Principios del curso de matemáticas

Politecnico di Torino – II Facoltà di Architettura
Corso di Istituzioni di Matematiche I
Esercizi sulle matrici, 1
1) Calcolare, quando possibile, i seguenti prodotti di matrici.

4
 3 
(1, 2, 0, −1) · 

−3
6

 

1
2
0
2 1
 0 1  ·  −1 −2 0 
3
1 −3
1 3

2 3
3 4
1 2
3 5
−1 −3
·
2
0
1 0
2 4
1 3 5
·
0 1 2



 
1 2
1 1 0
1 0 2
2 1
3 1 1  ·  2 1 2 
·  0 3
0 4
−2 1
−3 1 −1
3 1 −2

  
0 0 1
x
−4 3
2 2
0 1 0 · y 
·
4 −3
1 1
1 0 0
z

−4 3
·
3 −2
2) Date le matrici
A=
−1 2
3 4
,
B=
0 1
−2 0
,
C=
1 −3
2 1
a) verificare che A · (B · C) = (A · B) · C;
b) verificare che A · (B + C) = A · B + A · C;
c) calcolare A2 − B 2 e (A + B) · (A − B); sono uguali? Perchè?
3) Siano A una matrice di tipo m × n e C una matrice di tipo p × q. Dire di che tipo deve essere una matrice
B affinché sia possibile calcolare A · B · C. Dire di che tipo è A · B · C
β 2
1
4) Date le matrici A = (2, −1), B =
eC=
, dire per quali valori di β si ha A · B · C = 0.
1 4
7
x
1
1 1
tale che A · X = B.
, trovare una matrice X =
eB=
5) Date le matrici A =
y
4
1 −2
1 0
soddisfa l’equazione A2 = A.
6) Determinare il valore di k per cui la matrice A =
2 k


1 2 3
1
 −1 5 −1 3 
7) Data la matrice A = 
, scrivere i minori M11 , M23 , M33 , M42 .
4 3 2 −2
2 0 1
8
8) Calcolare i determinanti
1
1 2
,
3 4
−1
1 0 1
1 1 4,
1 2 9
a a −1 ,
1 −1 ,
1 1 2 3
1 1
4 5 6,
1 1
7 8 9
0 −1
9) Usando opportune proprietà dei determinanti, calcolare
1
4
3
3
2 2
1 1,
1 2 .
−3 2 2 3
1 −1 2 .
6 6 8
2 1 3
Risultati.
1)
4,


 
−5 3 −2
z
3 −3
1 3 5
1 0
0 0
,
,impos.,  2 5 1  ,impos.,
,
,y ;
7 −9
2 10 18
0 1
0 0
11 2 4
x
3) B é di tipo n × p e (A · B · C) risulta m × q;
4) β = 12;
2
;
5) X =
−1
6) k = 0
7)
M11
1
1 2 1
1 2 1 5 −1 3 3
1 = 3 2 −2 , M23 = 4 3 −2 , M33 = −1 5 3 , M42 = −1 −1 3 ;
4
2 0 8
2 0 8 0 1
2 −2 8 8) −2, 0, −2a, 0, 2, 0, 1;
9) −1.
Politecnico di Torino – II Facoltà di Architettura
Corso di Istituzioni di Matematiche I
Esercizi sulle matrici, 2
1) Trovare (quando ciò è possibile) le inverse delle matrici (controllare il risultato verificando che A·A −1 = I).
3 1
2 1
,
1 3
2 6
,
1 2
2 6


1 3
 4 −2  .
1 2
,
2) Trovare le inverse delle matrici (controllare il risultato verificando che A · A −1 = I).

a 0 0
0 b 0,
0 0 c

0 1
1 0

1 2 3
0 2 1.
0 0 3

,
3) Stabilire per quali valori dei parametri α, β, γ ∈ R le matrici


α 1 1
A =  1 α 1,
1 1 1

β
B =1
2

1
1,
1
1
β
1

γ
C = 1
0
1
γ
1

0
1
γ
risultano invertibili.


1
0
0
4) Sia A =  2
2 −9 . Dire per quali valori di λ ∈ R la matrice A − λI non è invertibile.
−1 −1 2
5) Date
A=
2 1
0 2
,
B=
−1 0
3 1
stabilire quali delle seguenti matrici, A + B, A − B, A + 4B, 2A − B, sono invertibili.
6) Date le matrici

1 k
A = 0 2
5 0

3
1 ,
0

1 0 2
B =  3 −1 0 
1 k 3
determinare il valore di k per cui det(A − B) = −6.
Risultati.
3
1 −1
, non invertibile,
1)
−1
−2 3

1
a
2)  0
0
3)
4)
5)
6)
0
1
b
0

0
0 ,
1
c
0 1
1 0
,

−1
1
2
1 −1
0 1
2
0 0
, non invertibile;
−2
3
−1
6
1
3

;
√
α 6= 1, β 6= 1, 2, γ 6= 0, ± 2;
λ = −1, 1, 5;
non invertibile, invertibile, invertibile, invertibile;
k = −3.
