PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA POSICIÓN EN EL PLANO PARABOLA HORIZONTAL Derecha con vértice en el origen y2 = 4px Derecha vértice fuera del origen Izquierda con vértice en el origen Izquierda vértice fuera del origen (y-k)2 = 4p(x-h) y2 =- 4px (y-k)2 = -4p(x-h) PARABOLA VERTICAL Hacia arriba con vértice en el origen x2 = 4py Hacia arriba vértice fuera del origen (x-h)2 = 4p(y-k) Hacia abajo con vértice en el origen x2 = -4py Hacia abajo vértice fuera del origen (x-h)2 =- 4p(y-k) ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: Foco.- Es el punto fijo F, situado sobre el eje de simetría a “p” unidades del vértice.. Directriz.- Es la recta fija d sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco. Parámetro.- Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje.- Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice.- Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector.- Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. EXTENSIÓN.- En geometría, propiedad de los cuerpos de ocupar una parte mayor o menor de espacio. LADO RECTO.- La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola. PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Cualquier parábola con vértice en el punto(0,0) y recta directriz dada por la ecuación 𝑦 = 𝑝 tiene la siguiente ecuación canónica:𝑥 2 = −4𝑝𝑦 Las coordenadas del foco, en este caso, son: (0, −𝑝) . POR EJEMPLO, la parábola con foco en el punto (0,6) y vértice en el origen de coordenadas, debe tener como recta directriz a la recta cuya ecuación esy = 6 Parábola con vértice en un punto cualquiera Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos: · Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0) · Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0) · Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0) · Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0) Reducción de la ecuación de una parábola Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro. Ejemplo: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz la recta: (fig. 6.1.7.) viene dada por: (1) fig. 6.1.7. ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz (fig. 6.1.8.) viene dada por: (2) la recta: fig. 6.1.8. Demostración: Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer e Observación: Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma: (3) (4) En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya variable aparece lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0). Valores máximos y mínimos de una parábola Se ha visto en la sección precedente que la ecuación (1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0). Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva. fig. 6.1.9. (a) fig. 6.1.9. (b) Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa. Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función. Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el y = 2px Demostración: La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan: Elevando al cuadrado: -px + y2 = px Þ y2 = 2px Hay otros tres casos elementales de parábolas: · Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px. · Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py. · Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py. CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. CIRCULO Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. RADIO El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2π. Diámetro.El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio. CUERDA La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. TANGENTE La recta tangente o también llamada recta exterior a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T. ECUACIÓN ESTANDAR DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniometría, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. ECUACIÓN ESTANDAR DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN CUALQUIER PUNTO La circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación (x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2 De la ecuación general de una circunferencia, (x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2 Se deduce: EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA 1) Del centro el punto (3, -4) y que pasa por el origen. Se entiende como Origen a las coordenadas que pasan por X y Y. En este caso es (0 , 0) Ahora viene la Grafica: Ecuación Cartesiana. (X – h)2 + (Y – K)2 = r2 (X – 3)2 + (Y + 4)2 = 25 Ecuación Circunferencia. (0 – 3)2 + (0 + 4)2 = r2 9 + 16 = r2 25 = r2 r = √25 r=5 Ecuación general de la Circunferencia (X – 3)2 + (Y + 4)2 = 25 X2 + 2(X)(-3) + (-3)2 + Y2 + 2(X)(4) + (4)2 = 25 X2 – 6X + 9 + Y2 + 8Y + 16 – 25 = 0 X + Y – 6X + 8Y = 0 2) La Ecuación x2+y2+6x-14y-6=0 representa una circunferencia. Determine su centro C(h,k) y su radio r La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes: Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce que: y . Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8. 3) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.