Integral de Riemann: Cálculo de Áreas en Coordenadas Cartesianas

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
ÁREA EN COORDENADAS CARTESIANAS
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función Riemann Integrable, se cumple que,
el área E de la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
está determinada por
E œ '+ 0 ÐBÑ.B
,
Observación
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función Riemann Integrable, se cumple que,
el área E de la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
esta dada por :
ya que
 0 ÐBÑ
Eœ
' ,  0 ÐBÑ.B
+
œ  '+ 0 ÐBÑ.B
,
! para todo B en Ò+ß ,Ó como se muestra en la figura.
1
Observación
En general si 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘ , función Riemann Integrable, se cumple
que, el área E de la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
está dada por
E œ '+ ¸0 ÐBѸ.B
,
Ejemplo
Calcule el área limitada por la gráfica de C œ B$ y el eje B en Ò  #ß "ÓÞ
Solución
Graficando se tiene
luego E œ '# ¸B$ ¸.B œ '# ¸B$ ¸.B  '! ¸B$ ¸.B
"
!
"
œ  '# B$ .B  '! B$ .B
!
œ 
"
B% ¸
% #
"

B% ¸
% !
"
œÐ
2
"
%
 %Ñ 
"
%
œ%
Ejemplo
Calcule el área limitada por la gráfica de C œ B#  #B y el eje B en
Ò  #ß #ÓÞ
Solución
C œ B#  #B Í ÐB  "Ñ# œ C  " À T ß graficando se tiene
luego E œ '# ¸0 ÐBѸ.B œ '# ¸0 ÐBѸ.B  '! ¸0 ÐBѸ.B
#
!
#
œ  '# ÐB#  #BÑ.B  '! ÐB#  #BÑ.B
!
#
œ  Ð B$  B# Ѹ#  Ð B$  B# Ѹ!
#
!
#
#
œ Ð %$  %Ñ  Ð %$  %Ñ œ "' 
3
)
$
Ejemplo
Calcule el área limitada por la grafica de C œ 68ÐBÑ y el eje B en Ò "# ß /Ó.
Solución
el grafico de la curva es:
luego E œ ' " ¸0 ÐBѸ.B œ ' " ¸0 ÐBѸ.B  '" ¸0 ÐBѸ.B
/
"
#
#
/
œ  ' " 68ÐBÑ.B  '" 68ÐBÑ.B
"
#
#
œ  ÐB68ÐBÑ  BѸ "  ÐB68ÐBÑ  BѸ"
"
#
#
œ "  "# 68Ð "# Ñ 
œ 
"
#

"
#
 #68Ð#Ñ  #  "
$
# 68Ð#Ñ
4
Área comprendida entre dos gráficas
Observación
Sean 0 y 1 funciones continuas y 0 ÐBÑ
1ÐBÑ para todo B en Ò+ß ,Ó,
entonces, el área E de la región limitada por las gráficas de:
C œ 0 ÐBÑ ß C œ 1ÐBÑ ß B œ + ß B œ ,
E œ '+ ˆ0 ÐBÑ  1ÐBщ .B
,
esta dada por
Ejemplo
Calcule el área limitada por las gráficas de: C œ È B y C œ B#
Solución
Determinemos puntos de intersección
C œ È B Í B# œ È B Í B % œ B Í B œ ! ” B œ "
C œ B#
C œ B#
C œ B#
C œ B#
Í B œ ! ” B œ " luego Ð!ß !Ñ y Ð"ß "Ñ puntos de intersección
Cœ!
Cœ"
luego E œ '! ÐÈB  B# Ñ.B œ Ð #$ B #  "$ B$ Ѹ! œ #$  "$ œ "$
tambien, lo podemos cálcular respecto a la variable C
es decir, considerando las funciones de frontera
"
C œ È B Í C# œ B
à E œ '! ÐÈC  C # Ñ.C œ "$
ÈC œ B
C œ B#
"
$
5
"
Ejemplo
Calcule el área limitada por las gráficas de:
C œ B#  #B
C œ  B  % en Ò  %ß #Ó
y
Solución
Determinemos puntos de intersección
C œ B#  #B Í  B  % œ B#  #B Í B#  $B  % œ !
C œ B%
C œ B%
C œ B%
Í Bœ"”Bœ % Í B œ"
C œ B%
Cœ$
” Bœ %
Cœ)
luego Ð"ß $Ñ y Ð  %ß )Ñ puntos de intersección
luego E œ '% Ð  B  %  B#  #BÑ.B œ Ð %B  "$ B$  $# B# Ѹ!
"
"
œ%
"
$

$
#
œ
"$
'
tambien, lo podemosd resolver respecto a la variable Cß para lo cual
consideremos las funciones fronteras
B œ  "  È C  " ß B œ  "  ÈC  " ß B œ  C  %
con lo cual, se tendra que :
E œ '" ÐÐ  "  ÈC  "Ñ  Ð  "  ÈC  "ÑÑ.C
$
 '$ ÐÐ  C  %Ñ  Ð  "  ÈC  "ÑÑ.C
)
6
œ
"$
'
Ejemplo
Calcule el área limitada por las gráficas de : C# œ "  B y #C œ B  #
Solución
Determinemos puntos de intersección
C# œ "  B Í C # œ "  #C  # Í C #  #C  $ œ !
B œ #C  #
B œ #C  #
B œ #C  #
Í C œ"”C œ $ Í C œ" ” C œ $
B œ #C  #
Bœ!
Bœ )
luego Ð!ß "Ñ y Ð  )ß  $Ñ puntos de intersección
además las fronteras están determinadas por las funciones
C œ È"  B ß C œ  È"  B ß C œ "# B  "
luego E œ ') Ð "# B  "  È"  BÑ.B  '! Ð È"  B  È"  BÑ.B
!
"
œ Ð "% B#  B  #$ Ð"  BÑ # Ѹ)  Ð  %$ Ð"  BÑ # Ѹ!
$
!
$
$
œ Ð  #$ Ñ  Ð "% '%  )  #$ Ð*Ñ # Ñ 
%
$
œ
"
$#
$
Otra forma de resolver el problema, es considerando las relaciones inversas,
las cuales definen las siguientes funciones frontera.
B œ "  C # ß B œ #C  #
luego : E œ '$ Ð"  C #  #C  # Ñ.C œ '$ Ð$  #C  C # Ñ.C
"
"
œ Ð$C  C #  "$ C $ Ñ ¸$ œ Ð $  " 
œ Ð #  "$ Ñ  Ð  * Ñ œ $#
$
"
7
"
$
Ñ  Ð  *  *  *Ñ
Ejemplo
Calcule el área limitada por las gráficas de:
C œ =/8ÐBÑ y
Solución
C œ -9=ÐBÑ en ’ % ß % “
1
&1
del gráfico se tiene que
E œ ' 1 Ð=/8ÐBÑ  -9=ÐBÑÑ.B œ  Ð -9=ÐBÑ  =/8ÐBÑѸ 1
&1
%
&1
%
%
%
œ Ð 
#
È# Ñ
 Ð È## Ñ œ
%
È#
8
Ejemplo
Calcular el área de la región limitada por las curvas :
T À C œ B#  #B  # à P À C œ &B à P" À B œ  # à P# À C œ B
Solución
Primero haremos un bosquejo de la gráfica del área a calcular.
Ahora veamos las intersecciones que nos interesan para los límites de
integración.
a) T  P À
B#  #B  # œ &B
B#  $B  # œ !
aB  "baB  #b œ !
Bœ" ” Bœ#
Luego la integral que determina el área buscada es:
E œ '# aB#  #B  #  Bb.B  '! aB#  #B  #  &Bb.B
!
"
œ Š B$ 
$
œ
B#
#
 ˆ )
$ 
 #B‹k!#  Š B$ 
$
%
#
 %‰  ˆ "$ 
9
$
#
$B#
#
 #B‹k!
 #‰ œ
"
""
#
Ejemplo
Calcular el área de la región limitada por las curvas :
T À B œ C #  #C  " à P À C œ B  "
Solución
Primero haremos un bosquejo de la gráfica del área calcular.
Observación: El área a calcular la encontraremos mediante rectangulos
diferenciales horizontales, por lo tantoß nuestros límites de
integración estarán en el eje yÞ
Luego el área a calcular esta representada por la siguiente integral:
E œ '! aC  "b  aC #  #C  "b.C œ '! a  C #  $C b.C
$
œ Š C$  $ C# ‹k$! œ  * 
$
#
10
$
#(
#
œ
*
#
Ejemplo
Calcular el área de la región W del plano en el primer cuadrante ,
limitada por las curvas :
C œ B"
à C œ B* à C œ B à C œ *B
Solución
Primero haremos un bosquejo de la gráfica del área calcular.
Ahora veamos las intersecciones que nos interesan para los límites de
integración.
a) C œ
"
B
"
B
• C œ *B
œ *B
" œ *B#
kBk œ "$
B œ "$ ” B œ  "$
b) C œ
"
B •C
"
B œB
#
œ B c) C œ
B œ"
kBk œ "
Bœ" ” Bœ "
c) C œ B • C œ B*
B œ B*
B# œ *
kBk œ $
Bœ$ ” Bœ $
11
*
B
• C œ *B
œ *B
B# œ "
kBk œ "
Bœ" ” Bœ "
*
B
Luego la integral que determinará el área buscada es:
"
$
E œ ' " ˆ*B  B" ‰.B  '" ˆ B*  B‰.B
$
œ Š* B#  68B‹k""  Š*68B 
#
$
œ
*
#
B# $
# ‹k "
 ˆ "#  68 "$ ‰  ˆ*68$  *# ‰  ˆ  "# ‰
œ 68 "$  *68$
œ )68$
Ejemplo
Calcular el área de la región limitada por las curvas :
B"
Solución
¸C  "¸ • ÐB  "Ñ# Ÿ #C  "
Primero grafiquemos las relaciones :
B  " œ kC  "k • aB  "b# œ #C  "
a) B  " œ kC  "k
Restricción: B  " ! Ê B
Si:
C " ÊB"œC"
C œB#
"
C "ÊB"œ C"
C œ B
12
b)
aB  "b# œ #C  "
aB  "b# œ #ˆC  "# ‰
Esta gráfica corresponde a una parábola con vértice ˆ  "ß  "# ‰
Ahora encontremos la intersección que nos interesa, es decir,
la parábola con la recta C œ B  #
Para eso tenemos la siguiente ecuación:
#
B  # œ B#  B
B# œ %
kBk œ #
Bœ# ” Bœ #
Luego la gráfica es la siguiente:
Luego la integral que determina el área buscada es:
#
!
#
E œ '" aB  #  a  Bbb.B  '! ŠB  #  Š B#  B‹‹.B
!
#
œ '" a#B  #b.B  '! Š# 
œ  a"  #b  ˆ#  %$ ‰ œ &$
B#
# ‹.B
13
œ aB#  #Bbk!"  Š#B 
B$ #
' ‹k!
Ejemplo
Dada la región achurada delimitada por las curvas Ðver fig.) :
T À C  # œ È #B  % à V À C œ $È B  " à W À C œ # à
P À #C  $B  # œ ! à X À B œ '
Calcular el área de la región achurada
Solución
!
E œ '# È#B  %  #  ˆ  $# B  "# ‰.B
"
 '! È#B  %  #  ˆ$ÈB  "‰.B
'
 ' ŠÈ#B  %  #  #‹.B
"
œ '# È#B  %  $# B  $# .B  '! ŠÈ#B  %  $ÈB  $‹.B
!
 '" È#B  %.B
"
'
œŒ
œ
)
$
œ
'(
$
È #B%$
$
 %$ B#  #$ Bk!#  Œ
 a$  $b  Œ
È '$
$
È #B%$
$
 #È B  $Bk!"  Œ
$
 #  $  ˆ $) ‰  Œ '%
$ 
14
È '$
$ 
È #B%$
'
 k"
$
Ejemplo
Dada la región achurada (ver fig) limitada por las curvas
T À ÐC  #Ñ# œ  ÐB  'Ñ à P À C  B œ #
Calcular : El área de la región
Solución
Para calcular esta área utilizaremos rectángulos diferenciales horizontales.
Los límites de integración estarán sobre el eje y.
Ahora debo encontrar la intersección dela curva T con el eje y, es decir,
cuando B œ !Þ
aC  #b# œ '
kC  # k œ È '
C  # œ È' ” C  # œ  È'
C œ #  È'
” C œ #  È'
Luego la integral que determina el área es la siguiente:
E œ '! '  aC  #b#  a#  Cb.C  '#
#
œ '! a  C#  &C b .C  '#
#È'
#
œŠ
œˆ
)
$
C$
$
 & C# ‹k#!  Š 
#
 "!‰   
œ %È ' 
Š#È'‹
$
$
C$
$
#È'
'  aC  #b# .C
a  C #  %C  #b .C
#È'
 #C #  #C ‹k#
 #Š#  È'‹  #Š#  È'‹  ˆ 
#
##
$
15
)
$
 )  % ‰
Definición (Sólido de revolución)
Llamaremos sólido de revolución al sólido obtenido al rotar una región
plana en torno a una recta, la cual llamaremos eje de rotación
Observación
Si una región V en el plano BC que hace girar en torno a un eje P, generará
un sólido llamado sólido de revolución (ver figura).
16
Volumen de un sólido de revolución
Método de los cilindros
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función continua y sea T œ Ö>! ß >" ß ÞÞÞß >8 ×ß
75 ß Q5 como antes se tiene que, el volumen del sólido generado por el
rectangulo de base >5  >5" y altura 75 ,al rotarlo en torno al eje B es :
1Ð75 Ñ# Ð>5  >5" Ñ
con lo cual, el volumen del sólido generado por todos los rectangulos
8
!
incritos esta dado por À 1 Ð75 Ñ# Ð>5  >5" Ñ con lo cual , el volumen
5œ"
del sólido generado por todos los rectangulos circunscritos esta dado por À
8
1! ÐQ5 Ñ# Ð>5  >5" Ñ , por lo tanto, se tendra que
5œ"
Definición
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función continua, se cumple que,
el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
en torno al eje B
esta dado por :
Z œ 1'+ Ð0 ÐBÑÑ# .B
,
17
Método de los anillos
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función continua sea T œ Ö>! ß >" ß ÞÞÞß >8 ×ß
75 ß Q5 como antes se tiene que, el volumen del sólido generado por el
rectangulo de base >5  >5" y altura 75 ,al rotarlo en torno al eje C
es : #1 † >5" † Ð75 Ñ † Ð>5  >5" Ñ
con lo cual, el volumen del sólido generado por todos los rectangulos
8
!
incritos esta dado por À #1 >5" † Ð75 Ñ † Ð>5  >5" Ñ
5œ"
con lo cual , el volumen del sólido generado por todos los rectangulos
8
circunscritos esta dado por À #1! >5" † ÐQ5 Ñ † Ð>5  >5" Ñ
5œ"
por lo tanto, se tendra que
Definición
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función continua, se cumple que,
el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
en torno al eje C
esta dado por :
Z œ #1'+ B † 0 ÐBÑ .B
,
18
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido formado, haciendo girar la región limitada
por las gráficas de C œ È B , C œ ! ß B œ % .
1.- en torno al eje B.
2.- en torno al eje C.
Solución
se tiene :
1.- Z œ 1'! Ð ÈBÑ# .B œ 1'! B.B œ
%
%
1
#
B # ¸! œ ) 1
%
2.- Z œ #1'! B † ÈB .B œ #1'! B # .B œ
%
%
$
%1
&
B # ¸! œ
& %
"#)1
&
tambien, se tiene que es posible calcular dichos volumenes,considerando las
relaciones inversas de las relaciones determinadas por las fronteras de la
región respecto a la variable B , es decir copnsiderando la variable C
donde se tendra que las funciones fronteras son :
B œ C# ß B œ %
con lo cual, se tendra que
1.- Z œ #1'! C † C # .C œ #1'! C $ .C œ
#
#
1
#
C % ¸! œ ) 1
#
2.- Z œ 1'! Ð %Ñ# .C  1'! Ð C # Ñ# .C œ "'1C ¸! 
#
#
#
19
1
&
&
C ¸! œ
#
"#)1
&
Ejemplo
Sea 0 ÐBÑ œ B#  ". Calcule el volumen del sólido de revolución que
se genera al girar la región bajo la gráfica de 0 entre B œ  " y
B œ " en torno al eje B.
Calcule el volumen del sólido formado, haciendo girar la región limitada
por las gráficas de C œ B#  " , C œ ! ß B œ  " ß B œ " .
1.- en torno al eje B.
2.- en torno al eje C.
Solución
se tiene :
1.- Z œ #1'! Ð B#  "Ñ# .B œ #1'! ÐB%  #B#  "Ñ.B
"
"
œ #1 Ð B&  #$ B$  BÑ ¸! œ #1Ð "& 
"
&
#
$
 "Ñ œ
&'
"& 1
2.- Z œ #1'! B † Ð B#  "Ñ .B œ #1'! ÐB$  BÑ.B
"
"
œ #1 Ð B%  "# B# Ñ ¸! œ #1 Ð "% 
%
"
20
"
#
ќ
$1
#
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región
limitada por : el eje C , C œ B$ ß B œ " y B œ #Þ
1.- en torno al eje B.
2.- en torno al eje C.
Solución
luego, se tiene que
1.- Z œ 1'" Ð B$ Ñ# .B œ 1'" B' .B
#
#
"
œ 1 Ð B( Ñ ¸" œ 1Ð "#)
(  ( Ñ œ
#
(
"#(
( 1
2.- Z œ #1'" B † Ð B$ Ñ.B œ #1'" B% .B
#
#
œ #1 Ð B& Ñ ¸" œ #1 Ð $#
& 
&
#
"
&
'#
& 1
ќ
si consideramos las relaciones inversas ,se tiene que las funciones fronteras
son :
$ C
BœÈ
ß Bœ# ß Bœ"
con lo cual
$ C Ñ.C œ #1 ' Ð#C  C $ Ñ.C
1.- Z œ #1'1 C † Ð#  È
"
)
8
œ Ð#1C# 
'1
(
C $ Ѹ" œ "#'1 
(
)
%
'1
(
"#( œ
"#!
( 1
$ CÑ# .C
2.- Z œ 1'! Ð #Ñ# .C  1'! Ð"Ñ# .C  1'" ÐÈ
)
"
œ % 1 C ¸!  1 C ¸! 
)
"
$1
&
)
C $ ¸" œ Ð$#  " 
& )
21
*$
&
Ñ1 œ
'#1
&
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido formado haciendo rotar la región
limitada por las gráficas de C œ B  #ß C œ B , B œ !ß B œ $.
1.- en torno al eje B.
2.- en torno al eje C.
Solución
se tiene que :
las funciones fronteras respecto a la variable B son :
C œB# ß C œB
luego
1.- Z œ 1'! ÐÐ B  #Ñ#  ÐB# ÑÑ.B œ 1'! Ð%B  %Ñ.B
#
#
œ 1Ð #B#  %BѸ! œ "'1
#
#
2.- Z œ #1'! B † ÐB  #  BÑ .B œ #1'! #B.B œ #1 B ¸! œ )1
#
#
#
tambien se tiene que las funciones frontera respecto a la variable C son :
BœC ß Bœ# ß Bœ C#
luego
1.- Z œ #1'0 C † ÐC Ñ.C  #1'# C † Ð#  C  # Ñ.C œ #1'" Ð#C  C $ Ñ.C
%
2
œ Ð#1C# 
'1
(
)
C $ Ѹ" œ "#'1 
(
)
'1
(
"#( œ
"#!
( 1
$ CÑ# .C
2.- Z œ 1'! Ð #Ñ# .C  1'! Ð"Ñ# .C  1'" ÐÈ
)
"
œ % 1 C ¸!  1 C ¸! 
)
"
$1
&
)
C $ ¸" œ Ð$#  " 
& )
22
*$
&
Ñ1 œ
'#1
&
%
Observación
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , función continua, se cumple que,
el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas :
C œ 0 ÐBÑ ß C œ ! ß B œ + ß B œ ,
1.- En torno a la recta C œ - con -  !
esta dado por :
Z œ 1'+ ÐÐ0 ÐBÑ  -Ñ#  - # Ñ .B
,
2.- En torno a la recta B œ - con -  +
esta dado por :
Z œ 1'+ ÐB  -Ñ0 ÐBÑ .B
,
23
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido que se forma al rotar la región limitada por :
C œ È B , C œ ! , ßB œ " ß B œ %
1.- En torno a la recta C œ  "Þ
2.- En torno a la recta B œ  #Þ
3.- En torno a la recta C œ $Þ
4.- En torno a la recta B œ &Þ
Solución
1.- Z œ 1'" ÐÐÈ B  "Ñ#  "Ñ .B œ 1'" ÐB  #È B Ñ .B
%
%
œ 1Ð B#  %$ B # Ѹ" œ
#
$
%
"!"
' 1
2.- Z œ #1'" ÐB  #ÑÈ B .B œ #1'" ÐB #  #B # Ñ.B
%
%
œ #1 Ð #& B #  %$ B # Ѹ" œ
&
$
%
'&#
"& 1
3.- Z œ 1'" Ð*  Ð È B  $Ñ# Ñ .B œ ÞÞÞ
%
4.- Z œ #1'" Ð&  B ÑÈ B .B œ ÞÞÞÞ
%
24
$
"
Ejemplo
Considere la región limitada por las curvas :
B# œ C  # , #C  B  # œ ! ,
B œ ! , B œ ".
Calcule el volumen del sólido resultante, al girar la región en torno:
1.3.-
Al eje B
2.A la recta B œ  "
A la recta C œ  #
Solución
se tiene que
las funciones frontera respecto a la variable B son :
C œ B#  # ß C œ B#
#
luego, se tiene que
#
1.- Z œ 1'! ÐÐB#  #Ñ#  Ð B#
# Ñ Ñ.B œ ÞÞÞÞ
"
#
2.- Z œ 1'! ÐÐB#  #  #Ñ#  Ð B#
#  #Ñ Ñ.B œ ÞÞÞÞ
"
3.- Z œ #1'! ÐB  "ÑÐÐB#  #Ñ  Ð B#
# Ñ Ñ.B œ ÞÞÞÞ
"
25
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada
por las curvas :
T À C œ B#  #B  # à P À C œ &B à P" À B œ  # à P# À C œ !
en torno a la recta :
i) B œ # à ii) B œ  # à iii) C œ ! à iv) C œ  "
Solución
i)
ZBœ# œ #1'
"
Ð#  BÑÐB#  #B+#Ñ.B
 #1 '
#
"
!
Ð#  BÑ Ð &BÑ .B
œ #1'# Ð  B$  #B  %Ñ.B  #1'! Ð"!B  B# Ñ .B
"
"
œ #1 Ð  %" B%  B#  %BѸ#  #1 Ð&B#  "$ B$ Ѹ!
"
"
*(
' 1
œ
#1' ÐB  #ÑÐB#  #B+#Ñ.B
"
ii) ZBœ# œ
 #1' ÐB  #Ñ Ð &BÑ .B
#
"
!
œ #1'# ÐB$  %B#  'B  %Ñ.B  #1'! Ð &B#  "!B Ñ .B
"
"
26
œ #1 Ð "% B% 
%
$
œ #1 Ð  ' 
iii)
ZCœ! œ 1'
B$  $B#  %BѸ#  # 1 Ð &$ B$  &B# Ñ ¸!
"
$#
$

"
%
 "$ Ñ œ
"
#
#
ÐB  #B  #Ñ
#
"
&&
' 1
.B  1'
"
#
Ð&BÑ .B
!
$ ¸
œ 1 Ð "& ÐB  "Ñ&  #$ ÐB  "Ñ$  BÑ ¸#  1Ð #&
$ B Ñ !
"
œ
"
"!*
"& 1
iv) ZCœ" œ 1'
"
#
#
œ 1'
ÐB  #B  #  "Ñ
#
"
#
#
#
ÐB  #B  $Ñ .B
.B  1'
 1'
!
#
!
#
.B  1'
.B  1'
"
!
Ð&B  "Ñ# .B
"
Ð&B  "Ñ# .B
!
œ 1' ÐÐB  "Ñ#  #Ñ# .B  1' .B  1' Ð&B  "Ñ# .B
"
!
#
#
"
!
œ 1 Ð ÐB"Ñ
 $% ÐB  "Ñ$  %BѸ#  1 B¸#  1
&
"
&
œ
#"%
"& 1
27
!
Ð&B"Ñ$ "
¸
"&
!
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada
por las curvas :
T À B œ C #  #C  " à P À C œ B  "
en torno a la recta :
i) B œ ! à ii) B œ % à iii) C œ ! à iv) C œ  " à v) C œ %
Solución
i) ZBœ!
1'! ÒÐC  "Ñ#  ÐC#  #C  "Ñ# Ó.C
$
œ
1'! ÒÐC  "Ñ#  ÐC  "Ñ% Ó.C
$
œ
1 Ð "$ ÐC  "Ñ$  "& ÐC  "Ñ& Ѹ! œ
$
œ
ii)
ZBœ% œ 1'
$
(%
& 1
#
ÒÐ%  ÐC #  #C  "ÑÑ  Ð%  ÐC  "ÑÑ# Ó.C
œ 1' ÒÐ C #  #C  $ Ñ  Ð C  $ Ñ# Ó.C
!
$
#
œ 1' Ò ÐC  "Ñ%  )ÐC  "Ñ#  "'  Ð C  $ Ñ# Ó .C
$
!
!
œ 1 Ð "& ÐC  "Ñ&  )$ ÐC  "Ñ$  "'C 
œ
"'$
& 1
28
"
$Ð
C  $ Ñ$ Ѹ!
$
iii)
ZCœ! œ #1'
$
CÒÐC  "Ñ  ÐC #  #C +"Ñ Ó.C
#1 '
!
$
CÐ  C #  $CÑ .C
œ #1' Ð  C $  $C # Ñ .C
œ
!
$
œ #1 Ð  "% C %  C $ Ѹ! œ
!
iv)
ZCœ"
œ #1 '
$
#(
# 1
$
ÐC  "ÑÒÐC  "Ñ  ÐC #  #C +"Ñ Ó.C
œ #1' ÐC  "ÑÐ  C #  $CÑ .C
!
$
œ #1' Ð  C $  #C #  $CÑ .C
!
$
œ #1 Ð  "% C %  #$ C $  $# C # Ѹ!
!
$
œ 1 Ð  "# C %  %$ C $  $C # Ѹ! œ
$
œ #1' Ð%  CÑÒÐC  "Ñ  ÐC #  #C  "ÑÓ.C
$
iv) ZCœ%
œ #1' Ð%  CÑÒ  C #  $CÓ.C
!
$
œ #1' ÐC $  (C #  "#CÓ.C
!
$
 ($ C $  'C # Ѹ! œ
!
œ #1
%&
# 1
Ð "% C %
$
29
%&
# 1
Ejemplo
Dada la región achurada delimitada por las curvas Ðver fig.) :
T À C  # œ È #B  % à V À C œ $È B  " à W À C œ # à
P À #C  $B  # œ ! à X À B œ '
Calcular el volumen del sólido obtenido al rotar dicha región en torno al
eje :
i) B œ ' à ii) C œ  # ; iii) B œ  $ à iv) C œ 7 à v) C œ  "
Solución
i) ZBœ' œ #1'# Ð'  BÑÈ #B  %  # ‘.B
'
 #1'# Ð'  BÑ 
‘.B
 #1' Ð'  BÑÐ#  Ð$È B  "ÑÑ.B
!
"
$B#
#
 #1'" Ð'  BÑÐ#Ñ.B
!
'
œ
21[ &$ ÐÈ #B
$
 %Ñ  "#B 
 #1Ð  )B  '  $# B# ѹ
È #B%
&

% È
#B
$Ð
!
 %Ñ  B ]¹
'
#
#
 #1Ð")  ")È B  $B  $BÈ Bѹ  #1Ð"#B  B# ѹ œ ÞÞÞ
#
"
'
!
"
ii) ZCœ# œ 1'# ÒÐÈ #B  %  %Ñ# ‘.B  1'# Ò Ð  $# B  "Ñ# ‘.B
"
'
 1' Ò Ð$È B  " Ñ# ‘.B  1' Ò Ð% Ñ# ‘.B
'
!
œ 1ÐB  "'B  %È #B  %ѹ
!
"
'
#
#
30

1Ð $% B$
 Bѹ
!

$ #
#B
#
 1Ð *# B#  $È B 
œ Ð()  *# Ñ1 œ "%(
# 1
iii) Z
Bѹ  1Ð"'Bѹ
"
'
!
"
œ #1'# ÐB  $Ñ È #B  %  # ‘.B
'
Bœ$
 #1'# ÐB  $Ñ  $# B  " ‘.B
"
 #1' ÐB  $Ñ $È B  " ‘.B
!
 #1'" ÐB  $Ñ # ‘.B
!
'
œ #1 Ò Ð
 $% ÐÈ #B  %Ñ$  B#  #$ ÐÈ #B  %Ñ$  'BÓ¹
È #B%Ñ&
&
'
#
 #1Ð B
#  ""B  $Bѹ
!
$
 #1ÐB#  'Bѹ
#
'
œ Ð "$*)%
"&  #% 
 #1Ð '& È B 
"
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&
 "$!Ñ1 œ
#
B
#
 'È B  $Bѹ
#
"
!
""&'%
"& 1
#‘
iv) ZCœ( œ 1'# Ð(  Ð $
.B
# B  "Ñ Ñ
"
 1' Ð(  $È B  " Ñ# ‘.B
!
 1'" Ð(  #Ñ# ‘.B  1'# Ð(  ÐÈ #B  %  #ÑÑ# ‘.B
!
"
œ 1'  * B#  #%B  '% ‘.B  1' Ð'%  %)È B  *B Ñ ‘.B
!
'
'
 1'" Ð&Ñ# ‘.B  1'
#
œ
$ $
%B
%
'
 "#B  '%B¹
!
#
'
#&  "!È #B  %  #B‘.B
!
 Ð'%B  $#ÐÈ BÑ$  *# B# ѹ
#
"
#! È
#B  %Ñ$ ¹
$ Ð
#
#%'"
Ð %))
ÑÑ
1
œ
1
$
'
 #&B¹  #*B  B# 
#
'
"
œ Ð"#&  )' 
($
#

'
31
!
v) ZCœ" œ 1'# ÐÈ #B  %  #  "Ñ# Ó.B
'
#‘
 1'# Ò Ð $
.B
# B  "  "Ñ
"
'
 1' Ð$È B  "  "Ñ# ‘.B  1' Ð#  "Ñ# ‘.B
!
!
"
#‘
œ 1'# ÐÈ #B  %  $Ñ# Ó.B  1'# Ò Ð $
.B
# BÑ
"
'
 1' Ð$È BÑ# ‘.B  1' Ð$Ñ# ‘.B
'
!
œ 1ÒB  "$B  #ÐÈ #B  %Ñ$ Ó¹
!
"
'
#
 1Ò *# B# Ó¹  1Ò*BÓ¹
"
!
œ Ð#'%  ' 
#
'
*
#
1Ò $% B$ Ó¹
!

#
"
 %&Ñ1 œ Ð %"(
# Ñ1
Ejercicio
Dada la región limitada por la gráfica de C œ #B  B# y por el eje B .
Calcule .
1.- El área de la región
2.- El volumen del sólido resultante,al rotar la región en torno al eje
i).- C œ ! ß ii) B œ ! ß iii) C œ  # ß iv) B œ % ß v) C œ $
Ejercicio
Dada la región limitada por las gráficas : C œ B# y C œ B  #
Calcule .
1.- El área de la región
2.- El volumen del sólido resultante,al rotar la región en torno al eje
i).- C œ ! ß ii) C œ  $ ß iii) C œ &
iv) B œ  " ß v) B œ  $ ß vi) B œ %
32
Longitud de un arco de curvas
Observación
Consideremos una función C œ 0 ÐBÑ con primera derivada continua
en un intervalo Ò+ß ,Ó, y la porción de su grafico en dicho intervalo.Esta
porción de grafica es llamada arco de curva (WÑ.
Para determinará la longitud de dicho arco
consideremos T œ ÖB! ß B" ß ÞÞÞß B8 × partición de Ò+ß ,Ó
aproximemos W por medio de la suma de las longitudes de las cuerdas
65 ß donde 65 es la cuerda 5 -esima que une los puntos
ÐB5" ß 0 ÐB5" ÑÑß ÐB5 ß 0 ÐB5 ÑÑ
la longitud de dichas cuerdas es :
ÈÐB5  B5" Ñ#  Ð0 ÐB5 Ñ  0 ÐB5" ÑÑ#
œ É" 
Ð0 ÐB5 Ñ0 ÐB5" ÑÑ#
ÐB5 B5" Ñ#
† ÐB5  B5" Ñ
5 Ñ0 ÐB5" Ñ
œ Ê"  Š 0 ÐB
ÐB5 B5" Ñ# ‹ † ÐB5  B5" Ñ
#
pero, por el Teo. del Valor Medio se tiene que :
ß
5 Ñ0 ÐB5" Ñ
b05 − ÓB5" ß B5 Ò tal que 0 ÐB
œ
0
Ð05 Ñ
#
ÐB5 B5" Ñ
luego, se tendra que
œ Ê"  Š0 Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
ß
#
en donde considerrando la suma de las longitudes de las cuerdas
se tendra que
,
#
P œ ' É "  ˆ0 w ÐBщ .B
+
33
Definición
Sea 0 una función para la cual 0 w es continua en un intervalo Ò+ß ,Ó. La
longitud P de la gráfica en el intervalo, o longitud de arco, está dada
por:
#
,
P œ '+ É "  ˆ0 w ÐBщ .B
Ejemplo
$
#
Obtenga la longitud de la gráfica de C œ %B del origen Ð!ß !Ñ al punto
Ð"ß %Ñ.
Solución
"
"
"
"
P œ '! È "  $'B .B œ &%
Ð"  $'BÑ # ¸! œ &%
Ð$(Ñ #  &%
$ "
$
Ejemplo
Obtenga la longitud de la gráfica de À
#(C# œ %ÐB  #Ñ$
desde Ð#ß !Ñ al punto Ð""ß 'È$Ñ.
Solución
Cœ
# È
ÐB
$È $
 #Ñ$ ß
.C
.B
œ
"
È$ ÐB
"
 #Ñ #
luego
""
""
P œ '# É "  "$ ÐB  #Ñ .B œ È" '# ÈB  " .B
$
œ
#
ÐB
È
$ $
 "Ñ ¸ œ
$ ""
#
#
$
#
#
Ð"#Ñ
$È $
34

$
#
#
Ð$Ñ
$È $
Superficie de un Sólido de Revolución
Respecto al eje B
ß
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , con 0 función continuaß sea T œ Ö>! ß >" ß ÞÞÞß >8 ×ß
75 ß Q5 como antes se tiene que, la superficie generado por el, extremo
superior del rectangulo de base >5  >5" y altura 75 ,al rotarlo en torno al
eje B es :
21Ð75 ÑÊ"  Š0 Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
#
ß
con lo cual, la superficie generado por el, extremo superior de todos los
rectangulos incritos esta dado por À
21! 75 Ê"  Š0 Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
8
#
ß
5œ"
con lo cual , la superficie generado por el, extremo superior de todos los
rectangulos circunscritos esta dado por À
21! Q5 † Ê"  Š0 Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
8
#
ß
5œ"
por lo tanto, se tendra que
Definición
ß
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , con 0 función continua, se cumple que
la superficie del manto obtenido al rotar el arco de curva generado por :
C œ 0 ÐBÑ donde B − Ò+ß ,Ó
en torno al eje B
esta dado por :
W œ #1 † '+ 0 ÐBÑ † Ê"  Š0 ÐBÑ‹ .B
,
ß
#
La superficie de revolución, es la que se muestra en la figura,la generada
por el arco de curva determinado por el K<+0 Ð0 Ñ:
35
Respecto al eje C
ß
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
! , con 0 función continuaß sea T œ Ö>! ß >" ß ÞÞÞß >8 ×ß
75 ß Q5 como antes se tiene que, la superficie generado por el, extremo
superior del rectangulo de base >5  >5" y altura 75 ,al rotarlo en torno al
eje C es :
#1 † B5" † Ê"  Š0 ß Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
#
con lo cual, con lo cual, la superficie generado por el, extremo superior
de todos los rectangulos incritos esta dado por À À
#1! B5" † Ê"  Š0 ß Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
8
#
5œ"
con lo cual , la superficie generado por el, extremo superior de todos los
rectangulos circunscritos esta dado por À
ß
#1! B5" † Ê"  Š0 Ð05 Ñ‹ † ÐB5  B5" Ñ
8
#
5œ"
por lo tanto, se tendra que
Definición
ß
Sea 0 : Ò+ß ,Óqqqqp‘
,
con
0
función continua, se cumple que,
!
la superficie del manto obtenido al rotar el arco de curva generado por :
C œ 0 ÐBÑ donde B − Ò+ß ,Ó en torno al eje C
esta dado por : W œ #1 † '+ B † Ê"  Š0 ÐBÑ‹ .B
,
ß
#
La superficie de revolución, es la que se muestra en la figura,la generada
por el arco de curva determinado por el K<+0 Ð0 Ñ:
36
Ejemplo
Calcule el área W de la superficie que se forma haciendo girar la gráfica de
C œ È B en el intervalo Ò"ß %Ó
1.- en torno al eje B.
2.- en torno al eje C
Solución
1.- W œ #1 † '" ÈB † Ê"  Š #È" B ‹ .B œ 1 † '" † È %B  " .B
#
%
œ 1 "' Ð%B  "Ñ # ¸" œ
$
%
*1
#
%
$
 1 '" Ð&Ñ #
2.- W œ #1 † '" B † Ê"  Š #È" B ‹ .B œ 1 † '" È %B#  B .B
%
#
%
œ ÞÞÞÞ
37
Ejemplo
Determine el área W de la superficie de revolución que se forma al hacer
"
$
girar C œ $B en el intervalo Ò"ß )Ó en torno al eje C.
1.- en torno al eje B
2.- en torno al eje C
Solución
1.- W œ #1 † '" $B † Ê"  Š B
"
$
8
%
 #$
"
‹ .B œ #1 † '" $B † Ê
#
8
"
$
%
B $ "
%
B$
.B
"
sea C œ B $ ß .C œ %$ B $ .B Í *% .C œ $B $ .B
œ
*
#1
† '" É
"'
C"
C
*
#1
.C œ
† ÐÈÐCÐ"  CÑ  68ÐÈ"  C  ÈCÑѸ"
"'
8
8
"
#
%
2.- W œ #1 † '" B † Ê"  Š B $ ‹ .B œ #1 † '" B $ † È B $  " .B
#
%
"
sea C# œ B $  " ß #$ C.C œ B $ .B
œ $1 † ' È C# .C œ 1C $ ¸
È"(
#
È"(
È#
œ ÞÞÞ
38
Observación
1.- Tambien es posible calcular la superficie generada por un arco de curva
considerando la variable C ß para lo cual basta considerar la función de la
curva respecto a la variable C y usar la formula correspondiente
2.- Tambien es posible determinar toda la superficie generada por la rotación de
una región en torno a un eje de rotación paraleto a los ejes de coordenadas
para lo cual basta considerar las funciones frontera de la región respecto a la
variable B ó C y calcular la suma de las superficies respectivas.
Ejemplo
Dada la región achurada definidas por las relaciones :
C #  B  #C œ $
à C  $B œ $ à C œ !
Expresar las integrales que permiten calcular la superficie del sólido
obtenido al rotar la región en torno a la recta :
1.- C œ !
à 2.- B œ !
; 3.- C œ  "
4.- B œ  " ; 5.- C œ %
à 6.- B œ &
Solución
se tiene que, las funciones fronteras respecto a la variable B son :
C #  B  #C œ $ Í ÐC  "Ñ# œ  B  %
Í C œ "  È %  B ß C œ "  È %  B à C œ $  $B à C œ !
39
con lo cual
1.- WCœ! œ #1'! Ð"  È%  BÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
 #1'$ Ð"  È%  BÑÉ" 
%
2.- WBœ! œ #1'! BÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
.B
"
%Ð%BÑ .B
 #1'! Ð$  $BÑÈ"  *.B
"
.B  #1'$ BÉ" 
%
 #1'! BÈ"  *.B 1 Ð$#  "# Ñ
"
3.- WCœ" œ #1'! Ð"  È%  B  "ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
 #1'$ Ð"  È%  B  "ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ .B
.B
"
%Ð%BÑ .B

 #1'! Ð$  $B  "ÑÈ"  *.B  #1'" Ð "ÑÈ"  !.B
"
4.- WBœ" œ #1'! ÐB  "ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
$
.B  #1'$ ÐB  "ÑÉ" 
%
 #1'! ÐB  "ÑÈ"  *.B  1 Ð%#  ## Ñ
"
5.- WCœ% œ #1'! Ð%  "  È%  B ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
 #1'$ Ð%  "  È%  B ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ .B
.B
"
%Ð%BÑ .B

 #1'! Ð%  $  $B ÑÈ"  *.B  #1'" Ð %ÑÈ"  !.B
"
6.- WBœ& œ #1'! Ð&  B ÑÉ" 
%
"
%Ð%BÑ
$
.B  #1'$ Ð&  B ÑÉ" 
%
 #1'! Ð&  B ÑÈ"  *.B  1 Ð%#  ## Ñ
"
40
"
%Ð%BÑ .B
Otra forma de resolver el problema ,es considerando la variable C
se tiene que, las funciones fronteras respecto a la variable C son :
C #  B  #C œ $ Í B œ %  ÐC  "Ñ# à B œ $ C
$
con lo cual
1.- WCœ! œ #1'! C † É " 
$
"
*
.C  #1'! C † È "  %ÐC  "Ñ# .C
$
2.- WBœ! œ #1'! Ð%  ÐC  "Ñ# Ñ † È "  %ÐC  "Ñ# .C
$
 #1 ' !
$
$ C
$
† É" 
"
*
.C  1Ð$#  "# Ñ
3.- WCœ" œ #1'! ÐC  "Ñ † É " 
$
 #1 † " † Ð$  "Ñ
"
*
.C  #1'! ÐC  "Ñ † È "  %ÐC  "Ñ# .C
$
4.- WBœ" œ #1'! Ð%  ÐC  "Ñ#  "Ñ † È "  %ÐC  "Ñ# .C
$
É" 
 #1'! Ð $ C
$  "Ñ †
$
5.- WCœ% œ #1'! Ð%  C Ñ † É " 
$
"
*
"
*
.C  1Ð%#  ## Ñ
.C
 #1'! Ð%  C Ñ † È "  %ÐC  "Ñ# .C  #1 † % † Ð$  "Ñ
$
6.- WBœ& œ #1'! Ð&  %  ÐC  "Ñ# Ñ † È "  %ÐC  "Ñ# .C
$
 #1'! Ð& 
$
$ C
$
Ñ † É" 
41
"
*
.C  1Ð%#  ## Ñ
Ejemplo
Dada la región achurada :
limitadas por las curvas : T À ÐC  "Ñ# œ B
y las rectas :
P À C  $B œ $
;
à
Bœ!
W À B# œ C  "
à
Cœ$
1.- Determinar el área de la región
2.-Expresar las integrales que permiten calcular el volumen
del sólido obtenido al rotar la región en torno al eje
3) C œ  # à 33Ñ B œ  "
3.-Expresar las integrales que permiten calcular la superficie
del sólido obtenido al rotar la región en torno al eje
3) C œ  # à 33Ñ B œ  "
Solución
se tiene que :
ÐC  "Ñ# œ B Í C œ "  È B
B# œ C  " Í C œ B#  " Í B œ  È C  "
C  $B œ $ Í C œ $B  $ Í B œ C$
$
luego, las funciones frontera respecto a la variable B son
C œ "  È B à C œ $B  $ à C œ B#  " à C œ $
con lo cual :
42
1.- E œ '" ÐÐ$B  $Ñ  ÐB#  "ÑÑ.B  '! Ð $  Ð"  È BÑÑ.B
!
%
œ '" Ð $B  %  B# Ñ.B  '! Ð #  È B Ñ.B
!
%
œ Ð $# B#  %B 
2.- 3Ñ
" $
$B
Ѹ"  Ð #B  #$ B # Ѹ! œ
!
$
%
#*
'
ZCœ# œ 1'" ÐÐ$B  &Ñ#  ÐB#  "Ñ# Ñ.B
%
 1' Ð Ð&Ñ#  Ð$  È BÑ# Ñ.B
!
!
33Ñ
ZBœ" œ #1'" ÐÐ$B  $Ñ  ÐB#  "ÑÑÐB  "Ñ.B
%
 #1' Ð $  Ð"  È BÑÑÐB  "Ñ.B
!
!
3.- 3Ñ
WCœ# œ #1'" È "  *Ð$B  $Ñ.B
!
 #1' È "  %B# ÐB#  "Ñ.B
!
 #1' È "  ! † $.B
%
!
"
 #1'! É " 
%
33Ñ
"
%B
† Ð"  È BÑ.B
WBœ" œ #1'" È "  *ÐB  "Ñ.B
!
 #1' È "  %B# ÐB  "Ñ.B
!
 #1 ' ! É " 
"
%
"
%B
† ÐB  "Ñ.B  1Ð&#  "Ñ  %1
43
Ejemplo
Dada la región limitada por las relaciones :
ÐC  #Ñ# Ÿ  %B  #%
•
C  #B
"!
1.- Calcular el área de la región
2.- Expresar las integrales que permiten calcular el volumen
del sólido obtenido al rotar la región en torno al eje
i) C œ ! à ii) B œ ! à iii) C œ  #
3.- Expresar las integrales que permiten calcular la superficie
del sólido obtenido al rotar la región en torno al eje
i) C œ ! à ii) B œ ! à iii) C œ  #
Solución
T À ÐC  #Ñ# œ  %ÐB  'Ñ à P À C œ  #B  "!
con lo cual ,se tiene que :
las funciones frontera respecto a la variable C son
Bœ'
con lo cual
ÐC#Ñ#
%
ß Bœ
"!C
#
E œ '! ÒÐ' 
'
1.-
ÐC#Ñ#
Ñ  Ð "!C
%
# ÑÓ.C
'
#
œ ! Ò"  ÐC#Ñ
 #C ÑÓ.C
%
$
'
C#
œ Ò C  ÐC#Ñ

Ó
œ*
"#
%
!
'
¸
44
ZCœ! œ #1'! CÒÐ' 
'
2.-
ZBœ! œ 1'! ÒÐ' 
'
ÐC#Ñ#
Ñ
%
ÐC#Ñ# #
Ñ
%
ZCœ# œ #1'! ÐC  #ÑÒÐ' 
#
 Ð "!C
# Ñ Ó.C
'
WCœ! œ #1'! C É " 
'
3.-
WBœ! œ #1'! Ð' 
'
 Ð "!C
# ÑÓ.C
ÐC#Ñ#
Ñ
%
ÐC#Ñ#
.C
%
ÐC#Ñ# É
Ñ "
%
 #1'! C É "  %" .C

É "  %" .C
 #1'! Ð "!C
# Ñ
'
 Ð "!C
# ÑÓ.C
'
ÐC#Ñ#
.C
%
#
WCœ# œ #1'! ÐC  #ÑÉ "  ÐC#Ñ
.C
%
'
 #1' ÐC  #ÑÉ "  "% .C
'
!
45