Balance de cantidad de movimiento Profesor: Adan Yovani León Bermúdez. Químico – Ingeniero Químico, M.Sc – Ph.D Escuela de Ingeniería de Petróleos Entrada CM debido al flujo Distribución de velocidad Balance de cantidad de movimiento por transporte viscoso Entrada de CM por transporte 𝑑𝐹 = 𝜏𝑥𝑧 . 𝑑𝐴 𝑑𝐹 = 𝜏𝑥𝑧 . ∆𝑊. ∆𝑍 W Salida de CM por transporte 𝑑𝐹 = 𝜏𝑥𝑧 . 𝑊. L Dirección de la gravedad (𝜏𝑥𝑧 . 𝑊. L )𝑥 − (𝜏𝑥𝑧 . 𝑊. L )𝑥+∆𝑥 1 Entrada CM debido al flujo Balance de cantidad de movimiento en la superficie 𝐹 = 𝑚.a Fuerzas Externas al sistema 𝑑𝐹 = 𝑚.ሶ 𝑑𝑣 (W.∆𝑥.𝑣𝑧 )(𝜌𝑣𝑧 )𝑧=0 - (W.∆𝑥.𝑣𝑧 )(𝜌𝑣𝑧 )𝑧=𝐿 𝐹 = 𝑚.g 2 ሶ 𝐹 = 𝑄𝜌𝑔 (LW.∆𝑥)(𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽) 3 Velocidad de entrada de cantidad de movimiento (𝜏𝑥𝑧 . 𝑊. L )𝑥 − (𝜏𝑥𝑧 . 𝑊. L )𝑥+∆𝑥 + Velocidad de salida de + Suma de las fuerzas que cantidad de movimiento actúan sobre sistema (W.∆𝑥.𝑣𝑧 )(𝜌𝑣𝑧 )𝑧=0 - (W.∆𝑥.𝑣𝑧 )(𝜌𝑣𝑧 )𝑧=𝐿 - Dividir por la unidad de Volumen, LWΔx -Velocidad superficie constante, Vz: constante (𝜏𝑥𝑧 )𝑥+∆𝑥 − (𝜏𝑥𝑧 )𝑥 lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑑𝑥 + (LW.∆𝑥)(𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽) = 0 Integración de la ecuación 6: 𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑥 + 𝐶1 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 =0 5 Condiciones de frontera X=0; 6 7 𝜏𝑥𝑧 =0 𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑥 8 4 𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑥 8 𝑑𝑣𝑧 = −𝜇 𝑑𝑥 9 𝜏𝑥𝑧 X= 𝛿; 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 𝑣𝑧 =- = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑥 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 2 2.𝜇 + 𝐶2 0 =- 𝑣𝑧 =0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽𝛿 2 2.𝜇 + 𝐶2 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽𝛿 2 𝐶2 = 2.𝜇 Remplazando 9 en 8: −𝜇 Condiciones de frontera 10 11 12 a- Perfil de velocidad 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣𝑧 = 2.𝜇 1− 𝑥 2 𝛿 b- Velocidad máxima 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣𝑧 = 2.𝜇 X=0 13 c-Velocidad media 𝑤 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝜌𝑔𝛿𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑥 =න 1− 2. 𝜇 𝛿 0 2 . 𝑑𝑥 5 𝛿 0 0 𝑣𝑧 . 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 𝑤 𝛿 0 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣𝑧 = 2.𝜇 𝑣𝑧 = 𝛿 1− 𝑤 𝛿 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 0 0 2. 𝜇 𝑣𝑧 𝑥 2 𝛿 𝑥 1− 𝛿 2 𝑣𝑧 2 . 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑤 𝛿 0 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛿 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑊 0 2. 𝜇 𝑥 1− 𝛿 𝑊𝛿 𝜌𝑔𝛿𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑥3 = 𝑥− 2. 𝜇 3𝛿 2 2 3 4 𝜌𝑔𝛿𝑐𝑜𝑠𝛽 𝛿3 = 𝛿− 2. 𝜇 3𝛿 2 𝑣𝑧 = . 𝑑𝑥 𝑣𝑧 𝜌𝑔𝛿𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑥3 − 𝑥− 2 2. 𝜇 3𝛿 𝛿 0 7 𝜌𝑔𝛿𝑐𝑜𝑠𝛽 3𝛿 − 𝛿 2. 𝜇 3 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 3. 𝜇 6 8 d- Caudal 𝑤 𝛿 𝑄 = න න 𝑣𝑧 . 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 0 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑄 = 𝛿𝑊 3. 𝜇 𝜌𝑔𝛿 3 𝑊𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑄= 3. 𝜇 2 3 Ejercicio en clase Una muestra de hidrocarburo con 35 grados API y viscosidad cinemática de 6E-6 m2/s en régimen laminar se transporta a una velocidad de 2 m/s sobre una superficie o canal con inclinación de 30°. El canal tiene una longitud y ancho de 50 cm y 5 cm, respectivamente. Determinar el espesor que forma la película. 𝑣𝑧 𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑥 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣𝑧 = 2.𝜇 1− 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑣𝑧,𝑚𝑎𝑥 = 2.𝜇 𝑥 2 𝛿 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 3. 𝜇 𝜌𝑔𝛿 3 𝑊𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑄= 3. 𝜇 Ejercicio en clase Una muestra de hidrocarburo con 35 grados API y viscosidad cinemática de 6E-6 m2/s en régimen laminar se transporta a una velocidad de 2 m/s sobre una superficie o canal con inclinación de 30°. El canal tiene una longitud y ancho de 50 cm y 5 cm, respectivamente. Determinar el espesor que forma la película. 𝑣𝑧 𝜌𝑔𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 3. 𝜇 𝐴𝑃𝐼 = 141.5 − 131.5 𝜌 𝜌 = 0.8498 𝑔/𝑐𝑚3 𝜗= 𝛿= 3. 𝜇𝑣𝑧 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 𝜇 𝜌 𝛿 = 2.06 ∗ 10−3 , m 𝛿 = 2.06 mm 𝛿= 3𝑣𝑧 𝜗 𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 𝛿= 𝛿 = 0.00205 𝑚 3 ∗ 2 ∗ 6 ∗ 10−6 9.81𝑐𝑜𝑠30 Entrada flujo FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CAPILAR Se tiene un fluido en un tubo circular con las siguientes especificaciones: - Flujo laminar - Densidad del fluido ρ - Longitud L y Radio R Determinar para la película descendente de la figura: a- El perfil de Velocidad b- La velocidad máxima c- Velocidad media d- Caudal r L Entrada de cantidad de movimiento al flujo Presión Po FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CAPILAR Gravedad Fuerzas sobre el sistema r Entrada de cantidad de movimiento por transporte viscoso -CM por transporte. -CM debido al movimiento global del fluido Δr Entrada de cantidad de movimiento por transporte viscoso L -Fuerzas de presión. -Fuerzas de gravedad Salida de cantidad de movimiento al flujo Presión PL Cantidad de movimiento por transporte viscoso 𝜏𝑟𝑧 r 𝑑𝐹 = 𝑑𝐴 𝑑𝐹 = 𝜏𝑟𝑧 . 𝑑𝐴 Δr 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 d𝐴 = 2𝜋𝐿𝑑𝑟 𝑑𝐹 = 𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟 Envoltura cilíndrica de espesor Δr (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟+∆𝑟 1 Entrada de cantidad de movimiento al flujo Velocidad de cantidad de movimiento a través de la superficie anular 𝐹 = 𝑚.a 𝑣 𝐹 = 𝑚. 𝑡 𝑑𝐹 = 𝑚.ሶ 𝑑𝑣 R=r ሶ 𝑣 𝑑𝐹 = 𝑑𝑚. ሶ = 𝜌. 𝑑𝑄 = 𝜌. 𝑑𝐴. 𝑣𝑧 𝑑𝑚 𝐴 = 𝜋𝑟 2 L d𝐴 = 2𝜋rdr 𝑑𝐹 = (𝜌. 𝑑𝐴. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 . 𝑑𝐹 = (𝜌. 2𝜋rdr. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 . ( (𝜌. 2𝜋rdr. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 )𝑧=0 -( (𝜌. 2𝜋rdr. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 )𝑧=𝐿 2 Salida de cantidad de movimiento al flujo 𝜑𝑜 = 𝑃𝑜 − 𝜌𝑔0 Presión Po 𝜑𝑜 = 𝑃𝑜 Efectos de fuerzas externas Gravedad Fuerza de gravedad Fuerza de presión r 𝐹 𝐹 = 𝑚.g ሶ 𝐹 = 𝑉𝜌𝑔 𝐹 = 𝐴𝑃ሶ 𝑚 = 𝜌. 𝑉 = 𝜌. 𝐴. 𝐿 𝐴 = 𝜋𝑟 2 d𝐴 = 2𝜋rdr ሶ 𝑑𝐹 = (2𝜋rdr𝐿)𝜌𝑔 P= 𝐴 3 L ሶ 𝑃𝑜 𝑑𝐹 = 2𝜋rdr. 4 ሶ 𝑃𝐿 𝑑𝐹 = 2𝜋rdr. 5 2𝜋rdr.ሶ 𝑃𝑜 − 2𝜋rdr. 𝑃𝐿 5’ 𝜑𝐿 = 𝑃𝐿 − 𝜌𝑔𝐿 Presión PL Balance de cantidad de movimiento Velocidad de entrada de cantidad de movimiento Velocidad de salida de + Suma de las fuerzas que cantidad de movimiento actúan sobre sistema -CM por transporte. -CM debido al movimiento global del fluido -Fuerzas de presión. -Fuerzas de gravedad (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟+∆𝑟 + ( (𝜌. 2𝜋rdr. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 )𝑧=0 -( (𝜌. 2𝜋rdr. 𝑣𝑧 )𝑣𝑧 )𝑧=𝐿 + 1 2 (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟+∆𝑟 + 1 =0 ሶ 2𝜋rdr𝐿 𝜌𝑔 + 2𝜋rdr. (𝑃𝑜 − 𝑃𝐿 )=0 3, 4 ሶ 2𝜋rdr𝐿 𝜌𝑔 + 2𝜋rdr. (𝑃𝑜 − 𝑃𝐿 )=0 3, 4 (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 . 2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟+∆𝑟 + 2𝜋rdr𝐿 𝜌𝑔 + 2𝜋rdr. ሶ (𝑃𝑜 − 𝑃𝐿 )=0 lim (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟++∆𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 ∆𝑟 ∆𝑟→𝑜 =( (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟++∆𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 ∆𝑟 ∆𝑟→𝑜 =( (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟++∆𝑟 − (𝜏𝑟𝑧 .2𝜋𝐿𝑑𝑟)𝑟 ∆𝑟 ∆𝑟→𝑜 =( lim lim 𝑟. 𝜏𝑟𝑧 = ( 𝑟. 𝜏𝑟𝑧 = ( 𝜑𝑜 −𝜑𝐿 )r 𝐿 𝜑𝑜 −𝜑𝐿 2 )𝑟 + 2𝐿 + 𝜌𝑔)r 𝑃𝑜 −𝑃𝐿 𝐿 + 𝜑𝑜 = 𝑃𝑜 𝜌𝑔𝐿 )r 𝐿 𝜑𝐿 = 𝑃𝐿 − 𝜌𝑔𝐿 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 +𝜌𝑔𝐿 +𝜌𝑔𝐿 )r 𝐿 𝑃 = 𝜑 + 𝜌𝑔𝑧 𝜑 = 𝑃 − 𝜌𝑔𝑧 𝑑 𝑑𝑟 𝑃𝑜 −𝑃𝐿 𝐿 Condición 1: r=0, 𝜏𝑥𝑧 =0 𝐶1 𝜏𝑟𝑧 = ( ÷ 2𝜋𝐿𝑑𝑟 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 )𝑟 2𝐿 𝑃𝐿 = 𝜑𝐿 + 𝜌𝑔𝐿 Perfil de velocidad 𝜏𝑟𝑧 = ( 𝜏𝑟𝑧 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 )𝑟 2𝐿 𝑑𝑣𝑧 = −𝜇 𝑑𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 = −( )𝑟 𝑑𝑟 2𝜇𝐿 𝑣𝑧 = −( 𝜑𝑜 −𝜑𝐿 2 )𝑟 4𝜇𝐿 + C2 Condición 2: r=R, 𝑣𝑧 =0 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 2 𝑟 𝑣𝑧 = ( )𝑅 1 − 4𝜇𝐿 𝑅 2 Velocidad máxima 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 2 𝑟 𝑣𝑧 = ( )𝑅 1 − 4𝜇𝐿 𝑅 2 Condición 3: r=0, 𝑣𝑧 =𝑣𝑧,𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑣𝑧,𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 2 =( )𝑅 4𝜇𝐿 Velocidad media 2𝜋 𝑣𝑧 = 𝑅 0 0 𝑣𝑧 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2𝜋 𝑅 0 0 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 2 𝑣𝑧 = ( )𝑅 8𝜇𝐿 Caudal 𝑅 2𝜋 𝑄=න න 0 0 𝑣𝑧 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜑𝑜 − 𝜑𝐿 4 𝑄 = 𝜋( )𝑅 8𝜇𝐿 Hagen - Poiseuille Aplicación Se tiene un crudo mediano con gravedad API y viscosidad cinemática como se describe en la tabla. En un sistema de placas paralelas el crudo presenta un comportamiento de velocidad mediante la siguiente expresión: Grupo Crudo Viscosidad cinem ática, cm2/s API 1 A 3600 12.3 2 B 3500 12.5 3 C 3400 13 4 D 3300 13.4 5 E 3250 13.6 6 F 3500 13.5 7 G 3200 14 8 H 3100 16 La distancia entre las placas es de 7.5 cm. 1. Determinar el esfuerzo de corte a 2, 4, y 6 cm de distancia. 2.Determine la expresión del perfil del esfuerzo de corte entre las dos placas. 3.Determine la velocidad promedio entre las dos placas Código 2191492 2190553 2191151 2173046 2181103 2181740 2190556 2190559 2190558 2181761 2180500 2181119 2174690 2181488 2184695 2172819 2191169 2182849 2183121 2170608 2172448 2172832 2191165 2190551 2191164 Estudiante CORREDOR ARIAS MARIA ALEJANDRA RICO TALERO KAROL YULIANA Grupo Tema 1 Intercambiadores de Calor 2 Flujo multifasico 3 Comportamiento reológico de crudos 4 Uso y eficiencia de la energía solar 5 Inyección de vapor en la producción de hidrocarburos 6 Generadores de vapor 7 Uso y eficiencia de la energía geotérmica 8 Ley de Fick – Difusión con o sin reacción quimica VARGAS RODRIGUEZ CHRISTIAN LEONARDO BLANCO DUEÑAS LIZETH VANESSA LASSO ORDOÑEZ DANNA BRIGITH PATRON ZAPATA SALOME CELY PALACIO MARLON EDUARDO ORTEGA MENDOZA SHARON NICHOLLS PINTO ORTEGA DANIEL ANDRES AGREDO MARQUEZ YINA MARCELA CAMARGO SAUMETH ANDREA CAMILA SERRANO SERRANO DANIELA IBARRA AGREDO JOHAN SEBASTIAN PACHECO GOMEZ ANDRES ALEJANDRO TRIANA PINTO KAREN IVONNE PINZON HERRERA ANDRES FELIPE CADENA ORTEGA DAIRA MILENA GUTIERREZ FONTECHA MANUEL FERNANDO NUÑEZ SALAMANCA KAREN ESTEFANY JIMENEZ AGUDELO MIGUEL SANTIAGO MOLINA ARANA YENNYFER OBREGON DELGADO NICOLAS FELIPE ARANGO SERRANO DANIEL ESTEBAN BARRERA ACOSTA HELIAN ARMANDO DURAN MONSALVE JUAN SEBASTIAN