Universidad Nacional Experimental del Táchira 801 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA ITALO G. CARLOS J. CORTES A SANCHEZ C. INDICE INTRODUCCION................................................................................................................. ............................ 5 INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7 IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7 IDENTIDADES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... ............. 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8 FORMULAS FUNDAMENTALES....................................................................................................... ..........10 CAPITULO 1................................................................................................................... ................................12 INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ........12 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20 RESPUESTAS................................................................................................................... ...........................21 CAPITULO 2...................................................................................................................................................29 INTEGRACION POR SUSTITUCION.................................................................................................. ......29 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ........29 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39 RESPUESTAS................................................................................................................... ...........................41 CAPITULO 3...................................................................................................................................................59 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.......................................................................59 EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................59 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................... ...............66 RESPUESTAS..............................................................................................................................................67 CAPITULO 4................................................................................................................... ................................77 INTEGRACION POR PARTES....................................................................................................... ............77 EJERCICIOS DESARROLLADOS.............................................................................................................77 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................... ...............88 RESPUESTAS..............................................................................................................................................89 CAPITULO 5................................................................................................................... ..............................111 INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ......111 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................... ...........116 RESPUESTAS............................................................................................................................................117 CAPITULO 6................................................................................................................... ..............................126 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ......126 EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135 RESPUESTAS................................................................................................................... .........................137 CAPITULO 7............................................................................................................................................... ..154 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154 EJERCICIOS DESARROLLADOS......................................................................................................... ..154 EJERCICICOS PROPUESTOS....................................................................................................... ...........162 RESPUESTAS................................................................................................................... .........................163 CAPITULO 8.................................................................................................................................................188 2 INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ......188 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195 RESPUESTAS................................................................................................................... .........................195 CAPITULO 9................................................................................................................... ..............................199 INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199 EJERCICIOS DESARROLLADOS..................................................................................................... ......199 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203 RESPUESTAS................................................................................................................... .........................203 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS .................................................................................................. ......208 RESPUESTAS............................................................................................................... .............................210 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................242 3 A Patricia. / A Ana Zoraida. A los que van quedando en el camino, Compañeros de ayer, De hoy y de siempre. 4 INTRODUCCION El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica. El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al respecto. Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña. 5 INSTRUCCIONES Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo siguiente: a) Estudie la teoría pertinente en forma previa. b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos. c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos. d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva. e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún profesor. f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica alguna. Proceda en forma en forma análoga. g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante y éxito. 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e: Base de logaritmos neperianos. ηи : Logaritmo natural o neperiano. и og : Logaritmo vulgar o de briggs. s ne : Seno. arcs ne : Arco seno. cos : Coseno. arccos : Arco coseno. arc co s : Arco coseno. gτ : Tangente. arctg : Arco tangente. co gτ arccotg Cotangente. Arco cotangente. sec : Secante. arcsec : Arco secante. cosec : Cosecante. arcsec : Arco cosecante. exp: Exponencial. dx: Diferencial de x. x : Valor absoluto de x. m.c.m: Mínimo común múltiplo. IDENTIFICACIONES USUALES s e n n x = (s e n x ) n s e n − 1 x = arcs e n x и η n x = ( и η x ) n и og n x = ( и ogx ) n и ogx = и og x IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Sean a, b: bases; m, n números naturales. a m a n = a m + n ( a m ) n = a mn a m a n =am−n ,a ≠ 0 ( ab )n = a n b n ⎛ ⎜ ⎝ a b , 0 (⎞ ⎟ ⎠ n =a n b n b ≠ am n = n a m = n a )m a − n = 1a n a 0 = 1, a ≠ 0 7 2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales ( a ± b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a ± b )3 = a 3 ± 3 ab 2 + 3 ab 2 + b 3 ( a ± b )4 = a 4 ± 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 ± 4 ab 3 + b 4 a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) a 2 n − b 2 n = ( a n + b n )( a n − b n ) a 3 ± b 3 = ( a ± b )( a 2 ∓ ab ± b 2 ) ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab + ac + bc ) 3. Sean b, n, x, y, z: números naturales и og ( xyz ) = и og b x + и og b y + и og b z и og b ⎛ ⎜ ⎝ x y ⎞ ⎟ ⎠ = и og b x − и og b y и og b x n = n и og b x и og b n x=1n и og b x и og b 1=0 и og b b=1 и eη = 1 и η exp x = x = x и η xe = x e и η x = x exp( и η )x = x IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. se n = cos 1 ecθ cos θ = sec 1 θ τg θ = s cos e n θθ τg θ = co τ1 g θ s e n 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + τ g 2 θ = sec 2 θ 1+co τ g 2 θ = cosec 2 θ cos θ cos ec θ = co τ g θ cos θτ g θ = s e n θ 2. (a) s e n( α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β s e n2 α = 2s e n α cos α s n α2=± 1− cos α 2 sn α = 1− cos2 2 α s e n( α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β e e 2 8 (b) cos( α + β ) = cos α cos β − senαsenβα=± +α2 cos 2 1 cos 2 cos α = 1+ cos2 2 cos( α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β cos2 α = cos 2 α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2cos 2 α − 1 (c) () 1 α τg α+β = τ−gταg+ ατ τ g g ββ τg 2 α = 1 −2 ττg αg 2 α τg 2 α = 11− cos2 α+ cos2 α τg (α−β ) = 1τ+ τα− ατ τ β β 1 cos s n 1 cos 2 1 cos 1 cos s n gggg τ g α=±−+αα=+ e αα= − e α α (d) s e n α cos β = 1 2 [ s e n( α + β ) + s e n( α − β ) ] cos α s e n β = 1 2 [ s e n( α + β ) − s e n( α − β) ] cos α cos β = 1 2 [ cos( α + β ) + cos( α − β ) ] senαsenβ=−12 [ cos( α + β ) − cos( α − β) ] senα+senβ = 2s e n α + 2 β cos α−2 β senα−senβ = 2cos α + 2 β s e n α−2 β cos α + cos β = 2cos α + 2 β cos α−2 β cos α − cos β =− 2s e n α + 2 β s e n α−2 β (e) arcs e n(s e n x ) = x arccos(cos )x = x arc τ g ( τ gx ) = x arcco τ g (co τ gx ) = x arcsec(sec )x = x arccosec(cosec )x = x 9 FORMULAS FUNDAMENTALES Diferenciales Integrales 1.du = du u dx 1.- ∫ du = u + c 2.- d ( au ) = adu 2.- ∫ adu = a ∫ du 3.- d ( u + v ) = du + dv 3.- ∫ ( du + dv ) = ∫ du + ∫ dv 4.- d ( u n ) = nu n − 1 du 4.- ∫ un du = n u n ++ 1 1 +c(n ≠− 1) 5.- d ( и η u ) = du u 5.∫ du u =и ηu+c 6.- d ( e u ) = e u du 6.- ∫ e u du = e u + c 7.- d ( a u ) = a u и η adu 7.- ∫ au du = и a aη u +c 8.- d (s e n u ) = cos udu 8.- ∫ cos udu = s e n u + c 9.- d (cos u ) = − s e n udu 9.- ∫ s e n udu = − cos u + c 10.- d ( τ gu ) = sec 2 udu 10.- ∫ sec 2 udu τ= gu + c 11.- d (co τ gu ) = − cosec 2 udu 11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c 12.- d (sec u ) = sec u τ gudu 12.- ∫ sec u τ gudu = sec u + c 13.- d (cosec u ) = − cosec u co τ gudu 13.- ∫ cosec u co τ gudu = − cosec u + c 14.d (arcs e n u ) = du 1 − u 2 14.- ∫ du 1 − u 2 = arcs e n u+ c 15.d (arccos u ) = − du 1 − u 2 15.- ∫ du 1 − u 2 = − arccos u+ c 16.d (arc τ gu ) = 1 + du u 2 16.- ∫ 1 + du u 2 = arc τ gu + c 17.d (arcco τ gu ) = 1 − + du u 2 17.- ∫ 1 + du u 2 = − arcco τ gu + c 18.d (arcsec u ) = u du u 2 − 1 ∫ uu du −1 =⎧ ⎨ ⎩ − arcsec arcsec u u + + cu ; cu ;>0< 0 19.2 18.2 du = u− du u − u−u du −1 = ⎧ ⎨ ⎩ (arccosec ) 1 arccosec arccosec 19.- ∫ 2 − u + cu ; > 0 u + cu ;< 0 10