PyE-2P-2019-1sol

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (2019-1).
PROFESOR : ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA : PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (GRUPO 11).
NOMBRE DEL ALUMNO : ___________________________________
1. El Departamento de Estadística de Cal Poly tiene un laboratorio con seis computadoras
reservadas para estudiantes de estadística. Sea X el número de computadoras que están en
servicio a una hora particular del día. Suponga que la distribución de probabilidad de X es:
X
0
1
2
3
4
5
6
P(x)
0.05
0.1
0.15
0.25
0.20
0.15
0.1
Calcule:
a) La probabilidad de que cuando mucho dos computadoras estén en servicio.
b) El valor esperado.
Solución:
a) P(x ≤ 2) = P (x = 0 o 1 o 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.05 + 0.1 + 0.15 = 0.3 = 30%
b) E(x) = µx = ∑ x P(X) = 0(0.05) + 1(0.1) + 2(0.15) + 3(0.25) + 4(0.2) + 5(0.15) + 6(0.1) = 3.3
2. Sea X una variable aleatoria con función densidad
x²/3 ; - 1 < x < 2
f(x)=
0
; para cualquier otro caso
Encuentre el valor esperado g ( x ) = 4 X + 3
𝒙𝟐
𝟐
𝟐
E(4x+3) = ∫−𝟏(𝟒𝒙 + 𝟑) ( 𝟑 ) 𝒅𝒙 = ∫−𝟏 (
𝟒𝒙𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
+ 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = 4/3 ∫−𝟏 𝒙𝟑 𝒅𝒙 + ∫−𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =
= 1/3 [𝒙𝟒 ]2-1 + 1/3 [𝒙𝟑 ]2-1 = 1/3 (16 – 1 ) + 1/3 (8 + 1 ) = 5 + 3 = 8
E(4x+3) = 8
3. La variable aleatoria que representa la porción de accidentes automovilísticos fatales en México, tiene
la siguiente función densidad de probabilidad:
42 x ( 1 – x ) 5 ; 0 < x < 1
f(x)=
0
; para cualquier otro valor.
Determinar : a) E (3 x + 1 ) y b) E ( 5 x 2 – x + 1 )
f (x) = 42 x ( 1 – x )5
;
E(x) = ¼ = 0.25
E(x2) = 1/12 = 0.083333
0<x<1
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a) E ( 3x + 1 ) = 3 ( 0.25 ) + 1 = 1.75
b) E ( 5x2 – x + 1 ) = 5 ( 0.083333) - 0.25 + 1 = 1.16665
4. Muchas compañías de servicios públicos promueven el ahorro de energía ofreciendo
descuentos a los consumidores que mantengan el consumo de energía por debajo de ciertas
normas de subsidio establecidas. Un informe reciente de la EPA (Environmental Protection
Agency) destaca que 70% de los residentes de la isla de Puerto Rico redujo el consumo de
energía lo suficiente como para obtener el descuento. Si se eligen aleatoriamente cinco
suscriptores residentes en San Juan, Puerto Rico, determine la probabilidad de cada uno de
los siguientes eventos:
a) Los cinco reúnen los requisitos para recibir el descuento.
b) Por lo menos cuatro se hacen merecedores de la rebaja.
Solución:
Distribución Binomial
a) x: residentes de la isla de Puerto Rico redujo el consumo de energía lo suficiente como
para obtener el descuento
p = 0.7; q = 0.3; n = 5; x = 5
P(x = 5) = (55) (0.7)5 (0.3)5-5 = [ 5! / (5! (5-5)!) ] (0.7)5 (0.3)5-5 = 1(0.7)5(0.3)0 = 0.16807 = 16.81%
b) P(x > 4) = P(4) + P(5) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] =
P(x > 4) = 1 - [0.00243+0.02835+0.1323+0.3087] = 1 – 0.47178 = 0.52822 = 52.822%
P(0) = [ 5! / (0! (5-0)!) ] (0.7)0 (0.3)5-0 = 1(1)(0.3)5 = 0.00243
P(1) = [ 5! / (1! (5-1)!) ] (0.7)1 (0.3)5-1 = 5(0.7)(0.3)4 = 0.02835
P(2) = [ 5! / (2! (5-2)!) ] (0.7)2 (0.3)5-2 = 10 (0.7)2 (0.3)3 = 0.1323
P(3) = [ 5! / (3! (5-3)!) ] (0.7)3 (0.3)5-3 = 10 (0.7)3 (0.3)2 = 0.3087
P(4) = [ 5! / (4! (5-4)!) ] (0.7)4 (0.3)5-4 = 5 (0.7)4 (0.3)1 = 0.36015
P(x > 4) = P(4) + P(5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822 = 52.822%
5. Un gerente de personal encargado de seleccionar a los mejores candidatos en un conjunto
finito de elementos. De un grupo de 20 ingenieros con doctorado, se eligen 10 aleatoriamente
con el fin de contratarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 10 seleccionados estén los
5 mejores del grupo de 20?
Solución: Distribución Hipergeométrica
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N–M
n-x
M
x
P (X = x) = h (x; n, M, N) =
N
n
Sea la variable aleatoria X:
La variable aleatoria X se distribuye según una distribución hipergeométrica, con:
N=20; n=10; x=5; M= 5
20 – 5
10 – 5
5
5
P(x = 5) = h(5; 10, 5, 20) =
5
5
15
5
=
20
10
30¡
10¡
10¡(30-10)¡ 10¡(10-10)¡
=
20
10
=
40¡
20¡(40-20)¡
21
P(x = 5) = h( 5; 10, 5, 20) =
= 0.0162 = 0.022%
1,292
6. La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una
media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100
kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por
centímetro cuadrado más cercanos.
a) ¿Qué proporción de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro
cuadrado de resistencia a la tracción?
Distribución Normal Estandar
μ = 15.90 y σ = 1.5 unidades = 50 e= + 25
P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 – Φ[ (10175 – 10000)/100]
= 1 - Φ[1.75] = 1 – 0.9599 = 0.0401 = 4.01%
P ( x > 10,150 ) = P ( z > 1.5 ) = | 1 – 0.93320 | = 0.0668 = 6.68 %
x-  x
z =

10,150 – 10,000
=
x
= 1.5
100
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b) Si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la tracción
entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de
piezas esperaría que se descartará?
Proporción de descarte = 1 – P(9800 < X < 10200)
P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)
= Φ[ (10225 – 10000)/100] - Φ[ (9775 – 10000)/100]
= Φ[2.25] - Φ[-2.25] = 0.9878 – 0.0122 = 0.9756
Proporción de descarte = 1 – 0.9756 = 0.0244 = 2.44%
Proporción de descarte = 1 - P ( 9,800 < x < 10,200 ) = 1 - P ( -2 < z < 2 ) = 1 = 1 – 0.95448 = 0.04552 = 4.552%
x- x
z=

x
x1 -  x
z1 =

9,800 – 10,000
=
100
x
x2 -  x
z2 =

=-2
10,200 – 10,000
=
x
=2
100
0.97724 – 0.02276