1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDAD LA HORMIGA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS GRADOS: (8-5) FACTORIZACION DE POLINOMIOS Docente: Emma Enríquez López Email: emmaenriquez75@gmail.com Celular: 3162583632 ATENCION AL ESTUDIANTE: 7:00– 12:00 m y 2:00 – 5:00 pm PRESENTACIÓN ADAPTARSE A LOS CAMBIOS. VIVIR Y NO SOBREVIVIR. Continuamente pasamos por procesos de adaptación, los cambios en nuestro ciclo vital y el de las personas que nos rodean, ponen a prueba nuestras capacidades y ofrecen un valioso aprendizaje que proporciona las herramientas necesarias para buscar la funcionalidad diaria. “Valorar qué falla en mí y no únicamente en los demás facilitará una reflexión que conducirá hacia la acción y no la evitación”. “Revisar los recursos que ya poseemos y que utilizamos anteriormente, potenciará la capacidad de adaptación al medio y al entorno”. Cada vez que haya que hacer cambios, estos traerán nuevos conocimientos y experiencias, que nos ayudarán a crecer como personas, a ser más sabios y más fuertes. Pero hay que dejar que ese cambio nos inunde. Aspectos a tener en cuenta para su debida entrega En el tiempo designado por la Institución. Si usted cuenta con internet y computador favor organizar su trabajo en Word de manera organizada con Nombre, grado y enumeración de página en la parte superior y subirlos a la plataforma Si solo dispone de celular inteligente por favor tomar foto a sus evidencias, en lo posible que sean claras y solo de la solución de las actividades asignadas evitando transcribir la guía completa, y enviarlas a mi correo. 2 CLASE 1 FACTORIZACION Forme un rectángulo con las siguientes 8 figuras: ¿Cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo formado? Exprese su área. El área del cuadrado grande es 𝑥. 𝑥 = 𝑥 2 , el de cada uno de los 4 rectángulos es 𝑥. 1 = x y el de cada uno de los 3 cuadrados pequeños es 1 x 1 = 1. De la suma de todas estas áreas se forma el polinomio 𝑥 2 + 4x + 3. La suma de las áreas de las 8 figuras es igual al área del rectángulo formado por estas 8 figuras. Por lo tanto 𝑥 2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1). La igualdad 𝑥 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) representa al polinomio 𝑥 2 + 4x + 3 como el producto de (x + 3) y (x + 1). A (x + 3) y (x + 1) se les llama factores de 𝑥 2 + 4x + 3. Ejemplo: En 3xy; 3, 𝑥 y 𝑦 son factores. Como 𝑥 2 + x = x(x + 1); entonces x y (x + 1) son factores de 𝑥 2 + x. Factorizar es descomponer un polinomio como el producto de sus factores. La expresión 𝑥 2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1) se obtiene cambiando los lados de la expresión del desarrollo (x + 3)(x + 1) = 𝑥 2 + 4x + 3. CASOS DE FACTORIZACION 1. CASO: Factorización por factor común Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se les saca este factor común y se factoriza el polinomio aplicando la propiedad distributiva. 3 De la gráfica anterior se sabe que Ax + Ay = A(x + y) y el factor común de los términos es A ya que A es factor tanto de Ax como de Ay Ejemplo 1. 10ax + 5ay = 5.a.(2x + y) .......... 5 y a son los factores comunes Los términos que van en el paréntesis se encuentran dividiendo cada término entre el factor común, es decir, 10ax ÷ 5a = 2x; 5ay ÷ 5a = y Para factorizar hay que sacar todos los factores comunes de una sola vez. 10ax + 5ay = 5(2ax + ay) ó 10ax + 5ay = a(10x + 5y) no están completamente factorizados. Ejemplo 2 10ac - 2ad + 5bc - bd = (10ac - 2ad) + (5bc - bd) ……………Agrupar términos semejantes = 2a(5c – d) + b(5c – d)………………..Factorizar = (5c – d)(2ª + b)………………………..propiedad distributiva El procedimiento para factorizar polinomios como el anterior es: 1. Agrupar los términos que tengan un factor común 2. Factorizar esas agrupaciones y 3. Aplicar la propiedad distributiva. 2. Caso: Factorización por tanteo Vamos a usar el producto de dos binomios con un término común en dirección inversa. 𝒙𝟐 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Ejemplo 1 Factorice: 𝑥 2 + 5x + 6. Si 𝑥 2 + 5x + 6 es factorizable, el producto tendrá la forma (x + a) (x + b) Como (x + a) (x + b) = 𝑥 2 + (a + b)x + ab, entonces 𝑥 2 + 5x + 6 = 𝑥 2 + (a + b)x + ab, 4 por tanto al igualar el coeficiente del término de primer grado y el término constante queda que a + b = 5 y ab = 6 (es decir, necesitamos encontrar dos números cuya suma sea 5 y al mismo tiempo que el producto sea 6). Por tanto 𝑥 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). No se distingue (x + 2)(x + 3) de (x + 3)(x + 2) por lo que 𝑥 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ó 𝑥 2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). A este tipo de factorización se le llama factorización por tanteo . Para que un polinomio se pueda factorizar con este tipo de tanteo, éste debe cumplir dos condiciones: 1. El coeficiente del término cuadrático es 1. 2. La existencia de dos números que multiplicados sean igual al término constante y sumados sean igual al coeficiente del término de primer grado. Ejemplo 2 Factorice 𝑥 2 - 5x + 6 completando la tabla de la derecha. Por tanto 𝑥 2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) 5 Ejemplo 3 Factorice 𝑥 2 - 5x - 6 completando la tabla de la derecha. Por tanto 𝑥 2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1). CLASE 2 Caso 3: Factorización por trinomio cuadrado perfecto Vamos usar los productos notables de la guía de aprendizaje No. 3 en dirección inversa. 𝑥 2 + 2ax + a = (𝑥 + 𝑎)2 𝑥 2 - 2ax + a = (𝑥 − 𝑎)2 En ambos productos notables el término de primer grado (±2ax) es el doble de los productos de las raíces cuadradas de los otros dos términos (𝐱 𝟐 y 𝐚𝟐 que siempre son positivos) diferenciándose únicamente por el signo. Esas raíces son los términos del binomio de la derecha. 6 Equivalentemente en el desarrollo, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado es igual al término constante Ejemplo 1 Factorice: 𝑥 2 - 6x + 9 𝑥 2 - 6x + 9 = (𝑥 − 3)2 x 3 Raíces cuadradas A este tipo de factorización se le llama factorización por trinomio cuadrado perfecto Ejemplo 2 Factorice 9𝑥 2 - 30x + 25. 9𝑥 2 - 30x + 25 = (3𝑥)2 - 2 x 5 x (3x) + 52 = (3𝑥 − 5)2 Note que: √9𝑥 2 = 3x; √25 = 5; 2(3x)(5) = 30x 7 CLASE 3 Caso 4: Factorización por diferencia de cuadrados Vamos a usar el producto de la suma por la diferencia de un binomio en dirección inversa. 𝑥 2 - 𝑎2 = (x + a) (x - a) Una diferencia de cuadrados tiene como factores la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas. Ejemplo 1 𝑥 2 - 4 = (x +2) (x - 2) Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen como factores dos binomios, uno expresa la suma y el otro la resta de las raíces cuadradas de los término. Ejemplo 2 4𝑥 2 - 9𝑦 2 = (2𝑥)2 - (3𝑦)2 = (2x+3y)(2x-3y Caso 5: Factorización por tanteo con coeficiente principal distinto de 1 Vamos a usar el producto de binomios con coeficiente principal distinto de 1 en sentido inverso. 𝑎𝑐𝑥 2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d) Ejemplo 1 Factorice 2𝑥 2 - x – 3 Si 2𝑥 - x - 3 es factorizable se da que 2𝑥 2 - x - 3 = (ax + b) (cx + d) y 2𝑥 2 - x - 3 = ac𝑥 2 + (ad + bc)x + bd. De esto se deduce que ac = 2, bd = -3 y ad + bc = -1. 2 Para este caso los valores de a, b, c y d se encuentran siguiendo los pasos: 1. Encontrar a y c (números naturales) tal que ac = 2 2. Encontrar b y d (números enteros) tal que bd = -3 3. Con las parejas de 1y 2 encontrar a, b, c y d tal que ad + bc = -1 8 Los 4 números a probar se colocan así: Es igual a -1 como se quería, por tanto a = 1, b = 1, c = 2 y d = -3. Luego la factorización es 2𝑥 2 - x - 3 = (x + 1)(2x - 3). Ejemplo 2 Factorice 2𝑥 2 - xy - 3𝑦 2 . 2𝑥 2 - xy - 3𝑦 2 = (x + y) (2x - 3y) Caso 6: Factorización de un polinomio varias veces Vamos a utilizar el proceso de factorización varias veces en un polinomio. Ejemplo 1 Factorice 6a𝑥 2 + 10ax - 4a. 6a𝑥 2 + 10ax - 4a = 2a(3𝑥 2 + 5x - 2)………..Factor común = 2a(3x - 1)(x + 2)……… Tanteo con coeficiente principal distinto de 1 Ejemplo 2 Factorice 4𝑥 2 + 12xy + 9𝑦 2 – 49 4𝑥 2 + 12xy + 9𝑦 2 - 49 = (4𝑥 2 +12xy + 9𝑦 2 ) - 49 ...... Agrupación = (2𝑥 + 3𝑦)2 - 49 …………... Trinomio cuadrado perfecto = (2x + 3y + 7) (2x + 3y - 7) .. Diferencia de cuadrados 9 EVALUACION A. ¿Por qué razón no se considera 3𝑥 2 - 5x + 3𝑥 −1 - 5𝑥 −2 como un polinomio? B. Dé un ejemplo de un polinomio de dos variables y de grado 5. C. Calcule (𝑥 5 + 12𝑥 2 - 5x) ÷ (𝑥 2 - 2x + 5) y verifique el resultado empleando el valor numérico con x = 5. D. ¿Cuál es la diferencia entre el desarrollo de (𝑥 + 𝑎)2 y (𝑥 − 𝑎)2 ? E. ¿Cuáles son los 4 factores 2𝑥 4 – 32? F. 10 INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDAD LA HORMIGA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO LECTIVO 2020 SEMESTRE 1 AUTO EVALUACIÓN La autoevaluación es un proceso educativo, formativo y personal que promueve la reflexión autónoma, critica y responsable del estudiante en relación con su proceso de aprendizaje. Escribir frente a cada criterio un número entre 3.0 y 5.0 (utilice una cifra decimal) para evaluar su proceso de aprendizaje durante todo el primer semestre y luego obtenga el promedio final. COMPONENTE ACTITUDINAL Demuestro organización y responsabilidad en el desarrollo de mis actividades y las presento en el tiempo estipulado por la institución. Mantengo una actitud positiva, demuestro interés y compromiso con mi aprendizaje, buscando la asesoría del docente y otros recursos disponibles para aclarar mis dudas. COMPONENTE COGNITIVO Mi trabajo evidencia la apropiación del conocimiento y desarrollo de competencias matemáticas Comprendo claramente los procesos, métodos y los aplico en la resolución de problemas o situaciones matemáticas. COMPONENTE SOCIAL Busco diferente formas de comunicarme con mis compañeros para resolver dudas e inquietudes que surgen en la lectura de las guías de aprendizaje. Considero significativo el acompañamiento de mi familia para fortalecer mi proceso de aprendizaje. PROMEDIO El estudiante debe promediar las notas (sumar las notas y dividir entre seis) NOMBRE DEL ESTUDIANTE:__________________________________ GRADO:___________
