Principios de superposición

Óptica Física. Universidad de Murcia. Curso 05/06
Ginés Cervantes Linares
Principio de Superposición.
- Ondas Lineales: son aquellas en las que la perturbación en un punto es la suma de las perturbaciones en dicho
punto.
1.Óptica Lineal:
→
→
→
→
- El campo eléctrico en un punto es la suma de todos los campos eléctricos en ese punto. E = Σ E i y B = Σ Bi
- Sólo se cumple en el vacío, aunque no es válida en algunas condiciones muy especiales y potencias elevadas.
Para nosotros será válida en todos los medios.
2. Suma de Ondas:
⎫
⎫ → →
ϕ1
⎪
E1 = E 01 cos(wt + ϕ1 ) ⎪⎪ E1 = E 01 cos( w(t1 − w + ϕ1 ) ⎪
⎬
⎬ Así ponemos todo el desfase en la segunda
→
→
⎪ → →
⎪
ϕ
E 2 = E 02 cos(wt + ϕ 2 )⎪⎭ E 2 = E 02 cos( w(t1 − 1 + ϕ 2 )⎪
w
⎭
componente.
⎫ → →
⎫
→
→
⎪⎪ E1 = E 01 cos( wt1 + ϕ )⎪⎪
E1 = E 01 cos( wt1 )
⎬
⎬ Se puede cambiar de ecuación el desfase .
→
→
⎪ → →
⎪
E 2 = E 02 cos( wt + ϕ )⎪⎭ E 2 = E 02 cos( wt ) ⎪⎭
3. Casos particulares:
a) Suma de 2 ondas de igual frecuencia, y dirección y campos eléctricos perpendiculares. Esta
superposición va a dar origen al concepto de POLARIZACIÓN.
→
→
⎫ → → ∧
E1 = E 01 cos( wt + k s r + ϕ1 ) ⎪⎪ E1 = E 01 i cos( wt )
⎬
→
→
∧→
⎪ → → ∧
E 2 = E 02 cos( wt + k s r + ϕ 2 ) ⎪⎭ E 2 = E 02 j cos( wt + ϕ
Para diferentes intervalos de tiempo vemos lo que pasa:
→
→
∧→
⎫
∧
⎪⎪ Tienen el mismo s y el campo eléctrico es
⎬ perpendicular a las 2 ondas.
⎪
) ⎪⎭
⎫ E1 onda tiene su radio máximo.
- wt=0 → E1 = E 01
⎬
E 2 = E 02 cos ϕ ⎭
π
⎫
− ϕ )⎪
⎪
2
⎬
π
E 2 = E 02 cos( ) ⎪⎪
2
⎭
π
⎫
E1 = E 01 cos( )
⎪⎪ Vemos que el vector campo eléctrico va describiendo una Elipse.
- wt= π/2 →
2
⎬
π
E 2 = E 02 cos( + ϕ ) ⎪⎪
2
⎭
- wt=π/2-φ→
E1 = E 01 cos(
⎧ E = E 01 cos wt ⎫
a.1) Si ϕ = 0⎨ 1
⎬ Hay Polarización Lineal
⎩ E 2 = E 02 cos wt ⎭
π
a.2) Si ϕ = ⇒ {E 01 = E 02 } Hay Polarización Circular
2
a.3) Cualquier otro caso conlleva una polarización elíptica, siempre y cuando haya superposición de 2 ondas.
a.4) Si se superponen infinitas ondas y no se sabe hacia donde va a apuntar el campo eléctrico, a esto lo
llamamos luz natural.
1
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Ginés Cervantes Linares
∧
b) Suma de 2 ondas de igual frecuencia y campos eléctricos paralelos. No necesariamente la misma s .
Esto da origen al concepto de INTERFERENCIA.
⎫ Si tienen la misma frecuencia van a tener el
⎫ → → ∧
→
→
∧
∧ →
⎪⎪ mismo número de onda.
E1 = E 01 i cos( wt + k s1 r + ϕ 1 ) ⎪⎪ E1 = E 01 i cos( wt )
⎬
⎬
→
→
∧
∧ →
⎪
⎪ → → ∧
E 2 = E 02 i cos( wt + k s 2 r + ϕ 2 ) ⎪⎭ E 2 = E 02 i cos( wt + ϕ ) ⎪⎭
⎫
⎪⎪
E1 = E1 + E 2 = ( E 01 cos( wt ) + E 02 cos( wt + ϕ ) i = E 0 cos( wt + ϕ 0 ) i ⎬
⎪
⎪⎭
→
→
→
→
∧
∧
- La amplitud depende del desfase entre ellas
- La intensidad es proporcional al coseno de φ
⎫
E 1 = E 0 i cos( w1 t + k 1 s1 r ) ⎪⎪
⎬
→
→ ∧
∧ → ⎪
E 2 = E 0 i cos( w1 t + k 2 s r ) ⎪⎭
→
→
∧
∧ →
⎫
A− B
A+ B ⎪
cos
E = E1 + E 2 = ( E 0 (cos(w1t − k1 s r ) + cos(w2 t − k 2 s r ) = usamos → cos A + cos B = 2 cos
⎪
2
2 ⎪
⎬
⎪
_
_ ∧ →
_
_
_ ∧ →
→
→
⎛ ∆w ∆k ∧ → ⎞
k1 − k 2 ∧ → ⎞
⎛ w1 − w2
E = 2 E 0 cos⎜
t−
s r ⎟ = 2 E0 cos⎜⎜
s r ⎟⎟ cos(w t − k s r ) = E 0 (t , r ) cos(w t − k s r )⎪⎪
−
2
2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
⎭
→
→
→
→
∧ →
∧ →
c) Suma de 2 ondas de igual dirección, campos eléctricos paralelos y distinta frecuencia.
- Como las 2 ondas están en fase: ϕ1 + ϕ 2 = 0
- Como las amplitudes son iguales: E 01 = E 02
_ ∧ →
∆wt Ak ∧ →
∆wt
E 0 = 2 E0 cos(
s r) ⇒
−
−
2
2
2
- Velocidades de las ondas:
w ⎫
v1 = 1 ⎪
k1 ⎪
w1 − w2 v1k1 − v 2 k 2 ⎫
=
⎬v g =
⎬
w2 ⎪
k1 − k 2
k1 − k 2 ⎭
v2 =
k 2 ⎪⎭
_
_
_ ∧
→
→
_
dr∧
w
s=v= _
- Velocidad de Fase: ( w t − k s r ) = cte ⇒ diferenciando ⇒ w dt − k s d r = 0 ⇒
dt
k
- Velocidad de la modulación de la amplitud: velocidad de grupo.
_
→
Ak ∧ →
dr∧
∆w
s r = cte ↓⇒
s = vg =
dt
2
∆k
- Si el medio es no dispersivo, entonces v1=v2=v → vg=v
- Si el medio es dispersivo entonces vg≠v
- Para muchas ondas (es decir, paquetes de ondas).
_
- v=
w
_
k
- vg =
dw
dv
= v−λ
dk
dλ
2
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Ginés Cervantes Linares
d) No cumplimiento del principio de superposición: Óptica no-lineal.
- El principio de superposición no siempre se cumple, sólo se cumple en el vacío. Aunque se aproxima mucho a
casi todos los materiales.
- La óptica no-lineal es en la que no se cumple el principio de superposición.
→
→
→
⎫
E = E1 + E 2
⎪ Este producto no es lineal porque aparecen potencias.
→
→
→
→
→ ⎬
Ahora : E = E 1 + E 2 + E 1 (α 12 ) E 2 ⎪⎭
E = E 1 + E 2 + α 12 E 1 E 2 + α 11 E12 + α 22 E 22
Entonces aparecen términos de este estilo: cos( w1t ) cos( w2 t ) =
1
1
cos(( w1 − w2 )t ) + cos(( w1 + w2 )t )
2
2
Al final hay 2 ondas:
Si las 2 ondas tienen la misma frecuencia, en el caso de la diferencia es
∗ w ⇒ w1 − w2 ⇒ OndasDifer encia ⎫ 0 y en el caso de la suma la frecuencia es doble, y a esto se le llama
⎬
∗ w ⇒ w1 + w2 ⇒ OndasSuma
⎭ duplicar la frecuencia.
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