Problemes de Geometria per a l’ESO 280 120 2791.- En una circumferència de radi 𝑅 hi ha inscrits tres hexàgons regulars iguals i tres circumferències, cadascuna d’elles tangent a la circumferència exterior i a dos costats de dos hexàgons. Calculeu el radi de les circumferències. Prefectura de Gunma. Satimiya Shrine, 1824 120 2,05 cm Resultado: 0,48 cm 0,48 c Solució: Siga la circumferència de centre 𝑂 i radi ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 = 𝑅 1 Siga ̅̅̅̅ 𝑂𝑁 = 𝑅 costat de l’hexàgon regular. 2 ̅̅̅̅̅ = 𝑟, M el punt de Siga la circumferència de centre 𝑃 i radi 𝑃𝑀 tangència de les circumferències de centre 𝑂, 𝑃. Siga KL la tangent comuna a les dues circumferències. 1 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 = 𝑅, ̅̅̅̅̅ 𝑁𝐾 = 𝑅, ̅̅̅̅ 𝐾𝐿 = √3𝑅 2 ∆ L’àrea del triangle 𝐾𝐿𝑁 és: 1 1 1 𝑆𝐾𝐿𝑁 = · 𝑅 · √3𝑅 = (2𝑅 + √3𝑅)𝑟 2 2 2 Resolent l’equació: 2√3 − 3 𝑟= 𝑅 2 K M L P A N O Resultado: 3,60 ,3 Resultado: 3,15 Resultado: 4,20 2792.- En la figura, una circumferència és tangent a tres costats d’un rectangle i a un segment. Calculeu la mesura del segment 𝑥 x 2,88 cm ,3 120 Resultado: 3,60 Resultado: 3,15 Resultado: 4,20 Solució: Siga el rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 120 Siguen 𝐾, 𝐿, 𝑇, 𝑀 els punts de tangència de la circumferència i els costats ̅̅̅̅ , 𝐶𝑀 ̅̅̅̅̅, 𝐴𝐵 ̅̅̅̅, 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ , respectivament. K 𝐷𝑑 D ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ = 35 Siga 𝑥 = 𝐾𝐿 35 C ∆ Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 𝐶𝐵𝑀: ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑀 = 125 ̅̅̅̅ 𝐷𝐾 = ̅̅̅̅ 𝐴𝑁 = ̅̅̅̅ 𝐴𝑇 = 60 ̅̅̅̅ = 𝐶𝐿 ̅̅̅̅ = 125 − 𝑎. ̅̅̅̅̅ = 𝐿𝑀 ̅̅̅̅ = 𝑎, 𝐶𝐾 Siga 𝑇𝑀 60 + 125 − 𝑎 = 60 + 𝑎 + 35 ̅̅̅ = 80 𝑎 = 45, ̅̅̅̅ 𝐶𝐾 = ̅𝐶𝐿 Siga ∠𝐾𝐶𝐿 = 𝛼 35 7 cos 𝛼 = = 125 25 ∆ Aplicant el teorema del cosinus al triangle 𝐶𝐾𝐿 7 𝑥 2 = 802 + 802 − 2 · 80 · 80𝐸 · 25 𝑥 = 96 x N 120 L A T M 35 B 3,5638181772 cm 15,12 cm 2 2 73,7 ° 81,9 ° 3,63 cm 2,88 cm 2,55 cm ,3 4,1666666667 2793.- En la figura,Resultado: una circumferència és tangent a tres Resultado: 4,20 i a un segment. costats d’un rectangle Calculeu la proporció entre l’àrea del triangle i l’àrea del Resultado: 3,60 rectangle. 120 Resultado: 3,15 Solució: ̅̅̅̅ = 120 Siga3,5638181772 el rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, cm 𝐵𝐶 Siguen 𝐾, 𝐿, 𝑇, 𝑀 els punts de tangència de la circumferència i els costats ̅̅̅̅ 𝐷𝑑, ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑀, ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , ̅̅̅̅ 𝐴𝐷, respectivament. Siga ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 = 35 35 ∆ Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 𝐶𝐵𝑀: ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑀 = 125 ̅̅̅̅ = 60 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝐷𝐾 𝐴𝑁 = 𝐴𝑇 ̅̅̅ = 125 − 𝑎. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Siga 𝑇𝑀 = 𝐿𝑀 = 𝑎, ̅̅̅̅ 𝐶𝐾 = ̅𝐶𝐿 60 + 125 − 𝑎 = 60 + 𝑎 + 35 ̅̅̅̅ = 𝐶𝐿 ̅̅̅̅ = 80 𝑎 = 45, 𝐶𝐾 Siga ∠𝐾𝐶𝐿 = 𝛼 35 7 cos 𝛼 = = 125 25 D K N L ∆ Aplicant el teorema del cosinus al triangle 𝐶𝐾𝐿 7 ̅̅̅̅2 = 802 + 802 − 2 · 80 · 80𝐸 · 𝐾𝐿 25 ̅̅̅̅ = 96 𝐾𝐿 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝑁 = 60√2 ∠𝐾𝐿𝑁 = 45° ̅̅̅̅̅ 𝐾𝑁 = 60√2 ∆ Aplicant el teorema del cosinus al triangle 𝐾𝐿𝑁 2 √2 ̅̅̅̅ 2 − 2 · 96 · 𝐿𝑁 ̅̅̅̅ · (60√2) = 962 + 𝐿𝑁 2 ̅̅̅̅ = 84√2 𝐿𝑁 1 √2 𝑆𝐾𝐿𝑁 = · 84√2 · 96 · = 4032 2 2 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 120 · 140 = 16800 𝑆𝐾𝐿𝑁 4032 6 = = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 16800 25 C A T 120 M 35 B ,5 R Resultado: 2,0000000000 Resultado: 5,0000000000 2794.- Donats els dos quadrats adossats de costats 4, 6, calculeu l’àrea de la zona ombrejada. 4 Solució: 6 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Siguen els quadrats 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐵𝐸𝐹𝐺 de costats 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐸 = 6, respectivament. ∆ ∆ Els triangles rectangles 𝐴𝐵𝐺 , 𝐿𝐷𝐴 són semblants. Aplicant el teorema de Tales: 8 ̅̅̅̅ 𝐷𝐿 = 3 ∆ G L D ∆ Els triangles rectangles 𝐴𝐷𝐹 , 𝐴𝐵𝐾 són semblants. Aplicant el teorema de Tales: 12 ̅̅̅̅ 𝐵𝐾 = 5 L’àrea del quadrilàter 𝐴𝐾𝐶𝐿 és: 1 8 1 12 88 𝑆𝐴𝐾𝐶𝐿 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐴𝐷𝐿 − 𝑆𝐴𝐵𝐾 = 42 − · 4 · − · 4 · = 2 3 2 5 15 F C K A E B 6 4 2795.- En la figura, un quadrat s’ha dividit en nou quadrtats de costat 1. El centre del quadrat és el centre de la circumferància que passa pels centres dels quadrats dels cantons. Calculeu l’àrea de la regió ombrejada. Solució: ̅̅̅̅ = 3 i centre 𝑂. Siga el quadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 de costat 𝐴𝐵 Siga 𝑃 el centre del quadrat de costat 1. √2 √2 ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 = ̅̅̅̅ 𝑂𝐷 − ̅̅̅̅ 𝑃𝐷 = 3− = √2 2 2 L’àrea ombrejada és la quarta part de l’àrea del quadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 menys l’àrea del cercle. 1 9 − 2𝜋 2 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (32 − 𝜋(√2) ) = 4 4 D C P O A B 2796.- Donats dos quadrants de longituds 𝑥, 𝑦 i l’arc 𝑧 de la circumferència, calculeu: 𝑥+𝑦 𝑧 Solució: L’arc 𝑧 és un semicercle de centre 𝑃. ̅̅̅̅ = 𝑅 el radi. Siga 𝑃𝐴 ∆ z A Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 𝑂𝐴𝐵. ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 = 𝑅√2, radi del quadrant gran. ̅̅̅̅. Siga 𝑀 el punt mig del segment 𝑂𝐵 y ∆ ̅̅̅̅̅ 𝑃𝑀 és paral·lela mitjana del triangle 𝑂𝐴𝐵, aleshores: √2 ̅̅̅̅̅ 𝑃𝑀 = 𝑅 2 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑇 = ̅̅̅̅ 𝑃𝑇 − ̅̅̅̅̅ 𝑃𝑀 = 𝑅 − √2𝑅 La proporció que cerquem és: 1 1 √2 · 2𝜋 · 𝑅√2 + · 2𝜋 · (𝑅 − 𝑅) 4 4 2 𝑥+𝑦 1 √2 = = + 1 𝑧 2 4 2 · 2𝜋𝑅 P M O C x D T B 2797.- En la figura hi ha tres quadrats iguals de color verd i un quadrat més gran de color blau. Calculeu la mesura de l’angle 𝑥 Solució: Siguen els quadrats iguals 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐵𝐺𝐻𝐶. Siga el quadrat 𝐵𝑃𝑄𝑅. Siga ∠𝐹𝑄𝑇 = 𝑥 x Siga ∠𝑅𝐵𝑇 = 𝛼 ∠𝑄𝐵𝐻 = 𝛼 ∠𝐵𝐹𝐻 = 45° − 𝛼 ∠𝑅𝐵𝑇 = 135° − 𝛼 ∠𝐵𝑄𝐻 = 45° ∠𝐵𝑄𝐻 = 45° Aleshores 𝑄 pertany a la circumferència que passa pels punts 𝐹, 𝐻, 𝐵, circumferència de centre 𝐶. ∠𝐹𝑄𝐵 = 90° 𝑥 = ∠𝐹𝑄𝑇 = 90° − 45° = 45° 22,6 ° E F x Q angleRBT= angle FTQ T R angleQBH angleHBP= angle BHQ H D C P A B G angle BQ angle BFQ Q pertany c angle FQB x=90º-45 0,2 2798.- Calculeu la proporció entre l’àrea ombrejada i l’àrea Resultado: el rectangle1,20 exterior. Resultado: 2,80 Resultado: 2,60 7 2 3,36 cm 6 Solució: ̅̅̅̅ = 28 Siga el rectangle ABCD, 𝐴𝐵 ∆ 8 C D ̅̅̅̅ = 14, 𝐾𝑀 ̅̅̅̅̅ = 13, 𝐿𝑀 ̅̅̅̅ = 15 Siga el triangle 𝐾𝐿𝑀, 𝐾𝐿 ̅̅̅̅̅ Siga 𝑀𝐻 = ℎ altura del triangle. 7 ∆ L’àrea del triangle 𝐾𝐿𝑀 és: √42 · 14 · 12 · 16 𝑆𝐾𝐿𝑀 = = 84 4 1 𝑆𝐾𝐿𝑀 = 2 · 14 · ℎ = 84. ℎ = 12 ̅̅̅̅ = 8 + 7 + ℎ = 27 𝐴𝐷 L’àrea del rectangle ABCD és: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 28 · 27 = 756 La proporció de les àrees és: 𝑆𝐾𝐿𝑀 84 1 = = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐶𝐷 756 9 Resultado: 3,00 M L 6 A K H 8 B Resultado: 0,40 Resultado: 4,00 0,4 2799.- Una circumferència està inscrita en un quadrat i un rectangle té un vèrtex en la circumferència i el vèrtex oposat és un vèrtex del quadrat. L’ample del rectangle és el doble que el llarg. Calculeu la proporció entre l’àrea del rectangle i l’àrea del quadrat. Solució: Siga el quadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 de costat ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 𝑐 i centre 𝑂. ̅̅̅̅ = 𝑎, ̅̅̅̅ Siga el rectangle 𝐵𝐸𝐹𝐺 de costats 𝐵𝐺 𝐵𝐸 = 2𝑎 2 16,00 cm 2 0,32 cm D C ∆ Considerem el triangle rectangle 𝑂𝐹𝐾 1 1 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝑂𝐹 = 𝑐, ̅̅̅̅ 𝑂𝐾 = 𝑐 − 𝑎, 𝐹𝐾 2 2 ∆ Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 𝑂𝐹𝐾 : 2 2 1 2 1 1 ( 𝑐) = ( 𝑐 − 𝑎) + ( 𝑐 − 2𝑎) 2 2 2 Simplificant: 20𝑎2 − 12𝑐𝑎 + 𝑐 2 = 0 Resolent l’equació: 1 𝑎= 𝑐 10 La proporció de les àrees és: 𝑆𝐵𝐸𝐹𝐺 2𝑎 · 𝑎 1 = = 2 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑐 50 O K F A E G B 2800.- Les set regions de la figura tenen la mateixa 𝑎 àrea. Calculeu 𝑏 a b Solució: Siga ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 = ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 𝑎, ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = 𝑏 ∠𝐵𝐶𝐴 = 60° ∆ L’àrea del triangle 𝐴𝐵𝐶 i l’àrea de l’hexàgon regular 𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 són iguals. 1 √3 √3 2 (𝑎 + 𝑏)𝑎 =6 𝑏 2 2 4 Simplificant: a 6𝑏 2 = 0b 𝑎2 + 𝑎𝑏 − Resolent l’equació: 𝑎 =2 𝑏 F A G E H D C B