Partícula en un campo electromagnético

C
A
P
I
T
U
L
O
Complementos:
Partícula en un
campo electromagnético
Objetivos
• Hamiltoniano clásico
• Cuantización del Hamiltoniano
• Momento dipolar magnético
XIII
• Contribución del spin
Curso 2007-2008.
Física Cuántica
Pàgina 2.
Lagrangiano de una partícula cargada en un campo electromagnético
@ V ICENT G IMÉNEZ G ÓMEZ
D EPARTAMENT DE F ÍSICA T EÒRICA . U NIVERSITAT DE VALÈNCIA .
Formalismo clásico
Consideremos una partícula de carga q sometida a un campo electromagnético, ~E(~r, t) y ~B(~r, t). Denotaremos por T su energía cinética, T = 21 m v2 . Entonces, teniendo en cuenta que
∂T
∂T
d
∂T
= m v̇α = ṗα = Fα
y que
= m vα →
=0
∂vα
dt ∂vα
∂xα
donde ~F es la fuerza que actua sobre la partícula, obtenemos que
∂T
∂T
d
−
= Fα
dt ∂vα
∂xα
(I.1)
En el seno de campos eléctricos y magnéticos, una carga está sometida a la fuerza de Lorentz dada por,
1
~F = q ~E(~r, t) + ~v × ~B(~r, t)
c
en el sistema de unidades de Gauss y donde c es la velocidad de la luz.
Como es bien sabido, de las ecuaciones de Maxwell se deduce que los campos ~E(~r, t) y ~B(~r, t) son
derivables de un potencial escalar, φ, y de un potencial vector, ~A, definidos por,
~
~E(~r, t) = −~∇φ − 1 ∂A
c ∂t
~B(~r, t) = ~∇ × ~A
Entonces, la fuerza sobre la carga q puede ser calculada a partir del potencial U , dependiente de la
velocidad,
∂U
∂U
d
1 ~
(I.2)
+
U = q φ − q ~v · A =⇒ Fα = −
c
∂xα
dt ∂vα
La demostración es senzilla. En efecto, sustituyendo la definición del potencial U en (I.2), tenemos que
∂φ
∂U
d
vi ∂Ai
q dAα
∂U
= −q
+
+q
−
−
∂xα
dt ∂vα
∂xα
c ∂xα
c dt
donde los índices repetidos se entiende que están sumados desde 1 hasta 3. Pero, teniendo en cuenta que,
dAα
∂Aα
∂Aα
=
+ vi
dt
∂t
∂xi
lo escribimos en la forma
∂U
∂φ q ∂Aα
q
∂Ai
d
∂Aα
∂U
=
−q
+
vi
+
−
− vi
−
∂xα
dt ∂vα
xα
c ∂t
c
∂xα
∂xi
q
1
= q Eα +
~v × ~∇ × ~A
~v × ~B
= Fα
= q Eα +
c
α
c
α
como queríamos demostrar.
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Lagrangiana de una partícula cargada en un campo electromagnético
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Formalismo clásico
En la demostración anterior hemos utilizado que, por las propiedades del tensor εi jk , se cumple la relación
~v × ~B
= εαi j vi B j = εαi j vi ε jkl ∂k Al = ε jαi ε jkl vi ∂k Al
α
donde ∂α =
∂
∂xα .
= [ δαk δil − δαl δik ] vi ∂k Al = vi ∂α Ai − vi ∂i Aα
(I.3)
Otra manera de obtener este resultado es usar la identidad vectorial
~∇ ~v · ~A = ~v × ~∇ × ~A + ~A × ~∇ ×~v + ~v · ~∇ ~A + ~A · ~∇ ~v
(I.4)
y recordar que las derivadas de la velocidad respecto a la posición son nulas pues se consideran como
variables independientes en el formalismoLagrangiano.
Entonces, el segundo y cuarto términos de la
ecuación (I.4) son nulos y despejando ~v × ~∇ × ~A , llegamos a (I.3).
Podemos ya construir la Lagrangiana de una partícula cargada en el seno de un campo electromagnético
simplemente sustituyendo en la ecuación (I.1), la expresión de la fuerza de Lorentz en terminos del
potencial U de la ecuación (I.2),
∂T
∂T
∂U
d
∂U
d
−
= Fα = −
+
dt ∂vα
∂xα
∂xα
dt ∂vα
es decir,
d
dt
∂(T − U )
∂vα
−
∂(T − U )
=0
∂xα
Por tanto, la lagrangiana que buscabamos es
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L (~r,~v, t) =
q
1 2
m v − q φ + ~v · ~A
2
c
(I.5)
Es fácil verificar que la ecuación de Lagrange que se deduce de esta Lagrangiana es, efectivamente, la
ecuación de Newton para la fuerza de Lorentz.
Deduzcamos ahora la hamiltoniano. Para ello, calculemos el momento canónico conjugado,
pα ≡
∂L
q
= m vα + Aα
∂vα
c
Entonces
1
q
1
q
H = ~v ·~p − L = m v2 + ~v · ~A − m v2 + q φ − ~v · ~A = m v2 + q φ
c
2
c
2
Escribiendolo en función de~r y ~p, tenemos finalmente que
H (~r, ~p, t ) =
q 2
1 m ~p − ~A + q φ
2
c
(I.6)
De nuevo es sencillo comprobar que las ecuaciones de Hamilton para este hamiltoniano conducen a la
ecuación de Newton para la fuerza de Lorentz.
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Formalismo cuántico
Partiremos de la expresión clásica del hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético, ecuación (I.6). Sea ψ(~r, t) la función de onda de la partícula cargada. Es natural aceptar que
también en presencia de campos electromagnéticos la cuantización se realiza mediante la prescripción
~p −→ ~Pˆ ≡ −ih̄ ~∇
ˆ t)
~A(~r, t) −→ ~A(~X,
ˆ t)
φ(~r, t) −→ φ(~X,
Notad que optamos por cuantizar los potenciales escalar y vector simplemente cambiando la coordenada
~r por el operador posición ~Xˆ que, como sabemos, actua multiplicativamente sobre la función de onda.
Este tratamiento no es el más general y conduce a una teoría con campos electromagnéticos clásicos. Una
segunda cuantización (precisamente así se denomina en la literatura el procedimiento de cuantización del
campo electromagnético), técnicamente más compleja y fuera del alcance de este curso, producirá una
teoría cuantica completa donde los fotones serán los cuantos del campo electromagnético e interaccionarán con las partículas cuánticas cargadas.
Usando la prescripción (I.7), la ecuación de Schrödinger es
i2
q~
∂ψ
1 h
~
−ih̄ ∇ − A(~r, t) + q φ(~r, t) ψ(~r, t) = ih̄
2m
c
∂t
(I.8)
Desarrollemos el cuadrado,
ih̄
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(I.7)
i
h̄2 2
ih̄ q ~
ih̄ q h ~ ~
∂ψ
∇ · A(~r, t) ψ(~r, t)
= −
∇ ψ(~r, t) +
A(~r, t) · ~∇ψ(~r, t) +
∂t
2m
mc
2mc
q2 ~ 2
+
A (~r, t) ψ(~r, t) + q φ(~r, t) ψ(~r, t)
2mc2
(I.9)
donde hemos usado que
h
i
~∇ ~A ψ = ~∇ · ~A ψ + ~A · ~∇ψ
Para resolver esta ecuación es necesario elegir una descripción de los potenciales, es decir, fijar el gauge.
Efectivamente, sabemos que para unos campos eléctricos y magnéticos dados, los potenciales escalar y
vector no son únicos, no estan unívocamente determinados, pues los nuevos potenciales
φ′ (~r, t) = φ(~r, t) −
1 ∂χ(~r, t)
c ∂t
~A′ (~r, t) = ~A(~r, t) + ~∇ χ(~r, t)
(I.10)
para χ(~r, t) arbitraria, generan los mismos campos eléctricos y magnéticos. Las transformaciones (I.10)
se llaman transformaciones de gauge. Por ejemplo, es posible elegir una transformación de gauge de
manera que φ y ~A cumplan la llamada condición de Lorentz,
~∇ · ~A(~r, t) + 1 ∂φ(~r, t) = 0
c ∂t
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Sin embargo, la condición de Lorentz no determina completamente los potenciales pues aún es posible
realizar una transformación de gauge más pero ahora χ(~r, t) debe cumplir la condición
1 ∂2 χ
− ∇2 χ = 0
2
2
c ∂t
Si los campos eléctrico y magnético son estáticos, es decir no dependen del tiempo, los potenciales φ y ~A
se pueden elegir independientes del tiempo. Para estos gauges, el hamiltoniano (I.6) es invariante gauge.
Además, la condición de Lorentz se reduce a la condición del gauge de Coulomb,
~∇ · ~A(~r) = 0
lo que simplifica la ecuación de Schrödinger (I.9).
Para comprender mejor los diferentes términos de (I.9), consideraremos estáticos los campos eléctrico
y magnético pero, además, el campo magnético será uniforme (independiente de ~r). Entonces, es muy
fácil demostrar que los potenciales se pueden elegir como
φ = φ(~r)
(I.11)
Si el campo eléctrico fuese uniforme también, como potencial escalar se puede tomar φ(~r) = −~r · ~E.
Notad que el gauge (I.11) cumple la condición de Coulomb. Entonces, usando el resultado
h
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~A = 1 ~B ×~r
2
i
~A(~r) · ~∇ ψ(~r, t) = 1
2
1
=
2
h
i
i
~B ×~r · ~∇ ψ(~r, t) = 1 ~r × ~∇ · ~B ψ(~r, t)
2
h i
~B · ~r × ~∇ ψ(~r, t) = i ~B ·~Lˆ ψ(~r, t)
2h̄
h
donde hemos utilizado la relación vectorial ~a ·~b ×~c = ~b ·~c ×~a = ~c ·~a ×~b y que el operador momento
angular es ~Lˆ = −ih̄~r × ~∇. Por tanto, el hamiltoniano cuántico se reduce a
H =−
h̄2 2
q2 ~ 2
q ~ ~ˆ
B·L +
∇ −
A (~r) + q φ(~r)
2m
2mc
2mc2
(I.12)
El término proporcional lineal en q y proporcional al momento angular se denomina término paramagnético mientras que el proporcional a q2 es el diamagnético. Se puede demostrar que esta forma del
hamiltoniano es válida también en el caso en que el campo magnético es estático pero no uniforme.
Si el campo magnético, y, por tanto, el potencial vector, son pequeños, podemos despreciar el término
diamagnético frente a los demás pues va como ~A2 . Además, para dimensiones atómicas, se demuestra
que el término diamagnético es, en general, mucho más pequeño que el paramagnético. Sin embargo, si
el movimiento de las cargas no está limitado a una región de dimensiones atómicas, el término diamagnético ya no es despreciable y debe ser tenido en cuenta en la solución de la ecuación de Schrödinger.
No consideraremos este caso en este capítulo.
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Formalismo cuántico
Además, por analogía con la magnitud clásica, introduciremos el operador momento dipolar magnético,
ˆ definido por
~µ,
q ~ˆ
~µˆ ≡
L
(I.13)
2mc
Es conveniente escribirlo en función de los llamados magnetones de Bohr, para el electrón (q = −e), y
nuclear, para el protón (q = +e),
µB =
h̄ e
= 0,57884 × 10−14 MeV G−1
2 me c
µN =
h̄ e
= 3,15245 × 10−18 MeV G−1
2 mp c
(I.14)
y del factor giromagnético orbital gl , que es igual a uno en el caso del electron y del protón, de manera
que
ˆ
ˆ
~µˆ = − gl µB~L/h̄
~µˆ = + gl µN ~L/h̄
(I.15)
Entonces, el hamiltoniano se reduce a
H =−
h̄2 2 ~ ˆ
∇ − B ·~µ + q φ(~r)
2m
(I.16)
que coincide formalmente con el bien conocido resultado clásico de que una partícula de carga q con
momento angular ~L tiene asociado un momento dipolar magnético ~µ cuya interacción con un campo
magnético externo contribuye a la energía la cantidad − ~B ·~µ.
Sin embargo, el experimento de Stern-Gerlach demuestra que el momento dipolar magnético orbital no
es el único que debe ser tenido en cuenta para describir la interacción de un electrón, y también de un
protón, con un campo magnético. Efectivamente, aunque el desdoblamiento del haz de átomos de plata
en el experimento de Stern-Gerlach se puede explicar cualitativamente por la cuantización del momento
angular orbital, y, por tanto, del momento dipolar magnético, los resultados cuantitativos no concuerdan
con la ecuación (I.16). Falta un momento dipolar magnético que no hemos tenido en cuenta: el debido
al spin del electrón. Los datos experimentales se pueden reproducir si asumimos que el electrón posee
ˆ semientero e independiente de la posición, del momento lineal y del
un momento angular intrínseco, ~S,
momento angular, que da lugar a un momento dipolar magnético
~µˆ s = − gs µB ~Sˆ con gs = 2
(I.17)
El spin cumple las ecuaciones de conmutación de un momento angular y, por ello, está cuantizado. Sus
valores propios son
2
~Sˆ |s, ms i = s (s + 1)h̄2 |s, ms i
Ŝz |s, ms i = msh̄ |s, ms i
con s =
1 1
1
, mS = + , −
2
2 2
(I.18)
Añadiendo esta contribución al hamiltoniano, obtenemos que
H =−
q ~ ~ˆ
h̄2 2
ˆ
B · L + 2 ~S + q φ(~r)
∇ −
2m
2mc
(I.19)