ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Análisis Matemático II Clasificación ➢ EDO de Primer orden 1. 2. A variabes separables (integramos ambos miembros) A variables no separables ➢ EDO de segundo orden 3. Homogéneas 4. No Homogéneas Para los casos 1,2 y 3 usaremos el Método del operador diferencial 𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧 1. EDO de primer orden a Variables Separables Ejemplo 2 2𝑦𝑦´ = 𝑥 𝑥 − 16 1 −2 Condición de contorno: 𝑦(5) = 2 Primero, reescribimos la ecuación haciendo 𝑦´ = Separamos los diferenciales: 𝑑𝑦 : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝑦 = 𝑥 𝑥 2 − 16 𝑑𝑥 2𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 Integramos ambos miembros: 𝑥2 න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥 − 16 𝑥2 − 1 −2 − 16 1 2 𝑑𝑥 1 −2 𝑑𝑥 1. EDO de primer orden a Variables Separables En el segundo miembro usamos el método de sustitución: 𝑢 = 𝑥 2 − 16 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑥 Por lo tanto: න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥 𝑢 1 − 𝑑𝑢 2. න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥 𝑢 1 − 𝑑𝑢 2. න 2𝑦𝑑𝑦 = න 1 𝑢 2 2𝑥 2𝑥 1 − 2 . 𝑑𝑢 Resolvemos: 1 𝑦 2 = 2. 𝑢1/2 + 𝐶 2 1 𝑦 2 = 2. 𝑢1/2 + 𝐶 2 1. EDO de primer orden a Variables Separables Reemplazamos 𝑢: 𝑦 2 = (𝑥 2 − 16)1/2 +𝐶 Despejando “y”, la solución general queda: 𝑦= 𝑥 2 − 16 + 𝐶 Buscamos la solución particular según la condición de contorno dada, 𝑦(5) = 2: 2= 2= 52 − 16 + 𝐶 9+𝐶 Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada: (2)2 = ( 3 + 𝐶 ) 2 4=3+𝐶 𝐶=1 La solución particular según la condición de contorno dada es: 𝑦= 𝑥 2 − 16 + 1 2. EDO de primer orden a Variables No Separables Ejemplo 2𝑦´ − 4𝑦 = 2𝑥 Condición de contorno 𝑦 1 = 2 𝑑𝑦 En este tipo de ecuaciones si hacemos 𝑦’ = no conseguimos separar las x de las y. Por eso 𝑑𝑥 utilizamos un método diferente para resolverlas, el Método del Operador diferencial: 𝒆𝜶𝒙 : 𝜶 = −𝒓𝒂𝒊𝒛. Siempre es conveniente operar sobre la ecuación normalizada, es decir, con el coeficiente que acompaña al término de mayor grado igual a 1. Por eso, en primer lugar dividimos ambos miembros por 2: 𝑦´ − 2𝑦 = 𝑥 Luego, hacemos 𝑦’ = 𝐷𝑦: 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 𝑥 2. EDO de primer orden a Variables No Separables Sacamos factor común 𝑦 𝑦(𝐷 − 2) = 𝑥 La raíz de la expresión anterior es 𝐷1 =2 por lo tanto usaremos el operador 𝑒 −2𝑥 para multiplicar ambos miembros. 𝑒 −2𝑥 𝑦. 𝐷 − 2 = 𝑥. 𝑒 −2𝑥 Reescribimos la expresión anterior para poder integrar: 𝐷 𝑒 −2𝑥 𝑦 = 𝑥. 𝑒 −2𝑥 Ahora integramos ambos miembros: න 𝐷 𝑒 −2𝑥 𝑦 = න 𝑥. 𝑒 −2𝑥 El primer miembro es la integral de una derivada y se resuelve directamente. En el segundo miembro integramos por partes: 𝒈𝒇 ′ = 𝒇𝒈 − 𝒈´𝒇 𝑓=𝑥 𝑓′ = 1 𝑔´ = 𝑒 −2𝑥 1 2 𝑔 = − 𝑒 −2𝑥 2. EDO de primer orden a Variables No Separables Resolvemos: 1 1 𝑒 −2𝑥 𝑦 = − 𝑥𝑒 −2𝑥 − න − 𝑒 −2𝑥 2 2 𝑒 −2𝑥 𝑦 𝑒 −2𝑥 𝑦 Despejamos "𝑦” 1 −2𝑥 1 = − 𝑥𝑒 + න 𝑒 −2𝑥 2 2 1 −2𝑥 1 −2𝑥 = − 𝑥𝑒 − 𝑒 +𝐶 2 4 1 −2𝑥 2𝑥 1 −2𝑥 2𝑥 𝑦 = − 𝑥𝑒 . 𝑒 − 𝑒 . 𝑒 + 𝐶𝑒 2𝑥 2 4 Y obtenemos la ecuación general 1 1 𝑦 = − 𝑥 − + 𝐶𝑒 2𝑥 2 4 2. EDO de primer orden a Variables No Separables Usamos la condición de contorno 𝑦 1 = 2 para hallar una solución particular: 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟏 𝟒 − + 𝑪𝒆𝟐𝒙 1 1 2 = − . (1) − + 𝐶𝑒 2.1 2 4 1 1 2 = − − + 𝐶𝑒 2 2 4 1 1 2 𝐶𝑒 = 2 + + 2 4 11 𝐶 = 42 ≃ 0.3722 𝑒 La solución particular es: 1 1 𝑦 = − 𝑥 − + 0.3722𝑒 2𝑥 2 4 𝒚= 3. EDO de segundo orden Homogéneas Toda ecuación diferencial de segundo orden homogénea se resuelve teniendo en cuenta en un polinomio de segundo grado: 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅 Donde sus raíces pueden ser: a. Dos raíces reales distintas 𝐷1 = 𝛼; 𝐷2 = 𝛽 En este caso la solución general de la ecuación diferencial se reduce a: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛽𝑥 3. EDO de segundo orden Homogéneas b. Dos raíces reales iguales 𝐷1 = 𝐷2 = 𝛼 La solución será: 𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑒 𝛼𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥 c. Dos raíces complejas conjugadas 𝐷1 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝐷2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 En este caso se tiene como solución: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)) 3. EDO de segundo orden Homogéneas Ejemplo a. (2 raíces reales distintas 𝐷1 = 𝛼; 𝐷2 = 𝛽) 2𝑦 ′′ − 2𝑦´ − 4𝑦 = 0 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝜷𝒙 Condiciones de contorno 𝑦 0 = 1; 𝑦 ′ 0 = −1 Como dijimos, conviene operar sobre la ecuación normalizada, por lo que dividimos ambos miembros por 2: 𝑦 ′′ − 𝑦´ − 2𝑦 = 0 Reescribimos la ecuación: 𝐷 2 𝑦 − 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 0 Sacamos factor común "𝑦” 𝑦(𝐷 2 − 𝐷 − 2) = 0 Buscamos las raíces del polinomio de segundo grado que nos queda: α=2 𝛽 = −1 Por lo tanto, la solución general es: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 3. EDO de segundo orden Homogéneas Ahora usaremos las condiciones de contorno para hallar una solución particular: 𝑦 0 =1⇒ 1 = 𝐶1 𝑒 2.0 + 𝐶2 𝑒 0 1 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶1 = 1 − 𝐶2 𝑦 ′ 0 = −1 ⇒ 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 𝑦 ′ = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥 −1 = 2𝐶1 𝑒 2.0 − 𝐶2 𝑒 0 −1 = 2𝐶1 − 𝐶2 reemplazo 𝐶1 −1 = 2(1 − 𝐶2 ) − 𝐶2 −1 = 2 − 2𝐶2 − 𝐶2 −3 = −3𝐶2 𝐶2 = 1 ⟹ 𝐶1 = 1 − 𝐶2 ⇒ 𝐶1 = 0 3. EDO de segundo orden Homogéneas Reemplazando las constantes en la solución general 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 La solución particular para las condiciones de contorno dadas es: 𝑦 = 𝑒 −𝑥 3. EDO de segundo orden Homogéneas Ejemplo b. (2 raíces reales iguales𝐷1 = 𝐷2 = 𝛼 ) 𝑦 ′′ + 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0 Reescribimos la ecuación: 𝐷 2 𝑦 + 10𝐷𝑦 + 25𝑦 = 0 Sacamos factor común "𝑦" 𝑦(𝐷 2 + 10𝐷 + 25) = 0 Buscamos las raíces del polinomio: 𝛼 = 𝛽 = −5 Por lo que la solución general queda: 𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑒 −5𝑥 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒙𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝜶𝒙 3. EDO de segundo orden Homogéneas Ejemplo c. (2 raíces complejas conjugadas 𝐷1 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝐷2 = 𝛼 − 𝛽𝑖) 𝒚 = 𝒆𝜶𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙)) 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 13𝑦 = 0 Reescribimos la ecuación: 𝐷 2 𝑦 − 4𝐷𝑦 + 13𝑦 = 0 Sacamos factor común "𝑦”: 𝑦(𝐷 2 − 4𝐷 + 13) = 0 Buscamos las raíces del polinomio: 4± 4 2 −4×1×13 2 = 4± −36 2 𝐷1 = 2 + 3𝑖; 𝐷2 = 2 − 3𝑖 La solución general es: 𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 cos 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) 4±6𝑖 2 = 𝛼 = 2; 𝛽 = 3 4. EDO de segundo orden No Homogéneas 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 condiciones de contorno 𝑦 0 = 0; 𝑦 ′ 0 = 1 Reescribimos la ecuación: 𝐷 2 𝑦 − 𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 Sacamos factor común y 𝑦(𝐷 2 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥 Obtenemos las raíces del polinomio 𝐷1 = 1; 𝐷2 = −1 Factorizamos 𝑦(𝐷 + 1)(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥 Hacemos 𝜇 = 𝑦(𝐷 + 1) 𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥 Multiplicamos ambos miembros por el operador diferencial 𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑒 −𝑥 𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥 𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 2𝑥 4. EDO de segundo orden No Homogéneas Reescribimos la ecuación para poder integrar 𝐷(𝑒 −𝑥 𝜇) = 𝑥𝑒 2𝑥 Integramos ambos miembros: 𝑒(𝐷 −𝑥 𝜇) = 𝑒𝑥 2𝑥 𝑔𝑓 ′ = 𝑓𝑔 − 𝑔´𝑓 𝑓=𝑥 𝑓′ = 1 𝑔′ = 𝑒 2𝑥 1 𝑔 = 𝑒 2𝑥 2 Entonces 1 1 𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − න 𝑒 2𝑥 2 2 1 1 𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − න 𝑒 2𝑥 2 2 1 1 𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 𝐶1 2 4 Ahora necesitamos despejar 𝜇 dividiendo ambos miembros por 𝑒 −𝑥 4. EDO de segundo orden No Homogéneas Despejamos 𝜇 𝜇= 1 2𝑥 𝑥 1 2𝑥 𝑥 𝑥𝑒 . 𝑒 − 𝑒 . 𝑒 + 𝐶1 . 𝑒 𝑥 2 4 1 1 𝜇 = 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 2 4 Reemplazamos 𝜇 = 𝑦 𝐷 + 1 1 3𝑥 1 3𝑥 𝑦(𝐷 + 1) = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 𝑥 2 4 Multiplicamos ambos miembros por el operador diferencial 𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧 1 3𝑥 1 3𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝐷 + 1 = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 𝑥 . 𝑒 𝑥 2 4 1 4𝑥 1 4𝑥 𝑥 𝑒 𝑦 𝐷+1 = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 2 4 Reescribimos la ecuación para poder integrar: 1 1 𝐷(𝑒 𝑥 𝑦) = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 2 4 4. EDO de segundo orden No Homogéneas Integramos ambos miembros: න 𝐷(𝑒 𝑥 𝑦) = න 1 1 4𝑥 1 4𝑥 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 2 4 1 = )𝑦 𝑥 𝑒(𝐷 2 𝑒𝑥 4𝑥 − 4 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 𝑓=𝑥 𝑒𝑥𝑦 = 𝑓′ = 1 𝑔′ = 𝑒 4𝑥 1 4 𝑔 = 𝑒 4𝑥 1 1 4𝑥 1 1 𝑥𝑒 − න 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 2 4 4 16 1 1 4𝑥 1 1 𝑥𝑒 − 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 2 4 16 16 1 1 1 𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 8 32 16 1 3 𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 8 32 𝑒𝑥𝑦 = Despejamos y: 1 3 𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 . 𝑒 −𝑥 − 𝑒 4𝑥 . 𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 . 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 . 𝑒 −𝑥 8 32 Y finalmente la solución general queda: 1 3 𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 . 𝑒 −𝑥 8 32 4. EDO de segundo orden No Homogéneas Para hallar la solución particular según las condiciones dadas hacemos: 𝒚 𝟎 =𝟎 1 3 0 = 0𝑒 3.0 − 𝑒 3.0 + 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 . 𝑒 0 8 32 3 0 = − + 𝐶1 + 𝐶2 32 3 𝐶1 = − 𝐶2 32 𝒚´ 𝟎 = 𝟏 1 1 3 𝑦 ′ = 𝑒 3𝑥 + 𝑥𝑒 3𝑥 . 3 − 𝑒 3𝑥 . 3 + 𝐶1 𝑒 𝑥 − 𝐶2 . 𝑒 −𝑥 8 8 32 1 3 9 𝑦 ′ = 𝑒 3𝑥 + 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 − 𝐶2 . 𝑒 −𝑥 8 8 32 Reemplazo la condición dada: 1 3 9 1 = 𝑒 3.0 + 0𝑒 3.0 − 𝑒 3.0 + 𝐶1 𝑒 0 − 𝐶2 . 𝑒 0 8 8 32 1 9 1= +0− + 𝐶1 − 𝐶2 8 32 1 9 1− + = 𝐶1 − 𝐶2 8 32 37 = 𝐶1 − 𝐶2 32 4. EDO de segundo orden No Homogéneas 3 Habíamos encontrado 𝐶1 = − 𝐶2 32 Reemplazamos 𝐶1 : 37 3 = − 𝐶2 − 𝐶2 32 32 37 3 − = −2𝐶2 32 32 17 17 = −2𝐶2 ⇒ 𝐶2 = − 16 32 3 17 5 Por lo tanto 𝐶1 = − − = 32 32 8 Y la solución particular para las condiciones de contorno dadas será: 1 3𝑥 3 3𝑥 5 𝑥 17 −𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝑒 − 𝑒 8 32 8 32