РАССЕПЕНИЕ HOTRT
Только послушайте, какая история произошла с главными героями ска­
зочной повести Владимира Лёвшина «Нулик-мореход». Однажды кто-то
подбросил на фрегат капитана Единицы корзину с девятью дикими котя­
тами с необитаемого острова Мяу. Проснувшись, подкидыши выбрались
на волю и стали буянить: возиться, носиться по каюте, визжать и цара­
паться. Утихомирить их можно было только одним способом: изолиро­
вав друг от друга. Младший кок Пи предложил поселить котят в большой
круглой коробке, предназначенной для праздничного торта. Требовалось
разбить её на девять отсеков, равных по площади.
Илл . к повести
В.
Лёвшина ((Нулик-мореход». Худ.
В.
Сергеев
Проще всего было бы разделить круглое дно на девять одинаковых
секторов, но сделать это с помощью циркуля и линейки без делений не­
возможно. Тогда капитан Единица предложил вписать в дно коробки пять
одинаковых кругов: один поместить в центре и четыре по бокам от него
так, чтобы каждый круг касался и его самого, и границы дна. Он пока­
зал членам экипажа чертёж и пояснил: «Перед вами круг с двумя взаим­
но перпендикулярными диаметрами. Каждый диаметр разделён на три
равные части, каждая из этих частей представляет собой диаметр мало­
го круга». Таким образом, уверял капитан, дно коробки поделено точно
на девять равновеликих частей.
Согласны ли вы с предложенным решением? Если нет, то почему, а если
да, то как осуществить его на практике? Не забудьте: построения можно
выполнять только с помощью циркуля и линейки.
Ответ
на с.
3 обложки.
------- АКАдЕМИ!;! МАТЕМАТИКИ
3
-------
Недосекин а И.С.
Рекуррентные последовательности мноrочленов
В этой статье, адресован ной учащимся X-XI классов, мы п редлагаем чи­
тателям решить две задачи, в котор ы х требуется определ ить количество
веществен н ы х корней у многочленов высоких порядков.
СОВЕТЫ К УРОКУ
-------
11 Далингер В.А.
Обратные триrонометрические функции, их свойства и rрафики
В курсе математики обратные т р и гонометрические функции счита ются
довол ь н о сложной темой. В настоящей статье д а н ы теоретические п о ­
ложения относител ь н о обратных тригонометрических
функций, и х гра­
фиков и свойств. Та кже в статье п р иводится решение различных задач,
содержа щих обратные т р и гонометрические функции.
КЛУБ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ
25
------
Дружинин Б.Л.
Всё моrут короли
Короли бывают разные. Те, кому достаётся этот титул по наследству, управ­
ляют странами или, по крайней мере, дума ют, что управля ют. Но н и кто не
сомневается, что «король математики» - Иоганн Карл Фридрих Гаусс.
МАТЕМАТИКА ЭТО ИНТЕРЕСНО
------
33 Дружинин Б.Л.
Умножить на два
Как дети свойства линзы изучали . . .
_
НЕОЖИДАННА!;! МАТЕМАТИКА ------
36 Троицкий Е.В.
Рассказ о справедливом разрезании пиццы
Статья, адресованная учащимся Vll-IX классов, знакомит читателей с двумя
теоремами, связа н н ы м и с разрезанием круга, которые в л и тературе часто
называ ются теоремами о разреза н и и пиццы или с ы р а .
'11
•··
•
LL.LL1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ГО/\080/\ОМl<И
-�.
43 Федорова В.И.
1+
О пользе решения rоловоломок
1-·-
О каз ывается, есть наука о том, как делать открытия. О на наз ывается эв­
ристикой. И один из лучших способов начать постигать эту науку - это
-
решать математические головоломки. В статье мы предлагаем вниманию
читателей несколько замечател ь н ы х головоломок
..
f
48
...
.1:
f
Г.Э. Д ьюдени.
Указатель статей, опубликованных в журнале
«Математика для школьников» в 2018 rоду
" ·-
F
Е,.
;. "
'
Н· гt
·- �
. rt
...
�а
. .....
1
f+'
�t
�'
-
•·
f
н
"
Е
1�
.L
-
r
"
.r
r
�
t
..
t
.......
"
r
1··
�
. ;.
"
:-"'
-
'"""
�
r
�
�
t
t
1-
Научно-практический журна.n A.llЯ учащихся cтapwero и СР•Анеrо возраста
•
t
Руиоn11см, noerynuwн в ре1111кц11�о, ке реценs11румm:t1 11 не 803вр81Ц8кm:tl. Р8118КЦ11В ке несет ответс:nенностн :sa СОАВра&анн o4h.._11ii 11 рекnамw
.1t.••
�
и средств массовых коммуникаций
"
3
Выпускающий редактор
И.А. Моргунова
�� ��
.
-
В.П. Норин, С.Н. Федин
Б.Н. Кукушкин
'
�··
-
С.В. Дворянинов, Н.М. Карпуwина,
Отдел задач
"�-j
Корректор
И.И. Саможенкова
"
Адрес редакции и издательства:
Свидетельство о регистрации
С.Д. Троицкая
Редакторы
,j
g
Заместитель главного редактора
"�
..
i
"�
по делам печати, телерадиовещания
Е.А. Бунимович
�
'{
Журнал зарегистрирован Министерством РФ
Главный редактор
т+
корреспонденцию направлять по адресу:
пи №' 77-9198 от 14 июня 2001 г.
127254, г. Москва, а/я 62
Формат 84 х 108 /16. Усл. п. л. 3,0.
Изд. № 3251. Заказ № К-4874.
Телефоны: 8 (495) 619-52-87, 619-83-80
Отпечатано
Факс: 619-52-89
E-mail:
matematika@schoolpress.ru
Интернет
http://www.wкonьнaяnpecca.pф
•ИПК •Чувашия•
Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13
в АО
428019, г.
© •Школьная Пресса•.
© ·Математика для ШКОЛЬНИКОВ•, 2018,
№4
В оформлении обложки использована карти­
на Жоса де Мея •НЛО над фламандской де­
Компьютерная вёрстка
ревней• (репродукция заимствована с сайта
М.М. Лускатов
"невозможный мир•: http://im-possiЫe.info)
И311ак11е охраНRетс11 Законом Pocc11iicкoii Фе11ерац1111 оО авторском nраве. nioOoe восnропве11ен11е оnуО1111кованкwх в •урнuе матер11uов
квк на Оума•ном нос11те11е, так 11 в в1111е ксерокоn11рован1111, скан11ровак1111, 3an11c11 в nам11т" ЭВМ, раsмещен11е в Интернете 3аnрещаетс11
1
2:,..
±"
�
.,."
�...-
�-.
i
. .
-·
J
j
J
"
АКАдЕМИ� МАТЕМАТИКИ
И.С. Недосекина
РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВ АТЕЛЬНОСТИ
МНОГОЧЛЕНОВ
В ..этой статье, адресованной учащимся X-XI классов, мы предлага­
ем читателям решить две задачи, в которых требуется определить
количество вещественных корней у многочленов высоких порядков.
При этом сами многочлены заданы не явным образом, а рекур­
рентными соотношениями. Это трудные задачи и, вполне возможно,
сразу их решить не удастся. Но читателям не следует отчаиваться!
Мы советуем при решении
каждой из задач сначала выполнить
последовательно те задания, которыми предваряется рассмотрение
общего случая, постараться установить закономерности в свойствах
корней многочленов, а уже потом снова попытаться самостоятельно
решить эти задачи.
Напомним некоторые необходимые для
дальнейшей работы сведения из алгебры
и математического анализа.
Рассмотрим многочлен Рт (х) степени
т с вещественными коэффициентами
ао, al, .. " ат вида
отрезке [а, Ь] и принимает на его кон­
цах значения разных знаков, то есть
f(a) f(b) < О, то на интервале (а, Ь) най­
дётся хотя бы одна точка с, в которой
функция f(x) обращается в ноль (рис. 1).
·
у
т
т
рт (х) = атх + ат-lх -1 + ... +
+ а х + а0, ат "f::. О.
1
Из школьного курса алгебры и начал
анализа (см., например, [1-2]) читателю
должно быть известно, что эта функция
определена и непрерывна на R, где R
всё множество вещественных чисел.
Читателю должны быть также известны
следующие теоремы.
Теорема 1. Количество корней ненуле­
вого многочлена с учётом их кратностей
не превосходит степени многочлена.
Теорема 2. (первая теорема Больцано­
Коши). Если функция f(x) непрерывна на
.
j{a) -о
у= f{x )
j{a) j{b) < О
1
х
а
f{b)
-
Рис. 1
теперь приступим к заявленным за­
дачам.
ЗАДАЧА 1.
Последовательность функций задаётся
следующим рекуррентным соотношени­
ем:
А
0Любое расп ространение матер иалов журнала, в т.ч. архив ных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
4
------
fп(х) =
f1(x) =2 х2 - 1,
ifп_1(x)) - 1, п
= 2, 3,
. (1)
Сколько различных вещественных ре­
шений имеет уравнение f2018(x) О?
. .
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
{-.J2; О; .J2 }, то есть второе уравнение
последовательности имеет три различных
вещественных корня.
=
Упражнения, предваряющие
решение задачи 1
1.1. Докажите, что функ­
ции fп(х), где п 1, 2, . . . , являются мно­
гочленами степени т = 2n.
Это простое задание, на самом деле,
позволяет сделать важный вывод о том,
что число решений уравнения fп(х) = О
конечно при любом п, и поскольку ·оно
совпадает с числом корней многочлена
fп(х), то оно не превосходит степени этого
многочлена.
Упражнение 1.2. Докажите, что мно­
жеством значений многочленов fп(х),
где п = 1, 2, . . . , является полуинтервал
[-1; +оо).
Упражнение 1.3. Выясните, сколько
различных вещественных корней имеет
каждое из уравнений {1 (х) = О, f2(x) = О,
f3(x) = О, f4(x) = О.
Р е ш е н и е. Рассмотрим уравнение
f1(x) О, то есть х2 - 1 = О. Нетрудно
заметить, что множеством корней этого
уравнения является {-1; 1}. Таким обра­
зом, первое уравнение последовательно­
сти имеет два различных вещественных
корня.
Используя рекуррентное соотноше­
ние (1), выполним эквивалентные пре­
образования второго уравнения f2(x) О.
Имеем:
Упражнение
=
=
=
Теперь займёмся преобразованиями
третьего уравнения, в ходе которых так­
же будем использовать соотношение (1):
f3(x) = О <=> (f2(x))2 2- 1 О <=>
<=> f2(X) = ±1 <=> ({1(х)) - 1 = ±1 <::>
fi (х)= О
(fi (х))2=О
<=>
[
[
<=>
(fi (х))2= 2.
fi (х )= ±.J2.
Так как f1(x) :=:: -1 для всех х (см. упраж­
нение 1.2), уравнение fi (х )=-.J2 веще­
ственных решений не имеет и, следова­
тельно,
fз(х)=О<=>
O
[fi((x)=
х)=
А
Гn
"2.
Первое уравнение полученной сово­
купности мы уже решили. Займёмся вто­
рым:
fi (х )= .J2 <=> х2-1= .J2 <=>
<=>
х2= 1 + .J2 <::> х= ± �1 + .J2.
Приходим к заключению, что множе­
ством вещественных корней уравнения
3(x) = О является {-� 1 + .J2 ; -1; 1; �1 + .J2 }.
f
Итак, третье уравнение последовательно­
сти имеет четыре различных веществен­
ных корня.
Наконец, разберёмся с четвёртым урав­
нением:
2 - 1 = О <=>
fix) О <=> (f3(x))
<=> f3 (x)
±1 <=> (f2(x))2 - 1 ±1 <=>
=
=
<=>
Таким образом, множеством веществен­
ных корней уравнения f2(x) = О является
=
[f2(x)=О
=
f2(x) = ±.J2.
Так как f2(x) :=:: -1 для всех х (см. упраж­
нение 1.2), уравнение f2(x)=-.J2 веще-
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письмен ного согласия редакции.
== АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
5
-------
ственных решений не имеет и, следова­
тельно,
Здесь, как и выше, осталось решить
второе уравнение полученной совокупно­
сти:
f2(X) = J2,� (fi (х ))2 -1 = J2,�
� fi(x) = ±�1+J2. � х 2=1± �1+'12,.
Уравнение х 2 1- �1+J2. веществен­
ных корней не имеет, так как его правая
часть отрицательна. Следовательно,
=
f2(X)=J2.� х2=1+�1+'12. �
� х = ±�1+�1+J2,.
Добавив полученные два числа к кор­
ням уравнения f2(x)
О, запишем мно­
жество вещественных корней четвёртого
уравнения fix) О:
{-�1+�1+J2,; -J2.;
Получаем, что четвёртое уравнение по­
следовательности имеет пять различных
вещественных корней.
Упражнение 1.4. Найдите все веще­
ственные корни уравнений f5(x) = О,
f6(x) = О.
Полученные результаты исследования
первых шести уравнений последователь­
ности сведены в таблицу 1. Проанализиро­
вав эти результаты, попытайтесь сделать
прогноз относительно корней следующих
уравнений последовательности.
Упражнение 1.5. Постройте графики
функций f1(x), f2(x), f3(x), f4(x) (можно ис­
пользовать при этом любой графопострои­
тель).
Сравните полученные результаты с
приведёнными на рисунке 2.
Р е ш е н и е задачи 1
=
=
�1+�1+J2, }.
О; '12,;
Сначала попытаемся найти какие­
нибудь вещественные корни уравнения
Таблица
2
где f1(x) = х
Уравнение fп(х) = О ,
2
1, fп(х) = <fп_1(х))
-
- 1,
п
=
2, 3,
1.
...
n
Вещественные корни уравнения
Число корней
1
±1
2
2
О;
3
±1;
4
О·
'
5
±1;
±J2.
±�1+'12.
±'12.; ±�1+�1+J2,
±�1+'12.; ±�1+�1+�1+J2,
6
3
4
5
6
7
О·
'
±'12.; ±�1+�1+J2,; ±�1+�1+�1+�1+J2,
0 Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
6
------
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
-1
Рис. 2. Графики первых 4-х функций последовательности (1)
f201s(X) = 0.
Используя рекуррентную формулу
перепишем его в виде
if2011(x))2 - 1 =
О
<:::>
[f2011(x) =- -11.
(1),
�
(х )
12017
Рассмотрим сначала второе уравнение
полученной совокупности:
2
f2017(x) = - 1 <=> if2016(x)) - 1 =
= -1 <=> f2016(x) = О.
Отсюда замечаем, что решения уравнения f2017(x) -1 являются решениями
уравнения
f2016(x) = О .
На втором шаге вновь перепишем по­
следнее уравнение, используя соотноше­
ние (1):
2
if2015(X)) - 1
_
0 <:::>
-
[f2f 0155(x) =-11.
Выясним, сколько ещё вещественных
корней имеет это уравнение?
Займёмся уравнением f2017(x) = 1. Его
:корни являются :корнями уравнения
V 2016( Х))
и
2
_
-
2 <:::>
[f2016(x) = .J2
f2016(x) =- .J2.
<:::>
1 +.J2
1- .J2.
=
201
(Х )
Снова заметим, что
-1<:::> if201ix))2 - 1
= -1 <:::> f2014(X) = О,
то есть решения уравнения f2015<:::>(x) = -1
f2015(X)
шения :которого {-.J2; О; .J2} есть среди
решений уравнений f4(x) = О, а значит и
f6(x) = О, . . . , и f2018(x) = О.
Итак, множество {-.J2; О; .J2} я в ляет­
ся подмножеством множеств а веще­
ственных корней уравнения f2018(x) = О.
=
являются решениями уравнения
f201ix) = О.
Продолжая этот процесс, шаг за ша­
гом, мы придём :к уравнению f2(x) = О, ре-
Отметим,
что
уравнение
( f2015(x))2 =1- .J2, а значит, и уравнение
f2 016(x)=-.J2, не имеет вещественных
:корней.
В результате проделанной работы при­
ходим :к выводу, что множество веще­
ственных корней уравнения f2018(x) = О
есть объединение непе ресекающих ся мно­
жеств вещественных корней уравнений
f2016(x) = О и f2016(x)= .J2.
<!)Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
== АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
-------------·---·---
Рассмотрим уравнение
f2016(x)= .J2 � (f2015(x))2= 1+.J2 �
= � 1+.J2
(x)
f
015
2
�
�
f2015(x) =-�1+ .J2
[
[
� <f201.<x)): : 1+� 1+h
<f2014(x))
- 1- �1+ .J2.
Второе уравнение последней совокуп­
ности не имеет вещественных корней, а
первое сводится к совокупности
+� 1+h ""
(х )
r
f2!)14
: Ji
f2014(х ) - - �1+�1+ .J2
2 =1+�1+� 1+.J2
� <f2013(x))
(f201з(х ))2 = 1- �1+�1+ .J2 .
[
Как и раньше, отбрасываем второе
уравнение, не имеющее вещественных
корней, а с первым продолжаем работать
по той же схеме. Шаг за шагом приходим
к уравнению ({1(х))2 = а, где а - действи­
тельное число, большее 1, то есть
(х2 - 1)2 = а => х2=1 ± Га=>
=> х= ± �1+Га.
В результате проделанной работы приходим к выводу, что уравнение {2016( х)= .J2
имеет ровно два вещественных корня.
Обозначим через L2n число различных
вещественных корней уравнения f2п(х) = О.
Тогда для уравнения {2018(х) = О имеем:
L201s = L2016 + 2,
где L2016 - число различных веществен­
ных корней уравнения {2016(х) = О, а 2 число различных вещественных корней
уравнения {2016( х )= .J2. В свою очередь,
L2016 = L2014 +
2,
7
где L2014 - число различных веществен­
ных корней уравнения {2014(х) = О, а 2 число различных вещественных корней
уравнения {2014( х )= .J2, и т.д. На заклю­
чительном шаге мы придём к равенству
L4 = L2 + 2,
где L2 - число различных вещественных
корней уравнения {2(х) = О, а 2 - число
различных вещественных корней уравнения f2(x)= .J2 (рис. 3).
Заметим, что числовая последователь­
ность {L2n } - это арифметическая про­
грессия с разностью d = 2, следователь­
но,
L2n L2 + (п - l)x2.
Уравнение {2(х) = О имеет три реше­
ния, то есть L2 3. Следовательно
L2018 = 3 + (1009 - l)x2 = 2019.
Итак, ответ: уравнение {2018(х) = О име­
=
=
ет 2019 различных вещественных реше­
ний.
.fzo16(x) =О fzo16(x) = .J2 q l 2корня 1
[t
.fzo14(X)=O fz014(x)=.J2 ql 2корня 1
[t
f2 (Х)
.[}
=
О
J;_ ( Х) ..Ji q 1 2корня 1
=
1 з корня 1
Рис. 3. Схема для подсчёта
вещественн ых различных корней
уравнения
f2018(x)
0Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
=
О.
8
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
------
Таблица 2 .
Уравнение Рп(х) = О,
где Р0(х) = 1, Р1(х) = Х, Рп_1(х) Рп(х) - Рп_1(х), п = 1, 2,
·
...
n
Рп(х)
Веще ственные корни уравнения
Число корней
1
х
о
1
±1
2
х2
2
-
1
х(х2 - 2)
3
4
х4 -3х2
5
х(х4 - 4х2
+
+
О;
1
-J5 +1 . ± -!5 - 1
-+
2 '
2
3)
О; ±1;
Упражнение 1.6. Найдите
а) какое-либо вещественное решение
уравнения f2019 (x) = О;
б) число различных вещественных ре­
шений этого уравнения.
ЗАДАЧА 2.
Последовательность
Р0 (х) = 1, Р1(х) = х, Р2 (х)
многочленов
х2 - 1, . . за.
даётся условием
= Х
·
Рп+1(Х)
Рп(х) - Рп_1(х), п = 1, 2,
(2)
Найти число различных вещественных
корней уравнения Р2018 (х) = О.
Рис.
4.
±J2.
±-Гз
3
4
5
Упражнения, предваряющие реше­
ние задачи 2
Упражн ение 2 . 1 . Докажите, что мно­
гочлен Рп(х) - функция чётная, если
п чётно; и нечётная, если п нечётно.
Упражнение 2.2. Найдите вещественные
корни уравнения Рп(х) =О при п = 1, 2, . ., 5.
Результаты приведены в таблице 2.
Упражнение 2.3. Постройте графики
функций Р1(х), Р2(х), ... , Р5(х) (можно ис­
пользовать при этом любой графопостро­
итель). Постарайтесь найти закономер­
ность во взаимном расположении корней
этих многочленов.
Графики перв ых пяти многочленов после довательности
<!)Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
.
(2)
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ -------
9
х
•
Х
- корни многочлена Р5(х);
- точки графика многочлена Р6(х).
Рис.
5.
Иллюстрация
Упражнение 2.4. Докажите, что урав­
нение Р6(х) = О имеет 6 различных веще­
ственных корней.
Р е ш е н и е. Мы не ставим задачу по­
иска корней уравнения
6
Р6(х) = О <=> х - 5х4 + 6 х2 - 1 = О,
требуется лишь исследовать вопрос о ко­
личестве его вещественных корней - с
использованием информации, что корни
многочленов Р4(х) и Р5(х) уже найдены.
Применив рекуррентную формулу (2),
запишем Р6(х) в виде
Р6(х) = х
х
Р5(х) - Р 4(х) .
Обратим внимание, что Р6(х0) = -Р4(х0),
если х0 - корень многочлена Р5(х) .
Построим графики функций Pix) и
Р5(х). Отметим на чертеже точки, в кото­
рых Р5(х) = О, и значения Р6(х) = -Р4(х) в
этих точках (рис. 5).
Составим таблицу значений многочле­
нов в пяти выбранных точках (таблица 3).
Таблица 3
х
-.JЗ
-1
о
1
.J3
Р5(Х)
о
о
о
о
о
Р4(Х)
1
-1
1
-1
1
Р6(х)
-1
1
-1
1
-1
к
упражнению
2.4
Проанализируем таблицу 3. Заметим,
что P6(-.J3) < О, а Р6(- 1 ) > О. Тогда, со­
гласно теореме о нулях непрерывной
функции, на отрезке [ - .J3, - 1] найдётся
хотя бы один корень многочлена Р6(х).
Аналогичная ситуация имеет место на от­
резках [-1, О], [О, 1] , [1, .JЗJ. Следователь­
но, между каждыми двумя корнями мно­
гочлена Р5(х) найдётся по крайней мере
один корень многочлена P6(:fJ.
Итак, на отрезке [ - .JЗ, .J3] содержит­
ся, как минимум, 4 корня многочлена
Р6(х). Разберёмся, может ли он иметь кор­
ни вне этого отрезка?
Обратим внимание, что P6(.J3) < О, а
Р6(х) > О при достаточно больших ,аначе­
ниях х . Тогда на промежутке [ .,J 3 , + оо )
найдётся хотя бы один корень корень
многочлена Р6(х). Аналогичная картина
наблюдается на промежутке (-оо, - .JЗ] ,
там тоже найдётся хотя бы один ко­
рень.
В результате проделанной работы мы
обнаружили, как минимум, 6 веществен­
ных различных корней многочлена Р6(х) .
Так как многочлен 6 степени не может
иметь более 6 вещественных корней, то
в данном случае их ровно 6.
Р е ш е н и е задачи 2.
Методом математической индукции до-
@Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
10
ь
k-2
а
Рис.
6.
ь
k-l
х
k-2
Рас положение на числовой пря мой корней многочленов
кажем, что многочлен Рп(х) имеет п дей­
ствительных различных корней.
Многочлен Р2 (х) = х2 - 1 имеет два ве­
щественных корня, это ± 1 .
Многочлен Р1 (х) = х имеет один веще­
ственный корень О, причем, О Е (-1, 1),
то есть корень многочлена Р1 (х) лежит
между корнями многочлена Р2 (х).
Предположение индукции: Пусть Pk(x)
еет
k вещественных различных корней:
им
а1 < а2 < . .. < ak.
Пусть при этом Pk_1(x) имеет k - 1 ве­
щественных различных корней:
Ь1< Ь2< .. . < bk- 1•
причём, а1 < Ь1< а2 < Ь2< ... < ak-l < bk_1< ak
(то есть корни многочленов Pk-l (х) и Pk(x)
чередуются, см. рисунок 6).
Докажем, что при сделанных предпо­
ложениях между каждыми двумя кор­
нями многочлена Pk(x) лежит корень
многочлена Pk+1 (x) и, кроме того, Pk+1(x)
имеет корень правее наибольшего и ле­
вее наименьшего корня многочлена Pk(x),
то есть, что Pk+1 (x) имеет k +1 действи­
тельных различных корней и имеет место
чередование корней многочленов Pk(x) и
Pk+1(X).
Воспользуемся рекуррентным соотно­
шением (2):
Pk+1 (x)
=
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
-------·
х
·
Pk(x) - Pk_1 (x).
Отметим, что при любых п функция
Рп(х) � +оо при х � +оо. Пусть х = ak.
Тогда Pk_1(ak) > О и
Pk+1(ak) = - Pk-1 (ak) < О.
Так как Pk+1(ak) < О и Pk+1 (x) >О при до­
статочно больших х > ak, то правее точки
ak найдётся хотя бы одна точка, в которой
Pk+1 (х) = О. Обозначим эту точку с1.
Pk(x)
и
Pk_1(x)
Пусть теперь х
ak-l E(bk_2, bk_1) . На
этом интервале Pk .1(х) < О. Тогда
Pk+1(ak-1) = -Pk-1(ak-1) > О.
Итак, Pk+1(ak_1) > О и Pk+1(ak) < О. Сле­
довательно, на (ak_1, ak) найдётся хотя бы
одна точка, в которой Pk+1(x) О. Обозна­
чим эту ТОЧКУ С2.
Продолжая этот процесс дальше, уста­
новим, что между любыми двумя корнями
многочлена Pk(x) есть хотя бы один корень
многочлена Pk+1(x), то есть имеем корни
, ck. Функция Pk+1(x) либо чётная,
с1, с 2,
либо нечётная. Поэтому её нули симме­
тричны относительно начала координат,
то есть ck
-с3, и т.д. Кроме
-с2, ck-l
того, левее точки ck имеется ещё один ко­
рень ck+1 -с1. В результате мы установи­
ли наличие k + 1 действительных различ­
ных корней многочлена Pk+1(x). Так как
любой многочлен степени п может иметь
не более, чем п действительных корней,
то других корней в нашем случае нет.
Итак, о т в е т: уравнение Р2018(х) = О име­
ет 201 8 различных вещественных корней.
Заметим, что задача 2 (в эквивалент­
ной формулировке) была предложена для
самостоятельного решения в [3] .
=
=
• • •
=
=
=
Литература
[1] Алгебра и начала математического анали­
за. 10 класс: учебник для общеобразовательных
учреждений: профильный уровень/ М.Я. Пратусе­
вич, КМ. Столбов, А.Н. Головин.- М.: Просвеще­
ние, 2009. - 415 с.: ил.-ISBN 978-5-09-016552-5
[2] Алгебра и начала математического анали­
за. 11 класс: учебник для общеобразовательных
учреждений: профильный уровень/ М.Я. Пратусе­
вич, КМ. Столбов, АН. Головин.- М.: Просвеще­
ние, 2010. - 463 с.: ил.-ISBN 978-5-09-017190-8
[3] Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот
Ж.М., Тоом А.Л. Заочные математические олим­
пиады.- 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред.
Физ.-мат. лит, 1986.- 176. с.
<!)Любое распространение материалов жур нала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
СОВЕТЫ К УРОКУ
В.А. Даnинrер
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНО МЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
И Х СВОЙ СТВ А И ГРАФИКИ
В данной статье раскрывается понятие обратной функции, рассмотре­
ны обратные тригонометрические функции, их свойства и графики,
разобраны задачи по этой теме, а также предлагаются задачи для
самостоятельного решения. Цель статьи - повысить математическую
культуру читателя в рамках элементарной математики.
В курсе математики обратные триго­
нометрические функции считаются до­
вольно сложными понятиями. Задачи с
обратными тригонометрическими функ­
циями представляют для учеников зна­
чительные трудности как в логическом,
так и в техническом плане. Во многом
это объясняется наличием большого чис­
ла формул, не всегда простых, и гро­
моздкими преобразованиями выражений,
содержащих эти функции. Требуется хо­
рошо знать формулы тригонометрии,
уметь строить и преобразовывать графи­
ки функций. К тому же, как показывает
практика, осваивать обратные действия
всегда сложнее.
Прежде чем рассматривать обратные
тригонометрические функции, познако­
мимся с общим подходом к определению
обратной функции и построению её гра­
фика.
1.
Об ратная фун кция,
её график и сво й ства
Пусть задана функция у = f(x) с об­
ластью определения D(f) и множеством
значений Е(/). Известно, что для каждо-
го значения х0 из области определения
функции можно найти соответствующее
значение у0 Е Е(/); у0 называют образом
х0 при отображении {, а х0 - прообразом
при этом отображении.
Нередко приходится решать обратную
задачу - по данному значению функции
у0 находить соответствующее значение
аргумента х0• Если каждому значению
функции соответствует одно определённое
значение аргумента, то можно выразить
обратную зависимость значений аргумен­
та от значений функции. В таком случае
функцию называют обратимой.
Если для функции у = f(x) каждому
значению аргумента из области опреде­
ления D(f) соответствует одно определён­
ное значение функции из множества зна­
чений E(f), а каждому значению функции
из множества значений Е(/) соответствует
одно определённое значение аргумента
из области определения D(f), то функцию
у = f(x) называют взаимно-однозначной.
Например, функция у = 3х
1 обра­
тима, так как каждое значение у она
принимает при единственном значении
аргумента х . Это значение можно най-
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с лисьменного согласия редакции.
-
12
----------- МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
ти, решая уравнение у = 3х - 1 относи­
тельно х.
Функция у =х2' не является обратимой.
Например, значение у =4 она принимает
и при х = -2, и при х = 2.
Пусть у = f(x) - обратимая функция,
то есть из равенства у =f(x) можно одно­
значно выразить х через у. Тогда каж­
дому у из множества значений функции
соответствует одно определённое значе­
ние х из области её определения, такое,
что у = f(x) . Это соответствие определяет
функцию х от у, которую обозначим х =
g(y) . Поскольку аргумент функции при­
нято обозначать как х, поменяем местами
х и у. Получим: у = g(x). Функцию у = g(x)
называют обратной к функции у = f(x).
Легко понять, что функция, обратная к
данной, единственна, если она существу­
ет. Поэтому её обозначение однозначно
связывается с обозначением исходной
функции: функция, обратная к f, обозна­
чается как f1 (по аналогии с числом, об­
ратным к данному, - а и а-1).
Из определения обратной функции
следует, что её область определения со­
впадает с множеством значений исходной
функции, а множество значений обратной
функции совпадает с областью определе­
ния исходной функции.
Задача 1.1. Найти функцию, обратную
к функции у =4х + 7.
Решив это уравнение относительно х,
получим
1
х = (у 7)
4
-
-
.
Поменяем местами х и у:
1
у = - (х- 7).
4
Эта функция является обратной к
функции у = 4х + 7.
4/2018
Задача 1.2. Найти функцию, обратную
1
к функции у = --. Указать её область
х -1
определения и множество значений, по­
строить график.
1
Введя обозначение f (x ) = -- , имеем:
х -1
D(f) = (-оо; 1) u (1; +оо);
E(f) = (-оо; О) u (О; +оо).
График этой функции изображён на
рисунке 1.
у
1
у= -­
х- 1
1
х
Рис. 1
Для нахождения обратной функции f1
1
выразим х через у: х = 1 + у
Таким образом, Г1(у) =1 + _!_:
у
D(f1) = (-оо; О) u (О; +оо);
E(f1) =(-оо ; 1) u (1; +оо).
Видим, что D(f) =E(f1), E(f) = D(f1).
1
В равенстве х 1 + - поменяем места­
у
1
ми х и у. Получим у = 1 + - . График этой
х
обратной функции изображён на рисун­
ке 2.
=
<!>Любое распространени е мат ериалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
С ОВЕТ Ы К У Р ОКУ
-------
у
1
х
Рис. 2
Если бы мы не меняли местами х и
у, то график обратной функции был бы
изображён на рисунке 1, но следовало бы
поменять местами названия осей: ось Оу
была бы осью абсцисс, а ось Ох - осью
ординат. Но обычно меняют местами х и
у, чтобы сохранить известные роли осей
координат.
Графики исходной функции у = f(x) и
обратной к ней функции у = g(x) связаны
очень изяIЦНо: они симметричны относи­
тельно прямой у = х (биссектрисы I и III
координатных углов). Проиллюстрируем
это свойство на примере графика пока-
13
зательной функции у = 3 х и обратной к
ней логарифмической функции у = log3x
(рис. 3).
Теорема. Монотонная функция являет­
ся обратимой.
Пусть, например, функция у = f(x) воз­
растает, и пусть у0 - её значение в не­
которой точке х0, то есть у0 = f(x0). Тогда
если х принадлежит области определения
функции, то при х > х0 выполняется не­
равенство f(x) > f(x0) = у0, а при х < х0
выполняется неравенство f(x) < f(x0) = Уо·
Следовательно, значение у0 рассматрива­
емая функция принимает только в одной
точке, поэтому является обратимой.
Например, функция у = х3 возрастаю­
щая, поэтому является обратимой. Обратх.
нои к неи является функция у = vзГ
Если исходная функция возрастает, то
и обратная функция возрастает. Если ис­
ходная функция убывает, то и обратная к
ней функция убывает.
Итак, для существования функции, об­
ратной к данной, мы должны требовать
выполнимости свойства строгой монотон­
ности.
А как быть с функциями, не обладаю­
щими этим свойством? Например, с функ­
цией у = х2? Здесь одному положительно­
му. образу у0 соответствуют два прообраза:
u
u
Х1,2 =±.[.У;;.
В подобных случаях искусственно
ограничивают область определения ис­
ходной функции так, чтобы на новой об­
ласти функция была строго монотонной,
и именно на этой области определяют об­
ратную функцию.
Так, функцию у = х2 рассматривают
при х :::= О и для неё определяют обратную
функцию у -J;. Графики обеих функ­
ций изображены на рисунке 4. Если
функцию у = х2 рассматривать при х � О,
=
Рис. 3
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
14
------------ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
то она тоже имеет обратную функцию
у= .J;, их графики изображены на ри­
сунке 5.
у=х2
х:::::О
4/2018
у = х2
х?: о
у
у
х
1
Рис. 5
следняя будет многозначна, поскольку
одному значению аргумента соответству­
ет более одного значения функции (в
данном случае бесконечно много значе­
ний функции, рис. 7). Эту функцию обо­
значают у = arcsin х.
Ограничим область определения функ-
у=-Гх
Рис. 4
2. Обратные
ции
тригонометрические функции
Арксинус
Рассмотрим функцию у = sin х. Её гра­
фик приведён на рисунке 6.
Функция у = sin х не монотонная (она
кусочно-монотонная). Если для неё на
всей области определения D(sin х) = (-оо;
+оо) определить обратную функцию, по-
у=
.
[ ]
1t
1t
sш х отрезком -2; 2 , на котором
функция монотонно возрастает (на рисун­
ке 6 нужная часть её графика выделена
сплошной линией). На этом отрезке суще­
ствует обратная функция, которую называ­
ют арксинус и обозначают у = arcsin х, гра­
фик её изображён на рисунке 8.
у
у
1
о
х
1t
2
-1
Рис. 6
Рис. 7
0 Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
15
у
у= arcsin х
7t
2
-1
х
1t
Рис. 8
и) наибольшее значение М - фун:к=
Дадим определение арксинуса и опи­
шем свойства функции у= arcsin х.
Определение. arcsш а - это такое чис­
ло х, что:
1)
.
SШ
Х =а
И
2) ХЕ
[
1t
1t
]
-2;2 .
Поскольку arcsin а однозначно опреде­
лён для любого числа а Е [-1; 1], можно
говорить о функции у = arcsin х, область
определения :которой - отрезок [-1; 1].
То есть у= arcsin х,
1t
1t
2
2
если siny =х и --:<;:;у:<;:;-.
Из данного определения следуют два
тождества:
sin(arcsin х)= х (-1
arcsin(siny)=у
:<;:;
в) функция непрерывная и ограниченная;
г) функция является нечётной:
arcsin(-x)=-arcsin х;
д) функция обращается в нуль при
х= О, то есть arcsin О= О;
е) arcsin х < О при -1 � х < О и
arcsin х > О при О < х � 1;
ж) функция является строго возрас­
тающей (из неравенств -1 � х1 < х2 < 1
следует, что arcsin х1< arcsin х2);
з) экстремумов функция не имеет;
х :<;:; 1);
(-%:<;:;у:<;:;�}
Основные свойства функции
у= arcsin х:
а) определена на отрезке [-1; 1];
б) множество значений
отрезок
2
ция принимает при х= 1, а наименьшее
значение
т
=
1t
--
2
- при х=-1.
Арккосинус
Рассмотрим функцию у=cos х. Её гра­
фик изображён на рисунке 9.
Если для неё на всей области опреде­
ления D (cos х) = (-оо; +оо) определить
обратную функцию, последняя будет
многозначна, так как одному значению
аргумента соответствует бесконечно мно­
го.значений функции (рис. 10). Эту функ­
цию обозначают у= arccos х.
Ограничим область определения функ­
ции у= cos х отрезком [О; п], на котором
функция монотонно убывает (на рисун­
ке 9 нужная часть её графика выделена
сплошной линией). На этом отрезке суще­
ствует обратная функция, которую назы­
вают арккосинус и обозначают , график
её изображён на рисунке 11.
Дадим определение а р:к:косинуса и
опишем свойства функции у= arccos х.
Определение. arccos а - это такое чис­
ло Х, ЧТО:
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
16
------ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
4/2018
у
у
1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
-1
Рис. 9
/
Рис. 10
1) cos х= а и 2) х Е [О; п].
Поскольку arccos а однозначно опреде­
лён для любого числа а Е [-1; 1], можно
говорить о функции у= arccos х, область
определения которой - отрезок [-1; 1].
То есть у = arccos х, если cos у = х и
о::::: у::::: 1t.
Из определения следует, что:
у
---------
х
х
о
1t
у= arccosx
cos (arccos х)= х (-1 :::; х :::; 1);
arccos (cos у)=у (О :::; у :::; п).
Основные
свойства
функции
у= arccos х:
а) определена на отрезке [-1; 1];
б) множество значений
отрезок
[О; п];
в) функция непрерывная и ограничен­
ная;
г) функция удовлетворяет условию
arccos (-х)= п - arccos х,
то есть она ни чётная, ни нечётная;
д) функция обращается в нуль при
х= 1, то есть arccos 1= О;
е) arccos х > О при -1 :::; х< 1;
ж) функция является строго убываю­
щей (из неравенств -1 ::::: х1 < х2 :::; 1 сле­
дует, что arccos х1 > arccos х2) ;
з) экстремумов функция не имеет;
и) наибольшее значение М= п функ­
ция принимает при х=-1, а наименьшее
значение т =О - при х= 1.
Арктангенс
-1
о
Рис. 11
1
х
Рассмотрим функцию у= tg х. Её гра­
фик изображён на рисунке 12.
На всей области определения, объеди­
нения интервалов
0 Лю бое распро странение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
С ОВЕТ Ы К У Р ОК У
---------y=tgx
у
21t х
1t
2•1
1
--1
-21t - 31t:
2:
1
1
1
1
1
17
1
1
1
1
1
Рис. 12
(_2:_2
+
п
пп·' + пп ' п
2
)
Е
Z'
эта функция не является монотонной. Ес­
ли определить на этой области обратную
функцию, то последняя будет многознач­
на, её график изображён на рисунке 13.
Эту функцию обозначают у = Arctg х.
Выделим интервал
(- ; ; ) , на кото;
ром функция у = tg х монотонно возрас­
тает. На нём для функции у = tg х суще­
ствует обратная функция, которую назы­
вают арктангенс и обозначают у = arctg х.
Её график изображён на рисунке 14.
Дадим определение арктангенса и опи­
шем свойства функции у = arctg х.
Определение. arctg а
это такое число
х, что:
-
у
31t
________
_2
у
1t
2
у=arctg х
о
х
1t
2
Рис. 14
Рис. 13
Поскольку arctg а однозначно опреде­
лён для любого а Е R, можно говорить о
функции у = arctg х, область определения
которой - вся числовая прямая.
То есть у = arctg х, если tg у = х и
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
18
------
1t
-- < у < -.
2
2
Согласно определению,
х
(-оо < х< +оо),
arctg (tg у) = у
( ; < у < ;)
-
4/2018
На всей области определения, объеди­
нении интервалов вида (пп; п(п + 1)),
п Е Z, функция не является монотонной.
Если попробовать определить на этой об­
ласти обратную функцию, то последняя
будет многозначна, её график изображён
на рисунке 16. Эту функцию обозначают
у = Arcctg х.
Выделим интервал (О; п), на котором
функция у = ctg х монотонно убывает.
Для неё на этом интервале существует
обратная функция, которую называют
арк:котангенс и обозначают у = arcctg х.
Её график изображён на рисунке 1 7.
Дадим определение арккотангенса и
опишем свойства функции у = arcctg х.
это такое чис­
Определение. arcctg а
ло х, что:
1) ctgx = а и 2) х Е (О; п).
Поскольку arcctg а однозначно опреде­
лён для любого а Е R, можно говорить о
функции у = arcctg х, область определе­
ния которой - вся числовая прямая.
То есть у = arcctg х, если ctg у = х и
о< у< п.
Согласно определению,
ctg (arcctg х) = х ( < х< +оо),
arcctg (ctg у) = у (О < у<п),
Основные
свойства
функции
у = arcctg х:
а) она определена на множестве R;
1t
tg(arctg х) =
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
.
Основные свойства функции у = arctg х:
а) она определена на множестве R;
б) множество значений - интервал
(-;;%}
в) функция является непрерывной и
ограниченной;
г) функция является нечётной:
arctg (-х) = -arctg х;
д) функция обращается в нуль при
х = О, то есть arctg О = О;
е) arctg х >О при О< х< +оо и arctg х< О
при
< х< О;
ж) функция является строго возрас­
тающей (из неравенства х1 < х2 следует,
что arctg х1 < arctg х2) ;
з) наибольшего и наименьшего значе­
ний функция не имеет.
-
-оо
-оо
Арккотанrенс
Рассмотрим функцию у = ctg х. Её гра­
фик изображён на рисунке 15.
у
у=ctg х
-2п•1
Рис. 15
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
19
у
у
---------------------------------- ----------------------------------
Jt
21t
1t
2
у=
arcctg х
о
х
Рис. 17
-Jt
Рис. 16
б) множество значений - интервал
(О; тт);
в) функция является непрерывной и
ограниченной;
г) для функции arcctg х имеет место
тождество
arcctg (-х) = тт arcctg х,
то есть свойством чётности или нечётно­
сти функция не обладает;
д) нулей функция не имеет;
е) arcctg х >О при всех значениях х;
ж) функция является строго убывающей (из неравенства х1 < х2 следует, что
arcctg х1 > arcctg х2) ;
-
з) наибольшего и наименьшего значе­
ний функция не имеет.
Аналогичным образом вводятся функ­
ции арксеканс (у = arcsec х) и арккосе­
канс (у = arccosec х) . Но эти две обратные
тригонометрические функции употребля­
ются мало, поэтому мы на них не будем
останавливаться.
Обратные тригонометрические функ­
ции называют ещё круговыми функция­
ми, или аркфункциями (последнее на­
звание происходит от латинского arc «дуга»).
Подчеркнём, что обратные тригономе­
трические функции однозначны, непрерывны, их свойства вытекают из свойств
тригонометрических функций (таблица 1).
Значения обратных тригонометриче­
ских функций для некоторых значений
аргумента приведены в таблицах 2 и 3.
Впервые специальные символы для
Таблица
Функция
Область определения
arcs1n х
-1 �
х
arccos х
-1 �
х
arctg х
� 1
� 1
Множество значений
Монотонность
возрастает
[- � ;%]
[О; п]
убывает
возрастает
--оо< х <оо
(-%;%)
arcctg х
--оо< х <оо
(О; п)
убывает
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
1
20
------
Таблица 3
Таблица 2
Функция
Аргумент
arcsin х
J3
2
J2
-2
--21
--1t2
--1t3
--41t
-1t6
о
о
-21
J2
2
J3
2
-1t6
-41t
-31t
-1t2
-1
-
-
1
arccosx
*
*
arctgx
arcctgx
1t
--J33
-1t2
--1t3
--41t
--61t
о
о
J3
3
-1t6
-41t
-31t
-1t2
-«!
-5п6
-3п4
-2п3
-21t
-1t3
-41t
-61t
-JЗ
обратных тригонометрических функций
использовал Д. Бернулли, современные
обозначения ввели в 1 772 году К Шер­
фер и Ж. Лагранж.
*
Рассмотрим сначала основные типы за­
дач, связанных с числовыми значениями
выражений, содержащих обратные триго­
нометрические функции:
«вычислить числовое значение выра­
жения В»;
Функция
Аргумент
1t
о
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
-
-1
1
J3
+<X:J
-5п6
-3п4
-2п3
-21t
-1t3
-41t
-61t
о
«выяснить, верно ли, что значение вы­
ражения В равно а»;
«значение выражения В представить в
виде значения данной аркфункции».
Задача 2.1. Вычислить числовое значение выражения В:
в
.
.
. 3
= s1n arcs1n + arcs1n
.
5
17
(
-
-8)
Р е ш е н и е.
Применяя формулу синуса суммы и
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
21
tg(arctg 2+ arctg 3)=
tg(arctg 2)+ tg(arctg 3)
2+ 3
=
=-l.
1- tg(arctg 2) tg(arctg 3) 1-6
3те
Очевидно, tg =-1. Таким образом,
4
3те
tg(arctg 2 + arctg 3) = tg -.
( )
4
Так как
arctg 2 + arctg 3 < те,
те
те
arctg 2 >-, arctg 3 >-,
4
4
используя подходящие тождества, полу­
чаем
( ( %))(cos (arcsin 1� ))+
8
+( cos ( arcsin %))( sin ( arcsin )) =
17
·
В= sin arcsin
=
*
% · �l- 268� + �l- :5 l� =
°
3 15 4 8 77
=-·-+-·-=- .
5 17 5 17 85
77
85
Задача 2.2. Вычислить числовое зна­
чение выражения В:
получаем, что
те
- < arctg 2+ arctg 3 < те.
2
те 3те
Заметив, что - <- < те и на интерва2 4
О т в е т:
В = sin 2 arccos
(
�).
Р е ш е н и е.
�)) (cos (arccos �)) =
= 2 . 1- � . � = �.
� 1
В= 2 sin arccos
( (
Задача 2.3.
О т в е т: Jl5
8
Верно ли, что
arctg 1 + arctg 2+ arctg 3 = те?
Р е ш е н и е.
Поскольку arctg 1=те проверяемое ра4'
венство справедливо тогда и только тог­
да, когда верно равенство
3те
arctg 2+ arctg 3 =-.
4
Вычислим тангенс левой части этого
равенства:
ле
( � те)
;
функция
у =
tg х взаимно-
однозначная и строго возрастает, заклю­
чаем, что из равенства ( ) следует равен­
ство
3те
arctg 2+ arctg 3 = -.
4
*
О т в е т: верно.
Задача 2.4. Вычислить arcsin(sin 15).
Ре ш е н и е.
Формулу arcsin(sin х) = х можно при­
менить к вычислению такого вида выра­
женил, если значения х заключены в
те
те
пределах от -- до - .
2
2
те
Найдём, между какими кратными
2
последовательными значениями заклю­
чено число 15. Подбором находим, что
те
<15 <10·2:.
2
2
(4,5те ::::; 14,13, 5те ::::; 15, 71),
9·
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
22
-----9п
-<15<5п.
2
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
ций, в частности свойство монотонности.
Мы, например, должны помнить:
Вычитая 5п из каждой части последне­
го неравенства, получим:
п
- <15-5п <О '
2
1t
0<5п-15<-.
2
если
а,
то sin а < sin Ь;
если а,
и т.д.
Ь Е [О;
Задача
Далее имеем:
arcsin(sin 15) = arcsin(sin(5n - 15))
= 5п - 15
0,71.
О т в е т: 5п - 15 0,71.
Общая идея решения уравнений с арк­
функциями: заключается в сведеmш их к
уравнениям простейшим, которые, в свою
очередь, решаются непосредственно на осно­
ве определения входящих в него функций.
Задача 2.5. Решить уравнение
3п
arccos(2x+1) = .
4
Р е ш е н и е.
3п
Так как
Е [О; п], то по определению
4
�
�
-
-
откуда
-
и
;
[ % %]
а <
Ь
,
п] и а< Ь, то cos а >cos Ь
2.6.
Решить
неравенство
1
arccos х arccos- s О.
4
-
Р е ш е н и е.
Заметим, что ОДЗ: 1 х 1
сто ограничение
:::::
1 и имеет ме-
1 1t
О s arccos- s - .
4 2
Перепишем неравенство в виде
1
arccos х s arccos-. .
4
Поскольку на отрезке [О; п] функция
у = cos х взаимно-однозначная и строго
убывает, неравенство равносильно нера­
венству
арккосинуса числа данное уравнение рав­
носильно уравнению
3п
2х+1 = COS-,
4
ЬЕ
cos(arccos х) ?: cos arccos
(
�}
1
> - с учётом ОДЗ получаем
Отсюда х 4'
ответ.
2+J2
J2
2x+ l=-- ' Х=4
2
При решении неравенств мы будем
применять обычные методы, такие как
замена переменной, разложение на мно­
жители и т.д. Стратегической целью яв­
ляется сведение исходного неравенства к
какому-либо из простейших неравенств.
При этом мы по-прежнему будем широ­
ко использовать определения и свойства
аркфункций и тригонометрических функ-
1
О т в е т: - s х s 1.
4
---
Задача 2. 7. Найти область определе­
ния функции
у =
arcsin( l + tg2nx).
Р е ш е н и е.
Здесь область определения задаётся,
очевидно, неравенством
11 + tg2nxl s 1,
равносильным (в силу того, что tg2nx ::::: О
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
== С ОВЕТ Ы К У Р ОКУ
-------
при допустимых значениях х) равенству
1 + tg2nx = 1.
Отсюда tg2nx = О; пх = kn, k Е Z; х = k,
k Е Z.
О т в е т: х Е Z.
Задача 2.8. Сколько целых чисел в об­
ласти определения функции
х 2 + 5х+ 2
. 1-х
?
f(x) = arcsш --+ arccos
5
2
Р е ш е н и е.
Так как D(arcsinx) = [-1; 1], D(arccosx) =
[-1; 1] , то область определения данной
функции задаётся условиями:
1-х
-l s
sl
5
х 2 + 5х+ 2 . -5 s l - x s 5
_1 <
-< 1 _2 ,; х 2 + Бх+ 2 ,; 2;
2
!
--
'{
-4s x s 6
-5 s x s O
х ?: -1
x s -4;
[
[-lх =s4.x s O
2 cos х -
( �)+3 .
-1 s cos х -
( �) s 1,
-2 s 2 cos ( х - � ) s 2,
+
3 s 5,
Функция у = arctg t является возрас­
тающей на всей области определения,
следовательно,
г------
arctg l s arctg 2 cos х -
( �)+ 3 s arctg-J5.
Поэтому наибольшее значение функ­
ции есть arctg-J5, а наименьшее значе­
п
ние arctg l= - .
4
О т в е т: arctg-J5 - наибольшее
значение;
7t
Р е ш е н и е.
Для любого действительного х верно
неравенство
тогда
( �)
4
Итак, D(f ) = [-1; О] u {-4}. Целых чи­
сел в области определения данной функ­
ции три: О, -1 и -4.
От в е т: три целых числа.
Задача 2.9. Найти наибольшее и наи­
меньшее значения функции
у = arctg
1 s 2 cos х -
23
- наименьшее значение.
3. Задачи дnя самостоятеnьного
решения
Задача 3.1. Вычислить числовое зна­
чение выражения В:
В = arcsin(sin 2).
О т в е т: -2 + п .
Задача 3.2. Вычислить числовое зна­
чение выражения В:
В = arccos(cos 5).
О т в е т: -5 + 2п.
О т в е т: 1.
Задача 3.3. Решить уравнение
arccosx - arcsinx - arccos(x.J3) = О .
О т в е т: х1 = О; х2 = 0,5; х3 = -0,5.
Задача 3.4. Решить уравнение
2arctg(2x + 1) - arccos х = О.
О т в е т: х = О.
Задача 3.5. Решить уравнение
sin(5arctg х) = 1 .
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
24
------
2+ �12+ 2 .J2
<х � 3.
2
( 103п ) , х2 tg (10�) -
Ответ .· х1 = tg -
=
Задача 3.6. Решить уравнение
7t
arctg(2+ cos х) - - - arctg(l+ cos х) = О.
4
О т в е т: х п + 2kn, k Е Z.
Задача 3. 7. Решить неравенство
arcctg2x - 5arcctg х + 6 > О.
О т в е т: х < ctg 3, х > ctg 2.
Задача 3.8. Решить неравенство
arccos х2 - arccos х < О .
О т в е т: -1 � х < · О.
Задача 3.9. Решить неравенство
.J2
arcsin(x 2 - 2х -2) - arccos
> О.
2
2- �l2+2.J2
О т в е т: -l � x<
,
2
=
4/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
Л итература
1. Важенин Ю.М. Аркфункции для школь­
ников и абитуриентов. - Екатеринбург: Изд­
во УрГУ, 1997. - 35 с.
2. Далингер В.А. Методика обучения ма­
тематике: Практикум по решению школьных
задач. - Омск: Издательский дом «Наука»,
2012. - 266 с.
3. Далингер В.А. Математика: обратные
тригонометрические функции. Решение за­
дач. - 2-е изд., испр. и доп.- М.: Юрайт,
2018. - 147с.
4. Новоселов С.И. Обратные тригонометри­
ческие функции. - 4-е изд. - М.: Учпедгиз,
1956. - 126 с.
5. Фалин Г.И., Фалин А.И. Обратные три­
гонометрические функции. 10-11 классы.
М.: Изд-во «Экзамен», 2012. - 221 с.
НОМЕР НАРУШИТЕЛЯ
Вечером на проспекте имени Тараса Бул ьбы произошло дорожно-транспортное происшествие. Ви нов­
н и к аварии с места происшествия скрылся. Нашёлся единственный свидетел ь аварии.
- Я спокойно ехал по п роспекту, - рассказал он п рибывшим сотрудникам ГАИ, -
когда сзади по­
сл ышался звук столкновения. Посмотрев в зеркало заднего вида, я увидел одну перевёрнутую ма шину
и другую, которая мчалась на бешеной скорости. Немного не догнав меня, она повернула и скрылась
в переулке, п р и этом едва не задев мой багажник. Но мне удалось заметить номер этой машины: ноль
восемь восемь. К сожален и ю, буквы рассмотреть не успел.
Сотруд н и ки ГАИ пои нтересовались маркой и цветом машины нарушителя.
- Вы сами видите, какое плохое освещен ие, - развёл руками свидетель. - Точно не знаю, а врать не
хочу.
А вот что рассказал на следующий день знакомый инспектор ГАИ Маше и Вове.
- Мы п роверили все машины с номером 088. В нашем городе их три. Первая машина уже два дня
находится в а втосервисе, вторая - стоит в гараже под замком, а хозя и н лежит в бол ь н и це, а на третьей
- неделю назад люди уехали в отпуск на Валдай. Посоветуйте, что делать?
Вова сразу п р и нялся чесать в затыл ке, а Маша сказала:
- Вы не те машины проверяли.
- Да, - подхватил Вова. - Поищите . . .
Сотруд н и ки ГАИ воспользовал ись со ветом наших друзей и быстро нашли виновника аварии.
Что посоветовали Маша и Вова работникам ГАИ? Какой номер машины был у виновника аварии?
Дружинин Б.Л.
Ответ см. н а стр.47
(!)Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
l<АУБ Ю Н Ы Х МАТЕМАТИКОВ
Б.Л . Д ружинин
ВС Ё МОГ УТ КОРОЛИ
Короли бывают разные. Те, кому достаётся этот титул по наследству,
управляют странами или, по крайней мере, думают, что управляют.
Другие короли в кровавых битвах свергают с трона предшественни­
ков. Некоторым присваивают этот титул за выдаюш,иеся достижения.
Одни считают «королём футбола» Эдсона Арантиса ду Насименту,
больше известного как Пеле, другие - Диего Марадонну. Жаль,
что из СССР не выпускали за границу Эдуарда Стрельцова, иначе
весь остальной мир понял бы, кто на самом деле «король футбола».
Но никто не сомневается, что «король математики» - Иоганн Карл
Фридрих Гаусс.
Детство
Иоганн Гаусс появился на свет 20 апре­
ля 1 777 года в славном городе Браунш­
вейге, родине отца российского императо­
ра Ивана VI Антона Ульриха. Дед Гаусса
был бедным крестьянином, отец поменял
много профессий, работал садовником,
каменIЦИком, смотрителем каналов.
Карл с малых лет проявил выдаю­
IЦИеся способности. К трём годам он уже
научился читать, считать и писать. Су�це­
ствует такая легенда. Школьный учитель
математики, чтобы занять детей на дол­
гое время, предложил им сосчитать сум­
му всех натуральных чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс заметил, что эти числа мож­
но разбить на 50 пар, каждая из которых
даёт одну и ту же сумму: 1 + 100 = 1 0 1 ,
2 + 99 = 1 0 1 и так далее, и быстро полу­
чил результат
5050. По другой версии,
требовалось узнать сумму чисел от 1 до
40, но суть от этого не меняется.
На развиваюIЦИх занятиях я предло­
жил первоклассникам посчитать сумму
чисел от 1 до 10. Дело происходило в
мае, так что детишки складывали хоро­
шо. Было интересно сравнить их с юным
Гауссом. Из двенадцати ребят двое дога-
-
Д ом ,
в
кото р ом р од ил ся К .Ф. Гаусс .
Фото начала ХХ в ека
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивн ых номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
26
------
дались до метода Гаусса, а одна девчуш­
ка, на мой взгляд, даже превзошла. Она
предложила приписать в начале О (от
чего сумма не изменится) и складывать
О + 10 , 1 + 9 и так далее. Получающиеся
десятки складывать проще. Потом остаёт­
ся прибавить одинокую пятёрку. Уверен,
нынешние дети очень способные, пока их
ЕГЭ не испортит.
Учёба
В 1 792 году в возрасте 1 5 лет Карл
Гаусс поступил в Collegium Carolinum.
Там благодаря успехам в математике,· он
сразу выделили среди других учащихся.
Учитель математики Мартин Бартельс,
которому в то время было всего 23 года,
быстро понял, какой способный ученик
встретился на его пути, и добился для
того персональной стипендии от герцога
Брауншвейгского.
В колледже Бартельс серьёзно занял­
ся образованием юного Гаусса, посвятил
его в тонкости высшей математики, по­
знакомил с трудами Паскаля, Ферма,
Лейбница, Ньютона, Эйлера, Лагранжа.
И Гаусс увлёкся математикой более «вы­
сокой», чем та, что сейчас изучают в боль-
М А Т Е М АТ И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
4/2018
шинстве технических вузов. В частности,
в теории чисел он сумел строго доказать
квадратичный закон взаимности, что до
него пытались сделать другие математи­
ки, но безуспешно.
С 1 795 по 1 798 год Гаусс учился в
Гёттингенском университете и уже че­
рез год после его окончания защитил
докторскую диссертацию. Диссертация
оказалась совсем не простой. Гаусс до­
казал основную теорему алгебры, что не
удавалось сделать другим выдающимся
математикам.
Теорема гласит: поле комплексных чи­
сел алгебраически замкнуто, то есть вся­
кий отличный от константы многочлен
(от одной переменной) с комплексными
коэффициентами имеет, по крайней мере,
один корень на поле комплексных чисел.
Школьникам более понятно следствие из
этой теоремы: любой многочлен п-й сте­
пени имеет ровно п корней, с учётом их
кратности.
Впоследствии Гаусс дал ещё три дока­
зательства этой теоремы.
Метод наимен ьших квадратов
Ещё учась в колледже, Гаусс разрабо­
тал метод наименьших квадратов, один
из самых применяемых методов оценки
экспериментальных данных. Рассмотрим
его на простом примере.
Пусть имеется набор эксперименталь­
ных данных о зависимости напряжения
И от силы тока I
в цепи (см. табли­
1).
цу
По экспериментальным данным требу­
ется найти сопротивление R в цепи. Из
курса физики известно, что И = R I.
Отметим экспериментальные точки на
координатной плоскости и попробуем
провести прямые, иллюстрирующие за­
висимость И от I (см. рисунок).
·
Здание Гё ттингенского университета
и его библиотека в начале XIX ве к а .
(!)Л юбое распространение материалов журнала, в т.ч. архивн ых номеров, возможно тол ько с письменного согласия редакции.
КЛУ Б Ю Н Ы Х МАТЕМАТИКОВ
-------
27
Таблица 1
i
1
2
3
4
5
6
7
8
I
0,8
1,5
2,2
3.5
4,8
5,7
6,6
8,0
u
0,7
1,0
0,9
2,0
2,0
2,5
3,9
4,8
U(I)
значении R, при котором её произво­
дная по R равна нулю. Решив эту за­
дачу, найдём, что
5
4
п
3
"
L.. И·i . J.i
R=-"-i=-=1
_
__
2
п
z:1 1;
i=
1
о
1
2
4
3
5
6
7
8
Остаётся подсчитать R. Для этого до­
бавим две новые строки в таблицу 1 (см.
таблицу 2).
Просуммировав отдельно числа чет­
вёртой, а затем пятой строки и разделив
одну сумму на другую, получим
I
Таких прямых можно провести сколько
угодно. Какая прямая лучше описывает
зависимость U(J) = R · !? Какое значение
сопротивления R ей соответствует? Для
ответа на эти вопросы Гаусс разработал
метод наименьших квадратов.
Любому значению R соответствует
функция F(R), такая что
R=
99,03
= 0 54.
183, 07 '
В более сложных случаях, когда функ­
ция F зависит от нескольких перемен­
ных, приходится решать системы уравне­
ний. Но не это главное. Главное - Гаусс
понял, что минимизировать надо не от­
клонения, а суммы квадратов отклоне­
ний. Сейчас метод наименьших квадра­
тов является незаменимым инструментом
не только физиков, но и биологов, эконо­
мистов и других учёных.
п
F(R)=� )Иi -R· I) 2 •
i=1
То значение R, при котором F(R) при­
нимает минимальное значение, и опреде­
ляет лучшую прямую, описывающую экс­
периментальные данные. Функция F(R)
примет минимальное значение при том
Таблица 2
i
1
2
3
4
5
6
7
8
I
0,8
1,5
2,2
3.5
4,8
5,7
6,6
8,0
u
0, 7
1,0
0,9
2,0
2,0
2,5
3,9
4,8
иi . ].i
0,56
1,5
1,98
7,0
9,6
14,25
25,74
38,4
12
1
0,64
2,25
4,84
12,25
23,04
32,4 9
43,56
64,0
(!)Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
28
-------
Н ор мальное рас п редел е ни е
Также, ещё обучаясь в колледже, юный
Карл Гаусс приступил к исследованию
теории распределения случайных оши­
бок измерений. Конечно, под ошибками
здесь надо понимать не те ошибки, что
совершаются по недосмотру, разгильдяй­
ству или невежеству. Просто практически
любой процесс измерений невозможен без
погрешности, которая и называется в этом
случае ошибкой. Поясню на примере.
Пусть где-то в Бразилии владелец пти­
цефабрики имеет 1000 кур породы «лег­
горю>. Он желает выясIШТЬ, сколько яИц
несут его куры в месяц. У него получаются
такие числа: 20 386, 21 1 19, 20 672, 20 907,
21 008 и т.д. Эти ежемесячные расхожде­
ния и называются случайной ошибкой.
Гаусс установил, что при достаточном
большом количестве измерений вероят­
ность появления величины Р(х) подчи­
няется закону
Р(х) =
1
--
cr
J2;,
- (х-т)2
е
--
2cr2
Здесь: т
среднее значение величи­
х
ны , cr
среднеквадратичное отклоне­
ние, то есть среднее значение величины
-
-
М А Т Е М АТ И К А Д Л Я Ш КОЛ Ь Н И К О В
4/2018
ности построения с помощью циркуля и
линейки правильного многоугольника
с заданным числом сторон, что равно­
сильно делению окружности на соответ­
ствующее равное число частей. В школе
учат строить правильные треугольник,
четырёхугольник и шестиугольник. Есте­
ственно, если правильный многоугольник
построен, то легко получить правильный
многоугольник с удвоенным числом сто­
рон. Поэтому усилия математиков сосре­
доточились на построении правильных
многоугольников с количеством сторон,
выражаемым простыми числами.
В 1801 году вышла книга Гаусса «Ариф­
метические исследования». В ней Гаусс
указал все простые числа, при которых
построение правильного многоугольника
с помощью циркуля и линейки возможно.
Этих чисел оказалось всего пять
3, 5,
1 7 , 257 и 65 337
и они получили на­
звание гауссовы. При этом произведения
различных (не повторяющихся) гауссовых
чисел на любую целую неотрицательную
степень числа 2 дают число сторон пра­
вильного многоугольника, который можно
построить с помощью циркуля и линейки.
-
-
(х - т)2•
Вообще, существует немало других рас­
пределений, описывающих вероятность
появления значения, соответствующего
некоторому случайному явлению. Это
распределения Максвелла, Коши, Паска­
ля, Пуассона, Релея, Стьюдента и др. Но
большинство их при достаточно большом
среднем значении стремится к нормаль­
ному распределению Гаусса.
Вот что натворил школяр!
Семнадцат и у rольник
Ещё в древности греческие математи­
ки пытались разрешить вопрос о возмож-
П ортрет молодого К.Ф. Гаусса
(!)Л юбое распространение материал ов журнала, в т.ч . архивных номер ов, в озможн о только с письменного со гласия редакции.
==: К Л У Б Ю Н Ы Х М АТ Е М А ТИ К О В --
-------
Например, задача разрешима для пра­
вильного 53314992-угольника, так как
53 314 992 = 24 . 3 . 1 7 . 65 337,
а вот правильный 7-угольник построить
нельзя.
Карл Гаусс предложил только способ
построения с помощью циркуля и линей­
ки правильного 1 7-угольника. Впрочем,
что значит «только»? Думаю, никто из
нынешних выпускников технических ву­
зов не сможет самостоятельно построить
такой многоугольник. А девятнадцати­
летний Карл смог!
В будущем у Гаусса будет ещё мно­
го великих достижений, но правильный
1 7-угольник навсегда останется в сердце
«короля математики». И не случайно он
попросил в завещании изобразить эту фи­
гуру на своём памятнике.
Ф и з и ка
Великие математики прошлого стара­
лись применить свои открытия в физи­
ке. Яркие тому примеры - Блез Паскаль,
Жозеф Лагранж, Пьер Лаплас, Анри Пу­
анкаре, Исаак Ньютон. Так, Ньютон, ис­
пользуя разработанные им математиче­
ские методы, доказал на примере движе­
ния планет по эллипсам предложенный
Гуком закон всемирного тяготения, чего
сам Гук сделать не смог.
Гаусс также применял «свою» матема­
тику для объяснения физических явле­
ний. Явление капиллярности было из­
вестно давно, но именно Гаусс разработал
его теорию. Особенно много он занимался
электромагнетизмом. Именно он ввёл в
науку понятие электрического потенциа­
ла и предположил конечность скорости
распространения электромагнитных взаи­
модействий. В 1 833 году вместе со своим
учеником Вильгельмом Вебером соорудил
29
в Ганноверском университете электромаг­
нитный телеграф, соединивший кабинет
физики с обсерваторией.
Разрабатывая теорию электромагнит­
ных взаимодействий, Гаусс придумал аб­
солютную систему мер, где есть три основ­
ные единицы: длины ( 1 мм), массы (1 мг)
и времени (1 с). Эта система послужила
основой СГС - Симметричной Гауссовой
Системы. В 1960 году XI Генеральная
конференция по мерам и весам приняла
Международную систему единиц СИ, бо­
лее удобную для практического примене­
ния, нежели СГС. Но учёные, имеющие
дело с электродинамикой, предпочитают
пользоваться системой единиц Гаусса.
Дело в том, что все поля в системе СГС
имеют одну размерность.
В СГС единица измерения магнитной
индукции - Гаусс (Гс, или G), в СИ еди­
ница измерения магнитной индукции но­
сит имя великого инженера и изобретате­
ля Николы Тесла (Тл, или Т). 1 Тл = 104
Гс, но это вовсе не отражает соотношения
их «физической сильD> .
К 1862 году Джеймс Максвелл обобщил
основные закономерности электромагнит­
ных взаимодействий и представил их в
виде системы уравнений. Два из четырёх
М одел ь теле граф а Гаусса - В ебера
сле
(
в а пр и ё м ник , с прав а п е р едатчик )
<!)Л юбое расn ространение материалов журнала, в т.ч. архивн ых номеров, возможно только с n исьменного согласия редакции.
30
М АТ Е М АТ И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
уравнений получил ранее :Карл Гаусс.
Одно из них означало, что электрический
заряд является источником электрической
индукции, а другое - что не существует
магнитных зарядов, то есть монополей частиц, имеющих только один магнитный
полюс, северный или южный. Однако в
1974 году молодой советский физик Алек­
сандр Поляков предсказал существование
магнитных монополей. Неоднократные
попытки обнаружить их эксперименталь­
но пока не увенчались успехом.
месте. Д о 1 1 февраля Пьяцци наблюдал
Цереру 24 раза, но потом заболел и пре­
рвал наблюдения. Статья об этом открытии
была опубликована в сентябрьском вьmу­
ске журнала Monatliche Correspondenz.
4/2018
Н а й ти Цереру
В 1 766 году Иоганн Тициус предложил
эмпирическое правило, приблизительно
описывающее расстояния между пла­
нетами Солнечной системы и Солнцем.
Правило такое. :К i-му элементу после­
довательности (DJ: О, 3, 6, 9 и так далее
прибавляется 4, затем результат делится
на 10. Полученное число R; считается
радиусом орбиты i-й планеты, выражен­
ным в астрономических единицах (в рас­
стояниях от Солнца до Земли).
Этому правилу подчинялись все из­
вестные к тому времени планеты Сол­
нечной системы. :Когда в 1 781 году Уи­
льям Гершель открыл Уран, никого не
удивило, что и его орбита соответствова­
ла «правилу Тициуса». Однако было одно
«но»: отсутствовала планета под номером
5. Астрономы долго и безуспешно искали
эту загадочную планету между орбитами
Марса и Юпитера.
И вот наконец свершилось! :Как иногда
бывает, открытие произошло случайно.
Джузеппе Пиацци наблюдал 87-ю звезду
:Каталога зодиакальных звёзд ла :Кайля и
1 января 1801 года обнаружил рядом с ней
космический объект, который он назвал
Церерой. Этот объект оказался весьма ма­
леньким, зато находился как раз в нужном
Сравнение размеров Цереры, Луны и
Земли
Увы, другие астрономы не могли под­
твердить открытие Пиацци, так как на­
блюдениям мешало Солнце. Только к кон­
цу года Церера заняла положение, удоб­
ное для наблюдения, но теперь астрономы
не знали, где её искать. И тогда за дело
взялся двадцатичетырёхлетний Гаусс. Он
придумал способ определения орбиты по
трём полным наблюдениям. При полных
наблюдениях известны время, склонение
и прямое восхождение небесного объекта.
Что такое время понятно. Склонение - ду­
га круга от небесного экватора до объекта,
что соответствует понятию географической
широты. Плоскость небесного экватора со­
впадает с плоскостью земного экватора.
Прямым восхождением называется дуга
небесного экватора от точки весеннего
равноденствия до плоскости круга скло­
нения объекта, что соответствует понятию
географической долготы. Прямые восхо­
ждения отсчитываются в сторону, противо­
положную суточному вращению небесной
сферы, в пределах от 0° до 360°.
<!) Любое распространение материалов журнала, в т.ч . архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
== КЛУ Б Ю Н Ы Х МАТЕМАТИКОВ
------
Карл Гаусс благодаря своему методу до­
вольно быстро рассчитал новое положение
Цереры. «Довольно быстро» для того време­
ни, :когда все подсчёты приходилось вести
вручную. И 31 декабря 1801 года Франц
Ксавер фон Цах и Генрих Ольберс одно­
значно подтвердили обнаружение Цереры.
Впоследствии астрономы открыли множе­
ство маленьких (по сравнению с Землёй)
:космических тел, образующих пояс астеро­
идов между орбитами Марса и Юпитера.
Всё могут короли?
Невозможно в небольшой статье рас­
сказать обо всех достижениях Карла Га­
усса. Он занимался практически всеми
областями математики и сам открыл в
ней новые направления. После смерти
Гаусса в его бумагах были обнаружены
многие идеи и законченные работы, и все
они оказались высочайшего :класса. По­
чему он не опубликовал их при жизни?
Этого мы никогда не узнаем, но предпо­
ложить можем. Возможно, «:король» очень
дорожил своей :короной и не хотел обна­
родовать те свои достижения, :которые не
могли понять другие математики. Или
же была другая причина.
Уравнения 1-й и 2-й степеней умели
решать греческие, египетские и арабские
математики ещё в древние времена. В
начале XVI века нашли способ решения
:кубического уравнения Сципион дель
Ферро и Ни:к:коло Тарталья. Почти сра­
зу такая же судьба постигла уравнение
четвёртой степени - с ним сравился Лу­
иджи Феррари. Казалось бы, та:к пойдёт
и дальше - уравнения пятой, шестой и
прочих степеней сдадутся математикам.
Но не тут-то было, три столетия урав­
нение пятой степени оставалось непри­
ступным. И вот наконец двадцатилетний
мальчишка взял его штурмом! Да, юный
31
Нильс Абель сообщил об успешном ре­
шении алгебраического уравнения пятой
степени! Но скоро Абель сам нашёл у себя
ошибку. Более того, он пришёл :к выво­
ду, что алгебраические уравнения выше
четвёртой степени в общем виде вообще
не имеют решений в радикалах. Скоро он
оформил своё утверждение в виде теоре­
мы и доказал её. Это доказательство он
отправил на отзыв самому «:королю ма­
тематики» Карлу Гауссу, но ответа та:к и
не дождался. Почему? Возможно, у Гаусса
имелось своё доказательство этой теоремы,
а «:королю» не пристало быть вторым.
Один из самых гениальных математи­
ков всех времён и народов Эварист Галуа
погиб на дуэли в 1832 году в возрасте 20
лет. Младший брат отправил работы Эва­
риста Карлу Гауссу, но ответа опять-таки
не последовало. Почему? Возможно, Гаусс
имел свои наработки по проблемам, из­
ложенными в работах Галуа. А возмож­
но, «:король» просто не понял идеи юно­
ши. Ведь только через много лет после
роковой дуэли математики смогли разо­
браться в некоторых идеях Галуа и ещё
долго развивали и обобщали эти идеи,
преобразившие облик всей математики.
А физики-теоретики и шагу не могут
сделать без теории групп, открытой, по
существу, мальчишкой.
Но однажды Гаусс написал: «Оценить
это - всё равно что оценить себя. Пото­
му что всё, что там написано, совпадает
с моими собственными размышлениями
последних 30-35 лет на эту тему». Та:к он
ответил своему давнему другу Фар:кашу
Бойяи. В 183 1 году Бойяи послал Гауссу
работу своего сына Яноша «Приложение,
содержащее науку о пространстве, абсо­
лютно истинную, не зависящую от истин­
ности или ложности XI аксиомы Евклида
(что а priori никогда решено быть не мо-
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
32
------
жет)». XI аксиома (или V постулат) Ев­
клида - аксиома параллельных прямых.
Янош Бойяи построил непротиворечивую
геометрию, в которой через точку, лежа­
щую вне прямой, можно провести сколько
угодно прямых, параллельных данной.
А несколько ранее, 7 февраля 1 826
года, Николай Иванович Лобачевский
представил для опубликования в «Запи­
сках физико-математического отделению>
сочинение «Сжатое изложение начал гео­
метрии со строгим доказательством теоре­
мы о параллельных». И здесь XI аксиома
Евклида «не работала». Любопытно, что
Лобачевский учился в Казанском уни­
верситете у Мартина Бартельса. Да-да, у
того самого Бартелься, который «открыл>>
для математики Карла Гаусса. Так что
Бартельс принял участие в становлении
двух великих математиков, чем может
похвастаться редкий профессор.
И Лобачевский, и Бойяи смело и ре­
шительно заложили основы геометрии,
которую мы называем «неевклидовой».
Эта геометрия легла в основу описания
четырёхмерного пространства-времени
Янош Бойяи
М АТ Е М АТ И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
4/2018
И.И. Лобачевский
общей теории относительности. А Гаусс
30 лет размышлял, но так ничего и не
опубликовал. Почему? Может, опять по­
мешала «корона»?
Семья
В 1805 году Карл Гаусс женился на
Иоганне Остгоф. За четыре года в семье
появились трое детей. Вскоре после рож­
дения третьего ребёнка жена Гаусса умер­
ла. А в Германии, захваченной войскам
Наполеона, в то время была полная раз­
руха. Гауссу удалось пережить это лихо­
летье только благодаря помощи друзей.
В 1810 году Гаусс женился на Мин­
не Вальдек, подруге Иоганны. Число его
детей возросло до шести. Материальное
положение семьи улучшилось, Гаусс стал
знаменит, на него «посыпались» поче­
сти и награды. В частности, он получил
весьма значительную премию Парижской
академии наук.
Мешала ли Гауссу заниматься нау­
кой большая семья? Думаю, что не ме­
шала, иначе детей было бы значительно
меньше.
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
МАТЕМАТИКА
Б .Л .
ЭТО ИНТЕРЕСНО
Дружинин
УМНО ЖИТЬ Н А ДВ А
Ка к дети сво й ства л и нзы изучал и . . .
1 5 апреля.
Все дети обступили Диму. Он, восполь­
зовавшись ярким весенним солнышком,
при помощи линзы выжигает на дощечке
какой-то узор. Увидев меня, дети торопят­
ся сообщить новости.
- А у Димы увеличительное стекло.
- Оно всё в два раза увеличивает. На
нём двойка обозначена.
- А бывают увеличительные стёкла,
которые в десять раз увеличивают. И да­
же больше.
- Да, - вздыхает Дима, - такое уве­
личительное стекло мою дощечку сразу
насквозь прожж Ёт. . . Правда?
Экспериментальное решение задач на
переливание, намеченное на сегодня вви­
ду жаркого солнечного дня, приходится
отложить.
- Такие увеличительные стёкла в на­
уке и технике называют ЛИНЗАМИ. Про
них вы узнаете в старших классах на уро­
ках физики. Действительно, есть линзы
способные давать очень большое увели­
чение. Но сейчас попробуем ответить на
вопрос Димы: «Какая линза лучше про­
жигает дощечку»?
- Наверное, те, что увеличивают силь­
нее, - соглашается с Димой Катя.
Никто не возражает.
- Тогда кто сообразит, почему дощечка
прожигается только за линзой, а не во всех
местах, где её солнце освещает?
- Потому что за линзой солнечные лу­
чи в точку собираются, - сразу отвечает
Саша.
- И что, все лучи в точку собираются,
или только те, которые?. .
- Которые на линзу попадают, - про­
должает за меня Оля.
- А остальные лучи мимо проходят, добавляет Настя.
Рисую на доске две окружности.
о
Рис. 1
- Это две линзы. Какая из них больше
лучей в точку соберёт?
-:- Наверное, та, что больше, - после
некоторого раздумья говорит Оля и тут
же спрашивает, - а разве не она сильнее
увеличивает?
- Совершенно верно! Линза собирает в
точку лучи, падающие на её поверхность.
Чем больше площадь линзы, тем больше
солнечных лучей соберёт она в точку, и
тем сильнее будет нагреваться то, что в
этой точке окажется. А увеличение лин­
зы зависит от других её параметров. Но
сейчас не об этом. Что значит «линза уве­
личивает»?
- Как это «что значит»? - удивляется
(!) Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров. возможно только с письменного согласия редакции.
34
Саша. - Она всё увеличивает в два раза.
Вот сбоку написано 2х. Если бы было на­
писано 1 ОХ, то всё увеличивалось бы в
десять раз.
- Ты в этом уверен? - спрашиваю Са­
шу, и он утвердительно кивает. - Девоч­
ки, дайте ему конфету ... Возьми у Димы
линзу и посмотри через неё на конфету.
Сколько конфет ты видишь?
- Одну, конечно, - Саша удивлённо
пожимает плечами.
- Но ты же обещал, что эта линза всё
в два раза увеличивает.
- Дядя Боря, не цепляйтесь к словам,
- заступается за Сашу Валя. - Эта линза все размеры в два раза увеличивает. А
сколько штук было, столько и осталось.
- Теперь я к твоим словам прице­
плюсь. По-твоему, если взять маленькую
конфетку и посмотреть на неё через деся­
тикратную линзу, то её сразу на десятерых
хватит?
Дети задумываются.
- Дядя Боря, а как правильно сказать,
что делает увеличительное стекло? - на­
конец спрашивает Настя.
- Когда вы смотрите на конфету через
линзу, вы видите не саму конфету, а её
изображение. Ваше утверждение о двой­
ном увеличении линзы означает, что дли­
на изображения конфеты вдвое больше
длины самой конфеты.
- Теперь вопрос в основном к девоч­
кам. Что вы видите, когда смотритесь в
зеркало?
- Себя! Конечно, себя!
- Если зеркальце слегка повернуть, то
и других увидеть можно.
- У автомашин есть зеркало заднего
вида, - присоединяется к девочкам Костя.
- В него всё видно, что сзади делается.
- Мы видим не себя, а своё изображение, - поправляет детей Катя. - На
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
4/2018
фотографии мы тоже видим изображение,
а не самого человека. Дядя Боря, а что
отражается в зеркале, когда никого нет в
комнате?
- Об этом мы поговорим, когда за фи­
зику примемся. А пока к следующему за­
нятию придумайте, что эта линза не уве­
личивает в два раза.
22 апреля.
- Дядя Боря, Вы неправильно в про­
шлый раз нам задание сформулировали,
- первым делом сообщает Дима. - Лин­
за ничего увеличить не может, она делает
увеличенное изображение.
С такой постановкой вопроса трудно не
согласиться, но, всё-таки, предлагаю Диме
вспомнить с чего начались наши игры с
увеличительными стёклами.
- Я при помощи линзы узоры на до­
щечке выжигал, - говорит Дима.
- А почему выжигать получалось?
- Потому что энергия в точку собиралась.
- Получается, что линза в этой точке
энергию увеличила, - догадывается Саша.
- Значит, кое-что линза увеличивает.
- Хорошо, линза увеличивает в два
раза изображение отрезка прямой, - го­
ворю и рисую на доске картинку.
Рис. 2
- Тогда эта линза всё нарисованное в
два раза увеличивает, - заявляет Костя.
<!>Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
М А Т Е М АТИ К А - Э ТО И Н Т Е Р Е С Н О
------
о
Рис. 3
- А вот и не всё, - первой догадывает­
ся к чему я клоню Катя. - Посмотри через
линзу на квадрат.
- Все стороны в два раза увеличат­
ся, - не совсем уверенно говорит Ко­
стя.
- А углы? - подсказывает Лена.
- Да, - почёсывая в затылке, соглашается Костя. - Углы не изменятся.
- А площадь квадрата? - продолжает
Лена.
- Площадь аж в четыре раза увеличит­
ся, - заявляет Саша.
В подтверждение своих слов Лена ри­
сует на доске квадрат и его изображение
в линзе. Возражений нет.
БИБЛИОТЕКА
Известный британский популяриза­
И:ш
то рт
35
тор науки Иэн Стюарт готов показать
всем и каждому: математика - наука
очень увлекател ьная, способная да­
рить истинное наслаждение. Все чис­
ла
интересные, утверждает автор и
доказывает это от противного. «П ред­
положим, что не все числа интересны.
Тогда существует наименьшее неи нте­
ресное число. Быть самым маленьким
среди неинтересных - разве это не
интересно?!
П ротиворечие.
Теорема
доказана». Сборник Стюарта - смесь
зан имател ьных задачек,
остроумных
головоломок, фокусов, исторических
баек и прочих забавных историй, по­
добранных на любой вкус и возраст.
Все они - из коллекции п рофессора,
которую тот собирал много лет и по­
полнил собственными оригинальными
экспонатами. Скучать нам, читателям,
точно не п ридётся!
@Л юбое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
НЕО>l<ИдАН НА� МАТЕМАТИКА
Е.В. Тро и цкий
РА ССК А З О С ПРА ВЕДЛИВО М РА ЗРЕ ЗА НИИ
п и ццы
Статья, адресованная учащимся VII-IX классов, знакомит читателей
с двумя теоремами, связанными с разрезанием круга, которые в
литературе часто называются теоремами о разрезании пиццы или
сыра.
1. Два припозднившихся путника (не
знакомых друг с другом) зашли в пицце­
рию поужинать. Каждый из них заплатил
за половину пиццы и попросил разрезать
свою часть на четыре куска, чтобы было
удобнее её есть.
то на вторую тарелку. В каждой тарелке
получилось по четыре куска. Вот только
размеры у них все были разные, потому
что от усталости продавец промахнулся и
нарезал пиццу так, что вершина кусков
оказалась совсем не в центре пиццы, а
как на рисунке 2.
Рис. 1
Усталый
продавец достал специальные
ножницы с лопаткой (как на рисунке 1),
поставил перед собой две тарелки и стал
нарезать ножницами круглую пиццу на
куски с углами, равными 45°, поочерёд­
но выкладывая эти куски то на первую,
Рис. 2
Посетители стали недовольно хмурить
брови, оба высказали своё сомнение в
справедливости разрезания пиццы. В от­
вет продавец показал им следующий ри-
0 Л юбое расnространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с n исьменного согласия редакции.
=== Н Е О Ж И Д А Н Н А Я М А Т Е М А Т И К А
-------
сунок (рис. 3), и посетители в задумчиво­
сти отправились к своим столикам есть
пиццу - каждый свою часть.
37
их от противоположного конца соответ­
ствующего разреза, построим симметрич­
ные, а значит, попарно равновеликие
куски А, В, С, D белого цвета и А*, В*,
С*, D* серого цвета (рис. 4). Здесь и да­
лее будем обозначать одной буквой куски
противоположного цвета, совпадающие
при наложении, только для белых кусков
буквы будут без звёздочки, а для серых
- со звёздочкой.
На разрезе, содержащем Ь, отложим Ь
от противоположного конца и построим
равные равнобочные трапеции Е и Е*,
как показано на рисунке 5.
Рис. 3
«Что это за рисунок? Прав ли прода­
вец?» - думали они.
Мы же предлагаем читателю следую­
щее рассуждение. Обозначим через а, Ь,
с и d короткие части (относительно точки
пересечения) разрезов (рис. 2). Отложив
Рис. 5
Рис. 4
Обозначим через б длину дополнения
2d до целой хорды и, аналогично, обо­
значим через а длину дополнения 2а до
целой соответствующей хорды, как пока­
зано на рисунке 6.
Несложно убедиться в том, что дли­
на меньшего основания трапеции Е (а,
значит, и трапеции Е*) равна б, а длина
отрезка, являющегося его продолжени­
ем (рис. 6), равна d. Рассуждения здесь
можно провести разными способами. На­
пример, если обозначить через О центр
(!)Л юбое распространени е материалов журнала, в т.ч. архи вных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
38
------
ь
М А Т Е М А Т И К А Д Л Я Ш К О Л Ь Н И КО В
4/2018
Таким образом, мы можем построить
равные равнобедренные прямоугольные
треугольники F и F'k с катетом 8, как по­
казано на рисунке 7.
Каждая из фигур G и G* составлена из
трапеции и сегмента, опирающегося на
одну из сторон (рис. 7). При этом трапе­
ции имеют три равные стороны и равные
соответствующие углы, то есть совпадают
при наложении. Поскольку сегмент пол­
ностью определяется отрезком, на кото­
рый он опирается, то площади фигур G
и G* равны. Поскольку боковые стороны
Рис. 6
пиццы и провести через него три пря­
мые, перпендикулярные 1) основаниям
трапеций, 2) хорде, содержащей 8, 3)
хорде, содержащей а, то в силу симме­
трии рассматриваемых отрезков относи­
тельно последней прямой наше утверж­
дение становится очевидным. Мы не де­
лаем этого здесь, чтобы не перегружать
рисунок.
Рис. 8
Рис. 7
равнобочной трапеции Е* имеют дли­
ну а, то и отрезок, обозначенный левой
фигурной скобкой на рисунке 8, имеет
длину а. Таким образом, фигуры Н и Н*
имеют одинаковую площадь (аналогично
сравнению G и G*), что и завершает до­
казательство того факта, что в данном
случае пицца была поделена продавцом
справедливо.
А если бы один из разрезов прошёл
через центр круга? Мы предлагаем чита­
телям таким же способом проанализиро-
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
Н ЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА
-------
39
вать и другие возможные конфигурации
разрезов пиццы на восемь частей таким
способом и убедиться в том, что как бы
плохо с точки зрения посетителей ни бы­
ла разделена пицца, никто из них не ока­
зался бы обделённым.
Дело в том, что этот факт является част­
ным случаем следующей теоремы [1] :
Теорема 1 .
Выберем произвольную точку Р внутри
круга (пиццы) и проведем N прямых (раз­
резов) через Р таким образом, чтобы об­
разовавшиеся при этом куски (2N штук)
имели равные углы с вершиной в точке
Р. Закрасим куски поочерёдно серым и
белым, начиная с произвольного куска.
Пусть О - центр пиццы. Тогда
• если N � 4 чётное, то площадь серой
части равна площади белой. Для всех
остальных N площади серой и белой ча­
стей совпадают тогда и только тогда, ког­
да О лежит на разрезе.
Эта теорема имеет продолжение, мы
сформулируем его в конце статьи. Задача
о разрезании пиццы (сыра) была сформу­
лирована в 1967 году Лесли Дж. Аптон
(Канада) [2], в 1968 году было опублико­
вано её решение [3] , а рисунок с «дока­
зательством без слов» для случая N = 4
(аналогичный рисунку 3, предъявленно­
му посетителям продавцом) появился в
1994 году [4] .
2. Итак, пицца в тот раз была поде­
лена поровну. Мы не знаем, сумели ли
убедиться в этом наши посетители, но
съев по полпиццы, они не насытились.
Одновременно подойдя к стойке продав­
ца, каждый из них опять заплатил за по­
ловину пиццы и попросил разрезать её
на 4 куска. Вот только теперь они оба по­
просили продавца воспользоваться обыч­
ным ножом и разрезать её так, чтобы
Рис. 9
длины дуг каждого из восьми кусков бы­
ли одинаковыми. Продавец, конечно, со­
гласился. Он нарезал пиццу и разложил
поочередно по двум тарелкам все восемь
кусков, но при этом от усталости он опять
промахнулея, и вершина кусков - точка
Р
опять оказалась не в центре пиц­
цы (см. рис. 9). Куски снова получились
совсем неодинаковые!
Надо ли говорить, как были расстрое­
ны посетители? Но и на этот раз продавец
смог убедить их в справедливости разре­
зания пиццы. Как? Давайте рассмотрим
и этот способ разрезания пиццы.
Рассмотрим сначала случай, изобра­
жённый на рисунке 9, когда точка Р на­
ходится внутри соответствующего вписан­
ного в круг правильного восьмиугольни­
ка. Отбрасывая сегменты равной площа­
ди, видим, что нам достаточно сравнить
суммарные площади серых и белых тре­
угольников, из которых составлен вось­
миугольник (см. рис. 1 0).
Обозначим длину стороны восьми­
угольника через а, а расстояние между
-
0Л юбое распространение материапов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с п исьменного согласия редакции.
40
М А Т Е М АТ И КА Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
4/2018
а
а
Рис. 1 0
противоположными сторонами - через
а, но
нам это выражение не понадобится. Тог­
да сумма площадей двух треугольников
(одного цвета), опирающихся на противо­
положные стороны, равна 1h.ah (рис. 10).
Заметим, что она одна и та же для каж­
дой пары противоположных треугольни­
ков. Поэтому площадь серой части вось­
миугольника равна площади белой части
(и равна ah), что и требовалось.
Рассмотрим теперь другие случаи рас­
положения точки Р. Заметим, что для то­
го, чтобы вообще имело смысл говорить о
получении восьми кусков и поочерёдном
выкладывании их на тарелки, необхо­
димо потребовать, чтобы эта точка была
внутри круга (пиццы). Тогда (кроме уже
рассмотренного) возможны два случая: а)
точка попала на сторону восьмиугольни­
ка и б) точка попала внутрь сегмента. В
случае а) сегменты опять распределились
поровну между цветами, а треугольников
уже не 8, а 7 (рис. 1 1). Остаётся заметить,
что противоположные пары опять-таки
имеют сумму площадей 1hah, причём та-
h. Конечно, h выражается через
ких пар
1 серая и 2 белых. При этом
«непарный» серый треугольник имеет
площадь 1h.ah, что и завершает доказа­
тельство случая а).
Перейдём к случаю б). Пусть точка пе­
ресечения разрезов Р находится в сегмен­
те, отделяемом стороной АВ восьмиуголь­
ника (рис. 12). Тогда площадь незакра­
шенной части равна, как и ранее, сумме
-
Рис. 1 1
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможн о только с письменного согласия редакции.
Н Е О Ж И ДА Н Н А Я М А Т Е М А Т И К А
------
р
Рис. 1 2
площадей четырёх одинаковых сегментов
и двух пар противоположных треуголь­
ников (каждая пара даёт Yzah). Площадь
же серых кусков равна сумме площадей
трёх одинаковых сегментов, двух проти­
воположных треугольников (равной Yzah),
площади треугольника PDE и площади
сегмента без треугольника РАВ. Остаёт­
ся заметить, что разность площадей тре­
угольников PDE и РАВ равна Yzah.
Таким образом, продавец пиццы и в
этом случае оказался бы прав. Соответ­
ствующую теорему 2 мы предлагаем чи­
тателю сформулировать самостоятельно.
Заметим при этом, что во всех рассужде­
ниях мы использовали только одно тре­
бование на количество сторон (кусков):
противоположные куски пиццы должны
доставаться одному и тому же посетите­
лю. А это означает, что их количество
должно делиться на 4. Для всех таких
случаев теорема 2 верна.
Вернёмся к усталому продавцу пиццы.
Неужели он рассказывал всё это посети­
телям, чтобы доказать свою правоту? Нет,
41
конечно. Ведь тогда бы пицца совсем
остыла. То, что пицца поделена поровну,
продавец доказал взвешиванием обеих
тарелок.
Но на этом история с пиццей не закон­
чилась. Одному из посетителей эти трю­
ки с разрезанием так понравились, что
он купил целую пиццу, принёс домой и
решил показать первый способ разреза­
ния своим двум сыновьям - разделить
пиццу поровну между ними, при этом не
проводя разрезы через её центр, а соблю­
дая лишь равенство углов в точке пересе­
чения разрезов. Вот только он поленился
и разрезал пиццу не на восемь кусков, а
на четыре. Справедливо ли он поделил
пиццу между братьями? Как теперь ему
разделить пиццу поровну?
Пицца, увы, в этом случае разделена
не справедливо, в чём легко убедиться.
Действительно, обозначим серым куски
пиццы того брата, кому достался центр,
а белым - другого, причём расположим
так, чтобы разрезы (которые по опреде­
лению перпендикулярны) были направ-
Рис. 1 3
0 Любое распространение материапов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно тол ько с письменного согласия редакции.
42
------- ·-----
в
с
Е
Е*
F
F*
А*
В*
Рис. 1 4
лены вертикально и горизонтально, соот­
ветственно (рис. 13).
Проведём прямые, симметричные раз­
резам относительно вертикальной и го­
ризонтальной осей. Тогда площади се­
рых кусков А, В, С, D, Е, F равны, со-
М А Т Е М А Т И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
4/2018
ответственно, площадям симметричных
им белых кусков А*, В*, С*, D*, Е*, F*
(рис. 14).
Таким образом, общая площадь серой
части больше площади белой части на
площадь прямоугольной области, закра­
шенной серым цветом на рисунке 15.
Какие дополнительные разрезы пиццы
следует сделать отцу, чтобы пицца оказа­
лась поделена между братьями справед­
ливо, читателю теперь очевидно. А теоре­
ма 1 имеет следующее продолжение (см.
[1]):
• Если О не лежит на разрезе и выполнено одно из следующих условий:
1 . N = 1,
2. N = 2,
3. N = 3 (mod 4),
то площадь серой части больше площади
белой тогда и только тогда, когда О ле­
жит внутри куска серого цвета.
•
Если О не лежит на разрезе,
N = 1 (mod 4), N 2:: 5, то площадь белой
части превышает площадь серой части
тогда и только тогда, когда О лежит в
сером куске.
Однако доказательство этой теоремы в
общем случае выходит за рамки нашего
рассказа.
Л итература
[1]
R. Mabry, Р. Deiermann Of Cheese
and Crust: А Proof of the Pizza Conjecture
and
Other
Tasty
Results
// The American
Mathematical Monthly, 2009, vol. 1 1 6, no. 5 ,
р р . 423-438(16)
[2] L. J. Upton, ProЫem 660, Math. Mag.
40 (1967) 163.
[3] М. Goldberg, Divisors of а circle (solution
to proЫem 660), Math. Mag. 4 1 (1968) 46.
[4] L. Carter and S. Wagon, Proof without
Words: Fair allocation of
Рис. 1 5
а
pizza, Math. Mag.
67 (1 994) 267.
(!)Л юбое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
МАТЕМАТИ Ч ЕСКИЕ И ГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ
�
�-===�
===
О ПОЛЬ ЗЕ РЕ ШЕНИ Я ГОЛОВОЛО МОК
Многие задачи, предлагаемые учащим­
ся на уроках математики - это учебные
задачи, сопровождающие и иллюстрирую­
щие недавно изученный новый матери­
ал, и всякий школьник, едва лишь про­
чтя условие такой задачи, знает, какую
именно теорему или какое именно прави­
ло следует применить, чтобы её решить.
«Ура! Пятёрка в дневнике!» - радуется
ученик. Но задачи, которые возникают
в науке математике и в жизни, гораз­
до сложнее, и стратегии «использования
теоремьD> при их решении недостаточно.
Нужен творческий подход к решению та­
ких задач. В результате сам процесс ре­
шения задачи может принимать форму
поиска различных идей и многочислен­
ных исследований, которые, вообще гово­
ря, не гарантируют получения ответа. А
кто сказал, что ответ вообще существует?
Ведь бывают и такие задачи, у которых
нет ответа!
Эвристика, как пишут в научных ста­
тьях, - это теория и практика организа­
ции избирательного поиска при решении
сложных интеллектуальных задач. Из­
вестный же математик Джордж Пойа в
своей книге «Математическое открытие»
сказал проще: «Эвристика - это наука о
том, как делать открытия». Вот, оказыва­
ется, какую науку следует постичь нам
всем - и взрослым, и детям!
Один из лучших способов начать пости­
гать эту науку - это решать математиче­
ские головоломки! Ниже мы предлагаем
вниманию читателей несколько занима­
тельных задач Генри Эрнеста Дьюдени
(1857-1931) - известного автора многих
головоломок. Быть может, не все из них
математически строго сформулированы,
а ответы Дьюдени на них (которые мы
опубликуем в следующем номере) не всег­
да полны. Но эти головоломки действи­
тельно замечательные, и они по сей день
остаются такими же популярными, как и
тогда, когда они впервые появились.
1. О чехnах дnя подуwек
+
•
• о
•
• о
·+·
•
о
о
•
о
•
· '* .
+
о
.
�
•
• о о
•
"
·* .
+
о •
+
•
• о о
·* о
•
о
о
• •
•
+
•
"'
•
•
о
•
•
о
•
·• о
о
о
о
•
••
• о
+
•
о
о
о
1k .
•
'"
•
·
•
....
•
о
о
о
о
•
о
·
• •
о
*·
•
+
• о
•
·* .
•
•
•
•
•
•
•
•
*·
•
•
\\:а
• •
. •·
о • о
+
Выше изображён квадрат парчи. Ле­
ди хочет разрезать его на четыре части
так, чтобы из двух частей можно было
сформировать один идеальный ква­
драт для чехла на первую подушку, а
из остальных двух частей - ещё один
квадрат для второй подушки меньшего
размера. Как ей это сделать? Конечно,
она хочет делать разрезы только по ли-
(!) Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с п исьменно го согласия редакции.
44
------
ниям, разделяющим двадцать пять ква­
дратов, изображённых на ткани, при
этом рисунок на обоих получившихся
квадратах должен сохраниться, т.е. он
должен соответствовать рисунку на из­
начальном куске парчи без какой-либо
«нерегулярности». По сути есть только
один способ сделать это. Сможете ли вы
найти его?
2. Задача о фпаrе
У дамы был квадратный кусок полот­
на с двумя львами на нём - в точности
М А Т Е М А Т И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
4/2018
такой, как изображено на рисунке. Она
хотела разрезать его на куски, чтобы за­
тем сшить из них два квадратных флага
со львом на каждом. Она обнаружила, что
это можно сделать, разрезав полотно все­
го на четыре части. Как она с этим спра­
вилась? Конечно, разрезать Британского
Льва было бы непростительным престу­
плением, поэтому вы должны быть осто­
рожны, чтобы ни один разрез не проходил
через какую-либо часть любого из них.
При этом запрещены какие-либо «поворо­
тьD> и, конечно, никакая часть исходного
полотна не может быть выброшена. Это
довольно простая головоломка на раз­
резание, если к ней правильно подойти.
Помните, что флаги должны быть идеаль­
ными квадратами, при этом не требуется,
чтобы они были одинакового размера.
3. Рождественский подарок миссис
Смайпи
Миссис Смайли была искренне рада,
получив в качестве Рождественского по­
дарка от шести своих внучек очень краси-
<!) Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
М А Т Е М АТ И Ч Е С К И Е И Г Р Ы И Г О Л О В ОЛ О М К И
вое лоскутное одеяло, которое они сшили
своими руками. Оно было квадратным и
было сшито из 196 = 14 х 14 шёлковых
квадратных лоскутков одинакового разме­
ра. При этом изначально вкладом в общую
работу каждой из шести внучек являлся
идеальный квадрат (все шесть частей бы­
ли разными по размеру). Но для того, что­
бы сформировать из них общее квадратное
одеяло, работу одной девушки пришлось
расшить на три отдельные части. Можете
ли вы показать, как могли бьпь сделаны
все соединения? Конечно, никакая часть
не может быть перевёрнута на изнанку
(но может быть просто повёрнута).
------
45
вместе. Или, говоря иными словами, надо
разделить одеяло миссис Перкинс на как
можно меньшее число квадратов, просто
распуская швы.
5. Парчовые квадраты
4 . Одеяnо миссис Перкинс
Как видно из рисунка, в этом случае
квадратное одеяло сшито из 169 квад­
ратных лоскутков. Задача состоит в том,
чтобы найти наименьшее возможное ко­
личество квадратных частей, из которых
могло быть составлено это одеяло, и по­
казать, как они должны быть соединены
Так случилось, что, находясь в гостях
у одной дамы, я взял со стола два чудес­
ных квадрата из парчи. Они были пре­
красными образцами восточного мастер­
ства - оба одинакового дизайна с тонким
клетчатым узором.
«Разве они не восхитительны? - ска­
зала моя знакомая. - Они были приве­
зены мне двоюродным братом, который
только что вернулся из Индии. Теперь я
хочу, чтобы ты мне немного помог. Ви­
дишь ли, я решила объединить их вме­
сте, чтобы сделать из них один большой
квадрат для чехла на подушку. Как я
должна это сделать, чтобы кромсать
ткань как можно меньше? Конечно, я
предлагаю делать разрезы только по тем
линиям, которые р азделяют маленькие
клетки».
Я разрезал два квадрата согласно её
0 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции .
46
------ -----
4/2018
М А Т Е М А Т И К А Д Л Я Ш К ОЛ Ь Н И К О В
их вместе и сделать одно большое ква­
дратное лоскутное покрывало 1 3 х 13.
Но, конечно же, она не хотела бы резать
ткань в каком-либо месте, а лишь хотела
бы просто распороть швы там, где это не­
обходимо, и затем снова соединить части.
Но вот, что её озадачило. Друг уверяет
её, что весь имеющийся материал можно
разделить не более, чем на четыре части,
чтобы потом их объединить в новое по­
крывало. Не могли бы вы показать ей,
как это сделать?
желанию н а четыре части, из которых
можно было составить один большой ква­
драт. При этом я следил, чтобы рисунок
ткани был сохранён. Когда я закончил,
я заметил, что площади двух частей ока­
зались одинаковыми (то есть каждая из
этих двух частей содержала одинаковое
количество клеток). Можете ли вы пока­
зать, как были сделаны разрезы в соот­
ветствии с этими условиями?
7. Разрезание nиноnеума
6. Е щё одна rоnовоnомка про nэчворк
На рисунке изображены два отдельных
куска линолеума.
Головоломка состоит в том, чтобы раз­
резать эти два квадрата на четыре части
так, чтобы составить из них один квадрат
10 х 10. При этом рисунок должен быть
сохранён. Кроме того, требуется, чтобы от
большего куска была отрезана часть, наи­
меньшая из возможных.
На обратной стороне линолеума рисун­
ка нет, поэтому части нельзя перевора­
чивать.
Одной леди две её подруги подарили
красивые фрагменты шелкового лоскут­
ного покрывала, показанные на нашей
иллюстрации. :Как видно, оба фрагмента
являются квадратами - один 12 х 12, а
другой 5 х 5. Она хотела бы соединить
8. Е щё одна rоnовоnомка
с
nиноnеумом
Можете ли вы разрезать этот кусок ли­
нолеума на четыре части, из которых мож­
но составить квадрат? :Конечно, разрезы
могут быть сделаны только по линиям.
<!) Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
МАТЕМАТИ Ч Е С КИЕ И Г Р Ы И Г ОЛОВОЛОМКИ
1
9. Картонная коробк а
Эта головоломка несложная, но она
интересна тем, что можно найти простое
правило для её решения. И так, у меня
есть прямоугольная картонная коробка.
Площадь верха 120 квадратных дюймов,
фронтальной стороны
96 квадратных
дюймов, а боковой стороны 80 квадрат­
ных дюймов. Каковы точные размеры ко­
робки?
-
-
1 О. Кр ажа колокол ьн ых в ер ёвок
Однажды ночью двое мужчин ворва­
лись в колокольню, чтобы украсть коло­
кольные верёвки. Как раз сверху свисали
две колокольные верёвки, которые прохо­
дили через отверстия в деревянном потол­
ке высоко над ними. Мужчины, не теряя
времени, стали взбираться по ним наверх.
------
47
Затем один мужчина вытащил нож и пе­
ререзал верёвку над головой, в результа­
те чего упал на пол и получил тяжелую
травму. Его собрат-вор крикнул, что тот
получил по заслугам за то, что он такой
дурак. И сказал, что надо было делать так,
как делает он: с этими словами он перере­
зал верёвку под тем местом, где держал­
ся. Затем, к своему ужасу, он обнаружил,
что находится не в лучшем положении,
чем первый, потому что, продержавшись
так долго, на сколько хватило его сил, он
был вынужден отпустить конец верёвки и
упасть рядом со своим товарищем. Здесь
они оба и были найдены на следующее
утро со сломанными конечностями.
С какой высоты они упали? Известно,
что одна из верёвок, когда они нашли
её, касалась пола. А если бы вы подтя­
нули конец верёвки к стене, держа её
натянутой, то она коснулась бы стены
в точке всего в трёх дюймах над полом.
При этом стена была в четырёх футах
от верёвки, когда та висела в покое.
Какой была длина веревки от пола до
потолка?
Материал подготови ла
Федорова В.И.
Ответ к задачке со стр. 24
Свидетел ь видел номер маш и н ы наруш ителя в зеркале заднего вида и поэтому проч итал его в отра­
жённом изображении. П р и этом цифры
О
и 8 не исказились. Искать следовало машину с номером 880.
0 Любое распростра нен ие материалов журн ала, в т.ч. архивных н омеров, возможн о только с письменн ого согласия редакции.
48
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
4/2018
Указатель статей,
опубликованных в журнале «Математика для школьников» в 2 0 1 8 rоду
Иду н а экза м е н
Малышев И.Г. О расположении центра
окружности, вписанной в четырёхугольник.
№ 1
Троицкий Е.В. От перемены мест слагае­
мых. № 3
Дружинин Б.Л. Всё могут короли. № 4
Математика - это интересно
Академия математики
Артыгалина Р.Д. . Развиваем простран­
ственное воображение (для учащихся 5- 7
классов). № 1
Шевкин А.В. Как не получить ответ в за­
даче, не имеющей решения? № 1
Пчелинцев С.В., Седова Е.А. О методе ма­
тематической индукции, часть 1. № 2, часть
2 № 3
Недосекина И. С. Рекуррентные последова­
тельности многочленов. № 4
Советы к уроку
Дворянинов С.В. Как не перепутать НОК
и НОД. № 2
Дворянинов С.В. Так какого же цвета мед­
ведь? Ответ на загадку ВВС № 1, 2
Бояринов И. О. Чертёжные инструменты из бумаги своими руками. № 3
Далингер В.А. Обратные тригонометриче­
ские функции, их свойства и графики. № 4
Проверь себя
Кукушкин Б.Н. Задачник «Математики
для школьников». №№ 1-3
Клуб ю н ых математиков
Дружинин Б.Л., Куминова И.И. Сказка
про то, как Емеля Царевну Несмеяну спасал
(части 3,4). № 1
Троицкий Е.В. Омар Хайям и кубические
уравнения. № 2
Недосекина И. С. Задача китайского импе­
ратора и треугольник Серпинского. № 1
Дворянинов С.В. Так какого же цвета медведь? № 1, 2
Дружинин Б.Л. Стройся по весу . . . № 2
Акулич И.Ф. Третья клякса. № 3
Дружинин Б.Л. Николая Орем. № 3
Дружинин Б.Л. Умножить на два. № 4
Неожида н ная математика
Кар пушина Н.М. Обманчи вая простота.
№ 2
Акулич И. Ф. Следи за отклонением. № 2
Акулич И. Ф. Стремянка у стены. № 3
Дворянинов С.В. Что такое огибающая. № 3
Троицкий Е.В. Рассказ о справедливом
разрезании пиццы. № 4
Математические головоломки
Федорова В.И. О пользе решения голово­
ломок. № 4
За н и мател ьная стра н и ца
Акулич И.Ф. Кофе со сливками . . . . Как Ту­
зик грелку. № 1
Кар пушина Н.М. Сокровище геометрии:
правдивая история теоремы Пифагора. № 3
Хрон и ки
Указатель статей, опубликованных в жур­
нале «Математика для школьников» в 2018
году. № 4
<!)Лю бое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
РАССЕПЕНИЕ KOTRT
Капитан Единица прав. Пять малых кругов
равны (рис. 1 ) , а значит, равновелики. Малый
круг подобен большому, их диаметры относят­
ся как 1 :
3,
а площади как 1 : 9. Поэтому пло­
щадь малого круга равна одной девятой части
площади большого круга. На все малые круги
приходится пять девятых от площади большо­
го круга, а на остальные криволинейные фигу­
ры - четыре девятых. Эти фигуры тоже равно­
велики, и площадь каждой равна одной девя­
той части площади большого круга.
Рис.
Дальнейшее решение сводится к известным
7
2
построениям с помощью циркуля и линейки.
Начнём с центра большого круга. Проведём
произвольно хорду и построим взаимно перпендикулярные диаметры (рис.
2),
цифры на
рисунке указывают порядок проведения линий.
--+3----+<__
______..._
..
_
_
Точка их пересечения и есть искомый центр.
Рис.
2
Для построения малых кругов нужно знать
радиус и положение центра каждого круга, а
для этого достаточно, например, разделить на
три равных ч асти радиусы большой окружно­
сти (рис.
3).
На т ал ья Карпуш и на
Рис.
3