POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO 1.- Posición relativa entre dos planos: Dos planos en el espacio π1 y π2 pueden ser entre sí paralelos, secantes y coincidentes. π 1 ≡ Ax + By + Cz = D y π 2 ≡ A' x + B ' y + C ' z = D ' ⎧ Ax + By + Cz = D ⎛A B C⎞ ⎛ A B C D⎞ Se forma: ⎨ Donde: M = ⎜⎜ ⎟⎟ ; M * = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎩ A' x + B' y + C ' z = D ' ⎝ A' B ' C ' ⎠ ⎝ A' B ' C ' D ' ⎠ Se puede presentar: - Si rg(M)=1 y rg(M*)=1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, lo que corresponde a planos coincidentes. Si rg(M)=1 y rg(M*)=2, el sistema es incompatible, lo que se corresponde con planos paralelos. Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, lo que se corresponde con planos secantes. Además los planos A B C D = = = , A' B' C ' D' proporciones. serán paralelos si A B C D = = ≠ , A' B' C ' D' coincidentes si y secantes si no se cumple alguna de las tres primeras 2.- Posiciones relativas de tres planos: Sea los planos π1, π2 y π3, de ecuaciones: π 1 ≡ Ax + By + Cz = D π 2 ≡ A' x + B' y + C ' z = D' π 3 ≡ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' ' Donde: En el sistema: ⎧ Ax + By + Cz = D ⎪ ⎨ A' x + B ' y + C ' z = D ' ⎪ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' ' ⎩ D⎞ ⎛ A B C⎞ ⎛ A B C ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ M = ⎜ A' B ' C ' ⎟ y M * = ⎜ A' B ' C ' D ' ⎟ ⎜ A' ' B ' ' C ' ' ⎟ ⎜ A' ' B ' ' C ' ' D ' ' ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Se puede presentar: - Si rg(M)=3 y rg(M*)=3, el sistema es compatible determinado, y los tres planos se cortan en un punto. Si rg(M)=2 y rg(M*)=3, el sistema es incompatible, y los planos pueden ser secantes dos a dos o dos paralelos y el tercero secante a ambos. - - Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, y los planos pueden ser que se corten en una recta o que dos planos sean coincidentes y el tercero los corte en una recta. Si rg(M)=1 y rg(M*)=2, el sistema es incompatible, y los planos pueden ser paralelos entre sí o que dos sean coincidentes y el tercero paralelo a ambos. Si rg(M)=1 y rg(M*)=1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, y los planos son coincidentes 3.- Posiciones relativas de dos rectas: r r Sean dos rectas r y s de la forma: r ≡ ( A, v r ) y s ≡ ( B, v s ) , las rectas pueden ser: → r r r r - Que se cruzan: rg ( v r , v s ) = 2 y rg ( AB, v r , v s ) = 3 → r r r r - Secantes: rg ( v r , v s ) = 2 y rg ( AB, v r , v s ) = 3 → r r r r - Paralelas no coincidentes: rg ( v r , v s ) = 1 y rg ( AB, v r , v s ) = 2 → r r - Paralelas coincidentes: rg ( AB, v r , v s ) = 1 4.- Posiciones relativas entre un plano y una recta: Dados una recta r y un plano π en el espacio, pueden ser secantes, paralelos o que la recta esté contenida en el plano. ⎧ A' x + B' y + C ' z = D' Sean: π ≡ Ax + By + Cz = D y r ≡ ⎨ ⎩ A' ' x + B' ' y + C ' ' z = D ' ' ⎧ Ax + By + Cz = D ⎪ En el sistema: ⎨ A' x + B ' y + C ' z = D ' ⎪ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' ' ⎩ D⎞ ⎛ A B C⎞ ⎛ A B C ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ Donde: M = ⎜ A' B ' C ' ⎟ ; M * = ⎜ A' B ' C ' D ' ⎟ ⎜ A' ' B ' ' C ' ' ⎟ ⎜ A' ' B ' ' C ' ' D ' ' ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Se puede presentar: - Si rg(M)=3 y rg(M*)=3, el sistema es compatible determinado, y la recta y el plano se cortan en un punto. Si rg(M)=2 y rg(M*)=3, el sistema es incompatible, y la recta y el plano son paralelos. Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, la recta está contenida en el plano.