Oscilador armónico

EL OSCILADOR ARMÓNICO
Un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central –posición de equilibrio– se
denomina movimiento oscilatorio/vibratorio.
El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico
donde su velocidad angular viene dada por
El tiempo que tarda una partícula en describir una oscilación
completa se denomina periodo, .
El número de oscilaciones completas –movimiento de ida y vuelta efectuado por la partícula desde
una posición cualquiera hasta volver de nuevo a ella moviéndose en el mismo sentido– efectuadas en
la unidad de tiempo se denomina frecuencia, . Nótese que
La elongación, , de una partícula en el instante es la posición de la partícula respecto de la
posición de equilibrio,
.
La amplitud, , es el valor máximo de la elongación;
La posición
de la partícula oscilador armónico varía con el tiempo, de manera que los valores de
están comprendidos entre
y
,
por lo que la ecuación del movimiento de la partícula será
Donde
y es periódica cada
segundos. Las funciones seno y coseno tienen
ambas propiedades, de manera que del estudio del movimiento del cuerpo se arroja que
Ya que cada vuelta los valores coinciden con los del periodo anterior y su valor máximo y mínimo es
y
de manera que si
.
Si para
la partícula no está en la posición
movimiento, de manera que si para
, entonces la ecuación anterior no describe su
, se tiene
La ecuación general del movimiento vibratorio armónico simple es
Donde
es la fase inicial –valor que debe concretarse en cada caso en función de la posición del
móvil al iniciar la medida del tiempo–.
Se denomina fase al ángulo
De acuerdo con su ecuación del movimiento, si en el tiempo el oscilador armónico se encuentra en
la posición , cuando el tiempo es
El término
, su posición
es la misma,
se denomina pulsación,
Como las funciones seno y coseno están desfasadas
, la ecuación general resulta
Cinemática de la partícula oscilador armónico
Aplicando la definición de velocidad,
Asimismo, dado que la aceleración instantánea de una partícula es
Se tiene
;
Dinámica de la partícula oscilador armónico
Para un oscilador armónico MAS el comportamiento del muelle viene descrito por la ley de Hooke, que
afirma que la fuerza recuperadora de un muelle es directamente proporcional a su deformación,
Nótese que
y
son de signo opuesto, con independencia del sistema de referencia que se tome.
En todo instante, y en ausencia de rozamientos, la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula
que oscila es la fuerza recuperadora del muelle, por lo que la ecuación fundamental de la dinámica
resulta
Por lo que
El periodo de oscilación de una partícula no depende de la amplitud de las oscilaciones; sólo depende
de su masa y de la constante elástica del muelle.
Energía del oscilador armónico
El trabajo realizado por una fuerza, , aplicada a un cuerpo a lo largo de un desplazamiento rectilíneo
viene dado por el producto escalar de los vectores
y
,
Pero el trabajo que realiza un muelle cuando se deforma no puede calcularse con esta ecuación, ya que
la fuerza que actúa no es constante –varía al modificar su longitud–; si bien es posible hallarlo
gráficamente empleando la gráfica fuerza-deformación: si el muelle se estira desde una deformación
inicial, , hasta otra , el trabajo que realiza es el área de limitada en amarillo, ya que
Dado que
Nótese que si
, si
y si
Energía cinética. Teorema de las fuerzas vivas.
La energía cinética es la capacidad que tiene los cuerpos para realizar trabajo en función de su
movimiento; para un cuerpo de masa que avanza con una celeridad , su energía cinética es
Para un oscilador armónico,
Utilizando la ecuación fundamental de la dinámica,
Y dado que la masa de las partículas que interaccionan en nuestro entorno suele ser constante,
Aplicando la Ley de Hooke resulta
De manera que se tiene
La variación de energía cinética que experimenta la partícula oscilador armónico desde su posición
extrema de la izquierda hasta la posición de equilibrio será
En la posición de equilibrio,
, y en los extremos,
, por tanto
En este desplazamiento, en ausencia de rozamientos la fuerza resultante es la ejercida en cada instante
por el muelle –la fuerza y su reacción se anulan recíprocamente–, por lo que el
total realizado
sobre el cuerpo es que el realiza el muelle,
Comparando los resultados, puede afirmarse que el trabajo total realizado sobre una partícula
equivale a la variación de energía cinética que experimenta,
Consecuencia del teorema:
Si el trabajo total realizado sobre una partícula es nulo, su energía cinética no varía, por lo que si se
considera la masa de la partícula como una constante, esto significa que la celeridad de tal partícula se
mantiene constante,
Energía potencial.
La energía potencial es aquélla que depende de las posiciones de las partículas que forman un
determinado sistema, por lo que es posible hablar de distintos tipos de energía potencial: gravitatoria
(depende de la posición de la partícula respecto del punto
–denominado suelo–), elástica (cuando
existe un sistema muelle-cuerpo en el que el muelle es capaz de almacenar energía potencial cuando se
comprime), electrostática (dos cargas del mismo signo se repelen,…), etc.
A continuación es necesario introducir el concepto de fuerza conservativa: una fuerza es conservativa si
el trabajo que efectúa al trasladar una partícula de una posición
a otra, , depende exclusivamente de
dichas posiciones y no de su trayectoria. Consecuencia: en una trayectoria cíclica en la que la posición
inicial y la final coinciden, el trabajo que realiza una fuerza conservativa es nulo,
A partir de esta ecuación es fácilmente determinable –basta con unos ejemplos– si una fuerza es o no
conservativa; serán fuerzas conservativas pues las gravitatorias, las elásticas y las electrostáticas. Sin
embargo, es fácilmente deducible a partir de un caso particular que la fuerza de rozamiento es una
fuerza no conservativa, por lo que
Al ser
una fuerza conservativa, se tiene
; por tanto
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de energía potencial que
experimenta el sistema,
La energía potencial de un oscilador armónico varía desde un valor mínimo en la posición de equilibrio
–donde si se considera
se tiene
– a un valor máximo en los extremos,
.
Dado que el trabajo que realiza un muelle cuando ve modificada su deformación es
Nótese que si el oscilador armónico se desplaza desde la posición de máxima deformación hasta el
punto de equilibrio,
y
;
Una manera sencilla de determinar la energía potencial elástica de un resorte unido a un cuerpo que
oscila horizontalmente sin fricción consiste en tener el cuenta que el trabajo al desplazar el cuerpo desde
hasta una posición de equilibrio es
Como
,
Energía mecánica total: Primer principio de la Termodinámica. El trabajo total realizado sobre una
partícula es, según el teorema de las fuerzas vivas
O lo que es lo mismo,
Consecuentemente, si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas su energía mecánica se
conserva. Asimismo nótese que el trabajo total desarrollado sobre un cuerpo por las fuerzas no
conservativas coincide con la variación de su energía mecánica, de manera que también varía su
entropía.
Dado que en un oscilador armónico
ha demostrado con anterioridad,
, se tiene
, y, como ya se
Es decir, la energía mecánica de un oscilador armónico es directamente proporcional al cuadrado de su
amplitud.
Dado que la velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica sinusoidal tomando
la ecuación
Y el teorema fundamental de la trigonometría nos acerca que
,
Se tiene que
También es posible deducir esta fórmula a partir de consideraciones energéticas: puesto que la energía
mecánica de un oscilador permanece constante y es igual a la suma de energía cinética y potencial, se
tiene
Nótese que
, ya que
Y dado que no tiene sentido un
–ya que implicaría un tiempo negativo,
.
Como la raíz lleva doble signo para cada valor de
hay dos de
(ida y vuelta),
– se tiene que
Consecuencias:
1. La velocidad es cero cuando
2. La velocidad es máxima cuando
3. Las gráficas de
y
(extremos)
(p. equilibrio)
están desfasadas π/2 
Péndulo simple
Péndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable. Si el
péndulo se suelta despues de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a oscilar
alrededor de dicha posición.
Sobre el péndulo actúan el peso y la tensión. Podemos decir que el peso se descompone en una
componente normal
y una componente tangencial . Esta
componente
tangencial es la que actúa como fuerza restauradora,
Este sistema no es un verdadero oscilador armónico ya que para
que lo fuese, el término de derecha debería ser
Eso significa que las oscilaciones no son perfectamente sinusoidales. Por eso, algunos puristas
excluyen el péndulo simple de los osciladores armónicos. Pero si la amplitud de las oscilaciones es
suficientemente pequeña, la oscilación será tan próxima a una sinusoide como se desee.
Por tanto, se considera
El arco de circunferencia funciona como una recta y por tanto
Dado que
,
Dado que
Se tiene
Es decir, el periodo de un péndulo simple que oscila bajo pequeños ángulos de separación depende de
la longitud del péndulo, pero es independiente de la masa.
Estudio energético del péndulo
Si tomamos como origen de
el punto de equilibrio, el punto más alto es
el de desviación máxima donde v = 0
h
En el punto bajo solo hay
conservación de la energía
. Si igualamos por principio de
, se tiene.
Si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos altura y también será menos su velocidad máxima.
Aunque haya menor distancia
recorrida
tiempo que
empleado
es el
mismo,
es decir,
el periodo
del
Que es
la mismaelexpresión
la de caída
libre
de un cuerpo
desde
una altura
péndulo es independiente de. la amplitud y de su masa.
Dado que en un péndulo simple ideal la única fuerza que actúa es su peso –también actúa la tensión
de la cuerda que en todo instante es perpendicular al desplazamiento por lo que no realiza trabajo–, se
cumple que
Oscilaciones en un muelle vertical
Las fuerzas que actúan sobre un oscilador vertical de muelle son su peso y la ejercida por el muelle;
si el resorte tiene un comportamiento que obedece a la ley de Hooke y se toma como origen de
coordenadas la posición del extremo libre del muelle sin deformar, según la segunda ley de Newton
Cuando la partícula está en equilibrio, el peso y la fuerza restauradora del muelle se anulan,
Por tanto, sustituyendo en la ecuación anterior
Siendo
la posición central de las oscilaciones de la partícula; por tanto, su elongación será
;
Es decir, el mismo que se tiene si el sistema describiese las oscilaciones sin rozamientos e horizontal.