Página 1 02) Mediciones 0203) Cifras Significativas Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 2 A) Cifras significativas y propagación de errores. Los números medidos representan magnitudes físicas. En Física, se suelen realizan operaciones con estos números, por lo que los resultados de estas operaciones también representan magnitudes físicas. Tales resultados deben ser coherentes y consecuentes con el procedimiento de medición usado. Es decir, deben poder ser obtenibles por los instrumentos usados. Consideremos el siguiente ejemplo: medir el ancho de una hoja de papel, usando para ello una regla graduada en [cm] y [mm]. Supongamos que un físico hace la medición y el resultado le da 21,78 [cm]. De este resultado podemos decir que: • • • Las cifras 2, 1 y 7 (centímetros y milímetros) proporcionan información segura, pues se pueden leer directamente del instrumento de medición La cifra 8 (décimas de milímetro) es dudosa. Al medir con la regla, el ancho de la hoja quedó en un valor entre 21,70 y 21,80 [cm]. Ahí, el científico hace una estimación “al ojo” y como ve que el final de la hoja está muy cerca de 21,80 [cm], agrega el 8. Supongamos que otro físico dijera que el ancho de la hoja mide 21,786 [cm]. En tal caso, la cifra 6 (centésimas de milímetro) carece de significado, pues no está representando información que pueda ser proporcionada por el instrumento de medición. El físico puede establecer con certeza los datos proporcionados por la regla, que marca hasta milímetro, y estimar el siguiente grado de precisión, en este caso décimas de milímetro. Más allá de eso, no puede decir nada, a menos que se consiga un instrumento que permita medir con mayor nivel de precisión. Supongamos que vamos a medir el largo de tres mesones y sacar el promedio de las tres mediciones. Las mediciones se harán usando una huincha de medir graduada en [m] y [dm]. Se obtienen los valores 3,60 [m]; 3,63 [m] y 3,62 [m]. Al sacar el promedio con una calculadora, el resultado da 3,6166667 [m]. Sin embargo, el instrumento usado permite medir con certeza hasta los centímetros y estimar los milímetros, por lo que cualquier cifra más allá de eso introduce información adicional. Para que ese resultado sea válido como medición, tendría que obtenerse usando un instrumento graduado hasta los diezmilésimos de milímetro. Por ello, la coherencia con el procedimiento de medición exige aproximar hasta los centímetros, por lo que el promedio quedaría en 3,62 [cm]. En Física se toma especial cuidado en expresar las cantidades por números cuyas cifras tengan real significado, esto es, que transmitan información útil, que sea obtenible directamente o al menos estimable con el instrumento usado. A estas cifras las designamos con el nombre de cifras significativas. Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 3 B) Convenios para cifras significativas 1) Los resultados de una medición se deben expresar mediante un número cuyas cifras reflejen el cuidado o precisión con que se efectuó esa medición. Por ejemplo, si la medición se hizo con una regla graduada en [cm], la precisión del número no puede ser mayor que la de milímetros. En tal caso, los centímetros son información segura y los milímetros se estiman “al ojo”. En un número de medición, la última de las cifras seguras (la que está al lado de la cifra dudosa), representa la graduación máxima del instrumento, o división más pequeña de su escala. Por otra parte, la resolución de un instrumento es la diferencia más pequeña que éste puede discriminar. Una buena estimación de la resolución de un instrumento es ½ de su graduación máxima. Por ejemplo, en el valor L = 21,78 [cm], la cifra dudosa (el 8) corresponde a las “décimas de milímetro”, mientras que la última cifra segura (el 7) indica que el instrumento usado tiene graduación máxima en [mm], y una resolución de 0.5 [mm]. Usualmente se llama “precisión” de una serie de mediciones, a la dispersión más representativa del conjunto de datos, con respecto al promedio. Una buena estimación de la precisión de una serie de mediciones es la desviación estándar (σ) de los datos. 2) La forma de realizar una medición nos determinará el número de dígitos que emplearemos para expresar el resultado de ella. Convendremos que sea el último dígito el que exprese la incertidumbre en la medición. Tabla 1) Ejemplos de estimación del número de cifras significativas Considere los datos L1 = 14,28 [cm] y L2 = 14,280 [cm]. • • El número L1 tiene 4 cifras significativas. Para L1, la incertidumbre está en el cuarto dígito, correspondiente a la décima de milímetro. Se dice que L1 podría tener un valor entre 14,27 [cm] y 14,29 [cm] El número L2 tiene 5 cifras significativas. Para L2, la incertidumbre está en el quinto dígito, correspondiente a la centésima de milímetro. Se dice que L2 podría tener un valor entre 14,279 [cm] y 14,281 [cm] Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 4 Aunque ambos valores son aritméticamente iguales, no se pueden obtener usando el mismo instrumento de medición. 3) No se permite colocar ceros al final de números relacionados con mediciones, aunque se conserve el orden de magnitud de ellos, a menos que estos ceros estén avalados por mediciones o por definiciones. 4) En los números decimales cuyo valor absoluto es menor que la unidad, los ceros a la izquierda no son cifras significativas. 5) El uso de notación científica permite escribir un número como el producto de dos factores: uno que contiene las cifras significativas y el otro con la potencia de 10 correspondiente. En la tabla 1 se muestran algunos ejemplos de estimación del número de cifras significativas, según los convenios recién descritos. C) Suma considerando cifras significativas Considere el siguiente ejemplo: se han medido los largos de las secciones del eje mostrado en la figura 1. Los resultados de las mediciones, efectuadas con instrumentos apropiados y expresadas en [cm], se indican en la figura. Nos interesa conocer el largo total del eje. Figura 1) Ejemplo de suma considerando cifras significativas. Al sumar con cifras significativas conviene, al menos en un comienzo, hacer cuatro tipos de sumas: • • • • Suma directa: Sumar directamente los valores tal como se obtuvieron en las mediciones 1,374 + 27,8 + 3,52 = 32,694 ≈ 32,7 Suma de los máximos: agregar una unidad al último dígito (el de la “incertidumbre”) de cada dato antes de sumar. 1,375 + 27,9 + 3,53 = 32,805 ≈ 32,8 Suma de los mínimos: restar una unidad al último dígito (el de la “incertidumbre”) de cada dato antes de sumar. 1,373 + 27,7 + 3,51 = 32,583 ≈ 32,6 Suma aproximada: Aproximar todos los datos al menor número de decimales de entre los sumandos antes de sumar. 1,4 + 27,8 + 3,5 = 32,7 Los cuatro resultados se aproximan al menor número de decimales entre los sumandos. Del análisis de estos cuatro resultados, vemos que la única cifra dudosa es la de las décimas de milímetro, Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 5 correspondiente a la última cifra de la suma aproximada. Luego, aceptamos el valor de la suma aproximada como el correcto, es decir 32,7 [cm] Ahora sumemos 585,3; 92; 140,28; 722,4 • • • • Suma directa: 585,3 + 92 + 140,28 + 722,4 = 1539,98 ≈ 1540 Suma de los máximos: 585,4 + 93 + 140,29 + 722,5 = 1541,19 ≈ 1541 Suma de los mínimos: 585,2 + 91 + 140,27 + 722,3 = 1538,77 ≈ 1539 Suma aproximada: 585 + 92 + 140 + 722 = 1539 En este caso, además de la última cifra, correspondiente a las unidades, la cifra de las decenas aparece como dudosa. En tales casos, se opta por privilegiar los números “redondos”, es decir, donde al menos la última cifra es cero. Así, el valor aceptado para la medición es 1540 = 1,540·103. Ahora sumemos 421,2; 83; 644,35; 126,9 • • • • Suma directa: 1275,45 ≈ 1275 Suma de los máximos: 1276,66 ≈ 1277 Suma de los mínimos: 1274,24 ≈ 1274 Suma aproximada: 1275 En este caso, solamente la última cifra aparece como dudosa.. Así, el valor aceptado para la medición es el de la suma aproximada, es decir 1275 = 1,275·103. Aunque debe examinarse cada caso particular, se pueden establecer algunos criterios para la suma con cifras significativas, los cuales también son válidos para la resta: • En general, no hay más dígitos significativos a la derecha de la coma decimal que los que hay en el sumando que tenga la menor cantidad de tales dígitos. • Calcule las cuatro formas de suma: directa, de los máximos, de los mínimos y aproximada, y aproxime todos los resultados al menor número de decimales de entre los sumandos. Compare los resultados o Si solamente varía el último dígito, tome la suma aproximada como valor aceptado. o Si varía más de un dígito, tome como valor aceptado el número redondo (cuyo última cifra significativa sea cero) que esté dentro del rango de los resultados obtenidos D) Multiplicación considerando cifras significativas Considere el siguiente ejemplo: multiplique 9,146 y 1,34 Al multiplicar con cifras significativas conviene, al menos en un comienzo, hacer cuatro tipos de productos: • Producto directo: Multiplicar directamente los valores tal como se obtuvieron en las mediciones Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 6 • • • 9,146 ⋅ 1,34 = 12,25564 ≈ 12,3 Producto de los máximos: agregar una unidad al último dígito (el de la “incertidumbre”) de cada dato antes de multiplicar. 9,147 ⋅ 1,35 = 12,34845 ≈ 12,3 Producto de los mínimos: restar una unidad al último dígito (el de la “incertidumbre”) de cada dato antes de multiplicar. 9,145 ⋅ 1,33 = 12,16285 ≈ 12,2 Producto aproximado: Aproximar todos los datos al menor número de cifras significativas de entre los factores. 9,15 ⋅ 1,34 = 12,261 ≈ 12,3 Los cuatro resultados se aproximan al menor número de cifras significativas entre los factores. Del análisis de estos cuatro resultados, vemos que la única cifra dudosa es la última cifra del producto aproximado. Luego, aceptamos el valor de producto aproximado como el correcto, es decir 12,3. Ahora multipliquemos 9,146 y 0,0853 • • • • Producto directo: 9,146 ⋅ 0,0853 = 0,7801538 ≈ 0,780 Producto de los máximos: 9,147 ⋅ 0,0854 = 0,7811538 ≈ 0,781 Producto de los mínimos: 9,145 ⋅ 0,0852 = 0,779154 ≈ 0,779 Producto aproximado: 9,15 ⋅ 0,0853 = 0,780495 ≈ 0,780 En este caso, las dos últimas cifras del producto aproximado aparecen como dudosas. Así, tal como en el caso de la suma, se privilegia el número redondo dentro del rango de productos obtenidos, el cual en este caso coincide con el producto aproximado. Así, se acepta el valor 0,780 como correcto. Ahora multipliquemos 8,698·10-2 y 7,2·107 • • • • Producto directo: 6,3 ⋅ 10 6 Producto de los máximos: 6,4 ⋅ 10 6 Producto de los mínimos: 6,2 ⋅ 10 6 Producto aproximado: 6,3 ⋅ 10 6 En este caso, solamente la última cifra del producto aproximado aparece como dudosa. Así, se acepta el valor del producto aproximado como correcto, esto es 6,3 ⋅ 10 6 . Ahora multipliquemos 1,2·107 y 2,5748·10-2 • • • • Producto directo: 3,1 ⋅ 10 5 Producto de los máximos: 3,3 ⋅ 10 5 Producto de los mínimos: 2,8 ⋅ 10 5 Producto aproximado: 3,1 ⋅ 10 5 Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 7 En este caso, las dos últimas cifras del producto aproximado aparecen como dudosas. Así, se privilegia el número redondo dentro del rango de productos obtenidos, por lo que se acepta el valor 3,0 ⋅ 10 5 como correcto. Aunque debe examinarse cada caso particular, se pueden establecer algunos criterios para el producto con cifras significativas, los cuales también son válidos para la división: • En general, el número de cifras significativas del producto no excede el número de cifras significativas del factor que tenga el menor número de ellas. • Calcule las cuatro formas de producto: directo, de los máximos, de los mínimos y aproximado, y aproxímelos al menor número de decimales entre los factores. Compare los resultados o Si solamente varía el último dígito, tome el producto aproximado como valor aceptado. o Si varía más de un dígito, tome como valor aceptado el número redondo (cuyo última cifra significativa sea cero) que esté dentro del rango de los resultados obtenidos E) Conversión de unidades respetando las cifras significativas Al convertir unidades, hay que mantener la precisión de la medición. Consideremos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1) Convertir 20,3 [m] a [mm] Si resolvemos de esta forma, estamos agregando cifras significativas: 1000 [mm ] 20,3 [m] ≅ 20,3 [m ] = 20300 [mm ] 1[m ] Note que 20,3 [mm] tiene 3 C.S, y 20300 [mm] tiene 5 C.S. Si resolvemos de esta otra, respetamos la precisión del dato original 10 3 [mm ] 20,3 [m ] ≅ 20,3 [m] = 2,03 ⋅ 10 4 [mm ] 1[m ] Ejemplo 2) Convertir 11 7/16 [in] a [mm] 11 7 [in ] ≅ 183 [in ] ≅ 11,4375 [in ] ≈ 11,4[in ] , con 3 C.S. 16 16 La precisión máxima del dato original es 1/16 [in]. Usando la equivalencia 1 [in]=25,4 [mm] se puede determinar la precisión equivalente en [mm] Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007 Página 8 1 [in ] ≅ 1,5875 [mm] ≈ 1[mm ] 16 Luego, para mantener la precisión, hay que entregar la equivalencia hasta los [mm]. Finalmente: 11,4 [in ] ≅ 11,4 [in ] 25,4 [mm ] = 291[mm ] , con 3 C.S. 1[in ] Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007
