FOLLETO Ing. Zarate Fiuna

Folleto Física
Ing. Zarate
Remasterizado en el Cursillo Pi
Física
VECTORES
1. Determínese la fuerza resultante en el remache de la figura.
40 N
60 N
30°
60°
50 N
Rta.: 70,03 N ; 31,61°
2. En la figura ¿Qué fuerza F y que ángulo B se necesita para llevar directamente el automóvil hacia
el este con una fuerza resultante de 400 N?
F
37°
200 N
Rta.: 268,71 N ; 26,61°
3. Un aeropuerto trata de seguir una ruta oeste hacia un aeropuerto. La velocidad del aeroplano es
de 600
/ℎ. Si el viento tiene una velocidad de 40
/ℎ y sopla en la dirección suroeste de 30°
¿en qué dirección deberá orientarse la aeronave y cuál será su velocidad relativa con respecto al
suelo?
Rta.: 1,91° ; 634,31 km/h
4. Dos hombres y un muchacho desean empujar un fardo en la dirección marcada con en la figura.
Ambos hombres empujan con fuerzas
y
cuyos valores y sentidos están inclinados en la
figura. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho.
= 100
60°
30°
= 80
Rta.:
46,6 kgf
; 90°
1
5. Dos fuerzas
y
actúan sobre un cuerpo de modo que la fuerza resultante ,
tiene un valor igual a y es perpendicular a ella. Sea = = 10 kgf, encontrar el
valor y la dirección (con respecto a ) de la segunda fuerza .
Rta.: 14,14 kgf ; 45°
6. Un bote que estaba moviéndose a 10 / hacia el oeste cambia de dirección y se dirige hacia el
norte a 10 / . ¿Cuánto vale la magnitud y dirección del vector variación de velocidad?
Rta.: 14,14 m/s ; 45°
7. Si una persona que se movía hacia el oeste a una velocidad , siente un viento norte a una
velocidad , ¿Cuál es la dirección real del viento?
Rta.: 2 ⁄ v ; 45° NW desde el norte
8. La velocidad de un bote sobre agua tranquila es 5
/ℎ. Se desea cruzar un rio que corre a
3
/ℎ. ¿Cuál es la velocidad con que el bote cruza el rio?
Rta.: 5,83 km/h ; 59,04°
9. Un tren viaja a 40
/ℎ y desde él se dispara horizontalmente un rifle que forma un ángulo de
60° con el tren. La velocidad de la bala es de 1.400
/ℎ. ¿Cuál es el ángulo con que sale la bala?
Rta.: 58,60°
10. Un avión vuela a 400
/ℎ cuando no hay viento. Si el avión mantiene el rumbo norte, pero el
viento que sopla desde al oeste lo desvía 10° de su rumbo, calcular la velocidad del viento
reinante.
Rta.: 70,53 km/h
11. Dados dos vectores
de
y
determinar el ángulo que forman dichos vectores para que el módulo
+ sea igual al módulo de
Rta.: 90°
–
.
12. En el diagrama se representa el vector
+ = , hallar los valores de
y
.
y las componentes
Rta.: 4 i ; 3 j
2
y
. Sabiendo
que
13. ¿Pueden dar dos vectores A y B, de módulos 3 y 4 respectivamente, dar un vector
suma de módulo 5?
Rta.: 90°
14. Si A = 4i + 3j ; B = −2i + 6j , hallar: 3A, A + B , A – B , A.B , A × B , el versor en la dirección de
B , A × (A × B).
Rta.: 12 i +9j ; 2 i + 9j ; 6 i − 3j ; 10 ; 30k ; (−2i + 6j)/40
⁄
; 90 i – 120j
15. Una gota de lluvia cae con una velocidad formando un ángulo agudo
con un automóvil que
se desplaza horizontalmente hacia la derecha con una velocidad 2 . El chofer del automóvil ve
que las gotas de lluvia forman con la horizontal un ángulo agudo . Hallar dicho ángulo.
Rta.: arcsen(sen /(5 − 4 cos ) ⁄ )
16. Sobre un carrito que se desplaza horizontalmente hacia la derecha con velocidad se coloca un
tubo que está formando un ángulo
con la horizontal. ¿Cuál es el valor de
para que las gotas
de lluvia que caen verticalmente con una velocidad 3 , lleguen al fondo sin hacer contacto con
las paredes?
Rta.: 71,57°
17. Llueve y las gotas de lluvia forman un ángulo
con la vertical, al caer con una velocidad
constante de 10 / . Una mujer corre en contra de la lluvia con una velocidad de 8 / y ve
que la lluvia forma un ángulo con la vertical. Encontrar la relación entre los ángulos
y .
Rta.: tg = (10 sen + 8)/(10 cos )
18. Un helicóptero intenta aterrizar sobre la cubierta de un submarino que se dirige hacia el sur a
17 / . Existe una corriente de aire de 12 / hacia el oeste. Si a los ojos de la tripulación del
submarino, el helicóptero desciende verticalmente a 5 / , encontrar:
a. Su velocidad relativa al agua.
Rta.: 17 j – 5k
b. Su velocidad relativa al aire.
Rta.: −12 i + 17 j −5k
3
ESTÁTICA
1. Hallar las tensiones en todos los cables.
c)
b)
a)
45°
180cm
37°
120 cm
90 cm
90°
53°
W
W
W
Rta.: a) W ; 1,41W
b) 0,6 W ; 0,8 W ; 0 ; 0,6 W
c) 1,01 W ; 0,91 W
2. Hallar las tensiones en los cables y la reacción en el pivote sobre el puntal.
1.000 kgf
45°
30°
Rta.:
3.346 kgf
; 2732 kgf
3. Si la tensión en el cable utilizado no puede exceder 1.000 kgf ¿Cuál es la altura mínima por encima
de la viga a la cual se ha de sujetar la cuerda a la pared? En cuanto aumentaría la tensión en el
cable si se sujeta 10
por debajo de dicho punto? (El peso de la viga se considera despreciable)
ℎ
ℓ =60
W=500 kgf
Rta.: 0,35
; 1.300 kgf
4. Calcular el peso máximo que puede soportar la estructura si la tensión de la cuerda superior
puede resistir 1.000 kgf y la máxima comprensión que puede soportar el puntal es 2.000 kgf. La
cuerda vertical es la bastante fuerte como pasa poder resistir cualquier carga.
30°
45°
W
Rta.:
1.366,02 kgf
4
5. ¿Cómo podrían resolverse las estructura (a) y (b) sin el conocimiento de los
momentos? Datos: P; W; 1; 0
a)
b)
=0
F
ℓ
P
P
Rta.: W/tg
; 0,5(1 + 9tg
)
/
W
W/tg
6. El bloque de 100 kg descansa sobre una superficie no lisa y se trata de empujar hacia la derecha
tirando de una cuerda.
a) Si = 40° y
= 30 kgf, hallar la reacción del suelo contra el bloque y la fuerza de
rozamiento.
b) ¿Para qué valor de P comienza el bloque a deslizar cuando se aumenta gradualmente el valor
de la fuerza?
c) Con el bloque en movimiento existe algún valor de B para el ¿Cuál es la fuerza P necesaria para
mantener el movimiento es mínima?
P
W
Rta.: a) 791,02
; 225,22
b) 383,13
c) 14,04°
7. Un bloque que pesa 100 kgf se encuentra sobre un plano inclinado y está unido a un segundo
bloque suspendido de un peso mediante una cuerda que pasa por una polea lisa pequeña. El
confidente de rozamiento estático es 0,40 y el cinético 0,30.
a. Hállese el peso para el cual el bloque se mueve hacia abajo a velocidad constante.
b. Calcúlese el peso para el bloque se mueve hacia arriba a velocidad constante.
c. Para que valores de permanecerá el bloque en reposo.
100kgf
30°
Rta.: a) 235,29
b) 744,61
c) 150,52
5
≤
≤ 829,48
8. El bloque de peso W se desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano
inclinado cuya pendiente es 37° mientras la tabla también de peso W descansa
sobre la parte superior de . la tabla está unida mediante una cuerda el punto más alto del plano.
a. Dibujar el diagrama del cuerpo libre de .
b. Si el coeficiente de rozamiento cinético de todas las superficies es el mismo, determinar su
valor.
37°
Rta.: b) 0,25
9. Dos cuerpos idénticos
y
de peso , enlazados con un hilo pasado sobre la polea
están colocados sobre las caras
y
del prisma
. El coeficiente de rozamiento
estático entre los cuerpos y las caras del prisma es el mismo y es igual a los ángulos
y
son iguales a 45°.
Determinar la magnitud del ángulo de inclinación de la cara
respecto a la horizontal para
que la carga comience a descender. El rozamiento de la polea se desprecia.
45°
45°
Rta.: arctg
10. Una cuerda que se encuentra arrollada alrededor de un cilindro de radio
y peso W que se
mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de pendiente estando la cuerda horizontal.
Hállese:
a. La tensión en la cuerda.
b. La fuerza normal ejercida sobre el cilindro por el plano.
W
c. La fuerza de rozamiento ejercida sobre el cilindro por el plano.
d. Represéntese en un diagrama de dirección de la fuerza
resultante ejercida sobre el cilindro por el plano.
e. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático
entre el cilindro y el plano para el cual es posible el equilibrio?
Rta.: a) W tg
c) W tg
b) W
6
d) tg
11. Dos tableros de 1
y 1,6
están unidos entre sí. Sobre los planos se colocan dos
bloques de masas
y
. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético
entre las superficies y los cuerpos es 0,30 y el estático es 0,40 encontrar:
a. La relación entre
y
para que el conjunto se
mueva hacia la izquierda a velocidad constante.
b. Análogamente para derecha.
1
1,6
c. ¿Para qué intervalos de valores de
en función
el
sistema permanecerá en equilibrio?
Rta.: a) 1,23
b) 0,25
≤
c) 0,15
0,3
≤ 1,51
12. Hallar la tensión en el cable
y las componentes horizontales y verticales de la fuerza ejercida
sobre el puntal
por el perno :
a. Utilizando la primera y la segunda condición de equilibrio.
b. Utilizando la segunda condición de equilibrio.
c. Verificar que las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre el puntal en ,
y son
concurrentes.
90
90
30
20 kgf
Rta.: 245
13. Un disco circular de 30
de diámetro, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa
por su centro tiene arrollada una cuerda alrededor de su borde. La cuerda pasa por una polea sin
rozamiento en y está atada a un cuerpo que pesa 20 kgf. Una barra uniforme de 1,2 de
longitud está fija al disco con un extremo en el centro. El aparto se halla en equilibrio, con la
barra horizontal.
a. ¿Cuál es el peso de la barra?
b. ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio cuando se suspende un segundo peso de 2 kgf en el
extremo derecho de la barra?
120
2 kgf
20 kgf
Rta.: 49 N ; 56,25°
7
14. Dos escaleras de longitudes 6
y 4,6 , respectivamente están articuladas en el
punto y unidas por una cuerda horizontal situada a 90
por encima del suelo.
Sus pesos respectivos son 40 y 30 kgf y el centro de gravedad de cada uno se halla en su punto
medio. Si el suelo es liso, hállese:
a. La fuerza hacia arriba ejercida en el punto de apoyo década escalera.
b. La tensión de la cuerda.
c. Si se suspende ahora del punto una carga de 100 kgf. Hállese la tensión de la cuerda.
90°
Rta.: a) 319,48
; 366,52
b) 219,52
c) 846,72
15. La tabla es uniforme y pesa 20 kgf. Apoya en el punto sobre una muralla sin rozamiento y en el
punto . sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento estático es 0,50. En el extremo actúa
con una fuerza vertical
= 1 kgf.
a. Hacer el DCL de la tabla y calcular todas las fuerzas.
b. Hallar el máximo valor de .
6
=0
4
= 0,5
3
Rta.: a) 16,25 kgf ; 7,92 kgf ; 6,34 kgf
b) 7,12 kgf
16. La carga pesa 50 . Si = 2
a. Dibujar el DCL de la caja.
b. Calcular el valor de las fuerzas que actúan.
c. Si la fuerza crece ¿Qué sucederá primero, se
resbalara o volcara, girando sobre ?
60
50
50
=0
= 0,5
30
Rta.: b) 48,32
; 2,8
c) volcará,
8
= 3,75
40
17. Un bloque rectangular homogéneo de 60
de alto y 30
de ancho descansa
sobre una tabla
. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la tabla
es 0,40.
30
a. Represéntese en un diagrama la línea de acción de la fuerza
normal resultante ejercida sobre el bloque por la tabla
cuando = 15°.
b. Si se levanta lentamente el extremo de la tabla ¿Comenzara
60
el bloque a deslizar hacia abajo antes de volcar? Hallarse el
ángulo B para el cual comienza a deslizar o volcar.
c. ¿Cuál sería la respuesta a la parte b si el coeficiente de
rozamiento estático fuera 0,60? ¿y si fuera 0,50?
Rta.: b) desliza
c) vuelca; desliza y vuelca simultáneamente.
18. Calcular los valores máximos de
permanecen en equilibrio.
Rta.:
y
suponiendo que los tres ladrillos iguales de longitud
/4 ; 3 /4
19. La barra AB está apoyada sobre una superficie cilíndrica de radio R y coeficiente de rozamiento
estático 0,25 y unida al piso por un vínculo A sin rozamiento.
La barra pesa 40 N y se aplica en A una fuerza P.
2
Determinar si para P = 12 N, el sistema está en equilibrio. En
caso afirmativo determinar el valor y el sentido de las fuerzas
en el punto de contacto entre la barra y la superficie cilíndrica.
30°
Rta.: Si , 20
; 2,31
20. La barra AB de longitud L y peso W está sujeta por B por el cable ideal BC y apoyada en el piso en
A. Se le aplica una carga P.
a. Hacer el DCL e indicar el modulo, dirección y sentido de todas las
C
B
fuerzas que actúan. Considerar P = 0,7 w
b. Para P = 0,7 w determinar el mínimo valor de H para que se
L
P
mantenga en equilibrio.
c. Siendo = 0,40 ¿entre que valores puede variar P para que se
H
60°
mantenga en equilibrio?
A
L =2 ; w = 100 N ; H = 1,6
Rta.: a) 100
; 35,8
; 34,2
b) 0,34
9
c) 31,25
≤ 0 ≤ 146,02
21. El semicilindro macizo de radio 50
y 100 kg de masa, está apoyada en
plano horizontal ( = 0,30) y un plano inclinado 60° sin rozamiento.
a. Para = 30° hacer el DCL inclinado el modulo, dirección y sentido de todas las fuerzas.
b. Determinar el rango de valores de para los cuales el cuerpo está en equilibrio.
=0
60°
Rta.: a) 240,13 ; 859,93
b) 0 ≤
; 207,96
≤ 37,05°
22. ¿Entre que valores debe variar la fuerza aplicada en el punto , para que el sistema
permanezca en equilibrio? La masa
es esférica y la masa
es una polea cilíndrica.
Datos: 10
=6 .
= 30 g
0,1
0,8
0,3
= 0,6
53°
Rta.: 38,04
≤
≤ 197,8
23. En la estructura el bloque pesa 120 kg y la barra
pesa 98 . El coeficiente de rozamiento
entre el bloque y la superficie inclinada es
= 0,30.
El bloque pesa 30 kg.
a. Averiguar si el sistema se encuentra en
90°
equilibrio en la posición que se muestra.
b. ¿Entre que valores puede variar el peso de la
53°
2
barra sin que se altere el estado de equilibrio?
1
53°
Rta.: a) si
b) 1,9 kgf ≤
≤ 38,03 kgf
10
24. Calcular el máximo y el mínimo peso P necesario para mantener el equilibrio. El
peso A es de 100 kgf y Q es de 10 kgf. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A
y el plano es de 0,40
30°
Rta.: 254,99
≤
≤ 894,75
25. La escalera mostrada es uniforme y pesa 5 kgf por ella debe subir un hombre de 60 kgf de peso
¿Cuál es la máxima altura que puede alcanzar sin que la escalera resbale?
=0
1,2
0,8
= 0,4
0,6
Rta.: 0,64
26. Una grúa está formada por una barra uniforme de 6 de longitud y 100 kgf de peso asegurada
a un mástil vertical. En el extremo de la barra cuelga una masa de 400 kgf. Un cable se asegura a
una distancia de 1,50 del extremo libre de la barra y va hasta el mástil formando ángulos
cuyos valores se indican:
a. ¿Cuál es la tensión del cable?
b. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote sobre el
pie de la barra?
á
1,5
60°
60°
60°
6
Rta.:
a) 5880
b) 5092,23
; 1960
11
100
27. La escalera tipo tijera es de peso despreciable y descansa sobre un piso liso sin
rozamiento. Los lados
y
miden 2,40 cada uno y la cuerda
mide 0,30
y está situada a la mitad de la escalera. El hombre pesa 35
kgf.
a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la
escalera y calcular las intensidades de dichas fuerzas.
b. Dibujar por separado la rama
y hacer un diagrama de
85kgf
las fuerzas que actúan sobre esta rama.
1,80
c. Calcular la tensión de la cuerda
.
Rta.: a) 499,80
; 333,20
c)
235,6
28. En el grafico determinar cuál es la máxima fuerza que puede aplicarse para que el sistema esté
en equilibrio. El peso de la barra 20 kg, su longitud 2 , el ángulo que forma con la horizontal es
60° y el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es 0,20.
/4
Rta.: 30 kgf
29. Determinar el centro de gravedad de las figuras que se representan.
a)
b)
Y
45
40
20
35
45
Rta.: a) 63,07
x
30 15
; 50,23
;2
b) 2
12
30. Una placa de espesor uniforme está colocada encima de una mesa horizontal y
sometida a la acción de una fuerza horizontal = /4
12
a. Hallar el centro de gravedad de la placa.
b. Dibujar el DCL de la misma, indicando el valor y punto de
= /4
aplicación de todas las fuerzas.
15
c. Verificar si en estas condiciones es posible el equilibrio.
d. ¿Hasta qué altura con respecto al piso es posible aplicar
la misma carga horizontal P de modo que no se altere el
5
equilibrio?
5
= 0,4
W= peso de la placa
Rta.: a) 4,08
; 9,02
b) 0,4
;
c) no
d) 2,36
31. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento estático con las condiciones de que el cuerpo
de la figura deslice y vuelque al mismo tiempo.
ℎ
Rta.: 0,5
/ℎ
32. Dos cuerpos de peso
y
se cuelgan de cuerdas de pesos despreciables como se muestra en
la figura. Hallar el valor del peso
para que la cuerda
esté horizontal.
Rta.:
cotg
tg
33. Verificar si la barra homogénea de la figura se encuentra en equilibrio.
a. Si está en equilibrio: ¿Qué valor máximo puede tener una
fuerza aplicada verticalmente en el centro de gravedad de la
barra m dirigida hacia abajo sin que se rompa el equilibrio?
b. Si no está en equilibrio: ¿Cuál es el mínimo valor de para
mantener la barra en equilibrio? No existe rozamiento sobre la
barra.
= 100 kg ; m = 30 kg ; = 30° ; = 0,2 ; = 2
Rta.: no está equilibrado;
= 129,9( kg)
13
m
34. A partir de los datos que se muestran en la figura, deducir una fórmula que nos
permita calcular el ángulo ϕ con las siguientes condiciones:
a. El bloque
resbale sin volcar.
b. El bloque vuelque sin resbalar.
ℎ
Rta.: a) arctg
b) arctg ( ⁄ℎ)
35. Calcular las coordenadas del centro de masa de la placa homogénea indicada en la figura.
/2
/4
Rta.:
=0 ;
= /12
36. La rueda de radio
de la figura está por pasar un obstáculo de altura
= /2 con la ayuda de
una fuerza horizontal
aplicada en el centro de la rueda. Todas las superficies son lisas, sin
rozamiento.
a. Hacer un diagrama de todas las fuerzas que actúan
sobre la rueda.
b. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular las
fuerzas mencionadas en la pregunta a. en función
de la fuerza , el radio y la masa
de la rueda.
c. ¿Cuál es el mínimo valor de que posibilita que la
rueda se levante?
Rta.: b)
= 2 3 √3
;
=
− 1 3 √3 ; c) √3
37. Una barra prismática de longitud L cuelga desde ambos extremos, como se muestra en la figura.
Si se conoce que la tensión T < T , deducir una fórmula que nos permita ubicar el centro de
gravedad de la barra con respecto al punto A.
Rta.:
> 0,5
14
38. El bloque de masa = 25 kg que se muestra en la figura descansa en el punto D
sobre una tabla de masa = 10 kg y con un coeficiente de rozamiento estático
= 0,5. El ángulo que forma la barra con la horizontal es = 20°, la longitud de la tabla es
=1
y la longitud
es = 80
.
a. Verificar que el bloque de masa
se encuentra en equilibrio
sobre la tabla.
b. Demostrar que en las condiciones que se muestran en la figura
la tensión en la cuerda
no supera el valor máximo
admisible = 100 kgf, sin que esta se rompa.
c. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de para los cuales
el sistema que se muestra en la figura permanece en equilibrio
sin que la masa
resbale sobre la tabla o que la cuerda
se rompa?
Rta.:
c) 14.04° ≤
a) si
≤ 26,57°
39. Hallar el centro de gravedad de la plancha metálica uniforme y de pequeño espesor que se
muestra en la figura.
2
2
2
2
2
Rta.:
= 1,82
;
2
= 4,16
40. El cilindro de la figura de radio = 50
y peso W = 300 N ha sido fabricado de tal modo que
posee un orificio circular de radio = 35
. Siendo
el centro del cilindro y ′ el centro del
orificio y sabiendo que
y ′ están alineados horizontalmente, calcular:
a. El centro de gravedad en función de la distancia entre los
centros
′.
b. Todas las fuerzas que actúan si
=8
. Verificar si el
cilindro se encuentra en equilibrio.
′
=0
c. El intervalo de valores de
′ para que el cilindro
permanezca en equilibrio.
53,13°
= 0,20
Rta.: a)
= −0,96
′ ;
=0
b) 46,14
15
; 57,68
; 265,39
c) 0 ≤
≤ 9,06
41. Los cuerpos
= 300 kg ,
= 100 kg y
están dispuestos como se indica en
la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las
superficies es
= 0,30 , determinar entre que valores puede variar
para que el sistema
permanezca en equilibrio.
30°
60°
30°
Rta.: 138 kg ≤
≤ 337,9 kg
42. ¿Qué fuerza
aplicada horizontalmente en el eje de la rueda de la figura es necesaria para
levantar la rueda sobre el obstáculo de altura ?
(2 − )
Rta.:
⁄
/( − )
43. En la figura se observan cuatro ladrillos. Los ladrillos 1 y 3 tienen longitudes iguales a
(conocida) y los ladrillos 2 y 4 tienen longitudes iguales a (desconocida). Determinar el
intervalo de valores de para que el equilibrio se mantenga.
=
= ;
=
= /2.
1
4
2
3
/2
Rta.:
≤
≤3 2
44. En la estructura de la figura se desea aplicar una fuerza a fin de mantener el equilibrio. Dar el
valor del vector fuerza y su punto de aplicación. = 0,61 ; = 0,91 ; = 0,30 ;
= 89 ; = 44,5 ; = 22,2 .
Rta.: (22,2 + 133,5 ) ; 0,70
16
45. Hallar la resultante de los sistemas de fuerza que se muestran en las figuras I y II.
Si la resultante de la figura I se aplica en el punto de la figura II, hallar la fuerza que
has de aplicar en
para que la resultante del sistema sea cero.
5
2
2
4
60°
3
45°
5
8
13
I
Rta.: 16,93
;
71,15°
II
;
1
;
17,88
;
72,18°
46. Hallar el centro de masa de la figura.
10
20
20
Rta.:
= 15
;
20
= 17,5
47. La tabla de la figura pesa 20 kgf y descansa en reposo sobre un piso rugoso ( = 0,4) en A y
sobre una pared lisa en B.
F
a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la
B
tabla.
175 cm
b. Calcular las fuerzas desconocidas de la pregunta a
100 cm
sabiendo que = 2 kgf.
A
c. ¿Entre que limites puede variar
sin que la escalera
pierda su estado de equilibrio?
75 cm
c) 15,23
Rta.: b) no está en equilibrio
≤
≤ 98
, vertical para arriba.
48. En el sistema de la figura el bloque A tiene una masa de 10 kg y su coeficiente de rozamiento
estático con el plano inclinado es de 0,5. Calcular entre que valores (máximo y mínimo) puede
variar la masa de B para que el sistema permanezca en equilibrio.
45°
Rta.: 3,54 kg ≤
≤ 10,61 kg
17
49. La placa de la figura se halla suspendida por medio de dos cabos de acero. Calcular el
diámetro del orificio circular de modo que las tensiones en los cabos sean iguales. El
peso de la placa por unidad de área es .
20
10
50
30
35
35
35
Rta.: 11,29
50. La placa de la figura es homogénea, pesa 100 y tiene las dimensiones indicadas en
. Está
apoyada sobre una superficie que tiene un coeficiente de rozamiento estático es 0,5 y se la
aplica una fuerza horizontal = 45 en el extremo superior.
a. Para = 100
, ¿estará la placa en equilibrio?
b. Determinar el mínimo valor de que asegure que la placa permanezca en equilibrio.
50
150
50
Rta.: b) no está en equilibrio
c) 1,07
51. La cuerda
soporta una tensión máximo = 5/8 , y el hombre que la sostiene se desplaza
lentamente sobre el punto
, alejándose de punto y tensando la cuerda de tal manera que la
barra homogénea
, de peso , permanezca horizontal. En estas condiciones, hallar la máxima
distancia .
ℎ
Rta.:
3
4ℎ
18
52. Un disco uniforme, de radio , se halla situado en un plano vertical y pivotado sin
rozamiento en el punto , centro del disco. Posteriormente se practican en él dos
orificios iguales de radio , como se muestra en la figura. El disco adoptara una nueva posición de
equilibrio en la que el radio
formará con el eje un ángulo. Hallar dicho ángulo.
100°
3 /5
4 /5
Rta.:
49,66°
53. En la figura se representa una barra rígida de peso despreciable que lleva en sus extremos las
fuerzas indicadas. La posición de equilibrio queda caracterizada por los ángulos
y . Hallar
dichos ángulos.
=1 ;
= 1,5 ; = 143,13°.
80kgf
100 kgf
Rta.:
3,18° ; 33,69°
54. En la grúa mostrada en la figura se desea limitar la tensión en el cable
a un valor
. Para
ello se intercala en el cable elevador
, un tramo
que deberá romperse cuando la carga
levantada produzca en el cable
una tensión mayor o igual a
. Para que eso ocurra el
cable
debe romper a una tensión
ligeramente inferior. Hallar dicha tensión.
10
2
Rta.:
3
0,18
19
5
55. Las barras AB y BC, mostradas en la figura, son homogéneas y de pesos W y W .
Calcular la reacción horizontal en el apoyo A sobre la barra AB.
2
Rta.: 0,5 (
+
)
56. El coeficiente de rozamiento estático
entre el cuerpo y el es tal que el cuerpo
puede
volcar y deslizar al mismo tiempo bajo la acción de la fuerza . se desea que el cuerpo deslice
antes de que el cuerpo deslice o vuelque. Para que ello ocurra encontrar el coeficiente de
rozamiento estático entre y el piso.
ℎ
/ ((ℎ − )(
Rta.: 0,5
+
))
57. La barra
es homogénea y de peso . se pretende que la barra gire alrededor del punto
sin deslizar mediante la aplicación de una fuerza vertical . calcular la mínima fuerza
necesaria
y el coeficiente de rozamiento estático para lograr que la barra gire sin deslizar.
Rta.: 0,5
(1 − 2 ) ⁄
;
≥ tg
58. Los cuerpos
y
se hallan apoyados sobre una superficie horizontal y los coeficientes de
rozamiento estático entre ellos y la superficie son
y
respectivamente. Hallar la fuerza
necesaria para iniciar el movimiento.
Rta.: (
+
)
20
59. En el grafico existe rozamiento entre la pared y el bloque, en estas condiciones y
despreciando el peso de la barra AB, hallar las componentes de la reacción sobre el
pivote en A, AX y AY.
Rta.: 0,5
cotg
; 0,5
60. En la placa homogénea de la figura, calcular el ancho máximo
vuelque.
permitido para que el cuerpo no
ℎ/2
ℎ
Rta.: √2
61. El cuerpo homogéneo que se muestra en la figura está en equilibrio indiferente. Hallar la altura ℎ
ℎ
Rta.:
2⁄3
62. La placa homogénea
reacción en la cuerda
y
mostrada se halla suspendida inicialmente de tal modo que la
son iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.
ℎ/4
trozo a cortar
ℎ
Rta.: 3 16 ℎ
21
63. Despreciando el peso de las barras rígidas, hallar la tensión en la cuerda inextensible
que une a las dos poleas.
Rta.:
/( + )
64. La barra homogénea
, de peso
se halla en equilibrio como se muestra en la figura , pero
su extremo está a punto de deslizar sobre el riel horizontal
. Encontrar el valor del
coeficiente estático de rozamiento para que esto sea posible.
/2
Rta.: 0,5 cotg
65. En el sistema de la figura, la reacción vertical en
de la fuerza equilibrante aplicada en .
= W/2. Encontrar el valor y dirección
es
/4
Rta.: 0,5 (5 − 4 sen )
⁄
66. El coeficiente de rozamiento estático en el punto C es . Si la cuerda AB esta sobre la vertical,
hallar la fuerza de rozamiento en C.
A
B
θ
C
Rta.: 0
22
b
67. Dos bloques
y , de pesos
y
, se deslizan sobre la superficie de un lago
congelado con velocidad constante como se muestra. Calcular la fuerza ejercida por
el bloque sobre el .
Rta.: 0
68. La barra
de peso despreciable, se halla en equilibrio bajo la acción del par aplicado en
y
la tensión de los cables
y
. Un hombre de 80 kg camina a lo largo de la barra y llega hasta
sin que la barra pierda su horizontalidad. Encontrar el valor mínimo de
en kg para que esto
suceda.
8
2
Rta.: 400 kgf
69. Se tiene una barra homogénea de la forma indicada en la figura suspendida del punto . calcular
el ángulo necesario para que la barra este en equilibrio, sabiendo que su peso es .
Rta.: arctg(
/
)
70. El extremo inferior de un poste de altura
que pesa 500
descansa sobre una superficie
horizontal rugosa ( = 0,40). El extremo superior está sujeto por una cuerda atada a la
superficie y forma un ángulo de 36,9° con el poste. Se ejerce una
fuerza horizontal sobre el poste, como se indica en la figura.
a. Si la fuerza está aplicada en el punto medio del poste ¿Cuál es
el máximo valor que puede tener sin ocasionar el deslizamiento
36,9
del mismo?
b. Hallar la altura critica del punto de aplicación de la fuerza , para
la cual el poste no puede deslizar, independientemente del
valor de está.
Rta.: a) 857,14
b) 0,65
23
71. a. Verificar si el sistema de la figura está en equilibrio para la posición de la fuerza
horizontal = mg/3 indicada.
b. ¿Cuál es el valor mínimo de ℎ para que permanezca en equilibrio?
10
20
c. Si
crece gradualmente. ¿hasta qué valor puede aumentar sin que
se rompa el equilibrio? ¿Qué sucederá primero vuelca o desliza?
10
50
ℎ
Rta.: a) está en equilibrio
b) 58,65
c) desliza
10
72. Un cubo de arista
y peso 20 kgf se encuentra dispuesto como se indica en la figura. Sabiendo
que el coeficiente de rozamiento estático ( ) entre las superficies es de 0,20 , calcular el
intervalo de valores de para los cuales es posible el equilibrio.
Rta.: 33,69° ≤
≤ 45°
73. En el dispositivo de la figura la barra
de peso W = 15 kgf , sostiene contra la pared a un
cilindro de peso W = 5 kgf . Calcular:
a. Las reacciones en el apoyo .
b. La fuerza de rozamiento en el punto .
c. El valor, la dirección y el sentido de la fuerza entre los dos
cuerpos en el punto .
37°
Rta.: a) 24,54 kgf ; 25,99 kgf
b) 5,99 kgf
74. Siendo la longitud de la barra AB = 1 ,
para que el sistema esté en equilibrio.
c) 26,89 kgf ; 24,13°
= 167,5° ,
Rta.: 4
24
= 45° , hallar la longitud de la barra BC,
75. El automóvil de la figura, de peso W, avanza sobre un puente de longitud L. el puntal
CD soporta una carga máxima P. Hallar el mínimo valor admisible de P para que el
auto cruce el puente con seguridad.
Rta.: 0,5
(2 − )/
76. Las barras homogéneas AB y BC pesan W y W respectivamente. La barra BC se apoya en una
pared rugosa en C. Hallar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático .
0,6
Rta.:
tg /(
+
)
77. AC es una barra homogénea de peso W , y AD un cable que se rompe a una tensión T. Si la
barra se corre hacia la derecha 0,01 L , el cable se rompe y si la barra se corre 0,20 L hacia la
izquierda, la tensión en el cable es cero. Si la tensión de rotura del cable es T = 100 kgf , calcular
el peso de la barra.
Rta.: 1567 kgf
78. Calcular la condición para que el cuerpo mostrado en la figura vuelque antes de deslizar.
Rta.:
≤ ℎ tg
ℎ=
=
25
79. Se trata de extraer el -ésimo tablón de una pila. La máxima fuerza de tracción
soportada por los tablones es de 1.000 kgf, el coeficiente de rozamiento estático en
todas las superficies es
= 0,30 y el peso de cada tablón es W = 100 kgf . Encontrar el
máximo número de de tablones, por debajo de los cuales podrá extraerse un tablón.
tablones
Rta.: 16
80. La barra AB, de peso despreciable, se halla en equilibrio en la posición mostrada en la figura.
Hallar la relación entre los pesos W y W .
/4
/4
=3
Rta.:
81. Encontrar la relación máxima
/
para que el cuerpo de peso
permanezca en equilibrio.
/3
/2
Rta.:
=3
82. Hallar la altura máxima a la que puede aplicarse una fuerza que se muestra en la figura para que
el cuerpo no vuelque.
4 /5
ℎ
Rta.: 5 8
26
83. Las ruedas de la puerta que se muestra en la figura están herrumbradas y no giran.
El coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el riel es
= 0,5 y la puerta pesa
80 kgf. Si ninguna rueda debe separarse del riel, calcular el máximo valor posible de ℎ.
0.3
1.2
0.3
ℎ
F
Rta.: 1,2
84. Una caja de 110 kgf es empujada a velocidad constante por una fuerza horizontal como se
muestra. Hallar el valor de la fuerza .
34,11
Rta.: 730
85. Calcular la posición del centro de gravedad de la figura homogénea.
2
Rta.:
= − /3 ;
=0
86. El sistema formado por un semicilindro B de peso W y un cuerpo
de peso W se halla en
equilibrio en la posición mostrada en la figura. El cuerpo
está a punto de deslizar, pero no
ocurre lo mismo con el semicilindro . Calcular el ángulo
formado por el semicilindro
con
la horizontal.
Rta.: tg
27
87. Encontrar la posición del punto de aplicación y el sentido con relación a la
articulación
de una fuerza
= / , para que la barra
se encuentre en
equilibrio.
Rta.: na, vertical para arriba
88. El cable
soporta una tensión máxima
Encontrar el máximo valor posible de .
. Todas las barras tienen pesos despreciables.
3/4
Rta.: 1 3
( + )
89. La máxima tensión soportada por el cable
es y la máxima compresión soportada por la
barra
es , tales que = . Se cuelga un peso como se muestra en la figura y se la
incrementa gradualmente hasta alcanzar un valor
. Hallar el valor de para el cual fallará el
sistema.
Rta.:
tg
90. En el sistema mostrado en la figura, calcularla fuerza
resistencia mínima necesaria de la cuerda
.
Rta.:
+
+
;
+
28
necesaria para iniciar el movimiento y la
91. El sistema de la figura se abandona a sí mismo y el cuerpo vuelca sin deslizar ¿Cuál
es el valor del coeficiente de rozamiento estático ?
> tg
Rta.:
92. Una cadena flexible de peso W se cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura y sus
extremos forman un ángulo con la horizontal. Calcular la magnitud y el sentido de la fuerza
ejercida por la cadena sobre el gancho izquierdo.
Rta.: 0,5
/ sen
93. Dadas la fuerza
= (2i + 3j − 6k) N y el vector de posición = (3i − 2j + 4k) , del punto
de aplicación de dicha fuerza , hallar el momento de la fuerza , con respecto al origen de
coordenadas.
Rta.: (26 j + 13 k)
94. En el sistema de la figura, calcular la tensión de la cuerda
Rta.:
.
cos / sen( − )
95. La placa de la figura pesa 50 kgf y está suspendida mediante cabos de acero de igual sección.
Calcular el valor de para que las tensiones en los cabos sean iguales. R = 0,50 m
3
1,9
Rta.: 1,23
29
1,1
96. En la escalera tijera que se representa en la figura,
y
tienen 2,44
de largo y están articuladas en .
es una varilla de tirante de 0,76
de largo a la mitad de la altura. Un hombre que pesa 855 sube a 1,83
en la escalera. Suponiendo que el piso no tiene rozamiento y no tomando
en cuenta el peso de la escalera, encontrar la tensión en la varilla y las
fuerzas ejercidas por el piso sobre la escalera.
Rta.: 210,2
; 534,37
; 320,63
97. ¿Entre que limites debe variar una fuerza vertical aplicada en el extremo
de la barra
suponiendo que el sistema permanezca en equilibrio? La barra
es uniforme y pesa 9 kgf.
150
100
750
98. Una barra horizontal delgada
, de peso insignificante y longitud , está articulada en una
pared vertical en el punto y sostenida en el punto mediante un alambre delgado
que
forma un ángulo con la horizontal. Un peso puede ocupar
sobre la barra diversas posiciones definidas por la distancia a
la pared.
a. Encontrar la fuerza de tensión en el alambre delgado en
función de .
b. Encontrar las componentes horizontal y vertical de la fuerza
ejercida sobre la barra por el perno en .
Rta.:
/( sen ) ;
/( tg ) ; ( − )/
99. Un extremo de un poste que pesa descansa sobre una superficie horizontal rugosa con
coeficiente de rozamiento estático de 0,30. El extremo superior está sujeto por una cuerda atada
a la superficie y forma un ángulo de 37° con el poste. Se ejerce una fuerza horizontal
sobre el
poste, como se indica en la figura.
a. Si la fuerza está aplicada en el punto medio del
poste ¿Cuál es el máximo valor que puede tener sin
37°
ocasionar el deslizamiento del mismo?
b. Demuéstrese que si el punto de aplicación de la
fuerza está demasiado alto, el poste no puede
deslizar, independientemente del valor de esta. Hallar
la altura critica del punto de aplicación de la fuerza .
Rta.: a)
.5 7
30
100. Una caja de embalaje de 30 kg de masa debe moverse hacia la izquierda a lo largo
del piso sin voltearla. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la caja y el piso es 0,35,
determinar:
a. El máximo valor del ángulo .
b. La correspondiente tensión .
60
90
Rta.: a) 56,73°
b) 122,31
101. Una barra delgada
, de peso , es acoplada a dos bloques
y
que se mueven
libremente por las guías que se muestran en la figura. Los dos bloques se conectan entre sí
mediante una cuerda elástica que pasa por la polea . En esas condiciones, calcular el valor de la
tensión en la cuerda.
Rta.: 0,5
/(1 − tg )
102. Un bloque de masa
se encuentra en reposo sobre un canal en forma de escuadra como se
muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es
,
calcular su valor.
90°
Rta.: √2 tg
/2
31
103. Un disco homogéneo de peso W = 100 N y radio = 20
esta apoyado en dos
superficies en los puntos y según muestra la figura. Una fuerza horizontal de
intensidad = 10 N actúan sobre el disco a una ℎ del suelo. Se sabe que la fricción en el suelo
es despreciable y que el coeficiente de rozamiento estático entre el disco y la superficie vertical
es = 0,4.
a. Con ℎ = 18
, verificar el equilibrio del disco.
b. ¿Qué valores puede tomar ℎ sin que el equilibrio del disco se rompa?
c. Para cada valor de ℎ hallado en la parte anterior. ¿Existe un valor máximo de que
condicione el equilibrio del disco? Si existe ¿Cuál es? Fundamente su respuesta con fórmulas.
ℎ
=0
b) 12
Rta.: a) está en equilibrio
≤ ℎ ≤ 28
104. El sistema de la figura muestra un bloque de masa
sobre un cuerpo de forma angular de
masa
= 2 . Hallar el máximo valor de la fuerza
aplicada horizontalmente a la masa ,
cuando el sistema se mueve hacia la derecha con velocidad constante.
=4
=3
Rta.: 3
=
mg
105. Doblamos un alambre de sección constante por su punto medio, de manera que ambas mitades
formen un ángulo . Si colgamos el alambre de un extremo, calcular el valor de para que el
segmento libre quede horizontal en la posición de equilibrio.
Rta.: arccos(1/3)
106. Una varilla de vidrio de sección uniforme, de masa
y longitud 2 se apoya sobre el fondo y
borde de una capsula de porcelana de forma semiesférica de radio ( < 2 ).
Despreciando los rozamientos, hallar el ángulo
que formará la varilla con la horizontal en la
posición de equilibrio.
2
Rta.: arccos(( + (
+ 32
)
⁄
)/ (8 ))
32
107. El bloque de masa
= 2 kg que descansa sobre un plano inclinado, está sujeto
una cuerda ideal que pasa por una polea. Esta cuerda a su vez está sujeta a un
resorte vertical fijo al suelo. Los coeficientes de rozamiento son
= 0,3 y
= 0,4 y la
constante del resorte es ℓ = 100
y la de la cuerda es = 250 cm. Si se sujeta la masa
y se la mueve muy lentamente sobre el plano inclinado, determinar entre qué puntos del plano
se puede soltar la masa
con la condición de que permanezca en reposo luego de ser soltada.
ℎ
53°
Rta.: 54,39
≤
≤ 73,26
108. Sabiendo que el tablón de la figura es homogéneo y pesa 5 kgf.
a. Verificar si el tablón está en equilibrio en la posición que se muestra en la figura.
b. Calcular el valor de para el cual el tablón comienza a resbalar.
c. Suponiendo que el tablón inicia el movimiento a partir de la posición deducida en la pregunta
b, calcular la energía cinética con que el tablón llega al suelo.
= 3 ; = 60° ;
=
=0;
=
= 0,25.
=
=
Rta.: a) no está en equilibrio
b) 63,43°
109. Una viga uniforme de peso y longitud está inicialmente esta inicialmente en la posición
. Cuando se estira lentamente el cable sobre la polea , la viga se desliza sobre el piso y luego
se levanta, con el extremo
aun deslizando. Llamando
al coeficiente de rozamiento entre la
viga y el piso, calcular la distancia que se desplaza la viga antes de que empiece a levantarse.
= 0,4 ; = 10
Rta.: 6
33
110. En un cilindro, de peso
= 100
y radio
= 50
,se
enrolla un hilo, cuyo extremo se sujeta en el punto superior de
un poste, empotrado en un plano inclinado un ángulo
con
respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción entre el
cilindro y el plano inclinado es = 0,5.
Para
= 30° , verificar si el sistema se encuentra en equilibrio.
Calcular las reacciones en el empotramiento del poste.
¿Hasta qué ángulo máximo
el cilindro no se deslizara del
plano inclinado?
Rta.: está en equilibrio ; 45° ; 25
, 0 , 25
= 0,5
111. Encontrar el máximo peso sabiendo que la máxima tensión que puede soportar la cuerda
es . Despreciar el peso de la barra.
=
= 1/2.
60°
60°
90°
45°
Rta.: √6 /2
112. Sabiendo que tg
moverse.
Rta.: 0,5
(
= / , hallar la tensión
+ 2 )/(
+
)
de la cuerda
cuando el cuerpo está por
⁄
113. Dos esferas de radio
y peso
quedan en equilibrio en la posición indicada, de manera que
la línea que une sus centros forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcular las fuerzas que
ejercen las esferas en los apoyos , y .
30°
60°
Rta.: mg ; 1,5 mg ; √3 mg /2
34
114. Una barra ligera de longitud
se coloca entre el apoyo y la pared, como se
indica en la figura. Despreciando el rozamiento y el peso de la barra, determinar el
ángulo
para que la barra se encuentre en equilibrio.
=0
Rta.: arcsen( ⁄ )
⁄
115. Despreciando las masas de la tabla, de las cuerdas y de las poleas, determinar la fuerza
con
que debe estirar la cuerda una persona de masa
para mantener la plataforma en equilibrio.
Rta.:
g/4
116. Un tablón homogéneo de longitud
y peso
sobresale de la cubierta de un barco una
distancia /3 sobre el agua. Un pirata de peso 2
es obligado a caminar sobre el tablón.
Calcular la máxima distancia que podrá caminar sobre el tablón.
3/4
Rta.: 3 /4
117. Hallar la relación
Rta.: 3/2
/
para que la barra de longitud
permanezca en posición horizontal.
118. El sistema de la figura se encuentra en equilibrio, siendo los dos cubos de idéntica naturaleza y
de igual masa
. Si la esfera tiene masa
y radio , hallar el coeficiente de rozamiento
estático entre los cubos y la superficie horizontal.
Rta.: tg /(2 ⁄ + 1)
119. A una barra
de longitud y peso despreciable, se le aplica una fuerza longitudinal , como
se muestra en la figura. Determinar el valor de para que la barra esté a punto de deslizar.
Rta.:
− (1 + ) ⁄
35
CINEMÁTICA
1. Dos cuerpos indican una caída libre partiendo del reposo y desde la misma altura, con un intervalo
de tiempo de 1 ¿Cuándo tiempo después de que empieza a caer el primer cuerpo estarán estos
separados por una distancia de 10 ?
Rta.: 1,52
2. Un elevador abierto está ascendiendo con una velocidad constante de 32 pies/ . Cuando está a
una altura de 100 pies por encima del suelo, un niño lanza una pelota directamente hacia arriba.
La velocidad inicial de la pelota respecto al elevador es 64 pies/s:
a. ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la pelota?
b. ¿Cuánto tardara la pelota en volver a caer al elevador?
Rta.: a) 244 pie
b) 4
3. Se deja caer un balín de acero desde el tejado de un edificio. Un observador colocado frente a una
ventana de 122
de altura observa que el balín tarda 1/3 en caer desde la parte baja de la
ventana. El balín continua cayendo, sufre una colisión completamente elástica en el pavimento
horizontal y reaparece en la parte baja de la ventana 2 después de que pasó por allí en su
bajada. ¿Cuál es la altura del edificio?
Rta.: 20,74
4. El maquinista de un tren que se mueve con una velocidad de 15 / observa a otro tren de carga
que se encuentra adelantado una distancia d en la misma vía, moviéndose en la misma dirección
pero con una velocidad menor 5 / . Aplica los frenos y el tren adquiere una desaceleración
constante a 3 / . ¿Para qué valores de d no habrá colisión?
Rta.:
> ( − ) /2
5. La velocidad inicial de disparo de un arma es 30 m/s. Un hombre dispara un tiro cada segundo
hacia arriba en el aire, considerado sin rozamiento.
a. ¿Cuántos proyectiles existirán en el aire en cualquier momento?
b. ¿A qué alturas sobre el suelo se cruzaran las balas?
Rta.: a) 7
6. Dos móviles A y B corrían a 40 y 30 / respectivamente y frenaron al mismo tiempo. A se detuvo
en 5 mientras que B, en 6 (M.R.U.V)
a. Dibujar el grafico de V-t de los dos movimientos en uno solo.
b. Hallar la relación entre las aceleraciones de A y B.
c. Hallar las distancias que recorren A y B antes de detenerse después del frenado.
d. ¿A cuántos segundos después del frenado las velocidades de A y B se igualan?
Rta.:
b) 1,6
c) 100
, 90
d) 3,33
36
7. Sabiendo que los móviles se cruzan en el origen cuando = 0 . Calcular:
a. ¿En qué instante tienen la misma velocidad?
v( / )
b. ¿Cuál es la separación de los móviles cuando
tienen la misma velocidad?
5
c. ¿A qué distancia del origen se vuelven a cruzar?
d. La velocidad de cada móvil cuando se vuelven a
cruzar.
e. La aceleración de cada móvil cuando se vuelven a
cruzar.
5
( )
10
0
Rta.: a) 4,55
b) 11,36
c) 34,71
d) 5,64 / ; 0,64 /
e) 0,4
/
; −0,7
/
8. La posición de un automóvil en una carretera varía de acuerdo con el grafico de la figura. Construir
el grafico de − para ese automóvil.
(
)
80
40
0
0,5 1,0 1,5
2,0
(ℎ)
9. A partir de la figura construir el grafico de la aceleración en función al tiempo.
( / )
3
1
0
10
30
20
( )
10. A partir del grafico de la figura y sabiendo que cuando = 0 ;
=2
( / )
Calcular:
a. La aceleración, la velocidad y el desplazamiento con 9
respecto al origen cuando = 4 y cuando = 10 .
b. La aceleración media, la velocidad media y el
desplazamiento entre los instantes = 7 y = 11 . 4
0
/
y
=5
.
( )
5
8
12
11. Un globo asciende con una velocidad de 12 / hasta una altura de 80 sobre el suelo y
entonces se deja caer desde él, un paquete. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?
Rta.: 5,45
37
12. Un perro ve una maceta que pasa primero hacia arriba y después hacia abajo, frente
a una ventana de 1,5 de altura. Si el tiempo total en que la maceta está ante su
vista es de 1,0 encontrar la altura que alcanza la maceta por encima de la ventana.
Rta.: 0,015
13. Si un cuerpo recorre la mitad de su camino total en el último segundo de su caída a partir del
reposo, encontrar el tiempo y la altura de su caída.
Rta.: 3,41 ; 57
14. Un elevador asciende con una aceleración hacia arriba de 4 pies/ . En el instante en que su
velocidad es de 8 pies/s se cae un perno suelto desde el techo del elevador que está a 9 pies
sobre su piso. Calcular el tiempo en que el perno cae desde el techo hasta el piso del elevador, y
la distancia que cayó con relación al pozo del elevador.
Rta.: a) 0,71
b) 2,32 pie
15. Un paracaidista después de saltar del avión, desciende 50 sin fricción. Cuando abre el
paracaídas se retarda su caída a razón de 2 / alcanzado el suelo con una velocidad de 3 / .
a. ¿Cuánto tiempo está el paracaidista en el aire?
b. ¿Desde qué altura salto del avión?
Rta.: a) 17,34
b) 292,67
16. Se deja caer una piedra desde una ventana del último piso de un edificio y un segundo después
se lanza otra piedra verticalmente hacia abajo. La segunda piedra abandona la mano con una
velocidad de 20 / .
a. Despreciando la resistencia del aire, ¿Cuánto tiempo después de lanzada la primera piedra es
alcanzada por la segunda?
b. ¿A qué altura del suelo debe estar el lugar de lanzamiento con el fin de que ambas piedras
toquen el suelo al mismo tiempo?
Rta.: a) 1,48
b) 10,73
17. Demostrar que la distancia recorrida durante el enésimo segundo por un cuerpo que cae
verticalmente en el vacío a partir del reposo es d = n −
g
18. En el gráfico de la figura se representa la aceleración en función del tiempo, habiendo partido el
móvil del reposo. Hallar la velocidad del móvil en el sexto segundo, en / .
( / )
10
7
5
3
( )
4
Rta.: 38,5
/
38
8
10
19. La Tortuga y la Liebre se disponen a disputar una carrera. La Liebre puede correr de
cero a V (m/s) en t(s) y mantener luego esa velocidad; la Tortuga corre a V/n (m/s),
con velocidad constante. Si la carrera se corre sobre una distancia de d (m), calcular la máxima
ventaja que puede dar la Liebre a la Tortuga para no perder.
Rta.: (2 ( − 1) − )/2
20. Una persona sube por una escalera automática inmóvil en 90 s. Cuando permanece inmóvil sobre
la misma y ésta se mueve, llega hasta arriba en 60 s. Calcular el tiempo, en segundos, que
tardaría en subir si la escalera está en movimiento.
Rta.: 36
(
21. Sabiendo que los dos móviles cuyos diagramas de velocidad se
muestran en la figura, se cruzan en el origen en el instante
= 0, calcular la separación de los móviles cuando tienen la
misma velocidad y el tiempo que demoran en volver a cruzarse.
Rta.: 175
;
1
5
2
0
100
/ )
50
22. En la figura se representa la aceleración en función del tiempo para un móvil que parte del origen
con velocidad inicial nula. Calcular (usando el gráfico)
a. Su velocidad a los 1,5 .
b. El espacio recorrido en los primeros segundo.
c. ¿Para qué valor de su velocidad vuelve a ser cero?
d. ¿Para qué valor de está pasando de vuelta por el origen?
( / ^2)
3
2
( )
1
0
−1
1
2
3
4
−2
−3
Rta.: a) 4,5
/
b) 6
c) 4
d) no vuelve a pasar por el origen
23. En la figura se muestra la variación de la velocidad en función del tiempo para un móvil.
Sabiendo que la velocidad promedio del móvil durante los 20 segundos fue de 2,5 m/s, calcular la
velocidad media en los primeros 5 segundos.
( / )
4
( )
0
Rta.: 2
5
10
/
39
20
( )
( / ^2)
24. En el grafico se representa la aceleración en función del
tiempo de un móvil que parte del origen con velocidad 3
2
inicial nula. Hallar:
a. La velocidad para = 1,5 .
1
0
b. El espacio recorrido para = 2 .
−1
c. La velocidad para = 4 .
( )
1
2
3
4
−2
Rta.: a) 4,5
/
b) 6
−3
c) 0
25. Dos automóviles A y B se aproximan entre sí con velocidades constantes = 5 / y
= 10 / , sobre una pista recta. Cuando están a una distancia 1.500 , una mosca que se
hallaba sobre el parabrisas de los autos emprende el vuelo en línea recta hacia el otro auto a una
velocidad constante de 25 / ; al llegar al parabrisas del mismo invierte su vuelo y retorna hacia
el primero a la misma velocidad, repitiendo el ciclo y así sucesivamente. Calcular la distancia, en
, que la mosca habrá recorrido, al cruzarse los autos.
Rta.: 2500
26. Se deja caer una piedra desde la azotea de un edificio, cuando recorre la cuarta parte de la
distancia hasta una ventana que está 8 por debajo de la azotea, desde la ventana salta un
hombre. Calcular:
a. La distancia que el hombre estará por debajo de la ventana, cuando la piedra lo alcance.
b. La velocidad de la piedra, observada por el hombre en el instante del encuentro.
c. La velocidad de la piedra observada por el hombre en cualquier momento.
Rta.: a) 4,5
b) 6,26 /
c) 6,26 /
27. En el momento en que una partícula P pasa por el origen
con velocidad constante en la
dirección de las
positivas, un hombre cae libremente a partir del mismo origen. Al cabo de un
tiempo , hallar la velocidad de la partícula medida por el hombre.
Rta.: v + gt j
28. Un automovilista sube por una carretera de 1 km hasta la cima de una colina a 15 km/h y
desciende por la pendiente del otro lado con una velocidad tal que la velocidad media para todo
el trayecto es de 30 km/h. Si la longitud de la pendiente de bajada es también de 1 km, encontrar
la velocidad de bajada, en km/h.
1
1
3
Rta.: 30
/ℎ
40
29. Si dos autos marchan uno tras otro a velocidades constantes
= 90 km/h y
= 81 km/h y el primero puede frenar 2 veces más rápido que el segundo que lo
hace a 2 / . Calcular la mínima distancia a que debe mantenerse el segundo tras el primero, si
frenan al mismo tiempo.
Rta.: 48,44
30. Un hombre parte del reposo y corre hacia la derecha, acelerando a 0,2 / hasta llegar a los 10
, luego detiene su carrera en los siguientes 10
y corre hacia la izquierda durante 5 ,
deteniéndose 5 más tarde y reiniciando el ciclo al correr nuevamente hacia la derecha como al
principio. Al cabo de una hora de repetir el mismo ciclo ha recorrido 1.200 hacia la derecha.
Suponiendo que todas las aceleraciones son constantes, hallar el valor de su aceleración durante
los primeros 5 que corre hacia la izquierda.
Rta.: 0,4 /
31. Un móvil parte del punto A y acelera durante t segundos, después frena hasta llegar al punto B y
retorna a A con velocidad constante. Si la distancia entre los puntos A y B es d, hallar:
a. El desplazamiento.
b. El espacio recorrido.
32. La figura representa la v = f(t) de un móvil que se mueve en línea recta. ¿Cuál es el módulo de
su desplazamiento y el espacio recorrido entre = 0 y = 10 ?
v( / )
5
0
( )
8
4
10
−5
Rta.: 25
;
35
33. Un móvil viaja de
a con una velocidad
/ y de
a
con una velocidad
Sabiendo que la distancia
es igual a la
, hallar su velocidad media.
Rta.: 2 v v / (v + v )
34. Empleando el grafico, calcular el desplazamiento del móvil.
v( / )
8
= 10
= 10
0
6
18
41
24
30
42
( )
/ .
35. Un cuerpo efectúa un movimiento rectilíneo de acuerdo al siguiente gráfico, que
representa su posición en función del tiempo. Calcular el número de veces que la
velocidad instantánea se anula entre los instantes cero y 16 s.
(
)
( )
8
16
36. Un avión que vuela horizontalmente a 1.300 km/h, a una altura de 35 m del suelo, para evitar el
radar, se encuentra repentinamente con que el terreno sube con un ángulo de 4,3°. El piloto ha
de evitar que el avión toque el suelo elevándolo. Hallar el tiempo que dispone para hacer tal
maniobra.
37. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. Una persona que se encuentra
mirando por la ventana de un edificio ve pasar el objeto hacia arriba 6 después de su
lanzamiento y 4 más tarde lo ve pasar de hacia abajo. Calcular la altura máxima que alcanza
el objeto.
38. El grafico de la
= ( ).
=
( ) es el indicado en la figura. Trazar los gráficos de
(
/ℎ)
75
60
45
30
(
15
0
1
3
2
4
)
5
39. A partir del diagrama de velocidad tiempo de la figura, hallar:
a. Las aceleraciones para los diferentes tramos del movimiento.
b. Los espacios recorridos.
c. Hacer el diagrama espacio tiempo.
d. El espacio recorrido a los 35 .
( / )
15
10
0
20 30
42
60
( )
=
( ) y
40. En el gráfico
= ( ) de la figura, determinar el espacio recorrido antes
detenerse hacer los gráficos de
= ( ) y
= ( ).
2
0
2
3
41. Una cucaracha se mueve con una velocidad v de modulo constante, sigue la trayectoria
rectangular indicada en el gráfico. Calcular el módulo de la velocidad media de la cucaracha
cuando pasa del punto A al punto , moviéndose en el sentido de las manecillas del reloj.
Rta.: v (
+
)
⁄
/( + )
42. Un conejo corre hacia su madriguera con una velocidad V . Cuando se encuentra a una distancia
d de ella un perro situado a d/5 más atrás y en la misma dirección del movimiento del conejo,
sale en su persecución, recorriendo 9d/20 con una aceleración a y continuando luego con esa
velocidad constante. Hallar la relación d/Vc para que el conejo se salve.
2
0
Rta.: ( ⁄V ) < 11(10
)
⁄
2
3
4
/20
43. En la gráfica de la figura se representa
Suponer que para = 0 , x = 0.
=
( ). Hacer las demás gráficas de cinemática.
44. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una torre de 18 m de altura, con una
velocidad de 12 m/s.
a. Determinar las ecuaciones de la velocidad y altura de la pelota sobre el suelo como función
del tiempo.
b. Hacer las gráficas de v = f(t) y h =f(t), dando las coordenadas de por lo menos tres puntos
notables.
43
45. Dos móviles parten simultáneamente de dos puntos A y B distantes entre sí 20 km.
Se desea conocer:
a. La aceleración de cada móvil.
b. El tiempo que tardan en encontrarse.
Interpretar los resultados.
(
/ℎ)
80
( )
0
1
2
100
Rta.: a) 3,1 10
/
; 3,9 10
/
b) 0,2 ℎ ; 19,8 ℎ
46. Dos móviles y
se mueven a lo largo de una línea recta de acuerdo al diagrama de velocidad
tiempo de la figura. Sabiendo que ambos móviles están en el origen para = 0, hallar las
ecuaciones que definen aceleración, velocidad y posición en que ocurrirá este encuentro.
( / )
8
4
( )
0
5
8
47. El móvil
y el están en = 0 para
= 0. A partir del grafico
= ( ) de la figura,
dibujar el grafico
función de . Para ambos móviles deducir una fórmula que nos permita
calcular el tiempo en que volverán a encontrarse. Se considera dato todo lo que se muestra en la
figura.
0
44
48. Un móvil
recorre una semicircunferencia vertical de radio
con velocidad
tangencial de modulo constante . Determinar la velocidad media de la sombra
que proyecta el móvil sobre un diámetro horizontal al ir desde hasta .
Rta.:
2 v /π
49. Dos móviles que parten de
y
separados por una distancia , se mueven con velocidades
constantes
y . Sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido se encuentran a
/3 de
y si se mueven en sentidos opuestos tardan t minutos en encontrarse, encontrar las
velocidades
y .
Rta.: 10 / 3 ; 40 /3
50. Una partícula se mueve sobre sobre un cuadrado de 2
de lado con una rapidez constante de
2
/ , en el sentido de las manecillas del reloj. A su vez el cuadrado se mueve sobre el eje con
una rapidez constante de 2
/ , como se indica en la figura. Si el vértice inferior izquierdo del
cuadrado y la partícula cuando esta da una vuelta completa al cuadrado, para un observador
que se encuentra en un sistema de referencia inercial.
(
)
=0
>0
(
)
0
51. Dos móviles
y poseen los gráficos de posición en función del tiempo indicados. Determinar:
a. El tiempo de encuentro de ambos móviles.
b. ¿Cuál de los dos móviles es más rápido?
( )
20
10
( )
0
20
45
MOVIMIENTO PARABÓLICO
1. Calcular el ángulo de tiro para que el alcance sea igual al doble de la altura máxima alcanzada por
el proyectil.
Rta.: 63° 26’ 5,82”
2. Una pelota de futbol americano es pateada con una velocidad inicial de 19,6 / con un ángulo
de proyección de 45°. Un jugador en la línea de meta colocado a 54,7 de distancia en la
dirección por donde llega la pelota corre en ese mismo instante hacia la pelota ¿Cuál debe ser su
velocidad para que pueda alcanzar la pelota antes de esta caiga al suelo?
Rta.: 5,47 /
3. Desde un globo que asciende verticalmente, un hombre dispara dos flechas con un intervalo de
30 , apuntando horizontalmente y con la misma velocidad. La primera flecha tarda 4,73 en
clavarse en el suelo y la segunda tarda 5,92 .
a. ¿Con que velocidad constante asciende el globo?
b. ¿Con que velocidad fueron disparadas las flechas, sabiendo que caen en puntos separados
11,9 ?
c. ¿Con que ángulo se clavó cada flecha en el suelo?
Rta.: a) 2 /
b) 10 /
c) −77,29° ; −79,88°
4. Desde lo alto de una suave colina inclinada un ángulo de 37° se desliza un proyectil con una
velocidad = 350 / , haciendo blanco contra un objetivo situado abajo, a una distancia
inclinada de 14.182 . Calcular:
a. Los ángulos de tiros posibles respecto a la horizontal.
b. El tiempo de vuelo más corto posible.
c. La velocidad máxima alcanzada por el proyectil.
Rta.: a) 68,04° ; −15,11°
b) 33,52
c) 539,6 /
5. El avión que vuela a una altura de 300
y con una velocidad de 360
/ℎ desea hacer blanco
sobre el barco que viaja a 72
/ℎ. Si en el mismo instante en que el avión suelta la bomba el
barco dispara su cañón (cuyo proyectil sale con un ángulo de 60°). ¿Con que velocidad sale la bala
del cañón para hacer blanco en el avión?
360
/ℎ
300
72
60°
Rta.:
99,05
/
46
/ℎ
6. Un avión cae en picada con una cierta velocidad y formando un ángulo de 15° con la
horizontal. En el momento en que está a una altura de 800 deja caer una bomba.
Sabiendo que la bomba toca el suelo a una distancia horizontal de 2 km del punto de
lanzamiento, calcular.
a. La velocidad del avión en el momento de dejar caer la bomba.
b. El tiempo en que tarda en caer la bomba.
c. El vector velocidad de la bomba en el momento de tocar el suelo.
15°
800
2
Rta.:
/
a) 282,03
b) 7,34
c) 272,42 − 144,93 j
7. Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles, con una rapidez , directamente hacia
una colina cuyo ángulo de elevación es . ¿Cuál será el ángulo respecto a la horizontal al que
deberá apuntarse el cañón para obtener el mayor alcance posible a largo de la colina?
Rta.:
⁄4 + /2
8. Un basquetbolista lanza la pelota desde una altura de 1,80 con respecto al suelo y emboca en
el aro que está situado a una distancia horizontal de 4 y a una altura de 2,5 del suelo.
Suponiendo que la velocidad con que se lanzó la pelota formaba con la horizontal un ángulo de
70°. Calcular:
a. La velocidad con que se lanzó la pelota.
b. El ángulo respecto a la horizontal con que la pelota penetro en el aro.
c. La altura máxima que alcanzo la pelota.
d. El tiempo total que la pelota estuvo en el aire (desde que lanzo hasta que toco nuevamente el
suelo)
Rta.:
a) 8,07
/
b) 37,39°
c) 4,73
47
d) 1,76
9. Un hombre viaja sobre una plataforma que avanza con una velocidad de 30 pies/ y
desea lanza una pelota através de un aro fijo situado a 16 pies por encima de sus manos, de tal
modo que la pelota se mueva horizontalmente en el instante en que la atraviesa. Si lanza la
pelota con una velocidad de 40
/ respecto a él.
a. ¿Cuál debe ser la componente vertical de está?
b. ¿Cuántos segundos después de abandonada pasara la pelota sobre el aro?
c. ¿A qué distancia horizontal por delante del aro ha de lanzarse?
Rta.: a) 32 pie/
b) 1
c) 54 pie
10. Un avión que vuela horizontalmente a la altura de 1.000 a una velocidad de 600
/ℎ suelta
una bomba para abatir un tanque que se desplaza con una velocidad constante, en la misma
dirección y sentido. Si el tanque llega a desplazarse 60 antes del impacto. Calcular la velocidad
del tanque y el ángulo que la visual dirigida al tanque forma con la horizontal, inicialmente.
Rta.: 4,2 ⁄
; 23,32°
11. Un cañón lanza un proyectil por encima de una montaña de altura ℎ, de forma a pasar casi
tangencialmente a la cima en el punto más alto de su trayectoria. La distancia entre el cañón y
la cima es . Detrás de la montaña hay una depresión de profundidad . Determinar la distancia
horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto donde el proyectil alcanza el suelo en
función de , y ℎ.
Rta.:
1 + (ℎ + ⁄ℎ) ⁄
12. Dar la velocidad inicial del proyectil para que pase justo sobre el muro. Dar también la distancia
en que toca el suelo.
Rta.: ( (25 + 81 )/40 ) ⁄
; 9 /4
13. Una pelota se lanza directamente hacia una segunda pelota. Esta se abandona partiendo del
reposo en el mismo instante en que se lanza la primera. Suponiendo que el ángulo de tiro es 15° y
que = 5 . Donde chocaran ambas pelotas si la velocidad de salida de la primera es 20 / .
Rta.:
1,01
14. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de 53° con la horizontal y una
velocidad de 3 / . ¿Cuál deberá ser la distancia inicial desde el mortero al tanque en el
instante en que el mortero es disparado para hacer blanco?
Rta.: 382,46
48
15. Un jugador de tenis golpea a la pelota justo antes de que toque el suelo,
imprimiéndole una velocidad = 10 / y con un ángulo = 45° con respecto al
plano horizontal. La pelota pega en la red a una altura de 0,40 . ¿A qué distancia de la red
estaba el jugador?
Rta.: 0,42
; 9,79
16. Una flecha se dispara hacia una pared, que está a una distancia de 50,0 m con una velocidad
inicial que hace un ángulo de 45° con la horizontal. Pega con la pared a 35,0 m sobre el terreno.
Suponiendo que la flecha se disparó desde el nivel del terreno, y sin tomar en cuenta la fricción
del aire, determinar la velocidad inicial de la flecha.
Rta.: 40,41 /
17. Haciendo referencia a la figura, el proyectil se dispara con una velocidad inicial
= 30 / a
un ángulo
= 23°. La camioneta se mueve a lo largo de con una velocidad constante
= 15 / . En el instante que el proyectil se dispara, la parte trasera de la camioneta se
encuentra en = 45 .
a. Encuéntrese el tiempo necesario para que el proyectil pegue contra la parte trasera de la
camioneta, si la camioneta es muy alta.
b. ¿Cómo debe ser el disparo si la camioneta tiene únicamente 2 de alto?
Rta.: a) 2,614
b)
= 84,54
;
=2
18. Hallar el ángulo de disparo de un proyectil con la condición de que la altura máxima sea igual al
doble del alcance horizontal.
Rta.: 82° 52’ 30”
19. Dos proyectiles de masas diferentes son disparados horizontalmente con velocidades iniciales
diferentes desde una misma altura. Suponiendo que la superficie del terreno es perfectamente
plana, ¿Cuál proyectil emplea menos tiempo para llegar a tierra?
Rta.: los tiempos son iguales
20. Demostrar que en un movimiento parabólico para una velocidad de disparo
disparo
= 45 +
y
= 45 − , se tiene el mismo alcance horizontal.
y ángulo de
21. Un vehículo se mueve sobre una línea recta con velocidad v. Si desde un punto que se encuentra
a una distancia D de la recta, se desea disparar un proyectil que haga impacto en el mismo en el
menor tiempo posible, determinar:
a. ¿Cuál es el ángulo mínimo de disparo?
b. ¿Cuánto tiempo antes del impacto debe dispararse el proyectil?
c. ¿A qué distancia del punto de impacto se encuentra el vehículo en el momento del disparo?
49
22. Un hombre avanza parado encima de la plataforma de una camioneta que se mueve
a una velocidad de 36 km/h. desea embocar una pelota a través de un aro circular
que cuelga a 5 m por encima de sus manos, (El aro cuelga de tal manera que la superficie circular
es vertical y está de frente a la dirección del movimiento de la camioneta). Si lanza la pelota con
una rapidez de 12 m/s con respecto de si mismo de tal manera que al atravesar el aro la
velocidad de la misma sea horizontal:
a. ¿Cuál debe ser la componente vertical de la velocidad inicial de la pelota con respecto a la
tierra?
b. ¿Cuántos segundos después de haber sido lanzado pasara la pelota por el aro?
c. ¿Cuántos metros antes de pasar por debajo del arco debe el hombre lanzar la pelota?
23. El alcance de un proyectil es cuatro veces su altura máxima y permanece en el aire 2 s. ¿Cuáles
fueron su velocidad inicial y su ángulo de disparo?
Rta.: 13,86 / ; 45°
24. Un avión volando en picada a 30° por debajo de la horizontal y a una velocidad constante de
200
/ℎ suelta una bomba dirigida contra un objetivo en el suelo que se desplaza a una
velocidad de 80
/ℎ en sentido contrario al del
200 /ℎ
avión. Si el piloto del avión ve su blanco cuando éste
se encontraba a 2.800 de distancia en línea recta
30°
y su altímetro indicaba 1.200 , se pide:
a. Escribir las ecuaciones de los movimientos del
1200
avión, del blanco y de la bomba.
b. Calcular el tiempo que debe esperar el piloto
desde el instante en que vio el blanco, para tirar
la bomba y acertarlo.
Rta.:
b) 29,57
25. ¿Cuál es el alcance que puede tener el proyectil de la figura si sabemos que pasa rozando el
muro?
30
10
30°
Rta.:
70,98
26. Un jugador de futbol que chuta la pelota con una velocidad inicial
= 25 / acierta el
travesaño superior de la alambrada que está detrás del arco a una altura = 3,45 de altura. Si
el disparo se produjo desde una distancia horizontal
= 50 con respecto a la alambrada.
¿Cuál pudo ser el ángulo de disparo?
Rta.: 31,13° ; 62,81°
50
27. Encontrar el ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal es igual a la máxima
altura de un proyectil.
Rta.: 75° 57’ 50”
28. En un sistema de referencia
, dos proyectiles
y
son lanzados simultáneamente, el
primero desde el origen y el segundo desde un punto sobre el eje X que dista 150 m del origen. El
proyectil
es disparado con una velocidad de módulo 100 m/s que forma un ángulo de 60°
con el eje X y se encuentra con
después de un tiempo de 1,5 s en el aire.
a. Calcular la dirección y el módulo de la velocidad de lanzamiento de .
b. Determinar si el encuentro se produce en el trayecto ascendiente o descendente de los dos
proyectiles.
Rta.: a) 120° , 100 /
b) ascendente
29. El piloto de un avión que pierde altura, jala la palanca de emergencia, saliendo despedido con
una velocidad horizontal
con respecto al avión. En ese momento el avión se encontraba a
6.000 m de altura, sobre un terreno horizontal, a 10.500 m de un abismo y se movía con una
velocidad de 120 m/s con una inclinación de 7° con respecto de la horizontal, tal como se indica
en la figura. El piloto abre su paracaídas,
200
/ℎ
cierto tiempo después, justo cuando se
encontraba a 5.000 m de altura, retardando
7°
con ello su velocidad vertical y llega al suelo
en el momento que la componente vertical 500
de su velocidad se reduce a cero. ¿Cuál
10500
debe ser la velocidad
para que el piloto
caiga justo al borde del precipicio?
Rta.:
6,08
/
30. Un hombre apunta horizontalmente su rifle al centro del blanco y dispara. La bala pega a 2 cm
por debajo del centro. Si la velocidad del proyectil es 500 m/s, calcular la distancia desde la cual
disparó.
Rta.: 31,94
31. Un cañón antitanques está ubicado en el borde de una meseta a una altura de 60 m sobre la
llanura que la rodea. La cuadrilla del cañón. En el mismo instante la tripulación del tanque ve el
cañón y comienza a escapar en línea recta de
240 /
éste con una aceleración de 0,90 m/ . Si el
10°
cañón antitanque dispara un obús con una
velocidad de salida de 240 m/s y un ángulo de
elevación de 10° sobre la horizontal, ¿Cuánto
60
tiempo esperaran los operarios del cañón antes
de volver a disparar para darle al tanque?
2200
Rta.:
5,45
51
32. Se lanza un proyectil A con una velocidad inicial
y un ángulo
en el mismo
instante en que se lanza verticalmente un proyectil
con una velocidad a una
distancia horizontal . Calcular el valor de
y
de tal modo que
acierte a en el punto
más alto de su recorrido.
Rta.:
(
+
)
⁄
/
33. Un arquero parado en un terreno con inclinación ascendente constante de 30° apunta a un
blanco que está a 60 m más arriba en la ladera. La flecha en el arco y el centro del blanco están
ambos a 1,50 m sobre el suelo. La velocidad inicial de la flecha es de 32 m/s. ¿Con que ángulo
sobre la horizontal debe apuntar el arquero para dar en el blanco? ¿Cuánto tiempo tarda la flecha
en clavarse en el blanco?
Rta.: 49° 16’ 09” ; 70° 43’ 51” ; 2,49
; 4,92
34. Desde un punto A, ubicado a una distancia d de la base de un plano inclinado un ángulo con la
horizontal, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de goma perfectamente elástica.
Calcular la velocidad de lanzamiento de la pelota, para que la misma llegue justo a la base del
plano inclinado, después de chocar elásticamente con el plano.
Rta.: (
∕ sen ) ⁄ /2
35. Un niño andando en un skate con una velocidad v en un plano horizontal lanza para arriba una
bola con una velocidad inicial 2 , atrapándola de nuevo en su retorno. Calcular la distancia
horizontal que recorre la bola y determinar el tipo de trayectoria descripta para un sistema fijo al
niño.
Rta.: 4 /
36. Dos proyectiles y
se disparan desde un piso plano horizontal con velocidades de módulos
iguales. La velocidad inicial de hace un ángulo
con la horizontal, y
hace un ángulo
también con la horizontal. Si
<
< 90°, ¿Cuál de los proyectiles dura más tiempo en el aire,
cual alcanza mayor elevación, y cual viaja más lejos?
Rta.: proyectil
; proyectil
; indeterminado
52
MOVIMIENTO CIRCULAR
1. El cuerpo
se encuentra sostenida por los cables
de tensiones / ’ en el cable .
y . Si se corta el cable , hallar la relación
′
Rta.:
/ ’ = sec 0
2. Un cable de longitud tiene atada una masa en un extremo y una masa
en el otro. El cable
pasa por un tubo de vidrio vertical liso. Se hace girar la masa
alrededor del eje vertical del
tubo de tal manera que la masa permanece a una distancia b de la parte superior del mismo.
Determinar la velocidad angular necesaria y el ángulo resultante. >
Rta.:
arcsen( / ) ;
g/
( − )
⁄
3. Una curva circular de 500 de radio tiene un ángulo de peralte de 7,5°. Sabiendo que el
coeficiente de rozamiento estático entre el asfalto y las ruedas es 0,6, calcular las velocidades
con que se puede circular en dicha curva.
Rta.: 62,39 /
4. Un cubo muy pequeño de masa
se coloca en el interior de un embudo que gira en torno de un
eje vertical con ritmo constante de rev/s. La pared del embudo forma un ángulo respecto de
la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el embudo, y el cubo es y el centro del cubo
se encuentra a una distancia
del eje de rotación, determinar el valor máximo y mínimo de
para que el cubo no deslice.
Rta.:
g(sen
+
cos )⁄ (cos
− sen )
53
/
/(2 )
5. Un balde de agua está girando alrededor de un eje vertical, a una altura del suelo.
El cable que lo sostiene tiene una longitud y forma un ángulo
con la vertical. Si del fondo del
balde comienzan a caer gotas de agua, determinar el lugar geométrico que forman al llegar al
suelo.
Rta.:
( sen
( cos
+ 2ℎ)⁄cos )
⁄
6. Los bloques de masa = 500
se encuentran unidos mediante un resorte de constante
= 30 N/ , siendo su longitud sin deformación ℓ = 80
. Los bloques se sitúan sobre una
plataforma, girando con una velocidad angular constante = 3,5
/ .
a. Calcular la deformación del resorte para que no exista contacto entre bloques y topes
respectivamente.
b. Si la velocidad angular es de 4 rad/s, calcular las reacciones de los topes sobre los bloques.
c. En este último caso, ¿Cuánto vale la fuerza del resorte? Si a partir de aquí se aumenta la
velocidad angular, ¿Qué ocurre con la fuerza del resorte?
Rta.:
a) 0,09
b) 0,86
c) constante
7. ¿A cuántas revoluciones por segundo ha de girar el aparato de la figura alrededor de un eje
vertical para que la cuerda queda formando un ángulo de 45° con la vertical ¿Cuál es entonces la
tensión de la cuerda? = 20
;
= 10
;
= 200
Rta.:
1,01
54
8. Los bloques de masa
= 500
se encuentran unidos mediante un resorte de
constante = 10 N/m, siendo su longitud sin deformación ℓ = 90
. El sistema
está apoyado sobre un embudo que gira con una velocidad angular constante.
a. Calcular la velocidad angular para la cual no se produce deformación en el resorte.
b. Calcular la deformación del resorte cuando el sistema gira a 4 rad/s.
c. Si el resorte se alarga ℓ /4, calcular la velocidad angular necesaria para que esto ocurra.
45°
45°
Rta.:
a) 4,67
/
b)
0,22
5,04
;
/
9. Un bloque de 8 kg está unido a una barra vertical por medio de dos cuerdas. Si el sistema gira
alrededor del eje de la barra, las cuerdas están tensas como se indica en la figura. ¿Cuántas rpm
ha de dar el sistema para que la tensión en la cuerda superior sea de 15 kgf? ¿Cuál es entonces la
tensión en la cuerda inferior?
1,5
2,4
8
1,5
Rta.:
38,61
10. Una plataforma de fonógrafo gira a la velocidad constante de 78 rpm. Se encuentra que un
pequeño objeto, colocado sobre el disco, permanece en reposo con respecto a éste si su distancia
al centro es menor a 7,5
pero desliza si su distancia es mayor ¿Cuál es el coeficiente de
rozamiento entre el objeto y el disco?
Rta.: 0,5
11. Un disco de radio se halla girando en un plano vertical, con una velocidad angular constante ,
con una masa adherida a su periferia. Cuando
pasa por el punto más alto se desprende del
disco y sale disparada, pegando en una pared vertical como se muestra en la figura. Encontrar la
distancia a la que se halla ubicada de la pared.
Rta.:
2
( / )
⁄
55
12. Una masa de 1 kg gira en una circunferencia vertical, atada a una cuerda de 1 de
longitud que soporta una tensión máxima de 205,8 . Si la masa girara a rad/s
más la cuerda se rompería en el punto de tensión máxima y si girara a rad/s menos tendría la
velocidad crítica en el punto más alto de su recorrido. Calcular el valor de .
Rta.: 5,43
/
13. Un cubo muy pequeño de masa
= 1 kg se coloca en el interior de un embudo que gira con un
ritmo constante de (rev/s), como se muestra en la figura. La pared
del embudo forma un ángulo
= 30° con respecto de la
horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el embudo y el cubo
es = 0,5 y el centro del cubo se encuentra a una distancia
= 1 del eje de rotación, determinar los valores máximo y
mínimo de f para que el cubo no deslice.
Rta.:
0,61
;
0,122
14. El sistema de la figura está compuesto por una pesa de masa , que cuelga de la polea por
medio de una cuerda unida a otra polea móvil , y por un cuerpo de masa
= 2 kg que se
apoya sobre un plano inclinado = 53,13° y que está sujeto por otra cuerda que pasa por la
polea y se fija al muro
. Ambas poleas tienen masas y diámetros despreciables y el
coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo y el plano inclinado es 0,5.
a. Calcular la masa de la pesa y las tensiones en las cuerdas, con la condición de que el cuerpo
M esté a punto de subir el plano inclinado.
b. Si luego se levanta la pesa un ángulo en torno a la polea , en el plano
’ y se la deja
caer, calcular el nuevo ángulo , con el cual el cuerpo
está nuevamente a punto a deslizar.
′
Rta.:
a) 4,4 kg
b) 42,83°
15. Un hombre se encuentra inicialmente parado en el borde de un disco de radio
gira con una velocidad angular constante
= 1 rad/s, como se
muestra en la figura. Entonces salta fuera del disco, elevándose una
altura = 1,225
y con velocidad
igual a la mitad de su
velocidad . En estas condiciones, encontrar la distancia d, medida
desde el centro del disco, donde el hombre tocara suelo.
Rta.:
4,42
56
= 2,45 m, que
16. El sistema de la figura gira alrededor del eje
con una velocidad angular
constante . La esfera perforada de masa
se desliza sobre la varilla
sin rozamiento.
Calcular:
a. El vector aceleración de la esfera en un instante cualquiera.
b. ¿A qué distancia
la esfera se encuentra en reposo con respecto a la varilla?
Rta.:
b)
cos /( sen )
17. Dos bloques, que tienen pesos
= 16,1 kgf y
= 24,15 kgf y posiciones como se indican
en la figura, descansan sobre un marco que gira alrededor de un eje vertical con velocidad
angular constante. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el marco es de 0,20.
Despreciando el peso y la fricción de la polea, calcular:
a. ¿A cuántas rpm empezaran a deslizarse los bloques?
b. ¿Cuál es la tensión en la cuerda en ese instante?
45
Rta.:
a) 31,53
15
b) 111,9
18. En una estación espacial, para evitar la sensación de ingravidez a los astronautas, se la hace girar
como se muestra en la figura. Hallar el perímetro de giro
para que una persona sienta su
mismo peso que en la Tierra.
R
Rta.:
2
( ⁄ )
⁄
57
19. Hallar la relación entre las longitudes del horario y del segundero de un reloj para
que las velocidades lineales en sus extremos sean iguales.
Rta.: 720
20. En un tren con movimiento circular uniforme, de radio = 100 , se pesa con un dinamómetro
un cuerpo de masa
= 5 kg. Sabiendo que el módulo de la velocidad del tren es V = 25,75 m/s,
hallar la lectura del dinamómetro.
Rta.: 60
21. Un vehículo se mueve sobre una curva de radio
y ángulo de peralte ϕ, con la máxima
velocidad posible. Si del techo del mismo cuelga un péndulo que forma un ángulo con la
vertical, calcular su coeficiente de rozamiento.
Rta.: tg( − )
22. Un punto material recorre una trayectoria circular de radio 2 el grafico de la velocidad en
función del tiempo es dado abajo. Hallar la aceleración resultante del movimiento en el instante
= 1 .
v( / )
34
4
( )
6
Rta.:
40
/
23. Sobre la superficie completamente lisa del cono de revolución representando en la figura, que
gira con una velocidad angular ω, está dado el cuerpo A de masa
sujeto al vértice del cono
por un hilo inextensible y sin masa, de longitud L. Calcular la velocidad angular del cono para que
se anule su relación sobre el cuerpo A.
L
A
Rta.:
( ⁄ cos )
⁄
24. Un cuerpo describe una trayectoria circular con velocidad angular
= 2 rad/s constante,
ligado a un hilo de longitud
= 1 . Una hormiga sale en el instante t = 0 desde el origen
alcanzar el cuerpo.
Rta.: 100
25. Dos poleas de radios
y están acopladas entre sí por medio de una correa, como se muestra
en la figura. La polea mayor de radio , gira en torno de su eje
empleando un tiempo para completar una vuelta. Calcular el
módulo de la velocidad del punto P de la correa.
Rta.:
2
/
58
26. Una moneda es colocada sobre un plato de tocadiscos, que comienza a girar, cada
vez más rápidamente. Siendo , el coeficiente de rozamiento estático entre la
moneda y el plato; , la velocidad de la moneda y , la distancia de la moneda al eje de rotación;
hallar la velocidad cuando la moneda se escapa del plato.
Rta.:
(
)
⁄
27. Para que un automóvil recorra una curva horizontal de radio dado, en un camino horizontal, con
una cierta velocidad, el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la pista debe
tener un mínimo valor . Para que el automóvil recorra una curva horizontal, con el mismo radio
y con la misma velocidad por un camino con una sobreelevación, sin tener tendencia a deslizar, el
ángulo de sobreelevación debe tener un valor
con respecto a la horizontal. Hallar dicho
ángulo.
Rta.: arctg
28. Un ciclista corre sobre una pista circular, peraltada un ángulo
respecto a la horizontal,
describiendo su centro de gravedad una circunferencia de radio . Determinar su velocidad
angular , para que el plano de la bicicleta se mantenga perpendicular a la pista, sin que
vuelque.
Rta.: ( tg / ) ⁄
29. Una pista circular de alta velocidad tiene un diámetro de 500 y un ángulo de peralte de 30°. El
coeficiente de rozamiento estático entre el pavimento y las ruedas es 0,4. Calcular entre que
velocidades se puede conducir un coche por esa pista sin que el mismo resbale lateralmente ni
hacia el borde exterior ni hacia el borde interior.
Rta.: 18,79 ⁄ ≤
≤ 55,79 /
30. En una curva peraltada de radio 100 m, con un ángulo de peralte de 20°, se mueve un vehículo
que tiene un coeficiente de rozamiento estático de 0,25 entre sus neumáticos y la superficie
¿Cuáles son las velocidades máxima y mínima que puede tener el vehículo?
Rta.: 10,12 ⁄ ≤
≤ 25,72 /
31. Un bloque de masa está sujeto a una barra vertical mediante dos cuerdas. Cuando el sistema
gira alrededor del eje de la barra, las tensiones están entre sí como 4/3. Determinar la expresión
de la velocidad angular.
′
Rta.:
(14 / )
/
59
32. La figura muestra el corte transversal de un recipiente hemisférico hueco de radio ,
que está girando alrededor de un eje vertical con una velocidad angular . Dentro
del hemisferio se encuentra una pequeña esferita en reposo con respecto a dicho hemisferio.
Deducir la fórmula que permita calcular la coordenada angular que fija la posición de la esfera
para cada uno de los siguientes casos:
a. El rozamiento entre la esfera y el recipiente es despreciable;
b. El coeficiente de rozamiento estático es y
es máxima.
c. El coeficiente de rozamiento estático es y
es mínima.
33. Calcular el ángulo de peralte mínimo en una curva de una carretera conociendo el radio R de la
curva, el coeficiente de rozamiento máximo y la velocidad máxima permitida v.
Rta.: arctg((v −
)/( v +
))
34. Un cuerpo de masa
describe una circunferencia horizontal de radio = 3 m, alrededor de un
eje vertical, tal como se muestra en la figura, a una altura de 5,50 m del piso. Si el hilo se suelta y
se observa que el cuerpo cae a una distancia D = 8 m del eje vertical, hallar la frecuencia a la
que estaba girando y el ángulo que el hilo formaba con la vertical.
ℎ
Rta.:
0,37
;
58,85°
35. Deducir una fórmula que nos permita calcular la máxima velocidad v con que un automóvil
puede tomar una curva de una carretera con un radio R y un ángulo de peralte ϕ para que no
resbale lateralmente, suponiendo que se conoce el coeficiente de rozamiento estático entre
las ruedas y el pavimento.
(sen + cos )⁄cos − sen ) ⁄
Rta.: (
60
DINÁMICA
1. Calcular la aceleración del sistema y la tensión en cada cuerda. Despreciar rozamientos.
Rta.:
/(
+
+
) ;
/(
+
); (
+
+
) /(
+
+
)
2. Una plomada está suspendida del techo de un tren de ferrocarril fusionando como acelerómetro.
Deducir la formula general que relaciona la aceleración horizontal con el ángulo que forma la
plomada con la vertical.
Rta.:
tg
3. a. Analizar qué pasa cuando = 30 .
b. Calcular las aceleraciones de los cuerpos.
c. Calcular las tensiones de cuerdas.
d. ¿Qué fuerza mínima es necesaria para que ambos cuerpos se despeguen del suelo? Calcular las
nuevas aceleraciones.
F
10 kgf
Rta.:
b) en reposo, 4,9
/
;
10 kgf
c) 147
;
d) 784
, 0 29,4
/
4. Un mono de 10 kg está trepando por una cuerda sin masa amarrada por su extremo a una masa
de 15 kg, pasando la cuerda sobre la rama de un árbol sin rozamiento.
a. Explicar cómo tendría que subir el mono por el cable para levantar del suelo la masa de 15 kg.
b. Si después que la masa ha sido levantada del suelo, el mono deja de trepar y se prende de la
cuerda, ¿Cuál será su aceleración y la tensión de la cuerda?
Rta.: a) 4,9 /
b) 1,96 /
c) 117,6
61
5. Un bloque de masa
= 43,8 kg descansa en un plano inclinado liso que forma un
ángulo de 30° con respecto a la horizontal. La masa está unida por una cuerda que
pasa por una polea sin rozamiento y de masa despreciable a otro cuerpo de masa
= 29,2 kg.
a. ¿Cuál es la aceleración de cada cuerpo?
b. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
30°
Rta.:
a) 0,98
/
b) 257,5
6. En el sistema de la figura, inicialmente en reposo el ángulo
varía gradualmente levantando el plano inclinado. ¿Qué
bloque se moverá primero y con qué valor de ? Luego de
haber iniciado el movimiento y con el valor de hallado,
calcular la aceleración del sistema y la fuerza de rozamiento
entre ambos bloques y contra el piso para ese instante
= 20 kg,
= 45 kg;
= 0,40 ;
= 0,35 ;
= 0,25;
= 0,20
Rta.:
bloque 2 , 19,29°
; 1,39
/
; 120,25
; 37,12
7. Un bloque de 35,6 N y otro de 21,2 N, están unidos entre sí por medio de una varilla sin masa y
resbalan por un plano inclinado 30°. Considerar que no hay rozamiento. Encontrar la tensión en la
varilla. Calcular además la aceleración de cada bloque y aceleración del sistema.
30°
Rta.:
4,9
/
;
0
8. En el sistema de la figura:
a. Si
= 200 g, averiguar si los bloques
y
b. ¿Cuál sería el máximo valor de
para que
= 500 g;
= 200 g; = 0,2;
= 0,2
Rta.:
a) si
b) 0,35 kg
62
se mueven juntos.
y se muevan juntos?
9. En el sistema de la figura, inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza de 50 N al
cuerpo de masa . Determinar el movimiento del sistema. Si
se desliza sobre
tiempo tarda en caerse? ¿Qué pasa entonces con la aceleración de ?
¿Cuánto
3m
Rta.:
2,02
; 5,27
/
10. Despreciando la masa de las poleas, calcular la aceleración de
.
= 2
;
=0
=2
Rta.: 0,44
/
11. Calcular entre que valores debe variar F para que las masa
= 30 kg;
= 50 kg; M = 100 kg;
= 0,2; = 30°
Rta.:
232,2
≤
y
no deslice sobre M.
≤ 1024,2
12. Sobre la plataforma de masa
se encuentra un hombre de masa M. Una cuerda que está
amarrada al elevador pasa por una polea y de allí a las manos del hombre. La cuerda y la polea
son ideales. El hombre tira de la cuerda y sube con el elevador una aceleración constante .
Calcular la fuerza ejercida por el hombre sobre la plataforma.
g
Rta.:
(
+
)(
−
)
63
13. En el dispositivo mostrado,
= 100 g,
= 400 g,
= 200 g. Las poleas se
suponen sin masa y las superficies sin rozamiento. ¿Cuántos son las aceleraciones de
cada cuerpo?
Rta.:
3,92
/
; 1,96
/
; 1,96
/
14. Los cuerpos
y
están dispuestos en un plano inclinado. Se conocen
. Se pide calcular el tiempo que tardaría
en llegar al otro extremo.
Rta.:
(
)⁄(
+
−
)
sen
−
cos
2
+
(
+
, L,
,
)
,
y
⁄
15. Sabiendo que el sistema que se muestra en la figura se mueve hacia abajo. Calcular la tensión
transmitida por la barra rígida. Si se quita la barra, ¿Cuánto tiempo tardan los bloques en
chocarse? El peso de la barra es despreciable.
60°
Rta.:
1,96
;
2,02
16. El bloque se muestra en la figura parte del reposo desde el extremo superior del plano inclinado.
El
es 0,2 y la fuerza que actúa el bloque es constante e igual a 10 kgf (Esta fuerza deja de
aplicarse al final del plano inclinado). El bloque llega al piso a una distancia = 2 m. Conociendo
que
= 50 kg , ℎ = 5 m , = 30°, hallar el valor de ℎ .
ℎ
ℎ
Rta.:
1,42
64
17. Un carro que lleva una caja, se mueve sobre un plano inclinado 30°, con una
velocidad de 11,5 m/s. Calcular ¿Cuál debe ser el
entre la caja y el carro si se
desea que el carro pueda frenar en una distancia de 10 m?
10m
30°
≥ 0,2
Rta.:
18. Se sueltan dos bloques de masas
= 3 kg y
= 9 kg, en un plano inclinado 30°. Ambos
bloques están unidos por un resorte de constante = 0,5 kg/cm tal que al soltarlos el resorte no
se encuentra estirado ni comprimido. Sabiendo que el
= 0,25 y el
= 0,30. Hallar cuanto
se deforma el resorte e indicar si se estira o se comprime.
′
′
30°
Rta.:
2 10-3 m
; se estira
19. La figura es el esquema de una doble máquina de Atwood. Calcular la aceleración del sistema y
las tensiones de las cuerdas que sostienen los cuerpos de masas
y
. Despreciar el
rozamiento y las masas de las poleas. ( +
)>
Rta.:
(
2
+
−
/(
) /( +
+
+
+ )
)
;
2
/(
+
+
);
20. Se acelera una masa
sobre un plano horizontal mediante el dispositivo de la figura. Durante
el movimiento la masa
forma un ángulo constante . Los coeficientes de rozamiento cinético
sobre el plano horizontal e inclinado son respectivamente
y
. Las masas de las poleas son
despreciables. Calcular:
a. El ángulo .
b. La tensión de la cuerda que une A con la masa .
= 150 kg;
= 100 kg;
= 30 kg; = 20 kg; = 53,13°;
= 0,2 ;
= 0,1
Rta.:
a) 78,69°
; b) 199,88N
65
21. Calcular la fuerza horizontal
que debe aplicarse al carro de masa
para que los
carros de masas
y
, cuyos rozamientos son despreciables, estén en reposo con respecto a
él.
Rta.:
(
+
)
+
/
22. En el sistema de la figura la masa
= 20 kg tiene inicialmente una velocidad hacia arriba y
sube el plano con inclinación
ayudada por la masa
= 10 kg. Los coeficientes de
rozamiento son
= 0,5 y
= 0,3. Calcular para que valores del ángulo la masa
a. Sube con aceleración positiva.
b. Sube sin aceleración.
c. Sube con aceleración negativa, se detiene y ya no baja.
d. Sube con aceleración negativa, se detiene y baja acelerando.
Rta.:
a) 0 <
< 11,92°
b)
= 11,92°
c) 11,92° <
< 53,13°
d)
< 53,13°
23. Un bloque de masa
resbala en un canal de escuadra como se muestra en la figura. Si el
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el material de que esta hecho el canal es ,
obtener la aceleración del bloque.
90°
Rta.:
sen − 2
⁄
cos
24. ¿Cuál debe ser la masa mínima del bloque A para que el sistema de la figura permanezca en
equilibrio en esa posición? ¿Cuál es ahora la tensión de la cuerda? Ahora si se cambia el bloque A
por un bloque de 10 kg. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de
rozamiento estático necesario para que A y B aceleren
juntos? ¿Cuál es ahora la tensión de la cuerda?
= 50 kg ;
= 24 kg ; = 0,3 ;
= 0,2
Rta.: 30 kg
; 235,2 N ; 0,14
66
25. Un pintor está sobre una plataforma suspendida de una polea fija como se indica en
la figura. Tirando de la cuerda 3, él hace subir la plataforma M/2. Calcular las
tensiones en las cuerdas 1 , 2 y 3, y la fuerza ejercida por el pintor sobre la plataforma.
1
2
Rta.:
15/16
; 15/8
15/16
3
; 15/8
26. Un bloque de 4 kgf está colocado sobre otro de 5 kgf. Para hacer que el bloque superior resbale
sobre el inferior, debe aplicarse una fuerza horizontal de 12 N sobre el bloque superior.
Suponiendo que la mesa no tiene rozamiento, calcular la máxima fuerza horizontal F que se
puede aplicar al bloque inferior para que los dos bloques se muevan juntos.
Rta.:
15 N
27. Un bloque A de 0,2 kg de masa descansa sobre otro bloque B de 0,8 kg de masa. El conjunto es
arrastrado con velocidad constante sobre una superficie horizontal rugosa por otro bloque C de
masa 0,2 kg, que se encuentra suspendido como se muestra en la figura.
a. El bloque A se separa del bloque B y se une al bloque C, también suspendido, como se
muestra en la figura. ¿Cuál es la aceleración del sistema?
b. ¿Cuál es la tensión de la cuerda unida al bloque B?
A
B
B
C
C
A
Rta.:
a) 1,96
/
; 3,14
28. Un bloque de masa
= 1 kg está inicialmente suspendido en un carrito de masa
= 11 kg,
mediante el sistema de poleas mostrado en la figura. Las poleas y los hilos son de masa
despreciable y también se desprecian todas las fuerzas de fricción. Si el bloque se suelta cuando
está a una altura ℎ = 4,9 m por encima de la base del carrito:
a. ¿Al cabo de cuánto tiempo golpeará el bloque a la base del
carrito?
ℎ
b. ¿Cuál habrá sido el desplazamiento del carrito en ese tiempo?
c. ¿Cuáles son las aceleraciones del bloque y del carrito?
d. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
Rta.:
a) 2
b) 2,45 m
c) 2,74 m/s2 ; 2,45 m/s2
67
d) 7,35 N
29. Un bloque de masa
= 0,2 kg descansa sobre otro bloque de masa
= 8 kg y
el conjunto descansa sobre un plano horizontal rugoso como muestra la figura. El
coeficiente de rozamiento entre
y
es
= 0,1 y entre
y el plano es
= 0,3. Se
empuja
con una fuerza “F” de tal manera que el bloque
tarda un tiempo t = 1,5 s en
caerse del bloque
.
Calcular:
a. La aceleración de cada bloque.
b. La fuerza “F”.
1,2 m
1
F
2
Rta.:
a) 0,98 m/s2
;
2,047 m/s2
b) 40,68 N
30. En la figura el bloque 1 tiene un cuarto de la longitud del bloque 2 y pesa una cuarta parte de
este último. Supóngase que no existe fricción entre el bloque 2 y la superficie sobre la cual se
desplaza y que el coeficiente de fricción cinética entre los dos bloques es
= 1/3. Después que
el sistema es liberado, encuéntrese la distancia que ha recorrido el bloque 2 cuando únicamente
la cuarta parte del bloque 1 permanece sobre el bloque 2. El bloque 1 y el bloque 3 tienen la
misma masa y la longitud del bloque 2 es = 1,6 m.
1
2
3
Rta.: 0,5 m
31. Un ómnibus se desplaza sobre un plano inclinado un ángulo
con la horizontal y se verifica que
un péndulo colgado del techo del mismo forma un ángulo
con la vertical. Calcular su
aceleración.
Rta.:
(cos tg( + ) − sen )
32. Los cuerpos A y B pesan 40 N y 24 N respectivamente. Inicialmente se hallan en reposo sobre
el suelo y unidos por una cuerda que pasa por una cuerda que pasa por una polea sin masa ni
rozamiento. Se aplica a la polea una fuerza F = 120 N hacia arriba. Hallar la aceleración del
cuerpo B.
F
A
Rta.:
14,7 m/s2
68
B
33. Hallar la mayor tensión ejercida en el cabo de un elevador, cuando la cabina:
a. Se desplaza para arriba con velocidad constante.
b. Se desplaza para abajo con velocidad constante.
c. Se desplaza para arriba con movimiento acelerado.
d. Se desplaza para abajo con movimiento acelerado.
e. Está en reposo.
Rta.: ( + )m
34. Si el sistema que se muestra en la figura parte del reposo y las poleas carecen de fricción y de
peso determinar:
a. La aceleración del cuerpo B.
b. La tensión de la cuerda unida al cuerpo A.
c. La velocidad que adquiere de cuerpo B cuando el cuerpo A sufre un desplazamiento vertical
de 52,92 cm.
d. El tiempo que tarda el cuerpo B en alcanzar la velocidad de 313,6 cm/s
= 100 kg;
= 150 kg;
= 0,2 ; tg = 3/4
B
A
Rta.:
a) 1,57 m/s2
b) 822,8 N
c) 2,35 m/s
d) 2 s
35. El sistema de la figura muestra un bloque de masa
sobre un cuerpo de forma angular de
masa
= 2 m. calcular el máximo valor de la fuerza F aplicada horizontalmente a la masa
, cuando el sistema se mueve hacia la derecha con velocidad constante.
=4
=3
=
Rta.:
3
mg
36. Sabiendo que el bloque
= 500 g se desliza hacia abajo sobre la superficie inclinada del carro
de masa , y que la componente de su aceleración según el eje
es
= 1,2 m/ , calcular:
a. El vector aceleración del bloque
b. La aceleración de
relativa al carro
60°
c. La aceleración del carro
d. La fuerza , sabiendo que
= 5 kg
El coeficiente de rozamiento cinético entre todas las superficies es
= 0,20.
2
2
Rta.: a) 9,79 i – 1,2 j (m/s )
b) 1,39 m/s ; -60°
c) 9,09 i (m/s2) d) 61 N
69
37. La figura muestra un sistema de seis cuerpos de masas iguales a , unidos por hilos
inextensibles y de masa despreciable. La masa de la polea y la fricción en la misma
son despreciables. Si el coeficiente de rozamiento entre las superficies de los cuerpos y la mesa
es = 0,25, el sistema permanece en reposo. ¿Cuál debería ser el hilo que es necesario cortar
para que la mayor cantidad posible de cuerpos se desplace aceleradamente?
5
4
3
2
6
1
Rta.:
4
38. En el sistema mostrado en la figura, se conocen los pesos W y W . Determinar el peso W ,
para que al dejar libre el sistema, el bloque B no se mueva. Las poleas son de masa despreciable
y se sabe que W > W
C
A
B
Rta.:
4
/(
+
)
39. Del techo de un ascensor está suspendido un resorte en cuyo extremo tiene una masa M.
Cuando el ascensor asciende con velocidad constante la masa dista del piso una distancia S y
cuando sube con aceleración constante , la masa dista 3/4 . Hallar la constante elástica del
resorte.
Rta.: 4 M a/s
40. En un elevador hay una báscula graduada en kgf. Una persona de 60 kg está parada sobre la
misma y ésta marca cero. Calcular la aceleración del elevador.
Rta.: g
41. Un bloque triangular de masa M, con ángulos 30° , 60° y 90°, descansa sobre el lado 30°-90°
sobre una mesa horizontal. Un bloque cúbico, de masa , descansa sobre el lado 60°-30°, como
se indica en la figura. ¿Qué fuerza horizontal F se debe aplicar al sistema para lograr que la masa
quede fija con respecto al bloque triangular, suponiendo
que no haya rozamiento en los contactos? ¿Cuál es la
60°
aceleración de la masa M, en relación con la mesa en ese caso?
Rta.:
31/2g(m + M)/3
; 31/2g/3
90°
70
30°
42. Un ómnibus frena bruscamente y un péndulo colgado del techo del mismo forma un
ángulo de 36,87° con la vertical. Calcular la deceleración del ómnibus.
Rta.: 7,35 m/s2
43. Tres bloques de masas
= 1 kg,
= 3 kg y
= 4 kg están dispuestos como se muestra en
la figura. Desde la posición señalada se suelta el sistema, se observa que el bloque 3 desciende. El
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque 2 y el plano horizontal es 0,3 y entre los
bloques 1 y 2 es 0,1. Determinar:
a. La aceleración con que se mueven los bloques 2 y 3.
b. La tensión de la cuerda que une a los bloques 2 y 3.
c. La tensión de la cuerda que sostiene al bloque 1.
1
2
3
Rta.:
a) 3,78 m/s2
b) 24,08 N
c) 0,98 N
44. Un cuerpo se encuentra a punto de deslizar hacia abajo por un plano inclinado un ángulo .
Determinar la máxima aceleración
con que se debe mover el plano para que el cuerpo no
deslice hacia abajo.
Rta.:
g tg
45. Un bloque A pesa 35,6 N y otro B pesa 71,2 N están unidos por medio de una cuerda y deslizan
por un plano inclinado 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el
bloque A y el plano es 0,10 y entre el bloque B y el plano es de 0,20 ¿Cómo deben disponerse
los bloques para que deslicen juntos sobre el plano inclinado? Calcular en este caso la aceleración
del sistema y la tensión en la cuerda.
Rta.: 3,49 m/s2
; 2,06 N
46. En la figura se muestra un sistema donde las poleas A y B son de masa despreciable,
y
= 2 kg. Cuando el sistema se libera a partir del reposo se observa
que la masa
permanece en equilibrio. En estas condiciones, calcular:
B
a. La tensión de la cuerda que une las masas
y
.
3
b. La tensión de la cuerda une la polea A con la masa
A
c. La masa
Rta.: 13,07 N ; 26,13 N ; 2,67 Kg
1
71
2
= 1 kg
47. Calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo 3 y la mesa y
aceleración del sistema, sabiendo que el cuerpo
desciende.
= 100 kg;
= 75 kg,
= 25 kg,
= 10 kg, = 0,5
2
3
4
1
Rta.:
0,15
; 3,15 m/s2
48. Un bloque de masa M es estirado a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento por
medio de una cuerda de masa , sobre la cual se ejerce una fuerza horizontal F. Determinar la
aceleración del bloque y de la cuerda.
Rta.:
F/(m+M)
49. En la figura, despreciando el peso de las poleas, determinar la aceleración de cada uno de los
cuerpos y decir cuánto debe valer la masa A con respecto a la masa B para que el cuerpo A baje y
el B suba.
B
A
Rta.:
aB = 2 aA = 2(mA-2mB)( mA+4mB)
; mA>2 mB
50. Verificar que los bloques A y B de la figura se mueven juntos ¿Cuál es el máximo valor de la
masa del bloque C para que el bloque A no resbale sobre el B? los coeficientes de rozamiento
entre todas las superficies son:
= 0,2 y
= 0,3
= 5 kg,
= 20 kg,
= 8 kg
Rta.:
a) si
b) 17,86 kg
72
51. Un camión lleva una carga de peso 500 kgf asegurada a través de una cuerda única
cuya resistencia máxima es 907,05 kgf. Entre la plataforma del camión y la carga
existe un coeficiente de rozamiento estático igual a 0,25.
a. ¿Cuánto vale la aceleración máxima que puede permitirse el conductor cuando sube una
cuesta inclinada un ángulo de 30°?
b. Cuando sube con una velocidad de 52,25 km/h ¿Cuál debe ser la distancia mínima de frenado
para detenerse por completo?
c. El camión baja la cuesta de B hacia A y cuando está en B tiene una velocidad de 50 km/h.
Determinar el tiempo máximo y el tiempo mínimo en que se puede recorrer BA sin poner en
peligro la carga. AB= 700 m
B
A
30°
Rta.: a) 15 m/s2
b) 15 m
c) 18 s ; 7s
52. La plataforma de la figura desciende libremente sobre el plano inclinado. Determinar la tensión
de la cuerda. Si esa misma plataforma asciende ahora pero frenando con una aceleración de 7,5
m/ , determinar la nueva tensión de la cuerda. M = 10 kg
M
30°
Rta.:
0
; 30,02 N
53. Un hombre de peso 100 kg sube al montacargas de la figura que tiene montado en su base una
balanza de peso despreciable. Calcular los valores máximo y mínimo del contrapeso A sabiendo
que la lectura de la balanza varía entre 90 kgf y 110 kgf. El peso del montacargas es de 200 kgf.
A
balanza
Rta.:
344,44 kgf
; 295,92 kgf
54. El sistema compuesto por las masas
y
es soltado en la posición indicada en la figura.
Después de 2 s de movimiento, el hilo se corta repentinamente. Sabiendo que
=4
, que
la polea y el hilo son de masas despreciables y que no existe rozamiento, hallar la máxima altura
a la que llega
sobre el plano XX.
Rta.:
48/25 g
x
73
1
2
x
GRAVITACIÓN
1. ¿Qué relación hay entre la aceleración de la gravedad
universal ?
Rta.:
/
y la constante de la gravitación
2. Calcular la altura de un satélite geoestacionario.
Rta.: 3,58 . 107 m
3. Dos satélites se encuentran en orbitas de radio
y
. Calcular la relación entre las
velocidades angulares, las velocidades lineales y entre los periodos.
Rta.: ( ⁄ ) / ; ( ⁄ ) / ; ( ⁄ ) /
4. En la superficie de un planeta esférico, la aceleración de la gravedad es de 6,25 m/s2 y a una
distancia de 3.000 km encima de la superficie de 4 m/s2. Calcular el radio del planeta.
Rta.: 12.000 km
5. Determinar la aceleración de la gravedad a una altura de 2.000 km de la superficie de la
Tierra.
Rta.: 5,68 m/s2
6. Demostrar que la velocidad de un cuerpo abandonado a una distancia h sobre la superficie
de la Tierra, cuando llega a su superficie es V2 = 2 g R2[1/R – 1/ (R + h)] y que en el caso de
que h sea mucho menor que R ( radio de la Tierra). La expresión se reduce a V2 = 2 g h
Rta.: V2 =2 g R2[ 1/R – 1/ (R + h) ] ; V2 = 2 g h
7. ¿A qué distancia del centro de la Tierra un cuerpo pesa la décima parte de lo que pesa sobre la
superficie?
Rta.: 20.144 km
8. Suponiendo que la masa de la Tierra es 81 veces mayor que la luna, ¿A qué distancia del
centro de la Tierra, un cuerpo situado entre la Tierra y la Luna sería igualmente atraído por
los dos astros?
Rta.: 350.272 km
9. Si un cuerpo fuese llevado a la superficie de un planeta de forma esférica cuya masa fuese 8
veces mayor que la de la Tierra y cuyo radio fuese 4 veces mayor que el de la Tierra, ¿Cuál
sería el peso del cuerpo con relación a su peso en la Tierra?
Rta.: 0,5 W
10. Sabiendo que la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra y que el radio lunar es
0,27 veces el radio terrestre, ¿Cuál es el periodo de oscilación de un péndulo que en la Tierra
tiene un periodo T = 1 s?
Rta.: 2,46 s
74
11. La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita que puede ser considerada circular.
Manteniendo fijo el radio de esa órbita pero imaginando que la masa del Sol
fuese cuatro veces el valor real, ¿Cuál sería la relación entre la nueva velocidad angular de
traslación de la Tierra y la real?
Rta.: 2
12. Se sabe que la luz proveniente del Sol tarda en llegar a la tierra 8,5 minutos. Considerando
que la velocidad de la luz es 3 × 108 m/s, calcular el valor de la masa del Sol.
Rta.: 2,13 . 1030 kg
13. Calcular el periodo de rotación, alrededor de su eje, de un planeta, de radio R = 6.400 km y de
aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2 , para que una persona en reposo sobre la superficie
del planeta, se sienta flotar.
Rta.: 1,41 h
14. Un satélite artificial, en órbita circular a 700 km de altitud, completa por día un número de
vueltas alrededor de la Tierra. Hallar dicho número de vueltas.
Rta.: 14,6 vueltas
15. ¿A qué distancia del centro de la Tierra la intensidad del campo gravitacional es igual a su
valor en el centro de la Tierra?
Rta.: ∞
16. Dos estrellas giran en torno de su centro de masa común. Una de las estrellas tiene una masa
M, que es dos veces la masa de la otra. Determinar el periodo de rotación de las estrellas en
torno a su centro de masa, sabiendo que ambas estrellas están separadas una distancia d.
Rta.: 2 (d3/(3Gm))1/2
17. Un péndulo de longitud L forma un ángulo
con la horizontal debido a una masa M
ubicada a una distancia L de la vertical. Hallar el valor de la masa M.
L
m
M
L
Rta.: g L2 (1 – cos θ )2 /(G tg θ )
18. Si la Luna tuviese el triple de la masa que tiene y si su órbita fuese la misma, ¿Cuál sería su
periodo de revolución en torno de la Tierra?
Rta.: 2 (R3/(GM))1/2
19. Cierto sistema de estrellas triples consta de dos estrellas, cada una de masa m, que giran en
la misma órbita circular en torno a una estrella central, de masa M. Las dos estrellas están
situadas en los extremos opuestos de un diámetro de la órbita circular. Obtener una expresión
para el periodo de revolución de las estrellas. El radio de la órbita es r.
Rta.: 4 r3/2 /(G(4M + m))1/2
75
20. Se practica una oquedad esférica dentro de una esfera de plomo de radio R, de
modo que su superficie toque la superficie exterior de la esfera de plomo y pase
por su centro. La masa de la esfera antes de practicar la oquedad era M. ¿Cuál será la fuerza
de atracción gravitacional con que la esfera de plomo ahuecada atraerá a una pequeña masa
m que está situada a una distancia d del centro de la esfera de plomo? ¿Cuál será la nueva
energía potencial gravitacional del sistema?
Rta.: 1/2 G mM(7d2 – 8 d R +2 R2 )/ d2.(2d – R )2 ; - 1/4 G mM(7d – 4 R )/ d.(2d – R )
21. Tres estrellas de masa M cada una, formando una estrella triple, giran en torno de su centro
de masa común y están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado L.
a) ¿Con qué velocidad deben moverse las estrellas para que giren todas ellas bajo la
influencia de sus fuerzas gravitacionales, en una órbita circular que circunscribe al
triángulo, con la condición de que se siga conservando el triángulo equilátero?
b) ¿Cuál es el periodo de cada una de las estrellas?
c) ¿Cuál es la fuerza resultante en el centro de masa del sistema?
Rta.: a) (G M/ L )1/2
;
b) 2
(L3/(3 G M))1/2
; 0
22. Hallar el peso de un cuerpo de masa m en el centro de la Tierra.
Rta.: 0
23. Sabiendo que el período de la Luna es aproximadamente 28 días, calcular la distancia entre la
Tierra y la Luna.(Considerar el radio de la Tierra de 6.370 km)
Rta.: 3,89 . 108 m
24. El valor de la constante de gravitación universal en el Sistema Internacional es
= 6,673 × 10
. Deducir el valor de dicha constante si las unidades de la misma
2
deben ser kgf . km . kg -2
Rta.: 6,809 . 10-18 kgf km2 kg-2
25. Deducir la fórmula que nos permita calcular el periodo T de un satélite cuya órbita se
encuentra a una altura h = R sobre la superficie terrestre en función del radio terrestre
R, la masa de la Tierra M y las constantes adecuadas.
Rta.: 4 R ( 2R / G M )1/2
26. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra y a qué velocidad debe girar un satélite
para que de 4 vueltas en 24 h? M = 5,97 × 1024 kg ; R = 6, 37 × 106 m.
Rta.: 10.388 km ; 4,87 km/s
27. Tres satélites artificiales A, B y C se encuentran en órbitas circulares en torno al
centro de la Tierra. A y B están en órbitas de radios iguales, en tanto que C se
encuentra más alejado de la Tierra. Suponga que mA > mB > mC ¿Cómo son los periodos
de los satélites entre si?
Rta.: TA = TB < TC
76
28. Un satélite artificial de 1.540 kg es lanzado a una órbita circular alrededor de la
Tierra y a una altura de 15.000 km sobre la superficie terrestre. Sabiendo que el
radio terrestre es de 6.370 km y que la aceleración de la gravedad en la superficie es de
9,8 m/s2, calcular:
a) La velocidad del satélite.
b) Su período.
c) La fuerza centrípeta.
Rta.: 4,31 km/s ; 31.127 s ; 1.341 N
29. A partir de las leyes de gravitación, calcular el valor de la aceleración de la gravedad.
Rta.: 9,81 m/s2
30. De dos planetas de masas iguales pero de radio diferentes, ¿Cuál tiene mayor
aceleración de la gravedad en su superficie?
Rta.: menor radio
31. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra y a qué velocidad de órbita tiene que girar
un satélite para que quede estacionado sobre un punto fijo de la Tierra? Suponer que la
órbita del satélite es concéntrica con la circunferencia de la Tierra y que además se
encuentra en el plano ecuatorial. M = 5,97 × 1024 kg ; R = 6,37 × 106 m.
Rta.: 3,59 . 107 m ; 3,07 km /s
32. Dos satélites iguales están en órbitas circulares de igual radio, uno alrededor de la
Tierra y el otro alrededor de la Luna. ¿Cuál de los satélites emplea menor tiempo en
efectuar un giro?
Rta.: satélite terrestre
33. ¿Por qué los astronautas cuando están en la Luna dan grandes saltos con mayor
facilidad que en la Tierra? Justificar
Rta.: FL < FT
34. Dos masas M y m se hallan separadas por una distancia d. Se desea que la fuerza de
atracción gravitacional sobre una partícula ubicada a una distancia d/2 de cada masa
sea cero. ¿A qué distancia de la masa M se debe colocar una segunda masa m?
Rta.: ½ d (1 + (m / ( M – m ))1/2
35. Un satélite geoestacionario permanece a una cierta distancia D del centro de la Tierra,
sobre un punto del ecuador terrestre. Determinar el periodo del satélite que describe
una órbita circular de radio 2D.
Rta.: 67,88 h
77
TRABAJO Y ENERGÍA
1. Una masa puntual m parte del reposo y se desliza sobre la superficie de una esfera sin
rozamiento, de radio r. Tome el nivel de la energía potencial en el
punto superior. Determine en función al ángulo que se indica:
a) La variación de la energía potencial de la masa.
b) La energía cinética.
c) Las aceleraciones radial y tangencial.
d) El ángulo en que la masa abandona la esfera.
Rta.: a) – m g r (1 – cos θ) ; b) m g r (1 – cos θ) ; c) g sen θ , 2g (1 – cos θ) ; d) 48,19°
2. Se hace girar un cuerpo en una circunferencia vertical por medio de una cuerda. Demostrar
que la tensión de la cuerda en el punto más bajo excede a la tensión en el punto superior en
seis veces el peso del cuerpo.
Rta.: 6 m g
3. El cable de un elevador que pesa 17.800 N, revienta rompe cuando el elevador estaba en
reposo en el primer piso, de modo que la base del elevador queda a una distancia d = 3,66 m
por encima de un resorte amortiguador cuya constante elástica es k = 146 N/m. Un dispositivo
de seguridad sujeta a los ríeles de guías de modo que se provoca una fuerza de fricción de
4.450 N que se opone al movimiento del elevador. Encontrar:
a) La velocidad del elevador un momento antes de que llegue al resorte.
b) La distancia de compresión del resorte.
c) La distancia que el elevador rebota hacia arriba por su pozo.
d) La distancia total que recorrerá el elevador antes de quedar en reposo.
d
k
Rta.: a) 7,33 m/s
;
b) 0,9 m
;
c) 2,72 m
;
d) 14,88 m
K=146000 N/m
4. Una masa M suspendida por medio de un resorte en el punto superior A de un anillo
circular, situado en plano vertical, cae deslizándose sobre el anillo. Calcular la constante k del
resorte para la cual la reacción que ejerce el anillo sobre la masa M en el punto inferior B es
igual a cero. En la posición inicial el resorte tiene su longitud natural. R = 20 cm ; AM = 20 cm ;
M =5 kg.
20cm
O
M
R
B
Rta.: 490 N/m
78
5. El bloque de masa m =60 kg está sometido a una fuerza F que varía según el
grafico F=f(X). En la posición A el resorte de constante k = 100 N/m tiene su
longitud natural l0 =1 m. Sabiendo que parte del reposo y que en B su velocidad es de 3 m/s,
determinar:
a) El trabajo que realiza la fuerza F.
b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
F
10 N
A
x
F
x
ℓ
2
k
30°
B
Rta.: a) 13 J
;
b) 202,2 J
6. Un resorte ideal sin masa se puede comprimir 1 m mediante una fuerza de 100 kgf. Ese
mismo resorte se coloca en la parte inferior de un plano inclinado, sin rozamiento que forma
un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Una masa M = 10 kg se suelta a partir del
reposo en la parte superior del plano inclinado y queda en reposo momentáneamente
después de comprimir el resorte 2 m.
a) ¿A qué distancia resbaló la masa antes de quedar en reposo?
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando está a punto de hacer contacto con el resorte?
M
30°
Rta.: a) 40 m
;
b) 19,3 m/s
7. El bloque A de masa 0,5 kg se encuentra a una altura H = 5 m sobre un plano inclinado
30°, donde μk = 0,10. Desde allí se desliza libremente y choca con el resorte de constante
k = 0,30 kg/cm, que se encuentra en la base del plano.
a) Deducir el valor de la altura H’, después del rebote.
b) ¿Cuánto se comprime el resorte en la posición final de equilibrio?
c) ¿Qué distancia recorre el bloque hasta alcanzar la posición de equilibrio?
A
M
H=5 m
30°
Rta.: a) 3,5 m
; b) 0,01 m
k
; c) 57,8 m
79
8. Un plano inclinado un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, tiene un bloque
de masa m= 1 kg que comprime el resorte de constante k= 50 kgf/cm, una
distancia x0= 2 cm. Sabiendo que después de que la masa M es disparada por el resorte,
alcanza una distancia horizontal d= 1,45 m contada a partir del final del plano inclinado de
altura h= 0,25 m, calcular el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.
h
M
30°
d
Rta.: 0,22
9. Se desea lanzar una masa M = 50 g con ayuda de un resorte de constante k= 8 N/m de tal
forma que la masa sortee un obstáculo de 33 cm de altura, situado a 66 cm del resorte y caiga
en un punto a 90 cm del resorte. Calcular cuanto se debe comprimir el resorte y en que
dirección se la debe colocar.
33 cm
66 cm
90 cm
Rta.: 0,32 m ; 61,93°
10. Un cuerpo de masa m = 2 kg, parte del reposo del punto A. En la parte horizontal de la vía, el
coeficiente de rozamiento cinético es 0,2. La masa comprime al resorte, de constante k= 100
N/m, una distancia de 30 cm antes de detenerse y regresar. Calcular la velocidad de la masa
en el punto B y el trabajo de la fuerza de rozamiento desde A hasta B.
A
12 m
5m
B
Rta.: 7,26 m/s ; – 45,29 J
11. La masa m cae a partir del reposo a lo largo de una vía sin rozamiento. Calcular en el punto A:
a) La velocidad de la masa.
b) La fuerza normal que ejerce la vía sobre la masa.
c) Las componentes normal y tangencial de la aceleración de la masa.
m =0,5 kg
R=1,0 m
R
3m
30°
A
Rta.: a) 7 m/s ; b) 26,95 N ; c) 49 m/s2 ; 8,49 m/ s2
80
12. Un cuerpo A desliza desde una altura H, partiendo del punto A, en una vía sin
rozamiento y sale despedido por el borde derecho que forma un ángulo de 45°
con la horizontal. Calcular la altura H mínima para que el cuerpo sea capaz de atravesar la
fosa de 20 m de longitud.
m
45°
H
h = 3m
20 m
Rta.: 11,7 m
13. Hallar la velocidad inicial V0 con que debe soltarse el bloque para que su alcance horizontal
sea de h= 1 m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y todos los planos es 0,5.
h
45°
45°
2h
h/2
h
Rta.: 5,57 m/s
14. El bloque de masa m= 10 kg se encuentra en una posición en la cual el resorte (k= 100 N/m)
tiene su longitud natural l0= 0,30 m. El bloque desliza sobre la superficie horizontal y luego
sobre la cilíndrica de radio R= 0,15 m. En la posición indicada, a 30° respecto a la vertical, el
bloque se despega de la superficie. Despreciando el rozamiento, determinar la velocidad V0
que debe tener el bloque inicialmente.
ℓ
2R
k
m
30°
m
R
Rta.: 0,92 m/s
15. El clavo esta situado a una distancia d por debajo del punto de suspensión. Demostrar que d
debe ser por lo menos 0,6 L, si se quiere
que la bola de una vuelta
ℓ
completa en un círculo cuyo centro sea el
clavo.
d
Rta.: 0,6 L
81
16. Una partícula de masa m se mueve en un círculo vertical de radio R, dentro de
una vía sin rozamiento. Cuando m se encuentra en la posición más baja, lleva
una velocidad v0. ¿Cuál deberá ser el mínimo valor de v0 para que la masa m logre dar una
vuelta completa en el circulo sin despegarse de la vía? Si la velocidad en el punto más bajo es
sólo del 75% del valor calculado anteriormente, la partícula se moverá hasta cierto punto P,
en el cual se despegara de la vía y seguirá moviéndose según la trayectoria marcada con línea
de puntos. Encontrar la posición angular α del punto P donde la partícula se despegará la
vía.
P
α
R
Rta.: (5 g R)1/2 ; arcsen (1/3)
17. Una partícula resbala por un carril cuyos extremos están elevados, mientras que su parte
central es plana. La parte plana tiene una longitud L = 2m. Las porciones curvas del carril no
tienen fricción y en la parte plana el coeficiente de fricción cinética es μk= 0,2. La partícula se
suelta en el punto A que está a una altura h= 1 m sobre la parte plana del carril. ¿Dónde se
detendrá finalmente la partícula?
m
h
L
Rta.: en el medio de la vía
18. Un resorte de constante k= 200 kg/m está comprimido 20 cm y empuja a una masa M= 5 kg
sobre una mesa horizontal. Si inicialmente la masa M se encuentra a 2 m del borde la mesa y
en reposo, calcular la distancia D en que la masa toca el piso. El coeficiente de rozamiento
cinético entre la mesa y la masa es 0,2 y la altura de la mesa es de 1 m.
D
k
M
H=1m
Rta.: 1,26 m
82
19. Un cuerpo de masa 5 kg parte del reposo en la posición A. Sobre dicho cuerpo
actúan una fuerza F= 10 N constante y un resorte de constante de k = 75 N/m,
cuya longitud natural es 55 cm. No existe rozamiento. Hallar:
a) El trabajo hecho por la fuerza F desde A hasta B.
b) La fuerza en el resorte cuando pasa por B.
c) La velocidad del cuerpo cuando pasa por B.
0,50 m
A
F
m
B
0,50 m
Rta.: a) 5 J ; b) 3,5 N ; c) 1,53 m/s
20. Un bloque de masa m= 2 kg se comprime contra un resorte de constante k= 1,5 kg/cm. En
estas condiciones queda situado a una distancia L= 0,25 m del punto B donde termina la
superficie horizontal. La superficie curva de radio R= 0,5 m no tiene rozamiento y la superficie
horizontal tiene un coeficiente de rozamiento cinético μk= 0,1 con el bloque. El bloque se
despega de la superficie en el punto A. ¿Cuánto se comprime el resorte?
R
150°
m
L
Rta.: 0,18 m
21. Una partícula de 0,5 kg sujeta a una cuerda sigue una circunferencia vertical. Cuando pasa por
el punto A, la tensión de la cuerda es de 10 kgf. Si la cuerda se suelta cuando la partícula está
en B, calcular la distancia D.
B
R=1m
30°
A
C
Rta.: 13,8 m
83
22. El gráfico representa la variación de la intensidad de la fuerza F en función del
desplazamiento x. la fuerza es siempre paralela al desplazamiento. A partir de dicho gráfico,
calcular:
a) El trabajo realizado por la fuerza F entre x =0 y x=10
b) La potencia desarrollada, sabiendo que el tiempo empleado fue de 30 s.
F(N)
8
6
4
2
2
4
6
8
X(m)
10
Rta.: a) 32 J ; b) 1,07 W
23. Una esfera de 10 kg de masa gira en una circunferencia vertical – Al pasar por el punto A, la
tensión de la cuerda es de 1.545 N. si sale disparada en B, calcular a que altura h choca la
muralla.
B
45°
R=1m
h
8,6 m
A
Rta.: 3,39 m
24. En la vía sin rozamiento, desde el punto A se deja caer un cuerpo a partir del reposo. Calcular:
a) La altura h de la que se deja caer para que recorra la distancia BC en 0,1 s.
b) El valor de la fuerza aplicada por la vía sobre el bloque en el punto D. m= 2 kg
C
h
B
h/6
h/6
h/6
Rta.: a) 4,1 m ; b) 156,8 N
84
25. Un cuerpo de masa m= 10 kg esta suspendido de una cuerda de 1 m de longitud.
Se coloca el sistema en posición horizontal y se lo suelta. Sabiendo que la cuerda se rompe
para una tensión de 10 kgf, calcular en que posición esto ocurre. Una vez rota la cuerda, decir
que trayectoria describirá el cuerpo y sí cae o no sobre la mesa. Dar la distancia horizontal a
partir del punto de rotura.
L
L
L
L
L
Rta.: 0,22 m
26. Un balde que contiene agua, con una masa total de 10 kg , se encuentra girando en una
circunferencia vertical de radio r = 2 m. Si la velocidad en el punto más alto de su trayectoria
es de 5 m/s, calcular la tensión de cuerda en el punto más bajo de su trayectoria.
Rta.: 615 N
27. El bloque de masa m= 1 kg de la figura desliza sobre un plano inclinado a partir de la posición
indicada. El resorte que está unido al bloque tiene una longitud natural l0 = 10 cm y se
encuentra inicialmente perpendicular al plano inclinado. La constante elástica de resorte es
k=500 N/m, el coeficiente de rozamiento cinético μk= 0, y el ángulo θ = 53°. Sabiendo que el
bloque queda finalmente en reposo a una distancia
V0
M
d= 15 cm de su posición original, calcular:
d = 15cm
20
cm
a) La velocidad inicial v0 del bloque.
b) El máximo valor de la fuerza normal en el tramo
recorrido.
53°
Rta.: a) 1,97 m/s ; b) 65,9 N
28. Un motociclista de circo que con su moto tiene una masa de 200 kg, avanza hacia una pista
que forma un rulo (circunferencia vertical) de radio R= 3 m, con una velocidad de 63 km/h,
efectuando una vuelta completa, antes de salir por el lado derecho de la pista.
a) ¿Cuál es la velocidad en el punto B?
B
b) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la pista sobre la moto en
el mismo punto?
C
c) ¿Cuáles son los vectores velocidad y aceleración en el
R
punto C?
d) ¿Cuál es la mínima velocidad con que el motociclista
A
debe avanzar para dar la vuelta completa?
Rta.: a) 13,73 m/s ; b) 10.608 N ; c) – 15,73 j (m/s) , 82,48 i – 9,8 j (m/s2) ; d) 43,65 m/s
85
29. Un cuerpo de 98 N sube el plano inclinado de la figura a partir del punto A, con
una velocidad inicial v0= 54 km/h. Se desea saber:
a) La velocidad instantánea al pasar por B.
b) La distancia d.
c) El tiempo total que tarda el móvil de ir de A hasta C. μk= 0,4 ; L= 3 m ; h= 1,8 m
B
L
V0
h
C
A
Rta.: a) 13,07 m/s
; b) 2,13 m
d
;
c) 0,41 s
30. Sobre un cuerpo obra una sola fuerza en un movimiento rectilíneo. En la figura se muestra
una gráfica de la velocidad en función del tiempo para ese cuerpo. Encontrar el signo (positivo
o negativo) del trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo en cada uno de los intervalos
AB, BC , CD y DE.
v
C
B
t
D
A
E
Rta.:
+
;
0
;
-
; +
31. Desde el punto A de la pista circular sin rozamiento y de radio R= 2 m se suelta un bloque de
masa m = 500 g que está comprimiendo un resorte de constante k= 20 kgf/cm una distancia
x, tal como se muestra en la figura. Si el bloque desliza sobre la pista sin despegarse, calcular:
a) El mínimo valor de x.
b) Las aceleraciones normal y tangencial del bloque al pasar por el punto B.
B
k
R
m
A
Rta.: a) 0,05 m
;
b) 12,5 m
32. Un juego de feria consiste en un carro de masa M sujeto a un brazo de longitud L. El carro se
suelta desde la posición más alta, donde estaba en reposo. Cuando el carro pasa por la
posición horizontal, ¿Cuál será la variación de la energía potencial? Cuando el carro pasa por
la posición más baja, que valor tendrá su energía cinética, la aceleración neta él y la fuerza
neta sobre un hombre de masa m que se encuentra sobre el carro.
Rta.: - m g L ; 2 m g L
; 4g ; 5mg
86
33. La masa puntual m= 50 g de la figura se sujeta apretando un resorte de constante
k= 20 N/cm una longitud L= 5 m y coeficiente de rozamiento cinético μk= 0,4. Al
terminar la trayectoria plana entra en una vía circular lisa que está en un plano vertical y que
tiene un radio R= 2 m. Al salir de la trayectoria circular la pista tiene otro tramo plano y recto
BC, de longitud indefinida, pero con el mismo coeficiente de rozamiento.
a) ¿Cuál es el mínimo valor de x0 que asegure que la masa m recorre la parte circular de la
pista sin despegarse?
b) Bajo las condiciones de la pregunta
anterior, ¿a qué distancia d del
punto B se detiene finalmente la
R
m
A
masa m?
B
L
Rta.: a) 0,059 m
;
C
d
b) 12,5 m
34. De dos resortes de constantes k1 y k2 sujetos del techo cuelgan masas iguales M. Si k1 < k2
y los resortes tienen masas despreciables, ¿Cuál de ellos almacena más energía potencial?
Rta.: resorte 1
35. Calcular la altura H a la cual se despega el cuerpo M del dro de radio R, si parte del punto
A en reposo y no existe rozamiento.
M
A
H
R
Rta.: 5 R/3
36. El cuerpo de masa 2 kg comprime el resorte de constante elástica 300 N/m. Las superficies
planas son rugosas mientras que el rizo (radio R=1 m) es liso. El coeficiente de rozamiento
cinético entre las superficies planas y el cuerpo es de 0,2. Calcular:
a) La compresión mínima del resorte de modo que el cuerpo pase justo por el punto A.
b) La distancia horizontal a partir de B donde el cuerpo se detiene. (la figura muestra al
cuerpo sin comprimir al resorte)
A
k
m
1m
30°
2m
Rta.: a) 0,55 m
; 12,5 m
87
2m
37. Un objeto de 250 g se empuja contra el resorte (k= 600 n/m) y se suelta desde la
posición A. despreciando el rozamiento, determinar la deformación mínima del resorte para la
cual el objeto viajará alrededor del aro BCD (R= 0,60 m) permaneciendo en todo momento en
contacto con el aro.
D
C
k
R
W
B
Rta.: 11,07 cm
Fuerza (kgf)
38. Un cuerpo se mueve una distancia de 10 m bajo la acción de una fuerza F que tiene un valor
constante de 5,5 kgf durante los 6 primeros
6
metros y disminuye luego hasta un valor de 2
4
kgf como se muestra en la figura. Encontrar el
trabajo realizado:
2
a) Durante los primeros 6 metros.
0
b) Durante los últimos 4 metros.
Rta.: a) 970,2 J
F
2 4 6 8 10
Distancia (m)
W
; b) 398,37 J
39. En la posición que muestra en la figura se tiene un cuerpo de masa m = 10 kg, en reposo sobre
una superficie rugosa. La superficie horizontal tiene un coeficiente de rozamiento μk=0,3 y el
resorte en la posición A tiene du longitud natural. Luego se comprime el resorte, de
constante k= 100 kgf/cm, una longitud de 5 cm y se suelta. Desde el punto B hasta el punto C
la superficie es cilíndrica, sin rozamiento y
2m
de radio R= 1m. Hallar:
a) La distancia d, a partir del centro del
m
cilindro, a la cual cae el cuerpo.
A
B
=0
b) La velocidad del cuerpo en el punto B
R
para la cual el cuerpo no se despega de
= 0,3
C
la superficie cilíndrica.
d
Rta.: a) 1,59 m
;
b) no existe
40. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, desde la superficie de la tierra, con una
velocidad inicial de 10 km/s. No tomando en cuenta el efecto retardador de la atmosfera, ¿a
qué altura sobre la superficie de la tierra llegaría? Considerar el radio terrestre R= 6.370 km
Rta.: 25632 km
88
41. Dos resorte A y B son idénticos salvo que kA < kB. ¿Cómo son entre sí los
trabajos realizados en cada resorte:
a) Al deformarlos la misma distancia.
b) Al aplicarles la misma fuerza F.
Rta.: a) WA < WB
;
b) WA > WB
42. El cuerpo de masa m = 500 g, firmemente adherido al resorte se suelta a partir del reposo.
Con los grafico de la fuerza del resorte FR, la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza F en
función del desplazamiento x, determinar:
y
F
a) La constante elástica del resorte k
k
b) El coeficiente de rozamiento cinético μk entre el plano
x
30°
m
y el cuerpo.
c) Una fórmula que permita obtener la energía cinética en
μ
función del desplazamiento x.
d) El valor de x con el cual la velocidad del cuerpo es
f(N)
nuevamente cero.
F
Los gráficos se han confeccionado considerando que las
3,5
FR
fuerzas actúan sobre el cuerpo con respecto al sentido
x(cm)
positivo establecido en la figura.
2 Fr
-1,575
Rta.: a) 200 N/m ;
b) 0,5
; c) - 100 x2 + 5,46 x
;
d) 5,46 cm
43. ¿Qué trabajo es necesario realizar para que en el tiempo t sea posible subir una escalera
mecánica del aeropuerto, que se mueve hacia abajo? La altura de subida es h, la velocidad de
la escalera es v y el ángulo que la escalera forma con la horizontal es α.
Rta.: m g (v t sen α + h )
44. Por un plano inclinado un ángulo α con respecto a la horizontal y de longitud L, cuya mitad
superior carece de rozamiento, mientras que la mitad inferior la tiene (μk), se deja resbalar un
cuerpo. Representar en un gráfico su velocidad en función del camino recorrido.
45. El sistema de la figura consiste en un plano inclinado un ángulo α con un generador eléctrico
que sirve para encender una lámpara incandescente de potencia P. El generador gira por
medio de un bloque de masa M que se desliza por el plano con velocidad constante.
Sabiendo que el rendimiento del generador es η y que el coeficiente de rozamiento cinético
entre el plano y el bloque es μk, calcular la distancia x que deberá recorrer el bloque en un
tiempo t para que la lámpara alumbre al máximo.
M
α
Rta.: P t / ( η M g ( sen α - μk cos α ))
89
46. Un cuerpo de masa M= 5 kg parte del reposo en la posición A como se muestra
en la figura. Sobre dicho cuerpo actúan una fuerza F = 10 N constante y un resorte de
constante k= 75 N/m cuya longitud natural es 50 cm. Hallar:
k
0,50 m
F
M
A
B
0,50 m
Rta.: a) - 0,24 J
;
b) 40,51 N , 52,75 N
47. El bloque de masa m mostrado en la figura, se desliza inicialmente sobre la superficie
horizontal IO sin rozamiento con velocidad v constante. Al llegar al punto O pasa a
deslizarse sobre la superficie horizontal OF, con un coeficiente de rozamiento cinético μk.
Hallar la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse, medida a partir del punto O.
v
F
M
O
I
μk
Rta.: 1/2 v2 / (g μk)
48. Dos resortes
A y B son idénticos salvo que kA= 3kB. ¿Cómo son entre sí los trabajos
realizados en cada resorte al aplicarles la misma fuerza F?
Rta.: 1/3
49. Un cuerpo de peso W sube por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal,
por la acción de una fuerza variable F, paralela al plano. Hallar el trabajo mecánico realizado
por el peso cuando el cuerpo alcanza una altura h, por encima del punto de partida.
Rta.: - W h
50. Un bloque desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado un ángulo α
con la horizontal. Después se lanza hacia arriba sobre el mismo plano con una velocidad v0.
Determinar la distancia s que recorrerá sobre el plano inclinado antes de detenerse y lo que
ocurrirá después.
Rta.: v02 / (4 g sen α)
90
51. El trabajo realizado por una fuerza constante F(newton) que actúa sobre un
cuerpo durante un tiempo t (minuto) para elevar una altura h (m) es W (joule). Calcular el
trabajo, en joule, que realizará para elevarlo a la misma altura pero en un tiempo 2t.
Rta.: W
52. Un bloque de masa m se suelta a partir del reposo de la posición A y desciende sobre la
pista de la figura, supuestamente sin
rozamiento, deteniéndose en C, después de
A
comprimir el resorte de constante elástica
C k
k. En estas condiciones, calcular la máxima
deformación sufrida por el resorte.
Rta.: ( 2m g (hA – hC) / k)1/2
B
t(s)
53. Una bomba con un rendimiento igual a 40%, es accionada por un motor que le suministra una
potencia de 1/4 CV (1 CV = 735 W). Esa bomba colecta agua en reposo y la deposita en un
reservorio a 49 m de altura, llegando con velocidad despreciable. En esas condiciones, hallar la
cantidad de litros de agua que el reservorio recibe por hora.
Rta.: 551
54. Dos bloques idénticos de masa m están unidos a los extremos de un resorte ideal de
constante elástica k y longitud natural Lo. El sistema se sitúa en posición vertical apoyado
sobre una mesa como se indica en la figura. El bloque superior se desplaza hacia abajo una
distancia d, partiendo de su posición de equilibrio y a continuación se libera sin velocidad
inicial. Hallar:
a) El máximo valor de la reacción de la mesa
b) El mínimo valor de la distancia d para que el bloque inferior llegue a separarse de la mesa.
m
d
m
Rta.: a) 2 m g + k d ; b) 2 m g / k
55. Calcular el mínimo ángulo α para que el péndulo de masa m y longitud L llegue justamente
a la posición horizontal indicada en la figura, después que la cuerda gire alrededor del clavo O
fijo.
L
α
L/2
Rta.: 60°
91
56. Una cinta transportadora debe levantar 20 fardos de 1.800 kg cada uno, hasta
una altura de 10 m, no debiendo emplear más
de 15 minutos para hacerlo. Si el rendimiento
del sistema es del 75%, determinar la potencia
10 m
mínima del motor requerida en HP.
Rta.: 7 HP
15 m
57. Una cuerda enrollada en la polea de un motor levanta un cuerpo del piso, con aceleración
constante desde el reposo. Construir el gráfico de la potencia P desarrollada por el motor, en
función de la altura h alcanzada por el cuerpo.
58. Un collar de masa m se acopla a un resorte y se desliza sin rozamiento a lo largo de una
verilla circula de radio R, la cual se encuentra en
B
un plano horizontal. El resorte no está deformado
m
k
cuando está en C y su constante es k. Si el collar
A
C
O
se abandona en reposo en B, hallar la velocidad
del collar cuando pasa por el punto C. (AC= 1,4 R)
R
Rta.: 1,2 R ( k / m)1/2
59. En la figura, el cuerpo de 0,2 kg es lanzado a partir del reposo por el resorte de constante
elástica 6 . 103 N/m y describe la trayectoria
G
D , E , F , G , H e I sin perder contacto con la
trayectoria. Despreciando el rozamiento,
H
F
10 cm
calcular la mínima compresión del resorte para
C D
10 cm
que esto ocurra.
Rta.: 0,01 m
E
I
60. El carro de una montaña rusa sin fricción, parte del punto A con velocidad v0, como se indica
en la figura. Supóngase que puede ser considerado como una partícula y que siempre se
mantiene sobre su carril.
a) ¿Con qué velocidad pasará por los puntos B y C?
b) ¿Qué desaceleración constante se requeriría para detenerlo en el punto E si se aplican los
frenos en el punto D?
A
B
H
C
H
H/2
D
a
Rta.: a) v0 , (g h + v02)1/2
b
a
;
E
L
b) 1/2 (2 g h + v02) / L
92
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
1. Un perro que pesa 10 libras está sobre una batea de tal manera que queda a 20 pies de una
ribera. Camina 8 pies sobre la batea hacia la costa y ahí se detiene. La batea pesa 40 libras y
se puede suponer que no hay fricción entre el agua y ella. ¿A qué distancia de la orilla estará al
transcurrir este tiempo?
Rta.: 13,6 pie
2. Una bola de masa m y de radio R se encuentra colocada en el interior de una esfera hueca
más grande, que tiene su misma masa y un radio interno 2R. Esta combinación está en reposo
sobre una superficie sin fricción tal como se muestra en la figura. Se suelta la bola pequeña y
finalmente se detiene en el fondo. ¿Cuál será la distancia que se habrá movido la esfera
durante este proceso?
R
m
2R
m
Rta.: R/2
3. Ricardo, cuya masa es de 80 kg y Carmelita disfrutan un atardecer en una canoa de 30 kg.
Cuando la canoa se encuentra en reposo en aguas tranquilas, se intercambian sus lugares, que
están separados una distancia de 3 m y que están localizados simétricamente respecto al
centro de la canoa. Ricardo nota que la canoa se mueve 0,40 m respecto de un tronco
sumergido y con ello calcula la de Carmelita. ¿Cuál es esta masa?
Rta.: 58 kg
4. Un objeto de 5 kg con una rapidez inicial de 15 m/s, incide sobre una lámina de acero con un
ángulo de 45° y rebota con la misma rapidez y con el mismo ángulo, según se indica en la
figura. ¿Cuál es el cambio del ímpetu del objeto en dirección y magnitud?
m
45°
45°
Rta.: 212,13 j ( kg m/s )
5. Un cuerpo de 8 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 2 m/s, sin influencia de
ninguna fuerza externa. En cierto instante ocurre una explosión interna que divide al cuerpo
en dos fragmentos que tienen 4 kg de masa cada uno. La explosión suministra una energía
traslacional de 16 J al sistema formado por los dos fragmentos. Ninguno de los dos
fragmentos se sale de la línea original del movimiento. Determinar la rapidez y el sentido del
movimiento de cada uno de los fragmentos después de la explosión.
Rta.: 0 ; 4 i ( m/s )
93
6. Una vasija que estaba en reposo, explota rompiéndose en tres fragmentos. Dos
de ellos, que tienen igual masa, vuelan perpendicularmente entre sí y con la
misma rapidez de 30 m/s. El tercer fragmento tiene tres veces la masa de cada uno de los
otros dos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de su velocidad inmediatamente después de la
explosión?
Rta.: 14,14 m/s ; 135°
7. Un proyectil se dispara desde un cañón con una velocidad de 1.500 pies/s a un ángulo de 60°
respecto de la horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos de igual masa, 50 s después
de haber abandonado el cañón. Uno de los fragmentos, cuya rapidez justo después de la
explosión es cero, cae verticalmente. ¿A qué distancia del cañón cae el otro fragmento,
suponiendo que el terreno está a nivel?
Rta.: 25.514 m
8. Un cuerpo de masa m está colocado sobre una cuña de masa M, que a su vez se apoya sobre
una mesa horizontal. Todas las superficies son lisas y sin fricción. Si el sistema parte del
reposo, estando el punto P del cuerpo a una distancia h por encima de la mesa, encontrar la
velocidad de la cuña en el instante en que el punto P toca la mesa.
m
P
h
M
α
Rta.: ( 2m2 h g cos2 α / (m + M) / (M + m sen2 α))1/2
9. Una plataforma de ferrocarril, cuyo peso es W, puede rodar sin fricción sobre un carril
horizontal recto, como se muestra en la figura. Inicialmente el hombre de peso w está parado
sobre la plataforma que se mueve a la derecha con velocidad v0. ¿Cuál será el cambio de
velocidad de la plataforma si el hombre empieza a correr hacia la izquierda, de tal manera que
su rapidez con relación a la plataforma es vrel, justo antes de que salte por el extremo
izquierdo?
μ
w
W
V0
Rta.: w vrel / (w + W)
10. ¿Cuál debe ser la mínima velocidad v0 de una masa m, para que luego de chocar contra la
masa 2m vuelca a subir al punto más alto del rizo?
m
V0
R=1m
2m
Rta.: 20,04 m/s
94
11. Un platillo de 200 g de masa, suspendido de un cierto resorte, lo alarga 10 cm. Se
deja caer una bola de barro de 200 g desde una altura de 30 cm, partiendo del
reposo. Hallar la máxima distancia que se desplaza el platillo hacia abajo.
m
30 cm
Rta.: 0,30 m
12. Las dos masas de la derecha están inicialmente en reposo y un poco separadas. La masa de la
izquierda incide con una rapidez de v0. Suponiendo que las colisiones eran frontales,
demostrar:
a) Si M < m hay dos colisiones y encontrar todas las velocidades finales.
b) Si M > m hay tres colisiones y encontrar todas las velocidades finales.
V0
m
M
m
13. Un automóvil cuya masa es de 1.500 kg avanza a lo largo de una calle en dirección norte con
una velocidad de 50 km/h. al llegar a la bocacalle choca con un camión cuya masa es 5.000 kg
y que avanza por la calle transversal en dirección oeste con una velocidad de 60 km/h. Si como
consecuencia del choque ambos vehículo quedan unidos, dar la velocidad inmediatamente
después del choque y la energía cinética perdida durante el mismo.
Rta.: 47,57 km/h ; 271648 J
14. Una partícula de masa m desliza a partir del reposo desde el punto A en una vía sin
rozamiento. Abandona la vía en el punto B y en el punto C (punto más alto de su trayectoria)
choca elásticamente contra otra partícula de masa M = 2m, que estaba inicialmente en
reposo. Calcular la máxima altura H’ a la que se elevará M.
m
R= 30 cm
H= 100 cm
θ= 45°
M=2m
A
H
O
R
M
R
θ
C
B
Rta.: 0,75 m
95
H’
15. Demostrar que la fuerza que actúa entre dos cuerpos que chocan inelásticamente
durante un tiempo t es:
F= m1 m2 (v1 – v2)/[( m1 + m2) t ]
16. Calcular el trabajo hecho por una bala de 0,10 g para atravesar un bloque y la fuerza de
rozamiento media existente entre la bala y el bloque. Las velocidades inicial y final de la bala
son respectivamente 300 y 250 m/s. La bala atraviesa el bloque en 0,5 s.
Rta.: 1,375 J ; 0,01 N
17. Dos péndulos, ambos de longitud L, están colocados originalmente como se indica el la figura.
El primer péndulo se suelta y pega contra el segundo. Suponga que el choque es
completamente inelástico y que no se tiene en cuenta las masas de las cuerdas ni ningún
efecto de rozamiento. ¿Hasta qué altura se eleva el centro de masas después del choque?
ℓ
ℓ
d
m1
m2
Rta.: m12d / (m1 + m2)2
18. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg resbala sobre una mesa sin fricción con una velocidad de 10 m/s.
directamente enfrente de él y moviéndose en su misma dirección está otro cuerpo de masa
m2 = 5 kg cuya velocidad es de 3 m/s. A la parte posterior de m2 se sujeta un resorte sin masa
con una constante elástica k= 1.120 N/m. Cuando los cuerpos chocan, ¿Cuál será la máxima
compresión del resorte?
V02
V01
k
m2
m1
Rta.: 0,25 m
19. Una bola de masa m es proyectada con una velocidad vi en el ánima de una pistola de
resorte de masa M que inicialmente está en reposo sobre una superficie sin fricción. La masa
m se atora en el ánima en el punto de máxima compresión del resorte. No se pierde energía
por fricción. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial de la bola se almacena en el resorte?
V0
M
m
Rta.: M / (m + M)
96
20. Demostrar que la aceleración del centro de masas del sistema de la figura es
acm= g (m1 – m2)2 / (m1 + m2)2
m1 > m2
m1
m2
21. Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de un péndulo de masa M, saliendo con
velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de una cuerda de longitud L. ¿Cuál es el
menor valor de v para el cual el péndulo completará una circunferencia entera?
O
ℓ
v/2
v
M
1/2
Rta.: 2 M (5 g L) /(2m1)
22. El bloque A parte del reposo y se desliza cuesta abajo hasta chocar elásticamente con B. ¿A
qué distancia del punto C se detendrá cada bloque sabiendo que el coeficiente de rozamiento
entre los bloques y todas las superficies es μk= 0,18 h= 4,9 m
A
m
h
2m
30°
B
C
h
Rta.: 11,06 m
; 3,36 m
23. La masa m de la izquierda se mueve con velocidad v0 hacia la derecha y choca elásticamente
con la masa m/2 que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego hacia la
derecha y choca con una masa M que también está en reposo y más hacia la derecha, de tal
forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular el valor de la
masa M en función de m, para que luego de los dos choques, todas las masas tengan la
misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso.
V0
M
m
m/2
Rta.: M= 3 m/2
97
24. Las partículas de masas m1 y m2 chocan como se indica en la figura. Sabiendo
que m2 está inicialmente en reposo, calcular la mínima velocidad v0 que debe
tener m1 para que m2 pueda subir hasta la parte superior del plano inclinado. El choque es
perfectamente elástico.
h
μ= 0
V0
m1
m2
Rta.: (m1 + m2) (2 g L)1/2/(2m1)
25. Una bala de masa m = 10 g se mueve con velocidad v0 y se incrusta en un bloque de masa
M = 990 g, el cual se encuentra inicialmente en reposo unido a un resorte de constante
k = 2 N/m. El resorte se comprime 2 cm. Calcular v0 si el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y la superficie es 0,2. Calcular el trabajo hecho por la bala al penetrar en el bloque.
V0
k
M
m
Rta.: 28,14 m/s ; 3,36 m
26. Sobre un cuerpo de masa m= 5 kg, actúa una fuerza F, tal como se indica en el diagrama. Si
para t1= 2s la velocidad de la masa es 4 m/s, hallar su velocidad, en m/s, para t2= 5s.
F(N)
8
5
t(s)
2
5
Rta.: 7,9 m/s
27. El barco transportador de minerales, cuya masa es M, pasa bajo un dispositivo cargador a una
velocidad v0, recibiendo una masa m de minerales durante un tiempo t. Calcular el valor de la
aceleración media del navío durante el tiempo de cargado.
M
Rta.: m v0 / ((M + m) t)
98
28. Dos masas M1 y M2 que se encuentran sobre un plano horizontal sin
rozamiento, comprimen un resorte de constante k, una longitud x. Si las masas se sueltan a
partir del reposo, expresar las velocidades de cada masa en función de M1 , M2 , k y x , en el
instante que la fuerza del resorte es cero.
k
M1
M2
Rta.: M2 x ( k / M1 M2 + M22))1/2
; x (k M1 / (M1 M2 + M22))1/2
29. Una bala de masa m= 2 g se mueve horizontalmente a la velocidad v= 500 m/s y atraviesa
una bola de madera de masa M= 1 kg que cuelga en reposo de una cuerda de longitud L= 1 m,
como se muestra en la figura. Luego de atravesar la bola, la bala queda con una velocidad de
100 m/s.
a) ¿Con qué velocidad comienza a moverse la bola de madera
luego de ser atravesada por la bala?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola respecto de la
posición que se muestra en la figura?
v
c) ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de fricción entre la bola y la
M
bala?
m
Rta.: a) 0,8 m/s
; b) 0,03 m
; c)239,68 J
30. Una masa m y velocidad v pega perpendicularmente contra una pared y rebota sin disminuir
su velocidad. Si el tiempo que dura el choque es t. ¿Cuál es la fuerza media ejercida por la
pelota sobre la pared?
Rta.: 2 m v/t
31. Una masa m1 avanza con una velocidad v0 hacia otra masa m2 que descansa en reposo
sobre una superficie horizontal sin rozamiento. ¿Qué relación tiene que haber entre las
masas, para que después del choque, m1 rebote para atrás con una velocidad v0/2? ¿Cuál es
entonces la expresión que nos permite calcular la velocidad de m2 después del choque?
Rta.: m2= 3 m1 ; 1/2 v0
32. Sabiendo que la fuerza que ejerce la pista circular de la figura sobre la masa m= 2 kg, es seis
veces su peso, calcular la mínima masa M del otro bloque que se encuentra en reposo sobre
la superficie horizontal, para que el bloque m, luego de chocar elásticamente con el bloque
M, rebote hacia atrás y alcance el punto B sin despegarse de la pista. R= 5 m
B
A
m
R
120°
M
Rta.: 12,59 kg
99
33. Dos cuerpos se dirigen el uno hacia el otro y chocan elásticamente. Si M1 tiene
una velocidad V1 y M2=M1 /2 tiene una velocidad v = 2v1. Determinar las
velocidades finales de ambos cuerpos.
Rta.: - v1 ; 2 v1
34. Considérese un choque elástico en una dirección entre un cuerpo dado A que llega a un
cuerpo B que está inicialmente en reposo. ¿Cómo escogería usted la masa de B en
comparación con la masa de A para que B rebote con la máxima velocidad?
Rta.: mA >> mB
35. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial es transmitida por una partícula de masa m, que se
mueve con velocidad v, en un choque frontal elástico con otra partícula de masa m’
inicialmente en reposo? Expresar el resultado en función de la razón λ = m’ / m. ¿Para qué
valor de λ la transferencia es máxima y cuánto vale?
36. Un cuerpo de masa M avanza con velocidad v0 hacia otro de masa m que esta en reposo,
como se muestra en la figura. Ambos cuerpos chocan elásticamente, rebotando el cuerpo de
masa M hacia la izquierda y el de masa m hacia la derecha hasta chocar elásticamente
contra la pared. ¿Cuál debe ser la relación m/M si los cuerpos terminan moviéndose hacia la
izquierda con la misma velocidad final u?
V0
m
M
Rta.: 3
37. Un hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada
de un lago. Lleva en sus bolsillos una esfera de plomo de masa m. Arroja horizontalmente la
esfera de plomo con una velocidad relativa u respecto de sí mismo. ¿Con qué velocidad v se
mueve el hombre con respecto al lago después de tirar la esfera? Suponga que no hay
rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago.
Rta.: m u / (m + M)
38. Sobre un riel sin rozamiento un deslizador 1, de masa m, se aproxima con velocidad v0 al
deslizador 2, de masa M, inicialmente en reposo. Suponiendo que el choque es elástico
demostrar que la velocidad del centro de masa del sistema es la misma antes y después del
choque.
39. Un hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de
un lago. Lleva en sus bolsillos dos esferas de plomo de masa m cada una. En forma sucesiva
arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad relativa u respecto de sí
mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar las
dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del
lago.
Rta.: m (2M + 3m) u / (M + 2m) / (M + m)
100
40. Tres bolas de plastilina se mueven en la forma que se
indica en la figura y al chocar en un punto continúan
moviéndose como una sola. Hallar:
a) La velocidad de la masa combinada
inmediatamente después del choque.
b) La pérdida de energía.
1 kg
15 m/s
30°
0,5 kg
5 m/s
7,5 m/s
Rta.: a) 5,16 i + 1,25 j (m/s)
; b) 12 kgrm
1,5 kg
41. La masa m de la izquierda se mueve con velocidad v0 hacia la derecha y choca elásticamente
con la masa M que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego hacia la
derecha y choca con la masa m que también está en reposo y más hacia la derecha, de tal
forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular el valor de la
masa M en función de m, para que luego de los dos choques, todas las masa tengan la misma
velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso.
V0
M
m
m
Rta.: M= (21/2 – 1) m
42. Dos hombres de igual masa se mueven sobre patines especiales, que van sujetos al piso sobre
sendos carriles paralelos y sin fricción. Uno de los hombres viaja a velocidad v perseguido por
el otro que lleva sobre sus hombros a un niño de masa m y que viaja con una velocidad 2v. En
el instante en que se cruzan, el niño se pasa al hombro del otro patinador. La masa combinada
de cada hombre y su patín es 2m.
a) Escriba la fórmula que permita calcular la velocidad de ambos hombres después de que el
niño realizó el traspaso en función de los datos que se mencionan en el problema.
b) ¿Se pierde o se gana energía en el proceso? Justifique con una fórmula.
43. Una masa m1= 12 kg que se mueve con una velocidad v1=4 m/s y choca elásticamente contra
una masa m2 que se encuentra en reposo.
Rta.: a) 36 kg
; b) 2 m/s
44. Una bomba de masa m y velocidad v0 explota en tres fragmentos de la forma indicada en la
figura. Las masas de los fragmentos 2 y 3 son m/2 y m/3 respectivamente, en tanto que la
velocidad del fragmento 3 es el triple de v0. Los fragmentos salen disparados de tal manera
que la dirección de m1 es perpendicular a las direcciones de m2 y m3, siendo las direcciones de
m2 y m3, opuestas.
m2
a) Hallar las velocidades v1 y v2 de los fragmentos 2 y 3.
m
b) ¿La energía mecánica aumenta, disminuye o es la misma?
Justificar.
V0
Rta.: a) v1= 6 v0 , v2= 2 v0
;
b) aumenta
101
m1
m3
45. El grafico de la figura representa la variación de una fuerza F aplicada a una masa
m1=20 kg que se mueve a lo largo de una línea recta sin rozamiento desde un
punto A hasta un punto B.
a) Hallar la velocidad de la masa m1 en el punto B si la del punto A es la tercera parte del
módulo de la velocidad del patín de la figura de 40 kg, luego de que un hombre de 60 kg
haya saltado con un ángulo de 20° con la horizontal y una velocidad de 10 m/s (el patín se
encontraba inicialmente en reposo).
b) Si m1 choca en el punto B con una masa m2= 20 kg que avanza en sentido opuesto con
una velocidad de 3/2 de la de m1, hallar el módulo y el sentido de la velocidad después del
choque si el mismo es completamente inelástico.
F(kgf)
6
3
t(s)
2
3
5
46. Un cuerpo de masa m= 10 kg descansa sobre una cuña de masa M= 100 kg y una inclinación
de α = 30° , la cual a su vez descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la
figura. Despreciar el rozamiento en todas las superficies. Suponiendo que el punto P del
bloque se encuentra a una distancia h= 2 m y que es sistema se encuentra inicialmente en
reposo, encontrar la velocidad de la cuña en el instante en que el punto P llega a la mesa.
m
h
M
α
Rta.: 0,51 m/s
47. En un plano horizontal, absolutamente liso, se encuentran en reposo dos bloques 1 y 2, de
masas iguales a m, unidas por un resorte de constante k y longitud normal L. En dirección al
bloque de la izquierda se mueve un tercer bloque con una velocidad v cuya masa también es
m. Calcular las velocidades de los bloques 1 y 2 en el momento de máxima deformación del
resorte y la distancia entre los mismos en ese instante. Demostrar que los bloque unidos por
el resorte se moverán siempre en un mismo sentido.
V0
k
3
Rta.: 1/2 v
1
2
; L ± 1/2 v (2 m / k)1/2
102
48. Dos péndulos, cada uno de 1,20 m de longitud, están suspendidos del mismo
punto, como se muestra en la figura. La masa M1 es 10/5 UTM y la masa M2 es
5/3 UTM. Si se suelta M1 a partir del reposo y desde la posición horizontal, determinar las
alturas máximas que alcanzan las masas.
M1
M2
Rta.: 0,010 m ; 1,43 m
49. Un cuerpo de masa m =2 kg está inicialmente en reposo. En el instante t=0, actúan sobre él
dos fuerzas F1 y F2 que varían con el tiempo de acuerdo al grafico indicado en la figura.
Calcular la velocidad del cuerpo después de 6 segundos de la aplicación de las fuerzas F1 y F2.
F(N)
12
t(s)
2
6
-4
Rta.: 8 m/s
50. En un choque elástico en una dirección y en un mismo sentido entre dos masas m1 y m2,
encontrar la velocidad del centro de masa de las dos partículas, sabiendo que sus velocidades
antes del choque eran v1 y v2 respectivamente.
Rta.: (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2)
51. Un cuerpo de masa m=5 kg se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 10 m/s, durante
2 segundos. Calcular la variación de su cantidad de movimiento expresada en unidades del SI.
Rta.: 0
52. Un jugador de fútbol patea un tiro libre aplicando una fuerza de 30 kgf a una pelota de 0,5 kg
de masa, durante 0,10 s. Hallar la velocidad con que sale disparada la pelota.
Rta.: 212 km/h
53. Dos cuerpos A y B, de masas m y 10 m , se hallan unidos por un resorte comprimido como
se muestra en la figura. Se sueltan los bloques y el bloque A adquiere una velocidad VA. El
resorte tiene una constante k. Calcular la distancia x que estaba comprimida el resorte.
B
k
10 m
A
m
Rta.: (1,1 m/ k)1/2
103
54. Dos trozos de arcillas de masas mA = 0,250 kg y mB = 0,500 kg, chocan. Siendo
VA1= 10 m/s y VB1= 100 m/s. Tras el choque ambas masas se desplazan unidas.
Determinar la pérdida porcentual de energía a causa del choque.
Rta.: 27 %
55. Un cañón y n proyectiles están dentro de un carro de ferrocarril sellado de longitud L. El
cañón dispara hacia la derecha y el carro retrocede hacia la izquierda. Las balas permanecen
en el carro después de chocar contra la pared del mismo a una velocidad V. Después de que se
hayan disparado todos los proyectiles, hallar la velocidad del carro.
M
v
m
56. Un hombre de masa m se halla parado sobre un tablón de longitud L y masa M, apoyado en
una superficie sin rozamiento, en la posición mostrada en la figura. Posteriormente se
desplaza una distancia L/2 hacia la izquierda. Calcular la distancia d que se desplazará el
extremo B del tablón.
L/4
L/2
L/4
m
M
Rta.: 1/2 m L / (m + M)
57. Un objeto de masa m a una velocidad v golpea una placa de acero con un ángulo a y rebota a
igual velocidad y ángulo. Determinar el cambio de la cantidad de movimiento ΔP.
m
Rta.: 2 m v sen α j
58. Una ametralladora dispara sus proyectiles de 50 g con una velocidad de 1000 m/s. El tirador,
manteniéndola en sus manos, puede ejercer una fuerza media de 180 N contra ella.
Determinar el número máximo de proyectiles que puede disparar por minuto.
Rta.: 216
104
59. Dos bloques A y B, ambos de masa M, se hallan reposo sobre una superficie
horizontal sin rozamiento. El bloque A lleva adherida a él una masa m.
Posteriormente, el bloque A dispara la masa m con velocidad relativa u, ésta efectúa un
choque perfectamente elástico con el bloque B y rebota, chocando nuevamente con el bloque
A al cual se adhiere. Calcular las velocidades finales de A y B.
x
A
B
m
u
M
M
Rta.: 2 M2 m u / (m + M)3
; 2 M m u / (m + M)2
60. Dos partículas de masas m1 = 5kg y m2= 8 kg , se mueven con velocidades V1= 4 m/s y
V2=16m/s, como se muestra en la figura. Las partículas chocan inelásticamente y continúan
unidas. Hallar la cantidad de movimiento final.
v1
m1
v2
m2
Rta.: - 20 i + 128 j (kg m/s)
61. Un cuerpo A de masa igual a 6 kg desliza con una cierta velocidad inicial en una vía sin
rozamiento y choca elásticamente con el cuerpo B de masa igual a 3 kg, que inicialmente se
encuentra en reposo. Calcular la velocidad inicial del cuerpo A para que el cuerpo B sea capaz
de atravesar la fosa de 12 m de longitud mostrada en la figura.
A
B
12 m
A
Rta.: 14,85 m/s
62. Una rana de masa m está subida a un patín de masa M, como se muestra en la figura,
estando el patín inicialmente en reposo. La rana salta con una velocidad v formando un
ángulo α con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D.
a) ¿Cuánto vale la velocidad del patín después de saltar la rana?
b) ¿A qué distancia de su posición inicial la rana toca el suelo? Despréciese la altura del patín.
M
Rta.: a) m v0 cos α / M
;
b) v02 sen 2 α /g
105
63. Los cuerpos 1 y 2 están dispuestos como se indica en la figura, en los puntos A
y B (está a 80 m del origen O). Sabiendo que en la posición A el resorte se
encuentra con su longitud natural y que el cuerpo 2 es lanzado con una velocidad v0 y
formando un ángulo α con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D.
a) ¿Cuál es la velocidad v0 y el ángulo α, con que sale el cuerpo 2, si ambos cuerpos chocan
en C, ubicado en el punto medio de OD y OB y que el cuerpo 1 tarda 4 s en ir de D a C?
b) ¿Cuál es la compresión del resorte, si AD= 2m y μk= 0,30
Y
entre el plano y el cuerpo 1?
1
c) Si m1=m2=5 kg, calcular a qué distancia, a partir del
A
D
origen de coordenadas indicado en la figura, caerá el
C
h
V0
cuerpo 2, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es
x
2
1 y que el cuerpo 1 sale después del choque con un
O
B
ángulo de 45° con el sentido positivo del eje x.
64. Dos satélites A y B de masas mA = mB, se encuentra girando en una misma orbita circular de
radio R, alrededor de la tierra, pero en sentidos de rotación opuestos. Si el choque de los
satélites es completamente inelástico, calcular la velocidad de los satélites unidos, después
del choque. ¿Qué trayectoria describirán los satélites unidos, después del choque?
Rta.: 0 ; movimiento rectilíneo
65. Un cuerpo de masa m1= 100 kg está en reposo sobre una mesa larga y sin fricción, una de
cuyos extremos termina en una pared. Otro cuerpo de masa m2 se coloca entre el primero y
la pared y se pone en movimiento hacia la izquierda con velocidad constante v2i, como se ve
en la figura. Suponiendo que todas las colisiones sean elásticas, encontrar el valor de m2 para
el cual ambos cuerpos se mueven con la misma velocidad después que m2 choca primero con
m1 y después con la pared. La pared tiene una masa infinita.
v2i
m2
m1
Rta.: 33,3 kg
66. En la figura se muestra un émbolo sin rozamiento, suspendido de un resorte de masa
despreciable y de constante k= 19,6 N/m, la masa del émbolo es M= 1,5 kg. Posteriormente,
sobre el émbolo choca en forma completamente inelástica un trozo de masilla de masa
m=0,5 kg a una velocidad de 14,7 m/s. Determinar la altura a la que se eleva el émbolo tras el
choque.
k
M
v
m
Rta.: 0,95 m
106
67. A una masa m= 1 kg, que se desplaza inicialmente con una velocidad constante
V= 10i – 4j (m/s) se le aplica una fuerza constante F= 20 i + 25 j (N) durante un
tiempo de 2 segundos. Hallar la velocidad final de la masa.
Rta.: 50 i +46 j (m/s)
68. Una bola, con velocidad inicial de 10 m/s, choca elásticamente con otras dos bolas idénticas,
cuyos centros están sobre una línea perpendicular a la velocidad inicial y que originalmente
estaban en contacto entre sí. La primera bola se apuntó directamente al punto de contacto y
ninguna bola tiene fricción. Encontrar las velocidades de las tres bolas después de la colisión.
2
V0
1
3
Rta.: 2 m/s
; 6,93 m/s
; 6,93 m/s
69. Un carro lanzador de misiles con una masa M, dispara horizontalmente un cohete con masa m
y retrocede hacia arriba de un plano inclinado liso, elevándose hasta una altura h.
Encuéntrese la velocidad inicial del cohete.
m
h
M
θ
Rta.: M(2 g h)1/2 / m
70. La carreta de masa M de la figura se mueve sin rozamiento sobre un plano horizontal con
una velocidad v0. En la parte delantera de la carreta se coloca un cuerpo de masa m y
velocidad inicial igual a cero. Las dimensiones del cuerpo en relación con la longitud de la
carreta pueden ser despreciadas. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la carreta es
μ. ¿Para qué longitud L de la carreta el cuerpo no caerá de la misma?
m
M
V0
L
Rta.: 1/2 Mv02 / (μ g (m + M))
71. Considérese un choque elástico en una dirección entre un cuerpo dado A que llega a un
cuerpo B que está inicialmente en reposo. ¿Cómo escogería usted la masa de B en
comparación con la masa de A para que B rebote con la máxima cantidad de movimiento?
Rta.: mB >> mA
107
72. Dos bloques A y B, ambos de masa M= 10 kg, se hallan inicialmente en reposo
sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A lleva adherida una
masa m= 5kg. Posteriormente el bloque A dispara la masa m con una velocidad relativa u=
27 m/s. La masa m efectúa un choque completamente elástico con el bloque B y rebota,
chocando nuevamente con el bloque A, al cual se adhiere finalmente. Hallar las velocidades
finales de los bloques A y B.
x
A
m
B
u
M
M
Rta.: - 9 m/s
; 12 m/s
73. Un bloque de masa M = 30 kg se suelta desde una altura h = 2 m sobre el plato, de masa
m= 10 kg, de una balanza de resorte. Asumiendo que el impacto es perfectamente elástico,
determinar la máxima deflexión x del plato. La constante del resorte es k= 20 kN/m.
M
h
m
x
k
Rta.: 0,225 m
74. Una partícula de masa m posee una velocidad v0 cuando se encuentra en la parte inferior de
un cuerpo en forma de cuña de masa M, que en ese mismo instante está en reposo. Siendo α
el ángulo de la cuña y sabiendo que todas las superficies son lisas, hallar la máxima altura a
que llega la partícula sobre la cuña y el tiempo que tarda en alcanzarla. M= 1 kg ; M= 2 kg ;
v0= 5 m/s ; α = 30°
V0
M
m
Rta.: 0,96 m
;
α
0,765 s
75. Varios niños empujan, partiendo del reposo, un vagón de masa M sobre una vía horizontal,
aplicando sobre él una fuerza horizontal constante F durante un tiempo t. En ese momento
empieza a llover copiosamente, de manera que caen λ litros de agua, de densidad ρ, en un
tiempo t. Hallar la nueva velocidad del vagón al cabo de ese tiempo t.
Rta.: 2 F t /(M + λρ)
108
76. Dos esferas A y B, que tienen masas diferentes pero desconocidas, chocan
elásticamente entre sí. Inicialmente A está en reposo y B se mueve con una
velocidad v0. Después del choque B se mueve con una trayectoria perpendicular a la original
con una velocidad vo/2. Determinar la dirección de la trayectoria de la masa A, con respecto a
la de B.
Rta.: 90° + arctg (1/2)
77. Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Posteriormente choca
sucesivamente con el suelo, perdiendo en cada choque una fracción de su energía cinética.
Hacer el gráfico de v = f(t) que mejor representa el fenómeno. (adoptar el sistema de
referencia hacia arriba)
78. Dos cuerpos de masas m1 = 1,5 m2 se mueven sobre una superficie horizontal sin rozamiento
con velocidades v2= 1,5 v1 en sentidos opuestos. Sabiendo que después del choque oblicuo la
masa m2 sufre un desvío α de su dirección original que su velocidad u2= v1, hallar la nueva
velocidad de la masa m1 y su desvió angular.
V1
1
V2
2
Rta.: - v1 / 1,5
79. Los gráficos representan las velocidades en función del tiempo, de dos objetos esféricos
homogéneos e idénticos, que colisionan frontalmente. Si
es la cantidad de movimiento
del sistema formado por los dos objetos y E la energía cinética del mismo sistema, ¿Cuál de
las dos magnitudes se conserva?
v
v
v/2
v/2
t
t
Rta.: cantidad de movimiento
80. Una bola es abandonada desde una altura H, sobre una superficie horizontal plana. Sabiendo
que después de chocar contra la superficie, la bola asciende hasta una altura H/2, determinar
el coeficiente de restitución del choque.
Rta.: 1/2 21/2
81. Un pescador de masa m se encuentra en el extremo de un bote de masa M y longitud L, en
un lago tranquilo. Estando inicialmente el sistema en reposo, el pescador comienza a caminar
sobre el bote hasta alcanzar el otro extremo. Suponiendo que no existe rozamiento entre el
agua y el bote, hallar el desplazamiento del bote al terminar el recorrido y lo que ocurre con el
sistema.
Rta.: m L / (m + M)
109
82. Un carrito A, de masa m, y otro B, de masa 3m, unidos por un resorte de masa
despreciables e inicialmente estirado, son mantenidos en reposo sobre una
superficie plana y horizontal. Cuando los dos carritos son liberados simultáneamente, el
resorte los empuja uno contra otro y el carrito A adquiere, después que el resorte estuviera
relajado una velocidad de 1,5 m/s. Calcular la velocidad adquirida por el carrito B.
Rta.: - 0,5 m/s
83. Un proyectil de masa m y velocidad v acierta a un objeto de masa M, inicialmente inmóvil. El
proyectil atraviesa el cuerpo de masa M y sale de él con una velocidad v/2. El cuerpo que fue
acertado desliza por una superficie sin rozamiento, subiendo una rampa hasta una altura H.
determinar la velocidad inicial v del proyectil.
Rta.: 2 M (2 g h)1/2/ m
84. Un bote de masa M, inicialmente en reposo tiene instalada una ametralladora. El arma
dispara horizontalmente N balas por segundo durante un intervalo de tiempo T. cada bala
tiene una masa m y es disparada con velocidad Vo. Considere también que T es pequeño y
que M >> TNm. Desprecie además la resistencia que el agua ejerce sobre el bote. Teniendo en
cuenta estas aproximaciones, hallar la distancia recorrida por el bote al cabo del tiempo T.
Rta.: 1/2 N m v0 T2 / M
85. Dos péndulos A y B, de masas m y 5m/3, respectivamente, cuelgan verticalmente de dos
hilos de masas despreciables, cuya longitud es L. El péndulo A se eleva hasta una posición tal
que el hilo forme con la vertical un ángulo de 45° y desde allí se suelta. Sabiendo que la
relación entre las alturas a que suben los cuerpos A y B después del primer choque vale
0,034 , el coeficiente de restitución vale, aproximadamente:
45
L
A
B
Rta.: 0,80
86. Un hombre de masa M= 80 kg, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie
congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos dos esferas de plomo de masa m= 0,5 kg cada
una. En forma sucesiva arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad
relativa u= 2 m/s respecto a sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con
respecto al lago después de tirar las dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el
hombre y la superficie congelada del lago.
Rta.: 0,025 m/s
87. Un mono de masa M que se encuentra a una altura H del piso, se lanza a recoger un cesto de
frutas de masa m que se encuentra en el piso, usando una cuerda
ligera de longitud L justamente debajo del punto de suspensión de
M
la cuerda, a una distancia L. Hallar la relación entre las velocidades
L
del mono inmediatamente antes y después de tomar el cesto.
Rta.: (M + m) / M
m
110
h
88. Un proyectil se dividió en tres partes, que se separan formando ángulo de 120°
como se indica en la figura. Sabiendo que la relación entre las cantidades de
movimiento es p1 > p2 = p3 , determinar la dirección en que se movía el proyectil antes de
dividirse.
P2
120°
P1
120°
120°
P3
Rta.: - i
89. Dos bloques de masas M y m se encuentran inicialmente moviéndose sobre una superficie
horizontal sin rozamiento con una velocidad v0. Repentinamente se libera un resorte de
constante k que se encontraba comprimido entre las dos masas y la masa M se detiene.
Hallar la deformación inicial del resorte.
V0
M
m
Rta.: (M (M + m)/(k m))1/2
90. Un proyectil de masa m y velocidad v se incrusta en el primero de n bloques de masa M= 3m
que descansan en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Hallar la cantidad de
bloque que estarán en movimiento para cuando la velocidad del sistema sea 1 % de la
velocidad inicial del proyectil. (suponer que todos los choques son completamente inelásticos)
M
n bloques
Rta.: 33
91. El plano inclinado de masa M de la figura está en reposo sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. Contra él choca elásticamente una bola de masa m que se mueve
horizontalmente con velocidad v0 y rebota en dirección vertical con velocidad v1. Calcular la
velocidad v1.
V1
V0
M
Rta.: v0((M – m) /M)1/2
111
V2
92. La velocidad de la partícula de masa m= 30 kg que se mueve sobre el eje x, varía
con el tiempo como se indica en la figura. Calcular el valor de la fuerza media, en
N, que actúa sobre la partícula en el intervalo t1= 5 s y t2= 35 s.
V(m/s)
10
T(s)
0
-10
5 10
20
30 35 40
Rta.: - 20 N
93. Dos bolas A y B, de masas mA= 2 mB, tienen inicialmente las velocidades vA y vB= 3/8 vA,
que se muestran en la figura. Si el coeficiente de restitución e= 0,5 , determinar la velocidad
después del choque de la bola A.
vA
vB
mA
mB
Rta.: 5/16 vA
94. Dos carros de una montaña rusa de masa m1 y m2 , salen sin velocidad desde dos alturas
diferentes h1 y h2 y chocan en la recta AB, con un coeficiente de restitución de 0,8 ,
recorren el rizo vertical de radio R1, bajan por una pendiente de altura H y recorren una
circunferencia horizontal de radio R2 con ángulo
de peralte 45°. Si se desea que el carro más lento
m1
2R1
m
C
2
llegue al punto C y que el carro más rápido no
h h
derrape en el punto D, calcular los mínimos valores
de h1 y h2 sabiendo que m1= 100 kg , m2= 50
A
H B
D
kg, R1= 1,96 m , R2=40,33 m y H = 8,07 m.
Rta.: 10 m
; 2,5 m
R2
95. Se deja caer un pesado martillo de masa M= 3.000 kg desde una altura h= 3m sobre el
extremo de un pilote de masa m= 1.000 kg, y penetra en el suelo una distancia d= 50 cm.
Encontrar:
a) La resistencia del suelo, suponiendo que es constante y que el pilote y la masa M
permanecen juntos durante el impacto.
b) El tiempo en que el pilote se encuentra en movimiento.
M
c) La energía cinética que se pierde en el impacto.
Rta.: a) 171500 N
; b) 0,174 s ; 22050 J
m
H
d
112
CINEMÁTICA DE ROTACIÓN.
1. Un automóvil que viaja a 97 km/h, tiene ruedas de 76 cm de diámetro.
a) ¿Cuál es la rapidez angular de las ruedas alrededor del eje?
b) Si las ruedas se detuviesen uniformemente en 30 vueltas, ¿Cuál sería la aceleración
angular?
c) ¿Cuánto avanza el automóvil durante este periodo de frenado?
b) 13,34 rad/s2
Rta.: a) 70,91 rad/s
c) 71,61 m
2. Un método para medir la velocidad de la luz emplea una rueda giratoria. Un haz de luz pasa
por una ranura en el borde exterior, exactamente en el tiempo necesario para pasar por la
siguiente ranura de la rueda.
a) Calcular la velocidad angular de la rueda.
b) Calcular la velocidad de un punto de la periferia.
R= 5cm
C=299792458 m/s
Rta.: a) 3770 rad/s
500 dientes
b) 188,5 m/s
3. Una rueda A de radio ra= 10 cm, está acoplada mediante una banda B a otra rueda C de radio
rc = 25 cm, tal como se muestra en la figura. La rueda A aumenta su rapidez angular a partir
del reposo con un ritmo uniforme de π/2 rad/s2. Determinar el tiempo que le toma a la rueda
C, alcanzar una rapidez rotacional de 100 rev/min, suponiendo que la banda no resbala.
B
rC
rA
A
C
Rta.: 16,7 s
4. Un insecto de masa 8.10-2 g, camina hacia afuera, con una rapidez constante de 1,6 cm/s, a lo
largo de una línea radial marcada en la tornamesa de un tocadiscos que gira con una velocidad
angular constante de 33,33 rpm. Encontrar:
a) La velocidad
b) La aceleración del insecto según un observador en el piso, cuando el insecto está a 12 cm
del eje de rotación.
c) ¿Cuál debe ser el coeficiente de fricción mínima para que el insecto llegue al borde de la
tornamesa, de 16 cm de radio, sin resbalar?
Rta.: a) 0,42 m/s
b) 1,47 m/s2
113
c) 0,20
5. La rapidez angular del motor de un automóvil aumenta de 1.200 rpm hasta 3.000
rpm en 12 s.
a) ¿Cuál sería la aceleración angular suponiendo que fuese uniforme?
b) ¿Cuántas revoluciones efectúa la máquina durante este tiempo?
Rta.: a) 15,71 rad/s2
b) 420 rev
6. La tornamesa de un fonógrafo, que gira a 78 rpm, se frena y se detiene 30 s después de
haber desconectado el motor.
a) Encontrar su aceleración angular (uniforme)
b) ¿Cuántas revoluciones efectúa en dicho tiempo?
Rta.: a) 0,27 rad/s2
b) 20 rev
7. Un disco uniforme gira alrededor de un eje fijo, partiendo del reposo y acelerándose con
aceleración angular constante. En un tiempo dado está girando a 10 rev/s. Después de
completar 60 rev más, su rapidez angular es de 15 rev/s. Calcular:
a) La aceleración angular.
b) El tiempo requerido para completar las 60 rev mencionadas.
c) El tiempo requerido para alcanzar la rapidez angular de 10 rev/s.
d) El número de revoluciones efectuadas desde el reposo hasta el tiempo en que el disco
alcanza la rapidez angular de 10 rev/s.
Rta.: a) 6,54 rad/s2
b) 4,8 s
c) 9,6 s
d) 48 rev
8. Un volante completa 40 rev al desacelerarse desde una rapidez angular de 1,5 rad/s hasta
detenerse totalmente. Suponiendo que tenga una aceleración uniforme.
a) ¿Cuál es el tiempo requerido para llegar al reposo.
b) ¿Cuál es la aceleración angular?
c) ¿Cuánto tiempo se requiere para completar la mitad de las 40 rev?
Rta.: a) 335,1 s
b) 4,48 .10-3 rad/s2
c) 98,15 s
9. La Tierra gira alrededor del Sol casi en un círculo
a) ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra (Considerada como una partícula) alrededor del
Sol y
b) su rapidez lineal media en su órbita?
c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra respecto al Sol?
Rta.: a) 2. 10-7 rad/s
b) 3 . 104 m/s
; 6 . 10-3 m/s2.
10. ¿Cuál es la rapidez angular de un automóvil que toma una curva circular de 110 m de radio a
48 km/h?
Rta.: 0,12 rad/s
114
DINÁMICA DE ROTACIÓN
1. En el sistema que se muestra en la figura, calcular:
a) La aceleración angular del sistema.
b) La aceleración angular del sistema cuando m1 haya caído 20 cm a partir del reposo.
m1 = 10 kg ; m2= 5 kg ; m3= 5 kg ; R= 25 cm
m3
R
m2
m1
Rta.: a) 11,2 rad/s2
;
b) 4,23 rad/s
2. Determinar para el sistema de la figura la aceleración angular del disco y la aceleración lineal
de las masas m1 y m2. Calcular la tensión en cada cuerda. Los espesores de ambos discos
son iguales a e.
m1=600 g ; m2= 500 g ; M= 800 g ; R= 8 cm ; r= 6 cm
M
r
R
m2
m1
Rta.: 22,62 rad/s2
; 1,81 m/s2
;
1,36 m/s2
; 4,79 N
; 5,58 N
3. Un bloque de 26,8 N de peso se coloca en un plano inclinado 30° con respecto a la
horizontal, y mediante una cuerda paralela al plano y que pasa por una polea que está en la
parte superior, va unido a un bloque colgante que pesa 80 N. La polea pesa 8,9 N y tiene un
radio de 0,10 m. Encontrar la aceleración del bloque que está suspendido y la tensión de la
cuerda a cada lado de la polea. La polea es un disco uniforme.
26,8N
80N
30°
Rta.: 5,87 m/s2
;
29,45 N
;
32,08 N
115
4. En el sistema que se muestra en la figura:
a) Calcular la aceleración del sistema en el instante que se corta el hilo AB.
b) Calcular la velocidad del sistema cuando la barra está en la posición vertical.
m1= 5 kg ; m2= 4 kg ; m3= 6 kg ; m4= 10 kg ; R= 40 cm ; l= 2m ; x= 0,5 m ; h= 5m
A
x
B
m1
m2
h
m3
L
m4
Rta.: a) 3,57 rad/s2
;
b) 2,35 rad/s
5. Una regla de longitud L= 1 m se sostiene verticalmente con un extremo en el piso y se le deja
caer. Encontrar la velocidad del otro extremo cuando este pega contra el piso suponiendo que
el extremo apoyado sobre el piso no resbale.
Rta.: 5,4 m/s
6. El sistema de la figura consta de dos discos giratorios de masas m1 y m2 y radio R1 y R2
unidos por una cuerda que se ajusta perfectamente sobre su borde. Lleva además los
accesorios indicados en el gráfico, donde m4 es una masa esférica.
a) Encontrar la posición de equilibrio del sistema (la dibujada no lo está)
b) Si se suelta el aparato en la posición dibujada, encontrar la velocidad de M y la aceleración
angular de la barra en el momento de pasar por la posición de equilibrio.
m1
m1 = 12 kg
m2 = 6 kg
m3 = 30 kg
m4 = 70 kg
M = 3400 kg
R1
R1 = 0,5 m
R2 = 0,25 m
r = 0,1 m
∅= 0,2 m
ℓ=2m
R2
r
;
b) 0,082 m/s
ℓ
m3
∅
M
Rta.: a) 90°
m2
m4
; 0
7. Un cilindro de 0,30 m de longitud y 0,025 m de radio pesa 26,7 N. Dos cuerdas están
arrolladas alrededor del cilindro, cada una de ellas cerca de los extremos y los extremos de las
cuerdas se encuentran fijos en ganchos colocados en
el techo. El cilindro se sostiene horizontalmente con
las dos cuerdas. Encontrar la tensión de las cuerdas
al desenrollarse.
Rta.: 4,45 N
r
L
116
8. El cilindro de masa m1= 20 kg está unida por una cuerda sujetada a su eje. La
cuerda pasa por una polea cilíndrica de masa m2= 10 kg y está unida en su otro extremo a una
masa m3= 50kg. Sabiendo que el cilindro rueda sin resbalar, calcular:
a) La aceleración lineal del sistema.
b) La tensión de la cuerda que tira el cilindro.
c) La tensión en la cuerda que cuelga a m3.
d) La fuerza de rozamiento entre el cilindro y el
plano inclinado.
e) El mínimo coeficiente de rozamiento entre el
cilindro y el plano inclinado.
f) Hallar la velocidad lineal del sistema cuando m3
30°
baja 30 cm a partir de la posición de reposo.
Rta.: a) 4,61 m/s2
b) 236,35 N
c) 259,41 N
d) 46,12 N
e) 0,27
f) 1,66 m/s
9. Un proyectil de masa m= 0,10 kg choca una varilla homogénea de masa 8 kg. La bala queda
incrustada en el extremo inferior. La varilla puede girar alrededor del punto A, por donde
cuelga y tiene una longitud de 1 m. Siendo la velocidad inicial de la bala de 50 m/s, calcular la
velocidad angular de la barra inmediatamente después del choque y la pérdida de energía.
M
m
Rta.: 1,81 rad/s
;
L
V0
120,47 J
10. Dos cilindros de radios R1= 2m y R2= 1m y masas m1= 20 kg y m2= 10 kg, respectivamente,
están apoyados en ejes perpendiculares al plano de la figura. El cilindro mayor está girando
inicialmente con una velocidad angular ω0= 3 rad/s. El cilindro pequeño se mueve hacia la
derecha hasta tocar al grande y en un momento dado, deja de haber resbalamiento entre los
dos, y los dos cilindros giran a razones constantes y en direcciones opuestas.
a) Encontrar la velocidad angular final del cilindro más pequeño.
b) ¿Se conserva la energía cinética del sistema? En caso negativo, hallar la variación de la
energía cinética del sistema?
R2
R1
I1
I2
Rta.: l1ω0R1R2/(l2 R12 + l1 R22)
117
11. En un parque de juegos hay una pequeña calesita de 1,22 m de radio y 175 kg de
masa. Su radio de giro es de 0,915 m. Un muchacho de masa 43,8 kg corre con
una velocidad de 3,05 m/s en dirección tangente a la periferia de la calesita cuando ésta se
encuentra en reposo y salta a la calesita. Despreciando los rozamientos, encontrar la
velocidad angular de la calesita.
Rta.: 0,77 rad/s2
12. Un disco macizo y homogéneo de aluminio de 10 cm de radio y 5 cm de espesor puede girar
alrededor de un eje que pasa por O. Se dispara hacia la periferia del disco, en dirección
tangente, una bala de plomo de 30 g de masa con una velocidad de 300 m/s, quedando ésta
incrustada en el extremo del disco. Calcular la velocidad angular del sistema después del
choque y la energía cinética que se pierde en el choque. ρal= 2,7 g/cm3.
V0
m
O
R
Rta.: 412,85 rad/s 1131,17 J
13. Una cucaracha de masa m corre en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del
borde de un disco circular, montado sobre un eje vertical de radio R y masa M, con cojinetes
sin fricción. La velocidad de la cucaracha con relación al piso es v, mientras que el disco gira en
el sentido de las manecillas con una rapidez angular ω. La cucaracha encuentra un migaja de
pan en el borde y por supuesto se detiene.
a) ¿Cuál es la velocidad angular del platillo después que se detiene la cucaracha?
b) ¿se conserva la energía? Si no, hallar la condición para que se conserve.
Rta.: a) (M R ω0 – 2 m v) / (M R + 2 m R)
14. El sistema que se muestra en la figura está compuesto de un hilo de masa despreciable con
una masa m en su extremo y una barra uniforme de masa 4m. El hilo y la barra están fijos en
el punto A al plano de la hoja y se suelta a partir del reposo. La masa choca elásticamente con
la barra. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular la velocidad de la masa m y la
velocidad angular de la barra después del choque en función de g, l y ϕ.
A
3/4 ℓ
∅
ℓ
m
4m
Rta.:
(1,5 g (1 – cos ϕ))1/2
;
( 1,5 g ( 1 – cos ϕ))1/2
118
15. El sistema de la figura consiste en una polea cilíndrica de radio R= 50 cm y masa
m1= 2 kg, unida rígidamente a una varilla de longitud L = 2 m y masa m2= 1kg,
que puede girar alrededor del apoyo fijo en A. Se aplica un golpe seco a la varilla, que dura 5
milisegundos, de tal manera que el sistema da una vuelta completa alrededor del punto A
¿Cuál es el mínimo valor de la fuerza F que actúa durante el golpe seco, si se supone que dicha
intensidad es constante?
R
L
F
Rta.: 787,82 N
16. Tres masas puntuales iguales en los vértices de un triángulo equilátero están unidas por una
lámina triangular de masa despreciable.
a) Determinar el momento de inercia Iz con respecto al eje normal que pasa por el centro
geométrico C.
b) Evaluar Iy para el eje y representado.
c) Evaluar Ix para el eje x representado.
Y
C
Rta.: a) m a2
;
b)
m a2
;
c)
x
m a2
17. Hallar el momento de inercia del sistema con respecto a un eje que pasa por O y es
perpendicular al plano de la figura. Todas las varillas son uniformes, de la misma sección y con
una masa μ kg por metro lineal.
Rta.:
μ (b3 + 2 a2b + 2 a b2 + a3)
119
18. Si el sistema que se muestra parte del reposo, calcular:
a) El momento de inercia de la polea con respecto a su eje.
b) La aceleración angular del sistema.
c) El número de vueltas que da el sistema en los primeros 20 s.
d) La energía cinética del sistema cuando la masa m2 sube 1m.
e) La variación de energía potencial del sistema en los primeros 10 s.
RA
A
B
RB
m1
2
Rta.: a) 0,17 kg/m
m2
b) 23,71 rad/s2
;
; c) 755 rev
; d) 147 J ; e) – 17427 J
19. Un cilindro rueda sin deslizar desde una altura H sobre un plano inclinado 30°. En un punto
situado a 2/3 H se traba el giro y el cilindro comienza a deslizar. Determinar el valor de μk
para que el cilindro se detenga justo al final del plano.
H
2/3H
30°
Rta.: 0,77
20. En la figura la barra está pivotada en el punto A. Si inicialmente se encuentra en reposo son
θ=0°, hallar la velocidad angular de la barra en función al ángulo. Determinar además la
velocidad lineal del centro de masa cuando la barra toca el suelo. La longitud de la barra es
L=4m.
θ
A
Rta.: (3 g (1 – cos θ))1/2
; 5,42 m/s
21. Un cilindro, una esfera y un cubo se lanzan sucesivamente a partir del reposo y recorren todos
la mismas distancias sobres un mismo plano inclinado de 30°. El cilindro y la esfera ruedan, en
tanto que el cubo desliza. El coeficiente de rozamiento entre el cubo y la superficie es 0,36. Si
la velocidad final del cilindro es 1 m/s ¿Cuál es la velocidad final de la esfera y la del cubo?
Rta.: 1,04 m/s
; 0,75 m/s
120
22. La puerta que se muestra en la figura, es homogénea, de masa M, ancho a y se
halla suspendida de sus goznes formando un ángulo θ con la pared. Si se aplica una fuerza F,
perpendicular al plano de la puerta y actuando durante un intervalo de tiempo muy pequeño
Δt, ¿Cuál será el mayor valor de θ para que la puerta se cierre, suponiendo que el rozamiento
en los goznes produce una desaceleración constante α? El momento de inercia de la puerta
con respecto al eje que pasa por su centro de masa es l= 7/4 Ma2.
θ
θ
90°
a
F
Rta.: F2Δt2/ (8 M2 a2 α)
23. El sistema que se muestra en la figura parte del reposo. La masa m1 es esférica y la masa m2 es
una polea cilíndrica. Calcular:
a) La aceleración lineal inicial del sistema.
b) La velocidad angular de la barra cuando pasa por su posición vertical.
m= 1kg ; m1= 3 kg
μk= 0,2 ; θ= 60°
; m2= 12 kg
; M = 30 kg ;
r1= 10 cm ; r2= 80 cm ; l= 1 m ;
m2
m1
m
r
r1
M
ℓ
θ
Rta.: a) 4,23 m/s2 ; b) 4,27 rad/s
24. Se tienen dos esferas de masas m y 3m, de radios r y 2r, unidos por una varilla de masa
M=5m. El sistema puede girar alrededor del centro de la esfera menor en un plano vertical.
Calcular la velocidad lineal del centro de masa del sistema al pasar por la posición vertical.
3m
m
M= 5m
L= 5r
Rta.: 8,02 r1/2
121
25. Sabiendo que no hay rozamiento entre la mesa horizontal y el cilindro, calcular la
relación r/R para que el cilindro ruede sin resbalar. La cuerda está enrollada por el eje de
radio r. lcm=1/3MR2
F
r
R
Rta.: 1/3
26. El péndulo físico que se muestra en la figura es de aluminio y consta de una varilla, de 90 cm
de largo y 0,25 kg de masa, y de una esfera de 20 cm de diámetro y 10 kg de masa. Una bala
de plomo de 50 g, dispara horizontalmente, choca centralmente con la masa esférica. Luego
del choque la bala queda incrustada en la esfera. Sabiendo que como consecuencia del
choque el péndulo oscila con una amplitud máxima de 30°, calcular:
a) La velocidad angular del sistema después del choque.
b) La velocidad de la bala antes del choque.
c) La pérdida de energía mecánica.
40cm
V0
20cm
m
Rta.: a) 1,62 rad/s
;
b) 329,1 m/s
;
c) 2694,34 J
27. ¿Cuál es la mínima velocidad que tiene que llevar el proyectil de masa m para que al chocar e
incrustarse en el extremo inferior de una barra homogénea de longitud L, masa M y que se
encuentra en el otro extremo por un eje, dé una vuelta completa alrededor de dicho eje,
después del impacto?
L
m
M
V0
Rta.: (2/3 (M + 3m) (M + 2m) g L /m2)1/2
122
28. La esfera hueca y de masa M y momento de inercia I= 5/9 MR2 con respecto a un
diámetro, parte del reposo desde una altura h= 1,27 m sobre la base de un plano
inclinado un ángulo de 30° y rueda sin deslizar hasta chocar contra el bloque de masa 3M,
inicialmente en reposo. El choque es frontal y elástico y se supone que durante el mismo no
varis la velocidad angular de la esfera.
a) Si M = 3kg y la máxima compresión del resorte es 60 cm, ¿Cuál es la constante k del
mismo?
b) ¿Cuál es el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre la esfera y el plano
inclinado para que ésta ruede sin resbalar?
M
μs
h
3M
30°
μk=0
Rta.: a) 100 N/m
;
b) 0,21
29. Un carrete tiene un radio interior r1 y un radio exterior r2 y un momento de inercia I0
respecto del centro de masa. El carrete tiene enrollado un hilo, según se indica en la figura, en
el cual actúa una fuerza constante F. Hallar la aceleración angular del carrete si el mismo gira
sin deslizar, en función de r1, r2 , I0, F y m (Masa del carrete)
r2
r1
F
Rta.: F (r2 – r1) / (l0 + m r22)
30. En el esquema de la figura un cuerpo C de masa mC= 12kg se encuentra suspendido de una
cuerda que pasa por una polea B, sin rozamiento, de masa mb= mC/3 y radio R. El otro
extremo de la cuerda está enrollado alrededor de un cilindro A de masa ma= mC/4 y que tiene
dos ruedas cilíndricas de masas mC/6 cada una y de radios iguales al doble del cilindro.
Calcular:
a) La aceleración del bloque C
b) La aceleración del centro de masa del bloque A.
c) La tensión de la cuerda a cada lado de la polea.
d) La fuerza de rozamiento entre las ruedas y las superficies.
2R
R
R
A
B
C
37°
Rta.: a) 4,96 m/s2
;
b) 3,31 m/s2
;
123
c) 58,08 N
; 48,11 N
; d) 16,20 N
31. Una cuerda se encuentra arrollada a un cilindro. Una persona estira dicha cuerda
de tal forma que el cilindro rueda sin deslizar aplicándole una fuerza igual a tres
veces el peso del cilindro. Determinar la aceleración del cilindro.
F
Rta.: 39,2 m/s2
32. Una esfera y un cilindro, que tienen la misma masa y el mismo radio, parten del reposo y
bajan rodando por el mismo plano inclinado θ= 30°. ¿Cuál es la relación de sus velocidades al
llegar a la base del plano?
Rta.: (15/14)1/2
33. Sobre un plano inclinado 30° se encuentra un bloque de m1= 600 N. Una cuerda inextensible,
que pasa por una polea de masa M, une este bloque a otro de masa m2. Calcular la variación
de tensión que soporta la cuerda. m1=m2=M
M
m2
m1
30°
Rta.: 60 N
34. Un bloque de masa m= 5 kg desliza por una superficie inclinada 30° y que tiene un
coeficiente de rozamiento de 0,25 con el bloque. La cuerda atada el bloque está arrollada a
una polea de masa M= 20 kg y de radio R=20 cm. Calcular la aceleración del bloque y la
tensión que soporta la cuerda.
M
m
30°
Rta.: 0,93 m/s2 ; 9,3 N
124
35. Calcular el alargamiento del resorte y la aceleración del sistema. El coeficiente de
rozamiento entre todas las superficies es μk=0,4. La polea es cilíndrica y de masa
Mp= 10 kg de masa. M= 50 kg ; m=10 kg ; k= 1.100 N/m
Mp
m
k
M
30°
Rta.: 0,043 m ; 0,55 m/s2.
36. El carrito indicado consiste en una plataforma simplemente apoyada en rodillos uniformes. La
plataforma pesa 4,5 kg, cada uno de los rodillos pesa 2 kg y tiene 10 cm de radio. Si el
movimiento es de rodamiento puro, calcular la aceleración de la plataforma, si la fuerza
aplicada es de 16 N. Si el carrito parte del reposo, hallar la velocidad de la plataforma al cabo
de 3 s.
F
A
B
Rta.: 2,67 m/s2 ; 8 m/s
37. En la figura se tiene un hilo del cual cuelga un peso W= 5 kg, y se halla enrollado a un cilindro
de radio R=10 cm, provisto de dos varillas de longitud l= 70 cm y de masa m= 4,9 kg. La
inercia del cilindro con respecto a un eje que pasa por su centro es I0= 0,05 kg m2. Calcular:
a) La aceleración angular del conjunto cilindro varillas.
b) La velocidad del bloque un instante antes de tocar el piso.
c) Si un instante después del choque del bloque contra el piso aplicamos una fuerza en la
cara lateral del cilindro, calcular el valor de dicha fuerza de modo que el conjunto se
detenga en 10 s.
l
l
W
h
Rta.: a) 2,88 rad/s2
;
b) 0,76 m/s
;
125
c) 12,53 N
38. Una esfera está suspendida de un punto A por medio de una varilla de masa de 1
kg y longitud 40 cm rígidamente vinculada a la esfera. La esfera es de madera, su
masa es 4 kg y el radio es 10 cm. Se dispara una bala de 100 g horizontalmente, con una
velocidad v0, para chocar contra la esfera en un punto medio, y la misma atraviesa la madera
reduciendo su velocidad en un 25 %. Encontrar la velocidad mínima de impacto de la bala
para que después del choque el sistema esfera varilla dé por lo menos una vuelta entera
alrededor de A.
Rta.: 768,25 m/s
39. Hallar la velocidad v con que la masa m llega al suelo en función de los datos de la figura.
ICM=1/2 Mr2.
M
R
m
μk
h
θ
1/2
Rta.: (4 m g h (1 – cotg θ) / (2m + M))
40. Calcular el valor de la fuerza media que el cuerpo ejerce contra el suelo cuando choca contra
el mismo, sabiendo que el tiempo de contacto es 0,1 s y que M1= 2 M2=3M3= 10 kg. El
choque es perfectamente elástico.
M3
M1
2m
M2
Rta.: - 686 N
41. Si se lanza una esfera a partir del reposo en el punto, como se muestra en la figura, y rueda sin
resbalar a lo largo de la pista.
a) ¿Cuánto vale h si la esfera alcanza el punto B sin despegarse de la pista y con la mínima
velocidad posible?
b) ¿Qué parte de la energía total en B es debida a la traslación? ¿Qué parte es debida a la
rotación?
El radio de la esfera es 2 cm y el momento de inercia de la esfera respecto a un diámetro es
2/5 mr2 . R= 1 m
A
m
B
h
R
Rta.: a) 2,67 m ; b) 5/7 ; 2/7
126
42. La figura muestra tres cortes transversales de diferentes ruedas, de igual masa.
¿Cuál de ellas tiene mayor momento de inercia y por qué?
I
II
III
Rta.: l1 > l2 > l3
43. En la figura las masas de las bolas A y B es M y giran alrededor del eje vertical con una
velocidad angular ω, a una distancia L del mismo. Se obliga al collar C a desplazarse hacia
abajo hasta que las bolas se encuentran a una distancia L/3 del eje. ¿Qué trabajo se realizó
en este desplazamiento?
L
L
A
B
ω
C
Rta.: 8 M L2ω02
44. Considérese el sistema que aparece en la figura. Sobre un plano inclinado 30° se encuentra un
cilindro de masa M= 10 kg y radio R, alrededor del cual se ha enrollado una cuerda paralela al
plano que pasa también por una polea de masa despreciable y se une finalmente con un
cuerpo de masa m. La tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento cinético ejercida por el
plano sobre el cilindro son suficientes para que éste permanezca en su sitio a medida que gira,
mientras la cuerda se desenrolla y el cuerpo de masa m desciende con aceleración a. El
coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el cilindro es 0,25. Calcule la aceleración
con que desciende el bloque de masa m.
M
m
30°
Rta.: 1,31 m/s2
127
45. Dar la aceleración y la fuerza de rozamiento en la figura sabiendo que la masa M=
2m= 10 kg.
m
m
M
30°
Rta.: 3,68 m/s2
; 9,19 N
46. El sistema que se muestra en la figura comienza a moverse a partir del reposo. El cuerpo A es
un cilindro de masa mA= 6 kg que es arrastrado hacia arriba por el bloque de masa mC por
medio de una cuerda que pasa por una polea cilíndrica de masa mB= 2 kg.
a) ¿Cuál es el máximo peso del bloque C, suponiendo que el cilindro suba rodando sin
resbalar?
b) En estas condiciones, ¿Cuál es la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda?
c) ¿Cuál es la energía cinética total del sistema cuando el bloque C ha bajado 1 m?
d) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cilindro A? μS=0,3 ; μk=0,2
mB
mA
mC
30°
Rta.: a) 17,05 kgf
; b) 5,09 m/s2
; 80,31 N ; 75, 21 N ; c) 196,49J ; d) 15,27 N
47. En el sistema que se muestra en la figura, hallar:
a) La tensión de la cuerda.
b) La aceleración de los bloques m1= 5 kg y m2= 10 kg
El coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y m2 es μ1= 0,2 y el coeficiente de
rozamiento cinético entre m2 y el plano inclinado es μ2= 0,1. La masa de la polea es mp= 2kg
y el radio de la misma es r = 10 cm.
mp
m2
m1
μ2
60°
Rta.: a) 55,24 N
; 56,82 N
; b) 1,58 m/s2
128
μ1
48. Una barra metálica delgada de longitud d y masa m puede girar libremente en
torno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia d/4
de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal.
Calcular la velocidad angular adquirida por la barra después de haber recorrido el ángulo α
indicado en la figura.
d
α
d/4
Rta.: (24/7 g sen α /d)1/2
49. Un bloque de masa m, que puede deslizar sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo
α con respecto a la horizontal, está ligado por un hilo inextensible y sin peso, que pasa por
una polea de radio R y masa M, a una masa m’ (m < m’) suspendida como se indica en la
figura. Soltando el sistema desde el reposo, calcular la velocidad v de m’ después de caer una
altura h.
m
m
m’
h
α
Rta.: (4 g h (m’ – m sen α) / (3m + 2m’))1/2.
50. La barra AB de la figura se encuentra en un plano horizontal, tiene una longitud L= 1m y una
masa M= 1 kg. En el extremo A está unido a un resorte de constante elástico K= 10 5 N/m, y
en la posición indicada en la figura no esta deformado. Una partícula de masa m= 0,10 kg y
velocidad v0= 50 m/s choca contra la barra y queda incrustada en ella. Considerando que el
choque es instantáneo, que no hay rozamiento entre la barra AB y el plano horizontal, y que
el resorte no se desvía de su posición original; calcular la máxima deformación del resorte. El
momento de inercia de una barra con respecto a un eje perpendicular a la misma y que pasa
por su centro de masa es I= ML2/12
A
L/4
C
3L/4
V0
B
Rta.: 2,64 cm
129
m
51. La barra de masa m y longitud L es soltada desde el reposo sin girar. Cuando
cae una distancia L, el extremo A golpea el gancho S, que proporciona una
conexión permanente. Determine la velocidad angular ω de la barra después de girar 90°.
Considere el peso de la barra durante el impacto como una fuerza no impulsiva.
L
A
L
S
Rta.: 5 rad/s
52. Un cilindro de cobre de masa M y de radio R gira alrededor de su eje con una velocidad
angular ω0. Si aumenta la temperatura del cilindro en un valor ∆t ; varía la velocidad del
mismo? Justifique su respuesta.
Rta.: disminuye
53. La barra de masa M= 10 kg y longitud L= 1 m que se muestra en la figura, se encuentra
inicialmente en reposo, en un plano horizontal, fijada en el punto O y unida a dos resortes
verticales idénticos de contante k= 100 N/cm y longitud natural L0. Se aplica un impulso
rápido en el extremo A de la barra por medio de una fuerza F= 1.000 N y que actúa durante
un pequeñísimo intervalo ∆t= 10-3 s. determinar:
a) La velocidad angular de la barra justo después de terminar el intervalo ∆t.
b) La máxima altura que alcanzará el extremo A de la barra.
K
K
L0
O
L/2
Rta.: a) 0,3 rad/s
L/2
b) 0,49 cm
54. Determinar para el sistema de la figura las aceleraciones de las masas m1
conocidos m1, m2 , M , r , R y m
y m2, siendo
M
m
R
m1
m2
Rta.: 2 gR(m1R – m2r)/((2m2 + m)r2 + (2m1+M)R2) ; 2gr(m1R – m2r)/((2m2 + m)r2 + (2m1+M)R2
130
55. El sistema de la figura está formado por disco circular M1= 10 kg, de radio R= 0,20
m, unido rígidamente a una barra M2= 5 kg, de longitud L= 1 m. El péndulo indicado está
formado por un hilo ideal de longitud L y una masa puntual m= 1 kg en su extremo. En la
posición indicada m parte del reposo y choca inelásticamente contra la parte inferior de la
barra M2, quedando de esta forma adherida a ella. Después del choque el sistema formado
por M1 , M2 y m adquiere una velocidad angular de 1 rad/s. determinar el ángulo inicial ϕ.
R
M1
θ
L
m
M2
Rta.: 54° 29’ 54,26”
56. Una barra de longitud L y masa Mb está pivotada en su centro. En cada extremo de la barra
hay un motor cohete de masa MC que produce un empuje T. Determinar la aceleración
angular de la barra.
L
Rta.: 12 T / (L (Mb + 6 Mc))
57. Una bala de masa m= 10 g situada a una distancia l=4 m de longitud l y masa M=100 g, tal
como se indica en la figura, es disparada contra la barra formando un ángulo θ con la
horizontal de forma tal que impacta en la barra justo cuando alcanza su máxima altura en el
extremo superior de la misma. Sabiendo que k= 100 N/m y que el resorte se comprimió 5 cm
calcular el valor de θ.
k
3L/4
V0
A
L/4
m
L
Rta.: 50° 37’ 7,03”
131
B
58. Una varilla de masa M y longitud 5R lleva en un extremo una esfera de masa
2M y radio R. El otro extremo está sujeto a una pared por medio de un clavo. Si se suelta la
varilla a partir de la posición horizontal, deducir una fórmula que nos permita calcular la
velocidad angular ω, cuando ésta pasa por la posición vertical.
2R
5R
g/R )1/2.
Rta.: (
59. El péndulo físico que se muestra en la figura está compuesto por una varilla de longitud L= 5R
y masa m y de una esfera de radio R y masa M= 2m. La varilla está sujeta en el punto O a un
eje horizontal. Deducir las fórmulas que nos permiten calcular:
a) La posición del centro de masa del péndulo respecto al eje que pasa por O.
b) El momento de inercia del péndulo respecto al eje que pasa por O.
c) La velocidad angular ω0 que tiene que tener el péndulo en la posición que se muestra, para
que dé una vuelta completa alrededor de O.
d) La fuerza que hace el eje que está en O sobre el péndulo en la posición que se muestra y
en las condiciones mencionadas en la pregunta c.
5R
2R
Rta.: a)
R
;
m R2
b)
;
c) (
g/R)1/2
;
d)
mg
60. En la figura se muestra una masa M= 12 kg suspendida de dos cuerdas, una enrollada
alrededor de un cilindro de radio igual a 0,1 m y 0,05 kg m2 de momento de inercia, y la otra
enrollada alrededor de un cilindro de radio igual a 0,15 m y 0,12 kg m2 de momento de
inercia. La masa se suelta desde el reposo y desciende una altura h= 6 m. Calcular:
a) La velocidad final de la masa M.
b) La aceleración de la masa M.
c) La tensión en ambas cuerdas.
r2
r1
M
h
Rta.: a) 7.95 m/s
; b) 5,27 m/s2
; c) 26,33 N
132
; 28,11 N
61. Un hombre se encuentra sobre una plataforma giratoria con los brazos
extendidos y sosteniendo dos masas idénticas m, girando inicialmente a una
velocidad angular ω1. Demostrar que la velocidad angular ω2 después de bajar los brazos es
mayor que ω1.
Rta.: ω2 > ω1
62. Una varilla homogénea de masa M= 20 kg y longitud l= 1 m está suspendida por un extremo
de una charnela sin rozamiento. Un pequeño trozo de masilla de masa m= 200 g se adhiere a
la varilla al nivel de su centro de masa. Antes de adherirse la velocidad v= 20 m/s de la
masilla era horizontal. Hallar el ángulo máximo de desviación de la varilla respecto a la
vertical.
L/2
m
L
v
M
Rta.: 4° 26’ 43,44”
63. Una masa de 18 kg en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción, está unida a un
resorte cuya constante de elasticidad es 2.400 N/m y a una cuerda enrollada sobre un volante
circular de 0,36 m de radio y momento de inercia l= 1,20 kg m2, como se muestra en la
figura. El resorte se encuentra estirado 0,20 m en la posición inicial. Si el sistema se suelta de
esta posición, ¿Cuál es la velocidad cuando el resorte tiene su longitud natural?
v
k
M
Rta.: 1,88 m/s
64. El diámetro de una piedra de afilar de 60 kg es de 1 m. su radio de giro k es 0,232m. Se
presiona una herramienta contra el borde con una fuerza normal de 50 N. El coeficiente
cinético de rozamiento entre la herramienta y la piedra es 0,6 y existe un momento
constante de rozamiento de 5 N m entre el eje de la piedra y sus cojinetes.
a) ¿Qué fuerza debe aplicarse normalmente en el extremo de la manivela de 0,5 m de
longitud para que la piedra adquiera del reposo una velocidad de 120 rev/ min en 9 s?
b) Tras alcanzar una velocidad de 120 rev /min ¿Cuál ha de ser la fuerza normal que se ha de
ejercer en el extremo de la manivela para que se mantenga constante esta velocidad?
c) ¿Cuánto tiempo empleará la piedra de afilar en llegar al reposo desde la velocidad de
120rev/min, si solo actúa sobre ella el rozamiento del eje?
Rta.: a) 49,04 N
;
b) 40 N
;
c) 8,11 s
133
65. La varilla de masa m y longitud L que se muestra en la figura, se pone a oscilar
alrededor del punto O en un plano vertical. Si se suelta la varilla desde una posición
horizontal, deducir una fórmula que permita calcular la velocidad angular ω de la misma
cuando pasa por su posición vertical.
O
L
O
Rta.: (3 g / L)1/2
66. Una bala de masa m= 50 g avanza en línea recta con una velocidad v0= 300 m/s, atravesando
el tambor cilíndrico de madera, como se muestra en la figura. La bala sale del otro lado con
una velocidad vf = 200 m/s. El tambor de radio R= 50 cm y de peso P= 75 kgf, está
inicialmente en reposo y sujeto a un eje fijo, sin rozamiento en O. Suponiendo que en el
proceso la masa de madera del tambor astillada por la bala es despreciable, calcular la
velocidad angular del tambor después que la bala lo atraviese. A continuación se observa que
debido al rozamiento con el aire, el tambor tarda 1,5 minutos en detenerse. Si suponemos
que la aceleración angular del frenado es constante, calcular el número de vueltas que dio el
tambor hasta detenerse y el torque ejercido por el rozamiento del aire sobre el tambor.
Vf
V0
R
O
Rta.: 0,27 rad/s
; 1,96
; 2,78. 10-2 N.m
67. Una esfera homogénea parte del reposo en el extremo superior de la vía que se muestra en la
figura y rueda sin resbalar hasta que sale disparada en el extremo de la derecha. Si H= 62,2 m,
h= 19,5 m y la vía es horizontal en el extremo derecho, determinar ¿A qué distancia a la
derecha del punto A llegará la bola a la base horizontal?
H
x
h
Rta.: 48,77 m
134
68. Un cuerpo de masa m está unido a una cuerda ligera enrollada al eje de una
rueda de radio R, tal como se indica en la figura. El radio del eje es r y se apoya
en cojinetes fijos sin rozamiento. Cuando se abandona partiendo del reposo, el cuerpo
desciende una distancia h en un tiempo t. Hallar el momento de inercia I de la rueda y su eje
en función de los datos del problema.
I
r
m
Rta.:
mr2 (g t2 – 2 h) / h
69. La masa de una barra cilíndrica uniforme de 2 cm de radio es igual a 4 kg y tiene tres cuerdas
enrolladas alrededor del mismo. Los extremos de la cuerda están fijos al techo, como se
muestra en la figura. Si la barra se mantiene horizontal y se suelta desde el reposo, calcule la
aceleración de translación de la varilla a medida que cae y la tensión en cada una de las
cuerdas. La barra se mantiene horizontal durante la caída.
2R
Rta.: 6,53 m/s2
; 4,36 N
70. La varilla AB de longitud L= 50 cm y masa m= 5 kg, está soldada a un disco uniforme de masa
M= 3 kg y radio R= 12,5 cm, que gira alrededor del punto A, tal como se indica en la figura.
Un resorte de constante k= 80 N/m está unido al disco y se encuentra con su longitud natural
cuando la varilla está en posición horizontal. Si se suelta el conjunto desde el reposo, hallar la
velocidad angular del sistema después que ha girado 90°.
M
m
R
B
A
Rta.: 6,96 rad/s
135
71. La figura muestra dos bloques, cada uno de masa m, suspendidos de los extremos
de una barra rígida carente de peso, de longitud L1 + L2, siendo L1 < L2. La barra
está sostenida en posición horizontal como se muestra en la figura y luego se deja caer.
Calcular las aceleraciones lineales de los dos bloques cuando comienza a moverse.
L1
L2
m
m
Rta.: g L1 (L2 – L1) / 2 (L12 + L22)
;
g L2 (L2 – L1) / 2 (L12 + L22)
72. Un cuerpo rígido está hecho de tres varillas idénticas aseguradas entre sí en forma de letra H.
El cuerpo está libre de girar en torno a un eje horizontal que pasa por una de las piernas de la
H, tal como se muestra en la figura. Se permite que el cuerpo caiga a partir del reposo desde
una posición en que el plano de la H es horizontal. ¿Cuál es la velocidad angular del cuerpo
cuando el plano de la H es vertical?
L
L
L
Rta.: 1,5 (g / L)1/2
73. Un disco macizo de masa m= 100 kg y 2 m de radio se halla pivotado, sin rozamiento, en un
plano horizontal como se muestra en la figura e inicialmente se encuentra en reposo.
Entonces se aplica al disco un par motor constante durante 5 s y se observa que su velocidad
angular llega a 25 rad/s. Hallar el valor del momento aplicado y el trabajo realizado por el par
motor.
m
R
ω
Rta.: 1.000 N.m
; 62.500 J
136
74. El disco de la figura tiene una masa M= 100 kg y radio R= 1 m, y se halla
inicialmente girando con una velocidad angular ω= 14,7 rad/s, pivotado, sin
rozamiento, en un plano vertical. Entonces se tensa la cuerda AB que lo une al bloque de
masa m= 25 kg, el cual empieza a elevarse. Calcular la altura h, a la que se encuentra el bloque
cuando el disco se detiene y la potencia desarrollada por la tensión de la cuerda.
M
R
A
ω
B
m
Rta.: 11,025 m
;
3.602 W
75. En la figura se representa un disco macizo de radio R y masa M, que lleva una cuerda
enrollada y unida a ella un peso W que cae. En estas condiciones demostrar que la tensión en
la cuerda y el torque resultante son constantes.
M
R
W
Rta.: M g W (M g + 2W)
; M g W R (M g + 2W)
76. Sabiendo que el sistema que se muestra en la figura parte del reposo, calcular la velocidad y la
aceleración con que el bloque B llega al suelo. La polea C es cilíndrica. mA=30 kg ; mB= 100kg ;
mC= 50 kg ; μK= 0,2 ; α= 60° ; d = 2m
C
A
μk
B
d
α
Rta.: 3,43 m/s
2
; 2,95 m/s
77. Una piedra de amolar en forma de disco sólido de 0,6 m de diámetro y masa 50 kg gira a
1.100 rpm. Se presiona un hacha contra el borde con una fuerza normal de 160 N y la piedra
se para en 10 s. Calcular el coeficiente de fricción entre el hacha y la piedra. Ignorar la fricción
en los cojinetes.
Rta.: 0,54
137
78. Una barra metálica delgada de longitud L y masa m puede girar libremente en
torno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia L/3
de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal.
Calcular la velocidad angular adquirida por la barra al pasar por la posición vertical.
90°
L/3
Rta.: ( 3 g /L)1/2
79. Un experimento rudimentario para determinar el coeficiente de rozamiento estático μS entre
dos superficies, consiste en colocar un cuerpo de masa m1 a una distancia d sobre una barra
que se encuentra en posición horizontal, de masa m2, longitud L y pivotada en su extremo,
tal como se indica en la figura. Luego se suelta desde el reposo el sistema y se mide el ángulo
α con el cual resbala el cuerpo. Se considera que el pivote ejerce un momento resistente M
debido a la fricción. Determinar el coeficiente de rozamiento estático μS entre el cuerpo y la
barra. M= 1 N m ; m1= 300 g ; m2= 2 kg ; d= 0,40 m ; L= 1,50 m ; α=5°.
d
α
m1
μ
L
m2
Rta.: 0,26
80. La figura muestra una tabla homogénea de masa M, longitud L, apoyada en parte sobre una
mesa horizontal rugosa y con su extremo libre a una distancia d del borde A de la mesa. Justo
encima de dicho extremo se encuentra una pieza de masa m, la cual se deja caer a partir del
reposo desde una altura h.
Luego la masa impacta en el extremo de la barra, consiguiendo esto, que el sistema obtenga
un movimiento de rotación en torno al borde de la mesa. Suponiendo que la pieza se adhirió a
la barra y que la barra no desliza sobre la mesa durante su rotación, calcular:
a) La velocidad angular del sistema justo después del impacto.
b) La máxima desviación angular de la barra.
m
c) Ahora bien, imaginando que en la posición de máxima
desviación angular la barra esta a punto de deslizar
h
L
sobre la mesa. Determinar entonces, el coeficiente de
M
rozamiento estático entre ambas superficies. M= 2kg ;
A
d
m= 200 g ; d= 40 cm; L= 100 cm ; h= 180 cm
Rta.: a) 2,17 rad/s ; b) 25,95°
;
c) 0,5
138
81. La rueda de madera de la figura pesa 50 kgf, tiene un radio de 50 cm y está
sujeta en reposo a un eje fijo en el punto O. Una bala de plomo de 150 g, que avanza con una
velocidad de 200m/s según la trayectoria punteada en la figura, se incrusta en el borde de la
rueda. Calcular la velocidad angular del sistema rueda bala después del choque.
V0
O
Rta.: 2,39 rad/s
82. Un automóvil viaja por una ruta horizontal con una velocidad constante v durante una
distancia d. El peso del automóvil es W y se distribuye uniformemente en cada una de las
cuatro ruedas del vehículo. Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo es μ, el
radio de la rueda es r y el rendimiento del motor es η, hallar el trabajo desarrollado por el
motor durante la distancia d. (suponer que la tracción es en una sola rueda)
Rta.:
μWd/η
83. Una barra metálica delgada de longitud L y masa m puede girar libremente entorno de un
eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia L/3 de uno de sus
extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la
aceleración angular α de la barra cuando ésta forma un ángulo de 60° con la horizontal.
L
60°
L/3
Rta.:
g/L
84. ¿Cuál es la distancia d, por debajo del punto de suspensión, a la que se debe golpear una
varilla uniforme, de longitud 2L, que cuelga verticalmente, para que su movimiento
oscilatorio se inicie sin que se imparta una fuerza de reacción horizontal al punto de
suspensión?
d
2L
F
Rta.:
L
139
85. El eje del cilindro de la figura está fijo. El cilindro se encuentra inicialmente en
reposo. En un principio la masa M se mueve hacia la derecha sin fricción con una
velocidad v1. Pasa sobre el cilindro hasta la posición mostrada con puntos. Cuando hace
contacto por primera vez con el cilindro resbala sobre éste, pero la fricción es lo
suficientemente grande como para que el resbalamiento termine antes de que M pierda
contacto con el cilindro. El cilindro tiene radio R y una inercia rotacional I. Hallar la velocidad
final v2 del bloque M.
V1
M
R
Rta.: v1 / (1 + l/M)2
86. Tres partículas todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por varillas
uniformes de masa M, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira
alrededor del eje rotacional con una velocidad angular ω, de tal manera que las partículas
permanecen alineadas. Hallar la energía cinética rotacional K de este sistema.
L
L
m
m
ω
m
L
O
Rta.: (7m + M) L2ω2
87. Un cubo sólido de lados 2a= 1m y masa M= 1 kg se desliza sobre una superficie sin fricción
con velocidad uniforme v0, como se indica en la figura. Choca contra un pequeño obstáculo en
el extremo de la mesa que provoca la inclinación del cubo. Encuentre el mínimo valor de v0
para que el cubo caiga fuera de la mesa. Considerar que el momento de inercia del cubo
respecto a un eje a lo largo de sus aristas es 8 Ma2/3.
V0
2a
M
Rta.: 3,29 m/s
140
88. Un cubo sólido de madera de lados de longitud 2a = 1m y masa M= 1 kg,
descansa sobre una superficie horizontal. El cubo está restringido a girar
alrededor de la arista AB. Se dispara una bala, de masa m= 10 g con una velocidad v sobre la
cara opuesta ABCD, a una altura 4a/3. Sabiendo que la bala queda incrustada en el bloque,
encontrar el mínimo valor de v requerido para que el cubo se incline hasta caerse sobre la
cara ABCD. Considerar que la inercia del cubo con respecto a la arista AB es igual a 8Ma2/3 y
suponiendo que m << M.
2a
D–C
v
M
4a/3
A–B
Rta.: 246,76 m/s
89. El cilindro sólido homogéneo de la figura pesa W y está girando a una velocidad angular ω
en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por O. El
coeficiente de rozamiento cinético entre los frenos y el cilindro es μk. Si el resorte, cuya
constante elástica es k, se deforma δ cuando se aplican repentinamente los frenos, hallar el
tiempo necesario para detener la rotación del cilindro. Se desprecia el espesor de los
miembros verticales. L= 1,20 m ; R= 0,80 m ; W= 300 kgf
; μk= 0,20 ; k= 15 kgf/cm ;
δ= 10 cm ; ω= 60 rad/s.
L
R
O
L
k
Rta.: 6,12 s
90. A una varilla homogénea de masa despreciable están fijas dos esferas de masas m y 3m. La
varilla comienza a girar desde el reposo hasta una cierta velocidad angular ω. Sabiendo que la
longitud de la varilla es L, determinar la posición de los ejes en que se realiza menor y mayor
trabajo.
II
I
3L/4
III
L/4
m
3m
Rta.: W2 < W3 < W1
141
91. Un disco circular macizo de aluminio, de masa M= 2 kg y radio R= 0,15 m, se
encuentra inicialmente en reposo, en un plano horizontal. Se dispara un proyectil
de plomo, de masa m=0,1 kg con una velocidad v0= 200 m/s, que queda incrustado en la
periferia del disco. El cable indicado en la figura es inextensible y está unido en sus extremos
al disco y a un resorte de constante elástica k= 10.000 N/m, no deformado inicialmente.
Determinar:
a) La velocidad angular del disco justo después del choque.
b) El máximo ángulo que girará el disco.
V0
M
R
k
Rta.: a) 121,21 rad/s
; b) 1,27 rad
92. Tres partículas, todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por tres
cuerdas, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira alrededor del eje
rotacional que pasa por el punto O con una velocidad angular ω, de tal manera que las
partículas permanecen alineadas. Hallar el momento cinético total de este sistema con
respecto al eje rotacional.
L
L
m
m
ω
L
m
O
Rta.: 14 m L2 ω
93. Una esfera hueca uniforme de masa M, radio R e inercia 2/3 MR2, gira alrededor de un eje
vertical sobre cojinetes sin fricción. Una cuerda ligera pasa alrededor del ecuador de la esfera,
sobre una polea de inercia I y radio r, y se fija a un pequeño objeto de masa m que de no ser
así, caería bajo de la acción de la gravedad. Hallar la velocidad del objeto después que ha
caído una distancia h a partir del reposo.
M.R
1.r
m
Rta.: ( 6m g r2 h /(3m r2 + 3 l + 2M r2))1/2
142
HIDROESTÁTICA
1. Un trozo de fundición de hierro pesa 267 N en el aire y 178 N en el agua. ¿Cuál es el
volumen de huevos en el trozo de fundición sí el peso especifico del hierro es igual a 7,8
g/cm3?
Rta.: 5,59. 10-3m3
2. La tensión de una cuerda prendiendo un bloque macizo debajo de la superficie de un líquido
(de densidad mayor que el bloque) es T0, cuando el vaso que encierra está en reposo. Hallar la
tensión en el hilo cuando el vaso sufre una aceleración ascendente vertical a.
a
Rta.: 5,59 . 10-3 m3
3. Una barra homogénea AB de 3,6 m de longitud y que pesa 12 kg está sujeta en el extremo B
por una cuerda y lastrada por un peso de 6 kg en A. La barra flota con la mitad de su longitud
sumergida. Despreciando el empuje sobre el lastre calcular la tensión en la cuerda y el
volumen de la barra.
3,6 m
B
A
1,8 m
6 kg
Rta.:
2 kgf
; 32 dm3
4. Calcular hasta que profundidad llegará una esfera de madera que pesa 1 kg y que se deja caer
a un estanque desde 20 m de altura. Despreciar el rozamiento entre la esfera y el agua como
también la pérdida de energía en el momento en que la esfera toca el agua (ρesf=0,8 g/cm3)
¿Es el empuje una fuerza conservativa?
Rta.: 80 m
5. Un cuerpo de volumen V1 flota en agua con un tercio de su volumen sumergido. ¿Qué parte
de su volumen quedará sumergido si se coloca sobre él otro cuerpo del mismo material y de
volumen V2= V1/2?
Rta.: ½ v1
143
6. El cilindro que se muestra en la está sumergido en agua hasta un tercio de su
volumen y sujeta al fondo por medio de un resorte de constante k= 400 N/m, el
cual está estirado una cierta longitud x0. Si se agrega ahora alcohol de densidad relativa 0,8
hasta cubrir totalmente en cilindro, calcular el incremento de deformación y de tensión del
resorte.
2 cm
26 cm
2 cm 11 cm
2 cm
2 cm
Rta.: 6,4 cm
; 25,6 N
7. El dispositivo de la figura es utilizado para evitar que el nivel de agua en el estanque no
sobrepase la altura H. Calcular dicha altura. Wcil= 10 kg ; Wtap= 1 kg ; L= 1 m ; h= 1 m ;
R= 10 cm ; r= 5 cm.
R1
h
H
L
R0
Rta.: 1,80 m
8. Una barra homogénea de peso P= 75 kg flota entre agua y mercurio. Se sujeta la barra por el
extremo B con un hilo de cobre de 2 mm2 de sección transversal, de tal manera que la barra
quede en la posición que se muestra en la figura. Calcular:
a) La densidad del material de la barra.
b) El alargamiento del hilo de cobre.
¼L
¾L
A
B
1m
Rta.: a)8087,5 kg/m3
b) 0,91 mm
144
9. El bloque A de la figura está suspendido mediante una cuerda, de balanza de
resorte D, y se encuentra sumergido en un liquido C contenido en el vaso B. El
peso del vaso es 0,9072 kg y el del líquido 1,3608 kg. La balanza D indica 2,268 kg mientras
que la E señala 6,804 kg. El volumen del bloque del A es 2832 cm3.
a) ¿Cuál es el peso específico del líquido?
b) ¿Qué indicará cada balanza si se saca el bloque A fuera del líquido?
D
B
A
C
E
Rta.: a) 1601,69 kg/m3
b) 6,804 kgf
; 2,268 kgf
10. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista flota en la superficie de separación de aceite y
agua, estando su cara inferior a 3,5 cm por debajo de dicha superficie. Si la densidad del aceite
0,6 g/cm3. ¿Cuál es la densidad del bloque?
10 cm
Rta.: 740 kg/m3
11. Una barra cilíndrica de 10 kg de masa y 5 cm2 de sección tiene una longitud de 1 m y está
unida a una esfera de 0,2 kg de masa y 10 cm de radio. El sistema está sumergido en agua y
articulado en 0. Calcular el valor y sentido de la aceleración angular en el momento que se
suelta. ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleración angular en el instante en que se
encuentra en la posición vertical?
O
Rta.: 1 rad/s2
; 1,41 rad/s
; 0
145
m
m’
12. La esfera hueca de la figura tiene un radio interior de 4 cm y un radio exterior de
5 cm. La densidad relativa de la sustancia de que está hecha la esfera es 0,9.
Hasta que altura sobre el nivel de la superficie libre del agua llegará si se sumerge a 2 m de
profundidad?
2m
Rta.: 2,55 m
13. Una pieza de aleación de aluminio y oro pesa 5 kg. Si se suspende de una balanza de resorte y
se sumerge en agua, la balanza indica 4 kg. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si la
densidad relativa del oro es 19,3 y la del aluminio 2,7?
Rta.: 2,67 kg
14. Sabiendo que la barra de aluminio de la figura está en equilibrio, calcular:
a) La longitud de la barra sumergida en agua y en mercurio.
b) La fuerza que se ejerce sobre la barra en el punto A.
La sección transversal de la barra es de 10 cm2. La densidad relativa del mercurio es 13,6.
B
5m
Rta.: 1,84 m ; 3,16 m ; 143,9 N
15. Una esfera maciza de 30 kg de peso y peso especifico relativo al líquido donde se halla
sumergida de 0,4 , está sujeta por dos cables I y II, como se indica en la figura. Si se corta el
cable II, al pasar por la posición vertical, calcular:
a) La velocidad lineal de la esfera.
b) La aceleración angular en la misma posición.
c) La fuerza en el cable I. L=1 m.
1m
I
30°
Rta.: a) 3,83 m/s
;
b) 0
;
c) 882 N
146
II
16. Un tubo en U de longitud L contiene un líquido de densidad ρ. Hallar la diferencia
de altura entre las columnas de líquido en las ramas verticales cuando:
a) El tubo tiene una aceleración a hacia la derecha.
b) El tubo está montado sobre una plataforma horizontal que gira con una velocidad angular
ω alrededor de un eje que coincide con una de las ramas verticales.
L
Rta.: a) L a / g
; b) ½ L2 ω2 / g
17. El cilindro hueco de madera de la figura flota en mercurio con la mitad de su volumen
sumergido, estando enganchado al fondo del recipiente por medio de un hilo de cobre de 1 m
de longitud y 5 mm2 de sección. Calcular la longitud final del hilo de cobre.
YCu= 14.103 kg/mm2 ; ρmad= 0,7 g/cm3 ; ρHg= 13,6 g/cm3.
5 cm
40 cm
5 cm
20 cm 5 cm
5 cm
100 cm
Rta.: 1,0032 m
18. El sistema de la figura representa una barra homogénea cilíndrica, de longitud L= 4 m, de 10kg
y 2cm de diámetro y una esfera hueca de 8 kg y radio exterior R= 15 cm que se encuentra,
unida a la barra en su extremidad mediante un cable ideal. El resorte tiene una constante
k=14 kg/cm. Si el sistema se encuentra en posición horizontal, determinar la deformación del
resorte.
R
O
1/3L
2/3L
Rta.: 3,8 mm
147
19. Calcular la fuerza ejercida por el líquido 2 sobre la superficie horizontal de área A
que se muestra en la figura y el mínimo valor de h para que el líquido 2 comience
a descender por el tubo de la derecha.
A
H
h
ρ1
ρ2
Rta.: Patm A + g A(ρ1 h – ρ2H)
20. Una boya esférica hueca de acero, con radio exterior igual a 25 cm, flota en agua con la cuarta
parte de su volumen sumergido, para lo cual se fijará al fondo del estanque con ayuda de un
hilo de acero. Calcular:
a) El radio interior de la esfera.
b) La mínima sección de acero para que la fatiga unitaria no supere el valor de 2.500 kg/cm2.
c) La deformación unitaria del hilo de acero.
YAc=14 105 kg/mm2 ; ρAc= 7,8 g/cm3.
Rta.: a) 24,73 cm
;
b) 1,3 mm2
;
c) 1,25 10-3
21. Un cubo de hielo conteniendo una gota de mercurio está flotando en un vaso con agua.
Cuando el cubo se funde ¿se eleva el nivel de agua?. Justificar la respuesta a través de
fórmulas.
Rta.: descende
22. Una caja cúbica, de 1 m de arista, se encuentra flotando con la mitad de su volumen
sumergido, en un líquido cuya densidad relativa es δ’= 0,8. Determinar las masas m1 y m2 de
cada una de las dos aristas opuestas sumergidos, si el ángulo α vale 30° y se desprecia la
masa de las demás partes de la caja.
1m
α
m1
Rta.: 302,64 kg
; 97,36 kg
148
m2
23. En el fondo de un recipiente, que forma un ángulo α = 30° con la horizontal, se
encuentra un cubo de arista de a= 10 cm, hecho de un material de densidad
relativa δ’=7,85. Sabiendo que en estas condiciones el cubo está a punto de deslizar, calcular
la variación de las fuerzas normal y tangencial, actuantes sobre el cubo, cuando en el
recipiente se vierte un líquido de densidad relativa δ’L=1,5 , de tal manera que el mismo cubre
totalmente el cubo (entre el fondo del recipiente y el cubo no hay líquido; considerar la
presión atmosférica actuante de 1,033 kgf/cm2)
δL
δ
a
α
Rta.: 7,35 N
; 3,68 N
24. Dos cuerpos m1 = m2= 10 kg, que están unidos por un cabo (Y=2,1 .103 kgf/cm2 ; ϕ= 20 mm)
que pasa una polea de radio R= 16 cm e inercia I= 4,173 kg.m2, se encuentran sumergidos en
agua. Determinar cuan sumergidos deben estar en el agua para que la deformación unitaria
del cabo sea de 0,001. Si se coloca ahora un tercer cuerpo m3= 10 kg, en el extremo derecho
del cuerpo 2, calcular la aceleración inicial del sistema. Considerar que a= 20 cm ; b= 40 cm y
que todos los bloques tienen un espesor a= 20 cm.
3
b
1
2
a
b
a
2
Rta.: 8,5 cm ; 4,25 cm ; 0,51 m/s
25. Un tanque cerrado de altura h2 y sección S se comunica en su parte inferior con un tubo que
se eleva a su costado y está abierto en su extremo superior. El sistema está enteramente lleno
de aceite. La altura del aceite en el tubo es h1 por encima de la base del tanque. Son
conocidos h1 , h2 y la densidad del aceite ρ0. La presión atmosférica equivale a una altura H
de mercurio de densidad ρ. Calcular la presión absoluta en la cara inferior de la tapa S.
S
h1
h2
Rta.: g (ρ H + ρ0(h1 – h2))
149
26. Un vaso de masa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre una balanza. Un
bloque de 2 kg de aluminio ( ρ’= 2,70) suspendido de un dinamómetro se
sumerge en agua. Determinar las lecturas de ambas balanzas.
Rta.: 12,34 N
; 36,66 N
27. Una esfera homogénea de radio R= 9/π1/3 cm y densidad ρ= 0,5 g/cm3 está totalmente
sumergida en un líquido de densidad ρL=1,5 g/cm3. La esfera está presa por medio de un hilo,
a un resorte de constante elástica k= 97 N/m, conforme se muestra en la figura. En esas
condiciones determinar la deformación del resorte.
Rta.: 9,82 cm
28. Un recipiente cilíndrico de 0,5 m de radio de base contiene agua hasta una altura de 1,10 m y
dentro de él se halla un globo que inicialmente estaba desinflado por completo. Luego el
globo recibe aire por la boquilla a la que está sujeto, inflándose hasta ser una esfera de 0,3 m
de radio; en estas condiciones hallar la diferencia de presión entre la presión p2 en el fondo
del recipiente, después de inflarse el globo y la presión p1 antes de inflarse.
1.10 m
Rta.: 1411,2 Pa
150
29. En los recipientes idénticos mostrados en la figura, contienen la misma cantidad
de agua y soportan la misma fuerza F. Calcular la diferencia de presiones entre los
puntos A y B.
B
F
F
A
Rta.: 2 γ h
30. La pasarela flotante de la figura se compone de dos vigas de madera de sección cuadrada, de
longitud a= 2 m, lados d= 30 cm y 2d y su distancia de centro a centro es L= 3 m. Sobre
ambas vigas existe un tablero de peso G= 25 kgf. El líquido donde se halla flotando es agua y
la densidad relativa de la madera es 0,8. En esas condiciones la posición x de la carga
P=100 kgf para que el tablero esté horizontal es aproximadamente.
P
x
d
2d
L
Rta.: 2,84 m
31. Se tiene un cuerpo hueco de forma irregular. Se conocen el peso del cuerpo en el aire W1, el
peso del cuerpo en un líquido, W2, el peso específico del cuerpo, γA y el peso específico del
líquido, γL. Sabiendo que los huecos no se comunican con el exterior, deducir la fórmula que
nos permite calcular el volumen de huecos sin destruir el cuerpo.
Rta.: (W1 – W2) / γL – W1/γA
32. En el tanque cerrado mostrado en la figura el gas contenido en la parte superior del líquido se
mantiene a una presión manométrica ρ. El bloque cúbico de madera que flota en el líquido, de
densidad ρL, tiene densidad pM y arista a. Hallar la distancia d que el bloque se hunde.
a
d
ρ1
Rta.: ρM a / ρL
151
33. La tensión en una cuerda, de longitud L, sección transversal A y módulo de
elasticidad Y, que mantiene a un cuerpo sólido por debajo de la superficie de un
líquido, (cuya densidad es mayor que la del sólido), es T0 cuando el recipiente que lo contiene
se encuentra en reposo. Cuando el recipiente tiene una aceleración vertical hacia arriba.
a) ¿Cuál es la deformación de la cuerda?
a
Rta.: T0 A L / (g A Y)
34. Un tubo sencillo en U contiene mercurio, de densidad relativa ρ’, cuando se echan ρ’ cm de
agua en la rama de la izquierda. El área de la sección transversal de la rama de la izquierda es
A1 y el de la derecha es A2=2 A1. Calcular la altura, en cm, que sube el mercurio en la rama de
la derecha, a partir de su nivel inicial.
A2
A1
Rta.: 0,33 cm
35. Una esfera maciza de densidad ρA , se encuentra sumergida inicialmente una profundidad H
en un líquido de densidad ρL tal que ρL > ρA. Hallar la altura máxima que se eleva la esfera por
encima de la superficie libre del líquido.
Rta.: (ρL – ρA) / ρA
36. En el sistema de la figura, calcular la velocidad del cuerpo al salir a la superficie, sabiendo que
la relación entre las densidades del cuerpo y del líquido es de 1/2.
h
Rta.: (2 g h)1/2
152
37. En el sistema de la figura la barra tiene un peso G = 10 kgf y volumen
despreciable y el flotador tiene un volumen V= 200 litros y peso despreciable.
Determinar el aumento de longitud del tensor ubicado a un tercio de la longitud de la barra,
sabiendo que el mismo es de acero, de longitud normal de 2 m y diámetro de 6 mm, y que el
flotador se encuentra sumergido en el agua hasta la mitad. Hallar las reacciones en el apoyo.
L
Rta.: 0,96 mm ; 0 ; 195 kgf
38. Una esfera de radio 4 cm y densidad relativa 7,8 desciende por un plano inclinado (α=30)
sumergido en agua. El coeficiente de rozamiento entre el plano y la esfera es 0,2. Calcular:
a) La fuerza de rozamiento entre el plano y la esfera.
b) La velocidad cuando la misma ha descendido una altura de 5 m, suponiendo que parte del
reposo.
Rta.: a) 2,55 N ; b) 7,81 m/s
39. En la figura la esfera se encuentra en el fondo de un lago de 5 m de profundidad. Determinar
hasta que altura llegará la esfera fuera del agua y que aceleración tiene mientras se encuentra
dentro del agua. La densidad relativa de la esfera es 0,8.
5m
Rta.: 1,25 m
; 2,45 m/s2
40. Se pesa en el aire una bolsa de plástico vacía y luego se pesa cuando está llena de aire a la
presión atmosférica. ¿Son los dos pesos distintos? Explique. Ahora se repite los pesos en el
vacío. ¿Son ambos pesos iguales? ¿Por qué?
Rta.: iguales ; distintos
41. Un cubo está flotando en mercurio tiene sumergida la cuarta parte de su volumen. Si se
agrega suficiente agua para cubrir el cubo, ¿Qué fracción de su volumen quedará sumergida
en el mercurio?
Rta.: 12/63 V
153
42. En el sistema que se muestra en la figura, la sección de la cuerda AB de acero es
de 1,5 mm2, la barra CB es maciza, homogénea, indeformable y pesa 8 kgf, y la
esfera D es de aluminio, hueca, de 2L de volumen y 2 kgf de peso. El agua está inicialmente en
el nivel que se muestra en la figura y luego sube hasta la línea de puntos. Calcular:
a) El volumen de huecos de la esfera.
b) El alargamiento inicial y final de la cuerda AB.
A
2m
B
1.5m
D
43. Un bloque de madera de 3,6 kg tiene una densidad relativa de 0,6. Se desea sujetar a dicho
bloque de madera una masa de plomo de tal manera que el conjunto flote en agua con el 90%
del volumen de madera sumergido. ¿Qué cantidad de masa de plomo se necesita si:
a) El plomo se coloca sobre el bloque de madera y queda fuera del agua?
b) El plomo se coloca debajo del bloque de madera y queda dentro del agua?
La densidad relativa del es 11,3
44. Una esfera de densidad ρ se deja caer desde una altura h a una piscina profunda que
contiene agua salada de densidad ρ’. Si se desprecia el rozamiento, ¿Cuál es la máxima altura
H que alcanza la esfera dentro del agua?
Rta.: ρ h / (ρ’ – ρ)
45. Dos troncos idénticos se sitúan de manera indicada en la figura. El tronco inferior está atado a
la pared vertical mediante cables que forman un ángulo de 45°. El tronco superior está
sumergido a medias en el agua. Determinar la densidad de los troncos.
90°
45°
Rta.: 667 kg / m3
46. Una esfera hueca, de radio interior 9 cm y radio exterior 10 cm, flota en un líquido de
densidad relativa 0,8, quedando la mitad fuera del líquido.
a) Calcular la densidad del material que forma la esfera.
b) ¿Cuál seria la densidad de un líquido en el cual la esfera hueca pudiera justamente
sostenerse cuando está sumergida por completa?
Rta.: 1476 kg/m3 ; 400 kg/m3
154
47. Considerar un depósito de fluido sometido a una aceleración ascendente a.
Hallar la fórmula que permita calcular la diferencia de presiones entre dos puntos
del fluido separados una distancia vertical h.
Rta.: ρ h (a + g)
48. Una pieza de aleación de oro y aluminio pesa 4,5 kgf. Cuando se suspende de un balanza de
resorte y se sumerge el cuerpo en el agua, la balanza indica 3,6 kgf. ¿Cuál es el peso del oro en
la aleación, si la densidad relativa del oro es 19,3 y la del aluminio 2,5?
49. Un tubo en U contiene inicialmente un líquido de densidad ρ1. Posteriormente se agrega en
una de las ramas otro líquido de densidad ρ2, tal que ρ1 > ρ2. Calcular la distancia vertical d
entre las superficies libres de ambos líquidos.
d
h1
h3
h2
Rta.: (ρ1 – ρ2) h1 /ρ1
50. El depósito cerrado mostrado en la figura contiene un líquido de densidad ρ. Hallar la presión
manométrica en el punto S.
S
h2
h1
h
Rta.: ρ g ( h2 – h1)
51. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista, flota entre dos capas de aceite y agua, como
se indica en la figura, estando su cara inferior 2 cm por debajo de la superficie de separación.
La densidad del aceite es 0,6 g/cm3. Calcular la presión manométrica en la cara inferior del
bloque.
10cm
8cm
10cm
Rta.: 784 Pa
155
52. En el depósito mostrado de la figura, hallar la diferencia de presiones entre los
puntos 2 y 1.
P1
h
y2
P2
y1
Rta.: – ρ g ( y2 – y1)
53. Un bloque cúbico de metal de densidad ρm= 1,68 g/cm3 y arista a= 20 cm, descansa en el
fondo de un estanque de 1,50 m de profundidad de tal manera que el agua no se infiltra entre
la base del bloque y el fondo. Hallar la fuerza ejercida en la base del bloque.
h
a
Rta.: 65,44 kgf
54. De acuerdo al Principio de Pascal, calcular la presión en el punto Q dentro del depósito de la
figura.
h1
Q
h2
ρ
P
Rta.: p + ρ g h1
156
55. En los recipientes abiertos de la figura se colocan dos fluidos inmiscibles y tales
que ρ1 < ρ2. Calcular las presiones manométricas en los puntos Q y R situados a
la misma altura h.
ρ2
h1
h1
ρ1
Q
h2
ρ2
Rta.: g (ρ1 h1 + ρ2 ( h2 – h ))
;
ρ1
h
R
h2
g (ρ2 h1 + ρ1 ( h2 – h ))
56. Una esfera de densidad ρ < ρH2O se deja caer libremente sobre la superficie sólida y lisa
regresando a su altura original en T0 segundos. Si la esfera se deja caer desde la misma altura
sobre la superficie del agua de un lago, calcular el tiempo que demorará la esfera en alcanzar
su altura original.
Rta.: ρaT0 / (ρa – ρ)
57. La tensión de una varilla de sección S= 2/3 cm2, pendiendo de un bloque macizo debajo de la
superficie de un líquido (de densidad mayor que el bloque), es T0= 19,6 kgf, cuando el vaso
que la encierra está en reposo. Conociendo los datos del grafico σ vs ε, determinar la
deformación unitaria de la varilla cuando el vaso sufre una aceleración vertical ascendente
a=2,2 m/s2 y la zona donde se encuentra el material de la varilla en el gráfico σ vs ε.
σ(kgf/cm2)
50
a
ε
0,25
Rta.: 0,18
; zona elástica
58. Una esfera maciza, de densidad relativa ρ’ = 0,9 y volumen V= 4.000 cm3, está atada a una
plomada de peso W= 5 kgf mediante una cuerda inextensible de longitud L= 1 m. Se sumerge
el conjunto en agua y se mantiene la esfera en la posición indicada en la figura 1 por medio
una fuerza F. Si dejamos de aplicar F, calcular:
a) La velocidad del sistema un instante después de tensarse la cuerda.
b) La altura máxima que alcanza el peso W.
c) La tensión de la cuerda en el instante en que la plomada alcanza la altura máxima.
F
L
Rta.: a) 0,62 m/s
;
b) 0,04 m
;
157
c) 20,98 N
59. El manómetro de émbolos de la figura se compone de dos émbolos de distintos
diámetros D= 2 d unidos rígidamente entra sí. El gas de presión p empuja a estos
émbolos hacia arriba u con ellos al líquido de peso específico relativo 13,6 que existe sobre el
émbolo superior. Determinar p sabiendo que h= 19 cm.
p0
h
D
p0
d
p
Rta.: 2 atm
60. El sistema de la figura está constituido por dos esferas de volúmenes iguales a 10 cm3, unidas
entre sí por un hilo de aluminio de 1 mm de diámetro. Las esferas se encuentran flotando en
un volumen sumergido y la esfera inferior en tres veces más pesada que la superior.
a) Determinar la deformación unitaria del hilo que las une
b) Calcular el nuevo volumen sumergido de la esfera superior si el sistema se acelera hacia
abajo con una aceleración de 4,9 m/s2.
Rta.: a) 2,23 . 10-7
;
b) 5 cm3
61. Calcular la fuerza que comprime las dos mitades de un cubo de peso W y arista a que flota en
un líquido de densidad ρ.
a
Rta.: ½ W2 / (ρ g a3)
158
62. Un bloque de madera de masa m flota en agua con el 60 % de su volumen
sumergido. Se desea sujetar a dicho bloque una masa de plomo de masa m’ y
densidad relativa ρ’ de tal manera que el conjunto flote con el 90% del volumen de madera
sumergido. Hallar la masa de plomo m’ necesaria, si el plomo se coloca debajo del bloque de
madera y queda dentro del agua.
Rta.: ½ ρ’ m (ρ’– 1)
63. En un líquido de densidad ρ0 flota un paralelepípedo rectangular, hecho de un material de
densidad ρ. La altura del paralelepípedo es b, la anchura y longitud, a. Demostrar que el
equilibrio es estable para la relación a/b > (6 ρ (1 – ρ/ρ0) / ρ0)1/2.
Rta.: a/b > ( 6 ρ ( 1 – ρ /ρ0)/ ρ0)1/2
64. Suponiendo que se sueltan simultáneamente dos balines de acero dentro del agua siendo el
diámetro de una de ellos el doble que el del otro, hallar al llegar al fondo la relación entre la
velocidad del balín más grande y el otro balín.
Rta.: 1
65. Una masa M de algodón y una masa m de plomo al ser pesadas en el aire la balanza indica
1kgf. Al repetir las pesadas en el vacío ¿Cuál de los dos es más pesado?
Rta.: algodón
66. Un bloque cúbico, de 10 cm de arista, pesa 10 N. Se lo sumerge en líquido, contenido en un
recipiente que está moviéndose verticalmente hacia arriba con
una aceleración de g/4, recibiendo un empuje de 8 N. Sabiendo
que el líquido en el recipiente alcanza una altura de 10 m, hallar
la fuerza que el fondo del recipiente ejercerá sobre el cuerpo,
h
cuando éste llegue al fondo. Suponer que en la posición final no
a
existe agua infiltrada entre la base del bloque y el fondo.
Rta.: 804 N
67. Un tubo cilíndrico tiene dos secciones diferentes, en las cuales se insertan dos pistones de
áreas A y a (A = 2a) y masas m y m/2, conectadas entre sí por una varilla como se indica en
la figura. Los pistones pueden deslizar sin fricción del líquido contenido entre los pistones,
sabiendo que el sistema está en equilibrio.
A = 2a
m
a
m/2
Rta.: p0 + 2 ρ g h + 3 m g / A
159
68. Un cuerpo de densidad ρ1 flota en un líquido de densidad ρ2 y se hunde en otro
líquido de densidad ρ3. Determinar la relación entre sus densidades.
Rta.: ρ3 < ρ1 < ρ2
69. Un cubo de densidad relativa 0,88 y arista de 50 cm flota entre aceite y agua como indica la
figura a. Si por medio de un tensor de cobre se hace flotar al cubo como muestra la figura b,
calcular la deformación unitaria del tensor si el diámetro del mismo es 1 mm.
a
b
10 cm
Rta.: 2,84 . 10-4
70. Un pistón (disco circular) con un orificio en el centro, tiene área A. En el orificio se encuentra
ajustado un tubo delgado de radio r y masa despreciable. El pistón encaja exactamente
dentro de un recipiente y se encuentra inicialmente en la base del cilindro. Si después de
depositar dentro del recipiente una masa M de agua, el agua sube por un tubo delgado una
altura h, calcular la masa m del pistón.
2r
h
A
Rta.: ρ h A
71. En el sistema mostrado en la figura, todos los cuerpos suspendidos tienen igual volumen, las
densidades son ρ1 para los de arriba y ρ2 para el de abajo, los líquidos de arriba poseen
densidades iguales a ρ2 y el de abajo densidad ρ3. Para que el sistema se encuentre en
equilibrio el valor de ρ3 es:
p1
p1
p2
p2
p2
p3
Rta.: 3 ρ2 – 2 ρ1
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72. Las secciones transversales de las ramas de un tubo doblado en forma de U son A
y 2 A respectivamente (Ver figura). En el tubo se encuentra un líquido de densidad ρ. Si en el
tubo de la izquierda se coloca un pistón de masa m (ajustado herméticamente, de tal forma
que se puede desplazar libremente por aquél), determinar la diferencia de alturas H de los
niveles de las dos superficies del líquido.
H
Rta.: m/ (ρ A)
73. Dos cilindros circulares de longitud L = 2 m, radios R = 1,25 cm y r = 1 cm y densidad relativa
ρ’, cuelgan de los extremos de una cuerda de aluminio y sección 2,3 mm2, y se sumergen en
agua. Calcular:
a) Las longitudes X1 y X2 que cada cilindro entra en el agua sabiendo que la longitud de la
cuerda es a = 3 m , h = 2 m y e = 1 m.
b) El alargamiento que sufre la cuerda.
e
2R
h
L
G2
G1
X2
L
X1
Rta.: a) 1,65 m ; 0,35 m
b) 0,21 mm
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