423128235-COMPENDIO-DE-PROBLEMAS-ONEM-2004-2018-pdf

UNIDAD DE GESTIÓN EDUCATIVA LOCAL DE CANGALLO
“Año de la Lucha contra la Corrupción y la Impunidad”
“Decenio de la Igualdad de oportunidades para Mujeres y Hombres 2018-2027”
EXAMENES
ONEM
2004-2018
CRONOGRAMA 2019
FECHA DE
LA
PRUEBA
HORA
PRIMERA
ETAPA
IE
Primera
prueba: 10 de
julio de 2019
10:00
horas turno
mañana
14:00
horas turno
tarde
SEGUNDA
ETAPA
UGEL
Segunda
prueba:
21 de agosto
de 2019
10:00
horas
TERCERA
ETAPA
DRE
Tercera
prueba:
12 setiembre
de 2019
10:00
horas
CUARTA
ETAPA
NACIONAL
Cuarta
prueba:
06 de octubre
de 2019
ETAPAS
9:00 horas
MODALIDAD
RESPONSABLE DE LA
INSCRIPCIÓN
FECHA DE
INSCRIPCIÓN
PARA LA
SIGIUENTE
ETAPA
Presencial
No hay inscripción en esta etapa. La
selección de estudiantes la realizan los
docentes de matemática de manera
consensuada.
No aplica
Presencial
La Comisión de Calidad, Innovación y
Aprendizajes será el responsable de la
inscripción de los ganadores de la IE a
la segunda etapa (Anexo N° 1)
Del 11 de julio al
11 de agosto de
2019
Virtual
La Comisión Organizadora de la UGEL,
realizará la inscripción de los ganadores
de la UGEL a la tercera etapa
Del 22 de agosto
al 06 de
setiembre de
2019
Presencial
La Comisión Organizadora de la DRE,
gestionará la RD para la inscripción de
los ganadores de la DRE a la cuarta
etapa.
Del 13 al 20 de
setiembre de
2019
NIVELES
Nivel 1
1.° y 2.° grado de educación secundaria de EBR
Nivel 2
3.° y 4.° grado de educación secundaria de EBR
Nivel 3
5.° año de educación secundaria de EBR
CATEGORÍAS
ALFA
Estudiantes de las II.EE. públicas
BETA
Estudiantes de las II.EE. privadas
Presencial
Primera, segunda y cuarta etapa
MODALIDADES
Virtual
Tercera etapa
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Primera Fase – Nivel 1
21 de agosto de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso
de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Una cuadrilla de obreros concluyó una obra en 20 días, trabajando 6 horas diarias. ¿En
cuántos días hubieran concluido dicha obra trabajando 8 horas diarias?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 24
2. Calcula el valor de la siguiente expresión
2
3
2
103 ÷ ⎡(10 ÷ 5 ) × 4 − (13 − 8 ) + 3 27 ⎤ − 81
⎣
⎦
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3. Eduardo cumplirá 38 años el año 2009 y su hermana Romyna nació el año 1981. Luego,
la suma de sus edades en el año 2005 será:
A) 48 años
B) 52 años
C) 58 años
D) 62 años
E) 66 años
4. Un proyecto de reforestación tiene previsto plantar 10 000 árboles en las tres comunida-des
de cierto distrito. En la primera comunidad se plantará el 25 %, en la segunda comunidad se
plantará el 20% y en la tercera comunidad se plantará el resto. ¿Qué cantidad de árboles se
plantará en la tercera comunidad?
A) 55
B) 500
C) 2 500
D) 4 500
E) 5 500
5. Si todos los exóticos son estrafalarios y todos los estrafalarios son extravagantes, entonces:
A) Todos los extravagantes son exóticos.
D)Algunos exóticos no son extravagantes.
B) Todos los exóticos son extravagantes.
E)Algunos no extravagantes son exóticos.
C) Todos los estrafalarios son exóticos.
6. Tengo 300 nuevos soles. Primero, obsequio el 25% de lo que tengo y luego presto a mi
hermano el 4% del resto. ¿Cuántos nuevos soles me quedan?
A) 200
B) 150
C) 212
D) 225
E) 216
7. Un tornero cuenta los tornillos que ha fabricado de diez en diez, de doce en doce y de quince
en quince. En cualquiera de los casos le sobran 9 tornillos. Los vende a 5 nuevos soles cada
uno y obtiene una cantidad que se encuentra entre 900 y 1 000 nuevos soles. ¿Cuántos
tornillos tenía?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
A) 161
B) 189
C) 190
D) 195
E) 200
8. A cierto número entero se le suma los dos números pares inmediatamente anteriores a
él y los dos números impares inmediatamente posteriores a él. La suma resulta 738.
Halle la suma de las cifras de tal número.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
9. Un grupo de padres de familia ingresó a un edificio, el cual tiene una escalera con 198
gradas igualmente distribuidas entre sus 12 pisos. Ellos subieron por las gradas y,
cuando se encontraban en la grada 162, se encontraron con la persona a la cual
buscaban, quien venía bajando. ¿En qué piso se produjo el encuentro?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
10. Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio. La piedra recorre 4,9 metros en
el primer segundo de su caída y en cada segundo posterior recorre 9,8 metros más que
en el segundo anterior. Si demora 5 segundos en llegar al piso, ¿cuál es la altura del
edificio?
A) 24,5 metros
D) 122,5 metros
B) 29,4 metros
E) 176,4 metros
C) 44,1 metros
11. El conjunto de los números enteros pares es el siguiente:
{..., -8, -6, -4, -2, 0, 2 , 4, 6, 8,...}. Si el producto de cuatro enteros pares consecutivos
es cero, ¿cuál es el mayor valor posible de la suma de estos números?
A) 6
B) -3
C) 12
D) -12
E) 14
12. En un grupo de 120 alumnas de una institución educativa, 48 alumnas han nacido en la
costa, 28 han nacido en la sierra y el resto han nacido en la selva; 62 tienen ojos negros
y las otras ojos pardos. Existen 15 alumnas nacidas en la costa que tienen ojos negros y
31 alumnas nacidas en la selva que tienen ojos negros. ¿Cuántas alumnas nacidas en la
sierra de ojos pardos hay en el grupo?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
13. Jesús compró cuadernos de dos precios distintos: 2,20 nuevos soles y 2,80 nuevos
soles. Si en total pagó 51 nuevos soles, ¿cuántos cuadernos de 2,20 nuevos soles
compró?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
E) 9
14. Se tienen los siguientes números de cuatro cifras: 35mn , n53 p y pq 08 . Se sabe que la
suma de los dos primeros es igual al tercero. Halla m + n + p + q .
A) 18
B) 15
C) 14
D) 16
E) 17
15. El número 888888 es escrito como el producto de 2 números de tres dígitos. ¿Cuál es el
menor de ellos?
A) 546
B) 777
C) 888
D) 924
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 1
E) 962
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
16. En cierto país existen solamente billetes de 20, 50, 100 y 500 pesos. Petra tiene 1000
pesos en billetes de cada uno de los cuatro tipos (al menos uno de cada tipo). Si tiene
más billetes de 50 pesos que billetes de 20 pesos, ¿cuántos billetes tiene Petra en total?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
17. Los nueve cuadraditos de un tablero de 3 × 3 como el mostrado
en la figura deben ser pintados de modo que en cada fila, en
cada columna y en cada una de sus dos diagonales se cumpla
que no hayan cuadraditos del mismo color. ¿Cuál es la menor
cantidad de colores necesarios para el pintado?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
18. En la multiplicación ( 2 WW ) ( W8 ) = 5 WWW, los dígitos desde el 1 hasta el 9 son
usados exactamente una vez. Halla la suma de las cifras del producto.
A) 18
B) 15
C) 17
D) 13
E) 14
19. La maestra ha escrito en la pizarra cuatro números naturales. Si se eligen tres
cualesquiera de ellos se cumple que su suma es mayor o igual que 24. ¿Cuántas de las
siguientes afirmaciones, respecto a los números escritos por la maestra, deben
cumplirse obligatoriamente?
I.
II.
III.
II.
Cada uno de ellos es mayor o igual que 8.
Existen dos de ellos cuya suma es mayor o igual que 16.
Existen dos de ellos cuyo producto es mayor o igual que 64.
El producto de dos cualesquiera de ellos es mayor o igual que 32.
A) Ninguna
B) Solo una
C) Solo dos
D) Solo tres
E) Todas
20. Sean a, b y c tres números enteros positivos tales que MCD ( a; b ) = 6 , MCD ( b; c ) = 8
y MCD ( c; a ) = 10 . Halle el menor valor que puede tener MCM ( a; b; c ) .
Recuerda que: MCD significa máximo común divisor y MCM significa mínimo común
múltiplo.
A) 60
B) 80
C) 120
D) 160
E) 240
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 1
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Primera Fase – Nivel 2
21 de agosto de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Simplifica la siguiente expresión:
⎛ x2 − 9 ⎞
E =⎜
⎟ − x + 2 ; x ≠ -3
⎝ x+3 ⎠
A) 0
B) 1
C) -1
D) 2
E) -2
2. El director de un colegio salió de vacaciones a la ciudad de Arequipa. Durante sus días de
vacaciones se cumplió lo siguiente:
- Llovió siete veces en la mañana o en la tarde.
- Cuando llovió en la tarde estuvo clara la mañana.
- Hubo cinco tardes claras y seis mañanas claras.
¿Cuántos días estuvo de vacaciones el director?
A) 8
B) 9
C) 15
D) 10
E) 30
3. La siguiente tabla muestra los valores hallados para la función f ( x ) = x − p , donde m es
m
un entero positivo.
x
f ( x)
Halla el valor de a − m .
A) 5
0
1
2
3
4
-5
-4
-1
4
a
B) 7
C) 2
D) 9
E) 11
4. Sea la función f ( x) = 2 x + 2 x − 10 cuyo dominio es el conjunto {2; 4;6} . Determina el rango
2
de f .
A) {2;16; 24}
C) {2;30;74}
B) {5; 25;75}
D) {8;16;32}
E)
{3;12; 25}
5. La suma de dos números es 41. Si se disminuye en 6 unidades el primero y se aumenta en 5
unidades el segundo, el producto de tales números aumenta en 10 unidades, ¿cuál es la
diferencia entre el mayor y el menor de los números iniciales?
A) 9
B) 12
C) 8
D) 6
E) 11
6. En el conjunto R de los números reales, E es el complemento del intervalo <2;9] , halla
E∪<6;9] .
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
A) <-∞;2> ∪<6;+∞ >
B) <-∞;2]∪<6;+∞ >
D) <6;+∞ >
E) <-∞;2> ∪ [6;+∞ >
7. Halla el valor numérico de R:
C) <-∞,9]
23 ( xy + 10 ) y + 2 29
+
x+ y
x
R=
Cuando x = 23 + 29 e y = 23 − 29
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
8. Carlos tiene 52 años. Esta edad es el doble de la edad que tenía Héctor cuando Carlos
tenía la edad que tiene Héctor. ¿Qué edad tiene Héctor?
A) 49 años
B) 37 años
C) 38 años
D) 29 años
E) 39 años
9. Si x 2 = y 2 + z 2 , simplifica la siguiente expresión:
⎛ x + y + z ⎞⎛ x + y + z
⎞⎛ x + y + z
⎞⎛ x + y + z
⎞
− x⎟⎜
− y ⎟⎜
− z⎟
⎜
⎟⎜
2
2
2
2
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
A)
x( y + z)
4
B)
x2
2
C) y + z
D)
x yz
2
E)
yz
2
10. Se tienen 48 naranjas divididas en tres grupos. Del primer grupo se pasan al segundo
tantas naranjas como hay en este. Luego, del segundo grupo se pasan al tercero tantas
naranjas como hay en este último. Finalmente, del tercer grupo se pasan al primero tantas
naranjas como hay ahora en el primero. Si cada grupo resulta con igual cantidad de
naranjas, ¿cuántas naranjas tenía inicialmente el primer grupo?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 22
E) 28
11. El polinomio x 2 − mx − 2 es divisible por x − 1 y el polinomio x 2 − nx + 2 es divisible por
x + 1 . Entonces el valor de m − n es:
A) -2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
12. Si m, n, p y k ( k >1) son cuatro números tales que se cumplen las siguientes igualdades:
21 + m 100 + n
=
=k ;
21 − m 100 − n
m + n +1 = k 2
Calcula k 3 + 1 .
A) 1 008
B) 1 001
C) 8 001
D) 513
E) 730
13. Observa que 9 − 2 14 = 7 − 2 , porque 7 + 2 = 9 y 7 × 2 = 14 . Usa este tipo de
simplificación para hallar el valor de:
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
3
7 − 2 10
A)
5− 6
B) 1
4
+
8 + 2 12
6− 5
C)
D)
5+ 6
E)
11
14. Un camión que transporta cierta cantidad de bolsas de cemento de igual peso tarda 16 horas
en hacer su recorrido. Si transportara igual número de bolsas pero teniendo cada bolsa 2
kilogramos más, se demoraría 17 horas. Si cada bolsa tuviera 8 kilogramos menos que las
iniciales y la cantidad de bolsas se aumenta en 5, el camión tardaría 15 horas en hacer su
recorrido. Calcula el número inicial de bolsas transportadas, considerando que el tiempo de
recorrido es proporcional a la carga.
A) 15
B) 20
C) 25
D) 28
E) 30
15. Se llaman números crecientes a aquellos números naturales que tienen sus dígitos ordenados
en forma creciente de izquierda a derecha. Por ejemplo, 1 478 es un número creciente pero 2
669, 7 541 y 2 548 no son crecientes. ¿Cuántos números crecientes existen entre 2 300 y 2
600?
A) 25
16. Simplifica
3
B) 27
C) 31
D) 42
E) 46
1 − 27 3 26 + 9 3 262 + 3 26 .
A) 3
C)
B) 2 3 26
3
26
D) 1
E)
3
26 + 1
17. Considera el conjunto A = {1; 2;3;...; 2003} . ¿Cuántos subconjuntos tiene A tales que la suma
de sus elementos sea 2 007 000?
Nota: Recuerda que 1 + 2 + 3 + ... + n =
A) Ninguno
n ( n + 1)
.
2
B) 3
C) 4
D) 1 002
E) 2 003
18. Sean x, y números que satisfacen:
¿Cuál es el valor de x + y ?
x + 6 13 4 − y
+
=
; x≠0, y≠0
y
xy
x
A) –2
B) -1
D) 2
E) No se puede determinar
C) 0
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
19. Un cuadrado antimágico es un tablero de 4 × 4 en el que se ubican los
números del 1 al 16 de tal modo que al sumar los elementos de cada
fila, de cada columna y de cada diagonal principal se obtienen 10
números consecutivos. El diagrama muestra un cuadrado antimágico
incompleto. Halla el valor de x + 2 y .
A) 48
B) 47
C) 46
D) 45
y
x
10
9
12
11
3
13
6
14
7
5
4
E) 50
20. Un entero positivo n se dice que es curioso si al leerlo de izquierda a derecha se cumple
que cada par de sus dígitos ubicados en forma consecutiva es un cuadrado perfecto. Por
ejemplo, el número 3649 es curioso puesto que 36, 64 y 49 son cuadrados perfectos.
¿Cuántos enteros n mayores que 100 (incluyendo al número del ejemplo) son curiosos?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2
4
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Primera Fase – Nivel 3
21 de agosto de 2004
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para
realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba.
En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
1. El diámetro mayor de la llanta delantera de un camión mide 100 cm. ¿Cuántas vueltas
completará dicha llanta en un recorrrido de 6,28 kilómetros? (Considere π = 3,14)
A) 1 000
B) 2 000
C) 500
D) 20
E) 100
2. En el triángulo rectángulo ABC recto en B la longitud de la hipotenusa es el triple de la
longitud que uno de los catetos. Determina:
sen A.sen C
2
A)
1
2
B)
9 8
8
C) 10
D)
3
20
E)
2
9
E)
25
6
3. Determina el valor numérico de la siguiente expresión:
1
3
ctg 2 60o + sec2 45o − csc 2 60o
2
2
A=
3 2 o
2
o
sen 30 + ctg 45
5
A)
40
25
B) −
40
51
C)
3
5
D)
21
25
4. Simplifica la siguiente expresión:
⎛1
⎞ ⎛ 1 + sen x 1 − sen x ⎞
−
E = ⎜ cos 2 x ⎟ ⎜
⎟ ;
⎝4
⎠ ⎝ 1 − sen x 1 + sen x ⎠
C) 4sec 2 x
B) sen x
A) cos x
0 < x < 90°
D) 4 cos 2 x
E) sen 2x
5. Si S y C son los números de grados que representan a un mismo ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal, respectivamente. Calcula:
M=
A) 10
3
S +C
S +C
− 11 +
+ 45
C−S
C−S
B) 12
C) 14
D) 16
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 3
E) 18
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
6. En la figura, se tiene una circunferencia de centro O que es tangente a dos de los lados
del rectángulo ABCD. Si ABCD tiene un área de 12 cm2, halla el área de la región
sombreada.
A) 3 cm2
B) 4 cm2
C) 5 cm2
D) 2 cm2
E) 6 cm2
7. En la figura, AB = BC y BD = BE . Calcula la medida del ángulo x .
A) 20º
B) 30º
C) 50º
D) 40º
E) 10º
8. En la figura mostrada, AC es el diámetro de la semicircunferencia de radio r .
Si ∠BCA = θ, determine el área de la región sombreada.
⎛π
⎞
− cos θ ⎟
⎝2
⎠
B) r 2 ⎜
⎛π
⎞
− sen2θ ⎟
⎝2
⎠
E) r 2 ⎜
A) r 2 ⎜
D) r 2 ⎜
⎛π
⎞
+ senθ ⎟
⎝2
⎠
⎛π
⎞
+ cos 2θ ⎟
⎝2
⎠
C) r 2 ⎜
⎛π
⎞
+ 2senθ ⎟
⎝2
⎠
9. En las orillas opuestas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de
una es 30 m y la de la otra es 20 m. La distancia entre sus troncos es 50 m. En la copa de
cada palmera hay un pájaro. Repentinamente los dos pájaros descubren un pez que
aparece en la superficie del agua, justamente sobre la línea imaginaria que une las bases
de los troncos de las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y llegan al pez al mismo
tiempo. Considerando que los pájaros volaron en línea recta y a la misma velocidad
constante, ¿a qué distancia de la base del tronco de la palmera mayor apareció el pez?
A) 10 m
B) 20 m
C) 25 m
D) 30 m
E) 40 m
10. En la figura se observa un cuadrado ABCD de lado 4 y dos cuartos de circunferencia.
Calcula el área de la región sombreada.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 3
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
A) 8π − 16
B) 16 − 4π
C) 16π − 16
11. Utiliza la figura mostrada para calcular E =
A)
5
3
B) −
5
2
C) −
5
3
D)
D) 16 − 2π
E) 16 + 4π
sen B − 3cos B
.
sen A − 3 cos A
3
2
E) −
3
2
12. Una persona que se encuentra en un punto P a 300 metros de altura sobre el nivel del mar
observa que un barco se aleja de dicho punto con un ángulo de depresión de 60º; dos
minutos después la misma persona observa al barco con un ángulo de depresión de 30º.
Si la velocidad del barco es constante, calcula su valor.
A) 3 3 km/h
B) 4 3 km/h C) 6 3 km/h D) 8 3 km/h E) 9 3 km/h
13. En el rectángulo ABCD de la figura, BC = 3 ND = 6 BM. Además, BM = AM. Calcula tg θ .
A)
5
3
B)
5
7
C)
7
5
D)
4
3
E) 1
14. Halla el valor de x en la siguiente figura.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 3
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
15. Calcula:
21 20 19 ⎛18 ⎞
× × ×⎜ ⎟
8 7 6 ⎝5⎠
E=
⎛18 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝12 ⎠ ⎝12 ⎠ ⎝ 8 ⎠
⎛ m⎞
Recuerda que ⎜⎜ ⎟⎟ representa el número de combinaciones de m elementos
n
⎝ ⎠
tomados de n en n .
A) 2
B) 1
C) -2
D)
1
2
E) −
1
2
16. ¿Cuál es el menor entero positivo con exactamente 15 divisores? Da como respuesta
la suma de sus cifras.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
17. Halla el menor entero positivo n con la siguiente propiedad: Dados n enteros
positivos distintos cualesquiera , existen dos cuya suma o diferencia es divisible por
10.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 3
E) 8
4
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
18. Considerando la figura mostrada, determine
área ( ACD )
, es decir, la razón entre las
área ( EBC )
áreas de los triángulos ACD y EBC .
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) sen θ
19. La maestra escribe trece números enteros en la pizarra, donde al menos tres de ellos
son positivos. Entre los 78 productos dos a dos existen exactamente 22 negativos.
¿Cuántos de los trece números escritos en la pizarra son negativos?
A) 2
B) 10
C) 7
D) 8
E) 9
20. En la figura, C es una semicircunferencia de diámetro AB . Las circunferencias S , S1
y S 2 son tangentes a C y a AB ; además S es tangente a S1 y S 2 . Si los radios de
S1 y S2 miden cada uno de ellos 2 unidades, halle la medida del radio de S .
A) 2
B) 2 2
C) 4
D) 4 2
E) 8
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 3
5
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Segunda Fase – Nivel 1
11 de setiembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para
realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momento determinado 17 damas y 22 caballeros
no bailaban y el resto bailaba en parejas formadas por una dama y un caballero. ¿Cuántas
damas asistieron a la fiesta?
2. Cada día del mes de agosto, un alumno comió de postre, durante su almuerzo, una naranja,
una manzana o ambas frutas. Si comió naranja 25 días y manzana 18 días, ¿cuántos días
comió ambas frutas?
3. El producto de las tres cifras de un número es 126 y la suma de sus dos últimas cifras es 11.
¿Cuál es la cifra de las centenas de dicho número?
4. En una división, sin considerar decimales, el divisor es 15, el cociente es 10 unidades mayor
que el divisor y el residuo es 5. Calcula en cuánto aumenta el cociente si aumentamos 20
unidades al dividendo y luego lo duplicamos, y este nuevo dividendo lo dividimos entre el
mismo divisor.
5. Sean C y D dos dígitos tales que se cumple la siguiente igualdad :
Halla el número CD .
6. Una caja cúbica sin tapa de 4 cm x 4 cm x 4 cm contiene 64 pequeños cubos que llenan la
caja exactamente. ¿Cuántos de estos pequeños cubos tocan alguna cara lateral o el fondo de
la caja?
7. Un agricultor cosecha cierto número de plantas de lechuga y solicita a cuatro de sus
trabajadores que las cuenten.
•
•
•
•
El primero las agrupó de once en once, pero le faltó una.
El segundo las agrupó de trece en trece y le sobraron doce.
El tercero las agrupó de siete en siete, pero le faltó una.
El cuarto las agrupó de doce en doce y no le faltaron ni sobraron.
¿Cuántas plantas de lechuga tiene exactamente el agricultor, sabiendo que son menos de
8000?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Un estudiante leyó un número telefónico de 7 dígitos escrito en la forma siguiente: abc-defg y
pensó que se trataba de una resta, la efectuó y obtuvo -95. Sabiendo que todos los dígitos del
número telefónico son distintos, halla el menor valor posible del número abc.
9. Sean p y q números primos distintos (1 < p <100; 1 < q <100) tales que los siguientes cinco
números: p + 6, p + 10, q + 4, q + 10 y p + q + 1 son todos números primos. Calcula el mayor
valor que puede tomar p + q.
10. Se tiene doce números enteros positivos y distintos que satisfacen la siguiente condición:
Si calculas todas las diferencias positivas posibles, tomando los números de dos en dos,
se forma un conjunto de 20 enteros positivos consecutivos.
Calcula la diferencia entre el mayor y el menor valor de los doce números.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Segunda Fase – Nivel 2
11 de setiembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para
realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Rolando leyó ayer la quinta parte de las páginas de un libro; hoy leyó la mitad de lo que le
quedaba por leer y todavía le faltan 80 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
2. Una delegación de 36 estudiantes viajará representando a su colegio en una competencia
deportiva. Cada estudiante representa a su colegio solo en una disciplina: fútbol, básquet o
tenis. Se sabe que la mitad del número de futbolistas más la tercera parte de basquetbolistas
es igual a 14. Además, el número de basquetbolistas más el doble del número de tenistas es
igual al número de futbolistas. ¿Cuántos tenistas conforman la delegación?
3. Calcula la suma de todos los números que satisfacen la siguiente ecuación:
3 x − 2 − 18 = x
4. Factoriza el siguiente polinomio, en el conjunto de polinomios con coeficientes enteros,
P ( x) = x 4 + 6 x 2 + 25
Indica como respuesta el número de factores primos.
5. Sea f una función definida en los números reales tal que:
f (0) = 2
f ( x + 1) = f ( x) + 2 x + 4 , para todo valor de x
Calcula el valor de f (1) + f (−1) .
6. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza la recta L paralela al lado AC. La bisectriz
interior del ángulo A corta a L en el punto M y la bisectriz exterior del ángulo C corta a la
recta L en el punto N. Si AB = 24 y BC = 36, calcula MN.
7. Santiago intercambió los dígitos de un número de tres cifras de modo que ningún dígito
quedó en su posición original y obtuvo así otro número de tres cifras. Después restó el
primer número menos el segundo y obtuvo como resultado un número cuadrado perfecto
de dos dígitos. ¿Cuántos posibles valores tiene este número cuadrado perfecto?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Encuentra la cantidad de números capicúas de 5 cifras que sean múltiplos de 37.
Nota: Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda
a derecha. Por ejemplo, 171, 2002 y 45054.
9. En un lejano país existen solamente tres tipos de monedas, cada una con un valor entero
de soles. Juan tiene cuatro monedas en su bolsillo derecho por un total de 28 soles y tiene
cinco monedas en su bolsillo izquierdo por un total de 21 soles, pero en cada bolsillo tiene
al menos una moneda de cada tipo. Calcula la suma de los valores de los tres tipos de
monedas.
10. Un tablero de 2 x 5, como el mostrado en la figura, debe cubrirse completamente con fichas de
colores de los tipos A, B y C mostradas. Las fichas del tipo A son azules, las del tipo B son
rojas y las del tipo C son verdes.
Halla el número de todas las formas posibles de cubrir el tablero. Ten presente que la ficha de
tipo B puede usarse tanto en forma horizontal como vertical y que no es obligatorio utilizar los
tres tipos de fichas en cada cubrimiento.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2
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MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Segunda Fase – Nivel 3
11 de setiembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para
realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Don Pancho es un fabricante de ojotas. En la feria dominical pone a la venta un cierto número
de pares de ojotas. Vende inicialmente las dos quintas partes y después el presidente de una
comunidad campesina le hace un pedido para sus moradores de las tres cuartas partes de lo
que le quedaba. Antes de entregar el pedido, Don Pancho se da cuenta de que 600 pares de
ojotas estaban mal hechas y solo puede entregar las ocho novenas partes del pedido.
¿Cuántos pares de ojotas fueron pedidos por el presidente de la comunidad?
2. El lado del cuadrado ABCD mide 24 unidades. El segmento CM es tangente a la
semicircunferencia de diámetro AB y a la circunferencia pequeña de radio x unidades. Halla el
valor de x.
3. Si
1
6
θ es un ángulo del primer cuadrante tal que tan θ = , halla el valor de la siguiente
expresión:
⎛
37 ⎜⎜
⎝
tan θ + cot θ + 2 cos θ ⎞
⎟
−
tan θ + cot θ
2 ⎟⎠
4. Se tiene un triángulo ABC recto en B. Si sumas las longitudes de los lados BC y AC y el
resultado lo elevas al cuadrado, obtienes nueve veces el producto de las longitudes de dichos
lados. Calcula sen A + csc A .
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 3
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
5. Un motociclista entrena para una competencia. El primer día recorre 200 km, el segundo día
280 km, el tercer día 360 km y así sucesivamente, cada día 80 km más que el anterior. Si
luego de cierta cantidad de días ha recorrido un total de 4680 km, ¿cuántos días duró su
entrenamiento?
6. Juanito está en un helicóptero a 2100 m de altura sobre la superficie de un lago. En un
instante, él observa con un ángulo de depresión α a la lancha de Eduardo y con un
ángulo de depresión θ a la lancha de Henry. Calcula, en metros, la distancia que separa a
las lanchas si se conoce que:
tan α =
4
3
tan θ =
7
24
y que la prolongación del segmento que une las dos lanchas pasa por el pie de la
perpendicular bajada desde el helicóptero a la superficie del lago.
7. Sea ABC un triángulo equilátero. Se ubican los puntos M, N y P sobre los lados BC, CA y
AB, respectivamente, de tal modo que AP = 2BP, BM = 2CM y CN = 2AN. Si el área del
triángulo ABC es 126, halla el área del triángulo encerrado por los segmentos AM, BN y
CP.
8. Halla el valor de :
1
sen10 sen30 sen500 sen700
0
0
9. Se ubican 4 fichas en un tablero de 5 x 5 ( mostrado en la figura ) de tal manera que no
hay dos o más fichas en una misma fila ni en una misma columna y además las 4 fichas
están en casillas de un mismo color ( blanco o negro ). ¿ De cuántas maneras se puede
hacer dicha ubicación de fichas (cumpliendo las condiciones detalladas) ? .
10. Resuelve la siguiente ecuacion trigonométrica :
cos12 x = 5 sen 3x + 9(tan x) 2 + (cot x) 2 .
Da como respuesta el número de soluciones en el intervalo
[0, 2π ] .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 3
2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Tercera Fase – Nivel 1
16 de octubre de 2004
-
1.
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado
con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las
respuestas.
Se desea obtener 50 kilos de café de S/. 4,50 el kilo, mezclando café de dos calidades
diferentes. El café superior cuesta S/. 6,30 el kilo y el otro cuesta S/. 2,70 el kilo. ¿Cuántos
kilos se debe usar del café más barato?
2. Pedro tiene un negocio de tipeos que atiende solamente de lunes a viernes. En promedio,
Pedro tipea semanalmente 440 hojas. Se sabe que los lunes siempre tipea la misma
cantidad de hojas, que los martes tipea el doble de la cantidad que tipea los lunes menos
5 hojas; los miércoles 10 hojas más que el día anterior; los jueves 5 hojas menos que el
lunes y los viernes tanto como los lunes y martes juntos.
Pedro está intentando que la gente asista a su negocio ciertos días, por lo cual cobra S/.
0,50 por hoja aquellos días que tiene menos de 100 hojas de trabajo y S/ 0,60 por cada
hoja en los demás días. Determina cuántos soles gana Pedro en un período de 4
semanas, si tiene los siguientes gastos:
-
Consumo de energia:
Alquiler de local:
Pago a su empleado:
S/. 70,00 (por las cuatro semanas)
S/. 100,00 (por las cuatro semanas)
S/. 0,30 por cada hoja tipeada
3. Juan escribe en la pizarra todos los números de dos dígitos que tengan su dígito de las
decenas mayor que su dígito de las unidades (ambos dígitos deben ser distintos de cero).
Luego, Juan calcula la resta de cada uno de dichos números con el número obtenido al
invertir sus dígitos. Halla el máximo común divisor de todas estas restas.
4. La diferencia de dos números de tres cifras es 819. Si se invirtieran las cifras del
minuendo, la nueva diferencia sería 423. Al sumar las tres cifras del primer número y las
tres cifras del segundo número se obtiene 33. Halla el mayor de los números.
5. Al dividir el número 203 entre cierto número entero positivo m se obtuvo como resto 13.
Al dividir 298 entre el mismo número m se obtiene como resto nuevamente 13. ¿Cuántos
posibles valores tiene el número m ?
6. ¿Cuántos números enteros positivos n de tres dígitos, con suma de dígitos menor que 7,
cumplen que n es múltiplo de la suma de sus dígitos?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
7. ¿Cuántos valores enteros positivos de m, menores que 2004, cumplen que 2m es múltiplo
de m2?
8. Se tienen 25 piedras distribuidas de la forma mostrada:
Se puede dar saltos de 1m de longitud de una piedra a otra adyacente. Si no se permite
pisar dos veces la misma piedra, ¿de cuántas formas se puede ir desde A hasta B dando
exactamente seis saltos?
9. Sean:
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1× 2 3 × 4 5 × 6 7 × 8
2003 × 2004
1
1
1
1
1
B=
+
+
+
+ ... +
1003 × 2004 1004 × 2003 1005 × 2002 1006 × 2001
2004 × 1003
A=
Halla
2A
.
B
10. En una olimpíada matemática cuyo examen tuvo 8 problemas, se dijo que un participante
es “hábil” si este resolvió correctamente más de la mitad de los problemas. También se
dijo que un problema fue “difícil” si este fue resuelto completamente por menos de la mitad
de los participantes “hábiles” .
Si la olimpíada tuvo al menos un alumno hábil, encuentra el mayor número posible de
problemas difíciles que tuvo la olimpíada.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 1
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MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Tercera Fase – Nivel 2
16 de octubre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado
con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las
respuestas.
1. Tengo cierto número de monedas, algunas en la mano derecha y otras en la izquierda. Si
pasara una moneda de la mano derecha a la izquierda, tendría igual número de monedas
en cada mano. Si en lugar de ello pasara una moneda de la izquierda a la derecha,
tendría en la mano izquierda la mitad de monedas que en la otra. ¿Cuántas monedas
tengo en total?
2. Doce árboles se encuentran alineados separados cada 5 metros. Un pozo de agua se
encuentra alineado con los árboles. El árbol más cercano al pozo se encuentra a 10
metros de éste. Un jardinero se encuentra junto al pozo y dispone solo de un balde con el
que lleva un balde de agua al primer árbol, luego regresa por más agua y lleva un balde
de agua al segundo árbol y vuelve al pozo. Continúa de esa manera llevando un balde de
agua a cada uno de los otros árboles hasta llevar agua al último árbol y volver al pozo.
¿Cuántos metros recorrió el jardinero en total?
3. Sean a y b dos números enteros positivos cuya suma es menor que 50 y tales que
⎛ 9 ⎞
⎟=
10 ⎜⎜ 3
⎟
10
⎝
⎠
Halla
3
(
a
a+b
)
b
ab .
4. Calcula la suma de todas las cifras del resultado obtenido al operar:
444...444
1424
3 − 888...888
1424
3
100 dígitos
50 dígitos
5. Los polinomios P ( x ) = x 4 + ax 3 − bx 2 + cx + 2 , Q( x ) = x 4 + cx 3 − bx 2 + ax + 2 son distintos
y tienen solo dos raíces en común. Encuentra el valor de b.
6. Sea f un funcion definida en el conjunto de los números enteros positivos tal que:
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 1002
para todos los x e y enteros positivos. Si f (2004) = 1002 , encuentra f (5555) .
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1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
7. Halla el mayor valor de x que satisface la siguiente ecuacion en los números reales:
4 − x 4 − ( x − 2 ) 1 + ( x − 5 )( x − 7 ) =
5x − 6 − x2
2
8. La fracción f satisface la siguiente desigualdad:
52
16
< f <
303
91
Halla el menor valor positivo posible del denominador de f .
9. Halla el máximo valor que puede tomar x + y + z , sabiendo que x, y , z son números
enteros y que x 2 + y 2 + z 2 < xy + 3 y + 2 z .
10. En cierto país se desea emitir monedas cuyos valores sean tres cantidades enteras
positivas distintas, de tal manera que una persona que lleva k monedas convenientemente
elegidas, pueda pagar exactamente cualquier cantidad entera desde 1 hasta 99 (sin
recibir vuelto). ¿Cuál es el menor valor que puede tener k?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Tercera Fase – Nivel 3
16 de octubre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado
con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las
respuestas.
1. Un agricultor tiene un terreno cuya forma y dimensiones se muestran en la siguiente figura
(las longitudes de los lados se encuentran en metros)
Si se sabe que el metro de alambre cuesta S/. 1,50, ¿cuántos soles le costará cercar su
terreno con 4 hileras de alambre?
2. En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia y P es el centro de la
circunferencia inscrita:
Si θ es el ángulo que forman el segmento AP con el diámetro AB, calcula:
cot θ + 2 tan θ
3. Para cada número real α y cada entero positivo n se define:
m n (α ) = sec n-1 α − tg n-1 α
Si A y B son enteros positivos tales que para todo α se cumple la siguiente identidad:
m5 (α ) - m3 (α )
= (sen Aα ) B ,
m5 (α ) + m3 (α )
halla A + B.
4. Si θ es un ángulo tal que:
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 3
1
MINISTERIO DE EDUCACION
csc θ − cot θ
= 5,
sec θ − tan θ
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calcula el valor de:
⎛ 1 + cos θ ⎞
⎟⎟
5 cot θ⎜⎜
⎝ 1 + sen θ ⎠
5. Dado n ≥ 3 , se tienen dos polígonos regulares de n y 2n lados inscritos en la misma
circunferencia de radio R . Si la suma de sus perímetros está dada por la expresión:
⎛π ⎞
⎛π ⎞
kRn sen ⎜ ⎟ cos 2 ⎜ ⎟ ,
⎝ 2n ⎠
⎝ 4n ⎠
halla el valor de k .
6. Se dice que un conjunto es aritmetical si tiene exactamente tres elementos y uno de ellos
es igual al promedio aritmético de los otros dos. ¿Cuál es el menor entero positivo n tal
que el conjunto {1,2,3,..., n} tiene al menos 2004 subconjuntos aritmeticales?
7. Sea M dado por:
32(33)
2
6
12
20
+
+
+
+ ... +
3
5
7
9
65
Entre los enteros positivos que son menores que M , ¿cuál es el mayor?
M =
8. Halla el valor de :
⎞
1 ⎛
1
3
9
27
⎜⎜
⎟
+
+
+
tg 9° ⎝ cot 9° − 3tg 9° cot 27° − 3tg 27° cot 81° − 3tg 81° cot 243° − 3tg 243° ⎟⎠
9. En un pentágono convexo ABCDE se sabe que AB = 6; ∠ADB = 120°; ∠AED = 90° y
∠DCB = 90° . La mayor longitud posible de la diagonal CE es m + n , con m y n
enteros positivos. Halla mn .
10. Sea A = {1, 2,3, 4,5} . Halla el número de funciones f : A → A que tienen la siguiente
propiedad:
No existen tres números distintos a, b, c ∈ A tales que f ( a ) = f (b) = f (c ) .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 3
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Cuarta Fase – Nivel 1
13 de noviembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN
1. Sean a , b y c tres enteros positivos distintos tales que: a + 8b + 25c = 2004 , b es
múltiplo de a , y c es múltiplo de b . Encuentra todos los posibles valores de a , b y c .
2. Un coleccionista tiene cierta cantidad de piedras preciosas, todas de pesos distintos. Si retira
las 3 piedras más pesadas, el peso total de todas las piedras que tenía disminuye en 35%. Si
retira, de las piedras restantes, las 3 más livianas, el peso total de dichas piedras restantes
disminuye en sus
5
. ¿Cuántas piedras tenía originalmente el coleccionista?
13
3. En un planeta muy lejano el año tiene 2004 días. En cada día del año, cada habitante de
dicho planeta miente o dice la verdad durante todo el día (ten presente que la cantidad de
días en que se miente o en que se dice la verdad puede ser cero). A un habitante se le
hizo, cada día del año, la siguiente pregunta: ¿Cuántos días mientes en el año?.
El habitante respondió:
En el primer día:
En el segundo día :
En el tercer día :
“Yo miento por lo menos un día del año”.
“Yo miento por lo menos dos días del año”.
“Yo miento por lo menos tres días del año”.
Y así sucesivamente todos los dias del año.
¿Cuántos días en el año miente dicho habitante?
4. Encuentra el mayor número de 7 dígitos distintos que es múltiplo de cada uno de sus dígitos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Cuarta Fase – Nivel 2
13 de noviembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN
1. Sean a y b números enteros tales que la ecuación en x
( ax − b ) + ( bx − a )
2
2
=x
tiene solo una raíz entera. Encuentra los valores de a , b y las correspondientes raíces de la
ecuación. Da todas las respuestas.
2. En una pizarra se escriben 20 números enteros consecutivos de dos cifras. Luego, se
borran, en primer lugar, los que terminan en 7 y en segundo lugar los múltiplos de 7. Si la
suma de los números que quedan es 660, ¿cuál es el menor número que se escribió en la
pizarra?
3. Sean m y n números enteros tales que m ≥ n ≥ 0 . Encuentra todos los pares ( m ; n ) que
satisfacen:
m 3 + n 3 + 99 mn = 33 3
4. En el siguiente tablero de 2 filas y 10 columnas:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
las casillas de la primera fila se llenan con los dígitos del 0 al 9. En cada casilla de la segunda
fila se escribe un número de tal manera que, en cada columna, el número de la segunda fila
sea igual a la cantidad de veces que el dígito de la primera fila aparece en todo el tablero.
Diremos entonces que el tablero se ha llenado correctamente.
Por ejemplo, el siguiente tablero de 2 filas y 4 columnas se encuentra correctamente lleno:
1
3
2
1
3
3
4
1
pues el 1 aparece 3 veces en el tablero, el 2 aparece 1 vez en el tablero, el 3 aparece 3 veces
en el tablero y el 4 aparece 1 vez en el tablero.
Sólo existen dos formas de llenar correctamente el tablero dado de 2 filas y 10 columnas.
Encuentra dichas formas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 2
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Cuarta Fase – Nivel 3
13 de noviembre de 2004
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN
1. Sea a un número de n dígitos ( n > 1 ). Un número b de 2n dígitos se obtiene escribiendo
dos copias de a una a continuación de la otra. Si
b
es un número entero k, encuentra los
a2
posibles valores de k.
2. Se tienen 100 monedas aparentemente iguales, donde al menos una de ellas es falsa. Las
monedas verdaderas son de igual peso y las monedas falsas también son de igual peso, pero
más livianas que las verdaderas. Explica cómo se puede hallar la cantidad de monedas falsas
usando una balanza de platillos, a lo más 51 veces.
3. Sean x, y , z números reales positivos, menores que π, tales que:
cos x + cos y + cos z = 0
cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 0
cos 3 x + cos 3 y + cos 3 z = 0 .
Halla todos los valores que puede tomar sen x + sen y + sen z .
4. Halla el menor número real x para el cual existen dos triángulos no congruentes, cuyos lados
tienen longitudes enteras y el valor númerico del área de cada triángulo es x .
Nota: Puedes usar la fórmula de Herón para el área S de un triángulo de lados a , b y c :
p( p − a )( p − b )( p − c )
a+b+c
donde p es el semiperímetro del triángulo, es decir p =
.
2
S=
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 3
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Primera Fase – Nivel 1
15 de julio de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso
de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Andrés recibe S/. 720 de gratificación, Bernardo S/. 250 más que Andrés, Carlos tanto
como Andrés y Bernardo juntos más S/. 185 y Dante S/. 235 más que Carlos. ¿Cuánto
recibieron los cuatro en total?
A) S/. 1 390
B) S/. 5 305
C) S/. 5 675
D) S/. 6 045
E) S/. 6 415
2. Un depósito contiene 96 litros de un líquido P, 36 litros de un líquido Q y 24 litros de un
líquido R perfectamente mezclados. ¿Cuántos litros de P se encuentran diluidos en 78
litros de la mezcla?
A) 48
B) 36
C) 32
D) 52
E) 18
3. Efectúa la siguiente operación:
(
) [ (
2
)][
]
2 49+5 0 − 3 8 43 −5 144 32 −2 121÷11−7 1 .
A) 10
B) 60
C) 40
D) 30
E) 50
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
4. Nueve obreros han trabajado 80 días para construir una pared de 120 metros de largo.
¿Cuántos días tendrán que trabajar cuatro obreros para construir otra pared de 170
metros de largo de igual espesor y altura que la primera?
A) 80
B) 225
C) 255
D) 160
E) 260
5. A una convención asisten 50 políticos. Se sabe que:
• Cada político es honesto o deshonesto (no hay otra posibilidad).
• Al menos uno de los políticos es deshonesto.
• Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos es honesto.
¿Cuántos políticos son deshonestos y cuántos son honestos, respectivamente?
A) 1 y 49
B) 2 y 48
C) 25 y 25
D) 0 y 50
E) 49 y 1
6. Manuel tiene un huerto de manzanos. Cada año Manuel vende a José toda la cosecha.
Sin embargo, este año Manuel pensó aprovechar una parte de la cosecha para fabricar
mermelada y sidra. Repartió la cosecha de la siguiente manera: la mitad para José, la
tercera parte para preparar mermelada y la sexta parte para la sidra. ¿Quedó parte de la
cosecha sin repartir?
A) Sí, quedo la tercera parte.
B) Sí, quedó la mitad.
C) No quedó nada.
D) Sí, quedó la sexta parte.
E) Sí, quedó una doceava parte.
7. Se sabe que Juan puede sembrar una chacra en 12 días y Pedro puede hacer el mismo
trabajo en 60 días. Si comienzan trabajando juntos y a los dos días Juan se retira,
¿cuántos días más necesita Pedro para terminar la parte faltante?
A) 10
B) 24
C) 44
D) 48
E) 50
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Cuando al numerador y al denominador de una fracción (que se encuentra simplificada)
se le agrega la cuarta parte del denominador, el valor de la fracción aumenta en su
séptima parte. Halla el valor de la suma del numerador y el denominador de la fracción
original.
A) 7
B) 9
C) 11
D) 19
E) 21
9. Se hizo una encuesta a 200 secretarias. De ellas, 40 eran limeñas, 50 eran arequipeñas
y 90 dominan el idioma inglés; de estas últimas, 65 no son limeñas y 60 no son
arequipeñas. ¿Cuántas de las secretarias no son limeñas ni arequipeñas ni dominan el
idioma inglés?
A) 35
B) 110
C) 90
D) 105
E) 75
10. En un salón de clases hay 35 estudiantes. De ellos se sabe que:
• Siete varones aprobaron Matemática.
• Seis varones aprobaron Lenguaje.
• Cinco varones y ocho mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos.
• Dieciséis son estudiantes varones.
• Cinco estudiantes aprobaron los dos cursos.
• Once estudiantes aprobaron solo el curso de Matemática.
¿Cuántas mujeres aprobaron solo Lenguaje?
A) 7
B) 2
C) 6
D) 5
E) 8
11. En una reunión se encuentran 6 amigos, Carito, Norma, Jorge, Luzmila, Mario y Víctor,
quiénes se sientan en seis sillas igualmente espaciadas alrededor de una mesa circular.
Sabemos que:
• Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas.
• Norma se sienta a la derecha de Víctor y junto a El.
• Carito se sienta frente a Víctor.
• Jorge y Luzmila se sientan juntos.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. Norma se sienta junto a Mario.
II. Luzmila se sienta junto a Víctor.
III. Mario se sienta frente a Carito.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E)Todas
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
12. El número de cinco dígitos 36aa3 es múltiplo de 7. Calcula la suma de todos los valores
posibles del dígito a .
A) 12
B) 9
C) 8
D) 7
E) 5
13. Simplifica:
4 + 15 + 6 − 35
6 + 27 − 8 − 63
.
A) 0
1
2
C) 1
3
D)
2
E) 2
B)
14. Al dividir 1976 entre un número entero positivo K se obtiene 18 como cociente y su
correspondiente residuo. ¿Cuántos valores puede tomar K?
A) 10
B) 9
C) 7
D) 6
E) 5
15. Un depósito contiene ab litros de agua. Se abre una llave que suministra un caudal
constante. Al cabo de media hora, el depósito contiene ba litros de agua y cumplida la
primera hora tiene a0b litros de agua. ¿Cuántos litros de agua ingresan al depósito en
cada hora?
A) 70
B) 90
C) 80
D) 60
E) 100
16. El entero 9 es un cuadrado perfecto que es dos unidades mayor que un número primo,
7, y dos unidades menor que un número primo, 11. Otro cuadrado perfecto que tiene
esta misma propiedad es
A) 25
B) 49
C) 81
D) 121
E) 169
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
4
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
17. El diagrama muestra una parte del centro de una ciudad de la costa norte. Todas estas
calles permiten solo un sentido de desplazamiento de los vehículos, el cual es indicado
por las flechas. Los números o letras junto a cada flecha indican el número de vehículos
que se desplazaron por cada calle en cierto día.
180
70
X
200
20
T
Z
400
Y
W
200
30
Asumiendo que ningún vehículo se ha detenido o estacionado en estas calles, y que al
inicio del día no habían vehículos en ninguna de estas calles, calcula el valor de W.
A) 30
B) 200
C) 250
D) 350
E) 600
18. Hay 120 números de cuatro dígitos distintos, formados únicamente por los dígitos 1, 2, 3, 4 y
5. Al sumar estos 120 números se obtiene un resultado S. ¿Cuál es la suma de los dígitos de
S?
A) 36
B) 39
C) 27
D) 45
E) 54
19. En una reunión de matemáticos, uno le dijo a otro, “Hay nueve menos de nosotros que el
doble del producto de los dos dígitos de nuestra cantidad” ¿Cuántos matemáticos, como
mínimo, deben agregarse a los ya reunidos para tener una cantidad que sea un
cuadrado perfecto?
A) 7
B) 5
C) 9
D) 8
E) 2
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
5
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
20. En la caja de un cine se recaudó un total de 100 nuevos soles por el ingreso de 100
personas. Si el costo de las entradas es de 3 nuevos soles por cada adulto, 2 nuevos
soles por cada joven y 30 céntimos de nuevo sol por cada niño, ¿cuál es el menor
número de adultos que pudo haber ingresado al cine?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) 20
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Primera Fase – Nivel 2
15 de julio de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Ocho camisas y un pantalón cuestan S/. 125. Además, ocho pantalones y una camisa
cuestan S/. 370. ¿Cuál es el precio de un pantalón?
A) S/. 15
B) S/. 20
C) S/. 30
D) S/. 45
E) S/. 10
2. Para conocer el peso de un bebé recién nacido se hicieron las siguientes pesadas:
- El bebé y la madre pesaron a kilogramos.
- El bebé y el padre pesaron b kilogramos.
- El padre y la madre pesaron c kilogramos.
¿Cuántos kilogramos pesa el bebé?
A)
B)
C)
D)
E)
a+b−c
2
a+b+c
2
a −b+c
2
b+c−a
2
a + b − 2c
2
3. Una señora compró carne por un valor de S/. 3 y pagó con un billete de S/. 10. El
carnicero, que no tenía cambio, cruzó la calzada rumbo hacia la botica, cambió el billete
en dos monedas de S/. 5, cruzó nuevamente la calzada y cambió en la panadería una de
las monedas de S/. 5 en 5 monedas de S/. 1, con lo cual consiguió dar el vuelto a la
señora. Luego de algunos minutos el boticario devolvió al carnicero el billete de S/. 10
pues ¡oh, sorpresa! era falso. El carnicero apenado le entregó un billete de S/. 10
verdadero. ¿Cuánto perdió el carnicero?
A) S/. 20
B) S/. 17
C) S/. 13
D) S/. 10
E) S/. 5
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
4. En un salón de clases hay una cierta cantidad de alumnos. Si al triple de dicha cantidad se le
aumenta en 5, resulta una cantidad no menor que 93. En cambio, si al doble de la cantidad de
alumnos se le disminuye 1, se obtiene una cantidad menor que 61. ¿Cuántos alumnos hay en
dicho salón de clases?
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
E) 35
5. Simplifica la siguiente expresión:
2 n +1 + 2 n + 2 + 2 n + 3 + 2 n + 4
2 n −1 + 2 n − 2 + 2 n −3 + 2 n − 4
.
A) 64
n
B) 2
C) 1
D) 32
E) 16
6. Simplifica la siguiente proposición:
~ [~ ( p ∧ q ) ⇒ ~ q] ∨ p .
A)
B)
C)
D)
E)
p∨q
p∧q
p
p⇒q
q
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
7. En la figura se tiene que AB = BC , DC = DE y ∠DFB = 105° . Halla la medida de ∠FDA .
B
E
F
D
A
C
A) 15°
B) 10°
C) 20°
D) 5°
E) 30°
8. Utilizando al mismo tiempo dos máquinas A y B se puede terminar un trabajo en 18 horas. Se
sabe que si se utiliza sólo la máquina A se demorará 27 horas más que utilizando sólo la
máquina B para concluir dicho trabajo. ¿Cuántas horas se necesitará para terminar el trabajo
utilizando sólo la máquina A?
A) 54
B) 53
C) 45
D) 35
E) 50
9. Calcula el producto de raíces de la ecuación:
A)
B)
C)
D)
E)
2x + 5 = x + 4 5 .
3 5
25
− 25
15
− 15
4
10. Se sabe que:
3
xy
=
6
x2 + y2
. Calcula el valor de
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
D = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟
⎝ y⎠ ⎝ x⎠
4
.
A) 62
B) 98
C) 142
D) 167
E) 1 154
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
11. Si M = ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) − 7( x + 2) + 2 , halla el valor de:
4
3
2
M
.
( x + 1)( x 2 + 3 x + 6)
A)
B)
C)
D)
E)
x
x −1
x+2
x−2
x +1
12. ¿Cuántos valores reales de x satisfacen la siguiente ecuación
x3 + 1
6
x
=
+
x
x2 −1
?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13. En la figura, calcula x.
b
a
b
a
100°
c
d
3c
x
3d
A) 100°
B) 120°
C) 135°
D) 145°
E) 150°
14. Sobre una recta se consideran cinco puntos consecutivos: L, I, S, E y D, que satisfacen
las siguientes condiciones:
• 8 LE=5 LD + 3 LS
• 5 ID+3 IS=64
Calcula la longitud IE del segmento cuyos extremos son los puntos I y E.
A) 25
B) 13
C) 11
D) 8
E) 5
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
4
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
15. En la siguiente multiplicación de un número de tres dígitos por un número de dos dígitos,
cada representa un dígito oculto. Calcula la suma de las cifras del producto.
×
3
0
4
1 5
A) 7
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
16. Halla los valores enteros de x e y que cumplen la ecuación:
2 x + 3 y = 3 y + 2 − 2 x +1 .
Da como respuesta el valor de x + y .
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
17. Cuando el polinomio
x 4 + ax 3 − 7 x 2 + bx − 49
se divide por x − 3 el resto es
53 , y cuando se divide por x + 2 el resto es − 87 . Calcula
ab .
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
18. La sucesión infinita 1234567891011121314151617181920212223... es obtenida escribiendo
los enteros positivos en orden. ¿Cuál es el 2005-ésimo dígito en esta sucesión?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
5
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
19. Una bandera consiste de una cruz blanca sobre un fondo negro. Tanto la franja vertical como
la franja horizontal son del mismo ancho. Las medidas de la bandera son 48 cm x 24 cm. Si el
área de la cruz blanca es igual al área de la parte negra de la bandera, ¿cuál es el ancho de la
cruz?
A) 4 cm
B) 8 cm
(
)
D) (18 − 6 5 ) cm
E) (9 − 3 5 ) cm
C) 36 − 12 5 cm
20. Alicia y Bruno comparan la cantidad de monedas que tienen. Alicia dice “Si tú me dieras
un cierto número de monedas, entonces yo tendría seis veces la cantidad de monedas
que a ti te quedarían, pero si yo te diera ese mismo número de monedas, tú tendrías la
tercera parte de las monedas que a mi quedarían”. ¿Cuál es la menor cantidad de
monedas que Alicia puede tener?
A) 48
B) 45
C) 36
D) 24
E) 21
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Primera Fase – Nivel 3
15 de julio de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Al convertir
16x
π radianes al sistema sexagesimal se obtiene 640°. Halla el valor de x .
9
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
2. Simplifica:
2
⎛ ⎛ 2 ⎞ −1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 3
⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ +
⎜⎝ 4 ⎠ ⎟ ⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
( 4 4)
3
2
.
A) 68
B) 256
C) 512
D) 260
E) 288
3. Simplifica:
− sec 60°
⎞
⎛⎛
⎞
⎟
⎜⎜
⎟
csc 45°
⎟
⎜
⎟
M = ⎜⎜
⎟
1 ⎟
⎜
2
⎟
⎜ ⎜ tan 60° −
⎟
⎜⎝
sen 30° ⎟⎠
⎠
⎝
A)
B)
C)
D)
E)
cot 45°
.
2
3
1
2
2
5
2
7
2
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
4. En un triángulo rectángulo ABC recto en A de área 0,5 m2, calcula:
AC 2
AB 2
+
tan B tan C
.
2
A) 0,5 m
2
B) 1 m
2
C) 2 m
2
D) 3 m
2
E) 4 m
5. Tomás cosechó 27 500 kg de arroz con cáscara y lo vendió a 0,80 nuevos soles el kilogramo.
Julián cosechó igual cantidad de arroz y lo hizo descascarar obteniendo los
3
del peso
5
original en arroz blanco. Luego, llenó su arroz en sacos de 50 kg y lo vendió cada uno a 80
nuevos soles. ¿Cuánto más o cuánto menos obtuvo de ganancia Julián con respecto a Tomás
considerando que el costo por mandar a descascarar cada 100 kg de arroz es 9 nuevos soles,
y sin considerar costos a de producción?
A) S/. 4 400 más
B) S/. 2 475 más
C) S/. 1 925 más
D) S/. 4 400 menos
E) Obtuvo la misma ganancia.
6. Simplifica la siguiente expresión:
sen x
cos x
+
.
1 − cot x 1 − tan x
A) sen x + cos x
B) sen x − cos x
C) tan x + cot x
D) tan x − cot x
E) 1
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
7. En la figura mostrada, O es centro de los arcos AB y DC. Calcula el área del trapecio circular
sombreado mostrado en la figura, sabiendo que la longitud del arco AB es a , la longitud del
arco DC es b y la longitud del segmento AD es c .
c(a + b )
2
a 2c
B)
2(a − b )
A)
c2a
C)
2(a − b )
c(a − b )
D)
2
abc
E)
2(a − b )
8. Sean P y M los puntos medios de los lados AD y CD, respectivamente, de un cuadrado
ABCD. Si α es el ángulo PBM, calcula el valor de
36(1 + Cot α ) .
A) 63
B) 84
C) 81
D) 90
E) 96
9. El ángulo x mide 15° más que el ángulo y . Si ambos ángulos son agudos y además
sen 2 x. sec 4 y = 1 ,
calcula la suma de los valores que puede tomar y .
A) 10°
B) 40°
C) 60°
D) 80°
E) 90°
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
10. Una liebre que es perseguida por un perro le lleva de ventaja 90 de sus saltos. La liebre
da 5 saltos mientras el perro da 4, pero 7 saltos de la liebre equivalen a 5 saltos del perro.
¿Cuántos saltos tendrá que dar el perro para alcanzar a la liebre?
A) 200
B) 300
C) 500
D) 600
E) 900
11. Desde la parte más alta de la Catedral, cuya altura es de 50 metros, se observa la puerta
del Concejo Municipal y la Pileta de la Plaza de Armas, ambos ubicados en un mismo
plano horizontal. La Pileta, que está al sur de la catedral, es observada con un ángulo de
depresión de 30°, mientras que la puerta del Concejo, que se encuentra al este de la
Catedral, es observada con un ángulo de depresión de 60°. Calcula la distancia entre la
puerta del Concejo Municipal y la Pileta.
A) 91,3 m
B) 92,3 m
C) 90,3 m
D) 97,3 m
E) 95,3 m
12. Una semicircunferencia de diámetro AB se divide, mediante 29 puntos, en treinta arcos de
igual longitud. Los 29 puntos están numerados en sentido horario con el 1, 2, 3, ..., 29.
Calcula la longitud de la proyección, sobre dicho diámetro, del arco comprendido entre los
puntos 5 y 10, sabiendo que la longitud de AB es 2 + 2 3 .
1
4
1
B)
2
C) 1
5
D)
4
E) 2
A)
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
4
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
13. Para pintar un cubo se gasta 5 nuevos soles en pintura. ¿Cuántos nuevos soles se gastará en
pintura para pintar cinco cubos del triple de arista que los anteriores si se encuentran pegados
formando el sólido mostrado en la figura?
Considera que se debe pintar todas las caras exteriores, incluyendo las caras de la base
del sólido.
A) 105
B) 145
C) 135
D) 145
E) 165
14. La ecuación en
x
x 2 − 6x + n 2 = 0
tiene dos raíces reales a y b . Calcula el valor de la expresión E, donde
E = log n a a + log n a b + log n b a + log n b b .
A) 4
B) 6
C) 12
D) 9
E) 36
15. El número de cinco dígitos 32a1b es múltiplo de 156. Calcula ab + a − b .
A) 57
B) 55
C) 33
D) 21
E) 36
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
5
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
16. Tres circunferencias a , b y c son tangentes entre si en el punto P, como se muestra en
la siguiente figura.
El centro de b se encuentra sobre c y el centro de a se encuentra sobre b . ¿Cuál es la
razón entre el área de la región sombreada y el área total de las regiones no sombreadas
limitadas por las circunferencias?
A)
B)
C)
D)
E)
4
13
1
4
3
16
3
13
1
8
17. Se cortan las esquinas de un cuadrado de papel de lado x mediante cortes rectos, de tal
modo que el pedazo de papel que queda tiene la forma de un octágono regular. Calcula la
longitud del lado de este octágono regular.
2
x
2
B) 2 x 2 + 2
x
C)
2 −1
D) x 2 − 1
A)
(
(
E) x (
)
)
2 + 1)
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
6
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
18. La isla de Urcos tiene 27 estados, cada uno de los cuales pertenece a uno de dos grupos
enemigos entre si: el gris y el blanco. La Organización de las Naciones Unidas quiere que
haya paz en Urcos, para lo cual convertirá cada vez que sea necesario un estado cualquiera al
grupo opuesto – esto es, convertirá un estado de blanco a gris o de gris a blanco – hasta
conseguir que todos los estados sean del mismo grupo. Al hacer esto, Naciones Unidas debe
garantizar que en ningún momento alguno de los estados esté completamente rodeado por
estados del grupo opuesto. Observa que un estado de la costa nunca puede estar
completamente rodeado, lo cual puede ser aprovechado por las Naciones Unidas para lograr
su objetivo. A continuación se muestra un mapa actual de la isla de Urcos.
Los cinco estados sombreados pertenecen al grupo gris y todos los demás al grupo blanco.
¿Con cuántos cambios de grupo, como mínimo, se logra pacificar completamente Urcos?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 10
E) 12
19. En cierto momento, la población de Uchuaco era un cuadrado perfecto. Tiempo después, con
un aumento de 100 habitantes, la población era mayor en 1 que un cuadrado perfecto.
Actualmente, con un aumento adicional de 100 habitantes, la población es nuevamente un
cuadrado perfecto. La población original de Uchuaco era un múltiplo de
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 17
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
7
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
20. Un cubo de un metro de arista es ubicado contra un muro vertical. Una escalera de 15
metros de longitud es apoyada en el muro y toca una de las aristas libres del cubo. ¿Cuántos
metros puede alcanzar como máximo, respecto del piso, el extremo superior de la escalera?
A)
B)
C)
D)
E)
5−
2
5+
2
3−
2
3+
2
7+
2
5
5
5
5
5
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
8
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Segunda Fase – Nivel 1
19 de agosto de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Un estudiante comienza a contar desde un determinado número, el cual es pronunciado (en
voz alta); omite los dos números siguientes, pronuncia el número que sigue y vuelve a omitir
los dos siguientes. Continúa de esta manera hasta pronunciar el séptimo número que fue el
53. ¿En qué número inició el conteo?
2. Hace 4 años la edad de Karen era 4 veces la edad que tenía su hijo y dentro de 9 años
excederá en 1 año al doble de la edad que tendrá su hijo. ¿Qué edad tiene el hijo?
3. Se ha encuestado a un grupo de 132 alumnos preguntando qué les gusta jugar: básquet o
fútbol. El resultado fue el siguiente: a 16 alumnos les gusta jugar básquet y fútbol; el número
de alumnos a quienes les gusta jugar fútbol es el doble del número de alumnos a quienes les
gusta jugar básquet y el número de alumnos a quienes no les gusta jugar ni básquet ni fútbol
es la mitad de quienes solo gustan de jugar fútbol. ¿A cuántos alumnos les gusta jugar fútbol?
4. El siguiente triángulo numérico está formado por todos los números impares en forma
correlativa. Calcula la suma de todos los números ubicados en la fila 21.
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
M
1
3
7
13
5
9
15
11
17
19
N
O
5. Saulo entra a su cuarto y observa que las dos manecillas de su reloj están superpuestas
marcando el mediodía. Se queda viendo el reloj esperando que las manecillas se vuelvan a
superponer, para lo cual debe esperar exactamente m minutos (m no es un número entero).
Encuentra el valor de 11m.
6. ¿Cuántos números de tres dígitos son divisibles por 45 y además sus dígitos, en algún orden,
forman una progresión aritmética?
7. A, B y C juegan cartas. Cada uno comienza y finaliza con una cantidad entera de nuevos
soles. Al inicio del juego, A tenía 3 nuevos soles por cada 5 nuevos soles que B tenía, pero
ambos terminan con la misma cantidad de dinero. Por otro lado, C tenía, al inicio del juego, la
misma cantidad de dinero que A tenía, pero finaliza con la misma cantidad de dinero con la
que B finaliza. ¿Cuál es la menor cantidad de nuevos soles que pudo haber perdido B?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Cada uno de los siguientes números 1, 2, 3,…, 25 se ha escrito en una de las casillas de un
tablero cuadrado de 5 × 5 casillas, de tal forma que los números en cada fila (horizontal) están
ordenados en forma creciente de izquierda a derecha. Halla el máximo valor posible de la
suma de los números que están en la tercera columna (vertical).
9. Se denominan números irregulares a los enteros positivos que no son divisibles por ninguno
de sus dígitos. Por ejemplo, 207 es irregular puesto que no es divisible por 2, no es divisible
por 0 y no es divisible por 7. Si el producto de los números irregulares 23a y b9 da como
resultado el número irregular cdef , calcula a + b + c + d + e + f .
10. Se tienen n números naturales consecutivos de cinco dígitos cada uno y tales que ninguno de
ellos puede ser expresado como el producto de dos números naturales de tres dígitos. Halla el
mayor valor posible de n.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Segunda Fase – Nivel 2
19 de agosto de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. La suma de dos números es 41. Si se disminuye en 6 unidades el primero y se aumenta en 5
unidades el segundo, el producto de estos nuevos números aumenta en 10 unidades con
respecto al producto de los números iniciales. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor
de tales números iniciales?
2. Sea x un número real mayor que 1 que satisface la siguiente igualdad:
3
4
Halla el valor de
1
x
x
=
x
3 4
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ x⎠
n
1
(n + 3) .
4
3. Ayer recibiste una cierta cantidad de problemas y sólo pudiste resolver 70, quedándote
más de la mitad sin resolver. Hoy recibiste 6 nuevos problemas y resolviste 36,
quedándote sin resolver, en total, menos de 42 problemas. ¿Cuántos problemas recibiste
ayer?
4. En la siguiente figura las rectas L1 y L2 son paralelas. Si x º + y º = 230º , calcula el valor de
a.
L1
150°
(150+a)°
x°
y°
L2
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
5. El siguiente triángulo numérico está formado por el -1 y todos los números impares positivos
en forma correlativa. Calcula la suma de todos los números ubicados en la fila 20.
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
M
-1
1
5
11
3
7
13
9
15
17
N
O
6. Sean x , y , z números reales positivos tales que xyz = 1 . ¿Cuántos valores enteros
puede tomar la expresión:
1
1
1
+
+
?
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
7. Juan debe escribir en la pizarra varios números enteros positivos distintos entre sí, de
modo que se cumplan las siguientes condiciones:
• El máximo común divisor de dos números cualesquiera tiene que ser mayor que 1.
• El máximo común divisor de tres números cualesquiera tiene que ser igual a 1.
• Cada número escrito tiene que ser menor que 5005.
¿Cuántos números, como máximo, podrá escribir Juan?
8. Sea f (n) el entero mas cercano a
n . Calcula
9
9
9
9
.
+
+
+ ... +
f (1) f (2) f (3)
f (2005)
9. En un tablero cuadriculado de 123 × 123 casillas, cada casilla es pintada de rojo o azul de
acuerdo a las siguientes condiciones:
•
•
Cada casilla pintada de rojo que no esté en el borde del tablero tiene exactamente 5
casillas azules entre sus 8 casillas vecinas.
Cada casilla pintada de azul que no esté en el borde del tablero tiene exactamente 4
casillas rojas entre sus 8 casillas vecinas.
Halla el número de casillas pintadas de rojo en el tablero.
Nota.- Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice común.
10. Sea n un número entero positivo de tres dígitos. Se multiplican sus dígitos para obtener otro
número como resultado. Se multiplican los dígitos de este nuevo número para obtener un
tercer número. Después de repetir este proceso cierta cantidad de veces se obtiene como
resultado el número 4. Entre todos los valores que puede tomar n , ¿cuál es el segundo
mayor?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Segunda Fase – Nivel 3
19 de agosto de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En la siguiente figura O es el centro de las circunferencias que contienen a los arcos AB y CD.
La longitud del arco AB es 8 unidades, la longitud del arco CD es 12 unidades y la longitud del
segmento AC es 4 unidades. Halla el área del sector circular AOB.
α
β son ángulos agudos complementarios
csc β = 3m − 0,4 . Calcula 5 tan α + 13 cos β .
2. Si
y
3. Si x es un ángulo agudo y
tales que
sec α = m + 1,6
y
θ + φ = 22 o 30' , calcula el valor de la siguiente expresión:
1 − sec(3θ + φ + x) 1 + cot(2θ + 3φ − x)
+
1 − csc(θ + 3φ − x) 1 + tan(2θ + φ + x)
4. ¿Cuántos metros mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, si se sabe
2
que su área es igual a 18m y que
tan A + tan C = 4 cot C . cot A
?
5. Un niño sostiene en una mano dos globos mediante un par de hilos formando un ángulo. El
primer globo está orientado hacia el norte y el segundo hacia el sur. El ángulo de elevación del
primer globo es de 21° y el hilo que lo sostiene mide 3 5 m. El ángulo de elevación del otro
globo es de 24° y el hilo que lo sostiene mide 3 10 m. ¿Cuál es, en metros, la distancia que
hay entre los globos?
6. Dados 7 puntos distintos del plano, se pintan de color rojo los puntos medios de todos los
segmentos determinados por estos puntos. Halla la cantidad mínima de puntos rojos.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 3
1
MINISTERIO DE EDUCACION
7. La función
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
f
, definida en los enteros positivos cumple las siguientes propiedades:
•
f (1) = 1 ,
•
4 f ( n) f ( n + 1) = ( f ( n) + f ( n + 1) − 1) , para todo n ≥ 1 ,
•
2
f
Halla
es creciente.
f (77) .
8. Sean x , y dos números reales tales que
tan 2 ( x + y ) + cot 2 ( x + y ) = 1 − 2 x − x 2 .
Determina el menor valor positivo de y . Da como respuesta
E=
120
π
(1 + π − y ) .
9. En el plano cartesiano, cada punto de coordenadas enteras se denomina punto entero.
Sea
f (n)
la cantidad de puntos enteros que se encuentran en el segmento que une el
origen de coordenadas con el punto entero
valor de
( n, n + 3)
(sin contar los extremos). Halla el
f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2005) .
10. En un círculo de centro O se trazan dos cuerdas perpendiculares entre sí. La distancia de
O a una de ellas es 9 unidades y de O a la otra es 5 unidades. Las cuerdas dividen al
círculo en cuatro regiones. Considera la suma de las áreas de las regiones de mayor y
menor área, y la suma de las áreas de las otras dos regiones. Halla la diferencia entre
estas dos sumas.
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 3
2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Tercera Fase – Nivel 1
30 de setiembre de 2005
-
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
La respuesta de cada problema es un número entero.
1. Un número entero positivo tiene tres dígitos. El dígito de las centenas es igual a la suma de los
otros dos dígitos, y el cuádruplo del dígito de las unidades es igual a la suma de los dígitos de
las decenas y de las centenas. Halla este número.
2. En un colegio hay 170 estudiantes en el primer año de secundaria. Algunos de ellos asisten a
los talleres de matemática, de danza o de deportes, que se llevan a cabo por las tardes. Se
sabe que:
65 estudiantes asisten al taller de matemática.
96 estudiantes asisten al taller de danza.
94 estudiantes asisten al taller de deportes.
35 estudiantes asisten solamente al taller de danza.
42 estudiantes asisten a los talleres de danza y deporte.
40 estudiantes asisten a los talleres de matemática y deporte.
22 estudiantes asisten a los tres talleres.
¿Cuántos estudiantes de primer año de secundaria asisten por lo menos a uno de estos
talleres?
3. El número de alumnos de un colegio está entre 500 y 1000. Si se forman grupos de 3, cada
alumno queda en un grupo, y si se forman grupos de 5 también. Si el número de alumnos de
cada salón es igual al número de salones, halla el número de alumnos del colegio.
4. ¿Cuántos números de tres cifras existen, tales que el producto de sus cifras sea un número
par? (Recuerda que 0 es número par.)
5. Ricardo, Sara y Teresa tienen 12, 15 y 19 años de edad, respectivamente. Ricardo escribió en
_
la pizarra el número 0, 8 , Sara escribió
0,888 y Teresa 0,888 . Halla la suma de las edades
de quienes escribieron el mayor y el menor número.
6. Un entero positivo es llamado “amiguero” si los dígitos de dicho entero se pueden dividir en
dos grupos de tal forma que la suma de los dígitos de un grupo sea igual a la suma de los
dígitos del otro grupo. Por ejemplo, 725 es amiguero porque 7 = 2 + 5 y 48103 es amiguero
porque, 8 + 0 = 4 + 1 + 3. Halla el menor entero positivo n de tal forma que n y n+1 sean
amigueros.
7. Llamamos “paso” aplicado a un número, cuando se le multiplica por 2 ó cuando se le
disminuye en 3 unidades. ¿Cuál es el menor número de pasos que se deben aplicar para
obtener el número 25, partiendo del número 11?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 1
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Ana y su hermana Frida tienen nueve monedas cada una. Las monedas que ellas tienen
son solamente de 10 céntimos y de 20 céntimos. Ana coloca sus monedas sobre una hoja
de papel y dibuja cuatro circunferencias cada una de las cuales encierra a cuatro
monedas de la siguiente manera:
10
20
20
10
10
10
20
20
10
Se puede ver que las cantidades de dinero que contienen las circunferencias de Ana son
50 céntimos, 60 céntimos, 60 céntimos y 50 céntimos.
Frida coloca sus monedas de manera similar y nota que sus cuatro circunferencias
contienen exactamente 50 céntimos cada una.
Si Frida tiene en total M céntimos, ¿cuántos valores posibles tiene M?
9. Un entero positivo N está compuesto únicamente por los dígitos 0 y 1, y es divisible por 2475.
Halla la menor cantidad de cifras que puede tener N.
10. En las caras de un cubo se escriben diferentes enteros positivos, un número en cada
cara, de tal forma que los números en dos caras vecinas cualesquiera difieren al menos
en 2. Halla el menor valor posible de la suma de estos seis números.
Nota: Dos caras de un cubo son vecinas si tienen una arista común.
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 1
2
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Tercera Fase – Nivel 2
30 de setiembre de 2005
-
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
La respuesta de cada problema es un número entero.
1. En el triángulo ABC, los puntos D y M se encuentran sobre los lados AC y BC,
respectivamente. Se sabe que AB = BD , ∠DBC = 48 y ∠ABD = ∠MAC = ∠BCA .
Halla, en grados sexagesimales, el menor ángulo que forman los segmentos AM y BD.
o
2. En el centro de un terreno rectangular de 60m × 80m se construirá una piscina rectangular
de modo que el espacio restante constituya un sendero de ancho uniforme que rodeará a
la piscina. El área que ocupará la piscina es
1
del área del terreno. ¿Cuántos metros
6
mide el ancho del sendero?
3. ¿Cuántos números enteros positivos de tres cifras tienen algún 7 en su escritura?
4. Si x es un número real mayor que 1, simplifica
x −1
3x −1 + 4 x −1 + 6 x −1
41− x + 61− x + 81− x
5. Si p y q son números enteros positivos tales que
5 p 7
< < ¿cuál es el menor valor de p
8 q 8
si se debe cumplir que p + q = 2005?
6. Sean x e y números enteros tales que 4x + 5y = 7. Halla el mínimo valor de 5|x| - 3|y|.
7. Dado el siguiente polinomio:
P ( n ) = n 3 − n 2 − 5n + 2
Halla la suma de los valores absolutos de los enteros n , de modo que P 2 (n) sea el
cuadrado de un número primo.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 2
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. Las fichas de dominó son rectángulos cada uno de los cuales está formado por dos
cuadrados. Cada uno de estos cuadrados tiene un número de puntos entre 0 y 6,
inclusive. El siguiente gráfico muestra las 28 fichas de dominó existentes.
Se coloca en cierto orden las 28 fichas de dominó en un rectángulo de 7×8. En el diagrama se
muestra la cantidad de puntos existentes en cada posición.
6
4
0
0
1
4
3
0
4
4
5
4
5
6
4
2
6
1
2
2
6
2
1
5
1
3
0
3
2
5
6
1
0
6
4
3
3
1
0
2
6
5
3
5
5
2
1
3
3
6
1
2
4
0
5
0
¿Cuál es el número de fichas que se encuentran completamente incluídas en la zona
sombreada del rectángulo?
9. Si
b
c ⎞
(a − b)(b − c)(c − a ) 19
⎛ a
=
, calcula E = 99⎜
+
+
⎟.
(a + b)(b + c)(c + a ) 99
⎝a+b b+c c+a⎠
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 2
2
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
10. En un tablero de ajedrez, de 8×8 casillas, un rey se encuentra en la casilla R. Cada
movimiento del rey es el desplazamiento de una casilla, horizontalmente, verticalmente o
en diagonal.
S
R
¿De cuántas formas puede ir el rey de la casilla R a la casilla S en exactamente 8
movimientos?
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 2
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Tercera Fase – Nivel 3
30 de setiembre de 2005
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La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
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Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
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grabación de tus respuestas.
La respuesta de cada problema es un número entero.
1. Si senα − cos α =
1
3
3
, calcula el valor de P= 360( senα cos α + sen α cos α ) .
3
2. En el centro de la cara superior de una caja cúbica de 512 cm3 de volumen se pega otra caja
cúbica de 8 cm3 de volumen. Halla, en cm2, el área total de la superficie del sólido resultante.
sen x cos x
toma tres posibles valores a , b y c (a < b < c) , cuando x es
+
sen x cos x
un ángulo no cuadrantal. Calcula K = 2a + 4b + 6c .
3. La expresión
4. ¿Para qué valor de n es válida la siguiente identidad?
(sen x + sec x )2 + 1 + cos 2 x = 2 + (1 + tan
5. Dado un triángulo ABC, donde se cumple que
sen A − cos 2 A .
x) n
cos A cos B cos C a
+
+
= , calcula
a
b
c
bc
6. En un triángulo ABC, los ángulos A y B satisfacen 3 A + 2 B = 180° . Si el lado AB mide 8 y
el lado BC mide 4, halla la longitud del lado AC.
7. En el tablero mostrado, cada una de las casillas blancas contiene un dígito que puede ser
1, 2 ó 3, de tal modo que los números formados por todos los dígitos escritos en casillas
adyacentes, leyendo de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo ( 211, 31, 223, y 11)
cumplen las siguientes condiciones:
a) Cada número es primo
b) Todos los números primos así formados son diferentes.
2
2
3
1
1
1
1
En las casillas en blanco del siguiente tablero, escribe los dígitos 1, 2 ó 3 , de modo que
los números de dos o tres dígitos formados como se ilustró en el tablero anterior, cumplan
las condiciones (a) y (b).
¿Cuál es el mayor valor que puede tener la suma de todos estos números primos?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 3
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MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. En un triángulo ABC se cumple que
tan A tan B tan C
=
=
.
1
2
3
2
⎛ AC ⎞
⎟ .
⎝ AB ⎠
Halla 720⎜
9. Sea S = 1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
80
. Halla el entero n tal que n −1 < S < n .
10. Hallar de cuántas maneras se pueden elegir subconjuntos A, B y C del conjunto {1,2,3,4} ,
para que se cumplan simultáneamente las siguientes tres condiciones:
A∩ B∩C =φ ,
•
•
•
A∩ B ≠ φ ,
A∩C ≠ φ
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
¡NO OLVIDES GRABAR TUS RESPUESTAS!
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 3
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Cuarta Fase – Nivel 1
19 de noviembre de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
Cada problema bien resuelto y debidamente justificado se calificará con 25 puntos.
Entrega sólo tu cuadernillo de soluciones.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TU DESARROLLO
1. Un artesano fabricó cierta cantidad de ollas de barro el día lunes. El martes fabricó 20 ollas
más, con lo cual llegó a tener más de 64 ollas. El día miércoles se dedicó solamente a vender
las ollas que tenía y logró vender 40 ollas. Después de su venta observa que aunque tuviera el
doble de lo que le queda, no llegaría a tener 60 ollas. ¿Cuántas ollas pudo haber fabricado el
artesano el día lunes? Considera todas las posibilidades.
2. Ocho cubitos idénticos, los cuales tienen puntos en sus caras, han sido pegados para formar
un cubo grande como el que se muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos puntos como mínimo puede haber en total en las tres caras ocultas del cubo
grande?
Nota: Ten en cuenta que los cubitos no son como los dados que comúnmente se usan para
juegos de azar.
3. María escribió en la pizarra todos los números de cuatro cifras que son cuadrados
perfectos y Juan escribió debajo de cada uno de estos números la suma de sus cifras.
¿Cuál es el mayor número que escribió Juan?
4. En un tablero cuadriculado de 5 filas y 401 columnas se deben escribir los números del 1 al
2005, uno en cada casilla.
(a) ¿Cómo puedes ubicar los números en el tablero para que la suma de los números de cada
fila sea múltiplo de 5 y la suma de los números de cada columna también sea múltiplo de
5?
(b) ¿Cómo puedes ubicar los números en el tablero para que la suma de los números de cada
fila sea múltiplo de 17 y la suma de los números de cada columna también sea múltiplo de
17?
Nota: Las filas son horizontales y las columnas son verticales.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Cuarta Fase - Nivel 1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Cuarta Fase – Nivel 2
19 de noviembre de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
Cada problema bien resuelto y debidamente justificado se calificará con 25 puntos.
Entrega sólo tu cuadernillo de soluciones.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TU DESARROLLO
1. Las familias Pérez, Vásquez y Robles crían ovejas. Entre las tres familias tienen 162 ovejas.
Además se sabe que los Pérez tienen el doble de ovejas que los Vásquez, mientras que los
Robles tienen las tres cuartas partes de ovejas que los Pérez. Halla el número de ovejas que
tiene cada familia.
2. En el tablero cuadriculado que se muestra, se coloca una ficha en cada casilla blanca.
Una jugada consiste en elegir tres casillas del tablero, que formen una “escuadra” en
cualquiera de las formas que se muestran a continuación,
y añadir una ficha en cada una de estas tres casillas. Explica cómo realizar varias jugadas,
para conseguir que las 25 casillas tengan la misma cantidad de fichas.
3. Encuentra todos los números naturales de cuatro cifras que coinciden con la suma de las
potencias quintas de sus cifras.
4. En una lista infinita de enteros no negativos se cumple que, a partir del tercer término, cada
uno de ellos es igual al valor absoluto de la diferencia entre los dos términos inmediatamente
anteriores. Demuestra que en esta lista hay infinitos términos iguales a cero.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Cuarta Fase - Nivel 2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Cuarta Fase – Nivel 3
19 de noviembre de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
Cada problema bien resuelto y debidamente justificado se calificará con 25 puntos.
Entrega sólo tu cuadernillo de soluciones.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TU DESARROLLO
1. Si p =
(1 − cos x )(1 + sen x )
y q = (1 + cos x )(1 − sen x ) , escribe la expresión
cos 2 x − cos 4 x – sen 2x + 2
en términos de p y q .
α , β y θ son mayores que 0 y
menores que 60. Halla el valor de θ sabiendo, además, que α + β = 2θ y que
sen α sen β senθ = sen (60 − α ) sen (60 − β ) sen (60 − θ )
2. Las medidas, en grados sexagesimales, de los ángulos
A, B, C , D cuatro puntos distintos sobre una recta l , de tal modo que
AB = BC = CD . En uno de los semiplanos determinados por la recta l , se eligen los
puntos P y Q de tal manera que el triángulo CPQ es equilátero con sus vértices
nombrados en sentido horario. Sean M y N dos puntos del plano tales que los
3. Sean
triángulos MAP y NQD son equiláteros (los vértices también están nombrados en sentido
horario). Halla el ángulo ∠MBN .
Aclaración: Los vértices del triángulo equilátero RST que se muestra, están nombrados en
el sentido horario
R
T
S
4. En el tablero cuadriculado que se muestra, se coloca una ficha en cada casilla blanca.
Una jugada consiste en elegir cuatro casillas del tablero que forman una “T” en cualquiera de
las formas que se muestran a continuación,
y añadir una ficha en cada una de estas cuatro casillas. ¿Será posible, luego de realizar varias
jugadas, conseguir que las 25 casillas tengan la misma cantidad de fichas?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Cuarta Fase - Nivel 3
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Primera Fase – Nivel 1
9 de junio de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Al simplificar la expresión S = 1 – (2 - (3 - (4 - 5))) – (6 - (7 - (8 - (9 - 10)))) se obtiene
A) 0
2.
B) -53
C) -15
D) -10
E) -5
Un alambre se corta en dos partes, en la razón 3 a 2 y con cada una de las partes
se forma un cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el perímetro del cuadrado más grande
y el perímetro del cuadrado más pequeño?
A) 9 a 4
3. Si
B) 3 a 2
C) 5 a 3
D) 5 a 2
E) 12 a 5
D) 3
E)
1
1
= 4 entonces
es
n+5
n+6
A) 5
B)
5
4
C)
4
5
1
5
4. ¿Cuántos números enteros n satisfacen la siguiente desigualdad?
3 n 2
<
<
7 14 3
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5. Jacinto decidió dividir su terreno cuadrado en cinco parcelas rectangulares iguales,
como muestra la figura. Si el perímetro de cada parcela mide 150 metros, calcula el
perímetro del terreno cuadrado.
A) 250
B) 300
C) 450
D) 600
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
E)750
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
6. Las dimensiones de un rectángulo son 20 cm y 50 cm. Si el largo se aumenta en un
20% y el ancho se disminuye en un 20%, entonces el área:
A) aumenta en 8%
B) aumenta en 4%
C) no varía
D) disminuye en 4%
E) disminuye en 8%
7. ¿Cuántos números primos de dos dígitos cumplen que la suma de sus cifras es 11?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E)5
8. Halla el mayor número de veces que el número 2 está como factor en el producto
20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
A) 10
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
9. A una institución de caridad llegó una donación de 969 tarros de leche, 1102
paquetes de fideos y 779 bolsas de avena. Se desea repartir todos los productos
armando paquetes iguales y que contengan los tres productos. ¿Cuántos paquetes
como máximo se pueden formar?
A) 17
B) 19
C) 29
10. Dadas las siguientes afirmaciones:
I: par II: impar III: cuadrado perfecto
D) 41
E) 57
IV: múltiplo de 5
Entonces es verdad que el producto 21 x 35 x 15 es
A) II y IV
B) I y IV
C) II y III
D) III y I
E) II, III y IV
11. Un grupo de 64 turistas visita la ciudad de Moquegua. La cantidad de turistas que
visitaron Omate es el doble de los que visitaron Ubinas, y la cantidad de turistas que
visitaron solo Ubinas es igual a los que no visitaron ni Omate ni Ubinas. Si 8 turistas
visitaron Omate y Ubinas ¿cuántos visitaron sólo Omate?
A) 8
B) 12
C) 16
D) 32
E) 40
12. ¿Cuántos números enteros entre el 1 y el 100 son múltiplos de 6, pero no de 9?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
13. Halla el menor número por el cual hay que dividir a 108675 para que el cociente sea
un cuadrado perfecto.
A) 805
B) 543
C) 483
D)
110
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
E) 161
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
14. David tiene dinero para comprar 2006 pelotas, sólo de los colores azul y rojo. La
compra la realiza alternando los colores de la siguiente manera: primero compra una
azul, luego dos rojas, luego tres azules, y así sucesivamente hasta que totalice 2006
pelotas, aunque tuviera que romper la secuencia numérica en la última compra.
¿Cuál es la diferencia entre el número de pelotas rojas y azules que tiene David,
luego de comprar las 2006 pelotas?
A)
53
B) 31
C) 62
D) 22
E) 84
15. Si a, b y c son números enteros positivos diferentes entre sí, ¿cuál es el menor valor
de a + b – c, si se sabe que a > 4, b > 5 y c < 7?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
16. Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números que cumplen:
a = 100, b =
2
3
4
5
6
7
, c= , d= , e= , f= , g=
f
a
b
c
d
e
y h=
8
g
Halla el producto abcdefgh
A) 384
B) 400
C) 420
D) 480/7
E)500/3
17. M es un número de dos cifras ab , N es un número de tres cifras cde .
Si 9MN = abcde , hallar M + N
A) 122
B) 123
C)
124
D) 125
E) 126
18. La profesora le pide a Raúl que diga en voz alta un número natural x, a continuación,
la profesora escribe en la pizarra los números: x+2, 2x+2 y 4x+4. ¿Para cuántos
valores de x se cumple que el promedio de los números escritos en la pizarra es un
múltiplo del número que dijo Raúl ?
A) 0
B) 4
C) 3
D) 1
E) 2
19. Un conjunto de 20 números enteros positivos se llama “extraño” si cumple las
siguientes condiciones:
a) 10 son pares y 10 son impares
b) Ningún par de números son consecutivos
¿Cuál es la menor suma posible de todos los elementos de un conjunto extraño?
A) 400
B) 420
C) 410
D) 440
E) 450
20. Halla el valor de K, sabiendo que es un número entero que cumple
1335 + 1105 + 845 + 275 = K5.
A)
134
B) 144
C) 154
D)
164
E) 174
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 1
3
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Primera Fase – Nivel 2
09 de junio de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. ¿Cuántos números enteros n satisfacen la siguiente desigualdad?
3 n 9
< <
8 6 5
A) 10
B) 12
C) 8
D) 94
E) 7
2. ¿Cuántos números enteros mayores que 1 cumplen con la siguiente condición: la tercera
parte del número más 15 es mayor que su mitad más 1?
A)
3. Si
14
B) 82
C)
28
D)
83
E) 42
D)
5
4
E)
1
1
es
= 4 entonces
2k + 7
2k + 5
A)
4
9
B)
4
5
C) 6
2
9
4. Tres números enteros positivos distintos suman 84, ¿cuántos valores distintos puede
tomar el segundo mayor?
A) 40
B) 82
C) 28
D) 42
E) 84
5. ¿Cuántos números primos de dos dígitos cumplen que la suma de sus cifras es 11?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E)5
6. En un triángulo LOT, la medida del ángulo exterior en el vértice O es 620 , las
mediatrices de LO y OT cortan al lado LT en M y N respectivamente. ¿Cuál es la medida
del ángulo MON?
A) 31
B) 62
C)
124
D)
56
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
E) 26
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
7. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, FC es bisectriz del ángulo EFD. Calcula el valor
de x.
A) 950
B)1000
C)
1050
D)
1100
E) 1200
8. En la siguiente tabla se muestran los valores hallados para la función f ( x) = x m − p ,
0
-5
x
f(x)
1
-4
2
-1
3
4
4
a
Halla a-m
A) 4
B) -4
C)
1
D)
E) 9
8
9. Al escribir el número 3 a la derecha del número R que tiene dos cifras, se obtiene otro
número que es igual a R aumentado en 246 unidades. El producto de las cifras de R es:
A) 14
B) 15
C) 18
D)
21
E) 24
10. Al aumentar 6 m al largo y ancho de un terreno rectangular, su área queda aumentada
en 168 m2. Halla el perímetro del terreno.
A) 44 m
B) 22 m
C)
48 m
D) 52 m
E) 56 m
11. La expresión x#y sólo es válida si x=2 mn , y=3 nm , donde m y n son enteros positivos
con n≠ 1. Si se define
expresión 128 # y.
A)
5
x#y= m 2 + n 2 , halla el máximo valor que puede tomar la
B) 2 17
C)
2 10
D)
4097
E) 768
12. Al sumar el cuadrado de la suma de las cifras de un número de 2 cifras con dicho
número se obtiene el número original con las cifras invertidas. Calcula la suma de
valores que puede tomar dicho número.
A) 72
B) 37
C)
63
D)
36
E) 27
13. Calcula el mínimo valor de f ( x) = 32 − 8 x + x 2
A) 4
B) 0
C)
2
D) 4 2
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
E)
17
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
14. Un padre brasileño, emocionado por el mundial, decide darle una propina a su hijo. Por
el total de goles que meta cada jugador de la selección brasileña le dará en dólares el
equivalente al cuadrado de esos números. Si se sabe que solo metieron goles
Ronaldhino, Ronaldo y Kaká, que anotaron en total 13 goles y que su hijo recibió 57
dólares en total. ¿Cuántos goles anotó Ronaldhino, si fue el que más goles anotó?
A) 4
B) 3
C)
5
D)
6
E) 7
15. Calcula a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , si abcd = a.( ab − 3).( dc − 1) , donde cada factor mostrado de
abcd es primo y además d es par.
A) 101
B) 40
C)
30
D)
61
E) 130
16. Se tienen k números enteros positivos no necesariamente diferentes cuya suma de sus
potencias cuartas es 370. Calcula el menor valor de k.
A)
4
B) 5
C)
6
D)
7
E) 8
17. Jorge escribe en la pizarra los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, … obteniendo cada uno de ellos
como la suma de los dos anteriores, excepto el primero y el segundo. Si x e y son los
números que ocupan las posiciones 2004 y 2006 respectivamente. Calcula el máximo
común divisor de x e y.
A) 2
B) 1
C)
2006
D)
2004
E) 2005
18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos tienen la propiedad que la suma de sus dígitos es
mayor que 33?
A) 11
B)13
C) 15
D) 18
E) 20
19. Andrea escribe un número de dos cifras, luego, Beatriz suma los cuadrados de las cifras
del número escrito por Andrea y finalmente, Camila suma los cuadrados de las cifras del
número escrito por Beatriz. ¿Cuál es el mayor valor que puede obtener Camila?
A) 41
B) 130
C) 145
D) 157
E) 162
20. Sea ABCD un cuadrilátero tal que AC=BC+CD. Si la medida del ángulo BCD es 1200 y CA es su
bisectriz y además AB=5cm, el valor de BD es:
A)
2,5
B) 5 3
C)
10
D)
5
E) 7,5
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2
3
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Primera Fase – Nivel 3
09 de junio de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
-
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
−1
0
42
⎛ 2⎞
1. Si K = 7 + ⎜ ⎟ + 4
2
⎝ 3⎠
A) 74
1/2
y
J=K
B) 76
⎛K⎞
+ (1 - K) + ⎜ ⎟ , el valor de J + K es:
⎝ 27 ⎠
2
C) 77
D) 78
E) 79
2. Sea ABC un triángulo rectángulo recto en C. Calcula:
sen A + sen B + sen 45o
cos A + cos B + cos 45o
2
2
A)
B)1
C) 2
2
D)
E)
1
2
3. Una escalera recta apoyada en una planta vertical de coco forma un ángulo de 60° con
la horizontal del suelo. La escalera mide 4 metros de largo y se verifica que del
extremo superior de la escalera aún faltan 3 metros para llegar al primer fruto de coco.
La distancia que hay desde el suelo hasta el punto donde se encuentra el primer coco es
A) mayor que 9 metros
B) mayor que 8 metros y menor que 9 metros
C) mayor que 7 metros y menor que 8 metros
D) mayor que 6 metros y menor que 7 metros
E) mayor que 5 metros y menor que 6 metros.
4. Las longitudes de los lados de un rectángulo de área 108 m2 se diferencian en 3 metros.
Halla la menor razón trigonométrica del ángulo formado por la diagonal y uno de los
lados.
A)
1
3
B)
3
5
C)
2
3
D)
1
4
E)
1
5
5. Se sabe que x sen A + y cos A = x ; ( x ≠ ± y )
Halla cos ec A en función de x e y , asumiendo que 0° < A < 90° .
A)
x+ y
x− y
B)
x− y
x+ y
C)
x2 − y 2
x2 + y2
D)
x2 + y2
x2 − y2
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
E)
x2
y2
1
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
6. En un triángulo rectángulo las medidas de las longitudes de sus lados son 8, x + 5
x + 7. Halla el seno del mayor de los ángulos agudos del triángulo, si x > 3.
A)
3
5
B)
8
17
C)
15
17
D)
2
3
E)
y
4
5
7. Un padre brasileño, emocionado por el mundial, decide darle una propina a su hijo. Por
el total de goles que meta cada jugador de la selección brasileña le dará en dólares el
equivalente al cuadrado de esos números. Si se sabe que solo metieron goles
Ronaldhino, Ronaldo y Kaká, que anotaron en total 13 goles y que su hijo recibió 57
dólares en total. ¿Cuántos goles anotó Ronaldhino, si fue el que más goles anotó?
A) 4
B) 3
C)
5
D)
6
E) 7
8. La expresión x#y sólo es válida si x=2 mn , y=3 nm , donde m y n son enteros positivos
x#y= m 2 + n 2 , halla el máximo valor que puede tomar la
con n≠ 1. Si se define
expresión 128 # y.
A)
5
B) 2 17
C)
2 10
E) 768
4097
D)
9. Si α y β son ángulos agudos y α > β, entonces
A) sen (α
B) sen (α
C) sen (α
D) cos (α
E) sen (α
- β) > sen α
- β) < sen α
- β) = sen α
- β) = sen α
- β) < cos α
- sen β
- sen β
- sen β
- sen β
- cos β
10. Halla la suma de las soluciones de la ecuación 2( sen x + cos x) 2 = 2 + 3 , siendo x un
ángulo agudo.
A) 90°
B) 180°
C) 270°
D) 360°
E) No hay solución
11. Se tiene un cuadrado ABCD . Se ubica el punto M en CD tal que DM = 2MC. Sea F el
punto de intersección de BD y MA. La recta CF interseca a AD en N. Calcula
A)
4
B) 0.5
C)
0.2
D)
0.25
AN
.
ND
E) 2
12. ABCD es un cuadrilátero con AB = 8, BC = 6, BD = 10,
∠DAB = ∠CDA y ∠ABD =∠ BCD. Hallar CD
A)10
B) 12
C)
25
2
D)
64
5
E) 16
13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos N y M en CB y AB,
respectivamente, de modo que CN = 6, NB = 4 y AM – MB = 1. Si O es el punto de
intersección de las rectas AN y MC; y los triángulos AOM y CON tienen igual área,
calcula la tangente del ángulo OMB.
A) 1
B)
1
5
C) 5
D)
1
3
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
E) 3
2
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
14. ABC es un triángulo con AB = 9, BC = 15 y CA = 16. D es un punto de AC tal que la
medida del ángulo ABD es el doble de la medida del ángulo DBC. Halla el coseno del
ángulo ADB.
A)
3
2
B)
2
2
C)
4
5
D)
3
5
E)
1
2
15. Los enteros positivos A, B, C y D satisfacen A5 = B4, C3 = D2 y C = A + 19. Encontrar
D–B.
A) 757
B) 697
C) 728
D) 968
E) 657
16. Sean a, b, c, d números reales cuya suma es cero y sean
E=
a2
b2
c2
d2
+
+
+
(a + 2b) (b + 2c) (c + 2d ) (d + 2a )
F=
b2
c2
d2
a2
+
+
+
(a + 2b) (b + 2c) (c + 2d ) (d + 2a )
Halla la cantidad de valores enteros que toma
A) 0
B) 1
E
.
F
C) 2
D) 3
E) 4
17. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 5 y BC = 6. El punto D está en AC y P
es un punto en BD tal que <APC = 90°. Si <ABP = <BCP, calcula
A)
1
4
B)
1
2
C)
1
3
D)
AD
.
DC
1
2
E) 1
18. En el cuadrado ABCD de lado 4 2 , la región sombreada está
limitada por arcos de circunferencias con centros en los vértices
del cuadrado, como se muestra en la figura:
Calcula el área de la región sombreada.
A) 16(π − 2)
B) 4(π − 1)
C)
8(π − 2)
D)
2(π − 2)
E) 12(π − 2)
19. En un triángulo se cumple: sus alturas están en progresión geométrica y sus lados en
progresión aritmética. Calcula la suma del mayor y menor ángulo de dicho triángulo.
A) 1270
B) 900
C) 1350
D) 1200
E) 1500
20. En un tablero de 5x5, ¿de cuántas maneras se pueden colocar tres fichas idénticas,
cada una en el centro de una casilla, de tal modo que formen un triángulo rectángulo con
catetos paralelos a los lados del tablero?
A) 25
B) 100
C) 400
D) 625
E) 16
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 3
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Segunda Fase – Nivel 1
18 de agosto de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1. Los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 son usados una vez cada uno para escribir un número de
________
____
cinco dígitos abcde de modo que el número de tres dígitos abc es divisible por 4,
____
____
el número de tres dígitos bcd es divisible por 5 y el número de tres dígitos cde es
________
divisible por 3. Halla el número abcde
2. Los boletos para un sorteo están numerados del 001 al 999. ¿Cuántas cifras cero
se han empleado en total?
3. Un hombre compró en el campo una docena de frutas (manzanas y naranjas) por
99 céntimos. Si una manzana cuesta 3 céntimos más que una naranja y compró
más manzanas que naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?
____
4. ¿Cuántos números de tres cifras abc ( a ≠ 0 ) cumplen que a es distinto de b y b
es distinto de c ?
5. Ana invitó a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños. Asignó a cada invitado un
número del 2 al 18, reservándose el 1 para ella misma. Cuando ella y sus amigos
estaban bailando en parejas, se dio cuenta de que la suma de los números de cada
pareja era un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el número de la persona que bailaba con
Ana?
6. Sean a, b
y c tres números reales positivos tales que
1
7a
6b
3c
.
ab + bc + ca = . Halla el valor de
+
+
3
b +1 c +1 a +1
a +b + c =1
y
7. Halla el número de parejas ( x, y ) de números enteros que satisfacen la ecuación
x 2 y 3 = 612
8. De cada subconjunto no vacío de {1,2,3,4,5} tomamos la diferencia entre el mayor y
el menor elemento (si el subconjunto tiene un solo elemento esta diferencia es 0).
Encuentra la suma de las diferencias obtenidas en cada uno de los subconjuntos.
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1
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9. Si (a, b, c, d, e) es un reordenamiento de los números (1, 2, 3, 4, 5), ¿cuál es el
mayor valor que puede tomar ab + bc + cd + de?
10. Sea E = (10a + 11b)(11a + 10b) un entero positivo con
Encuentra el menor valor de E que sea múltiplo de 7.
a y b
enteros.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Segunda Fase – Nivel 2
18 de agosto de 2006
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La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1. ¿Para cuántos valores enteros de k el siguiente sistema de ecuaciones tiene
solución única?
x 2 + y 2 = 2k 2
kx − y = 2k
2. Un número entero positivo es “simpático” si es múltiplo del producto de sus cifras.
Por ejemplo 312 es simpático porque 312=52 (3x1x2). ¿Cuántos números
simpáticos de dos cifras existen?
3. Para cada entero positivo n se define f(n) como el cuadrado de la suma de las
cifras de n. Encuentra f(f(f( …f(2)… ))), donde f se aplica 2006 veces .
4. ¿Cuántos números enteros x cumplen que
x3 + 2 x 2 + 9
es un entero?
x2 + 4x + 5
5. En el lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto P de manera que AB + BP =
PC. Sea R el punto medio de AC. Si la medida del ángulo RPC es 43°, halla la
medida del ángulo ABC.
6. La siguiente lista infinita 149162536... , se ha formado escribiendo los cuadrados
de todos los números enteros positivos, uno a continuación del otro, en orden
creciente. ¿Qué dígito ocupa la posición 1000 en esta lista?
7. Si x 2 − x − 1 es un factor del polinomio ax 7 + bx 6 + 1 , donde a y b son números
enteros, encuentra b − a .
8. Encuentra el mayor entero positivo n para el cual existe un único entero k tal
que
8
n
7
<
< .
15 n + k 13
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9. Halla el menor valor entero que puede tomar la expresión
a
b
c
12(
+
+
)
a+b b+c c+a
siendo a , b y c números reales no negativos para los cuales tengan
sentido las fracciones consideradas.
10.
Se tiene el siguiente tablero de 2 x 6
Halla de cuántas maneras se puede ir desde el punto A hasta el punto
B desplazándose por los segmentos del tablero respetando las
siguientes reglas:
- No se puede pasar dos veces por un mismo punto.
- Sólo se pueden hacer tres tipos de movimientos desplazándose por los
segmentos: hacia la derecha,
hacia arriba,
hacia abajo.
- Se tiene que pasar por el punto C.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Segunda Fase – Nivel 3
18 de agosto de 2006
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La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1. Halla el valor de : 2( cos 2 1° + cos 2 2° + cos 2 3° + ... + cos 2 90° ).
2. En un triángulo rectángulo ABC con catetos AB=20 y AC=21, los puntos D y E
pertenecen a la hipotenusa, siendo BD=8 y EC=9. Calcula, en grados
sexagesimales, la medida del ángulo DAE.
3. Si sen θ + 2 tg θ = 5 , halla el valor de (2 sec θ + 1) 2 − (cos θ + 2) 2 .
4. Si (1 + sec x)(1 + csc x) =
20
, halla 100(sec x − 1)(csc x − 1) .
3
5. En el diagrama, ABC es un triángulo rectángulo con catetos AB=3 y AC=8. A1 es
punto medio de AC y los segmentos BA1, B1A2, B2A3, …, B8A9 son paralelos entre
sí. Además los segmentos A1B1, A2B2 , …, A9B9 son perpendiculares a AC.
Encuentra el valor de:
29 (BA1 +B1A2+B2A3+…+B8A9)
B
B1
B2
A
A1
A2
6. Si 1+3+5+7+ …+(2n+1) = 6+8+10+ … +2m
B3
A3
C
siendo m y n enteros positivos,
halla m+n.
7.
Dada f(x)=sen(2x)+2|sen(x)+cos(x)|, sean M y m el mayor y el menor valor de f(x),
respectivamente. Calcula (M+m)2.
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
8. ¿Cuántos números de siete cifras cumplen simultáneamente las siguientes tres
condiciones?
a) Todas sus cifras son diferentes.
b) Sus cifras pertenecen al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
c) El número es múltiplo de 11.
9. ¿Cuál es el mayor entero positivo par que no puede expresarse como la suma
de dos números impares compuestos?
Nota.- Un número es compuesto si es mayor que 1 y no es primo.
10. Si en un triángulo ABC se cumple que AB = 9 y
BC 40
=
, ¿cuál es el mayor valor
CA 41
posible del área del triángulo ABC?
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Tercera Fase – Nivel 1
6 de octubre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA CORRECTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1.
Andrés observa que cuando cumple 14 años, su padre cumple 41; es decir, el número 14 con las cifras
invertidas.
Si Andrés y su padre vivieran cien años, ¿podrías decir las veces que a lo largo de la vida de ambos
volverá a ocurrir esta situación?
2.
Angélica tiene una cantidad de caramelos menor que 100. La mitad de sus caramelos se la regala a
Beatriz, 2/5 de lo que le queda le da a Carla, 5/9 de lo que todavía le queda le regala a Daniela, y por
último le obsequia a Esther 10 caramelos. ¿Cuántos caramelos le sobra finalmente a Angélica?
3.
Aldo, Bernardo y César resolvieron cada uno exactamente 60 problemas de una lista de 100. Cada
problema fue resuelto por al menos uno de los tres.
Diremos que un problema es fácil si los tres lo resolvieron y que es difícil si sólo uno de los tres lo
resolvió.
Si D es la cantidad de problemas difíciles y F es la cantidad de problemas fáciles, halla D - F.
4.
Los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 son usados para construir tres números de tres cifras (se usan todos los
dígitos y no se repiten) cuya suma es 2547. De los tres dígitos usados como decenas, ¿cuál es el menor?
5.
¿Cuántos números pares de 4 cifras tienen todos sus dígitos distintos?
6.
Sean a, b, c, d y e números donde cada uno vale 1 ó -1. ¿Cuántos valores distintos puede tomar la
siguiente expresión?
abcde( a+ b+ c+ d+ e )
7.
Un computador primitivo consideraba como cero a todos los números reales x que satisfacen la
desigualdad x <
expresión
1
. ¿Para cuántos enteros positivos m, dicho computador consideraba cero a la
2010
m−5
?
2006 m − 2010
8.
¿Cuántos números primos menores que 100 pueden escribirse como la suma de dos números primos y
también como la suma de tres números primos, no necesariamente distintos?
9.
Un número natural se llama extraño si la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al número
aumentado en 6. ¿Cuántos números extraños existen?
10. ¿Cuántos números naturales cumplen las siguientes tres condiciones?
a) Son múltiplos de 7
b) Son menores que 1010
c) Sus dígitos son elementos del conjunto {2, 9 }
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Tercera Fase – Nivel 2
6 de octubre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA CORRECTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1.
Rosa y Susana tienen ciertas cantidades de dinero. Si Rosa le diera a Susana la tercera parte de lo que tiene,
Susana tendría S/. 90 más que Rosa, pero si Susana le diera a Rosa la tercera parte de lo que tiene, Rosa
tendría S/. 50 más que Susana. ¿Qué cantidad de dinero tienen Rosa y Susana juntas?
2. Para dos números enteros positivos a y b llamamos MCD(a ,b) = d
Si se cumple que:
• a>b
• a no es múltiplo de b
• m . d = 60
• m 2 – d 2 = 896
halla a – b
y MCM(a ,b) = m
3.
¿Cuántos números capicúas de 7 dígitos son múltiplos de 4? (El número no puede comenzar con 0.)
4.
¿Para cuántos números enteros x se cumple que x2 + 3x + 5 es un cuadrado perfecto?
5.
Sea f la función que asigna a cada número natural n la suma de los cubos de sus dígitos.
Calcula f( f(...f( 80 )...)) (Aplica 2006 veces f )
6.
Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros, tal que P(1) = 3, P(2) = 7. Calcula el residuo de dividir
P(2006) entre 15.
7.
(a, b, c, d, e, f) es una permutación de (1, 2, 3, 4, 5, 6). Si M es el producto de a, b y c; y N es el producto
de d, e y f, halla el menor valor que puede tomar M + N.
8.
Halla el valor absoluto del coeficiente de x2 en el polinomio
9.
¿De cuántas maneras se puede pintar un tablero rectangular de 4 filas y 5 columnas siguiendo las siguientes
reglas?
a) Cada casilla del tablero se debe pintar de rojo o de blanco
b) En cada columna la cantidad de casillas rojas debe ser igual a la cantidad de casillas blancas.
c) No debe haber 4 casillas del mismo color cuyos centros formen un rectángulo con lados paralelos a
los del tablero.
P ( x) = (1 − x)(1 + 2 x)(1 − 3x)(1 + 4 x)...(1 − 9 x)(1 + 10 x) .
10. ¿Cuántos polinomios p(x) de grado mayor o igual que 1 y de coeficientes enteros cumplen la condición
16 p( x 2 ) = [ p(2 x)] 2 , para todo número real x ?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Tercera Fase – Nivel 3
6 de octubre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA CORRECTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1.
Luis piensa en un ángulo agudo, lo divide entre 2, calcula el coseno del cociente, eleva al cuadrado el
resultado y finalmente lo multiplica por 8. Si la respuesta final es 6, ¿cuántos grados sexagesimales mide el
ángulo que pensó Luis?
2.
N es un número de 21 dígitos, donde todos son iguales a 1 excepto el dígito central. Si N es múltiplo de 7,
¿cuál es el dígito central?
3.
En una mueblería sólo se producen mesas y escritorios. Para producir cada mesa se requiere de 1 hora de
trabajo, y para producir cada escritorio se necesitan 2 horas de trabajo. La mueblería dispone de, a lo más, 16
horas de trabajo y sabe que vendería como máximo 10 mesas y 7 escritorios. Si por cada mesa gana 30 soles y
por cada escritorio gana 90 soles, ¿cuál es la mayor ganancia que puede obtener?
¿Para cuántos valores enteros de a la siguiente ecuación, en la variable x, tiene soluciones reales ?
4.
sen4 x − 2 cos2 x + a 2 = 0
5.
Desde un punto P, exterior a una circunferencia C, se traza la tangente PT y la secante PAB, con A y B en la
circunferencia, estando A entre P y B. Si TA es bisectriz del ángulo BTP , BT = 15 y AT = 10, calcula PT.
6.
¿Cuántos números de cuatro cifras tienen la propiedad que la suma de la cifra de las centenas con la cifra de
las decenas es igual a la cifra de los millares?
7.
En la gráfica, los puntos M, N y S son puntos medios de los radios de la
circunferencia con centro O y la medida del arco PQ es 2θ .
Calcula 3(tg θ + ctg θ )
8.
Un profesor escribe en la pizarra los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y les dice a sus alumnos: "Deben borrar dos
dígitos y los 7 restantes deben ordenarlos adecuadamente para formar un número de 7 dígitos distintos que
sea múltiplo de cada uno de sus dígitos". De los dos dígitos que deben ser borrados para resolver el problema,
¿cuál es el mayor?
9.
Se tienen 40 puntos en el plano, donde no hay tres colineales. A cada punto se le asigna un número del 1 al 40
sin repetición. Luego se une cada par de puntos mediante segmentos de recta de colores azul, rojo o verde, de
acuerdo a las siguientes condiciones:
• Si la suma de los números asignados a los puntos es múltiplo de 3, el segmento correspondiente
será de color azul.
• Si la suma de los números asignados a los puntos disminuida en 1 es un múltiplo de 3, el
segmento correspondiente será de color rojo.
• Si la suma de los números asignados a los puntos disminuida en 2 es múltiplo de 3, el segmento
correspondiente será de color verde.
¿Cuántos triángulos se han formado con sus tres lados de colores distintos?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 3
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
10. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices BD y CE (D en AC y E en AB). Si la medida en grados
sexagesimales del ángulo BDE es 24 y la medida en grados sexagesimales del ángulo CED es 18, ¿cuántos
grados sexagesimales mide el ángulo ABC?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 3
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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Cuarta Fase – Nivel 1
25 de noviembre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de los problemas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TUS SOLUCIONES
1. Considera un tablero de 25 casillas como el que se muestra en la figura.
En cada una de las casillas de la primera fila se escribe una letra A o una letra B y
luego se completa, con letras, de acuerdo con la siguiente regla: si se eligen tres
casillas consecutivas de una fila entonces se escribe debajo de la casilla del centro la
letra que aparece más veces en las 3 casillas escogidas. Por ejemplo, si se tiene:
A
B
A
?
entonces en la casilla marcada con “?” se debe escribir la letra A. ¿Cuál es la
mínima cantidad de letras A que se debe escribir en la primera fila para asegurar
que, en cualquier orden en que estas se escriban, siempre se tenga una letra A en la
casilla de la última fila?
2. Encuentra todos los enteros positivos n que tienen 12 divisores que cumplen las dos
condiciones siguientes:
• Ordenados de menor a mayor son:
1 = d1 < d 2 < d3 < d 4 < d5 < d 6 < d 7 < d8 < d9 < d10 < d11 < d12 = n
• d3 + d6 =14.
3. Sea T un conjunto formado por enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si
x, y son elementos distintos de T, con x > y, entonces x-y tiene todos sus dígitos
en el conjunto {2; 3; 6; 9}.
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener T?
4. Un tablero se denomina “completable” si es posible escribir en cada una de sus
casillas un entero positivo de acuerdo con las siguientes reglas:
•
En cada columna, el número de cada casilla es menor o igual que el número de
cualquier casilla superior
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 1
1
MINISTERIO DE EDUCACION
•
•
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
En cada fila, el número de cada casilla es menor o igual que el número de
cualquier casilla a su derecha.
Para dos cuadrados cualesquiera de cuatro casillas cada uno, si R es la suma de
los números escritos en uno de ellos y S es la suma de los números escritos en el
otro entonces R≠S.
Analiza si los siguientes tableros son completables.
(I)
(II)
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 1
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MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Cuarta Fase – Nivel 2
25 de noviembre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los
pasos.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de los problemas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TUS SOLUCIONES
1. Sea x un entero positivo tal que los números 6x + 1, 7x + 4 y 8x + 9 son todos
cuadrados perfectos. Prueba que x es múltiplo de 20.
2. Halla todos los polinomios no nulos P(x) y Q(x) tales que P(Q(x))=P(x)⋅ Q(x), para todo
número real x.
3. Encuentra todos los pares de enteros positivos (a, b) tales que a2 + a + 2b y
b2 + b + 2a sean cuadrados perfectos.
4. En una secuencia de 900 términos, donde cada uno vale 1, 2 ó 3, se cumple que en 5
términos consecutivos cualesquiera hay por lo menos un 1, en 4 términos consecutivos
cualesquiera hay por lo menos un 2 y en 3 términos consecutivos cualesquiera hay por
lo menos un 3. ¿Cuál es la mayor cantidad de unos que puede tener la secuencia?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Carta Fase – Nivel 2
1
MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2006
Cuarta Fase – Nivel 3
25 de noviembre de 2006
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los
pasos.
Puedes llevarte las hojas con los enunciados de los problemas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TUS SOLUCIONES
1. Halla todos los valores enteros positivos que puede tomar n tal que
Cos(2x)=Cosnx - Sennx
para todo número real x .
2. Halla todos los valores de k para los cuales es posible dividir cualquier región triangular
en k cuadriláteros de igual área.
3. Un par (m, n) de enteros positivos se denomina “enlazado” si m divide a 3n + 1 y n
divide a 3m + 1. Si a, b, c son enteros positivos distintos tales que (a, b) y (b, c) son
pares enlazados, demuestra que el número 1 pertenece al conjunto {a, b, c}.
4. En cada una de las casillas de un tablero de n x n , con n ≥ 3, se escribe un número
entero positivo de tal modo que el valor absoluto de la diferencia de los números
escritos en dos casillas vecinas cualesquiera es menor o igual que 2 (dos casillas vecinas
son aquellas que tienen un lado común).
a) Muestra un tablero de 5x5 en el cual se hayan escrito 15 números enteros
distintos siguiendo la regla indicada.
b) Halla, en función de n, la máxima cantidad de números distintos que puede tener
el tablero de n x n casillas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nível 3
1
Ministerio
de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
13 de julio del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Dos ejércitos, antes de la batalla, sumaban 16000 hombres. Después de la batalla se
notó que el primer ejército sufrió 885 bajas, el segundo 1385 bajas y que ambos ejércitos
tenı́an igual cantidad de hombres. ¿Cuántos hombres tuvo antes de la batalla el ejército
que sufrió más bajas?
A) 8775
B) 7250
C) 8885
D) 8250
E) 7750
2. Si se efectúa el producto de todos los números impares comprendidos entre 1 y 2008,
¿cuál es la cifra de las unidades del número ası́ obtenido?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
3. Una sala de cine tiene 25 filas con 23 asientos cada una. El total de los asientos se
numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás ¿En qué
número de fila está el asiento número 375?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
4. Decimos que un número natural es suertudo si todos sus dı́gitos son iguales a 7. Por
ejemplo, 7 y 7777 son suertudos, pero 767 no lo es. Juan escribió en un papel los 20
primeros números suertudos comenzando por el 7 y luego los sumó. Finalmente, al
resultado lo dividió entre 1000, ¿qué resto obtuvo?
A) 170
B) 40
C) 970
D) 70
E) 140
5. Anita compró dos manzanas más que Charito. El doble del número de manzanas que
compró Charito es menor que 10 y el triple del número de manzanas que compró Anita
es mayor que 15. ¿Cuántas manzanas compró Charito?
A) 4
B) 5
C) 3
D) 6
E)7
1
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de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
6. La cantidad de gatos es a la cantidad de ratones como 3 es a 5, y en total hay 56 de
estos animales. En determinado momento cada gato se come un ratón, ¿cuántos ratones
sobreviven?
A) 14
B) 21
C) 7
D) 9
E) 12
7. Completa el tablero con números naturales de manera que si en dos casillas horizontales
consecutivas están escritos los números m y n entonces en la casilla que está debajo de
ellas debe estar escrito el número m + n, es decir:
m
n
m+n
¿Qué número debe ir en la casilla que tiene una X ?
4
6
X
8
26
95
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
8. ¿Cuántos números no primos y de 2 dı́gitos distintos se pueden formar con los dı́gitos
2, 3, 4, 5 y 6?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
9. En un salón de clase se ha organizado un paseo. Si cada alumno paga S/.4, se podrı́a
pagar la movilidad y sobrarı́a S/.3, pero si cada alumno paga S/.3,50, faltarı́a S/.7 para
pagar la movilidad. ¿Cuánto cuesta la movilidad?
A) S/.20
B) S/.25
C) S/.70
D) S/.77
E) S/.83
10. Un microbús que hace servicio de Lima a Chosica, cobra S/.3 como pasaje único y en
el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero suben 3. Si llegó a Chosica
con 33 pasajeros y tuvo una recaudación de S/.135. ¿Cuántos pasajeros partieron de
Lima?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
11. Jorge escribió en la pizarra el número 2946835107 y Marı́a debe borrar 5 cifras de tal
forma que el número de 5 cifras que quede sea el mayor posible. ¿Cuál es la suma de
las cifras del número que queda?
A) 23
B) 31
C) 29
D) 27
E) 30
2
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 1
12. El producto de 50 números enteros consecutivos es cero y su suma es positiva. ¿Cuál
es el menor valor que puede tomar su suma?
A) 49
B) 24
C) 25
D) 50
E) 51
13. Las cuatro parejas de esposos: los Arias, los Benitez, los Cáceres y los Dávila se sientan
alrededor de una mesa circular. Como es normal, cada pareja de esposos se sientan
juntos. Además se cumplen las siguientes condiciones:
Al frente de cualquier hombre está sentada una mujer.
Las señoras Arias y Benitez se sientan juntas.
Uno de los Cáceres está sentado a la izquierda de uno de los Dávila.
La señora Cáceres no se sienta junto al señor Arias.
¿Quién se sienta a la derecha del señor Benitez?
A) El señor Cáceres.
B) La señora Cáceres.
C) La señora Benitez.
D) La señora Dávila.
E) El señor Dávila.
14. En la pizarra están escritos, en una fila y en orden, los números 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9.
Pepito debe escribir un signo (+) o un signo (−) a la izquierda de cada número (nueve
signos en total) y efectuar las operaciones que quedan indicadas. ¿Cuál es el menor
valor no negativo que puede obtener Pepito?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
15. ¿Cuál es el menor número de la forma aabbccc que es múltiplo de 836 ? Da como
respuesta la suma de sus cifras.
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
16. Se escribe en una fila los primeros 2007 números naturales, uno después de otro:
1234567891011 · · · 2007.
¿Qué dı́gito aparece menos veces?
A) 0
B) 1
C) 9
D) 6
E) 7
17. ¿Cuántos números naturales de 5 dı́gitos cumplen que el producto de sus cifras es 2000?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 40
3
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
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Primera Fase - Nivel 1
18. El sı́mbolo n! se usa para representar el producto n(n − 1)(n − 2) · · · (3)(2)(1). Por
ejemplo 4! = 4(3)(2)(1). Determina n tal que n! = (215 )(36 )(53 )(72 )(11)(13).
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
19. Javier escribe números enteros positivos distintos en siete tarjetas de papel, un número
en cada tarjeta. El se dió cuenta que cada vez que escoge cinco tarjetas cualesquiera,
al menos dos tienen escritos números pares. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar
el producto de los siete números que escribió Javier?
A) 11520
B) 6720
C) 46080
D) 5760
E) 3840
20. Para el número 10, existen 3 valores enteros positivos de n > 1, tales que 10 se puede
escribir como la suma de n enteros positivos distintos (3 + 7; 2 + 3 + 5; 1 + 2 + 3 + 4).
Para el número 2007 ¿cuántos valores enteros positivos de n >1 existen, para los cuales
es posible expresar 2007 como la suma de n enteros positivos distintos?
A) 62
B) 61
C) 59
D) 63
E) 60
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
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(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 2
13 de julio del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Un padre le dice a su hijo: “ahora tienes treinta años menos que yo. Si salgo bien de la
operación de mi corazón, podrı́a verte hasta cuando tengas mi edad actual, y mi edad
serı́a entonces cinco veces la edad que tienes ahora”. ¿Cuál es la edad actual del padre?
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
2. Un taller de confecciones de polos invierte S/.4514 en comprar remalladoras. Si cada
polo producido tiene un costo de S/.11,20 por el material y la mano de obra, y se
puede vender a S/.19,40, ¿cuántos polos deberá confeccionarse para obtener S/.10 000
de ganancia?
A) 515
B) 550
C) 1065
D) 1219
E) 1770
3. Un ropero tiene tres cajones, cada cajón contiene dos cajas rojas y una blanca. Cada
caja roja contiene un polo rojo y dos polos blancos, cada caja blanca contiene dos polos
rojos y un polo blanco. ¿Cuántos polos rojos hay en total?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
4. Halla el valor de A + B + C, sabiendo que
A) 6
2A + B + C = 8, A + 2B + C = 6 +
√
B) 8
C) 4 3
√
3, A + B + 2C = 10 −
D) 12
√
3
√
E) 8 3
5. Juan escribe ordenadamente 40 enteros consecutivos. La suma de los 20 primeros es
110. Calcula la suma de los otros 20 enteros consecutivos.
A) 550
B) 510
C) 440
D) 220
E) 500
1
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(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 2
6. Resuelve la ecuación 22x+1 = 4x + 64.
A) 1/2
B) 1
C) 3/2
D) 2
E) 3
7. El triángulo ABC es equilátero y las rectas L1 y L2 son paralelas. Halla el valor de x.
A) 30o
B) 40o
C) 45o
D) 50o
E) 60o
8. En un salón de clases, el promedio de las calificaciones de un examen de matemática
fue 15,6875. Si las notas se asignan usando números enteros no negativos, ¿cuál es el
número mı́nimo de alumnos con el cual es posible obtener este promedio?
A) 8
B) 10
C) 16
D) 32
E) 40
9. La secuencia de números t1 , t2 , t3 , . . . está definida por
t1 = 2, tn+1 =
para cada entero positivo n. Halla t2007 .
1
A) -3
B) −
2
C)
1
3
tn − 1
,
tn + 1
D) 2
E) 3
10. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior CD con D en el lado AB, luego se
ubica el punto E en AC tal que m∠CDE = 90o . Sabiendo que m∠B − m∠A = 50o ,
calcula la medida m∠ADE.
A) 25o
B) 30o
C) 40o
2
D) 45o
E) 50o
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Primera Fase - Nivel 2
11. Completa el siguiente tablero 7 × 7 con números de tal forma que la suma de los
números escritos en tres casillas consecutivas (en la misma fila o en la misma columna)
sea siempre 20:
6
4
5
x
Halla el valor de x.
A) 4
B) 5
C) 6
12. Si la ecuación cuadrática
tiene conjunto solución {
A) 1
b
a
B) 3
x2 − 2n x + n + 3 = 0
a
+ 1, + 1}, calcula n2 .
b
C) 4
D) 9
E) 11
D) 6
E) 9
13. En el interior de un triángulo ABC se toma el punto E tal que AE = BE y AB = EC.
Si ∠ABE = x = ∠ECA ; ∠EAC = 2x y ∠EBC = 5x, calcula el valor de x.
A) 10o
B) 12o
C) 15o
D) 18o
E) 20o
p
, con p y q enteros positivos se denomina irreductible si el máximo
q
1 2 3
71
común divisor de p y q es 1. ¿Cuántas de las 71 fracciones
,
,
, ...,
son
72 72 72
72
irreductibles?
14. Una fracción
A) 12
B) 18
C) 20
D) 24
E) 36
15. La moneda nacional de un lejano paı́s es el dorado. Las monedas de 1 dorado tienen
el 45 % de oro y pesan 10 gramos, las monedas de 2 dorados tienen el 55 % de oro y
pesan 20 gramos, y las monedas de 5 dorados tienen el 65 % de oro y pesan 30 gramos.
Se funden x monedas de 1 dorado, 3 de 2 dorados y 4 de 5 dorados para hacer una
medalla. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la medalla tenga el 50 % de oro?
A) 40
B) 42
C) 45
3
D) 48
E) 50
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(ONEM 2007)
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Primera Fase - Nivel 2
16. En una competición escolar de gimnasia rı́tmica, las participantes son evaluadas por
siete jueces que asignan puntajes enteros del 1 al 10, inclusive. El puntaje total de cada
participante se obtiene de la siguiente manera:
Se eliminan el puntaje más alto y el puntaje más bajo, asignado por los jueces.
Se suman los cinco puntajes restantes.
Después de la actuación de Urpi, los puntajes que asignaron cinco de los jueces fueron
7, 9, 7, 8 y 8. Si el puntaje total de Urpi fue 40, ¿cuál es el menor de los puntajes dados
por los otros dos jueces?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
17. Una familia compuesta por un papá, una mamá y 6 hijos va al cine ¿De cuántas formas
se pueden ubicar en una fila de 8 asientos si entre los dos padres debe haber una
cantidad par de hijos?
Nota.- Ten en cuenta que el cero es número par.
A) 11520
B) 12960
C) 17280
D) 23040
E) 40320
18. El profesor de matemática escribe doce números naturales consecutivos en la pizarra,
luego un alumno borra uno de los números y calcula la suma de los once números que
quedaron. Si el resultado de esa suma es 2007, ¿cuál es la suma de las cifras del número
que borró?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
19. Encontrar el menor entero positivo de cuatro cifras N = abcd tal que abcd es igual al
producto de ab por cd . Da como respuesta la suma de las cifras de N .
A) 18
B) 19
C) 20
D) 24
E) 27
20. Un conjunto de números enteros positivos consecutivos se denomina monce si la suma
de las cifras de cada uno de sus elementos no es divisible por 11. Por ejemplo, el conjunto
{98, 99, 100, 101} es monce y el conjunto {82, 83, 84} no lo es. ¿Cuál es el mayor número
de elementos que puede tener un conjunto monce?
A) 25
B) 28
C) 35
D) 38
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E) 39
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(ONEM 2007)
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Primera Fase - Nivel 3
13 de julio del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Calcula el valor de
A) 144
B) 48
2n × 6n+3
3n+1 × 4n
C) 108
D) 36
E) 72
2. Se desea disminuir el ángulo del siguiente sector circular en 270 :
¿Cuál debe ser el nuevo radio para que el área no varı́e?
A) 18
B) 16
C) 24
D) 36
E) 28
3. En un colegio hay 5 salones de primer grado y las cantidades de alumnos que hay en
cada salón pueden ponerse en progresión aritmética. El salón menos numeroso tiene 30
alumnos y en el primer grado hay 170 alumnos en total. Halla la cantidad de alumnos
del salón más numeroso.
A) 34
B) 38
C) 42
D) 44
E) 46
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Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 3
4. Se tiene una caja de zapatos de caras rectangulares, tres de las cuales tienen las
siguientes áreas: 192 cm2 , 336 cm2 y 252 cm2 . Halla la distancia entre dos vértices de
la caja que no están en una misma cara.
A) 20 cm
√
B) 3 69 cm
C)
√
697 cm
D) 36 cm
E) 29 cm
5. ¿Para qué valor de M la siguiente expresión es constante (es decir, no depende de x)?:
sen4 x(1 − M sen2 x) + cos4 x(1 − M cos2 x)
A)
2
3
B) 1
3
2
C)
D) −1
E) 0
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que
sen A + sen B
tg A + tg B
6 cos3 A =
Calcula tg A .
A) 2
B) 3
C)
1
3
D) 1
E)
1
2
7. Una empresa de transportes ofrece asientos para fumadores al precio de S/.600 y para
no fumadores al precio de S/.100. Al no fumador se le permite llevar 20 kg de peso y al
fumador 50 kg. Si el ómnibus de la empresa tiene 90 asientos y admite un equipaje de
hasta 3000 kg. ¿En cuál de los siguientes casos la empresa obtiene el máximo ingreso?
A) 60 no fumadores y 0 fumadores
B) 40 no fumadores y 50 fumadores
C) 50 no fumadores y 40 fumadores
D) 0 no fumadores y 90 fumadores
E) 0 no fumadores y 60 fumadores
8. Si a es un entero positivo tal que 2x + a = y, a + y = x, x + y = z. Halla el máximo
valor de x + y + z.
A) −1
B) −10
C) 0
2
D) 1
E) 10
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(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 3
9. Sean α y β ángulos agudos tales que:
√
7 tg α = 5 tg β
4 sen α = 5 sen β
Halla csc β .
√
5 7
A)
4
5
B)
4
√
4 2
C)
5
D) 2
E)
√
2
10. Cada uno de los lados de un octágono regular mide 2 cm. ¿Cuál es la diferencia entre
el área de la región sombreada y la región sin sombrear?
A)
√
2 cm2
B) 0 cm2
C) 2 cm2
√
D) 2 2 cm2
√
E) ( 2 + 1) cm2
11. En el instante que un avión sobrevuela a 560 km/h la ciudad de Trujillo, un ómnibus,
ubicado en el pie de la vertical trazada desde el avión, sale de esta ciudad a 80 km/h en
la misma dirección del avión. A las 10 : 20 a.m. el chofer ve al avión con un ángulo de
elevación α, y a las 10 : 26 a.m. con un ángulo β. Si el avión vuela a altura constante
de 6 km, halla
ctg β − ctg α
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
12. Las longitudes de los lados de un triángulo ABC son AB = 7, BC = 9 y AC = 12. L1
es la bisectriz interior del ángulo A y L2 la bisectriz exterior del ángulo C. M y N son
los pies de las perpendiculares trazadas desde B a L1 y L2 respectivamente. Calcula la
longitud de M N .
A) 2
B) 5
C) 7
D) 8
E) 14
13. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 20 y 21. Se construye una
semicircunferencia que tiene su diámetro sobre el cateto de longitud 20 y es tangente a
los otros dos lados del triángulo. Calcula el radio de la semicircunferencia.
A) 4,2
B) 8,4
C) 2,1
3
D) 3,5
E) 9,1
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(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 3
14. Si multiplicamos todos los números naturales que no son múltiplos de 5 y son menores
que 2008, ¿cuál es la cifra de las unidades del producto obtenido?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 7
1
1
15. El primer término de una progresión aritmética es
y el segundo es . Un alumno
8
5
notó que en esta progresión hay varios términos que son enteros. ¿Cuál es el segundo
menor de estos enteros?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
16. En un cuadrado ABCD, M y N son puntos de CD y BC respectivamente y Q es un
punto del segmento AM . Si el ángulo ∠N QM mide 90o , QM = 1, QN = 2 y AM = 4,
calcula la tangente del ángulo ∠AM D.
2
4
3
3
A)
B)
C) 2
D)
E)
3
3
4
2
17. Calcula el valor numérico de:
(1 + a b)(1 + a c) (1 + b a)(1 + b c) (1 + c a)(1 + c b)
+
+
(a − b)(c − a)
(b − a)(c − b)
(c − a)(b − c)
√
√
√
cuando a = 2, b = √3 y c = 5.
√
√
√
A) −14
B) 30
C) 0
D) 1
E) 2 + 3 + 5
18. Se tiene 6 números naturales no necesariamente distintos, tales que la suma de dos
cualesquiera de ellos es un número compuesto. ¿Cuál es el menor valor impar que
puede tomar la suma de estos números?
A) 21
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
19. Un número natural se denomina actual si cada uno de sus dı́gitos pertenece al conjunto
{0, 2, 7} y es múltiplo de 3. Por ejemplo 2007 es actual. ¿Cuántos números actuales son
menores que 1000000 ?
A) 162
B) 242
C) 243
D) 728
E) 729
20. En una fila escribimos los números del 1 al 24 inclusive en algún orden, de tal forma
que si m divide a n entonces el término de lugar m divide al término de lugar n ¿De
cuántas formas distintas podemos hacer esto?
A) 6
B) 24
C) 1
D) 48
E) 120
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Segunda Fase - Nivel 1
14 de septiembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cuál es el menor número natural tal que la suma de sus dı́gitos es 33?
2. Lizet tiene un periódico cuyas páginas se obtienen doblando hojas por la mitad, de
modo que de cada hoja se obtienen cuatro páginas, considerando anverso y reverso.
Lizet saca la hoja que le interesa leer y se da cuenta que están escritas en dicha hoja
las páginas 17, 18, 47, 48 ¿Cuántas páginas tiene el periódico de Lizet?
3. Ana tiene una galleta de 40 gramos. Beto le pregunta a Ana si le puede dar la mitad de
su galleta. Ana acepta y le da una parte de su galleta. Beto se dio cuenta que su parte
era más pequeña y le reclama, luego Ana se come 13 de su parte y dice: “ahora nuestras
dos partes son iguales”. ¿Cuántos gramos le dió inicialmente Ana a Beto?
4. Un lunes, Estela compra tres manzanas, siete plátanos y una pera y paga por dicha
compra S/.2, 80. El siguiente lunes, Estela compra cuatro manzanas, diez plátanos y
una pera y paga S/.3, 60. Si al siguiente lunes comprara cinco manzanas, cinco plátanos
y cinco peras. ¿Cuánto pagarı́a por dicha compra?
5. Escribe los números del 1 al 5 en los cuadraditos de la siguiente multiplicación indicada:
¤¤×
¤
¤6 ¤
Da como respuesta el producto resultante.
1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
14 de septiembre del 2007
6. El número de 7 cifras M M N N P P 1 es múltiplo de 7. Si dividimos el número M 1N 2P 3
entre 7, ¿qué resto obtenemos?
7. Se tiene un tablero de 3 filas y 1004 columnas. En la primera fila se escriben, de izquierda a derecha, los números 1, 2, 3, 4, . . . , 1004, en la segunda fila se escriben, de izquierda
a derecha, los números impares 2007, 2005, 2003, . . . , 1 y en cada casilla de la tercera
fila se escribe el producto de los números que están en las dos casillas superiores
correspondientes. ¿Cuántos números de la tercera fila son múltiplos de 6?
8. ¿Cuántos números primos p menores que 25 cumplen con la condición: existe un número
primo q tal que q 2 − p2 es un cuadrado perfecto distinto de cero?
9. En cada cı́rculo del gráfico mostrado debe escribirse un número entero positivo distinto
de los demás, de tal modo que dos números cualesquiera unidos por un segmento no
sean consecutivos. Halla el menor valor que puede tomar la suma de todos los números
escritos.
10. El conjunto {1, 2, 3, a, b} está formado por 5 números naturales distintos y tiene la
siguiente propiedad: “La suma de tres elementos distintos cualesquiera es un número
compuesto”. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar a + b?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 2
14 de septiembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cuál es el menor número natural múltiplo de 5 tal que la suma de sus dı́gitos es 26?
2. En un triángulo isósceles de ángulos agudos, uno de sus ángulos es el doble del otro.
Halla la medida del ángulo que es distinto de los otros dos.
3. Dos amigas, Cristina y Diana, se dan cuenta de algunas curiosidades cuando caminan.
En cada paso Cristina avanza 70 cm, mientras que Diana avanza 50 cm en cada paso.
Además, por cada cuatro pasos que da Cristina, Diana da cinco pasos. Cristina y Diana
están a 106 m de distancia entre ellas y van a encontrarse avanzando en lı́nea recta.
¿Cuántos pasos habrá dado Diana hasta encontrase con Cristina?
4. Una función definida en los números reales tiene las siguientes propiedades:
i) f (1) = 1
ii) f (2x) = 4f (x) + 6 ; ∀x ∈ R
iii) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 ; ∀x ∈ R
Calcula f (5) + 6f ( 32 )
1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 2
14 de septiembre del 2007
5. ¿Cuántas fichas de la forma
se pueden colocar como máximo en la siguiente cuadrı́cula
sin superposiciones y estando permitido rotar las fichas? (Los cuadraditos de las fichas
y de la cuadrı́cula son del mismo tamaño).
6. Halla el mayor número natural N para el cual existen tres números naturales cuya
suma es 120 y su producto es divisible por 3N .
7. ¿Cuántos números naturales de 13 dı́gitos son múltiplos de 128 y cumplen que cada
uno de sus dı́gitos es 2 ó 7?
8. Sea n un número natural de 8 divisores y p un número primo. Si p2 + n2 = r2 y r es
un número natural, halla p + r.
9. En cada casilla de un tablero de 4 × 4 se escribe el número 1 ó el número 2, de tal modo
que haya ocho de cada uno. En el tablero, a cada cuadrado de 2 × 2 casillas se le asigna
un número que es igual al producto de los números escritos en cada una de sus casillas. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los nueve productos obtenidos?
10. Si a, b, c, d son las raı́ces de la ecuación x4 − 3x3 + 1 = 0, calcula
1
1
1
1
+
+
+
a6 b6 c6 d6
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 3
14 de septiembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cuál es el menor número natural múltiplo de 4 tal que la suma de sus dı́gitos es 29?
2. En un examen de 120 preguntas, se califica con 3 puntos cada respuesta correcta y con
−1 cada respuesta incorrecta. El número de aciertos de Andrés es igual al número de
desaciertos de Benito y el número de aciertos de Benito es igual al número de desaciertos de Andrés. Si ambos contestaron todas las preguntas y Andrés obtuvo el doble del
puntaje de Benito, ¿qué puntaje obtuvo Benito?
3. Sea x el ángulo agudo tal que csc x + cot x =
√
3. Halla sec2 x.
4. Una máquina arroja monedas de un nuevo sol. Tres amigos A, B y C deciden desarrollar
un juego con la máquina del siguiente modo: A usa primero la máquina, luego B y a
continuación C y nuevamente A y ası́ sucesivamente. La primera vez, la máquina arroja
una moneda y cada vez que se vuelve a utilizar, arroja una moneda más que la vez
anterior. La máquina se detuvo cuando los tres amigos obtuvieron en total 1035 nuevos
soles. ¿Cuántos nuevos soles obtuvo el que sacó más monedas?
5. Sea ABC un triángulo tal que: ∠ABC = 3(∠ACB) y AC = 2 AB. Halla la medida del
ángulo ∠CAB.
6. En un triángulo ABC se cumple que cot A − cot B = 2 y
Calcula 3 tan C.
1
3 tan A + tan B = −2.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 3
14 de septiembre del 2007
7. Un subconjunto M de {1, 2, 3, . . . , 15} tiene la propiedad que el producto de todos sus
elementos es un cuadrado perfecto, ¿cuántos elementos como máximo puede tener M ?
8. En un triángulo ABC se tiene que ∠BAC = 2(∠ACB). Se traza el segmento BD, con
D en AC, de modo que ∠DBA = 2(∠BAD). Si además DC = 2(BD) + AD, calcula
el ángulo ∠ACB.
9. Sea k un número natural que tiene tres divisores y n un número natural que tiene 30
divisores. Si
k 2 + n2 = r 2 ,
siendo r un número natural, halla la suma de todos los posibles valores de k.
10. Sea A ={1, 2, 3, 4, 5}.
Una función f : A → A es idempotente si f (f (x)) = f (x) , ∀x ∈ A.
Por ejemplo la función g : A → A definida por
g(1) = 3 , g(2) = 5 , g(3) = 3 , g(4) = 4 , g(5) = 5
es idempotente.
¿Cuántas funciones f : A → A son idempotentes?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Tercera fase - Nivel 1
19 de octubre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus
respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última grabación de tus
respuestas.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Gastón compró regalos en tres tiendas. En la primera pagó la mitad del dinero que
llevaba por la compra del regalo para su esposa y pagó S/.3 por la envoltura. En la
segunda gastó la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su hija y también pagó S/.3
por la envoltura. En la tercera gastó la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su
suegra y nuevamente pagó S/.3 por la envoltura. Si al final se quedó con S/.3, ¿cuánto
dinero tenı́a Gastón antes de entrar a la primera tienda?
2. En cada casilla del siguiente tablero se debe escribir un número natural de tal forma
que la suma de los números escritos en dos casillas vecinas cualesquiera sea siempre un
número impar:
¿Cuál es la mayor cantidad de números pares que puede haber en el tablero?
Nota.-Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2007
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(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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3. Un número N tiene 3 cifras, es múltiplo de 3 y cumple que el producto de sus cifras es
288. Halla la suma de las cifras de N .
4. En las panaderı́as Panduro y Trigo Seco, el precio del pan es el mismo, pero ambas panaderı́as ofrecen diferentes ofertas. La panaderı́a Panduro regala un pan por la
compra de 9 panes y la panaderı́a Trigo Seco regala dos panes por la compra de 17
panes. Mercedes, con cierta cantidad de dinero, compra pan en la panaderı́a Panduro
y aprovechando la oferta recibe 72 panes. ¿Cuántos panes recibirá si con la misma cantidad de dinero realizara la compra en la panaderı́a Trigo Seco, también aprovechando
la oferta?
5. El máximo común divisor de los números ab29b y ac4c2 es 168. Calcula la diferencia
del mayor menos el menor de dichos números.
6. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros números naturales. B es un subconjunto de A que tiene la siguiente propiedad: “La suma de dos
elementos cualesquiera de B nunca es 2008”. ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos
que puede tener B?
7. ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas distintas de cero, tienen la propiedad de que
al multiplicar sus cuatro cifras se obtiene un número que es múltiplo de 7 pero no de
49?
8. Durante muchos años, José sale a pescar diariamente. Comenzando el 28 de Julio del
2007, cada dı́a le dice a su esposa: “hoy traeré más pescados que hace dos dı́as, pero
menos que hace una semana”. ¿Cuántos dı́as seguidos, como máximo, José puede decir
la verdad?
9. Daniela debe formar conjuntos disjuntos usando algunos de los números del conjunto
{1, 2, . . . , 200} de tal modo que en cada uno de ellos se cumpla que el mayor elemento
es igual al producto de los restantes. ¿Cuál es la mayor cantidad de estos conjuntos que
Daniela puede formar?
10. ¿Cuántas fichas de la forma
pueden colocarse, como máximo, en el siguiente tablero
Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2007
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si las fichas pueden rotarse pero no pueden cubrir ninguna casilla pintada de negro?
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Tercera fase - Nivel 2
19 de octubre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus
respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última grabación de tus
respuestas.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Sea N un número de dos cifras y múltiplo de 9. Si se invierte el orden de las cifras de
N se obtiene otro número que al sumarle 4 es un múltiplo de 7. Halla N .
2. En una universidad se hizo una encuesta acerca de la aceptación de una nueva ley y los
resultados fueron:
a) El 50 % de los encuestados está a favor.
b) El 40 % de los hombres encuestados está a favor.
c) El 30 % de las mujeres encuestadas está en contra.
¿De las personas que están en contra, qué porcentaje son mujeres?
3. En la siguiente gráfica se muestran dos figuras en forma de zig-zag hechas con cuadraditos de 1 cm de lado. La primera tiene cinco cuadraditos y su perı́metro es 12 cm, la
segunda tiene 9 cuadraditos y su perı́metro es 20 cm. ¿Cuál es el perı́metro de la figura
en forma de zig-zag que tiene 37 cuadraditos?
4. Al dividir el polinomio P (x) entre el polinomio x3 − 3x +2 se obtiene como resto 2x2 + 5
y al dividir P (x) entre el polinomio x2 + x − 2 se obtiene como resto mx + n. Calcula
m + 2n.
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(ONEM 2007)
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5. En un triángulo ABC, se ubica el punto D en el lado AC de tal forma que AC = BD
y 4 ∠BAC = 3 ∠BCA = 6 ∠CBD. Halla la medida del ángulo ABD.
6. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros números naturales. B es un subconjunto de A que tiene las siguientes propiedades:
La suma de dos elementos cualesquiera de B nunca es 2008.
La diferencia de dos elementos cualesquiera de B nunca es 1.
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener B?
7. Se dice que un número de tres cifras es isósceles si sus dı́gitos representan los lados de
un triángulo isósceles. Por ejemplo 331 es isósceles pero 229 no lo es. ¿Cuántos números
isósceles de tres cifras hay?
8. Sean x, y, z números reales tales que:
x2 − yz = 6
y 2 − zx = 8
z 2 − xy = 10
Halla
z−x
.
y
9. En la pizarra se han escrito tres números de cuatro cifras. Si en estos números se
reemplazara cada dı́gito 2 por el dı́gito 3, la suma de los nuevos números serı́a 10985;
pero si en vez de cambiar cada dı́gito 2 se cambia cada dı́gito 4 por el dı́gito 7, la suma
de los nuevos números serı́a 11667. ¿Cuál es la suma de los números originales?
10. En una reunión de 20 personas, cada una tiene exactamente dos amigos en la reunión.
A la medianoche cada persona debe colocarse un polo de una determinada marca, de
tal manera que si dos personas tienen un amigo en común, cada una de ellas debe tener
puesto un polo de la misma marca. ¿Cuál es la mayor cantidad de marcas de polos que
se puede usar?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Tercera fase - Nivel 3
06 de noviembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus
respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última grabación de tus
respuestas.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
5
1. Sea ABC un triángulo rectángulo recto en B y de perı́metro 70. Si T an A + Sec A = ,
2
halla AB.
2. Un campesino tiene aab3 nuevos soles. Si compra una vaca se queda con 1500 nuevos
soles, pero si compra dos vacas se queda con bab nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles
cuesta cada vaca?
3. ¿Cuántos números que tienen todas sus cifras pares hay entre 2007 y 7002? (recuerda
que el cero es par).
4. Un número natural no es mayor que 90, no es menor que 30, no es cuadrado perfecto,
no es par, no es primo, no es divisible por 3 y el dı́gito de las unidades no es 5. ¿Cuál
es ese número?
5. Sea x la medida, en grados sexagesimales, de un ángulo agudo que cumple
Sen(6 x) = 2 Sen2 (12 x) + 1
Halla la suma de todos los posibles valores de x.
6. En un rectángulo ABCD se ubica el punto E en AD de manera que ∠CED = 3 ∠BEA
y BE − EC = 2 AB. Halla ∠BEC.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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7. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros números naturales. B es un subconjunto de A que tiene las siguientes propiedades
La suma de dos elementos cualesquiera de B nunca es 2008.
La diferencia de dos elementos cualesquiera de B nunca es 2
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener B?
8. En un triángulo ABC, ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar
5 Cot C + 4 Cot A + Cot B
?
Csc C
9. En cada casilla de un tablero de 6 × 6 se escribe un número real de tal manera que se
cumpla la siguiente condición: para cada casilla, la suma de los números escritos en sus
casillas vecinas es siempre 1.
Halla la suma de todos los números escritos en el tablero.
Nota.- Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
10. Un polinomio P (x) de grado 9 tiene la propiedad
P (k) =
1
para k = 1, 2, 3, . . . , 10
k(k + 1)
El valor de P (11) puede ser escrito como −
M CD(m, n) = 1. Halla m + n.
m
, donde m y n son enteros positivos y el
n
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Cuarta fase - Nivel 1
02 de diciembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1.- Se tiene un tablero como el siguiente:
a) Ubica en las casillas del tablero los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17 de modo que
la suma de los números de cada fila sea un número primo.
b) Demuestra que no es posible ubicar los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17 en las
casillas del tablero, de modo que la suma de los números de cada fila sea un
cuadrado perfecto.
Problema 2.- En 9 bolillas están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, uno en cada
bolilla. Israel, Jonathan y Liz se reparten las bolillas de la siguiente manera: Israel
eligió cuatro bolillas que suman 18, Jonathan eligió tres que suman 15 y Liz se quedó
con las dos restantes. Si ninguno de ellos tiene dos bolillas con números consecutivos,
¿qué bolillas tiene cada uno?
Problema 3.- Decimos que un número natural es variado si todos sus dı́gitos son distintos
entre sı́. Por ejemplo, los números 9345 y 1670 son variados, pero 2007 y 1821 no lo
son.
a) Encuentra un número N de 9 dı́gitos tal que N y 2N sean variados.
b) ¿Cuál es el mayor número M tal que M y 4M son números variados?
Problema 4.- Se tiene el siguiente tablero de 9 × 9 donde 4 de sus casillas están pintadas
de negro y las demás son blancas, como se muestra en la figura:
Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2007
1
Como se puede observar, hay grupos de 5 casillas blancas que forman una de las
siguiente figuras:
¿Cuál es el mı́nimo número de casillas blancas que se deben pintar de negro para que en
el tablero no hayan grupos de 5 casillas blancas formando figuras como las mostradas?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Cuarta fase - Nivel 2
Sociedad Matemática
Peruana
02 de diciembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1.- Encuentra todos los números primos m y n tales que m < n y los números
2m + n, m + 2n y m + n − 18 sean también primos.
Problema 2.- Daniel dispone de fichas cuadradas de lado 1, con las cuales forma polı́gonos.
Decimos que uno de los polı́gonos formados es incaico si todos sus lados tienen longitud
1. Por ejemplo
el polı́gono (A) es incaico y el polı́gono (B) no lo es. Demuestra que para todo entero
N ≥ 11, Daniel puede construir un polı́gono incaico formado con N fichas.
Problema 3.- Halla todos los números enteros r para los cuales es posible encontrar una
función f : Z+ −→ Z que cumple la siguiente condición:
la sucesión
f (1) × f (3); f (2) × f (4); f (3) × f (5); · · · ; f (n) × f (n + 2); · · ·
es una progresión aritmética de razón r.
Nota.- Z+ es el conjunto de los números enteros positivos, {1, 2, 3, 4, · · · }.
Problema 4.- Enrique dibujó 2n rectas en el plano, donde n es un entero positivo, y se dio
cuenta de que no habı́an tres rectas concurrentes (tres rectas con un punto común).
Luego pintó de rojo cada punto de intersección y contó la cantidad de puntos rojos de
cada recta. Si de estas 2n cantidades, la mitad de ellas valen 2007 y la otra mitad valen
2008, ¿Cuántas rectas dibujó Enrique?
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Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2007
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2007)
Sociedad Matemática
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Cuarta fase - Nivel 3
02 de diciembre del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1.- Halla todos los valores de A, tales que 0◦ < A < 360◦ y además:
Sen A
≥1
Cos A − 1
y
3 Cos A − 1
≥1
Sen A
Problema 2.- Asumiendo que cada punto de una recta está pintado de rojo o de azul, de
manera arbitraria, demuestra que siempre es posible elegir tres puntos A, B y C en tal
recta, que esten pintados del mismo color y que se cumpla:
AB
BC
AC
=
=
.
1
2
3
Problema 3.- Decimos que un número natural de al menos dos dı́gitos E es especial si cada
vez que se suman dos dı́gitos adyacentes de E se obtiene un divisor de E. Por ejemplo,
2124 es especial, pues los números 2 + 1, 1 + 2 y 2 + 4 son todos divisores de 2124.
Halla el mayor valor de n para el cual existen n números naturales consecutivos tales
que todos ellos son especiales.
Problema 4.- Se tiene un rombo ABCD donde los triángulos ABD y BCD son equiláteros.
Sean M y N puntos de los lados BC y CD, respectivamente, tales que m∠M AN = 30◦ .
Sea X el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
Prueba que m∠XM N = m∠DAM y m∠XN M = m∠BAN.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
20 de junio del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. ¿Cuál es la suma de todos los números que están escritos en el siguiente tablero?
1 9 9 4 6 9 1 2 5
2 3 1 6 4 3 7 8 5
8 7 5 5 2 8 5 5 5
A) 130
B) 135
C) 140
D) 145
2. ¿Cuál de los siguientes números no es un divisor de 63700?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 11
E) 150
E) 13
3. ¿Cuántas cifras tiene el producto que se obtiene al multiplicar los números 29 y 58 ?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
4. Durante toda una semana, Franquito comió caramelos. El primer dı́a comió cierta
cantidad de caramelos y cada uno de los dı́as siguientes comió un caramelo más que el
dı́a anterior. Si en total comió 49 caramelos. ¿Cuántos caramelos comió Franquito el
último dı́a de dicha semana?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
5. Si N = 20082008, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) N es múltiplo de 2008.
B) N no es múltiplo de 9.
C) N + 1 es un número compuesto.
D) N 2 es un múltiplo de 7.
E) N es múltiplo de 8.
1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
6. En un instituto de idiomas, en el que solo se enseña inglés, francés y ruso, el 70 %
del alumnado estudia inglés, el 30 % estudia francés, el 10 % estudia ruso y ningún
alumno estudia los tres idiomas. ¿Qué porcentaje de los alumnos estudia exactamente
un idioma?
A) 50 %
B) 60 %
C) 70 %
D) 80 %
E) 90 %
7. Calcula el valor P + E + R + U reconstruyendo la siguiente división exacta:
Nota.- Letras iguales corresponden a dı́gitos iguales.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
8. Veinticinco panes cuestan tantos nuevos soles como panes se pueden comprar con un
nuevo sol. ¿Cuántos céntimos cuesta cada pan?
A) 5
B) 10
C) 20
D) 25
E) 50
9. Inés y Juan hicieron un extraño acuerdo. Inés miente los Miércoles, Jueves y Viernes,
pero dice la verdad en el resto de la semana. Juan miente los Domingos, Lunes y Martes,
pero dice la verdad en todos los otros dı́as. Cierto dı́a ambos dijeron : “Mañana es dı́a
de mentir”, ¿en qué dı́a dijeron esto?
A) Lunes
B) Martes
C) Miércoles
D) Viernes
E) Sábado
10. Halla el mayor número natural M que tiene la siguiente propiedad: “Todos los números
naturales menores que M son divisores del número 720720 ”.
A) 19
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
11. ¿Cuál es el menor número primo que se puede expresar como la suma de dos números
compuestos?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
12. Un campesino tiene dos terrenos, uno de 4000 m2 y el otro de 5000 m2 , en uno de los
terrenos va a sembrar papas y en el otro, camotes. Él sabe que 1 m2 de terreno produce
1,5 kg. de papa o 1,2 kg de camotes. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede obtener, si
gana S/. 0.80 por cada kilo de papas y S/. 0.60 por cada kilo de camotes?
A) S/. 8000
B) S/. 8400
C) S/. 8800
D) S/. 8880
E) S/. 9020
2
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de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
13. En la figura se muestra un tablero de 6 × 6, que tiene algunas casillas pintadas. Se
desea pintar N casillas más, de tal forma que cada fila y cada columna tenga al menos
2 casillas pintadas. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar N ?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
14. En un juego infantil se van diciendo números consecutivos del 1 al 100 y se aplaude
cada vez que se dice un múltiplo de 3 ó un número que termina en 3. El juego termina
cuando se llega al número 100. ¿Cuántas veces se aplaudió durante el juego?
A) 10
B) 33
C) 39
D) 43
E) 47
15. Halla un número de tres cifras que sea múltiplo de 5 y que deje el mismo resto al ser
dividido por 6, 8, 9 y 11. Da como respuesta el producto de sus cifras.
A) 0
B) 15
C) 45
D) 315
E) 360
16. Consideremos el número N = 111 · · · 111 formado por 2008 dı́gitos iguales a 1. Calcula
el resto que se obtiene al dividir N entre 2002.
A) 1
B) 110
C) 1001
D) 1111
E) 2001
17. Ariel escribe los números desde el 1 hasta el 200. Bernardo elimina todos los números
cuya suma de sus cifras es 12 y, de los restantes, Carlos elimina aquellos que son
múltiplos de 12. Halla la cantidad de números que quedaron al final.
A) 185
B) 172
C) 180
D) 173
E) 175
18. Un número natural se denomina “progresivo” si sus cifras son crecientes de izquierda
a derecha y además forman un progresión geométrica de razón entera mayor que 1.
¿Cuántos números progresivos existen?
A) 4
B) 7
C) 11
D) 15
E) 18
19. ¿Cuál es el menor múltiplo de 125 cuya suma de cifras es 125? Da como respuesta la
suma de las 4 cifras de dicho número que están más a la derecha.
A) 29
B) 14
C) 17
D) 18
E) 21
3
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de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
20. Giacomo y Adrian juegan el siguiente juego: Giacomo escribe un número entre 4 y 9,
luego Adrian le suma un número entre 1 y 6, después Giacomo le suma un número
entre 4 y 9, y ası́ sucesivamente. Si gana el que escribe el número 200. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
A) En ningún caso se puede asegurar quien ganará.
B) Adrian tiene una estrategia con la cual siempre ganará.
C) Ninguno tiene la seguridad de ganar al empezar el juego.
D) Giacomo tiene una estrategia con la cual siempre ganará.
E) Giacomo y Adrian tienen cada uno estrategias con las cuales siempre ganan.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
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Primera Fase - Nivel 2
20 de junio del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En la siguiente figura se muestran un cuadrado, un triángulo equilátero y los ángulos
x, y, z.
Halla x + y + z.
A) 240◦
B) 270◦
C) 300◦
D) 330◦
E) 360◦
2. Halla el menor número capicúa mayor que 2008. Da como respuesta la suma de los
cuadrados de las cifras de dicho número.
Nota.- Un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda
se denomina capicúa, por ejemplo 14441, 2002 y 25452 son capicúas.
A) 8
B) 10
C) 16
D) 12
E) 20
3. En un salón de clase, el profesor escribe 30 números en la pizarra y le pide a Israel que
calcule el promedio de los 30 números, a John el promedio de los 20 primeros y a Daniel
el promedio de los 10 últimos. Si John le dictó al profesor el número 10 y Daniel, el
número 40, ¿qué número dijo Israel?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
4. Calcula (12 − 22 − 32 + 42 ) + (52 − 62 − 72 + 82 ) + · · · + (20052 − 20062 − 20072 + 20082 ).
A) 502
B) 1004
C) 2008
D) 0
E) −2008
1
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Primera Fase - Nivel 2
5. Sea A la cantidad de dı́gitos de 168 × 530 y B la suma de dı́gitos de 168 × 530 . Halla
A + B.
A) 4
B) 30
C) 31
D) 35
E) 34
6. Ana, Bertha, Carla y Diana tienen juntas 200 nuevos soles y juegan con su dinero del
siguiente modo: Ana le da la mitad de lo que tiene a Bertha, luego Bertha le da la
mitad de lo que tiene a Carla y en seguida Carla le da la mitad de lo que tiene a Diana,
quien finalmente le da 10 nuevos soles a Ana. Si al final del juego todas tienen igual
cantidad de dinero, ¿cuántos nuevos soles tenı́a Ana al comenzar el juego?
A) 10
B) 40
C) 50
D) 60
E) 80
7. Si 64x + 64−x = 1022, entonces 8x + 8−x es igual a:
A) 16
B) 30
C) 32
D) 64
E) 128
8. Un libro de 100 páginas tiene numeradas sus páginas desde el 1 hasta el 100. ¿Cuántas
de estas páginas tienen algún dı́gito 5 en su numeración?
A) 10
B) 15
C) 19
D) 20
E) 18
9. Dante prestó 750 nuevos soles a cada uno de sus amigos Andrés, Bruno y Cristóbal, con
la condición de que cada uno le devuelva 810 nuevos soles. Actualmente la deuda de
Andrés es igual al triple de la deuda de Bruno, e igual al doble de la deuda de Cristóbal.
Si lo que ya pagó Andrés es a lo que ya pagó Cristóbal como 3 es a 4, ¿cuánto debe
Bruno?
A) 675
B) 54
C) 108
D) 324
E) 216
10. Sea P uno de los vértices de un decágono regular, ¿cuántas diagonales de dicho decágono
no pasan por P ?
A) 7
B) 14
C) 28
D) 32
E) 35
11. Se escribe en orden creciente los números enteros positivos que son múltiplos de 2 o
múltiplos de 3 pero no de ambos, ¿cuál es el número que ocupa la posición 2008?
A) 4014
B) 4016
C) 6021
D) 6020
E) 4017
12. P (x) es un polinomio que cumple P (2x + 3) = 4x2 + 2x − 1, para todo x real. Si
a4 + a3
.
P (a + 3) = 0, calcula
a−1
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
13. En un triángulo ABC, la altura y la mediana relativas a A dividen al ángulo A en tres
partes iguales. Halla la diferencia entre el mayor y el menor de los ángulos del triángulo
ABC.
A) 30◦
B) 60◦
C) 90◦
D) 120◦
E) 0◦
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Primera Fase - Nivel 2
14. Resuelve, en el conjunto de los números reales, el siguiente sistema
x(y + z) = 35
y(x + z) = 27
z(x + y) = 32.
Da como respuesta el valor de |x + y + z|.
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
15. En la pizarra están escritos los números
1, 2, 3, 4, . . . , 108, 109, 110.
Si se borran todos los números que son iguales al triple del producto de sus cifras,
¿cuántos números quedan?
A) 110
B) 109
C) 108
D) 107
E) 106
16. Sean a, b y c números reales tales que las raı́ces de la ecuación x2 + ax + b = 0 son r1
a2
r1 r2
y . Calcula .
y r2 y las raı́ces de la ecuación x2 + 3x + 3c = 0 son
r2 r1
bc
1
1
A) −
B) −3
C)
D) 3
E) 1
3
3
17. ¿Cuántos números de tres cifras son iguales a 37 veces la suma de sus cifras?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
18. En la figura se muestra 4 cuadraditos de 1 cm de lado, en los que se han marcado los
10 vértices (algunos vértices pertenecen a varios cuadraditos). Se desea pintar dichos
vértices de rojo, verde o azul, de tal forma que si la distancia entre dos vértices es 2 cm,
entonces esos vértices se pintan del mismo color. ¿De cuántas formas se puede hacer
esto?
Nota.- No necesariamente se usan los tres colores.
A) 27
B) 54
C) 81
3
D) 9
E) 36
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Primera Fase - Nivel 2
19. Las raı́ces de la ecuación x3 + ax + a = 0 son x1 , x2 y x3 . Si se cumple que
(x1 − 1)3 + (x2 − 3)3 + (x3 + 4)3 = 0,
halla la cantidad de valores que puede tomar a.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Más de 3
20. Sea B un subconjunto del conjunto {1, 2, 3, · · · , 20}, tal que si a y b pertenecen a B,
entonces a + b es un número compuesto. Halla el mayor número de elementos que puede
tener B.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
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Primera Fase - Nivel 3
20 de junio del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Se sabe que N grados sexagesimales equivalen a (N +10) grados centesimales. ¿Cuántos
Nπ
grados sexagesimales equivalen a
radianes ?
15
A) 540
B) 720
C) 900
D) 1080
E) 1620
2. A un alambre de 26 m se le dio 3 cortes, uno después de otro, de manera que la longitud
de cada trozo resultante (a partir del segundo trozo) sea igual al del inmediato anterior
aumentado en su mitad. ¿Cuántos centı́metros mide el trozo de menor longitud?
A) 320
B) 32
C) 100
D) 260
E) 26
3. Definimos el operador ∆ de la siguiente forma:
x∆y = x2 + y,
Si r1 y r2 , con r1 < r2 , son las raı́ces de la ecuación
(2 x)∆1 + 1∆(2 x) = x∆2,
halla el valor de r2 − 6 r1 .
A) 9
B) −4
C) 4
D) −
2
3
E) −
3
2
E)
7
4
4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que
sen A · sen 60◦ = sen B · sen 45◦ .
Calcula 2 tan2 A + sec2 A.
11
B) 4
A)
3
C) 3
1
D) 2
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Primera Fase - Nivel 3
5. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 72◦ . Si el radio disminuye el 25 %,
¿cuántos grados sexagesimales hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para
que el área no varie?
A) 90◦
B) 72◦
C) 36◦
D) 40◦
E) 56◦
6. En el triángulo ABC la bisectriz del ángulo ∠ABC interseca al lado AC en el punto
D, la bisectriz del ángulo ∠BDC interseca al lado BC en el punto E. Si la bisectriz del
ángulo ∠BED es perpendicular al lado AB, y además ∠ACB = 26◦ , calcula ∠ADE.
A) 66◦
B) 114◦
C) 77◦
D) 103◦
E) 11◦ .
7. Las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) para medir temperaturas, están relacionadas
por una función cuya gráfica es una recta. Si 0◦ C equivale a 32◦ F y 100◦ C equivale a
212◦ F, ¿a cuántas grados Celsius equivale 86 grados Fahrenheit?
A) 36
B) 40
C) 24
D) 25
E) 30
8. Tres ángulos al ser expresados en grados sexagesimales miden S1 , S2 , S3 y al ser expresados en grados centesimales miden C1 , C2 , C3 , respectivamente. Se sabe que S1 , S2 , S3
forman una progresión aritmética (en ese orden) de razón 18 y que 4C3 = 3(C1 + C2 ).
Calcula S2 + C2 .
A) 76
B) 95
C) 114
D) 133
E) 152
9. Sea P un punto interior de un cuadrado ABCD. Si las áreas de los triángulos P DA y
P BC√son 4 y 6, respectivamente,
calcula la longitud de la diagonal del cuadrado. √
√
A) 2 5
B) 2 10
C) 5
D) 8
E) 5 2
10. ¿Cuántos números múltiplos de 15, de 6 cifras están formados únicamente con los dı́gitos
5 y 8?
Nota.- El número puede tener todos sus dı́gitos iguales.
A) 32
B) 31
C) 64
D) 48
E) 10
11. Si x es un ángulo agudo, sean
M=
2cos3 x · sen x
2sen3 x · cos x
+
,
sen x + cos x + 1 sen x + cos x − 1
N = sen x(1 + sen x) + cos x(1 + cos x) − 1.
M
.
N
A) 1 + sen x + cos x
B) 1 − sen x + cos x
C) 1 + sen x − cos x
D) 1 − sen x − cos x
E) sen x + cos x − 1
Calcula
2
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(ONEM 2008)
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Primera Fase - Nivel 3
12. La circunferencia inscrita en el triángulo ABC √
es tangente al√lado AB en el√punto M y
tangente al lado BC en el punto N . Si AB = 5 2, BC = 12 2 y AC = 13 2 , calcula
MN.
√
√
√
A) 2
B) 2 2
C) 2
D) 4
E) 4 2
13. El promedio de los 3n + 2 primeros números naturales que no son múltiplos de 4, es
un número que es mayor que 101, pero menor que 102. ¿Cuál es el menor múltiplo de
4 que es mayor que n ?
A) 47
B) 48
C) 50
D) 52
E) 56
14. En un rombo ABCD, M es punto medio de AB y N es punto medio de AD. Si
∠ABD = θ y ∠M CN = 2α, calcula cos2 θ (9 + cot2 α).
A) 3
B) 6
C) 7
D) 9
E) 14
15. En una granja de Cajamarca hay 50 vacas. Algunas de ellas dan 7 litros de leche diarios
y las demás, dan 8. Si al cabo de un cierto número de dı́as las vacas dieron en total
4836 litros de leche, ¿cuantás vacas dan 8 litros de leche diarios?
A) 47
B) 32
C) 13
D) 28
E) 22
16. Sea ABCDEF un hexágono equiángulo, si AB = BC, CD = 4, DE = 14 y EF = 6,
calcula el área del hexágono.
Nota.-√Un hexágono es equiángulo
si sus seis √
ángulos interiores √
tienen igual medida.
√
√
A) 106 3
B) 144 3
C) 128 3
D) 96 3
E) 108 3
17. En la figura se muestran un cuadrado ABCD y una recta L exterior al cuadrado. Sean
P y Q las proyecciones ortogonales de los puntos A y C sobre L.
Si el área del pentágono P ADCQ es a, y el producto AP · CQ es b, halla la distancia
del punto D a la recta L.
√
√
√
√
√
√
√
√
a+ b
A) a − b
B) b − a
C) b − a
D) a − b
E)
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(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
Peruana
Primera Fase - Nivel 3
18. Sean a, b, c números enteros no nulos tales que a + b + c = 0 . ¿Cuál es el mayor valor
que puede tomar ab + bc + ac ?
3
A) 0
B) −1
C) −
D) −2
E) −3
2
19. ¿Cuántos números naturales menores que 10000 tienen más dı́gitos impares que pares?
A) 1105
B) 3505
C) 1505
D) 2105
E) 4105
20. Sea N el menor número natural que es múltiplo de 88 y cuyas cifras suman 88. Calcula
la suma de las 8 siguientes cifras del número N : las 4 primeras y las 4 últimas.
A) 8
B) 60
C) 61
D) 64
E) 68
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Segunda Fase - Nivel 1
19 de agosto del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un agricultor invirtió S/. 4800 en el cultivo de arroz, luego de la cosecha guardó el
arroz en sacos de igual tamaño y los llevó a la ciudad para venderlos, gastando S/. 200
en el transporte. Si recibió S/. 6400 por la venta de arroz, y además ganó S/. 20 por
cada saco de arroz vendido. ¿Cuántos sacos de arroz llevó el agricultor a la ciudad?
2. El precio de un litro de aceite durante el mes de agosto varı́a de la siguiente manera: El
dı́a 1 cuesta S/. 5.00, el dı́a 2 cuesta S/. 5.10, el dı́a 3 cuesta S/. 5.20 y ası́ sucesivamente
hasta el dı́a 31 que cuesta S/. 8.00. Un cocinero compra un litro de aceite cada dı́a de
dicho mes excepto un dı́a, y gasta en total S/. 194.70. ¿Qué dı́a de agosto no compró
aceite?
3. ¿Cuántos números de 3 dı́gitos cumplen que la suma de sus dı́gitos es 25 ?
4. ¿Cuántos números del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} se pueden expresar como la suma de 3 enteros consecutivos ?
5. Encuentra el menor entero positivo n para el cual el triple de n es un cuadrado perfecto
y el doble de n es un cubo perfecto.
6. En el colegio “Las Semillitas del Saber” el profesor le da a Manuelito un número entero
entre 180 y 240, y le pregunta si ese número es primo o compuesto; inmediatamente
Manuelito divide ese número entre 2, 3, 5, 7 y 11, y todos los restos que obtiene son
distintos de cero, entonces le responde al profesor: “ el número es primo” , sin embargo
el profesor le dice que su respuesta es incorrecta. ¿Qué número le dio el profesor a
Manuelito?
7. Andrés escribió en una lista todos los números de cuatro dı́gitos que tienen exactamente
dos dı́gitos iguales a 5, ¿cuántos números de la lista de Andrés son múltiplos de 5 ?
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Segunda Fase - Nivel 1
19 de agosto del 2008
8. La suma de tres enteros positivos es 770, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar su
máximo común divisor?
9. En el planeta SEYKA hay H habitantes y el año tiene una duración de 101 dı́as.
Se sabe que en tres dı́as consecutivos cualesquiera hay exactamente 7 habitantes que
cumplen años en esos dı́as, y que en cuatro dı́as consecutivos cualesquiera hay al menos
9 habitantes que cumplen años en esos dı́as. Halla el mayor valor posible de H.
10. Decimos que un entero positivo n es especial si es posible dividir un tablero 7 × 7 en n
cuadrados de lados enteros.
Ejemplo: El número 18 es especial pues es posible dividir un tablero 7×7 en 18 cuadrados
de lados enteros como muestra la figura
¿Cuántos números del conjunto {7, 9, 10, 12, 14, 15} son especiales?
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19 de agosto del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Tres hermanas casadas visitan a sus padres cada 2, 3 y 5 dı́as, respectivamente. Si las
tres hermanas se encontraron en su visita el primer dı́a del año. ¿Cuántas veces en total
coincidirán las tres hermanas en sus visitas a sus padres en ese año?
2. Un cuadrado 3 × 3 debe ser rellenado, sin superposiciones ni extremos sobrantes usando
solo rectángulos de 3 × 1 y de 2 × 1 como los de las figuras. ¿De cuántas maneras se
puede hacer el rellenado?
Aclaración.- No es necesario que en todos los casos se usen los dos tipos de rectángulos.
3. Al dividir el polinomio P (x) = ax5 + 3x4 + 5x + 6 entre el polinomio (x − 2) se obtiene
128 de residuo. Calcula la suma de los coeficientes del polinomio Q(x) definido por
Q(x) ≡ P (x + 2).
4. Sean a y b números reales tales que a3 + b3 = 13 y a9 + b9 = 1144. Halla el valor de ab.
1
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(ONEM 2008)
Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 2
19 de agosto del 2008
5. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones?
½ x+y
x
= y3
y x+y = x6 y 3
6. Encuentra el menor número de 3 dı́gitos tal que el triple de este número tiene todos
sus dı́gitos pares.
Aclaración.- Recuerda que el 0 es par.
7. ¿Cuál es el máximo común divisor de los siguientes 20 números?
212 (212 − 1),
222 (222 − 1),
232 (232 − 1),
242 (242 − 1),
...,
402 (402 − 1)
8. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Se ubican los puntos D y E sobre los
lados BC y AC, respectivamente, tales que 2 · ED + AD = 2 · AB, el ángulo ∠EDA
mide el doble que ∠DAB, y ∠CED es recto. Halla la medida del ángulo ∠BCA, en
grados sexagesimales.
9. Sean x, y dos números reales que satisfacen la condición |x + y| + |x − y| = 2. Halla el
máximo valor de
x2 + y 2 − 12(x + y).
10. Algunas casillas de un tablero de 7×7 deben pintarse de tal modo que en cada rectángulo
2 × 3 ó 3 × 2 haya al menos una casilla pintada. ¿Cuál es la mı́nima cantidad de casillas
pintadas que puede tener el tablero?
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Segunda Fase - Nivel 3
19 de agosto del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Mario, Fernando y Alonso son tres hermanos. En el año 2004 la edad de Alonso era
el doble de la edad de Mario, y actualmente, en el año 2008, la suma de las edades
de Fernando y Alonso es el triple de la edad de Mario. Se sabe que, cuando Fernando
nació, Alonso tenı́a 2 años. ¿En qué año la suma de las edades de los tres hermanos
será 70 años?
2. Calcula el área del triángulo formado por los ejes cartesianos y la recta de ecuación
2x + 3y − 12 = 0.
3. Con 120 cubitos de arista 1 se construye un paralelepı́pedo de 4 × 5 × 6. Cada cara
del paralelepı́pedo es pintada de color rojo. ¿Cuántos cubitos tienen al menos una cara
pintada?
7
4. El área de un triángulo ABC, recto en B, es 630 cm2 y además tanA + secA = .
2
¿Cuántos centı́metros mide la hipotenusa?
5. Sea N un número de 3 dı́gitos, y sea M el número que resulta al invertir el orden de
los dı́gitos de N . Si el producto de M y N es 394695, calcula la suma de los dı́gitos de
N.
1
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Sociedad Matemática
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Segunda Fase - Nivel 3
19 de agosto del 2008
6. En el siguiente gráfico:
Calcula (2 − cos2α)2 .
7. En un triángulo ABC, con AB < BC, la bisectriz interior trazada desde el vértice B
corta al lado AC en el punto D. Sean M y N los pies de las alturas trazadas desde A
y C hacia la recta BD. Si BM = 10 y BD = 12, halla BN .
8. Sea ABC un triángulo donde AB = 3, BC = 5 y CA = 4. Si P es un punto en el mismo
plano del triángulo ABC, halla el máximo valor que puede tomar
2 (P B)2 − (P A)2 − 3 (P C)2 .
9. Encuentra la cantidad de números abcde de 5 dı́gitos positivos y distintos entre sı́, tales
que a > b, b < c, c > d y d > e.
10. Si la ecuación (senx)3 + (cosx)3 = a senx cosx tiene exactamente dos soluciones en el
intervalo [0, π], halla el valor de a4 + a2 + 1.
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Tercera Fase - Nivel 1
2 de octubre del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. La secuencia de números 2, 4, 8, 32, 256, . . . cumple que cada término, a partir del tercero
es igual al producto de los dos anteriores. ¿Cuál es el dı́gito de las unidades del término
de lugar 18?
2. A una reunión asistieron peruanos, bolivianos y chilenos. ¿Cuántas personas deben
haber como mı́nimo para poder asegurar que hay 3 personas que nacieron en el mismo
paı́s?
3. Un reloj digital marca la hora en el formato horas:minutos, desde las 00:00 hasta las
23:59. Si en determinado momento muestra las 20:08, ¿cuántos minutos deben pasar
como mı́nimo para que aparezcan de nuevo los mismos 4 dı́gitos en el reloj, en algún
orden?
4. Un cuadrado mágico es aquel en que la suma de los números en cada fila, en cada
columna y en cada diagonal es siempre la misma. Completar, con dı́gitos, el siguiente
cuadrado mágico y dar el valor de x.
3
X
4
1
5
5. En un salón de clases, cada uno de los alumnos siempre dice la verdad o siempre miente.
Los alumnos Juan, Raúl y Pablo afirman:
Juan: “Hay 5 mentirosos en el salón”
Raúl: “Hay 4 mentirosos en el salón”
Pablo: “Juan siempre dice la verdad”
Si se sabe que exactamente 2 de estos tres alumnos son mentirosos, ¿cuántos alumnos
en el salón siempre dicen la verdad?
6. Andrés dijo un número natural. Eduardo lo multiplicó por 5 ó por 6. Ingrid sumó 5 ó
6 al resultado de Eduardo. Omar restó 5 ó 6 al resultado de Ingrid. El resultado final
fue 73. ¿ Cuál fue el número que dijo Andrés?
7. El matemático Jean Poncelet nació en el año 17aa, y en el año 1811, cuando el tenı́a
bc años nació el matemático Evaristo Galois. En el año 18cb cuando Poncelet tenı́a 44
años falleció Galois a temprana edad. ¿A qué edad falleció Galois?
8. Sea abcdef un número de 6 cifras que satisface:
abcdef × 6 = def abc.
Hallar el valor de a + b + c + d + e + f .
9. En una tabla de 3×3 se tiene 16 vértices, algunos de los cuales se colorean. En cada uno
de los 9 cuadraditos se coloca un número que indica la cantidad de vértices coloreados
de dicho cuadradito. En la figura no sabemos cuales son los vértices coloreados, pero sı́
tenemos 8 de los números escritos. Hallar la suma de los valores que puede tomar X.
2
2
1
2
X
3
3
2
2
10. Decimos que un entero positivo es óptimo si en su escritura decimal los dı́gitos 1 y 8
aparacen ambos exactamente una vez. Por ejemplo 2018 y 1578 son óptimos y 2008 y
1128 no son óptimos. Sea S la suma de los 770 menores números óptimos. Calcula el
resto de dividir S entre 10 000.
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2 deoctubre del 2008
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
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tus cálculos.
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caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
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ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Si 4n + 4n + 4n + 4n = 22008 , halla n.
2. El pasaje de Lima a Huacho normalmente cuesta 8 nuevos soles normalmente, el de
Huacho a Barranca cuesta 3 nuevos soles y el de Lima a Barranca 9 nuevos soles.
Cincuenta jóvenes que viven en Lima decidieron ir a Barranca, pero algunos optaron por
bajar en Huacho para conocer la ciudad y después fueron a Barranca. En la ida gastaron
en total 512 nuevos soles. Al regreso, los que habı́an bajado en Huacho decidieron ir de
frente a Lima y los otros optaron por bajar en Huacho antes de ir a Lima, pero todos
los pasajes se habı́an incrementado en 1 nuevo sol. ¿Cuánto gastaron en total en su
regreso a Lima?
3. Halla el área del cuadrilátero ABCD.
C
5
B
6
4
A
3
D
4. Sea N un número natural tal que N 2 tiene 7 dı́gitos y es de la forma:
N 2 = x030y06x.
Calcula N .
1
5. ¿Cuántas parejas de números enteros (x, y) satisfacen la relación
x2 5
+ = 7?
2
y
6. En un torneo de fútbol participaron 22 equipos y al final de la primera fecha se habı́an jugado 11 partidos y se anotaron 9 goles en total. Si por cada partido ganado se
obtiene 3 puntos, por cada partido empatado se obtiene 1 punto y por cada partido perdido se obtiene 0 puntos. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son necesariamente
verdaderas?
Al menos uno de los partidos quedó empatado.
Es posible que todos los equipos tengan el mismo puntaje.
Algún equipo obtuvo 3 puntos.
Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 1 punto cada uno.
Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 3 puntos cada uno.
7. ¿Cuántos números de 5 cifras de la forma 37abc existen tales que 37abc, 37bca y 37cab
sean todos múltiplos de 37?
8. Hallar |a − b| al resolver el sistema
√
√
a a + b b = 183
√
√
a b + b a = 182
9. ¿Cuántas parejas (a, b) de enteros positivos cumplen las siguientes tres condiciones a la
vez:
a > b.
a − b es múltiplo de 3.
a y b son divisores de 68 ?
10. Los números enteros del 1 al 25 son distribuidos en un tablero de 5 × 5 casillas, uno
en cada casilla, de tal modo que dos números consecutivos siempre están ubicados en
casillas vecinas, como por ejemplo:
13
14
15
16
25
12
1
2
17
24
11
10
3
18
23
8
9
4
19
22
7
6
5
20
21
¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los elementos de una diagonal (de
5 casillas)?
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2 de octubre del 2008
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tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En
caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Si se cumple que
√
q
tan x − 1 +
tan y −
√
q
3+
√
3 tan z − 1 = 0
con 0o < x, y, z < 90o , halla el valor de x + y + z en grados sexagesimales.
2. El desarrollo plano de un cubo es el siguiente
En cada cara se ha pintado una de sus diagonales. Un vértice del cubo se denomina
bueno si en él concurren al menos dos diagonales pintadas. ¿Cuántos vértices buenos
tiene dicho cubo?
3. ¿Cuántas personas como mı́nimo deben haber en un restaurante para poder asegurar
que en ese restaurante, hay al menos dos personas del mismo sexo nacidas en el mismo
mes?
1
4. Sean x1 , x2 con 0 < x1 < x2 < 360o las soluciones de la ecuación
sen(x − 70) = 2 sen x sen 20
Halla el valor de x1 + x2 en grados sexagesimales.
5. En el gráfico mostrado DAC es un cuadrante y M es el punto medio de CD.
B
C
N
M
A
D
Si ∠AN M = θ, halla el valor de sec2 θ.
6. Sea x un número real positivo tal que x3 = 1 + 2x. Si xm = (3x + 2)2 , halla el valor de
m.
7. Para cada entero positivo n ≥ 2, sea p(n) el mayor divisor primo de n, por ejemplo
p(20) = 5, pues 5 es el mayor divisor primo de 20. Halla la suma de todos los valores
de n tales que n = 20p(n) + 2008.
8. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD tal que se cumple 2BD + AD =
CD y ∠ABD = 2 ∠BAC = 4 ∠ACB. Halla la medida del ángulo DBC, en grados
sexagecimales.
9. En cada casilla del siguiente tablero de 4 × 4
se debe escribir un 1 ó un 2, de tal forma que la suma de los números en cada fila y en
cada columna sea un número primo. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
10. Sean x, y, z números reales que satisfacen
x = 2y 2 − 1
y = 2z 2 − 1
z = 2x2 − 1
Halla la cantidad de valores distintos que puede tomar x + y + z.
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Primera Fase - Nivel 1
26 de junio de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Pepito tiene 13 años y Juanita tiene 9 años. ¿Dentro de cuántos años la suma de sus
edades será el doble de la suma actual?
A) 11
B) 12
C) 15
D) 22
E) 23
2. Un turista llega al Cusco y decide cambiar sus euros. Si por cada 4 euros le dan 5
dólares, ¿cuántos dólares recibirá el turista al cambiar 62 euros?
A) 77 dólares B) 77, 5 dólares C) 75 dólares D) 75, 7 dólares E) 49, 6 dólares
3. Calcula el valor de (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3) · · · (1 − 2009)
A) 1
B) 2009
C) 20092
D) 2008
E) 0
4. Carlos vende cubos mágicos por mayor. Los vende en cajas que contienen exactamente
12 cubos. Si dispone de 500 cajas vacı́as y N cubos ¿en cuál de los siguientes casos le
falta cubos para tener un número exacto de cajas llenas de cubos?
A) N = 1524
B) N = 5124
C) N = 5412
D) N = 1452
E) N = 2514
5. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 5
gramos cuesta S/. 1000, ¿cuánto cuesta un diamante de 2 gramos?
A) S/. 320
B) S/. 400
C) S/. 200
D) S/. 240
E) S/. 160
6. Mi calculadora tiene dos botones especiales. Cuando presiono el botón A, el número
que está en la pantalla se duplica, y cuando presiono el botón B, el número que está
en la pantalla disminuye en 2. En una ocasión, en mi calculadora digité mi número
favorito; presioné tres veces seguidas el botón A, y luego tres veces seguidas el botón
B, y la pantalla mostró el número 50. ¿Cuál es mi número favorito?
A) 4
B) 5
C) 6
1
D) 7
E) 8
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Primera Fase - Nivel 1
26 de junio de 2009
7. A un congreso internacional de matemática asistieron 520 personas. Se sabe que 310
personas son sudamericanas y que la cantidad de peruanos es la mitad de los que no
son sudamericanos. ¿Cuántos peruanos asistieron al congreso?
A) 100
B) 105
C) 115
D) 111
E) 91
8. Por fin de temporada, una tienda de ropa tiene la siguiente oferta:
“Llévate dos polos y el más barato te sale gratis”.
Andrea escogió cuatro polos de precios S/. 24, S/. 22, S/. 30 y S/. 35. ¿Cuánto dinero
necesita como mı́nimo para que se pueda llevar los 4 polos?
A) 57
B) 59
C) 65
D) 46
E) 52
9. ¿Cuál es el menor número natural N por el cual hay que multiplicar a 27 para obtener
un número cuya suma de sus dı́gitos sea 27? Da como respuesta el producto de los
dı́gitos de N .
A) 21
B) 0
C) 81
D) 36
E) 63
10. Los números del 1 al 9 deben escribirse en las casillas del siguiente tablero
3
1
5
x
de tal modo que dos números consecutivos no estén en casillas vecinas. ¿Qué número
es x? Aclaración. Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.
A) 8
B) 7
C) 6
D) 9
E) 5
11. Un periódico cuesta S/. 0.90 y puede ser comprado junto a un suplemento opcional que
cuesta S/. 1.50. Al final del dı́a, se han vendido 333 ejemplares del periódico y se ha
recaudado en total S/. 539.70. ¿Cuántas ejemplares del suplemento se han vendido?
A) 160
B) 173
C) 152
2
D) 174
E) 200
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Primera Fase - Nivel 1
26 de junio de 2009
12. Tengo un recipiente de 20 litros de capacidad máxima con cierta cantidad de agua y
quiero determinar cuántos litros de agua hay en el recipiente, usando dos jarrones. El
primer jarrón es de 4 litros y si saco agua usándolo varias veces, me quedarı́an 2.7 litros
en el recipiente; el segundo jarrón es de 2.5 litros y si saco agua usándolo varias veces,
me quedarı́an 1.2 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros de agua hay en el recipiente?
A) 13.7
B) 14.7
C) 16.7
D) 16.2
E) 18.7
13. Se debe colocar losetas a un patio de 4, 21 m por 5, 33 m. Las losetas escogidas sólo se
venden en cajas a 70 nuevos soles cada una para cubrir 2 metros cuadrados y en cajas a
100 nuevos soles cada una para cubrir 3 metros cuadrados. ¿Cuál es la menor cantidad
de nuevos soles que se puede gastar para comprar las losetas necesarias para colocarlas
en el patio?
A) 750
B) 770
C) 800
D) 840
E) 850
14. ¿Cuántos elementos del conjunto {10, 11, 12, . . . , 98, 99} cumplen que la suma de sus
dı́gitos es un número par ?
A) 40
B) 42
C) 45
D) 46
E) 50
15. Un comerciante compró una cantidad de juguetes a n soles cada uno. Si el comerciante
logró vender P juguetes menos de los que compró, vendiéndolos a m soles cada uno, y
obtuvo una ganancia de 6 m soles, ¿cuántos juguetes compró?
m(P + 6)
(P + 6)
n(P + 6)
m(P + 6)
6(P + n)
A)
B)
C)
D)
E)
m−n
n−m
m−n
n−m
n−m
16. El número total de alumnos de las secciones A y B del cuarto grado es 104. Cada
alumno tiene exactamente un amigo en el cuarto grado; decimos que un alumno es
tı́mido si su amigo pertenece a su misma sección y decimos que es sociable si su amigo
está en la otra sección. Si 60 alumnos son sociables y hay 20 alumnos tı́midos en la
sección A, ¿cuántos alumnos hay en la sección B?
A) 44
B) 54
C) 50
D) 52
E) 60
17. ¿Cuántos números capicúas de 5 dı́gitos no son múltiplos de 5? Aclaración: Un número
capicúa es aquel que leı́do de izquierda a derecha es el mismo que leı́do de derecha a
izquierda, por ejemplo, 1221 y 34043 son capicúas.
A) 720
B) 900
C) 729
3
D) 576
E) 800
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26 de junio de 2009
18. En la siguiente suma, cada letra representa un dı́gito mayor que cero:
ON EM + P ERU = 3793;
además, letras distintas representan dı́gitos distintos. Halla
O 2 + N 2 + E 2 + M 2 + P 2 + E 2 + R2 + U 2
A) 140
B) 145
C) 149
D) 100
E) 107
19. En una caja, tengo pañuelos rojos, blancos, azules y verdes; 7 pañuelos de cada color.
¿Cuántos pañuelos debo sacar como mı́nimo, sin ver, para estar seguro de tener al
menos 3 pañuelos rojos, 2 pañuelos blancos y 1 pañuelo azul?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 21
20. Un tablero de ajedrez de 8 × 8 (como se muestra en la figura) es dividido en N rectángulos que no se superponen, de acuerdo a las siguientes condiciones:
Cada rectángulo está formado sólo por cuadraditos del tablero.
Cada rectángulo tiene la misma cantidad de cuadraditos blancos que de negros.
No hay dos rectángulos que estén formados por la misma cantidad de cuadraditos.
Halla el mayor valor posible de N .
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
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E) 5
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26 de junio de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En un salón de clases de 50 alumnos, 24 no trajeron el libro de comunicación y 28 no
trajeron el libro de matemática. Si 14 estudiantes no trajeron el libro de matemática
ni el de comunicación, ¿cuántos estudiantes trajeron solamente un libro?
A) 14
B) 28
C) 24
D) 30
E) 20
2. Raúl reparte su herencia entre sus tres hijas de tal forma que a la primera le toca los
4
3
del total, a la segunda los y a la tercera S/. 1800. ¿Cuál fue el total de la herencia?
15
5
A) S/. 13500
B) S/. 750
C) S/. 3000
D) S/. 9000
E) S/. 15000
3. Si m y n son números enteros tales que m + n = 5, entonces 2m − n no puede ser igual
a
A) −5
B) 1
C) −2
D) 2
E) 7
4. Omar tiene cierto número de rosas y quiere regalarlas a sus amigas. Si regala 8 rosas
a cada una le sobran 15, pero si quisiera regalar 11 rosas a cada una le faltarı́an 3.
¿Cuántas rosas tiene Omar?
A) 63
B) 61
C) 69
D) 78
E) 55
5. Dos números son tales que el triple del mayor excede a un tercio del menor en 176; y
cinco veces el menor excede a tres octavos del mayor en 216. Halla la diferencia positiva
de los números.
A) 36
B) 64
C) 16
D) 24
E) 48
6. Sea P (x) un polinomio tal que
x · P (x + 1) = P (x2 + 1).
Si P (3) = 2, halla el valor de P (5).
A) 6
B) 5
C) −1
1
D) 0
E) 4
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Primera Fase - Nivel 2
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7. En la siguiente figura calcula el valor de x+y.
A) 140◦
B) 144◦
C) 148◦
D) 152◦
1
1
1
1
=2 ,
=3 ,
= 6. Halla
.
a+1
b+2
c+3
a+b+c
1
1
2
13
A)
B) −
C)
D) −
10
5
5
6
E) 156◦
8. Sean
E) −
2
9
9. Halla el coeficiente del término de mayor grado del polinomio
P (x, y) = (x2 + y)3 − (x2 − y)3 .
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
10. Los segmentos L1 y L2 son paralelos entre sı́, y los segmentos L3 y L4 también son
paralelos entre sı́. Halla el valor de x+y.
A) 12
B) 14
C) 16
2
D) 18
E) 20
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11. Si p y q son números primos tales que p + q 2 = 102, halla p + q.
A) 82
B) 60
12. Simplifica
C) 62
r
7
E) 94
2
3
E) 1
46 × 69 × 94
99 × 66 × 44
3
4
C)
2
3
13. La suma de 42 enteros consecutivos siempre es
A) 2
D) 96
B)
D)
A) Múltiplo de 42
B) Múltiplo de 6.
C) Múltiplo de 7, pero no de 3.
D) Múltiplo de 43
E) Múltiplo de 21, pero no de 2
14. Juan es un comerciante que viaja exactamente dos veces por semana; él puede escoger
los dı́as en los que va a viajar. Si Juan viaja un lunes ya no viaja el martes, y además,
por cuestiones personales, nunca viaja un sábado. ¿De cuántas formas puede escoger
sus dı́as de viaje en una semana determinada?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 14
E) 18
15. Halla la suma de todos los valores reales que puede tomar x en la siguiente ecuación:
x3 + x2
33 + 32
=
x+1
3+1
A) 1
B) 3
C) −1
D) 0
E) 6
16. Se dan dos números naturales a y b de modo que ninguno de ellos es múltiplo de 10. Si
el producto de a y b es una potencia de 10 y a > b, entonces el último dı́gito de a − b
no puede ser
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
17. La moneda de un paı́s lejano es el peso y hay monedas de 4 pesos, 1 peso y medio peso.
Marı́a lleva al banco 54 monedas que hacen un total de 200 pesos. ¿Cuánto dinero llevó
Marı́a al banco en monedas de cuatro pesos?
A) 156
B) 200
C) 188
3
D) 192
E) 196
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18. En el tablero mostrado se continúan colocando enteros positivos según la siguiente
regla: Si en una fila están escritos los números (a, b, c) entonces en la siguiente fila se
escribe los números (b + 1, c + 1, a + 1). En la primera fila están escritos los números
(1, 2, 3) y para las otras filas se aplica la regla
fila 1 →
fila 2 →
fila 3 →
..
.
1 2 3
3 4 2
5 3 4
.. .. ..
. . .
¿Cuál es el número que se ubica en el centro de la fila 2009?
A) 2009
B) 2010
C) 2011
D) 2012
E) 2013
19. En cada una de las casillas del siguiente tablero de 3 × 3 se escribe un número real. Se
sabe que el producto de los tres números de cualquier fila o de cualquier columna es
igual a 4. Además, el producto de los cuatro números de cualquier subtablero de 2 × 2
es igual a 8. Calcula la suma de los 9 números escritos en el tablero.
A) 16
B) 18
C) 10
20. Los números reales a, b y c son tales que a + b + c = 6 y
Halla
A) 0
bc
ca
ab
+
+
.
a+b b+c c+a
B) 1
C) 6
D)
25
2
25
4
a
b
c
+
+
= 1.
a+b b+c c+a
D) 36
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E)
E)
1
6
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- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Halla el valor numérico de sen2 45◦ + cos 60◦ + csc 30◦ .
5
7
A) 2
B)
C) 3
D)
2
2
E) 2 +
√
3
2. Halla el área de la región sombreada sabiendo que AO = 3, CO = 2, EO = 1 y
_
_
_
m AB= m CD= m EF = 60◦
B
C
D
E
A
A) 2π
B)
7π
3
O
C) 3π
5sen α − 3cos α
.
3. Si tan α = 0, 8, halla el valor de
sen α − 2cos α
5
5
5
B) −
C)
A) −
6
3
6
√
√
√
mn
np
pm
4. Simplifica
3m−n · √3n−p ·
3p−m
A) 1
B) 3
C) 3
1
F
D)
7π
2
D)
D) 3−1
E)
5
3
14π
3
E)−2
E)
√
mnp
3
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5. La suma de dos ángulos es 200 grados centesimales y la diferencia de sus suplementos
es igual a 80 grados sexagesimales. Halla la medida del mayor de ellos en radianes .
3π
5π
13π
7π
65π
A)
B)
C)
D)
E)
9
18
18
9
81
6. El producto de tres enteros positivos distintos es 72. ¿Cuál es la menor suma posible
de dichos números?
A) 16
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
_
_
7. En el gráfico se tiene que AB = BD, m AE= 88◦ y m CB= 110◦ . Halla el valor de x.
A) 55◦
B) 44◦
C) 35◦
D) 33◦
E) 27◦
8. Marı́a y Vanesa compran 13 caramelos y se los reparten entre ellas. Vanesa le reclama a
Marı́a diciendo: “Tú tienes más del doble de lo que yo tengo, por favor dame tu tercera
parte” y Marı́a le responde diciendo: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener más
caramelos que yo”. ¿Cuántos caramelos tiene Marı́a?
A) 6
B) 9
C) 4
D) 2
E) 12
9. Determina cuántos cm mide el radio de la rueda A si cuando ésta gira 120◦ , la rueda
B gira 2π radianes y además O1 O2 = 80 cm.
A) 20 cm
B) 30 cm
C) 40 cm
2
D) 50 cm
E) 60 cm
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26 de junio de 2009
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que
senA + senB
3
= . Calcula
senA − senB
2
tanA + tanB
.
el valor de
cotA
26
13
13
A)
B) 25
C) 26
D)
E)
25
9
4
◦
11. Una niña observa la cabeza de su padre con un ángulo de elevación de θ y sus pies
con un ángulo de depresión de 30◦ . Si la distancia del ojo de la niña a la cabeza de su
3
padre es 1,5 metros y tan θ = , halla la altura del padre, en metros.
4
√
√
√
√
√
A) 0, 8 + 0, 6 3 B) 0, 9 + 0, 4 3 C) 0, 9 + 0, 6 3 D) 1, 2 + 0, 4 3 E) 1, 2 + 0, 6 3
12. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T . Cada unidad del alimento
S contiene 100 calorı́as y 15 gramos de proteı́nas. La unidad del alimento T contiene
200 calorı́as y 10 gramos de proteı́nas. La dieta requiere como mı́nimo 1000 calorı́as y
90 gramos de proteı́nas. Si el precio de cada unidad del alimento S es 400 soles y de
cada unidad del alimento T es de 300 soles, ¿cuántas unidades de cada alimento debe
contener la dieta para minimizar el costo?
A) 10 de S B) 9 de T C) 3 de S y 4 de T D) 4 de S y 3 de T E) 3 de S y 3 de T
13. En el siguiente arreglo, por cada dos puntos se traza una recta. ¿Cuántas rectas distintas se pueden trazar?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 25
E) 27
14. Sea ABC un triángulo y D la proyección del punto B sobre la bisectriz del ángulo
∠ACB. Si el área del triángulo ABC es 12, determina el área del triángulo ADC.
C) 12 sen( C2 )
D) 12 tan( C2 )
E) 6
A) 12
B) 12 cos( C2 )
15. ¿Cuál es el menor número de 6 dı́gitos distintos que es múltiplo de 8? Da como respuesta
la suma de los dı́gitos de dicho número.
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
3
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Primera Fase - Nivel 3
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16. La siguiente suma tiene 101 filas, ¿cuál es el dı́gito central del resultado?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
17. En cada vértice de un rectángulo de lados 3 y 4 se dibuja un cuadrante de radio 1,
como muestra la figura. Luego se elige un punto de cada cuadrante de tal modo que
se forme un rectángulo ABCD con AB = 2BC y lados paralelos a los del rectángulo
mayor. Halla el área del rectángulo ABCD.
A)
72
25
B)
98
25
C)
128
49
D)
162
49
18. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen6 x + cos8 x = 1 en el intervalo [0,4π]?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E)
49
8
E) 5
19. La suma de todos los divisores positivos de N es igual a 2801. ¿Cuántos números N
cumplen con esta condición?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
4
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Primera Fase - Nivel 3
26 de junio de 2009
20. Sean a, b, c números enteros (no necesariamente positivos) tales que a, a + b, a + b + c
son números distintos del conjunto {1, 2 , 3, . . . , 9}, halla el mayor valor de
(9a + 5b + 3c) (5a + b + 3c)
y da como respuesta la suma de sus dı́gitos.
A) 14
B) 11
C) 21
D) 23
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 24
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- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Se tiene dos fracciones equivalentes tales que sus numeradores suman 15 y sus denominadores son 2 y 4, respectivamente. Halla el mayor de los numeradores.
2. Un colegio contrató a un técnico para trabajar durante 15 dı́as con un salario de 30
nuevos soles diarios, pero cada dı́a que el técnico llega tarde, solo gana 20 nuevos soles.
Si el técnico trabajó los 15 dias y terminó ganando 410 nuevos soles, ¿cuántos dı́as llegó
tarde?
a
b
c
d
3. Si = = = = 2, halla (b + d)
b
c
d
e
µ
¶
2
1
+
.
a+c c+e
4. ¿Cuál es el menor número natural que tiene 3 dı́gitos y que al elevarlo al cuadrado
resulta un múltiplo de 18?
5. En una carrera de 2100 m participan tres caballos llamados Relámpago, Suertudo y
Trueno. Relámpago llega a la meta con una ventaja de 30 m sobre Suertudo y 5 segundos
antes que Trueno. Suertudo llegó 3 segundos antes que Trueno. ¿Cuántos segundos tardó
Relámpago en llegar a la meta?
Aclaración: Suponer que, desde el inicio, cada uno de los caballos corre a velocidad
constante.
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Segunda Fase - Nivel 1
27 de agosto de 2009
6. Se tiene dos cuadrados de lados enteros tales que la suma de sus áreas es 650. ¿Cuántos
valores distintos puede tomar la suma de sus perı́metros?
7. Siete personas, todas de edades diferentes, se reunen y se dan cuenta de que la suma de
todas las edades es 123; la suma de las edades de las dos menores es 29 y la suma de las
edades de las dos mayores es 41. Si se hace una lista de las siete personas, considerando
las edades de mayor a menor, ¿cuál es la edad de la persona que ocupa el cuarto lugar?
8. Los enteros positivos a, b, c forman, en ese orden, una progresión aritmética de razón r
(r > 0). Si a es múltiplo de 3, b es múltiplo de 7 y c es múltiplo de 9. ¿Cuál es el menor
valor que puede tomar a + b + c?
9. Encuentra el mayor número de cinco dı́gitos distintos abcde tal que ab, bc, cd y de sean
números primos. Da como respuesta a + b + c + d + e.
10. Se escribe algunos enteros positivos distintos entre sı́, en cada uno de los 7 hexágonos
de la figura, de modo no hay dos o tres hexágonos vecinos cuya suma sea múltiplo de
3. ¿Cuál es la menor suma posible de los números escritos?
Aclaración: Dos hexágonos son vecinos si tienen un lado en común y tres hexágonos
son vecinos si tienen un vértice en común.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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27 de agosto de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En la figura halla el valor de x si ABCD es un cuadrado.
2. Sea x un elemento del conjunto {−4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4} que satisface la desigualdad
1
1
< . ¿Cuántos valores puede tomar x?
x
2
3. Susana, Teresa y Andrea son tres atletas que cuando hacen carreras de 100 metros
planos se asignan puntajes de la siguiente manera: la que queda en primer lugar obtiene
tres puntos, la que queda en segundo lugar obtiene un punto, y la que queda en tercer
lugar no obtiene punto alguno (no hay empates). Durante sus entrenamientos han hecho
cuatro de tales carreras y al final de elllas Susana obtuvo en total cuatro puntos y Teresa
tres puntos. ¿En cuántas carreras Andrea quedó en primer lugar?
³x´
7
= x2 −x− , para todo número real
4. Sea f una función para la cual se cumple que f
2
9
³a´
x. Halla el producto de todos los valores que puede tomar a en la ecuación f
= −1.
6
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Segunda Fase - Nivel 2
27 de agosto de 2009
5. Un experto artesano tarda 80 minutos en hacer un sombrero. Su hijo, que le ayuda en
la tarea, aún tiene mucho que aprender y tarda 2 horas en hacer un sombrero igual
a los que hace su padre. Si trabajan juntos para hacer 10 sombreros, ¿cuántas horas
tardarán?
6. Al dividir el polinomio (x − 1)5 entre (x + 1) se obtuvo como cociente el polinomio P (x)
y como residuo el número R. Si S es la suma de los coeficientes de P (x), halla S − R.
7. Los boletos de una rifa son enumerados desde el 2000 hasta el 9999. Un profesor compró
todos los boletos en los que el 5 aparece exactamente 3 veces; luego de haber comprado
estos boletos regaló a su alumno todos los boletos que contenı́an algún dı́gito 0. ¿Con
cuántos boletos se quedó el profesor?
8. Un número es llamado perfectamente multiplicativo si es igual al producto de sus divisores propios. ¿Cuántos números perfectamente multiplicativos hay entre 2 y 50?
Aclaración: Los divisores propios de n son los divisores positivos de n que son menores
que n. Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3.
9. En cada casilla, de la siguiente figura, se colocan enteros positivos distintos tales que la
suma de dos números de casillas vecinas es un número primo. ¿Cuál es la menor suma
posible de todos los números escritos?
Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
10. Si suprimimos algunos dı́gitos del número 2001009 podemos obtener el número 201
(20/010//0/9 → 201). También podemos obtener el número 19 (2//0/010
//09 → 19) y podemos
obtener otros números más, pero hay algunos números que no se puede obtener, por
ejemplo, el número 92.
Alex encontró el menor número natural tal que, al suprimir algunos de sus dı́gitos es
posible obtener todos los números naturales menores que 2009. Si el número de Alex
tiene A dı́gitos, y la suma de los tres dı́gitos que están en el extremo de la izquierda es
B, calcula A + 3 B.
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Segunda Fase - Nivel 3
27 de agosto de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. El valor numérico del área de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, es igual a
18 sen A sen C. Calcula la hipotenusa.
2. Estas son las instrucciones para encontrar un tesoro: A partir de un cierto punto caminar
35 pasos hacia el este, luego
30 pasos hacia el norte, luego
15 pasos hacia el oeste, luego
10 pasos hacia el norte, luego
60 pasos hacia el este.
Finalmente, 20 pasos hacia el norte. ¿A cuántos pasos del punto inicial, en lı́nea recta,
está el tesoro?
3. En el segmento que une las posiciones de Rosa y Sandra se encuentra la base de una
torre (las posiciones y la base están representadas por puntos). Rosa ve lo alto de la
torre con un ángulo de elevación α y Sandra ve lo alto de la torre con un ángulo de
elevación β. Si la distancia que separa a Rosa y Sandra es 120 metros y cot α+cot β = 3,
halla la altura, en metros, de la torre.
4. En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 8, halla la distancia del punto de
intersección de las diagonales AD y BF a la diagonal AC.
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Segunda Fase - Nivel 3
27 de agosto de 2009
5. ¿Cuántos números capicúas son múltiplos de 6 y están comprendidos entre 2009 y 9002 ?
Aclaración: Los números capicúas son aquellos que leı́dos de izquierda a derecha son
iguales que de derecha a izquierda, por ejemplo: 23532, 1441 y 2222 son capicúas.
6. En un tablero de 3 × 3 colocamos los números del 1 al 9 bajo las siguientes condiciones:
En las esquinas sólo hay números primos.
En el centro no hay ningún cuadrado perfecto.
¿De cuántas formas se puede hacer esto?
7. A una fiesta asisten algunos hombres y algunas mujeres. Si se encuentran dos hombres
se saludan con un apretón de manos. Pero si se encuentra un hombre con una mujer o
se encuentran dos mujeres, entonces se dan un beso en la mejilla. Se sabe que todas las
personas que asistieron a la fiesta se encuentran entre sı́ (dos a dos) y que el número
de hombres excede al número de mujeres. Si el número de besos en la mejilla excedió
en 75 al número de apretones de manos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?
8. Sea x un número real tal que tan5 x + tan x + 1 = 0, calcula tan x + csc2 x.
9. Decimos que un conjunto no vacı́o formado por números naturales es especial si su
mayor elemento es igual al doble de su menor elemento. Por ejemplo {3, 4, 6} y {2, 4}
son especiales. Se sabe que el conjunto {1, 2, ..., n − 1, n} contiene al menos 2009 subconjuntos especiales. ¿Cuál es el menor valor de n para que esto sea posible?
10. Fernando tiene una cantidad finita de puntos en el plano
√ tales que la distancia entre dos
puntos cualesquiera es uno de los tres números 1, 2 ó 3. ¿Cuál es el máximo número
de puntos que puede tener Fernando?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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Tercera Fase - Nivel 1
2 de octubre de 2009
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- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate, se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un trabajador tuvo una placa metálica de la que quiere obtener discos circulares. Para
hacer este trabajo él dispone de una máquina que siempre corta discos circulares del
mismo diámetro. Después de haber sacado dos discos, el resto de la placa metálica
pesaba 9,7 kg, y unos minutos más tarde, luego de haber sacado 5 discos en total, la
placa pesaba 9,25 kg. Al final del dı́a, el trabajador notó que habı́a sacado 40 discos en
total. ¿Cuánto pesó, en ese momento, lo que quedaba de la placa metálica?
2. El papá de Daniel tenı́a m años cuando llegó a la ciudad de Lima y después de mm
años nació Daniel. Actualmente, el papá de Daniel tiene nm años y Daniel tiene mn
años. ¿Cuál es la edad actual del papá de Daniel?
3. Sean p, q y r tres números primos cuya suma es 40. Si p < q < r, halla el valor de r.
4. Sean A y B dos conjuntos, no necesariamente disjuntos, tales que A∪B = {1, 2, . . . , 10}.
Si la suma de los elementos en A es igual a la suma de los elementos en B, halla el
menor valor posible de n(A) + n(B).
Observación. n(X) significa “número de elementos del conjunto X”
5. A y B son números enteros positivos tales que A posee 28 divisores y B posee 15 divisores. Halla la menor cantidad de divisores que puede tener el número A × B.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 1
2 de octubre de 2009
6. Un reloj digital marca las horas desde 00:00 hasta 23:59. Al malograrse dicho reloj
muestra cada dı́gito 8 como si fuese 2. Por ejemplo, en lugar de mostrar 18:38, el reloj
muestra 12:32, es decir, muestra una hora incorrecta. Durante un dı́a, ¿cuántas veces,
el reloj mostró horas incorrentes?
7. Los números naturales a, b, c, d, no necesariamente distintos, tienen igual suma de sus
respectivos dı́gitos, y además, a + b + c + d = 2009. ¿Cuál es el mayor valor que puede
tomar a?
8. Edith es una niña que le encanta jugar con las operaciones que aprendió en el colegio:
suma, resta, multiplicación y división. Ella escribe en una hoja algunos números enteros positivos distintos, todos menores que 10. Una jugada consiste en tomar dos de los
números que están escritos en la hoja, borrarlos, y escribir el resultado de aplicarles
alguna operación. Por ejemplo, si Edith tiene los números 2, 5, 7, luego de multiplicar
el 2 y el 5 obtiene los números 10, 7, y luego al sumar estos números obtiene el 17; es
decir, partiendo del 2, 5, 7 llegó al 17. ¿Cuál es la menor cantidad de números con que
puede empezar Edith para que, luego de algunas jugadas, ella pueda obtener el número
2009?
9. En la siguiente figura:
se trazan dos rectas que dividen a la circunferencia mostrada en exactamente tres arcos.
Con los dı́gitos en cada arco, considerándolos en sentido horario, se forman respectivos
números (en total tres números) y se suman.
Por ejemplo, al trazar las rectas como se muestra en la siguiente figura, se obtiene los
números 82, 756 y 493, cuya suma es 1331.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 1
2 de octubre de 2009
¿Cuál es la menor suma que se puede encontrar, siguiendo este procedimiento?
10. ¿Cuál es el máximo número de fichas, como la que se muestra en la figura, que se puede
colocar sobre un tablero de 10 × 10, de tal forma que las fichas no se superpongan y
que cada ficha cubra exactamente 8 casillas del tablero?
Observación. Está permitido rotar las fichas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 2
2 de octubre de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate, se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Sea M un número de dos dı́gitos que tiene la siguiente propiedad: “El máximo común
divisor de M y 2009 es un número compuesto”. ¿Cuántos valores puede tomar M ?
2. En la ferreteria tornillo clavado se vende el kilo de clavos a 15 nuevos soles y el kilo
de tornillos a 20 nuevos soles. Cada clavo pesa 2,5 gramos y cada tornillo pesa 4 gramos. Don Manuel, el carpintero, gastó 120 nuevos soles en comprar tornillos y clavos
y observó que el número de clavos excedı́a al de tornillos en 850. ¿Cuánto gastó don
Manuel en la compra de los clavos?
3. Las raı́ces de la ecuacion cuadrática x2 + ax + b = 0 son tales que una de ellas es dos
unidades mayor que la otra. Si a + b = 98 y a > 0, halla el valor de b − a .
4. Un profesor escribe en la pizarra los números 1, 2, 3, ....., 100 y le pide a Gerardo que
borre n números consecutivos; luego Beatriz calcula la suma de los números restantes
y obtiene 3041. Halla la suma de todos los valores enteros que puede tomar n.
5. ¿Cuántos enteros positivos n cumplen exactamente dos de las siguientes propiedades?
• n + 16 es un cuadrado perfecto.
• n + 1 es un cuadrado perfecto.
• n es un número primo.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 2
2 de octubre de 2009
6. En cada casilla de un tablero de 3×3, se escribe un número entero de tal manera que,
para cada casilla, la suma de los números escritos en sus casillas vecinas sea siempre la
misma. ¿Cuántos números distintos, como máximo, se puede escribir en el tablero?
Observación. Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.
7. ABC es un triángulo rectángulo en B con AB = BC. Sean M y N puntos de los lados
AB y BC, respectivamente, tales que BM = BN . Las rectas perpendiculares a AN
trazadas desde M y B cortan al lado AC en los puntos P y Q, respectivamente. Si
AP = 6 y P Q = 5, halla QC.
8. Se llaman tetraminós en forma de T, a las figuras o fichas que tienen las siguientes
formas:
Un tablero de 5 × 5 es cubierto con un cuadrado de 2 × 2 y 5 tetraminós en forma de T,
quedando una casilla sin cubrir. ¿Cuántas ubicaciones diferentes puede tomar la casilla
sin cubrir?
9. Un número natural de dos o más cifras es llamado aburrido si para dos dı́gitos vecinos
cualesquiera se cumple que el de la derecha menos el de la izquierda es mayor o igual
que 2. ¿Cuántos números aburridos existen?
Por ejemplo, 146 y 1368 son aburridos, pero 1568 no lo es.
10. A continuación se tiene 15 trinomios de segundo orden
x2 − p1 x + q1 , x2 − p2 x + q2 , . . . , x2 − p15 x + q15
tales que el conjunto {p1 , q1 , p2 , q2 , . . . , p15 , q15 } es igual al conjunto {1, 2, 3, . . . , 29, 30}.
Decimos que una raı́z de uno de estos trinomios es buena, si esa raı́z es mayor que 20.
¿Cuántas raı́ces buenas, como máximo, pueden tener estos 15 trinomios en total?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 3
2 de octubre de 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate, se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En cada una de las 6 caras de un cubo, se escribe un número entero positivo de manera
que el producto de los números de las 6 caras es igual a 360. Además, tres de dichas
caras contienen a tres números impares consecutivos y las otras tres caras tienen escritas
en ellas a tres números pares. Halla el valor de la suma de los números escritos en las
6 caras .
Observación. Los números escritos en las caras no son necesariamente diferentes.
2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm, halla la suma de las longitudes de los catetos de dicho triángulo
rectángulo.
3. Si la suma de los números de 3 cifras distintas abc y bca es 10 veces el producto de las
cifras de abc, halla la suma de las cifras de abc.
4. Si sec x + csc x = 3, halla el valor de (tan x + cot x + 1)2 .
5. Halla la suma de todos los valores que puede tomar k, de tal modo que el siguiente
sistema de ecuaciones tenga solución única:
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 5
x + 2y = k
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
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Sociedad Matemática
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Tercera Fase - Nivel 3
2 de octubre de 2009
6. En un triángulo ABC con ∠B 6= ∠C y ∠C 6= 90◦ se cumple
tan B =
2 cos B cos C − cos A
sen A − 2 sen C cos B
Halla la suma de todos los valores que puede tomar el ángulo B. Expresa tu respuesta
en grados sexagesimales.
7. En la siguiente figura, cada cı́rculo representa una estación y cada segmento representa
una vı́a de una red de trenes de la ciudad Caos. El alcalde de la ciudad quiere eliminar
algunas vı́as, de manera que de cada estación salgan por lo menos dos vı́as de trenes.
Halla el máximo número de vı́as que el alcalde puede eliminar.
8. En una circunferencia de centro O se toman tres puntos A, B, C tales que el triángulo
ABC es acutángulo, ∠A > 45◦ y AB = 20cm ; AC = 19cm. Las alturas trazadas
desde A y B hacia sus lados opuestos se cortan en H y se tiene que el segmento HO
es paralelo a AC. Halla el mayor valor de BC 2 (en centı́metros cuadrados).
p
p
p
p
9. Sea S = 9(1)2 + (1) + 9(2)2 + (2) + 9(3)2 + (3) + .... + 9(7)2 + (7) . Si el valor
de S se encuentra entre los enteros consecutivos A y B (A < S < B), halla el valor de
A+B .
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
2 de octubre de 2009
10. En cada una de las 13 casillas de la siguiente figura se escribe un número entero del
1 al 16, no necesariamente distintos, de manera que se cumplan las tres condiciones
siguientes:
• El primer número de la fila es el 1 y el último número es el 16 .
• Si dos casillas tienen un lado común, entonces la diferencia positiva de los números
escritos en ellas es 1 u 8 .
• Si se escriben el 8 y el 9, no pueden estar en casillas con un lado común.
¿De cuántas maneras es posible escribir números en las 11 casillas restantes?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
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Cuarta fase - Nivel 1
29 de noviembre del 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Si P , E, R y U representan dı́gitos distintos de cero y distintos entre sı́ dos
a dos, tales que P ER + P RU + P U E + 2009 = P ERU , halle todos los valores que
puede tomar P + E + R + U .
Problema 2. Saladı́n y Suertudo juegan lanzando un dado. Cada vez que en la cara superior sale 6, se obtiene un punto. Suertudo tiene tanta suerte que cada 5 lanzadas
consecutivas que él hace, siempre obtiene por lo menos 1 punto; en cambio Saladı́n
cada 6 lanzadas consecutivas que hace, siempre obtiene como máximo 1 punto. Gana
el primero que acumula 4 puntos. Empieza Suertudo y lanzan el dado alternadamente.
a) Muestre una partida en la que gane Suertudo.
b) Muestre una partida en la que gane Saladı́n.
Problema 3. Andrés y Bertha juegan en un tablero de 4 × 4 y con fichas tetraminós como
las siguientes:
Andrés comienza el juego cubriendo el tablero con 4 tetraminós de la misma forma, sin
superposiciones ni huecos. Luego Bertha debe escribir en cada casilla del tablero uno
de los números 1, 2, 3 ó 4, de tal modo que en cada fila y columna del tablero no haya
dos números repetidos.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
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Bertha gana si logra que en cada tetraminó del cubrimiento del tablero, todos los
números escritos sean diferentes.
a) Demuestre que Bertha siempre puede ganar el juego.
b) Andrés cubre el tablero con 4 tetraminós, donde hay por lo menos dos diferentes.
¿Es verdad que en esta situación, jugando con las mismas reglas, Bertha siempre
puede ganar?
Problema 4. Sea k > 1 un entero positivo. Decimos que un entero positivo N es un bimúltiplo de k si N es múltiplo de k y además al invertir el orden de los dı́gitos de N se
obtiene un número múltiplo de k. Mario escribe en la pizarra un número de 7 dı́gitos,
todos ellos diferentes de cero. Demuestre que conociendo el número escrito por Mario,
es posible borrar tres de sus dı́gitos, de tal forma que el número de cuatro dı́gitos que
queda, sea un bimúltiplo de algún número entero k > 1.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
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Cuarta fase - Nivel 2
29 de noviembre del 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Sean a, b, c y d cuatro números enteros cuya suma es cero. Definimos
M = (bc − ad)(ac − bd)(ab − cd)
Demuestre que existe un número entero P tal que P 2 = M .
Problema 2. Un triángulo equilátero de lado 6 es dividido en 36 triangulitos equiláteros
de lado 1. Dicho tablero es cubierto con m fichas del tipo A y n fichas del tipo B,
sin superposiciones ni huecos, donde las fichas A están formadas por 2 triangulitos
equiláteros de lado 1 y las fichas B por 3 triangulitos, como se muestra en la siguiente
figura
Determine todos los valores de m.
√
Problema 3. Para cada entero positivo n tomamos el mayor divisor d de n tal que d ≤ n
n
y definimos an = − d. Demuestre que en la sucesión a1 , a2 , a3 , . . ., cualquier entero k
d
no negativo aparece infinitas veces.
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
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Problema 4. Se marcan N puntos sobre una circunferencia (N ≥ 5) de modo que los
N arcos formados tienen la misma longitud. Se colocan N fichas sobre los N puntos
marcados (una ficha por cada punto). Dos jugadores, Ricardo y Tomás juegan retirando
las fichas colocadas, de acuerdo con las siguientes reglas:
Los turnos de juego son intercalados.
Empieza Ricardo.
Si en el turno de un jugador hay tres fichas tales que los correspondientes puntos
marcados forman un triángulo no obtusángulo, el jugador debe retirar una de esas
fichas.
Pierde el jugador que no puede retirar ficha alguna en su turno.
¿Algún jugador tiene estrategia ganadora? En caso afirmativo, ¿en qué consiste tal
estrategia?
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2009)
Sociedad Matemática
Peruana
Cuarta fase - Nivel 3
29 de noviembre del 2009
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Para cada entero positivo n, sea c(n) la cantidad de dı́gitos de n. Sea A un
conjunto de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si a y b son dos elementos
distintos de A, entonces c(a + b)+2 > c(a)+ c(b). Halle la mayor cantidad de elementos
que puede tener A.
Problema 2. En un cuadrilátero ABCD, se inscribe una circunferencia que es tangente a
los lados AB , BC , CD y DA en los puntos M , N , P y Q, respectivamente. Si
(AM )(CP ) = (BN )(DQ), pruebe que ABCD es un cuadrilátero inscriptible.
Problema 3.
a) Sobre una circunferencia se marcan 8 puntos. Decimos que Juliana hace una “operación T” si escoge tres de dichos puntos y pinta los lados del triángulo que determinan, de modo que cada triángulo pintado tenga a lo más un vértice en común
con un triángulo pintado anteriormente. ¿Cuál es la mayor cantidad de “operaciones T” que puede hacer Juliana?
b) Si en la parte (a), en vez de considerar 8 puntos se consideran 7 puntos, ¿cuál es
la mayor cantidad de “operaciones T” que puede hacer Juliana?
Problema 4. Sea n un entero positivo. Una cuadrı́cula rectangular de 4 × n, es dividida
en rectángulos de 2 × 1 ó 1 × 2 (como si fuera completamente cubierta con fichas de
dominó, sin superposiciones ni huecos). Luego se pintan de rojo todos los puntos de la
cuadrı́cula que son vértices de alguno de los rectángulos de 2 × 1 ó 1 × 2. ¿Cuál es la
menor cantidad de puntos rojos que se puede obtener?
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VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2010)
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Primera Fase - Nivel 1
17 de junio de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Diana nació dos años antes que Pedro y Ramiro tres años antes que Andrés. Si Pedro es el
hermano mayor de Esteban y Andrés y, además, Esteban nació tres años después que Andrés,
¿cuál de los cinco es el menor?
A) Diana
B) Pedro
C) Ramiro
D) Esteban
E) Andrés
2. En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar una
casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regaló un pavo a la mitad de
sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una camisa y un pavo durante el año,
¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año?
A) 7
B) 14
C) 16
D) 8
E) 11
3. Andrea, Braulio, Carlos, Dante y Esteban están sentados formando una ronda, en el orden indicado. Andrea dice el número 53, Braulio el 52, Carlos el 51, Dante el 50, y ası́ sucesivamente.
¿Quién dice el número 1?
A) Andrea
B) Carlos
C) Braulio
D) Esteban
E) Braulio
4. La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad actual de Luis. Hace 12 años la edad
de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era la
tercera parte de la edad de Luis?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 10
5. ¿Cuál es el resto de dividir el producto 2010 × 2011 × 2012 entre 12?
A) 0
B) 2
C) 4
1
D) 6
E) 10
Primera Fase - Nivel 1
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Sociedad Matemática
de Educación
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6. En la pizarra están escritos todos los múltiplos de 5 que son mayores que 6 y menores que
135. ¿Cuántos de esos números son impares?
A) 11
B) 10
C) 25
D) 12
E) 13
7. En una Olimpiada se toman tres pruebas, con la misma cantidad de preguntas, para los niveles
1, 2 y 3. El jurado de la Olimpiada clasificó cada problema como fácil o difı́cil, y resultó que
en total habı́a 13 problemas fáciles y 11 difı́ciles. Si la cantidad de problemas difı́ciles del Nivel
1 es igual a la cantidad de problemas fáciles del Nivel 2; y la cantidad de problemas difı́ciles
del Nivel 2 es igual a la cantidad de problemas fáciles del Nivel 3, ¿cuántos problemas fáciles
tiene la prueba del Nivel 1?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
8. Pensé en un número de dos dı́gitos menor que 50. Si duplicas este número y le restas 12,
obtienes un número con los mismos dı́gitos que el número que pensé, pero en orden inverso.
¿Cuál es la suma de los dı́gitos del número que pensé?
A) 10
B) 9
C) 12
D) 8
E) 11
9. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener luego de efectuar las operaciones indicadas
0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4,
si cada signo ± puede ser igual a + ó − ?
A) 6
B) 11
C) 9
D) 10
E) 8
10. En el siguiente gráfico se muestran cinco cuadrados, en los que se han pintado de negro sus 12
vértices (algunos vértices pertenecen a varios cuadrados). ¿Cuántos cuadrados tienen todos
sus vértices de color negro?
Aclaración. En el siguiente gráfico, el cuadrado sombreado también tiene todos sus vértices
de color negro.
A) 5
B) 9
C) 10
2
D) 11
E) 12
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11. Decimos que un número abc de tres dı́gitos es bueno si a2 = b × c. Por ejemplo, 391 es bueno,
pues 32 = 9 × 1.
Hallar el menor número bueno que no es múltiplo de 3. Dar como respuesta el producto de
sus dı́gitos.
A) 1
B) 2
C) 8
D) 4
E) 6
12. ¿Cuántos números como mı́nimo se deben borrar del siguiente tablero para que, con los
números que queden, se cumpla que la suma de los números de cada fila y de cada columna
es un número par?
2
2
6
8
A) 6
2
0
0
2
B) 7
2
1
3
5
9
0
1
2
C) 8
D) 5
E) 9
13. Observe que:
13 = 1
23 = 3 + 5
33 = 7 + 9 + 11
43 = 13 + 15 + 17 + 19
53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
Entonces 503 es igual a:
A) 2061 + 2063 + · · · + 2157 + 2159
B) 2161 + 2163 + · · · + 2257 + 2259
C) 2257 + 2259 + · · · + 2353 + 2355
D) 2353 + 2355 + · · · + 2449 + 2451
E) 2451 + 2453 + · · · + 2547 + 2549
14. Magda tiene en una bolsa varias monedas de 2 soles y de 5 soles; además, se sabe que tiene
a lo mucho 100 soles en total. Si cada una de sus monedas de 2 soles la reemplaza por una
moneda de 1 sol entonces tendrı́a las dos terceras partes de su dinero inicial. Pero si cada una
de sus monedas de 5 soles la reemplaza por una moneda de 1 sol entonces tendrı́a más de 60
soles. ¿Cuánto dinero tiene Magda?
A) S/. 86
B) S/. 85
C) S/. 80
3
D) S/. 90
E) S/. 96
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15. Si las letras G, O, L, E y S representan dı́gitos (no necesariamente diferentes) tales que
GOL × GOL = GOLES.
Calcular G + O + L + E + S.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 7
16. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B, y además la suma de los dı́gitos de A es igual a la suma de los dı́gitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y además 1+2 = 3+0+0.
¿Cuántos hijos tiene el número 10010?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17. Hallar el mayor número de tres dı́gitos que sea igual al cuadrado del doble de la suma de sus
dı́gitos. Dar como respuesta el producto de los dı́gitos de dicho número.
A) 12
B) 24
C) 20
D) 14
E) 32
18. El 8 de diciembre de 2009 ocurrió algo curioso: si expresamos esa fecha en el formato 08.12.2009,
se cumple que la suma de los cuatro primeros dı́gitos es igual a la suma de los cuatro últimos
dı́gitos; es decir, 0 + 8 + 1 + 2 = 2 + 0 + 0 + 9. ¿Cuántas veces durante el año 2010 ocurrirá
lo mismo?
A) 10
B) 9
C) 12
D) 13
E) 8
19. En el siguiente arreglo triangular hay 28 monedas, que no necesariamente pesan lo mismo. Se
sabe que la suma de los pesos de tres monedas cualesquiera mutuamente tangentes siempre
es 70 gramos (por ejemplo, las tres monedas sombreadas son mutuamente tangentes) y que
la suma de todas las monedas es igual a 650 gramos. Calcular la suma de los pesos de las tres
monedas que están en los vértices del arreglo triangular.
A) 65g
B) 48g
C) 28g
4
D) 72g
E) 60g
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20. En el Tablero 1 se han pintado 10 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en común con algún cuadradito
negro”. ¿Cuál es la menor cantidad de casillas que se deben de pintar de negro en el Tablero
2 para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 1
A) 5
Tablero 2
B) 3
C) 4
D) 6
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 7
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17 de junio de 2010
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- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Si a, b y c son números enteros positivos distintos tales que a + b = 5 y b + c = 8, hallar el
menor valor que puede tomar a + b + c.
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
2. Cuando a un barril le falta un 25 ciento para llenarse, contiene 25 litros más que cuando está
lleno al 25 por ciento. ¿Cuál es la capacidad del barril?
A) 25
B) 30
C) 50
D) 75
E) 100
D) 105
E) 132
3. Si los polı́gonos mostrados son regulares, hallar x.
A) 117
B) 108
C) 135
4. A un Seminario de Ciencias asistieron 320 personas, entre quı́micos y biólogos. La séptima
parte de los quı́micos también son biólogos, y la décima parte de los biólogos también son
quı́micos. ¿Cuántos asistentes son quı́micos y biólogos a la vez?
A) 20
B) 10
C) 32
1
D) 16
E) 24
Primera Fase - Nivel 2
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
Peruana
5. Jesús le sumó a un cuadrado perfecto de dos dı́gitos el doble de la suma de sus dı́gitos y
obtuvo un múltiplo de 25. Hallar la suma de los dı́gitos de dicho cuadrado perfecto.
A) 7
B) 9
C) 10
D) 12
E) 13
6. ¿Cuál de los siguientes números es mayor?
A) 93 × 54 × 16
B) 47 × 53 × 32
C) 91 × 9 × 96
D) 94 × 27 × 32
E) 94 × 99 × 8
7. Un rectángulo tiene 30 m de perı́metro, ¿en cuánto aumenta su área, si el largo y el ancho
aumentan 1 m cada uno?
A) 15 m2
B) 31 m2
C) 30 m2
D) 20 m2
E) 16 m2
8. Hallar la suma de las raı́ces de la siguiente ecuación de variable x:
(2k + 2)x2 + (4 − 2k)x + (k − 2) = 0,
sabiendo que el producto de sus raı́ces es 1.
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
9. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determinar el menor entero positivo n tal que cualquier
subconjunto de X con n elementos tiene al menos dos números primos (recordar que 1 no es
un número primo).
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
D) 3
E) 4
10. Sean x y y números reales tales que
x2 = y + 2,
Calcular el valor de
A) 0
y 2 = x3 − 1.
y2 + 2
+ (x − y).
x+1
B) 1
C) 2
11. Usando 9 palitos de longitud 1 se puede formar un triángulo equilátero de lado 2 (como
muestra la figura). ¿Cuántos palitos de longitud 1 se necesitan para formar un triángulo
equilátero de lado 9?
A) 108
B) 135
C) 144
2
D) 165
E) 243
Primera Fase - Nivel 2
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
Peruana
12. ¿Cuántas raı́ces enteras tiene la ecuación
x2 − 2 |x| = 2?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13. Tomás tiene un cilindro de 90 litros de capacidad máxima, el cual tiene agua pero hay menos
de la mitad de la capacidad máxima. Tomás trata de llenar el cilindro usando un recipiente
de 7 litros y llena el cilindro de 7 en 7 hasta que ya no se puede más. Tomás se sorprendió
cuando observó que faltan x litros para que se llene el cilindro, pues x es el número de veces
que usó el recipiente de 7 litros. Hallar x.
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
14. Una hormiga comienza a caminar en lı́nea recta y se desvı́a 60◦ a la derecha después de
caminar 1 m, 2 m, 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, para finalmente recorrer 6 m. ¿Cuál es
la distancia entre la posición inicial y final de la hormiga?
√
√
A) 3 3
B) 6
C) 6 3
D) 12
E) 18
15. Sean a, b, c números reales tales que a + b 6= 0, b + c 6= 0, c + a 6= 0 y a + b + c = 0. Hallar
(a + b)2
(b + c)2
(c + a)2
+
+
(b + c)(a + c) (c + a)(b + a) (a + b)(c + b)
A) 3abc
B) −1
C) 2
D) 3
E) 1
16. Una hoja de papel rectangular de 4m × 8m se dobla haciendo coincidir dos de sus vértices
opuestos, formándose ası́ un pentágono. Encontrar el área de ese pentágono, en m2 .
A) 16
B) 32
C) 12
D) 24
E) 22
17. Un grupo de soldados marcha formando una fila de 42 m, a rapidez constante de 5 m/s.
Un entrenador que se encuentra unos metros más adelante que el grupo, marcha a rapidez
constante de 1 m/s, pero en dirección contraria a la del grupo. Cada vez que un soldado
se encuentra con el entrenador, dicho soldado da la vuelta y sigue marchando en dirección
contraria pero con la misma rapidez. Después de que todo el grupo dió la vuelta, ¿cuál será
la nueva longitud de la fila?
A) 21
B) 28
C) 30
3
D) 35
E) 36
Primera Fase - Nivel 2
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Sociedad Matemática
de Educación
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18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B, y además la suma de los dı́gitos de A es igual a la suma de los dı́gitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y además 1+2 = 3+0+0.
¿Cuántos hijos tiene el número 110000?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
19. En el Tablero 1 se han pintado 11 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en común con algún cuadradito
negro”. ¿Cuál es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2
para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 1
A) 7
B) 8
Tablero 2
C) 9
D) 10
E) 11
20. Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: el producto de los elementos de cualquier
subconjunto de S = {1, 2, . . . , 2010}, con n elementos, es múltiplo de 2010. ¿Cuál es el menor
valor que puede tomar n?
A) 1980
B) 1981
C) 1982
D) 1983
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 1984
Ministerio
VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2010)
Peruana
Primera Fase - Nivel 3
17 de junio de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Las fechas de cumpleaños de Blanca, Cristina, Daniela y Flor son abril 1, abril 21, junio 17 y
julio 21, no necesariamente en ese orden. Sabemos que Flor nació el mismo mes que Cristina
y que el número de dı́a en que nacieron Cristina y Daniela es el mismo, aunque nacieron en
distintos meses. ¿Quién nació en junio 17?
A) Cristina
B) Daniela
C) Blanca
D) Flor
E) No se puede determinar
2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo cuyo complemento equivale al 10 % de su
suplemento?
A) 18
B) 60
C) 80
D) 70
E) 75
3. Si p, q, r son enteros positivos tales que pq = 24 y qr = 20, hallar el menor valor que puede
tomar p + q + r.
A) 45
B) 24
C) 15
D) 12
E) 20
4. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
A) sen 20◦
B) sec 20◦
C) tan 20◦
D) csc 20◦
E) cos 20◦
5. Un número natural N tiene tres dı́gitos. El dı́gito de las centenas es igual a la suma de los
otros dos, y el quı́ntuplo del dı́gito de las unidades equivale a la suma de los dı́gitos de las
centenas y decenas. Al invertir el orden de sus dı́gitos, el número N queda disminuido en 594.
Hallar el resto de dividir N entre 20.
A) 15
B) 11
C) 8
D) 5
E) 3
D) 3
E) 4
6. ¿Cuántos valores reales de x satisfacen la siguiente ecuación?
|x − 4| + |x − 3| = 9
A) 0
B) 1
C) 2
1
Primera Fase - Nivel 3
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
Peruana
1
7. En un triángulo ABC, recto en C, se cumple que sen A = sen B + . Calcular
3
tan A · cos2 A.
A)
2
3
B)
1
9
C)
4
9
D)
9
4
E)
8
9
8. Si n es un entero positivo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones acerca del número (1 + n3 +
n6 + n9 ) siempre es correcta?
I. Es un cuadrado perfecto.
II. Es un número compuesto.
III. Es un número par.
A) Sólo I
B) I y II
C) I, II y III
D) Sólo II
E) II y III
√
9. Se traza la altura BH en el √
triángulo equilátero ABC que tiene lado 6 3 y D es un punto
de AH tal que DH = 3(2 − 3).
B
P
A
DH
Calcular el área del sector circular DCP .
√
A) 3π
B) 3π
C) 2π
10. Determinar el máximo valor de F =
A) 1
B)
7
2
C
√
D) 3 3π
7 + 3 cos θ
, donde 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ .
2 + cos θ
10
C) 4
D)
3
E) 6π
E)
3
10
11. Decimos que un número de la forma abc es bueno si a2 = b × c. Determinar el mayor número
bueno que está formado por tres dı́gitos distintos. Dar como respuesta la suma de sus dı́gitos.
A) 17
B) 18
C) 21
2
D) 20
E) 19
Primera Fase - Nivel 3
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Sociedad Matemática
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Peruana
12. Si n es un entero positivo, la expresión n!, llamada factorial de n, denota el producto de todos
los enteros positivos menores o iguales que n; es decir:
n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n.
Determinar el menor entero positivo m para el cual el siguiente número es múltiplo de 2010:
1! × 2! × 3! × · · · × m!
A) 201
B) 2010
C) 100
D) 67
E) 30
13. Los equipos de fútbol de Perú, Brasil, Chile y Argentina jugaron un torneo cuadrangular de
fútbol, donde cada equipo jugó contra cada uno de los otros equipos exactamente una vez. Es
decir, se jugaron 6 partidos en total. En cada partido se otorga 3 puntos al ganador, 0 puntos
al perdedor, y 1 punto a cada equipo en caso de empate. Determinar cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
I. Al terminar el torneo es posible que algún equipo tenga 7 puntos.
II. Es posible que Perú haya obtenido el primer lugar del torneo, a pesar de que haya perdido
contra Argentina.
III. Si un equipo no perdió ningún partido, puede terminar con 4 puntos.
IV. Un equipo que obtuvo 6 puntos puede ser el único que ocupa el primer lugar del torneo.
A) I, III y IV
B) I y IV
D) I, II y IV
E) II y III
√
14. La hipotenusa del triángulo rectángulo ABC mide 2 2 y ∠ACB = α. La recta L es perpendicular a la hipotenusa y divide al triángulo ABC en dos regiones de igual área. Calcular la
distancia de C a la recta L.
B
C) I y II
L
a
A
A) sen α
B) 2 sen α
C) tan α
C
D)
√
2 cos α
E) 2 cos α
15. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra CON T EO si las vocales no
pueden ir juntas, ni tampoco las consonantes?
Aclaración. Un orden posible es EN OT OC. Notar que no importa si la palabra tiene o no
significado.
A) 12
B) 72
C) 24
3
D) 36
E) 18
Primera Fase - Nivel 3
Ministerio
Sociedad Matemática
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16. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. En la hipotenusa AC se ubica el punto D de tal
forma que BD = BC, y en la prolongación de BD se ubica el punto E tal que ∠AEB = 90◦ .
AC
Si AE = 3 y la distancia de D a BC es 6, calcular
.
AD
3
10
2
B)
C) 2
D) 3
E)
A)
3
2
3
17. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo que tiene la misma área que el triángulo
rectángulo DF E.
A
B
F
E
D
C
Si AD = m y F D = n, hallar la distancia de B a la recta AE.
A)
n2
m
B)
n3
2m2
C)
2n3
m2
D)
m3
2n2
E)
n3
m2
18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B y, además, la suma de los dı́gitos de A es igual a la suma de los dı́gitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300 y, además, 1+2 = 3+0+0.
Si 2 y 11 son hijos de N y n1 < n2 < n3 < n4 son los cuatro menores valores que puede tomar
N . Calcular el resto de dividir n4 entre 14.
A) 0
B) 2
C) 8
D) 10
E) 6
19. Sean a, b, c números diferentes de 0, tales que
a + b + c = −abc
Hallar el valor de
A) −1
y
1
1
1
+ 2 + 2 = 2.
2
a
b
c
ab bc ca
+ 2+ 2
c2
a
b
B) 3
C) 1
4
D) 0
E) −3
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Sociedad Matemática
de Educación
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20. En el Tablero 1 se han pintado 15 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en común con algún cuadradito
negro”. ¿Cuál es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2
para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 1
A) 10
Tablero 2
B) 11
C) 7
D) 8
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 9
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(ONEM 2010)
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Segunda Fase - Nivel 1
20 de agosto de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En cierto mes del año hay exactamente cinco dı́as viernes y cinco dı́as domingos. ¿Cuántos
dı́as jueves hay en ese mes?
2. José puede gastar todo el dinero que ha ganado en un concurso comprando 10 pavos, ó 15
pollos, ó 3 cerdos. Si José quisiera gastar todo ese dinero comprando igual cantidad de pavos,
pollos y cerdos, ¿cuántos animales comprarı́a en total?
3. Cuando colocamos una torre (denotada por T ) en un tablero, ésta ataca a todas las casillas
que están en su misma fila o columna. En el siguiente tablero de 4 × 4 se han ubicado dos
torres y vemos que atacan a 10 casillas (una torre no se ataca a sı́ misma).
◦
◦
◦
◦
◦
T
◦
◦
T
◦
◦
◦
Si se colocan cuatro torres en un tablero de 100 × 100 de la siguiente manera, ¿a cuántas
casillas atacan esas cuatro torres?
···
T
T
···
T
T
..
..
.
..
.
1
.
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Peruana
4. Los dı́gitos p, q, r cumplen las siguientes condiciones: pq+qr = 94 y pr+rq = 134. Halla qp+pr.
5. Dentro de tres años, las edades de Darı́o, Esteban y Franco serán proporcionales a los números
3, 5 y 7, en ese orden. Dentro de 12 años sus edades serán proporcionales a los números 3, 4
y x, también en ese orden. Halla x.
6. Sea N = abc un número de tres dı́gitos, donde a, b y c son números primos, distintos entre
sı́. Si N es divisible por cada uno de sus dı́gitos, determina el valor de N .
7. Saúl y Julia salieron juntos de su casa con dirección al parque que se encuentra a 800 metros
en lı́nea recta. Saúl va caminando a una rapidez de 2 metros por segundo mientras que Julia
va en bicicleta, siempre a una rapidez de 4 metros por segundo. Julia avanza 12 segundos en
dirección al parque y luego regresa para darle el alcance a Saúl, que está más atrás. Cuando
se encuentran, Julia hace nuevamente lo mismo: avanza 12 segundos en dirección al parque y
luego regresa para darle el alcance a Saúl, y ası́ sucesivamente. ¿A cuántos metros de distancia
del parque estará Julia luego de que hayan pasado 100 segundos desde que salieron de su casa?
8. Si tenemos la palabra ABBZMQ podemos eliminar la letra Z para que las letras que queden
estén en orden alfabético. De forma similar, si tenemos la palabra PERU, podemos eleminar la
letra E para que las letras que queden también estén en orden alfabético.
¿Cuál es el menor número de letras que se puede borrar de la palabra NACIONAL para que las
letras que queden estén en orden alfabético?
9. Sea N el menor entero positivo que cumple las siguientes condiciones a la vez:
Cada uno de los dı́gitos de N es 1, 2 ó 3.
La suma de los dı́gitos de N es 18.
N es múltiplo de 36 pero no de 7.
Halla la suma de los cuadrados de los dı́gitos de N .
10. Un número primo-capicúa es un número primo que se lee igual de izquierda a derecha que
de derecha a izquierda. Por ejemplo, 7, 11 y 313 son números primo-capicúas, mientras que
121 no es un número primo-capicúa. Determina el menor valor de k para el cual es posible
expresar el número 2010 como la suma de k números primo-capicúas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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(ONEM 2010)
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Segunda Fase - Nivel 2
20 de agosto de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Andrés, Daniel, Luis y José son postulantes a la Magistratura. Cada uno de ellos nació en
una provincia distinta: Oxapampa, Callao, Lima o Trujillo. Sus edades son distintas: 52, 55,
58 y 61 años. Daniel es de Oxapampa y nació 3 años antes que Andrés, quien tiene 52 años.
José no tiene 58 años y no es de Lima ni del Callao. El que tiene 58 años es de Lima. ¿Cuál
es la edad del que nació en el Callao?
2. Si a ∇ b =
a2 + b
. Calcula el mayor valor que puede tomar x en la siguiente ecuación:
2
1 ∇ 2 + 2 ∇ 3 + 3 ∇ 4 = 2 ∇ (x ∇ 2).
3. Sea S(n) la suma de todos los dı́gitos de n, y P (n) el producto de todos los dı́gitos de n. Por
ejemplo, S(124) = 7 y P (35) = 15. Encuentra todos los números n de dos dı́gitos, tales que
P (n) + S(n) = n. Escribe como respuesta la suma de todos esos números n .
4. En la siguiente figura se muestran los cuadrados ABCD y AEF G tales que AB = AG. Si
∠EAB = 50◦ , calcula la medida de ∠F CD + ∠DGA (en grados sexagesimales).
F
C
D
E
G
50°
A
B
1
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5. Sea N = 9 + 99 + 999 + 9999 + · · · + |999 {z
. . . 99}. ¿Cuántas veces aparecerá el dı́gito 1 en el
2009 veces
número N ?
6. Determina el menor entero positivo M que cumple las siguientes condiciones a la vez:
M > 2010.
Todos los dı́gitos de M son mayores que cero y diferentes entre sı́.
M es múltiplo de 12.
7. En cada una de las caras (anverso y reverso) de dos tarjetas de cartón se ha escrito un número,
de tal forma que los cuatro números son distintos. Zoila lanzó las tarjetas al aire y cuando
cayeron a la mesa, notó que la suma de los números que quedaron visibles fue 36, luego, sus
amigas Lucı́a, Camila y Marı́a repitieron el mismo proceso pero obtuvieron los resultados: 41,
50 y 55, respectivamente. Si los números que vió Marı́a fueron:
25
30
Calcula la diferencia de los números que vió Lucı́a.
8. Tengo diez tarjetas, en cada una está escrito uno de los siguientes números (sin repetir):
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55.
Si las diez tarjetas se introducen en una bolsa negra, ¿cuál es el mı́nimo número de tarjetas
que debo sacar, sin ver, para tener la seguridad de que entre las tarjetas que saqué hay dos
cuya suma sea un cuadrado perfecto?
9. Consideremos todos los polinomios P (x) de grado 2 con coeficientes en el conjunto {−2, −1, 1, 2}.
¿Cuántos de estos polinomios satisfacen la desigualdad:
P (x + y) ≥ P (x) + P (y),
para todos los números reales positivos x, y?
√
√
10. Sean a y b números reales positivos tales que : a3 − 3ab2 = 36 2 y b3 − 3ba2 = −52 2. Halla
el valor de a2 + b2 .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Ana y Beto van desde el punto P hasta el punto Q de dos maneras distintas. Ana camina
6 pasos hacia el oeste y cinco pasos hacia el norte. Beto camina 1 paso hacia el norte, 2
pasos hacia el oeste, 3 pasos hacia el sur, 4 pasos hacia el este, 5 pasos hacia el norte, y ası́
sucesivamente, hasta llegar al punto Q. ¿Cuántos pasos dió Beto en total?
2. Se tiene un triángulo equilátero y un hexágono regular. El perı́metro del hexágono regular es
igual a 30 veces el lado del triángulo equilátero. Si dividimos el área del hexágono entre el
área del triángulo, ¿qué número obtenemos?
3. Se sabe que la siguiente ecuación tiene exactamente dos raı́ces reales distintas x1 y x2 :
36x + 36
= 6x .
20
Calcula 10(x1 + x2 ).
4. Se escribe una lista ordenada con todos los números de 4 dı́gitos que están formados solamente
con dı́gitos impares, de la siguiente forma:
1111, 1113, 1115, 1117, 1119, 1131, . . . .
El número 1111 está en el lugar 1, el número 1113 está en el lugar 2, y ası́ sucesivamente.
¿Qué número está en el lugar 128?
1
Segunda Fase - Nivel 3
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√
5. Sea ABC un triángulo y M el punto medio del lado BC. Si se cumple que AB = 10 2,
tan(∠BAM ) = 34 y tan(∠M AC) = 1. Calcula la longitud del segmento AC.
6. Jesús dice un número entero positivo. Tomás multiplica el número de Jesús por 2 y le suma
6, luego, extrae la raı́z cuadrada y obtiene un número entero. Amilcar en cambio le resta 1 al
número de Jesús y luego, le extrae la raı́z cuadrada y obtiene también un número entero. Si
el número que obtuvo Tomás es 6 unidades mayor que el número que obtuvo Amilcar. ¿Cuál
es el número que dijo Jesús?
7. Hay n niños y una caja con m caramelos. El primer niño coge 1 caramelo más la décima parte
de los restantes, el segundo niño coge 2 caramelos más la décima parte de los restantes, y
ası́ sucesivamente hasta que el n-ésimo niño coge n caramelos. Si todos los niños cogieron la
misma cantidad de caramelos. Determina el valor de m + n.
8. Calcula el resto de dividir entre 111 el número 11600 + 11598 + 11596 + 11594 + · · · + 112 + 110 .
9. Sea ABC un triángulo con ∠A = 10◦ , ∠B = 140◦ , ∠C = 30◦ . Sobre la bisectriz interior del
ángulo B se toma un punto P , distinto de B, de tal manera que AB = AP (P está en la
región exterior al triángulo ABC). Halla la medida del ángulo ∠BP C en grados sexagesimales.
10. En una mesa redonda se sientan 9 personas, cada una tiene en su mano una carta con alguno
de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Todas las personas tienen números distintos en sus
cartas. Luego, cada persona escribe en un papel la suma de su número con los números de sus
dos vecinos; finalmente, se escoge M , el mayor de los 9 números escritos. ¿Cuál es el menor
valor que puede tomar M ?
Aclaración. Cada persona tiene dos vecinos, el que se sienta a su izquierda y el que se sienta
a su derecha.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2010)
Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
7 de octubre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Se inicia un viaje de la ciudad A a la ciudad J. Si el siguiente mapa indica todos los caminos
posibles y los costos de cada uno, indica cuántas trayectorias diferentes hacen que el costo de
ir de la ciudad A a la J sea lo más barato posible.
E
5
B
6
D
A
3
4
3
H
3
6
2
3
2
G
4
J
1
C
5
F
I
2. Pedrito escribió en una lista todos los números naturales que no son múltiplos de 3:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, . . .
Luego Pedrito escogió un número de su lista, y sumó los dos números de la lista que son
vecinos del número que él escogió. Si el resultado de esa suma fue 365, ¿qué número de la
lista escogió Pedrito?
3. Nacho hizo una lista con todos los enteros positvos que tienen el producto de sus dı́gitos igual
a 24, y los ordenó de menor a mayor. Calcula la suma de los nueve primeros números de la
lista de Nacho.
1
Tercera Fase - Nivel 1
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de Educación
Sociedad Matemática
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4. El factorial de n, denotado con n!, se define como n! = 1 × 2 × · · · × n. Si el número n! es un
divisor de 20102010 , calcula el mayor valor posible de n.
5. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Atlantis, en el que se muestra las 7 regiones
en las que está dividida:
Atlantis
mar
mar
Cada región debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir,
si tienen frontera en común) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cuántos colores
como mı́nimo se necesita?
6. ¿Cuál es el dı́gito de las unidades del número: 20101 + 20092 + 20083 + · · · + 199120 ?
7. En cada casilla del tablero mostrado se debe escribir un 1 o un 2, de tal forma que la suma de
los números escritos en cada fila sea par, y la suma de los números escritos en cada columna
sea impar.
Halla la mayor cantidad de dı́gitos 1 que se puede escribir.
8. Llamamos suma digital a la operación que consiste en reemplazar un número por la suma de
sus dı́gitos. Por ejemplo, si al número 99229 le aplicamos la suma digital obtenemos 31, y si
al número 31 le aplicamos nuevamente la suma digital obtenemos 4.
Un número natural N es múltiplo de 3 y está formado por 2010 dı́gitos. Al número N se le
aplicó tres veces seguidas la suma digital y dió como resultado un número M . Halla la suma
de los posibles valores de M .
2
Tercera Fase - Nivel 1
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Sociedad Matemática
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9. Se toman tres números a, b, c del conjunto {1, 2, . . . , 10}, con a < b < c y que cumplen lo
siguiente:
1
2
1
1
a+ =
+
+
.
b
mcd(a, b) mcd(a, c) mcd(c, b)
Halla c.
Aclaración. mcd(r, s) denota al máximo común divisor de r y s.
10. Considere un tablero de 4×n, donde cada casilla puede ser de color blanco o negro. Encuentra
el menor entero positivo n para el cual en el tablero 4 × n se cumple la siguiente propiedad:
“Para toda posible coloración del tablero, existe un rectángulo (dentro del tablero) que tiene
las casillas de sus cuatro esquinas del mismo color”
Ejemplo. Los siguientes rectángulos tienen las casillas de sus cuatro esquinas del mismo color:
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VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
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(ONEM 2010)
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Tercera Fase - Nivel 2
7 de octubre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. El siguiente arreglo está formado por 20 filas. ¿Cuántas veces se puede leer la palabra ONEM
en dicho arreglo, ya sea de manera vertical u horizontal?
O
..
O
N
O
N
E
.
O
N
E
M
O
N
E
M
O
..
.
O
N
E
M
O
N
O
N
E
M
O
N
E
O
N
E
M
O
N
E
M
..
.
2. Si los números de dos dı́gitos ab y ba son raı́ces de la ecuación x2 − 66x + k = 0, ¿cuál es la
suma de todos los valores que puede tomar k?
3. Simplifica:
p
p
22010 + 21006 + 1 − 22010 − 21006 + 1.
1
Segunda Fase - Nivel 2
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de Educación
Sociedad Matemática
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4. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Olimpia, en el que se muestra las 8 regiones
en las que está dividida:
Olimpia
mar
mar
Cada región debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir,
si tienen frontera en común) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cuántos colores
como mı́nimo se necesita?
5. En la siguiente figura, el hexágono más grande es regular y tiene área 810:
Calcula el área del hexágono pequeño sombreado.
6. Una profesora le pide a sus alumnos que calculen el resto de dividir el número N = 987654321
enre 11. Sin embargo, cuando José escribe el número N en su cuaderno, no escribió uno de
los dı́gitos de N . Si la respuesta de José sólo se diferenció en 1 de la respuesta que dió la
profesora, ¿cuántos valores puede tomar el dı́gito que José dejó de escribir?
Aclaración. Se asume que los cálculos de la profesora y de José son correctos.
2
Segunda Fase - Nivel 2
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Sociedad Matemática
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7. En la siguiente división exacta, cada ∗ representa un dı́gito mayor que 0 y menor que 8:
∗
∗
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
-
0
∗
∗
5
∗
∗
0
0
-
Encuentra el valor del cociente, sabiendo que está formado por 3 dı́gitos distintos.
8. En una pizarra están escritos los números desde el 1 hasta el 999999 de manera consecutiva,
como se muestra:
123456789101112 . . . 999998999999.
¿Cuántas veces aparece el bloque 2010 en esta lista escrita en la pizarra?
9. Halla la cantidad de parejas (m, n) de números enteros que cumplen las siguientes dos condiciones a la vez:
m es raı́z de la ecuación x3 + mx − 2n = 0.
n es raı́z de la ecuación x3 − nx − 2m = 0.
10. Para cada conjunto no vacı́o A de números enteros positivos, definimos el conjunto A+ como
el conjunto que se obtiene al sumar 1 a cada elemento de A. Por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 7}
entonces A+ = {2, 4, 5, 8}; y si B = {6} entonces B + = {7}.
¿Cuántos subconjuntos A de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} cumplen que A y A+ son conjuntos
disjuntos entre sı́?
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VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2010)
Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
7 de octubre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Si el polinomio x2 +7x+12 es un divisor del polinomio x4 +ax2 +b, donde a y b son constantes
reales. Calcula el valor de b − 2a.
2. En un salón de clases hay 20 alumnos. La profesora escogió un dı́a del presente año (2010)
que no era dı́a de cumpleaños de ninguno de sus alumnos, y en ese dı́a pidió a cada alumno
que calcule la suma del año en que nació con su edad. Después la profesora calculó la suma
de los 20 números que le dieron los alumnos y obtuvo 40183. ¿De los 20 alumnos, cuántos
aún no habı́an cumplido años hasta ese momento?
3. Si cot x · csc x = 2/3, halla (2 sen x)4 + (2 cos x)4 .
4. Sea ABC un triángulo acutángulo en donde la altura BH, relativa al lado AC, mide 4. Si se
cumple que ∠A = 2∠C y que AC = 11, halla el valor del área del triángulo rectángulo BHC.
5. Tenemos varias piezas de la forma:
¿Cuál es la menor cantidad de piezas que se necesita para formar un cuadrado?
Aclaración. Cada pieza está formada por 5 cuadraditos. Las piezas se pueden girar.
1
Tercera Fase - Nivel 3
Ministerio
Sociedad Matemática
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6. Cada una de las casillas de un tablero de 5 × 5 debe ser pintada de un color, de tal forma que
cada rectángulo de 1 × 4, 4 × 1 o de 2 × 2 no tenga dos casillas del mismo color. ¿Cuál es la
mı́nima cantidad de colores que se necesita?
7. Sea A un conjunto formado por enteros positivos. El menor elemento de A es 21 y el mayor
elemento de A es m. Si la suma de todos los elementos de A es un cuadrado perfecto. Determina el menor valor posible de m.
8. En la siguiente figura se muestra un hexágono regular ABCDEF de área 60, en el que se han
marcado los seis puntos medios de sus lados.
B
C
A
D
F
E
Halla el área del dodecágono sombreado.
9. Si θ es un ángulo que satisface |sen 3θ| = |sen θ|, determina cuántos valores distintos toma la
expresión cos θ.
10. Considera una sucesión infinita a1 , a2 , a3 , . . . , de enteros positivos. Supón que las siguientes
dos condiciones son ciertas para todo entero positivo n:
an es múltiplo de n.
|an − an+1 | ≤ 4.
Determina el mayor valor que puede tomar a1 .
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2010)
Sociedad Matemática
Peruana
Cuarta fase - Nivel 1
07 de noviembre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. En el concurso La Casa de la Suerte, un concursante entra con 100 nuevos
soles a una casa de 10 pisos. En cada piso hay tres cofres cerrados, los cuales contienen
alguno de los siguientes mensajes:
((Ganas 9 nuevos soles)), ((Pierdes 7 nuevos soles)), ((Pierdes 3 nuevos soles)).
El cofre ganador, tiene dentro la cantidad que se menciona en el mensaje (9 nuevos
soles), mientras que en los cofres perdedores se debe dejar la cantidad indicada. El
concurso consiste en que el participante debe elegir sólo un cofre por piso y abrirlo,
obedecer las instrucciones respectivas y finalmente salir de la casa con el dinero restante.
Jimena concursó en La Casa de la Suerte y salió con 122 nuevos soles. ¿Cuántos cofres
ganadores abrió Jimena?
Problema 2. En las casillas de la primera fila del tablero mostrado se escribe los números
del 1 al 8 en algún orden y sin repetir. Luego en las casillas de las filas siguientes
se debe escribir la diferencia (el mayor menos el menor si son distintos y cero si son
iguales) de los dos números que están ubicados inmediatamente sobre ella. ¿Cuál es el
mayor valor posible que puede tomar el número escrito en la casilla de la última fila?
1
Problema 3.
a) Sea n un entero positivo, demuestra que el número
(5n + 1)(5n + 2)(5n + 3)(5n + 4)
2
es entero y que el dı́gito de sus unidades es 2.
b) Si se cumple que:
51 × 52 × 53 × · · · × 200 = (10m + n) × 10p ,
donde m, n, p son enteros positivos y 0 < n < 10. Halla el valor de n + p.
Problema 4. En el siguiente tablero algunas casillas están pintadas de negro y las otras de
blanco:
Una operación consiste en elegir un rectángulo formado por una o más casillas del
tablero e intercambiar el color de todas las casillas que están dentro de ese rectángulo
(las casillas blancas se convierten en negras y las negras se convierten en blancas).
a) ¿Cuál es la menor cantidad de operaciones necesarias para que el tablero tenga
todas sus casillas blancas?
b) ¿Cuál es la menor cantidad de operaciones necesarias para que el tablero tenga
todas sus casillas negras?
Aclaración. Los cuadrados también son considerados rectángulos.
2
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de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2010)
Sociedad Matemática
Peruana
Cuarta fase - Nivel 2
07 de noviembre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. En Duendelandia, cada duende es veraz o mentiroso. Un duende veraz siempre
dice la verdad y uno mentiroso siempre miente. En cierta ocasión 10 duendes estaban
formando una ronda (de esta forma cada uno tiene dos vecinos: el de la derecha y el de
la izquierda) y cada duende dijo ((Ninguno de mis vecinos es veraz)). ¿Cuál es la mayor
cantidad de duendes mentirosos que puede haber en la ronda?
Problema 2. Los enteros positivos a < b < c son tales que los números a + b, a + c y b + c
son cuadrados perfectos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar c?
Problema 3. En cada cuadradito de la siguiente expresión se escribe uno de los números
2, 4, 5, 6, 7 en algún orden y sin repetir para obtener una ecuación de cuarto grado:
x4 + x3 + x2 + x + = 2010.
Se sabe que, en cualquier orden en que se escriban esos números, la ecuación resultante
tiene exactamente una raı́z positiva.
a) ¿En qué orden deben escribirse los coeficientes para que la raı́z correspondiente
sea máxima?
b) ¿Es posible escribir los coeficientes en algún orden para que la raı́z correspondiente sea un número entero?
1
Problema 4. Sea n un entero positivo. Un hexágono regular de lado n es dividido en 3n2
rombos formados por dos triángulos equiláteros de lado 1, como el que se muestra a
continuación:
1
1
1
1
Demuestra que siempre es posible encontrar 3 de estos rombos que formen un hexágono
regular de lado 1.
Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un hexágono regular de lado 2 que ha sido
cubierto con 12 rombos, y los 3 rombos sombreados forman un hexágono regular de
lado 1.
2
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de Educación
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2010)
Sociedad Matemática
Peruana
Cuarta fase - Nivel 3
07 de noviembre de 2010
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. En cada uno de los 9 cı́rculos pequeños de la siguiente figura escribimos
números enteros positivos menores que 10, sin repeticiones.
Además se cumple que la suma de los 5 números ubicados alrededor de cada una de
las 3 circunferencias es siempre igual a S. Halla el mayor valor posible de S.
Problema 2. Una progresión aritmética está formada por 9 enteros positivos tales que el
producto de estos 9 términos es múltiplo de 3. Prueba que dicho producto es también
múltiplo de 81.
Problema 3. Considera A, B y C tres puntos colineales del plano tales que B está entre
A y C. Sea S la circunferencia de diámetro AB y L una recta que pasa por C, que
no intersecta a S y que no es perpendicular a la recta AC. Los puntos M y N son,
respectivamente, los pies de las alturas trazadas desde A y B a la recta L. Desde C se
trazan las dos rectas tangentes a S, donde P es el punto de tangencia más cercano a
L. Prueba que el cuadrilátero M P BC es inscriptible si y sólo si las rectas M B y AN
son perpendiculares.
1
Problema 4. Un paralelepı́pedo se dice entero cuando al menos una de sus aristas mide
un número entero de unidades. Se tiene un grupo de paralelepı́pedos enteros con los
cuales se arma un paralelepı́pedo mayor, que no tiene huecos dentro ni en su borde.
Demuestra que el paralelepı́pedo armado también es entero.
Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un paralelepı́pedo armado con un cierto
grupo de paralelepı́pedos enteros.
2
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2011)
Peruana
Primera Fase - Nivel 1
30 de junio de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En la siguiente operación, cada cuadradito puede ser reemplazado por el signo de adición (+)
o por el signo de multiplicación (×):
1 2 4.
¿Cuál de los siguientes números no puede ser el resultado de la operación?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 12
2. Actualmente, la suma de las edades de Juan y Pedro es 65 años, y dentro de 10 años la edad
5
de Pedro será los
de la de Juan. ¿Cuál es la edad actual del menor de ellos?
12
A) 15 años
B) 24 años
C) 12 años
D) 14 años
E) 19 años
3. Tres albañiles construyen un muro. El primero construye 8 m2 en 2 dı́as, el segundo 9 m2 en 3
dı́as y el tercero 10 m2 en 4 dı́as. Si trabajan juntos, ¿cuántos dı́as necesitarán para construir
un muro de 399 m2 ?
A) 41
B) 42
C) 45
D) 36
E) 40
4. Un batallón está formado por 50 filas de soldados y en cada fila hay 11 soldados. Si se retiran
todos los soldados que estaban en el borde del batallón, ¿cuántos soldados quedan?
A) 500
B) 432
C) 450
D) 532
E) 528
5. En el Concurso Nacional Escolar de Dibujo se reparte un total de S/. 11000 en premios.
Habrá un primer premio, dos segundos premios y tres terceros premios. Cada segundo premio
equivale al triple de cada tercer premio, mientras que el primer premio es igual a la suma de
los otros 5 premios más S/. 2000. ¿A cuánto asciende el primer premio?
A) S/. 5500
B) S/. 6000
C) S/. 6300
1
D) S/. 6500
E) S/. 4500
Primera Fase - Nivel 1
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
Peruana
6. ¿Cuántos números de 3 dı́gitos cumplen que el producto de sus dı́gitos es 4?
A) 8
B) 4
C) 6
D) 7
E) 5
7. El máximo común divisor de dos números es 60, y su producto es 7d00. Halla la suma de esos
dos números.
A) 60
B) 120
C) 300
D) 240
E) 180
8. Un examen consta de tres preguntas, cada pregunta se debe responder con verdadero (V)
o falso (F). Julia, Carmen y Rosa son tres alumnas que se presentaron a ese examen, y sus
respuestas son las siguientes:
Julia
F
F
V
Primera pregunta
Segunda pregunta
Tercera pregunta
Carmen
V
F
F
Rosa
V
V
F
Se sabe que una de ellas contestó todas correctamente; otra falló todas y la otra solo falló una
pregunta. De las tres alumnas, ¿cuántas respondieron correctamente la tercera pregunta?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) No se puede determinar
9. Juanita quiere escribir cuatro enteros positivos tales que si al primer número le suma 5, al
segundo número le resta 5, al tercer número lo multiplica por 5 y al cuarto número lo divide
por 5, obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma
de los cuatro números de Juanita?
A) 35
B) 36
C) 48
D) 72
E) 50
10. En cada casilla del siguiente tablero se debe escribir uno de los números 1, 2, 3 ó 4, de tal
forma que en cada fila y en cada columna los cuatro números sean diferentes:
1
x
x
3
2
y
4
Calcula el valor de x + 2y.
A) 10
B) 6
C) 8
D) 9
E) 11
11. Si N es un número de cuatro dı́gitos tal que la suma de sus dı́gitos es 30. Calcula la suma de
los dı́gitos del número 10000 − N .
A) 10
B) 8
C) 7
2
D) 9
E) 11
Primera Fase - Nivel 1
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
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12. Un cubo de 1 metro de lado es dividido en cubitos de 1 cm de lado. Si esos cubitos se colocan
uno a continuación de otro, formando una fila, ¿cuál es la longitud de la fila (en metros)?
A) 1
B) 10
C) 100
D) 1000
E) 10000
13. Mi tı́a Soledad se reduce la edad en 5 años y mi tı́a Dolores se reduce la edad en 7 años.
Cierto dı́a, cuando las fui a visitar, les pregunté sus edades. Según lo que me dijeron, resultó
que la diferencia de sus edades era 11 años. ¿Cuál es la verdadera diferencia entre sus edades,
si mi tı́a Dolores es la mayor?
A) 9
B) 15
C) 11
D) 12
E) 13
14. El mes de noviembre de cierto año tiene 5 dı́as miércoles y tres de ellos corresponden a números
pares. ¿Que dı́a de la semana será el dı́a 17 de ese mes?
Aclaración. Recuerda que el mes de noviembre tiene 30 dı́as.
A) Lunes
B) Martes
C) Miércoles
D) Jueves
E) Viernes
15. Los números a, b y c son enteros positivos tales que:
1
+ c = 39
b
1
a2 + − c = 13
b
a2 +
1
+ 2c.
b
B) 50
Calcula el valor de a2 −
A) 52
C) 24
D) 40
E) 49
16. Un número abcd de cuatro dı́gitos es llamado equilibrado si a + b = c + d. Por ejemplo, el
número 2011 es equilibrado porque 2 + 0 = 1 + 1. Calcule la suma de los tres menores números
equilibrados que son mayores que 2011.
A) 7362
B) 6253
C) 5362
D) 6336
E) 6235
17. A continuación se muestran dos sumas, cada una de ellas está formada por n sumandos:
S = |1 + 2 + 3{z+ 4 + · ·}·
n sumandos
T = |100 + 98 + {z
96 + 94 + · ·}·
n sumandos
¿Para qué valor de n se cumple que S = T ?
A) 67
B) 72
C) 71
3
D) 66
E) 54
Primera Fase - Nivel 1
Ministerio
Sociedad Matemática
de Educación
Peruana
18. Se escriben los números naturales desde el 1 hasta el 2011, uno al lado del otro y sin dejar
espacios, de la siguiente manera:
1234567891011121314 . . . 20102011.
Podemos notar que en ese número de muchos dı́gitos aparece la secuencia 0102 (la que está
subrayada), en cambio, la secuencia 0000 no aparece. De las siguientes secuencias, ¿cuál no
aparece en ese número?
A) 1111
B) 3003
C) 3002
D) 4034
E) 9920
19. Los números 1, 2, 3, . . . , 16 son distribuidos en las casillas de un tablero de 4 × 4 de tal forma
que ningún número se repita:
Luego, para cada fila se sombrea con lápiz la casilla que tiene escrito el número mayor y
a continuación se hace lo mismo con cada una de las columnas y con cada una de las dos
diagonales. Por ejemplo, si se distribuyen los números del 1 al 16 de la siguiente forma, al
terminar el proceso hay 6 casillas sombreadas:
2 6
7 3
15 5 8 4
1 12 13 14
9 16 11 10
¿Cuál es el menor número de casillas que quedarán sombreadas al terminar el proceso,
cualquiera que sea la distribución de los 16 números en las casillas?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
20. ¿Para cuántos enteros positivos m < 300000 se cumple que al multiplicar m por 300000 se
obtiene un cuadrado perfecto?
A) 150
B) 99
C) 300
D) 100
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 152
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
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(ONEM 2011)
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Primera Fase - Nivel 2
30 de junio de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
3 4
(xy)2 x y
8
(x2 y)2 y
1. Simplifica la siguiente expresión:
A) x2 y 4
B) xy 4
C) x4 y 2
E) (xy)4
D) x3 y
2. Entre seis personas deben pagar un total de 144 soles en partes iguales. Algunas de ellas no
pagaron y el resto tuvo que pagar 12 soles más, ¿cuántas no pagaron?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. Si el lado de un cuadrado es a + b y el lado de otro cuadrado es a − b, calcula la diferencia
entre las áreas de los cuadrados.
A) a2 − b2
B) 2a2
C) 2ab
D) 4ab
E) 2b2
4. En una reunión de profesores de matemática se observó que el 70 % trabaja en el turno
mañana, 180 trabaja en el turno tarde y el 15 % en ambos turnos. ¿Cuántos profesores habı́a
en la reunión, si ninguno trabaja en el turno noche?
A) 400
B) 350
C) 300
D) 280
5. Dada la igualdad 16n + 16n + 16n = 6 × 22011 , encuentra el valor de
A) 4
B) 6
C) 8
1
√
3
D) 10
E) 210
n + 9.
E) 12
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6. La gráfica de la función cuadrática f (x) = x2 + mx + b se muestra a continuación:
y
1
m
Determina el valor de f (2).
3
A) 1
B)
2
x
C) b + 2
D) 2
E)
5
2
7. Un comerciante desea llevar las carteras que fabricó a una feria con el siguiente pensamiento:
”si vendo mis carteras a 20 dólares cada una, podré comprar una motocicleta y tener 90 dólares
de sobra, pero si las vendo a 18 dólares cada una, comprando la motocicleta me sobrarı́a 6
dólares”. ¿Cuánto suman el precio de la motocicleta y la cantidad de carteras que tiene el
comerciante?
A) 750
B) 792
C) 834
D) 855
E) 902
8. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, determina el valor de x.
L1
110°
L2
130°
x
A) 50◦
B) 60◦
C) 80◦
D) 70◦
E) 65◦
9. Si el siguiente sistema:
3ax + 2by = 16
x + 2y = 8
3a + b
.
2
4
D)
3
tiene infinitas soluciones en las variables x, y. Determina el valor de
A) 2
B)
3
2
C) 1
2
E)
8
3
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10. Hay un anillo escondido en alguna de las tres cajas cerradas que tienen colores diferentes y
están etiquetadas con los siguientes enunciados:
Caja ploma:
El anillo no está aquı́
Caja negra:
El anillo no está en la caja marrón
Caja marrón: El anillo está aquı́
Si sólo uno de los enunciados es verdadero, entonces podemos asegurar que:
A) El anillo está en la caja marrón
B) El anillo está en la caja ploma
C) El anillo está en la caja negra
D) El anillo puede estar en cualquiera de las tres cajas.
E) Ninguna de la anteriores.
11. Sea N el número de obreros que pueden hacer un obra en 3N/4 dı́as, trabajando N/3 horas
diarias. Si la cantidad de obreros se duplica, terminarı́an la misma obra en 72 horas de trabajo.
Halla N .
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
12. Sea n un número entero y p un número tal que 2 < p < 3. Si n + p =
de n.
A) 398
B) 399
C) 400
D) 401
E) 32
2011
, calcule el valor
5
E) 402
13. Aumentando la base de un triángulo en 6 metros y la altura en 4 metros, el área aumenta
en 120 m2 . En cambio, si aumentamos la base en 2 metros y la altura en 9 metros, el área
aumenta en 160 m2 . Determina el área de dicho triángulo, en m2 .
A) 240
B) 280
C) 320
D) 360
E) 480
14. Si al cuadrado de la edad de Diego se le resta 224 veces el cuadrado de su inversa se obtiene
121
, ¿cuál será la edad de Diego dentro de cinco años?
2
A) 9
B) 8
C) 13
D) 10
E) 12
15. Un número abcd de cuatro dı́gitos es llamado equilibrado si a + b = c + d. Por ejemplo, el
número 2011 es equilibrado porque 2 + 0 = 1 + 1. Decida cuántos de los siguientes enunciados
son verdaderos:
El mayor número equilibrado de 4 dı́gitos distintos es 9687.
El menor número equilibrado de 4 dı́gitos distintos es 1230
El mayor número equilibrado múltiplo de 4 es 9898.
Todo número equilibrado mayor que 2000 se puede expresar como la suma de dos números
equilibrados.
A) 0
B) 1
C) 2
3
D) 3
E) 4
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16. Sea D un punto sobre el lado BC y E un punto sobre el lado AC de un triángulo ABC,
tales que AB = AD = BE. Sea P el punto de intersección de los segmentos AD y BE. Si
∠AP B = α y ∠ACB = β, encuentra la relación correcta:
A) α = 2β
B) α + 2β = 180◦
C) α + β = 180◦
D) α = 90◦ + β
E) α = 3β
17. Para cada entero positivo n sea S(n) la suma de sus dı́gitos. Por ejemplo, S(102) = 3 y
S(55) = 10. ¿Para cuántos enteros positivos m se cumple que m + S(m) = 2011?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
18. Detrás de algunas casillas de un tablero de 6 × 6 se encuentra escondida una moneda (cada
casilla tiene escondida como máximo una moneda). Los números escritos en cada casilla
representan la cantidad de casillas vecinas que tienen una moneda escondida.
1
1
1
1
2
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
3
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
Determina la cantidad de monedas escondidas en todo el tablero.
Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
19. Cinco equipos juegan un torneo de fútbol, cada equipo se enfrentó a otro exactamente una
vez. En cada juego se da 3 puntos al ganador, 0 al perdedor, y en caso de empate se da 1
punto a cada equipo. Si al final del torneo los puntajes de todos los equipos son distintos,
halla el menor puntaje que pudo obtener el campeón del torneo.
A) 8
B) 5
C) 6
20. Los números reales a, b y c son distintos entre sı́ y satisfacen:
√
3
a = 1 − 4b − 4c
√
b = 3 1 − 4c − 4a
√
3
c = 1 − 4a − 4b
1 1 1
Halla el valor de + + .
a b
c
A) 0
B) −8
C) 4
D)4
D) 8
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 7
E) −4
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- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que:
A + B = B + C = C + D = D + E = 3,
¿cuántos valores puede tomar A + B + C + D + E?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. En la siguiente figura el rectángulo grande ha sido dividido en tres rectángulos congruentes.
Si el área del rectángulo grande es 54, calcula su perı́metro.
A)6
B)9
C)15
D) 30
E)60
3. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de éstas se
colocan 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se colocan 3 canicas. ¿Cuál
es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas?
A) 12
B) 20
C) 15
D) 10
E) 18
4. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
S2 = 100 + 99 + 98 + 97 + · · · .
Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cuántos términos hay en cada suma?
A) 54
B) 72
C) 67
D) 100
1
E) 50
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5. En la siguiente figura el triángulo grande es equilátero y los puntos D, E, F, G, H e I, son
puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC es el área del triángulo GHI?
B
I
E
G
H
A
A) 6 %
B) 16 %
F
D
C
C) 6.25 %
D) 0.625 %
E) 4 %
6. Determina cuántos números primos p cumplen la condición:
8! + 1 < p < 8! + 9.
Aclaración: La expresión n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por
ejemplo, 3! = 1 × 2 × 3.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
7. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los números 1, 2,
3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los números A + B + C y D + B + E sean múltiplos de
3, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?
D
A B C
E
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 12
8. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo mayor
es 27 veces la medida del menor, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor ángulo?
A) 216◦
B) 261◦
C) 234◦
D) 240◦
E) 243◦
9. Sabino compró varios helados a 2 soles cada uno, y Huamanı́ compró otra cantidad de helados
a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron más de 15 soles cada
uno, ¿cuántos helados compraron en total?
A) 13
B) 14
C) 9
2
D) 12
E) 11
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10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Además, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron álgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los
dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron solamente
aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solamente álgebra?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB = BC = a,
CD = 2a y AD = 3a, calcula el valor de sec β.
C
B
b
D
A
A) 3
B) 4
C) 2
D)
√
5
E) 5
12. Sean a, b, c tres números que están en progresión aritmética, tales que si los aumentamos en
1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres números que son directamente proporcionales a los
números 1, 3 y 6. Halla el valor de a + b + c.
A) 12
B) 30
C) 9
D) 6
E) 18
13. Sea θ un ángulo agudo y x = sen θ + cos θ, determina el valor de:
N = (sec θ + csc θ) − (tan θ + cot θ)
A)
2
x2 + 1
B)
1
x2 + 1
C)
2
x+1
D)
2
x2 − 1
E)
1
x+1
14. Coralı́, una chica supersticiosa, al enumerar las 200 páginas de su diario, comenzó del 1,
pero excluyo aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier orden. Por
ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 sı́ aparece. ¿Cuál fue el
número que escribió en la última página de su diario?
A) 210
15.
B) 212
C) 213
D) 214
E) 215
M es igual al producto o a la suma de 2 y 7.
N es igual al producto o a la suma de 3 y 9.
P es igual al producto o a la suma de 4 y 8.
Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10.
¿Cuál es el único valor posible para M + N + P + Q, entre los valores mostrados?
A) 87
B) 88
C) 89
3
D) 90
E) 91
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16. En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la razón de 1 a 3 (con
AP < P C). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70 m2 y 30 m2 ,
respectivamente, entonces el área de la región triangular P BD es:
A) 42 m2
B) 39 m2
C) 40 m2
D) 44 m2
E) 45 m2
17. ¿Cuántos triángulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y perı́metro menor que 13?
A) 1
B) 2
C)3
D) 4
E) 8
18. El producto de los dı́gitos de un cuadrado perfecto de cuatro dı́gitos es 54. Calcula el resto
al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28.
A) 1
B) 0
C) 3
D) 20
E) 12
19. Sea ABCD un rombo tal que ∠ABC = 120◦ . Se ubica en la región exterior del rombo un
punto P tal que ∠P AB = 50◦ y ∠P CB = 70◦ , calcula la medida de ∠P BA.
A) 70◦
B) 80◦
C) 60◦
D) 100◦
E) 90◦
20. Hay un tablero de 4 × 4 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco o
de negro, de tal modo que en cada fila y en cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De
cuántas maneras Carlos puede pintar el tablero?
A) 72
B) 36
C) 96
D) 90
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4
E) 108
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- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
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prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
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ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Actualmente la edad de un padre es 20 años mayor que la de su hijo. Dentro de 8 años la
edad del padre será 5 años más que el doble de la edad de su hijo en ese momento. Halla la
edad actual del padre.
2. Sea S un conjunto formado por 7 enteros consecutivos y s la suma de sus elementos. El conjunto T también está formado por 7 enteros consecutivos, pero la suma de sus elementos es
t. Si el conjunto S ∩ T tiene 3 elementos y s > t, calcula el valor de s − t.
3. ¿Cuál es el dı́gito de las unidades de la suma de todos los divisores positivos del número 22011 ?
4. El rectángulo ABCD ha sido dividido en 7 cuadrados de la siguiente forma:
A
B
D
C
Si cada uno de los cuadrados sombreados tiene perı́metro 4, calcula el perı́metro del rectángulo
ABCD.
1
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5. En un salón de clases, el 60 % de los estudiantes aprobaron el examen de comunicación. Al
revisar otra vez las evaluaciones, el profesor se dió cuenta que 6 estudiantes con nota desaprobatoria en realidad habı́an aprobado el examen. Luego de la corrección, el porcentaje de
aprobados fue de 72 %. ¿Cuántos estudiantes dieron el examen?
6. Sea N un número capicúa de 5 dı́gitos y M un número capicúa de 4 dı́gitos. Si N +M = 100001,
halla la suma de los dı́gitos del número N − M .
Aclaración. Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha, que de derecha
a izquierda. Por ejemplo, los números 2332, 10001 y 70707 son capicúas.
7. Determina el menor entero positivo n para el cual el número (2n + 1)2 no se puede expresar
como la suma de dos números primos.
8. La Comisión de Olimpiadas va a elaborar tres pruebas, cada una de ellas debe estar formada
por 10 problemas diferentes. Si cada prueba debe contener exactamente 7 problemas que no
aparecen en ninguna de las otras pruebas, ¿como máximo cuántos problemas diferentes habrá
en total (considerando las tres pruebas)?
9. En cada casilla de un tablero de 5 × 5 debe escribirse una de las letras A, B, C, D, E de tal
forma que en cada subtablero de 1 × 3, en cada subtablero de 3 × 1 y en cada subtablero de
2 × 2 las letras sean diferentes, ¿de cuántas formas se puede hacer eso?
Aclaración. Los subtableros de 1 × 3, de 3 × 1 y de 2 × 2, son respectivamente:
10. ¿Cuál es el menor múltiplo de 4, tal que la suma de los cuadrados de sus dı́gitos es 150 ?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
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ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En un molino habı́a cierta cantidad de toneladas de harina y de éstas se vendió la cuarta
parte. Luego, se vendió la tercera parte del resto, quedando por vender 24 toneladas. ¿Cuántas toneladas de harina habı́a inicialmente?
2. Un grupo de amigos desea entrar al cine y el monto total a pagar por las entradas (que tienen
el mismo valor), es 200 nuevos soles. Al momento de pagar, cinco de ellos no tienen dinero
para la entrada, por lo cual todos los demás deben aportar 2 nuevos soles más de lo previsto.
¿Cuánto cuesta la entrada al cine?
√
√
3. Sea x la solución real de la ecuación: 2 1 − x − 8 − 2x = 0. Halla x2 .
4. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos AED y CF D son equiláteros. Halla el
valor de x + y.
B
C
E
y°
x°
A
F
D
1
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5. Se arrojan tres dados. El resultado del primer dado se multiplica por 7, luego se suma al
resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último, se suma el resultado del
tercer dado, obteniéndose 136. ¿Cuál es la suma de los resultados de los tres dados?
6. En cada casilla del siguiente tablero está escrito un número (algunos están ocultos), de tal
forma que la suma de los números escritos en 3 casillas consecutivas (en la misma fila o en la
misma columna) siempre es 6. Halla la suma de los números escritos en todas las casillas del
tablero.
2
3
5
7. Sea a1 , a2 , . . . , a100 , una secuencia de 100 términos donde a1 = 1, a2 = 1 y a3 = 2 y en la cual
se cumple que la suma de cuatro términos consecutivos es igual a su producto. Halla la suma
de todos los términos de la secuencia.
8. M y N son dos enteros positivos de 6 dı́gitos o menos. La suma de los dı́gitos de M y N son 31 y
37, respectivamente. ¿Cuántos valores distintos puede tomar la suma de los dı́gitos de M +N ?
9. Doce caballeros están sentados alrededor de una mesa redonda. Cada caballero desconfı́a de
los dos que están sentados a sus lados, pero no de los otros nueve. Se debe formar un grupo de
tres caballeros para ir a rescatar a una princesa, de tal modo que ninguno de ellos desconfı́e
de alguno de los otros dos. ¿De cuántas maneras se puede formar el grupo?
10. La suma de m + n enteros positivos distintos es 2011, m de ellos son pares y los otros n son
impares. Halla el mayor valor que puede tomar 3m + 4n.
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- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un granjero vendió cuyes a S/. 12 cada uno y con el importe de la venta decidió comprar
algunos conejos a S/. 14 cada uno, quedándole S/. 26. ¿Qué cantidad de conejos compró, si
se sabe que al sumar el número de cuyes vendidos con el número de conejos comprados se
obtiene 182 ?
2. Sea ABC un triángulo rectángulo de hipotenusa AC. Se ubica el punto D en el cateto BC
CD
de modo que
= 3. Si ∠DAB = α y ∠ACB = β, halla el valor de cot α · cot β.
DB
3. Sea f una función definida en el conjunto de los números enteros tal que f (1) = 1, f (3) = 2
y además:
f (x) = f (x − 1) + f (x + 1),
para todo número entero x. Calcula f (2011).
4. En el siguiente tablero se debe escribir números del conjunto {1, 2, 3, 4} de tal manera que en
cada fila, en cada columna y en cada uno de los cuadrados de 2 × 2 señalados no hayan dos
números iguales (de forma similar al Sudoku). Halla la suma de todos los posibles valores de
x.
1
x
4
2
1
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5. Ana le dice a Beatriz: “Estoy pensando en un número de dos cifras, y el producto de esas dos
cifras es 36”. Al ver las posibilidades, Beatriz le pide más datos, a lo que Ana responde: “Te
podrı́a decir la suma de sus cifras, pero no serı́a suficiente para que supieras con seguridad
el número que pienso. En lugar de eso, te diré que mi número es menor que 70”. ¿En qué
número está pensando Ana?
6. θ es un ángulo para el cual tanθ = 3 y además
senθ + tanθ + secθ = a,
cosθ + cotθ + cscθ = b.
Halla el valor de
a−b
.
b+1
7. Decimos que un entero positivo es libre cuando tiene exactamente un divisor que es cuadrado
perfecto. Por ejemplo, el número 6 es libre porque entre sus divisores: 1, 2, 3, 6, el único que
es cuadrado perfecto es el 1 = 12 ; mientras que 45 no es libre porque tiene dos divisores que
son cuadrados perfectos: 1 = 12 y 9 = 32 . ¿Cuántos enteros positivos menores que 100 son
libres?
8. En el gráfico se cumple que BC = CD, ∠CBA = 74◦ y ∠BAD = 83◦ . Halla el valor de x.
B
74°
C
x°
83°
37°
A
D
9. Percy tiene 5 helados cuyos sabores son: vainilla, fresa, chocolate, lúcuma y coco. Sin embargo, las etiquetas están mezcladas, y Percy solamente sabe que todas las etiquetas indican un
sabor diferente al que contienen. ¿Cuántos helados como mı́nimo debe abrir Percy para saber
con seguridad el sabor de cada helado?
10. Se tiene un tablero de 6×6 con un grillo en cada casilla. Cuando sonó una campana, cada grillo
saltó a una casilla vecina (casillas vecinas son las que comparten un lado). Como resultado,
algunas casillas quedaron vacı́as y otras contienen uno o más grillos. ¿Cuántas casillas vacı́as
puede quedar como máximo luego del sonido de la campana?
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2011)
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Tercera Fase - Nivel 1
30 de setiembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cuál es el mayor número natural, formado por dı́gitos distintos, tal que al multiplicar sus
dı́gitos se obtiene como resultado 40 ?
2. Rodrigo, Saúl, Tomás y Ulises son cuatro hermanos que compraron juntos un terreno que
costó S/. 18000, se sabe que:
Lo que pagó Rodrigo equivale a la mitad de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
Lo que pagó Saúl equivale a la tercera parte de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
Lo que pagó Tomás equivale a la cuarta parte de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
¿Cuánto pagó Ulises?
3. Sean A, B, C, D dı́gitos tales que ABCD + ABC + AB + A = 4200. Calcula el valor de
ABC + BCD.
4. Supón que la siguiente secuencia de figuras continúa indefinidamente. Si la Fig. 40 está formada por b cuadraditos blancos y n cuadraditos negros, calcula b − n.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
1
Fig. 5
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5. Dos circunferencias y una recta determinan como máximo 6 puntos de intersección, como se
muestra a continuación:
¿Cuántos puntos de intersección determinan, como máximo, tres circunferencias y tres rectas?
6. Sea M el menor entero positivo que es múltiplo de 20 y tiene suma de dı́gitos igual a 11. Sea N
el menor entero positivo que es múltiplo de 11 y tiene suma de dı́gitos igual a 20. Halla M +N .
7. El conjunto T está formado por cuatro enteros positivos distintos cuya suma es igual a k. El
conjunto T cumple las siguientes propiedades:
Siempre que sumemos tres elementos distintos de T el resultado es un número primo.
El número k es múltiplo de 3.
Halla el menor valor posible de k.
8. Se sabe que hay 7! formas de reordenar los dı́gitos del número 1234567, se escribe cada una de
estas formas en la primera columna de un tablero de 5040 filas y dos columnas (5040 = 7!).
Luego, para escribir números en las 5040 filas de la segunda columna se sigue la siguiente regla
para cada fila: si en la primera columna aparece un número de la forma abcdef g entonces en
la segunda columna se escribe el resultado de calcular la suma abc + ef g.
Por ejemplo, a la derecha de 1234567 se escribe 123 + 567 = 690 y a la derecha de 1234576 se
escribe 123 + 576 = 699, etc.
Primera columna
1234567
1234576
1234657
Segunda columna
690
699
780
..
.
..
.
7654321
1086
¿Cuántos números de la segunda columna son pares?
2
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9. Sean A y B dos números de tres dı́gitos cada uno, de tal forma que los 6 dı́gitos usados son
diferentes entre sı́. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el máximo común divisor de A
y B?
10. ¿De cuántas formas se puede escribir, sin repetición, los números del 1 al 14 en la segunda
fila del siguiente tablero, de modo que la suma de los números que resulten en cada una de
las 14 columnas siempre sea un cuadrado perfecto?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
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(ONEM 2011)
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Tercera Fase - Nivel 2
30 de setiembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un ómnibus, que cobra 8 soles como pasaje único, salió de Lima a Cerro Azul. En cada paradero siempre bajaban dos pasajeros y luego subı́an tres. Además se sabe que a Cerro Azul
llegaron 44 pasajeros y que se recaudó 560 soles. ¿Cuántos pasajeros partieron de Lima?
2. Una compañı́a de juguetes vendió 5000 unidades el año pasado, de las cuales el 10 % fueron
peluches. Este año, han vendido 1000 unidades más que el año anterior, donde los peluches
representaron el 12 % del total. En qué porcentaje, respecto del año anterior, se incrementó
la cantidad de peluches vendidos?
3. Un padre y su hijo caminan en lı́nea recta y en la misma dirección. Tres pasos consecutivos del
padre cubren una distancia igual a la que cubren cinco pasos consecutivos del hijo; sin embargo, mientras que el padre da seis pasos, el hijo da siete pasos. El padre empieza a caminar luego
de que su hijo dio 30 pasos. ¿Después de cuantos pasos del padre, éste logra alcanzar a su hijo?
4. Halla el área del triángulo ABC sabiendo que todos los cuadraditos son de lado 1.
B
A
C
1
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5. El polinomio x4 + 2x3 − 7x2 + px + q es igual al producto de los dos polinomios siguientes:
x2 + ax + b, x2 − bx + a, donde a 6= −1. Halla a + b + p + q.
6. Un entero positivo es divisible por todos los enteros del 1 al 20 excepto por dos de ellos, los
cuales son consecutivos. Halla la suma de esos dos números.
7. Un número natural de cuatro dı́gitos es llamado elegante si no es múltiplo de 10 y al ser
sumado con el número que resulta al invertir el orden de sus dı́gitos se obtiene un número
de cuatro dı́gitos que es capicúa. Por ejemplo, 2011 es elegante pues no es múltiplo de 10 y
además 2011 + 1102 = 3113 es un número capicúa de cuatro dı́gitos. ¿Cuántos números de
cuatro dı́gitos son elegantes?
8. Si f es una función real de variable real tal que f (2f (x)) = x, para todo número real x,
determina el valor de f (f (6) + 6f (3)).
9. La bóveda de un banco tiene N cerraduras de modo que para abrir la bóveda se deben abrir
todas las N cerraduras simultáneamente. Cinco ejecutivos trabajan en el banco y cada uno
de ellos tiene algunas de las llaves de las cerraduras, de tal modo que tres cualesquiera de
ellos pueden abrir la bóveda, pero ningún par de ellos puede hacerlo. Halla el menor valor de N .
10. Sea M un conjunto finito de puntos en el plano. Para cada i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, existe una
circunferencia que pasa por exactamente i puntos de M . ¿Cuál es la menor cantidad de elementos que puede tener M ?
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
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(ONEM 2011)
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Tercera Fase - Nivel 3
30 de setiembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En la siguiente figura, se cumple que las tres circunferencias tienen el mismo centro y sus
radios son 8, x y 17, siendo x el radio de la circunferencia intermedia. Si el área de la región
sombreada A es igual al área de la región sombreada B, halla x.
B
A
2. Marı́a estudia en un colegio en el que se califica de 0 a 20 inclusive y en todos los cursos se
toman 4 exámenes. En su curso de Matemáticas, obtuvo nota final 16, como media aritmética
de las notas de los 4 exámenes. Si en los tres primeros exámenes sus notas estuvieron entre 15
y 19 (inclusive), y el promedio fue obtenido sin aproximar decimales, halla la diferencia entre
la mayor y la menor nota que pudo obtener Marı́a en el cuarto examen de Matemáticas.
3. Dos amigos, Isauro y Eduardo, caminaban en un puente por donde pasaba una lı́nea férrea.
Cuando habı́an recorrido las dos quintas partes del puente, oyeron el ruido de un tren que se
aproximaba al puente por detrás de ellos. Despavoridos, comenzaron a correr, cada uno hacia
un extremo diferente del puente. Isauro, que habı́a regresado, consiguió salir del puente en
el instante exacto en el que el tren iba a entrar al puente. A su vez, Eduardo, que continuó
hacia adelante, consiguió salir del puente en el instante en que el tren también iba a hacerlo.
Repuestos del susto, cuando se encontraron, comentaron que esto fue posible porque ambos
corrieron a 15 km/h y el tren viajaba a x km/h. Halla el valor de x.
1
Tercera Fase - Nivel 3
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Sociedad Matemática
de Educación
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4. Si a, b, c, d son números reales tales que, para todo ángulo θ, se cumple la identidad:
cos(4θ) = a · cos4 (θ) + b · cos2 (θ) + c,
calcula el valor de c2 − ab.
5. Si P (x) es un polinomio de tercer grado tal que P (−2) = −23, P (−1) = −5, P (0) = 1 y
P (3) = 7, halla la suma de los coeficientes de P (x).
6. En la figura se muestra el cuadrado ABCD y la circunferencia inscrita en él. El segmento EF
es tangente a la circunferencia y además, EC = 2 y DF = 3. Calcula la longitud del diámetro
de la circunferencia.
E
C
B
A
F
D
7. Sea N = abc un entero positivo de tres dı́gitos distintos entre sı́, divisible por a + b + c pero
no por 3. Determina la cantidad de valores diferentes que puede tomar:
N
.
a+b+c
8. En un club, cada socio debe elegir 4 actividades de un total de 6 disponibles, de tal manera
que no haya 2 socios que elijan las mismas 4 actividades ni tampoco haya 2 socios que compartan exactamente 2 actividades. ¿Cuántos socios como máximo puede tener el club?
9. Sea M el mayor valor que puede tomar la expresión
siendo x un número real. Halla M 2 .
√
x4 − 3x2 − 6x + 13 −
√
x4 − x2 + 1,
10. Se dispone de 7 cajas, cada una con 5 bolas en su interior. Se desea colorear cada una de las
bolas, de tal manera que en una caja no aparezca dos veces el mismo color, y cada par de
colores aparezca en a lo más una caja. ¿Cuántos colores se necesita como mı́nimo?
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
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(ONEM 2011)
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Cuarta Fase - Nivel 1
6 de noviembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Alonso, Beatriz y Carol se reparten nueve tarjetas numeradas del 1 al 9, sin repetición, tres para cada uno. Luego, cada uno halla el producto de los números en sus tarjetas y lo
divide entre su suma. Si Alonso obtuvo 3,2; Beatriz obtuvo 5; y Carol obtuvo 7, ¿qué números
recibió cada uno?
Problema 2. El siguiente tablero está formado por 21 cuadraditos blancos:
Una BN-operación consiste en escoger dos cuadraditos blancos que tengan exactamente un vértice
en común y pintar esos dos cuadraditos de negro. Luego de efectuar 10 BN-operaciones en forma
adecuada, quedó en el tablero un solo cuadradito blanco.
a) Da un ejemplo en el que luego de 10 BN-operaciones queda un solo cuadradito blanco.
b) ¿En qué posiciones del tablero pudo haber quedado ese cuadradito blanco?
Problema 3. Un conjunto de enteros positivos es llamado mansito si sus elementos pueden escribirse en algún orden, y uno a continuación de otro, para formar un número capicúa. Por ejemplo,
el conjunto {2, 10, 201} es mansito, porque podemos escribir primero el 201, luego el 10 y finalmente
el 2, para formar el número 201102 que es capicúa. Halla el menor entero positivo n 6= 1 para el
cual el conjunto {1, 2, 3, . . . , n} es mansito.
1
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Cuarta Fase - Nivel 1
de Educación
Sociedad Matemática
Peruana
Problema 4. Cada casilla de un tablero de 2011 × 2011 se pinta de rojo o azul. ¿Será posible
pintarlas de modo que cada casilla roja tenga exactamente tres casillas vecinas azules, y que cada
casilla azul tenga exactamente una casilla vecina roja?
Aclaración: dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2011)
Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
6 de noviembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Considera la siguiente igualdad:
e OS
MAC HU + P I C C HU = 100AN
donde letras distintas representan dı́gitos distintos.
a) Determina el valor de C.
b) Prueba que H ≥ 6.
c) Determina el valor de A.
Problema 2. Encuentra todas las soluciones de la ecuación:
(xyz)2 = 12(x − 1)(2y − 1)(2z − 3),
donde x, y y z son números reales tales que x ≥ 1, y ≥
1
3
y z≥ .
2
2
Problema 3. Javier y Paul juegan por turnos de la siguiente manera: En el turno 1, Javier escribe
1 ó 2 en la pizarra; en el turno 2, Paul escribe 2 ó 3; en el turno 3, Javier escribe 3 ó 4, y ası́
sucesivamente hasta el turno n y finaliza el juego. Javier gana si la suma de todos los números
escritos es mútiplo de 3, en cualquier otro caso gana Paul.
Determina quién de los dos tiene estrategia ganadora, en cada uno de los siguientes casos:
a) Cuando n es par.
b) Cuando n = 2011.
1
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Cuarta Fase - Nivel 2
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Problema 4.
a) Demuestra que existe un polinomio P (x) de coeficientes racionales tal que, para todo entero
positivo n, se cumple que:
1100 + 2100 + 3100 + · · · + n100 = P (n).
b) Para dicho polinomio P (x), calcula los valores numéricos de P (0), P (−1) y P (−2).
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VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática
Sociedad Matemática
de Educación
(ONEM 2011)
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Cuarta Fase - Nivel 3
6 de noviembre de 2011
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Decimos que un entero positivo es irregular si dicho número no es múltiplo de
ninguno de sus dı́gitos. Por ejemplo, 203 es irregular porque 203 no es múltiplo de 2, no es múltiplo
de 0 y no es múltiplo de 3. Considera un conjunto formado por n enteros positivos consecutivos. Si
todos los números de ese conjunto son irregulares, determina el mayor valor posible de n.
h πi
Problema 2. Si α, β, γ son ángulos cuyas medidas en radianes pertenecen al intervalo 0, ,
2
tales que:
sen2 α + sen2 β + sen2 γ = 1,
calcula el mı́nimo valor posible de cos α + cos β + cos γ.
Problema 3. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Se trazan las bisectrices interiores
CM y AN que se intersecan en I. Luego, se construyen los paralelogramos AM IP y CN IQ. Si
U y V son los puntos medios de los segmentos AC y P Q, respectivamente, demuestra que U V es
perpendicular a AC.
Problema 4. Una ficha de dominó es una pieza rectangular de 1 × 2 (ó de 2 × 1); es decir,
formada por dos cuadraditos. Se tiene un tablero de 8 × 8, tal que cada ficha de dominó puede
cubrir exactamente dos de sus casillas. Juan coloca n fichas de dominó sobre el tablero, de manera
que cada una cubre exactamente dos cuadraditos del tablero y ya no es posible colocar una ficha
más sin que se superponga con alguna de las ya colocadas. Determina el menor valor de n para el
cual la situación descrita es posible.
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1
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IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Primera Fase - Nivel 1
29 de agosto de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Cuando viajé de Lima a Huancayo en bus me informaron que servı́an la cena justo a la mitad
del viaje. Si salı́ de Lima a las 06:00 pm y llegué a Huancayo a las 11:20 pm, ¿a qué hora
sirvieron la cena?
A) 08:10 pm
B) 08:50 pm
C) 08:20 pm
D) 08:40 pm
E) 08:45 pm
2. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutas debo comer como mı́nimo para que el
número de manzanas sea el doble del número de naranjas?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 3
E) 9
3. En el colegio, Laura tiene cada mañana 6 clases de 1 hora pedagógica cada una. Además tiene
dos recreos de 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 hora pedagógica equivale a 45 minutos
y que las clases de Laura empiezan a las 08:00 a.m, ¿a qué hora terminan sus clases?
A) 01:20 pm
B) 12:30 pm
C) 02:40 pm
D) 02:10 pm
E) 01:10 pm
4. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la suma de sus dı́gitos?
A) 2012
B) 2013
C) 2014
D) 2015
E) 2016
5. Dos equipos de fútbol, a modo de entrenamiento, pactaron en jugar 8 partidos durante el
verano. En cada partido, el equipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 puntos. En caso
de empate cada equipo recibe 1 punto. Luego de los 8 partidos los dos equipos suman 22
puntos, ¿cuántos partidos terminaron en empate?
A) 1
B) 2
C) 3
1
D) 4
E) 5
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
6. En un salón de clase, el 70 % aprobó matemáticas, el 80 % aprobó comunicación y el 60 %
aprobó ambos cursos. ¿Que porcentaje no aprobó ninguno de los dos cursos?
A) 10 %
B) 20 %
C) 30 %
D) 40 %
E) 50 %
7. Los números de tres dı́gitos a7b, b8a y 9ac tienen suma 2012. Calcula el valor de b.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
8. Considere todos los números naturales que usan exclusivamente los dı́gitos 0, 1 y 2, estos
números son ordenados de menor a mayor para formar una lista infinita:
1, 2, 10, 11, 12, . . . , 2010, 2011, 2012, a, b, c, d, . . .
Calcula el valor de d − a.
A) 81
B) 88
C) 80
D) 89
E) 82
9. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en los cı́rculos (un número en cada cı́rculo) de
tal forma que la suma de los números de tres cı́rculos alineados sea siempre 14. ¿Cuál es el
número que debe ser ubicado en el cı́rculo que está marcado con una x?
x
7
A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
10. ¿Cuántos dı́as martes, como máximo, puede haber en 60 dı́as consecutivos?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de
alfajores. En la panaderı́a solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7 unidades. ¿Cuántos cajas
debe comprar José como mı́nimo?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. Halla el mayor entero positivo n para el cual se cumple que 3n es un divisor del número
112266.
A) 3
B) 4
C) 5
2
D) 6
E) 7
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Primera Fase - Nivel 1
13. Sea N un número de cuatro dı́gitos tal que sus cuatro dı́gitos son distintos. Al multiplicar N
por 9 se obtiene un número de 4 dı́gitos, que tiene los mismos dı́gitos de N pero en orden
inverso. Calcula la suma de los cuadrados de los dı́gitos de N .
A) 112
B) 130
C) 132
2
D) 146
E) 227
3
14. Sean a, b, c dı́gitos tales que ba = cb . Calcula el valor de a + b + c.
A) 11
B) 12
C) 15
D) 18
E) 19
15. En un concurso de matemática están participando algunos colegios con una delegación de 3
alumnos por cada colegio. Todos los alumnos participantes hicieron una cola para recoger sus
credenciales. Sandra, Raúl y Tomás son alumnos del mismo colegio. Cuando todos los alumnos
estaban en la cola, Sandra se dió cuenta que adelante de ella habı́a la misma cantidad de
alumnos que habı́a detrás de ella, además, Raúl y Tomás estaban algunos lugares más atrás
que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomás en el lugar 28. ¿En qué lugar estaba Sandra?
A) 14
B) 17
C) 15
D) 18
E) 16
16. Una lata de café cuesta S/ 10 y se vende a S/ 14, es decir, ganando el 40 % (sobre el precio de
costo). En cambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20 %. Si la cantidad total de latas
de café vendidas es el doble de las de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del 36 %, ¿a
cuánto se vendió cada lata de cocoa?
A) S/. 5,00
B) S/. 5,40
C) S/. 5,80
D) S/. 6,00
E) S/. 7,20
17. En clase de matemática, el profesor ha pedido a sus alumnos que encuentran n números
enteros cuya suma es 0 y cuyo producto sea n. Después de varios minutos algunos de sus
alumnos dijeron lo siguiente:
Ana dice: Yo creo que no existe un número n con esas propiedades.
Beatriz dice: Yo creo que sı́ existe y que dicho número es par.
Carlos dice: Yo en cambio, creo que n debe ser impar.
David dice: Yo creo que n puede ser par y que también puede ser impar.
¿Cuál de ellos tiene razón?
A) Ana
B) Beatriz
C) Carlos
D) David
E) Ninguno tiene razón.
18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en su cuaderno 5 enteros positivos distintos y también
le dice la suma de esos 5 números. Con esa información Raquel puede saber con seguridad qué
números escribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar la suma de los números de Andrés?
A) 1
B) 5
C) 2
3
D) 4
E) 3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
19. Al sumar tres números de dos dı́gitos cada uno, se obtuvo como resultado un número de 3
dı́gitos, como se muestra a continuación:
+
Si los 9 dı́gitos empleados son diferentes y ninguno es igual a cero, determine el mayor valor
que puede tomar el número de 3 dı́gitos y dé como respuesta el producto de esos 3 dı́gitos.
A) 12
B) 20
C) 24
D) 40
E) 50
20. ¿De cuántas formas se pueden ordenar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en una fila de tal
forma que los números 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, aparezcan en ese orden pero en cambio, los números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 no aparezcan en ese orden?
Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de tal forma que se cumplan
las condiciones requeridas es 129384567.
A) 63
B) 56
C) 64
D) 55
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 72
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Primera Fase - Nivel 2
29 de agosto de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, ¿dentro de cuántos años la
edad del padre será el doble de la del hijo?
A) 11
B) 24
a
1
b
1
a−b
= y = , calcular
.
b
2
c
4
b−c
1
A) 0
B)
3
C) 12
D) 35
E) 13
2. Si
C)
1
6
D)
1
4
E)
1
2
3. En una tienda cada caramelo cuesta 10 céntimos y por la compra de cinco caramelos regalan
un caramelo más. Si un niño recibió 32 caramelos, ¿Cuánto gastó en total?
A) S/. 2,5
B) S/. 2,7
C) S/. 3
D) S/. 3,2
E) S/. 3,8
4. En un salón de clase hay 10 niñas más que niños. Un dı́a faltaron 3 niñas y 2 niños, y se contó
en total 31 alumnos. ¿Cuántos niños asistieron ese dı́a?
A) 10
B) 11
C) 13
D) 20
E) 23
5. Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el tiempo dedicado a
los videojuegos semanalmente estaba dividida en 4 categorı́as: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8
horas y más de 8 horas. Si el 50 % juega de 0 a 2 horas, el 44 % juega de 2 a 8 horas y el 9 %
juega de 6 horas a más, ¿qué porcentaje juega de 2 a 6 horas?
A) 41 %
B) 47 %
C) 44 %
1
D) 46 %
E) 40 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
6. El profesor le pidió a Pedrito escribir en la pizarra un número de tres dı́gitos que sea múltiplo
de 3 pero no de 4, ¿cuál de los siguientes números pudo haber escrito Pedrito?
A) 216
B) 254
C) 228
D) 240
E) 222
7. En la figura ABCD es un cuadrado y las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Halla la medida
del ángulo x.
B
A
40°
x
L1
C
D
A) 40◦
L2
B) 45◦
C) 50◦
D) 60◦
E) 70◦
8. Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se recorta el cubo en
pequeños cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en la figura. ¿Cuántos de estos cubos de
arista 1 cm tienen exactamente dos caras pintadas de rojo?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 24
9. Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C es aceptable si la secuencia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el anagrama CBABCA es aceptable pero
ACBACB no lo es. ¿Cuántos anagramas aceptables formados con dichas letras existen?
A) 22
B) 23
10. Si a, b, c, d son dı́gitos tales que ab2
A) 14
B) 16
C) 24
2
= cd
3
E) 26
, calcula el valor de a + b + c + d.
C) 17
2
D) 25
D) 18
E) 19
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
11. Marı́a debe comprar pastelitos para 7 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de
pastelitos. En la tienda solo venden pastelitos en cajas de 8 ó 15 unidades. ¿Cuántos cajas
debe comprar Marı́a como mı́nimo?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
12. Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul, rojo o verde. Si hay al menos
10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son rojas y 40 canicas que no son verdes,
¿cuántas canicas como mı́nimo tengo en la bolsa?
A) 35
B) 42
C) 36
D) 41
E) 37
13. La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esos números es igual a la
suma de los otros dos. La diferencia entre los dos números menores es 4. ¿Cuál es la diferencia
de los cubos de los dos números menores?
A) 320
B) 360
C) 400
D) 480
E) 640
14. ¿Qué elemento se debe eliminar del conjunto {42, 44, 45, 60, 80} para que el mı́nimo común
múltiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor posible?
A) 42
B) 44
C) 45
D) 60
E) 80
15. Decimos que un número de 4 dı́gitos es apocalı́ptico si tiene al menos un 0, un 1 y un 2
entre sus dı́gitos. Por ejemplo el 2012 es apocalı́ptico. Determina cuántas de las siguientes
proposiciones son verdaderas
9210 es el mayor número apocalı́ptico.
1012 es el menor número apocalı́ptico.
No existe número apocalı́ptico que sea múltiplo de 101.
Ningún número apocalı́ptico se puede expresar como la suma de dos números apocalı́pticos.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
16. Los números reales a, b, c, d son no nulos y tienen suma 0, además
1 1 1 1
1
+ + + +
= 0.
a b
c d abcd
Halla (ab − cd)(c + d).
A) 0
B) 1
C) −1
3
D) 2
E) −2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
17. Determinar cuántos números de 4 dı́gitos son tales que al borrar cualquier dı́gito el número
de 3 dı́gitos resultante sea un divisor del número original.
A) 14
B) 9
C) 13
D) 10
E) 15
18. En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operación: se elige dos números adyacentes
y se le suma la misma cantidad entera a ambos. ¿Cuántas operaciones se necesitan como
mı́nimo para que los siete números sean iguales?
1
2
7
3
6
4
5
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
19. En un tablero de 5 × 5 fueron pintadas N casillas de tal modo que cada subtablero de 2 × 2
contiene exactamente 2 casillas pintadas y cada subtablero de 3 × 3 contiene 4 ó 5 casillas
pintadas. ¿Cuántos valores puede tomar N ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20. Halla el coeficiente de x2012 al desarrollar el siguiente producto:
(1 + x)2 (1 + x3 )2 (1 + x9 )2 (1 + x27 )2 (1 + x81 )2 (1 + x243 )2 (1 + x729 )2 .
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 8
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Primera Fase - Nivel 3
29 de agosto de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Un tonel lleno de vino tiene un peso de 265 kg. Cuando está hasta la mitad de su capacidad
pesa 160 kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacı́o?
A) 40 kg
B) 45 kg
C) 50 kg
D) 55 kg
E) 60 kg
2. Un alumno dio un examen que consistı́a de 3 partes. En la primera parte habı́a 25 preguntas
y él contestó correctamente el 60 %; en la segunda parte habı́a 30 preguntas y él contestó
correctamente el 70 %; en la tercera parte habı́a 45 preguntas y él contestó correctamente el
80 %. ¿Qué porcentaje del total de preguntas del examen contestó correctamente el alumno?
A) 68 %
B) 70 %
C) 72 %
D) 74 %
E) 76 %
3. Juan tiene en su maletı́n tres monedas de 2 soles y muchas monedas de 5 soles. Si quiere
pagar una cuenta sin recibir vuelto, ¿cuál de las siguientes cantidades no podrı́a pagar?
A) 35
B) 36
4. Calcula el valor de
A)
√
2
C) 37
D) 38
E) 39
tan 35◦ · tan 55◦ · tan 60◦ · tan 65◦
cot 25◦ · cot 40◦ · cot 45◦ · cot 50◦
B) 1
C)
√
√
3
2
D)
2
√
E)
3
3
5. ¿Qué dı́gito debemos borrar del número 43620 para que el número de 4 dı́gitos que quede sea
múltiplo de 105?
A) 4
B) 3
C) 6
1
D) 2
E) 0
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
6. Don José tiene en su corral patos y conejos. Al contarlos se dio cuenta de que la cantidad
de conejos menos la cantidad de patos es igual a la mitad del total de animales en su corral.
¿Cuál es la razón entre el número de conejos y el número de patos?
3
5
A)
B) 2
C)
D) 3
E) 4
2
2
1
7. Un triángulo rectángulo tiene ángulos agudos θ y α. Si sen θ · tan α = , calcula el valor de
3
cot α.
√
√
√
2
A)
B) 2
C) 2 2
D) 2
E) 4
4
8. Sea ABC un triángulo recto en B y sea D el pie de la perpendicular trazada desde B hacia
la hipotenusa AC. Si BC = 2AD, halla tan C · cos A.
B
A
A)
1
4
B)
C
D
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
9. Coloca los dı́gitos 4, 5, 7, 8 en los cuadraditos de la figura (usando cada dı́gito exactamente
una vez) de tal forma que el cociente sea un número entero. ¿Cuál es la suma de los digitos
de este cociente?
÷ A) 5
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
10. Si a, b, c, d son enteros positivos tales que 2a < b , 3b < c y 4c < d, encontrar el menor valor
posible de d.
A) 25
B) 29
C) 37
D) 39
2
3
11. Si a, b, c, d son dı́gitos tales que aba = bc , calcula el valor de a + b + c.
A) 16
B) 8
C) 15
D) 12
E) 41
E) 18
12. En una reunión cada persona saludó a por lo menos 2 hombres y a por lo menos 3 mujeres.
¿Cuántas personas habı́a como mı́nimo en esa reunión?
A) 8
B) 4
C) 6
2
D) 7
E) 5
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
13. En la figura mostrada, el cubo más grande tiene 5 m de arista y el más pequeño tiene 3
m de arista y están pegados formando un nuevo sólido. Un artista quiere pintar este sólido
(incluyendo a la base del cubo grande), para lo cual utiliza tarros de pintura. Si cada tarro
alcanza para pintar 1 m2 de superficie, ¿cuántos tarros de pintura necesitará el artista?
A) 170
B) 179
C) 186
D) 195
E) 204
14. En la siguiente figura se muestra un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm.
En la altura relativa a la hipotenusa se han marcado dos puntos cuya distancia es x. Si la
suma de las áreas de las regiones sombreadas es 19 cm2 , calcula el valor de x.
8 cm
6 cm
x
A)
1
cm
2
B) 1 cm
C) 2 cm
D)
√
5 cm
E)
1
cm
5
15. Para cada entero positivo n sea f (n) el menor entero positivo tal que n · f (n) es múltiplo de
6. Por ejemplo, f (2) = 3 y f (9) = 2. Calcula el valor de la suma
f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + · · · + f (99) + f (100).
A) 345
B) 357
C) 347
D) 356
E) 350
D) 1
E) 2
16. Si a y b son números reales diferentes tales que:
a2 − 1 = b
b2 − 1 = a,
calcula el valor de a3 + b3 .
A) −2
B) −1
C) 0
3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
17. Algunas de las casillas de un tablero de 4 × 4 deben ser pintadas. En la figura se muestra
dicho tablero y los números que representan la cantidad de casillas que deben estar pintadas
en la respectiva fila o columna. Halla el mayor valor posible de a + b.
→
→
→
→
↓
3
A) 4
↓
0
↓
1
B) 5
3
1
2
b
↓
a
C) 6
D) 7
E) 8
18. Un triángulo acutángulo cumple que sus ángulos están en progresión aritmética, además, los
pies de sus alturas son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla el mayor ángulo del
triángulo inicial.
Nota: Tenga en cuenta que en cualquier triangulo sus tres alturas pasan por un mismo punto.
A) 75◦
B) 45◦
C) 80◦
D) 60◦
E) 85◦
19. Sean a, b, c las raı́ces de la ecuación x3 + 3x2 + 5x + 7 = 0. Sea P (x) un polinomio cúbico tal
que P (a) = b + c, P (b) = c + a, P (c) = a + b y P (a + b + c) = −16. Halla P (0).
A) −17
B) 11
C) −14
D) 14
E) −10
20. Sea ABCD es un cuadrilátero convexo con ∠ABC = ∠BCD, AB = 6 y CD = 8. Se sabe
que existe un punto P en el lado BC tal que ∠BAP = ∠P AD y ∠P DA = ∠P DC. Halla
BC.
√
√
48
A) 4 3
B) 10
C)
D) 8 3
E) 14
7
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Segunda Fase - Nivel 1
28 de setiembre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
IMPORTANTE: ESTA PRUEBA TIENE VALIDEZ SOLAMENTE SI SE TOMA EL
DÍA 28 DE SETIEMBRE.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Renzo y Andrés son dos hermanos que han ahorrado dinero para comprarse una bicicleta
para cada uno (ellos quieren comprar el mismo modelo de bicicleta). Se sabe que a Renzo le
falta S/ 10.00 menos de lo que le falta a Andrés para comprar su bicicleta. Si ellos juntan su
dinero tendrı́an S/ 350.00, ¿cuánto dinero ha ahorrado Andrés?
2. Un grupo de 10 tejedoras se comprometió a entregar cierto número de chompas en un plazo de
40 dı́as, para lo cual decidieron trabajar todos los dı́as, trabajando siempre la misma cantidad
de horas por dı́a. Al finalizar el dı́a de trabajo número 20 se dieron cuenta que solamente
habı́an avanzado la tercera parte del total, ¿cuántas tejedoras más deberı́an incorporarse el
dı́a siguiente para que puedan entregar el trabajo a tiempo?
3. Una empresa tiene cierta cantidad de trabajadores, y cada uno recibió S/ 650.00 de gratificación. Fernando, que le debı́a dinero a todos su compañeros, gastó toda su gratificación
pagando sus deudas, de esta forma todos sus compañeros tienen ahora S/ 800.00, a excepción
de uno de ellos que tiene S/ 850.00. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa, incluyendo a
Fernando?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
4. En la siguiente figura se pueden identificar 14 cuadrados en total:
Si la suma de los perı́metros de esos 14 cuadrados es 480 cm, ¿cuántos cm2 mide el área del
cuadrado sombreado?
5. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ¿Cuántos números debo borrar
como mı́nimo para que el producto de los números que queden en la pizarra sea 630 ?
6. El complemento aritmético de un número de cuatro dı́gitos es la cantidad que debemos sumar
a ese número para que el resultado sea 10000. Por ejemplo, el complemento aritmético de 1230
es 8770, y el complemento aritmético de 6205 es 3795. ¿Cuántos números de cuatro dı́gitos
son múltiplos de su complemento aritmético?
7. Llamaremos palabra a cualquier secuencia de letras A y M . Considere la siguiente sucesión
de palabras:
M, A, AM, AM A, AM AAM, . . .
La primera palabra de la sucesión es M , y cada palabra se forma a partir de la anterior por
medio de las siguientes reglas:
Cada letra M se reemplaza por la letra A.
Cada letra A se reemplaza por la palabra AM .
Cierta palabra de la sucesión tiene entre 60 y 100 letras M , determine cuántas letras A tiene
esa palabra.
8. En el bolsillo izquierdo tengo 5 canicas rojas y 6 azules, todas ellas tienen 1 cm de diámetro.
En el bolsillo derecho tengo 3 canicas rojas y 4 canicas azules, todas ellas tienen 2 cm de
diámetro. Debo sacar, sin ver, n canicas del bolsillo izquierdo y n canicas del bolsillo derecho.
Determine el menor valor posible de n para el cual tengo la seguridad de encontrar entre
todas las canicas que saqué dos canicas del mismo color pero de tamaños diferentes.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
9. Los padres de Juanito le regalaron a su hijo un terreno dividido en 16 parcelas cuadradas,
algunas eran de su mamá (las marcadas con la letra M ) y las otras de su papá (las marcadas
con la letra P )
P P M M
P P M M
M M P P
M M P P
Juanito quiere construir su casa, usando algunas parcelas, de tal modo que su base sea un
rectángulo. ¿De cuántas formas puede escoger la base de su casa si ésta debe contener al
menos una parcela de su papá (P) y al menos una de su mamá (M)?
Aclaración: Considere que los cuadrados también son rectángulos, es decir, la base de la casa
también puede ser un cuadrado.
10. Se escogieron 10 enteros positivos distintos del conjunto {1, 2, 3, . . . , n}, los cuales fueron
ubicados en las casillas de un tablero de 2 × 5 de tal forma que el producto de los números
de cada fila es un cuadrado perfecto y el producto de los números de cada columna también
es un cuadrado perfecto. Determine el menor valor posible de n para el cual esta situación es
posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Segunda Fase - Nivel 2
28 de setiembre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
IMPORTANTE: ESTA PRUEBA TIENE VALIDEZ SOLAMENTE SI SE TOMA EL
DÍA 28 DE SETIEMBRE.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Saúl ha recibido como herencia un terreno como el que se muestra a continuación, en él
se cumple que dos lados consecutivos son siempre perpendiculares. Determine cuántos m2
(metros cuadrados) mide el área de dicho terreno, si las longitudes mostradas en la figura
están expresadas todas en metros.
6
3
4
2
2
3
3
3
4
3
4
1
3
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
2. Una empresa tiene cierta cantidad de trabajadores, y cada uno recibió S/ 650.00 de gratificación. Fernando, que le debı́a dinero a todos su compañeros, gastó toda su gratificación
pagando sus deudas, de esta forma todos sus compañeros tienen ahora S/ 800.00, a excepción
de uno de ellos que tiene S/ 850.00. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa, incluyendo a
Fernando?
3. Un dı́a los alumnos le pidieron a su profesor información sobre su edad. Él les respondió de la
siguiente manera: Mi edad actual es un múltiplo de 5, hace 2 años fue un múltiplo de 11 y el
siguiente año será un cuadrado perfecto menor que 100. ¿Cuál es la edad actual del profesor?
4. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ¿Cuántos números debo borrar
como mı́nimo para que el producto de los números que queden en la pizarra sea 630 ?
5. Se tiene un polinomio cuadrático P (x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica se muestra a continuación:
y
4
x
-2
Si la suma de las raı́ces de P (x) es 5, determina P (5).
6. Si a y b son números reales tales que
a4 + a2 b2 + b4 = 900
a2 + ab + b2 = 45.
Calcula el valor de (2a − 2b)2 .
7. En el bolsillo izquierdo tengo 5 canicas rojas y 6 azules, todas ellas tienen 1 cm de diámetro.
En el bolsillo derecho tengo 3 canicas rojas y 4 canicas azules, todas ellas tienen 2 cm de
diámetro. Debo sacar, sin ver, n canicas del bolsillo izquierdo y n canicas del bolsillo derecho.
Determine el menor valor posible de n para el cual tengo la seguridad de encontrar entre
todas las canicas que saqué dos canicas del mismo color pero de tamaños diferentes.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
8. Los padres de Juanito le regalaron a su hijo un terreno dividido en 16 parcelas cuadradas,
algunas eran de su mamá (las marcadas con la letra M ) y las otras de su papá (las marcadas
con la letra P )
P P M M
P P M M
M M P P
M M P P
Juanito quiere construir su casa, usando algunas parcelas, de tal modo que su base sea un
rectángulo. ¿De cuántas formas puede escoger la base de su casa si ésta debe contener al
menos una parcela de su papá (P) y al menos una de su mamá (M)?
Aclaración: Considere que los cuadrados también son rectángulos, es decir, la base de la casa
también puede ser un cuadrado.
9. Determine cuántos enteros positivos N cumplen las siguientes condiciones a la vez:
300 ≤ N ≤ 500.
Los tres menores divisores positivos de N son 1, 3 y 9.
10. Una ficha de dominó está formada por dos cuadraditos unitarios pegados, es decir, es un
rectángulo de 1 × 2 o de 2 × 1. El siguiente tablero es cubierto con 8 fichas de dominó, luego,
se multiplican los dos números que son cubiertos por la misma ficha y se suman estos ocho
productos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta suma final?
7 15 6 11
16 8 14 3
5 12
13 4
2 10
9
1
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3
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IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Segunda Fase - Nivel 3
28 de setiembre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
IMPORTANTE: ESTA PRUEBA TIENE VALIDEZ SOLAMENTE SI SE TOMA EL
DÍA 28 DE SETIEMBRE.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Si 3! × 5! × 7! = n!, determine el valor de n.
Aclaración: Recuerde que m! es el producto de los primeros m enteros positivos, es decir,
m! = 1 × 2 × · · · × m.
2. Se sabe que el peso de un objeto en la Luna corresponde a la sexta parte de su peso en la
Tierra. La diferencia de los pesos de dos rocas en la Tierra es 4 kg, pero en la Luna juntas
pesarı́an 15 kg. ¿Cuántos kg pesa la roca más pesada en la Tierra?
3. Un dı́a los alumnos le pidieron a su profesor información sobre su edad. Él les respondió de la
siguiente manera: Mi edad actual es un múltiplo de 5, hace 2 años fue un múltiplo de 11 y el
siguiente año será un cuadrado perfecto menor que 100. ¿Cuál es la edad actual del profesor?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
4. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ¿Cuántos números debo borrar
como mı́nimo para que el producto de los números que queden en la pizarra sea 630 ?
5. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, recto en B, y P un punto de la hipotenusa AC
6β
tal que AP + BP = P C. Si definimos α = ∠P BA y β = ∠P BC, calcule el valor de
.
α
6. Si a y b son números reales tales que
a4 + a2 b2 + b4 = 900
a2 + ab + b2 = 45.
Calcula el valor de (2a − 2b)2 .
7. En la figura se muestran dos rectas paralelas L1 y L2 , y un triángulo equilátero ABC. Si la
distancia de A a la recta L2 es la mitad de la distancia de A a la recta L1 , calcule el valor de
3 sec2 α.
B
a
L1
A
C
L2
8. Determine cuántos enteros positivos N cumplen las siguientes condiciones a la vez:
300 ≤ N ≤ 500.
Los tres menores divisores positivos de N son 1, 3 y 9.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
9. Una ficha de dominó está formada por dos cuadraditos unitarios pegados, es decir, es un
rectángulo de 1 × 2 o de 2 × 1. El siguiente tablero es cubierto con 8 fichas de dominó, luego,
se multiplican los dos números que son cubiertos por la misma ficha y se suman estos ocho
productos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta suma final?
7 15 6 11
16 8 14 3
5 12
13 4
2 10
9
1
10. Tres circunferencias pasan por los puntos P y Q. Una recta corta a esas circunferencias en
los puntos A, B, C, D, E y F , como muestra la figura. Si AB = 5, EF = 4 y AF = 20,
determina cuántos valores enteros puede tomar CD.
F
P
E
D
C
B
Q
A
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Tercera Fase - Nivel 1
26 de octubre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un distribuidor que tiene que viajar constantemente al interior del paı́s, tiene el siguiente
acuerdo con su empresa: trabaja cuatro dı́as y descansa dos, trabaja cuatro dı́as y descansa
dos, y ası́ sucesivamente. El año pasado, el distribuidor comenzó descansando los dı́as 1 y 2
de Enero. ¿Cuántos dı́as del año pasado descansó?
2. Don Avarón vende sacos de arroz y de azúcar de 10 kilos cada uno, sin embargo, cada saco
pesa en realidad 9.60 kilos. Cierto dı́a un comerciante le compra 7 sacos de arroz y otros de
azúcar, al llegar a su tienda pesa nuevamente su mercancı́a y se da con la sorpresa de que
Don Avarón le habı́a dado 6 kilos menos. ¿Cuántos sacos de azúcar compró el comerciante?
3. En una reunión se observa que la quinta parte del total de personas están paradas, mientras
que la cuarta parte del total de sillas están desocupadas. Si todas las personas decidieran
sentarse, habrı́a 3 sillas desocupadas. ¿Cuántas personas hay en la reunión?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
4. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD que ha sido dividido en seis triángulos (esos
seis triángulos tienen su base en la diagonal AC), las áreas de cuatro de ellos están indicadas.
C
B
8 cm2
4 cm2
4 cm2
1 cm2
D
A
Determine cuántos cm2 mide el área del cuadrilátero ABCD.
5. Con una bolsita de té se puede preparar 2 ó 3 tazas de té. Roxana y Sara compraron una
caja de bolsitas de té y se las repartieron equitativamente. Resultó que Roxana pudo preparar
57 tazas de té con todas sus bolsitas, mientras que Sara pudo preparar 83 tazas. ¿Cuántas
bolsitas contenı́a la caja?
6. En la siguiente suma cada sı́mbolo representa un dı́gito, y cada dı́gito del 1 al 9 aparece
exactamente una vez. ¿Qué dı́gito representa el sı́mbolo ∆?
∗
∗
4
∗
∗
∆
∗
∗
9
+
7. Todos los enteros positivos han sido ordenados en espiral de la siguiente manera:
21 22 23
20 7
19 6
8 9 10
1 2 11
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13
Por ejemplo, arriba del número 1 está el 8; y arriba del número 7 está el 22. Si seguimos
escribiendo los números, ¿qué número estarı́a arriba del número 2012?
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
8. Tengo 9 bolillas que han sido marcadas con los números del 1 al 9 (un número en cada
bolilla). Quiero pintar cada bolilla de rojo o de azul de tal forma que se cumplan las siguientes
condiciones:
Si dos bolillas que tienen números diferentes a y b son pintadas de rojo y a + b < 10,
entonces la bolilla marcada con el número a + b también debe ser pintada de rojo.
Si dos bolillas que tienen números diferentes a y b son pintadas de azul y a + b < 10,
entonces la bolilla marcada con el número a + b también debe ser pintada de azul.
Determine de cuántas formas se puede hacer el pintado de las 9 bolillas, si además debe haber
al menos una bolilla de cada color.
9. Dos enteros positivos son coprimos si su máximo común divisor es 1. Sea C el conjunto de
todos los divisores del número 8775 que son mayores que 1. Un conjunto de k enteros positivos
consecutivos cumple que cada uno de ellos es coprimo con algún elemento de C. Determine el
mayor valor posible de k.
10. ¿De cuántas formas se puede pintar de negro 4 casillas de un tablero de 4×4 si cada sub-tablero
de 2 × 2 debe contener al menos una casilla pintada de negro?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Tercera Fase - Nivel 2
26 de octubre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un número natural tiene todos sus dı́gitos distintos y el producto de ellos es n. ¿Cuántos
elementos del conjunto {126, 128, 130, 132, 135} son posibles valores de n ?
2. En una reunión se observa que la sexta parte del total de personas están paradas, mientras
que la séptima parte del total de sillas están desocupadas. Si todas las personas quisieran
sentarse, harı́an falta 2 sillas más. ¿Cuántas personas hay en la reunión?
3. Andrea y Paola son dos amigas que están hospedadas en un hotel que tiene muchos pisos.
En el piso 1 del hotel no hay habitaciones, en el piso 2 del hotel están las habitaciones del 1
al 10, en el piso 3 están las habitaciones del 11 al 20, en el piso 4 están las habitaciones del
21 al 30, etc. El número de piso en el que Andrea está hospedada coincide con el número de
habitación en la que Paola está hospedada. Si sumamos el número de habitación de Andrea
con el número de habitación de Paola obtenemos 115. ¿Cuál es el número de la habitación en
la que está hospedada Andrea?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
4. Si los polı́gonos mostrados son regulares, y O es el centro del hexágono regular, halle la medida
del ángulo ∠F OI (expresada en grados sexagesimales)
D
C
E
O
F
G
B
A
H
I
5. Determine cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación:
(2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (2x + 4x − 6)3
6. En la figura se muestra un heptágono ABCDEF G que tiene todos sus lados de longitud 2.
Se cumple que ∠DEF = 120◦ , ∠BCD = ∠F GA = 90◦ y, además:
∠GAB = ∠ABC = ∠CDE = ∠EF G.
Si el área del heptágono es S, determine el número entero n tal que n ≤ S < n + 1.
A
B
G
C
D
F
E
7. Encuentre el menor entero positivo N que cumple las siguientes propiedades (a la vez):
N no es múltiplo de 5.
Si multiplicamos N por 2012, y borramos los dı́gitos 0 del resultado (si los hubiera)
obtenemos un número que tiene todos sus dı́gitos distintos.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
8. En cada casilla de un tablero de 7 × 7 se tiene que escribir un 1 o un 2 de tal forma que cada
rectángulo de 1 × 4 o de 4 × 1 contenga siempre cuatro números cuya suma es par. Halle el
número de formas en que se puede hacer esto.
9. ¿Cuántos enteros positivos abcd, de 4 dı́gitos no nulos, satisfacen la siguiente igualdad?
(2a − 1)(2b − 1)(2c − 1)(2d − 1) = 2abcd − 1
10. Las siguientes fichas, formadas por 5 cuadraditos cada una, son llamadas C-pentominós:
Algunas casillas de un tablero de 10 × 10 son pintadas de negro, de tal modo que cualquier
C-pentominó incluido en el tablero contenga al menos una casilla pintada de negro. Determine
la menor cantidad de casillas que se pueden pintar para que esto ocurra.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Tercera Fase - Nivel 3
26 de octubre de 2012
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Don Avarón vende sacos de arroz y de azúcar de 10 kilos cada uno, sin embargo, cada saco
pesa en realidad 9.60 kilos. Cierto dı́a un comerciante le compra 7 sacos de arroz y otros de
azúcar, al llegar a su tienda pesa nuevamente su mercancı́a y se da con la sorpresa de que
Don Avarón le habı́a dado 6 kilos menos. ¿Cuántos sacos de azúcar compró el comerciante?
2. En la figura mostrada hay dos cuadrados, el más pequeño tiene lado 2 cm, y el más grande
tiene lado 7 cm. Los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los lados del cuadrado grande.
Halla el área sombreada, en cm2 .
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
3. Jaime es un atleta, en un entrenamiento dio 11 vueltas a la pista atlética, la primera vuelta
la hizo en 75 segundos y en cada vuelta mejoró su tiempo en 1 segundo, hasta que se cansó y
su tiempo subı́a 2 segundos por vuelta. Si las 11 vueltas las hizo en 13 minutos y 8 segundos,
¿cuánto tiempo hizo en su vuelta más rápida?
4. Sea x un ángulo tal que (5 sen x + 5 cos x − 3)(5 sen x + 5 cos x + 3) = 20, determina el valor
de:
(4 + 5 sen x − 5 cos x)(5 sen x − 5 cos x − 4).
5. Un dominó es un rectángulo de 2 × 1 o de 1 × 2. Pedro cubrió completamente un tablero de
8 × 8 usando 32 dominós y notó que hay N dominós que están totalmente contenidos en el
tablero central de 6 × 6. Halle el menor valor posible de N para que la situación descrita sea
posible.
6. Para cada número entero k sea f (k) el número de soluciones reales de la ecuación:
||x| − 4| = k.
Por ejemplo, f (0) = 2, porque la ecuación
||x| − 4| = 0
tiene exactamente dos soluciones reales: 4 y −4.
¿Cuántos valores diferentes puede tomar f (k) ?
7. ¿Cuántos enteros positivos, menores que 130, tienen exactamente cuatro divisores compuestos?
Aclaración: Recuerde que un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores
positivos. Ası́ por ejemplo, el número 12 tiene exactamente tres divisores compuestos: 4, 6 y
12.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
8. Sea ABCDE un pentágono convexo, donde ABDE es un rombo y ∠ABC = ∠CDE = 135◦ .
Sean M y N los puntos de intersección de AC y EC con BD respectivamente. Si BM = 10
y N D = 70, halle M N .
9. Se tiene los siguientes números en la pizarra:
1, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16.
Una operación consiste en elegir dos números a y b escritos en la pizarra, borrarlos, y escribir
a + 4b
4a + b
en su lugar el número
o el número
. Después de 15 operaciones sólo va a quedar
9
9
un número en la pizarra. Sea m el menor valor que puede tomar dicho número. Halla 81m.
10. Decimos que un entero positivo es padre de mellizos si posee dos divisores de la forma ab y
ba, con a 6= b. Determine cuántos número de tres dı́gitos son padres de mellizos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Cuarta Fase - Nivel 1
25 de noviembre de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas dudas en los
enunciados de los problemas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema vale 25 puntos.
1. El producto de tres enteros positivos diferentes es 19600000 y su máximo común divisor es d.
Halle el mayor valor que puede tomar d.
2. En la boleterı́a del estadio municipal solo se recibe monedas de S/. 2 y S/. 5. Al inicio del dı́a
no habı́a dinero en la caja y al final del dı́a la recaudación total fue de S/. 1003. Demuestre
que se puede escoger un grupo de monedas cuyo valor total sea exactamente S/. 199.
3. Algunas casillas de un tablero de 10 × 10 son marcadas con una X, de la siguiente manera:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Sobre el tablero hay que colocar tiras de papel de 1 × 3 ó 3 × 1 como las que se muestran a
continuación:
1
Cada tira de papel debe cubrir exactamente tres casillas del tablero, las tiras no se pueden
superponer, y todas las casillas con una X deben quedar cubiertas. ¿Cuántas tiras se puede
colocar como mı́nimo para que se cumplan estas condiciones?
4. En cada casilla de un tablero de 10 × 10 se debe escribir 0 ó 1. ¿De cuántas maneras se puede
hacer esto si en cada subtablero de 2 × 2, en cada subtablero de 1 × 4, y en cada subtablero
de 4 × 1 la suma de los cuatro números siempre es par?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Cuarta Fase - Nivel 2
25 de noviembre de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas dudas en los
enunciados de los problemas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema vale 25 puntos.
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se ha trazado su circunferencia inscrita, la cual
es tangente al lado AB en D, al lado BC en E y al lado AC en F . Si ∠F DC = 2∠DCB,
demuestre que AF = BC.
B
D
E
A
F
C
2. Encuentre todas las parejas (a, b) de números reales tales que:
√
√
√
√
a + b + a + b − 4 = ab + 2.
3. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Una operación consiste
en elegir dos números a y b, y cambiar uno de ellos por a + b y el otro por |2a − b| ó |2b − a|.
a) Demuestre que después de realizar algunas operaciones es posible obtener 10 números
iguales.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
b) Si después de realizar algunas operaciones se consigue 10 números iguales a k, determine
el menor valor que puede tomar k.
Aclaración: |x| denota el valor absoluto de x, por ejemplo, |4| = 4 y | − 3| = 3.
4. Una potencia es un número que se puede expresar de la forma ab , donde a y b son enteros
mayores que 1.
¿Existe un conjunto X de 25 enteros positivos impares, menores que 21000, de tal modo que
para cualquier subconjunto {x1 , x2 , . . . , xk } de X , con 6 ≤ k ≤ 10, y cualesquiera números
a1 , a2 , . . . , ak , con ai ∈ {1, 2} y a1 + a2 + · · · + ak = 10, la suma a1 x1 + a2 x2 + · · · + ak xk sea
siempre una potencia?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
Cuarta Fase - Nivel 3
25 de noviembre de 2012
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas dudas en los
enunciados de los problemas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema vale 25 puntos.
1. Para cada entero positivo n cuya descomposición canónica es n = pa11 · pa22 · · · pakk , definimos
t(n) = (p1 + 1) · (p2 + 1) · · · (pk + 1). Por ejemplo, t(20) = t(22 · 51 ) = (2 + 1) · (5 + 1) = 18,
t(30) = t(21 · 31 · 51 ) = (2 + 1) · (3 + 1) · (5 + 1) = 72 y t(125) = t(53 ) = (5 + 1) = 6.
Decimos que un entero positivo n es especial si t(n) es un divisor de n. ¿Cuántos divisores
positivos del número 54610 son especiales?
2. Sean x, y números reales no nulos que satisfacen la siguiente ecuación:
x3 + y 3 + 3x2 y 2 = x3 y 3 .
Determine todos los valores que puede tomar la expresión
1 1
+ .
x y
3. Una ficha de dominó es un rectángulo de 1 × 2 ó de 2 × 1. Diego quiere cubrir completamente
un tablero de 6 × 6 usando 18 fichas de dominó. Determine el menor entero positivo k para el
cual Diego puede colocar k fichas de dominó sobre el tablero (sin que se superpongan) tal que
lo que queda del tablero se pueda cubrir de forma única usando las fichas de dominó restantes.
4. En una circunferencia S se traza una cuerda AB y definimos M como el punto medio del
arco AB. Sea P un punto del segmento AB distinto de su punto medio. La prolongación del
segmento M P corta a S en Q. Sea S1 la circunferencia que es tangente a los segmentos AP
y M P , y también es tangente a S; y sea S2 la circunferencia que es tangente a los segmentos
BP y M P , y también es tangente a S. Las rectas tangentes exteriores comunes a las circunferencias S1 y S2 se cortan en C. Pruebe que ∠M QC = 90◦ .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Primera Fase - Nivel 1
23 de agosto de 2013
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. La edad actual de Pedro es igual a 3/5 de la edad actual de Fernando. Hace exactamente 10
años la suma de sus edades era 60, ¿cuál será la edad de Pedro dentro de exactamente 13
años?
A) 53
B) 63
C) 47
D) 43
E) 50
2. Laura y Juana fueron al mercado a comprar algunos productos. Juana esperó a que Laura
haga todas sus compras para saber los precios. Laura pagó:
6 soles por 3 kilogramos de cebolla.
7 soles por 2 12 kilogramos de tomate.
25 soles por 1 41 kilogramos de carne.
18 soles por 1 21 kilogramos de fresas.
¿Cuánto gastará Juana en total si quiere comprar: 1 kilogramo de cebolla, 1 12 kilogramos de
tomate, 43 de kilogramo de carne, 4 kilogramos de fresa?
A) S/. 35,0
B) S/. 67,8
C) S/. 69,2
D) S/. 29,2
E) S/. 36,8
3. En mi último viaje compré 20 cajas de bombones, cada una contenı́a 12 bombones. Para
regalar algunos bombones a mis amigos y familiares realicé el siguiente procedimiento: abrı́
todas las cajas y de cada una saqué 2 ó 3 bombones. Si en total saqué 47 bombones, ¿de
cuántas cajas saqué 3 bombones?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 11
E) 13
4. Un campesino vendió toda su cosecha de papas a los señores Julio y Andrés, de tal forma que
el 20 % de la cantidad de sacos que compró Julio equivale al 30 % de la cantidad de sacos que
compró Andrés. ¿Qué porcentaje de la cantidad total de sacos compró Andrés?
A) 60 %
B) 50 %
C) 40 %
1
D) 30 %
E) 20 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
5. La cuarta parte de una cuadrilla de obreros puede realizar la octava parte de una obra en 3
dı́as. ¿Cuántos dı́as le tomarı́a a la cuadrilla completa realizar dicha obra?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 12
6. Hasta ahora he dado cuatro exámenes en el curso de Lenguaje y mañana tengo un examen
más. Si en este examen saco 20, mi nuevo promedio serı́a 16. ¿Cuál es el promedio de los
cuatro exámenes que he dado hasta ahora?
A) 20
B) 17
C) 16
D) 15
E) 18
7. En una bolsa negra hay 8 corbatas rojas, 7 corbatas celestes y 6 corbatas azules, ¿cuántas
corbatas como mı́nimo tengo que sacar (sin ver) para estar seguro de tener 3 corbatas del
mismo color?
Aclaración: Las corbatas que saco ya no regresan a la bolsa.
A) 9
B) 21
C) 10
D) 8
E) 7
8. En la figura se muestra un rectángulo que ha sido dividido en tres rectángulos A, B y C,
cuyas áreas son 6 cm2 , 12 cm2 y 24 cm2 , respectivamente. Si los perı́metros de los rectángulos
A, B y C son 14 cm, 16 cm y P cm, respectivamente. Halla el valor de P .
A
A) 24
B
C
B) 18
C) 30
D) 32
E) 20
9. Considere la siguiente secuencia de figuras:
figura 1
figura 2
figura 3
Para cada figura vamos a contar cuántos puntos marcados hay: la figura 1 tiene 3 puntos
marcados, la figura 2 tiene 9, la figura 3 tiene 19, y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos puntos
marcados tendrá la figura 15?
A) 439
B) 343
C) 450
2
D) 451
E) 440
¿Cuánto será el costo total de los productos que se
especifican en la lista que se presenta a la derecha?
A)
B)
C)
D)
E)
S/. 35,0
S/. 67,8
S/. 69,2
S/. 29,2
S/. 36,8
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
10. La siguiente figura se ha armado con triángulos de tres palitos de fósforos. Determinar
el número
total de figura
palitos de
utilizados:
10.
La siguiente
se fósforo
ha armado
con triángulos, donde cada triángulo está formado por 3
palitos de fósforo. Determina el número total de palitos de fósforos utilizado:
A)
3825
B)
3741
C)
A) 38253841
D)
3625
E)
3725
1
B) 3741
49
2
C) 3841
50
D) 3625
E) 3725
11. En la figura se muestra un diagrama de Venn para 3 conjuntos: A es el conjunto de los enteros
positivos pares, B es el conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 3; y C es el
conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 5.
B
A
C
¿Cuál de los siguientes conjuntos representa con exactitud al conjunto sombreado?
A) El conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 30.
B) El conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 15.
C) El conjunto de los enteros positivos impares que no son múltiplos de 5.
D) El conjunto de los enteros positivos impares que son múltiplos de 15.
E) El conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 6 pero no son múltiplos de 5.
12. El número de tres dı́gitos abc se puede expresar como el producto de dos números primos y
además, los números ab y bc son cuadrados perfectos. Determina el valor de a + b + c.
Aclaración: recuerde que los primos números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
A) 15
B) 13
C) 11
3
D) 19
E) 17
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
13. Jesús tiene un amigo en cada una de las siguientes ciudades: Arequipa, Huaraz y Puno. Sus
nombres son: Renzo, Fernando y Juan, y sus profesiones son: ingeniero, abogado y médico
(no necesariamente en ese orden). ¿En qué ciudad vive Juan y qué profesión tiene?, si se sabe
que:
Renzo no está en Arequipa y Fernando no está en Huaraz.
El que está en Arequipa no es ingeniero.
Fernando no es ingeniero ni abogado.
El que vive en Puno es médico
A) Puno - médico
D) Arequipa - ingeniero
B) Huaraz - ingeniero
C) Huaraz - médico
E) Arequipa - abogado.
14. Los números A y B son capicúas y cada uno tiene tres dı́gitos. Se sabe que A − B es un
número de dos dı́gitos que es múltiplo de 9. Hallar A − B.
Aclaración: Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha
a izquierda. Por ejemplo, 121 y 505 son capicúas de tres dı́gitos cada uno.
A) 18
B) 72
C) 63
D) 90
E) 81
15. En la figura mostrada hay un rectángulo gris que está rodeado de cuadrados de dos tamaños
diferentes:
Si el lado menor del rectángulo gris mide 40 cm, determine la longitud de su lado mayor.
A) 42 cm
B) 60 cm
C) 48 cm
D) 54 cm
E) 50
16. En un salón de clases hay un reloj de manecillas, ¿cuántas veces entre las 7:45 am y 1:00 pm
(del mismo dı́a) las manecillas de dicho reloj se superponen?
A) 1
B) 2
C) 3
4
D) 4
E) 5
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
17. ¿De cúantas formas podemos ordenar las letras M M M M M M P P P en una fila de tal forma
que en cualquier bloque de tres letras consecutivas la cantidad de letras M sea mayor que la
cantidad de letras P ?
Aclaración: Si un bloque de tres letras consecutivas está formado por tres letras M la cantidad
de letras P es 0.
A) 12
B) 9
C) 27
D) 10
E) 15
18. Un entero positivo es múltiplo de 7, ¿cuál es el menor valor que podemos obtener al sumar
sus dı́gitos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
19. Sofı́a tiene 6 tarjetas y en cada una está escrito un entero positivo (puede aparecer el mismo
número en varias tarjetas). Sofı́a escoge tres tarjetas y calcula la suma de los tres números que
aparecen en ellas. Haciendo esto para las 20 posibles selecciones de tres tarjetas ella obtuvo
las siguientes sumas: 16 (diez veces) y 18 (también diez veces). ¿Cuál es el menor número que
aparece en las tarjetas?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20. Considere un tablero de 3 × 6 en el que cada casilla se debe pintar de rojo o blanco tal que
se cumplan las siguientes condiciones:
Cada columna debe contener dos casillas rojas y una blanca.
Cada fila debe contener cuatro casillas rojas y dos blancas.
¿De cuántas formas se puede hacer esto?
A) 90
B) 100
C) 120
D) 81
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 108
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Primera Fase - Nivel 2
23 de agosto de 2013
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Una empresa que se dedica al remate de propiedades y automóviles publicó en el periódico un
anuncio de remate de un automóvil a un precio base de $ 3270. Al momento del remate, como
el precio base no interesó mucho al público, se tuvo que reducir en $ 350. El primer postor
ofreció $ 50 más del precio base, el segundo postor ofreció $ 20 más que el primer postor, el
tercero $ 30 más que el segundo postor, y finalmente se adjudica el remate un cuarto postor
que paga un total de $ 3170. ¿Cuánto más que el tercer postor ofreció pagar el cuarto postor?
A) $ 150
B) $ 90
C) $ 210
D) $ 130
E) 200
2. Pedro tiene 85 billetes entre billetes de S/. 50 y S/. 20 nuevos soles, si en total Pedro tiene
S/. 2300 nuevos soles. ¿Cuántos billetes hay más de un tipo que del otro?
A) 10
B) 20
C) 45
D) 65
E) 40
3. La cuarta parte de una cuadrilla de obreros puede realizar la sexta parte de una obra en 4
dı́as. ¿Cuántos dı́as le tomarı́a a la cuadrilla completa realizar dicha obra?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 12
4. Carlitos estudia en el Instituto de Matemática. La nota final del curso de Álgebra es el
promedio de las siguientes tres notas: el examen parcial, el examen final y el promedio de
prácticas. Carlitos obtuvo 13 en el examen parcial y 12 como promedio de prácticas. Sabiendo
que en el Instituto de Matemática se aprueba con nota mı́nima 14, ¿cuántos puntos como
mı́nimo debe obtener Carlitos en el examen final para poder aprobar este curso?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
5. Sean m y n números enteros positivos, con m > n, para los cuales definimos los polinomios:
P (x) = xm + 2xn + 1,
Q(x) = xm+n − xm + 1.
Si al sumar los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 7, y al multiplicar
los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 12, halla m2 + n2 .
A) 17
B) 29
C) 34
1
D) 13
E) 20
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
6. Si x y t son números reales positivos tales que
1 1
− = 42, determine el valor de:
x
t
x(60t + 1) − t
.
t(3x + 1) − x
A)
3
5
B)
3
4
C)
1
5
D)
2
3
E)
2
5
7. Cuando se deja caer un objeto, la relación entre la distancia d que recorre el objeto y el tiempo
transcurrido t viene dada por
d = 4,9 · t2 ,
donde d está expresada en metros y t en segundos. Javier dejó caer una pelota desde un
malecón. La pelota tardó 1,1 segundos en llegar al agua. ¿Cuántos metros viajó la pelota?
Redondea tu respuesta al entero más cercano.
A) 5 m
9. Cuando se deja caer un cuerpo, la relación entre la distancia que cae el cuerpo y el
6 mdada por: d= 4,9 . t2 C) 7 m
tiempo que tarda en B)
caer viene
D) 8 m
E) 9 m
Javier dejó caer una pelota desde un malecón. La pelota tardo 1,1 segundos en pegar
8. En un colegio
de 200 alumnos el 60 % son varones. En una encuesta se reveló que el 78 %
con el agua. ¿Cuántos metros viajó la pelota?. Redondear su respuesta al entero más
del total cercano.
de alumnos recibe ayuda para hacer sus tareas y el resto no, además, el número de
A) 5m
mujeres que
recibe ayuda para hacer sus tareas es igual a 4 veces el número de varones que
B) 6m
C)
7m
no lo hacen. ¿Qué porcentaje de las mujeres hacen solas su tarea?
A) 36 %
D)
E)
8m
9m
B) 40 %
C) 44 %
D) 48 %
E) 60 %
9. El nutricionista
ha puesto a Ricardo a un régimen de adelgazamiento y ha hecho esta gráfica
18. El médico ha puesto a Ricardo a un régimen de adelgazamiento y ha hecho esta gráfica para explicarle lo que espera
conseguir en
12 semanas
que dure
la dieta.
para explicarle
lolasque
espera
conseguir
en las 12 semanas que dure la dieta.
Hallar la expresión analítica de la función de: ¿Cuánto adelgazará Ricardo en la primera etapa (6 semanas) del régimen?
¿Cuál de las siguientes
alternativas expresa el peso P de Ricardo en función del número x de
a) y= - 5/3 x + 80
b) y= - 5/6 x + 80solamente la primera etapa del régimen (6 semanas)?
semanas, si consideramos
c)
A) P
B) P
C) P
D) P
E) P
y= 5/3 x + 80
d) y= - 12/3 x + 80
= − 5x
3 + 80
e) y= - 5/3 x + 70
= − 5x
+
80
6
5x
= 3 + 80
= 70 + 5x
3
= 70 − 5x
3
2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
10. Si p y q son dos números primos tales que p + q + 4 y pq − 12 también son números primos.
Halla p + q.
A) 7
B) 10
C) 8
D) 12
E) 9
11. Dos números naturales consecutivos cumplen que la diferencia positiva de sus raı́ces cuadradas
1
es menor que . Halla el menor valor que puede tomar la suma de esos dos números naturales.
10
A) 11
B) 49
C) 51
D) 99
E) 101
12. Sean M un número de 4 dı́gitos y N el número de 3 dı́gitos que resulta al eliminar el dı́gito
de las unidades de M . Si M + N = 2013, halla la suma de los dı́gitos de N .
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
13. Sean a y b dos reales positivos. Al dividir 2x4 − 3x3 + (4b + 1)x2 − (a + 4b)x + 2b2 entre
x2 − x − a se obtiene 72 de resto. Halla a + b.
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 18
14. En cada casilla del siguiente tablero está escrito uno de los números 1, 2, 3 ó 4, pero sólo se
muestran cuatro. Además, en cada subtablero de 2 × 2 todos los números que aparecen son
distintos. ¿Determinar qué números pueden estar en la casilla marcada con una x?
x
1
4
3
2
A) 1 ó 4
B) sólo 2
C) sólo 4
D) 2 ó 4
E) 1, 2 ó 4
15. En la figura mostrada ABC es un triángulo equilátero y P es un punto exterior al triángulo
tal que ∠AP C = 80◦ y el triángulo AP C es isósceles. Determine la medida del ángulo ∠AP B.
B
P
C
A
A) 60◦
B) 80◦
C) 75◦
3
D) 85◦
E) 70◦
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
16. Sean A > B > C tres divisores del número P = 2013 × 2014 tales que A + B + C es un
A+B
múltiplo de P . Halla
.
C
9
A) 5
B)
C) 4
D) 3
E) 2
2
17. Cinco cuadrados pequeños están en el interior de un cuadrado mayor, como muestra la figura.
Si el área de cada cuadrado pequeño es 5, determina el área del cuadrado mayor.
A) 25
B) 45
C) 49
D) 50
E) 64
18. Un número de cuatro dı́gitos es llamado conjeturable si todos sus dı́gitos son distintos y uno
de ellos es igual a la suma de los otros tres. Por ejemplo, el 2013 es conjeturable. ¿Cuántas
de las siguientes afirmaciones son correctas?
El menor número conjeturable es el 1203.
El mayor número conjeturable es el 9810.
Existe un entero positivo N tal que N y 5N sean conjeturables.
Existe un número conjeturable que es múltiplo de 11.
Hay menos de 1800 números conjeturables.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
19. Sean a, b, c tres números reales, cada uno de ellos distinto de 0, tales que:
a c
b
+ =
,
c b
2a
b a
3c
+ =
a c
b
y
c b
a
+ =N· ,
b a
c
halla el valor de N .
A) 5
B) 6
C) 11
4
D) 12
E) 15
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
20. Un torneo de tenis se realiza de la siguiente forma: En cada ronda,si el número de participantes
es par se forman parejas con los participantes. En cambio, si el número de participantes es
impar, se hace un sorteo y uno de los participantes pasa directamente a la siguiente ronda,
luego, se forman parejas con los participantes. Los participantes de cada pareja se enfrentan, y
el ganador de cada partido pasa a la siguiente ronda. El torneo acaba cuando hay un ganador
absoluto (recuerde que en el tenis no hay empates). Sea f (n) el número de rondas que habrá
en un torneo de n participantes. Por ejemplo, f (3) = 2 y f (5) = 3. Determine la suma de los
dı́gitos del menor entero positivo m que satisface la igualdad f (m) = f (2013).
A) 9
B) 5
C) 6
D) 7
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 8
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Primera Fase - Nivel 3
23 de agosto de 2013
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. El número 2013 se puede expresar como el producto de tres números primos. Halla la diferencia
entre el mayor y el menor de esos números primos.
A) 9
B) 41
C) 50
D) 54
E) 58
2. Si θ es un ángulo agudo tal que sec θ = 45 , halla el valor numérico de
√
A) 1
2 sen 30◦ + 3 csc θ
√
.
2 cos 45◦ + 3 cot 60◦
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. En la Olimpiada Nacional Escolar de Biologı́a (ONEB) participan grupos de tres estudiantes.
Para que un grupo de estudiantes sea aceptado en la Olimpiada se debe cumplir que el
promedio de sus edades al momento de la inscripción debe ser estrictamente menor que 15.
Raúl y Saúl son dos amigos cuyas edades son 13 y 15, respectivamente, y quieren participar
en la Olimpiada pero necesitan conseguir un estudiante más para que juntos formen un grupo,
¿cuál es la edad máxima que puede tener este estudiante?
A) 17
B) 16
C) 15
D) 14
E) 13
4. Kevin tiene en total 20 monedas, entre monedas de S/. 5 y de S/. 2. Si la cantidad de
monedas de cada valor se intercambian, la cantidad total de dinero aumentarı́a en S/. 18.
¿Cuánto dinero tenı́a Kevin al inicio?
A) S/. 61
B) S/. 79
C) S/. 85
1
D) S/. 59
E) S/. 48
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
5. Sea A el conjunto de los enteros positivos que son múltiplos de 3; y B el conjunto de los
enteros positivos que son múltiplos de 6. Determine cuántas de las siguientes proposiciones
son verdaderas:
1002 ∈ B.
A ⊂ B.
2013 ∈ (A ∪ B).
18 ∈ (A ∩ B).
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
6. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si se cumple que:
sen A + tan C
1
= ,
tan A + sec C
2
determina el valor de tan A.
√
A) 1
B) 3
C) 2
D)
1
2
E) 3
a b
a+b
7. Sean a y b números reales positivos tales que + = 3. Halla el valor numérico de
b a
a−b
√
√
√
A) 2
B) 3
C)2
D) 3
E) 5
8. El profesor le dijo a José que simplifique la siguiente expresión:
q
q
√
√
M = 4 4 − 2 3 + 97 − 56 3,
después de mucho esfuerzo consiguió simplificar la expresión, y se sorprendió al darse cuenta
que M es un número entero, ¿cuál es ese número?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9. Ángel, Benjamı́n, Carlos, Daniel y Ernesto son cinco sospechosos de haber robado un reloj de
oro. El juez, luego de haber visto el video de seguridad de la tienda, sabe que el ladrón actuó
solo. Luego del interrogatorio algunas de las respuestas fueron:
Ángel: Yo no robé el reloj.
Benjamı́n: Carlos robó el reloj.
Carlos: Daniel es inocente.
Daniel: Benjamı́n robó el reloj.
Ernesto: Yo no robé el reloj.
Si el ladrón fue el único que mintió, ¿quién es el ladrón?
A) Ángel
B) Benjamı́n
C) Carlos
2
D) Daniel
E) Ernesto
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
10. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrilátero tal que AB y CD son perpendiculares a
AD, con AB + CD = BC, AB < CD y AD = 8. Halla el valor de AB · CD.
C
B
A
A) 16
D
B) 8
C) 4
D) 2
E) 1
11. En una bolsa negra hay 3 canicas rojas y 2 azules. Mateo extrae de la bolsa una canica, y
después Alfonso extrae otra canica, ¿cuál es la probabilidad de que las canicas extraı́das sean
de colores diferentes?
1
3
2
3
2
A)
B)
C)
D)
E)
2
4
5
5
3
12. Encuentra el número de pares ordenados (a, b) de enteros positivos tales que:
1 < a < b + 2 < 13.
A) 45
B) 55
C) 65
D) 144
E) 90
13. Sea ABC un triángulo cuyos lados son AB = 8, BC = 15 y AC = 17. Se traza una recta L
que pasa por B y que no corta al triángulo. Si la distancia de A a la recta L es a la distancia
de C a la recta L como 2 es a 5, determine el valor de tan α.
L
B
a
C
A
4
3
14. Sean a, b, c números reales tales que
A) 1
B)
C)
3
4
D) 2
E)
3
2
1
7
E)
1
2
a − 7b + 8c = 4
8a + 4b − c = 7.
Determina el valor de
a2
A) 0
B) 1
−
b2
+
c2 .
C) 2
3
D)
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
15. Sean x1 y x2 las raı́ces de la ecuación x2 − 4x + 1 = 0. Halla el valor de
(xx1 1 + xx2 2 )(xx1 2 + xx2 1 )
A) 180
B) 200
C) 196
D) 194
E) 16
16. Si al número 2013 se le agregan dos dı́gitos, uno a la izquierda y otro a la derecha, se forma un
número N de seis dı́gitos. Por ejemplo, obtenemos el número 820139 si agregamos los dı́gitos
8 y 9. Si sabemos que N es múltiplo de 28, halla el menor valor que puede tener la suma de
los dı́gitos de N .
A) 13
B) 14
C) 15
D) 6
E) 7
17. Un entero positivo es múltiplo de 13, ¿cuál es el menor valor que podemos obtener al sumar
sus dı́gitos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18. Sea D un punto sobre el lado BC de un triángulo ABC, tal que ∠BAD = ∠DAC = 30◦ y
AB + BD = AC. Determina la medida del ángulo ∠ACB.
A) 20◦
B) 30◦
C) 40◦
D) 45◦
E) 60◦
19. ¿Cuál es el mayor número de cuatro dı́gitos distintos tal que al invertir el orden de sus dı́gitos
resulta un cuadrado perfecto? Da como respuesta la suma de los dı́gitos de dicho número.
A) 18
B) 17
C) 21
D) 24
E) 29
20. Timoteo quiere llenar un tablero de 6 × 6 con 18 dominós. Hasta el momento ya ha colocado
3 dominós, como muestra la figura. ¿De cuántas maneras puede llenar el resto del tablero con
15 dominós?
Aclaración: Cada dominó cubre exactamente dos cuadraditos del tablero. Ningún dominó
puede salirse del tablero.
A) 494
B) 429
C) 519
D) 469
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
E) 559
Importante:
No publicar está prueba en internet, u otro medio, hasta el dı́a 22 de
setiembre.
Para los encargados de tomar el examen: Recordar que los alumnos
no se pueden llevar los enunciados.
1
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Segunda Fase - Nivel 1
13 de setiembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. El Olı́mpicos FC es un equipo de fútbol que participó en un torneo de 20 equipos. Luego de
que Olimpicos FC jugó contra cada uno de los otros equipos, obtuvo 43 puntos en total. Si
perdió 2 veces, ¿cuántas veces empató?
Aclaración: Recuerde que en un partido de fútbol, el equipo ganador recibe 3 puntos y el
perdedor 0 puntos, y en caso de empate cada uno recibe 1 punto.
2. Cuando uno va al restaurante La Sazón Peruana para almorzar, tiene que elegir una entrada
y un plato de fondo, ası́ que hay varias formas diferentes de escoger el almuerzo. El mes pasado habı́a 32 formas de escoger el almuerzo, pero en el presente mes han aumentado algunas
entradas, ası́ que ahora hay 48 formas de escoger el almuerzo. Si actualmente hay menos de
10 entradas para escoger, ¿cuántas entradas habı́a el mes pasado?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
3. Andrés pesó a sus 22 cerdos, para lo cual los ordenó en una fila y los fue pesando uno por
uno. Observó que cada cerdo, a partir del segundo, pesó 3 kilos más que el cerdo anterior. Por
ejemplo, el segundo cerdo pesó 3 kilos más que el primero, el tercer cerdo pesó 3 kilos más
que el segundo, el cuarto cerdo pesó 3 kilos más que el tercero, y ası́ sucesivamente. Al finalizar el dı́a, sumó todos los pesos y obtuvo 2013 kilos, ¿cuántos kilos pesa el cerdo más pesado?
4. Sea T el conjunto de todos los enteros positivos cuyo producto de dı́gitos es igual a 32. Determine cuál es el menor elemento de T que no es múltiplo de 4.
5. Un rectángulo de base 12 cm y altura 6 cm se junta con un triángulo rectángulo de base 3
cm y altura 6 cm, como muestra la figura, para formar un cuadrilátero. Luego, el cuadrilátero
obtenido se divide en dos rectángulos A y B, y un trapecio C de tal forma que estos tres
nuevos cuadriláteros tienen igual área.
6
12
→
→
6
A
B
C
3
Determina el perı́metro del rectángulo A, en cm.
6. Un entero positivo es llamado desbalanceado cuando uno de sus dı́gitos es igual a la suma de
todos los otros dı́gitos. Por ejemplo, 1531 y 2013 son desbalanceados. Si hacemos una lista con
todos los números desbalanceados ordenados de menor a mayor, hallar la diferencia entre el
número desbalanceado que está inmediatamente después del 2013 y el número desbalanceado
que está inmediatamente antes del 2013.
7. ¿De cuántas formas se puede ordenar las letras A, A, C, I, J, L, U en una fila de tal forma
que cualesquiera dos letras que están juntas sean diferentes?
Ejemplo. Una forma de hacer esto es ası́: JULIACA.
8. ¿Cuántos enteros positivos n < 140 cumplen que la suma de los dı́gitos de n es igual a la
suma de los dı́gitos de 6n?
Aclaración: 6n es el producto de 6 y n.
3
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
9. Considere un tablero de 60 × 60, es decir, de 60 filas y 60 columnas. En la fila que está más
arriba están escritos los números 1, 2, 3, 4, . . . , 60 en ese orden, empezando de la izquierda.
En la columna que está más a la izquierda están escritos los números 1, 2, 3, 4, . . . , 60 en ese
orden, empezando de arriba. En cada casilla se va a escribir un número entero de tal forma
que la suma de los números de cada tablero 2 × 2 sea siempre 80. Si en la casilla que está en
la esquina inferior derecha debe estar escrito el número −a, donde a es un entero positivo,
determine el valor de a.
10. Romina tiene 33 tarjetas con los números 2, 3, 4, 5, . . . , 34 y n cajas en las que va a ubicar
las tarjetas (cada tarjeta va a ser ubicada en alguna de las cajas). Ella quiere que se cumpla
la siguiente condición: Si dos tarjetas tienen los números a y b tal que a es un divisor de
b, entonces estas tarjetas tienen que estar ubicadas en cajas diferentes. Determine el menor
valor de n para el cual esa situación es posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Importante:
No publicar está prueba en internet, u otro medio, hasta el dı́a 22 de
setiembre.
Para los encargados de tomar el examen: Recordar que los alumnos
no se pueden llevar los enunciados.
1
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Segunda Fase - Nivel 2
13 de setiembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En un evento deportivo hay 150 personas. Se sabe que hay 50 personas que no usan polo
blanco y que todas las mujeres usan polo blanco. Si el número de hombres es mayor en 10
que el número de mujeres, ¿cuántos hombres usan polo blanco?
2. Sean a > b > 0 números enteros tales que
a2 − b2
5
a
= . Halla el valor de .
2
(a − b)
3
b
3. Pablo tiene que recorrer una distancia de 6 kilómetros para llegar a su escuela, para ello
cuenta con una bicicleta que en algunas ocasiones deja en la casa de su tı́a antes de llegar a
la escuela. Se sabe que la casa de la tı́a de Pablo está a 15 minutos en bicicleta de la escuela.
Si Pablo viaja en bicicleta todo el camino de su casa a la escuela, se demora 60 minutos, en
cambio si lo hace a pie, se demora 120 minutos. ¿Cuántos minutos se demoró Pablo en llegar
a su escuela, si se sabe que empezó su recorrido en bicicleta, la cual dejó en la casa de su tı́a,
para luego continuar a pie?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
4. En la figura mostrada, las rectas L1 y L2 son paralelas, y también las rectas L3 y L4 son
paralelas. El cuadrilátero sombreado tiene un ángulo interior de medida 92◦ , y además cumple
que su menor ángulo interior es igual a la mitad de su mayor ángulo interior, determina la
medida del ángulo x en grados sexagesimales.
L3
x
L4
L1
92°
L2
5. Sea N el menor entero positivo que es múltiplo de 72 y en cuya escritura sólo se usan los
dı́gitos 8 y 9, con al menos uno de cada uno. Halla la suma de los cuatro últimos dı́gitos de
N , es decir, la suma de los cuatro dı́gitos de la derecha.
6. En un cuadrilátero ABCD, en donde AD y BC son paralelos y además AD > BC, se cumple
que ∠ABC = 2∠ADC. Si BC = 7, CD = 17 y AD = 20, determina la longitud del perı́metro
del cuadrilátero ABCD.
7. Sean a, b, c números enteros diferentes entre sı́, tales que el polinomio P (x) = x3 + ax2 + bx + c
cumple que P (a) = a3 y P (b) = b3 . Halla el valor de P (1).
8. Se hace una lista en orden creciente, de todos los números de 7 dı́gitos no divisibles por 5,
que usan exactamente una vez cada uno de los dı́gitos 1,2,3,4,5,6,7 en su escritura. Halla el
número que ocupa la posición 2013 en esa lista y da como respuesta el resto de dividir dicho
número entre 1000.
9. Sean a, b, c números primos tales que a < b < c < 100 y además a + 1, b + 1, c + 1 forman una
progresión geométrica. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar a + b + c?
3
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
10. Las siguientes figuras son llamadas L-tetrominós, donde cada una está formada por cuatro
cuadraditos.
Cada cuadradito de un tablero de 8×8 se ha pintado de un color, de tal forma que si escogemos
cuatro cuadraditos cualesquiera que forman un L-tetrominó entonces esos cuatro cuadraditos
tienen colores diferentes. Determina el menor número de colores que se pudieron haber usado
en total para que esta situación sea posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Importante:
No publicar está prueba en internet, u otro medio, hasta el dı́a 22 de
setiembre.
Para los encargados de tomar el examen: Recordar que los alumnos
no se pueden llevar los enunciados.
1
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Segunda Fase - Nivel 3
13 de setiembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Carlos escribió tres números naturales consecutivos y se dio cuenta que el producto de esos
tres números es igual a 35 veces uno de ellos. Determine la suma de esos tres números.
Aclaración: Considere que el conjunto de los números naturales es {1, 2, 3, 4, . . .}.
2. Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un polı́gono regular de n lados. Si ∠BAC = 12◦ ,
determine el valor de n.
3. Sean x, y, z números reales tales que
(
x + y + z = 2013,
xy + yz + zx = xyz.
Halla el valor de:
x+y y+z z+x
+
+
.
z
x
y
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
4. Antonio escribe un número N de 10 dı́gitos (todos distintos) alrededor de una circunferencia,
en sentido horario, como se muestra en la figura.
1
5
2
6
8
7
9
sentido
horario
sentido
horario
3
0
4
Según la figura no se puede distinguir donde empezó Antonio a escribir los dı́gitos de su
número N . Lo que sı́ se sabe es que N no es múltiplo de 4 ni de 5, y además N − 1 no es
múltiplo de 11, halla el dı́gito de las decenas de N .
5. Sea f (n, x) = (cos x◦ )n − (sen x◦ )n , donde n es un entero positivo y x un número real. Por
ejemplo, tenemos que f (2, 60) = (cos 60◦ )2 − (sen 60◦ )2 = 41 − 34 = − 21 . Halla el valor de:
f (4, 23)
.
f (2, 11) · f (2, 34)
6. Los números 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 son distribuidos en las casillas de un tablero de
3 × 3 (un número por casilla), de tal modo que la suma de los números de cualesquiera dos
casillas con un lado en común es un número primo. ¿Qué número está en el centro del tablero?
7. Se tiene un tablero de 5 × 5 y en cada casilla está escrito uno de los signos + o −, como
muestra la figura. Una operación consiste en elegir tres casillas que formen un triminó en
forma de L y cambiar los signos de esas tres casillas.
¿Cuántas operaciones como mı́nimo se necesitan para que todas las casillas del tablero tengan
signo +?
Aclaración: Los triminós en forma de L son:
3
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
8. Sea ABC un triángulo y D un punto del lado AC tal que CD = 2AB y
∠BAC = 2∠DBC = 4∠ACB.
Halla la medida de ∠BAC en grados sexagesimales.
9. Sean a, b, c tres números enteros tales que a2 + b2 + c2 = 2033 y a + b + c es un cuadrado
perfecto. Si el menor valor posible de a es −n, donde n es un entero positivo. Halla el valor de n.
10. Sabemos que para todo x ∈ 0, π2 se cumple que sen x < x < tan x. Halla el mayor entero
positivo n que tiene la siguiente propiedad:
sen 2x + tan 2x > nx,
para todo x ∈ 0, π4 .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Tercera Fase - Nivel 1
11 de octubre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En el mes de agosto lo que gasté en alimentos representó el 20 % de mi sueldo. En el mes
de setiembre lo que gasté en alimentos representó el 25 % de mi sueldo, pero este cambio
ocurrió porque gasté en alimentos S/. 100 más que el mes anterior y también porque mi
sueldo aumentó en S/. 100. ¿Cuál fue mi sueldo (en soles) en el mes de agosto?
2. ¿Cuál es el dı́gito de las centenas del número A = 43 + 73 + 5101 ?
3. Olga, Nadia, Emilia y Marı́a son cuatro amigas y cada una tiene cierta cantidad de dinero, de
tal forma que Emilia tiene el triple de dinero que Olga. Si Olga le da S/. 100 a Nadia, Nadia
le da S/. 150 a Emilia, Emilia le da S/. 180 a Marı́a y Marı́a le da S/. 250 a Olga, entonces
las cuatro amigas tendrı́an la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos soles tienen en total las
cuatro amigas juntas?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
4. En la siguiente figura hay dos triángulos sombreados y el lado de cada cuadrado pequeño
mide 2 cm, determina en cuántos cm2 el área del triángulo sombreado de la derecha es mayor
que el área del triángulo sombreado de la izquierda.
5. Halla el menor entero positivo n para el cual n y n + 2013 son cuadrados perfectos.
Aclaración: Considere que los cuadrados perfectos son los números de la forma k 2 , donde k
es un entero, es decir, 02 , 12 , 22 , 32 , 42 , . . ..
6. En una sala grande hay una fila de 30 sillas puestas una al lado de la otra. Cuando Renato
entró a la sala vio que algunas personas estaban sentadas en las sillas de tal forma que si él
se sienta en cualquier silla desocupada entonces estará al lado de alguna de esas personas.
¿Como máximo cuántas sillas desocupadas habı́a antes de que llegue Renato?
7. En cada casilla del siguiente tablero debemos escribir uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 de
tal forma que los seis números que aparecen en cada fila y en cada columna son diferentes.
¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la suma de los números escritos en las doce casillas
sombreadas?
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
8. Los enteros positivos 20 y n cumplen que su media aritmética, media geométrica y media
armónica también son enteros positivos. Determina el mayor valor posible de n.
Aclaración:
a+b
2 .
La media aritmética de dos reales positivos a y b es
La media geométrica de dos reales positivos a y b es
√
ab.
2
1
+ 1b
a
La media armónica de dos reales positivos a y b es
.
9. Considere el siguiente arreglo de números, que consiste de 1001 filas:
fila 1
fila 2
fila 3
.
.
.
→
→
→
1
2
3
3
5
8
4
7
12
.
5
9
16
.
.
6
11
20
.
24
.
.
.
7
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1001
.
.
.
.
.
.
.
Note que cada número que está en la fila 2 o más abajo es igual a la suma de los dos números
que están sobre él.
Determina cuántos cuadrados perfectos hay en la fila central (fila 501).
10. En cada una de las casillas de un tablero de 1 × 12, como se muestra en la figura, se escribe
un número que pertenece al conjunto {1, 2, . . . , 12} (puede haber números repetidos) de tal
manera que la suma de los números en dos casillas adyacentes no sea nunca un múltiplo de
2, y la suma de los números en tres casillas adyacentes no sea nunca un múltiplo de 3. Si
N representa el número de distribuciones que cumplen esas condiciones, determina cuántos
divisores positivos tiene el número N .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Tercera Fase - Nivel 2
11 de octubre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En cierta universidad se hizo un estudio estadı́stico, el cual nos brindó la siguiente información:
El número de estudiantes varones y el número de estudiantes mujeres están en la relación de 7
a 9. El número de estudiantes varones que usan la biblioteca y el número de los que no la usan
están en la relación de 2 a 3. Con esta información se obtiene que el número de estudiantes
varones que usan la biblioteca y el número total de estudiantes de la universidad están en la
relación de m a n, donde m y n son enteros positivos primos entre sı́. Halla el valor de m + n.
Aclaración: Dos números son primos entre sı́ si su máximo común divisor es 1.
2. Para cada entero positivo n definimos S(n) como la suma de los dı́gitos de n, por ejemplo
S(2013) = 2 + 0 + 1 + 3 = 6.
Si a y b son dı́gitos tales que los tres números S(a + b), a + b, ab forman una progresión
aritmética estrictamente creciente, halla el valor de 20a + 13b.
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
3. En un triángulo isósceles ABC, donde AB = BC, se ubica el punto E en la prolongación del
lado AC (C está entre A y E) y en el segmento BE se ubica el punto F , de tal modo que
AC = CF = F E y ∠BAF = 3∠F AE. Halla la medida del ángulo ∠F AE.
4. Pedro tiene una bolsa con 13 tarjetas numeradas del 1 al 13. ¿Cuál es la mı́nima cantidad
de tarjetas que Pedro debe sacar de la bolsa, sin ver, para tener la certeza de que tres de las
tarjetas extraı́das tienen numeración consecutiva?
5. El número de tres dı́gitos ABC es un cuadrado perfecto y el número de dos dı́gitos BC es
primo, determina el mayor valor posible de A + B + C.
6. Un número de 9 dı́gitos que se obtiene al reordenar los dı́gitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 es llamado
colorido si los dı́gitos 0, 1, 2, 3 y 4 aparecen en ese orden de izquierda a derecha y los dı́gitos
8, 7, 6 y 5 también aparecen en ese orden de izquierda a derecha. Por ejemplo, 870612534 es
un número colorido. Determina cuántos números coloridos hay en total.
Aclaración: Tenga en cuenta que el dı́gito 0 no puede aparecer a la izquierda de un número.
√
3
8x3 − 3x2 − 3x − 1
7. La raı́z real de la ecuación
= 0 se puede escribir de la forma
donde a, b, c son enteros positivos. Encuentra el valor de a + b + c.
a+
√
3
c
b+1
,
8. En una reunión hay 15 polı́ticos. Cada polı́tico debe votar por k de los otros polı́ticos. Halla
el menor valor de k para el cual se tiene la seguridad de que habrá dos polı́ticos A y B, tales
que A votó por B y B votó por A.
9. Doce enteros positivos son ubicados alrededor de un cı́rculo de tal manera que cada uno de
ellos es igual a 2 más el máximo común divisor de sus dos vecinos, el de su izquierda y el de
su derecha. Halla el mayor valor que puede tomar la suma de los doce enteros positivos.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
10. Los polinomios P (x) y Q(x) cumplen que todos sus coeficientes son reales no negativos y
además:
P (x) · Q(x) = x12 · (x3 + x2 + x + 1)3 ,
P (x) · P (x3 ) = 2P (x2 ) · Q(x) − [Q(x)]2 .
Halla el valor de P (2).
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Tercera Fase - Nivel 3
11 de octubre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA
EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Sobre una recta se consideran los cinco puntos A, B, C, D y E, que aparecen en ese orden,
tales que AC = CD + 6 y CE = BC + 8. Determina la distancia entre los puntos medios de
los segmentos AD y BE.
2. En una academia hay cinco salones y la cantidad de alumnos que hay en cada salón forman
una progresión aritmética. El salón menos numeroso tiene 32 alumnos. Cierto dı́a todos los
alumnos de cuatro de los salones de dicha academia fueron de excursión y se contó en total
149 alumnos. ¿Cuántos alumnos no fueron a la excursión?
3. Sea f (x) = ax + b una función lineal, donde a y b son números reales con a < 0. Si el domia
nio de f es el intervalo [2, 3] y su rango es el intervalo [5a − 5b, a + 4b], determina el valor de .
b
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
4. ¿Cuántos números de la siguiente lista
22 × 3,
23 × 4,
24 × 5,
...,
22012 × 2013
son cuadrados perfectos?
5. Una ensambladora de autos tiene dos máquinas. La máquina 1 puede ensamblar tres autos
por hora pero consume 1000 kw de energı́a. La máquina 2 puede ensamblar cuatro autos por
hora pero consume 2000 kw de energı́a. Por cuestiones técnicas, la máquina 1 puede estar
encendida a lo más 8 horas al dı́a, la máquina 2, a lo más 6 horas; pero ambas máquinas
no pueden trabajar al mismo tiempo. ¿Cuántos autos se pueden ensamblar como máximo en
un dı́a trabajando de 8 am a 8 pm, sabiendo además que las máquinas no pueden consumir
juntas más de 17 000 kw de energı́a?
6. Sea ABC un triángulo equilátero. En los lados AB, BC y CA tomamos los puntos D, E y F ,
respectivamente, tales que DE es perpendicular a BC, EF es perpendicular a AC y además
DB = EF + F C. Si ∠EDF = α, determina el valor de 60 sec2 α.
7. Un entero positivo N es llamado decimito si se cumple que cada elemento del conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se puede escribir como a + b, donde a y b son dı́gitos de N , no
necesariamente diferentes. Determina el menor número decimito y da como respuesta la suma
de sus dı́gitos.
8. Sean x, y, z ángulos agudos tales que
1
sen x · cos y = ,
2
1
sen y · cos z = √ ,
10
2
sen z · cos x = √ .
10
Sea M la suma de todos los posibles valores que puede tomar el producto sen x · sen y · sen z.
Halla 100M 2 .
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
9. En un tablero de 4 × 4, sea A su vértice inferior izquierdo y B su vértice superior derecho.
Considere todos los caminos que empiezan en A y terminan en B que pasan por las lı́neas
de la cuadrı́cula y que no pasan dos veces por el mismo punto, sabiendo que sólo se puede ir
hacia la derecha (→), hacia arriba (↑) o hacia abajo (↓). Para cada camino, definimos su área
como la cantidad de casillas que hay debajo de él. ¿Cuántos caminos cumplen que su área es
múltiplo de 4 ó de 5?
Ejemplo: El siguiente camino tiene área 7.
Tenga en cuenta que 0 es múltiplo de cualquier entero positivo.
10. Sea S una semicircunferencia de diámetro AB. Sea C un punto del segmento AB (distinto
de los extremos) y sean S1 y S2 las semicircunferencias de diámetros AC y BC (hacia el
mismo lado de S), respectivamente. Una circunferencia es tangente a S, S1 , S2 en los puntos
X, M, N , respectivamente. Cuando C varı́a a lo largo de todo el segmento AB, el ángulo
∠M XN recorre el intervalo [α, β). Halla el valor de 100(sen2 α + sen2 β).
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 1
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. ¿Cuántos enteros positivos de 10 dı́gitos cumplen que el producto de sus dı́gitos es 120 y la
suma de sus dı́gitos es 20?
2. Encuentra todos los posibles enteros positivos a < b < c < d tales que a + b + c + d = 28 y el
conjunto {a + b, a + c, a + d, b + c, b + d, c + d} esté conformado por seis elementos distintos,
cuatro de los cuales son números primos.
3. Decimos que los enteros positivos distintos m y n son enlazados si se cumple que más de la
mitad de los divisores positivos de m son divisores de n, y más de la mitad de los divisores
positivos de n son divisores de m.
a) Halla todos los enteros positivos n para los cuales n y 100 son enlazados.
b) Demuestra que existe un conjunto de 2013 enteros positivos distintos tales que dos cualesquiera de ellos son enlazados.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
4. ¿Cuántos caballos del ajedrez se pueden colocar como máximo en un tablero de 8 × 8 de tal
modo que cada caballo amenace a exactamente uno de los otros caballos?
Aclaración: En el ajedrez, un caballo amenaza a otro caballo si están ubicados en las esquinas
opuestas de un rectángulo de 2 × 3 o 3 × 2. Por ejemplo, en el siguiente tablero el caballo C1
amenaza al caballo C2 y también al caballo C3 .
C2
C1
C3
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 2
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. En un juego hay 3 cajas cerradas, cada una de las cajas contiene 20 bolitas, pero no se sabe
con exactitud el contenido de cada caja. Solo sabemos que una de las cajas contiene 10 bolitas
blancas y 10 bolitas rojas; otra de las cajas contiene 10 bolitas rojas y 10 bolitas azules; y en
la otra caja hay 10 bolitas azules y 10 bolitas blancas. Emilio, en cada jugada, debe retirar
una bolita de alguna de las cajas. Muestra una manera de jugar con la que Emilio pueda
obtener con certeza una bolita blanca, como máximo en 13 jugadas.
Aclaración: Emilio puede cambiar de caja luego de una jugada si lo desea.
2. Para cada entero positivo n sea P (n) el producto de los dı́gitos de n. Por ejemplo, P (10) = 0
y P (216) = 12. Halla el menor entero positivo m que cumple las siguientes dos condiciones:
P (m) − P (m + 2) = 990,
m es múltiplo de 11.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
3.
a) Prueba que para todo entero positivo par n ≥ 4, existe un polı́gono convexo de n lados
de tal modo que el número de triángulos isósceles que se pueden formar con 3 de sus
vértices es mayor o igual que
(n − 2)(3n − 4)
.
4
b) Si se pintan de rojo 25 puntos de una circunferencia, de tal forma que cualesquiera dos
segmentos que tienen sus extremos en puntos rojos no sean perpendiculares, ¿como máximo, cuántos triángulos isósceles tienen sus vértices en tres puntos rojos?
4. Si x, y, z son números reales tales que x2 + y 2 + z 2 ≤ 100, determina el menor valor posible y
el mayor valor posible de la siguiente expresión
2xy + 2yz + 7xz.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 3
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Definimos el polinomio P (x) = 2014x2013 + 2013x2012 + · · · + 4x3 + 3x2 + 2x. Halla el mayor
divisor primo de P (2).
2. Los enteros positivos a, b, c son tales que
M CD(a, b, c) = 1,
M CD(a, b + c) > 1,
M CD(b, c + a) > 1,
M CD(c, a + b) > 1.
Determina el menor valor posible de a + b + c.
Aclaración: M CD significa máximo común divisor.
3. Sea P un punto en el interior del triángulo equilátero ABC tal que
6∠P BC = 3∠P AC = 2∠P CA.
Halla la medida del ángulo ∠P BC.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. El siguiente tablero es cubierto completamente con dominós de manera arbitraria.
a) Prueba que podemos pintar 21 dominós de tal modo que no haya dos dominós pintados
formando un S-tetraminó.
b) ¿Cuál es el mayor entero positivo k para el cual siempre es posible pintar k dominós
(sin importar cómo se llene el tablero) de tal modo que no haya dos dominós pintados
formando un S-tetraminó?
Aclaración: Un dominó es un rectángulo de 1 × 2 ó de 2 × 1; los S-tetraminós son las figuras
de los siguientes tipos:
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
HOJA DE RESPUESTAS
Hora de inicio:___________
Hora de entrega:___________
MINISTERIO DE EDUCACION
XI OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR
DE MATEMATICA
2014
PRIMERA ETAPA
Apellidos
Nombres
Firma
Nivel 1
10
(Marcar con una X)
Nivel 2
20
30
40
Grado de estudios
Colegio
Nivel 3
50
1.
A
B
C
D
E
2.
A
B
C
D
E
3.
A
B
C
D
E
4.
A
B
C
D
E
5.
A
B
C
D
E
6.
A
B
C
D
E
7.
A
B
C
D
E
8.
A
B
C
D
E
9.
A
B
C
D
E
10.
A
B
C
D
E
11.
A
B
C
D
E
12.
A
B
C
D
E
13.
A
B
C
D
E
14.
A
B
C
D
E
15.
A
B
C
D
E
16.
A
B
C
D
E
17.
A
B
C
D
E
18.
A
B
C
D
E
19.
A
B
C
D
E
20.
A
B
C
D
E
Ciudad y Ugel
NOTA.- Marca correcta:
Marcas incorrectas:
Fecha: _______________

Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Segunda Fase - Nivel 1
21 de agosto de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados ni tampoco
publicar o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se
realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En una calle hay varias tiendas de electrodomésticos. Rolando es el dueño de una de esas
tiendas. Para el Dı́a de la Madre, Rolando se dio cuenta que las otras tiendas ofrecı́an 20 %
de descuento, pero él en realidad no puede bajar el precio de sus productos. Ası́ que decidió
aumentar el precio de sus productos, para que luego de que ofrezca el 20 % de descuento los
precios sean los mismos que al inicio. Si el precio de una refrigeradora es 1200 nuevos soles, ¿en
cuántos nuevos soles debe aumentar este precio para que pueda ofrecer el 20 % de descuento
y ası́ conseguir su objetivo?
2. Un agricultor vende papas en sacos de tres tamaños diferentes: grandes, medianos y pequeños.
Dos sacos grandes tienen el mismo peso que tres sacos medianos. Dos sacos medianos tienen
el mismo peso que tres sacos pequeños. ¿Cuántos sacos pequeños tienen el mismo peso que
32 sacos grandes?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
3. En la figura se muestra dos carros, ambos se mueven a velocidad constante y en la misma
dirección. La velocidad del carro de la izquierda es 20 m/s (20 metros por segundo) y la
velocidad del de la derecha es 16 m/s. En el instante mostrado la distancia entre los carros
es 70 metros, ¿dentro de cuántos segundos esa distancia será 130 metros?
4. Arturo usa el siguiente formato para pintar dı́gitos:
Podemos notar que Arturo usa cierto número de segmentos para pintar cada dı́gito, por ejemplo el dı́gito 7 usa 3 segmentos mientras que el dı́gito 2 usa 5 segmentos. Para representar el
año 2014 se usan 17 segmentos. ¿Hace cuántos años fue la última vez que para representar
ese año Arturo usó el mismo número de segmentos que usó para el 2014?
5. En una caja hay 15 bolsas negras y cada bolsa contiene 2 canicas. Se sabe que:
Hay 7 bolsas que contienen 2 canicas verdes, cada una.
Hay 5 bolsas que contienen 1 canica verde y 1 canica blanca, cada una.
Hay 3 bolsas que contienen 2 canicas blancas, cada una.
Considerando que las bolsas negras están cerradas y que tienen igual apariencia (sólo se puede saber el contenido de las bolsas al abrirlas), ¿cuántas bolsas negras hay que escoger como
mı́nimo y sacarlas de la caja, para tener la seguridad que entre las bolsas escogidas hay al
menos 7 canicas verdes?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
6. En la figura de la izquierda se muestra un rectángulo de papel de 20 cm de ancho y 30 cm de
largo, que tiene una cara de color gris y la otra (la que está oculta) de color blanco. Al hacer
cuatro dobleces se obtuvo la figura de la derecha en la que se puede ver dos rectángulos grises,
A y B, y cuatro triángulos blancos. Si el perı́metro del rectángulo A es 34 cm, determine el
área del rectángulo B, expresada en cm2 .
30 cm
A
→
20 cm
B
7. Determine el menor entero positivo M que tiene las siguientes propiedades a la vez:
El producto de los dı́gitos de M es 112.
El producto de los dı́gitos de M + 6 también es 112.
8. En un juego Andrés eligió un elemento n del conjunto {1, 2, 3, . . . , 100} sin decı́rselo a Beatriz.
Después, Beatriz le preguntó cuál es el resto que se obtiene al dividir n entre 11, Andrés le
respondió 3. A continuación, Beatriz le preguntó cuál es el resto que se obtiene al dividir n
entre p, donde p es un número primo, y Andrés le respondió 0, con esta información Beatriz
pudo determinar con seguridad cuál era el valor de n. ¿Cuántos valores distintos puede
tomar p para que esta situación ocurra?
3
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
9. En un tablero de 4 × 4, dividido en 16 cuadraditos unitarios, decimos que dos cuadraditos son
vecinos si comparten un lado. Cada cuadradito del tablero se va a pintar de rojo o azul, de
tal forma que cualquier cuadradito del tablero tiene el mismo color que al menos dos de sus
vecinos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?
Aclaración: No es necesario utilizar los dos colores a la vez, podrı́a pintarse todos los cuadraditos del mismo color.
10. Halle el menor entero n > 1 para el cual existen n números enteros, no necesariamente diferentes, tales que su producto es 999 y su suma también es 999.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Segunda Fase - Nivel 2
21 de agosto de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados ni tampoco
publicar o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se
realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En la figura, ABC es un triángulo equilátero y BCDE es un rombo. Además, los ángulos
∠BAE y ∠BCD miden x◦ (en grados sexagesimales). Determine el valor de x.
E
B
x°
D
x°
A
C
Aclaración: Un rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales.
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
2. Se muestra una parte del plano de una ciudad donde los rectángulos representan las manzanas,
además, todos los rectángulos son iguales. Para ir desde el cruce A hasta el cruce B el mı́nimo
recorrido es de 390 metros; y para ir desde el cruce A hasta el cruce C el mı́nimo recorrido
es de 430 metros. ¿De cuántos metros es el mı́nimo recorrido para ir desde el cruce A hasta
el D ?
B
C
A
D
3. ¿Cuántos elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} son divisores del número
20142 − 1 ?
√
√
√ √
5
5
4. Sea x1 = 5 5, x2 = ( 5 5) 5 y en general xn = (xn−1 ) 5 , para cualquier n ≥ 2. Es decir,
la sucesión x1 , x2 , x3 , √
. . . cumple que cada término, a partir del segundo, es igual al anterior
elevado al exponente 5 5. Determine el menor entero positivo n para el cual xn es un número
entero múltiplo de 5.
5. En la figura, ABCD y AM N P son dos rectángulos cuyas áreas miden 30 cm2 y 16 cm2 ,
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero M BDP , en cm2 .
M
A
P
B
N
C
D
6. En el plano cartesiano considere los 12 puntos que tienen coordenadas (0,0), (0,1), (0,2), (0,3)
(1,0), (1,3), (2,0), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3). ¿De cuántas formas se puede escoger 3 de
esos 12 puntos de tal forma que esos 3 puntos sean los vértices de un triángulo rectángulo?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
7. Decimos que un número de 4 dı́gitos abcd es osado si ab y cd son números de 2 dı́gitos tales
que ab + cd es un divisor de abcd. Por ejemplo, el número 2013 es osado, pues 20 + 13 = 33 es
un divisor de 2013. Si abcd es un número osado, determine el mayor valor que puede tomar
la expresión:
abcd
.
ab + cd
Aclaración: Como ab y cd son números de 2 dı́gitos, entonces a y c son mayores que 0.
8. En una fiesta los asistentes bailan en parejas formadas por un hombre y una mujer, pero en
un momento dado no es necesario que todos los asistentes estén bailando. Durante la primera hora, se observó que cada mujer bailó exactamente con 4 hombres y cada hombre bailó
exactamente con 5 mujeres. Luego, se fueron 9 mujeres y en la siguiente hora se observó que
cada mujer bailó con exactamente 5 hombres y cada hombre bailó con exactamente 4 mujeres.
¿Cuántos asistentes habı́a al inicio de la fiesta?
9. Un entero positivo N es llamado super-cuadrado si tiene la siguiente propiedad: si sumamos
todos los dı́gitos de N , luego a esta suma le restamos uno de los dı́gitos de N (elegido convenientemente) y finalmente el resultado es elevado al cuadrado, obtenemos el mismo número
N . Determine el mayor super-cuadrado.
10. Sean x, y, z números reales tales que
(
x2 + y 2 + z 2 = 144,
x + y + z = 6.
Si el mayor valor posible de |x| + |y| + |z| se expresa como m +
positivos. Determine el valor de m + n.
√
n, donde m y n son enteros
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Segunda Fase - Nivel 3
21 de agosto de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados ni tampoco
publicar o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se
realize de la mejor forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Determine el valor de la siguiente expresión
cos2 30◦ + sen2 60◦ + 3 cos2 45◦
.
sen2 30◦ + cos2 60◦ + cos2 45◦
2. En una caja cerrada hay 10 canicas azules, 11 canicas rojas, 12 canicas amarrillas y 13 canicas
blancas. ¿Cuántas canicas debemos sacar como mı́nimo, sin ver, para obtener con seguridad
al menos cinco canicas de cada color?
3. Determine el menor entero positivo n para el cual la suma
2 + 3 + 4 + ··· + n
es múltiplo de 567.
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
4. En una fiesta los asistentes bailan en parejas formadas por un hombre y una mujer, pero
en un momento dado no es necesario que todos los asistentes estén bailando. Se observó que
cada hombre bailó con exactamente 3 mujeres y cada mujer bailó con exactamente 4 hombres.
¿Cuántos asistentes hay en total si este número está entre 30 y 40?
5. La ecuación (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = −1 tiene algunas raı́ces reales. Si r es la menor
raı́z real de esa ecuación y R es la mayor raı́z real, determine el valor de r + R.
6. Un texto antiguo menciona el siguiente acertijo:
“Tengo tres números distintos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, los dos mayores
son consecutivos y su suma es divisible por el menor de los tres números, además, si supieras
el valor del menor podrı́as determinar con seguridad los otros dos números. Te reto a que
adivines cuáles son mis tres números”.
Determine la suma de los tres números que resuelven el acertijo.
7. Diremos que un cuadrilátero es especial si al menos uno de sus ángulos interiores es mayor o
igual que 135◦ . Se tiene un cuadrado ABCD:
B
C
A
D
donde se eligen dos puntos M y N sobre el lado AB (con M entre A y N ), los puntos P y
Q sobre el lado BC (con P entre B y Q), los puntos R y S sobre el lado CD (con R entre
C y S) y los puntos T y U sobre el lado DA (con T entre D y U ). Al trazar los segmentos
M S, N R, QT y P U el cuadrado queda dividido en 9 cuadriláteros, ¿como máximo cuántos
de estos 9 cuadriláteros pueden ser especiales?
8. Se sabe que el número 4100 tiene 61 dı́gitos. ¿Cuántos dı́gitos tiene el número 5100 ?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
9. En la figura mostrada, la circunferencia de centro O es tangente a las rectas BA, BC y AC
en los puntos P , Q y R, respectivamente. Los segmentos OA y OC cortan al segmento P Q
en los puntos M y N . Si P M = 5, M N = 6 y N Q = 7, determine el valor de 5 × 6 × 7 × cos β.
B
b
P
C
R
A
M
N
Q
O
10. La ficha O, formada por 8 cuadraditos, se genera al quitar el cuadradito central de un tablero
de 3 × 3. En la siguiente figura están sombreados los 8 cuadraditos de una ficha O:
¿Cuántos cuadraditos de un tablero de 10 × 10 se deben marcar con el sı́mbolo F, como
mı́nimo, para asegurar que cualquier ficha O incluida completamente en el tablero cubra al
menos un cuadradito marcado con F ?
Aclaración: Cada ficha O debe cubrir exactamente 8 cuadraditos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Tercera Fase - Nivel 1
2 de octubre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Hace varios años un escalador quiso llegar a la cima de un glaciar de 1200 metros de altura,
pero sólo llegó hasta la mitad del glaciar en esa ocasión. Después de eso, cada año regresaba y
lo volvı́a a intentar, y en cada intento conseguı́a llegar 45 metros más alto que el año anterior,
pero debido al deshielo, el glaciar reducı́a su altura en 5 metros por año. ¿Cuántos metros de
altura tenı́a el glaciar cuando el escalador llegó por fin a la parte más alta?
2. Considere la siguiente secuencia de figuras, donde cada figura está formada por cuadraditos
de lado 1 cm. Ası́ por ejemplo, la Figura 1 está formada por 3 cuadraditos de lado 1cm y
tiene 8 cm de perı́metro. Determine el perı́metro de la Figura 100, expresado en cm.
Figura 1
Figura 3
Figura 2
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
3. Fernando escribió en la pizarra 18 enteros positivos consecutivos, ordenados en una fila de
menor a mayor. Resultó que el número mayor es múltiplo del número menor. Si ninguno de
los números que escribió Fernando es igual a 5, ¿cuál es el número mayor?
4. Ana y Úrsula son dos hermanas cuya casa está frente a una carretera. Ellas juegan de la
siguiente manera: Cada vez que pasa un auto rojo Ana gana 3 puntos, cada vez que pasa un
auto blanco Úrsula gana 5 puntos y cada vez que pasa un auto de cualquier otro color ganan
1 punto cada una. Durante la tarde que jugaron, Ana terminó con 26 puntos y Úrsula con 29
puntos. ¿Cuántos autos pasaron en total durante dicha tarde?
5. Si A es un número de tres dı́gitos y B es un número de cuatro dı́gitos, tales que B − A = 2014,
determine el mayor valor que puede tomar la suma de los siguientes siete dı́gitos: los tres dı́gitos de A y los cuatro dı́gitos de B.
6. Si p, q y r son números primos tales que p2 + q 2 − r2 = 70, determine el valor de p + q + r.
7. ¿Cuántos números de 5 dı́gitos cumplen que cada uno de sus dı́gitos es menor que 5 y además
la suma de todos sus dı́gitos es impar?
8. La siguiente figura está formada por 9 cuadraditos de lado 1 cm en los que se han marcado
los 16 puntos que son vértices de los cuadraditos, y a los que llamaremos nodos. Una hormiga
quiere llegar al nodo B empezando en el nodo A, pero solo puede caminar sobre los lados de
los cuadraditos. Si la hormiga no puede pasar dos veces por el mismo punto, excepto por los
nodos (la hormiga puede pasar por un nodo las veces que quiera), ¿cuál es la mayor longitud,
en cm, que puede tener el recorrido de la hormiga?
B
A
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
9. En la figura mostrada ABCD es un rectángulo, E es punto en la prolongación del segmento
AD, P es un punto del segmento BC y los segmentos P E y CD se cortan en el punto Q. Se
sabe que el área del triángulo P QD es 12 cm2 y que el área del triángulo QDE es 18 cm2 ,
determine la diferencia de las áreas de los triángulos AP D y ABP (en cm2 ).
B
P
C
Q
A
D
E
10. Para los enteros positivos m y n, definimos f (m, n) como la suma de todos los divisores
positivos de m que también son divisores de n. Por ejemplo, f (4, 6) = 1 + 2 = 3. Halle el
entero positivo n para el cual se cumple que
f (1, n) + f (2, n) + f (3, n) + · · · + f (n, n) = 864.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Tercera Fase - Nivel 2
2 de octubre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Santiago estaba viendo el canal del tiempo y se percató de lo siguiente: la temperatura en
Pucallpa era 4◦ C más que en Chiclayo, la temperatura en Chiclayo era 2◦ C más que en
Lima, la temperatura en Lima era 2◦ C más que en Tacna, la temperatura en Tacna era 4◦ C
más que en Puno y la temperatura en Puno era, en grados celsius, la mitad que en Pucallpa.
¿Cuál era la temperatura en Tacna?
2. Un trapecio isósceles tiene bases paralelas de longitudes 8 cm y 20 cm, y los lados no paralelos
miden 10 cm cada uno. ¿Cuál es el área de dicho trapecio, en cm2 ?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
3. En una compañı́a de autos vendieron 500 autos el año pasado. Se sabe que cada mes de dicho
año, a partir de febrero, vendieron un auto más que el mes anterior, excepto en uno de los
meses en el que vendieron dos autos más que el mes anterior. ¿Cuántos autos vendieron en el
mes de octubre de dicho año?
4. En un restaurante, cada mesa tiene exactamente n sillas. En cierto momento no hay ninguna mesa vacı́a y las cantidades de mesas que tienen 1, 2, 3, . . . , n personas son iguales a
1, 2, 3, . . . , n, respectivamente. Determine la cantidad de mesas, sabiendo que esta cantidad
es igual a la cantidad de sillas desocupadas que hay en el restaurante.
Nota: Puedes usar la siguiente igualdad 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n+1)(2n+1)
.
6
5. La profesora Gabriela va a repartir 30 caramelos entre sus 8 alumnos, de tal forma que cada
alumno reciba al menos 1 caramelo y algún alumno reciba más de 4 caramelos. Además, de
los 8 alumnos, al menos 4 alumnos van a recibir más de 1 caramelo. ¿Como máximo cuántos
caramelos puede recibir uno de sus alumnos?
6. Si a y b son reales positivos tales que
a2 +
1
= 7,
b
b2 +
1
= 3,
a
determine el valor de
a2 b2 +
2ab + 10
.
a+b
7. ¿Cuántos enteros positivos n menores que 2014 cumplen que n es igual a la suma de los dı́gitos
de 3n + 920 ?
8. Sea Q+ el conjunto de los números racionales positivos. Sea f : Q+ → Q+ una función que
cumple las siguientes propiedades:
f (1) = 1,
f x1 = f (x), para todo x ∈ Q+ ,
(x + 1) · f (x) = x · f (x + 1), para todo x ∈ Q+ .
Determine el valor de f 20
14 .
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
9. ¿Cuántos números de 5 dı́gitos cumplen que cada uno de sus dı́gitos es mayor que 4, y además
la suma de sus 5 dı́gitos es impar?
10. Decimos que dos enteros positivos son amigos si uno de esos números es múltiplo del otro.
Por ejemplo, los números 9 y 3 son amigos; mientras que los números 6 y 9 no son amigos. En
cada cı́rculo de la siguiente figura tiene que escribirse un entero positivo (los números 2 y 2014
ya están escritos) de tal forma que si dos números están unidos por un segmento entonces son
amigos, y si dos números no están unidos por un segmento entonces no son amigos. Determine
el menor valor que puede tomar la suma de los ocho números.
2
2014
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Tercera Fase - Nivel 3
2 de octubre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Desde un reservorio, que abastece de agua a un pueblo, se transportan 70 m3 de agua por
segundo usando tres tuberı́as: A, B y C. La empresa que administra el reservorio quiere hacer
mejoras duplicando la capacidad de dos de las tuberı́as. Si se duplica la capacidad de las
tuberı́as A y B se transportarı́a 125 m3 de agua por segundo. Si se duplica la capacidad de
las tuberı́as A y C se transportarı́a 115 m3 de agua por segundo. ¿Cuánto se transportarı́a
(en m3 por segundo) si se duplica la capacidad de las tuberı́as B y C ?
2. Sean α y β ángulos agudos tales que:
sen α + cos α =
8
7
y
7
sen β + cos β = .
5
Calcule el valor de:
10 · [sen(α + β) + cos(α − β)] .
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
3. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 deben ser distribuidos en las casillas de un tablero de
3×3, un número por casilla, de tal modo que la suma de los números ubicados en cualesquiera
dos casillas con un lado en común pertenezca siempre al conjunto {9, 10, 11, 12}. Determine
la suma de los cuatro números ubicados en las cuatro casillas de las esquinas del tablero.
4. Bruno tiene una tienda de objetos novedosos en la cual ofrece tres productos cuyos precios
son 5 soles el primero, 6 el segundo y 7 el tercero. Al cerrar la tienda se dio cuenta de que el
15 % de los objetos vendidos ese dı́a fueron del primer producto. Si la recaudación total de
ese dı́a fue de 250 soles, ¿cuántas objetos del segundo producto se vendieron?
5. Un número de 4 dı́gitos es múltiplo de 16, determine el mayor valor que puede tomar la suma
de los dı́gitos de dicho número.
6. Los enteros positivos a y b cumplen que aa es un divisor de bb , pero a no es un divisor de b.
¿Cuál es el menor valor posible de a + b ?
7. En la figura mostrada ABCD es un rectángulo, AD es el diámetro de la semicircunferencia
(la cual es tangente al lado BC). El segmento BP corta a la semicircunferencia en los puntos
M y N . Sea α = ∠M AD y β = ∠N DA. Si tan β = 3, determine el valor de 120 · tan α.
B
C
M
P
N
a
b
D
A
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
8. Si ABCD es un cuadrilátero convexo tal que ∠DAC = 30◦ , ∠ADB + 2∠ADC = 360◦ y
∠ACD = ∠ACB, determine la medida de ∠ABC (en grados sexagesimales).
9. Sea P (x) un polinomio cuadrático tal que −2 ≤ P (x) ≤ 5, para todo x ∈ [2, 4]. Determine el
mayor valor posible de P (−1).
Aclaración: [2, 4] representa al intervalo cerrado de extremos 2 y 4.
10. La siguiente secuencia de números está conformada por todos los números naturales cuyo
producto de dı́gitos es una potencia de 2 pero no es una potencia de 4, ordenados de forma
creciente:
2, 8, 12, 18, 21, . . .
Ası́ por ejemplo, el número 2 ocupa la posición 1, el número 8 ocupa la posición 2, el número
12 ocupa la posición 3, y ası́ sucesivamente. ¿Qué número ocupa la posición 2014 ? Dé como
respuesta la suma de sus dı́gitos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 1
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Se tienen algunas piedras distribuidas en cinco cajas. Un movimiento consiste en elegir una
caja que contiene dos o más piedras, retirar dos piedras de esa caja y colocarlas en otras dos
cajas (una en cada caja). Determine en cada caso si es posible que todas las cajas tengan la
misma cantidad de piedras después de algunos movimientos si inicialmente las cajas contienen:
a) 4, 3, 3, 2 y 2 piedras respectivamente.
b) 4, 3, 3, 3 y 2 piedras respectivamente.
2. Determine el menor entero k > 1 para el cual existen enteros positivos a, b y c tales que
mcd(a, b + 1) = 5,
mcd(b, c + 1) = 6,
mcd(c, a + 1) = k.
Para dicho valor de k, encuentre una terna (a, b, c) de enteros positivos para la cual ocurran
las tres igualdades anteriores.
Aclaración: mcd(m, n) denota al máximo común divisor de m y n.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
3. Decimos que un entero positivo N es olı́mpico si todos sus dı́gitos son distintos y además, la
suma de los dı́gitos de N es divisible por cada uno de los dı́gitos de N .
a) Halle todos los números olı́mpicos de tres dı́gitos.
b) Halle el mayor número olı́mpico y justifique por qué es el mayor.
4. El juego del Sudoku-4 consiste en lo siguiente: Al inicio algunas casillas de un tablero de 4 × 4
tienen escrito un número del conjunto {1, 2, 3, 4} (está permitido escribir números repetidos),
se gana el juego si se logra escribir un número del conjunto {1, 2, 3, 4} en cada casilla vacı́a del
tablero de tal forma que en cada fila y en cada columna los números sean diferentes. Decimos
que la distribución inicial de números es perfecta si solo hay una forma de escribir los números
en las casillas vacı́as para ganar el juego.
a) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 5 números escritos?
b) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 4 números escritos?
c) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 3 números escritos?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 2
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sean a, b, m, n enteros positivos tales que:
m+n=a+b
mn + 1 = ab.
a) Pruebe que m 6= n.
b) Pruebe que a = b.
2. Determine todos los números reales c para los cuales existen números reales no nulos x, y, z
tales que
z
y
z x
x y
+ + = + + = c.
y
z x
x y
z
3. Se tiene un tablero de 5 × 5. Inicialmente hay un número 1 en cada casilla del tablero. Un
movimiento consiste en elegir un subtablero de 2 × 2, borrar los números de las casillas que
ocupa y escribir en su lugar los números 1, 2, 3 y 4 en algún orden. ¿Cuál es el mayor valor
que puede tomar la suma de los 25 números del tablero después de un número finito de movimientos?
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
4. Dado un cuadrilátero ABCD tal que AB = AD, ∠CBD + ∠ABC = ∠ADB + ∠ADC = 180◦
y ∠BAD > 60◦ . Sea M cualquier punto del segmento AB (M 6= A y M 6= B).
a) Pruebe que existe un punto N en el segmento CD tal que BM = DN y un punto X en
el segmento BC tal que M X = XN .
b) Pruebe que la medida del ángulo ∠XAN es siempre la misma sin importar cuál sea el
punto M .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 3
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Encontrar todas las ternas (α, β, θ) de ángulos agudos tales que las siguientes desigualdades
se cumplan a la vez
(sen α + cos β + 1)2 ≥ 2(sen α + 1)(cos β + 1),
(sen β + cos θ + 1)2 ≥ 2(sen β + 1)(cos θ + 1),
(sen θ + cos α + 1)2 ≥ 2(sen θ + 1)(cos α + 1).
2. Una ficha U está formada por cuadraditos de 1 × 1 y tiene la siguiente forma:
a
a
b
donde hay dos hileras verticales de a cuadraditos, una horizontal de b cuadraditos y además
a ≥ 2 y b ≥ 3. Observe que hay diferentes tipos de ficha U .
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
Por ejemplo, algunos tipos de fichas U son los siguientes:
Demuestre que para cada entero n ≥ 6, el tablero de n × n se puede cubrir completamente
con fichas U , sin que haya huecos y sin que haya dos fichas que se superpongan.
Aclaraciones: La fichas U se pueden rotar. En el cubrimiento se puede usar cualquier cantidad
de fichas de cada tipo.
3.
a) Sean a, b, c enteros positivos tales que ab + b + 1, bc + c + 1 y ca + a + 1 son divisores
del número abc − 1, demuestre que a = b = c.
b) Encuentre todas las ternas (a, b, c) de enteros positivos tales que el producto
(ab − b + 1)(bc − c + 1)(ca − a + 1)
es un divisor del número (abc + 1)2 .
4. Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro O, sobre los lados BC, CA y AB se
toman los puntos D, E y F , respectivamente, de tal manera que BDEF es un paralelogramo.
Suponiendo que
AC 2
DF 2 = AE · EC <
,
4
demuestre que las circunferencias circunscritas a los triángulos F BD y AOC son tangentes
entre sı́.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Primera Fase - Nivel 1
19 de junio de 2015
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 28 de junio.
A partir del 29 de junio las pruebas estarán publicadas en la página web del
Ministerio de Educación.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Un colegio va a organizar un paseo para sus 242 alumnos, para lo cual debe contratar algunos
buses. Si cada bus tiene una capacidad de 45 pasajeros, ¿cuántos buses debe contratar como
mı́nimo?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
2. La siguiente tabla muestra las temperaturas promedio de cinco ciudades durante cuatro dı́as
consecutivos:
Puno
Iquitos
Chimbote
Cusco
Lima
lunes
9◦
32◦
21◦
10◦
14◦
martes
7◦
34◦
22◦
12◦
13◦
miércoles
6◦
33◦
23◦
10◦
16◦
jueves
9◦
32◦
24◦
14◦
17◦
¿Qué ciudad tuvo el mayor aumento de temperatura de un dı́a al siguiente?
Puno
B) Iquitos
C) Chimbote
D) Cusco
E) Lima
3. Sobre la mesa habı́a 6 tarjetas marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aı́da cogió dos
tarjetas, Brenda cogió otras dos tarjetas y finalmente Celia se quedó con las dos tarjetas que
quedaron. El producto de los números de Aı́da es 6 y la suma de los números de Brenda es
10. ¿Cuál es el producto de los números de Celia?
A) 5
B) 4
C) 2
1
D) 8
E) 6
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
4. Bruno tiene una máquina que le costó 10000 soles y César tiene una máquina que le costó
6700 soles. Cada año la máquina de Bruno pierde 500 soles de su valor y cada año la máquina
de César pierde 200 soles de su valor. ¿Dentro de cuántos años las máquinas tendrán el mismo
valor?
A) 13
B) 7
C) 8
D) 14
E) 11
5. Determine el menor entero positivo de cuatro dı́gitos que es múltiplo de 6 y además tiene sus
cuatro dı́gitos distintos. Dé como respuesta el dı́gito de las unidades de dicho número.
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
6. Hay un camino recto que une los pueblos de Moropampa, Soropampa y Coropampa, pero no
necesariamente están en ese orden. Un caminante que pasaba por Coropampa vio un letrero
que decı́a:
343567568
23435675689
01
Lo malo es que el letrero no decı́a en qué dirección estaba cada pueblo. Después de caminar
varios kilometros llegó a Soropampa y ahı́ se enteró que Moropampa está a más de 25 km de
distancia. ¿Cuál es la distancia entre Moropampa y Soropampa?
A) 55 km
B) 30 km
C) 35 km
D) 45 km
E) 50 km
7. Mario le dice a Tomás que piense un número. Luego, le dice a Tomás que sume 3 a su número,
después, que multiplique el resultado por 2, después, que le reste 10 al resultado y, finalmente,
que divida el último resultado entre 2. Para terminar, Mario le pide a Tomás que le diga la
respuesta final. ¿Qué operación debe hacer Mario con esta respuesta final para obtener el
número que Tomás pensó al inicio?
A) Restar 2.
B) Sumar 4.
C) Multiplicar por 3.
D) Dividir entre 3.
E) Sumar 2.
8. Sea M el menor entero positivo que es múltiplo de cada elemento del conjunto {11, 12, 13, . . . , 99}.
Entonces M no es múltiplo de
A) 106
B) 105
C) 104
2
D) 103
E) 102
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
9. Cada dı́a de la próxima semana, desde lunes a domingo, el señor Pérez va a usar una camisa
blanca, celeste o azul. El señor Pérez nunca usa el mismo color de camisa dos dı́as seguidos.
¿De cuántas formas diferentes puede escoger los colores de sus camisas si el dı́a viernes siempre
usa camisa azul?
Aclaración: No es necesario que el señor Pérez use los tres colores de camisa.
A) 32
B) 64
C) 128
D) 96
E) 72
10. Paul, Raúl y Saúl son tres amigos de edades diferentes. Se sabe que exactamente una de las
siguientes proposiciones es verdadera:
Raúl es el mayor.
Paul no es el mayor.
Saúl no es el menor.
Ordene a los amigos de mayor a menor:
A) Raúl, Paul, Saúl
B) Paul, Raúl, Saúl
C) Saúl, Paul, Raúl
D) Saúl, Raúl, Paul
E) Paul, Saúl, Raúl
11. El dı́a 5 de cierto mes fue miércoles y el dı́a 5 del siguiente mes también fue miércoles, ¿cuáles
son estos meses?
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A) Enero y febrero
D) Junio y julio.
B) Febrero y marzo
C) Marzo y abril
John Cuya E) Setiembre y octubre.
12. Un cuadrado grande es dividido en dos cuadradosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
pequeños (ubicados en la parte inferior)
y tres rectángulos de igual perı́metro (ubicados en la parte superior), como se muestra en la
figura:
1.
Si el perı́metro de cada rectángulo es 28 cm, halle el perı́metro del cuadrado grande.
A) 72 cm
B) 52 cm
C) 64 cm
D) 48 cm
E) 16 cm
13. Si a, b, c son dı́gitos distintos, ninguno de ellos igual a 0, determine cuántos valores distintos
puede tomar la siguiente suma:
abc + bca + cab.
A) 24
B) 27
C) 21
3
2.
D) 19
E) 15
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
14. En cada cı́rculo de la siguiente figura se escribe un número entero positivo de tal modo que la
1.
suma de los tres
números ubicados en los vértices de cualquier triángulo pequeño es siempre
John Cuya
igual a 5.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Halle el mayor2.valor que puede tomar la suma de todos los números.
A) 13
B) 15
C) 7
D) 11
E) 9
1.
15. El máximo común divisor de los números abc y 240 es 15. ¿Cuántos valores distintos puede
tomar a + b + c?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
16. Ricardo piensa en un número par de dos dı́gitos y le dice a Julián que la suma de estos
dı́gitos es N . ¿Para cuántos valores de N , la información brindada permite que Julián sepa
con seguridad cuál es el número que Ricardo pensó?
A) 1
3.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17. En la figura se muestran cı́rculos unidos por segmentos. Cada cı́rculo debe ser pintado de
un color. Determine cuántos colores se necesita como mı́nimo si queremos que se cumpla la
siguiente propiedad: si A, B, C son tres cı́rculos consecutivos cualesquiera, entonces A y C
2.
tienen colores distintos.
1
3.
A) 2
B) 3
C) 4
4
D) 5
E) 6
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
18. Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de los dı́gitos de n y sea P (n) el producto de
los dı́gitos de n. ¿Cuántos enteros positivos n cumplen que S(n) × P (n) = 2015 ?
A) 999
B) 400
C) 399
D) 403
E) 575
19. En la figura se muestra un rectángulo de 3 cm de ancho y 4cm de largo. En su perı́metro se
han marcado 14 puntos igualmente espaciados. ¿De cuántas formas se puede escoger dos de
esos puntos de modo tal que el segmento que los une divide al rectángulo en dos partes cuyas
áreas están en la relación de 1 a 3 ?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 10
E) 12
343567568
23435675689
20. Al inicio, una ficha está en la casilla central de un tablero de 101 × 101. En cada paso la ficha
se mueve a cualquiera de sus cuatro casillas vecinas. ¿En cuántas posiciones diferentes puede
estar la ficha luego de exactamente 60 pasos?
Aclaración: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.
01
A) 3657
B) 6921
C) 3501
D) 3721
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 3600
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XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Primera Fase - Nivel 2
19 de junio de 2015
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 28 de junio.
A partir del 29 de junio las pruebas estarán publicadas en la página web del
Ministerio de Educación.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Si P, E, R, U son dı́gitos tales que P E × RU = 2015, calcule el valor de P + E + R + U .
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
2. En una carrera participan cinco amigos Aldo, Beto, Carlos, Daniel y Eduardo. Se sabe que
Aldo llegó a la meta antes que Beto, Carlos llegó antes que Daniel y Daniel llegó antes que
Eduardo y que Aldo. Si Beto no llegó en último lugar, ¿cuál de los amigos llegó en tercer
lugar?
A) Aldo
B) Beto
C) Carlos
D) Daniel
E) Eduardo
3. Sean a, b, m, n números reales positivos tales que a + b = 2mn y m + n = 3ab. Halle el valor
de la expresión
1 1
1
1
+
·
+
.
a b
m n
A) 1
B) 2
4. El número 0,2015 está entre . . .
1
1 1
A) y 1
B) y
2
3 2
C) 3
C)
1
1 1
y
4 3
D) 5
D)
1 1
y
5 4
E) 6
E)
1 1
y
6 5
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
Sociedad Matemática Peruana
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Primera Fase - Nivel 2
5. En el gráfico se indica la cantidad de dı́as festivos que tiene cierta ciudad entre los meses de
1. problema
marzo
y junio.5 Halle la cantidad de dı́as festivos que tiene dicha ciudad en el mes de junio.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
3n − 5
2n
n+5
3n − 8
John Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
marzo
A) 10
B) 11
mayo
abril
1. problema 5
C) 12
junio
D) 13
E) 14
6. Roberto
hace 85 años tenı́a la mitad de la edad actual que tiene Sandro, su hermano mayor.
2. problema
− 5 perfecto menor que 40, determine la
Si dentro de 5 años la edad de Sandro será un3n
cuadrado
A
L
edad actual de Roberto.2
2n
+ la
5 forma k2 , donde k es un número entero.
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un númeronde
A) 7
x◦
B)15
3n − 8
C) 4
L1
D) 12
E) 20
7. Un grupo de trabajadores
puede realizar una obra en 100 dı́as. Otro grupo de trabajadores
80◦
puede realizar la misma obra en 150 dı́as. Se decide contratar a ambos grupos, los cuales
trabajarán
B la misma cantidad de
C dı́as, pero por separado (en los primeros dı́as trabajarán el
primer grupo y en los últimos dı́as, el segundo grupo). ¿Cuántos dı́as tardarán en completar
mayo
marzo
abril
la 3.obra?
problema 11
A) 120
B) 125
C) 130
D) 135
E) 140
8. En el siguiente gráfico, ABC es un triángulo equilátero y las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Determine el valor2.deproblema
x.
8
A
L2
x◦
L1
80◦
B
A) 40
B)3.45problema 11
C
C) 50
2
1
D) 55
E) 60
junio
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Sociedad Matemática Peruana
John Cuya
Primera Fase - Nivel 2
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
9. Un entero positivo es llamado cuatrero si cumple las siguientes condiciones a la vez:
Cada uno de sus dı́gitos pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4},
1. problema 5
Cualesquiera tres dı́gitos ubicados en posiciones seguidas son distintos entre sı́.
Por ejemplo, 12314 y 23412 son cuatreros. ¿Cuántos números cuatreros de cinco dı́gitos (incluyendo a los del ejemplo) hay en total? 3n − 5
A) 32
2n
C) 64
n+5
3n − 8
B) 48
D) 72
E) 96
10. Sean m y n enteros positivos tales que m + n = 2015, m es múltiplo de 3 y n es múltiplo de
7. Halle el resto de dividir 3m + 7n entre 21.
A) 9
B) 6
C) 2
marzo
D) 11
mayo
abril
E) 18
junio
11. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
A) 2100
2. problema 8
B) 480
C) 660
A
D) 840
E) 1020
L2
12. ¿Cuál es el menor entero positivo que se puede escribir como la suma de 2, 3, 4, ó 5 números
x◦
primos distintos?
L1
A) 28
B) 30
C) 26
D) 38
80◦
B
E) 20
C
13. Un cuadrado grande está dividido en cuatro rectángulos y un cuadrado pequeño, como muestra
3. problema 11
la figura:
Si los perı́metros de los cuatro rectángulos son (en algún orden) 10 cm, 15 cm, 18 cm y 23
cm, determine el perı́metro del cuadrado grande.
A) 25 cm
B) 28 cm
C) 33 cm
D) 38 cm
E) 41 cm
1
3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
14. Anita va a lanzar tres veces un dado sobre la mesa, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los números que va a obtener sea múltiplo de 3?
1
1
1
2
1
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
6
3
4
15. Determine el valor de
1
1
1
1
2000 1 − 2
1− 2
1 − 2 ··· 1 −
.
2
3
4
1002
A) 1010
B) 1000
C) 1200
D) 505
E) 1111
16. En una reunión hay ocho mujeres. Se sabe que una de ellas es amiga de todas las demás,
cinco tienen dos amigas en la reunión, una tiene una amiga en la reunión y la última tiene x
amigas en la reunión. Halle la suma de todos los valores que puede tomar x.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
17. Decimos que un número de cuatro dı́gitos distintos abcd es luminoso si 5a + b = 5c + d.
Por ejemplo, 2015 es luminoso ya que todos sus dı́gitos son distintos y 5 × 2 + 0 = 5 × 1 + 5.
¿Cuál es el menor número luminoso? Dé como respuesta la suma de sus dı́gitos.
A) 13
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
18. Halle el coeficiente de x2 al expandir el producto
(1 + x)(1 + 3x)(1 + 5x)(1 + 7x) · · · (1 + 19x).
A) 3690
B) 4335
C) 5655
D) 6310
E) 6975
19. Sea P un punto en el interior de un triángulo ABC tal que AP = P C, ∠ABP = 20◦ ,
∠P BC = 30◦ y ∠P CB = 70◦ . Determine el valor de ∠P AB.
A) 50◦
B) 35◦
C) 40◦
4
D) 20◦
E) 30◦
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
1. problema 20
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
20. Se tiene un tablero de 2.
6 ×problema
6, como20,
se tablero
muestradeen
6 xla6 figura:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Algunas casillas se van a pintar de negro de tal forma que no haya tres casillas negras consecutivas en horizontal, vertical o diagonal, es decir, no debe haber tres casillas negras dispuestas
1. las
problema
20 formas:
de alguna de
siguientes
¿Cuántas casillas negras puede haber como máximo?
A) 18
2. problema 20, tablero de 6 x 6
B) 20
C) 17
D) 19
E) 16
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
5
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Primera Fase - Nivel 3
19 de junio de 2015
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 28 de junio.
A partir del 29 de junio las pruebas estarán publicadas en la página web del
Ministerio de Educación.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Andrea, Berta, Claudia y Diana tienen cuadernos en sus mochilas. Una de ellas tiene un
cuaderno, otra tiene dos, otra tienes tres y la última tiene cuatro cuadernos en su mochila.
Andrea, Diana y Berta tienen 7 cuadernos en total. Claudia y Diana tienen 5 cuadernos en
total. Si Berta tiene más cuadernos que Andrea, ¿cuántos cuadernos tienen Claudia y Berta
en total?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
2. Los números a, b, c, d, 2b son los primeros cinco términos de una progresión aritmética.
a+b
Si a 6= 0, calcule el valor de
.
c+d
1
2
3
5
7
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
5
9
9
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, denotamos α = ∠BAC y β = ∠CBA.
tan(α − 7◦ )
Si sen α = cos 23◦ , calcule el valor de
.
tan(β + 7◦ )
√
A) 2
B) 1
C) 3
D) 3
E) 6
4. Los números de dos dı́gitos ab y ba cumplen que ab − 2 es múltiplo de 7 y ba − 1 es múltiplo
de 9, determine el valor de a + b.
A) 10
B) 11
C) 12
1
D) 13
E) 14
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
5. La mediana de una cantidad impar de números se determina de la siguiente forma: se ordena
los números de menor a mayor, y la mediana se define como el número que aparece en la
posición central. Por ejemplo, la mediana de los números 2, 5, 2, 1, 4 es 2 porque al ordenar
dichos números de menor a mayor obtenemos 1, 2, 2, 4, 5 y el 2 es el que está en la posición
central.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Determine cuántos valores diferentes puede tomar la mediana de los nueve números:
John Cuya
1, 11, 12, 5, 8, 13, 5, 5, n,
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
donde n es un entero positivo.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
6. Carlos tiene dos cubos tales que la arista de uno de ellos es mayor que la arista del otro en
2 cm. Al calcular sus superficies totales, se dio cuenta que la diferencia de éstas es 96 cm2 .
Determine la diferencia de los volúmenes de los cubos de Carlos.
A) 26 cm3
B) 56 cm3
C) 98 cm3
P
D) 152 cm3
E) 218 cm3
A la siguiente desigualdad:
D
7. Determine cuántos enteros positivos n cumplen
n
20
1
+
<3+ .
20
n
3
A) 59
B) 53
C) 56
D) 42
B
E) 49
C
8. En el cuadrilátero
ABCD se cumple que ∠ADB = ∠DCB = 90◦ , BD = 9, DC = 3 y
√
1.
AD = 5 2. Calcule la longitud de la diagonal AC.
B
C
A
√
A) 4 7
D
2. √
B) 7 2
C) 8
√
D) 3 11
3. tablero de 5 x 5 por si te animas a cambiar la de tableros
E) 9
9. Hay 100 personas haciendo una fila para entrar a un concierto. En cualquier grupo de 7
personas consecutivas hay siempre 5 mujeres. Si en total hay 30 hombres en la fila, ¿cuántas
mujeres hay entre las 10 personas del medio?
A) 5
B) 6
C) 7
2
D) 8
E) 9
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
10. A, B, C son vértices (no necesariamente consecutivos) de un polı́gono regular de n lados tales
80◦
. Determine el valor de n sabiendo que 200 < n < 300.
que ∠ABC =
7
Aclaración: Un polı́gono regular es un polı́gono que tiene todos su lados iguales y todos sus
ángulos interiores de igual medida.
A) 240
B) 250
C) 252
D) 266
E) 280
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Cuya
11. El juego de Batalla Naval se juega sobre un tablero de 5 × 5, losJohn
barcos
se representan por
rectángulos y cada rectángulo está formado por cuadraditos del tablero. Ana y Beto juegan
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
a Batalla Naval. Beto colocó sus 4 barcos que son rectángulos
de 1 × 2, 1 × 3, 1 × 4 y 1 × 5
sobre el tablero de 5 × 5 (los barcos pueden estar en vertical u horizontal pero no pueden
tener casillas en común). Ana no puede ver el tablero, ella solo puede indicar en qué casillas
se van a realizar disparos. Luego de hacer los siguientes 5 disparos, Ana no derribó ningún
1. problema 9
barco de Beto:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Johncon
Cuya
¿Cuántos disparos más debe hacer Ana como mı́nimo para derribar
seguridad todos los
2.
problema
15,
tablero
de
4
x
4
barcos de Beto?
A) 4
B) 5
C) 6
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
D) 7
E) 8
12. Exteriormente al cuadrado ABCD se construye el triángulo rectángulo AP D (recto en P ),
tal que AP < P D y el área del triángulo BP C es al área del cuadrado ABCD como 5 es a
8. Calcule la medida de ∠ADP .
P
A) 22.5◦
1.
B) 30◦
A
D
B
C
C) 15◦
B
3
D) 24◦
E) 18◦
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
13. Sea x un ángulo agudo tal que cos2 x · (1 + sen x cos x) = 1. Calcule el valor de
cos x
cos x
−
.
2
(1 − sen x)
(1 + sen x)2
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
14. El entero positivo N cumple las siguientes dos propiedades:
El máximo común divisor de N y 280 es 20.
N tiene exactamente 15 divisores positivos (incluyendo a 1 y N ).
Determine la suma de los dı́gitos de N .
A) 2
B) 3
C) 7
D) 4
E) 1
15. Una permutación es una forma de ordenar los elementos de una secuencia. Por ejemplo,
(2, 1, 6, 5) es una permutación de (1, 2, 5, 6).
Sea (a, b, c, d, e) una permutación de (1, 2, 3, 4, 5), ¿cuál es el mayor valor que puede tomar el
producto (a − b)(b − c)(c − d)(d − e)?
A) 18
B) 24
C) 36
D) 48
E) 72
16. Decimos que un número de cuatro dı́gitos distintos abcd es luminoso si 5a + b = 5c + d. Por
ejemplo 2015 es luminoso ya que todos sus dı́gitos son distintos y 5 × 2 + 0 = 5 × 1 + 5. ¿Cuál
es el mayor valor que puede tomar la suma de los dı́gitos de un número luminoso?
A) 20
B) 22
C)24
D) 26
E) 28
17. Se pintan de rojo 10 puntos de una circunferencia. Martı́n traza una cuerda que une dos
puntos rojos y Nicolás traza una cuerda que une dos puntos rojos distintos a los de Martı́n.
¿Cuál es la probabilidad de que estas dos cuerdas se corten?
1
3
1
2
1
B)
C)
D)
E)
A)
6
4
2
3
3
18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica un punto interior T y se trazan
los segmentos T P , T Q y T R que tienen igual longitud y son perpendiculares a los lados
del triángulo (P en AB, Q en BC y R en AC). En cada uno de los cuadriláteros T QBP ,
T P AR y T RCQ se inscribe una circunferencia (tangente a los cuatro lados del cuadrilátero
correspondiente) cuyos radios son 6, 9 y x, respectivamente. Halle el valor de x.
A) 8
B) 9
C) 10
4
D) 12
E) 15
1. problema 9
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
19. Se tiene un tablero de 4×4 como el mostrado. En cada casilla del tablero se escribe un número
entero de tal modo que en cada fila y en cada columna haya al menos dos números iguales.
2. problema 15, tablero de 4 x 4
¿Cuál es la mayor cantidad de números distintos que puede haber en el tablero?
A) 8
B) 10
C) 9
D) 12
E) 11
20. Sean x, y, z reales positivos tales que
x2 y + y 2 = 2z,
y 2 z + z 2 = 3x,
z 2 x + x2 = 4y.
Calcule el valor de xyz.
A) 1
B) 2
C)
3
2
D) 3
E)
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
5
3
4
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Segunda Fase - Nivel 1
17 de julio de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, pero no puedes publicar o discutir
los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma
posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. La sombra de un poste vertical es de 180 centı́metros. Con el fin de hallar la altura del poste,
un niño colocó en forma vertical un lápiz de 15 centı́metros y determinó que la sombra del
lápiz es de 3 centı́metros. ¿Cuántos metros mide el poste?
2. Una alumna compró un libro de ciencia ficción. El primer dı́a ella leyó la quinta parte de
todo el libro y 12 páginas adicionales. En el segundo dı́a ella leyó la cuarta parte de lo que
faltaba y 15 páginas adicionales. En el tercer dı́a ella leyó la tercera parte de lo que le faltaba
y 18 páginas adicionales. Después de esto, ella notó que solo le faltan 106 páginas. ¿Cuántas
páginas tiene el libro?
1
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
1. esto es un insulto
3. En la siguiente figura se muestran cinco puestos de una feria:
A
B
C
D
E
Observe, por ejemplo, que entre las puestos A y D hay exactamente 2 puestos y que entre los
puestos E y C hay exactamente 1 puesto.
E
F
En otra feria hay muchos puestos alineados. Entre los puestos de Úrsula y Elvira hay exacA
B
tamente 18 puestos. Entre los puestos de Elvira y Antonio hay exactamente 7 puestos. Entre
los puestos de Antonio y Omar hay exactamente 5 puestos. ¿Cuántos puestos como mı́nimo
hay entre los puestos de Úrsula y Omar?
4. Rodrigo corre 36 metros en 5 segundos. Esteban corre 15 metros en 2 segundos. Manteniendo
D y Esteban participan
C
H una carrera de 1 km.G¿Cuando el ganador
2. Rodrigo
estas velocidades,
en
llegue a la meta, a cuántos metros de distancia estará del otro corredor?
5. Marcelino quiere escribir los números del 1 al 9 en un tablero de 3 × 3, un número en cada
casilla, de tal forma que la suma de los tres números de cada fila sea impar y la suma de los
números de cada columna sea impar. Sea S la suma de los cuatro números que van a ir en
las esquinas del tablero. Considerando todos los posibles valores de S, calcule la suma de los
dos mayores.
6. Decimos que un entero positivo es irregular si dicho número no es múltiplo de ninguno de
sus dı́gitos. Por ejemplo, 25509 es irregular porque 25509 no es múltiplo de 2, no es múltiplo
de 5, no es múltiplo de 0 y no es múltiplo de 9.
Sea N un número irregular que tiene 7 dı́gitos. ¿Cuál es el menor valor que podemos obtener
al sumar los dı́gitos de N ?
1
2
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Sociedad Matemática Peruana
1. esto es un insulto
Segunda Fase - Nivel 1
B y unCcuadrado
D deE49 cm2 de área se armó el cuadrado
7. Con cuatro triángulos rectángulosAiguales
ABCD. Con los mismos cuatro triángulos y otro cuadrado se armó el cuadrado EF GH. Si
el área del cuadrado EF GH es 169 cm2 , calcule el área del cuadrado ABCD (en cm2 ).
2.
A
B
D
C
E
F
H
G
8. Se tiene 7 tarjetas, donde cada una de ellas tiene un lado rojo y un lado azul. Se escribieron
14 enteros positivos distintos en las tarjetas, de tal forma que cada tarjeta tiene escrito dos
números: uno en el lado rojo y uno en el lado azul. La suma de los dos números de cada
tarjeta es la misma para las 7 tarjetas. Además, la suma de los 7 números escritos en los lados
rojos es igual a la suma de los 7 números escritos en los lados azules. Si los números escritos
en los lados rojos son 28, 5, 20, 11, 15, 2 y n, determine el valor de n.
9. ¿Cuántos números de siete dı́gitos, que tienen todos sus dı́gitos mayores que 0, cumplen que
si suprimimos cualquiera de sus dı́gitos obtenemos un número de seis dı́gitos que es múltiplo
de siete ?
10. En un torneo de vóley participaron n equipos, donde cada equipo se enfrentó a cada uno de los
otros equipos exactamente una vez. Considerando que en el vóley no hay empates, determine
el menor valor posible de n para el cual la siguiente situación es posible: Para cualesquiera
dos equipos, es posible encontrar otro equipo que ganó a estos dos equipos.
1
GRACIAS POR TU PARTICIPACI
ÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Segunda Fase - Nivel 2
17 de julio de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, pero no puedes publicar o discutir
los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma
posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. La mamá de Ana puso sobre la mesa una jarra llena con jugo de naranja cuyo peso total era
2000 gramos. Ana tomó la tercera parte del jugo y su hermana, la tercera parte de lo que
quedó. Si la jarra pesa ahora 1400 gramos, ¿cuántos gramos pesa la jarra vacı́a?
2. Abel, Bruno y César recogieron manzanas. César recogió 7 manzanas menos que los otros dos
juntos. Abel recogió 9 manzanas menos que los otros dos juntos. Bruno recogió 11 manzanas
menos que los otros dos juntos. ¿Cuántas manzanas recogió Abel?
1
Sociedad Matemática Peruana
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
Segunda Fase - Nivel 2
3. Compré 16 regalos, de los cuales 8 son para varones y 8 son para mujeres. Mi amigo me ayudó
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
a colocar cada regalo en una cajita y envolverlas con papel
de regalo deJohn
manera
que parezcan
Cuya
idénticas. Él los acomodó en pilas de la siguiente manera:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Según me dijo, cada pila1. contiene regalos para el mismo sexo, pero no me dijo cuáles corresponden a varones y cuáles a mujeres. ¿Cuántas cajitas debo abrir como mı́nimo para saber
con seguridad el tipo de regalo
de cada cajita?
1.
4. Un trapecio isósceles es un cuadrilátero
que tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos
1.
lados iguales pero no paralelos. Por ejemplo, en la siguiente figura:
2.
3. pinches ejemplos de trapecios
2.
3. pinches ejemplos de trapecios
2.
algunos de los trapecios isósceles que aparecen son:
3. pinches ejemplos de trapecios
Determine la cantidad total de trapecios isósceles que hay en la figura
B inicial.
B tal que
5. Sea x un número real tal que 4x − 4x−1 = 24 y sea m un número entero
m < (2x)x < m + 1.
B
A
Calcule el valor de m.
4.
A
◦
6. Dado un triángulo ABC con
4. ∠BAC = 105 , sea P un punto interior y D un punto del lado
BC. Si AP = P C = P D = DB y AB = BP , halla la medida del ángulo agudo que forman
A
los segmentos AD y BP .
4.
2
1
1.
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
7. En la pizarra están escritos los números naturales del 1 al 32:
2.
1, 2, 3, 4, 5, . . . , 30, 31, 32
3. pinches ejemplos de trapecios
Una operación consiste en borrar dos o más números de la pizarra cuya suma sea un cuadrado
perfecto. ¿Cuál es la mayor cantidad de operaciones que se puede realizar para borrar todos
los números de la pizarra?
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma k 2 , donde k es un entero positivo.
8. Al dividir el entero positivo n entre cada uno de los números 29, 39 y 59 se obtuvo tres restos
distintos de cero cuya suma es n. Determine el valor de n.
9. En la siguiente figura, cada cuadradito tiene 1 cm de lado.
B
A
4. movimiento consiste en avanzar 1 cm a la derecha o 1cm hacia arriba. ¿De cuántas maUn
neras se puede ir de A hacia B, usando las lı́neas de la cuadrı́cula, si no se puede avanzar en
la misma dirección tres veces seguidas?
10. Sean a, b, c, d reales positivos tales que a > b y además:
a2 + ab + b2 = c2 − cd + d2 = 1
2
ac + bd = √ .
3
Calcule el valor de 24(a2 + b2 + c2 + d2 ).
1
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Segunda Fase - Nivel 3
17 de julio de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, pero no puedes publicar o discutir
los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma
posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Tres amigos: Roberto, Samuel y Tomás deciden pagar la cuenta de una cena de manera proporcional a su edad. Roberto tiene 24 años y pagó el 32 % de la cuenta. Si Samuel tiene 21
años, ¿cuántos años tiene Tomás?
2. Para seleccionar a la delegación peruana en la Olimpiada Internacional se tomaron 6 exámenes, donde el puntaje de cada examen era un número entero entre 0 y 21, inclusive. Para
determinar el promedio final de cada alumno se eliminaron sus dos notas más bajas y se promediaron las cuatro notas restantes. Elizabeth dio los 6 exámenes y en los 5 primeros obtuvo
14, 14, 12, 17 y 15, respectivamente. Si el promedio final de Elizabeth fue de 16, ¿cuál fue su
puntaje en el último examen?
1
E
D
C
Sociedad Matemática Peruana
F
Segunda
A Fase - Nivel 3B
1.
2. sin HD
3. Desde que vive en Arequipa, Martı́n va al hospital de 3 a 5 veces al año. Según él un año es
bueno si va 3 veces, regular si va 4 veces y malo si va 5 veces. Han pasado n años desde que
vive en Arequipa y desde entonces ha ido en totalA32 veces al hospital. Determina el valor de
n si Martı́n ha tenido al menos dos años buenos, al menos dos años regulares y al menos dos
años malos.
48◦
B
P
E
4. Fabiola, Gerardo y Héctor tienen 9 tarjetas numeradas del 1 al 9. Las tarjetas son repartidas
entre ellos de modo que cada uno recibe 3 tarjetas. Si la suma de los números de las tarjetas
de Fabiola es el cuadrado de un número entero y la suma de los números de las tarjetas de Gerardo es el cubo de un número entero, calcule la suma de los números de las tarjetas de Héctor.
C
D
5. En la figura mostrada, ABCDE es un pentágono regular y P es un punto tal que AE = EP
3. con la
HD
y ∠AEP = 48◦ . Determine
medida del ángulo ∠P CB.
A
48◦
B
P
C
E
D
Aclaración: Un pentágono regular es aquel que tiene sus cinco lados iguales y sus cinco ángulos interiores iguales.
6. En un torneo de fútbol participaron 5 equipos. Cada equipo jugó contra cada uno de los otros
equipos exactamente una vez. En cada partido se da 3 puntos al ganador, 10 al perdedor y
1 punto a cada equipo en caso de empate. Se sabe que el que quedó en primer lugar ganó
tres partidos y empató uno; y el que quedó en último lugar ganó un partido y perdió tres.
Si al final del torneo todos los equipos obtuvieron puntajes distintos, ¿cuál es la suma de los
puntajes de los equipos que quedaron en segundo y cuarto lugar?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
7. Determine el valor de x + y + z, sabiendo que x, y, z son enteros positivos que satisfacen la
igualdad
2015 + x2 = 3y · 4z .
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
8. Sea AB una cuerda de una circunferencia S sobre la cual se construyeJohn
un cuadrado
Cuya ABCD
que está dentro de S. Sea E un punto de S tal que CE = CD. La prolongación del segmento
ED corta a S en el punto F . Se sabe que DE = 2 y que laaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
distancia de C a DE es 5. Si x es
la longitud del segmento DF , calcule el valor de 12x.
E
D
C
A
B
F
1.
2. sin HD
9. Hay 18 personas sentadas alrededor de una mesa circular. Cuatro personas se van a poner
de pie de tal manera que entre cualquier personaApuesta de pie y la siguiente puesta de pie
(en sentido horario) no haya más de cinco personas sentadas. ¿De cuántas maneras se puede
hacer esto?
48◦
B
E
P
10. Sean x, y, z ángulos agudos tales que
4[sen(x + y) sen(y + z) sen(z + x) + 1] = (sen(x + y) + 1)(sen(y + z) + 1)(sen(z + x) + 1).
Hallar el máximo valor que puede tomarCla expresión:
D
2
100(sen x + sen y + sen z) .
3. con HD
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
A
3
B
48◦
P
E
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Tercera Fase - Nivel 1
15 de setiembre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Roberto puede ir de su casa al colegio de dos maneras. La primera manera consiste en ir
directamente con un bus que va a 45 kilómetros por hora. La segunda, consiste en ir con
un tren que va a 60 kilómetros por hora, que recorre la misma distancia que el bus, y luego
caminar 10 minutos más desde la estación del tren para llegar al colegio (el tren usa una ruta
diferente a la del bus). Resulta que en cualquiera de las dos maneras Roberto tarda lo mismo
para llegar al colegio. ¿Cuántos minutos tarda Roberto en ir de su casa al colegio?
2. Encuentre el menor entero positivo N de tres dı́gitos distintos que tiene la siguiente propiedad:
Al multiplicar los tres dı́gitos de N obtenemos un divisor de N .
Aclaración: Tenga en cuenta que 0 no es divisor de ningún entero positivo.
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
3. Hay 40 personas en una fiesta. Se sabe que en cualquier grupo de 22 personas hay al menos un
hombre y que en cualquier grupo de 20 personas hay al menos una mujer. ¿Cuántas mujeres
hay en la fiesta?
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
4. A cada vértice de una pirámide cuadrada se le asigna uno de los números 1, John
2 ó 3, de
tal
Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
forma que la suma de los números asignados a los vértices de cualquier cara sea múltiplo de
3. Si S es la suma de los cinco números asignados, determine laaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
suma de todos los posibles
valores de S.
1.
5. Un cuadrado de 120 cm de lado ha sido dividido en seis rectángulos de igual área (uno de los
1. Calcule el perı́metro del rectángulo sombreado, en cm.
cuales está sombreado).
2.
3. tablero de 9 x 9
2.
6. ¿Cuántos números de3.
7 dı́gitos
cumplen
tablero
de 9 xque
9 el producto de sus cuatro dı́gitos de la izquierda
es 20 y el producto de sus cuatro dı́gitos de la derecha es 15 ?
7. Siete niños se presentaron a un concurso de canto que tenı́a tres jueces. Cada uno de los
jueces hace lo siguiente: Otorga 1 punto a un niño, otorga 2 puntos a otro niño, otorga 3
puntos a otro niño, ası́ sucesivamente hasta que otorga 7 puntos al niño que queda. Gana
el niño que haya acumulado más puntos. Si Miguel ganó el concurso y no empató con ningún otro niño, determine cuál es la menor cantidad de puntos que pudo haber obtenido Miguel.
2
1.
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
8. ¿Cuántos números de 6 dı́gitos son múltiplos de 72 y terminan en 72 ?
9. Decimos que un entero positivo n es sorprendente si al escribir n a la derecha de cualquier
número natural obtenemos siempre un múltiplo de n. Determine cuántos enteros positivos
menores2.que 2015 son sorprendentes.
3. tablero
de99×x9 9está formado por 81 cuadraditos blancos:
10. El siguiente
tablero de
Una BN-operación consiste en escoger dos cuadraditos blancos que tengan exactamente un
vértice en común y pintar esos dos cuadraditos de negro. Daniel pinta el tablero usando estas
operaciones, una a continuación de otra, hasta que ya no puede hacer una operación más.
¿Cuál es el mayor número de BN-operaciones que Daniel pudo realizar?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
3
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Tercera Fase - Nivel 2
15 de setiembre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Ana, Beatriz y Cecilia se matricularon en un curso de computación que consiste de 28 clases.
En cada clase asistieron al menos dos de ellas. Si Ana no asistió a 7 clases, Beatriz no asistió
a 5 clases y Cecilia no asistió a 8 clases, ¿en cuántas clases estuvieron presentes las tres
alumnas?
2. En cierta ciudad el control de las vacunas de un recién nacido es el siguiente: Las primeras
4 vacunas son cada mes después de nacido, las siguientes 4 vacunas son cada tres meses, las
siguientes 4 vacunas son cada cinco meses, las siguientes 4 vacunas son cada siete meses, y ası́
sucesivamente. Si Antonio, que siguió estrictamente el control de vacunas, recibió su última
vacuna cuando tenı́a 15 años, ¿Cuántas vacunas recibió Antonio en total?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
3. Encuentre el mayor entero positivo N de cuatro dı́gitos (no necesariamente distintos), menor
que 1777, que tiene la siguiente propiedad: Al multiplicar los cuatro dı́gitos de N obtenemos
un divisor de N .
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Cuya
Un caballo del ajedrez se mueve en unaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
tablero, como el de John
la figura,
de tal modo que pasa
Aclaración: Tenga en cuenta que 0 no es divisor de ningún entero positivo.
4.
por cada casilla exactamente una vez. El caballo empieza su recorrido en la casilla que tiene
el número 1, luego se dirige a la casilla que tieneaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
el número 2, luego a John
la queCuya
tiene el número
3, y ası́ sucesivamente, hasta que llega a la casilla que tiene el número 12. Se sabe cuáles son
las casillas 3, 7 y 9, como muestra la figura. Determine elaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
valor de x + y.
x
9
3 y 7
x
9
y
3
7
Aclaración: En el ajedrez, el movimiento de un caballo equivale a avanzar dos casillas en una
dirección (horizontal o vertical) y luego una casilla en la otra dirección.
B
5. Al dividir el polinomio P (x) entre (x − 1)2 y (x + 1)2 se obtienen los restos 1 + 2x y 1 − 2x,
M
B
respectivamente. Sea R(x) el resto que se obtiene al dividir P (x) entre (x2 − 1)2 . Calcule el
valor de R(12).
M
A
D
C
6. Algunas casillas de un tablero de 6 × 6 contienen una ficha en su interior (cada casilla puede
D y en cada columna
C
contener como máximo una ficha), deAtal modo en que cada fila
haya
exactamente dos fichas. Sea N la cantidad de fichas que hay en el cuadrado de 4 × 4 central,
como el que está sombreado en la figura. Halle la suma de todos los valores que puede tomar N .
2
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Sociedad Matemática Peruana
x
9
3 y 7
Tercera Fase - Nivel 2
7. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Sea M el punto medio del segmento AB y D
un punto de la hipotenusa AC tal que AD = 12 y DC = 8. Si ∠BDM = 90◦ , calcule el área
del triángulo BDM .
B
M
A
D
C
8. En cada casilla de un tablero de 3 × 3 está escrito un número real, de tal modo que se cumple
la siguiente propiedad: Si escogemos tres casillas cualesquiera que estén en filas diferentes y
columnas diferentes, la suma de los números que están en esas casillas es siempre negativa.
Consideremos la suma de los números de cada fila y la suma de los números de cada columna,
de esta forma tenemos 6 sumas, ¿como máximo cuántas de estas sumas son positivas?
9. Si el número abcdef es múltiplo de 97 y
abcdef + 1 = ab + 1
cd + 1
ef + 1 ,
calcule el valor de a + b + c + d + e + f .
10. Sea D el conjunto de todos los divisores positivos del número
216 × 38 × 54 × 72 .
C es un subconjunto de D que tiene la siguiente propiedad: Si a y b son elementos cualesquiera
de C, con a 6= b, se cumple que el mı́nimo común múltiplo de a y b no pertenece a C. Determine
cuántos elementos como máximo puede tener C.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Tercera Fase - Nivel 3
15 de setiembre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Walter compró entre 50 y 60 unidades de cierto producto y los vendió todos en una feria que
duró exactamente una semana. Si se sabe que cada dı́a, a partir del segundo dı́a, vendió una
unidad más que el dı́a anterior, ¿cuántas unidades vendió el último dı́a?
2. ¿Cuántos elementos, como máximo, se pueden eliminar del conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
para que se cumpla que el producto de los elementos que queden sea múltiplo de cada uno de
los números 1, 2, 3, . . . , 14, 15 ?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John
Cuya
3. Cada casilla de un tablero de 4 × 4 tiene escrito un
número
entero de tal modo que: cada
cuadrado de 2 × 2 de la esquina o el centro (es decir, cada cuadrado de 2 × 2 cuyo centro
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
es uno de los puntos marcados en la figura
1) tiene suma 9 y cada cruz formada por cinco
casillas (como en la figura 2) tiene suma 10. Halle la suma de los números escritos en las
cuatro esquinas del tablero.
(1)
(2)
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
4. Halle la suma del mayor y el menor valor que puede tomar el entero positivo n, si el número
210 + 4n + 1 es un cuadrado perfecto.
John Cuya
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma k 2 , donde k es un entero positivo.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
5. Sea ABC un triángulo tal que ∠BAC =
45◦ . En el segmento
AC se ubica un punto D tal
B√
√
◦
que ∠ABD + ∠ABC = 180 . Si AD = 20 2 y DC = 10 2, determine la longitud de AB.
C
6. Determine de cuántas formas se pueden ordenar los números del 1 al 9 en una fila de 9 casillas
A
de tal forma que desde el inicio hasta el 9 los números estén ordenados de forma creciente
(1)números estén ordenados
(2) de forma decreciente. Tenga en
y que desde el 9 hasta el final los
cuenta que el 9 no puede ir al inicio o alDfinal de la fila.
Aclaración: Una forma de ordenar los números es 239876541.
7. Sea a1 , a2 , a3 , a4 , . . . una progresión Bgeométrica tal que a1 = sen α, a2 = tan α y a3 = cos α,
donde α es un ángulo agudo. Determine el valor de n para el cual se cumple que an = (csc α)5 .
C
2
A
D
Sociedad Matemática Peruana
(1)
(2)
Tercera Fase - Nivel 3
8. Dos cuerdas AB y CD de una circunferencia, como se muestra en la figura, forman un ángulo
de 60◦ , además,
la distancia del centro de la circunferencia a cada una de dichas cuerdas es
√
igual a 4 3. Si el área de la superficie sombreada dentro de la circunferencia es 16, halla el
área de la superficie no sombreada.
B
C
A
D
9. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 10}. ¿Cuántas funciones f : A → A cumplen que f (xy) = f (x)f (y), para
todas las parejas (x, y) de elementos de A que cumplen la condición x · y ≤ 10 ?
Aclaración: Algunas parejas (x, y) de elementos de A que cumplen la condición del enunciado
son (1, 1) y (3, 2).
10. Se tiene 10 monedas en una fila, donde cada una tiene cara y sello. Al inicio las 10 monedas
muestran el sello. Una operación consiste en escoger dos monedas adyacentes que muestren lo
mismo (ambas caras o ambas sellos) y voltearlas. Determine cuántas configuraciones diferentes
se puede obtener, luego de algunas operaciones.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
3
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 1
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. En cada uno de los cı́rculos de la figura se escribió uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
(sin repetir). Luego, en cada una de las cuatro regiones triangulares indicadas se escribió la
suma de los números que estaban en sus tres vértices. Finalmente, se borraron los 7 números
iniciales y la figura quedó de la siguiente forma:
16
10
6
9
Determine qué número estaba escrito en cada cı́rculo.
1
dominó vertical
dominó horizontal
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
16
10
2.
a) Sobre un tablero de 7 × 7 se colocan n dominós verticales y n dominós horizontales, sin
que se superpongan. Determine el mayor6 valor posible de n.
9
b) Sobre un tablero de 6 × 6 se colocan
n dominós verticales y n dominós horizontales, sin
que se superpongan. Determine el mayor valor posible de n.
Aclaración: Cada dominó cubre exactamente dos cuadraditos del tablero. En la siguiente
figura se muestra un dominó vertical y un dominó horizontal:
dominó vertical
dominó horizontal
3. Sea ABCD un paralelogramo, E un punto del segmento BD y F un punto del segmento AD,
tales que BC = CE = ED = EF . Si se cumple que AB = AF + 2BE, calcule la medida del
B
E
C
ángulo ∠BAD.
Aclaración: Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos.
O
4.
a) ¿Cuál es el menor número que podemos obtener al calcular el mı́nimo común múltiplo
de 5 enteros positivos impares
diferentes?
A
D
b) ¿Cuál es el menor número que podemos obtener al calcular el mı́nimo común múltiplo
de 13 enteros positivos impares diferentes?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
1
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 2
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1.
a) Sean x, y, z números reales, demuestre la desigualdad
x2 + y 2 + z 2 ≥
(x + y + z)2
.
3
b) Si a y b son números reales, determine el menor valor posible de la expresión
(a + b − 5)2 + (a − 3)2 + (b − 4)2 .
2. El producto de algunos enteros positivos (no necesariamente distintos) es una potencia de 21.
A cada número se le resta 1 y se multiplica todos los números. ¿Es posible que ese nuevo
producto sea una potencia de 42 ?
1
6
9
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
dominó vertical
dominó horizontal
3. Sea ABCD un trapecio de lados paralelos AD y BC, circunscrito a una circunferencia de
centro O, la cual es tangente a BC en el punto E. Pruebe que si AD = 2BC , entonces O es
el ortocentro del triángulo AED.
B
E
C
O
A
D
Aclaración: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.
4. Sobre una mesa hay n ≥ 3 monedas colocadas en fila. Cada moneda tiene un sello de un lado
y cara en el lado opuesto. Una operación consiste en voltear una moneda y todas las monedas adyacentes a ella. ¿Para qué valores de n siempre es posible conseguir, luego de algunas
operaciones, que todas las monedas muestren el sello, sin importar la configuración inicial de
las monedas?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
2
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 3
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sea C un conjunto de n puntos en el plano que tiene la siguiente propiedad: Para cada punto P
de C, existen cuatro puntos de C, cada uno distinto de P , que son los vértices de un cuadrado.
Halle el menor valor posible de n.
2. Sea ABCDEF un hexágono convexo. La diagonal AC es cortada por BF y BD en los puntos P y Q, respectivamente. La diagonal CE es cortada por DB y DF en los puntos R y S,
respectivamente. La diagonal EA es cortada por F D y F B en los puntos T y U , respectivamente. Se sabe que cada uno de los siete triángulos AP B, P BQ, QBC, CRD, DRS, DSE y
AU F tiene área 1. Halle el área del hexágono ABCDEF .
3. Sean a1 , a2 , . . . , an enteros positivos, con n ≥ 2, tales que
√
√
√
√
b a1 · a2 · · · an c = b a1 c · b a2 c · · · b an c .
Pruebe que al menos n − 1 de dichos números son cuadrados perfectos.
Aclaración: Dado un√
número
real x, bxc denota al mayor número entero que es menor o igual
que x. Por ejemplo,
5 = 2 y b3c = 3.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. Sea b un entero positivo impar. Se define la sucesión a1 , a2 , a3 , a4 , . . . de la siguiente manera:
a1 y a2 son enteros positivos y para todo k ≥ 2,
ak+1=





ak + ak−1
2
si ak + ak−1 es par,



 ak + ak−1 + b
2
si ak + ak−1 es impar.
a) Pruebe que si b = 1, entonces a partir de cierto término la sucesión se hará constante.
b) Para cada b ≥ 3 (impar), pruebe que existen valores de a1 y a2 para los cuales la sucesión
nunca se hará constante a partir de cierto término.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 1
14 de julio de 2016
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 26 de julio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Por la compra de 6 panetones me regalan un chocolate. ¿Cuántas docenas de panetones debo
comprar para que me regalen 10 chocolates?
A) 6
B) 5
C) 10
D) 12
E) 15
2. Para estudiar en un instituto de inglés, se tiene que pagar 130 soles por concepto de libros y una
mensualidad de 70 soles. Ramiro quiere estudiar en el instituto durante n meses. Determine
cuánto dinero gastará Ramiro en total, en función de n.
A) 130n + 70
B) 70 + 130(n − 1)
C) 70n + 130
D) 130 + 70(n − 1)
E) 70n
3. Se muestra a continuación como empieza una secuencia de figuras:
3
2
3
4
2
1
5
Figura 1
3
4
2
1
5
Figura 2
3
4
1
5
Figura 3
2
4
1
5
Figura 4
Si el patrón se mantiene, ¿a qué número apunta la flecha en la Figura 9?
A) 2
B) 3
C) 4
1
D) 5
E) 1
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
4. Actualmente las edades de Mónica, Ana y Rosa son 7, 15 y 19, respectivamente. ¿Cuál será
la edad de Ana cuando la edad de Rosa sea el doble de la edad de Mónica?
A) 5
B) 18
C) 12
D) 24
E) 20
5. El primer dı́a de trabajo un obrero hizo la cuarta parte de una obra, al dı́a siguiente hizo la
tercera parte de lo que le faltaba, ¿qué porcentaje de la obra le falta hacer?
A) 45 %
B) 33 %
C) 66 %
D) 50 %
E) 25 %
6. Andrés tiene un cuadrado de papel. Mediante dos cortes, Andrés retiró un cuadrado de una
de las esquinas del cuadrado quedando ası́ una nueva figura:
→
Entonces podemos afirmar que:
A) La nueva figura tiene igual área que el cuadrado inicial.
B) La nueva figura tiene menor perı́metro que el cuadrado inicial.
C) La nueva figura tiene mayor perı́metro que el cuadrado inicial.
D) La nueva figura tiene igual perı́metro que el cuadrado inicial.
E) La nueva figura tiene la mitad del área del cuadrado inicial.
7. En un avión hay 35 filas de pasajeros: algunas filas tienen 6 asientos y las otras tienen 8
asientos. Si el avión tiene una capacidad de 270 pasajeros, ¿cuántas filas tienen 6 asientos?
A) 12
B) 10
C) 7
D) 13
E) 5
8. ¿Cuál de los siguientes números se puede expresar como el producto de tres números primos
diferentes?
A) 12
B) 189
C) 231
2
D) 43
E) 1000
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
9. Se hizo una encuesta a un grupo de 50 alumnos acerca de su color favorito. Resultó que 20
alumnos dijeron que su color favorito es el rojo, 15 dijeron azul, 10 dijeron verde y los otros
5 dijeron otros colores. Con estos datos se elaboró un diagrama circular, como se muestra a
continuación:
rojo
20
azul
15
otros
5
verde
10
¿Cuál es el ángulo central del sector correspondiente a los que dijeron que su color favorito
es el azul?
A) 100◦
B) 108◦
C) 110◦
D) 120◦
E) 128◦
10. En el plano se han trazado 11 rectas: L1 , L2 , L3 , . . . , L11 . Se sabe que L1 es perpendicular
a L2 ; L2 es perpendicular a L3 ; L3 es perpendicular a L4 ; L4 es perpendicular a L5 ; y ası́
sucesivamente. Determine cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
A) L1 y L3 son paralelas.
B) L1 y L11 son paralelas.
C) L2 y L9 son perpendiculares.
D) L2 y L10 son perpendiculares.
E) L3 y L8 son perpendiculares.
11. En la siguiente figura se muestra tres triángulos sobre el papel cuadriculado:
Determine cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
A) El triángulo 1 es una rotación del triángulo 2.
B) El triángulo 3 es una ampliación del triángulo 1.
C) El triángulo 2 es una traslación del triángulo 3.
D) El triángulo 3 es una traslación del triángulo 1.
E) El triángulo 3 es una rotación del triángulo 2.
3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
12. Una empresa de transportes tiene 30 combis, cada una con una capacidad de 26 pasajeros.
Por disposición de la municipalidad, las combis ya no pueden circular y tienen que ser reemplazadas por buses. Cada bus tiene una capacidad de 60 pasajeros y tiene un costo de 40000
dólares. ¿Cuántos dólares tiene que invertir la empresa para reemplazar todas sus combis por
buses, si la capacidad total de pasajeros se debe mantener?
A) 480000
B) 500000
C) 390000
D) 650000
E) 520000
13. En una escuela de música la edad promedio de todos los estudiantes es 15,5 años. La edad
promedio de las mujeres es 14 años y la edad promedio de los hombres es 16 años. Podemos
afirmar que:
A) El número de hombres es igual al número de mujeres.
B) El número de hombres es el doble del número de mujeres.
C) El número de hombres es el triple del número de mujeres.
D) El número de hombres es el cuádruple del número de mujeres.
E) El número de hombres es la mitad del número de mujeres.
14. Sea A el menor entero positivo que es múltiplo de 6, 7 y 8. Sea B el menor entero positivo
que es múltiplo de 9, 10 y 11. ¿Cuál es el menor entero positivo que no es un divisor de
A × B?
A) 13
B) 4
C) 14
D) 17
E) 12
15. Un paı́s está dividido en 5 regiones. La superficie y población de cada región está indicada en
el siguiente cuadro:
Región
Región
Región
Región
Región
1
2
3
4
5
Superficie
32000 km2
35000 km2
16000 km2
5000 km2
25000 km2
Población
230000 hab.
128000 hab.
200000 hab.
34000 hab.
48000 hab.
¿Qué región tiene mayor cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado de superficie?
A) Región 1
B) Región 2
C) Región 3
D) Región 4
E) Región 5
16. Considere el número N = 200 · · · 0 que tiene 20 dı́gitos: el primer dı́gito es 2 y todos los otros
dı́gitos son ceros. ¿Cuál es el mayor entero positivo m para el cual se cumple que 2m es un
divisor de N ?
A) 17
B) 18
C) 19
4
D) 20
E) 21
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
17. Una moneda de 1 sol tiene 2 milı́metros de espesor. ¿Aproximadamente cuántas monedas de
un sol se deben colocar una sobre otra, formando una torre, para que la altura de la torre sea
similar a la altura de un hombre adulto promedio?
A) 850
B) 100
C) 1300
D) 500
E) 600
18. Un bus interprovincial viaja a 20 metros por segundo y un automóvil viaja a 90 kilómetros
por hora. ¿Cuál de las siguientes alternativas indica la relación entre las velocidades del bus
interprovincial y el automóvil?
A) De 4 a 7
B) de 2 a 9
C) de 4 a 5
D) de 2 a 3
E) de 5 a 6
19. Cecilia escribió en la pizarra 5 números naturales consecutivos y Beatriz escribió 7 números
naturales consecutivos, de tal forma que los 12 números son diferentes. La suma de los números
de Cecilia es igual a S, y la suma de los números de Beatriz también es S. Determine el menor
valor posible de S.
A) 35
B) 126
C) 210
D) 70
E) 105
20. En un almacén hay 21 cajas colocadas de la siguiente manera:
Cada caja es de color rojo, verde, azul o amarillo, y se sabe que dos cajas del mismo color no
están juntas. ¿Cuántas cajas rojas puede haber como máximo?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 10
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 2
14 de julio de 2016
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 26 de julio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. En una tienda compré arroz por un valor de 7 soles y pagué con un billete de 50 soles. Me
dieron de vuelto solamente monedas de 2 y 5 soles. Si recibı́ 4 monedas de 2 soles, ¿cuántas
monedas de 5 soles recibı́?
A) 11
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
2. En el siguiente gráfico circular se muestra el porcentaje de estudiantes peruanos matriculados
en la modalidad de Educación Básica Regular durante el año 2015:
Inicial
Primaria
45 %
Secundaria
Si el porcentaje de estudiantes de Inicial es al porcentaje de alumnos de Secundaria como 2
es a 3, determina el porcentaje de alumnos de Secundaria.
A) 18 %
B) 22 %
C) 27 %
1
D) 30 %
E) 33 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
3. José tiene dos hermanos llamados David y Carmen. David tiene 4 años más que José y Carmen
tiene 3 años menos que José. Resulta que la suma de edades de los tres hermanos es igual a
la edad de su padre que tiene 43 años. ¿Cuál es la edad de José?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
4. Marı́a debe comprar 15 kilos de arroz para una fiesta. La bolsa de 750 gramos cuesta S/. 3,90
y la bolsa de 5 kilos cuesta S/. 25,00 ¿Cuántos soles ahorrará Marı́a si en vez de comprar
únicamente bolsas de 750 gramos compra únicamente bolsas de 5 kilos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
5. Se dibujan dos triángulos, uno acutángulo y el otro obtusángulo. Ambos triángulos son isósceles y cada uno tiene al menos un ángulo de 20◦ .
Indique la alternativa correcta:
A) El mayor ángulo del triángulo acutángulo es 60◦
B) El menor ángulo del triángulo acutángulo es 40◦
C) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 140◦
D) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 160◦
E) El menor ángulo del triángulo obtusángulo es 100◦
6. En un torneo de fútbol el equipo Los Guacamayos resultó campeón. Raúl el goleador de este
equipo, anotó 11 goles en los primeros seis partidos. Si en total se jugaron 7 partidos, ¿cuántos
goles anotó Raúl en el último partido para que su promedio de goles haya sido 2 ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7. Juana y Rosa fueron a la misma tienda a hacer sus compras. Juana compró 2 litros de leche
y 1 kilo de azúcar; Rosa compró 3 litros de leche y 4 kilos de azúcar. Si Juana gastó 10 soles
y Rosa gastó 22 soles, ¿cuántos soles cuesta el litro de leche en dicha tienda?
A) 1,8
B) 2,4
C) 3,6
D) 4,8
E) 6
8. Un artesano fabricó cierta cantidad de joyas iguales. Si vende cada joya a 12 soles recaudarı́a
menos de 250 soles, pero si vende cada joya a 13 soles recaudarı́a más de 250 soles. ¿Cuántas
joyas fabricó el artesano?
A) 17
B) 18
C) 19
2
D) 20
E) 21
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
9. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de estudiantes de 5◦ de secundaria del colegio
Mariscal Castilla, que han decidido estudiar Matemática, influenciados por la ONEM. Los
datos corresponden a los años 2012 al 2015.
20
10
2012
2013
2014
2015
Se sabe que la cantidad de estudiantes en el 2015 fue el doble que en el 2013 y el triple que
en el 2012. Además, hubo 4 estudiantes más el año 2014 que el año 2013. ¿Cuánto fue el
incremento de estudiantes desde el año 2014 al año 2015?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. Antonio quiere comprar un electrodoméstico. En la tienda A dicho electrodoméstico cuesta
1200 soles y le ofrecieron un descuento del 10 %. En la tienda B dicho electrodoméstico
cuesta algo más, pero le ofrecieron un descuento del 20 %. Antonio se dio cuenta que al final
el precio del electrodoméstico en ambas tiendas era el mismo. ¿Cuánto costaba inicialmente
el electrodoméstico en la tienda B?
A) 1300
B) 1350
C) 1400
D) 1450
E) 1500
11. Sonia tiene N ovejas, donde N es un número entero mayor que 35 y menor que 65. Ella puede
separar sus ovejas en grupos, con 5 ovejas en cada grupo, pero no puede hacer lo mismo con
2 ovejas en cada grupo ni con 3 ovejas en cada grupo. Determina el número de ovejas N .
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
12. Van a construir una pista circular alrededor de un estadio para los entrenamientos de los
maratonistas. ¿Cuál debe ser el diámetro aproximado de la pista si un corredor debe cubrir
un recorrido total de 42 km al dar 25 vueltas completas a la pista?
Nota: Considere la aproximación π = 3, 14.
A) 311,9 m
B) 267,5 m
C) 475,8 m
3
D) 623,8 m
E) 535 m
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
13. Para ser miembro de un club, se tiene que pagar por única vez 150 soles por cuota de ingreso
y una mensualidad de 60 soles. Sin embargo, si se paga por adelantado el costo por un tiempo
determinado, el club ofrece un 10 % de descuento al monto total. Ramiro quiere ser miembro
del club durante n meses, para lo cual debe pagar por adelantado el monto total M . Determine
M , en función de n.
A) M
B) M
C) M
D) M
E) M
= 60n + 150
= 54n + 145
= 135n + 60
= 54n + 135
= 45n + 150
14. Un tanque que almacena gasolina está completamente lleno. Debido a un desperfecto, cada
semana se evapora la quinta parte de la gasolina que hay en el tanque. Después de 3 semanas
se evaporó 122 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina habı́a inicialmente en el tanque?
A) 250
B) 200
C) 300
D) 244
E) 350
15. ¿Cuál es el mayor divisor de 2016 cuyo cuadrado también es divisor de 2016?
A) 9
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
16. Sea ABC un triángulo equilátero y sea D un punto del lado AB. Sean E y F los pies de las
perpendiculares trazadas desde D hacia los lados BC y AC, respectivamente. Si CE = 8 y
CF = 7, determina el perı́metro del triángulo ABC.
B
E
D
A
A) 20
B) 21
F
C
C) 24
B
D) 25
C
4
E) 30
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
17. Un juego consiste en girar dos ruletas. La ruleta A tiene los números del 1 al 5 y la ruleta B
tiene los números del 1 al 6.
1
1
2
5
2
6
3
3
5
4
ruleta A
4
ruleta B
Para ganar un premio el número que apunte la flecha de la ruleta A debe ser mayor que el
número que apunte la flecha de la ruleta B. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio?
1
2
1
3
1
B)
C)
D)
E)
A)
4
3
5
2
10
18. Los números reales positivos x, y, z satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones
xy + x + y = 2,
yz + y + z = 5,
zx + z + x = 7.
Determina el valor de x + y + z.
7
A)
B) 4
2
C)
9
2
D) 7
E)
15
2
19. La maestra Jimena escribió en la pizarra los números 1, 7, 13, 19, 25, 31, y luego los alumnos
hallaron todos los números primos que se pueden obtener al sumar dos o más números de la
pizarra. ¿Cuántos números primos hallaron los alumnos?
A) 3
B) 4
C) 5
5
D) 6
E) 7
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
20. Se tiene una fila de 14 cuadraditos enumerados de la siguiente forma:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Al inicio se coloca una piedra sobre uno de los cuadraditos. La piedra realiza una secuencia
de movimientos de la siguiente forma: si la piedra está en el cuadradito n, en el siguiente paso
se puede mover al cuadradito n − 2 o al cuadradito 2n (sin salirse de la fila). Está permitido
que la piedra visite a un cuadradito más de una vez.
¿Como máximo cuántos cuadraditos diferentes puede visitar la piedra en una secuencia de
movimientos si podemos escoger libremente la posición inicial de la piedra?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
6
E) 10
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 3
14 de julio de 2016
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 26 de julio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Andrea rindió cuatro exámenes en el curso de matemática y obtuvo la misma nota en los tres
primeros exámenes. Se sabe que la nota del cuarto examen fue 17 y el promedio de sus cuatro
notas fue 14, ¿cuál fue la nota el segundo examen?
A) 16
B) 15
C) 11
D) 14
E) 13
2. En una manifestación hay un grupo numeroso de personas que está ocupando una calle que
tiene 200 metros de largo y 9 metros de ancho. Determine, aproximadamente, cuántas personas
hay en la manifestación si se sabe que en un metro cuadrado hay 4 personas, en promedio.
A) 36000
B) 10800
C) 7200
D) 108000
E) 72000
3. En la figura se muestran dos cajas que tienen igual volumen. La caja de la izquierda tiene
forma de un cubo y la caja de la derecha tiene dimensiones 30 cm, 80 cm y 90 cm.
30 cm
80 cm
90 cm
Determine el área de la base de la caja de la izquierda.
A) 3600 cm2
B) 4000 cm2
C) 4800 cm2
1
D) 2400 cm2
E) 4500 cm2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
30 cm
90 cm
80 cm favorito, con los resultados se elaboró
4. A un grupo de personas se le preguntó por su deporte
el siguiente gráfico circular:
fútbol
45 %
natación
?
voleibol
25 %
basquetbol
15 %
P
C
Si 12 personas dijeron que su deporteB favorito
es natación,
determine cuál de las siguientes
proposiciones es falsa:
N favorito es basquetbol.
A) 12 personas dijeron que su deporte
B) Más de 30 personas dijeron que su deporte favoritoQ es fútbol.
C) Más de 20 personas dijeron que su deporte favorito es voleibol.
D) Más de la mitad de las personas prefieren fútbol o voleibol.
E) Menos de la quinta parte del total dijo que su deporte favorito es natación.
A
M
D
14
5. ¿Qué cuadrado obtenemos al rotar elBcuadrado X,
90C◦ en sentido horario, con centro en el
P
punto O?
12
Q
N
X
10
A
M
D
8
O
6
1
4
E D
C A
B
2
A) A
B) B
5
C) C
5
D) D
E) E
10
6. La suma de ocho números naturales consecutivos es 92. Sea P el producto de esos ocho
números. ¿Cuál es el menor entero positivo que no es divisor de P ?
A) 9
2
B) 13
4
6
C) 23
2
D) 17
E) 18
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
7. Un estudio determinó que si la entrada del cine cuesta x soles, el número de asistentes será
960 − 60x, donde x es un entero positivo entre 3 y 15, inclusive. ¿Para qué valor de x la
cantidad de dinero que recaude el cine por la venta de las entradas será máxima?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 15
8. Sea M el punto medio del lado BC de un triángulo ABC, si se cumple que:
12 AC = 2∠M CA,
∠BAM = 2∠M
halla la medida del ángulo ∠ABC.
A) 30◦
B) 90◦
C)10 45◦
D) 100◦
E) 60◦
8
9. Un alumno marcó en el plano cartesiano los siguientes tres puntos: (−3, 4), (4, −5) y (2, 5).
¿Cuál es el cuarto punto que debe marcar el alumno para que los cuatro puntos sean los
vértices de un rectángulo?
6
4
2
5
5
2
4
6
A) (−3, −4)
B) (0, −6)
C) (−2, −5)
8
3
10
D) (0, −5)
E) (−1, −6)
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
10. Se muestra la tabla de frecuencias de las notas obtenidas por los alumnos de un salón de
clases
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
Nota
[9, 11]
10 %
[12, 14]
10
[15, 17]
50 %
[18, 20]
6
¿Cuántos alumnos hay en el salón de clases?
A) 60
B) 40
C) 35
D) 48
E) 65
11. ¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas cumple que su máximo valor es igual al
doble de su mı́nimo valor?
A) r(x) = 2 sen x
B) s(x) = 3 cos x
C) t(x) = sen x + 2
D) u(x) = 3 sen x − 2
E) v(x) = sen x + 3
12. Un biólogo observó una muestra durante varios dı́as, y observó que la cantidad de bacterias
que hay en esa muestra, conforme pasan los dı́as, crece según una progresión geométrica. El
dı́a 3 habı́a 3 × 108 bacterias y el dı́a 5 habı́a 2, 7 × 1013 bacterias. ¿Cuántas bacterias habı́a
el dı́a 4?
A) 2, 85 × 109
B) 9 × 1010
C) 9 × 1011
D) 6 × 1011
E) 2, 8 × 1011
13. Un litro de agua pesa 1 kilogramo y un litro de leche pesa 1,05 kilogramos. Se mezcló cierta
cantidad de agua con cierta cantidad de leche y se obtuvo una mezcla de 20 litros que pesa n
kilogramos. ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla?
A) 21(20 − n)
B) 20(20 − n)
C) 400 − n2
D) 20(21 − n)
E) 21(19 − n)
14. Roberto hace un viaje de ida y vuelta entre Lima y Huacho en su carro, que funciona con gas
o gasolina. En la ida, usando solamente gas, el carro recorre 16 km por galón y en la vuelta,
usando solamente gasolina, recorre 12 km por galón. En total, Roberto utilizó 21 galones de
combustible en este viaje. ¿Cuál es la distancia, en km, entre Lima y Huacho?
A) 120 km
B) 144 km
C) 192 km
4
D) 132 km
E) 108 km
P
B
C
N
Q
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
A en el rectánguloM
D como se muestra en la figura. Si
15. El rectángulo M N P Q está inscrito
ABCD,
AB = 7, BC = 8 y N P = 2M N , halle el área del rectángulo M N P Q.
B
P
C
Q
N
A
A) 26
M
B) 36
D
C) 28
D) 32
E) 24
D) 1
E) 9
16. Sean x, y, z números reales tales que
x + y = z 2 − 3,
y + z = x2 − 3,
z + x = y 2 − 3.
1
Si x 6= y y además, x 6= z, calcule el valor de yz.
√
A) −2
B) 2
C) 2
17. En la figura se muestra el desarrollo de una pirámide de base cuadrada, donde las longitudes
mostradas están expresadas en cm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
9
9
8
9
8
8
9
B) 128
cm3
9
8
9
448
A)
cm3
3
9
9
√
64 13
C)
cm3
3
5
√
64 51
D)
cm3
3
E) 132 cm3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
18. En cada casilla del siguiente tablero de 3×3 debe estar escrito un entero positivo, de tal modo
que el producto de los números de cualquier fila y el producto de los números de cualquier
columna es múltiplo de 30. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de todos los
números escritos en el tablero?
A) 35
B) 43
C) 36
D) 33
E) 30
19. Sara observa la cruz ubicada en lo alto de una montaña con un ángulo de elevación de α◦ .
Luego de avanzar 50 metros en dirección a la montaña, ella observa la misma cruz con un
ángulo de elevación de 90◦ − α◦ . Luego de avanzar 15 metros más, ella observa la cruz con un
ángulo de elevación de 2α◦ . ¿A qué altura (en metros) está la cruz?
A) 65
B) 60
C) 72
D) 50
E) 55
20. Una calculadora extraña tiene inicialmente el número 1 en su pantalla y solo tiene 2 botones.
Con uno de los botones se le suma 5 al número de la pantalla y con el otro botón se le suma
9. Algunos números se pueden obtener en la pantalla (como 10 y 11), pero hay otros que no
se pueden obtener (como 2 y 8). Encuentre el mayor número que no se puede obtener en la
pantalla y dé como respuesta la suma de los dı́gitos de dicho número.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
6
E) 9
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Segunda Fase - Nivel 1
16 de agosto de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados, ni tampoco publicar
o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la
mejor forma posible. Las pruebas se publicarán en la página web del Ministerio de Educación,
Concursos Educativos - ONEM, a partir del 19 de agosto.
miles de personas
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
31488
1. Un documental consta de 31151
16 episodios: los 4 primeros tienen 1 hora de duración y los 12
siguientes, 40 minutos de duración. Exactamente en la mitad del documental hubo un cambio
30814 participó el nuevo locutor?
de locutor. ¿En cuántos episodios
2014
2015
2016
2017
2013
2014
2015
2016
2. En el siguiente gráfico se muestra la estimación oficial de la población del departamento de
Arequipa, en miles de personas, al 30 de setiembre de cada año
miles de personas
?
1287
1273
1259
¿Cuál es la población estimada para el año 2016, en miles de personas?
1 8
1
10
4
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
3. Hay algunas canicas en una bolsa. Con respecto al contenido de la bolsa, tres amigos dijeron
lo siguiente:
Andrés dijo: Hay menos de 10 canicas en la bolsa y todas son verdes.
Lucas dijo: Hay 5 canicas verdes y 6 canicas blancas en la bolsa.
Raúl dijo: Hay 7 canicas en la bolsa y todas son verdes.
Se sabe que uno de ellos mintió y los otros dos dijeron la verdad. ¿Cuántas canicas hay en la
bolsa?
4. ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que el producto de sus dı́gitos es 2016 ?
5. En la figura se cumple que AB = AC y P A = P B = QB. Si el ángulo ∠QBC mide 10◦ ,
calcule la medida del ángulo ∠BAC.
A
P
Q
B
C
2
−5 −4 −3 −2 −1
negativos
0
1
2
3
4
5
positivos
miles de personas
31488
A
31151
30814
Sociedad Matemática Peruana
2014
2015
2016
2017
Segunda Fase - Nivel P1
Q
miles de personas
miles de personas
6. Roberto escogió un número entero n. Luego, en la recta numérica ubicó los puntos corres3
pondientes a los números 10n,
? n y n.B3Resultó que los puntosCquedaron en ese mismo orden,
es decir, 10n quedó a la izquierda de n y éste quedó a la izquierda de n.
1287
31488
1273
31151
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
1259
30814
negativos
5
positivos
¿Para cuántos valores de n ocurre esta situación?
2014
2015
2013
2014
20162015 2017
2016
7. En algunas casillas de un tablero de 3 × 3 están escritos los siguientes números:
miles de personas
?
1 8
1287
10
4
1273
1259
Queremos escribir un número entero positivo en cada una de las casillas vacı́as de tal modo
que se cumplan las siguientes condiciones:
2013
2014
2015
Los nueve números del tablero deben ser distintos entre sı́.
2016
C
La suma de los cuatro números en cada cuadrado de 2 × 2 es siempre la misma.
Determine el menor valor que puede tomar la suma de los nueve números del tablero.
1 8
10
4
12 cm2
2
8. El triángulo rectángulo ABC ha sido dividido en
y dos triángulos. El rectángulo
12un
cmrectángulo
2
y un triángulo tienen área 12 cm , ¿cuál es el área del otro triángulo, en cm2 ?
A
C
12 cm2
A
12 cm2
B
3
1
B
10
4
Sociedad Matemática Peruana
C
Segunda Fase - Nivel 1
9. Sean a y b dos números enteros positivos tales que a > b y el mı́nimo común múltiplo de a y
12 cm2a − b ?
b es 200. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la2 diferencia
12 cm
A
B
10. En un tablero de 6 × 6 cada casilla se pinta de rojo o azul de tal manera que cualquier casilla
tiene un número impar de casillas vecinas rojas. ¿Cuántas casillas rojas puede haber como
máximo?
Aclaración: Considere que dos casillas son vecinas si comparten un lado.
1
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Segunda Fase - Nivel 2
16 de agosto de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados, ni tampoco publicar
o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la
mejor forma posible. Las pruebas se publicarán en la página web del Ministerio de Educación,
Concursos Educativos - ONEM, a partir del 19 de agosto.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En los exámenes del primer bimestre Paola obtuvo 13 como nota promedio de los cursos de
Historia, Inglés, Comunicación y Matemática. En el segundo bimestre ella aumentó 1 punto
en Historia, 2 puntos en Inglés, 2 puntos en Comunicación y 3 puntos en Matemática, con
respecto al bimestre anterior. ¿Cuál fue la nota promedio de Paola de estos cuatro cursos en
el segundo bimestre?
2. Un fabricante de perfume decidió reducir en 10 ml la cantidad de perfume de cada frasco. Al
hacer esto, resulta que el contenido de 25 frascos equivale al contenido de 20 frascos antes de
la reducción. ¿Cuántos ml de perfume contenı́a cada frasco al inicio?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
3. Sean M, N, P, Q puntos de los lados DA, AB, BC, CD de un rectángulo ABCD, respectivamente, tales que M N, N P, P Q forman ángulos de 45◦ con los lados del rectángulo. Si M D = 2
y BN = 4, determine la longitud del segmento QD.
B
P
C
N
Q
A
M
D
B
C
4. ¿Cuál es el menor número entero positivo, múltiplo de 3, tal que el producto de sus dı́gitos es
2016 ?
5. Los asientos de un auditorio están distribuidos en m filas y n columnas. Durante un seminario
se observó que en cada fila habı́a dos asientos vacı́os y en cada columna habı́a un asiento vacı́o.
Halle el número total de asientos del auditorio si se sabe que este número es mayor que 350 y
menor que 400.
A
D
6. Sea ABCD un cuadrado de lado 8. Si AM = AQ = 4 cm y BN = CP = 2 cm, halle la
diferencia de las áreas de los cuadriláteros P DQX y M BN X, en cm2 .
B
N
C
X
P
M
A
Q
2
D
Sociedad Matemática Peruana
B
P
C
B
P - Nivel 2 C
Segunda
Fase
7. Sean x y z números reales tales que N
N
x2 + 5xz + z 2 = 7,
Q
Q
x2 z + xz 2 = 2.
Si x + z 6= 2, determina el valor de (6xz)2 .
A
A
M
M
D
D
8. Se tiene 57 palitos que están distribuidos de la siguiente manera
Un movimiento consiste en quitar 3 palitos que formen alguna de las siguientes figuras:
¿Cuál es la mayor cantidad de movimientos seguidos que se puede realizar?
9. Sean a, b, c, d números enteros positivos tales que a > b > c > d y además
mcd(a, b) + mcd(a, c) + mcd(a, d) = 105.
Halla el menor valor posible de a.
Aclaración: mcd(r, s) denota al máximo común divisor de los números enteros positivos r y s.
10. Determina el menor valor que puede tomar la expresión
ab(a + b − 28)
,
(a − 1)(b − 27)
donde a y b son números reales positivos tales que a > 1 y b > 27.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Segunda Fase - Nivel 3
16 de agosto de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados, ni tampoco publicar
o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la
mejor forma posible. Las pruebas se publicarán en la página web del Ministerio de Educación,
Concursos Educativos - ONEM, a partir del 19 de agosto.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Alejandra, Ruth y Edwin fueron al mercado para abastecer sus juguerı́as. Alejandra compró
2 piñas y 3 papayas. Ruth compró 5 piñas y 1 papaya. Edwin compró 4 piñas y 2 papayas. Si
Alejandra gastó 42 soles y Ruth gastó 40 soles, ¿cuántos soles gastó Edwin?
Aclaración: Considere que todas las piñas cuestan lo mismo y que todas las papayas cuestan
lo mismo.
2. Gregorio tiene dos dados, uno rojo y otro azul. ¿Cuántas posibilidades existen, de que al
lanzar Gregorio sus dos dados, obtenga dos números cuyo producto sea par?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
3. Sea ABCD un cuadrado de lado 12. Sean E y F puntos de los lados AB y AD, respectivamente, tales que ∠CEF = 90◦ . Si el área del triángulo CBE es igual a 4 veces el área del
triángulo EAF , halla la longitud del segmento CF .
B
C
E
A
F
D
4. ¿Cuál es el menor número entero positivo, múltiplo de 4, tal que el producto de sus dı́gitos
es 2016 ?
5. Un conjunto A está formado por 10 números reales (distintos), de tal modo que la suma de
cualesquiera seis de ellos es mayor que la suma de los otros cuatro elementos. ¿Cuál es la
menor cantidad de elementos positivos que puede tener el conjunto A?
r
6. Determina el menor número entero n, con n > 1, tal que los dos números
son racionales.
n+1
y
2
r
n+2
3
7. ¿Cuántos números enteros positivos menores que 216 + 215 se pueden expresar como la suma
de cinco potencias de 2, todas diferentes entre sı́?
Aclaración: Considere que las potencias de 2 son 20 , 21 , 22 , 23 , . . ..
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
8. Sea ABC un triángulo acutángulo tal que ∠BAC = 2∠BCA. Sea D un punto interior tal
que ∠DAC = 2∠DCA. Sean E y F los pies de las alturas trazadas desde B y D hacia el lado
AC, respectivamente. Si AD = 12 y EF = 4, halla la longitud del lado AB.
9. Sean x, y números reales positivos tales que x3 + y 3 = 3xy. Sea M el mayor valor que puede
tomar x. Determina el valor de 12 · M 12 .
10. En la pizarra están escritos los números 1 y 2. En cada paso, si en la pizarra están escritos
los números m y n, Julián escribe el número mn + m + n en la pizarra y luego borra uno de
los dos números anteriores (es decir, borra m o borra n). ¿Cuál es el menor número, mayor
que 1000, que puede obtener Julián después de realizar algunos pasos?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Tercera Fase - Nivel 1
22 de setiembre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Roysi lanzó 5 dados sobre la mesa y observó que los números que mostraron los dados eran
distintos. Determina la suma de los cinco números mostrados si su producto no es múltiplo
de 8.
Aclaración: Un dado tiene los números del 1 al 6 en sus caras.
2. Manuel y Renzo están separados una distancia de 896 metros y cada uno avanza en la dirección del otro para encontrarse. Manuel camina a 50 pasos por minuto y en cada paso recorre
0.8 metros. Renzo camina a 40 pasos por minuto y en cada paso recorre 0.6 metros. ¿Después
de cuántos minutos se encontrarán?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
3. Marı́a y Jossy rindieron dos pruebas de matemática. El puntaje de cada prueba es un número
entero entre 1 y 20, inclusive. En la primera prueba Marı́a obtuvo 20 % más que Jossy; y en la
segunda prueba Jossy obtuvo 25 % más que Marı́a. El puntaje final es la suma de los puntajes de ambas pruebas. Si el puntaje final de Marı́a fue de 34, ¿cuál fue el puntaje final de Jossy?
4. El cuadrado ABCD tiene área 49 cm2 y el triángulo AED tiene perı́metro 15 cm. Calcule el
área del cuadrado EF GH, en cm2 .
F
B
G
C
A
F
F
B
B
E
G
G
D
H
C
C
5. Kenny dijo un entero positivo. Luis loA
Amultiplicó por 4 ó por 8. Freddy multiplicó el resultado
de Luis por 3 ó por 6. André multiplicó el resultado de Freddy por 7 ó por 9. Raúl multiplicó
el resultado de André por 7 ó por 8. El resultado final fue 2016. ¿Cuál fue el número que dijo
E
D
H
E
D
H
Kenny?
6. Se tiene el siguiente tablero:
y cinco fichas de la forma:
E
Q
Cuando las fichas son colocadasB sobre el tablero
con el propósito
P
Cde cubrirlo, queda un triángulo sin cubrir. Si las fichas se colocan de tal modo que no salgan del tablero y que no se
superpongan, ¿ cuántos de los 16 triángulos podrı́an ser ese triángulo sin cubrir?
E
E
B
B
A
2
P
P
Q
Q
C
C
D
E
D
H
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
7. En la figura se muestra un rectángulo ABCD. Los segmentos EA y ED intersectan al segmento BC en P y Q, respectivamente. Las áreas de los triángulos ABP , BP E y CQD son
12 cm2 , 8 cm2 y 9 cm2 , respectivamente. Calcule el área de la figura sombreada (en cm2 ).
E
B
P
B
P
A
Q
C
Q
C
E
D
8. Sea A = (1 + 2) × (3 + 4) × (5 + 6) × · · · × (99 + 100). Encuentre el menor número impar N ,
con N > 1, tal que el máximo común divisor de N y A es 1.
A
D
9. Un paı́s se compone de 9 islas, algunas de las cuales están unidas por puentes, como muestra
la siguiente figura (los cı́rculos son las islas y las lı́neas son los puentes):
Se van a clausurar 4 puentes para hacer reparaciones, de tal modo que aún se pueda viajar
1 8 puentes que queden. ¿De cuántas formas
desde cualquier isla a cualquier otra isla usando los
se puede escoger esos 4 puentes?
10. Un número primo p es especial si existen números
enteros a y b tales que p2 = a3 + b3 . Se
1
sabe que hay tres números primos, menores que 300, que son especiales. Calcule la suma de
esos tres números.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Tercera Fase - Nivel 2
22 de setiembre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Alex tiene en su jardı́n un árbol que crece exactamente medio metro al año. La altura del
árbol es igual a cinco veces la altura de Alex. Hace 12 años Alex medı́a 21 centı́metros menos
y su árbol medı́a la mitad de lo que él medı́a en ese momento. ¿Cuántos centı́metros mide
actualmente el árbol de Alex?
2. Héctor trabaja entregando botellas de gaseosa. En su camión todas las cajas están llenas de
botellas (12 en cada caja) y aparte hay menos de 12 botellas sueltas. Si la cantidad de botellas
más la cantidad de cajas es 216. ¿Cuántas cajas hay en el camión de Héctor?
3. Definimos los números a = 1 +
1
2015
2015
y b=
1
1
1+
2015
2016
. Calcule el valor de
ab
.
ba
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
4. Sea ABCDE un pentágono que tiene ángulos rectos en los vértices A, C y E, tal que AB = 18
cm, CD = 6 cm y DE = 24 cm. Calcule el perı́metro del pentágono ABCDE (en cm) si su
área es 480 cm2 .
C
D
B
A
E
5. Favio tiene tres bolsas de caramelos. Una bolsa tiene tres caramelos amarillos y tres caramelos
rojos, otra bolsa tiene 3 caramelos rojos y 3 caramelos verdes y la última bolsa tiene 3 caramelos verdes y 3 caramelos amarillos. Favio va a sacar, al azar, un caramelo de cada bolsa.
La probabilidad de que Favio saque tres caramelos de colores distintos es del n %. Determine
el valor de n.
6. Un número entero positivo de cuatro dı́gitos puede expresarse como el producto ab × da,
donde a, b, d son dı́gitos no nulos, distintos entre sı́, tales que da > ab. Halle el menor valor
posible de da − ab.
7. Roberto tiene 101 monedas, ubicadas en una fila. Cada moneda es de 10, 20 ó 50 céntimos.
Se sabe que no hay un grupo de monedas consecutivas cuya suma sea 60 céntimos. ¿Cuál es
la menor cantidad de monedas de 50 céntimos que puede tener Roberto?
8. Sean a y b enteros positivos tales que a2 + b2 = 300a. Determine la suma de todos los valores
distintos que puede tomar a.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
9. Sea ABC un triángulo equilátero de lado 48 y Q un punto del lado AB tal que BQ = 26.
Si P es un punto en el interior del triángulo ABC tal que P A2 + P C 2 = P B 2 , determine el
menor valor entero que puede tomar la longitud del segmento P Q.
10. Joaquı́n está de viaje en un paı́s extraño donde hay billetes de valor n para cada entero positivo n menor o igual que 50, es decir, hay billetes de valor 1, de valor 2, ..., de valor 50.
Joaquı́n tiene exactamente 7 billetes de valores n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 < n7 , y con
ellos puede pagar cualquier objeto cuyo valor sea un número entre 1 y 60, inclusive, sin recibir
vuelto. Determine el menor valor posible de n7 .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Tercera Fase - Nivel 3
22 de setiembre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. El producto de tres números enteros positivos distintos es 2000 y ninguno de ellos es múltiplo
de 25. Calcule la suma de esos tres números.
2. Determine el mayor valor entero que puede tomar la siguiente expresión:
+
+
+
+
−
si en los cuadrados deben estar escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en algún orden (sin
que se repitan).
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
3. En una mesa hay nueve tarjetas enumeradas del 1 al 9. Ana toma tres tarjetas, Beatriz toma
otras tres tarjetas y Carla se queda con las tres tarjetas sobrantes. Resulta que ninguna de ella
tiene dos tarjetas con números consecutivos, además, la suma de los números de las tarjetas
de Beatriz es el doble de la suma de los números de las tarjetas de Ana. Si una de las tarjetas
de Carla tiene el número 5, determine la suma de los números de las otras dos tarjetas de Carla.
4. Jesús y Samael trabajarán en el directorio de una empresa junto con otras cuatro personas.
El primer dı́a de trabajo se formarán dos equipos de tres personas, por medio de un sorteo.
Si la probabilidad de que Jesús y Samael estén en el mismo grupo es del n %, determine el
valor de n.
5. Halle el área del triángulo cuyos vértices en el plano cartesiano son los puntos (3, 2), (1, −2)
y (220 , 221 ).
6. ¿Para cuántos números primos p existe un número primo q tal que p2 + 11pq + 25q 2 es un
cuadrado perfecto?
7. Sea ABC un triángulo tal que ∠BAC = 80◦ y ∠ABC = 40◦ . Sean D y E puntos sobre
los lados AB y BC, respectivamente, tales que DE es perpendicular a AB y AD = CE. Si
∠DCE = α◦ , determine el valor de 2α.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
a
b
c
8. Sean a, b, c y d números enteros positivos tales que
,
y son fracciones irreducibles
480 630 d
y además:
a
b
c
+
= .
480 630
d
Determine el menor valor posible de d.
Aclaración: Una fracción
m
n
es irreducible si el máximo común divisor de m y n es 1.
9. Sean x, y, z reales positivos tales que
x2 + xy + y 2 = 5,
y 2 + yz + z 2 = 6,
z 2 + zx + x2 = 8.
Calcule el valor de (xy + yz + zx)2 .
10. Para cada conjunto no vacı́o S de números enteros positivos, sea S ∗ el conjunto que se obtiene
al sumar 2 a cada elemento de S. Por ejemplo, si A = {2, 4, 5} entonces A∗ = {4, 6, 7}. ¿Para
cuántos conjuntos S se cumple que la unión de S con S ∗ es el conjunto de todos los enteros
positivos del 1 al 19, es decir, S ∪ S ∗ = {1, 2, 3, . . . , 18, 19} ?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 2
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. En un juego hay 3 cajas cerradas, cada una de las cajas contiene 20 bolitas, pero no se sabe
con exactitud el contenido de cada caja. Solo sabemos que una de las cajas contiene 10 bolitas
blancas y 10 bolitas rojas; otra de las cajas contiene 10 bolitas rojas y 10 bolitas azules; y en
la otra caja hay 10 bolitas azules y 10 bolitas blancas. Emilio, en cada jugada, debe retirar
una bolita de alguna de las cajas. Muestra una manera de jugar con la que Emilio pueda
obtener con certeza una bolita blanca, como máximo en 13 jugadas.
Aclaración: Emilio puede cambiar de caja luego de una jugada si lo desea.
2. Para cada entero positivo n sea P (n) el producto de los dı́gitos de n. Por ejemplo, P (10) = 0
y P (216) = 12. Halla el menor entero positivo m que cumple las siguientes dos condiciones:
P (m) − P (m + 2) = 990,
m es múltiplo de 11.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
3.
a) Prueba que para todo entero positivo par n ≥ 4, existe un polı́gono convexo de n lados
de tal modo que el número de triángulos isósceles que se pueden formar con 3 de sus
vértices es mayor o igual que
(n − 2)(3n − 4)
.
4
b) Si se pintan de rojo 25 puntos de una circunferencia, de tal forma que cualesquiera dos
segmentos que tienen sus extremos en puntos rojos no sean perpendiculares, ¿como máximo, cuántos triángulos isósceles tienen sus vértices en tres puntos rojos?
4. Si x, y, z son números reales tales que x2 + y 2 + z 2 ≤ 100, determina el menor valor posible y
el mayor valor posible de la siguiente expresión
2xy + 2yz + 7xz.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 3
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Definimos el polinomio P (x) = 2014x2013 + 2013x2012 + · · · + 4x3 + 3x2 + 2x. Halla el mayor
divisor primo de P (2).
2. Los enteros positivos a, b, c son tales que
M CD(a, b, c) = 1,
M CD(a, b + c) > 1,
M CD(b, c + a) > 1,
M CD(c, a + b) > 1.
Determina el menor valor posible de a + b + c.
Aclaración: M CD significa máximo común divisor.
3. Sea P un punto en el interior del triángulo equilátero ABC tal que
6∠P BC = 3∠P AC = 2∠P CA.
Halla la medida del ángulo ∠P BC.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. El siguiente tablero es cubierto completamente con dominós de manera arbitraria.
a) Prueba que podemos pintar 21 dominós de tal modo que no haya dos dominós pintados
formando un S-tetraminó.
b) ¿Cuál es el mayor entero positivo k para el cual siempre es posible pintar k dominós
(sin importar cómo se llene el tablero) de tal modo que no haya dos dominós pintados
formando un S-tetraminó?
Aclaración: Un dominó es un rectángulo de 1 × 2 ó de 2 × 1; los S-tetraminós son las figuras
de los siguientes tipos:
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 1
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Se tienen algunas piedras distribuidas en cinco cajas. Un movimiento consiste en elegir una
caja que contiene dos o más piedras, retirar dos piedras de esa caja y colocarlas en otras dos
cajas (una en cada caja). Determine en cada caso si es posible que todas las cajas tengan la
misma cantidad de piedras después de algunos movimientos si inicialmente las cajas contienen:
a) 4, 3, 3, 2 y 2 piedras respectivamente.
b) 4, 3, 3, 3 y 2 piedras respectivamente.
2. Determine el menor entero k > 1 para el cual existen enteros positivos a, b y c tales que
mcd(a, b + 1) = 5,
mcd(b, c + 1) = 6,
mcd(c, a + 1) = k.
Para dicho valor de k, encuentre una terna (a, b, c) de enteros positivos para la cual ocurran
las tres igualdades anteriores.
Aclaración: mcd(m, n) denota al máximo común divisor de m y n.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
3. Decimos que un entero positivo N es olı́mpico si todos sus dı́gitos son distintos y además, la
suma de los dı́gitos de N es divisible por cada uno de los dı́gitos de N .
a) Halle todos los números olı́mpicos de tres dı́gitos.
b) Halle el mayor número olı́mpico y justifique por qué es el mayor.
4. El juego del Sudoku-4 consiste en lo siguiente: Al inicio algunas casillas de un tablero de 4 × 4
tienen escrito un número del conjunto {1, 2, 3, 4} (está permitido escribir números repetidos),
se gana el juego si se logra escribir un número del conjunto {1, 2, 3, 4} en cada casilla vacı́a del
tablero de tal forma que en cada fila y en cada columna los números sean diferentes. Decimos
que la distribución inicial de números es perfecta si solo hay una forma de escribir los números
en las casillas vacı́as para ganar el juego.
a) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 5 números escritos?
b) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 4 números escritos?
c) ¿Existe una distribución inicial perfecta con 3 números escritos?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 2
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sean a, b, m, n enteros positivos tales que:
m+n=a+b
mn + 1 = ab.
a) Pruebe que m 6= n.
b) Pruebe que a = b.
2. Determine todos los números reales c para los cuales existen números reales no nulos x, y, z
tales que
z
y
z x
x y
+ + = + + = c.
y
z x
x y
z
3. Se tiene un tablero de 5 × 5. Inicialmente hay un número 1 en cada casilla del tablero. Un
movimiento consiste en elegir un subtablero de 2 × 2, borrar los números de las casillas que
ocupa y escribir en su lugar los números 1, 2, 3 y 4 en algún orden. ¿Cuál es el mayor valor
que puede tomar la suma de los 25 números del tablero después de un número finito de movimientos?
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
4. Dado un cuadrilátero ABCD tal que AB = AD, ∠CBD + ∠ABC = ∠ADB + ∠ADC = 180◦
y ∠BAD > 60◦ . Sea M cualquier punto del segmento AB (M 6= A y M 6= B).
a) Pruebe que existe un punto N en el segmento CD tal que BM = DN y un punto X en
el segmento BC tal que M X = XN .
b) Pruebe que la medida del ángulo ∠XAN es siempre la misma sin importar cuál sea el
punto M .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
Cuarta Fase - Nivel 3
9 de noviembre de 2014
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Encontrar todas las ternas (α, β, θ) de ángulos agudos tales que las siguientes desigualdades
se cumplan a la vez
(sen α + cos β + 1)2 ≥ 2(sen α + 1)(cos β + 1),
(sen β + cos θ + 1)2 ≥ 2(sen β + 1)(cos θ + 1),
(sen θ + cos α + 1)2 ≥ 2(sen θ + 1)(cos α + 1).
2. Una ficha U está formada por cuadraditos de 1 × 1 y tiene la siguiente forma:
a
a
b
donde hay dos hileras verticales de a cuadraditos, una horizontal de b cuadraditos y además
a ≥ 2 y b ≥ 3. Observe que hay diferentes tipos de ficha U .
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
Por ejemplo, algunos tipos de fichas U son los siguientes:
Demuestre que para cada entero n ≥ 6, el tablero de n × n se puede cubrir completamente
con fichas U , sin que haya huecos y sin que haya dos fichas que se superpongan.
Aclaraciones: La fichas U se pueden rotar. En el cubrimiento se puede usar cualquier cantidad
de fichas de cada tipo.
3.
a) Sean a, b, c enteros positivos tales que ab + b + 1, bc + c + 1 y ca + a + 1 son divisores
del número abc − 1, demuestre que a = b = c.
b) Encuentre todas las ternas (a, b, c) de enteros positivos tales que el producto
(ab − b + 1)(bc − c + 1)(ca − a + 1)
es un divisor del número (abc + 1)2 .
4. Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro O, sobre los lados BC, CA y AB se
toman los puntos D, E y F , respectivamente, de tal manera que BDEF es un paralelogramo.
Suponiendo que
AC 2
DF 2 = AE · EC <
,
4
demuestre que las circunferencias circunscritas a los triángulos F BD y AOC son tangentes
entre sı́.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
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XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 1
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. En cada uno de los cı́rculos de la figura se escribió uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
(sin repetir). Luego, en cada una de las cuatro regiones triangulares indicadas se escribió la
suma de los números que estaban en sus tres vértices. Finalmente, se borraron los 7 números
iniciales y la figura quedó de la siguiente forma:
16
10
6
9
Determine qué número estaba escrito en cada cı́rculo.
1
dominó vertical
dominó horizontal
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
16
10
2.
a) Sobre un tablero de 7 × 7 se colocan n dominós verticales y n dominós horizontales, sin
que se superpongan. Determine el mayor6 valor posible de n.
9
b) Sobre un tablero de 6 × 6 se colocan
n dominós verticales y n dominós horizontales, sin
que se superpongan. Determine el mayor valor posible de n.
Aclaración: Cada dominó cubre exactamente dos cuadraditos del tablero. En la siguiente
figura se muestra un dominó vertical y un dominó horizontal:
dominó vertical
dominó horizontal
3. Sea ABCD un paralelogramo, E un punto del segmento BD y F un punto del segmento AD,
tales que BC = CE = ED = EF . Si se cumple que AB = AF + 2BE, calcule la medida del
B
E
C
ángulo ∠BAD.
Aclaración: Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos.
O
4.
a) ¿Cuál es el menor número que podemos obtener al calcular el mı́nimo común múltiplo
de 5 enteros positivos impares
diferentes?
A
D
b) ¿Cuál es el menor número que podemos obtener al calcular el mı́nimo común múltiplo
de 13 enteros positivos impares diferentes?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
1
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XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 2
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1.
a) Sean x, y, z números reales, demuestre la desigualdad
x2 + y 2 + z 2 ≥
(x + y + z)2
.
3
b) Si a y b son números reales, determine el menor valor posible de la expresión
(a + b − 5)2 + (a − 3)2 + (b − 4)2 .
2. El producto de algunos enteros positivos (no necesariamente distintos) es una potencia de 21.
A cada número se le resta 1 y se multiplica todos los números. ¿Es posible que ese nuevo
producto sea una potencia de 42 ?
1
6
9
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
dominó vertical
dominó horizontal
3. Sea ABCD un trapecio de lados paralelos AD y BC, circunscrito a una circunferencia de
centro O, la cual es tangente a BC en el punto E. Pruebe que si AD = 2BC , entonces O es
el ortocentro del triángulo AED.
B
E
C
O
A
D
Aclaración: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.
4. Sobre una mesa hay n ≥ 3 monedas colocadas en fila. Cada moneda tiene un sello de un lado
y cara en el lado opuesto. Una operación consiste en voltear una moneda y todas las monedas adyacentes a ella. ¿Para qué valores de n siempre es posible conseguir, luego de algunas
operaciones, que todas las monedas muestren el sello, sin importar la configuración inicial de
las monedas?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
2
Sociedad Matemática Peruana
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
Cuarta Fase - Nivel 3
18 de octubre de 2015
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sea C un conjunto de n puntos en el plano que tiene la siguiente propiedad: Para cada punto P
de C, existen cuatro puntos de C, cada uno distinto de P , que son los vértices de un cuadrado.
Halle el menor valor posible de n.
2. Sea ABCDEF un hexágono convexo. La diagonal AC es cortada por BF y BD en los puntos P y Q, respectivamente. La diagonal CE es cortada por DB y DF en los puntos R y S,
respectivamente. La diagonal EA es cortada por F D y F B en los puntos T y U , respectivamente. Se sabe que cada uno de los siete triángulos AP B, P BQ, QBC, CRD, DRS, DSE y
AU F tiene área 1. Halle el área del hexágono ABCDEF .
3. Sean a1 , a2 , . . . , an enteros positivos, con n ≥ 2, tales que
√
√
√
√
b a1 · a2 · · · an c = b a1 c · b a2 c · · · b an c .
Pruebe que al menos n − 1 de dichos números son cuadrados perfectos.
Aclaración: Dado un√
número
real x, bxc denota al mayor número entero que es menor o igual
que x. Por ejemplo,
5 = 2 y b3c = 3.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. Sea b un entero positivo impar. Se define la sucesión a1 , a2 , a3 , a4 , . . . de la siguiente manera:
a1 y a2 son enteros positivos y para todo k ≥ 2,
ak+1=





ak + ak−1
2
si ak + ak−1 es par,



 ak + ak−1 + b
2
si ak + ak−1 es impar.
a) Pruebe que si b = 1, entonces a partir de cierto término la sucesión se hará constante.
b) Para cada b ≥ 3 (impar), pruebe que existen valores de a1 y a2 para los cuales la sucesión
nunca se hará constante a partir de cierto término.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Cuarta Fase - Nivel 1
23 de octubre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Se tiene los siguientes tableros de 4 × 4:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
3
Tablero 1
2
1
1
3
1
1
1
2
3
3
2
2
Tablero 2
Mateo debe eliminar algunos números de cada tablero de tal modo que la suma de los números
que queden en cada fila y en cada columna sea múltiplo de 3.
a) Mostrar cómo Mateo puede eliminar 5 números del Tablero 1.
b) ¿Cuántos números como mı́nimo Mateo debe eliminar del Tablero 2?
Aclaración: Si una fila o una columna no tiene números, su suma es 0 y 0 es múltiplo de 3.
1
dominós
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
2. Ada dibujó un triángulo, escogió un punto de cada lado y escogió un punto P en el interior
del triángulo. Luego, trazó segmentos que unen P con los otros seis puntos (los tres vértices
y los tres puntos que están en los lados). De esta forma el triángulo inicial quedó dividido en
seis triángulos isósceles. Muestre, mediante un ejemplo, cómo Ada pudo haber conseguido esto.
3. Un número primo es permutable si al colocar sus dı́gitos en cualquier orden se obtiene siempre
un número primo. Por ejemplo, 113 es un primo permutable porque 113, 131 y 311 son números primos. Pruebe que no existe un número primo permutable de más de cuatro dı́gitos,
que contenga a los dı́gitos 1,1,3,3.
4. A, B y C juegan por turnos sobre un tablero de 6 × 6. Empieza A, luego B, a continuación
C, de nuevo A, y ası́ sucesivamente. Inicialmente todas las casillas son blancas. A comienza
pintando una casilla de negro, luego cada jugador en su turno pinta de negro una casilla
blanca vecina a la última casilla pintada, donde dos casillas son vecinas si tienen un lado
o vértice en común. El juego termina cuando alguno de los jugadores no puede realizar su
jugada y gana el jugador que pinta la última casilla.
a) Pruebe que B y C pueden ponerse de acuerdo para que C gane.
b) Pruebe que A y B pueden ponerse de acuerdo para que B gane.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Cuarta Fase - Nivel 2
23 de octubre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
2 3 1
2 2 1 3
1. Un conjunto C está formado por 1siete
enteros positivos
diferentes. Se sabe que exactamente
2
3
1
2
2
1
1 de
3 elementos de C son múltiplos
tres elementos de C son múltiplos de 3 y exactamente cuatro
3 1de 2la suma
3
1 1elementos
2
de 4. Calcule el menor valor posible
de los1 siete
de C.
1 2 3 1
3 3 2 2
Tablero 1
Tablero 2
2. Se tiene el siguiente tablero de 4 × 4, formado por cuadrados de lado 1;
Algunos de los segmentos de longitud 1 (que son lados de los cuadrados) se pintan de rojo y
dentro de cada cuadrado se escribe la cantidad de lados rojos que tiene ese cuadrado. Si los
números que aparecieron en el tablero son, en algún orden: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3,
3, 3 y 3. Determine la menor cantidad de segmentos rojos de longitud 1 que puede haber en
el tablero.
dominós
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
3. Sea P un punto interior de un triángulo ABC tal que ∠P AB = ∠P CA = ∠P BC − 60◦ y
AB
P C = BC = √ . Halle la medida del ángulo ∠P AB.
2
4. Encuentre el mayor entero positivo n para el cual existe un polinomio P (x) de coeficientes
reales, de grado 100 y n números reales a1 , a2 , . . . , an en progresión aritmética de razón diferente de cero, tal que los números P (a1 ), P (a2 ), . . . , P (an ) formen una progresión geométrica
(en ese orden).
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Cuarta Fase - Nivel 3
23 de octubre de 2016
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sea ABCD un trapecio de bases paralelas BC y AD. Si ∠CAD = 2∠CAB, BC = CD y
AC = AD, determine todos los posibles valores de la medida del ángulo ∠CAB.
2. ¿Cuántas fichas de dominó se puede colocar como mı́nimo en un tablero de 3 × 12, de tal
modo que sea imposible colocar una ficha de 1 × 3, 3 × 1 ó 2 × 2 en lo que queda del tablero?
Aclaración: Cada dominó cubre exactamente dos cuadraditos del tablero. Las fichas no se
pueden superponer.
3. Sea R el conjunto de los números reales. Encuentre todas las funciones f : R → R tales que
f (x + y) + f (x + z) − f (x)f (y + z) ≥ 1,
para todos los números reales x, y, z.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. Sean a y n números enteros, con a > 2 y n > 1. Si an − 2n es un cuadrado perfecto, pruebe
que a es par.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 1
12 de julio de 2017
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres que has
terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio. La pruebas serán colgadas
en la web de la ONEM.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Cinco calles de un pequeño pueblo se cruzan como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuál es
la calle que tiene más cruces?
calle 4
calle 1
calle 2
calle 3
A) calle 1
B) calle 2
C) calle 3
calle 5
D) calle 4
E) calle 5
2. Martı́n tiene que tomar una pastilla cada 8 horas. Si la primera la tomó a las 16:00 del dı́a
lunes, ¿a qué hora del dı́a martes tomará la cuarta pastilla?
A) 8:00
B) 12:00
C) 16:00
D) 18:00
E) 22:00
3. José es un agricultor que cosechó 6000 papas. La mitad de las papas las va a poner en sacos
pequeños y la otra mitad en sacos grandes. Indique la alternativa falsa, si se sabe que la
capacidad de un saco pequeño es 50 papas y la de un saco grande es 75 papas:
A) José necesita 60 sacos pequeños.
B) José necesita más sacos pequeños que grandes.
C) José necesita 110 sacos en total.
D) José necesita menos de 50 sacos grandes.
E) José necesita menos de 70 sacos pequeños.
1
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
4. Considere la siguiente figura:
P
¿Cómo se verá esa figura después de rotarla 90◦ en sentido antihorario, con centro en P ?
A)
B)
P
C)
P
D)
P
P
E)
P
5. La edad promedio de Raúl y José es 13 años. Si se une al grupo Emerson, que tiene 19 años,
entonces la edad promedio de las tres personas es:
A) 16
B) 17
C) 14
D) 15
E) 18
6. Rosa y Antonio están leyendo el libro El Principito. En cierto momento se dio la siguiente
conversación:
Rosa dijo: “Me falta leer el 40 % del libro.”
Antonio respondió: “Entonces yo he leı́do la mitad de lo que tú has leı́do”
¿Qué porcentaje del libro le falta leer a Antonio?
A) 70 %
B) 20 %
C) 60 %
D) 40 %
E) 80 %
7. Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo:
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
4
8
12
16
Exprese el resultado mediante una multiplicación.
A) 10 × 10
B) 15 × 15
C) 16 × 12
2
D) 15 × 21
E) 10 × 24
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
8. Una distribuidora de bebidas tiene 5 almacenes y el registro de la cantidad de botellas del
jugo Naranjı́simo en cada almacén es el siguiente:
Almacén
España
Carrión
Grau
Balta
México
N◦ de botellas de Naranjı́simo
236
544
129
346
586
A un chofer de la distribuidora le encargaron recoger todas las botellas de Narinjı́simo, pero
no pudo ir a uno de los almacenes. Si el chofer recogió 1712 botellas, ¿cuál fue el almacén que
no fue visitado por el chofer?
A) España
B) Carrión
C) Grau
D) Balta
E) México
9. Alex, Boris, César, Darı́o, Enrique y Franco son seis niños que han representado su peso
y estatura en el siguiente gráfico. El eje horizontal representa el peso (en kg) y el vertical
representa la estatura (en cm). Por ejemplo, Alex (representado por el punto A) pesa 37 kg
y mide 143 cm.
estatura (cm)
F
145
144
143
142
141
B
A
C D
E
36 37 38 39 40
peso (Kg)
Considerando los otros cinco niños, ¿cuántos pesan más que Alex pero son más bajos que él?
A) Ninguno
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
10. Coloca los números 1,2,3,4 en las casillas de la siguiente expresión (uno por casilla) de tal
modo que el resultado sea un número par.
×
+
+
¿Cuál es ese resultado?
A) 6
B) 8
C) 10
3
D) 12
E) 14
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
11. Manuel compró cinco docenas de cuadernos y cada cuaderno le costó 3 soles. Si Manuel desea
vender todos los cuadernos que compró en paquetes de 10 cuadernos, ¿a cuánto debe vender
cada paquete para tener una ganancia del 50 % sobre el precio de costo?
A) 35 soles
B) 40 soles
C) 50 soles
D) 45 soles
E) 52 soles
12. Determine una función lineal f (x) que represente el precio de venta de un collar de oro con
x incrustaciones de diamantes, teniendo en cuenta la siguiente tabla:
Número de diamantes
Precio de venta (S/.)
2
700
4
950
6
1200
8
1450
A) f (x) = 550 + 75x
B) f (x) = 500 + 100x
C) f (x) = 450 + 125x
D) f (x) = 600 + 50x
E) f (x) = 200 + 250x
13. Para elaborar una zampoña se realiza el siguiente proceso: se escoge una longitud ` y se cortan
` ` ` ` ` ` `
tubos de longitudes , , , , , y . Luego se ubica los tubos de la siguiente forma:
2 3 4 5 6 7 8
d2
d1
Determine la relación correcta entre las longitudes d1 y d2 .
A) d1 = 2d2
B) 2d1 = 7d2
C) 5d1 = 9d2
D) 2d1 = 3d2
E) 3d1 = 10d2
4
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
14. El Reglamento municipal de edificaciones de cierta ciudad ordena que un piso de cualquier
edificación tenga como mı́nimo 2,3 metros de altura y que la edificación no tenga más de 20
metros de altura en total. ¿Cuántos pisos, como máximo, puede tener una edificación en dicha
ciudad?
A) 9
B) 10
C) 7
D) 8
E) 11
15. En una ciudad, cada número telefónico es de la forma abcde (es decir, tiene 5 dı́gitos) y para
que sea considerado válido se debe cumplir que 3a + b + 3c + d + 3e es múltiplo de 10. Por
ejemplo, 23289 es un número válido porque 3×2+1×3+3×2+1×8+3×9 = 50 es múltiplo de
10. Por otro lado, 11111 no es un número válido porque 3×1+1×1+3×1+1×1+3×1 = 11
no es múltiplo de 10.
Esta forma de asignar los números telefónicos tiene varios beneficios, uno de ellos es que si
conoces todos los dı́gitos a excepción de uno entonces se puede deducir cuál es el dı́gito que
falta. Por ejemplo, Marı́a recuerda que el número telefónico de su amiga empieza con 1285
pero no se acuerda el último dı́gito, ¿cuál es el último dı́gito?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 7
E) 9
16. En un prisma, el número de vértices es al número de caras como 3 es a 2. Luego, cada base
de dicho prisma es un . . .
A) triángulo
B) cuadrilátero
C) pentágono
D) hexágono
E) heptágono
17. En la figura se muestra un terreno en forma de cuadrado de 25 m de lado. Luego de dividir
el terreno a lo largo de una diagonal, una de las partes se dividió una vez más de la siguiente
forma:
casa
x
El área sombreada, cuyo borde es un trapecio, se va a destinar a construir la casa y el resto
corresponderá a la cochera y el jardı́n. ¿Cuál debe ser el valor de x si queremos que el área
de la casa sea el 42 % del total?
A) 10 m
B) 12 m
C) 13 m
5
D) 15 m
E) 20 m
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
18. Andrés, Bruno, Carlos, Daniel y Esteban cada uno va a escoger un número. Andrés escoge 1
o 2, Bruno escoge 2 o 3, Carlos escoge 3 o 4, Daniel escoge 4 o 5, y finalmente, Esteban escoge
5 o 6. Luego, tenemos la seguridad de que el producto de los cinco números escogidos es . . .
A) múltiplo de 2
B) múltiplo de 3
C) múltiplo de 5
D) múltiplo de 4 o múltiplo de 9
E) múltiplo de 3 o múltiplo de 8
19. Un niño hizo una encuesta a 11 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántos libros
leı́ste el año pasado? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes:
1, 5, 5, 1, 2, 3, 5, 2, 3, 5, n.
Al calcular la mediana, media y moda de los 11 datos resultó que estos números son tres
enteros positivos consecutivos (en algún orden). Determine la suma de n con la mediana de
los 11 datos.
Nota: Recuerde que la mediana de una cantidad impar de números se determina de la siguiente
forma: se ordena los números de menor a mayor, y la mediana se define como el número que
aparece en la posición central. Por ejemplo, la mediana de los números 2, 5, 2, 1, 4 es 2 porque
al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1, 2, 2, 4, 5 y el 2 es el que está en la
posición central.
A) 15
B) 9
C) 11
D) 12
E) 17
20. En la siguiente figura se muestra un cuadrado dividido en cuatro rectángulos de lados enteros.
Si los cuatro rectángulos tienen área S, determine el menor valor posible de S.
A) 36
B) 80
C) 144
D) 120
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
6
E) 90
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 2
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres que has
terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio. La pruebas serán colgadas
en la web de la ONEM.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Antes de una pelea de box, los organizadores pactaron repartir cierto monto de la siguiente
forma: la quinta parte para el perdedor y el resto para el ganador. Si el perdedor obtuvo 1000
soles, ¿cuánto obtuvo el ganador?
A) 4000 soles
B) 5000 soles
C) 6000 soles
D) 3000 soles
E) 4500 soles
2. Un sastre tiene que hacer cuatro pantalones iguales el dı́a de hoy. Él empezó a trabajar a
las 7:30 am y terminó el primer pantalón a las 9:00 am. ¿A qué hora terminará los cuatro
pantalones?
A) 12:30 pm
B) 1:30 pm
C) 2:00 pm
D) 1:00 pm
E) 1:15 pm
3. Juan y Alberto tienen que recaudar cada uno 300 soles para su viaje de promoción. En cierto
momento se dio la siguiente conversación:
Juan dijo: “Me falta recaudar el 60 % del total.”
Alberto respondió: “Entonces yo he recaudado el doble que tú”
¿Cuánto le falta recaudar a Alberto?
A) 120 soles
B) 90 soles
C) 45 soles
1
D) 72 soles
E) 60 soles
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
4. Martha quiere determinar qué porcentaje de la superficie de un plato circular ocupa el huevo
frito que ella se preparó para el desayuno. Si el radio del plato es 14 cm, y se asume que la
forma del huevo frito corresponde a un cı́rculo de radio igual a 0,8 veces el radio del plato,
calcule el porcentaje requerido.
A) 36 %
B) 50 %
C) 14 %
D) 64 %
E) 72 %
1
5. Hace 6 años la edad de Adriana era mayor que de su edad actual y dentro de 7 años la edad
2
3
de Adriana será mayor que de su edad actual. ¿Dentro de cuántos años Adriana tendrá 18
2
años?
A) 6
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
6. Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo:
1
3
9
27
2
6
18
54
4
12
36
108
8
24
72
216
Exprese el resultado mediante una multiplicación.
A) 15 × 40
B) 40 × 21
C) 10 × 45
D) 21 × 35
E) 16 × 35
7. En un bus hay 50 asientos y uno lo ocupa el chofer. En los otros asientos están viajando
alumnos de dos colegios A y B, aunque hay algunos asientos vacı́os. La tercera parte de los
alumnos del colegio A está durmiendo y la quinta parte está leyendo. La tercera parte de
los alumnos del colegio B está leyendo y la octava parte está durmiendo. ¿Cuántos asientos
vacı́os hay?
A) 12
B) 10
C) 11
D) 13
E) 17
8. Un carpintero hizo dos prismas de madera. Las bases del primer prisma son triángulos equiláteros de 8 cm de lado y sus caras laterales son cuadrados. Las bases del segundo prisma
son hexágonos regulares de 8 cm de lado y sus caras laterales también son cuadrados. Por lo
tanto, el volumen del primer prisma es al volumen del segundo prisma como . . .
A) 1 es a 3
B) 2 es a 3
C) 1 es a 6
2
D) 1 es a 4
E) 2 es a 9
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
9. En una ciudad, cada número telefónico es de la forma abcde (es decir, tiene 5 dı́gitos) y para
que sea considerado válido se debe cumplir que 3a + b + 3c + d + 3e es múltiplo de 10. Por
ejemplo, 23289 es un número válido porque 3×2+1×3+3×2+1×8+3×9 = 50 es múltiplo de
10. Por otro lado, 11111 no es un número válido porque 3×1+1×1+3×1+1×1+3×1 = 11
no es múltiplo de 10.
Esta forma de asignar los números telefónicos tiene varios beneficios, uno de ellos es que
si se intercambian de lugar dos dı́gitos adyacentes casi siempre se puede deducir cuál era
el número inicial, sin tener la información de cuáles fueron los dı́gitos intercambiados. Por
ejemplo, mientras Andrea dictaba su número telefónico a una amiga, por error intercambió
dos dı́gitos adyacentes y su amiga escribió 24765. ¿Cuál es el número telefónico de Andrea?
A) No se puede determinar
B) 42765
C) 27465
D) 24675
E) 24756
10. El Reglamento municipal de edificaciones de cierta ciudad consta de tres normas:
El primer piso de una edificación debe tener como mı́nimo 3 metros de altura.
Cualquier otro piso superior al primero debe tener como mı́nimo 2,6 metros de altura.
La edificación debe tener como máximo 25 metros de altura.
¿Cuántos pisos como máximo puede tener una edificación en dicha ciudad?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
11. Felipe dibujó en su cuaderno un cuadrilátero y midió con un transportador sus ángulos interiores. Resultó que las medidas de los ángulos están en progresión aritmética y que dos de
ellos son 45◦ y 105◦ . ¿Cuál es la medida del mayor ángulo interior del cuadrilátero?
A) 120◦
B) 145◦
C) 110◦
D) 105◦
E) 135◦
12. Pedro dibujo un rectángulo cuya diagonal mide 19 cm. Si la base y altura del rectángulo de
Pedro aumentan en 3 cm, entonces la diagonal aumenta en 4 cm. Calcule el perı́metro del
rectángulo inicial.
19
23
rectángulo inicial
rectángulo final
A) 38 cm
B) 52 cm
C) 50 cm
3
D) 54 cm
E) 48 cm
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
13. La mediana de una cantidad par de números se determina de la siguiente forma: se ordena
los números de menor a mayor, y la mediana se define como la media de los números que
aparecen en las posiciones centrales. Por ejemplo, la mediana de los números 6, 2, 5, 2, 1, 4 es
3 porque al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1, 2, 2, 4, 5, 6 y la media de
los números que aparecen en las posiciones centrales es 2+4
2 = 3.
Un niño hizo una encuesta a 6 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántas personas
viven en tu casa? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes:
3, 3, 7, 9, n, 3.
Luego, el niño calculó la mediana de los 6 números. ¿Cuál de las siguientes alternativas no
es un posible valor de la mediana?
A) 3,5
B) 4
C) 4,5
D) 5
E) 5,5
14. Una zapaterı́a usa la siguiente fórmula para determinar la longitud L de un zapato según la
talla t:
L(t) = at + b,
donde a y b son constantes. Se sabe que la talla 34 corresponde a una longitud de 21,5 cm
y la talla 44 corresponde a una longitud de 27,5 cm, es decir, se cumple que L(34) = 21, 5 y
L(44) = 27, 5, respectivamente. ¿Qué longitud corresponde a la talla 38?
A) 23,7 cm
B) 24,2 cm
C) 25,1 cm
D) 24,3 cm
E) 23,9 cm
15. Luego de una encuesta a los alumnos de educación secundaria de un colegio acerca de su
deporte favorito se obtuvo la siguiente información:
Fútbol
Vóley
Básquet
Tenis
Número de alumnos
100
60
∗
∗
Porcentaje
∗
∗
20 %
16 %
Los asteriscos denotan información oculta. ¿Para cuántos alumnos su deporte favorito es el
básquet?
A) 50
B) 40
C) 65
4
D) 62
E) 55
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
16. En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene
longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos que tienen longitud 7 cm.
7
2
7
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
A) 11 cm
B) 10 cm
√
E) 6 2 cm
√
D) 7 2 cm
C) 14 cm
17. Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente
manera: en su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o
derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer
salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos saltos,
como mı́nimo, debe realizar la rana para llegar al punto 11?
-5
A) 3
0
5
B) 4
10
C) 5
15
D) 6
E) 7
18. En cada casilla del siguiente tablero se va a escribir un número entero positivo (algunas casillas
ya tienen escrito un número) de tal forma que cada número que no está en la fila inferior sea
igual al producto de los dos números que están debajo de él. Si los 10 números que se van a
usar son distintos entre sı́, determine el mayor valor posible de b + 2d.
4320
a
A) 11
B) 13
b
c
C) 15
5
d
D) 12
E) 10
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
19. Cada una de las cuatro circunferencias mostradas tiene radio 1 cm y es tangente a uno o
dos lados del triángulo. Además, tres circunferencias son tangentes entre sı́ y una de las
circunferencias es tangente a las otras tres. Calcule el área del triángulo.
√
A) 12 3 cm2
√
B) 9 + 6 3 cm2
C) 18 cm2
√
D) 15 + 3 3 cm2
√
E) 12 + 9 3 cm2
20. Determine de cuántas formas se pueden ordenar los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en las
casillas de la siguiente fila, de tal forma que la suma de cualesquiera dos números adyacentes
sea mayor o igual que 11.
4
A) 12
B) 6
C) 3
D) 2
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
6
E) 1
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 3
12 de julio de 2017
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres que has
terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio. La pruebas serán colgadas
en la web de la ONEM.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Karen y Lucı́a fueron a comprar útiles escolares para sus hijos. Karen compró 2 lapiceros y
4 cuadernos, mientras que Lucı́a compró 6 lapiceros y 12 cuadernos. Si Karen pagó 19 soles,
¿cuánto pagó Lucı́a?
A) 37 soles
B) 48 soles
C) 57 soles
D) 38 soles
E) 76 soles
2. Uno de los salones de la I. E. San Carlos de Puno tiene sus carpetas ordenadas en 4 columnas,
donde cada columna tiene n carpetas. Luego de retirar una carpeta, las que quedan se pueden
ordenar en 5 columnas, donde cada columna tiene n − 2 carpetas. ¿Cuántas carpetas habı́a
al inicio?
A) 35
B) 42
C) 40
D) 44
E) 36
3. Una vela de 24 cm se consume 6 cm por hora, a rapidez constante. ¿En cuánto tiempo se
consume la tercera parte de la vela?
A) 1 hora
D) 1 hora y 40 minutos
B) 1 hora y 20 minutos
C) 1 hora y 30 minutos
E) 1 hora y 45 minutos
4. En una granja hay vacas, cerdos y pollos. El número de vacas es al número de cerdos como 2
es a 3 y el número de cerdos es al número de pollos como 4 es a 15. Luego, podemos asegurar
que el número total de animales de la granja es:
A) múltiplo de 4
D) múltiplo de 7
B) múltiplo de 13
1
C) múltiplo de 20
E) múltiplo de 2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
5. A las 6:00 am el depósito de agua de una familia estaba lleno. A las 2:00 pm la familia ya
habı́a usado el 40 % del contenido del depósito, luego, entre las 2:00 pm y 11:00 pm usaron
2
de lo que quedaba a las 2:00 pm. Si a las 11:00 pm aún quedaban 96 litros en el depósito,
3
¿cuántos litros habı́a a las 6:00 am?
A) 480
B) 280
C) 960
D) 576
E) 450
6. Hilda observó un cóndor en el Cañón del Colca, el cual estaba volando en lı́nea recta. Al inicio
Hilda observó que el cóndor estaba a 500 metros de altura y después de 10 segundos estaba
a 480 metros de altura. ¿Después de cuántos segundos, desde que Hilda empezó a observar al
cóndor, éste estaba a 420 metros de altura?
A) 45
B) 30
C) 60
D) 40
E) 35
7. Se tiene un cuadrado de papel 16 cm2 de área. Al trazar las dos diagonales del cuadrado se
obtiene cuatro triángulos:
Si el perı́metro de cada triángulo es p cm, determine en qué intervalo se encuentra p:
A) 6 < p < 7
B) 7 < p < 8
C) 8 < p < 9
D) 9 < p < 10
E) 10 < p < 11
8. Andrea va a viajar a Ecuador para lo cual necesita cambiar algunos soles por dólares. En
el Banco Independencia 1 dólar cuesta 3,26 soles y en el Banco Confianza 1 dólar cuesta
3,28 soles. En el Banco Independencia te cobran 15 soles de comisión por cualquier cambio
de moneda, y en el Banco Confianza no cobran comisión. Andrea fue el dı́a lunes al Banco
Independencia y regresó con 100 dólares; el dı́a martes fue al Banco Confianza y también
regresó con 100 dólares. ¿Cuántos soles en total gastó Andrea para obtener los 200 dólares?
A) 669
B) 654
C) 677
D) 684
E) 665
9. En una fábrica de panetones, 5 máquinas envasan 7200 cajas en 6 horas. ¿Cuántas máquinas
más se debe comprar para que, junto a las anteriores, puedan envasar 15360 cajas en 8 horas?
Nota: Considere que todas las máquinas trabajan a la misma rapidez.
A) 6
B) 5
C) 4
2
D) 3
E) 2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
10. En la I. E. Illathupa de Huánuco solo se atiende a estudiantes del nivel secundario y las
cantidades por grado se muestran en la siguiente tabla:
N◦ estudiantes
347
268
230
251
244
Grado
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
Un grupo de estudiantes quiere hacer una encuesta a todos los estudiantes de la I. E., pero al
ver que son muchos, decidieron escoger una muestra representativa de 210 estudiantes y hacer
la encuesta solo con ellos. En dicha muestra las cantidades de estudiantes por grados deben
ser proporcionales a las cantidades que hay por grado en toda la I. E. ¿Cuántos estudiantes
de segundo grado debe haber en dicha muestra?
A) 21
B) 42
C) 54
D) 66
E) 78
11. El ı́ndice de un rectángulo se define como el cociente de su lado mayor entre su lado menor.
Ası́, por ejemplo, si un rectángulo tiene 3 cm de largo y 2 cm de ancho, su ı́ndice es 3÷2 = 1, 5.
En las imprentas trabajan con varios tamaños de papeles, uno de los más usados es el tamaño
A4. Si a una hoja tamaño A4 se le hace un corte a la mitad (uniendo los puntos medios de
sus lados mayores) se obtiene dos hojas de tamaño A5.
A4
A5
Una propiedad interesante es que una hoja de tamaño A4 tiene el mismo ı́ndice que una hoja
tamaño A5. Calcule, aproximadamente, dicho ı́ndice.
A) 2
B) 1,41
C) 1,5
D) 1,35
E) 1,63
12. En una obra teatral, realizada en el Teatro Municipal de Arequipa, los niños pagan S/ 8 y
los adultos S/ 25. Si en total se recaudó S/ 942 y se vendieron más boletos de adultos que de
niños, ¿cuántos boletos se vendieron en total?
A) 71
B) 37
C) 54
3
D) 58
E) 61
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
13. Sean m y n números enteros. ¿En cuál o cuáles de los siguientes casos se puede asegurar que
|m| + n = |m + n|?
I. Cuando m > 0.
II. Cuando n > 0.
III. Cuando m + n > 0.
A) solo I
B) solo II
C) I y II
D) I y III
E) en ningún caso
14. Calcule la probabilidad de que al lanzar tres dados se obtenga tres números distintos.
Nota: Considere que cada dado tiene en sus caras los números del 1 al 6.
5
2
1
4
A)
B)
C)
D)
9
3
2
9
E)
3
4
15. El sistema de puntuación Elo es un método matemático para calcular la habilidad relativa
de los jugadores de ajedrez. De esta forma cada ajedrecista tiene una puntuación Elo que va
cambiando en el tiempo, según los resultados que obtiene al enfrentarse a otros jugadores. La
diferencia de la puntuación Elo entre dos jugadores determina una probabilidad estimada de
puntuación entre ellos, llamada puntuación esperada. Si el jugador A tiene una puntuación
Elo RA y el jugador B tiene una puntuación Elo RB , la fórmula exacta de la puntuación
esperada del jugador A al enfrentarse a B es:
1
.
1 + 10(RB −RA )/400
Actualmente, los tres ajedrecistas peruanos con mayor puntuación Elo son los siguientes:
Ajedrecista
Julio Granda
Emilio Córdova
Jorge Cori
Puntuación Elo
2656
2643
2630
Usando la fórmula anterior, podemos determinar que la puntuación esperada de Julio Granda
al enfrentarse a Emilio Cordova es
1
,
1 + 10(2643−2656)/400
que es aproximadamente igual a 0,519. Calcule, aproximadamente, la puntuación esperada de
Jorge Cori al enfrentarse a Emilio Córdova.
A) 0,519
B) 0,423
C) 0,481
4
D) 0,416
E) 0,459
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
16. Triangular un polı́gono convexo de n lados consiste en trazar algunas diagonales que no se
cortan dentro del polı́gono, de tal forma que el polı́gono quede dividido en triángulos. Además,
sea Tn el número de formas en que se puede triangular un polı́gono regular de n lados.
Para n = 3, el polı́gono es un triángulo y no es necesario trazar diagonales para triangularlo,
o sea tenemos que T3 = 1. Para n = 4, el polı́gono es un cuadrado y tenemos que T4 = 2.
Para n = 5, el polı́gono es un pentágono y tenemos que T5 = 5.
n=3
n=4
n=5
Determine el valor de T6 .
A) 18
B) 9
C) 8
D) 14
E) 7
17. En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene
longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos de longitudes 5 cm y 9 cm.
9
2
5
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
A) 11 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
√
D) 7 2 cm
√
E) 6 2 cm
18. Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente
manera: en su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o
derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer
salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos saltos,
como mı́nimo, debe realizar la rana para llegar al punto 12?
-5
A) 8
0
5
B) 9
C) 5
5
10
15
D) 6
E) 7
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
19. Las cuatro circunferencias mostradas tienen igual radio y cada una es tangente a uno o dos
lados del triángulo; cada circunferencia es tangente al segmento que está dentro del triángulo
ABC y además, la circunferencia central inferior es tangente a las circunferencias vecinas. Si
AC = 12 cm, calcule el área del triángulo ABC.
B
A
√
A) 24 2 cm2
√
B) 18 3 cm2
C
C) 30 cm2
√
D) 7 2 cm2
E) 36 cm2
20. Determine cuántos números de 6 dı́gitos cumplen que cada dı́gito pertenece al conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6} (está permitido repetir dı́gitos) y además la suma de cualesquiera dos dı́gitos adyacentes es múltiplo de 2 o de 3.
Nota: Algunos números de 6 dı́gitos que cumplen las condiciones requeridas son 111112,
153154 y 666666.
A) 36 × 24
B) 34 × 25
C) 212
D) 36 × 23
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
6
E) 3 × 211
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Segunda Fase - Nivel 1
29 de agosto de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Ocho amigos fueron al cine. Ellos pagaron en total 78 soles por sus entradas, incluyendo 2
gaseosas. Si una entrada al cine cuesta lo mismo que 3 gaseosas, ¿cuántos soles cuesta una
entrada al cine?
2. Un niño escribió en su cuaderno todos los números naturales desde el 1 al 200, de la siguiente
forma:
1, 2, 3, 4, . . . , 200.
Luego, borró cada número par y en su lugar escribió la mitad de dicho número. Al final de este
proceso, en el cuaderno del niño hay 200 números, pero algunos están repetidos. ¿Cuántos
números diferentes hay en el cuaderno del niño?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
3. La fórmula que utiliza una fábrica para elaborar el color amatista es: 50 % de pintura azul,
30 % de pintura roja y 20 % de pintura blanca. Si en el almacén de la fábrica hay 300 litros
de pintura azul, 210 litros de pintura de roja y 100 litros de pintura blanca, ¿como máximo
cuántos litros del color amatista se puede elaborar?
4. Sea x un número entero positivo. La distancia en la recta numérica entre los puntos que
representan a los números −2 y x, es igual a la mitad de la distancia entre los puntos que
representan a los números 2 y (x − 14). Calcule la suma de los dı́gitos del número x3 .
5. Luis y Roberto están trotando a lo largo de una pista circular que tiene una longitud de 400
metros. Las velocidades de Luis y Roberto son 130 metros por minuto y 110 metros por minuto, respectivamente. Si Luis y Roberto partieron del mismo lugar y ambos están recorriendo
la pista en sentido horario, ¿dentro de cuántos minutos se cruzarán nuevamente?
6. Paulo dibujó un triángulo acutángulo ABC y en el lado AC ubicó los puntos D y E, de tal
forma que los puntos A, D, E, C aparecen en ese orden. Luego, trazó los segmentos BD y BE.
Si los triángulos ABD, BDE y BEC son isósceles, y además, ∠BDA = 80◦ , determine la
medida de ∠ABC.
Nota: Recuerde que un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus tres ángulos interiores
agudos y un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales.
7. La suma de dos divisores positivos del número 455 es 400, calcule la diferencia de esos divisores.
8. Decimos que dos enteros positivos son amigos si su diferencia es un divisor de su suma. Por
ejemplo, los números 3 y 5 son amigos porque 2 es un divisor de 8.
Se tiene cuatro enteros positivos tales que cualesquiera dos de ellos son amigos. ¿Cuál es el
menor valor que puede tomar la suma de esos cuatro números?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
9. El rectángulo de la izquierda, que tiene 16 cm de base y 9 cm de altura, está dividido en tres
piezas A, B y C. Con las mismas piezas se armó el cuadrado de la derecha.
A
B
C
A
9 cm
B
C
16 cm
Determine la suma de los perı́metros de las piezas A, B y C, en cm.
10. Al inicio, en cada casilla de un tablero de 22 casillas está escrito el número 0. Se van a realizar
22 operaciones, una a continuación de la otra: En la operación 1 se escoge una casilla y se
suma 1 al número de esa casilla, en la operación 2 se escogen 2 casillas adyacentes y se suma
1 a los números de esas 2 casillas, en la operación 3 se escogen 3 casillas adyacentes y se suma
1 a los números de esas 3 casillas, en la operación 4 se escogen 4 casillas adyacentes y se suma
1 a los números de esas 4 casillas, ası́ sucesivamente hasta que en la operación 22 se suma
1 a los números de todas las casillas. Luego de realizar las 22 operaciones, ¿como máximo
cuántos números impares puede haber en las casillas?
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Segunda Fase - Nivel 2
29 de agosto de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Cierto juguete cuesta 80 soles. Se sabe que por fiestas de fin de año, el precio subirá 25 % y
una vez que éstas hayan pasado, el precio baja 20 %. ¿Cuál es el precio final de dicho juguete
(en soles)?
2. Sea ABCD un cuadrado cuya diagonal AC mide x cm. Si el área de ABCD es (x + 12) cm2 ,
calcule el valor de x.
3. Sea f (x) = ax2 + bx + c una función cuadrática tal que f (1) = 2, f (2) = 3 y f (3) = 1. Calcule
el valor de c2 .
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
4. Inés y Tania están trotando a lo largo de una pista circular que tiene una longitud de 400
metros. Las velocidades de Inés y Tania son 110 metros por minuto y 90 metros por minuto,
respectivamente. Si Inés y Tania partieron del mismo punto P y ambas están recorriendo
la pista en sentido horario, ¿dentro de cuántos minutos ocurrirá por primera vez que ambas
están en el punto Q (diametralmente opuesto a P )?
Q
P
a+b
_
= 0, b a . Calcule el producto ab.
15
_
Nota: Tenga en cuenta que 0, b a = 0, baaa . . ., es decir, el dı́gito a se repite infinitas veces.
5. Sean a y b dı́gitos mayores que 0 tales que
6. Un tablero de 7 × 7 puede ser cubierto completamente con m fichas de 2 × 2 y n fichas de
1 × 3, sin que las fichas se superpongan. Determine el mayor valor posible de m.
Nota: Las fichas se pueden girar.
7. Sea R1 la región interior al paralelogramo que tiene vértices (1, 0), (0, 6), (4, 9) y (5, 3). Sea
R2 la región que se obtiene al trasladar R1 tres unidades a la derecha. Calcule el área de la
intersección de las regiones R1 y R2 .
8. Decimos que dos enteros positivos son amigos si su diferencia es un divisor de su suma. Por
ejemplo, los números 3 y 5 son amigos porque 2 es un divisor de 8.
Se tiene cinco enteros positivos distintos tales que cualesquiera dos de ellos son amigos. ¿Cuál
es el menor valor que puede tomar la suma de esos cinco números?
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
9. Sea M el mayor número real tal que la desigualdad:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca + M (a − b)2
se cumple para todos los números reales a, b y c. Calcule el valor de 120M .
10. Determine de cuántas formas se puede dividir un tablero de 8 × 8 en 5 rectángulos (formados
por uno o más cuadraditos del tablero) de tal forma que haya exactamente un rectángulo
que tenga sus 4 lados completamente dentro del tablero. Tenga en cuenta que un cuadrado
también es un rectángulo.
Ejemplo: A continuación se muestra una forma de dividir del tablero que cumple la condición
requerida.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Segunda Fase - Nivel 3
29 de agosto de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En el interior de un cuadrado ABCD de lado 15 hay dos puntos E y F tales que BC, AD y
EF son paralelos. Si el área del hexágono AEBCF D representa el 60 % del área del cuadrado,
calcule la longitud del segmento EF .
B
C
E
F
A
D
2. Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sea B un subconjunto de A tal que la suma
de sus elementos es 25. ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener B?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
3. Un niño escribió en su cuaderno todos los números naturales desde el 1 al 180, de la siguiente
forma:
1, 2, 3, 4, . . . , 180.
Luego, borró cada número múltiplo de 3 y en su lugar escribió la tercera de dicho número. Al
final de este proceso, en el cuaderno del niño hay 180 números, pero algunos están repetidos.
¿Cuántos números diferentes hay en el cuaderno del niño?
4. Las edades de tres hermanos y su padre forman una progresión geométrica. Si la suma de las
edades del hermano menor y el padre es 70, halle la edad del hermano mayor.
Aclaración: En una progresión geométrica, la razón no necesariamente es un número entero.
4
Por ejemplo, los números 9, 12 y 16 forman una progresión geométrica de razón .
3
5. Sea α un ángulo agudo tal que cos4 α + 2 tan2 α = 3, calcule el valor de 6(sen2 α + tan2 α).
6. Se tiene un polı́gono regular de 10 lados, donde cada uno tiene longitud 1. Se quiere pintar
tres de sus vértices: uno de rojo, uno de azul y uno verde, de tal modo que la distancia entre
el vértice rojo y el vértice azul sea mayor que 1, y la distancia entre el vértice azul y el vértice
verde sea mayor que 1 ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
7. Suponga que k es un número real para el cual la gráfica de la función f (x) = x4 + x3 − kx
a
tiene un eje de simetrı́a vertical. Se sabe que k se puede expresar como , donde a y b son
b
enteros positivos coprimos. Determine el valor de a + b.
Aclaración: Decimos que cierta gráfica tiene un eje de simetrı́a vertical si existe una recta
vertical (es decir, paralela al eje y) tal que la gráfica es simétrica con respecto a esa recta.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
8. Mario va a escoger algunas casillas de un tablero de 8 × 9 y en cada casilla escogida él va
a trazar una o dos diagonales, de tal forma que en todo el tablero no haya dos diagonales
que compartan un extremo (tenga en cuenta que cada diagonal trazada tiene dos extremos).
Determine cuántas diagonales, como máximo, puede trazar Mario en todo el tablero.
9. Un entero positivo N tiene exactamente 80 divisores positivos, que ordenados de menor a
mayor son:
1 = d1 < d2 < d3 < · · · < d79 < d80 = N.
Determine cuántos divisores positivos, como mı́nimo, puede tener el número d73 .
10. Sea D un punto del lado AB de un triángulo ABC tal que AD = 3DB y AC = BC + 2BD.
Si ∠BAC = 40◦ , determine la medida del ángulo ∠ADC.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Tercera Fase - Nivel 1
29 de setiembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Todos los enteros positivos se ordenan en un tablero de 3 columnas, de la siguiente forma:
1
2
3
6
5
4
7
8
9
12 11 10
13
..
.
14
..
.
15
..
.
Si seguimos el patrón, ¿qué número estará inmediatamente arriba del número 240 ?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
2. ¿Cuál es el menor entero positivo tal que la suma de los cuadrados de sus dı́gitos es 24 ?
3. En la recta L estaban marcados con lápiz los tres puntos A, B y C (no necesariamente en
ese orden). Pedro marcó el punto medio P del segmento AC, Tatiana marcó el punto medio
T del segmento AB y Rosa marcó el punto medio R del segmento BC. Después se borraron
los puntos A, B y C, y quedó lo siguiente:
2 cm
P
5 cm
T
R
L
Donde se indica que la distancia entre los puntos P y T es 2 cm, y la distancia entre los
puntos T y R es 5 cm. ¿Cuál era la distancia de los puntos A y B, en cm?
4. Rodrigo, Josué y Elı́as van a viajar en bus. Cada pasajero tiene permitido llevar hasta cierta
cantidad de kilos de equipaje y tiene que realizar un pago fijo por cada kilo adicional. El
equipaje de Rodrigo pesa 60 kilos, y los equipajes de Josué y Elı́as pesan juntos 65 kilos.
Si Rodrigo, Josué y Elı́as pagaron S/ 77, S/ 11 y S/ 22, respectivamente, por el exceso de
equipaje, determine cuántos kilos pesó el equipaje de Elı́as.
5. Determine el menor entero positivo N que tiene la siguiente propiedad: Al multiplicar N por
45 obtenemos un número tal que cada uno de sus dı́gitos está en el conjunto {5, 7}.
6. ¿Cuántos enteros positivos de 8 dı́gitos o menos cumplen las siguientes condiciones: el dı́gito
1 aparece exactamente dos veces, el dı́gito 3 aparece exactamente dos veces y además, cada
dı́gito es menor que 4?
Ejemplos: Algunos números que cumplen las condiciones requeridas son 10313, 212133 y
13132200.
7. El máximo común divisor de los números a y b es 12. Calcule la suma de todos los valores
que puede tomar el máximo común divisor de los números a2 y b3 .
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
8. Sea ABCD un cuadrado, E es el punto medio de AD, F es el punto medio de EC y G es el
punto medio de AF .
B
C
F
G
A
E
D
Si el área del cuadrilátero sombreado es 112 cm2 , determine cuántos cm mide el segmento AD.
9. Definimos la sucesión x1 , x2 , x3 , . . . de la siguiente manera: x1 = 27 , x2 = 37 y xn+2 = xn ·xn+1 ,
para todo entero positivo n. Determine el resto de dividir x1000 entre 49.
10. En un tablero de 5 × 5, tres casillas distintas forman una terna compatible si desde cada una
de ellas se puede llegar a cualquiera de las otras dos mediante uno o dos movimientos del
caballo (de ajedrez). Por ejemplo, las casillas etiquetadas con las letras X, Y , Z forman una
terna compatible porque desde X podemos ir a Y mediante un movimiento del caballo, desde
Y podemos ir a Z mediante un movimiento del caballo, y desde Z podemos ir a X mediante
dos movimientos del caballo.
Y
X
Z
Cada una de las 25 casillas debe ser pintada con uno de k colores disponibles, de manera que
cualesquiera tres casillas distintas que formen una terna compatible estén pintadas con tres
colores distintos. ¿Cuál es el menor valor de k para el cual esto es posible?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Tercera Fase - Nivel 2
29 de setiembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Al inicio del dı́a un tanque tenı́a 8000 litros de agua. Con el 60 % del contenido del tanque
se pudo regar el 75 % de la superficie de un campo de cultivo. Luego de haber regado toda la
superficie del campo de cultivo, ¿cuántos litros de agua quedan en el tanque?
2. ¿Cuál es el menor entero positivo tal que la suma de los cuadrados de sus dı́gitos es 23 ?
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
3. Sea k un número real positivo. La gráfica de la función f (x) = 2x2 − kx + 16 intersecta a los
ejes cartesianos en los puntos A, B y C. Determine el valor de k, si se sabe que el área del
triángulo ABC es 16.
Aclaración: los ejes cartesianos también son conocidos como eje x (horizontal) y eje y (vertical).
4. En una bolsa negra hay 9 tarjetas que tienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¿Cuántas
tarjetas como mı́nimo hay que sacar al azar y sin ver, para tener la seguridad de que el producto de los números de las tarjetas que sacamos es múltiplo de 6 ?
5. En un cuadrilátero ABCD se cumple que ∠BAD = 60◦ , ∠ABC = 100◦ , AB = BC y
AD = BC + CD. Calcule la medida del ángulo ∠ACD.
6. Halle el menor valor posible de la expresión
1
81
x+
· x+
,
x
x
donde x es un número real positivo.
7. Un dominó es un rectángulo de 1 × 2 o de 2 × 1. En un tablero de 6 × 7 se han ubicado
4 dominós (de color gris), como se muestra en la figura. ¿Como máximo cuántos dominós
adicionales se pueden ubicar, si los dominós no se pueden superponer ni salir del tablero?
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
8. Halle el menor entero positivo N para el cual existen al menos dos pares ordenados (x, y) de
números enteros que satisfacen la condición 1 < x ≤ y, y además
(x2 − 1)(y 2 − 1) = N.
9. Consideremos el conjunto de todos los cuadriláteros convexos ABCD que satisfacen la condición AB + BC + CD = 20. Se sabe que en ese conjunto hay al menos un cuadrilátero de
área máxima y dicha área vale S. Encuentre el número entero m para el cual se cumple que
m ≤ S < m + 1.
10. Trescientos estudiantes participaron en una olimpiada matemática. Cualesquiera dos estudiantes se conocen o no se conocen, y además, no hay tres estudiantes que se conozcan entre
sı́. Cada estudiante conoce como máximo a otros n estudiantes y para cada m (con 1 ≤ m ≤ n)
existe al menos un estudiante que conoce a exactamente otros m estudiantes. Determine el
mayor valor de n para el cual esto es posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Tercera Fase - Nivel 3
29 de setiembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Hay una enfermedad que está atacando a los habitantes de un pueblo. Hace un mes, el 20 %
de los habitantes tenı́a la enfermedad y el 80 % restante gozaba de buena salud. En el transcurso de este último mes, el 20 % de los habitantes que estaban enfermos se curaron y el 20 %
de los habitantes que gozaban de buena salud se enfermaron. Si actualmente, el n % de los
habitantes goza de buena salud, determine el valor de n.
2. Los cuatro equipos de fútbol del Torneo Descentralizado Peruano: Ayacucho FC, FBC Melgar,
Cantolao y UTC participaron de un cuadrangular, es decir, cualesquiera dos equipos se enfrentaron exactamente una vez. Ayacucho FC y FBC Melgar terminaron el cuadrangular con
4 puntos cada uno, Cantolao terminó con 7 puntos y UTC terminó con x puntos. ¿Cuántos
valores puede tomar x?
Aclaración: Tenga en cuenta que en el fútbol se otorga 3 puntos al ganador de un partido, 0
puntos al perdedor; y 1 punto a cada equipo en caso de empate.
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
3. La siguiente figura está formada por 8 triángulos iguales. Cada triángulo se va a pintar de
rojo, verde o azul, de tal forma que cualesquiera dos triángulos que tienen un lado en común
deben ser pintados de colores diferentes. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?
4. Un tetraedro ABCD tiene seis aristas cuyas longitudes, en algún orden, son 4, 6, 9, 13, 18 y
21. Si la arista AB mide 21, ¿cuánto mide la arista CD?
5. Para cada entero positivo n, sea an el menor entero positivo tal que la suma de los cuadrados
de sus dı́gitos es n. Por ejemplo, a1 = 1, a2 = 11, a3 = 111, a4 = 2 y a5 = 12. Sea k un entero
positivo y d un dı́gito tal que ak = 13d6, determine el valor de k.
6. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BD. Sea H el ortocentro del triángulo
ABC (punto de intersección de las alturas). Si AD = 9, DC = 50 y ∠DHC = 2∠DHA,
calcule el área del triángulo ABC.
7. Halle el menor valor posible de la expresión
1
81
x+ +1 · x+
+9 ,
x
x
donde x es un número real positivo.
8. Halle el menor entero positivo N para el cual existen al menos dos ternas ordenadas (x, y, z)
de números enteros que satisfacen la condición 1 < x ≤ y ≤ z, y además
(x2 − 1)(y 2 − 1)(z 2 − 1) = N.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
9. Lanzamos un dado varias veces y sumamos los resultados. Nos detenemos justo después de
obtener un número mayor que 2017. Los posibles números en los que nos podemos detener
son 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 o 2023. ¿Cuál de esos seis números tiene mayor probabilidad
de ser el número en el que nos detenemos?
Aclaración: Un dado tiene en sus caras los números del 1 al 6, y al lanzarlo cada número tiene
igual probabilidad de salir.
10. Encuentre el número entero m para el cual se cumple lo siguiente:
m≤
33 41 49
2009 2017
×
×
× ··· ×
×
< m + 1.
29 37 45
2005 2013
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
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XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Cuarta Fase - Nivel 1
12 de noviembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Cada vértice de un cubo se pinta de rojo o de azul. Luego, cada cara del cubo se pinta de
rojo, azul o morado de acuerdo a las siguientes reglas: se pinta de rojo si tiene más vértices
rojos que azules, se pinta de azul si tiene más vértices azules que rojos o se pinta de morado
si tiene 2 vértices de cada color.
a) ¿Será posible que al final dicho cubo tenga 3 caras rojas y 3 caras azules?
b) ¿Será posible que al final dicho cubo tenga 5 caras moradas y una cara roja?
2. Un conjunto formado por números enteros positivos es llamado super-divisible si la suma de
sus elementos es divisible por cada uno de los elementos del conjunto. Determine cuántos
elementos como mı́nimo puede tener un conjunto super-divisible que contiene a los números
3, 14 y 21.
Aclaración: Tenga en cuenta que un conjunto no tiene elementos repetidos.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
3. Sean D y E puntos de los lados AC y BC de un triángulo ABC, respectivamente, tales que
AB = BD = DE = EC. Si los triángulos ABD y DEC tienen igual área, halle la medida
del ángulo ∠DBC.
4. Se tiene un tablero de 9 × 9 formado por 81 cuadraditos de lado 1 y suponga que los 100
vértices de esos cuadraditos inicialmente son todos blancos. Una operación consiste en elegir
cuatro vértices que sean los vértices de un rectángulo de lados paralelos a los del tablero y, sin
importar el color de esos 4 vértices, pintarlos de negro. ¿Como mı́nimo cuántas operaciones
se puede hacer para que no haya dos vértices blancos cuya distancia sea 1?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Cuarta Fase - Nivel 2
12 de noviembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Un P -pentaminó es una ficha formada por 5 casillas de alguna de las siguientes formas:
Un tablero de 6 × 6 fue cubierto con siete P -pentaminós y quedó una casilla vacı́a en una de
las diagonales. ¿En cuántas posiciones distintas puede quedar dicha casilla vacı́a?
Aclaración: Está permitido rotar las fichas.
2. Sea N0 el conjunto de los enteros no negativos, es decir N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}. Sea f : N0 → N0
una función tal que
f (f (x)) + f (xf (y)) = yf (x) + x,
para todo los enteros no negativos x, y.
a) Pruebe que f (0) = 0 y f (1) = 1.
b) Pruebe que f (2017) es un número primo.
Aclaración: 2017 es un número primo.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, M es el punto medio del lado AC. Sea C1 la
circunferencia exinscrita del triángulo ABM , opuesta al vértice B. Sea C2 la circunferencia
exinscrita del triángulo M BC, opuesta al vértice B. Pruebe que existe una recta perpendicular
a AC que es tangente a C1 y a C2 .
B
A
C
M
C2
C1
4. Christian tiene n tarjetas y n cajas dispuestas en fila. En cada tarjeta Christian escribió un
número entero entre 2 y 1000000 (los números no necesariamente son diferentes), luego, colocó
una tarjeta en cada caja, sin que Raúl vea los números. Hay dos tipos de operaciones que
puede hacer Raúl:
i) Raúl escoge un número primo p, luego, Christian señala con el dedo ı́ndice las cajas que
contienen un número múltiplo de p y mayor que p.
ii) Raúl escoge un número entero d > 2 y selecciona un subconjunto de las n cajas, luego,
Christian le dice a Raúl en cuántas de estas cajas seleccionadas hay un número que posee
exactamente d divisores positivos.
¿Es cierto que Raúl siempre puede determinar con seguridad cuántos de los n números de las
tarjetas son primos, realizando menos de 20 operaciones?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Cuarta Fase - Nivel 3
12 de noviembre de 2017
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Una sucesión infinita a1 , a2 , a3 , . . . es llamada generadora si: a1 es 1 o 2, y para todo n ≥ 1,
an+1 se obtiene a partir de an colocando un dı́gito 1 a la izquierda o un dı́gito 2 a la derecha.
Pruebe que existe una sucesión infinita generadora tal que ninguno de sus términos es múltiplo
de 7.
2. Cada casilla de un tablero de 7 × 8 es pintada de blanco o negro, de tal modo que cada
subtablero de 3 × 3 tenga al menos dos casillas negras que son vecinas. ¿Cuál es la menor
cantidad de casillas negras que puede haber en todo el tablero?
Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
3. La sucesión infinita r1 , r2 , r3 , . . . de números racionales positivos cumple que
r1 · r2 · · · rk = r1 + r2 + · · · + rk ,
para todo entero positivo k. Pruebe que
todo entero n ≥ 3.
1
3
− es el cuadrado de un número racional, para
rn
4
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
4. Sean A, B, C y D puntos en una recta ` en ese orden, tales que AB = BC y AC = CD. Sea ω
una circunferencia que pasa por B y D. Una recta que pasa por A corta a ω en los puntos P
y Q, con Q entre A y P . Sea M el punto medio de P D y sea R el simétrico de Q con respecto
a la recta `. Suponga que los segmentos P R y M B se intersectan en el punto N , pruebe que
los puntos P , M , C y N pertenecen a una misma circunferencia.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 1
11 de julio de 2018
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres
que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Escribe tus datos (nombre, grado, etc) y la hora de entrega con lapicero. Te recomendamos
que marques tus respuestas con lápiz.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. La familia Rojas pagó S/ 120 por cuatro platos de pachamanca. Cuando regresaron al mismo restaurante una semana después, decidieron pedir cinco platos de pachamanca. ¿Cuánto
pagaron por los cinco platos?
A) S/ 120
B) S/ 140
C) S/ 150
D) S/ 200
E) S/ 180
2. Durante cierto dı́a, a partir de las 6:00 a.m., la temperatura de la ciudad de Ayaviri se
incrementó a razón de 2 ◦ C por hora. Si a las 11:00 a.m. la temperatura fue 7 ◦ C, ¿cuál fue
la temperatura a las 6:00 a.m.?
A) −1 ◦ C
B) 3 ◦ C
C) −3 ◦ C
D) 2 ◦ C
E) 0 ◦ C
3. Con S/2 puedo comprar 3 manzanas o 4 naranjas. ¿Cuánto tengo que pagar para comprar 12
manzanas y 12 naranjas?
A) S/12
B) S/14
C) S/16
D) S/18
E) S/20
4. Cierto dı́a en la ciudad de Iquitos llovió desde las 2:30 p.m. hasta las 8:30 p.m. ¿Qué porcentaje
del dı́a llovió?
A) 33 %
B) 18 %
C) 20 %
1
D) 25 %
E) 50 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
5. Darı́o dibujó un triángulo y al medir sus ángulos interiores, con la ayuda de un transportador,
se dio cuenta que estas medidas son proporcionales a los números 2, 3 y 7. ¿Qué tipo de
triángulo dibujó Darı́o?
A) isósceles
B) acutángulo
C) obtusángulo
D) rectángulo
E) equilátero
6. Un agricultor vendió sus productos en una feria que duró 6 dı́as: de lunes a sábado. El
agricultor pagó al organizador de la feria cierta cantidad de dinero cada dı́a. De lunes a
viernes pagó lo mismo, pero el sábado tuvo que pagar el doble de lo que pagó el dı́a anterior.
Si en total el agricultor pagó 210 soles, ¿cuánto pagó el dı́a sábado?
A) 50 soles
B) 70 soles
C) 60 soles
D) 42 soles
E) 35 soles
7. Marı́a escribió un número de dos dı́gitos y luego invirtió el orden de sus dı́gitos para obtener
otro número de dos dı́gitos. Al hacer esto, el número original de Marı́a se incrementó en 45. Si
la suma de los dı́gitos del número original de Marı́a es 11, calcule el producto de estos dı́gitos.
A) 24
B) 18
C) 28
D) 10
E) 30
8. La suma de las edades de tres hermanos es 22. Si sus edades son distintas, ¿cuál de las
siguientes alternativas no puede ser la edad del hermano menor?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9. Se muestra el plano de un departamento que fue elaborado con la escala 1:120. ¿Cuál es el
área real del departamento?
Baño
Dorm. 1
5 cm
Escala 1:120
Dorm. 2
ComedorCocina
7,5 cm
A) 54 m2
B) 150 m2
C) 45 m2
2
D) 75 m2
E) 96 m2
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
10. En el primer bimestre, Eduardo rindió 5 exámenes de Matemática. En los dos primeros exámenes obtuvo la misma nota y las notas de los últimos tres exámenes fueron 13, 17 y 20.
¿Cuál fue su nota en el segundo examen si se sabe que su promedio fue 16?
A) 13,5
B) 15,5
C) 16
D) 14
E) 15
11. Un albañil tenı́a cierto número de ladrillos al iniciar una obra. El primer dı́a de trabajo
utilizó los 2/9 del total y el segundo dı́a utilizó 100 ladrillos más. Si después de esto le queda
exactamente la mitad de ladrillos que tenı́a al inicio, ¿cuántos ladrillos le quedan?
A) 180
B) 144
C) 270
D) 300
E) 225
12. En un pueblo hay 5 ganaderos y las cantidades de vacas que tienen son las siguientes:
Mario Quispe
108
César Ramos
80
Roberto Mamani
120
Juan Mendoza
125
Edwin Soto
110
El ganadero que tiene el menor número de vacas ha decidido vender todas sus vacas a los
otros ganaderos, en partes iguales. Si hace esto, ¿cuál es el ganadero que verá incrementado
su número de vacas en 16 %?
A) M. Quispe
B) C. Ramos
C) R. Mamani
D) J. Mendoza
E) E. Soto
13. En la siguiente figura se muestran tres triángulos equiláteros (T1 , T2 y T3 ) y tres puntos (X,
Y y Z):
X
Z
T2
T1
T3
Y
Determine la alternativa falsa.
A) Al rotar T2 un ángulo de 60◦ en sentido horario, con centro X, obtenemos T1 .
B) Al rotar T3 un ángulo de 60◦ en sentido antihorario, con centro Y , obtenemos T2 .
C) Al rotar T1 un ángulo de 120◦ en sentido horario, con centro Y , obtenemos T2 .
D) Al rotar T3 un ángulo de 120◦ en sentido antihorario, con centro Y , obtenemos T1 .
E) Al rotar T3 un ángulo de 60◦ en sentido horario, con centro Z, obtenemos T2 .
3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
14. Tania escogió dos números primos cuya suma es 18. Susana escogió dos números primos cuya
suma es 14. Si los cuatro números escogidos son distintos entre sı́, calcule la diferencia entre
el mayor número que escogió Susana y el menor número que escogió Tania.
A) 12
B) 9
C) 8
D) 10
E) 6
15. A continuación se muestra una pirámide de base cuadrada:
Cada cara de la pirámide (incuyendo la base) se va a pintar de un color de tal forma que
cualesquiera dos caras adyacentes estén pintadas de colores distintos. ¿Cuántos colores se
necesita como mı́nimo para que se cumpla esta condición?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
16. En el Grupo B de un mundial de fútbol participaron Colombia, Suecia, Irán y Camerún.
Luego de jugar una ronda de 6 partidos, donde cada equipo se enfrentó a cada uno de los
otros equipos exactamente una vez, la tabla de resultados quedó de la siguiente forma:
Grupo B
Primer lugar
Suecia: 9 puntos
Segundo lugar
Colombia: x puntos
Tercer lugar
Camerún: 2 puntos
Cuarto lugar
Irán: 1 punto
Determine el valor de x.
Observación: Tenga en cuenta que en el fútbol se otorga 3 puntos al ganador de un partido,
0 puntos al perdedor; y 1 punto a cada equipo en caso de empate.
A) 2
B) 3
C) 4
4
D) 5
E) 6
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 1
17. La sucesión 8, 10, 20, 22, 44, . . . se define de la siguiente forma: el primer término es 8 y
para obtener cada uno de los siguientes términos se suma 2 o se multiplica por 2, de forma
alternada. ¿Cuál es el dı́gito de las unidades del término que está en el lugar 100 ?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
18. Ordena los números del 1 al 9 en los cı́rculos (sin que haya repeticiones) de tal forma que
cada flecha signifique “mayor que” . En otras palabras, si hay una flecha que sale del número
a y va en dirección del número b, entonces a > b.
¿Cuál es la suma de los números que deben ir en los cı́rculos sombreados?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 8
E) 9
19. Pedro escogió algunos elementos del conjunto {2, 3, 7, 9, 24, 28} y Raúl se quedó con los números que sobraron. Se sabe que el producto de los números de Pedro es igual al producto de los
números de Raúl y, además, Pedro no escogió el número 7. Calcule la suma de los números
de Raúl.
A) 39
B) 34
C) 32
D) 36
E) 37
20. ¿Cuántos enteros positivos de 7 dı́gitos son múltiplos de 27 y cumplen que cada uno de sus
dı́gitos es 0 o 9?
Aclaración: Tenga en cuenta que un entero positivo no empieza con el dı́gito 0.
A) 15
B) 14
C) 18
D) 32
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 21
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 2
11 de julio de 2018
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres
que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Escribe tus datos (nombre, grado, etc) y la hora de entrega con lapicero. Te recomendamos
que marques tus respuestas con lápiz.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. El resultado final de un partido de fútbol fue 3:2. ¿Cuál de los siguientes resultados no pudo
haber sido el resultado al final del primer tiempo?
A) 3:0
B) 0:2
C) 2:1
D) 2:2
E) 2:3
2. En la carrera en la que Usain Bolt consiguió el record mundial de los 100 metros planos,
Tyson Gay quedó en segundo lugar y Asafa Powell, en tercero. Usain Bolt llegó a la meta 13
centésimas de segundo antes que Tyson Gay y éste también llegó 13 centésimas de segundo
antes que Asafa Powell. Si la marca de Asafa Powell fue 9,84 s, ¿cuál fue la marca de Usain
Bolt?
A) 9,64 s
B) 10,10 s
C) 9,38 s
D) 9,58 s
E) 9,62 s
3. El sistema de calificación de un examen de admisión, que consta de 50 preguntas, es el
siguiente:
Respuesta Correcta
+5 puntos
Respuesta Incorrecta
−1 punto
En blanco
0 puntos
Si un alumno tuvo x respuestas incorrectas y dejó en blanco 7 preguntas, la expresión de su
puntaje fue:
A) 215 − 6x
B) 250 − 12x
C) 250 − 7x
1
D) 205 − 14x
E) 215 − 12x
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
4. ¿Cuántas caras (incluyendo las bases) tiene un prisma que tiene exactamente 21 aristas?
A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
5. Se sabe que seis manzanas cuestan igual que siete naranjas. Complete la siguiente frase para
que sea verdadera: “Siete manzanas cuestan
que ocho naranjas”.
A) el doble
B) la mitad
C) más
D) menos
E) igual
6. En una reunión familiar, han servido una fuente de alfajores. Se sabe que: si cada uno come
4 alfajores, sobrarı́an 8; pero si cada uno quisiera comer 5 alfajores, faltarı́an 4. ¿Cuántas
personas se han reunido?
A) 24
B) 32
C) 12
D) 16
E) 10
7. Cierto dı́a en la ciudad de Huánuco llovió desde las 1:10 p.m. hasta las 3:34 p.m. ¿Qué
porcentaje del dı́a llovió?
A) 8 %
B) 25 %
C) 15 %
D) 10 %
E) 20 %
8. ¿Cuál de los siguientes intervalos cerrados contiene la mayor cantidad de números enteros?
Aclaración: [a, b] denota al intervalo cerrado cuyos extremos son a y b.
√
A) [2, 5]
B) [−1, π]
C) [−1, 2]
D) [0, 5]
√ √
E) [− 2, 2]
9. Amelia dibujó un triángulo rectángulo ABC, recto en A. Luego, ubicó los puntos P y Q,
como se muestra en la figura, de tal forma que AP = QC = 2 y AQ = BP = 3.
B
P
A
Q
C
¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC representa el área de la región sombreada?
A) 76 %
B) 78 %
C) 58 %
2
D) 62 %
E) 38 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
10. Ernesto tiene 5 datos: 11, 2, 1, 6 y 7. Él escogió uno de los números y lo duplicó, al hacer esto
consiguió que la mediana de los cinco datos cambie. ¿Qué número escogió Ernesto?
A) 11
B) 2
C) 1
D) 6
E) 7
11. Sofı́a escribió un número de dos dı́gitos y luego insertó un dı́gito d en la parte central, con lo
cual obtuvo un número de tres dı́gitos. Si al hacer esto el número original aumentó en 340,
determine el valor de d.
A) 9
B) 3
C) 7
D) 4
E) 0
12. Los puntos (2; −2) y (5; 7) pertenecen a una recta L en el plano cartesiano. ¿Cuáles de los
siguientes puntos también pertenecen a la recta L?
P (−1; −10)
A) P , Q y R
Q(7; 13)
B) Q, R y S
S(0; −8)
R(3; 0)
C) P y R
D) Q y S
E) R y S
13. Los gastos de Josué durante el mes de mayo fueron los siguientes:
Gasto (S/)
Alimentación
Transporte
650
Préstamo bancario
560
Luz
Agua
60
Teléfono e internet
90
100
40
En el mes de junio sus gastos se modificaron de la siguiente forma (con respecto al mes
anterior): alimentación se incrementó en 10 %; transporte, luz y agua se incrementaron en
5 %; y los otros gastos no se modificaron. ¿En qué porcentaje se incrementó el gasto total de
Josué?
A) 7, 5 %
B) 3, 75 %
C) 6, 5 %
3
D) 5 %
E) 8 %
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
14. En la siguiente figura se muestra un cuadrado AM BO y un hexágono regular T U M BES.
Determine el valor de n para el cual los puntos U , M , A (en ese orden) son vértices consecutivos
de un polı́gono regular de n lados.
T
S
U
A) 10
E
M
B
A
O
B) 12
C) 20
D) 16
E) 24
15. Un número natural N es llamado cuasi-divisible si al sumar 1 a cualquiera de sus dı́gitos
obtenemos un divisor de N . Por ejemplo, 102 es cuasi-divisible porque 1 + 1, 0 + 1 y 2 + 1
son divisores de 102. Determine el mayor número cuasi-divisible que consta de cuatro dı́gitos
distintos y dé como respuesta la suma de los cuadrados de sus dı́gitos.
A) 146
B) 98
C) 155
D) 243
E) 162
16. En la siguiente figura se muestra un cubo de madera, donde P , Q y R son puntos medios de
las aristas correspondientes. Un plano que pasa por los puntos P , Q y R divide al cubo de
madera en dos partes (una de las cuales es un tetraedro). ¿En qué relación están los volúmenes
de esas dos partes?
Q
R
P
A) de 1 a 15
B) de 2 a 25
C) de 1 a 47
4
D) de 1 a 24
E) de 1 a 53
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 2
17. En la pizarra están escritos 9 números naturales que forman una progresión aritmética. Se
sabe que exactamente N de esos números son pares. ¿Cuál de los siguientes números no es
un posible valor de N ?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
18. ¿A qué hora entre las 2:00 p.m. y las 2:30 p.m. se cumple que el ángulo que forman el horario
y el minutero de un reloj es exactamente 94◦ ?
11 12 1
10
11 12 1
2
9
10
3
8
9
4
7
6
B) 2:29 p.m.
3
8
5
4
7
2:00 p.m.
A) 2:26 p.m.
2
6
5
2:30 p.m.
C) 2:28 p.m.
D) 2:21 p.m.
E) 2:25 p.m.
19. Luis escogió algunos elementos del conjunto {2, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 27} y Edinson se quedó con
los números que sobraron. Se sabe que el producto de los números de Luis es igual al producto
de los números de Edinson y, además, Luis no escogió el número 8. Calcule la suma de los
números de Edinson.
A) 34
B) 35
C) 38
D) 39
E) 42
20. Franco escribió un número que consta de 10 dı́gitos distintos. Luego, subrayó cada dı́gito que
es igual a la suma de sus dos dı́gitos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). ¿Cuántos
dı́gitos como máximo puede subrayar Franco?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 3
11 de julio de 2018
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres
que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Escribe tus datos (nombre, grado, etc) y la hora de entrega con lapicero. Te recomendamos
que marques tus respuestas con lápiz.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de esta prueba por ningún medio.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Un cocinero compró el dı́a de ayer 12 kg de limón y pagó S/48. ¿Cuánto pagará hoy si quiere
comprar 20 kg y el costo del limón se incrementó en 10 %?
A) S/88
B) S/110
C) S/90
D) S/77
E) S/80
2. Carlos tiene cuatro tarjetas (llamadas P , Q, R y S) y cada una contiene un número de dos
dı́gitos:
P
Q
R
S
23
55
36
96
Carlos quiere obtener un número par de 8 dı́gitos y que sea lo mayor posible, ¿en qué orden
debe ubicar las tarjetas?
A) SQRP
B) SQP R
C) P QRS
D) QSP R
E) SP QR
3. Alex tiene 2k palitos idénticos. Con k palitos puede formar el borde de un cuadrado y con los
otros k palitos puede formar el borde de un hexágono regular. Si en ningún caso fue necesario
que Alex rompa algún palito, entonces podemos asegurar que k es múltiplo de . . .
A) 24
B) 9
C) 8
1
D) 16
E) 12
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
4. Dos ángulos interiores de un trapecio miden 70◦ y 120◦ . Calcule la diferencia de las medidas
de los otros dos ángulos interiores.
A) 90◦
B) 70◦
C) 50◦
D) 80◦
E) 10◦
5. El Curiosity es un vehı́culo explorador que se encuentra actualmente en Marte. Cuando este
vehı́culo se encontraba a 216 millones de kilómetros de la Tierra, emitió una señal. ¿Cuántos
minutos se demora en llegar la señal al Centro de datos de la NASA en la Tierra, si ésta viaja
a una velocidad de 300 000 kilómetros por segundo?
A) 12
B) 9
C) 7,2
D) 8
E) 15
6. En una bodega hay tres cajas cuyos contenidos son los siguientes:
Primera caja: 20 latas de leche y 30 latas de atún.
Segunda caja: 18 latas de leche y 33 latas de atún.
Tercera caja: n latas de leche.
Si se sabe que las tres cajas pesan lo mismo, determine el valor de n.
A) 42
B) 30
C) 45
D) 40
E) 43
7. Un juego es llamado justo si la probabilidad de ganar es igual a la probabilidad de perder.
¿Cuántos de los siguientes juegos (que involucran todos lanzar un dado usual de 6 caras) son
justos?
Juego 1: “Ganas si obtienes el número 4”
Juego 2: “Ganas si obtienes un número par”
Juego 3: “Ganas si obtienes un número mayor que 3”
Juego 4: “Ganas si obtienes un número que es múltiplo de 3”
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
8. Al hacer una encuesta a un grupo de once personas acerca del número de hermanos que tienen,
resultó que la media y la moda de las respuestas obtenidas es igual a 2. Se sabe también que
exactamente cuatro personas respondieron 3 y que ninguna respondió un número mayor que
3. ¿Cuántas personas respondieron 1?
A) 4
B) 3
C) 2
2
D) 1
E) Ninguna
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
9. Una diagonal interior de un poliedro es un segmento que une dos vértices del poliedro de
tal forma que dicho segmento no está incluido en una cara del poliedro. Por ejemplo, un
tetraedro no tiene diagonales interiores, mientras que un cubo tiene 4 diagonales interiores,
como se muestra en la siguiente figura.
¿Cuántas diagonales interiores tiene un prisma recto cuyas bases son octágonos?
A) 64
B) 40
C) 56
D) 8
E) 16
10. La suma de las edades de tres hermanos es 47. Si sus edades son distintas, ¿cuál es el mayor
valor posible de la edad del hermano menor?
A) 16
B) 13
C) 17
D) 14
E) 15
11. Sandra dibujó un triángulo ABC. Luego, ubicó los puntos P y Q, como se muestra en la
figura, de tal forma que BP = 2, P A = 3, BQ = 3 y QC = 7.
A
P
B
Q
C
¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC representa el área de la región sombreada?
A) 84 %
B) 88 %
C) 90 %
D) 75 %
E) 66 %
12. A Javier le han regalado un gran chocolate que pesa 1 kg. Él decide consumirlo de la siguiente
manera: el primer dı́a consumirá la mitad del chocolate; el segundo dı́a, la mitad de lo que
queda y ası́ sucesivamente. La expresión que representa el consumo del chocolate durante los
primeros n dı́as es:
n
1
1
1
1
A) kg
B) 1 − n kg
C) n kg
D)
kg
E) 1 − n+1 kg
2
2
2
2n+1
2
3
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
13. Una empresa de celulares ofrece tres planes de servicio: básico, intermedio y completo. En el
mes de enero la distribución de clientes por plan fue la mostrada en la Tabla 1. En el mes de
febrero, entraron 400 nuevos clientes al plan básico, algunos del plan básico se cambiaron al
plan intermedio y algunos del plan intermedio se cambiaron al plan completo. Ningún cliente
se retiró. La distribución de los clientes en el mes de febrero fue la mostrada en la Tabla 2.
Enero
Plan
Porcentaje
Básico
50 %
Intermedio
30 %
Completo
20 %
Febrero
Plan
Porcentaje
Básico
51 %
Intermedio
29 %
Completo
20 %
Tabla 1
Tabla 2
¿Cuántos clientes se cambiaron del plan intermedio al completo?
A) 50
B) 60
C) 30
D) 100
E) 80
14. En la siguiente figura se muestra un cuadrado P U N O y un pentágono regular P ASCO.
Determine el valor de n para el cual los puntos A, P , U (en ese orden) son vértices consecutivos
de un polı́gono regular de n lados.
S
A
A) 15
B) 12
C
P
O
U
N
C) 20
D) 16
E) 10
15. Araceli dibujó en el plano cartesiano la gráfica de una función cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c,
donde a, b y c son constantes. Ella notó que los siguientes puntos del plano cartesiano pertenecen a su gráfica: (0, 7), (2, 5) y (3, 10). ¿Cuál de los siguientes puntos también pertenece a
la gráfica de Araceli?
A) (1, 3)
B) (4, 18)
C) (−1, 0)
4
D) (5, 32)
E) (−2, 15)
Sociedad Matemática Peruana
Primera Fase - Nivel 3
16. Un número natural N es llamado cuasi-divisible si al sumar 1 a cualquiera de sus dı́gitos
obtenemos un divisor de N . Por ejemplo, 102 es cuasi-divisible porque 1 + 1, 0 + 1 y 2 + 1
son divisores de 102. Determine el mayor número cuasi-divisible que consta de tres dı́gitos
distintos y dé como respuesta la suma de los cuadrados de sus dı́gitos.
A) 145
B) 162
C) 82
D) 97
E) 130
17. ¿Cuántos enteros positivos de 11 dı́gitos son múltiplos de 162 y cumplen que cada uno de sus
dı́gitos es 0 o 9?
Aclaración: Tenga en cuenta que un entero positivo no empieza con el dı́gito 0.
A) 11
B) 15
C) 36
D) 10
E) 9
18. En la pizarra están escritos 8 números naturales que forman una progresión aritmética. Se
sabe que exactamente M de esos números son múltiplos de 3. ¿Cuál de los siguientes números
no es un posible valor de M ?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
19. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, donde M es el punto medio de su hipotenusa.
En el segmento AB se ubica un punto P tal que ∠BM P = 90◦ . Si AP = 7 y P B = 18,
determine la medida de AC.
B
P
A
A) 30
B) 32
M
C) 35
C
√
D) 14 5
E)
√
706
20. Alrededor de una circunferencia están escritos 14 enteros positivos, no necesariamente distintos. Antonio subrayó cada número que es igual a la suma de sus dos vecinos. Luego, Blanca
subrayó cada número que es igual al valor absoluto de la diferencia de sus dos vecinos. ¿Como
máximo cuántos números subrayados puede haber después de hacer esto?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 10
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
5
E) 7
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase - Nivel 1
28 de agosto de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un avión realizó un viaje desde Lima (que se encuentra al nivel del mar) a Cusco. Después
de despegar, el avión alcanzó una altura de 4850 m y voló varios minutos a esa altura. Luego,
se elevó 3000 m más y se mantuvo volando a la misma altura hasta que hubo turbulencias.
Debido a este problema, el avión tuvo que descender algunos metros. Finalmente, descendió
4200 metros hasta llegar a Cusco. Si se sabe que Cusco se encuentra a 3400 m sobre el nivel
del mar, ¿cuántos metros descendió el avión debido a las turbulencias?
2. El promedio de las edades de 5 personas es 22. Si se retira Liliana, que es una de esas personas,
el promedio de las edades de las que quedan es 19. ¿Cuál es la edad de Liliana?
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
3. Determine el menor número natural N que satisface las siguientes dos condiciones:
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuya suma es 13.
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuya suma es 12.
Aclaración: dos dı́gitos son adyacentes si se encuentran uno al lado de otro.
4. El precio de la entrada de un circo se redujo en 10 %. Debido a este cambio, el número de
asistentes se incrementó en n %. Determine el valor de n, si se sabe que el ingreso total por
asistencia se incrementó en 26 %.
5. Se muestran dos rectángulos ABCD y AP QR tales que AB = AP = 2 y BC = P Q = 4.
Determine la medida del ángulo ∠DRQ.
R
Q
A
B
D
P
C
6. Jacob tiene hijos e hijas. Cierto dı́a, Jacob hizo la siguiente pregunta a cada hijo y cada hija:
“¿Cuántas hermanas tienes?”. La respuesta de cada uno fue un número positivo y la suma de
todos estos números fue 35. ¿Cuántas hijas tiene Jacob?
7. Si 2018 = a4 + b4 + c4 + d4 , donde a, b, c y d son números enteros positivos distintos, calcule
el valor de a + b + c + d.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 1
8. Luisa dibujó en su cuaderno un cuadrado ABCD y trazó la diagonal BD. Luego, trazó un
segmento que une un punto del lado AB con un punto del lado BC. De esta forma el cuadrado
quedó dividido en cuatro partes: dos triángulos y dos cuadriláteros. Se sabe que un ángulo
interior de uno de los cuadriláteros mide 83◦ , determine la medida del mayor ángulo interior
del otro cuadrilátero.
9. Cada casilla de un tablero de 8 × 11 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que
cada subtablero de 2 × 2 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
10. Determine cuántos números capicúas de cinco dı́gitos son múltiplos de 11.
Aclaración: Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha
a izquierda. Por ejemplo, 11, 101 y 2772 son números capicúas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase - Nivel 2
28 de agosto de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
4
1. La operación A consiste en restar 10 y la operación B consiste en multiplicar por . A un
5
número se le aplicó la operación A y luego la operación B, de esta forma el resultado final
fue 24. ¿Cuál hubiese sido el resultado final si las operaciones se realizan en el otro orden
(primero B y luego A)?
2. Según los datos del año 2017, la producción de papa del Perú representó el 1, 8 % de la producción mundial y a la vez representó el 60 % de la producción de Sudamérica. Si se sabe que
la producción de papa de Sudamérica representó el n % de la producción mundial, determine
el valor de n.
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
3. La primera etapa de una olimpiada matemática consta de una prueba de 8 problemas. En
la siguiente tabla, para cada k entre 0 y 8 (inclusive), se indica cuántos alumnos resolvieron
exactamente k problemas. Por ejemplo, 6 alumnos resolvieron exactamente 1 problema y 22
alumnos resolvieron exactamente 4 problemas.
N◦
k
de alumnos que resolvieron k problemas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
6
8 10 22 13 7
5
2
Para determinar los alumnos que clasificarán a la siguiente etapa, se escoge un número natural
n y se hace clasificar a todos los alumnos que resolvieron al menos n problemas. ¿Para qué
valor de n se cumple que el número de alumnos clasificados está entre la tercera parte y la
mitad del número total de alumnos?
4. En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero de perı́metro 90 cm. Además, los
segmentos P Q y AC son paralelos. Calcule la suma de los perı́metros de los polı́gonos P BQ
y AP QC (en cm), si se sabe que estos números están en la relación de 3 a 14.
B
Q
P
A
C
5. Sean a y b números reales tales que 8a · 3b = 78 y 2a · 9b = 76 . Calcule el valor de 2a .
6. Determine el menor número natural N que satisface todas las siguientes condiciones:
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuyo producto es 2.
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuyo producto es 0.
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuyo producto es 1.
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuyo producto es 8.
Aclaración: dos dı́gitos son adyacentes si se encuentran uno al lado de otro.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 2
7. Se muestran dos hexágonos regulares, uno dentro del otro. Si los puntos A, B y C pertenecen
a una misma recta y el perı́metro del hexágono mayor es 120 cm, determine el perı́metro del
hexágono menor (en cm).
C
B
A
8. Se escogen al azar dos aristas distintas de un cubo. Se sabe que la probabilidad de que esas
a
dos aristas tengan un extremo en común se puede expresar como , donde a y b son enteros
b
positivos coprimos. Determine el valor de a + b.
Aclaración: Considere que todas las aristas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
9. Cada casilla de un tablero de 10 × 10 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que
cada subtablero de 3 × 3 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
10. Determine cuántos enteros positivos a cumplen que a ≤ 8575 y además:
mcd(a, 8575) = mcd(a + 1, 8575) = 1.
Aclaración: mcd(r, s) denota al máximo común divisor de los enteros positivos r y s.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase - Nivel 3
28 de agosto de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Para el campeonato deportivo que organiza una institución educativa, quince costureras elaboraron 300 polos en 4 horas de trabajo. ¿Cuántos polos pueden elaborar diez costureras en
5 horas de trabajo?
2. Una empresa vende frutas y verduras. Según los datos del mes pasado, del número total de
kilogramos vendidos, el n % corresponden a las frutas. Además, del número total de kilogramos de fruta vendidos, el n % corresponden a manzanas. Determine el valor de n, si se sabe
que del número total de kilogramos vendidos, el 16 % corresponden a manzanas.
1
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
3. La siguiente figura se hizo con 4 cubos de 1 cm de lado. Si la medida del segmento cuyos
√
extremos son los vértices A y B es n cm, calcule el valor de n.
A
B
4. Los números enteros positivos a, b y c satisfacen las siguientes desigualdades:
a < 2b,
b < 2c y c < 18.
Determine el mayor valor posible de a.
5. Un grupo de m + n personas está repartido en dos salones. En el primer salón hay m personas
cuyo promedio de edades es 24. En el segundo salón hay n personas cuyo promedio de edades es 36. Una persona se trasladó del segundo salón al primero y al hacer esto sucedió que
cada uno de los dos salones aumentó su promedio de edades en 1. Determine el valor de m+n.
6. La media de siete datos es 7 y se sabe que los cinco primeros datos son 1, 3, 5, 11 y 5. ¿Cuál
es el menor valor posible de la varianza de los siete datos?
Aclaración: Recuerde que la varianza de los datos x1 , x2 , . . . , xn se define como la media de los
números (x1 − m)2 , (x2 − m)2 , . . . , (xn − m)2 , donde m es la media de los datos. Por ejemplo,
2
2 +(8−4)2
la varianza de los tres datos 1, 3, 8 es (1−4) +(3−4)
= 26
3
3 .
7. Se escogen al azar dos caras distintas de un icosaedro regular (que tiene 20 caras que son
triángulos equiláteros). Sea p la probabilidad de que dichas caras sean disjuntas, es decir, que
60
.
no compartan un vértice o una arista. Calcule el valor de
p
Aclaración: Considere que todas las caras tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
2
Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
8. Sean x y y números reales positivos tales que x 6= y y además:
1
1
2
+
=
.
2
2
1+x
1+y
1 + xy
Determine el menor valor posible de 1 + 2x2 1 + 18y 2 .
9. Cada casilla de un tablero de 8 × 8 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que
cada subtablero de 3 × 3 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
10. En la figura se muestra una recta L y dos puntos P y Q a un mismo lado de ella. Las distancias
de P y Q a L son 3 cm y 5 cm, respectivamente. La distancia entre los pies de las proyecciones
de P y Q sobre L es 4 cm.
Q
P
5
3
4
L
Hay dos circunferencias tales que cada una pasa por los puntos P y Q, y es tangente a L.
Calcule la suma de los radios de esas dos circunferencias, en cm.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Tercera Fase - Nivel 1
4 de octubre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Una cadena de librerı́as tiene cuatro tiendas en Arequipa. En el siguiente cuadro se indica la
cantidad de libros que se vendió en cada tienda en el mes de enero.
Enero (n◦ libros)
Tienda 1
1050
Tienda 2
900
Tienda 3
800
Tienda 4
1250
En el mes de febrero decidieron cerrar la tienda que tuvo menos ventas para poder hacer
mejoras durante todo ese mes. Además, resultó que cada uno de las otras tiendas aumentó
sus ventas en 10 %, con respecto al mes de enero. Si el número total de libros vendidos en
febrero fue k % menos que en enero, determine el valor de k.
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
2. La siguiente figura se ha construido con dos cuadrados de 20 cm de lado y un cuadrado de
18 cm de lado. Determine el área de la región sombreada, en cm2 , si se sabe que el segmento
AB mide 13 cm.
A
B
3. Determine el mayor número de cuatro dı́gitos abcd que es múltiplo de 4 y satisface la condición a < b < c < d.
4. Patricia escribió un número de cuatro dı́gitos y luego insertó un dı́gito 5 en la parte central,
con lo cual obtuvo un número de cinco dı́gitos. Si al hacer esto el número original aumentó
en 1d500, determine el valor de d.
5. En una bolsa negra hay 27 bolitas y cada una es roja, verde o azul. Tres niños dijeron las
siguientes frases, tratando de adivinar:
Andrés: “El número de bolitas verdes es 11 más que el número de bolitas azules”.
Braulio: “El número de bolitas rojas es igual al número de bolitas azules”.
Carlos: “El número de bolitas verdes es 1 más que el número de bolitas rojas”.
Si se sabe que exactamente dos niños acertaron, ¿cuántas bolitas rojas hay en la bolsa?
6. En la siguiente figura se puede observar que hay seis rectángulos en total. La suma de los
perı́metros de esos seis rectángulos es 138 cm y la suma de sus áreas es 198 cm2 . Determine
el valor x, si se sabe que es un número entero.
x cm
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
7. Pablo distribuyó los números del 1 al 9 en un tablero de 3 × 3, un número en cada casilla.
Luego, calculó la suma de los números de cada subtablero de 2 × 2 y, finalmente, calculó la
suma de los cuatro números que están ubicados en las casillas de las esquinas del tablero. Si
las cinco sumas que calculó Pablo son iguales, determine el menor valor posible de la suma
de tres números que estén en una misma fila.
8. Un número de siete dı́gitos es divisible por el producto de sus dı́gitos. ¿Cuál es la mayor
cantidad de veces que puede aparecer el dı́gito 5 entre los dı́gitos de dicho número?
9. Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de los dı́gitos de n. Por ejemplo, S(15) = 6 y
S(2018) = 11. Determine para cuántos enteros positivos k, con 1 ≤ k ≤ 9999, se cumple que
S(k) = S(k + 1035).
10. Al inicio se tiene un tablero de 7×7 que tiene todas sus casillas blancas. Una operación consiste
en escoger tres casillas consecutivas de una misma fila o una misma columna y cambiar el
color de cada una de esas tres casillas: una casilla blanca cambia a negra y una casilla negra
cambia a blanca. Determine como mı́nimo cuántas operaciones son necesarias para que el
tablero quede de la siguiente forma:
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Tercera Fase - Nivel 2
4 de octubre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Una empresa produjo cierto número de unidades en enero del 2017 y cada mes a partir de
febrero produjo 800 unidades menos que el mes anterior. Si durante los 7 últimos meses de
dicho año la empresa produjo 4500 unidades en promedio, ¿cuántas unidades en promedio
produjo la empresa durante los primeros 5 meses de ese mismo año?
2. Determine el mayor número de cuatro dı́gitos abcd que es múltiplo de 12 y satisface la condición a < b < c < d.
3. Calcule el valor de:
3
1+
4
3
3
3
× 1+
× 1+
× ··· × 1 +
.
5
6
57
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
4. El Gran Hotel tiene 6 pisos, los cuales están enumerados del 1 al 6. Se sabe que hay la misma
cantidad de habitaciones en cada piso. Cierta noche ocurrió que la cantidad de habitaciones
ocupadas en cada piso es inversamente proporcional al número del piso. Determine cuántas
habitaciones puede tener el Gran Hotel como mı́nimo.
5. Sea ABCD un cuadrado. Se escoge el punto E en el lado BC tal que ∠BAE = 32◦ y se
escoge el punto F en el lado CD tal que ∠EF C = 26◦ . Determine la medida de ∠AF D.
6. En un torneo de vóley participaron k equipos (k ≥ 2) y cada equipo se enfrentó a cada uno
de los otros exactamente una vez. Al final del torneo se notó que exactamente el 95 % de los
equipos ganó al menos 1 partido. Determine cuántos valores puede tomar k.
Aclaración: Considere que en el vóley un partido no puede quedar en empate.
7. Considere el siguiente polinomio de grado 2047:
P (x) = (x + 1)(x2 + 2)(x4 + 4) · · · (x1024 + 1024).
Calcule el coeficiente de x2018 al desarrollar dicho polinomio.
8. El siguiente arreglo de números es conocido como el Triángulo de Pascal. Se cumple que todos
los números de los bordes izquierdo y derecho son iguales a 1, además, cualquier otro número
es igual a la suma de los dos números que están sobre él.
fila 0 −→
1
fila 1 −→
1
fila 2 −→
1
fila 3 −→
fila 4 −→
.
..
1
2
3
1
..
1
4
.
1
3
6
..
.
1
4
1
..
.
Determine cuántos números pares hay en la fila 262 del Triángulo de Pascal.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
9. Sea ω una semicircunferencia fija de diámetro AB = 16. Sea P un punto variable del diámetro AB y Q el punto sobre ω tal que QP es perpendicular a AB. Sea M el punto medio del
segmento P Q. La recta que pasa por M y es perpendicular a P Q corta a los arcos AQ y QB
en los puntos C y D, respectivamente (C y D están sobre ω). ¿Cuál es el mayor valor posible
de la diferencia de las áreas de los cuadriláteros P M DB y P M CA?
10. Sea t1 , t2 , t3 , . . . una sucesión infinita formada por enteros positivos tal que, para todo entero
positivo k, los números t1 , t2 , . . . , tk dejan restos distintos al ser divididos entre k. Determine
el mayor valor posible de |t20 − t18 |.
Aclaración: Si n y q son enteros positivos, al dividir n entre q el resto puede ser uno de los
números 0, 1, . . . , q − 1.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Tercera Fase - Nivel 3
4 de octubre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En una fábrica se producen bolas de hierro de dos tamaños: pequeñas, de 4 cm de diámetro,
y grandes, de 8 cm de diámetro. ¿Cuántas bolas pequeñas pesan lo mismo que 6 bolas grandes?
2. Un alumno escribió en su cuaderno un número de dos dı́gitos; luego, lo multiplicó por 2 y
obtuvo ası́ otro número de dos dı́gitos. Después invirtió el orden de los dı́gitos del resultado
y, finalmente, restó 60. Si el número final es igual al inicial, determine la suma de los dı́gitos
del número inicial.
3. La ecuación cuadrática ax2 + bx + 5 = 0 tiene raı́ces reales r1 y r2 . La ecuación cuadrática
bx2 + ax + 5 = 0 tiene raı́ces reales t1 y t2 . Si se sabe que a 6= b y |r1 − r2 | = |t1 − t2 |, calcule
el valor de
a b
+
.
(a + b)
b a
1
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
4. Un poliedro tiene exactamente ocho caras, de las cuales cuatro son hexágonos regulares y
cuatro son triángulos equiláteros. ¿Cuántos vértices tiene dicho poliedro?
5. En una caja hay canicas rojas y azules. Si se escoge al azar dos canicas de la caja, la probabilidad de que sean del mismo color es 12 . Determine cuántas canicas hay en la caja si se sabe
que este número es mayor que 50, pero menor que 80.
6. Ana escoge secretamente 5 números del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y le dice su producto a
Beto (Ana no le dice los números, solo le dice el producto). Conociendo el producto, Beto no
puede saber si la suma de los cinco números que escogió Ana es par o impar. ¿Cuál fue el
número que le dijo Ana a Beto?
7. En la figura mostrada, ABCD y OM N P son cuadrados, donde O es el centro del cuadrado
ABCD. Si AG = 36 y DE = 16, calcule F C.
B
C
M
F
O
E
A
D
G
N
P
8. En un torneo de vóley participaron k equipos y cada equipo se enfrentó a cada uno de los
otros exactamente una vez. Al final del torneo se notó que exactamente el 80 % de los equipos
ganó al menos 2 partidos. Calcule la suma de todos los posibles valores de k.
Aclaración: Considere que en el vóley un partido no puede quedar en empate.
2
Sociedad Matemática Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
9. Un triángulo ABC tiene ángulos cuyas medidas cumplen la condición ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C. Si el
mayor valor posible de cos A + cos C es λ, calcule el valor de (24λ)2 .
10. Una permutación a1 , a2 , . . . , a1000 de 1, 2, . . . , 1000 es llamada buena si cumple la siguiente
condición: Si n y m son enteros positivos tales que n es múltiplo de m, con 1 ≤ n ≤ 1000 y
1 ≤ m ≤ 1000, entonces an es múltiplo de am . Determine el menor entero positivo k para el
cual existe una permutación buena b1 , b2 , . . . , b1000 tal que bk 6= k.
Aclaración: Una permutación es una forma de ordenar los elementos de un conjunto. Por
ejemplo, 4, 2, 1, 3, 5 es una permutación de 1, 2, 3, 4, 5.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
3
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Cuarta Fase - Nivel 1
11 de noviembre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Un dragón tiene varias cabezas. Un caballero puede cortar 15, 17 o 20 cabezas de un dragón
con cada espadazo, pero cada vez que lo hace le crecen más cabezas. Si corta 15 crecen 24, si
corta 17 crecen 5 y si corta 20 crecen 14. El dragón muere si en algún momento se queda sin
cabezas.
a) ¿Puede el caballero matar a un dragón de 99 cabezas?
b) ¿Puede el caballero matar a un dragón de 100 cabezas?
Aclaración: Si el dragón se queda con menos de 15 cabezas ya no se le puede cortar más.
2.
a) Demuestre que un triángulo de papel cuyos ángulos interiores miden 100◦ , 60◦ y 20◦ se
puede dividir en dos triángulos isósceles mediante un corte recto.
b) Demuestre que un triángulo de papel cuyos ángulos interiores miden 100◦ , 50◦ y 30◦ se
puede dividir en tres triángulos isósceles mediante cortes rectos.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 1
3. Un entero positivo es llamado favorable si tiene tres divisores positivos distintos cuyo producto
es un número de la forma k 4 , donde k es un entero positivo. Por ejemplo, 144 es favorable
porque tiene tres divisores positivos distintos: 144, 9 y 1, cuyo producto es 64 .
Sea C el conjunto de todos los divisores positivos del número 23109 . Determine cuántos elementos de C son favorables.
4. José ubicó n dominós en un tablero de 12×12 de tal forma que cada dominó cubre exactamente dos casillas que comparten un lado (los dominós no se superponen). Él se dio cuenta que
en la parte del tablero que quedó sin cubrir, es imposible ubicar una ficha de 2 × 2. Determine
el menor valor de n para el cual la situación descrita es posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Cuarta Fase - Nivel 2
11 de noviembre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Sea ABC un triángulo y sean D, E y F puntos de los lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que DE es perpendicular a AC y ∠BAC = 2∠BF D. Si AE = EC + BD y
CD = DB + AF , pruebe que el triángulo ABC es equilátero.
2. Se tiene un tablero de 5 × 5 que al inicio tiene escrito el número 0 en cada casilla. Hay dos
operaciones disponibles:
Escoger dos casillas que están en la misma fila y sumar 1 a los números de esas casillas.
Escoger dos casillas que están en la misma columna y sumar 2 a los números de esas
casillas.
Determine cuántas operaciones como mı́nimo son necesarias para conseguir que todos los
números del tablero sean iguales y positivos.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 2
3. Sean a y b números reales que pertenecen al intervalo cerrado [2, 3]. Determine el mayor valor
posible de la expresión
a
b
+
,
1+b 1+a
y encuentre todas las parejas (a, b) para las cuales se consigue ese mayor valor.
4. Determine el menor número entero k ≥ 3 que tiene la siguiente propiedad: Si a, b, c, d, n son
cualesquiera enteros positivos tales que a + b + c + d y a2 + b2 + c2 + d2 son múltiplos de n,
entonces ak + bk + ck + dk también es múltiplo de n.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
Sociedad Matemática Peruana
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Cuarta Fase - Nivel 3
11 de noviembre de 2018
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. Encuentre un número de cuatro dı́gitos P ERU que cumpla la propiedad
P ERU = (P + E + R + U )U .
Además, demuestre que hay exactamente un número de cuatro dı́gitos que cumple esa propiedad.
2. Sean a, b y c números reales tales que
a+
b
c
a
= b + = c + = 1.
c
a
b
a) Pruebe que ab + bc + ca = 0 y a + b + c = 3.
b) Pruebe que |a| + |b| + |c| < 5.
1
Sociedad Matemática Peruana
Cuarta Fase - Nivel 3
3. Sea ABC un triángulo acutángulo tal que BA = BC. En los lados BA y BC se escogen
los puntos D y E, respectivamente, tales que DE y AC son paralelos. Sea H el ortocentro
del triángulo DBE y M el punto medio de AE. Si ∠HM C = 90◦ , determine la medida del
ángulo ∠ABC.
Aclaración: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.
4. Un tablero de 100 × 200 tiene k casillas pintadas de negro. Una operación consiste en escoger
un subtablero de 2 × 3 o de 3 × 2 que tenga exactamente 5 casillas negras y pintar de negro
la casilla que falta. Determine el menor valor de k para el cual existe una distribución inicial
de las k casillas negras tal que luego de algunas operaciones se pueda conseguir que todas las
casillas del tablero sean negras.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) Por la compra de 6 panetones me regalan un chocolate. ¿Cuántas docenas de panetones
debo comprar para que me regalen 10 chocolates?
A) 6
B) 5
C) 10
D) 12
E) 15
SOLUCION:
Planteando:
6 panetones  1 Chocolate
X panetones  10 chocolates
Es una regla de tres simple directa
6x10 = 1.X  X = 60 panetones
Para hallar el número de docenas hay que dividir entre doce:
Nº de docenas = 60/12 = 5 docenas
RESPUESTA: Debo comprar 5 docenas de panetones para que me regalen 10 chocolates.
CLAVE B.
2) Para estudiar en un instituto de inglés, se tiene que pagar 130 soles por concepto de libros y
una mensualidad de 70 soles. Ramiro quiere estudiar en el instituto durante “n” meses.
Determine cuánto dinero gastará Ramiro en total, en función de “n”.
A) 130n+ 70
B) 70 + 130(n – 1)
C) 70n + 130
D) 130 + 70(n – 1)
E) 70n
SOLUCION:
Planteando:
Pago por concepto de libros: S/. 130 (Pago único)
Pago de mensualidad: S/. 70
(Pago que depende de la cantidad de meses)
Tiempo de estudio: “n” meses.
Por tanto el dinero invertido en función de “n” será:
Dinero que gastará: F(n) = 70n + 130
RESPUESTA: El dinero que gastará Ramiro es: 70n + 130, que está en función de “n”.
CLAVE C.
3) Se muestra a continuación como empieza una secuencia de figuras:
Si el patrón se mantiene, ¿A qué número apunta la fecha en la Figura 9?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 1
SOLUCION:
Siguiendo la misma secuencia al número a donde apunta la fecha (La fecha avanza en sentido
horario dejando a un número):
Figura 1: 1
Figura 2: 3
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
Figura 3: 5
Figura 4: 2
Figura 5: 4
Figura 6: 1
Figura 7: 3
Figura 8: 5
Figura 9: 2
RESPUESTA: En la figura 9 la fecha apunta al número 2.
CLAVE A.
4) Actualmente las edades de Mónica, Ana y Rosa son 7, 15 y 19, respectivamente. ¿Cuál será
la edad de Ana cuando la edad de Rosa sea el doble de la edad de Mónica?
A) 5
B) 18
C) 12
D) 24
E) 20
SOLUCION:
Planteando:
Mónica = 7 años
Ana = 15 años
Rosa = 19 años
Luego de “X” años
Edad de Rosa = Doble de la edad de Mónica
19 + X = 2(7 + X)
19 + X = 14 + 2X
19 – 14 = 2X – X
5=X
Luego la edad de Ana será: 15 + X = 15 + 5 = 20 años
RESPUESTA: La edad de Ana será 20 años.
CLAVE E.
5) El primer día de trabajo un obrero hizo la cuarta parte de una obra, al día siguiente hizo la
tercera parte de lo que le faltaba, ¿Qué porcentaje de la obra le falta hacer?
A) 45%
B) 33%
C) 66%
D) 50%
E) 25%
SOLUCION:
Planteando:
Primer día hizo = ¼ de la obra, esto implica que falta los ¾ de la obra.
1
3
1
Segundo día hizo = 3 × 4 = 4
Durante los días avanzó:
1 1 2 1
+ = =
4 4 4 2
Si avanzó ½ de la obra implica que le falta la otra mitad (½). La mitad representa el 50%.
RESPUESTA: Le falta hacer el 50% de la obra.
CLAVE D.
6) Andrés tiene un cuadrado de papel. Mediante dos cortes, Andrés retiró un cuadrado de una de
las esquinas del cuadrado quedando así una nueva figura:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
Entonces podemos afirmar que:
A) La nueva figura tiene igual área que el cuadrado inicial.
B) La nueva figura tiene menor perímetro que el cuadrado inicial.
C) La nueva figura tiene mayor perímetro que el cuadrado inicial.
D) La nueva figura tiene igual perímetro que el cuadrado inicial.
E) La nueva figura tiene la mitad del área del cuadrado inicial.
SOLUCION:
Es evidente que las áreas van a variar, pero el perímetro se mantiene constante, por lo que la
nueva figura tiene igual perímetro que el cuadrado inicial.
RESPUESTA: La nueva figura tiene igual perímetro que el cuadrado inicial.
CLAVE D.
7) En un avión hay 35 filas de pasajeros: Algunas filas tienen 6 asientos y las otras tienen 8
asientos. Si el avión tiene una capacidad de 270 pasajeros, ¿Cuántas filas tienen 6 asientos?
A) 12
B) 10
C) 7
D) 13
E) 5
SOLUCION:
Planteando el sistema de ecuaciones de dos variables:
X + Y = 35
6X + 8Y = 270
Donde, X: Número de 6 asientos. Y: Número de 8 asientos
Resolviendo por el método de reducción:
–8X – 8Y = 35(–8) Multiplicando por (–8) a la primera ecuación.
6X + 8Y = 270
–8X – 8Y = –280
6X + 8Y = 270
Sumando ambos miembros:
–8X – 8Y = –280
6X + 8Y = 270
–8X + 6X = 270 – 280
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
–2X = –10
X=5
RESPUESTA: Cinco filas tienen 6 asientos.
CLAVE E.
8) ¿Cuál de los siguientes números se puede expresar como el producto de tres números primos
diferentes?
A) 12
B) 189
C) 231
D) 43
E) 1000
SOLUCION:
Expresando como el producto de sus factores primos cada alternativa:
A) 12 = 22x3
¡No cumple!, porque 22 es un número compuesto.
B) 189 = 3x7x9
¡No cumple!, porque 9 es un número compuesto.
C) 231 = 3x7x11
¡Sí cumple!, porque 3; 7 y 11 son números primos diferentes.
D) 43 = 43x1
¡No cumple!, porque 43 es un número primo.
3
3
E) 1000 = 2 x5
¡No cumple!, porque 23 y 53 son números compuestos.
RESPUESTA: El número 231 se puede expresar como el producto de tres números primos
diferentes.
CLAVE C.
9) Se hizo una encuesta a un grupo de 50 alumnos acerca de su color favorito. Resultó que 20
alumnos dijeron que su color favorito es el rojo, 15 dijeron azul, 10 dijeron verde y los otros 5
dijeron otros colores. Con estos datos se elaboró un diagrama circular, como se muestra a
continuación:
¿Cuál es el ángulo central del sector correspondiente a los que dijeron que su color favorito es
el azul?
A) 100°
B) 108°
C) 110°
D) 120°
E) 128°
SOLUCION:
Hallando el total de alumnos = 15 + 20 + 10 + 5 = 50 alumnos.
Planteando a través de una regla de tres simple:
50 alumnos

360°
15 alumnos

X
50X = 15x360°
X = 5400°/50 = 108°
RESPUESTA: El ángulo central del sector azul es 108°.
CLAVE B.
10) En el plano se han trazado 11 rectas: L1; L2; L3; …;L11. Se sabe que L1 es perpendicular a L2;
L2 es perpendicular a L3; L3 es perpendicular a L4; L4 es perpendicular a L5; y así
sucesivamente. Determine cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
A) L1 y L3 son paralelas.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
B) L1 y L11 son paralelas.
C) L2 y L9 son perpendiculares.
D) L2 y L10 son perpendiculares.
E) L3 y L8 son perpendiculares.
SOLUCION:
Graficando de acuerdo a los datos:
A) Verdadero, porque L1 y L3 son paralelos.
B) Verdadero, porque L1 y L11 son paralelos.
C) Verdadero, porque L2 y L9 son perpendiculares.
D) Falso, porque L2 y L10 son paralelos.
E) Verdadero, porque L3 y L8 son perpendiculares.
RESPUESTA: La proposición “D” es falsa.
CLAVE D.
11) En la siguiente figura se muestra tres triángulos sobre el papel cuadriculado:
Determine cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
A) El triángulo 1 es una rotación del triángulo 2.
B) El triángulo 3 es una ampliación del triángulo 1.
C) El triángulo 2 es una traslación del triángulo 3.
D) El triángulo 3 es una traslación del triángulo 1.
E) El triángulo 3 es una rotación del triángulo 2.
SOLUCION:
Analizando cada alternativa:
A) Falso, porque haciendo rotar el triángulo 2 no se puede obtener el triángulo 1.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
B) Falso, porque los triángulos 3 y 1 son de igual tamaño.
C) Falso, porque trasladando el triángulo 3 no se puede obtener el triángulo 2.
D) Verdadero, porque el triángulo 3 es una traslación del triángulo 1 y el vector de
desplazamiento es: V(4; –1)
E) Falso, porque haciendo rotar el triángulo 2 no se puede obtener el triángulo 3.
RESPUESTA: La proposición verdadera es la alternativa D.
CLAVE D.
12) Una empresa de transportes tiene 30 combis, cada una con una capacidad de 26 pasajeros.
Por disposición de la municipalidad, las combis ya no pueden circular y tienen que ser
reemplazadas por buses. Cada bus tiene una capacidad de 60 pasajeros y tiene un costo de
40000 dólares. ¿Cuántos dólares tiene que invertir la empresa para reemplazar todas sus
combis por buses, si la capacidad total de pasajeros se debe mantener?
A) 480000 B) 500000
C) 390000
D) 650000
E) 520000
SOLUCION:
Empresa de transportes tiene = 30 combis (26 pasajeros)
Total de pasajeros = 30x26 = 780
Cada bus cuesta = $ 40000 (60 pasajeros)
60X = 780
X = 780/60 = 13 buses
Inversión en la compra de buses = 13($ 40000) = $ 520000
RESPUESTA: La empresa de transportes tendrá que invertir $ 520 000 para reemplazar todas
sus combis por buses.
CLAVE E.
13) En una escuela de música la edad promedio de todos los estudiantes es 15,5 años. La edad
promedio de las mujeres es 14 años y la edad promedio de los hombres es 16 años. Podemos
afirmar que:
A) El número de hombres es igual al número de mujeres.
B) El número de hombres es el doble del número de mujeres.
C) El número de hombres es el triple del número de mujeres.
D) El número de hombres es el cuádruple del número de mujeres.
E) El número de hombres es la mitad del número de mujeres.
SOLUCION:
La edad promedio de las mujeres = 14, sea “x” la cantidad de mujeres.
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯ + 𝑚𝑥
= 14
𝑥
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯ + 𝑚𝑥 = 14𝑥
La edad promedio de los hombres = 16, sea “y” la cantidad de hombres.
ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ⋯ + ℎ𝑦
= 16
𝑦
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯ + 𝑚𝑦 = 16𝑦
La edad promedio de todos los estudiantes = 15,5
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯ + 𝑚𝑥 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ⋯ + ℎ𝑦
= 15,5
𝑥+𝑦
14𝑥 + 16𝑦 = 15,5(𝑥 + 𝑦)
14𝑥 + 16𝑦 = 15,5𝑥 + 15,5𝑦
16𝑦 − 15,5𝑦 = 15,5𝑥 − 14𝑥
0,5𝑦 = 1,5𝑥
5𝑦 = 15𝑥
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
𝑦 = 3𝑥
Hombres = 3(Mujeres)
RESPUESTA: El número de hombres es el triple del número de mujeres.
CLAVE C.
14) Sea A el menor entero positivo que es múltiplo de 6; 7 y 8. Sea B el menor entero positivo que
es múltiplo de 9, 10 y 11. ¿Cuál es el menor entero positivo que no es un divisor de A×B?
A) 13
B) 4
C) 14
D) 17
E) 12
SOLUCION:
Para que sean los menores enteros positivos hay que multiplicar dichos divisores:
A = 6×7×8
B = 9×10×11
Hallemos los divisores de A×B, para ello utilizaremos el MCM(A;B)
6×7×8 – 9×10×11
3×7×8 – 9×5×11
1×7×8 – 3×5×11
1×7×8 – 1×5×11
1×7×8 – 1×1×11
1×1×8 – 1×1×11
1×1×1 – 1×1×11
1×1×1 – 1×1×1
2
3
3
5
7
8
11
MCM(A;B) = 2×3×3×5×7×8×11
Divisores de A×B:
1
Sí
2
Sí
3
Sí
4
Sí
5
Sí
6
Sí
7
Sí
8
Sí
9
Sí
10
Sí
11
Sí
12
Sí
RESPUESTA: El menor entero positivo que no es divisor de A×B es 13.
13
No
14
Sí
CLAVE A.
15) Un país está dividido en 5 regiones. La superficie y población de cada región está indicada en
el siguiente cuadro:
Superficie
Población
2
Región 1
32000 km
230000 hab.
Región 2
35000 km2
128000 hab.
Región 3
16000 km2
200000 hab.
2
Región 4
5000 km
34000 hab.
Región 5
25000 km2
48000 hab.
¿Qué región tiene mayor cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado de superficie?
A) Región 1
B) Región 2
C) Región 3
D) Región 4
E) Región 5
SOLUCION:
Hallando la cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado de cada alternativa:
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 1 =
230 000 ℎ𝑎𝑏
= 7,2 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
32 000 𝑘𝑚2
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 2 =
128 000 ℎ𝑎𝑏
= 3,6 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
35 000 𝑘𝑚2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 3 =
200 000 ℎ𝑎𝑏
= 12,5 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
16 000 𝑘𝑚2
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 4 =
34 000 ℎ𝑎𝑏
= 6,8 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
5 000 𝑘𝑚2
𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 5 =
48 000 ℎ𝑎𝑏
= 1,9 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
25 000 𝑘𝑚2
Ordenando: Región 3 > Región 1 > Región 4 > Región 2 > Región 5
RESPUESTA: La Región 3 tiene mayor cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado de
superficie.
CLAVE C.
16) Considere el número N = 200…0 que tiene 20 dígitos: el primer dígito es 2 y todos los otros
dígitos son ceros. ¿Cuál es el mayor entero positivo m para el cual se cumple que 2m es un
divisor de N?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
SOLUCION:
Planteando:
N = 2000000…0000
19 ceros
Descomponiendo en sus factores primos:
N = 2x1019 = 2x(2x5)19 = 2x219x519= 220x519
Divisores de N = {1; 2; 22; 23; 24;… 220; 5; 52; 53; 54;… 519;…}
Mayor divisor cuya base es dos: 220, por tanto: m = 20
RESPUESTA: El mayor entero positivo “m” es 20 para que se cumpla que 220 es un divisor de
N.
CLAVE D.
17) Una moneda de 1 sol tiene 2 milímetros de espesor. ¿Aproximadamente cuántas monedas de
un sol se deben colocar una sobre otra, formando una torre, para que la altura de la torre sea
similar a la altura de un hombre adulto promedio?
A) 850
B) 100
C) 1300
D) 500
E) 600
SOLUCION:
Planteando:
Altura de 1 moneda de S/. 1 o espesor es = 2 mm = 2x10– 3 m
Sea “X” el número de monedas. La altura promedio de un hombre adulto = 1,70 m
2.10– 3 m.X = 1,70 m
2.10– 3 .X.1000 = 1,7x1000
2X = 1700
X = 850
RESPUESTA: Se deben colocar 850 monedas de un sol una sobre otra, formando una torre,
para que la altura de la torre sea similar a la altura de un hombre adulto promedio. CLAVE A.
18) Un bus interprovincial viaja a 20 metros por segundo y un automóvil viaja a 90 kilómetros por
hora. ¿Cuál de las siguientes alternativas indica la relación entre las velocidades del bus
interprovincial y el automóvil?
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
A) De 4 a 7
B) de 2 a 9
C) de 4 a 5
D) de 2 a 3
E) de 5 a 6
SOLUCION:
Planteando:
Velocidad(Bus) = 20 m/s
Velocidad(Automóvil) = 90 km/h
Convirtiendo la velocidad del automóvil a m/s:
90 𝑘𝑚/ℎ =
90 𝑘𝑚
1ℎ
1 000 𝑚
×
×
= 25 𝑚/𝑠
ℎ
3600 𝑠
1 𝑘𝑚
𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑉(𝐵𝑢𝑠)
20 𝑚/𝑠 4
=
=
𝑉(𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙) 25 𝑚/𝑠 5
RESPUESTA: La relación de las velocidades es de 4 a 5.
CLAVE C.
19) Cecilia escribió en la pizarra 5 números naturales consecutivos y Beatriz escribió 7 números
naturales consecutivos, de tal forma que los 12 números son diferentes. La suma de los
números de Cecilia es igual a S, y la suma de los números de Beatriz también es S. Determine
el menor valor posible de S.
A) 35
B) 126
C) 210
D) 70
E) 105
SOLUCION:
Planteando:
Cecilia escribió: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = S
Beatriz escribió: m+(m+1)+(m+2)+(m+3)+(m+4)+(m+5)+(m+6) = S
La suma de los números de ambas son iguales:
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = m+(m+1)+(m+2)+(m+3)+(m+4)+(m+5)+(m+6)
5n + 10 = 7m + 21
5n = 7m + 11
Tanteando: m = 12 y n = 19.
Por tanto los números escritos fueron:
Cecilia escribió: 19; 20; 21; 22 y 23.
Beatriz escribió: 12; 13; 14; 15; 16; 17 y 18.
El menor valor posible de “S” = 19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 105
RESPUESTA: La relación de las velocidades es de 4 a 5.
CLAVE E.
20) En un almacén hay 21 cajas colocadas de la siguiente manera:
Cada caja es de color rojo, verde, azul o amarillo, y se sabe que dos cajas del mismo color no
están juntas. ¿Cuántas cajas rojas puede haber como máximo?
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 1 (Solucionario)
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
SOLUCION:
Hay varias soluciones, pero la respuesta es la misma y una de las soluciones es la siguiente:
R
R
R
R
R
R
R
RESPUESTA: Puede haber como máximo 7 cajas de color rojo.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE B.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 2 – Solucionario.
1) En una tienda compré arroz por un valor de 7 soles y pagué con un billete de 50 soles. Me
dieron de vuelto solamente monedas de 2 y 5 soles. Si recibí 4 monedas de 2 soles, ¿Cuántas
monedas de 5 soles recibí?
A) 11
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
SOLUCION:
Planteando:
Compré arroz por: S/. 7
Pagué: S/. 50 (1 billete)
Recibí:
4 monedas de S/. 2 + “X” monedas de S/. 5 =
8
+
5X
5X
=
=
=
X
43
43
35
7
RESPUESTA: Recibí 7 monedas de S/. 5.
CLAVE C.
2) En el siguiente gráfico circular se muestra el porcentaje de estudiantes peruanos matriculados
en la modalidad de Educación Básica Regular durante el año 2015:
Si el porcentaje de estudiantes de Inicial es al porcentaje de alumnos de Secundaria como 2
es a 3, determina el porcentaje de alumnos de Secundaria.
A) 18%
B) 22%
C) 27%
D) 30%
E) 33%
SOLUCION:
Planteando:
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
2𝑘
=
𝑆𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎 3𝑘
2k +3k + 45% = 100%
5k = 55%
K = 11%
Por tanto, Secundaria: 3k = 3(11%) = 33%
RESPUESTA: Los alumnos de secundaria representan el 33%.
CLAVE E.
3) José tiene dos hermanos llamados David y Carmen. David tiene 4 años más que José y
Carmen tiene 3 años menos que José. Resulta que la suma de edades de los tres hermanos
es igual a la edad de su padre que tiene 43 años. ¿Cuál es la edad de José?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
SOLUCION:
Plateando las ecuaciones:
José:
X
David:
X+4
Carmen: X – 3
X + X + 4 + X – 3 = 43 (Suma de las edades de los tres hermanos es igual a 43 años)
3X = 42
X = 14
RESPUESTA: José tiene 14 años de edad.
CLAVE D.
4) María debe comprar 15 kilos de arroz para una fiesta. La bolsa de 750 gramos cuesta S/. 3,90
y la bolsa de 5 kilos cuesta S/. 25,00 ¿Cuántos soles ahorrará María si en vez de comprar
únicamente bolsas de 750 gramos compra únicamente bolsas de 5 kilos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
SOLUCION:
Planteando:
1 Bolsa de 750 g cuesta S/. 3,90
1 Bolsa de 5 kg cuesta S/. 25,00
Convirtiendo a kilogramos 750 gramos: 750 g = 750x10 –3 kg = 0,75 kg
Hallando el monto de cada una:
Bolsa de 0,75 kg:
15
15 × 390
× 3,90 =
= 78
0,75
75
Bolsa de 5 kg:
15
× 25,00 = 3 × 25 = 75
3
Ahorrará María: 78 – 75 = 3.
RESPUESTA: María ahorrará S/. 3.
CLAVE A.
5) Se dibujan dos triángulos, uno acutángulo y el otro obtusángulo. Ambos triángulos son
isósceles y cada uno tiene al menos un ángulo de 20°.
Indique la alternativa correcta:
A) El mayor ángulo del triángulo acutángulo es 60 °
B) El menor ángulo del triángulo acutángulo es 40 °
C) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 140°
D) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 160 °
E) El menor ángulo del triángulo obtusángulo es 100 °
SOLUCION:
Graficando:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
Analizando cada una de las alternativas:
A) Falso, porque el mayor ángulo es 80°
B) Falso, porque el menor ángulo es 20°
C) Verdadero, porque el mayor ángulo es 140°
D) Falso, porque el mayor ángulo es 140°
E) Falso, porque el menor ángulo es 20°
RESPUESTA: La alternativa correcta es la opción “C”.
CLAVE C.
6) En un torneo de fútbol el equipo Los Guacamayos resultó campeón. Raúl el goleador de este
equipo, anotó 11 goles en los primeros seis partidos. Si en total se jugaron 7 partidos,
¿Cuántos goles anotó Raúl en el último partido para que su promedio de goles haya sido 2?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
SOLUCION:
Planteando:
Raúl anotó 11 goles en los primeros seis partidos.
Raúl anotó “X” goles en el último partido.
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 + 𝑃5 + 𝑃6 + 𝑃7
=2
7
11 + 𝑋
=2
7
𝑋 = 14 − 11 = 3
RESPUESTA: Raúl anotó 3 goles en el último partido para que su promedio de goles sea dos.
CLAVE C.
7) Juana y Rosa fueron a la misma tienda a hacer sus compras. Juana compró 2 litros de leche y
1 kilogramo de azúcar; Rosa compró 3 litros de leche y 4 kilogramos de azúcar. Si Juana
gastó 10 soles y Rosa gastó 22 soles, ¿Cuántos soles cuesta el litro de leche en dicha tienda?
A) 1,8
B) 2,4
C) 3,6
D) 4,8
E) 6
SOLUCION:
Planteando el sistema de ecuaciones de dos variables:
2L + 1A = 10
→
Juana
3L + 4A = 22
→
Rosa
Donde, L: Número de litros de leche. A: Número de kilogramos de azúcar.
Resolviendo por el método de reducción:
–8L – 4A = 10(–4) Multiplicando por (–4) a la primera ecuación.
3L + 4A = 22
–8L – 4A = –40
3L + 4A = 22
Sumando ambos miembros:
–8L – 4A = –40
3L + 4A = 22
–8L + 3L = – 40 + 22
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
–5L = –18
L = 18/5 = 3,6
RESPUESTA: El litro de leche cuesta S/. 3,60.
CLAVE C.
8) Un artesano fabricó cierta cantidad de joyas iguales. Si vende cada joya a 12 soles recaudará
menos de 250 soles, pero si vende cada joya a 13 soles recaudará más de 250 soles.
¿Cuántas joyas fabricó el artesano?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
SOLUCION:
Planteando:
Cantidad de joyas: X
Si vende cada joya a 12 soles recaudará menos de 250 soles
12𝑋 < 250
250
𝑋<
12
𝑋 < 20,83
Si vende cada joya a 13 soles recaudará más de 250 soles
13𝑋 > 250
250
𝑋>
13
𝑋 > 19,23
De ambas inecuaciones se tiene: 20,83 > X > 19,23. Por tanto: X = 20 (número entero)
RESPUESTA: El artesano fabricó 20 joyas.
CLAVE D.
9) En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de estudiantes de quinto grado de secundaria
del colegio Mariscal Castilla, que han decidido estudiar Matemática, influenciados por la
ONEM. Los datos corresponden a los años 2012 al 2015.
Se sabe que la cantidad de estudiantes en el 2015 fue el doble que en el 2013 y el triple que
en el 2012. Además, hubo 4 estudiantes más el año 2014 que el año 2013. ¿Cuánto fue el
incremento de estudiantes desde el año 2014 al año 2015?
A) 1
B) 2
SOLUCION:
C) 3
D) 4
E) 5
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
Planteando las ecuaciones:
Año 2012: 2X
Año 2013: 3X
Año 2014: 3X + 4
Año 2015: 6X
Tanteando los valores de “X”
“X” no puede tomar los valores de 1 ni de 2 porque no llegarían a la altura que corresponde su
respectiva frecuencia absoluta. Por tanto: X = 3 (“X” tampoco puede tomar valores mayores a
tres)
Reemplazando se tiene:
Año 2014: 3(3) + 4 =13
Año 2015: 6(3) = 18
Incremento de estudiantes desde el año 2014 al año 2015 = 18 – 13 = 5.
RESPUESTA: El incremento fue de 5 estudiantes desde el año 2014 al 2015.
CLAVE E.
10) Antonio quiere comprar un electrodoméstico. En la tienda A dicho electrodoméstico cuesta
1200 soles y le ofrecieron un descuento del 10%. En la tienda B dicho electrodoméstico cuesta
algo más, pero le ofrecieron un descuento del 20%. Antonio se dio cuenta que al final el precio
del electrodoméstico en ambas tiendas era el mismo. ¿Cuánto costaba inicialmente el
electrodoméstico en la tienda B?
A) 1300
B) 1350
C) 1400
D) 1450
SOLUCION:
Planteando:
Tienda A: Electrodoméstico = S/. 1200
Tienda B: Electrodoméstico = S/. 1200 + X
E) 1500
 Descuento del 10%.
 Descuento del 20%.
Tienda A = Tienda B
90%x1200 = 80%(1200+X)
9x1200 = 8(1200+X)
9x150 = 1200+X
1350 – 1200 = X
150 = X
Tienda B: Electrodoméstico = S/. 1200 + S/. 150 = S/. 1350
RESPUESTA: El electrodoméstico en la tienda B inicialmente costaba S/. 1350.
CLAVE B.
11) Sonia tiene N ovejas, donde N es un número entero mayor que 35 y menor que 65. Ella puede
separar sus ovejas en grupos, con 5 ovejas en cada grupo, pero no puede hacer lo mismo con
2 ovejas en cada grupo ni con 3 ovejas en cada grupo. Determina el número de ovejas N.
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
SOLUCION:
Planteando: “N” ovejas, NZ
35 < N < 65
También:
;
y
N = 40; 45; 50; 55; 60
45 y 60 son múltiplos de tres; 40 y 50 son múltiplos de dos, por tanto: N = 55.
RESPUESTA: El número de ovejas es 55.
CLAVE D.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
12) Van a construir una pista circular alrededor de un estadio para los entrenamientos de los
maratonistas. ¿Cuál debe ser el diámetro aproximado de la pista si un corredor debe cubrir un
recorrido total de 42 km al dar 25 vueltas completas a la pista?
Nota: Considere la aproximación  = 3,14.
A) 311,9 m
B) 267,5 m
C) 475,8 m
D) 623,8 m
E) 535 m
SOLUCION:
Graficando:
La longitud de la circunferencia está dato por: C = 2R (R: Radio)
C = D (D: Diámetro)
42 km = 25(D) (25 vueltas)
42 000 m = 25(3,14)D
42 000 m = 78,5D
42 000 m/78,5 = D
535,03 m = D
→ D = 535 m (Redondeando)
RESPUESTA: El diámetro aproximado de la pista es 535 m.
CLAVE E.
13) Para ser miembro de un club, se tiene que pagar por única vez 150 soles por cuota de ingreso
y una mensualidad de 60 soles. Sin embargo, si se paga por adelantado el costo por un
tiempo determinado, el club ofrece un 10% de descuento al monto total. Ramiro quiere ser
miembro del club durante n meses, para lo cual debe pagar por adelantado el monto total M.
Determine M, en función de n.
A) M = 60n + 150
B) M = 54n + 145
C) M = 135n + 60
D) M = 54n + 135
E) M = 45n + 150
SOLUCION:
Planteando:
Pago por el ingreso: S/. 150
(Pago único)
Pago de mensualidad: S/. 60
(Pago que depende de la cantidad de meses)
Tiempo de permanencia: “n” meses.
Descuento: 10% al monto total.
Por tanto el dinero invertido en función de “n” será:
Dinero que gastará Ramiro:
𝑀(𝑛) = 90%(60𝑛 + 150)
90
𝑀(𝑛) =
(60𝑛 + 150)
100
9
9
𝑀(𝑛) =
(60𝑛) +
(150)
10
10
𝑀(𝑛) = 54𝑛 + 135
RESPUESTA: M en función de “n” está dato por: M(n) = 54n + 135.
CLAVE D.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
14) Un tanque que almacena gasolina está completamente lleno. Debido a un desperfecto, cada
semana se evapora la quinta parte de la gasolina que hay en el tanque. Después de 3
semanas se evaporó 122 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina había inicialmente en
el tanque?
A) 250
B) 200
C) 300
D) 244
E) 350
SOLUCION:
Sea “x” la cantidad inicial de gasolina.
Cada semana se evapora 1/5 parte que hay en el tanque.
Primera semana:
1
4
𝐸𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎 = , 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎 =
5
5
Segunda semana:
1 4
4
4 4
16
𝐸𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎 = ( ) =
, 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎 = ( ) =
5 5
25
5 5
25
Tercera semana:
1 16
16
4 16
64
𝐸𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎 = ( ) =
, 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎 = ( ) =
5 25
125
5 25
125
Se evapora en total:
𝑥 4𝑥 16𝑥
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜: +
+
= 122
5 25 125
25𝑥 + 20𝑥 + 16𝑥
= 122
125
61𝑥
= 122
125
𝑥=
122 × 125
= 250
61
RESPUESTA: El tanque inicialmente tenía 250 litros de gasolina.
CLAVE A.
15) ¿Cuál es el mayor divisor de 2016 cuyo cuadrado también es divisor de 2016?
A) 9
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
SOLUCION:
Plateando:
Descomponiendo en sus factores primos:
2016 = 25×32×7
2016 = 22×3 × 22×3 × 7×2
N
N
N = 22×3 = 12 (N es divisor de 2016 y N2 también es divisor de 2016)
RESPUESTA: El mayor divisor de 2016 cuyo cuadrado también es divisor de 2016 es 12.
CLAVE B.
16) Sea ABC un triángulo equilátero y sea D un punto del lado AB. Sean E y F los pies de las
perpendiculares trazadas desde D hacia los lados BC y AC, respectivamente. Si CE = 8 y CF
= 7, determina el perímetro del triángulo ABC.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
A) 20
B) 21
C) 24
D) 25
E) 30
SOLUCION:
∆ABC es equilátero, por tanto: mABC = mBCA = mCAB = 60°. Además: mDAF = 30° y
mBDE = 30°. También ∆DAF y ∆BED son notables (De 30° y 60°), si BE = K, entonces: DB
= 2K. Como el ∆ABC es equilátero: BC = BA = AC = K + 8, por tanto: DA = 8 – K, AF = K + 1.
∆DAF  ∆BED
𝐾
2𝐾
=
1+𝐾 8−𝐾
8 − 𝐾 = 2(1 + 𝐾)
8 − 𝐾 = 2 + 2𝐾
8 − 2 = 𝐾 + 2𝐾
6 = 3𝐾
2=𝐾
Como el ∆ABC es equilátero: BC = BA = AC = K + 8 = 2 + 8 = 10. Por tanto el perímetro es =
3(10) = 30.
RESPUESTA: El perímetro del ∆ABC es 30.
CLAVE E.
17) Un juego consiste en girar dos ruletas. La ruleta A tiene los números del 1 al 5 y la ruleta B
tiene los números del 1 al 6.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
Para ganar un premio el número que apunte la flecha de la ruleta A debe ser mayor que el
número que apunte la flecha de la ruleta B. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio?
A) 1/4
B) 1/3
C) 2/5
D) 1/2
E) 3/10
SOLUCION:
Hallando el espacio muestral:
 = {(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),
(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),
(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),
(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),
(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6)}
Definiendo el evento “M”:
M = El número que apunte la flecha de la ruleta A debe ser mayor que el número que apunte
la flecha de la ruleta B.
M = {(2;1),(3;1),(3;2),(4;1),(4;2),(4;3),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4)} → n(A) = 10
10 1
𝑃(𝑀) =
=
30 3
RESPUESTA: La probabilidad de ganar es 1/3.
CLAVE B.
18) Los números reales positivos x; y; z satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
xy + x + y = 2;
yz + y + z = 5;
zx + z + x = 7.
Determina el valor de x + y + z.
A) 7/2
B) 4
C) 9/2
D) 7
E) 15/2
SOLUCION:
Planteando:
xy + x + y = 2
………….(1)
yz + y + z = 5
………….(2)
zx + z + x = 7
………….(3)
Despejando “x” en la ecuación (1)
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥(𝑦 + 1) + 𝑦 = 2
2−𝑦
𝑥=
… . . (𝛼)
𝑦+1
Reemplazando () en la ecuación (3)
𝑧𝑥 + 𝑧 + 𝑥 = 7
2−𝑦
2´ − 𝑦
𝑧(
)+𝑧+
=7
𝑦+1
𝑦+1
2𝑧 − 𝑧𝑦 + 𝑧𝑦 + 𝑧 + 2 − 𝑦 = 7(𝑦 + 1)
3𝑧 + 2 − 𝑦 = 7𝑦 + 7
3𝑧 = 8𝑦 + 5 … … (𝛽)
Reemplazando () en la ecuación (2)
𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = 5
3𝑦𝑧 + 3𝑦 + 3𝑧 = 3 × 5 … . . (× 3)
(3𝑧)𝑦 + 3𝑦 + 3𝑧 = 15
(8𝑦 + 5)𝑦 + 3𝑦 + 8𝑦 + 5 = 15
8𝑦 2 + 5𝑦 + 3𝑦 + 8𝑦 + 5 = 15
8𝑦 2 + 16𝑦 − 10 = 0
4𝑦 2 + 8𝑦 − 5 = 0
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
(2𝑦 − 1)(2𝑦 + 5) = 0
2𝑦 − 1 = 0 ∨ 2𝑦 + 5 = 0
1
−5
𝑦=
∨ 𝑦=
2
2
𝑦=
1
… . . (𝜃)
2
Reemplazando () en la ecuación ()
3𝑧 = 8𝑦 + 5
1
3𝑧 = 8 ( ) + 5
2
3𝑧 = 4 + 5
9
𝑧=
3
𝑧 = 3 … … . (𝛾)
Reemplazando () en la ecuación (3)
𝑧𝑥 + 𝑧 + 𝑥 = 7
3𝑥 + 3 + 𝑥 = 7
4𝑥 = 4
𝑥=1
Finalmente, hallando:
𝑥+𝑦+𝑧
1
1+ +3
2
1 9
4+ =
2 2
RESPUESTA: El valor de: x + y + z = 9/2.
CLAVE C.
19) La maestra Jimena escribió en la pizarra los números 1; 7; 13; 19; 25; 31, y luego los alumnos
hallaron todos los números primos que se pueden obtener al sumar dos o más números de la
pizarra. ¿Cuántos números primos hallaron los alumnos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
SOLUCION:
Expresando los números en función de múltiplo de tres:


Al sumar dos números impares siempre tendremos un número par (número compuesto)
Al sumar tres números tendremos siempre un número múltiplo de tres, por ejemplo
sumamos:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)


Al sumar cuatro números impares siempre tendremos un número par (número compuesto)
Ahora sumaremos cinco números:
1 + 13 + 19 + 25 + 31 = 89 (número primo)
1 + 7 + 19 + 25 + 31 = 83 (número primo)
1 + 7 + 13 + 25 + 31 = 77 (número compuesto)
1 + 7 + 13 + 19 + 31 = 71 (número primo)
1 + 7 + 13 + 19 + 25 = 65 (número compuesto)
7 + 13 + 19 + 25 + 31 = 95 (número compuesto)
RESPUESTA: Los alumnos hallaron 3 números primos.
CLAVE A.
20) Se tiene una fila de 14 cuadraditos enumerados de la siguiente forma:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Al inicio se coloca una piedra sobre uno de los cuadraditos. La piedra realiza una secuencia de
movimientos de la siguiente forma: Si la piedra está en el cuadradito n, en el siguiente paso se
puede mover al cuadradito n–2 o al cuadradito 2n (sin salirse de la fila). Está permitido que la
piedra visite a un cuadradito más de una vez.
¿Como máximo cuántos cuadraditos diferentes puede visitar la piedra en una secuencia de
movimientos si podemos escoger libremente la posición inicial de la piedra?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
SOLUCION:
Posición inicial: 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Movimiento: n – 2 = 13 – 2 = 11
1
2
3
4
Movimiento: n – 2 = 11 – 2 = 9
1
2
3
4
Movimiento: n – 2 = 9 – 2 = 7
1
2
3
4
Movimiento: n – 2 = 7 – 2 = 5
1
2
3
4
Movimiento: n – 2 = 5 – 2 = 3
1
2
3
4
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 2 (Solucionario)
Movimiento: n – 2 = 3 – 2 = 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Movimiento: 2n = 2(1) = 2
1
2
3
Movimiento: 2n = 2(2) = 4
1
2
3
Movimiento: 2n = 2(4) = 8
1
2
3
Movimiento: n – 2 = 8 – 2 = 6
1
2
3
Movimiento: 2n = 2(6) = 12
1
2
3
Movimiento: n – 2 = 12 – 2 = 10
1
2
3
4
RESPUESTA: La piedrita visita 13 cuadraditos diferentes.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE B.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Primera Fase - Nivel 3 – Solucionario.
1) Andrea rindió cuatro exámenes en el curso de matemática y obtuvo la misma nota en los tres
primeros exámenes. Se sabe que la nota del cuarto examen fue 17 y el promedio de sus
cuatro notas fue 14, ¿Cuál fue la nota el segundo examen?
A) 16
B) 15
C) 11
D) 14
E) 13
SOLUCION:
Planteando:
Sea “X” la nota que obtuvo en los tres primeros exámenes.
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 17
= 14
4
3𝑥 + 17
= 14
4
3𝑥 = 56 − 17
39
𝑥=
= 13
3
RESPUESTA: La nota del segundo examen fue 13.
CLAVE E.
2) En una manifestación hay un grupo numeroso de personas que está ocupando una calle que
tiene 200 metros de largo y 9 metros de ancho. Determine, aproximadamente, cuántas
personas hay en la manifestación si se sabe que en un metro cuadrado hay 4 personas, en
promedio.
A) 36000
B) 10800
C) 7200
D) 108000
E) 72000
SOLUCION:
Planteando:
Área de la calle = (200 m)(9 m) = 18 000 m2 (La calle es de forma rectangular)
Número de personas = 1800(4) = 7200
RESPUESTA: En la manifestación hay 7200 personas.
CLAVE C.
3) En la figura se muestran dos cajas que tienen igual volumen. La caja de la izquierda tiene
forma de un cubo y la caja de la derecha tiene dimensiones 30 cm, 80 cm y 90 cm.
Determine el área de la base de la caja de la izquierda.
A) 3600 cm2
SOLUCION:
B) 4000 cm2 C) 4800 cm2 D) 2400 cm2 E) 4500 cm2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
Plateando:
Volumen de la Caja 1 = L3
(Cubo)
Volumen de la Caja 2 = (30 cm)(90 cm)(80 cm)
(ortoedro)
Volumen(Caja 1) = Volumen(Caja 2)
𝐿3 = 30 × 80 × 90
𝐿3 = 27 × 8 × 1000
3
L = √27 × 8 × 1000
L = 3 × 2 × 10 = 60
Área de la base del cubo = 60x60 = 3600 cm 2
RESPUESTA: El área de la base de la caja de la izquierda es de 3600 cm 2.
CLAVE A.
4) A un grupo de personas se le preguntó por su deporte favorito, con los resultados se elaboró
el siguiente gráfico circular:
Si 12 personas dijeron que su deporte favorito es natación, determine cuál de las siguientes
proposiciones es falsa:
A) 12 personas dijeron que su deporte favorito es basquetbol.
B) Más de 30 personas dijeron que su deporte favorito es fútbol.
C) Más de 20 personas dijeron que su deporte favorito es voleibol.
D) Más de la mitad de las personas prefieren fútbol o voleibol.
E) Menos de la quinta parte del total dijo que su deporte favorito es natación.
SOLUCION:
Planteando: Sea “X” la cantidad total de personas.
45% + 25% + 15% + Natación = 100%
Natación = 100% - 85% = 15%
Natación = 12 personas
15%𝑋 = 12
15𝑋
= 12
100
1200
15
𝑋 = 80
Basquetbol = 12 personas (Representa el 15%)
Fútbol:
45
45%𝑋 =
× 80 = 36 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
100
Voleibol:
25
25%𝑋 =
× 80 = 20 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
100
Analizando cada alternativa:
A) Verdadero, porque Basquetbol = 12 personas.
𝑋=
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
B) Verdadero, porque Fútbol: 36 personas > 30 personas.
C) Falso, porque voleibol: 20 personas y no es más que 20 personas.
D) Verdadero, porque:
(Fútbol + Voleibol) > Mitad de las personas
(36 + 20) > 80/2
56 > 40
E) Verdadero, porque: 80/5 = 16 > 12.
RESPUESTA: La proposición C es falsa.
CLAVE C.
5) ¿Qué cuadrado obtenemos al rotar el cuadrado X, 90° en sentido horario, con centro en el
punto O?
A) A
B) B
C) C
D) D
SOLUCION:
Trazando el origen de las coordenadas en el punto O.
E) E
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
Hallando las coordenadas del cuadrado originado por el cuadrado “X” habiendo rotado 90° en
sentido horario:
Si son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a – 1.
3−0 𝑦−0
(
)(
) = −1
2−0 𝑥−0
3 𝑦
( ) ( ) = −1
2 𝑥
𝑦 −2
=
𝑥
3
𝑦 −2𝑘
=
𝑥
3𝑘
Los radios son iguales, por tanto se cumple:
√(3 − 0)2 + (2 − 0)2 = √(−2𝑘 − 0)2 + (3𝑘 − 0)2
32 + 22 = (−2𝑘)2 + (3𝑘)2
9 + 4 = 4𝑘 2 + 9𝑘 2
13 = 13𝑘 2
𝑘=1
Por tanto: x = 3, y = – 2, cuyo par ordenado hallado es (3;2) y corresponde al cuadrado “A”.
RESPUESTA: Se obtiene el cuadrado “A” al rotar 90° en sentido horario el cuadrado “X” con
centro en el punto “O”.
CLAVE C.
6) La suma de ocho números naturales consecutivos es 92. Sea P el producto de esos ocho
números. ¿Cuál es el menor entero positivo que no es divisor de P?
A) 9
B) 13
C) 23
D) 17
E) 18
SOLUCION:
Planteando la ecuación:
n + (n + 1) + (n + 2) +(n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) = 92
8n + 28 = 92
8n = 92 – 28
n = 64/8 = 8
Producto de los ocho números: P
P = 8x9x10x11x12x13x14x15
Analizando cada alternativa:
A) 9 sí es divisor de P.
B) 13 sí es divisor de P.
C) 23 no es divisor de P, pero no es el menor.
D) 17 no es divisor de P y si es el menor.
E) 18 sí es divisor de P.
RESPUESTA: 17 es el menor entero positivo que no es divisor de P.
CLAVE D.
7) Un estudio determinó que si la entrada del cine cuesta x soles, el número de asistentes será
960 – 60x, donde x es un entero positivo entre 3 y 15, inclusive. ¿Para qué valor de x la
cantidad de dinero que recaude el cine por la venta de las entradas será máxima?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
SOLUCION:
Planteando:
Precio de la entrada: “X” soles, donde: 3 < X < 15
Número de asistentes: 960 – 60X
Recaudación: R(X) = X(960 – 60X)
E) 15
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
Tabulando:
R(4) = 4(960 – 60x4) = 4(960 – 240) = 4(720) = 2880
R(5) = 5(960 – 60x5) = 5(960 – 300) = 5(660) = 3300
R(6) = 6(960 – 60x6) = 6(960 – 360) = 6(600) = 3600
R(7) = 7(960 – 60x7) = 7(960 – 420) = 7(540) = 3780
R(8) = 8(960 – 60x8) = 8(960 – 480) = 8(480) = 3840
R(9) = 9(960 – 60x9) = 9(960 – 540) = 9(420) = 3780
R(10) = 10(960 – 60x10) = 10(960 – 600) = 10(360) = 3600
R(11) = 11(960 – 60x11) = 11(960 – 660) = 11(300) = 3300
R(12) = 12(960 – 60x12) = 12(960 – 720) = 12(240) = 2880
R(13) = 13(960 – 60x13) = 13(960 – 780) = 13(180) = 2340
R(14) = 14(960 – 60x14) = 14(960 – 840) = 14(120) = 1680
(Máximo)
RESPUESTA: Si: X = 8, la recaudación es máxima.
CLAVE C.
8) Sea M el punto medio del lado BC de un triángulo ABC, si se cumple que:
mBAM = 2mMAC = 2mMCA,
Halla la medida del ángulo mABC.
A) 30°
B) 90°
C) 45°
D) 100°
E) 60°
SOLUCION:
Planteando:
Si: mBAM = 2mMAC = 2mMCA, considerando: mMCA = . Se cumple:
mMAC =  y mBAM = 2. Por tanto ∆CAM es isósceles (CM = MA).
Graficando:
En el ∆CAM la suma de dos ángulos internos es igual al ángulo exterior del tercer vértice, por
tanto: mAMB = 2. También mMBA = 2. Por tanto el ∆BAM es equilátero y se cumple:
2= 60° → = 30°
Nos piden hallar: mABC = 2 = 2(30°) = 60°
RESPUESTA: La medida del ABC es 60°.
CLAVE E.
9) Un alumno marcó en el plano cartesiano los siguientes tres puntos: (–3; 4), (4; –5) y (2; 5).
¿Cuál es el cuarto punto que debe marcar el alumno para que los cuatro puntos sean los
vértices de un rectángulo?
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
A) (–3; –4)
B) (0; –6)
C) (–2; –5)
D) (0; –5)
E) (–1; –6)
SOLUCION:
Ubicando el rectángulo ACBD en el plano cartesiano:
Los lados opuestos de un rectángulo son paralelos, por tanto tienen la misma pendiente:
𝑚𝐷𝐴 = 𝑀𝐵𝐶
𝑦 − 4 −5 − 5
=
𝑥+3
4−2
𝑦 − 4 −10
=
𝑥+3
2
𝑦−4
= −5
𝑥+3
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑦 − 4 = −5𝑥 − 15
𝑦 + 5𝑥 = −11 … … (𝛼)
También se cumple:
𝑚𝐴𝐶 = 𝑀𝐷𝐵
4−5
𝑦+5
=
−3 − 2 𝑥 − 4
−1 𝑦 + 5
=
−5 𝑥 − 4
𝑥 − 4 = 5𝑦 + 25
𝑥 = 5𝑦 + 29 … … (𝛽)
Reemplazando () en ():
𝑦 + 5𝑥 = −11
𝑦 + 5(5𝑦 + 29) = −11
𝑦 + 25𝑦 + 145 = −11
26𝑦 = −156
𝑦 = −6
Reemplazando “y” en ():
𝑦 + 5𝑥 = −11
−6 + 5𝑥 = −11
5𝑥 = −5
𝑥 = −1
Por tanto el vértice D = (–1; –6)
RESPUESTA: El cuarto punto es D = (–1; –6).
CLAVE E.
10) Se muestra la tabla de frecuencias de las notas obtenidas por los alumnos de un salón de
clases:
Frecuencia
Frecuencia
Nota
absoluta
relativa
10%
9;11
10
12;14
50%
15;17
6
18;20
¿Cuántos alumnos hay en el salón de clases?
A) 60
B) 40
C) 35
D) 48
SOLUCION:
Completando la tabla y asignado valores:
Frecuencia
Frecuencia
Nota
absoluta
absoluta
acumulada
x
x
9;11
10
10
+x
12;14
y
10 + x + y
15;17
6
16 + x + y
18;20
Trabajando con la frecuencia relativa:
E) 65
Frecuencia
relativa
10%
Frecuencia
relativa
acumulada
10%
50%
𝑥
= 10%
16 + 𝑥 + 𝑦
100%
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑥
10
=
16 + 𝑥 + 𝑦 100
10𝑥 = 16 + 𝑥 + 𝑦
9𝑥 = 16 + 𝑦 … … (𝛼)
También:
𝑦
= 50%
16 + 𝑥 + 𝑦
𝑦
50
=
16 + 𝑥 + 𝑦 100
2𝑦 = 16 + 𝑥 + 𝑦
𝑦 = 16 + 𝑥 … … (𝛽)
Reemplazando () en ()
9𝑥 = 16 + 𝑦
9𝑥 = 16 + 16 + 𝑥
8𝑥 = 32
𝑥=4
Reemplazando “x” en ()
9𝑥 = 16 + 𝑦
9(4) = 16 + 𝑦
36 − 16 = 𝑦
20 = 𝑦
Hallando el total: 16 + x + y = 16 + 4 + 20 = 40
RESPUESTA: En el salón de clases hay 40 alumnos.
CLAVE B.
11) ¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas cumple que su máximo valor es igual al
doble de su mínimo valor?
A) r(x) = 2sen x
B) s(x) = 3cos x
C) t(x) = sen x + 2
D) u(x) = 3sen x – 2
E) v(x) = sen x + 3
SOLUCION:
Dada las siguientes expresiones: Senx y Cosx, el máximo valor es 1 y el mínimo valor es – 1.
Analizando cada alternativa:
A) r(x) = 2senx
 Máximo: 2(1) = 2
 Mínimo: 2(–1) = –2
¡No cumple!
B) s(x) = 3cosx
 Máximo: 3(1) = 3
 Mínimo: 3(–1) = –3
¡No cumple!
C) t(x) = senx + 2
 Máximo: 1 + 2 = 3
 Mínimo: –1+2 = 1
¡No cumple!
D) u(x) = 3senx – 2
 Máximo: 3(1) – 2 = 1
 Mínimo: 3(–1) – 2 = –5
¡No cumple!
E) v(x) = senx + 3
 Máximo: 1 + 3 = 4
 Mínimo: –1 + 3 = 2
¡Sí cumple!
RESPUESTA: En la función v(x) = Senx + 3, se cumple que su máximo valor es igual al doble
de su mínimo valor.
CLAVE E.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
12) Un biólogo observó una muestra durante varios días, y observó que la cantidad de bacterias
que hay en esa muestra, conforme pasan los días, crece según una progresión geométrica. El
día 3 había 3108 bacterias y el día 5 había 2,71013 bacterias. ¿Cuántas bacterias había el
día 4?
A) 2,85109
B) 91010
SOLUCION:
Planteando:
Día 3
P.G.
3108
C) 91011
D) 61011
Día 4
X
E) 2,81011
Día 5
2,71013
P.G.: Progresión Geométrica
q
q
q = razón geométrica
Se cumple:
X = 3108q
También se cumple por ser P.G.:
2,71013 = 3108q2
271013 = 3109q2
(multiplicando por 10)
9104 = q2
𝑞 = √9 × 104
q = 3102
Hallando “X”:
X = 31083102 = 91010
RESPUESTA: El día 4 había 91010 bacterias.
CLAVE B.
13) Un litro de agua pesa 1 kilogramo y un litro de leche pesa 1,05 kilogramos. Se mezcló cierta
cantidad de agua con cierta cantidad de leche y se obtuvo una mezcla de 20 litros que pesa n
kilogramos. ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla?
A) 21(20–n)
B) 20(20–n)
C) 400–n2
D) 20(21–n)
E) 21(19–n)
SOLUCION:
Planteando:
1 litro de agua pesa 1 kg
1 litro de leche pesa 1,05 kg
Sea:
“X”: Cantidad de litros de agua.
“Y”: Cantidad de litros de leche.
Planteando el sistema de dos ecuaciones con dos variables:
1X + 1,05Y = n
X + Y = 20
X + 1,05Y = n
–1,05X – 1,05Y = 20(–1,05)
Sumando ambos miembros:
X + 1,05Y = n
–1,05X – 1,05Y = –21
X –1,05X = n – 21
–0,05X = n – 21
(Resolviendo por el método de reducción)
Multiplicando por: (–1,05)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
–5X = 100(n – 21)
X = 20(21 – n)
Multiplicando por: (100)
Dividiendo entre: (–5)
RESPUESTA: En la mezcla hay: 20(21–n) litros de agua.
CLAVE D.
14) Roberto hace un viaje de ida y vuelta entre Lima y Huacho en su carro, que funciona con gas o
gasolina. En la ida, usando solamente gas, el carro recorre 16 km por galón y en la vuelta,
usando solamente gasolina, recorre 12 km por galón. En total, Roberto utilizó 21 galones de
combustible en este viaje. ¿Cuál es la distancia, en km, entre Lima y Huacho?
A) 120 km
B) 144 km
C) 192 km
D) 132 km
E) 108 km
SOLUCION:
Sea:
“X” la cantidad de gas.
“Y” la cantidad de gasolina.
Planteando las ecuaciones:
X + Y = 21
…()
16X = 12Y →
4X = 3Y
…()
(Las distancias son iguales)
Multiplicando por 4 a la ecuación ()
X + Y = 21
4X + 4Y = 84
3Y + 4Y = 84
Reemplazando ()
7Y = 84
Y = 12
Distancia de Lima a Huacho = 12Y = 12(12) = 144 km
RESPUESTA: La distancia entre Lima y Huacho es de 144 km.
CLAVE B.
15) El rectángulo MNPQ está inscrito en el rectángulo ABCD, como se muestra en la figura. Si AB
= 7, BC = 8 y NP = 2MN, halle el área del rectángulo MNPQ.
A) 26
B) 36
C) 28
D) 32
E) 24
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
SOLUCION:
Plateando:
Si: MN = K → NP = 2K.
Sea también: mNMA = , por tanto se cumple: mNMA = mBNP = mCPQ = .
Sea también: mANM = , por tanto se cumple: mBPN = mBPN = mPQC = .
Asignando algunas variables:
AM = m y NA = n
Como MNPQ es un rectángulo, se cumple NM = PQ = K (Lados opuestos son congruentes)
Si: AB = 7 y BC = 8, entonces se cumple: BN = 7 – n. BP =8 – m.
Se aprecia que: ∆AMN  ∆BNP, entonces se cumple:
2𝐾 7 − 𝑛
=
𝐾
𝑚
2𝑚 = 7 − 𝑛
2𝑚 + 𝑛 = 7 … (𝜃)
También se cumple:
2𝐾 8 − 𝑚
=
𝐾
𝑛
2𝑛 = 8 − 𝑚
2𝑛 + 𝑚 = 8 … (𝛾)
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: () y ()
2m + n = 7
m + 2n = 8
(Resolviendo por el método de reducción)
–4m – 2n = –14
m + 2n =
8
Multiplicando por: (–2)
Sumando ambos miembros:
–4m – 2n = –14
m + 2n =
8
–4m + m = –14 + 8
–3m = – 6
m = 2 …()
Reemplazando () en ()
2m + n = 7
2(2) + n = 7
4+n=7
n=3
Hallando “K” en el ∆AMN utilizando el Teorema de Pitágoras.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑛 2 + 𝑚2 = 𝐾 2
32 + 22 = 𝐾 2
9 + 4 = 𝐾2
√13 = 𝐾
2
El área del rectángulo MNPQ = K(2K) = 2K2 = 2(√13 ) = 2(13) = 26
RESPUESTA: El área del rectángulo MNPQ es 26 u2.
CLAVE A.
16) Sean x; y; z números reales tales que:
x + y = z2 – 3,
y + z = x2 – 3,
z + x = y2 – 3.
Si x ≠ y y además, x ≠ z, calcule el valor de yz.
A) –2
B) √2
SOLUCION:
Planteando:
x + y = z2 – 3
y + z = x2 – 3
z + x = y2 – 3
C) 2
D) 1
E) 9
…()
…()
…()
Escogiendo el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = z2 – 3
…()
y + z = x2 – 3
…()
x + y = z2 – 3 …()
–y – z = –x2 + 3 … ()
Multiplicando por (–1)
x – z = z2 – x2
–(z – x) = (z – x)(z + x)
–1 = z + x
…()
Reemplazando () en la ecuación ()
z + x = y2 – 3
– 1 = y2 – 3
3 – 1 = y2
√2 = 𝑦
Elevando al cuadrado la ecuación ()
(–1)2 = (z + x)2
1 = z2 + 2zx + x2
1 = z2–3+3 + 2zx + x2–3+3
Sumando y restando 3 dos veces.
1 = (z2–3) + 2zx + (x2–3)+3+3
1 = x + y + 2zx + y + z + 6
Reemplazando () y ()
1 = 2y + (x + z) + 6 + 2zx
1 = 2(√2) + (−1) + 6 + 2𝑧𝑥
Reemplazando “y” y ()
1 − 5 − 2√2 = 2𝑧𝑥
−4 − 2√2 = 2𝑧𝑥
−2 − √2 = 𝑧𝑥
Factorizando: (√2)
√2(−√2 − 1) = 𝑧𝑥
𝑧 = √2, 𝑥 = −√2 − 1
Nos piden hallar:
𝑦𝑧 = √2 × √2 = 2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
RESPUESTA: El producto de yz es 2.
CLAVE C.
17) En la figura se muestra el desarrollo de una pirámide de base cuadrada, donde las longitudes
mostradas están expresadas en cm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
A)
448
3
𝑐𝑚3
B) 128 𝑐𝑚3
C)
64√13
3
𝑐𝑚3
D)
64√51
3
𝑐𝑚3
E) 132 𝑐𝑚3
SOLUCION:
Armando la plantilla, obtendremos la siguiente pirámide de base cuadrangular:
La cara lateral de la pirámide está dado por:
Hallando la apotema de la pirámide, utilizando el teorema de Pitágoras:
𝑥 2 + 42 = 92
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑥 2 + 16 = 81
𝑥 2 = 81 − 16
𝑥 = √65
Triángulo formado por la altura de la pirámide, la apotema de la pirámide y apotema de la
base:
Hallando la altura de la pirámide, utilizando el teorema de Pitágoras:
ℎ2 + 42 = √65
ℎ2 + 16 = 65
ℎ2 = 65 − 16
ℎ = √49 = 7
2
El volumen de la pirámide está dado por.
𝐿2 × ℎ
3
Dónde: L = Arista de la base, h = altura de la pirámide.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
82 × 7 64 × 7 448
=
=
3
3
3
RESPUESTA: El volumen de la pirámide es 448/3 cm 3.
CLAVE A
18) En cada casilla del siguiente tablero de 33 debe estar escrito un entero positivo, de tal modo
que el producto de los números de cualquier fila y el producto de los números de cualquier
columna es múltiplo de 30. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de todos los
números escritos en el tablero?
A) 35
B) 43
C) 36
D) 33
E) 30
SOLUCION:
Producto de los números de cualquier fila y columna es múltiplo de 30.
Descomponiendo en sus factores primos: 30 = 235.
Para que sea el menor valor que puede tomar la suma de todos los números escritos en el
tablero, los números tienen que ser: 2; 3 y 5. Una de las soluciones podría ser:
5
2
3
3
5
2
2
3
5
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
Suma de los números en el tablero: (2+3+5)3= 30
RESPUESTA: El menor valor que puede tomar la suma de todos los números escritos en el
tablero es 30.
CLAVE E.
19) Sara observa la cruz ubicada en lo alto de una montaña con un ángulo de elevación de °.
Luego de avanzar 50 metros en dirección a la montaña, ella observa la misma cruz con un
ángulo de elevación de 90 – °. Luego de avanzar 15 metros más, ella observa la cruz con un
ángulo de elevación de 2°. ¿A qué altura (en metros) está la cruz?
A) 65
B) 60
C) 72
D) 50
E) 55
SOLUCION:
Graficando de acuerdo a los datos presentados:
Sea “x” la altura hasta donde se encuentra la cruz. “y” la distancia donde se queda la persona
luego de caminar 65 m hacia la montaña.
Se cumple:
𝑥
𝑇𝑎𝑛𝛼 =
50 + 15 + 𝑦
𝑥
𝑇𝑎𝑛𝛼 =
… (𝛾)
65 + 𝑦
También se cumple:
𝑇𝑎𝑛(90º − 𝛼) =
𝑥
15 + 𝑦
𝑥
15 + 𝑦
1
𝑥
=
𝑇𝑎𝑛𝛼 15 + 𝑦
15 + 𝑦
= 𝑇𝑎𝑛𝛼 … (𝛽)
𝑥
𝐶𝑜𝑡𝛼 =
Igualando: () = (β)
𝑥
15 + 𝑦
=
65 + 𝑦
𝑥
𝑥. 𝑥 = (65 + 𝑦)(15 + 𝑦)
𝑥 2 = 975 + 80𝑦 + 𝑦 2 … (𝜔)
También se cumple:
𝑡𝑎𝑛2𝛼 =
𝑥
𝑦
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
2𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑥
=
… . (𝜃)
1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 2 𝑦
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒
Reemplazando () en ().
2𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑥
=
2
1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑦
15 + 𝑦
)
𝑥
𝑥
2 = 𝑦
15 + 𝑦
1−(
)
𝑥
2(
30 + 2𝑦
𝑥
𝑥
=
2
2
𝑥 − 225 − 30𝑦 − 𝑦
𝑦
𝑥2
(30 + 2𝑦)(𝑥 2 )
𝑥
=
2
2
(𝑥 − 225 − 30𝑦 − 𝑦 )(𝑥)
𝑦
(30 + 2𝑦)𝑦 = 𝑥 2 − 225 − 30𝑦 − 𝑦 2
30𝑦 + 2𝑦 2 = 𝑥 2 − 225 − 30𝑦 − 𝑦 2
3𝑦 2 + 60𝑦 + 225 = 𝑥 2
2
3𝑦 + 60𝑦 + 225 = 975 + 80𝑦 + 𝑦 2 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜔)
2𝑦 2 − 20𝑦 − 750 = 0
𝑦 2 − 10𝑦 − 375 = 0
(𝑦 − 25)(𝑦 + 15) = 0
𝑦 = 25 ó 𝑦 = −15
𝑦 = 25
Reemplazando “y” en ():
𝑥 2 = 975 + 80𝑦 + 𝑦 2
2
𝑥 = 975 + 80(25) + (25)2
𝑥 2 = 975 + 2000 + 625
𝑥 = √3600 = 60
RESPUESTA: La cruz se encuentra a 60 m de altura
CLAVE B.
20) Una calculadora extraña tiene inicialmente el número 1 en su pantalla y solo tiene 2 botones.
Con uno de los botones se le suma 5 al número de la pantalla y con el otro botón se le suma
9. Algunos números se pueden obtener en la pantalla (como 10 y 11), pero hay otros que no
se pueden obtener (como 2 y 8). Encuentre el mayor número que no se puede obtener en la
pantalla y dé como respuesta la suma de los dígitos de dicho número.
A) 5
B) 6
C) 7
SOLUCION:
Graficando la calculadora:
D) 8
E) 9
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
Expresando los números dados en función de múltiplos:

Presionando una y varias veces el mismo botón:
Vamos a tachar todos los múltiplos de cinco más uno a partir de seis: 6, 11, 16, 21,…
(Color amarillo)

Vamos a tachar todos los múltiplos de nueve más uno a partir de diez: 10, 19, 28, 37,…
(Color rojo)
Presionando el botón nueve y luego indefinidamente el botón cinco;

Vamos a tachar todos los múltiplos de cinco a partir de quince: 15, 20, 25, 30,… (Color
verde)
Presionando el botón nueve dos veces y luego indefinidamente el botón cinco;

Vamos a tachar todos los múltiplos de cinco más cuatro a partir de veinticuatro: 24, 29, 34,
39,… (Color celeste)
Presionando el botón nueve tres veces y luego indefinidamente el botón cinco;
Vamos a tachar todos los múltiplos de cinco más tres a partir de treinta y tres: 33, 38, 43,
48,… (Color morado)

Presionando el botón nueve cuatro veces y luego indefinidamente el botón cinco;
Vamos a tachar todos los múltiplos de cinco más dos a partir de cuarenta y dos: 42, 47, 52,
57,… (Color anaranjado)
Los números en los casilleros blancos no han sido tachados:
1
2
3
4
5
6
7
8
11 12 13 14 15 16 17 18
21 22 23 24 25 26 27 28
31 32 33 34 35 36 37 38
41 42 43 44 45 46 47 48
51 52 53 54 55 56 57 58
61 62 63 64 65 66 67 68
71 72 73 74 75 76 77 78
81 82 83 84 85 86 87 88
91 92 93 94 95 96 97 98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 1 – Nivel 3 (Solucionario)
El mayor número que no se puede obtener en la pantalla es 32, cuya suma de cifras es: 3 + 2
= 5.
RESPUESTA: La suma de los dígitos de dicho número es 5.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE A.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Segunda Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) Un documental consta de 16 episodios: Los 4 primeros tienen 1 hora de duración y los 12
siguientes, 40 minutos de duración. Exactamente en la mitad del documental hubo un cambio
de locutor. ¿En cuántos episodios participó el nuevo locutor?
SOLUCION:
Planteando:
16 episodios = 4(1 hora) + 12(40 min)
16 episodios = 4(60 min) + 12(40 min)
16 episodios = 240 min + 480 min
16 episodios = 720 min
Mitad del documental = (720 min)/2 = 360 min = 4(60 min) + 3(40min)
Número de episodios que no participó el nuevo locutor = 4 + 3 = 7
Número de episodios que participó el nuevo locutor = 16 – 7 = 9
RESPUESTA: El nuevo locutor participó en 9 episodios.
2) En el siguiente gráfico se muestra la estimación oficial de la población del departamento de
Arequipa, en miles de personas, al 30 de setiembre de cada año
¿Cuál es la población estimada para el año 2016, en miles de personas?
SOLUCION:
Planteando:
Ya que los años son consecutivos, analicemos la cantidad de personas:
1273 – 1259 = 14
1287 – 1273 = 14
Como la diferencia es constante, se concluye que es una progresión aritmética de razón 14.
Por tanto: Año 2016 = 1287 + 14 = 1301
RESPUESTA: La población estimada para el año 2016, en miles de personas será 1301.
3) Hay algunas canicas en una bolsa. Con respecto al contenido de la bolsa, tres amigos dijeron
lo siguiente:
 Andrés dijo: Hay menos de 10 canicas en la bolsa y todas son verdes.
 Lucas dijo: Hay 5 canicas verdes y 6 canicas blancas en la bolsa.
 Raúl dijo: Hay 7 canicas en la bolsa y todas son verdes.
Se sabe que uno de ellos mintió y los otros dos dijeron la verdad. ¿Cuántas canicas hay en la
bolsa?
SOLUCION:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
Probemos todas las posibilidades:
1ra Posibilidad
Andrés
Mintió
Lucas
Dijo la verdad
Raúl
Dijo la verdad
Es incorrecto
porque Lucas y
Conclusión Raúl se estarían
contradiciendo.
2da Posibilidad
Dijo la verdad
Mintió
Dijo la verdad
Es correcto porque
Andrés y Raúl no
se contradicen. (7
canicas verdes <
10 canicas verdes)
3ra Posibilidad
Dijo la verdad
Dijo la verdad
Mintió
Es incorrecto
porque Andrés y
Lucas se estarían
contradiciendo.
Por tanto el quién mintió es Lucas y los otros dos dijeron la verdad.
RESPUESTA: En la bolsa hay 7 canicas verdes.
4) ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que el producto de sus dígitos es 2016?
SOLUCION:
Sea el número: “x”
Producto de cifras de “x” = 2016
Descomponiendo polinómicamente el número 2016:
2016 = 25x32x7
2016 = 2x2x2x2x2x3x3x7
2016 = 2x2 x7x2x2x2x3x3
ordenando de manera conveniente
2016 = 4x7x8x9
Por tanto: x = 4789.
RESPUESTA: 4789 es el menor número entero positivo tal que el producto de sus dígitos es
2016.
5) En la figura se cumple que AB = AC y PA = PB = QB. Si el ángulo QBC mide 10º, calcule la
medida del ángulo BAC.
SOLUCION:
Graficando:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
Asignamos algunas variables:
mPBQ = , mABP = . Y como el ∆ABP es isósceles (PA=PB), entonces: mPAB = .
En el ∆PAB, la suma de dos ángulos internos es igual al ángulo exterior del tercer vértice, por
tanto: mBPQ = 2. Y como el ∆PBQ es isósceles (PB=BQ), entonces: mPQB = 2.
Además el ∆ABC es isósceles (BA=AC), entonces: mACB = ++10º.
En el ∆ABC se cumple que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º.
2(++10º) +  = 180º
2+2+20º +  = 180º
3+2=160º
…………..(1)
En el ∆PBQ se cumple que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º.
2+2+ = 180º
4+ = 180º
…………..(2)
Planteando el sistema de dos ecuaciones con dos variables (1) Y (2):
3 + 2 = 160º
4 +  = 180º
3 + 2 = 160º
–8 – 2 = –360º
(Resolviendo por el método de reducción)
Multiplicando por: (–2)
Sumando ambos miembros:
3 + 2 = 160º
–8 – 2 = –360º
3 – 8 = 160º – 360º
–5 = –200º
 = (–200º)/(–5º) = 40º
mBAC =  = 40º .
RESPUESTA: La mBAC = 40º.
6) Roberto escogió un número entero n. Luego, en la recta numérica ubicó los puntos
correspondientes a los números 10n, n3 y n. Resultó que los puntos quedaron en ese mismo
orden, es decir, 10n quedó a la izquierda de n3 y éste quedó a la izquierda de n.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
¿Para cuántos valores de n ocurre esta situación?
SOLUCION:
Ubicando los puntos en la recta numérica:
nZ
Tabulando se tiene:
Si: n = x 
10n,
Si: n = –5 
–50
Si: n = –4 
–40
Si: n = –3 
–30
Si: n = –2 
–20
Si: n = –1 
–10
Si: n = 0 
0
Si: n = 1 
10
Si: n = 2 
20
Si: n = 3 
30
n3,
–125
–64
–27
–8
–1
0
1
8
27
n
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
¡No cumple!
¡No cumple!
¡Cumple!
¡Cumple!
¡No cumple!
¡No cumple!
¡No cumple!
¡No cumple!
¡No cumple!
RESPUESTA: Para 2 valores de “n” ocurre esta situación.
7) En algunas casillas de un tablero de 3x3 están escritos los siguientes números:
1
8
10
4
Queremos escribir un número entero positivo en cada una de las casillas vacías de tal modo
que se cumplan las siguientes condiciones:
 Los nueve números del tablero deben ser distintos entre sí.
 La suma de los cuatro números en cada cuadrado de 2x2 es siempre la misma.
Determine el menor valor que puede tomar la suma de los nueve números del tablero.
SOLUCION:
Planteando y asignando variables:
1
b
4
1+8+b+c=S
b+c+d+4=S
a + 8 + 10 + c = S
c + d + e + 10 = S
…..(1)
…..(2)
…..(3)
…..(4)
(1) = (2)
1+8+b+c=b+c+d+4
9=d+4
5=d
8
c
d
a
10
e
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
(3) = (4)
a + 8 + 10 + c = c + d + e + 10
a+8=d+e
a+8=5+e
a+3=e
(2) = (4)
b + c + d + 4 = c + d + e + 10
b + 4 = e + 10
b=e+6
Ahora vamos a tantear, teniendo en cuenta los mínimos valores posibles y que sean diferentes
entre sí:
Si: e = 6
Reemplazando “e” se tiene:
a+3=6
a=3
b=e+6
b=6+6
b = 12
Reemplazando en la tabla se tiene:
1
12
4
8
c
5
3
10
6
Como nos piden los mínimos valores posibles y diferentes entre sí, por tanto c = 2
Suma de todos los números = 1 + 8 + 3 + 12 + 2 + 10 + 4 + 5 + 6 = 51.
RESPUESTA: El menor valor que puede tomar la suma de los 9 números del tablero es 51.
8) El triángulo rectángulo ABC ha sido dividido en un rectángulo y dos triángulos. El rectángulo y
un triángulo tienen área 12 cm2, ¿Cuál es el área del otro triángulo, en cm2?
SOLUCION:
Graficando:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
Asignando variables:
FE = DB = a
ED = FB = b
AF = c
CD = d
𝑏𝑑
𝐴𝑟𝑒𝑎 ∆𝐷𝐸𝐶 =
2
En el rectángulo BDEF, el área está dado por: 𝑎 × 𝑏 = 12 . . . (1)
En el ∆AEF, el área está dado por:
𝑎×𝑐
= 12
2
𝑎 × 𝑐 = 24 … (2)
Dividiendo la ecuación (1)  (2)
𝑎 × 𝑏 12
=
𝑎 × 𝑐 24
𝑏 1
=
𝑐 2
2𝑏 = 𝑐
También se cumple que:
Área ∆ABC = Área ∆AEF + Área BDEF + Área ∆DEC
(𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑑)
𝑏×𝑑
= 12 + 12 +
2
2
(𝑏 + 2𝑏)(𝑎 + 𝑑)
𝑏×𝑑
= 24 +
2
2
Reemplazando: c = 2b
3𝑏(𝑎 + 𝑑)
𝑏×𝑑
= 24 +
2
2
3𝑎𝑏 + 3𝑏𝑑
𝑏×𝑑
= 24 +
2
2
3(12) + 3𝑏𝑑
𝑏×𝑑
= 24 +
2
2
Reemplazando: ab = 12
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
36 + 3𝑏𝑑 = 48 + 𝑏𝑑
3𝑏𝑑 − 𝑏𝑑 = 48 − 36
2𝑏𝑑 = 12
𝑏𝑑 = 6
𝑏𝑑 6
=
2
2
Multiplicando por (2)
𝑏𝑑
=3
2
𝐴𝑟𝑒𝑎 ∆𝐷𝐸𝐶 = 3
RESPUESTA: El área del DEC es 3 cm2.
9) Sean a y b dos números enteros positivos tales que a > b y el mínimo común múltiplo de a y b
es 200. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la diferencia a – b?
SOLUCION:
Planteando:
{a;b}  Z, a > b
MCM(a; b) = 200
Sean:
a = k
b = k
Donde  y  son números primos entres sí (PESI)
MCM(a; b) = 200
MCM(k; k) = 200
k = 200
k = 2x2x2x5x5
Descomponiendo en sus factores primos
k = (5x2)x5x(2x2)
Ordenando de manera adecuada
k = 10x5x4
5 y 4 son números PESI cuya diferencia es la menor posible
Por tanto: k = 10,  = 5,  = 4.
Reemplazando:
a = k

a = 5(10) = 50
b = k

b = 4(10) = 40
Por tanto: a – b = 50 – 40 = 10
RESPUESTA: El menor valor que puede tomar la diferencia: “a – b” es 10.
10) En un tablero de 6x6 cada casilla se pinta de rojo o azul de tal manera que cualquier casilla
tiene un número impar de casillas vecinas rojas. ¿Cuántas casillas rojas puede haber como
máximo?
Aclaración: Considere que dos casillas son vecinas si comparten un lado.
SOLUCION:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 1 (Solucionario)
Pintando de forma adecuada de tal manera que cualquier casilla tenga un número impar de
casillas vecinas rojas:
Por tanto:
Casilleros azules = 12
Casilleros rojos = 24
RESPUESTA: El tablero puede tener como máximo 24 casillas rojas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Segunda Fase - Nivel 2 – Solucionario.
1) En los exámenes del primer bimestre Paola obtuvo 13 como nota promedio de los cursos de
Historia, Inglés, Comunicación y Matemática. En el segundo bimestre ella aumentó 1 punto en
Historia, 2 puntos en Inglés, 2 puntos en Comunicación y 3 puntos en Matemática, con
respecto al bimestre anterior. ¿Cuál fue la nota promedio de Paola de estos cuatro cursos en
el segundo bimestre?
SOLUCION:
Planteando:
Sea “X” la nota promedio de Paola de estos cuatro cursos en el II Bimestre.
I Bimestre:
𝐻+𝐼+𝐶+𝑀
= 13
4
𝐻 + 𝐼 + 𝐶 + 𝑀 = 52 … (𝛼)
II Bimestre:
(𝐻 + 1) + (𝐼 + 2) + (𝐶 + 2) + (𝑀 + 3)
=𝑋
4
(𝐻 + 𝐼 + 𝐶 + 𝑀) + (1 + 2 + 2 + 3)
=𝑋
4
Reemplazando ()
52 + 8
=𝑋
4
60
=𝑋
4
15 = 𝑋
RESPUESTA: La nota promedio de Paola de estos cuatro cursos (Historia, Inglés,
Comunicación y Matemática) en el segundo bimestre fue 15.
2) Un fabricante de perfume decidió reducir en 10 ml la cantidad de perfume de cada frasco. Al
hacer esto, resulta que el contenido de 25 frascos equivale al contenido de 20 frascos antes
de la reducción. ¿Cuántos ml de perfume contenía cada frasco al inicio?
SOLUCION:
Cantidad en ml de perfume que contenía cada frasco al inicio: x
Planteando la ecuación:
25(x – 10) = 20x
25x – 250 = 20x
25x – 20x = 250
5x = 250
x = 50
RESPUESTA: Al inicio cada frasco tenía 50 ml de perfume.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
3) Sean M; N; P; Q puntos de los lados DA; AB; BC; CD de un rectángulo ABCD,
respectivamente, tales que MN; NP; PQ forman ángulos de 45º con los lados del rectángulo. Si
MD = 2 y BN = 4, determine la longitud del segmento QD.
SOLUCION:
Graficando:
Los triángulos AMN, BNP y CQP son triángulos rectángulos isósceles.
Si: QD = x y AM = a, entonces NA = a, por tanto PC = a – 2 y CQ = a – 2.
Como ABCD es un rectángulo, entonces se cumple:
BA = CD
a+4=a–2+x
4+2=x
6=x
RESPUESTA: La longitud del segmento QD es 6 unidades lineales.
4) ¿Cuál es el menor número entero positivo, múltiplo de 3, tal que el producto de sus dígitos es
2016?
SOLUCION:
Sea el número:
Producto de cifras de “x” es 2016
Descomponiendo polinómicamente el número 2016:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
2016 = 25x32x7
2016 = 2x2x2x2x2x3x3x7
2016 = 2x3x2x3x2x2x2x7
2016 = 6x6x8x7
2016 = 6x6x7x8
ordenando de manera conveniente
ordenando para que sea menor
Suma de cifras: 6 + 6 + 7 + 8 = 27 = Es múltiplo de tres.
RESPUESTA: El número 6678 es el menor número entero positivo, múltiplo de 3, tal que el
producto de sus dígitos es 2016.
5) Los asientos de un auditorio están distribuidos en m filas y n columnas. Durante un seminario
se observó que en cada fila había dos asientos vacíos y en cada columna había un asiento
vacío. Halle el número total de asientos del auditorio si se sabe que este número es mayor que
350 y menor que 400.
SOLUCION:
Graficando:
1
2
3
4
⁞
m
2
3
4
5
6
7
8
…
n
Los asientos vacíos están sombreados.
Número total de asientos: X
350 < X < 400. También: X = m.n
“m” filas
“n” columnas
En un tablero de 1x2 = 2 asientos en total.
En un tablero de 2x4 = 8 asientos en total.
En un tablero de 3x6 = 18 asientos en total.
En un tablero de 4x8 = 32 asientos en total.
En un tablero de 5x10 = 50 asientos en total.
En un tablero de 6x12 = 72 asientos en total.
En un tablero de 7x14 = 98 asientos en total.
En un tablero de 8x16 = 128 asientos en total.
En un tablero de 9x18 = 162 asientos en total.
En un tablero de 10x20 = 200 asientos en total.
En un tablero de 11x22 = 242 asientos en total.
En un tablero de 12x24 = 288 asientos en total.
En un tablero de 13x26 = 338 asientos en total.
En un tablero de 14x28 = 392 asientos en total.
También podemos decir que hay 14 filas y 28 columnas.
RESPUESTA: El número total de asientos del auditorio es 392.
6) Sea ABCD un cuadrado de lado 8. Si AM = AQ = 4 cm y BN = CP = 2 cm, halle la diferencia
de las áreas de los cuadriláteros PDQX y MBNX, en cm2.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
SOLUCION:
Planteado:
Si: AM = 4, entonces: MB = 4. Si: AQ = 4, entonces: QD = 4.
Si: BN = 2, entonces: NC = 6. Si: CP = 2, entonces: PD = 6.
Asignando variables a cada una de las áreas de las regiones:
A1 = MBNX, A2 = XNCP, A3 = AMXQ, A4 = PDQX
Nos piden hallar la diferencia de las áreas de los cuadriláteros PDQX y MBNX, es decir:
A4 – A1
Se sabe que el área de un trapecio está dato por:
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 =
Por tanto se tiene:
A1 + A2 = 24
A2 + A4 = 40
(𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
𝐴1 + 𝐴2 =
(4 + 2)8
= 6 × 4 = 24
2
𝐴2 + 𝐴4 =
(6 + 4)8
= 10 × 4 = 40
2
Multiplicando por (–1) a la primera ecuación y sumando:
–A1 – A2 = –24
A2 + A4 = 40
A4 – A1 = 40 – 24
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
A4 – A1 = 16
RESPUESTA: la diferencia de las áreas de los cuadriláteros PDQX y MBNX es 16 cm2.
7) Sean x, y, z números reales tales que:
𝑥 2 + 5𝑥𝑧 + 𝑧 2 = 7
𝑥 2 𝑧 + 𝑥𝑧 2 = 2
Si: x + z  2, determina el valor de (6xz)2.
SOLUCION:
Trabajando la ecuación:
𝑥 2 𝑧 + 𝑥𝑧 2 = 2
𝑥𝑧(𝑥 + 𝑧) = 2
2
(𝑥 + 𝑧) =
𝑥𝑧
(𝑥 + 𝑧)2 =
4
… (1)
(𝑥𝑧)2
Elevando al cuadrado
Trabajando ahora la otra ecuación:
𝑥 2 + 5𝑥𝑧 + 𝑧 2 = 7
(𝑥 + 2𝑥𝑧 + 𝑧 2 ) + 3𝑥𝑧 = 7
(𝑥 + 𝑧)2 + 3𝑥𝑧 = 7
4
+ 3(𝑥𝑧) = 7
(𝑥𝑧)2
2
Trinomio cuadrado perfecto
Reemplazando la ecuación (1)
4 + 3(𝑥𝑧)3 = 7(𝑥𝑧)2
3(𝑥𝑧)3 − 7(𝑥𝑧)2 + 4 = 0
Factorizando
(3𝑥𝑧 + 2)(𝑥𝑧 − 2)(𝑥𝑧 − 1) = 0
3𝑥𝑧 + 2 = 0 ó 𝑥𝑧 − 2 = 0 ó 𝑥𝑧 − 1 = 0
−2
𝑥𝑧 =
ó 𝑥𝑧 = 2 ó 𝑥𝑧 = 1
3
“xz” no podría ser igual a 2 porque “x” y “z” saldrían con números imaginarios.
“xz” no podría ser igual a 1 porque se cumpliría que: “x + z = 2”.
Por tanto: xz = –2/3. Porque sus valores de “x” y “z” serán números reales.
Hallando el valor de: (6xz)2.
(6𝑥𝑧)2
−2 2
Reemplazando “xz”
(6 ×
)
3
(2 × −2)2
(−4)2
16
RESPUESTA: El valor de (6xz)2 es 16
.
8) Se tiene 57 palitos que están distribuidos de la siguiente manera:
Un movimiento consiste en quitar 3 palitos que formen alguna de las siguientes figuras:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
¿Cuál es la mayor cantidad de movimientos seguidos que se puede realizar?
SOLUCION:
Hay varias soluciones, pero proponemos la siguiente:
Movimiento 1:
Movimiento 2:
Movimiento 3:
Movimiento 4:
Movimiento 5:
Movimiento 6:
Movimiento 7:
Movimiento 8:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
Movimiento 9:
Movimiento 10:
Movimiento 11:
Movimiento 12:
Movimiento 13:
Movimiento 14:
Movimiento 15:
Movimiento 16:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
Movimiento 17:
RESPUESTA: La mayor cantidad de movimientos seguidos que se pueden realizar es 17.
9) Sean a; b; c; d números enteros positivos tales que a > b > c > d y además:
mcd(a; b) + mcd(a; c) + mcd(a; d) = 105.
Halla el menor valor posible de a.
Aclaración: mcd(r; s) denota al máximo común divisor de los números enteros positivos r y s.
SOLUCION:
Descomponiendo en sus factores primos: 105 = 3x5x7
Elegimos los menores factores: 3x5 = 15
Por tanto los números estarán dados por:
a = 15A
b = 15B
c = 15C
d = 15D
Reemplazando tendríamos:
mcd(a; b) + mcd(a; c) + mcd(a; d) = 105.
mcd(15A; 15B) + mcd(15A; 15C) + mcd(15A; 15D) = 15x7
mcd(A; B) + mcd(A; C) + mcd(A; D) = 7
Tanteando: A = 6, B = 4, C = 3 y D = 2.
mcd(6; 4) + mcd(6; 3) + mcd(6; 2) = 7
2
+
3 +
2
= 7
¡Cumple!
Reemplazando:
a = 15(6) = 90
b = 15(4) = 60
c = 15(3) = 45
d = 15(2) = 30
RESPUESTA: El menor valor posible de “a” es 90
10) Determina el menor valor que puede tomar la expresión:
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏 − 28)
(𝑎 − 1)(𝑏 − 27)
Donde a y b son números reales positivos tales que a > 1 y b > 27.
SOLUCION:
Tanteando se obtiene los siguientes valores:
a = 4 y b = 36
Reemplazando:
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏 − 28)
(𝑎 − 1)(𝑏 − 27)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 2 (Solucionario)
4 × 36(4 + 36 − 28)
(4 − 1)(36 − 27)
4 × 36(12)
(3)(9)
4×4×4
64
RESPUESTA: El menor valor que puede tomar dicha expresión es 64.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
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Segunda Fase - Nivel 3 – Solucionario.
1) Alejandra, Ruth y Edwin fueron al mercado para abastecer sus juguerías. Alejandra compró 2
piñas y 3 papayas. Ruth compró 5 piñas y 1 papaya. Edwin compró 4 piñas y 2 papayas. Si
Alejandra gastó 42 soles y Ruth gastó 40 soles, ¿Cuántos soles gastó Edwin?
Aclaración: Considere que todas las piñas cuestan lo mismo y que todas las papayas cuestan
lo mismo.
SOLUCION:
Planteando:
x: Precio unitario de la piña.
y: Precio unitario de la papaya.
Alejandra: 2x + 3y = 42 … ()
Ruth:
5x + y = 40 … ()
Edwin:
4x + 2y
Planteando el sistema de ecuaciones de dos variables () y ():
2x + 3y = 42
5x + y = 40
2x + 3y = 42
–15x – 3y = –120
Multiplicando por (–3)
Sumando ambos miembros:
2x + 3y = 42
–15x – 3y = –120
2x – 15x = 42 – 120
– 13x = – 78
x=6
Reemplazando “x” en ():
2x + 3y = 42
2(6) + 3y = 42
3y = 42 – 12
y = 30/3 = 10
Hallando lo que gastó Edwin:
Edwin:
4(6) + 2(10)
24 + 20 = 44
RESPUESTA: Edwin gastó S/ 44.
2) Gregorio tiene dos dados, uno rojo y otro azul. ¿Cuántas posibilidades existen, de que al
lanzar Gregorio sus dos dados, obtenga dos números cuyo producto sea par?
SOLUCION:
Hallando el espacio muestral:
 = {(R1; A1), (R1; A2), (R1; A3), (R1; A4), (R1; A5), (R1; A6),
(R2; A1), (R2; A2), (R2; A3), (R2; A4), (R2; A5), (R2; A6),
(R3; A1), (R3; A2), (R3; A3), (R3; A4), (R3; A5), (R3; A6),
(R4; A1), (R4; A2), (R4; A3), (R4; A4), (R4; A5), (R4; A6),
(R5; A1), (R5; A2), (R5; A3), (R5; A4), (R5; A5), (R5; A6),
(R6; A1), (R6; A2), (R6; A3), (R6; A4), (R6; A5), (R6; A6)}
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
Los que están sombreados de color verde, son los que al multiplicar los números de dichos
dados resulta un número par. Total = 27.
RESPUESTA: Existen 27 posibilidades que al lanzar los dados se obtenga dos números cuyo
producto sea par.
3) Sea ABCD un cuadrado de lado 12. Sean E y F puntos de los lados AB y AD,
respectivamente, tales que CEF = 90°. Si el área del triángulo CBE es igual a 4 veces el área
del triángulo EAF, halla la longitud del segmento CF.
SOLUCION:
Graficando se tiene:
Asignando algunas variables:
Si: BE = a, entonces EF = 12 – a.
Si: AF = b, entonces FD = 12 – b.
CF = x
En el BEC la hipotenusa estará dado por (Teorema de Pitágoras):
𝐸𝐶 = √𝑎2 + 122
En el AFE la hipotenusa estará dado por (Teorema de Pitágoras):
𝐸𝐹 = √(12 − 𝑎)2 + 𝑏 2
En el CDF la hipotenusa estará dado por (Teorema de Pitágoras):
𝑥 2 = (12 − 𝑏)2 + 122 … . (𝛼)
Por dato del problema se tiene:
Área CBE = 4(Área EAF)
𝑎 × 12 4(12 − 𝑎)𝑏
=
2
2
12𝑎 = 4𝑏(12 − 𝑎)
3𝑎 = 𝑏(12 − 𝑎)
3𝑎 = 12𝑏 − 𝑎𝑏
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
3𝑎 + 𝑎𝑏 = 12𝑏
𝑎(3 + 𝑏) = 12𝑏
12𝑏
𝑎=
… . (𝜃)
𝑏+3
En el FEC la hipotenusa estará dado por (Teorema de Pitágoras):
2
2
𝑥 2 = (√𝑎2 + 122 ) + (√(12 − 𝑎)2 + 𝑏 2 )
𝑥 2 = 𝑎2 + 122 + (12 − 𝑎)2 + 𝑏 2 … . . (𝛽)
() = ()
(12 − 𝑏) + 12 = 𝑎2 + 122 + (12 − 𝑎)2 + 𝑏 2
144 − 24𝑏 + 𝑏 2 + 144 = 𝑎2 + 144 + 144 − 24𝑎 + 𝑎2 + 𝑏 2
−24𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 −24𝑎 + 𝑎2 + 𝑏 2
−24𝑏 = 2𝑎2 − 24𝑎
−12𝑏 = 𝑎2 − 12𝑎
2
2
Reemplazando ()
−12𝑏 = 𝑎2 − 12𝑎
12𝑏 2
12𝑏
−12𝑏 = (
) − 12 (
)
𝑏+3
𝑏+3
−12𝑏 =
12𝑏 × 12𝑏 12 × 12𝑏
−
(𝑏 + 3)2
𝑏+3
−1 =
−1 =
12𝑏
12
−
(𝑏 + 3)2 𝑏 + 3
Dividiendo entre: 12b
12𝑏
12(𝑏 + 3)
−
(𝑏 + 3)2 (𝑏 + 3)(𝑏 + 3)
−1 =
12𝑏 − 12𝑏 − 36
(𝑏 + 3)2
−1 =
−36
(𝑏 + 3)2
(𝑏 + 3)2 = 36
𝑏+3=6
𝑏=3
Reemplazando “b” en ()
𝑥 2 = (12 − 𝑏)2 + 122
𝑥 2 = (12 − 3)2 + 122
𝑥 2 = 92 + 122
𝑥 2 = 81 + 144
𝑥 = √225
𝑥 = 15
RESPUESTA: La longitud del segmento CF es 15
4) ¿Cuál es el menor número entero positivo, múltiplo de 4, tal que el producto de sus dígitos es
2016?
SOLUCION:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
Sea el número:
Producto de cifras de “x” es 2016
Descomponiendo polinómicamente el número 2016:
2016 = 25x32x7
2016 = 2x2x2x2x2x3x3x7
2016 = 2x3x7x2x3x2x2x2
ordenando de manera conveniente
2016 = 6x7x6x8
Por tanto: x = 6768
Criterio de divisibilidad por cuatro: Las dos últimas cifras es un múltiplo de cuatro.
, porque 4(17) = 68
RESPUESTA: El número 6768 es el menor número entero positivo, múltiplo de 4, tal que el
producto de sus dígitos es 2016.
5) Un conjunto A está formado por 10 números reales (distintos), de tal modo que la suma de
cualesquiera seis de ellos es mayor que la suma de los otros cuatro elementos. ¿Cuál es la
menor cantidad de elementos positivos que puede tener el conjunto A?
SOLUCION:
El conjunto A está formado por:
A = {n1; n2; n3; n4; n5; n6; n7; n8; n9; n10}
A  R;
R: Números Reales.
Debe cumplirse:
Sumatoria (6 números) > Sumatoria (otros 4 números)
 Vamos a probar que los diez números son positivos.
Para ello vamos asumir que están en progresión aritmética:
A = {n; n+r; n+2r; n+3r; n+4r; n+5r; n+6r; n+7r; n+8r; n+9r}
r > 0; nR
Vamos a sumar los números menores para comparar con los mayores:
n + (n+r) + (n+2r) + (n+3r) + (n+4r) + (n+5r) > (n+6r) + (n+7r) + (n+8r) + (n+9r)
6n + 15r > 4n + 30r
2n > 15r
Probemos un ejemplo: n = 8, r = 1
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17}
8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 > 14 + 15 + 16 + 17
63 > 62
¡Cumple!

Ahora vamos a probar que los nueve números son positivos y uno negativo.
Para ello vamos asumir que están en progresión aritmética:
A = {a; n; n+r; n+2r; n+3r; n+4r; n+5r; n+6r; n+7r; n+8r}
r > 0; a < 0; nR
Vamos a sumar los números menores para comparar con los mayores:
a + n + (n+r) + (n+2r) + (n+3r) + (n+4r) > (n+5r) + (n+6r) + (n+7r) + (n+8r)
a + 5n + 10r > 4n + 26r
a + n > 16r
Probemos un ejemplo: n = 20,
r=1
A = {a; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29}
a + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 > 25 + 26 + 27 + 28
a + 110 > 106
“a” podría tomar valores negativos: a = {–1; –2; –3}
¡Cumple!

Ahora vamos a probar que los ocho números son positivos y dos negativos.
Para ello vamos asumir que están en progresión aritmética:
A = {a; b; n; n+r; n+2r; n+3r; n+4r; n+5r; n+6r; n+7r}
r>0; a<0; b<0; nR
Vamos a sumar los números menores para comparar con los mayores:
a + b + n + (n+r) + (n+2r) + (n+3r) > (n+4r) + (n+5r) + (n+6r) + (n+7r)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
a + b + 4n + 6r > 4n + 22r
a + b > 16r
Como hemos asumido que a y b son números menores que cero, la inecuación anterior es
inconsistente porque la suma de dos números negativos no es mayor que un número positivo.
Por tanto, los elementos del conjunto “A” no puede tener dos números negativos.
Finalmente se concluye que el conjunto “A” a lo más puede tener un elemento negativo.
RESPUESTA: La menor cantidad de elementos positivos que puede tener el conjunto A es 9
6) Determina el menor número entero n, con n > 1, tal que los dos números:
son racionales.
SOLUCION:
Planteando la ecuación:
√
𝑛+1
=𝑘
2
𝑛+1
= 𝑘2
2
𝑛 + 1 = 2𝑘 2
𝑛 = 2𝑘 2 − 1 … (𝛼)
Planteando la ecuación:
𝑛+2
√
=𝑝
3
𝑛+2
= 𝑝2
3
𝑛 + 2 = 3𝑝2
𝑛 = 3𝑝2 − 2 … (𝛽)
() = ()
2𝑘 2 − 1 = 3𝑝2 − 2
2𝑘 2 + 1 = 3𝑝2
Tabulando: k = 11
2(11)2 + 1 = 3𝑝2
2(121) + 1 = 3𝑝2
243
= 𝑝2
3
√81 = 𝑝
9=𝑝
Reemplazando “k” en ()
𝑛 = 2𝑘 2 − 1
𝑛 = 2(11)2 − 1
𝑛 = 2(121) − 1
𝑛 = 242 − 1
𝑛 = 241
Reemplazando “p” en ()
𝑛 = 3𝑝2 − 2
𝑛 = 3(9)2 − 2
𝑛 = 3(81) − 2
√
𝑛+1
2
y
√
𝑛+2
3
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑛 = 243 − 2
𝑛 = 241
RESPUESTA: El menor número entero “n” es 241.
7) ¿Cuántos números enteros positivos menores que 216 + 215 se pueden expresar como la suma
de cinco potencias de 2, todas diferentes entre sí?
Aclaración: Considere que las potencias de 2 son 20; 21; 22; 23;…
SOLUCION:
Planteando:
X < 216 + 215
X = 20 + 21 + 22 + 23;… Suma de cinco potencias de 2, todas diferentes entre sí
Podemos decir que los exponentes de las potencias de 2 podrían estar comprendidos entre 0
y 16, pero tienen que ser diferentes entre sí y menor que 216 + 215
Vamos a trabajar con los exponentes ya que la base siempre será el 2.
Se tiene que elegir 5 exponentes diferentes comprendidos entre de 0 a 15 (En total 16) y esto
obedece a una combinación sin repetición, porque no importa el orden de sus elementos (El
orden de los sumandos no altera la suma)
Combinación:
𝑛
𝑛!
( )=
𝑘
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
16
16!
( )=
5
(16 − 5)! × 5!
16
16!
( )=
5
(11)! × 5!
16
16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11!
( )=
5
11! × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
16
16 × 15 × 14 × 13 × 12
( )=
5
5×4×3×2×1
16
( ) = 2 × 14 × 13 × 12
5
16
( ) = 4368
5
Ahora vamos a ver cuando uno de los sumandos es 216, es decir, que se tendría que elegir 4
exponentes diferentes comprendidos entre de 0 a 14 (En total 15).
15
15!
( )=
4
(15 − 4)! × 4!
15
15!
( )=
4
(11)! × 4!
15
15 × 14 × 13 × 12 × 11!
( )=
4
11! × 4 × 3 × 2 × 1
15
15 × 14 × 13 × 12
( )=
4
4×3×2×1
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
15
( ) = 5 × 7 × 13 × 3
4
15
( ) = 1365
4
En total se tendría: 4368 + 1365 = 5733
RESPUESTA: 5733 números enteros positivos menores que 216 + 215 se pueden expresar
como la suma de cinco potencias de 2, todas diferentes entre sí.
8) Sea ABC un triángulo acutángulo tal que BAC = 2BCA. Sea D un punto interior tal que
DAC = 2DCA. Sean E y F los pies de las alturas trazadas desde B y D hacia el lado AC,
respectivamente. Si AD = 12 y EF = 4, halla la longitud del lado AB.
SOLUCION:
Graficando se tiene:
Asignando algunas variables:
AE = m, AB = x
Si: mBCA = . Se cumple: mBAC = 2.
Si: mDCA = . Se cumple: mDAC = 2.
Trazamos el segmento DG con la condición de que mCDG = .
En el DAG, mDGA = 2 (Suma de ángulos internos del DGC). Por tanto el DAG es
isósceles: DA = DG = 12, y también: AF = FG = m + 4.
También el DCG es isósceles: DG = GC = 12
Ahora trazamos los segmentos BH Y HA con la condición de que mBHA = . Por tanto
mHBA = .
Se concluye que el HBC es isósceles, por tanto:
HE = EC
x + m = 4 + m + 4 + 12
x = 20
RESPUESTA: La longitud del lado AB es 20.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
9) Sean x; y números reales positivos tales que x3 + y3 = 3xy. Sea M el mayor valor que puede
tomar x. Determina el valor de 12.M12.
SOLUCION:
Plateando:
x=M
(El mayor valor que puede tomar “x” es “M”)
Reemplazando se tiene:
x3 + y3 = 3xy
M3 + y3 = 3My
y3 – 3My + M3 = 0
Asignando variables se tiene:
–3M = p
M3 = q
Reemplazando se tiene:
y3 + py + q = 0
Se sabe por la fórmula de Cardano:
Dada la expresión:
y3 + py + q = 0
Una de las raíces está dado por:
Es el discriminante () de la ecuación cúbica: y3 + py + q = 0
PROPIEDADES:
Dada la ecuación: y3 + py + q = 0, donde “p” y “q” son números reales.
I.
Si:  < 0, entonces, las tres raíces son reales y diferentes.
II.
Si:  = 0, entonces, las tres raíces son reales y dos de ellas iguales.
III.
Si:  > 0, entonces, una raíz es real y las otras dos son imaginarias.
Por tanto, la discriminante es igual a cero ( = 0)
𝑞 2
𝑝 3
∆=( ) +( )
2
3
Reemplazando: “p” y “q”.
𝑞 2
𝑝 3
0 =( ) +( )
2
3
2
0 =(
𝑀3
−3𝑀 3
)
) +(
2
3
0 =
𝑀6
− 𝑀3
4
0 = 𝑀3 (
𝑀3 = 0 ó
𝑀3
− 1)
4
𝑀3
−1=0
4
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
𝑀=0 ó
𝑀3
=1
4
𝑀 = 0 ó 𝑀3 = 4
3
𝑀 = 0 ó 𝑀 = √4
Descartamos el valor de cero (0) porque “x” es un número real positivo. Por tanto:
3
𝑀 = √4
Nos piden hallar: 12.M12.
3
12
12(√4)
12(4)4
12(256)
3072
ALGO ADICIONAL:
Para entender mejor el problema, vamos a graficar la expresión (x3 + y3 = 3xy) utilizando el
Geogebra:
La solución está en el primer cuadrante:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
3
En la gráfica se observa que el máximo valor de “x” es √4 cuando “y” también es positivo.
RESPUESTA: El valor de 12.M12 es 3072.
10) En la pizarra están escritos los números 1 y 2. En cada paso, si en la pizarra están escritos los
números m y n, Julián escribe el número mn +m+ n en la pizarra y luego borra uno de los dos
números anteriores (es decir, borra m o borra n). ¿Cuál es el menor número, mayor que 1000,
que puede obtener Julián después de realizar algunos pasos?
SOLUCION:
Están escritos en la pizarra los números:
1; 2
Julián escribe: mn + m + n
(1)(2) + 1 + 2 = 5
En la pizarra están escritos:
1; 2; 5
Borramos en número 2, quedando los números:
1; 5
Julián escribe: (1)(5) + 1 + 5 = 11
En la pizarra están escritos:
1; 5; 11
Borramos en número 5, quedando los números:
1; 11
Julián escribe: (1)(11) + 1 + 11 = 23
En la pizarra están escritos:
1; 11; 23
Borramos en número 11, quedando los números:
1; 23
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 2 – Nivel 3 (Solucionario)
Julián escribe: (1)(23) + 1 + 23 = 47
En la pizarra están escritos:
1; 23; 47
Borramos en número 1, quedando los números:
23; 47
Julián escribe: (23)(47) + 23 + 47 = 1151
RESPUESTA: 1151 es el menor número, mayor que 1000, que puede obtener Julián después
de realizar cinco pasos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Tercera Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) Roysi lanzó 5 dados sobre la mesa y observó que los números que mostraron los dados eran
distintos. Determina la suma de los cinco números mostrados si su producto no es múltiplo de
8.
Aclaración: Un dado tiene los números del 1 al 6 en sus caras.
SOLUCION:
Sean los números que se obtuvo al lanzar los cinco dados: n1, n2, n3, n4, n5.
Además: n1  n2  n3  n4  n5.
Por dato del problema se tiene:
8 = 42
Se deduce que de los cinco números ninguno es 4.
Por tanto los números son: 1x2x3x5x6 = 180.
La suma de dicho números es: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17
RESPUESTA: La suma de los cinco números mostrados es 17.
2) Manuel y Renzo están separados una distancia de 896 metros y cada uno avanza en la
dirección del otro para encontrarse. Manuel camina a 50 pasos por minuto y en cada paso
recorre 0.8 metros. Renzo camina a 40 pasos por minuto y en cada paso recorre 0.6 metros.
¿Después de cuántos minutos se encontrarán?
SOLUCION:
Graficando:
Convirtiendo las velocidades a m/min:
𝑉(𝑀𝑎𝑛𝑢𝑒𝑙) =
𝑉(𝑅𝑒𝑛𝑧𝑜) =
50 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 50 (0,8 𝑚)
=
= 40 𝑚/𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
40 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 40 (0,6 𝑚)
=
= 24 𝑚/𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
Ambas personas van al encuentro, por ello utilizaremos la fórmula del tiempo de encuentro
(te):
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒 =
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 1 + 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2
𝑡𝑒 =
896
896
=
= 14 𝑚𝑖𝑛
40 + 24
64
RESPUESTA: Se encontrarán después de 14 minutos.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
3) María y Jossy rindieron dos pruebas de matemática. El puntaje de cada prueba es un número
entero entre 1 y 20, inclusive. En la primera prueba María obtuvo 20% más que Jossy; y en la
segunda prueba Jossy obtuvo 25% más que María. El puntaje final es la suma de los puntajes
de ambas pruebas. Si el puntaje final de María fue de 34, ¿Cuál fue el puntaje final de Jossy?
SOLUCION:
Planteando:
María
Jossy
Prueba 1
J + 20%J
J
Prueba 2
m
m + 25%m
Total
34
?
Los puntajes de las notas están en escala vigesimal:
𝐽 + 20%𝐽 ≤ 20
120%𝐽 ≤ 20
120𝐽
≤ 20
100
200
𝐽≤
12
𝐽 ≤ 16,6..
J puede tomar los valores de: J = 16; 15; 14; …
𝑚 + 25%𝑚 ≤ 20
125%𝑚 ≤ 20
125𝑚
≤ 20
100
80
𝑚≤
5
𝑚 ≤ 16
m puede tomar los valores de: m = 16; 15; 14; …
Si: m = 16
𝐽 + 20%𝐽 + 𝑚 = 34
120%𝐽 + 16 = 34
120%𝐽 = 18
180
𝐽=
12
𝐽 = 15
Hallando el puntaje final de Jossy:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐽 + 𝑚 + 25%𝑚
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 15 + 125%(16)
5
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 15 + (16)
4
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 15 + 20 = 35
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 35
RESPUESTA: El puntaje final de Jossy fue 35.
4) El cuadrado ABCD tiene área 49 cm2 y el triángulo AED tiene perímetro 15 cm. Calcule el área
del cuadrado EFGH, en cm2.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
SOLUCION:
Graficando:
Si el cuadrado ABCD tiene como área 49 cm2, por tanto la medida de cada lado mide 7 cm.
Por lo que AB = BC = CD = DA = 7 cm.
Asignando variables: AE = x, ED = y, mADE =  y en consecuencia mDAE= 90º–.
Si: mADE =   mCDH= 90º–  mDCH =   mGCB= 90º–
Si: mDAE= 90º–  mFAB =   mFBA= 90º–  mGBC = 
Por datos del problema se tiene:
x + y + 7 = 15 (El triángulo AED tiene de perímetro 15 cm)
x+y=8
Por ALA (Ángulo – Lado – Ángulo) se cumple:
AED  FAB, por tanto: ED = FA = y, EA = FB = x.
AED  CHD, por tanto: ED = CH = y, EA = DH = x.
AED  BGC, por tanto: ED = BG = y, EA = GC = x.
Por tanto: FE = x + y = 8
Área del cuadrado EFGH = FE2 = 82 = 64
RESPUESTA: El área del cuadrado EFGH es 64 cm2.
5) Kenny dijo un entero positivo. Luis lo multiplicó por 4 ó por 8. Freddy multiplicó el resultado de
Luis por 3 ó por 6. André multiplicó el resultado de Freddy por 7 ó por 9. Raúl multiplicó el
resultado de André por 7 ó por 8. El resultado final fue 2016. ¿Cuál fue el número que dijo
Kenny?
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
SOLUCION:
Sea “x” el número entero positivo que dijo Kenny.
2016 = 32x7x25 (Descomponiendo polinómicamente)
Planteando:
Kenny: x
Luis: (4 ó 8)x
Freddy: (3 ó 6)(4 ó 8)x
André: (7 ó 9)(3 ó 6)(4 ó 8)x
Raúl: (7 ó 8)(7 ó 9)(3 ó 6)(4 ó 8)x
8
7
3
4
(Escogiendo de manera adecuada los números)
El resultado final fue 2016.
(8)(7)(3)(4)x= 2016
(8)(7)(3)(4)x= (3)(3)(7)(4)(8)
x=3
RESPUESTA: El número que dijo Kenny fue 3.
6) Se tiene el siguiente tablero:
Y cinco fichas de la forma:
Cuando las fichas son colocadas sobre el tablero con el propósito de cubrirlo, queda un
triángulo sin cubrir. Si las fichas se colocan de tal modo que no salgan del tablero y que no se
superpongan, ¿Cuántos de los 16 triángulos podrían ser ese triángulo sin cubrir?
SOLUCION:
A continuación enumeramos los casilleros vacíos:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
Viendo cada uno de los casos:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
RESPUESTA: De 16 triángulos 12 triángulos quedan sin cubrir.
7) En la figura se muestra un rectángulo ABCD. Los segmentos EA y ED intersectan al segmento
BC en P y Q, respectivamente. Las áreas de los triángulos ABP, BPE y CQD son 12 cm 2, 8
cm2 y 9 cm2, respectivamente. Calcule el área de la figura sombreada (en cm2).
SOLUCION:
Graficando y asignando variables:
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
AB = x, y como los lados opuestos del rectángulo son congruentes (AB = RS = CD), se
cumple: RS = x, CD = x. Además: BP = a, PQ = d, QC = b. Se traza la altura ES, asignado
variable: ER = c. Como los lados opuestos del rectángulo son congruentes (BC = AD), se
cumple: AD = a + d + b.
En el PAB, se tiene:
(𝑎)(𝑥)
Utilizando la fórmula para hallar
= 12
2
el área de la región triangular
𝑎𝑥 = 24
24
Despejando “a”
𝑎=
𝑥
En el QCD, se tiene:
En el BEP, se tiene:
(𝑏)(𝑥)
=9
2
𝑏𝑥 = 18
18
𝑏=
𝑥
Utilizando la fórmula para hallar
el área de la región triangular
Despejando “b”
(𝑎)(𝑐)
Utilizando la fórmula para hallar
=8
2
el área de la región triangular.
24
( ) 𝑐 = 16
Reemplazando “a”
𝑥
16𝑥
Despejando “c”
𝑐=
24
2𝑥
𝑐=
3
En el trapecio APQD, utilizando la fórmula para hallar el área del trapecio:
(𝑎 + 𝑑 + 𝑏 + 𝑑)𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
2
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
(𝑎 + 𝑏 + 2𝑑)𝑥
2
24 18
( 𝑥 + 𝑥 + 2𝑑) 𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
2
Reemplazando a y b
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
42
( + 2𝑑) 𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 𝑥
2
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
42 + 2𝑑𝑥
2
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 21 + 𝑑𝑥 … (𝛼)
Halando el área del trapecio APQD, por diferencia de áreas:
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝐷𝐴𝐸 − 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝑄𝑃𝐸
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
Reemplazando:
a; b y c
(𝑎 + 𝑑 + 𝑏)(𝑐 + 𝑥) 𝑑𝑐
−
2
2
24
18 2𝑥
2𝑥
( 𝑥 + 𝑑 + 𝑥 ) ( 3 + 𝑥) 𝑑 ( 3 )
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
−
2
2
42
5𝑥
( + 𝑑) ( )
𝑥
3 − 2𝑥𝑑
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) =
2
(2)(3)
42
5𝑥
𝑥𝑑
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = ( + 𝑑) ( ) −
𝑥
6
3
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = (
42 5𝑥
5𝑥
𝑥𝑑
)( ) + 𝑑( ) −
𝑥
6
6
3
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 35 +
5𝑥𝑑 𝑥𝑑
−
6
3
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 35 +
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 35 +
3𝑥𝑑
6
𝑥𝑑
… (𝛽)
2
Igualando ambas ecuaciones: () = ()
21 + 𝑑𝑥 = 35 +
𝑑𝑥 −
𝑥𝑑
2
𝑥𝑑
= 35 − 21
2
𝑥𝑑
= 14
2
𝑥𝑑 = 28
Reemplazando “xd” en ():
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 21 + 𝑑𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 21 + 28
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝐴𝑃𝑄𝐷) = 49
RESPUESTA: El área del trapecio APQD es 49 cm2.
8) Sea A = (1 + 2)(3 + 4)(5 + 6)…(99 + 100). Encuentre el menor número impar N, con N >
1, tal que el máximo común divisor de N y A es 1.
SOLUCION:
Planteando:
A = (1 + 2)(3 + 4)(5 + 6)…(99 + 100)
A = (3)(7)(11)…(199)
Se observa que los factores forman una progresión aritmética cuya razón es 4.
Analizando cada factor:
1 + 2 = 3 (Número primo)
51 + 52 = 103 (Número primo)
3 + 4 = 7 (Número primo)
53 + 54 = 107 (Número primo)
5 + 6 = 11 (Número primo)
55 + 56 = 111 = 373
7 + 8 = 15 = 35
57 + 58 = 115 = 523
9 + 10 = 19 (Número primo)
59 + 60 = 119 = 717
11 + 12 = 23 (Número primo)
61 + 62 = 123 = 341
13 + 14 = 27 = 333
63 + 64 = 127 (Número primo)
15 + 16 = 31 (Número primo)
65 + 66 = 131 (Número primo)
17 + 18 = 35 = 75
66 + 68 = 135 = 915
19 + 20 = 39 = 313
69 + 70 = 139 (Número primo)
21 + 22 = 43 (Número primo)
71 + 72 = 143 = 1113
23 + 24 = 47 (Número primo)
73 + 74 = 147 = 349
25 + 26 = 51 = 317
75 + 76 = 151 (Número primo)
27 + 28 = 55 = 115
77 + 78 = 155 = 315
29 + 30 = 59 (Número primo)
79 + 80 = 159 = 353
31 + 32 = 63 = 79
81 + 82 = 163 (Número primo)
33 + 34 = 67 (Número primo)
83 + 84 = 167 (Número primo)
35 + 36 = 71 (Número primo)
85 + 86 = 171 =357
37 + 38 = 75 = 155
87 + 88 = 175 = 535
39 + 40 = 79 (Número primo)
89 + 90 = 179 (Número primo)
41 + 42 = 83 (Número primo)
91 + 92 = 183 = 361
43 + 44 = 87 = 329
93 + 94 = 187 = 1117
45 + 46 = 91 = 713
95 + 96 = 191 (Número primo)
47 + 48 = 95 = 195
97 + 98 = 195 = 3513
49 + 50 = 99 = 119
99 + 100 = 199 (Número primo)
Tachando los factores comunes:
1
3
5
23
21=73
25=55
41
43
45=59
61
63=79 65=135
7
27
47
67
9
11
29
31
49=77 51=317
71
69=323
13
33
53
73
15
35
55
75
17
37
57=319
77
19
39
59
79
Por tanto N = 73 y es el menor número impar que no es factor común entre A y N.
RESPUESTA: 73 es el menor número impar, tal que el máximo común divisor de N y A es 1.
9) Un país se compone de 9 islas, algunas de las cuales están unidas por puentes, como
muestra la siguiente figura (los círculos son las islas y las líneas son los puentes):
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
Se van a clausurar 4 puentes para hacer reparaciones, de tal modo que aún se pueda viajar
desde cualquier isla a cualquier otra isla usando los 8 puentes que queden. ¿De cuántas
formas se puede escoger esos 4 puentes?
SOLUCION:
Enumerando los puentes y las regiones:
Para que se puedan comunicar todas las islas quitando cuatro puentes, necesariamente se
tiene que quitar sólo un puente de las tres que existen en cada una de las cuatro regiones.
Además no importa el orden en que se la quiten. Por tanto es una combinación y utilizaremos
el principio de multiplicación:
𝐶13 × 𝐶13 × 𝐶13 × 𝐶13
3!
3!
3!
3!
×
×
×
(3 − 1)! × 1! (3 − 1)! × 1! (3 − 1)! × 1! (3 − 1)! × 1!
6
6
6
6
×
×
×
2! × 1 2! × 1 2! × 1 2! × 1
6 6 6 6
× × ×
2 2 2 2
3 × 3 × 3 × 3 = 81
RESPUESTA: Se pueden escoger los 4 puentes de 81 maneras.
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 1 (Solucionario)
10) Un número primo p es especial si existen números enteros a y b tales que p2 = a3 + b3. Se
sabe que hay tres números primos, menores que 300, que son especiales. Calcule la suma de
esos tres números.
SOLUCION:
Tanteando con aquellos números que cumplen dicha condición:
p2 = a3 + b3

Primer número primo especial que cumple: 3
32 = 13 + 23
9=1+8
9=9

Segundo número primo especial que cumple: 13
132 = 83 + (–7)3
169 = 512 – 343
169 = 169

Tercer número primo especial que cumple: 181
1812 = 1053 + (–104)3
32761 = 1157625 – 1124864
32761 = 32761
Sumando los tres números: 3 + 13 + 181 = 197.
RESPUESTA: La suma de los tres números primos especiales es 197.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
Tercera Fase - Nivel 2 – Solucionario.
1) Alex tiene en su jardín un árbol que crece exactamente medio metro al año. La altura del árbol
es igual a cinco veces la altura de Alex. Hace 12 años Alex medía 21 centímetros menos y su
árbol medía la mitad de lo que él medía en ese momento. ¿Cuántos centímetros mide
actualmente el árbol de Alex?
SOLUCION:
Planteando:
Alex
Su árbol
Hace 12 años
x – 21 cm
5x – 12/2 m = 5x – 6 m
Presente
x
5x
El árbol medía la mitad de lo que él medía en ese momento:
𝑥 − 21 𝑐𝑚
5𝑥 − 6𝑚 =
2
2(5𝑥 − 600) = 𝑥 − 21
10𝑥 − 1200 = 𝑥 − 21
9𝑥 = 1200 − 21
1179
𝑥=
= 131
9
1 m = 100 cm
El árbol de Alex mide actualmente: 5x = 5(131) = 655 cm
RESPUESTA: Actualmente el árbol de Alex mide 655 cm.
2) Héctor trabaja entregando botellas de gaseosa. En su camión todas las cajas están llenas de
botellas (12 en cada caja) y aparte hay menos de 12 botellas sueltas. Si la cantidad de botellas
más la cantidad de cajas es 216. ¿Cuántas cajas hay en el camión de Héctor?
SOLUCION:
Planteando:
Cantidad de cajas: x
Hay menos de 12 botellas sueltas: y  12
Cantidad de botellas: 12x + y
La cantidad de botellas más la cantidad de cajas es 216:
12𝑥 + 𝑦 + 𝑥 = 216
13𝑥 + 𝑦 = 216
216 − 𝑦
𝑥=
13
El único valor entero que puede tomar “y” es 8, para que “x” también sea otro número entero.
(y = 8)
Reemplazando se tiene:
𝑥=
216 − 8 208
=
= 16
13
13
RESPUESTA: En el camión de Héctor hay 16 cajas.
3) Definimos los números: 𝑎 = (1 +
1
2015
)
2015
y 𝑏 = (1 +
1
2015
)
2016
. Calcule el valor de:
𝑎𝑏
𝑏𝑎
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
SOLUCION:
Asignando la siguiente variable:
𝑥 =1+
Reemplazando se tiene:
𝑎 = 𝑥 2015 y 𝑏 = 𝑥 2016
Hallando lo que nos piden:
2016
1
2016
=
2015 2015
2016
𝑎𝑏 (𝑥 2015 )(𝑥 ) 𝑥 2015.𝑥
2016
2015
2016
= 2016 (𝑥 2015) = 2016.𝑥 2015 = 𝑥 2015.𝑥 −2016.𝑥
= 𝑥 𝑥 (2015𝑥−2016)
𝑎
𝑏
(𝑥
)
𝑥
= 𝑥𝑥
2016 (2015.2016−2016)
2015
RESPUESTA: El valor de:
= 𝑥𝑥
𝑎𝑏
𝑏𝑎
2016 (2016−2016)
= 𝑥𝑥
2016 (0)
= 𝑥0 = 1
es 1.
4) Sea ABCDE un pentágono que tiene ángulos rectos en los vértices A, C y E, tal que AB = 18
cm, CD = 6 cm y DE = 24 cm. Calcule el perímetro del pentágono ABCDE (en cm) si su área
es 480 cm2.
SOLUCION:
Haciendo algunos trazos adicionales:
Trazamos el segmento BF, perpendicular a DE. Si: BF = x, entonces AE = x.
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Si: BA = 18, entonces: FE = 18, DF = 6. Se traza el segmento BD.
Por el teorema de la bisectriz (Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista
a los lados del ángulo) se cumple: mDBF =  y mDBC = . Además: BC = x.
El área del pentágono ABCDE es 480 cm2. Es decir:
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸) = 480
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐵𝐶𝐷) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐷𝐵𝐹) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐹𝐸) = 480
6𝑥 6𝑥
+
+ 18𝑥 = 480
2
2
3𝑥 + 3𝑥 + 18𝑥 = 480
24𝑥 = 480
𝑥 = 20
Hallando el perímetro del pentágono ABCDE:
Perímetro ABCDE: 18 + x + x + 24 + 6
Perímetro ABCDE: 48 + 2x
Perímetro ABCDE: 48 + 2(20)
Perímetro ABCDE: 48 + 40 = 88
RESPUESTA: El perímetro del pentágono ABCDE es 88 cm.
5) Favio tiene tres bolsas de caramelos. Una bolsa tiene tres caramelos amarillos y tres
caramelos rojos, otra bolsa tiene 3 caramelos rojos y 3 caramelos verdes y la última bolsa
tiene 3 caramelos verdes y 3 caramelos amarillos. Favio va a sacar, al azar, un caramelo de
cada bolsa. La probabilidad de que Favio saque tres caramelos de colores distintos es del
n%. Determine el valor de n.
SOLUCION:
Graficando:
Definiendo cada evento:
Probabilidad de extraer un caramelo de color amarillo: P(Amarillo)
Probabilidad de extraer un caramelo de color rojo: P(Rojo)
Probabilidad de extraer un caramelo de color verde: P(Verde)
Probabilidad de extraer tres caramelos de colores distintos: P(x)
Los eventos son independientes por lo que hay que multiplicar las probabilidades y tendremos
dos casos:
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝐴𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜) × 𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜) × 𝑃(𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒) + 𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜) × 𝑃(𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒) × 𝑃(𝐴𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜)
3 3 3 3 3 3
𝑃(𝑥) = × × + × ×
6 6 6 6 6 6
𝑃(𝑥) =
1 1 1 1 1 1
× × + × ×
2 2 2 2 2 2
𝑃(𝑥) =
𝑃(𝑥) =
1 1
+
8 8
1
= 25%
4
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Igualando: 25% = n%. Por tanto n = 25.
RESPUESTA: El valor de “n” es 25.
6) Un número entero positivo de cuatro dígitos puede expresarse como el producto
,
donde a; b; d son dígitos no nulos, distintos entre sí, tales que
. Halle el menor valor
posible de
.
SOLUCION:
Un número entero positivo de cuatro dígitos puede expresarse como:
También debe cumplirse:
Probando con los menores valores posibles:
 19x21 entonces 21 – 19 = 2. Pero 19x21 = 399 ¡Tiene 3 cifras! Por lo que no cumple.
 39x43 entonces 43 – 39 = 4. Pero 39x43 = 1677 ¡Tiene 4 cifras! Por lo que sí cumple.
Por tanto: a = 3, b = 9, d = 4. Además:
= 43 – 39 = 4.
RESPUESTA: El menor valor posible de
es 4.
7) Roberto tiene 101 monedas, ubicadas en una fila. Cada moneda es de 10, 20 ó 50 céntimos.
Se sabe que no hay un grupo de monedas consecutivas cuya suma sea 60 céntimos. ¿Cuál
es la menor cantidad de monedas de 50 céntimos que puede tener Roberto?
SOLUCION:
Cada moneda es de 10, 20 ó 50 céntimos.
Ordenando de manera que se utilice menor cantidad de monedas de 50 céntimos además no
hay un grupo de monedas consecutivas cuya suma sea 60 céntimos:
…..
6 monedas
Se va poniendo monedas en grupos de seis que cumple la condición dada, es decir en el
siguiente orden: 20; 20; 10; 20; 20 y 50. En 16 grupos se tendría: 6(16) = 96 monedas, para
las 101 monedas nos faltaría 5 monedas nada más sin considerar la moneda de 50 céntimos.
Por tanto sólo se utilizarían 16 monedas de 50 céntimos.
RESPUESTA: La menor cantidad de monedas de 50 céntimos que puede tener Roberto es
16.
8) Sean a y b enteros positivos tales que a2 + b2 = 300a. Determine la suma de todos los valores
distintos que puede tomar a.
SOLUCION:
Despejando “b”
𝑏 = √300𝑎 − 𝑎2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
Para que “b” sea entero positivo debe cumplirse que la discriminante sea mayor que cero, es
decir:
300𝑎 − 𝑎2 > 0
−300𝑎 + 𝑎2 < 0
𝑎2 − 300𝑎 < 0
𝑎(𝑎 − 300) < 0
𝑎 = 0,
𝑎 − 300 = 0
𝑎 = 0,
𝑎 = 300
a0;300
Despejando “a”
𝑎2 − 300𝑎 + 𝑏 2 = 0
Suma de raíces de “a”, está dado por: S
−(−300)
𝑆=
= 300
1
Utilizando la fórmula general de una ecuación cuadrática:
−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶
𝑥=
2𝐴
𝑥=
−(−300) ± √(−300)2 − 4(1)(𝑏 2 )
2(1)
𝑥=
300 ± √3002 − 4𝑏 2
2
La discriminante debe ser mayor o igual que cero, por tanto se tiene:
3002 − 4𝑏 2 ≥ 0
−3002 + 4𝑏 2 ≤ 0
4𝑏 2 − 3002 ≤ 0
(2𝑏 − 300)(2𝑏 + 300) ≤ 0
2𝑏 − 300 = 0,
2𝑏 + 300 = 0
𝑏 = 150,
𝑏 = −150
b0;150 porque “b” no puede tomar valores negativos.
También si cumple: a2 + b2 = 300a. Podría expresarse de la siguiente manera:
a2 + b2 = (3)(22)(52)a
a2 + b2 = (3)(2)(52)(2)a
a2 + b2 = (6)(52)(2)a
Ello implica que a y b tienen que ser múltiplos de 6 y/o 5, porque al reemplazar en la expresión
dichos múltiplos cumplirán con la igualdad.
Con toda esta información ahora sí podemos tabular:
Si: a = 6  b = 42
Si: a = 30  b = 90
Si: a = 60  b = 120
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
Si: a = 108  b = 144
Si: a = 150  b = 150
Si: a = 192  b = 144
Si: a = 240  b = 120
Si: a = 270  b = 90
Si: a = 294  b = 42
Sumando los valores de “a”: 6 + 30 + 60 + 108 + 150 + 192 + 240 + 270 + 294 = 1350
RESPUESTA: La suma de todos los valores distintos que puede tomar a es 1350.
9) Sea ABC un triángulo equilátero de lado 48 y Q un punto del lado AB tal que BQ = 26. Si P es
un punto en el interior del triángulo ABC tal que PA2 + PC2 = PB2, determine el menor valor
entero que puede tomar la longitud del segmento PQ.
SOLUCION:
Graficando se tiene:
Trazamos el triángulo equilátero PAD y el segmento BD (BD  PD)
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
Como el PAD es equilátero mPAD = 60º, mDAP = 60º, PA = DA = PD
Si: mPAC = , entonces mPAQ = 60º – , porque el ABC es equilátero.
También se cumple: mDAQ = .
El PAC  DAB (por LAL)
 Lado: PA = DA
 Angulo: mPAC = mDAQ = 
 Lado: CA = AB = 48
Se cumple entonces: mADB = 90º + 60º = 150º, mAPC = 150º. Además: PC = DB
Tenemos el triángulo rectángulo: PDB y por el teorema de Pitágoras se cumple:
PD2 + DB2 = BP2
PA2 + PC2 = BP2
(Reemplazando: DB = PC, PD = PA)
Ahora trazamos la circunferencia de centro O y de radio R (Circunscribimos la circunferencia al
PAC)
El ángulo inscrito a la circunferencia: mAPC = 150º, es especial porque el arco mayor AC =
2(150º) = 300º y por tanto el arco APC = 60º (Porque la suma es igual a 360º) y el ángulo
central COA = 60º. En consecuencia el  COA es equilátero, R = 48, OP = R = 48. También se
cumple: mOAQ = 60º + 60º = 120º.
“x” es la mínima distancia porque pasa por el centro de la circunferencia.
Finalmente se tiene el siguiente triángulo: OAQ
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
Hallando “x” utilizando la ley de cosenos:
(48 + 𝑥)2 = 222 + 482 − 2(22)(48)𝐶𝑜𝑠120°
1
(48 + 𝑥)2 = 484 + 2304 − 2(22)(48) (− )
2
(48 + 𝑥)2 = 484 + 2304 + 1056
(48 + 𝑥)2 = 3844
48 + 𝑥 = 62
𝑥 = 14
RESPUESTA: El menor valor entero que puede tomar la longitud del segmento PQ es 14.
10) Joaquín está de viaje en un país extraño donde hay billetes de valor n para cada entero
positivo n menor o igual que 50, es decir, hay billetes de valor 1, de valor 2,..., de valor 50.
Joaquín tiene exactamente 7 billetes de valores n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 < n7, y con ellos
puede pagar cualquier objeto cuyo valor sea un número entre 1 y 60, inclusive, sin recibir
vuelto. Determine el menor valor posible de n7.
SOLUCION:
Tabulando se tiene los siguientes billetes:
1
2
4
8
14
15
16
Vamos a comprobar que con estos billetes podemos obtener desde el valor de 1 hasta 60.
1
2
1+2=3
4
4+1=5
4+2=6
4+2+1=7
8
15 + 14 + 2 = 31
15 + 14 + 2 + 1 = 32
15 + 14 + 4 = 33
15 + 14 + 4 + 1 = 34
15 + 14 + 4 + 2 = 35
15 + 14 + 4 + 2 + 1 = 36
15 + 14 + 8 = 37
15 + 14 + 8 + 1 = 38
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2016 – Fase 3 – Nivel 2 (Solucionario)
8+1=9
8 + 2 = 10
8 + 2 + 1 = 11
8 + 4 = 12
8 + 4 + 1 = 13
8 + 4 + 2 = 14
8 + 4 + 2 + 1 = 15
14 + 2 = 16
14 + 2 + 1 = 17
14 + 4 = 18
14 + 4 + 1 = 19
14 + 4 + 2 = 20
14 + 4 + 2 + 1 = 21
14 + 8 = 22
14 + 8 + 1 = 23
14 + 8 + 2 = 24
14 + 8 + 2 + 1 = 25
14 + 8 + 4 = 26
14 + 8 + 4 + 1 = 27
14 + 8 + 4 + 2 = 28
14 + 8 + 4 + 2 + 1 = 29
15 + 14 + 1 = 30
15 + 14 + 8 + 2 = 39
15 + 14 + 8 + 2 + 1 = 40
15 + 14 + 8 + 4 = 41
15 + 14 + 8 + 4 + 1 = 42
15 + 14 + 8 + 4 + 2 = 43
15 + 14 + 8 + 4 + 2 + 1 = 44
16 + 15 + 14 = 45
16 + 15 + 14 + 1 = 46
16 + 15 + 14 + 2 = 47
16 + 15 + 14 + 2 + 1 = 48
16 + 15 + 14 + 4 = 49
16 + 15 + 14 + 4 + 1 = 50
16 + 15 + 14 + 4 + 2 = 51
16 + 15 + 14 + 4 + 2 + 1 = 52
16 + 15 + 14 + 8 = 53
16 + 15 + 14 + 8 + 1 = 54
16 + 15 + 14 + 8 + 2 = 55
16 + 15 + 14 + 8 + 2 + 1 = 56
16 + 15 + 14 + 8 + 4 = 57
16 + 15 + 14 + 8 + 4 + 1 = 58
16 + 15 + 14 + 8 + 4 + 2 = 59
16 + 15 + 14 + 8 + 4 + 2 + 1 = 60
RESPUESTA: El menor valor posible de n7 es 16.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) Cinco calles de un pequeño pueblo se cruzan como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuál es
la calle que tiene más cruces?
A) Calle 1
B) Calle 2
C) Calle 3
D) Calle 4
E) Calle 5
SOLUCION:
Identificando los cruces:
Calle 1: 3 cruces.
Calle 2: 3 cruces.
Calle 3: 2 cruces.
Calle 4: 2 cruces.
Calle 5: 4 cruces.
RESPUESTA: La calle que tiene más cruces es la Calle 5.
CLAVE E.
2) Martín tiene que tomar una pastilla cada 8 horas. Si la primera la tomó a las 16:00 del día
lunes, ¿A qué hora del día martes tomará la cuarta pastilla?
A) 8:00
B) 12:00
C) 16:00
D) 18:00
E) 22:00
SOLUCION:
Siguiendo la secuencia hasta tomar la cuarta pastilla:
1ra Pastilla
2da Pastilla
3ra Pastilla
(lunes)
(martes)
(martes)
16:00
24:00
8:00
+8h
+8h
4ta Pastilla
(martes)
16:00
+8h
RESPUESTA: Martín tomará la cuarta pastilla a las 16:00 del día martes.
CLAVE C.
2
3) José es un agricultor que cosechó 6000 papas. La mitad de las papas las va a poner en sacos
pequeños y la otra mitad en sacos grandes. Indique la alternativa falsa, si se sabe que la
capacidad de un saco pequeño es 50 papas y la de un saco grande es 75 papas:
A) José necesita 60 sacos pequeños.
B) José necesita más sacos pequeños que grandes.
C) José necesita 110 sacos en total.
D) José necesita menos de 50 sacos grandes.
E) José necesita menos de 70 sacos pequeños.
SOLUCION:
Total de papas que cosechó José: 6000
Mitad de papas que cosechó: 6000/2 = 3000
Número de sacos pequeños: 3000/50 = 60
Número de sacos grandes: 3000/75 = 40
Analizando cada alternativa:
A) VERDADERO, porque José necesita 60 sacos pequeños.
B) VERDADERO, porque José necesita más sacos pequeños que grandes (60>40).
C) FALSO, porque José necesita 60+40=100 sacos en total y no 110 sacos.
D) VERDADERO, porque José necesita menos de 50 sacos grandes (40<50).
E) VERDADERO, porque José necesita menos de 70 sacos pequeños (60<70).
RESPUESTA: La alternativa falsa es la C.
CLAVE C.
4) Considere la siguiente figura:
¿Cómo se verá esa figura después de rotarla 90° en sentido antihorario, con centro en P?
SOLUCION:
Rotando 90° la figura en sentido antihorario, teniendo como centro el punto P:
RESPUESTA: La figura después de rotar 90° en sentido antihorario se obtiene la figura de la
alternativa A.
CLAVE A.
3
5) La edad promedio de Raúl y José es 13 años. Si se une al grupo Emerson, que tiene 19 años,
entonces la edad promedio de las tres personas es:
A) 16
B) 17
C) 14
D) 15
E) 18
SOLUCION:
Sea R: Edad de Raúl. J: Edad de José. E: Edad de Emerson.
La edad promedio de Raúl y José es 13 años:
𝑅+𝐽
= 13
2
R + J = 2(13)
R + J = 26
Si se une al grupo Emerson, que tiene 19 años:
𝑅 + 𝐽 + 𝐸 26 + 19 45
=
=
= 15
3
3
3
RESPUESTA: El promedio de las edades de las tres personas es 15 años.
CLAVE D.
6) Rosa y Antonio están leyendo el libro El Principito. En cierto momento se dio la siguiente
conversación:
Rosa dijo: “Me falta leer el 40% del libro”.
Antonio respondió: “Entonces yo he leído la mitad de lo que tú has leído”.
¿Qué porcentaje del libro le falta leer a Antonio?
A) 70%
B) 20%
C) 60%
D) 40%
E) 80%
SOLUCION:
Rosa dijo: “Me falta leer el 40% del libro”. Graficando se tiene:
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Leyó: 60%
10%
10%
10%
Falta leer: 40%
Antonio respondió: “Entonces yo he leído la mitad de lo que tú has leído”. Graficando se tiene:
10%
10%
10%
10%
Leyó: 30%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Falta leer: 70%
RESPUESTA: A Antonio le falta leer el 70% del libro.
CLAVE A.
7) Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo:
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
Exprese el resultado mediante una multiplicación.
A) 10x10
B) 15x15
C) 16x12
D) 15x21
E) 10x24
SOLUCION:
Sumando la primera columna: S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Expresando la distribución de los números en función de la primera columna (S).
4
1 2(1)
2 2(2)
3 2(3)
4 2(4)
S + 2S +
3(1)
3(2)
3(3)
3(4)
3S +
4(1)
4(2)
Vamos a sumar todas las columnas
4(3)
4(4)
4S = 10S = 10x10
RESPUESTA: La suma de todos los números en el arreglo es 10x10.
CLAVE A.
8) Una distribuidora de bebidas tiene 5 almacenes y el registro de la cantidad de botellas del
juego naranjísimo en cada almacén es el siguiente:
Almacén
N° de botellas de Naranjísimo
España
236
Carrión
544
Grau
129
Balta
346
México
586
A un chofer de la distribuidora le encargaron recoger todas las botellas Naranjísimo, pero no
pudo ir a uno de los almacenes. Si el chofer recogió 1712 botellas, ¿Cuál fue el almacén que
no fue visitado por el chofer?
A) España
B) Carrión
C) Grau
D) Balta
E) México
SOLUCION:
Hallando el total de botellas = 236 + 544 + 129 + 346 + 586 = 1841
Para saber a qué almacén el chofer no visitó hay que restar el total de botellas de los que ya
recogió (1712 botellas).
N° de botellas que no recogió = 1841 – 1712 = 129.
El resultado obtenido corresponde al almacén Grau.
RESPUESTA: El chofer no ha visitado al almacén Grau.
CLAVE C.
9) Alex, Boris, César, Darío, Enrique y Franco son seis niños que han representado a su peso y
estatura en el siguiente gráfico. El eje horizontal representa el peso (en kg) y el vertical
representa la estatura (en cm). Por ejemplo, Alex (representado por el punto A) pesa 37 kg y
mide 143 cm.
Considerando los otros cinco niños, ¿Cuántos pesan más que Alex, pero son más bajos que
él?
5
A) Ninguno
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
SOLUCION:
En el gráfico se puede observar que los que pesan más que Alex son: Boris, César y Darío.
Los que son más bajos que Alex son: Enrique, César y Darío.
Por tanto, las únicas personas que satisfacen ambas condiciones son: César y Darío.
RESPUESTA: Los que pesan más que Alex, pero son más bajos que él son únicamente dos
personas: César y Darío.
CLAVE C.
10) Coloca los números 1; 2; 3; 4 en las casillas de la siguiente expresión (uno por casilla) de tal
modo que el resultado sea un número par.
¿Cuál es ese resultado?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
SOLUCION:
Los números pares tienen que estar ubicados al medio, porque al multiplicarse el resultado
será un número par; mientras que los números impares tienen que ir a los extremos porque al
sumarse todos ellos el resultado será un número par:
1 + 8 + 3 = 12
RESPUESTA: El número par solicitado es 12.
CLAVE D.
11) Manuel compró cinco docenas de cuadernos y cada cuaderno le costó 3 soles. Si Manuel
desea vender todos los cuadernos que compró en paquetes de 10 cuadernos, ¿A cuánto debe
vender cada paquete para tener una ganancia del 50% sobre el precio de costo?
A) 35 soles
B) 40 soles
C) 50 soles
D) 45 soles
E) 52 soles
SOLUCION:
Manuel desea vender todos los cuadernos que compró en paquetes de 10 cuadernos.
Entonces: 10(3) = 30 soles, por tanto: Pc = 30 soles (por cada paquete).
Ganancia = 50% sobre el precio de costo. Entonces: g = 50%Pc
Se sabe que:
Precio de Venta (Pv) = Precio de compra (Pc) + ganancia (g)
Pv = Pc + 50%PC
Pv = 150%Pc
150
𝑃𝑣 =
𝑃𝑐
100
3
𝑃𝑣 = 𝑃𝑐
2
3
𝑃𝑣 = (30)
2
𝑃𝑣 = 3 × 15
𝑃𝑣 = 45
RESPUESTA: Debe vender a 45 soles cada paquete para ganar el 50% sobre el precio de
costo.
CLAVE D.
6
12) Determine una función lineal f(x) que represente el precio de venta de un collar de oro con x
incrustaciones de diamantes, teniendo en cuenta la siguiente tabla:
Número de diamantes
Precio de venta (S/.)
2
700
4
950
6
1200
8
1450
A) f(x) = 550 + 75x
B) f(x) = 500 + 100x
C) f(x) = 450 + 125x
D) f(x) = 600 + 50x
E) f(x) = 200 + 250x
SOLUCION:
Asumiendo que la función lineal es de la forma: f(x) = b + ax.
Reemplazando los valores según la tabla:
f(2) = b + 2a = 700
f(4) = b + 4a = 950
Por tanto, tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:
b + 2a = 700
b + 4a = 950
–b – 2a = –700
b + 4a = 950
2a = 250
a = 125
Multiplicando por (–1)
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando “a” en la primera ecuación:
b + 2a = 700
b + 2(125) = 700
b + 250 = 700
b = 700 – 250
b = 450
Por tanto, la función lineal es: f(x) = 450 + 125x.
RESPUESTA: La función lineal f(x) = 450+125x represente el precio de venta de un collar de
oro con x incrustaciones de diamantes.
CLAVE C.
13) Para elaborar una zampoña se realiza el siguiente proceso: Se escoge una longitud
cortan tubos de longitudes
siguiente forma:
y se
. Luego se ubica los tubos de la
7
Determine la relación correcta entre las longitudes d1 y d2.
A) d1 = 2d2
B) 2d1 = 7d2
C) 5d1 = 9d2
D) 2d1 = 3d2
E) 3d1 = 10d2
SOLUCION:
El tubo que tiene mayor longitud será el que tiene menor denominador y así sucesivamente,
es decir:
Hallando d1:
𝑑1 =
ℓ ℓ 3ℓ − 2ℓ ℓ
− =
=
2 3
6
6
𝑑2 =
ℓ ℓ 5ℓ − 4ℓ
ℓ
− =
=
4 5
20
20
Hallando d2:
Hallando la relación entre d1 y d2:
ℓ
𝑑1
20ℓ 10
6
=
=
=
ℓ
𝑑2
6ℓ
3
20
8
𝑑1 10
=
𝑑2
3
3𝑑1 = 10𝑑2
RESPUESTA: La relación entre d1 y d2 es: 3d1 = 10d2.
CLAVE E.
14) El reglamento municipal de edificaciones de cierta ciudad ordena que un piso de cualquier
edificación tenga como mínimo 2,3 metros de altura y que la edificación no tenga más de 20
metros de altura en total. ¿Cuántos pisos, como máximo, puede tener una edificación en dicha
ciudad?
A) 9
B) 10
C) 7
D) 8
E) 11
SOLUCION:
Altura de cualquier piso  2,3 m.
Altura máxima de cualquier edificación  20 m.
Sea: n = Número máximo de pisos.
20 200
𝑛=
=
= 8,6 ≈ 8
2,3
23
No podemos redondear a 9 porque se pasaría de la altura máxima.
RESPUESTA: En dicha ciudad se puede construir 8 pisos como máximo.
CLAVE D.
15) En una ciudad, cada número telefónico es de la forma
(es decir, tiene 5 dígitos) y
para que sea considerado válido se debe cumplir que 3a + b + 3c + d + 3e es múltiplo de 10.
Por ejemplo, 23289 es un número válido porque 3x2 + 1x3 + 3x2 + 1x8 + 3x9 = 50 es múltiplo
de 10. Por otro lado 11111 no es un número válido porque 3x1 + 1x1 + 3x1 + 1x1 + 3x1 = 11
no es múltiplo de 10.
Esta forma de asignar los números telefónicos tiene varios beneficios, uno de ellos es que si
conoces todos los dígitos a excepción de uno entonces se puede deducir cuál es el dígito que
falta. Por ejemplo, María recuerda que el número telefónico de su amiga empieza con 1285
pero no se acuerda el último dígito, ¿Cuál es el último dígito?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 7
SOLUCION:
De acuerdo a los datos del problema:
Todo número de cinco dígitos:
se cumple
E) 9
Sea “x” el último dígito que María no se recuerda:
Los múltiplos de 10 están dados por:
Los números: 0; 10; 20 y 30 no cumplen. Entonces probemos con 40.
9
34 + 3x = 40
3x = 40 – 34
3x = 6
x=2
RESPUESTA: El último dígito es 2.
CLAVE B.
16) En un prisma, el número de vértices es al número de caras como 3 es a 2. Luego, cada base
de dicho prisma es un…
A) Triángulo
B) Cuadrilátero
SOLUCION:
Asignando variables:
Número de vértices: v
Número de caras: c
Número de lados de la base: n
C) Pentágono
D) Hexágono
𝑣 3𝑘
=
𝑐 2𝑘
Por propiedad se tiene:
𝑁° 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
3𝑘
𝑛=
2
2𝑛
=𝑘
3
𝑁° 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
2
Asimismo, por propiedad se tiene:
N° de caras + N° de vértices = N° de aristas + 2
2k + 3k = 3n + 2
5k = 3n + 2
Reemplazando “k” en esta última ecuación:
5𝑘 = 3𝑛 + 2
2𝑛
5 ( ) = 3𝑛 + 2
3
10𝑛
− 3𝑛 = 2
3
10𝑛 − 9𝑛
=2
3
𝑛 =3×2
𝑛=6
Por tanto, se trata de un prisma de base hexagonal:
E) Heptágono
10
RESPUESTA: Cada base del prisma es un hexágono.
CLAVE D.
17) En la figura se muestra un terreno en forma de cuadrado de 25 m de lado. Luego de dividir el
terreno a lo largo de una diagonal, una de las partes se dividió una vez más de la siguiente
forma:
El área sombreada, cuyo borde es un trapecio, se va a destinar a construir la casa y el resto
corresponderá a la cochera y el jardín. ¿Cuál debe ser el valor de x si queremos que el área
de la casa sea el 42% del total?
A) 10 m
B) 12 m
C) 13 m
D) 15 m
E) 20 m
SOLUCION:
Si el cuadrado tiene de lado 25 m. Por tanto, su área será: 25x25 = 625 m2.
Sea “y” la base menor del trapecio sombreado, graficando se tiene:
Área de la casa (Trapecio) es el 42% del total:
𝐴(𝐶𝑎𝑠𝑎) = 42%𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
42
𝐴(𝐶𝑎𝑠𝑎) =
(625)
100
25 + 𝑦
42
(
)𝑥 =
(5)
2
4
(25 + 𝑦)𝑥 = 21(25)
(25 + 𝑦)𝑥 = 525
Utilizando el área de la mitad del cuadrado (Casa, patio y jardín):
25 + 𝑦
𝑦(25 − 𝑥) 625
(
)𝑥 +
=
2
2
2
11
(25 + 𝑦)𝑥 + 𝑦(25 − 𝑥) = 625
25𝑥 + 𝑥𝑦 + 25𝑦 − 𝑥𝑦 = 625
25𝑥 + 25𝑦 = 625
𝑥 + 𝑦 = 25
𝑦 = 25 − 𝑥
Reemplazando “y” en la primera ecuación:
(25 + 𝑦)𝑥 = 525
(25 + 25 − 𝑥)𝑥 = 525
(50 − 𝑥)𝑥 = 525
50𝑥 − 𝑥 2 = 525
2
𝑥 − 50𝑥 + 525 = 0
(𝑥 − 35)(𝑥 − 15) = 0
𝑥 = 35 ∨ 𝑥 = 15
Por tanto, x = 15, x no podría ser 35, porque tiene más longitud que el lado del cuadrado
(35>25).
RESPUESTA: El valor de x = 15 m.
CLAVE D.
18) Andrés, Bruno, Carlos, Daniel y Esteban cada uno va a escoger un número. Andrés escoge 1
o 2, Bruno escoge 2 o 3, Carlos escoge 3 o 4, Daniel escoge 4 o 5, y finalmente, Esteban
escoge 5 o 6. Luego, tenemos la seguridad de que el producto de los cinco números
escogidos es…
A) Múltiplo de 2.
B) Múltiplo de 3.
C) Múltiplo de 5.
D) Múltiplo de 4 o múltiplo de 9.
E) Múltiplo de 3 o múltiplo de 8.
SOLUCION:
Vamos a resolver asumiendo que cada persona va a escoger un número diferente:
Planteando:
Andrés: 1 o 2.
Bruno: 2 o 3.
Carlos: 3 o 4.
Daniel: 4 o 5.
Esteban: 5 o 6.
Podrían escoger los siguientes números, respectivamente:
Múltiplo de 8
PRIMER CASO: 1x2x3x4x5 = (2x4)x3x5 = 8x3x5
Múltiplo de 3
Múltiplo de 8
SEGUNDO CASO: 2x3x4x5x6 = (2x4)x3x5x6 = 8x3x5x6
Múltiplo de 3
Múltiplo de 8
TERCER CASO: 1x3x4x5x6 = 4x3x5x(2x3) = (4x2)x3x3x5 = 8x3x3x5
Múltiplo de 3
En todos los casos es múltiplo de 3 o múltiplo de 8.
RESPUESTA: Es seguro que el producto de los cinco números escogidos es múltiplo de 3 o
múltiplo de 8.
CLAVE C.
12
19) Un niño hizo una encuesta a 11 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántos libros
leíste el año pasado? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes:
1; 5; 5; 1; 2; 3; 5; 2; 3; 5; n.
Al calcular la mediana, media y moda de los 11 datos resultó que estos números son tres
enteros positivos consecutivos (en algún orden). Determine la suma de n con la mediana de
los 11 datos.
Nota: Recuerde que la mediana de una cantidad impar de números se determina de la
siguiente forma: Se ordena los números de menor a mayor, y la mediana se define como el
número que aparece en la posición central. Por ejemplo, la mediana de los números 2; 5; 2; 1;
4 es 2 porque al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1; 2; 2; 4; 5 y el 2 es
el que está en la posición central.
A) 15
B) 9
C) 11
D) 12
E) 17
SOLUCION:
Ordenando los números en forma creciente:
1; 1; 2; 2; 3; 3; 5; 5; 5; 5; n
El dato que más se repite es el número 5, por tanto, Mo = 5, para cualquier valor de n.
El dato que se ubica al centro es el número 3, por tanto, Me = 3, para cualquier valor de n.
Como Mo, Me y X son números enteros positivos y consecutivos, entonces X = 4 (Media).
Hallando “n” con la media:
2(1) + 2(2) + 2(3) + 4(5) + 𝑛
𝑥=
11
4=
2 + 4 + 6 + 20 + 𝑛
11
44 = 32 + 𝑛
44 − 32 = 𝑛
12 = 𝑛
Finalmente nos piden hallar la suma de “n” con la mediana de los 11 datos.
n + Me = 12 + 3 = 15
RESPUESTA: La suma de “n” con la mediana de los 11 datos es 15.
CLAVE A.
20) En la siguiente figura se muestra un cuadrado dividido en cuatro rectángulos de lados enteros.
Si los cuatro rectángulos tienen área S, determine el menor valor posible de S.
A) 36
SOLUCION:
B) 80
C) 144
D) 120
E) 90
13
Asignando variables:
Como tienen la misma área los dos rectángulos superiores de la izquierda, se cumple:
bxc = bxd, entonces: c = d. También se cumple: f = c + d, f = c + c, f = 2c. De la última
expresión se puede afirmar que “f” es múltiplo de 2.
También se cumple: cxb = axf ya que tienen la misma área.
cxb = ax(2c) Reemplazando f = 2c.
b = 2a
El área formada por los tres rectángulos superiores es el triple del inferior, es decir:
(a + b)xf = 3(a + b)xe. simplificando se tiene: f = 3e. De la última expresión se puede afirmar
que “f” es múltiplo de 3, por tanto, será múltiplo de 2x3 = 6. Si: f = 6k, entonces e = 2k. Con
estos datos vamos a graficar nuevamente:
Pero como la figura es un cuadrado, entonces se cumple:
2a + a = 6k + 2k
3a = 8k
De esta última expresión, se puede inferior que “a” es múltiplo de 8 y “k” es múltiplo de 3. Por
tanto, se tendría:
El área “S”, está dado por: S = 8kx18k = 144k2.
14
Ahora para que “S” sea mínimo, entonces k = 1, por tanto: SMIN = 144(1)2 = 144 u2.
Entonces se cumple: f = 18, a = 8, b = 16, c = 9, d = 9, e = 6
Finalmente tendríamos:
RESPUESTA: El menor valor posible de S es 144 u2.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE C.
1
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 2 – Solucionario.
1) Antes de una pelea de box, los organizadores pactaron repartir cierto monto de la siguiente
forma: La quinta parte para el perdedor y el resto para el ganador. Si el perdedor obtuvo 1000
soles, ¿Cuánto obtuvo el ganador?
A) 4000 soles
B) 5000 soles C) 6000 soles D) 3000 soles E) 4500 soles
SOLUCION:
Planteando:
Total: 5x
1
Perdedor: (5𝑥) = 𝑥
5
Ganador: 5x – x = 4x
Perdedor: 1000, por tanto: x = 1000
Ganador: 4(1000) = 4000
RESPUESTA: El ganador obtuvo 4000 soles.
CLAVE A.
2) Un sastre tiene que hacer cuatro pantalones iguales el día de hoy. Él empezó a trabajar a las
7:30 am y terminó el primer pantalón a las 9:00 am. ¿A qué hora terminará los cuatro
pantalones?
A) 12:30 pm
B) 1:30 pm
C) 2:00 pm
D) 1:00 pm
E) 1:15 pm
SOLUCION:
Siguiendo la secuencia hasta terminar el cuarto pantalón:
1er Pantalón
9:00 AM
7:30 AM
+ 1:30 h
2do Pantalón
10:30 AM
+ 1:30 h
3er Pantalón
12:00 M
+ 1:30 h
4to Pantalón
1:30 PM
+ 1:30 h
RESPUESTA: El sastre terminará de hacer los cuatro pantalones a las 1:30 PM.
CLAVE B.
3) Juan y Alberto tienen que recaudar cada uno 300 soles para su viaje de promoción. En cierto
momento se dio la siguiente conversación:
 Juan dijo: “Me falta recaudar el 60% del total”.
 Alberto respondió: “Entonces yo he recaudado el doble que tú”.
¿Cuánto le falta recaudar a Alberto?
A) 120 soles
B) 90 soles
C) 45 soles
D) 72 soles
E) 60 soles
SOLUCION:
Monto a recaudar para cada uno: 300 soles.
Juan dijo: “Me falta recaudar el 60% del total”. Graficando se tiene:
10%
10%
10%
Recaudó: 40%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Falta recaudar: 60%
10%
2
Alberto respondió: “Entonces yo he recaudado el doble que tú”. Graficando se tiene:
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Recaudó: 80%
Falta recaudar: 20%
Le falta recaudar a Alberto: 20% del total, es decir:
20
× 300 = 20 × 3 = 60
100
RESPUESTA: A Alberto le falta recaudar 60 soles.
CLAVE E.
4) Martha quiere determinar qué porcentaje de la superficie de un plato circular ocupa el huevo
frito que ella se preparó para el desayuno. Si el radio del plato es 14 cm, y se asume que la
forma del huevo frito corresponde a un círculo de radio igual a 0,8 veces el radio del plato,
calcule el porcentaje requerido.
A) 36%
B) 50%
C) 14%
D) 64%
E) 72%
SOLUCION:
Radio del huevo frito: 0,8(Radio del plato) = 0,8(14 cm) = 11,2 cm.
Graficando se tiene:
Sea el porcentaje de la superficie de un plato circular que es ocupada por el huevo frito: x.
𝑥=
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑓𝑟𝑖𝑡𝑜
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑜
𝑥=
𝑥=
𝜋 × (11,2)2
𝜋 × (14)2
125,44
× 100%
196
𝑥=
12544
%
196
𝑥 = 64%
RESPUESTA: El huevo frito ocupa el 64% de la superficie del plato circular.
CLAVE D.
3
5) Hace 6 años la edad de Adriana era mayor que
de Adriana será mayor que
3
2
1
2
de su edad actual y dentro de 7 años la edad
de su edad actual. ¿Dentro de cuántos años Adriana tendrá 18
años?
A) 6
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
SOLUCION:
Planteando:
Adriana
Pasado
x–6
Presente
x
Futuro
x+7
Hace 6 años la edad de Adriana era mayor que ½ de su edad actual:
1
𝑥−6> 𝑥
2
2(𝑥 − 6) > 𝑥
2𝑥 − 12 > 𝑥
𝑥 > 12
Dentro de 7 años la edad de Adriana será mayor que 3/2 de su edad actual:
3
𝑥+7> 𝑥
2
2(𝑥 + 7) > 3𝑥
2𝑥 + 14 > 3𝑥
14 > 𝑥
𝑥 < 14
Por tanto: 12 < x < 14, entonces x = 13.
Dentro de cuántos años Adriana tendrá 18 años: 18 – 13 = 5 años.
RESPUESTA: Dentro de 5 años Adriana tendrá 18 años.
CLAVE B.
6) Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo:
1 2
4
8
3 6 12 24
9 18 36 72
27 54 108 216
Exprese el resultado mediante una multiplicación.
A) 15x40
B) 40x21
C) 10x45
D) 21x35
E) 16x35
SOLUCION:
Sumando la primera columna: S = 1 + 3 + 9 + 27 = 40
Expresando la distribución de los números en función de la primera columna (S).
4
1 2(1)
3 2(3)
9 2(9)
27 2(27)
S + 2S +
4(1)
4(3)
4(9)
4(27)
4S +
8(1)
8(3)
Vamos a sumar todas las columnas
8(9)
8(27)
8S = 15S = 15x40
RESPUESTA: La suma de todos los números en el arreglo es 15x40.
CLAVE A.
7) En un bus hay 50 asientos y uno lo ocupa el chofer. En los otros asientos están viajando
alumnos de dos colegios A y B, aunque hay algunos asientos vacíos. La tercera parte de los
alumnos del colegio A está durmiendo y la quinta parte está leyendo. La tercera parte de los
alumnos del colegio B está leyendo y la octava parte está durmiendo. ¿Cuántos asientos
vacíos hay?
A) 12
B) 10
C) 11
D) 13
E) 17
SOLUCION:
En el bus hay 50 asientos y uno lo ocupa el chofer.
Número de alumnos del colegio A que están durmiendo:
Número de alumnos del colegio A que están leyendo:
1
5
1
3
𝐴
𝐴
Por tanto, el número total de alumnos del colegio de A es un múltiplo de 3x5 = 15.
Número de alumnos del colegio B que están leyendo:
1
3
𝐵
Número de alumnos del colegio B que están durmiendo:
1
8
𝐵
Por tanto, el número total de alumnos del colegio de B es un múltiplo de 3x8 = 24.
Entre ambos colegios se tendrá el número de alumnos: 15K + 24K = 39K.
De manera que: K = 1, porque si fuera mayor que uno la cantidad de alumnos sería mayor que
50. Por tanto, el número de alumnos es 39.
Número de asientos vacíos = (50 – 1) – 39 = 49 – 39 = 10.
Del total de asientos (50) se descuenta uno que está ocupado por el chofer.
RESPUESTA: En el bus hay 10 asientos vacíos.
CLAVE B.
8) Un carpintero hizo dos prismas de madera. Las bases del primer prisma son triángulos
equiláteros de 8 cm de lado y sus caras laterales son cuadrados. Las bases del segundo
prisma son hexágonos regulares de 8 cm de lado y sus caras laterales también son
cuadrados. Por lo tanto, el volumen del primer prisma es al volumen del segundo prisma
como…
A) 1 es a 3
B) 2 es a 3
SOLUCION:
Graficando se tiene
C) 1 es a 6
D) 1 es a 4
E) 2 es a 9
5
Hallando el área de la base (triángulo equilátero) del prisma 1:
Por fórmula se tiene:
𝐴∆=
𝐿2 √3
4
𝐴∆=
82 √3
4
𝐴∆=
64√3
4
𝐴∆= 16√3
Hallando el área de la base (hexágono regular) del prisma 2:
6
El área del hexágono regular es seis veces el área del triángulo equilátero:
𝐴 = 6 × 𝐴∆
𝐴 = 6 × 16√3
𝐴 = 96√3
Hallando la relación de los volúmenes:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 1 𝐴𝑏1 × ℎ1 16√3 × 8 16 1
=
=
=
=
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 2 𝐴𝑏2 × ℎ2 96√3 × 8 96 6
Recordemos el volumen de un prisma está dado por: V = Axh (A: Área de la base, h: Altura).
RESPUESTA: El volumen del primer prisma es al volumen del segundo prisma como 1 es a 6.
CLAVE C.
9) En una ciudad, cada número telefónico es de la forma
(es decir, tiene 5 dígitos) y
para que sea considerado válido se debe cumplir que 3a + b + 3c + d + 3e es múltiplo de 10.
Por ejemplo, 23289 es un número válido porque 3x2 + 1x3 + 3x2 + 1x8 + 3x9 = 50 es múltiplo
de 10. Por otro lado 11111 no es un número válido porque 3x1 + 1x1 + 3x1 + 1x1 + 3x1 = 11
no es múltiplo de 10.
Esta forma de asignar los números telefónicos tiene varios beneficios, uno de ellos es que si
se intercambia de lugar dos dígitos adyacentes casi siempre se puede deducir cuál era el
número inicial, sin tener la información de cuáles fueron los dígitos intercambiados. Por
ejemplo, mientras Andrea dictaba su número telefónico a una amiga, por error intercambió dos
dígitos adyacentes y su amiga escribió 24765 ¿Cuál es el número telefónico de Andrea?
A) No se puede determinar
B) 42765
SOLUCION:
De acuerdo a los datos del problema:
Todo número de cinco dígitos:
se cumple
La amiga de Andrea escribió el número: 24765
Probando la alternativa B) 42765
3(4) + 2 + 3(7) + 6 + 3(5) = 10
12 + 2 + 21 + 6 + 15 = 10
56 ≠ 10
Probando la alternativa C) 27465
3(2) + 7 + 3(4) + 6 + 3(5) = 10
6 + 7 + 12 + 6 + 15 = 10
46 ≠ 10
Probando la alternativa D) 24675
3(2) + 4 + 3(6) + 7 + 3(5) = 10
6 + 4 + 18 + 7 + 15 = 10
50 = 10
C) 27465
D) 24675
E) 24756
7
RESPUESTA: El número telefónico de Andrea es 24675.
CLAVE D.
10) El reglamento municipal de edificaciones de cierta ciudad consta de tres normas:
 El primer piso de una edificación debe tener como mínimo 3 metros de altura.
 Cualquier otro piso superior al primero debe tener como mínimo 2,6 metros de altura.
 La edificación debe tener como máximo 25 metros de altura.
¿Cuántos pisos como máximo puede tener una edificación en dicha ciudad?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
SOLUCION:
Planteando:
Altura mínima del primer piso: 3 m.
Altura mínima de otro piso superior al primero: 2,6 m.
Altura máxima de edificación: 25 m.
Altura de edificación sin el primer piso: 25 – 3 = 22 m.
Sea, “N” número de pisos:
22 220 110
𝑁=
=
=
= 8,4 ≈ 8
2,6
26
13
Por tanto, el total de pisos sería: 8 + 1 = 9 (Se suma uno por el primer piso).
RESPUESTA: La edificación tendrá 9 pisos como máximo.
CLAVE C.
11) Felipe dibujó en su cuaderno un cuadrilátero y midió con su transportador sus ángulos
interiores. Resultó que las medidas de los ángulos están en progresión aritmética y que dos de
ellos son 45° y 105°. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo interior del cuadrilátero?
A) 120°
B) 145°
C) 110°
D) 105°
E) 135°
SOLUCION:
Las medidas de los ángulos interiores están en progresión aritmética, siendo “r” la razón
aritmética y que dos de los ángulos son 45° y 105°.
1er 
45°
2do 
45° + r
+r
3er 
105°
+r
4to 
105° + r
+r
Graficando se tiene:
Utilizando el segundo y tercer ángulo que están en progresión aritmética:
45° + 2r = 105°
2r = 105° - 45°
2r = 60°
r = 30°
8
Mayor ángulo interior del cuadrilátero: 105° + r = 105° + 30° = 135°
RESPUESTA: El mayor ángulo interior del cuadrilátero es 135°.
CLAVE E.
12) Pedro dibujó un rectángulo cuya diagonal mide 19 cm. Si la base y altura del rectángulo de
Pedro aumentan en 3 cm, entonces la diagonal aumenta en 4 cm. Calcule el perímetro del
rectángulo inicial.
A) 38 cm
B) 52 cm
C) 50 cm
D) 54 cm
E) 48 cm
SOLUCION:
Utilizando el Teorema de Pitágoras en el rectángulo inicial:
𝑏 2 + ℎ2 = 192
𝑏 2 + ℎ2 = 361
Perímetro inicial:
𝑃(𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = 2(𝑏 + ℎ)
Utilizando el Teorema de Pitágoras en el rectángulo final:
(𝑏 + 3)2 + (ℎ + 3)2 = 232
+ 6𝑏 + 9 + ℎ2 + 6ℎ + 9 = 529
𝑏 2 + ℎ2 + 6𝑏 + 6ℎ + 9 + 9 = 529
(𝑏 2 + ℎ2 ) + 6(𝑏 + ℎ) + 18 = 529
(𝑏 2 + ℎ2 ) + 6(𝑏 + ℎ) = 529 − 18
361 + 6(𝑏 + ℎ) = 511
6(𝑏 + ℎ) = 511 − 361
6(𝑏 + ℎ) = 150
𝑏 + ℎ = 25
𝑏2
9
Reemplazando la última expresión en el perímetro inicial:
𝑃(𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = 2(𝑏 + ℎ)
𝑃(𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = 2(25)
𝑃(𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = 50
RESPUESTA: El perímetro del rectángulo inicial es de 50 cm.
CLAVE C.
13) La mediana de una cantidad par de números se determina de la siguiente forma: Se ordena
los números de menor a mayor, y la mediana se define como la media de los números que
aparecen en las posiciones centrales. Por ejemplo, la mediana de los números 6; 2; 5; 2; 1; 4
es 3 porque al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1; 2; 2; 4; 5; 6 y la
media de los números que aparecen en las posiciones centrales es
2+4
2
= 3.
Un niño hizo una encuesta a 6 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántas
personas viven en tu casa? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes:
3; 3; 7; 9; n; 3.
Luego, el niño calculó la mediana de los 6 números. ¿Cuál de las siguientes alternativas no es
un posible valor de la mediana?
A) 3,5
B) 4
C) 4,5
D) 5
E) 5,5
SOLUCION:
Ordenando los números de menor a mayor:
3; 3; 3; 7; 9; n
Si: n  3, 
𝑀𝑒 =
3+3
2
= =3
Si: n = 4, 
𝑀𝑒 =
3+4
2
= = 3,5
Si: n = 5, 
𝑀𝑒 =
3+5
2
= =4
Si: n = 6, 
𝑀𝑒 =
Si: n = 7, 
𝑀𝑒 =
3+7
2
=
10
2
=5
Si: n = 8, 
𝑀𝑒 =
3+7
2
=
10
2
=5
Si: n  9, 
𝑀𝑒 =
3+6
2
3+7
2
6
2
7
2
8
2
9
= = 4,5
2
=
10
2
=5
RESPUESTA: La mediana no puede tomar el valor de 5,5.
CLAVE E.
14) Una zapatería usa la siguiente fórmula para determinar la longitud L de un zapato según la
talla t:
L(t) = at + b,
Donde a y b son constantes. Se sabe que la talla 34 corresponde a una longitud de 21,5 cm y
la talla 44 corresponde a una longitud de 27,5 cm, es decir, se cumple que L(34) = 21,5 y L(44)
= 27,5 respectivamente. ¿Qué longitud corresponde a la talla 38?
A) 23,7 cm
SOLUCION:
B) 24,2 cm
C) 25,1 cm
D) 24,3 cm
E) 23,9 cm
10
Ordenando en una tabla:
t
L
34
21,5 cm
44
27,5 cm
Reemplazando en la función:
L(34) = 34a + b = 21,5
L(44) = 44a + b = 27,5
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
34a + b = 21,5
44a + b = 27,5
10a = 6
(Restando la segunda ecuación y la primera ecuación)
a = 6/10 = 3/5 = 0,6
Reemplazando “a” en la primera ecuación:
34a + b = 21,5
34(0,6) + b = 21,5
20,4 + b = 21,5
b = 21,5 – 20,4
b = 1,1
Por tanto, la función será la siguiente: L(t) = 0,6t + 1,1. Hallando: L(38)
L(38) = 0,6(38) + 1,1 = 22,8 + 1,1 = 23,9
RESPUESTA: La longitud corresponde a la talla 38 es 23,9 cm.
CLAVE E.
15) Luego de una encuesta a los alumnos de educación secundaria de un colegio acerca de su
deporte favorito se obtuvo la siguiente información:
Número de alumnos
Porcentaje
Fútbol
100
*
Vóley
60
*
Básquet
*
20%
Tenis
*
16%
Los asteriscos denotan información oculta. ¿Para cuántos alumnos su deporte favorito es el
básquet?
A) 50
B) 40
C) 65
D) 62
E) 55
SOLUCION:
Asignando variables:
Número de alumnos que prefieren Básquet: x
Número de alumnos que prefieren Tenis: y
Fútbol
Vóley
Básquet
Tenis
TOTAL
Número de alumnos
100
60
x
y
160 + x + y
Porcentaje
*
*
20%
16%
100%
11
Alumnos que prefieren Básquet:
𝑥
= 20%
160 + 𝑥 + 𝑦
𝑥
20
=
160 + 𝑥 + 𝑦 100
𝑥
1
=
160 + 𝑥 + 𝑦 5
5𝑥 = 160 + 𝑥 + 𝑦
4𝑥 = 160 + 𝑦
4𝑥 − 𝑦 = 160 … . (𝛼)
Alumnos que prefieren tenis:
𝑦
= 16%
160 + 𝑥 + 𝑦
𝑦
16
=
160 + 𝑥 + 𝑦 100
𝑦
4
=
160 + 𝑥 + 𝑦 25
25𝑦 = 640 + 4𝑥 + 4𝑦
21𝑦 = 640 + 4𝑥
−4𝑥 + 21𝑦 = 640 … . (𝛽)
Resolviendo el sistema de ecuaciones: () + ()
4x – y = 160
–4x + 21y = 640
20y = 800
y = 800/20 = 40
Reemplazando “y” en la primera ecuación:
4x – y = 160
4x – 40 = 160
4x = 160 + 40
4x = 200
x = 50
RESPUESTA: 50 alumnos prefieren el básquet.
CLAVE A.
16) En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene
longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos que tienen longitud 7 cm.
12
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
A) 11 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 7√2 cm
E) 6√2 cm
SOLUCION:
Asignado los vértices del cuadrado: A, B, C y D, luego trazamos su diagonal (AC) y ubicamos
los vértices E, F y G. Si mEGA = , entonces mFGC =  (por opuestos por el vértice),
también se cumple: mEAG = 90°– y también: mGCF = 90°–. Sea “x” la medida de cada
uno de los lados del cuadrado ABCD.
El AEG  GFC (ALA). En consecuencia, EG = GF, es decir, G es punto medio de EF, por
tanto: EG = 1 y GF = 1.
Utilizando el teorema de Pitágoras en el AEG:
𝐴𝐺 2 = 72 + 12
𝐴𝐺 2 = 49 + 1
𝐴𝐺 = √50
Por tanto: 𝐴𝐶 = √50 + √50 = 2√50, como se muestra en la siguiente figura:
13
Utilizando el teorema de Pitágoras en el ACD:
(2√50)2 = 𝑥 2 + 𝑥 2
4 × 50 = 2𝑥 2
√100 = 𝑥
10 = 𝑥
RESPUESTA: La longitud del lado del cuadrado es 10 cm.
CLAVE B.
17) Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente
manera: En su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o
derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer
salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y así sucesivamente. ¿Cuántos saltos,
como mínimo, debe realizar la rana para llegar al punto 11?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
SOLUCION:
Punto de partida: 0
Graficando los saltos de manera adecuada:
Punto de llegada: 11
RESPUESTA: La rana dio 5 saltos como mínimo para llegar al punto 11.
CLAVE C.
18) En cada casilla del siguiente tablero se va a escribir un número entero positivo (algunas
casillas ya tienen escrito un número) de tal forma que cada número que no está en la fila
inferior sea igual al producto de los dos números que están debajo de él. Si los 10 números
que se van a usar son distintos entre sí, determine el mayor valor posible de b + 2d.
14
A) 11
B) 13
C) 15
D) 12
E) 10
SOLUCION:
Descomponiendo en sus factores primos el número 4320.
4320 = 25x33x5
Si los 10 números son distintos, entonces a, b, c y d ninguno tomaría el valor de uno (1). Por
ello ordenamos de la siguiente manera:
Comprobando que los 10 números son distintos y cumple con las condiciones del problema:
Finalmente, b = 3 y d = 5 (son los mayores)
Hallando lo que nos piden: b + 2d = 3 + 2(5) = 3 + 10 = 13.
RESPUESTA: El mayor valor posible de “b + 2d” es 13.
CLAVE B.
19) Cada una de las cuatro circunferencias mostradas tiene radio 1 cm y es tangente a uno o dos
lados del triángulo. Además, tres circunferencias son tangentes entre sí y una de las
circunferencias es tangente a las otras tres. Calcule el área del triángulo.
15
A) 12√3 cm2
B) 9 + 6√3 cm2
C) 18 cm2
D) 15 + 3√3 cm2
E) 12 + 9√3 cm2
SOLUCION:
Asignado los vértices del triángulo ABC, ubicamos los centros de las circunferencias: M, N y O,
luego trazamos los radios convenientemente. El MON es equilátero porque cada lado mide 2
cm, entonces mMNO = 60° tal como se muestra a continuación:
Por propiedad, los radios de las circunferencias son perpendiculares a su recta tangente.
Como las circunferencias son tangentes a los lados del triángulo y tangentes entre sí, se
cumple que: NO // FB, entonces mFNO = 90° y en consecuencia mABC = 90°. Se cumple:
FB = 3 cm. Vamos a trazar la prolongación del segmento MN que se interseca con BC en el
punto G y luego trazaremos también la prolongación del segmento NO que se interseca con
CA en el punto D. Por lo que se cumple: mFNG = 30° y mDNE = 30°.
1
2
El triángulo notable FNG (30° y 60°), si: FN = 1, entonces: 𝐹𝐺 =
y 𝐺𝑁 = .
El triángulo notable DNE (30° y 60°), si: NE = 1, entonces: 𝐷𝐸 =
√3
1
√3
y 𝐷𝑁 =
√3
2
√3
.
Como CG // DN, entonces CG = DN y también GN // CD, entonces GN = CD. Por tanto, el
cuadrilátero CGND es un rombo, porque todos sus lados son iguales. Entonces, mGND =
60° y mGND = 60°.
1
2
3
𝐶𝐹 =
+
=
√3 √3 √3
Vamos a graficar el ABC, conociendo sus ángulos interiores y los lados proporcionales de los
ángulos notables de 30° y 60° (1k, √3𝑘,2k).
16
Hallando el área del triángulo ABC:
𝐴Δ =
𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
3
( + 3) (3 + 3√3)
𝐴Δ = √3
2
9
+ 9 + 9 + 9√3
√3
𝐴Δ =
2
9√3
+ 18 + 9√3
𝐴Δ = 3
2
𝐴Δ =
3√3 + 18 + 9√3
2
𝐴Δ =
18 + 12√3
2
𝐴Δ = 9 + 6√3
RESPUESTA: El área del triángulo es 9 + 6√3 cm2.
CLAVE B.
20) Determinar de cuántas formas se pueden ordenar los números 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10 en las
casillas de la siguiente fila, de tal forma que la suma de cualesquiera dos números adyacentes
sea mayor o igual que 11.
4
A) 12
B) 6
C) 3
D) 2
E) 1
SOLUCION:
Ubicando los números de manera que la suma de dos números adyacentes cualesquiera sean
mayor o igual que 11.
PRIMER CASO:
5
6
7
4
8
3
9
2
10
1
6
5
7
4
8
3
9
2
10
1
SEGUNDO CASO:
RESPUESTA: Dichos números se pueden ubicar de dos formas.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE D.
1
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
Primera Fase - Nivel 3 – Solucionario.
1) Karen y Lucía fueron a comprar útiles escolares para sus hijos. Karen compró 2 lapiceros y 4
cuadernos, mientras que Lucía compró 6 lapiceros y 12 cuadernos. Si Karen pagó 19 soles,
¿Cuánto pagó Lucía?
A) 37 soles
B) 48 soles
C) 57 soles
D) 38 soles
E) 76 soles
SOLUCION:
Asignando variables:
x: Precio por cada lapicero.
y: Precio por cada cuaderno.
Nos piden hallar: Lucía compró: 6x + 12y = ?
Karen compró: 2x + 4y = 19
x + 2y = 19/2
x + 2y = 9,5
6x + 12y = (9,5)
6x + 12y = 57
(Dividiendo entre 2)
(Multiplicando por 6)
RESPUESTA: Lucía pagó 57 soles.
CLAVE C.
2) Uno de los salones de la I.E. San Carlos de Puno tiene sus carpetas ordenadas en 4
columnas, donde cada columna tiene n carpetas. Luego de retirar una carpeta, las que quedan
se pueden ordenar en 5 columnas, donde cada columna tiene n – 2 carpetas. ¿Cuántas
carpetas había al inicio?
A) 35
B) 42
C) 40
D) 44
E) 36
SOLUCION:
Graficando se tiene:
Total de carpetas: 4n
Se retira una carpeta, quedaría: 4n – 1.
Las que quedan se pueden ordenar en cinco columnas: 5(n – 2).
Por tanto, las carpetas que quedan con las que se ordenan en cinco columnas son las
mismas:
4n – 1 = 5(n – 2)
2
4n – 1 = 5n – 10
10 – 1 = 5n – 4n
9=n
Total de carpetas: 4n = 4(9) = 36.
RESPUESTA: Al inicio habían 36 carpetas.
CLAVE E.
3) Una vela de 24 cm se consume 6 cm por ahora, a rapidez constante, ¿En cuánto tiempo se
consume la tercera parte de la vela?
A) 1 hora
D) 1 hora y 40 minutos
B) 1 hora y 20 minutos
E) 1 hora y 45 minutos
C) 1 hora y 30 minutos
SOLUCION:
Hallando la tercera parte de la longitud de la vela:
1
(24) = 8 𝑐𝑚
3
Planteando una regla de tres simple:
x: Tiempo que se consume la tercera parte de la vela.
6 cm

1 hora
8 cm

x
6x = 8(1)
x = 8/6
x = 4/3 h
1
1
1
𝑥 = 1 ℎ = 1ℎ + ℎ = 1ℎ + (60 𝑀𝑖𝑛) = 1ℎ + 20 𝑀𝑖𝑛 = 1ℎ 20 𝑀𝑖𝑛
3
3
3
RESPUESTA: La tercera parte de la vela se consume en 1hora y 20 minutos.
CLAVE B.
4) En una granja hay vacas, cerdos y pollos. El número de vacas es al número de cerdos como 2
es a 3 y el número de cerdos es al número de pollos como 4 es a 15. Luego, podemos
asegurar que el número total de animales de la granja es:
A) Múltiplo de 4
B) Múltiplo de 13
C) Múltiplo de 20
SOLUCION:
Asignando variables:
Número de vacas: v
Número de cerdos: c
Número de pollos: p
El número de vacas es al número de cerdos como 2 es a 3:
𝑣 2
=
𝑐 3
El número de cerdos es al número de pollos como 4 es a 15:
𝑐
4
=
𝑝 15
D) Múltiplo de 7 E) Múltiplo de 2
3
El número de cerdos vamos a homogenizar en las dos proporciones, para ello vamos a
multiplicar por 4 y 3 respectivamente:
𝑣 2×4
8𝑘
=
=
𝑐 3 × 4 12𝑘
𝑐
4×3
12𝑘
=
=
𝑝 15 × 3 45𝑘
Entonces: v = 8k, c = 12k, p = 45k
El total de animales: v + c + p = 8k + 12k + 45k = 65k = 13(5k)
RESPUESTA: El número total de animales de la granja es múltiplo de 13.
CLAVE B.
5) A las 6:00 am el depósito de agua de una familia estaba lleno. A las 2:00 pm la familia ya
había usado el 40% del contenido del depósito, luego, entre las 2:00 pm y 11:00 pm usaron
2
3
de lo que quedaba a las 2:00 pm. Si a las 11:00 pm aún quedaban 96 litros en el depósito,
¿Cuántos litros había a las 6:00 am?
A) 480
B) 280
C) 960
D) 576
E) 450
SOLUCION:
Sea: x = volumen total del depósito de agua.
Si hasta las 2:00 pm se usó 40%, queda 60%.
Entre las 2:00 pm y 11:00 pm, usaron 2/3 del 60% y queda 1/3 del 60%
1
3
60
20
× 100 = 100 = 20%
Graficando se tiene:
A las 11:00 pm queda:
20%𝑥 = 96
20
𝑥 = 96
100
1
𝑥 = 96
5
𝑥 = 96 × 5
𝑥 = 480
RESPUESTA: A las 6:00 am había 480 litros.
CLAVE A.
4
6) Hilda observó un cóndor en el Cañón del Colca, el cual estaba volando en línea recta. Al inicio
Hilda observó que el cóndor estaba a 500 metros de altura y después de 10 segundos estaba
a 480 metros de altura. ¿Después de cuántos segundos, desde que Hilda empezó a observar
al cóndor, éste estaba a 420 metros de altura?
A) 45
B) 30
C) 60
D) 40
E) 35
SOLUCION:
Graficando la situación problemática:
V10
VX
Vamos a suponer que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), donde la
velocidad del cóndor es constante, la distancia está dado por:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(10 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = 𝑉 × 10
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑋 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = 𝑉 × 𝑋
Hallando la diferencia de alturas:
500 – 480 = 20 m
480 – 420 = 60 m
Vamos a trazar dos líneas puntuadas paralelas al piso, tal como se muestra en la figura. El
ángulo formado por la trayectoria del cóndor con las líneas horizontales punteadas es .
Los dos triángulos rectángulos formados son semejantes (Angulo – Angulo), porque están en
la misma pendiente (recorrido del cóndor), por tanto, planteamos:
20
60
=
𝑉 × 10 𝑉 × 𝑋
20 60
=
10
𝑋
20𝑋 = 60 × 10
20𝑋 = 600
5
𝑋 = 30
Tiempo total: 10 + 30 = 40 segundos.
RESPUESTA: Desde que Hilda observó el cóndor hasta que esté a una altura de 420 m,
transcurrieron 40 segundos.
CLAVE D.
7) Se tiene un cuadrado de papel 16 cm 2 de área, al trazar las dos diagonales del cuadrado se
obtiene cuatro triángulos:
Si el perímetro de cada triángulo es p cm, determine en qué intervalo se encuentra p:
A) 6 < p < 7
B) 7 < p < 8
C) 8 < p < 9
D) 9 < p < 10 E) 10 < p < 11
SOLUCION:
Si el área del cuadrado es 16 cm 2, entonces cada lado mide 4 cm.
Sea: x = Medida de cada cateto del triángulo:
Utilizando el Teorema de Pitágoras:
42 = 𝑥 2 + 𝑥 2
16 = 2𝑥 2
8 = 𝑥2
√8 = 𝑥
2√2 = 𝑥
Por propiedad se tiene, que las diagonales de un cuadrado se cortan formando un ángulo de
90°. Es decir:
6
El perímetro de cada triángulo es:
𝑝 = 4 + 2√2 + 2√2
𝑝 = 4 + 4√2
𝑝 = 4 + 4(1,41)
𝑝 = 4 + 5,64
𝑝 = 9,64
Por tanto, “p” está comprendido entre 9 y 10 ( 9 < p < 10)
RESPUESTA: p se encuentra en el intervalo: 9 < p < 10.
CLAVE D.
8) Andrea va a viajar a Ecuador para lo cual necesita cambiar algunos soles por dólares. En el
Banco Independencia 1 dólar cuesta 3,26 soles y en el Banco Confianza 1 dólar cuesta 3,28
soles. En el Banco Independencia te cobran 15 soles de comisión por cualquier cambio de
moneda, y en el Banco Confianza no cobran comisión. Andrea fue el día lunes al Banco
Independencia y regresó con 100 dólares; el día martes fue al Banco Confianza y también
regresó con 100 dólares. ¿Cuántos soles en total gastó Andrea para obtener los 200 dólares?
A) 669
B) 654
C) 677
SOLUCION:
Planteando:
Banco Independencia: $ 1 = S/. 3,26
Banco Confianza: $ 1 = S/. 3,28
D) 684
E) 665
(Más comisión 15 soles)
(Sin comisión)
El día lunes regresó $ 100 del banco Independencia.
Sea: x = Dinero en soles que cambió en el banco Independencia.
𝑥
= 100
3,26
𝑥 = 100 × 3,26
𝑥 = 326
Ahora más la comisión de 15 soles: 326 + 15 = S/. 341.
El día martes regresó $ 100 del banco Confianza.
Sea: y = Dinero en soles que cambió en el banco Confianza.
𝑦
= 100
3,28
𝑦 = 100 × 3,28
𝑦 = 328
Total de dinero en soles que cambió en los dos bancos: 341 + 328 = S/. 669
RESPUESTA: Andrea gastó 669 soles para obtener 200 dólares.
CLAVE A.
9) En una fábrica de panetones, 5 máquinas envasan 7200 cajas en 6 horas. ¿Cuántas
máquinas más se debe comprar para que, junto a las anteriores, puedan envasar 15360 cajas
en 8 horas?
Nota: Considere que todas las máquinas trabajan a la misma rapidez.
A) 6
B) 5
C) 4
SOLUCION:
Resolviendo por el método de las dos rayas:
D) 3
E) 2
7
𝑥(8)(7200) = 5(6)(1536)
𝑥=
5(6)(1536)
8(7200)
𝑥=
1536
192
𝑥=8
Cuántas máquinas comprarán: 8 – 5 = 3
RESPUESTA: Deben comprar 3 máquinas más.
CLAVE D.
10) En la I.E. Illathupa de Huánuco sólo se atiende a estudiantes del nivel secundario y las
cantidades por grado se muestran en la siguiente tabla:
Grado
N° de estudiantes
Primero
347
Segundo
268
Tercero
230
Cuarto
251
Quinto
244
Un grupo de estudiantes quiere hacer una encuesta a todos los estudiantes de la I.E., pero al
ver que son muchos, decidieron escoger una muestra representativa de 210 estudiantes y
hacer la encuesta sólo con ellos. En dicha muestra las cantidades de estudiantes por grados
deben ser proporcionales a las cantidades que hay por grado en toda la I.E. ¿Cuántos
estudiantes de segundo grado debe haber en dicha muestra?
A) 21
B) 42
C) 54
D) 66
E) 78
SOLUCION:
Muestra = 210 estudiantes.
En dicha muestra las cantidades de estudiantes por grados deben ser proporcionales a las
cantidades que hay por grado en toda la I.E.
Sea, “k” constante de proporcionalidad:
Total = 347k + 268k + 230k + 251k + 244k = 1340k
1340𝑘 = 210
210
21
𝑘=
=
1340 134
Número de estudiantes de segundo grado que debe haber en dicha muestra:
21
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 = 268𝑘 = 268 ×
= 2 × 21 = 42
134
RESPUESTA: En dicha muestra debe haber 42 estudiantes del segundo grado.
CLAVE B.
8
11) El índice de un rectángulo se define como el cociente de su lado mayor entre su lado menor.
Así, por ejemplo, si un rectángulo tiene 3 cm de largo y 2 cm de ancho, su índice es 3÷2 = 1,5.
En las imprentas trabajan con varios tamaños de papeles, uno de los más usados es el
tamaño A4. Si a una hoja tamaño A4 se le hace un corte a la mitad (uniendo los puntos
medios de sus lados mayores) se obtiene dos hojas de tamaño A5.
Una propiedad interesante es que una hoja de tamaño A4 tiene el mismo índice que una hoja
tamaño A5. Calcule, aproximadamente, dicho índice,
A) 2
B) 1,41
C) 1,5
D) 1,35
E) 1,63
SOLUCION:
Asignando variables:
Una hoja de tamaño A4 tiene el mismo índice que una hoja tamaño A5, por tanto, se cumple:
2𝑥 𝑦
=
𝑦
𝑥
2𝑥 2 = 𝑦 2
2=
𝑦2
𝑥2
𝑦 2
2=( )
𝑥
√2 =
𝑥
𝑦
1,4142 =
RESPUESTA: El índice de la hoja A4 y A5 es 1,41.
𝑥
𝑦
CLAVE B.
9
12) En una obra teatral, realizada en el Teatro Municipal de Arequipa, los niños pagan S/. 8 y los
adultos S/. 25. Si en total se recaudó S/. 942 y se vendieron más boletos de adultos que de
niños, ¿Cuántos boletos se vendieron en total?
A) 71
B) 37
C) 54
D) 58
E) 61
SOLUCION:
Precio de entrada por cada niño: 8 soles.
Precio de entrada por cada adulto: 25 soles.
Sea:
x = Número de niños.
y = número de adultos.
Donde: y > x
Total de asistentes = 942
8x + 25y = 942
25y = 942 – 8x
942 − 8𝑥
𝑦=
25
De la expresión anterior, “y” es múltiplo de 25, pero para ello 942 debe ser restado por un
múltiplo de 8. Este último debe terminar en cifra 2, porque al restarse con 942 el resultado
terminará en cifra cero y podría ser múltiplo de 25.
Entonces “x” debe terminar en cifra cuatro, es decir, debe ser de la forma: 4; 14; 24; 34;…
Reemplazando los valores de 4 y 14 no cumple, probemos con x = 24, se tiene:
𝑦=
942 − 8(24)
25
𝑦=
942 − 192
25
𝑦=
750
25
𝑦 = 30
Total de asistentes: 24 + 30 = 54
RESPUESTA: Se vendieron 54 boletos en total.
CLAVE C.
13) Sean m y n números enteros. ¿En cuál o cuáles de los siguientes casos se puede asegurar
que |m| + n = |m + n|?
I.
Cuando m > 0.
II.
Cuando n > 0.
III.
Cuando m + n > 0
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) En ningún caso
SOLUCION:
Planteando: {m; n}  Z
Dada la expresión:
|m| + n = |m + n|
|m + n| = |m| + n
Esta última expresión es similar a la desigualdad triangular: |x+y|  |x| + |y|, para xR, yR.
Por tanto, la igualdad: |m| + n = |m + n| es incorrecta para {m; n}  Z
10
Probemos cada caso:
I.
Cuando m > 0.
Cuando: m = 2, n = – 4
|m| + n = |m + n|
|2| + (– 4) = |2 + (– 4)|
|2| + (– 4) = |2 + (– 4)|
2 – 4 = |2 – 4|
–2 = | – 2 |
–2 = 2
¡No cumple!
II.
Cuando n > 0.
Cuando: n = 3, m = – 5
|m| + n = |m + n|
|–5| + 3 = |(– 5) + 3|
|–5| + 3 = |– 2|
5+3=2
8=2
¡No cumple!
III.
Cuando m + n > 0
Cuando: m = –3, n = 4. Sumando: (– 3) + 4 > 0
|m| + n = |m + n|
|–3| + 4 = |(– 3)+4|
3 + 4 = |1|
7=1
¡No cumple!
Se concluye que, la igualdad: |m| + n = |m + n| sólo se cumple cuando m  0 y n  0.
RESPUESTA: En ningún caso es correcto.
CLAVE E.
14) Calcule la probabilidad de que al lanzar tres dados se obtenga tres números distintos.
Nota: Considere que cada dado tiene en sus caras los números del 1 al 6.
A)
5
9
B)
2
3
C)
1
2
D)
4
9
E)
3
4
SOLUCION:
Vamos a utilizar la regla de Laplace:
𝑃(𝐴) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Sea el evento: A = Lanzamiento de tres dados que se obtenga tres números distintos.
Al lanzar los tres dados no interesa el orden de los números que se obtiene, sólo que sean
distintos, por tanto, es una combinación.
𝐶16 × 𝐶15 × 𝐶14
𝑃(𝐴) = 6
𝐶1 × 𝐶16 × 𝐶16
𝑃(𝐴) =
6×5×4
6×6×6
𝑃(𝐴) =
20 5
=
36 9
11
RESPUESTA: La probabilidad de que al lanzar tres dados se obtenga tres números distintos
es 5/9.
CLAVE A.
15) El sistema de puntuación Elo es un método matemático para calcular la habilidad relativa de
los jugadores de ajedrez. De esta forma cada ajedrecista tiene una puntuación Elo que va
cambiando en el tiempo, según los resultados que obtiene al enfrentarse a otros jugadores. La
diferencia de la puntuación Elo entre dos jugadores determina una probabilidad estimada de
puntuación entre ellos, llamada puntuación esperada. Si el jugador A tiene una puntuación Elo
RA y el jugador B tiene una puntuación Elo RB, la fórmula exacta de la puntuación esperada del
jugador A al enfrentarse a B es:
1
1 + 10(𝑅𝐵−𝑅𝐴 )/400
Actualmente, los tres ajedrecistas peruanos con mayor puntuación Elo son los siguientes:
Ajedrecista
Julio Granda
Emilio Córdova
Jorge Cori
Puntuación Elo
2656
2643
2630
Usando la fórmula anterior, podemos determinar que la puntuación esperada de Julio Granda
al enfrentarse a Emilio Córdova es:
1
1 + 10(2643−2656)/400
Que es aproximadamente igual a 0,519. Calcule, aproximadamente, la puntuación esperada
de Jorge Cori al enfrentarse a Emilio Córdova.
A) 0,519
B) 0,423
C) 0,481
D) 0,416
E) 0,459
SOLUCION:
Hallando la puntuación esperada de Julio Granda al enfrentarse a Emilio Córdova:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐺, 𝐸𝐶) =
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐺, 𝐸𝐶) =
1
1 + 10(2643−2656)/400
1
1 + 10(−13)/400
Hallando la puntuación esperada de Jorge Cori al enfrentarse a Emilio Córdova:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐶, 𝐸𝐶) =
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐶, 𝐸𝐶) =
1
1 + 10(2643−2630)/400
1
1 + 10(13)/400
El resultado en ambas expresiones es parecido, ya que sólo se diferencian en el signo, es
decir, tenemos expresiones como las siguientes:
1
1 + 10 𝑥
𝑦
1
1 + 10−𝑥
12
Ambas expresiones suman la unidad y la vamos a demostrar:
1
1
+
1 + 10 𝑥 1 + 10−𝑥
1 + 10−𝑥 + 1 + 10 𝑥
(1 + 10 𝑥 )(1 + 10−𝑥 )
1 + 10−𝑥 + 1 + 10 𝑥
1 + 10−𝑥 + 10 𝑥 + 10 𝑥 . 10−𝑥
1 + 10−𝑥 + 1 + 10 𝑥
1 + 10−𝑥 + 10 𝑥 + 10 𝑥−𝑥
1 + 10−𝑥 + 1 + 10 𝑥
1 + 10−𝑥 + 10 𝑥 + 100
1 + 10−𝑥 + 1 + 10 𝑥
1 + 10−𝑥 + 10 𝑥 + 1
1
Entonces se cumple:
1
1
+
=1
1 + 10 𝑥 1 + 10−𝑥
1
1
=
1
−
1 + 10 𝑥
1 + 10−𝑥
Por tanto, ambas expresiones son complementarias, es decir, suman la unidad y
reemplazando en la expresión solicitada:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐶, 𝐸𝐶) =
1
1 + 10(13)/400
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐶, 𝐸𝐶 ) = 1 −
1
1 + 10(−13)/400
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐽𝐶, 𝐸𝐶 ) = 1 − 0,519 = 0,481
RESPUESTA: La puntuación esperada de Jorge Cori al enfrentarse a Emilio Córdova es
0,481.
CLAVE C.
16) Triangular un polígono convexo de n lados consiste en trazar algunas diagonales que no se
cortan dentro del polígono, de tal forma que el polígono quede dividido en triángulos. Además,
sea Tn el número de formas en que se puede triangular un polígono regular de n lados.
Para n = 3, el polígono es un triángulo y no es necesario trazar diagonales para triangularlo, o
sea tenemos que T3 = 1. Para n = 4, el polígono es un cuadrado y tenemos que T 4 = 2. Para n
= 5, el polígono es un pentágono y tenemos que T5 = 5.
13
Determine el valor de T6.
A) 18
B) 9
C) 8
D) 14
E) 7
SOLUCION:
Nuestro análisis será con el hexágono (T6).
Vamos a trazar las diagonales de un solo vértice:
Sub total son: 6
Vamos a trazar las diagonales de dos vértices consecutivos:
Sub total son: 6
Vamos a trazar las diagonales de tres vértices no consecutivos:
Sub total son: 2
Por tanto, en total será: 6 + 6 + 2 = 14.
RESPUESTA: El valor de T6 = 14.
CLAVE D.
17) En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene
longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos de longitudes 5 cm y 9 cm.
14
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
A) 11 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 7√2 cm
E) 6√2 cm
SOLUCION:
Asignado los vértices del cuadrado: A, B, C y D, luego trazamos su diagonal (AC) y ubicamos
los vértices E, F y G. Si mAFE = , entonces mCFG =  (por opuestos por el vértice),
también se cumple: mEAF = 90°– y también: mGCF = 90°–. Sea “x” la medida de cada
uno de los lados del cuadrado ABCD.
El AEF  GFC (AA). En consecuencia planteamos:
5
𝑦
=
9 2−𝑦
Hallando: FG
5(2 − 𝑦) = 9𝑦
10 − 5𝑦 = 9𝑦
10 = 9𝑦 + 5𝑦
10 = 14𝑦
5
=𝑦
7
𝐹𝐺 = 2 − 𝑦
15
𝐹𝐺 = 2 −
5 14 − 5 9
=
=
7
7
7
En el ∆AEF, vamos hallar la hipotenusa:
5 2
𝐴𝐹 = 5 + ( )
7
2
2
𝐴𝐹 2 = 25 +
𝐴𝐹 2 =
25
49
1225 + 25
49
1250
𝐴𝐹 = √
49
𝐴𝐹 =
5√50
7
En el ∆FGC, vamos hallar la hipotenusa:
9 2
𝐹𝐶 2 = 92 + ( )
7
𝐹𝐶 2 = 81 +
𝐹𝐶 2 =
81
49
3969 + 81
49
4050
𝐹𝐶 = √
49
𝐹𝐶 =
En el ∆ABC, vamos hallar la hipotenusa:
𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 + 𝐹𝐶
5
9
𝐴𝐶 = √50 + √50
7
7
𝐴𝐶 =
14
√50 = 2√50
7
9√50
7
16
Utilizando el teorema de Pitágoras en el ABC:
(2√50)2 = 𝑥 2 + 𝑥 2
4 × 50 = 2𝑥 2
√100 = 𝑥
10 = 𝑥
RESPUESTA: La longitud del lado del cuadrado es 10 cm.
CLAVE B.
18) Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente
manera: En su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o
derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer
salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y así sucesivamente. ¿Cuántos saltos,
como mínimo, debe realizar la rana para llegar al punto 12?
A) 8
B) 9
C) 5
D) 6
E) 7
SOLUCION:
Punto de partida: 0
Graficando los saltos de manera adecuada:
Punto de llegada: 12
RESPUESTA: La rana dio 7 saltos como mínimo para llegar al punto 12.
CLAVE E.
19) Las cuatro circunferencias mostradas tienen igual radio y cada una es tangente a uno o dos
lados del triángulo; cada circunferencia es tangente al segmento que está dentro del triángulo
17
ABC y además, la circunferencia central inferior es tangente a las circunferencias vecinas. Si
AC = 12 cm, calcule el área del triángulo ABC.
A) 24√2 cm2
B) 18√3 cm2 C) 30 cm2
D) 7√2 cm2
E) 36 cm2
SOLUCION:
Debido a que la circunferencia de la parte superior no especifica exactamente dónde se ubica,
vamos a suponer que se encuentra en la parte superior de la circunferencia del centro de la
segunda fila. También se puede resolver cuando la circunferencia de la parte superior se ubica
en otra posición, aunque el procedimiento es tedioso pero la respuesta será la misma.
Vamos ubicar los vértices D, E, F, G, H, I, J, K, L, O, Q, luego ubicamos los centros de las
circunferencias: M, N y P, trazamos los radios “R” de las cuatro circunferencias
convenientemente. El ABC es isósceles porque AB = BC, tal como se muestra a
continuación:
Si: mMAI = , entonces mMAJ =  (Por el teorema de la bisectriz de un ángulo), de la
misma manera: mNCG = , mFCN = .
Como KE // AC, entonces: mLKP =  y mPKE = , de la misma manera: mDEP =  y
mPEK = .
Por el teorema de la bisectriz de un ángulo: mJMK =  y mKMQ = .
Por el teorema de la bisectriz de un ángulo: mFNE =  y mENO = .
18
Debido a que LJ // PM y MN // IG, entonces: mPMN = 2.
Debido a que DF // PN y MN // IG, entonces: mPNM = 2.
Graficando el triángulo PNM:
De donde se puede deducir que: 2 = 45° entonces = 22,5°.
Por tanto, el triángulo ABC sería:
𝐴Δ =
𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
𝐴Δ =
(12)6
2
𝐴Δ =
72
2
𝐴Δ = 36
RESPUESTA: El área del triángulo ABC es 36 cm2.
CLAVE E.
20) Determinar cuántos números de 6 dígitos cumplen que cada dígito pertenece al conjunto {1; 2;
3; 4; 5; 6} (está permitido repetir dígitos) y además la suma de cualesquiera dos dígitos
adyacentes es múltiplo de 2 o de 3.
Nota: Algunos números de 6 dígitos que cumplen las condiciones requeridas son 111112;
153154 y 666666.
A) 36x24
B) 34x25
C) 212
D) 36x23
E) 3x211
SOLUCION:
Plateando:
a
b
c
d
e
f
19
La suma de dos dígitos adyacentes es múltiplo de 2 ó 3 y son los siguientes:
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+5=6
2+1=3
2+2=4
2+4=6
2+6=8
3+1=4
3+3=6
3+5=8
3+6=9
4+2=6
4+4=8
4+5=9
4 + 6 = 10
5+1=6
5+3=8
5+4=9
5 + 5 = 10
6+2=8
6+3=9
6 + 4 = 10
6 + 6 = 12
Los números adyacentes del número 1 son: 1; 2; 3; 5.
Los números adyacentes del número 2 son: 1; 2; 4; 6.
Los números adyacentes del número 3 son: 1; 3; 5; 6.
Los números adyacentes del número 4 son: 2; 4; 5; 6.
Los números adyacentes del número 5 son: 1; 3; 4; 5.
Los números adyacentes del número 6 son: 2; 3; 4; 6.
Por tanto, cada uno de los números del 1 al 6 pueden ser vecinos de exactamente 4 números.
Vamos a colocar el primer dígito en el primer casillero que puede ser cualquiera de los seis
números (1; 2; 3; 4; 5; 6), entonces el segundo dígito tendrá 4 opciones según lo anterior. De
la misma manera vamos a colocar el tercer dígito y así sucesivamente. Luego por el principio
de multiplicación tendremos:
6
4
4
4
4
4
Total de números = 644444 = (23)2222222222 = 322222222222 = 3211.
RESPUESTA: Cumplen con dicha condición 3211 números.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE E.
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) La familia Rojas pagó S/ 120 por cuatro platos de pachamanca. Cuando regresaron al mismo
restaurante una semana después, decidieron pedir cinco platos de pachamanca. ¿Cuánto
pagaron por los cinco platos?
A) S/ 120
B) S/ 140
C) S/ 150
D) S/ 200
E) S/ 180
SOLUCION:
Precio de un plato de pachamanca:
𝑆/. 120
4
= 𝑆/. 30
Cinco platos de pachamanca costarían: 5(30) = S/. 150
RESPUESTA: Por cinco platos pagaron S/. 150.
CLAVE C.
2) Durante cierto día, a partir de las 6:00 a.m., la temperatura de la ciudad de Ayaviri se incrementó
a razón de 2 °C por hora. Si a las 11:00 a.m. la temperatura fue 7 °C, ¿Cuál fue la temperatura
a las 6:00 a.m.?
A) – 1 °C
C) – 3 °C
B) 3 °C
D) 2 °C
E) 0 °C
SOLUCION:
Sea: “x” la temperatura a las 6:00 a.m.
Esquematizando la progresión aritmética de razón igual a dos:
“x” °C
6:00 a.m.
7:00 a.m.
+ 2 °C
8:00 a.m.
+ 2 °C
9:00 a.m.
+ 2 °C
10:00 a.m.
+ 2 °C
7 °C
11:00 a.m.
+ 2 °C
Plateando la ecuación:
x + 5(2) = 7
x + 10 = 7
x = 7 – 10
x = – 3 C°
RESPUESTA: La temperatura a las 6:00 a.m. fue de – 3 °C.
CLAVE C.
3) Con S/ 2 puedo comprar 3 manzanas o 4 naranjas. ¿Cuánto tengo que pagar para comprar 12
manzanas y 12 naranjas?
A) S/ 12
B) S/ 14
C) S/ 16
D) S/ 18
E) S/ 20
SOLUCION:
Sea: “m” el precio de una manzana. Con S/. 2 puedo comprar 3 manzanas: 3m = S/. 2
Sea: “n” el precio de una naranja. Con S/. 2 puedo comprar 4 naranjas: 4n = S/. 2
Por 12 manzanas y 12 naranjas se pagarían:
12m + 12n
4(3m) + 3(4n)
4(S/. 2) + 3(S/. 2)
S/. 8 + S/. 6
S/. 14
2
RESPUESTA: Por 12 manzanas y 12 naranjas tengo que pagar S/. 14.
CLAVE B.
4) Cierto día en la ciudad de Iquitos llovió desde las 2:30 p.m. hasta las 8:30 p.m. ¿Qué porcentaje
del día llovió?
A) 33%
B) 18%
C) 20%
D) 25%
E) 50%
SOLUCION:
Tiempo transcurrido: 8:30 p.m. – 2:30 p.m.
Tiempo transcurrido: 6 h oras
Hallando el porcentaje:
𝑥=
𝑥=
6ℎ
× 100%
24 ℎ
1
× 100% = 25%
4
𝑥 = 25%
RESPUESTA: Llovió el 25% del día.
CLAVE D.
5) Darío dibujó un triángulo y al medir sus ángulos interiores, con la ayuda de un transportador, se
dio cuenta que estas medidas son proporcionales a los números 2; 3 y 7. ¿Qué tipo de triángulo
dibujó Darío?
A) Isósceles
B) Acutángulo
C) Obtusángulo
D) Rectángulo
E) Equilátero
SOLUCION:
Sea el triángulo ABC.
Planteando la proporcionalidad de los ángulos interiores:
𝑚∡𝐴 𝑚∡𝐵 𝑚∡𝐶
=
=
=𝛼
2
3
7
mA = 2, mB = 3, mC = 7
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°:
2 + 3 + 7 = 180°
12 = 180°
 = 15°
Reemplazando se tiene:
mA = 2 = 2(15°) = 30°
mB = 3 = 3(15°) = 45°
mC = 7 = 7(15°) = 105°
El ángulo C = 105° es obtuso.
RESPUESTA: Darío dibujó un triángulo obtusángulo.
CLAVE C.
3
6) Un agricultor vendió sus productos en una feria que duró 6 días: de lunes a sábado. El agricultor
pagó al organizador de la feria cierta cantidad de dinero cada día. De lunes a viernes pagó lo
mismo, pero el sábado tuvo que pagar el doble de lo que pagó el día anterior. Si en total el
agricultor pagó 210 soles, ¿Cuánto pagó el día sábado?
A) 50 soles
B) 70 soles
C) 60 soles
D) 42 soles
E) 35 soles
SOLUCION:
Sea “x” la cantidad de dinero que pagó el agricultor durante un día de lunes a viernes.
Ordenado la información en una tabla:
Lunes Martes
x
x
Miércoles Jueves Viernes Sábado
x
x
x
2x
Plateando la ecuación:
x + x + x + x + x + 2x = 210
7x = 210
x = 30
Pagó el día sábado: 2x = 2(30) = 60 soles.
RESPUESTA: El agricultor pagó 60 soles el día sábado.
CLAVE C.
7) María escribió un número de dos dígitos y luego invirtió el orden de sus dígitos para obtener otro
número de dos dígitos. Al hacer esto, el número original de María se incrementó en 45. Si la
suma de los dígitos del número original de María es 11, calcule el producto de estos dígitos.
A) 24
B) 18
C) 28
D) 10
E) 30
SOLUCION:
Sea el número original de dos dígitos: ̅̅̅
𝑎𝑏
La suma de sus dígitos del número original es 11: a + b = 11 …()
̅̅̅ + 45 = 𝑏𝑎
̅̅̅
Al invertir el orden de sus dígitos el número se incrementó en 45: 𝑎𝑏
Descomponiendo polinómicamente la ecuación anterior:
̅̅̅
𝑎𝑏 + 45 = ̅̅̅
𝑏𝑎
10a + b+45 = 10b + a
9a – 9b = –45
a – b = –5 …()
() + () a + b = 11
a – b = –5
2a = 6
Sumando ambas ecuaciones
a=3
Reemplazando “a” en la ecuación ()
a + b = 11
3 + b = 11
b=8
El producto de sus dígitos es: axb = 3x8 = 24
RESPUESTA: El producto de sus dígitos del número que escribió María es 24.
CLAVE A.
8) La suma de las edades de tres hermanos es 22. Si sus edades son distintas, ¿Cuál de las
siguientes alternativas no puede ser la edad del hermano menor?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
4
SOLUCION:
Sean las edades de los tres hermanos: x; y; z
Sus edades son distintas: x  y  z. asumiendo que: x < y < z
La suma de las edades de los tres hermanos es 22:
x + y + z = 22.
Probando con los menores números:
0 + 1 + 21 = 22
¡Cumple!, 0 años puede ser la edad del hermano menor.
1 + 2 + 19 = 22
¡Cumple!, 1 año puede ser la edad del hermano menor.
2 + 3 + 17 = 22
¡Cumple!, 2 años puede ser la edad del hermano menor.
3 + 4 + 15 = 22
¡Cumple!, 3 años puede ser la edad del hermano menor.
4 + 5 + 13 = 22
¡Cumple!, 4 años puede ser la edad del hermano menor.
5 + 6 + 11 = 22
¡Cumple!, 5 años puede ser la edad del hermano menor.
6 + 7 + 9 = 22
¡Cumple!, 6 años puede ser la edad del hermano menor.
7 + 8 + 7 = 22
¡No cumple! Porque dos hermanos tienen la misma edad.
RESPUESTA: La edad del hermano menor no podría ser 7 años.
CLAVE E.
9) Se muestra el plano de un departamento que fue elaborado con la escala 1:120. ¿Cuál es el
área real del departamento?
A) 54 m2
B) 150 m2
C) 45 m2
D) 75 m2
E) 96 m2
SOLUCION:
La escala se define:
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Sea “x” la medida real del largo del departamento.
1
7,5 𝑐𝑚
=
120
𝑥
x = 1207,5cm
x = 900 cm
x=9m
Sea “y” la medida real del ancho del departamento.
1
5 𝑐𝑚
=
120
𝑦
y = 1205cm
y = 600 cm
y=6m
Área real del departamento: Área(Rectángulo) = Largo Ancho = 9 m  6 m = 54 m2.
RESPUESTA: El área real del departamento es 54 m2.
CLAVE A.
5
10) En el primer bimestre, Eduardo rindió 5 exámenes de Matemática. En los dos primeros
exámenes obtuvo la misma nota y las notas de los últimos tres exámenes fueron 13; 17 y 20.
¿Cuál fue su nota en el segundo examen si se sabe que su promedio fue 16?
A) 13,5
B) 15,5
C) 16
D) 14
E) 15
SOLUCION:
Sea “x” la nota del segundo examen.
Utilizando la definición de promedio se tiene:
𝑥 + 𝑥 + 13 + 17 + 20
= 16
5
2x + 50 = 80
2x = 30
x = 15
RESPUESTA: La nota de su segundo examen de Eduardo fue 15.
CLAVE E.
11) Un albañil tenía cierto número de ladrillos al iniciar una obra. El primer día de trabajo utilizó los
2/9 del total y el segundo día utilizó 100 ladrillos más. Si después de esto le queda exactamente
la mitad de ladrillos que tenía al inicio, ¿Cuántos ladrillos le quedan?
A) 180
B) 144
C) 270
D) 300
E) 225
SOLUCION:
Sea “x” la cantidad de ladrillos que tenía el albañil al iniciar la obra.
Planteando la ecuación:
2𝑥
𝑥
+ 100 =
9
2
𝑥 2𝑥
100 = −
2 9
9𝑥 − 4𝑥
100 =
18
1800 = 5𝑥
𝑥 = 360
Ladrillos que le quedan:
𝑥
2
=
360
2
= 180
RESPUESTA: Al albañil le quedan 180 ladrillos.
CLAVE A.
12) En un pueblo hay 5 ganaderos y las cantidades de vacas que tienen son las siguientes:
Mario Quispe
César Ramos
Roberto Mamani
Juan Mendoza
Edwin Soto
108
80
120
125
110
El ganadero que tiene el menor número de vacas ha decidido vender todas sus vacas a los otros
ganaderos, en partes iguales. Si hace esto, ¿Cuál es el ganadero que vería incrementado su
número de vacas en 16%?
A) M. Quispe
B) C. Ramos
C) R. Mamami
D) J. Mendoza
E) E. Soto
SOLUCION:
El ganadero que tiene el menor número de vacas es César Ramos (80 vacas).
6
Número de varas a vender: 80/4 = 20
 Asumiendo que el ganadero que se vería incrementado su número de vacas en 16% sería
Mario Quispe:
108 + 20 = 128 vacas
Planteando una regla de tres simple:
108 vacas  100%
128 vacas  x
108x = 128100%
12800%
𝑥=
108
x = 118,52%
El incremento sería: 118,52% – 100% = 18,52%.
Por tanto, el ganadero Mario Quispe no sería incrementado en 16% su número de vacas.
 Asumiendo que el ganadero que se vería incrementado su número de vacas en 16% sería
Roberto Mamani:
120 + 20 = 140 vacas
Planteando una regla de tres simple:
120 vacas  100%
140 vacas  x
120x = 140100%
14000%
𝑥=
120
x = 116,6…%
El incremento sería: 116,6…% – 100% = 16,6...%.
Por tanto, el ganadero Roberto Mamani no sería incrementado en 16% su número de vacas.
 Asumiendo que el ganadero que se vería incrementado su número de vacas en 16% sería
Juan Mendoza:
125 + 20 = 145 vacas
Planteando una regla de tres simple:
125 vacas  100%
145 vacas  x
125x = 145100%
14500%
𝑥=
125
x = 116%
El incremento sería: 116% – 100% = 16%.
Por tanto, el ganadero Juan Mendoza sería incrementado en 16% su número de vacas.
RESPUESTA: El ganadero Juan Mendoza sería incrementado en 16% su número de vacas.
CLAVE D.
13) En la siguiente figura se muestran tres triángulos equiláteros (T 1, T2 y T3) y tres puntos (X, Y y
Z):
Determine la alternativa falsa.
A) Al rotar T2 un ángulo de 60° en sentido horario, con centro X, obtenemos T 1.
B) Al rotar T3 un ángulo de 60° en sentido antihorario, con centro Y, obtenemos T2.
C) Al rotar T1 un ángulo de 120° en sentido horario, con centro Y, obtenemos T2.
D) Al rotar T3 un ángulo de 120° en sentido antihorario, con centro Y, obtenemos T1.
E) Al rotar T3 un ángulo de 60° en sentido horario, con centro Z, obtenemos T2.
SOLUCION:
7
Completando datos:
Analizando cada alternativa:
A) Al rotar T2 un ángulo de 60° en sentido horario, con centro X, obtenemos T 1. Es verdadero.
B) Al rotar T3 un ángulo de 60° en sentido antihorario, con centro Y, obtenemos T 2. Es
verdadero.
C) Al rotar T1 un ángulo de 120° en sentido horario, con centro Y, obtenemos T 2. Es Falso
porque obtendríamos T3.
D) Al rotar T3 un ángulo de 120° en sentido antihorario, con centro Y, obtenemos T 1. Es
verdadero.
8
E) Al rotar T3 un ángulo de 60° en sentido horario, con centro Z, obtenemos T 2. Es verdadero.
RESPUESTA: La alternativa falsa es C.
CLAVE C.
14) Tania escogió dos números primos cuya suma es 18. Susana escogió dos números primos cuya
suma es 14. Si los cuatro números escogidos son distintos entre sí, calcule la diferencia entre
el mayor número que escogió Susana y el menor número que escogió Tania.
A) 12
B) 9
C) 8
D) 10
E) 6
SOLUCION:
Los primeros números primos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 …
Susana escogió dos números primos cuya suma es 14.
Hay dos posibilidades:
7 + 7 = 14. Queda descartado porque son números iguales.
3 + 11 = 14. Por tanto, Susana escogió 3 y 11.
Tania escogió dos números primos cuya suma es 18.
Hay dos posibilidades:
7 + 11 = 18. Queda descartado porque Susana escogió 11
5 + 13 = 18. Por tanto. Tania escogió 5 y 13.
La diferencia entre el mayor y menor número que escogió Susana y Tania es: 11 – 5 = 6
RESPUESTA: La diferencia de dichos números primos es 6.
15) A continuación se muestra una pirámide de base cuadrada:
CLAVE E.
9
Cada cara de la pirámide (incluyendo la base) se va a pintar de un color de tal forma que
cualesquiera dos caras adyacentes estén pintadas de colores distintos. ¿Cuántos colores se
necesita como mínimo para que se cumpla esta condición?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
SOLUCION:
Cada cara de la pirámide se va a pintar de un color de tal forma que cualesquiera dos caras
adyacentes estén pintadas de colores distintos.
Se debe pintar con el menor número de colores, los cuáles serían:
3
2
2
1
3
Plantilla de una pirámide de base cuadrangular.
RESPUESTA: Se necesitan 3 colores como mínimo para pintar la pirámide.
CLAVE C.
16) En el Grupo B de un mundial de fútbol participaron Colombia, Suecia, Irán y Camerún. Luego
de jugar una ronda de 6 partidos, donde cada equipo se enfrentó a cada uno de los otros equipos
exactamente una vez, la tabla de resultados quedó de la siguiente forma:
Primer lugar:
Segundo lugar
Tercer lugar
Cuarto lugar
Grupo B
Suecia: 9 puntos
Colombia: x puntos
Camerún: 2 puntos
Irán: 1 punto
Determina el valor de x.
Observación: Tenga en cuenta que en el fútbol se otorga 3 puntos al ganador de un partido, 0
puntos al perdedor; y 1 punto a cada equipo en caso de empate.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
SOLUCION:
Suecia ha ganado todos sus partidos.
Irán sólo obtuvo un empate y Camerún dos empates.
E) 6
10
Primer partido: Suecia vs Colombia. Suecia ganó (3 puntos) y Colombia perdió (0 puntos).
Segundo partido: Suecia vs Camerún. Suecia ganó (3 puntos) y Camerún perdió (0 puntos).
Tercer partido: Suecia vs Irán. Suecia ganó (3 puntos) e Irán perdió (0 puntos).
Cuarto partido: Irán vs Camerún. Empataron, Irán (1 punto) y Colombia (1 punto).
Quinto partido: Camerún vs Colombia. Empataron, Camerún (1 punto) y Colombia (1 punto).
Sexto partido: Irán vs Colombia. Colombia ganó (3 puntos) e Irán perdió (0 puntos).
Tabla de puntajes
Primer
partido
Suecia
3
Colombia
0
Camerún
Irán
-
Segundo
partido
3
0
-
Tercer
partido
3
0
Cuarto
partido
1
1
Quinto
partido
1
1
-
Sexto
partido
3
0
RESPUESTA: Colombia hizo 4 puntos ( x= 4).
TOTAL
9
4
2
1
CLAVE C.
17) La sucesión 8; 10; 20; 22; 44; ... se define de la siguiente forma: el primer término es 8 y para
obtener cada uno de los siguientes términos se suma 2 o se multiplica por 2, de forma alternada.
¿Cuál es el dígito de las unidades del término que está en el lugar 100?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
SOLUCION:
Planteando la sucesión:
t1
8;
t2 t3
10; 20;
t4
22;
t5
44;
t6
46;
t7
92;
t8
94;
t9
188;
t10
200;
t11
400; …
+
+
+
+
+
+
+2
x2
+2
x2
+2
x2
2
2
2
2
2
2
x
x los elementos
x de xla sucesión:
x cadax uno de
Analizando las unidades de
t1
t2
t3
t4
t5 2 t6 2 t7 2 t8 2 t9 2 t10 2 t11
8;
0; 0;
2;
4;
6;
2;
4;
8;
0;
0; …
+2
x2
+2
x2
Cada 8 términos vuelven a repetirse las cifras de las unidades.
Vamos a consideramos a partir del término ocho (t8). El término cien (t100) estaría dado por: 100
= 8(12) + 4. Como el residuo es 4, entonces la cifra de las unidades del término cien se obtendría
al recorrer cuatro casilleros más, es decir, hasta el número 2.
RESPUESTA: El dígito de las unidades del t100 es 2.
CLAVE D.
18) Ordena los números del 1 al 9 en los círculos (sin que haya repeticiones) de tal forma que cada
flecha signifique "mayor que". En otras palabras, si hay una fecha que sale del número a y va
en dirección del número b, entonces a > b.
¿Cuál es la suma de los números que deben ir en los círculos sombreados?
11
A) 12
B) 11
C) 10
D) 8
E) 9
SOLUCION:
En el círculo ubicado en la parte superior derecha, debe ir el número mayor (9) ya que salen dos
fechas.
En el círculo ubicado en la parte inferior derecha, debe ir el número menor (1) ya que ingresan
dos fechas.
Ordenando los números convenientemente se tiene:
La suma de los números ubicados en los círculos sombreados es: 6 + 3 = 9
RESPUESTA: La suma de los números ubicados en los círculos sombreados es 9. CLAVE E.
19) Pedro escogió algunos elementos del conjunto {2; 3; 7; 9; 24; 28} y Raúl se quedó con los
números que sobraron. Se sabe que el producto de los números de Pedro es igual al producto
de los números de Raúl y, además, Pedro no escogió el número 7. Calcule la suma de los
números de Raúl.
A) 39
B) 34
C) 32
D) 36
E) 37
SOLUCION:
Dado el conjunto: {2; 3; 7; 9; 24; 28}
Descomponiendo los números compuestos: {2; 3; 7; 33; 243; 74}
Si Pedro no escogió el número 7, entonces Raúl escogió el número 7. Pedro escogerá el número
28, porque tiene como factor al 7, pero como tiene factor 4, también debe elegir al número 2 y
así compensar con el número que debe escoger Raúl que es 24, como éste número tiene como
factor al 3, entonces Raúl debe escoger al número 3 y finalmente Pedro escogerá el número 9.
Es decir:
Pedro escogió: 2829 = 504
Raúl escogió: 7243 = 504
Hallado la suma de los números que escogió Raúl: 7 + 24 + 3 = 34.
RESPUESTA: La suma de los números de Raúl es 34.
CLAVE B.
20) ¿Cuántos enteros positivos de 7 dígitos son múltiplos de 27 y cumplen que cada uno de sus
dígitos es 0 o 9?
Aclaración: Tenga en cuenta que un entero positivo no empieza con el dígito 0.
A) 15
SOLUCION:
B) 14
C) 18
D) 32
E) 21
12
Como se tiene sólo cifras de 9 ó 0, entonces el número formado de siete dígitos será divisible
por 27 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 27.
PRIMER CASO: Cuando tiene tres nueves.
9
9
9
0
0
0
0
Casillero fijo
Se tienen 6 casilleros en la se pueden formar varios números con 2 nueves y 4 ceros. Ya que
importa el orden, entran todos los elementos y algunos se repiten, entonces tenemos una
permutación con repetición:
𝑛!
𝑛
𝑃𝛼,𝛽,…
=
𝛼! 𝛽! …
6
𝑃2,4
=
6!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 30
=
=
=5
2! 4! 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1
2
SEGUNDO CASO: Cuando tiene seis nueves.
9
9
9
9
9
9
0
Casillero fijo
Se tienen 6 casilleros en la se pueden formar varios números con 5 nueves y 1 cero. Igual que
el primer caso tenemos una permutación con repetición:
𝑛!
𝑛
𝑃𝛼,𝛽,…
=
𝛼! 𝛽! …
6
𝑃5,1
=
6!
6×5×4×3×2×1 6
=
= =6
5! 1! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 1 1
En total se tienen: 15 + 6 = 21 números enteros positivos.
RESPUESTA: 21 números enteros positivos de 7 cifras son múltiplos de 27 y cumplen que cada
uno de sus dígitos es 0 o 9.
CLAVE E.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 2 – Solucionario.
1) El resultado final de un partido de fútbol fue 3:2. ¿Cuál de los siguientes resultados no pudo
haber sido el resultado al final del primer tiempo?
A) 3:0
B) 0:2
C) 2:1
D) 2:2
E) 2:3
SOLUCION:
Los resultados de un partido de fútbol antes de que acabe, necesariamente tienen que ser
menor o igual al escore del resultado final, en ese sentido el escore 2:3 no pudo haber sido
resultado final del primer tiempo.
RESPUESTA: El escore 2:3 no pudo haber sido el resultado final del primer tiempo. CLAVE E.
2) En la carrera en la que Usain Bolt consiguió el record mundial de los 100 metros planos, Tyson
Gay quedó en segundo lugar y Asafa Powell, en tercero. Usain Bolt llegó a la meta 13
centésimas de segundo antes que Tyson Gay y éste también llegó 13 centésimas de segundo
antes que Asafa Powell. Si la marca de Asafa Powell fue 9,84 s, ¿Cuál fue la marca de Usain
Bolt?
A) 9,64 s
B) 10,10 s
C) 9,38 s
D) 9,58 s
E) 9,62 s
SOLUCION:
Graficando el orden de llegada de los atletas:
1°
Usain Bolt
+ 0,13 s
2°
Tyson Gay
3°
Asafa Powell
9,84 s
+ 0,13 s
Usain Bolt quien llegó en primer lugar necesariamente empleó menos tiempo que los demás
atletas, es decir:
Marca de Usain Bolt = 9,84 – 2(0,13)
Marca de Usain Bolt = 9,84 – 0,26
Marca de Usain Bolt = 9,58 s
RESPUESTA: La marca de Usain Bolt fue 9,58 s.
CLAVE D.
3) El sistema de calificación de un examen de admisión, que consta de 50 preguntas, es el
siguiente:
Respuesta Correcta
Respuesta Incorrecta
En blanco
+5 puntos
– 1 punto
0 puntos
Si un alumno tuvo x respuestas incorrectas y dejó en blanco 7 preguntas, la expresión de su
puntaje fue:
A) 215 – 6x
B) 250 – 12x C) 250 – 7x
D) 205 – 14x E) 215 – 12x
SOLUCION:
Total de preguntas del examen de admisión: 50
Respuestas correctas + respuestas incorrectas + respuestas en blanco = 50
Respuestas correctas + x + 7 = 50
Respuestas correctas = 43 – x
2
Hallando el puntaje total:
Puntaje total = (43 – x)(5) + x(– 1) + 7(0)
Puntaje total = 215 – 5x – x
Puntaje total = 215 – 6 x
RESPUESTA: La expresión de su puntaje total del alumno es: 215 – 6x.
CLAVE A.
4) ¿Cuántas caras (incluyendo las bases) tiene un prisma que tiene exactamente 21 aristas?
A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
SOLUCION:
Sea “x” el número de lados de la base del prisma.
Total de aristas = 21
3x = 21
x=7
Por tanto, el prisma es de base heptagonal.
Hallando el número de caras del prisma heptagonal:
N° de caras = 2 + 7
N° de caras = 9
RESPUESTA: El prisma de 21 aristas tiene 9 caras.
CLAVE B.
5) Se sabe que seis manzanas cuestan igual que siete naranjas. Complete la siguiente frase para
que sea verdadera: "Siete manzanas cuestan ___________ que ocho naranjas".
A) el doble
B) la mitad
C) más
D) menos
E) igual
SOLUCION:
Sea “m” el precio de cada manzana.
Sea “n” el precio de cada naranja.
Planteando la ecuación:
6𝑚 = 7𝑛
𝑚=
7𝑛
6
7𝑚 =
49
6
(Multiplicando por 7)
7𝑚 = 8,17𝑛
Utilizando la frase: “Siete manzanas cuestan _________ que ocho naranjas”
7𝑚 _____8𝑛
3
8,17𝑛______8𝑛
(Reemplazando 7m)
8,17𝑛 > 8𝑛
8,17 es mayor que 8. De manera que en el espacio en blanco debe ir la palabra más.
RESPUESTA: Siete manzanas cuestan más que ocho naranjas.
CLAVE C.
6) En una reunión familiar, han servido una fuente de alfajores. Se sabe que: Si cada uno come 4
alfajores, sobrarían 8; pero si cada uno quisiera comer 5 alfajores, faltarían 4. ¿Cuántas
personas se han reunido?
A) 24
B) 32
C) 12
D) 16
E) 10
SOLUCION:
Sea “x” el número de personas que asistieron a la reunión familiar.
Plateando la ecuación:
4x + 8 = 5x – 4
4 + 8 = 5x – 4x
12 = x
RESPUESTA: 12 personas asistieron a la reunión.
CLAVE C.
7) Cierto día en la ciudad de Huánuco llovió desde las 1:10 p.m. hasta las 3:34 p.m. ¿Qué
porcentaje del día llovió?
A) 8%
B) 25%
C) 15%
D) 10%
E) 20%
SOLUCION:
Desde 1:10 p.m. hasta las 3:34 p.m. transcurrió 2 horas con 24 minutos.
Convirtiendo a minutos:
 2 h 24 min = 2 h + 24 min = 2(60 min) + 24 min = 120 min + 24 min = 144 min.
 1 día = 24 horas = 24(60 min) = 1440 min
Hallando el porcentaje (Relación parte todo).
144 𝑚𝑖𝑛 × 100%
𝑥=
1440 𝑚𝑖𝑛
𝑥=
100%
10
𝑥 = 10%
RESPUESTA: Llovió el 10% del día.
CLAVE D.
8) ¿Cuál de los siguientes intervalos cerrados contiene la mayor cantidad de números enteros?
Aclaración: [a; b] denota al intervalo cerrado cuyos extremos son a y b.
A) [2;5]
B) [–1;]
C) [–1;2]
D) [0;√5]
E) [−√2;√2]
SOLUCION:
Hallando la cantidad de números enteros de cada intervalo:
A) [2;5]
A = {2; 3; 4; 5}
n(A) = 4
B) [–1;]
B = {–1; 0; 1; 2; 3}
n(B) = 5
Recordemos que:  = 3,14…
C) [–1;2]
C = {–1; 0; 1; 2}
n(C) = 4
4
D) [0;√5]
E) [−√2;√2]
D = {0; 1; 2}
E = {–1; 0; 1}
n(D) = 3
n(E) = 3
Recordemos que: √5 = 2,236…
Recordemos que √2 = 1,414…
RESPUESTA: El intervalo [–1;] tiene más números enteros.
CLAVE B.
9) Amelia dibujó un triángulo rectángulo ABC, recto en A. Luego, ubicó los puntos P y Q, como se
muestra en la figura, de tal forma que AP = QC = 2 y AQ = BP = 3.
¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC representa el área de la región sombreada?
A) 76%
B) 78%
C) 58%
D) 62%
E) 38%
SOLUCION:
Completando los datos:
Área sombreada = Área ABC – Área PAQ
Área sombreada =
Área sombreada =
5×5
2
25
2
−
6
2×3
2
− =
2
19
2
Hallando el porcentaje (Relación parte todo).
19
× 100%
𝑥= 2
25
2
𝑥=
19 × 100%
25
𝑥 = 19 × 4%
𝑥 = 76%
RESPUESTA: La región sombreada representa el 76%.
CLAVE A.
5
10) Ernesto tiene 5 datos: 11; 2; 1; 6 y 7. Él escogió uno de los números y lo duplicó, al hacer esto
consiguió que la mediana de los cinco datos cambie. ¿Qué número escogió Ernesto?
A) 11
B) 2
C) 1
D) 6
E) 7
SOLUCION:
Ordenando los números en forma ascendente: 1; 2; 6; 7; 11. Mediana (Me) = 6.
Vamos a buscar el número que al duplicarlo la mediana de los cinco datos cambia.
Duplicando el número 1: 1(2) = 2. Se tiene: 2; 2; 6; 7; 11. Mediana (Me) = 6.
Duplicando el número 2: 2(2) = 4. Se tiene: 1; 4; 6; 7; 11. Mediana (Me) = 6.
Duplicando el número 6: 6(2) = 12. Se tiene: 1; 2; 7; 11; 12. Mediana (Me) = 7.
Duplicando el número 7: 7(2) = 14. Se tiene: 1; 2; 6; 11; 14. Mediana (Me) = 6.
Duplicando el número 11: 11(2) = 22. Se tiene: 1; 2; 6; 7; 22. Mediana (Me) = 6.
RESPUESTA: Ernesto escogió el número 6.
CLAVE D.
11) Sofía escribió un número de dos dígitos y luego insertó un dígito d en la parte central, con lo
cual obtuvo un número de tres dígitos. Si al hacer esto el número original aumentó en 340,
determine el valor de d.
A) 9
B) 3
C) 7
D) 4
E) 0
SOLUCION:
̅̅̅
Sea el número de dos dígitos que escribió Sofía: 𝑎𝑏
̅̅̅̅̅
Luego insertó “d” en la parte central: 𝑎𝑑𝑏
El número aumentó en 340:
̅̅̅ + 340 = 𝑎𝑑𝑏
̅̅̅̅̅
𝑎𝑏
10a + b + 340 = 100a + 10d + b
340 = 90a + 10d
34 = 9a + d
Tanteando: a = 3, d = 7.
RESPUESTA: El valor de “d” es 7.
CLAVE C.
12) Los puntos (2; –2) y (5; 7) pertenecen a una recta 𝓛 en el plano cartesiano. ¿Cuáles de los
siguientes puntos también pertenecen a la recta 𝓛?
P(–1; –10)
A) P, Q y R
B) Q, R y S
Q(7; 13)
C) P y R
D) Q y S
SOLUCION:
La pendiente de una recta de define por: 𝑚
R(3; 0)
=
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
Ecuación de la recta: y = mx + b.
Graficando la recta 𝓛 y los puntos en el plano cartesiano:
S(0; –8)
E) R y S
6
Hallando la pendiente: 𝑚
=
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
𝑚=
7 − (−2)
5−2
𝑚=
7+2
3
𝑚=
9
=3
3
Hallando la ecuación de la recta:
𝑦−7
𝑥−5
3(𝑥 − 5) = 𝑦 − 7
3𝑥 − 15 = 𝑦 − 7
3𝑥 − 15 + 7 = 𝑦
3𝑥 − 8 = 𝑦
𝑦 = 3𝑥 − 8
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 8
3=
Vamos a ver si los puntos pertenecen a la recta 𝓛
 P(–1; –10). f(–1) = 3(–1) – 8
– 10 = – 3 – 8
– 10  – 11. Por tanto P 𝓛

Q(7; 13). f(7) = 3(7) – 8
13 = 21 – 8
13 = 13. Por tanto Q 𝓛

R(3; 0). f(3) = 3(3) – 8
0=9–8
0  1. Por tanto R 𝓛

S(0; –8).
f(0) = 3(0) – 8
7
–8=0–8
– 8 = – 8. Por tanto S 𝓛
Por tanto, {Q, S}  𝓛
RESPUESTA: Los puntos Q y S pertenecen a la recta 𝓛.
CLAVE D.
13) Los gastos de Josué durante el mes de mayo fueron los siguientes:
Alimentación
Transporte
Préstamos bancario
Luz
Agua
Teléfono e internet
Gasto (S/.)
650
100
560
60
40
90
En el mes de junio sus gastos se modificaron de la siguiente forma (con respecto al mes
anterior): Alimentación se incrementó en 10%; transporte, luz y agua se incrementaron en 5%;
y los otros gastos no se modificaron. ¿En qué porcentaje se incrementó el gasto total de
Josué?
A) 7,5%
B) 3,75%
C) 6,5%
D) 5%
E) 8%
SOLUCION:
Ordenando la información en una tabla:
Alimentación
Transporte
Préstamos bancario
Luz
Agua
Teléfono e internet
TOTAL
Gasto (S/.) en mayo
650
100
560
60
40
90
1500
Gasto (S/.) en junio
110%(650) = 715
105%(100) = 105
560
105%(60) = 63
105%(40) = 42
90
1575
Variación de los gastos: 1575 – 1500 = 75
Hallando el porcentaje:
𝑥=
75 × 100%
1500
𝑥=
75%
15
𝑥 = 5%
RESPUESTA: Se incrementó el gasto total de Josué en 5%.
CLAVE D.
14) En la siguiente figura se muestra un cuadrado AMBO y un hexágono regular TUMBES.
Determine el valor de n para el cual los puntos U, M, A (en ese orden) son vértices
consecutivos de un polígono regular de n lados.
8
A) 10
B) 12
C) 20
D) 16
E) 24
SOLUCION:
La medida del ángulo interno de un polígono regular esta dado por:
𝑚∢𝑖 =
180(𝑛 − 2)
𝑛
El ángulo interior del cuadrado AMBO es igual a 90°.
Hallando el ángulo interior del hexágono regular TUMBES:
180(6 − 2)
𝑚∢𝑖 =
6
𝑚∢𝑖 = 30(4)
𝑚∢𝑖 = 120°
Graficando se tiene:
Sea “x” la medida del ángulo interior del polígono regular de “n” lados:
120° + x + 90° = 360°
210° + x = 360°
x = 150°
9
Hallando “n”:
𝑚∢𝑖 =
180(𝑛 − 2)
𝑛
150° =
180(𝑛 − 2)
𝑛
150𝑛 = 180𝑛 − 360
360 = 180𝑛 − 150𝑛
360 = 30𝑛
12 = 𝑛
Por tanto, el polígono regular de “n” lados es el dodecágono.
RESPUESTA: El valor de “n” es 12.
CLAVE B.
15) Un número natural N es llamado cuasi-divisible si al sumar 1 a cualquiera de sus dígitos
obtenemos un divisor de N. Por ejemplo, 102 es cuasi-divisible porque 1 + 1, 0 + 1 y 2 + 1 son
divisores de 102. Determine el mayor número cuasi-divisible que consta de cuatro dígitos
distintos y dé como respuesta la suma de los cuadrados de sus dígitos.
A) 146
B) 98
C) 155
D) 243
E) 162
SOLUCION:
Sea el número natural de cuatro dígitos: 𝑁 = ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑
Para que N sea el mayor posible, entonces: a = 9. Como son dígitos distintos b = 8.
Tanteando se obtiene: c = 1, d = 0.
Por tanto, el número es: 9810.
Hallando la suma de los cuadrados de sus dígitos: 92 + 82 + 12 + 02 = 81 + 64 + 1 + 0 = 146.
Comprobación:
̅̅̅̇
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 9.  9810 = ̅10
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 8.  9810 = 9̅̇
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 1.  9810 = 2̅̇
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 0.  9810 = 1̅̇
RESPUESTA: La suma de los cuadrados de sus dígitos del numero N es 146.
CLAVE A.
16) En la siguiente figura se muestra un cubo de madera, donde P, Q y R son puntos medios de
las aristas correspondientes. Un plano que pasa por los puntos P, Q y R divide al cubo de
madera en dos partes (una de las cuales es un tetraedro). ¿En qué relación están los
volúmenes e esas dos partes?
A) De 1 a 15
B) De 2 a 25
C) De 1 a 47
D) De 1 a 24
E) De 1 a 53
10
SOLUCION:
Asumiendo que cada arista del cubo mide: 2a.
Graficando se tiene:
Hallando el baricentro (K) de la base (PQR es equilátero) del tetraedro, ya que la altura del
tetraedro caerá sobre dicho punto:
Hallando PL (altura) en el PQL, utilizando el teorema de Pitágoras:
𝑃𝑄 2 = 𝑃𝐿2 + 𝑄𝐿2
𝑎√2
(𝑎√2) = 𝑃𝐿 + (
)
2
2𝑎2
2𝑎2 = 𝑃𝐿2 +
4
𝑎2
2
2𝑎 −
= 𝑃𝐿2
2
3𝑎2
= 𝑃𝐿2
2
√3𝑎
= 𝑃𝐿
√2
√6𝑎
= 𝑃𝐿
2
2
2
2
Conociendo el baricentro, la relación de la mediana desde el vértice al baricentro y de éste al
lado opuesto es de 2 a 1:
√6𝑎
𝑏 + 2𝑏 =
2
11
√6𝑎
2
√6𝑎
𝑏=
6
√6𝑎
2𝑏 =
3
Hallando la altura del tetraedro utilizando el teorema de Pitágoras en el KPH:
3𝑏 =
𝐻𝑃2 = 𝐾𝑃2 + 𝐻𝐾 2
𝑎√6
𝑎 = ℎ +(
)
3
6𝑎2
𝑎2 = ℎ2 +
9
2
2𝑎
𝑎2 −
= ℎ2
3
𝑎2
= ℎ2
3
2
2
2
𝑎
√3
=ℎ
Hallando el área de la base (PQR) del tetraedro (pirámide de base triangular):
El área de un triángulo equilátero se define:
𝐿2 √3
𝐴∆=
4
2
(𝑎√2) √3
𝐴∆=
4
𝐴∆=
2𝑎2 √3
4
𝑎2 √3
2
Hallando el volumen del tetraedro (pirámide de base triangular):
𝐴(𝑏𝑎𝑠𝑒) × ℎ
𝑉=
3
𝐴∆=
𝑎2 √3 𝑎
2 × √3
𝑉=
3
𝑎3
𝑉= 2
3
𝑉=
𝑎3
6
Hallando la relación de ambos volúmenes:
𝑥=
𝑉(𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜)
𝑉(𝑐𝑢𝑏𝑜) − 𝑉(𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜)
12
𝑥=
𝑎3
6
𝑎3
(2𝑎)3 − 6
𝑥=
𝑎3
6
𝑎3
8𝑎3 − 6
𝑎3
𝑥= 63
47𝑎
6
𝑥=
1
47
RESPUESTA: La relación de los volúmenes es de 1 a 47.
CLAVE C.
17) En la pizarra están escritos 9 números naturales que forman una progresión aritmética. Se
sabe que exactamente N de esos números son pares. ¿Cuál de los siguientes números no es
un posible valor de N?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
SOLUCION:
N es la cantidad de números pares. r = razón aritmética
Se sabe que:
(Número par) + (Número par) = (Número par)
(Número impar) + (Número impar) = (Número par)
(Número par) + (Número impar) = (Número impar)
Planteando la progresión aritmética:
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
+
+
+
+
+r
+r
+r
+r
2
2
2
2
x
x par,
x r = Número
xpar.
PRIMER CASO: t1 = Número
2
2
2
2
PAR;
PAR;
PAR;
PAR;
PAR;
+r
+r
+PAR
+r
+r
+PAR
+PAR
+PAR
PAR;
+PAR
PAR;
+PAR
PAR;
+PAR
PAR
+PAR
Por tanto, N = 9 (Todos los números de la progresión aritmética son pares).
SEGUNDO CASO: Cuando: t1 = Número par, r = Número impar.
PAR;
IMPAR;
+IMPAR
PAR;
+IMPAR
IMPAR;
+IMPAR
PAR;
+IMPAR
IMPAR;
PAR;
+IMPAR +IMPAR
IMPAR;
+IMPAR
Por tanto, N = 5 (Sólo cinco números de la progresión aritmética son pares).
PAR
+IMPAR
13
TERCER CASO: Cuando: t1 = Número impar, r = Número par.
IMPAR;
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR;
+PAR
IMPAR
+PAR
Por tanto, N = 0 (Ningún número de la progresión aritmética es par).
CUARTO CASO: Cuando: t1 = Número impar, r = Número impar.
IMPAR;
PAR;
+IMPAR
IMPAR;
+IMPAR
PAR;
+IMPAR
IMPAR;
PAR;
+IMPAR +IMPAR
IMPAR;
+IMPAR
PAR;
+IMPAR
IMPAR
+IMPAR
Por tanto, N = 4 (Sólo cuatro números de la progresión aritmética son pares).
RESPUESTA: N no puede tomar el valor de 6.
CLAVE D.
18) ¿A qué hora entre las 2:00 p.m. y las 2:30 p.m. se cumple que el ángulo que forman el horario
y el minutero de un reloj es exactamente 94°?
A) 2:26 p.m.
B) 2:29 p.m.
C) 2:28 p.m.
D) 2:21 p.m.
E) 2:25 p.m.
SOLUCION:
Graficando las agujas del reloj cuando forman un ángulo de 94°:
La relación de los ángulos que recorren el horario (H) y minutero (M) es:
𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
1
=
𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 12
Si el horario ha recorrido un ángulo de “”, entonces el ángulo que recorrió el minutero será
12.
La relación del ángulo recorrido por el horario y los minutos transcurridos por el minutero es de
1 a 2. Si el horario ha recorrido un ángulo de “”, entonces el minutero recorrió M = 2.
14
Del gráfico se observa:
M = 2
M = 2(14)
M = 28
Por tanto, son las 2:28 p.m.
12 =  + 60° + 94°
12 –  = 154°
11 = 154°
 = 14°
Reemplazando “”:
RESPUESTA: A las 2:28 p.m. el horario y minutero forman un ángulo de 94°.
CLAVE C.
19) Luis escogió algunos elementos del conjunto {2; 3; 4; 5; 8; 12; 15; 27} y Edinson se quedó con
los números que sobraron. Se sabe que el producto de los números de Luis es igual al
producto de los números de Edinson y, además, Luis no escogió el número 8. Calcule la suma
de los números de Edinson.
A) 34
B) 35
C) 38
D) 39
E) 42
SOLUCION:
Dado el conjunto: {2; 3; 4; 5; 8; 12; 15; 27}
Descomponiendo los números compuestos: {2; 3; 4; 5; 42; 43; 53; 333}
Si Luis no escogió el número 8, entonces Edinson escogió el número 8. Edinson deberá
escoger el número 2, porque el producto sería 16 (82 = 16), en consecuencia para
compensar Luis deberá escoger 4 y 12, pero como 12 tiene factor 3, también debe elegir al
número 15 y 3 así compensar con el número que debe escoger Edinson que es 27, porque
éste número tiene como factor 333 y finalmente Edinson escogerá el número 5. Es decir:
Edinson escogió: 82275 = 2160
Luis escogió: 412153 = 2160
Hallado la suma de los números que escogió Edinson: 8 + 2 + 27 + 5 = 42.
RESPUESTA: La suma de los números escogidos por Edinson es 42.
CLAVE E.
20) Franco escribió un número que consta de 10 dígitos distintos. Luego, subrayó cada dígito que
es igual a la suma de sus dos dígitos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). ¿Cuántos
dígitos como máximo puede subrayar Franco?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
SOLUCION:
Los diez dígitos distintos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
La suma de dos dígitos vecinos a lo más puede ser 9.
Los dígitos vecinos podrían ser:
1+2=3
2+3=5
3+4=7
1+3=4
2+4=6
3+5=8
1+4=5
2+5=7
3+6=9
1+5=6
2+6=8
1+6=7
2+7=9
1+7=8
1+8=9
Haciendo algunas combinaciones entre ellas podemos tener:
 1439682750
 7813264950
E) 3
4+5=9
15
 1547396820
A lo más se pueden subrayar 4 dígitos agrupados en 9 cifras y la cifra cero sólo está para
completar las diez cifras.
RESPUESTA: Franco puede subrayar 4 dígitos como máximo.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE D.
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Primera Fase - Nivel 3 – Solucionario.
1) Un cocinero compró el día de ayer 12 kg de limón y pagó S/48. ¿Cuánto pagaría hoy si quiere
comprar 20 kg y el costo del limón se incrementó en 10 %?
A) S/ 88
B) S/ 110
C) S/ 90
D) S/ 77
E) S/ 80
SOLUCION:
Precio del limón por kilogramo =
𝑆/ 48
12
= 𝑆/ 4
Se desea comprar 20 kg de limón: 20(S/ 4) = S/ 80
El costo del limón se incrementó en 10%: 110%(80) = 11(8) = S/ 88.
RESPUESTA: Si quiere comprar 20 kg de limón se pagaría S/ 88.
CLAVE A.
2) Carlos tiene cuatro tarjetas (llamadas P, Q, R y S) y cada una contiene un número de dos
dígitos:
Carlos quiere obtener un número par de 8 dígitos y que sea lo mayor posible, ¿En qué orden
debe ubicar las tarjetas?
A) SQRP
B) SQPR
C) PQRS
D) QSPR
E) SPQR
SOLUCION:
Para obtener un número par y que sea lo mayor posible, la tarjeta R tiene que ir en el extremo
derecho y la tarjeta S en el extremo izquierdo, seguidamente la tarjeta Q y P, es decir: SQPR,
formando el número: 96 55 23 36.
RESPUESTA: Carlos debe ubicar las tarjetas en el siguiente orden: SQPR.
CLAVE B.
3) Alex tiene 2k palitos idénticos. Con k palitos puede formar el borde de un cuadrado y con los
otros k palitos puede formar el borde de un hexágono regular. Si en ningún caso fue necesario
que Alex rompa algún palito, entonces podemos asegurar que k es múltiplo de ...
A) 24
B) 9
C) 8
D) 16
E) 12
SOLUCION:
Alex tiene: 2k palitos idénticos.
“k” palitos puede formar el borde de un cuadrado
Al formar un cuadrado, el perímetro será: 4(k/4), es decir, un múltiplo de 4.
“k” palitos puede formar el borde de un hexágono regular.
Al formar un hexágono regular, el perímetro será: 6(k/6), es decir, un múltiplo de 6.
Para que se pueda construir dichos polígonos regulares y sin romper ningún palito,
necesariamente k tiene que ser simultáneamente múltiplo del MCM (Mínimo común múltiplo)
de 4 y 6. Entonces, k = MCM(4;6) = 12. Por tanto, k es múltiplo de 12.
RESPUESTA: k es múltiplo de 12.
CLAVE E.
2
4) Dos ángulos interiores de un trapecio miden 70° y 120°. Calcule la diferencia de las medidas
de los otros dos ángulos interiores.
A) 90°
B) 70°
C) 50°
D) 80°
E) 10°
SOLUCION:
Graficando el trapecio con los ángulos dados:
Por propiedad, los trapecios tienen únicamente dos lados paralelos (DA // CB), por lo que, dos
ángulos comprendidos entre los lados paralelos son suplementarios:
120° + mCDA = 180°
mCDA = 180° – 120°
mCDA = 60°
También se cumple:
70° + mCBA = 180°
mCBA = 180° – 70°
mCBA = 110°
Hallando la diferencia de las medidas de los ángulos hallados: 110° – 60° = 50°.
RESPUESTA: La diferencia de las medidas de los otros dos ángulos interiores del trapecio es
50°.
CLAVE C.
5) El Curiosity es un vehículo explorador que se encuentra actualmente en Marte. Cuando este
vehículo se encontraba a 216 millones de kilómetros de la Tierra, emitió una señal. ¿Cuántos
minutos se demora en llegar la señal al Centro de datos de la NASA en la Tierra, si ésta viaja
a una velocidad de 300 000 kilómetros por segundo?
A) 12
B) 9
C) 7,2
D) 8
E) 15
SOLUCION:
Graficando se tiene:
MARTE
TIERRA
216 000 000 km
Asumiendo de que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), el tiempo se define
como:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Hallando el tiempo:
3
𝑡=
216 000 000 𝑘𝑚
300 000 𝑘𝑚/𝑠
𝑡=
2160 𝑠
3
𝑡 = 720 𝑠
Convirtiendo el tiempo a minutos
720 𝑠 ×
1 𝑚𝑖𝑛
= 12 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
RESPUESTA: La señal llegará en 12 minutos al centro de datos de la NASA.
CLAVE A.
6) En una bodega hay tres cajas cuyos contenidos son los siguientes:
 Primera caja: 20 latas de leche y 30 latas de atún.
 Segunda caja: 18 latas de leche y 33 latas de atún.
 Tercera caja: n latas de leche.
Si se sabe que las tres cajas pesan lo mismo, determine el valor de n.
A) 42
B) 30
C) 45
D) 40
E) 43
SOLUCION:
Sea “x” la masa de cada lata de leche.
Sea “y” la masa de cada lata de atún.
Como las tres cajas pesan lo mismo, entonces se cumple:
20x + 30y = 18x + 33y = nx
Igualando las dos primeras ecuaciones:
20x + 30y = 18x + 33y
20x – 18x = 33y – 30y
2x = 3y
2𝑥
=𝑦
3
Igualando las dos últimas ecuaciones:
18x + 33y = nx
2𝑥
18𝑥 + 33 ( ) = 𝑛𝑥
3
18x + 22x = nx
40x = nx
40 = n
RESPUESTA: El valor de n es 40.
CLAVE D.
7) Un juego es llamado justo si la probabilidad de ganar es igual a la probabilidad de perder.
¿Cuántos de los siguientes juegos (que involucran todos lanzar un dado usual de 6 caras) son
justos?
 Juego 1: "Ganas si obtienes el número 4"
 Juego 2: "Ganas si obtienes un número par"
 Juego 3: "Ganas si obtienes un número mayor que 3"
 Juego 4: “Ganas si obtienes un número que es múltiplo de 3"
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
4
SOLUCION:
De acuerdo al problema, un juego es justo si la probabilidad de ganar es igual a la probabilidad
de perder: P(Ganar) = P(Perder).
Analizando cada caso:
1
5
 Juego 1: “Ganas si obtienes el número 4”. P(Ganar) = P(4) = . P(Perder) = 6.
6


Como: P(Ganar)  P(Perder). Por tanto, el juego no es justo.
3
1
1
Juego 2: “Ganas si obtienes un número par”. P(Ganar) = P(Par) = = . P(Perder) = .
2
6
2
Como: P(Ganar) = P(Perder). Por tanto, el juego es justo.
3
1
Juego 3: “Ganas si obtienes un número mayor que 3”. P(Ganar) = P(número>3) = = .
6
1
2
P(Perder) = . Como: P(Ganar) = P(Perder). Por tanto, el juego es justo.
2

̅̇ ) =
Juego 4: “Ganas si obtienes un número que es múltiplo de 3”. P(Ganar) = P(3
2
P(Perder) = 3. Como: P(Ganar)  P(Perder). Por tanto, el juego no es justo.
RESPUESTA: Sólo dos juegos son justos.
2
6
1
= 3.
CLAVE C.
8) Al hacer una encuesta a un grupo de once personas acerca del número de hermanos que
tienen, resultó que la media y la moda de las respuestas obtenidas es igual a 2. Se sabe
también que exactamente cuatro personas respondieron 3 y que ninguna respondió un
número mayor que 3. ¿Cuántas personas respondieron 1?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) Ninguna
SOLUCION:
De acuerdo a los datos: 𝑥̅ = 2. Mo = 2
Cuatro personas respondieron 3.
Sea “n” el número de personas que respondieron 1.
Ninguna persona respondió un número mayor que 3, es decir, sólo respondieron 1; 2 ó 3.
Hallando el número de personas que respondieron 2:
(N°1) + (N°2) + (N°3) = 11
n + (N°2) + 4 = 11
(N°2) = 11 – 4 – n
(N°2) = 7 – n
Utilizando la definición de promedio:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 + 𝑥9 + 𝑥10 + 𝑥11
=2
11
𝑛(1) + (7 − 𝑛)(2) + 4(3)
=2
11
n + 14 – 2n + 12 = 22
–n + 26 = 22
26 – 22 = n
4=n
Aparentemente la respuesta es 4, pero no, porque si nosotros reemplazamos en la cantidad
de personas que respondieron 2, tendríamos: (N°2) = 7 – n = 7 – 4 = 3. Lo cual se contradice ya
que la moda es 2. Ahora, si “n” toma los valores de: n = 3; n = 2; n = 1; n = 0, en ninguno de
ellos la media es 2.
RESPUESTA: Ninguna de las alternativas tomaría el número de personas que respondieron
que tienen un hermano.
CLAVE E.
5
9) Una diagonal interior de un poliedro es un segmento que une dos vértices del poliedro de tal
forma que dicho segmento no está incluido en una cara del poliedro. Por ejemplo, un tetraedro
no tiene diagonales interiores, mientras que un cubo tiene 4 diagonales interiores, como se
muestra en la siguiente figura.
¿Cuántas diagonales interiores tiene un prisma recto cuyas bases son octágonos?
A) 64
B) 40
C) 56
D) 8
E) 16
SOLUCION:
Trazando las diagonales interiores del prisma de base octagonal:
De cada vértice sólo se puede trazar 5 diagonales interiores, como la base octagonal tiene 8
vértices, por tanto, en total se podrán trazar: 5(8) = 40 diagonales interiores.
RESPUESTA: En un prisma recto de base octagonal se pueden trazar 40 diagonales
interiores en total.
CLAVE B.
10) La suma de las edades de tres hermanos es 47. Si sus edades son distintas, ¿Cuál es el
mayor valor posible de la edad del hermano menor?
A) 16
B) 13
C) 17
D) 14
E) 15
SOLUCION:
Sean las edades de los tres hermanos: x; y; z
Sus edades son distintas: x  y  z. asumiendo que: x < y < z
La suma de las edades de los tres hermanos es 47:
x + y + z = 47.
Probando con los menores números:
0 + 1 + 46 = 47
¡Cumple!, 0 años puede ser la edad del hermano menor.
1 + 2 + 44 = 47
¡Cumple!, 1 año puede ser la edad del hermano menor.
2 + 3 + 42 = 47
¡Cumple!, 2 años puede ser la edad del hermano menor.
3 + 4 + 40 = 47
¡Cumple!, 3 años puede ser la edad del hermano menor.
4 + 5 + 38 = 47
¡Cumple!, 4 años puede ser la edad del hermano menor.
⁝
⁝
⁝
6
13 + 14 + 20 = 47
14 + 15 + 18 = 47
15 + 16 + 16 = 47
¡Cumple!, 13 años puede ser la edad del hermano menor.
¡Cumple!, 14 años puede ser la edad del hermano menor.
¡No cumple! Porque dos hermanos tienen la misma edad.
RESPUESTA: A lo más el hermano menor puede tener 14 años.
CLAVE D.
11) Sandra dibujó un triángulo ABC. Luego, ubicó los puntos P y Q, como se muestra en la figura,
de tal forma que BP = 2, PA = 3, BQ = 3 y QC = 7.
¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC representa el área de la región sombreada?
A) 84%
B) 88%
C) 90%
D) 75%
E) 66%
SOLUCION:
Completando los datos se tiene:
El área de un triángulo (Fórmula trigonométrica):
𝐴∆=
𝑎 × 𝑏 × 𝑆𝑒𝑛𝜃
2
El área sombreada (As) está dado por:
As = AABC – APBQ
𝐴𝑠 =
5 × 10 × 𝑆𝑒𝑛𝜃 2 × 3 × 𝑆𝑒𝑛𝜃
−
2
2
𝐴∆ = 25𝑆𝑒𝑛𝜃 − 3𝑆𝑒𝑛𝜃
𝐴∆= 22𝑆𝑒𝑛𝜃
Hallando el porcentaje (Relación parte todo).
𝑥=
𝐴𝑠
𝐴∆𝐴𝐵𝐶
7
𝑥=
22𝑆𝑒𝑛𝜃 × 100%
25𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑥 = 22 × 4% = 88%
RESPUESTA: El área de la región sombreada representa el 88% del área del ABC.
CLAVE B.
12) A Javier le han regalado un gran chocolate que pesa 1 kg. Él decide consumirlo de la siguiente
manera: El primer día consumiría la mitad del chocolate; el segundo día, la mitad de lo que
queda y así sucesivamente. La expresión que representa el consumo del chocolate durante
los primeros n días es:
A)
𝑛
2
B) (1
kg
1
−
2
1
C) 𝑛 kg
2
) kg
𝑛
1
D) ( 𝑛+1 ) kg
2
E) (1
SOLUCION:
Graficando se tiene:
1
1er día consume:
2do día consume:
3er día consume:
4to día consume:
⁝
“n” día consume:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
kg
1
1
2
22
× =
=
1
4
kg
1
1
1
2
2
23
1
1
1
1
2
2
2
24
× × =
× × × =
⁝
1
=
8
⁝
1
1
1
2
2
2𝑛
× ×…× =
kg
=
1
16
kg
Sumando lo consumido:
𝑆=
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑛
1
2
2
2
2
2
La sumatoria de una progresión geométrica se define por:
𝑆=
𝑡1 (1 − 𝑞𝑛 )
1−𝑞
Donde: t1 = primer término, q = razón geométrica. Reemplazando se tiene:
1
1 𝑛
(1 − ( ) )
2
2
𝑆=
1
1−2
−
1
2𝑛+1
) kg
8
1
1 𝑛
( ) )
(1
−
2
2
𝑆=
1
2
1 𝑛
𝑆 = 1−( )
2
𝑆=1−
1
2𝑛
RESPUESTA: La expresión que representa el consumo del chocolate durante los primeros n
1
días es: (1 − 2𝑛 )
CLAVE B.
13) Una empresa de celulares ofrece tres planes de servicio: Básico, intermedio y completo. En el
mes de enero la distribución de clientes por plan fue la mostrada en la Tabla 1. En el mes de
febrero, entraron 400 nuevos clientes al plan básico, algunos del plan basico se cambiaron al
plan intermedio y algunos del plan intermedio se cambiaron al plan completo. Ningún cliente
se retiró. La distribución de los clientes en el mes de febrero fue la mostrada en la Tabla 2.
ENERO
PLAN
PORCENTAJE
Básico
50%
Intermedio
30%
Completo
20%
Tabla 1
FEBRERO
PLAN
PORCENTAJE
Básico
51%
Intermedio
29%
Completo
20%
Tabla 2
¿Cuántos clientes se cambiaron del plan intermedio al completo?
A) 50
B) 60
C) 30
D) 100
E) 80
SOLUCION:
Sea “a” el número de personas que tienen un plan de servicio básico en el mes de enero.
Sea “b” el número de personas que tienen un plan de servicio intermedio en el mes de enero.
Sea “c” el número de personas que tienen un plan de servicio completo en el mes de enero.
Sea “y” el número de personas que tenían plan básico y se cambiaron al plan intermedio en el
mes de febrero.
Sea “x” el número de personas que tenían plan intermedio y se cambiaron al plan completo en
el mes de febrero.
Organizando la información en una tabla:
ENERO
Básico
Intermedio
Completo
Cantidad
a
b
c
Porcentaje
50%
30%
20%
FEBRERO
Cantidad
Porcentaje
a + 400 - y
51%
b+y–x
29%
c+x
20%
Plantearemos nuestras ecuaciones en el plan de servicio completo en los meses de enero y
febrero, porque tienen el mismo porcentaje.
Mes de enero:
𝑐
= 20%
𝑎+𝑏+𝑐
9
𝑐
20
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 100
𝑐
1
=
𝑎+𝑏+𝑐 5
5𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Mes de febrero:
𝑐+𝑥
= 20%
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 400
𝑐+𝑥
20
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 400 100
𝑐+𝑥
1
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 400 5
5𝑐 + 5𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 400
5c + 5x = 5c + 400
5x = 400
x = 80
RESPUESTA: 80 clientes se cambiaron del plan intermedio al completo.
CLAVE E.
14) En la siguiente figura se muestra un cuadrado PUNO y un pentágono regular PASCO.
Determine el valor de n para el cual los puntos A, P, U (en ese orden) son vértices
consecutivos de un polígono regular de n lados.
A) 15
B) 12
C) 20
D) 16
E) 10
SOLUCION:
La medida del ángulo interno de un polígono regular esta dado por:
𝑚∢𝑖 =
180(𝑛 − 2)
𝑛
El ángulo interior del cuadrado PUNO es igual a 90°.
Hallando el ángulo interior del pentágono regular PASCO:
180(5 − 2)
𝑚∢𝑖 =
5
10
𝑚∢𝑖 = 36(3)
𝑚∢𝑖 = 108°
Graficando se tiene:
Sea “x” la medida del ángulo interior del polígono regular de “n” lados:
108° + x + 90° = 360°
198° + x = 360°
x = 162°
Hallando “n”:
180(𝑛 − 2)
𝑚∢𝑖 =
𝑛
162° =
180(𝑛 − 2)
𝑛
162𝑛 = 180𝑛 − 360
360 = 180𝑛 − 162𝑛
360 = 18𝑛
20 = 𝑛
Por tanto, el polígono regular de “n” lados es el icoságono.
RESPUESTA: El valor de “n” es 20.
CLAVE C.
15) Araceli dibujó en el plano cartesiano la gráfica de una función cuadrática:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Donde a, b y c son constantes. Ella notó que los siguientes puntos del plano cartesiano
pertenecen a su gráfica: (0;7), (2;5) y (3;10). ¿Cuál de los siguientes puntos también pertenece
a la gráfica de Araceli?
11
A) (1;3)
B) (4;18)
C) (–1;0)
D) (5;32)
E) (–2;15)
SOLUCION:
Planteando las ecuaciones según los tres pares ordenados:
Par ordenado (0;7)  f(0) = a(0)2 + b(0) + c
7=0+0+c
7=c
Par ordenado (2;5)  f(2) = a(2)2 + b(2) + c
5 = 4a + 2b + 7
–2 = 4a + 2b
…()
Par ordenado (3;10)  f(3) = a(3)2 + b(3) + c
10 = 9a + 3b + 7
3 = 9a + 3b
1 = 3a + b
…()
Juntando ambas ecuaciones:
() + ()
4a + 2b = –2
3a + b = 1
Multiplicando por (–2)
Tendríamos:
4a + 2b = –2
–6a – 2b = –2
–2a = –4
a=2
Sumando ambas ecuaciones
Reemplazando “a” en la ecuación ()
3a + b = 1
3(2) + b = 1
b=1–6
b = –5
En consecuencia, la función cuadrática estaría definido: f(x) = 2x2 – 5x +7.
Vamos a probar con cada alternativa para saber si pertenecen a la parábola.
a) (1;3)  f(1) = 2(1)2 – 5(1) + 7
3=2–5+7
3  4.
Por tanto, el punto (1;3) no pertenece a la parábola.
b) (4;18)  f(4) = 2(4)2 – 5(4) + 7
18 = 2(16) – 20 + 7
18  19.
Por tanto, el punto (4;18) no pertenece a la parábola.
c) (–1;0)  f(–1) = 2(–1)2 – 5(–1) + 7
0 = 2(1) + 5 + 7
0  14.
Por tanto, el punto (–1;0) no pertenece a la parábola.
d) (5;32)  f(5) = 2(5)2 – 5(5) + 7
32 = 2(25) – 25 + 7
32 = 32.
Por tanto, el punto (5;32) sí pertenece a la parábola.
12
e) (–2;15)  f(–2) = 2(–2)2 – 5(–2) + 7
15 = 2(4) + 10 + 7
15  25.
Por tanto, el punto (–2;15) no pertenece a la parábola.
Comprobando lo realizado:
RESPUESTA: El punto de la alternativa D (5;32) también pertenece a la gráfica de Araceli.
CLAVE D.
16) Un número natural N es llamado cuasi-divisible si al sumar 1 a cualquiera de sus dígitos
obtenemos un divisor de N. Por ejemplo, 102 es cuasi-divisible porque 1 + 1, 0 + 1 y 2 + 1 son
divisores de 102. Determine el mayor número cuasi-divisible que consta de tres dígitos
distintos y dé como respuesta la suma de los cuadrados de sus dígitos.
A) 145
B) 162
C) 82
D) 97
E) 130
SOLUCION:
̅̅̅̅̅
Sea el número natural de tres dígitos: 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐
Para que N sea el mayor posible, entonces: a = 9. Como son dígitos distintos b = 4 (No cumple
cuando b = 8; 7; 6; 5)
Tanteando se obtiene: c = 0.
Por tanto, el número es: 940.
Hallando la suma de los cuadrados de sus dígitos: 92 + 42 + 02 = 81 + 16 + 0 = 97.
Comprobación:
̅̅̅̇
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 9.  940 = ̅10
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 4.  940 = 5̇
̅̇
𝐷í𝑔𝑖𝑡𝑜 0.  940 = 1
13
RESPUESTA: La suma de los cuadrados de sus dígitos del número N es 97.
CLAVE D.
17) ¿Cuántos enteros positivos de 11 dígitos son múltiplos de 162 y cumplen que cada uno de sus
dígitos es 0 o 9?
Aclaración: Tenga en cuenta que un entero positivo no empieza con el dígito 0.
A) 11
B) 15
C) 36
D) 10
E) 9
SOLUCION:
Un número será divisible por 162, cuando sea divisible por 81 y 2, porque 162 = 812.
Un número es divisible por 2, cuando la última cifra es par.
Como se tienen sólo cifras de 9 ó 0, entonces el número formado de once dígitos será divisible
por 81 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 81. En consecuencia, las cifras deben
tener 9 nueves (99 = 81) y debe empezar del 9.
Representando gráficamente:
9
9
9
9
9
9
9
9
9
0
Casillero fijo
0
Casillero fijo
Se tienen 9 casilleros en la se pueden formar varios números con 8 nueves y 1 cero. Ya que
importa el orden, entran todos los elementos y algunos se repiten, entonces tenemos una
permutación con repetición:
𝑛!
𝑛
𝑃𝛼;𝛽,…
=
𝛼! 𝛽! …
9
𝑃8;1
=
9!
9×8×7×6×5×4×3×2×1
=
=9
8! 1! 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 1
RESPUESTA: La longitud del lado del cuadrado es 10 cm.
CLAVE E.
18) En la pizarra están escritos 8 números naturales que forman una progresión aritmética. Se
sabe que exactamente M de esos números son múltiplos de 3. ¿Cuál de los siguientes
números no es un posible valor de M?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
SOLUCION:
M es la cantidad de números múltiplos de 3. r = Razón aritmética.
Planteando la progresión aritmética:
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
+
+
+
+r
+r
+r
2
2
2
x son múltiplos de "n" se obtiene otro múltiplo de "n".
x números
x
Propiedad: La suma de dos
que
2
2
2
+r
+r
+r
+r
̅̇ ; r = 3
̅̇
PRIMER CASO: Cuando: t1 = 3
̅̇ ;
3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇ ;
3
̅̇
+3
̅̇
3
̅̇
+3
14
Por tanto, M = 8 (Todos los números de la progresión aritmética son múltiplos de 3).
Ejemplo:
3;
6;
+3
9;
12;
+3
15;
+3
18;
+3
21;
+3
24
+3
+3
̅̇ + 1 ó t1 = 3
̅̇ + 2; r = 3
̅̇
SEGUNDO CASO: Cuando: t1 = 3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇
+3
̅̇ + 1
3
̅̇
+3
Por tanto, M = 0 (Ninguno de los números de la progresión aritmética son múltiplos de 3).
Ejemplo:
1;
4;
+3
7;
10;
+3
13;
+3
16;
+3
19;
+3
22
+3
+3
̅̇ + 1, r = 3
̅̇ + 1 ó t1 = 3
̅̇ + 2, r = 3
̅̇ + 2
TERCER CASO: Cuando: t1 = 3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 2;
3
̅̇ + 1
+3
̅̇ ;
3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 1
+3
̅̇ + 1
+3
̅̇ + 2;
3
̅̇ + 1
+3
̅̇ ;
3
̅̇ + 1
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 1
+3
̅̇ + 2
3
̅̇ + 1
+3
Por tanto, M = 2 (Sólo 2 números de la progresión aritmética son múltiplos de 3).
Ejemplo:
1;
5;
+4
9;
13;
+4
+4
17;
+4
21;
25;
+4
+4
29
+4
̅̇ + 1, r = 3
̅̇ + 2 ó t1 = 3
̅̇ + 2, r = 3
̅̇ + 1
CUARTO CASO: Cuando: t1 = 3
̅̇ + 1;
3
̅̇ ;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇ + 2;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇ ;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇ + 2;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇ + 1;
3
̅̇ + 2
+3
̅̇
3
̅̇ + 2
+3
Por tanto, M = 3 (Sólo 3 números de la progresión aritmética son múltiplos de 3).
Ejemplo:
1;
6;
+5
11;
+5
16;
+5
21;
+5
RESPUESTA: M no puede tomar el valor de 4.
26;
+5
31;
+5
36
+5
CLAVE D.
19) Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, donde M es el punto medio de su hipotenusa. En
el segmento AB se ubica un punto P tal que BMP = 90°. Si AP = 7 y PB = 18, determine la
medida de AC.
15
A) 30
B) 32
C) 35
D) 14√5
E) √706
SOLUCION:
Sea “x” la medida del segmento AM.
Utilizando la propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC
(En todo triángulo rectángulo se cumple que el valor de la mediana trazada del ángulo recto al
punto medio de la hipotenusa, es igual a la mitad del valor de dicha hipotenusa), si: MB es
mediana del triángulo ABC, entonces: AM = MC = BM = x.
.
Si: mBAC = , entonces mBCA =90°–, porque dichos ángulos son complementarios.
El triángulo AMB es isósceles (BM = AM) de manera que: mPBM = , y en consecuencia
mBPM = 90°–, porque dichos ángulos son complementarios.
El ABC  PBM (Ángulo – Ángulo)
90°  (90°–)
2𝑥 25
=
18
𝑥
2𝑥 2 = 18 × 25
𝑥 2 = 9 × 25
𝑥 = √225
𝑥 = 15
AC = 2x = 2(15) = 30.
RESPUESTA: La longitud AC mide 30 unidades lineales.
CLAVE A.
16
20) Alrededor de una circunferencia están escritos 14 enteros positivos, no necesariamente
distintos. Antonio subrayó cada número que es igual a la suma de sus dos vecinos. Luego,
Blanca subrayó cada número que es igual al valor absoluto de la diferencia de sus dos
vecinos. ¿Como máximo cuántos números subrayados puede haber después de hacer esto?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 10
E) 7
SOLUCION:
Para que el número sea subrayado los números vecinos deben sumarse o restarse. Por lo que
debe alternarse entre la suma y diferencia en forma consecutiva, pero al completar la
circunferencia completa con los catorce números habrá un número que no cumple con la suma
o diferencia, por lo que se subrayarán 13 números. Para ello vamos a mostrar un ejemplo:
RESPUESTA: Se subrayaron 13 números como máximo.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
CLAVE B.
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase - Nivel 1 – Solucionario.
1) Un avión realizó un viaje desde Lima (que se encuentra al nivel del mar) a Cusco. Después de
despegar, el avión alcanzó una altura de 4850 m y voló varios minutos a esa altura. Luego, se
elevó 3000 m más y se mantuvo volando a la misma altura hasta que hubo turbulencias.
Debido a este problema, el avión tuvo que descender algunos metros. Finalmente, descendió
4200 metros hasta llegar a Cusco. Si se sabe que Cusco se encuentra a 3400 m sobre el nivel
del mar, ¿Cuántos metros descendió el avión debido a las turbulencias?
SOLUCION:
Graficando el recorrido del avión:
Sea “x” la altura que descendió el avión luego de las turbulencias. La altura máxima que voló
el avión fue 4850 m + 3000 m = 7850 m. con ello podemos plantear la siguiente ecuación:
4200 + 3400 + x = 7850
7600 + x = 7850
x = 250
RESPUESTA: El avión descendió 250 m debido a las turbulencias.
2) El promedio de las edades de 5 personas es 22. Si se retira Liliana, que es una de esas
personas, el promedio de las edades de las que quedan es 19. ¿Cuál es la edad de Liliana?
SOLUCION:
El promedio de las edades de 5 personas es 22.
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 + 𝑃5
= 22
5
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 22(5)
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 110
El promedio de las edades de 4 personas es 19 (Si se retira Liliana):
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4
= 19
4
P1 + P2 + P3 + P4 = 19(4)
P1 + P2 + P3 + P4 = 76
Asumiendo que la persona cinco es Liliana, es decir: P5 = x.
Reemplazando P1 + P2 + P3 + P4 en la ecuación anterior:
2
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 110
P1 + P2 + P3 + P4 + x = 110
76 + x = 110
x = 110 – 76
x = 34
RESPUESTA: La edad de Liliana es 34 años.
3) Determine el menor número natural N que satisface las siguientes dos condiciones:
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuya suma es 13.
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuya suma es 12.
Aclaración: Dos dígitos son adyacentes si se encuentran uno al lado de otro.
SOLUCION:
Sea el menor número natural de tres cifras: 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐 (Se ha escogido tres cifras porque se
trata de encontrar al número más pequeño)
Dos dígitos adyacentes de N cuya suma sea 13.
b + c = 13
Dos dígitos adyacentes de N cuya suma sea 12.
a + b = 12
Vamos a tantear con ésta última expresión ya que es la menor suma:
a + b = 12
6 + 6 = 12
5 + 7 = 12
4 + 8 = 12
3 + 9 = 12




a = 6, b = 6, c = 7
a = 5, b = 7, c = 6
a = 4, b = 8, c = 5
a = 3, b = 9, c = 4
El menor número encontrado es 394.
RESPUESTA: El menor número natural que satisface las dos condicione es 394.
4) El precio de la entrada de un circo se redujo en 10%. Debido a este cambio, el número de
asistentes se incrementó en n%. Determine el valor de “n”, si se sabe que el ingreso total por
asistencia se incrementó en 26%.
SOLUCION:
Sea “x” el número de personas que entraron al circo al inicio.
Se “y” el precio de cada entrada al circo al inicio. Si el precio de la entrada se reduce en 10%
entonces se tendrá: y – 10%y = 100%y – 10%y = 90%y
Inicio
Final
Precio de cada
entrada
y
90%y
Número de
personas
x
x + n%x
Si el ingreso total por asistencia se incrementó en 26%, significa que se tendrá: 100% + 26%
= 126%. El monto recaudado se obtiene al multiplicar el número de personas por el precio de
cada entrada.
Plateando la ecuación, teniendo en cuenta los montos recaudados al inicio y al final
(𝑥 + 𝑛%𝑥)(90%𝑦)
= 126%
𝑥𝑦
𝑥(1 + 𝑛%)(90%𝑦)
= 126%
𝑥𝑦
3
Cancelamos los factores “x” e “y”.
(1+n%)(90%) = 126%
(1 +
𝑛
90
126
)×
=
100
100 100
100 + 𝑛
90
126
(
)×
=
100
100 100
100 + 𝑛 =
126 × 100 × 100
100 × 90
100 + n = 140
n = 40
RESPUESTA: El valor de n es 40
5) Se muestran dos rectángulos ABCD y APQR tales que AB = AP = 2 y BC = PQ = 4.
Determine la medida del ángulo DRQ.
SOLUCION:
Completando los datos de acuerdo al problema planteado:
Sea DRQ = x
El APD es rectángulo y vamos hallar el lado PD utilizando el Teorema de Pitágoras:
AP2 + PD2 = AD2
22 + PD2 = 42
4 + PD2 = 16
PD2 = 16 – 4
PD2 = 12
𝑃𝐷 = √12
𝑃𝐷 = 2√3
4
El APD es notable cuyos lados proporcionales corresponden a los lados de un  de 30° y 60°
Vamos a completar los demás ángulos para hallar el ángulo x.
mRAD = 30° porque es el complemento del mPAD.
El RAD es isósceles (AR = AD = 4), Si mRAD = 30°, entonces mARD = mRDA = 75°.
Finalmente, mARD y x son complementarios, por lo que se cumple:
mARD + x = 90°
75° + x = 90°
x = 15°
RESPUESTA: La medida del ángulo DRQ es 15°.
6) Jacob tiene hijos e hijas. Cierto día, Jacob hizo la siguiente pregunta a cada hijo y cada hija:
¿Cuántas hermanas tienes?". La respuesta de cada uno fue un número positivo y la suma de
todos estos números fue 35. ¿Cuántas hijas tiene Jacob?
SOLUCION:
Sea “x” el número de hijas de Jacob.
Sea “y” el número de hijos de Jacob.
Planteando el problema:
Cada hija tiene “x – 1” hermanas y el total de respuestas respecto al número de hermanas
será: (x – 1)x.
Cada hijo tiene “x” hermanas y el total de respuestas respecto al número de hermanas será:
xy.
5
La suma de todos estos números fue 35, plateando la ecuación tenemos:
x( x – 1) + xy = 35
x(x – 1 + y) = 5(7)
x = 5, x – 1 + y = 7
x = 5, 5 – 1 + y = 7
x = 5, 4 + y = 7
x = 5, y = 3
RESPUESTA: Jacob tiene 5 hijas.
7) Si: 2018 = a4 + b4 + c4 + d4, donde a, b, c y d, son números enteros positivos distintos, calcule
el valor de a + b + c + d.
SOLUCION:
Hallando los primeros números con exponente cuatro.
14 = 1
24 = 16
34 = 81
44 = 256
54 = 625
64 = 1296
74 = 2401 (74 queda descartado porque es mayor que 2018)
Los números son distintos y vamos a sumar algunos de ellos para que el resultado sea 2018.
16 + 81 + 625 + 1296 = 2018
24 + 34 + 54 + 64 = 2018
Por tanto, la suma de los números es: 2 + 3 + 5 + 6 = 16.
RESPUESTA: El valor de a + b + c + d es 16.
8) Luisa dibujó en su cuaderno un cuadrado ABCD y trazó la diagonal BD. Luego, trazó un
segmento que une un punto del lado AB con un punto del lado BC. De esta forma el cuadrado
quedó dividido en cuatro partes: dos triángulos y dos cuadriláteros. Se sabe que un ángulo
interior de uno de los cuadriláteros mide 83°, determine la medida del mayor ángulo interior del
otro cuadrilátero.
SOLUCION:
En un cuadrado, la diagonal es la bisectriz del ángulo recto.
Graficando de acuerdo al problema planteado:
mDGE = 180° – 83° = 97°
Sea el ángulo CEG = 
6
En el cuadrilátero DGEC, vamos hallar .
45° + 97° + 90° +  = 360°
232° +  = 360°
 = 128°
RESPUESTA: La medida del mayor ángulo interior del otro cuadrilátero es 128°.
9) Cada casilla de un tablero de 8x11 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que cada
subtablero de 2x2 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
SOLUCION:
Encontrando un patrón con las condiciones del problema:
R
R
A: Casilla de color azul.
V: Casilla de color verde.
R: Casilla de color rojo.
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
A
V
A
V
A
V
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
A
V
A
V
A
V
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
A
V
A
V
A
V
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
A
V
A
V
A
V
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
A
V
A
V
A
V
A
V
R
R
R
R
R
R
R
R
Casillas de color rojo: 8x6 = 48.
Casillas de color azul: 5x4 = 20.
Casillas de color verde: 5x4 = 20.
RESPUESTA: Como máximo se puede contar con 48 casillas de color rojo.
7
10) Determine cuántos números capicúas de cinco dígitos son múltiplos de 11.
Aclaración: Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda. Por ejemplo, 11; 101 y 2772 son números capicúas.
SOLUCION:
Número capicúa de cinco cifras: 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎
Se sabe que un número es divisible por once cuando se le multiplica por +1 a los lugares
impares y por –1 a los lugares pares. Es decir:
𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 11̇
+- +-+
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑏 + 𝑎 = 11̇
2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 11̇
Para esta situación problemática los múltiplos de 11 son: 0; 11; –11 y 22
PRIMER CASO: Cuando el múltiplo de once es cero (0).
2a – 2b + c = 0
Probemos cuando c = 0:
2a – 2b + 0 = 0
2a – 2b = 0
2a = 2b
a=b
a no puede tomar el valor de cero por ser el primer dígito. En consecuencia, a puede tomar los
valores del 1 al 9. Por tanto, los números serían: 11011; 22022; 33033; 44044; 55055; 66066;
77077; 88088 y 99099. Total: 9 números.
Probemos cuando c = 2, ya que c no puede tomar valores impares.
2a – 2b + 2 = 0
2a + 2 = 2b
a+1=b
a puede tomar los valores del 1 al 8, no puede tomar el valor de 9 porque más uno tendría dos
dígitos. Por tanto, los números serían: 12221; 23232; 34243; 45254; 56265; 67276; 78287 y
89298. Total: 8 números.
Probemos cuando c = 4:
2a – 2b + 4 = 0
2a + 4 = 2b
a + 2 = b (Sacando mitad a la expresión anterior)
a puede tomar los valores del 1 al 7, no puede tomar el valor de 8 y 9 porque más uno
tendríamos dos dígitos. Por tanto, los números serían: 13431; 24442; 35453; 46464; 57475;
68486 y 79497. Total: 7 números.
Y así sucesivamente…
Cuando c = 6. Total: 6 números. Los números son: 14641; 25652; 36663; 47674; 58685 y
69696.
Cuando c = 8. Total: 5 números. Los números son: 15851; 26862; 37873; 48884 y 59895.
SEGUNDO CASO: Cuando el múltiplo de once es once (11).
2a – 2b + c = 11
Probemos cuando c = 1, c no puede tomar valores pares:
8
2a – 2b + 1 = 11
2a – 2b = 10
a–b=5
a=b+5
b puede tomar los valores del 0 al 4. Por tanto, los números serían: 50105; 61116; 72127;
83138 y 94149. Total: 5 números.
Probemos cuando c = 3:
2a – 2b + 3 = 11
2a – 2b = 8
a–b=4
a=b+4
b puede tomar los valores del 0 al 5. Por tanto, los números serían: 40304; 51315; 62326;
73137; 84348 y 95359. Total: 6 números.
Probemos cuando c = 5:
2a – 2b + 5 = 11
2a – 2b = 6
a–b=3
a=b+3
b puede tomar los valores del 0 al 6. Por tanto, los números serían: 30503; 41514; 52525;
63536; 74547; 85558 y 96569. Total: 7 números.
Probemos cuando c = 7:
2a – 2b + 7 = 11
2a – 2b = 4
a–b=2
a=b+2
b puede tomar los valores del 0 al 7. Por tanto, los números serían: 20702; 31713; 42724;
53735; 64746; 75757; 86768 y 97779. Total: 8 números.
Probemos cuando c = 9:
2a – 2b + 9 = 11
2a – 2b = 2
a–b=1
a=b+1
b puede tomar los valores del 0 al 8. Por tanto, los números serían: 10901; 21912; 32923;
43934; 54945; 65956; 76967; 87978 y 98989. Total: 9 números.
TERCER CASO: Cuando el múltiplo de once es menos once (–11).
2a – 2b + c = –11
Probemos cuando c = 1, c no puede tomar valores pares:
2a – 2b + 1 = –11
2a – 2b = –12
2b – 2a = 12
b–a=6
b=a+6
a puede tomar los valores del 1 al 3. Por tanto, los números serían: 17171; 28182 y 39193.
Total: 3 números.
Probemos cuando c = 3, c no puede tomar valores pares:
9
2a – 2b + 3 = –11
2a – 2b = –14
2b – 2a = 14
b–a=7
b=a+7
a puede tomar los valores del 1 al 2. Por tanto, los números serían: 18381 y 29392. Total: 2
números.
Cuando c = 5. Total: 1 número. El número es: 19591.
CUARTO CASO: Cuando el múltiplo de once es veintidós (22).
2a – 2b + c = 22
Probemos cuando c = 4, c4:
2a – 2b + 4 = 22
2a – 2b = 18
a–b=9
a=b+9
b puede tomar sólo cero (0). Por tanto, el número es: 90409. Total: 1 número.
Probemos cuando c = 6:
2a – 2b + 6 = 22
2a – 2b = 16
a–b=8
a=b+8
b puede tomar los valores del 0 al 1. Por tanto, los números serían: 80608 y 91619. Total: 2
números.
Probemos cuando c = 8:
2a – 2b + 8 = 22
2a – 2b = 14
a–b=7
a=b+7
b puede tomar los valores del 0 al 2. Por tanto, los números serían: 70807; 81818 y 92829.
Total: 3 números.
Sumando la cantidad de números encontrados por cada caso:
PRIMER CASO:
9+8+7+6+5
= 35
SEGUNDO CASO:
5+6+7+8+9
= 35
TERCER CASO:
3+2+1
=6
CUARTO CASO:
1+2+3
=6
TOTAL: 35 + 35 + 6 + 6 = 82.
RESPUESTA: 82 números capicúas de cinco dígitos son múltiplos de 11.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase – Nivel 2 – Solucionario.
1) La operación A consiste en restar 10 y la operación B consiste en multiplicar por 4/5. A un
número se le aplicó la operación A y luego la operación B, de esta forma el resultado final fue
24. ¿Cuál hubiese sido el resultado final si las operaciones se realizan en el otro orden
(primero B y luego A)?
SOLUCION:
Planteando los enunciados:
A: – 10
B: ×
4
5
Sea “x” el número:
4(𝑥 − 10)
= 24
5
4x – 40 = 245
4x = 120 + 40
4x = 160
x = 40
Realizando las operaciones en forma inversa:
4
40 × − 10
5
84 – 10
32 – 10
22
RESPUESTA: Si las operaciones se realizan en orden inverso, el resultado final es 22.
2) Según los datos del año 2017, la producción de papa del Perú representó el 1,8% de la
producción mundial y a la vez representó el 60% de la producción de Sudamérica. Si se sabe
que la producción de papa de Sudamérica representó el n% de la producción mundial,
determine el valor de n.
SOLUCION:
Planteando la ecuación:
Producción de Sudamérica = n% de la Producción mundial.
Según datos del año 2017:
Producción de papa del Perú = 1,8% de la Producción mundial
Producción de papa del Perú = 60% de la Producción de Sudamérica
Igualando ambas ecuaciones: () = ()
1,8% de la Producción Mundial = 60% de la Producción de Sudamérica
18 de la Producción Mundial = 600 de la Producción de Sudamérica
3 de la Producción Mundial = 100 de la Producción de Sudamérica
100 de la Producción de Sudamérica = 3 de la Producción Mundial
3
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑆𝑢𝑑𝑎𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 =
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑙
100
Producción de Sudamérica = 3% de la Producción mundial.
Por tanto, n = 3
RESPUESTA: El valor de n es igual a 3.
…()
…()
2
3) La primera etapa de una olimpiada matemática consta de una prueba de 8 problemas. En la
siguiente tabla, para cada k entre 0 y 8 (inclusive), se indica cuántos alumnos resolvieron
exactamente k problemas. Por ejemplo, 6 alumnos resolvieron exactamente 1 problema y 22
alumnos resolvieron exactamente 4 problemas.
k
N° de alumnos que resolvieron k problemas
0
5
1
6
2
8
3
4
5
10 22 13
6
7
7
5
8
2
Para determinar los alumnos que clasificarán a la siguiente etapa, se escoge un número
natural n y se hace clasificar a todos los alumnos que resolvieron al menos n problemas.
¿Para qué valor de n se cumple que el número de alumnos clasificados está entre la tercera
parte y la mitad del número total de alumnos?
SOLUCION:
Vamos a ordenar los datos en una tabla de distribución de frecuencias:
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
fi
5
6
8
10
22
13
7
5
2
Fi()
5
11
19
29
51
64
71
76
78
Fi()
78
73
67
59
49
27
14
7
2
Donde la frecuencia absoluta (fi) representa el N° de alumnos que resolvieron k problemas.
Fi(): Frecuencia relativa acumulada sumando desde arriba hacia abajo.
Fi(): Frecuencia relativa acumulada sumando desde abajo hacia arriba.
El total de alumnos es 78.
78
La mitad de los alumnos es: = 39 alumnos.
2
La tercera parte de los alumnos es:
78
3
= 26 alumnos.
Planteando la inecuación:
Tercera parte < N° de alumnos clasificados < Mitad
26 < N° de alumnos clasificados < 39
26 < 27 < 39
27 estudiantes clasificados están entre la tercera parte y la mitad del número total de alumnos
y esto corresponde a los alumnos que resolvieron al menos 5 problemas. Por tanto, n = 5.
RESPUESTA: El valor de n es 5.
4) En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero de perímetro 90 cm. Además, los
segmentos PQ y AC son paralelos. Calcule la suma de los perímetros de los polígonos PBQ y
APQC (en cm), si se sabe que estos números están en la relación de 3 a 14.
3
SOLUCION:
Si el ABC es equilátero y tiene un perímetro de 90 cm, por tanto, cada lado mide 30 cm.
Cada uno de sus ángulos interiores de un triángulo equilátero mide 60°.
Sea PB = x cm y realizamos el siguiente gráfico:
El PBQ también es equilátero porque PQ // AC, en consecuencia PB = BQ = PQ = x.
Además, PA = 30 – x
Plateando la proporción de acuerdo al problema:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∆𝑃𝐵𝑄
3
=
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∎𝐴𝑃𝑄𝐶 14
𝑥+𝑥+𝑥
3
=
30 + 30 − 𝑥 + 30 − 𝑥 + 𝑥 14
3𝑥
3
=
90 − 𝑥 14
14(3x) = 3(90 – x)
42x = 270 – 3x
45x = 270
x=6
Hallando la suma de los perímetros de los polígonos PBQ y APQC (en cm)
Suma de perímetros: PBQ + 󠆹APQC
Suma de perímetros: 3x + 90 – x
Suma de perímetros: 3(6) + 90 – 6
4
Suma de perímetros: 18 + 84
Suma de perímetros: 102 cm
RESPUESTA: La suma de los perímetros de los polígonos PBQ y APQC es 102 cm.
5) Sean a y b números reales tales que 8a.3b = 78 y 2 a.9 b = 76. Calcule el valor de 2a.
SOLUCION:
Despejando 3b en la primera ecuación:
8a.3b = 78
3b = 78.8–a
Elevando al cuadrado a la expresión anterior:
2
(3𝑏 ) = (78 × 8−𝑎 )2
(32 )𝑏 = (78 )2 (8−𝑎 )2
9b = 716.8–2a
Reemplazando 9b en la segunda ecuación:
2a.9b = 76
2 .(716.8–2a) = 76
2a.8–2a = 76.7–16
2a.(23)–2a = 7–10
2a.2–6a = 7–10
2–5a = 7–10
a
−5𝑎
−10
2 −5 = 7 −5
2a = 72
2a = 49
RESPUESTA: El valor de 2a es 49.
6) Determine el menor número natural N que satisface todas las siguientes condiciones:
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 2.
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 0.
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 1.
 Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 8.
Aclaración: dos dígitos son adyacentes si se encuentran uno al lado de otro.
SOLUCION:
Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 1. Por tanto, el número N empieza con
las cifras 1 y 1, porque el producto de ambos números es 1.
Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 2. Por tanto, el número N debe poseer
la cifra 2 seguido del 1.
Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 0. Por tanto, el número N debe poseer
la cifra 0 y ésta debe ir último porque si no tendríamos otro producto igual a cero.
Existen dos dígitos adyacentes de N cuyo producto es 8. Por tanto, el número N debe poseer
la cifra 4 seguido de la cifra 2 porque éstos al multiplicarse resulta 8.
Finalmente: N = 11240.
RESPUESTA: El menor número natural N que satisface todas las condiciones es 11240.
7) Se muestran dos hexágonos regulares, uno dentro del otro. Si los puntos A, B y C pertenecen
a una misma recta y el perímetro del hexágono mayor es 120 cm, determine el perímetro del
hexágono menor (en cm).
5
SOLUCION:
Si el perímetro del hexágono mayor es 120 cm, entonces cada lado mide:
180°(𝑛−2)
120
180°(6−2)
6
= 20 cm.
Medida del ángulo interior de un hexágono regular es:
=
= 30°(4) = 120°
𝑛
6
Como son hexágonos regulares, el vértice B es el punto medio del segmento AC.
Como el ADC es isósceles (AD = DC) entonces DB es la altura y bisectriz del ADC.
Entonces mCDB = 60°.
El DCB es notable cuyos ángulos interiores son 30° y 60°. Utilizando los lados proporcionales
del triángulo notable de 30° y 60°.
Hallado k
20 = 2k
10 = k
Por tanto, BC = √3𝑘 = 10√3 cm
6
Como DC // BE, entonces por ángulos alternos internos se cumple: mCBE = 30°.
Vamos a trazar el segmento CE, que une dos vértices de los hexágonos regulares y que CE
es perpendicular un lado del hexágono regular menor.
El BEC es notable cuyos ángulos interiores son 30° y 60°. Utilizando los lados proporcionales
del triángulo notable de 30° y 60°.
Hallado p
2𝑝 = 10√3
𝑝 = 5√3
Por tanto, BE = √3𝑝 = √3 × 5√3 = 5√3 × √3 = 5 × 3 = 15 cm
Finalmente, el perímetro del hexágono regular menor es: 6(15) = 90 cm.
RESPUESTA: El perímetro del hexágono menor es 90 cm.
8) Se escogen al azar dos aristas distintas de un cubo. Se sabe que la probabilidad de que esas
dos aristas tengan un extremo en común se puede expresar como a/b, donde a y b son
enteros positivos coprimos. Determine el valor de a + b.
Aclaración: Considere que todas las aristas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
SOLUCION:
Se tiene el siguiente cubo:
CARACTERÍSTICAS
 Total de vértices: 8
 Total de aristas: 12
 Tres aristas se van intersecar en cada vértice y tendrán un extremo común.
Utilizando la regla de Laplace para hallar la probabilidad de dos aristas tengan un extremo en
común:
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑃(𝐴) =
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
7
𝑃(2 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛) =
8𝐶 32
𝐶 12
2
3×2
8×1×2
𝑃(2 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛) =
12 × 11
1×2
𝑃(2 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛) =
24
66
𝑃(2 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛) =
4
11
𝑎
4
=
𝑏 11
Dos números son coprimos o primos entre si cuando no tienen divisores en común (excepto
1). Por tanto, 4 y 11 son números coprimos, entonces, a = 4, b = 11.
Finalmente, a + b = 4 + 11 = 15.
RESPUESTA: El valor de a + b es 15.
9) Cada casilla de un tablero de 10x10 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que cada
subtablero de 3x3 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
SOLUCION:
Encontrando una distribución de las casillas con las condiciones del problema:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Donde:
R
A
R
R
A
R
R
A
R
R
R
V
R
R
V
R
R
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
A
R
R
A
R
R
R
V
R
R
V
R
R
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
A
R
R
A
R
R
R
V
R
R
V
R
R
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
8
A: Casilla de color azul.
V: Casilla de color verde.
R: Casilla de color rojo.
Casillas de color rojo: 7(10) + 4(3) = 70 + 12 = 82
RESPUESTA: Como máximo se pueden contar con 82 casillas de color rojo.
10) Determine cuántos enteros positivos a cumplen que a  8575 y además:
mcd(a; 8575) = mcd(a + 1; 8575) = 1.
Aclaración: mcd(r; s) denota al máximo común divisor de los enteros positivos r y s.
SOLUCION:
Descomponiendo en sus factores primos 8575 = 5273.
Vamos agrupar números de 35 en 35, porque 35 es múltiplo de 5 y 7.
Probando con los primeros números enteros positivos:
Si a = ?  MCD(a;8575) = 1  MCD(a +1;8575) = 1.
Si a = 1  MCD(1;8575) = 1  MCD(2;8575) = 1.
Sí cumple
Si a = 2  MCD(2;8575) = 1  MCD(3;8575) = 1.
Sí cumple
Si a = 3  MCD(3;8575) = 1  MCD(4;8575) = 1.
Sí cumple
Si a = 4  MCD(4;8575) = 1  MCD(5;8575) = 5.
No cumple
Si a = 5  MCD(5;8575) = 5  MCD(6;8575) = 1.
No cumple
Si a = 6  MCD(6;8575) = 1  MCD(7;8575) = 7.
No cumple
Si a = 7  MCD(7;8575) = 7  MCD(8;8575) = 1.
No cumple
Si a = 8  MCD(8;8575) = 1  MCD(9;8575) = 1.
Sí cumple
Si a = 9  MCD(9;8575) = 1  MCD(10;8575) = 5.
No cumple
Si a = 10  MCD(10;8575) = 5  MCD(11;8575) = 1. No cumple
Si a = 11  MCD(11;8575) = 1  MCD(12;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 12  MCD(12;8575) = 1  MCD(13;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 13  MCD(13;8575) = 1  MCD(14;8575) = 7. No cumple
Si a = 14  MCD(14;8575) = 7  MCD(15;8575) = 5. No cumple
Es múltiplo de 5 y 7
Si a = 15  MCD(15;8575) = 5  MCD(16;8575) = 1. No cumple
Si a = 16  MCD(16;8575) = 1  MCD(17;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 17  MCD(17;8575) = 1  MCD(18;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 18  MCD(18;8575) = 1  MCD(19;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 19  MCD(19;8575) = 1  MCD(20;8575) = 5. No cumple
Si a = 20  MCD(20;8575) = 5  MCD(21;8575) = 7. No cumple
Es múltiplo de 5 y 7
Si a = 21  MCD(21;8575) = 7  MCD(22;8575) = 1. No cumple
Si a = 22  MCD(22;8575) = 1  MCD(23;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 23  MCD(23;8575) = 1  MCD(24;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 24  MCD(24;8575) = 1  MCD(25;8575) = 25. No cumple
Si a = 25  MCD(25;8575) = 25  MCD(26;8575) = 1. No cumple
Si a = 26  MCD(26;8575) = 1  MCD(27;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 27  MCD(27;8575) = 1  MCD(28;8575) = 7. No cumple
Si a = 28  MCD(28;8575) = 7  MCD(29;8575) = 1. No cumple
Si a = 29  MCD(29;8575) = 1  MCD(30;8575) = 5. No cumple
Si a = 30  MCD(30;8575) = 5  MCD(31;8575) = 1. No cumple
Si a = 31  MCD(31;8575) = 1  MCD(32;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 32  MCD(32;8575) = 1  MCD(33;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 33  MCD(33;8575) = 1  MCD(34;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 34  MCD(34;8575) = 1  MCD(35;8575) = 35. No cumple
Es múltiplo de 5 y 7
Si a = 35  MCD(35;8575) = 35  MCD(36;8575) = 1. No cumple
Es múltiplo de 5 y 7
9
Si a = 36  MCD(36;8575) = 1  MCD(37;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 37  MCD(37;8575) = 1  MCD(38;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 38  MCD(38;8575) = 1  MCD(39;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 39  MCD(39;8575) = 1  MCD(40;8575) = 5. No cumple
Si a = 40  MCD(40;8575) = 5  MCD(41;8575) = 1. No cumple
Si a = 41  MCD(41;8575) = 1  MCD(42;8575) = 7. No cumple
Si a = 42  MCD(42;8575) = 7  MCD(43;8575) = 1. No cumple
Si a = 43  MCD(43;8575) = 1  MCD(44;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 44  MCD(44;8575) = 1  MCD(45;8575) = 5. No cumple
Si a = 45  MCD(45;8575) = 5  MCD(46;8575) = 1. No cumple
Si a = 46  MCD(46;8575) = 1  MCD(47;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 47  MCD(47;8575) = 1  MCD(48;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 48  MCD(48;8575) = 1  MCD(49;8575) = 49. No cumple
Si a = 49  MCD(49;8575) = 49  MCD(50;8575) = 25. No cumple
Si a = 50  MCD(50;8575) = 25  MCD(51;8575) = 1. No cumple
Si a = 51  MCD(51;8575) = 1  MCD(52;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 52  MCD(52;8575) = 1  MCD(53;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 53  MCD(53;8575) = 1  MCD(54;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 54  MCD(54;8575) = 1  MCD(55;8575) = 5. No cumple
Si a = 55  MCD(55;8575) = 5  MCD(56;8575) = 7. No cumple
Si a = 56  MCD(56;8575) = 7  MCD(57;8575) = 1. No cumple
Si a = 57  MCD(57;8575) = 1  MCD(58;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 58  MCD(58;8575) = 1  MCD(59;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 59  MCD(59;8575) = 1  MCD(60;8575) = 5. No cumple
Si a = 60  MCD(60;8575) = 5  MCD(61;8575) = 1. No cumple
Si a = 61  MCD(61;8575) = 1  MCD(62;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 62  MCD(62;8575) = 1  MCD(63;8575) = 7. No cumple
Si a = 63  MCD(63;8575) = 7  MCD(64;8575) = 1. No cumple
Si a = 64  MCD(64;8575) = 1  MCD(65;8575) = 5. No cumple
Si a = 65  MCD(65;8575) = 5  MCD(66;8575) = 1. No cumple
Si a = 66  MCD(66;8575) = 1  MCD(67;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 67  MCD(67;8575) = 1  MCD(68;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 68  MCD(68;8575) = 1  MCD(69;8575) = 1. Sí cumple
Si a = 69  MCD(69;8575) = 1  MCD(70;8575) = 35. No cumple
Si a = 70  MCD(70;8575) = 35  MCD(71;8575) = 1. No cumple
⁝
⁝
⁝
⁝
Si a = 8575  MCD(8575;8575) = 8575  MCD(8576;8575) = 1.
Es múltiplo de 5 y 7
Es múltiplo de 5 y 7
Es múltiplo de 5 y 7
Es múltiplo de 5 y 7
No cumple
Vamos hallar todos los números que no cumplen con dicha condición:
 Hallando todos los múltiplos de 5 que están comprendidos entre 5 y 8575 (color
morado):
̇
5 ≤ 5 ≤ 8575
̇
1 ≤ 5 ≤ 1715
Del 1 al 8575 se pueden contar 1715 múltiplos de 5, pero como al anterior número
respecto al múltiplo de 5 se le suma 1, entonces también es múltiplo de 5, por tanto,
se podrán contar 21715 = 3430 números que no cumplen la condición.

Hallando todos los múltiplos de 7 que están comprendidos entre 7 y 8575 (color verde):
7 ≤ 7̇ ≤ 8575
1 ≤ 7̇ ≤ 1225
10
Del 1 al 8575 se pueden contar 1225 múltiplos de 7, pero como al anterior número
respecto al múltiplo de 7 se le suma 1, entonces también es múltiplo de 7, por tanto,
se podrán contar 21225 = 2450 números que no cumplen la condición.

Hallando todos los múltiplos de 35 que están comprendidos entre 35 y 8575:
̇
35 ≤ 35 ≤ 8575
̇
1 ≤ 35 ≤ 245
Del 1 al 8575 se pueden contar 245 múltiplos de 35, pero cada 35 números se
cuentan dos veces 4 números (color rojo), por tanto, se podrán contar 4245 = 980
números que no cumplen la condición y se han contado dos veces.
Calculando el total de números que no cumplen la condición:
Total = 3430 + 2450 – 980 = 4900
Calculando el total de números que cumplen la condición:
Total = 8575 – 4900 = 3675
RESPUESTA: 3675 números enteros positivos cumplen con la condición del problema.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
1
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
Segunda Fase – Nivel 3 – Solucionario.
1) Para el campeonato deportivo que organiza una institución educativa, quince costureras
elaboraron 300 polos en 4 horas de trabajo. ¿Cuántos polos pueden elaborar diez costureras
en 5 horas de trabajo?
SOLUCION:
Sea “x” el número de polos que pueden hacer las diez costureras en cinco horas de trabajo.
Para resolver el problema vamos utilizar el método de las rayas, porque se trata de una regla
de tres compuesta:
154x = 105300
𝑥=
10 × 5 × 300
15 × 4
x = 250
RESPUESTA: Diez costureras en cinco horas de trabajo pueden hacer 250 polos.
2) Una empresa vende frutas y verduras. Según los datos del mes pasado, del número total de
kilogramos vendidos, el n% corresponden a las frutas. Además, del número total de kilogramos
de fruta vendidos, el n% corresponden a manzanas. Determine el valor de n, si se sabe que
del número total de kilogramos vendidos, el 16% corresponden a manzanas.
SOLUCION:
Asignando las siguientes variables:
Cantidad de frutas en kilogramos = x.
Cantidad de verduras en kilogramos = y.
Cantidad de manzanas en kilogramos = m.
Total = x + y.
El número total de kilogramos vendidos, el n% corresponden a las frutas:
𝑥
𝑛% =
𝑥+𝑦
𝑛
𝑥
=
100 𝑥 + 𝑦
𝑥+𝑦 =
100𝑥
… (𝛼)
𝑛
El número total de kilogramos de fruta vendidos, el n% corresponden a manzanas:
𝑚
𝑛% =
𝑥
𝑛
𝑚
=
100 𝑥
𝑛𝑥
= 𝑚 … (𝜃)
100
2
El número total de kilogramos de fruta vendidos, el n% corresponden a manzanas:
𝑚
16% =
𝑥+𝑦
16
𝑚
=
100 𝑥 + 𝑦
𝑥+𝑦 =
100𝑚
… (𝛽)
16
Igualando ambas ecuaciones: () = ()
100𝑥 100𝑚
=
𝑛
16
16𝑥
=𝑚
𝑛
Igualando la ecuación anterior con la ecuación ()
16𝑥
=𝑚
𝑛
16𝑥
𝑛𝑥
=
𝑛
100
1600 = n2
40 = n
RESPUESTA: El valor de n es igual a 40.
3) La siguiente figura se hizo con 4 cubos de 1 cm de lado. Si la medida del segmento cuyos
extremos son los vértices A y B es √𝑛 cm, calcule el valor de n.
SOLUCION:
Cada cubo mide 1 cm:
Graficando el BCD que se encuentra en la base de los cubos en un plano horizontal:
3
Hallando la hipotenusa:
DB2 = 12 + 32
DB2 = 1 + 9
𝐷𝐵 = √10
Graficando el BDA que se encuentra en un plano vertical:
Hallando la hipotenusa:
𝐴𝐵2 = 22 + √10
AB2 = 4 + 10
𝐴𝐵 = √14
2
Según dato del problema: 𝐴𝐵 = √𝑛; pero hemos encontrado 𝐴𝐵 = √14. Por tanto, n = 14.
RESPUESTA: El valor de n es 14.
4) Los números enteros positivos a, b y c satisfacen las siguientes desigualdades:
a < 2b, b < 2c y c < 18.
Determine el mayor valor posible de a.
SOLUCION:
Según los datos del problema se tiene: a < 2b
También tenemos la expresión: b < 2c
A esta última expresión le vamos a multiplicar por 2 a cada miembro de la inecuación:
2b < 22c
2b < 4c
Asimismo, tenemos la expresión: c < 18
A esta última expresión le vamos a multiplicar por 4 a cada miembro de la inecuación:
4c < 418
4c < 72
De las tres inecuaciones: a < 2b; 2b < 4c y 4c < 72, podemos obtener: a < 2b < 4c < 72
4c representa el máximo múltiplo de 4 que sea menor que 72 y es el número 68.
2b representa el máximo múltiplo de 2 que sea menor que 68 y es el número 66.
a es menor que 66. Por tanto, para que a sea el mayor posible, a = 65.
RESPUESTA: El mayor valor posible de a es 65.
5) Un grupo de m + n personas está repartido en dos salones. En el primer salón hay m personas
cuyo promedio de edades es 24. En el segundo salón hay n personas cuyo promedio de
edades es 36. Una persona se trasladó del segundo salón al primero y al hacer esto sucedió
que cada uno de los dos salones aumentó su promedio de edades en 1. Determine el valor de
m + n.
SOLUCION:
Según datos del problema:
Total de personas: m + n.
4
Primer salón: m personas, promedio: ̅̅̅
𝑥1 = 24
𝑥1 =
̅̅̅
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑚
𝑚
24 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑚
𝑚
24m = x1 + x2 + x3 +…+ xm …()
Segundo salón: n personas, promedio: ̅̅̅
𝑥2 = 36
𝑥2 =
̅̅̅
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
36 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
36n = x1 + x2 + x3 +…+ xn …()
Una persona se trasladó del segundo salón al primero. Sea “z” la edad de esa persona, y
sucederá lo siguiente:
Primer salón: m + 1 personas, nuevo promedio: ̅̅̅
𝑥1 = 25
𝑥1 =
̅̅̅
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑚 + 𝑧
𝑚+1
25 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑚 + 𝑧
𝑚+1
25(m+1) = x1 + x2 + x3 +…+ xm + z
Reemplazando () en la ecuación anterior:
25(m+1) = (x1 + x2 + x3 +…+ xm) + z
25(m+1) = 24m + z
25m + 25 = 24m + z
m + 25 = z …()
Segundo salón: n – 1 personas, nuevo promedio: ̅̅̅
𝑥1 = 37
𝑥1 =
̅̅̅
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 − 𝑧
𝑛−1
37 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 − 𝑧
𝑛−1
37(n – 1) = x1 + x2 + x3 +…+ xn – z
Reemplazando () en la ecuación anterior:
37(n – 1) = (x1 + x2 + x3 +…+ xn) – z
37(n – 1) = 36n – z
37n – 37 = 36n – z
n – 37 = –z
z = 37 – n …()
Igualando ambas ecuaciones () = ():
m + 25 = 37 – n
5
m + n = 37 – 25
m + n = 12
RESPUESTA: El valor de m + n es 12.
6) La media de siete datos es 7 y se sabe que los cinco primeros datos son 1; 3; 5; 11 y 5. ¿Cuál
es el menor valor posible de la varianza de los siete datos?
Aclaración: Recuerde que la varianza de los datos x1; x2; ...; xn se define como la media de
los números (x1 – m)2; (x2 – m)2; ...; (xn – m)2, donde m es la media de los datos. Por ejemplo, la
(1−4)2 +(3−4)2 +(8−4)2
varianza de los tres datos 1; 3; 8 es
3
=
26
3
SOLUCION:
Sea “m” la media de los datos, entonces: m = 7. Asimismo, dato 6: x6 y dato 7: x7.
Utilizando la definición de la media se tiene:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7
𝑚=
7
7=
1 + 3 + 5 + 11 + 5 + 𝑥6 + 𝑥7
7
49 = 25 + x6 + x7
24 = x6 + x7
Utilizando la definición de varianza se tiene:
(1 − 7)2 + (3 − 7)2 + (5 − 7)2 + (11 − 7)2 + (5 − 7)2 + (𝑥6 − 7)2 + (𝑥7 − 7)2
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =
7
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =
(−6)2 + (−4)2 + (−2)2 + (4)2 + (−2)2 + (𝑥6 − 7)2 + (𝑥7 − 7)2
7
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =
36 + 16 + 4 + 16 + 4 + (𝑥6 − 7)2 + (𝑥7 − 7)2
7
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =
76 + (𝑥6 − 7)2 + (𝑥7 − 7)2
7
Para que la varianza sea la menor posible, la diferencia de los datos y la media tiene que ser
la menor posible, esto sucederá cuando ambos datos coincidan, es decir, x6 = 12, x7 = 12, ya
que su suma es igual a 24.
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎(𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑎) =
76 + (12 − 7)2 + (12 − 7)2
7
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎(𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑎) =
76 + (5)2 + (5)2
7
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎(𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑎) =
76 + 25 + 25 126
=
= 18
7
7
RESPUESTA: El menor valor posible de la varianza de los siete datos es 18.
7) Se escogen al azar dos caras distintas de un icosaedro regular (que tiene 20 caras que son
triángulos equiláteros). Sea p la probabilidad de que dichas caras sean disjuntas, es decir, que
60
no compartan un vértice o una arista. Calcule el valor de .
𝑝
6
Aclaración: Considere que todas las caras tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
SOLUCION:
En primer lugar, vamos a enumerar las caras de un icosaedro regular utilizando una plantilla:
Vamos a contar las caras disjuntas que están ubicados en el centro, es decir, las caras 6; 7; 8;
9; 10; 11; 12; 13; 14 y 15.
 Empecemos con la cara 8:
8y3
8y4
8y5
8 y 11
8 y 12
8 y 13
8 y 14
8 y 15
8 y 19
8 y 20

Total 10
Ahora la cara 9:
7
9y6
9 y 16
9y4
9y5
9 y 12
9 y 13
9 y 14
9 y 15
9 y 19
9 y 20
Total 10
En consecuencia, lo mismo será para las caras del 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14 y 15.
Entonces, en total se tiene: 10(10) = 100 de dos caras disjuntas.
Cabe mencionar que no entran al conteo las caras 1; 2; 3; 4; 5; 16; 17; 18; 19 y 20 porque ya
se contaron al momento de contar las caras del centro.
Utilizando la regla de Laplace para hallar la probabilidad de obtener dos caras disjuntas del
icosaedro:
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑃(𝐴) =
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑃(2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠) =
100
𝐶 20
2
𝑃(2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠) =
100
20 × 19
1×2
𝑃(2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠) =
100
190
𝑃(2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠) =
10
19
Finalmente, hallando:
60
𝑃
60
𝑃(2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠)
60
1
10
19
60 × 19
10 × 1
619
114
RESPUESTA: El valor de
60
𝑃
es 114.
8
8) Sean x y y números reales positivos tales que x  y y además:
1
1
2
+
=
2
2
1+𝑥
1+𝑦
1 + 𝑥𝑦
Determine el menor valor posible de (1+2x2)(1+18y2).
SOLUCION:
Simplificando la ecuación planteada:
1
1
2
+
=
1 + 𝑥 2 1 + 𝑦 2 1 + 𝑥𝑦
1 + 𝑦2 + 1 + 𝑥2
2
=
(1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑦 2 ) 1 + 𝑥𝑦
(2 + x2 + y2)(1 + xy) = 2(1 + x2)(1 + y2)
2 + 2xy + x2 + x3y + y2 + xy3 = 2(1 + y2+ x2 + x2y2)
2 + 2xy + x2 + x3y + y2 + xy3 = 2 + 2y2+ 2x2 + 2x2y2
x3y + xy3 – 2x2y2 = x2+ y2 – 2xy
xy(x2 + y2 – 2xy) = (x2+ y2 – 2xy)
xy = 1
De la expresión anterior, se puede afirmar que el producto de dos números reales positivos es
igual a uno, para ello vamos a probar con los primeros números enteros positivos
reemplazando en: (1+2x2)(1+18y2).

Si: x = 2  y = ½, Reemplazando se tiene:
(1+2(2)2)(1+18(½)2)
(1+8)(1+9/2)
(9)(11/2)
99/2 = 49,5

Si: x = 3  y = 1/3, Reemplazando se tiene:
(1+2(3)2)(1+18(1/3)2)
(1+18)(1+2)
(19)(3)
27

Si: x = 4  y = ¼, Reemplazando se tiene:
(1+2(4)2)(1+18(1/4)2)
(1+32)(1+9/8)
(33)(17/8)
561/8 = 70,125
De los ejemplos presentados se puede concluir que a medida que los primeros factores crecen
(9; 19 y 33) los segundos factores se hacen más pequeños (11/2; 3 y 17/8); pero los productos
finales también crecen (49,5; 27 y 70;125), esto sucede porque los factores son diferentes,
entonces para que el producto sea el menor posible los factores tienen que ser iguales, es
decir:
1 + 2x2 = 1 + 18y2
2x2 = 18y2
x2 = 9y2
x = 3y
𝑥 =3×
1
𝑥
9
x2 = 3
𝑥 = √3 Por tanto 𝑦 =
1
√3
Reemplazando se tiene:
(1+2x2)(1+18y2)
1
2
2
(1 + 2(√3) ) (1 + 18 ( ) )
√3
1
(1 + 2 × 3) (1 + 18 × )
3
(7)(7)
49
RESPUESTA: El menor valor posible de (1+2x2)(1+18y2) es 49.
9) Cada casilla de un tablero de 88 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que cada
subtablero de 33 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
SOLUCION:
Encontrando una distribución de las casillas con las condiciones del problema:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
A
R
R
R
R
V
R
R
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
A
R
R
R
R
V
R
R
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
A
R
R
Donde:
A: Casilla de color azul.
V: Casilla de color verde.
R: Casilla de color rojo.
Casillas de color rojo: 6(8) + 2(3) = 48 + 6 = 54
RESPUESTA: Como máximo se pueden contar con 54 casillas de color rojo.
10) En la figura se muestra una recta L y dos puntos P y Q a un mismo lado de ella. Las distancias
de P y Q a L son 3 cm y 5 cm, respectivamente. La distancia entre los pies de las proyecciones
de P y Q sobre L es 4 cm.
10
Hay dos circunferencias tales que cada una pasa por los puntos P y Q, y es tangente a L. Calcule
la suma de los radios de esas dos circunferencias, en cm.
SOLUCION:
Vamos a trazar las dos circunferencias que pasen por los puntos P y Q y que sea tangente a
la recta L.
Vamos a trazar el segmento PQ y su prolongación hasta la recta L que corta en el punto B.
Por propiedad de las circunferencias secantes se tiene: “En dos circunferencias secantes el
segmento que une los centros es parte de la mediatriz de la cuerda común a las
circunferencias”.
El segmento O1O2 une los centros de las dos circunferencias, además PQO1O2, por lo que
PD = DQ.
Sea el punto A, vamos a trazar el segmento PE // L. Sea mPBA = , por ángulos
correspondientes mQPE = , PE = 4 cm.
11
Sea x = R1 + R2, también los puntos F y G. Vamos a trazar el segmento BC, donde BCL,
como el BCD es rectángulo, entonces mBCD = .
Por propiedad de las circunferencias secantes se tiene: “La recta que pasa por los puntos de
intersección de las circunferencias secantes, pasa por el punto medio del segmento cuyos
extremos son los puntos de tangencia”. Es decir, FB = BG, en consecuencia, BC es la
mediana del trapecio rectángulo O1O2GF, por tanto:
𝑅1 + 𝑅2
𝐵𝐶 =
2
𝑥
𝐵𝐶 =
2
Hallando PQ, utilizando el teorema de Pitágoras en el PEQ.
PQ2 = 22 + 42
PQ2 = 4 + 16
𝑃𝑄 = √20
𝑃𝑄 = 2√5
El punto D se encuentra en la mitad de la hipotenusa del PEQ.
12
PAB  PEQ por AA (Ángulo – ángulo) y hallamos BA
2
4
=
3 𝐵𝐴
2BA = 12
BA = 6
Hallando PB, utilizando el teorema de Pitágoras en el PBA.
PB2 = 32 + 62
PB2 = 9 + 36
𝑃𝐵 = √45
𝑃𝐵 = 3√5
BD = PB + PD = 3√5 + √5 = 4√5. Entonces, los lados del BCD serían:
Sen en el CBD
4√5
𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝑥 … (𝛼)
2
Sen en el PBA
3
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
… (𝛽)
3√5
() = ( )
4√5
3
𝑥 = 3√5
2
3𝑥
4√5 × 3√5 =
2
𝑥
4×5=
2
202 = x
40 = x
RESPUESTA: La suma de los radios de las dos circunferencias es 40 cm.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN