulación mutuamente
ortogonales, mismos que se intersecan en un punto llamado
punto de muñeca (wrist point). Al final de ésta hay una
herramienta que por lo usual es una pinza, donde se le
proporciona tres rotaciones DOF para el enlace de la pinza. Y
su representación es:
Ilustración 2. Tipos de rotaciones.
Hay tres tipos de muñecas esféricas:
2
Tabla 1. Tipos de muñecas esféricas.
Roll, pitch, roll o muñeca
eureliana
Roll, pitch, yaw
Pitch, yaw, roll
Esta ecuación aparece con frecuencia en la cinemática
inversa:
Donde la solución es:
B. Técnicas de transformación inversa
Donde la respuesta con signo (-) corresponde a la
configuración de hombro izquierdo y el signo (+) corresponde
a la configuración del hombro derecho.
Con este podemos encontrar los demás ángulos:
Recordar que en cinemática inversa existen múltiples
soluciones para llegar a la posición del efector final.
Supongamos que tenemos la matriz de transformación
indicando la posición global y la orientación del efector final
de un 6 DOF en la base.
C. Técnica iterativa
El problema de cinemática inversa se puede interpretar
como una búsqueda de la solución qk de un conjunto de
ecuaciones algebraicas no lineales.
Ilustración 3. Robot esférico (manipulador esférico unido a una
muñeca esférica).
Se puede resolver el problema resolviendo las siguientes
ecuaciones:
Hay numerosos métodos disponibles para encontrar los
ceros de la ecuación. Sin embargo, los métodos son, en
general, iterativo. El método más común se conoce como
Método de Newton-Raphson.
La repetición de los métodos se puede resumir en la
3
siguiente ecuación iterativa para converger al valor exacto de
las variables:
configuración particular.
La multiplicidad de la solución depende del número de
articulaciones del manipulador y su tipo.
Las funciones T(q) son trascendentales, que se dan
explícitamente sobre la base del análisis cinemático directo.
REFERENCES
Esta técnica de iteración se puede configurar en un
algoritmo para facilitar los cálculos numéricos, así:
1) Establecer el contador inicial i = 0.
2) Encontrar una estimación inicial q(0).
3) Calcular el residuo
.
4) Calcular
5) Colocar i = i + 1 y retornar al paso 3.
D. Comparación de las técnicas de cinemática inversa
En general, cuando existe la solución de la cinemática
inversa de un robot, no son únicas. Aparecen múltiples
soluciones porque un robot puede llegar a un punto dentro del
espacio de trabajo en diferentes configuraciones.
Usted tendrá mayor control sobre la apariencia de sus figuras
si usted puede preparar los archivos electrónicos de imagen. Si
usted no tiene las habilidades de computación requeridas, sólo
envíe las impresiones de papel como se describió
anteriormente y salte esta sección.
El hecho de que un manipulador tenga múltiples soluciones
puede generar problemas ya que el sistema tiene que poder
seleccionar una de ellas. Los criterios en los que basar una
decisión pueden variar, pero una opción muy razonable
consiste en elegir la solución más cercana a la configuración
actual.
Cuando el número de uniones excede de seis, la estructura se
vuelve redundante y existe un número infinito de soluciones
para alcanzar la misma configuración de efecto final dentro
del espacio de trabajo del robot.
III. CONCLUSIÓN
La muñeca esférica brinda una forma para posicionar al
efector final dándole 3 grados de libertad.
En la cinemática inversa hay que tener cuidado en que el
signo en el ángulo θ1 nos dará las 2 formas para llegar al punto
final.
Cada conjunto de soluciones está asociado a una
[1]
Reza N. Jazar, “Theory of Applied Robotics”, 2nd ed., Ed. Springer,
2010, pp. 291-301, 361-383.
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