solucionari MATES 2 Mc Graw Hill

S O L UCI ON A R I
MATEMÀTIQUES
2
Autors del llibre de l’alumne
Àngela Jané
Jordi Besora
Josep M. Guiteras
Revisió tècnica
Antoni Giménez
BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS
GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK
PANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULO
AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL
NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR
SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO
Matemàtiques 2 · Batxillerat · Solucionari
No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament
informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic,
mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro
Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.
Drets reservats © 2009, respecte a la primera edició en català per:
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.
Edificio Valrealty, 1.ª planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 978-84-481-7026-4
Depósito legal:
Editora de projecte: Alícia Almonacid
Tècnic editorial: Conrad Agustí
Disseny de coberta: Quin Team!
Disseny d’interiors: McGraw-Hill
Il·lustracions: Jordi Soto
Composició: Servei Gràfic NJR, S.L.
IMPRÈS A - PRINTED IN
ÍNDEX
Guies didàctiques interactives
McGraw-Hill ........................................................
4
Activitats finals ....................................................
Bloc 2. Matrius i sistemes
Unitat 6. Vectors a l’espai
Activitats ..........................................................
Unitat 0. Comencem
9
3
94
Activitats finals .................................................. 101
Avaluació .......................................................... 104
Bloc 1. Funcions
Unitat 7. Matrius i determinants
Unitat 1. Derivades
Activitats ............................................................
14
Activitats finals ..................................................
27
Avaluació ..........................................................
32
Unitat 2. Funcions contínues i derivables
Activitats ..........................................................
33
Activitats finals ..................................................
36
Avaluació ..........................................................
40
Activitats .......................................................... 105
Activitats finals .................................................. 113
Avaluació .......................................................... 114
Unitat 8. Sistemes d’equacions
Activitats .......................................................... 115
Activitats finals .................................................. 121
Avaluació .......................................................... 125
Bloc 3. Geometria
Unitat 3. Aplicacions de la derivada
Activitats ..........................................................
41
Unitat 9. Equacions de rectes i plans
Activitats finals ..................................................
50
Activitats .......................................................... 126
Avaluació ..........................................................
61
Activitats finals .................................................. 129
Avaluació .......................................................... 132
Unitat 4. Primitives
Activitats ..........................................................
63
Unitat 10. Posició relativa de rectes i plans
Activitats finals ..................................................
74
Activitats .......................................................... 133
Avaluació ..........................................................
82
Activitats finals .................................................. 138
Avaluació .......................................................... 142
Unitat 5. La integral
Activitats ..........................................................
83
Unitat 11. Distàncies i angles
Activitats finals ..................................................
87
Activitats .......................................................... 144
Avaluació ..........................................................
92
Activitats finals .................................................. 153
Avaluació .......................................................... 160
4
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
j Guies didàctiques interactives McGraw-Hill
A fi de facilitar-vos la tasca docent, hem complementat l’oferta del nostre llibre de Matemàtiques 2 amb
una guia didàctica interactiva, que estem convençuts que us serà de gran ajut.
A continuació us en presentem els trets principals, tot i que, sens dubte, serà a mesura que l’aneu fent
servir que en descobrireu totes les potencialitats. A més, incorpora una adreça de correu electrònic, on ens
podeu fer arribar les vostres observacions i suggeriments.
Com veureu, és fàcil de fer anar, molt visual i intuïtiva, i no requereix cap mena d’instal·lació prèvia.
McGraw-Hill, avui, com sempre, qualitat al servei de l’educador.
Menú amb les accions
disponibles per als professors
Continguts addicionals
t-BCPSBUPSJT8JSJT
t"DUJWJUBUTSFTPMUFT
t.BUFNËUJDBRVPUJEJBOB
t(BMFSJBEJNBUHFT
t(MPTTBSJ
t1SPWFT1"6
A la pantalla principal apareix la barra
de menú amb les opcions de navegació i
de visualització de les guies digitals.
El vídeo de presentació explica com s’ha
de treballar amb les guies didàctiques
interactives de McGraw-Hill.
Prement en els ítems de l’índex de continguts podeu accedir a material genèric
de la matèria amb més informació i activitats extres.
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
"KVEB
'JEFMBHVJB
*OJDJEFMBHVJB
%BEFTEFDPOUBDUF
1MBOBBOUFSJPS
1MBOBTFHàFOU
&T NPTUSB MÓOEFY EFMT
DPOUJOHVUTBEEJDJPOBMT
Cerca
0QDJØ EF MFDUVSB
recomanada
Opció de cerca
SËQJEB
5
¶OEFYTFNQSFBDDFTTJCMFEF
UPUTFMTDPOUJOHVUTHFOÒSJDT
EFMBNBUÒSJB
¶OEFYEVOJUBUTEFM
MMJCSFEFMBMVNOF
Tancar la
WJTVBMJU[BDJØ
&M TVNBSJ JODMPV MÓOEFY
EFMMMJCSFEFMBMVNOF
El menú us mostra totes les opcions genèriques per navegar dins de les guies i per visualitzar les pàgines i els continguts.
Pàgina anterior: prement aquest botó podeu navegar fins la pàgina anterior.
Pàgina següent: amb aquesta opció podeu avançar fins a la pàgina següent.
Inici de la guia: prement aquesta opció podeu anar al començament de la guia.
Fi de la guia: podeu navegar fins a la darrera pàgina de la guia.
Opció de lectura recomanada: permet ampliar el text i les imatges de la pàgina que s’està llegint.
Opció cerca ràpida: aquesta opció us mostra en versió reduïda totes les pàgines de la guia.
Cerca: us serveix per cercar paraules dins del text de la publicació.
Ajuda: en qualsevol moment podeu visualitzar l’ajuda per fer servir adequadament la guia digital.
Índex de continguts: l’índex de continguts està sempre accessible per navegar pels continguts addicionals més ràpidament.
Sumari: índex de les unitats i dels continguts del llibre de l’alumne.
6
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
j Zones senyalitzades
.FOÞHFOÒSJDTFNQSFWJTJCMFQFSBMTQSPGFTTPST
-FT[POFTPOIJIB
JOGPSNBDJØFYUSB NPTUSFOVOFGFDUFEF
TFOZBMJU[BDJØJOUFSNJUFOU
QFSJOEJDBSRVFIJIB
NÏTDPOUJOHVUT
5FYUPTFNFSHFOUTBNCJOGPSNBDJØ
BEEJDJPOBMJDPNQMFNFOUËSJBBMTUFNFT
USBDUBUTBMMMJCSFEFMBMVNOF
2VBOFTQSFNVOB[POBQVMTBCMF BQBSFJY
JOGPSNBDJØDPNQMFNFOUËSJBBBRVFTUBQBSU
del llibre.
1PEFOBQBSÒJYFSWÓEFPT GPUPHSBmFT IJQFS
WJODMFT BESFDFTXFC BSYJVTBEKVOUTBNC
FYFSDJDJTJDPNFOUBSJT JUBNCÏDBJYFTEF
UFYUBNCEFmOJDJPOTEFQBSBVMFT DPOTFMMT PCKFDUJVTEJEËDUJDTJQSPDFEJNFOUBMT BDUJWJ
UBUT DPNFOUBSJT FUD
3FQSPEVDDJØEFMFTQMBOFT
EFMMMJCSFEFMBMVNOF
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
j Opcions de
visualització
Visualització de doble pàgina:
1PEFVWJTVBMJU[BSMFTQMBOFT
DPNTJFTUSBDUÏTEVOMMJCSF
Opció de lectura recomanada:
1PEFVBNQMJBSMFTQMBOFTQFSWFVSFFM
UFYUPMFTJNBUHFTNÏTHSBOT
Opció cerca ràpida:
5BNCÏ QPEFVWJTVBMJU[BSUPUFTMFTQMBOFT
FONJOJBUVSB BmEBSSJCBSSËQJEBNFOUBMT
DPOUJOHVUTEFTJUKBUT
Requeriments tècnics:
L’ús d’aquestes guies interactives no requereix
cap instal·lació especial, ja que funcionen amb
el navegador d’Internet.
Tot i que no és necessari estar connectat a la
Xarxa per fer-les anar, sí que hi ha continguts,
com l’accés a pàgines web, que només es podran aprofitar al 100% si s’està on-line.
La major part d’equips ja incorporen el Flash
Player, però si no fos el vostre cas, us el podeu
descarregar gratuïtament des del web d’Adobe.
7
0
MATEMÀTIQUES 2
j Unitat 0. Comencem
d)
Activitats finals
1. Calcula:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
2. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de
les operacions següents:
h)
a)
7
i)
b)
·
c)
·
4. Si A(x) 6x4
2x2
4x
6 i B(x) x3
a) 2 . A(x)
Multipliquem els coeficients per 2:
d)
b) 3x . B(x)
3. Expressa en forma d’una sola arrel:
a)
Multipliquem els coeficients per 3x:
c) A(x) : B(x)
b)
c)
Quocient: c(x) 6x
Residu: r(x) 14x2
10x
6
2x
1, calcula:
9
0
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d) B(x) : (x
C(x) x4
1)
Apliquem la regla de Ruffini. Com que B(x) no té terme de grau
dos, en el seu lloc hi posem un zero. El primer nombre de la
segona fila és 1, perquè dividim entre x 1 canviant de signe
el terme independent del binomi. El quocient queda determinat
pels tres primers termes de la tercera fila: 1, 1, 1 l x2 x 1.
El residu és 2.
x3
x2 x
1)2(x
C(x) x (x
m.c.d. (x
1)
1)x
2
1)2(x
m.c.m. 2x (x
1)(x
2)2
8. Calcula:
Cal tenir en compte que 1
5. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan
que sigui possible.
a) (x4
2x2
1) : (x
x 1
x 1
2)
x2
x2
x 1
x 1
(x 1)(x 1)
x2 1
x (x
1). m.c.m. x2
1
1
1
(x 1)(x 1)
x2 1
x2
x2
1
x2 1
2
1
x 1
Per Ruffini:
9. Donades les fraccions algèbriques següents:
A(x)
Quocient: x3
2x2
2x
i B(x)
calcula: A(x) . B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x).
4
Residu: 9
A(x) . B(x) 6
3
x
b) (x
x
1) : (x
1)
Per Ruffini:
A(x) : B(x) B(x) : A(x) Quocient: x5
x4
x3
2x2
2x
1
10. Resol els sistemes d’equacions lineals següents pel mètode
que s’indica:
Residu: 2
a)
6. Factoritza els polinomis següents:
3
2
a) A(x) 6x
3
A(x) 6x
20x
b) B(x) x4
B(x) x
4
20x
2
3x
3
6x
6x x (6x2
3x3
3x
per reducció.
3x2
2
11x
11 x
20x
6) 6x (x
3)
Multipliquem la primera equació per 2. D’aquesta manera, la x
tindrà el mateix coeficient en les dues equacions:
6
6 (x
1)2(x
2)(x
3)
7. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
A(x) 2x5
6x4
A(x) 2x2 (x
B(x) x3
B(x) x (x
1)(x
8x2
2)2
x
1)(x
1)
Restem les dues equacions per reduir-ne el nombre d’incògnites:
0
MATEMÀTIQUES 2
Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions
(per exemple, en la primera) per trobar el valor de l’altra incògnita.
Substituïm aquest valor en qualsevol equació en la qual la x
estigui aïllada, per exemple en la primera:
La solució del sistema és: (x, y) (1, 1)
La solució del sistema és: (x, y) (4, 5)
11. Resol els sistemes d’equacions següents:
b)
per substitució.
a)
Aïllem una incògnita d’una de les equacions, per exemple la y
de la segona equació:
x
y 1ly 1
2x
3( 1
x:
x) 1
Substituïm en la 1a equació: x 10
Resolem la equació que apareix, que té una única incògnita:
2x
3( 1
2x
3x 1
x) 1 l 2x
3
3x 1
3l x4lx 4
Substituïm aquest valor en la igualtat en la qual hem aïllat la
incògnita y:
y 1
Substituïm en la segona, i resolem l’equació:
x
Substituïm en la primera equació la y per 1
( 4) l y 1
4ly3
16 26.
Solució: (x, y) (26, 10).
b)
Aïllem la y de la 2a, y 7
x, substituïm en la 1a i resolem:
a 1, b 7 i c 10
La solució del sistema és: (x, y) ( 4, 3).
c)
11
per igualació.
Aïllem una mateixa incògnita de les dues equacions, per exemple la x:
Substituïm en l’equació aïllada:
Solucions: (x, y) (2, 5)
(x, y) (5, 2)
Igualem els membres de la dreta de les equacions:
c)
Per reducció. Restem les dues equacions:
Resolem l’equació que apareix, que té una única incògnita:
Resolem l’equació:
l
l
0
12
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Arribem a una identitat, per la qual cosa les dues equacions són
equivalents (gairebé són la mateixa). El sistema és compatible
indeterminat: té infinites solucions. Si aïllem una de les incògnites d’una equació obtindrem una fórmula per trobar totes les
solucions. Per exemple, la x de la primera equació:
x 5 yl
Solució: (x, y) (5
14. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
a) g(x) ŒR
w
y, y)
Per a cada valor de y tindrem una solució del sistema. Exemples:
y 1 l (4, 1)
y 0 l (5, 0)
12. a) Per a quins valors de m l’equació x2
solució?
El discriminant de la equació ( b2
zero:
b) k(x) y 3 l (8, 3)
mx
4 0 té una
ŒR
4ac) ha de ser igual a
w
w
a 1, b m i c 4 l
l
15. Siguin f(x) i g(x) l
a) Troba les funcions: ( f
b) Per a quins valors de m el sistema
¤f³
g )( x ), ( f • g )( x ), ¥ g ´( x ),
¦ µ
( f C f )( x ), ( g C g )( x ), f 1( x ).
té una solució única?
(f
El sistema ha de ser compatible determinat, és a dir,
,
l
,
w
w
g)(x) f(x)
g(x) :
l1w mlmw 1
Per a tots els valors diferents de 1.
13. Sense resoldre’ls, classifica els sistemes següents:
a)
w
(f . g)(x) f(x) . g(x) Sistema compatible determinat l té una solució.
ª2 x y 3
b) «
¬ 4x 2y 6
2
1 3
4 M
2 M
6
M
0 ,5
0 ,5
0 ,5
Sistema compatible indeterminat l infinites solucions.
ª2 x y 3
c) «
¬ 4x 2y 6
w
Sistema incompatible l no té solució.
(x) 0
MATEMÀTIQUES 2
c) Comprova que f 1 (x) és la funció inversa de f (x).
(f ° f)(x) f (f(x))
(f
1o
f ) (x) f 1 ( f (x)) f
(g ° g)(x) g(g(x)) (f o f 1) (x) l xy
y
2x
xy y
y 2x
1 l x (2
1l
y) y
1
l f 1(x)
x
b) Troba el domini d’aquestes funcions.
ŒR
w
ŒR
ŒR
ŒR
w
w
w
w
w
1
13
14
1
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Bloc 1. Funcions
j Unitat 1. Derivades
Activitats
1. La funció f(x) x3 2 sempre és creixent. Calcula’n
la variació mitjana a cadascun dels intervals següents:
[ 3, 1], [0, 2] i [5, 7].
En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?
5. La funció ƒ(x) x2
6x és decreixent al voltant de x 4.
Quantifica aquest decreixement calculant
Interval [ 3, 1]:
Interval [0, 2]:
Interval [5, 7]:
La funció f(x) x
[5, 7].
3
13
Interpreta’n el resultat obtingut.
4
109
(2
x) 2
2 té el creixement més ràpid en l’interval
Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre
de dues vegades el que augmenta x.
2. Considera la funció f(x) 3x 1. Demostra que la variació
mitjana sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat.
6. Fes el mateix estudi, de l’activitat 5, per a x 3.
Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que
has obtingut.
3
.
En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció és 3.
3. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en qualsevol interval [x1, x2]?
(3
x) 0
7. Representa gràficament la funció f(x) 2x
f ’( 2), f ’(0) i f ’(3). Interpreta’n els resultats.
3. Calcula
Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.
3
4. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x2 4x a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de
x 3?
2
f ’( 2) Fes-ne la representació gràfica i comprova després la teva
resposta.
Podem esperar que la funció f(x) x2 4x decreixi al voltant
de x 3. Ho comprovem a la gràfica de la funció.
2 2
1
MATEMÀTIQUES 2
També es verifica: f ’(0) f ’(3) 2.
c) f’(0) si f(x) La funció f (x) 2x 3 decreix sempre de la mateixa manera,
és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general,
f ’(x0) 2, x0 Œ R.
No existeix f’(0), ja que x 0 no pertany al domini de la funció.
f (x) 8. Donada la funció f(x) ax b, demostra que f ’(x0) a,
independentment del valor x0 considerat.
ƒ’(x0) 1
l no existeix f(0).
x
d) ƒ’( 2) si ƒ(x) ƒ’( 2) x
2
∞
no és derivable en x 2.
La funció f(x) 10. Representa gràficament la funció f(x) x2 2x 4 i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i
decreixement. Comprova que f’(1) 0.
15
aa
9. Calcula, si és possible:
a) f ’(8) si f(x) f’(8) Decreixent: ( ∞, 1)
Creixent: (1, ∞)
si f(x) 4
b) f ’
f ] 1 h g f (1)
h
2
]1 hg 2]1 hg 4 3
lim
h"0
h
1 2h h 2 2 2h 4 3 lim
h"0
h
2
h
lim
lim
h0
h"0 h
h"0
f l(1) lim
h"0
x2
11. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció
ƒ(x) (2 x)2 és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix estudi en x 1.
ƒ’
ƒ’(6) ( 1 h) 1
(h
8) 8
1
16
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d) f’( 2) si f(x) 10x
ƒ’(6) 0 l creixent en x 6.
(h
6) 6
10 10
14. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció
f(x) 3x2 10x 3 en x 2.
ƒ’( 1) 0 l decreixent en x 1.
12. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en
tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?
La funció ha de ser constant, f(x) K, K Œ R. És així perquè si
una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol
valor de x Œ Dƒ R.
x 2 l f(2) 3 · 22
f’(x) 6x
a) f’( 4) si f(x) 5 2 (x
10 12
2) l y
5 2x
10 2
4 l y 2x
9
Es tracta de buscar els valors de x per als quals es compleix que
f’(x) 3.
No és possible, ja que no existeix f( 4).
R
f(x) x3
2
b) f’(1) si f(x) x
2 l f’(x) 3x2 l 3x2 3 l x ± 1
x 1 l f(1) 13
23
x 1 l f( 1) ( 1)3
ƒ’(1) c) f’(0) si f(x) 2x2
2
21
Els punts són (1, 3) i ( 1, 1).
1
ƒ’(0) 3 5 l (2, 5)
10
mtg f’(2) 6 · 2
y
10 · 2
15. Considera la funció f(x) x3 2. En quins punts de la gràfica d’aquesta funció la recta tangent és paral·lela a la recta
y 3x 5?
13. Calcula, si és possible:
f( 4) ƒ’( 2) ƒ’( 1) 3
2h 2 . 0 0
16. Dibuixa la recta tangent a la corba representada a la gràfica
en els punts d’abscisses x 3, x 0 i x 2.
1
MATEMÀTIQUES 2
a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d’aquestes
tangents?
En x 3, pendent positiu; en x 0, pendent negatiu; en
x 2, pendent positiu.
17
19. Esbrina quins són els punts de la gràfica de la funció
f(x) x3 6x2 4 que tenen tangent paral·lela a l’eix d’abscisses.
f(x) x3
6x2
4 l f’(x) 3x2
12x
Si la recta tangent és paral·lela a l’eix 0X, mtg tg 0º 0.
b) Quin signe tenen f’( 3), f’(0) i f’(2)?
Per tant, es tracta de trobar quins són els valors de x que compleixen l’equació: f’(x) 0.
f’( 3) 0
f’(0) 0
f’(2) 0
3x2
12x 0 l x (3x
12) 0 l x 0 i x 4
x 0 l f(0) 4
17. A partir de la gràfica, fes una estimació dels valors de f’(2),
g’( 1) i h’(0).
x 4 l f(4) 28
Els punts són P(0, 4) i Q(4, 28)
1
és decrei20. Indica raonadament per què la funció f(x) x
xent en tots els punts del seu domini.
1
i, per tant, f’(x) 0 per a qualsevol x Œ R,
x2
Perquè f(x) x w 0.
f’(2)
21. La gràfica de la funció f(x) x2
en el punt (3, 1).
0,7
bx
c presenta un mínim
a) Calcula b i c.
Es compleix:
f(3) 1 l 1 9
c l 3b
3b
f’(3) 0 amb f’(x) 2x
g( 1)
3 · ( 6)
bl06
blb 6
c 10 l c 8
La funció és f(x) x2
g’( 1) 0
c 10
6x
8.
b) Representa-la gràficament i verifica el resultat de la teva
resposta.
h’(0)
0,4
18. Considera la funció f(x) x2 3x 5. Digues en quin punt
de la seva gràfica la recta tangent forma un angle de 45º
amb el sentit positiu de l’eix X. Aquesta funció, és creixent
o decreixent en aquest punt? Per què?
Com que tg 45º 1, es tracta de determinar el valor o valors de
x per als quals es verifica que f’(x) 1.
f(x) x2
3x
f(2) 22
3·2
5 l f’(x) 2x
3 l 2x
31lx2l
5 3 l (2, 3)
En el punt P(2, 3) la funció és creixent, ja que f’(2) 1 0.
22. Les gràfiques de les funcions polinòmiques de segon
grau f(x) ax2 bx c sempre tenen un màxim o un mínim. Demostra que es troba localitzat en el punt d’abscissa
b
x0 .
2a
Cal que f’(x) 0, ja que en un màxim o en un mínim la gràfica
de la funció presenta sempre tangent horitzontal.
f’(x) 2ax
b l 0 2ax
blx
b
2a
1
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
23. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les
funcions següents i indica’n en cada cas el motiu:
2
x2
x 0, perquè no pertany al Df .
a) f(x) 25. Donada la funció:
Troba a i b perquè sigui derivable en x 2.
lim f(x) 2a
xl2
b) g(x) 1
x2
xl2
x
3x
f’(x) ¬
4
, perquè no pertany al Dh.
3
d) i(x) 5
f(2) 11
La funció ha de ser contínua en x 2 l 2a
x
4
b
lim f(x) 11
9
x 3 i x 3, perquè no pertanyen al Dg.
c) h(x) ax b si x 2
2x2 3 si x q 2
f(x) En conseqüència: f’(2 ) f’(2 ) l a 8
2a
x
x 0, perquè la recta tangent és perpendicular a l’eix 0X.
b 11
a8
l 16
b 11 l b –5
26. La funció:
24. Representa gràficament la funció:
4 x2
f(x) ¬
2x 4
b 11
a si x 2
4x si x q 2
¬
18
si x a 0
si x 0
ƒ(x) és derivable en x 2? Per què?
És contínua en x 0? I derivable?
ƒ(2) 3
f(x) (x
No és derivable en x 2 ja que
no és contínua en x 2.
27. La funció f(x) |x2
finida a trossos:
6x
x2 6x 8
f(x) ¬ 2
x 6x 8
És contínua en x 0, ja que lim f(x) lim f(x) f(0) 4
xl0
2) 4
f(x) w f(2), i, per tant f(x)
8| és, en realitat, una funció de-
si x a 2 o x q 4
si 2 x 4
La gràfica de la funció es pot obtenir fàcilment a partir de la
gràfica de la funció g(x) x2 6x 8. Dibuixa les gràfiques
de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la derivabilitat
de la funció f(x) en x 2 i en x 4.
xl0
10
« –2x si x a 0
f’(x) ¬
2 si x 0
y = x2 − 6x + 8
8
6
Per tant, f’(0 ) 2 i f’(0 ) 0. Com que f’(0 ) w f’(0 ), la funció
no és derivable en x 0.
4
2
2
2
4
6
8
10
1
MATEMÀTIQUES 2
f(x) és contínua en x 2 i en x 4, ja que es compleix:
19
lim f(x) lim f(x) f(2) 0
xl2
xl2
lim f(x) lim f(x) f(4) 0
xl4
xl4
En canvi, la funció no és derivable ni en x 2 ni en x 4.
f’(x) 2(2x
h) 4x
2x 6 si x a 2 o x q 4
2x 6 si 2 x 4
c) f(x) ,xw0
f’(2 ) 2; f’(2 ) 2 l f’(2 ) w f’(2 )
f’(4 ) 2; f’(4 ) 2 l f’(x)(4 ) w f’(4 )
28. Sabem que la funció f(x) 4
Calcula b.
L’expressió 4
3
bx
no és derivable en x 2.
bx s’anul·la per a x 2:
4
f’(x) 2b 0 l b 2
29. Defineix a trossos la funció f(x) |x 2|. Representa-la gràficament i indica raonadament en quin punt no és derivable.
d) f(x) ,xw0
f’(x) f(x) ¬
x
x
e) f(x) si x q 2
si x 2
2
2
No és derivable en x 2, ja que f’( 2 ) 1 i, en canvi,
f’( 2 ) 1. Per tant, f’( 2 ) w f’( 2 )
30. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) x
7
,x0
f’(x) ƒ’(x) 1 1
f) f(x) 3
b) f(x) 1
ƒ’(x) 2x2
f’(x) 0
1
20
g) f(x) 3x2
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2x
1
La funció és creixent en x 4.
f’(x) 33. Donada la funció f(x) x4, calcula f’(x) de dues maneres
diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
(3h
6x
2) 6x
2
h) f(x) P
f ’(x) 0
31. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció
f(x) x2 6x 8. Quant val f ’(3)?
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
34. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
32. Donada la funció f(x) 6 x2, calcula f’( 2) i f’(4). Indica
si la funció és creixent o decreixent en x 2 i en x 4.
La funció és creixent en x 2.
MATEMÀTIQUES 2
35. Considera la funció ƒ(x) . Calcula ƒ’(4); ƒ’(16).
Interpreta’n els resultats obtinguts.
1
f ( x ) x 2 l f `( x ) 1
x
2
1
2
1
21
La funció f(x) no és derivable en x 0, ja que aquest valor
anul.la el denominador de la funció f’(x).
1
40. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
2 x
1
4
f `(4) f `(16) 1
8
La funció és decreixent en x 4 i en x 16, ja que ƒ’(4) 0 i
ƒ’(16) 0. Com que |ƒ’(4)| |ƒ’(16)|, la funció decreix amb més
rapidesa prop de x 4 que prop de x 16.
De fet, la funció és decreixent en tot el seu domini, excepte en
x 0, on no és derivable.
36. Donada la funció f(x) x3, calcula f ’( 1) i f ’(1). Indica si
la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en
cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és
més ràpida aquesta variació.
l la funció és creixent en x 1 i
x 1 i en ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa.
41. Per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la funció
f(x) x3 5x2 3x 4?
37. Pot decréixer en algun punt la funció de l’activitat anterior?
Per què?
No, perquè ƒ’(x) 3x2 ≥ 0 per a qualsevol x Œ R.
38. Indica raonadament per què la funció ƒ(x) xent en tots els punts del seu domini.
és decrei-
42. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon
grau f(x) ax2 bx c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representarla gràficament.
x 1 l ƒ’(x) 1 x 2 ƒ(x) Si x Œ R {0}, x2 0, i, per tant, f’(x) 0. Aleshores, f’(x) 0
per a qualsevol valor de x real i diferent de zero. Cal tenir en
compte que Df R {0}.
39. Troba la funció derivada de la funció f ( x ) 3 x i comprova
que aquesta funció no és derivable en x 0.
f (x) 3
1
3
1
x x l f `( x ) x
3
2
3
43. Quina és l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció
ƒ(x) x2 6x en els punts en què talla l’eix d’abscisses?
ƒ(x) 0 l x2
6x 0 l x1 0, x2 6
1
33 x2
Els punts són (0, 0) i (6, 0).
1
22
ƒ’(x) 2x
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
L’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) sin x en el
¥P
¥ 3P
´
´
punt ¦ , 1 µ és y 1; en el punt ¦ , 1 µ , la recta tangent té
§2
§ 2
¶
¶
per equació y 1.
6
Punt (0, 0):
mtg ƒ’(0) 6 l y 6x
Punt (6, 0):
mtg ƒ’(6) 6 l y 6(x
6) l y 6x
36
44. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la
funció f’(x) representada en la gràfica. Pots trobar-ne més
d’una? Per què?
47. Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta tanP
gent a la gràfica de la funció f(x) 2 cos x en . Aquesta
6
recta s’anomena recta normal a la gràfica de la funció en
aquest punt.
f(x) 2 cos x l f’(x) 2 sin x
x
P
lf
6
mtg f’
¥
¦
§
P´
P
µ 2 cos
6¶
6
¥
¦
§
3 l
P´
P
2·
µ 2 sin
6¶
6
¥
¦
§
¥
¦
§
P
,
6
´
3µ
¶
1´
µ 1 l mnormal 1
2¶
Equació de la normal:
y
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les funcions del tipus f(x) x k, amb k Œ R.
45. Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
3 1 x
P´
µ lx
6¶
3
y
P
0
6
48. Hi ha algun punt de la gràfica de la funció f(x) log2 x que
tingui recta tangent paral·lela a la bisectriu del primer quadrant i del tercer? Si la resposta és afirmativa, troba l’equació d’aquesta recta tangent.
f(x) log2 x l f’(x) 1
1
·
x
ln2
Bisectriu primer i tercer quadrants: y x l m 1.
5
f’(x) 1 l
f’(x) 3 cos x
b) f(x) 4 cos x
2 sin x
1
x
f’(x) 4 sin x 2 cos x
2
ln x
x
7
1
2
f’(x) 7x x2
c) f(x) x
¥
¦
§
¥
¦
§
¥
¦
§
1 ´
µ log2
ln2 ¶
1
, log2
ln2
¥
¦
§
1
ln2
1
ln2
´´
µµ
¶¶
´
µ
¶
~ (1,44, 0,53)
Equació de la recta tangent:
y
0,53 x
1,44 l x
y
0,91 0
49. Justifica per què la gràfica de la funció f(x) ln x no pot
tenir ni màxims ni mínims.
46. Determina els punts d’abscisses compreses entre 0 i 2P en els
quals la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) sin x és
paral·lela a l’eix OX. Escriu les equacions d’aquestes rectes
tangents.
P
x lf
2
1
lf
ln2
El punt és
d) f(x) log3 x 3x ln 9
1
f’(x) 3
ln 3 · x
mtg 0 l f’(x) 0 l cos x 0 l x 1
1
1
·
1lx ln2
x
ln2
P
3P
ix
2
2
¥P
´
P´
P
1 l ¦ , 1µ
µ sin
§2
¶
2¶
2
¥ 3P ´
¥ 3P
´
3P
3P
l f ¦ µ sin
1 l ¦ , 1µ
§ 2 ¶
§ 2
¶
2
2
1
Perqué la funció derivada, f’(x) no s’anul·la per a cap valor
x
real de x:
1
w 0, x ΠR
x
A
a) f(x) 3 sin x
50. Calcula la derivada de les funcions següents:
a) f (x) 3 1 x 2
1
MATEMÀTIQUES 2
b) f(x) sin (3x
f ’(x) 4 sin x cos x
5)
f’(x) 3 cos (3x
23
5)
mtg f’
¥ P´
¦ µ
§ 4¶
4 sin
P
P
cos 2
4
4
c) f(x) ln (cos x)
f’(x) sin x
tg x
cos x
Equació de la recta tangent:
y
2 3
d) f(x) (1
x)
x2)2 · ( 2x) 6x (1
f’(x) 3 (1
e) f(x) cos3 x
x2)2
cos(ln x)
x
h) f(x) log
1
f’(x) sin x2
2x cos x2 2 (sin x cos x
f’(x) 2 sin x cos x
y
P
0
2
1
Té la gràfica d’aquesta funció algun punt en el qual la recta
tangent tingui pendent nul? Si la resposta és afirmativa, de
quin punt es tracta?
f) f(x) sin (ln x)
g) f(x) sin2 x
§
53. Indica per a quins valors de x és creixent la funció
f(x) ln (x2 1). Per què?
2
f’(x) 3 cos2 x sin x
f’(x) P´
µ l2x
4¶
¥
1 2 ¦x
x cos x2)
x2
1
· 2x 2x
x2
La funció és creixent per a x Œ R , ja que si x 0 es verifica
f’(x) 0.
mtg 0 l f’(x) 0 l
Y
1
2x
x2
1
0l
2x 0 l x 0 l f (0) ln1 0
i) f(x) La recta tangent a la gràfica de la funció té pendent nul·la en
el punt (0, 0).
1
(x2
4)2
54. Calcula la funció derivada de les funcions següents:
2
f’(x) –4x
–2(x 4) · 2x
2
(x 4)3
(x2 4)4
a) f(x) x3 · cos x
f’(x) 3x2 cos x
j) f(x) sin [cos (ln x)]
f’(x) b) f(x) x · ln x
cos(cos(ln x))sin(ln x)
x
k) f(x) ln [sin (1
f’(x) 6 cos (1
x∙
ln2 x
1
x
x sin x)
1
2 ln x ∙
1
2 ln x
x
x
ln x
1
x)]
cos(1 x)
f’(x) cotg(1
sin(1 x)
l) f(x) cos2 (1
f’(x) ln x
x3 ( sin x) x2 (3 cos x
c) f(x) 7 cotg x
x)
f(x) 7
3x)
3x) sin (1
51. Calcula la derivada de la funció f(x) sin x
preta’n el resultat obtingut.
f’(x) 0, perquè f(x) sin2 x
1
3x
(x2
2x 3
3x 2)2
3x)
2
cos x. Inter-
cos2 x 1
52. Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció
P
f(x) 2 sin2 x en x .
4
¥ P´
¥P ´
P
1
P
x l f ¦ µ 2 sin2 2 · 1 l ¦ , 1µ
§ 4¶
§4
¶
4
4
2
f’(x) 2
2
3 l f’(x) 7 –sin x 2 cos x –72
sin x
sin x
x2
d) f(x) 2
cos x
sin x
3
e) f(x) f `( x ) 2
sin x cos x
1 sin x
(cos x – sin x )(1 – sin x ) – (sin x cos x ) • (–cos x )
(1 sin x )2
cos x – sin x 1
(1 sin x )2
1
24
f) f(x) SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Y∙ (1
1
g) f(x) cos 3x
f `( x ) h) f(x) 55. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra que la derivada
k
de la funció f(x) és f ’(x) .
g(x)
x)
f ’(x) 2
5
k
k
l ln f(x) ln
lnk
g(x)
g(x)
ln g(x)
3 sin 3 x 3 tg 3 x
cos 3 x
cos2 3 x
Per tant:
sin x
x2
f’(x) 2
f’(x) cos x ∙ x 4 sin x ∙2x xcos x 3 2sin x
x
x
k
g’(x)
kg’(x)
·
l f’(x) g(x) g(x)
[g(x)]2
56. La derivada de la funció f(x) tg x es pot expressar
f’(x) 1 tg2 x. Per què?
i) f(x) Perquè f’(x) 1
i, 1
cos2 x
tg2 x 1
sin2 x
1
cos2 x cos2 x
En conseqüència:
ln x
j) f (x) 1 x
f’(x) 1
1
cos2 x
tg2 x
57. Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció
x2
f(x) 2
en x 1. En quin punt del gràfic d’aquesta
x 1
funció la recta tangent és paral·lela a l’eix d’abscisses?
k) f(x) f(1) 1
2
¤ 1³
El punt és ¥1, ´
¦ 2µ
mtg f’(1) 2
1
4
2
Equació recta tangent:
y
l) f(x) (1
x)3 · log2 x
x)2 log2 x
f’(x) 3(1
(1
x)2
3log2 x
1
1
(x
2
2
1) l x
2y 0
Recta tangent paral·lela a l’eix 0X l mtg 0 l f’(x) 0
(1
x)3 ∙
1 x
x ln2
1
1
·
ln2
x
2x
(x2
1)2
0 l 2x 0 l x 0 l f(0) 0
La recta tangent és paral·lela a l’eix d’abscisses en el punt (0, 0).
1
MATEMÀTIQUES 2
58. Comprova que la derivada de la funció:
60. Donada la funció f(x) x · ex, calcula f’(x). Escriu l’equació
de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt on s’anulla la seva derivada. Indica raonadament si aquesta funció és
creixent o decreixent en x 0.
és f’(x) f(x) ln
f’(x) ex
x · ex ex(1
f’(x) 0 l ex (1
f’(x) 1
2
cos x
sin x
1
cos x
sin x
1
25
1
2cos x
1
·
cos x
2
cos2 x
x)
x) 0 l 1
x 0lx 1
1
f( 1) 1 · e 1 e
1
–1
Punt: 1,
; pendent: m 0 l equació tangent: y e
e
f’(0) 1 0 l la funció és creixent en x 0.
59. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) e3x · ln (x2
f’(x) 3e3x ln(x2
[
x
4
N(t) N0 · e
]
on N0 és el nombre inicial d’àtoms que hi ha a la mostra i t,
el temps transcorregut en anys. Es demana:
2)) sin(ex
a) Quants àtoms hi haurà a la mostra quan hagin passat 5
anys? I quan n’hagin passat 10?
2)
t 5 anys l N f(5) 1012 · e
1
t 10 anys l N f(10) 1012 · e
1) –ex 1
ex ·ex
ex
ex(ex
x 2
(e )
d) f(x) tg (3
45 399 930 àtoms
e) f(x) (x2
7)
N’(t) 2N0 · e
f’(x)
sin x ·ln(x2
f(x)
x
f) f(x) ln e
[
1)
cos x ·
sin x ·ln(x2
x2
1
]
f(x) ln(e
3)
ex
3
lne ln(e
1
3)
x
ex – ex –3
3
x
ex 3
e 3
4 122 àtoms/s
62. Comprova que la derivada de la funció f(x) x2 · 5x s’anul·la
2
en els punts x i x 0.
ln5
f’(x) 2x · 5x
x
20
N ’(5) N ’(10)
2x cos x
x2 1
1)
9,08 · 107 àtoms/s
i, per tant, es compleix:
2x
3
x
10
N’(10) 2 · 1012 · e
1)
ex
x
2t
N’(5) 2 · 1012 · e
ln f(x) cos x · ln (x2
1)cos x
2 061 àtoms
La desintegració és més ràpida per a t 5 anys, ja que:
1)cos x
f’(x) (x2
20
b) Quan és més ràpida la desintegració, als 5 anys o als 10
anys?
3x ln 3
cos2(3x 7)
e
10
e
x
x
2t
x
x
x
f’(x) e · e
f’(x) 2
2)]
f’(x) ex cos(cos(ex
f’(x) 2x
4)
b) f(x) sin [cos (ex
2x
x2 4
e3x
4)
e3x 3ln(x2
x
c) f(x) e
61. Una petita mostra de material radioactiu conté 1 bilió
d’àtoms. A conseqüència de la desintegració, el nombre N
d’àtoms de la mostra va disminuint a mesura que passa el
temps t. La funció N f(t) que descriu aquesta situació és:
4)
x2 · 5x · ln5 x · 5x (2
f’(x) 0 l x · 5x (2
x
2
ln5
x · ln5) x · ln5)
x0
2 x · ln5 0
1
26
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
63. Calcula la derivada de les funcions:
64. Dedueix la derivada de la funció g(x) ax sabent que la seva
funció inversa és f(x) loga x i suposant coneguda f’(x).
1 x
1 x
a) f(x) arc sin
1
1
·
lna
x
f(x) loga x l f’(x) g’(x) 1
1
ax lna
f’(f 1(x)) 1 · 1
lna ax
65. Donada la funció f(x) x2 , calcula f’(x), f’’(x) i f’’’(x).
x 4
2
2
8x
x2 ·2x f’(x) 2x(x –4)
2
(x2 4)2
(x 4)2
2
2
·2x(x2 –4) f’’(x) –8(x –4) 2 8x ·2
(x 4)4
2
32x2 24x2 32
–8(x –4)
2
3
(x 4)
(x2 4)3
arc tg x
b) f(x) e
f’(x) earc tg x ·
1
1
x
2
earc tg x
1 x2
c) f(x) ln [arc cos (x
f’(x) 1
arc cos(x
1)
arc cos (x
1
1)
1
1
d) f(x) arc tg
1
1
1
f’(x) 1
(1
2
x)
·
1
x (1 x) · ( 1)
(1 x)2
(1
2
2(1 x2)
2
·
x)
2
(1
192x 144x3
(x2 4)4
4)2 ·3 ·2x 32)6x
192x
3
2
4)
–96x 2 384x
–96x(x
4
2
(x 4)
(x 4)4
arc tg x
x)2
(1
2
3
48x
x2
2x
4)3 (24x2 32)(x2
(x2 4)6
2
2
48x(x –4) 2 (24x
(x 4)4
( 1)
1 – (x 1)2
·
x
x
x
x
2
f’’’(x) 48x(x
1)]
1
2
x) 1
1
1
1 x2 1 x2
1
1
66. Troba f(66)(x) i g(94)(x) per a les funcions f(x) sin x i
g(x) cos x.
f(66)(x) f’’(x) sin x
x2
g(95)(x) g(3)(x) sin x
1
1
x2
x2
0
67. Per a la funció f(x) 2x, calcula:
e) f(x) Y · arc sin x
f’(x), f’’(x), f’’’(x) i f(4)(x)
Observa amb detall les funcions que has obtingut i dedueix
l’expressió de la derivada f(n)(x).
l
f) f(x) arc cos (cos x)
f(x) arc cos(cos x) x l f’(x) 1
1
MATEMÀTIQUES 2
27
4. Indica en quins punts és derivable la funció:
Activitats finals
1. En quins punts de la gràfica de la funció f(x) 1 la recta
x
tangent és perpendicular a la recta 4x y 2 0? Escriu les
equacions d’aquestes rectes tangents.
2 0 l m 4 l m’ 1
4
–1
1
l ƒ’ (x) 2
f(x) x
x
4x
y
m’ ƒ’(x) l
És derivable en tot R excepte en x 0. Es compleix que f’(x) 0
per a x ΠR, x w 0.
–1
1
2 l No té solució.
4
x
5. La gràfica d’una funció f(x) és la de la figura. Sense calcular-ne
l’expressió analítica, representa gràficament la funció f’(x).
En cap punt la gràfica de f(x) té una tangent perpendicular a
4x y 2 0.
2. Dibuixa en un paper mil·limetrat la gràfica de la funció
f(x) x2 8x. Tot seguit, fes una estimació a partir d’aquesta gràfica dels valors de f’(1) i f’(5). Calcula analíticament
f’(1) i f’(5) i compara els resultats amb els anteriors.
f(x) x2
f’(1) 2
8x l f’(x) 2x 8
8 6; f’(5) 10 8 2
Cal comparar aquests valors amb els valors obtinguts de manera
experimental, a partir de la gràfica de la funció.
3. Representa gràficament la funció:
0 si x 0
x si x q 0
f(x) Aquesta funció és contínua en x 0? I derivable? Justifica
les respostes.
6. Troba les derivades laterals en x 5 de la funció
f(x) |2x 10|. És derivable en aquest punt? Per què?
f(x) |2x
10| {
2x
2x
10 si x 5
10 si x 5
f’(5 ) 2; f’(5 ) 2 l f’(5 ) w f’(5 )
La funció no és derivable en x 5.
7. Indica els intervals de creixement i decreixement i els punts
x2
.
estacionaris de la funció f(x) 2
x 4
lim f(x) 0; lim f(x) 0; f(0) 0
xl0
xl0
Es compleix: lim f(x) f(0) 0
xl0
Per tant, la funció és contínua en x 0.
{
0 si x 0
f ’(x) 1 si x 0
És a dir, f’(0 ) 0 i f’(0 ) 1 l f’(0 ) w f’(0 )
la funció no és derivable en x 0.
f’(x) Df R
2x(x2 – 4)
(x
2
x2 ·2x
4)2
(x2
8x
4)2
{ 2, 2}; f’(x) 0 l x 0, f(0) 0 l (0, 0)
Com que f’(x) 0 per a x 0, x w 2 i f’(x) 0
per a x 0, x w 2, es compleix que:
La funció és creixent en els intervals ( d, 2) i ( 2, 0).
La funció és decreixent en els intervals (0, 2) i (2, d).
La funció presenta un punt estacionari a l’origen de coordenades.
1
28
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
x2
és creixent o decreixent en x 2?
(x 1)2
Justifica la resposta.
f’(x) 0 l x 2 l Decreixent: ( d, 2)
8. La funció f(x) c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és?
Sí, x 2, ja que ƒ’(2) 0.
11. Donada la funció f(x) x · ex, resol les equacions f’(x) 0 i
f’’(x) 0.
f’(x) ex x · ex ex (1 x)
f’’(x) ex (1 x) ex ex (2 x)
f’(x) 0 l ex (1 x) 0 l 1 x 0 l x 1
f’’(x) 0 l ex (2 x) 0 l 2 x 0 l x 2
f’(2) 4 0 l f(x) és decreixent en x 2.
12. Troba per a quin valor de a i b és contínua i derivable la
funció:
9. Donada la paràbola d’equació f(x) x2 2x 5, es considera
la recta r que uneix els punts d’aquesta paràbola, les abscisses dels quals són x1 1 i x2 3. Troba l’equació de la recta
tangent a la paràbola que és paral·lela a la recta r.
x1 1 l f(x1) f(1) 4 l (1, 4)
x2 3 l f(x2) f(3) 8 l (3, 8)
La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8)
mr 2
Contínua:
f’(x) 2x 2 i f’(x) mr 2 l 2x 2 2 l x 2
f(2) 5 l El punt de tangències és (2, 5)
mtg mr 2
Equació de la recta tangent:
y 5 2 (x 2) l y 5 2x
lim f(x) lim f(x) f(1)
xl1
xl1
3ala3
Derivable:
4 l 2x
y
10
f’(1 ) f’(1 )
10. Aquesta és la representació gràfica de la derivada f’(x) d’una
funció polinòmica f(x).
3 2a
blb3
2a 3
6 3
13. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) sin4 [ln (x2
a) Quin és el grau d’aquesta funció polinòmica? Per què?
Grau 2. Perquè f’(x) és una funció polinòmica de primer grau,
ja que la seva representació gràfica és una recta.
b) Indica els intervals de creixement i decreixement de la
funció f(x).
f’(x) 0 l x 2 l Creixent: (2, d)
b)
5)]
MATEMÀTIQUES 2
g) f(x) sec2 (x3
2)
c)
d)
h) f(x) arc sin
e) f(x) [1
f) f(x) log2
cos2 (1
Y
Y
3x)]2
i) f(x) arc tg
Y
1
29
30
1
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j) f(x) 2arc sin x ·
k) f(x) (x2
3)x
Y
5
p) f(x) etg 3x ·
14. El nombre N de bacteris d’un determinat cultiu varia en funció del temps t expressat en hores, d’acord amb l’equació:
a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu?
t 0 l N(0) 10 bacteris.
b) En quin moment creix més de pressa el nombre d’aquests
bacteris, quan t 2 h o quan t 4 h? Per què?
l) f(x) ln
t 2 h l N’(2) 5e
t 4 h l N’(4) 5e2
N’(4) N’(2) l el nombre de bacteris creix més de pressa
per a t 4 h.
15. Calcula les tres primeres derivades de la funció f(x) e3x.
Dedueix l’expressió de la derivada enèsima f(n)(x) d’aquesta
funció.
m) f(x) 1
sin3 x
f’(x) 3e3x
f’’(x) 9e3x
f’’’(x) 27e3x
f (n)(x) 3ne3x
, calcula la deriY
vada de la funció f(x) arc sec x. De manera similar, pots
calcular les derivades de les funcions g(x) arc cosec x i
h(x) arc cotg x. Fes-ho.
16. Tenint en compte que arc sec x arc cos
n) f(x) o) f(x) arc cosec x arc sin
1
MATEMÀTIQUES 2
B
, on a i b
Y C
són nombres reals, no pot tenir punts estacionaris.
20. Indica raonadament per què la funció f(x) h(x) arc cotg x arc tg
17. Troba l’equació de la recta normal a la gràfica de la funció
f(x) x2 7x 10 en els punts d’ordenada nul·la.
2
f(x) 0 l x
f ’(x) 2x 7
7x
31
10 0 l x1 2, x2 5 l (2, 0) i (5, 0)
La funció no pot tenir punts estacionaris, ja que f’(x) no s’anul·la
per a cap valor de x real.
21. Se sap que la funció f(x) ax2 bx
en el punt P(4, 4). Calcula a i b.
f(4) 4 l 16a
Punt (2, 0):
f’(x) 2ax
4b
12 presenta un mínim
12 4 l 4a
b; f’(4) 0 l 8a
b 4
b0
l
Equació recta normal:
22. Dibuixa de manera aproximada la gràfica de la funció
f(x) ln |x|. Indica raonadament si hi ha algun punt en què
aquesta funció no sigui derivable.
Punt (5, 0):
Equació recta normal:
18. Representa gràficament la funció f(x) x2 2. Hi ha algun
punt en el qual aquesta funció no sigui derivable? Justifica’n la resposta.
La funció no és derivable en x 0 perquè no existeix f(0) i, per
tant, no pot ser-hi contínua.
23. Justifica el motiu pel qual la funció f(x) vable en x 0.
Perquè
Y no és deri-
no existeix f’(0).
De fet, com que no existeix lim f(x), la funció no és contínua en
xl0
No. La funció és contínua i derivable a tot R.
La seva gràfica és la mateixa que la de la funció g(x) x2
que f(x) 0 per a tot x ΠR.
x 0 i, per tant, no pot existir f’(x).
2, ja
19. Determina l’expressió algèbrica de la funció f(x) que verifica
les condicions següents:
a) f’(x) 3
b) El seu gràfic passa pel punt P(2, 10)
f(x) 3x n
f(2) 10 l 10 6 n l n 10
Per tant, f(x) 3x 4
64
24. Representa gràficament la funció f(x) log2 x i, a partir
d’aquesta gràfica, dibuixa la funció g(x) |log2 x|. Per a
quins valors de x no existeix g’(x)? Per què?
1
32
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Donada la funció
x, resol l’equació
f ’(x) 0 en
.
f(x) x
f’(x) La funció g(x) no és derivable en x 1.
Observa a partir de la gràfica que g’(1 ) w g’(1 ).
Y TJ Y
25. La funció: f(x) ¬ Y T JY
1
10l
ƒ’(x) 0 l
Per tant,
és derivable en x 2?
Per què?
f(2) 3
Com que lim f(x) w f(2), la funció no és contínua en x 2. Alesxl2
hores, tampoc pot ser derivable en aquest punt.
x
lx
x
lx
3. Calcula les equacions de les dues rectes del pla que passen
pel punt P(1, 1) i que són tangents a la corba d’equació
y (x 1)2.
Els punts de la gràfica de y (x
1)2 són de la forma
Q (x, (x 1)2). El pendent de la recta tangent en cada un
d’aquests punts val y’(x) 2(x 1). El pendent de la recta que
uneix P amb un d’aquests punts Q serà
Avaluació
1. Calcula les derivades de les funcions següents, simplificant
al màxim:
a) f
f
b) f
f
c) f
f
d) f
f
.
Si es vol que una de les rectes PQ sigui tangent a la gràfica de
y (x
1)2 s’ha de complir l’equació
que
té com a úniques solucions: a) x 0 i b) x 2.
En el cas a) el pendent de la recta ha de ser y’(0) 2 i en el
cas b) és y’(2) 2. Les rectes corresponents, que passen per P i
tenen pendents 2 i 2, tindran com a equacions:
(y
1) 2(x
(y
1) 2(x
1) l 2x
1) l 2x
y
y
10
30
4. Considera la funció f(x) x3 3x2 2x 2. Calcula l’equació
de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa
x 3.
La imatge del punt d’abscissa x 3 de la funció és
f(3) 33 3 . 32 2 . 3 2 8 l P(3, 8)
i la derivada de la funció: f’(x) 3x 2 6x 2.
El pendent de la recta tangent en aquest punt és:
m f(3) 3 . 32 6 . 3 2 11
i l’equació de la recta:
y 8 11(x 3) l y 11x
25
2
MATEMÀTIQUES 2
j Unitat 2. Funcions contínues i
derivables
6. Considera la funció f(x) 2x4 14x2 14x 1. Explica per
què es pot aplicar el teorema de Bolzano en l’interval [0, 1].
Troba un valor aproximat a les centèsimes de c tal que
f(c) 0 en aquest interval.
Activitats
La funció f(x) és contínua i verifica: f(0) 1 i f(1) 1. Es
verifica el teorema de Bolzano en l’interval [0,1].
1. A partir de les funcions f(x) x2
1 i g(x) x3
1, escriu
¤ f³
les funcions (f g)(x), (f · g)(x), i ¥ ´ ( x ) . Són contínues?
¦ gµ
Raona la teva resposta.
(f
g)(x) x2
(f · g)(x) (x
x3
1
2
1 x3
3
5
1) x
1)(x
x2
3
x
2
x
1
x 1, valor que anul·la el denominador.
2. Descompon la funció f(x) 5x4 · ex en tres factors que siguin
funcions contínues.
Es poden donar diferents resultats. Per exemple: m(x) 5x,
g(x) x3 i h(x) ex.
3. La funció f(x) tg x és contínua? Recorda que tg x .
no és contínua en els valors de x que fan
1) , amb k un nombre enter.
4. Considera les funcions f(x) 2x
7. Separa les quatre arrels reals de la funció següent:
1 i g(x) x2
13x2
1. Escriu les
¤ f³
¤ g³
funcions ¥ ´ ( x ) , ¥ ´ ( x ) , (f ° g)(x) i (g ° f)(x). Raona
¦ gµ
¦ fµ
si les funcions obtingudes són contínues.
és contínua.
8. Calcula els valors de f(x) x7 3x 3 a x 0 i x 1. Pots
determinar si la gràfica de la funció talla l’eix de les abscisses en algun punt entre 1 i 0? Troba aquest punt amb una
aproximació fins a les centèsimes.
f(0) 3 i f( 1) 1. Pel teorema de Bolzano en l’interval [ 1,0]
la gràfica de la funció talla en un punt l’eix de les abscisses.
Calculant valors numèrics de la funció per a diferents valors de
0,87.
x de l’interval, s’obté c
9. Considera la funció f(x) x2 2x 1. És una funció contínua
que té com a gràfica una paràbola. Existeix un punt c tal
que f(c) 0? Explica si en aquesta funció es pot aplicar el
teorema de Bolzano en l’interval [0, 2].
La funció verifica f(1) 0 l c 1. No es pot aplicar el teorema
de Bolzano en l’interval [0, 2] ja que f(0) 1 f(2).
10. Troba el màxim i el mínim absoluts de la funció
f(x) x2 2x en l’interval [ 1, 2]. Representa gràficament
la funció per ajudar-te a trobar la solució.
En l’interval [ 1, 2] es verifica: f( 1) 3, f(2) 0 i f(1) 1
que és el màxim absolut i vèrtex de la paràbola. El mínim absolut
es troba a x 1, un dels extrems de l’interval. La gràfica és:
presenta una discontinuïtat a x 0, valor que
anul·la el denominador.
2
(f ° g)(x) 2x
x
(g ° f)(x) (2
1
1 és contínua.
1)2
15
En la funció tenim: f(1) 4, f(2) 5 i f(3) 60 igualment per
la paritat de les potències de x tenim: f( 1) 4, f( 2) 5 i
f( 3) 60. Els intervals que separen les quatre arrels són: [1,2],
[ 2, 1], [2,3] i [ 3, 2].
presenta una discontinuïtat asimptòtica a
cos x 0 l x (2k
Utilitzant la calculadora per trobar valors numèrics tenim que
f(0,1) 0,26, per tant, el valor c buscat es troba entre 0 i
0,1. El valor de c 0,08 dóna f(0,08) 0.
f(x) 2x4
Les dues funcions són contínues per ser polinomis.
f(x) tg x 33
1 és contínua.
5. Explica un fet quotidià que posi de manifest el teorema dels
valors intermedis.
Per exemple, en una etapa ciclista els corredors passen per un
quilòmetre determinat.
3
34
2
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
11. Verifica si la funció f(x) tg x té màxim i mínim absoluts en
l’interval
. Raona la teva resposta.
per la dis-
18. Considera la funció f(x) x3 3x2 en l’interval [0, 3] i aplica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin és el punt c
que prediu el teorema?
en els quals no sigui
Hi ha algun altre punt que no pertany a (0, 3) en què també
s’anul·li la derivada?
La funció f(x) tg x no és contínua a x . Té mínim absolut
a x 0 l f(0) 0. No té màxim absolut a x continuïtat.
12. Troba els punts de la funció
derivable.
La funció no és contínua a x 1 i x 1, valors que no són del
domini; per tant, no és derivable en aquests punts.
13. Considera la funció f(x) 3x4
estacionaris i classifica’ls.
8x3
6x2. Troba’n els punts
Calculem la derivada de la funció i la igualem a 0.
f’(x) 12x3
24x2
12x(x2
1) 0
2x
12x l 12x3
24x2
La funció presenta una discontinuïtat en el punt x 1; per tant,
la funció no és contínua en l’interval [0, 2] i no es pot aplicar
el teorema de Rolle.
f(0) 0 i f(3) 0 l es pot aplicar el teorema de Rolle.
f’(x) 3x2 6x l 3x2 6x 0
3x(x
2) 0
c2
(0, 3) i 0
(0, 3)
se li pot aplicar el teo19. Demostra que a la funció f(x) rema del valor mitjà en l’interval (0, 1). Troba el punt c de
l’interval en què f’(c) 1. Troba l’equació de la recta tangent
a la corba en aquest punt.
12x 0
Per a x < 0 l f’(x) < 0, i per a x > 0 l f’(x) > 0; per tant, a
x 0 hi ha un mínim relatiu.
és contínua en l’interval (0, 1) i f(0) 0 ≠ f(1) 1;
f’(x) per tant, es pot aplicar el teorema del valor mitjà.
Per a x < 1 l f’(x) > 0, i per a x > 1 l f’(x) > 0; per tant, a
x 1 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
En ambdós casos es consideren valors de l’entorn de 0 i 1, respectivament.
14. Interpreta el valor de la derivada de la funció y x3
el punt x 0.
1 en
La derivada y’ 3x2. En el punt x 0 s’anul·la la derivada i per
a valors anteriors i posteriors de l’entorn de x 0, la derivada és
positiva. A x 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
15. Troba la derivada de les funcions f(x) e 2x i de
g(x) ln x. Tenen punts estacionaris aquestes funcions?
Raona’n la resposta.
2x
f’(x) e · 2 i la funció no té punts estacionaris ja que la derivada no s’anul·la per a cap valor de x. Igualment passa amb la
1
no s’anul·la.
funció g(x) ln x, ja que la derivada g’(x) x
16. Considera la funció f(x) 2 sin x en l’interval [0, P]. Aplicali el teorema de Rolle per trobar un punt c tal que f’(c) 0.
f(0) 0 i f(P) 0. El teorema de Rolle afirma que hi ha un punt
de l’interval (0, P) en el qual la derivada s’anul·la.
17. Esbrina si la funció
verifica les condicions
del terorema de Rolle a l’interval [0, 2].
,m1
Equació de la recta tangent: punt
20. Demostra que la funció f(x) domini.
és decreixent en tot el seu
. L’expressió de la derivada
per a qualsevol
valor de x; per tant, la funció és decreixent.
21. Comprova que el punt
és el punt on es verifica el te-
orema de Cauchy per les funcions següents f(x) 3x
g(x) x2 1 en l’interval [1, 4].
2i
2
MATEMÀTIQUES 2
22. Troba els punts de la funció f(x) x3
f’(x) 0.
4x
1 que verifiquen
1)2 (x
b) f(x) x (x
f’(x) (x
2)2 (x
f’(x) 0
x2
x1
x
f’’(x) 6x l
2)3
La funció és: f(x) x(x
Classifica’ls i expressa els intervals de monotonia i concavitat.
l Mínim relatiu a
Ax
l Màxim relatiu a
5
13
6
1)2 (x
1) (6x2
2)3
10x
2)
5 o 13
6
hi ha un mínim relatiu i absolut; a x 1, un
màxim relatiu; a x f’’(0) 0 l x 0 és un punt d’inflexió.
35
5
13
, un mínim relatiu; i a x 2,
6
un punt d’inflexió.
i
f(x) és creixent:
c) f(x) ex · x
decreixent:
f’(x) ex x
ex ex(x
f’’(x) ex(x
1)
1) l x
ex ex(x
10lx 1
2) l x
20lx 2
f’’( 1) e 1 > 0 l a x 1 hi ha un mínim relatiu i a x 2
hi ha un punt d’inflexió.
convexa: ( ∞,0); còncava: (0, ∞)
23. Estudia la primera i la segona derivada de la funció
f(x) ln (x2 1) per trobar possibles màxims o mínims relatius i punts d’inflexió. Vés amb compte a l’hora d’interpretar
els valors que anul·len la segona derivada.
d) f(x) cos x amb x Π[0, 2P]
f’(x) sin x l sin x 0 l x 0
P
2P
f’’(x) cos x
f’’(0) < 0 l a x 0 hi ha un màxim relatiu.
f’’(P) > 0 l a x P hi ha un mínim relatiu.
f’’(2P) < 0 l a x 2P hi ha un màxim relatiu.
f’’(0) > 0 l a x 0 hi ha un mínim relatiu.
25. Calcula els límits següents:
Els punts x ±1 són punts d’inflexió, encara que no de tangent
horitzontal.
a)
24. Troba els extrems relatius i els punts d’inflexió de les funcions:
a) f(x) f’(x) 1
l1
0 l x2
1 0 l x ±1
b)
f’’(x) tg x
f’’(1) > 0, a x 1 hi ha un mínim relatiu.
f’’( 1) < 0, a x 1 hi ha un màxim relatiu.
No hi ha punts d’inflexió ja que:
c)
36
2
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) f(x) sin x · ex
1
d)
f(x) (sin x) · ex 1 és contínua ja que és el producte de dues
funcions contínues.
c) f(x) 26. Calcula els límits següents aplicant la regla de l’Hôpital sabent que són una potència del nombre e.
f(x) és contínua per a tot x ≠ 1. Per a x 1 pre-
senta una discontinuïtat asimptòtica.
Cal trobar l’exponent k de ek en cada cas.
d) f(x) cos2 x
a)
cos x
f(x) cos2 x cos x
funcions contínues.
1
1 és contínua per ser suma de tres
2. La funció f(x) x2 x 1 és contínua. Explica si es pot aplicar el teorema de Bolzano en algun interval. Té alguna arrel
l’equació f(x) 0?
Derivant numerador i denominador tot aplicant la regla de
L’Hôpital, s’obté k 2. Per tant, e2 és el resultat.
b)
e3
L’expressió x2 x 1 > 0 per a tot x Œ 2 i, per tant, no es pot
aplicar el teorema de Bolzano i l’equació f(x) 0 no té cap
arrel.
3. Raona si la funció f(x) x6 6x2 3 té alguna arrel entre
0 i 1. Troba aquest valor amb una aproximació fins a les
centèsimes.
Apliquem el teorema de Bolzano ja que:
c)
f(0) 3; f(1) 2 i la funció és contínua.
Existeix un c Π[0, 1] tal que f(c) 0.
1
e e
d)
Utilitzant la calculadora per trobar valors numèrics de la funció
per a valors de x de l’interval, s’obté com a valor aproximat
c 0,72.
4. Troba els extrems absoluts de f(x) ex 1 en l’interval
[ 1, 1].
f( 1) e
e6
Activitats finals
1. Raona la continuïtat de les funcions:
a) f(x) ln (x2
f(x) ln(x2
x2 1 > 0.
1)
1
1
0,63; f(1)
1,718
f’(x) ex l f(x) no té extrems relatius ja que ex ≠ 0, per tant,
els extrems absoluts es troben en els extrems de l’interval: a
x 1 hi ha el mínim absolut i a x 1 el màxim absolut.
5. Estudia la derivabilitat de la funció f(x) x 0.
f(x) en el punt
és contínua per a tot x del domini: Df [ 1,
).
no està definida a x 1, per tant, no és de-
1) és contínua per a tot x del domini, ja que
rivable en aquest punt. A x 0 no és derivable.
2
MATEMÀTIQUES 2
6. Demostra que f(x) és decreixent en tot el seu domini.
per a tot x del domini.
37
12. Estudia la monotonia i dóna els intervals de creixement i
decreixement de les funcions:
a) f(x) 1
3x2
2x
f’(x) 2
6x l 2
6x > 0 l
Si la derivada és negativa, la funció és decreixent.
la funció és creixent; per a x >
Per a x <
7. Calcula les tres primeres derivades de f(x) expressió per a la derivada enèsima.
1
x3
x
2
3
x
a1 ... an a3n
x
3n
amb an 3n
8
3
x
. Troba una
5
3
;
1
(
)i(
,
b) f(x) x
sin x
f’(x) 1
[0, 2P].
cos x
c) f(x) x2
ln x2
,
), respectivament.
0, la funció és creixent per a tot x ≠ P en
f’(x) 2x
f(x) és creixent en ( 1, 0) i (1,
i (0, 1).
4
8. Troba l’equació de la recta tangent a la corba següent:
y x3 3x en el punt d’abscissa 1.
Punt de tangència: P( 1, 2); pendent: m y’( 1). Equació de
la recta: y 2.
9. Esbrina si f(x) decreixent:
, la funció és
és creixent en tot el seu domini.
d) f(x) x4
) i decreixent en (
, 1)
x2
És la funció de l’activitat 14 d). Aprofitant els extrems relatius establim que f(x) és:
i
Creixent:
Què passa en el punt x 1?
Decreixent:
i
. La derivada és positiva i la funció és creixent
per a x > 1; és negativa i la funció és decreixent per a x < 1.
En el punt x 1 hi ha una discontinuïtat asimptòtica.
10. Calcula la derivada de les funcions següents:
a) y 13. Dóna un raonament per tal de justificar que la funció
f(x) x5 5x3 2x talla l’eix de les abscisses en un sol punt.
f(x) x · (x4 5x2 2) l f(x) 0 l x 0, que és el punt on
talla l’eix de les abscisses; x4 5x2 2 > 0 per a tot x Œ 2 i, per
tant, la gràfica no talla a cap altre punt l’eix de les abscisses.
14. Classifica els possibles extrems relatius de les funcions:
a) f(x) 2sin x
b) y sin 3x · tg 3x
f’(x) 2 · cos x 2 · sin 2x l cos x
cos x 2 · sin x · cos x 0 l
y sin 3x · tg 3x l
cos x · (1
y’ 3 · cos 3x · tg 3x
cos 2x
sin 3x ·
x1
3 · sin 3x ·
2 · sin x) 0
x2
f’’(x) 2 · sin x
11. Raona per què la funció f(x) 2x
xims ni mínims relatius.
x3
x4
4 · cos 2x
cos x no pot tenir mà-
f’(x) 2 sin x > 0 ja que 1 sin x 1 i la derivada no s’anul·la
per a cap valor de x.
hi ha un mínim relatiu.
sin 2x 0 l
2
38
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
15. Determina la concavitat i els punts d’inflexió de les funcions:
En cada cas cal trobar els punts en els que s’anul·len les derivades primera i segona.
hi ha un mínim relatiu.
a) f(x) x3
hi ha un màxim relatiu.
x
x3 · e x(4
x
x4 · e x( 1) x3 · e x(4
4x
f ’’(x) 6x
40lx
x)
x3 · e x(4
x)
x3 · e
x
f’’(4) < 0, a x 4 hi ha un màxim relatiu.
f’(x) 3x2
10x
f’’(x) 6x
10
6x
b) f(x) x3
10x
,
i còncava en
,
.
, 0) i còncava en (0,
).
c) f(x) x
cos x
sin x i f ’’(x) cos x
cos x 0
f(x) és convexa a (0,
)i(
, 2P) i còncava a ( ,
).
x2
f’(x) 4x3
2x l 4x3
d) f(x) x4
2x 0 l
f’(x) 4x3
1) 0
f’’(x) 12x2
x2 f’’(x) 12x2
.
60lx
hi ha un màxim relatiu.
x1 0
és un punt d’inflexió.
f ’(x) 3x2; f ’’(x) 6x l x 0 és un punt d’inflexió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat.
f(x) és convexa en (
6 l 3x2
hi ha un mínim relatiu.
2x(2x2
4 0 l x1 2 i x2 2
f ’(x) 1
d) f(x) x4
4x
> 0 hi ha un mínim relatiu a x f(x) és convexa en
f’’(0) 0, a x 0 hi ha un punt d’inflexió.
5x2
4 l 3x2
x)
x) 0
f’’(x) 3x2 · e x(4
c) f(x) x3
8
f ’(x) 3x2
f ’’
f’(x) 4x3 ·e
4x
f ’’( 2) < 0 hi ha un màxim relaitu a x 2.
hi ha un màxim relatiu.
b) f(x) x4 e
2x2
x2
2x
2 l 12x2
20lx
x3 tenint en compte els extremes relatius de la funció trobats a
l’activitat 14 d) podem establir:
2
f’’(0) < 0, a x 0 hi ha un màxim relatiu.
f(x) és còncava a
;ax
hi ha mínims relatius.
,
i
ix
i convexa a
.
,
,
MATEMÀTIQUES 2
16. Determina els punts d’inflexió de la funció següent:
2
39
20. Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la funció
f(x) si x ≠ 0 i f(0) 0.
La funció presenta una discontinuïtat de salt a x 0.
No és derivable a x 0 ja que no és contínua en aquest punt.
21. Calcula:
(1
a)
cos x)2x
És un limit del tipus eK.
2
6x
20lx±
Hi ha dos punts d’inflexió.
17. Calcula la primera i la segona derivada de la funció
f(x) (x 1)3. S’anul·len les dues derivades en un mateix
punt? Troba aquest punt i explica de quin tipus és.
f ’(x) 3(x
1)2
f ’’(x) 6(x
1)
lim(1 cos x )2 x e0 1
x l0
Les dues derivades s’anul·len per a x 1. En aquest punt hi ha
una inflexió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat.
(sin x)tg x
b)
18. Considera la funció f(x) x3 ax2 bx 7. Troba a i b de
manera que la gràfica de la funció tingui a x 1 un punt
d’inflexió de tangent horitzontal.
És del tipus eK.
Els punts estacionaris anul·len la primera derivada:
f’(x) 3x2
f’(1) 3
2ax
b
b 0 l 2a
2a
b 3
Els punts d’inflexió anul·len la segona derivada:
f ’’(x) 6x
f’’(1) 6
lim(sin x )tg x e0 1
2a
xl
P
2
2a 0 l a 3 l b 3
La funció té un punt d’inflexió a x 1 per a b 3.
ex e 3x
x l0 ln(1
x)
c) lim
19. Determina f(x) sabent que la derivada tercera és
f’’’(x) 24x, f(0) 0, f’(0) 1 i f’’(0) 2.
lim
x l0
f(x) és un polinomi de quart grau ja que la tercera derivada és
de primer grau:
ex e 3 x
e x 3e 3 x
lim
1
ln(1 x ) x l0
1 x
lim(1
f(x) ax4
bx3
cx2
dx
x l0
e
x )(e x
f(0) 0 l e 10
f’(x) 4ax3
3bx2
2cx
d
f’(0) 1 l d 1
f’’(x) 12ax2
6bx
6b 24x l a 1 i b 0
Substituint: f(x) x4
x2
(x4 ln x)
(x4 ln x)
2c
f’’(0) 2 l 2c 2 l c 1
f’’’(x) 24ax
d)
x
3e
3x
) 4
40
2
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3. Considera la funció definida per
Avaluació
1. (Curs 2003–04) Considera la funció
és un nombre real.
si
si
on a
on a és un nombre real.
f(x) i comprova que f(x) és contínua en x 0.
a) Calcula el valor del nombre real a sabent que f(x) té un
extrem relatiu en el punt d’abscissa x 3.
a) Calcula
Hem de tenir f’(3) 0. Ara, f’(x) valor que tingui a, la funció f(x) és contínua.
f’(3) . O sigui que
. Igualant a 0, tenim a -- 4.
eax 1 independentment del
b) Per a quin valor del nombre a, la funció f(x) és derivable
en x 0 ?
b) Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mínim? Raona la resposta.
Per veure el caràcter de l’extrem, calculem la derivada segona,
f’’(x) f’’(3) Com que f(0) 1 i
> 0, per tant, l’extrem és un mínim relatiu.
2. La gràfica següent correspon a una funció f :[2, 6] l 2 derivable i amb derivada contínua. Fes un esbós de la gràfica
de f ’:(2, 6) l 2 i justifica’n el per què.
Com que la derivada de eax és aeax, que en x 0 val a, i la derivada de 2x 1 és constant i igual a 2, la funció f(x) és derivable
només quan a 2.
4. (Curs 2002–03) Com a resultat del test efectuat amb un
nou model d’automòbil per determinar-ne el consum de
benzina, s’ha observat que, per a velocitats compreses
entre 25 i 175 km/h, el consum C(x) de gasolina, expressat en litres consumits en 100 km, fets a la velocitat constant de x km/h, es pot aproximar per la funció
C(x) 7,5 0,05x 0,00025x2.
a) Determina el consum a les velocitats de 50 km/h i de
150 km/h.
C(50) 7,5
100 km
0,05 · 50
0,00025·502 5,625 litres en
C(150) 7,5
100 km
0,05 · 150
0,00025·1502 5,625 litres en
b) A quina velocitat s’obté el mínim consum? Quin és aquest
consum mínim?
La gràfica de C(x) és una paràbola que té un mínim absolut. Per
determinar-lo igualem la derivada C’(x) 0,05 0,0005x a 0
i obtenim x 100 km/h. Per a aquesta velocitat el consum és
C(100) 5 litres en 100 km, que serà el consum mínim.
c) Fes un estudi del creixement i decreixement de la funció
C(x) a l’interval [25,175]. Determina les velocitats que
corresponen a consum màxim, així com aquest consum.
La funció derivada C ’(x) s’anul la per a x 100, on té el
mínim. Per a valors de x inferiors, esdevé negativa, ja que
el coeficient de la x és positiu i per tant, al disminuir la x
a partir del valor que anul·la la derivada, aquesta esdevindrà negativa. A l’inrevés passa quan x s’incrementa a partir
d’aquest valor. Per tant la funció és decreixent en l’interval
), i assoleix el
( , 100) i creixent en l’interval (100,
mínim absolut i relatiu en el punt (100, 5). El màxim absolut
en l’interval [25, 175] s’assolirà en un dels dos extrems de
l’interval (o en tots dos).
t
És la gràfica d’una funció més o menys en forma de paràbola
i creixent a
; que s’anul la a 3 i a 5
decreixent a
i amb un mínim a 4.
t
Obtenim els valors C(25) C(175) 6,41 en 100 km, que
és el consum màxim que s’assolirà per a les dues velocitats
de 25 i 175 km/h.
MATEMÀTIQUES 2
j Unitat 3. Aplicacions
de la derivada
Activitats
1. Estudia les simetries i indica els punts de tall amb els eixos
41
5. Justifica de manera raonada per què la gràfica d’una funció
no talla en cap punt una asímptota vertical.
Si la gràfica tallés una asímptota vertical, el valor d’x corresponent hauria de pertànyer al domini, però no hi pertany.
6. Demostra que les funcions polinòmiques no tenen asímptotes de cap tipus.
En ser
de la funció:
3
p(x) , fa que no tingui asímptotes horitzontals,
, tampoc en té d’obliqües i com que
com que m Dp R, tampoc en té verticals.
Com que f( x) f(x), la funció és impa-
7. Troba, si n’hi ha, els punts de tall de l’asímptota obliqua i la
gràfica de la funció de l’exemple 3 apartat b.
rella, per tant, és simètrica respecte de l’origen de coordenades.
0 l x3 0 l x 0,
f(x) 0 l
talla els eixos en l’origen.
2. Donada la funció
No es tallen en cap punt, ja que l’equació
no té solució.
8. Troba les asímptotes de les funcions següents:
dedueix-ne:
a)
Df R
a) El domini i els tipus de discontinuïtats.
Df R
{ 1},
1
{ 2, 2}
, presenta una discontinuïtat
asimptòtica en x 1.
b) Les simetries.
En ser f( x) , vol dir que f( x) w f(x) i f( x) w f(x),
per tant, la funció no és parella ni imparella, la gràfica no
és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de
l’origen.
asímptotes verticals: x 2 i x 2, horitzontal: y 0, no en
té d’obliqües.
b)
c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.
f(x) 0 l x
punt (1, 0).
Df R, no té asímptotes verticals.
1 0 l x 1, talla l’eix d’abscisses en el
, tampoc no en té d’horitzontals.
f(0) 1, talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 1).
3. Troba el recorregut de la funció de l’activitat anterior a partir del domini de la funció inversa.
f 1(x) l Rf Df 1 R {1}.
4. a) Per què una funció no pot ser simètrica respecte de l’eix
d’abscisses?
Hi hauria valors de x que tindrien dues imatges.
b) Per què la gràfica d’una funció pot tallar com a màxim per
un punt l’eix OY?
Si tallés en més d’un punt l’eix OY, el valor x 0 tindria més
d’una imatge.
asímptota obliqua: y 2x.
c)
Df R, no té asímptotes verticals.
l asímptota horitzontal:
y 0 per a x l
.
42
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
l no té asímptota horitzontal per a
xl
.
10. Estudia els intervals de creixement i decreixement de les
funcions següents:
a)
l no té asímptotes obliqües.
R
{1}, la funció és decrei-
xent en tot el seu domini.
d)
Df R
l la recta x 3 és una
{ 3};
b)
Df R, f’(x) asímptota vertical.
l la recta y 2 és una asímptota horit-
f’(x) 0 l 2
zontal. No en té d’obliqües.
l la recta x 5 és una asímp-
{5};
tota vertical.
no té cap asímptota horitzontal.
1
2
1 ³
f’( 1) 0 l és decreixent en ¤¥ –c, –
´ , f’(0) 0 l és
¦
2µ
1 ³
¤ 1
,
creixent en ¥
´ i f’(1) 0 l és decreixent en
¦
2
2µ
¤ 1
³
, ∞´ .
¥¦
µ
2
e)
Df R
4x2 0 l x o
c)
Df R
no té cap asímptota
f’(x) obliqua.
{1}
, f’(x) 0 l ln x
1 0 l ln x 1 l x e
f’(0,5) 0 l decreixent a (0, 1), f’(2) 0 l decreixent
a (1, e), i f’(3) 0 l creixent a (e,
).
f)
Df R
l la recta x 1 és una
{ 1};
asímptota vertical.
l la recta y 0 és una asímptota horitzontal. No en té d’obliqües.
9. Justifica la validesa o falsedat de les afirmacions següents:
a) Si f(x) és creixent en el punt x x0, aleshores f’(x0) 0.
Fals. Per exemple la funció f(x) x3 és creixent en tots els
reals i en canvi f’(0) 0.
d)
Df R {0}, f’(x) f’(x) 0 l x 1
f’( 1) 0, ƒ’(1/2) 0 i f’(2) 0 l decreix en (
i creix en (1, )
, 0) i (0, 1)
11. Contesta raonadament les preguntes següents:
a) Per què igualem a zero la funció derivada, i resolem
l’equació obtinguda, per trobar els punts estacionaris?
Veritat, ja que si la funció és decreixent la funció derivada
no és positiva.
En els punts estacionaris, la recta tangent a la gràfica de la
funció és horitzontal, per tant el seu pendent ha de ser zero,
i com que per definició el pendent de la recta tangent en un
punt és la derivada de la funció en aquest punt, tenim que la
derivada ha de ser zero.
c) Si f(x) és creixent a l’esquerra del punt x a i decreixent
a la dreta del mateix punt, aleshores x a és un màxim.
b) Per què una funció és creixent en un punt del seu domini,
quan la derivada en aquest punt és positiva?
Fals. En el punt x a, pot haver-hi una discontinuïtat
asimptòtica.
Si f’(x0) 0 l mt 0 l la recta t és creixent l f(x) és
creixent.
b) Si f(x) és decreixent en el punt x x0, aleshores f’(x0) a 0.
3
MATEMÀTIQUES 2
c) Per què en un punt d’inflexió de tangent horitzontal la
funció és creixent o decreixent, i en els màxims i mínims
relatius no?
d) ƒ(x) En els màxims i en els mínims canvia el creixement de la funció, aquesta passa de creixent a decreixent, o a l’inrevés, en
canvi en els punts d’inflexió de tangent horitzontal no varia
el creixement de la funció.
12. Esbrina els màxims, els mínims i els punts d’inflexió de tangent horitzontal de les funcions:
a) ƒ(x) 3x4
ƒ’(x) 12x3
12x3
43
ƒ’(x) f ’(x) 0 l 4x 0 l x 0
ƒ’
6x2
12x
12x 0 l x 0, x ± 1
En x 0 la funció presenta un màxim.
ƒ’
13. Contesta raonadament les preguntes següents:
a) Una funció f(x) és còncava en l’interval obert (a, b) i
convexa en l’interval obert (b, c); vol dir això que en el
punt d’abscissa x b hi ha un punt d’inflexió?
No, pot ser que en el punt x b hi hagi una discontinuïtat.
En x 1 hi ha un mínim, en x 0 hi ha un màxim i en x 1
hi ha un altre mínim.
b) f(x) x4
ƒ’(x) 4x3
4x3
b) Si f’(x0) f’’(x0) 0, podem estar segurs que en x x0 hi
ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal?
2x3
No, ja que no n’hi ha prou que f’(x0) f”(x0) 0, si a més en
x x0 canvia la concavitat de la funció, aleshores sí que és
un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
6x2
6x2 0 l x 0, x 14. Determina els punts d’inflexió en general i els intervals de
concavitat i convexitat de les funcions següents:
ƒ’
a) f(x) x3
2x2
4
La funció és convexa en
per tant x En el punt x la funció presenta un mínim i en el punt
x 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
c)
b) f(x) x3(x
(
,
), i és còncava en (
,
),
és un punt d’inflexió.
4)
) la funció és còncava, en (0, 2) és conEn ( , 0) i (2,
vexa, en x 0 i x 2 hi ha punts d’inflexió.
c)
l no presenta cap punt estacionari.
En els intervals ( , 2 ) i (0, 2 ) la funció és convexa,
) és còncava, x 2 , x 0 i
en ( 2 , 0) i (2 ,
són punts d’inflexió.
x2
44
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d)
En ( , 2) i ( 2, 0) és convexa, en (0, 2) i (2,
cava, té un punt d’inflexió en x 0.
) és còn-
15. Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de les funcions
següents en cada un dels seus punts d’inflexió:
a) f(x) x3
f’(x) 3x2
3x2
6x
f’’(x) 0 l 6x
d) f(x) e
2x
2 l f’’(x) 6x
6
l no presenta cap punt d’inflexió.
60lx1
16. Determina els intervals de concavitat i convexitat de cadascuna de les funcions de l’activitat anterior.
m f’(1) 3 6 2 1
y0 f(1) 1 3 2 0 l P(1, 0)
y (x 1) l y x
a) punt d’inflexió: x 1; Df R.
1
(
, 1) l f’’(0) 6 0 l f(x) és convexa.
) l f’’(2) 6 0 l f(x) és còncava.
(1,
b) f(x) x(x
1)3
f’(x) 4x3
9x2
f’’(x) 12x2
x
6x
18x
f’’(x) 0 l 12x2
b) punts d’inflexió: x1 1, x2 ; Df R.
1
,
6
18x
, 1 l f’’(0, 6) 0 l f(x) és convexa.
60
) l f’’(2) 18 0 l f(x) és còncava.
(1,
m1 f’(1) 0
y1 f(1) 0 l P1(1, 0)
l f’’(0) 6 0 l f(x) és còncava.
c) punt d’inflexió: x ln3; Df R.
l y0
(
, ln3) l f’’(0) 0 l f(x) és còncava.
(ln3,
) l f’’(2) 0 l f(x) és convexa.
d) no hi ha punts d’inflexió, Df R.
(
,
) l f’’(0) 1 0 l f(x) és còncava.
17. Dibuixa la gràfica d’una funció que tingui un punt d’inflexió
de tangent horitzontal en el punt x 1, de manera que en
aquest punt la funció passi de còncava a convexa. Justifica
el creixement o decreixement de la funció en el punt x 1.
Resposta oberta. Per exemple:
c)
f’’(x) 0 l 3ex(3
x ln3
ex) 0 l 3
ex 0 l ex 3 l
En el punt d’abscissa x 1 la funció és decreixent.
3
MATEMÀTIQUES 2
18. Dibuixa les gràfiques de f’(x) i de f’’(x) a partir de la gràfica
de f(x).
45
20. Donada la funció f(x) x3, dibuixa, mitjançant una taula de
valors, les gràfiques de f(x), f’(x) i f’’(x). Explica de manera
raonada què passa en el punt x 0.
f’(x)
f’’(x)
19. Si f’’(x0) 0, aleshores f(x) és còncava en x x0, però no
recíprocament. Justifica-ho.
Si f(x) és còncava en x x0 l f’(x) és creixent en x x0 l
f’’(x0) 0.
Recíprocament no és cert. Donada la funció f(x) x4, f’’(0) 0;
però en x 0, f(x) és còncava.
En el punt x 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal,
on la funció és creixent, i passa de convexa a còncava.
21. Considera les funcions dels apartats a) i b) de l’activitat
12: de cadascuna d’aquestes, dedueix-ne els màxims i els
mínims aplicant el test de la segona derivada. Compara’n els
resultats.
a) f’(x) 12x3
12x l f’’(x) 36x2
12
46
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
f ’(x) 0 l 12x3 12x 0 l x1 0, x2 1, x3 1.
f ’’(0) 12 0 l en x 0 hi ha un màxim.
f ’’(1) 24 0 l en x 1 hi ha un mínim.
f ’’( 1) 24 0 l en x 1 hi ha un mínim.
b) f’(x) 4x3
6x2 l f’’(x) 12x2
f ’(x) 0 l 4x3
12x
Exemple 13: La gràfica de la funció no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen.
), el punt ( 1, 0) és un mínim absolut i no hi ha
Rf (0,
cap màxim absolut.
b) Justifica els punts d’inflexió de cadascuna de les gràfiques dels exemples anteriors.
6x2 0 l x1 0, x2 f ’’(0) 0 l en x 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent
horitzontal.
9 0 l en x Exemple 10: Hi ha dos punts d’inflexió, un en x a Œ
,0,
ja que la gràfica en aquest punt passa de convexa a còncava,
hi ha un mínim.
i un altre en x b Π0,
a convexa.
on la gràfica passa de còncava
22. Dibuixa la gràfica d’una funció tal que:
a) Tingui un màxim i un mínim relatius, i no tingui cap punt
d’inflexió.
Exemple 11: Hi ha un punt d’inflexió en un punt x 2, on
la gràfica passa de convexa a còncava.
Exemple 13: En un punt x c Œ ( 1, 0) la gràfica de la funció
passa de còncava a convexa, per tant x c és un punt d’inflexió, i en x 1 n’hi ha un altre, donat que la gràfica passa
de convexa a còncava.
24. Dibuixa la gràfica de les funcions següents.
A partir de les gràfiques dibuixades, informa sobre la concavitat, els punts d’inflexió, les simetries, el recorregut i els
màxims i mínims absoluts de cada funció.
a) f(x) 6x2
2x3
Df R. En ser una funció polinòmica no té cap tipus
d’asímptota.
b) Tingui un punt d’inflexió i no tingui cap màxim ni cap
mínim relatius.
23. a) A partir de les gràfiques dels exemples 12 i 13, justifica
les simetries, el recorregut i els màxims i mínims absoluts de cada una de les funcions.
Exemple 12: La gràfica és simètrica respecte de l’origen.
Rf R i no té ni màxim ni mínim absoluts.
f(x) 0 l 6x2 2x3 0 l 2x2 (3 x) 0 l x 0, x 3;
talla els eixos en (0, 0) i (3, 0).
f’(x) 12x 6x2
f’(x) 0 l 12x 6x2 0 l 6x (2 x) 0 l x 0, x 2.
f’’(x) 12 12x
f’’(0) 12 0 l a l’origen hi ha un mínim,
f’’(2) 12 0 l en el punt (2, 8) hi ha un màxim.
3
MATEMÀTIQUES 2
No presenta cap tipus de simetria. Rf R, no hi ha cap punt
de la gràfica que sigui un màxim o un mínim absoluts.
En l’interval ( , 1) és còncava, en (1,
) és convexa.
El punt (1, 4) és un punt d’inflexió, no hi ha cap simetria.
Rf R, no hi ha cap punt que sigui un màxim o un mínim
absoluts.
47
c)
Df R l no té asímptotes verticals.
l la recta y és una asímptota ho-
ritzontal.
b) f(x) No té asímptotes obliqües.
Df R
{0},
l x 0 és una asímptota
f(x) 0 l x2 x 0 l x(x
pels punts (0, 0), (1, 0).
vertical.
f’(x) 0 l la recta y 0 és una asímptota horitzontal.
No en té d’obliqües.
f(x) 0 l x
punt (1, 0).
x0
1) 0 l x 0, x 1; passa
f’(x) 0 l 8x2
2x
10lx
,x
1 0 l x 1, talla l’eix d’abscisses en el
Df l no talla l’eix d’ordenades.
, f’(x) 0 l x
f’(x) 20lx2
En
En el punt 2,
,
hi ha un màxim, en
,
hi ha un mínim.
la funció presenta un màxim.
La gràfica no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades, ni
respecte de l’origen.
No presenta simetries. Rf ,
]
, el punt 2,
és un
màxim absolut, no té mínim absolut.
És convexa en els intervals ( , 0) i (0, 3), és còncava en
), en el punt d’abscissa x 3 hi ha un punt
l’interval (3,
d’inflexió, no hi ha simetries.
Rf ,
]
, el punt 2,
mínim absolut.
és un màxim absolut, no té
Rf [
,
]
, el màxim i el mínim relatius són també
absoluts.
Considerem els punts d’abscissa a, b i c tals que:
a
,
b 0 i c 1, on la funció canvia la conca-
vitat. És còncava en ( , a) i (b, c) i és convexa en (a, b)
), els punts a, b i c són punts d’inflexió. La gràfica
i (c,
no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte
de l’origen.
3
48
Rf [
el punt
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
]
,
, el punt
,
,
és un màxim absolut i
és un mínim absolut.
d)
Df R {1}
l la recta x 1 és una asímptota vertical.
l no hi ha asímptotes horitzontals.
m
n
La recta y x
1
4
4 és una asímptota obliqua.
f(x) 0 l x2 3x 0 l x 3, x 0; talla els eixos en els
punts ( 3, 0) i (0, 0).
No és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades, ni respecte
de l’origen.
Rf R
f’(x) , f’(x) 0 l x2
2x
30
(1, 9), no té ni màxims ni mínims absoluts.
En l’interval ( , 1) és convexa i és còncava en (1,
té cap punt d’inflexió.
), no
El recorregut és Rf R (1, 9), no és simètrica ni respecte de
l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen. No hi ha ni màxim
ni mínim absoluts.
25. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:
a) f(x) x4
4x
Df R. És una funció polinòmica, per tant no té cap tipus
Hi ha un màxim en ( 1, 1) i un mínim en (3, 9).
d’asímptota.
x4 4x 0 l x 0, x punt ( , 0).
f’(x) 4x3
; talla els eixos en l’origen i en el
4 l f’(x) 0 l 4x3
2
40lx1
f“(x) 12x l ƒ“(1) 12 0 l en el punt (1, 3) hi ha un
mínim.
3
MATEMÀTIQUES 2
49
26. Observa la gràfica de la funció i dóna tota la informació possible de la funció.
La recta y x és una asímptota obliqua, les rectes x a
i x a són asímptotes verticals.
b) f(x) Df R
En el punt x b hi ha un màxim relatiu, en x 0 hi ha un
punt d’inflexió de tangent horitzontal i en x b hi ha un mínim
relatiu.
{0}
l’eix d’ordenades és una asímptota vertical.
la recta y 1 és una asímptota horitzontal.
No en té d’oblíqües.
f(x) 0 l x 1, talla l’eix d’abscisses en el punt (1, 0).
x 0  Df l no talla l’eix d’ordenades.
f’(x) 1
, no té cap punt estacionari. Com que f’(x) 0,
x2
x Œ Df ; la funció és creixent en tot el seu domini.
Talla els eixos de coordenades en l’origen, el domini i el recorregut són Df R { a, a} i Rf R respectivament.
És una funció imparella, ja que la gràfica és simètrica respecte
de l’origen, no té ni màxim ni mínim absoluts.
), i és decreixent en
És creixent en ( , b), ( a, a) i (b,
( b, a) i (a, b), és convexa en ( , a) i ( a, 0) i és còncava
).
en (0, b) i (b,
27. En l’exemple 14, troba el màxim a partir de la variable y.
x 30
(3/2)y l f(y) ( 3/2)y2
f’(y) 3y
20y
17 000
20
f’(y) 0 l y 20/3
[0, 20)
Per a y 0 l f(0) 17 000 cm2.
Per a y 20, f(20) 16 000 cm2.
La solució és y 0 l x 30 cm.
28. Resol l’exemple 15 a partir de la variable r.
A Pr2
2Pr
c2
4c 1 l c l polinòmica de 2n grau on
a 0, per tant tindrà un mínim.
3
50
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
32. El perímetre d’un rectangle és de 4 m. Els seus costats se
substitueixen per semicircumferències exteriors, tal com indica el dibuix. Troba les dimensions del rectangle que facin
que la superfície de la nova figura sigui mínima. Calcula
aquesta superfície mínima.
Per construir la circumferència es necessita:
0,44 m 44 cm
La resta de filferro 1
el quadrat.
0,44 0,56 m 56 cm serà per construir
29. Descompon el nombre 36 en dos sumands, tals que el seu
producte sigui màxim.
f(x) x(36
x) 36x
f’(x) 36
x2, funció que té un màxim.
2x l f’(x) 0 l x 18.
30. De tots els triangles rectangles amb hipotenusa igual a
9 cm, calcula el d’àrea més gran.
2x: costat gran del rectangle
2y: costat petit del rectangle
4x 4y 4 l x y 1 l y 1
x
S 2x · 2y Px2 Py2 4xy P(x2 y2) 4x(1 x) P[x2 (1 x)2] 4x 4x2 P(x2 1 2x x2) 4x 4x2 P(2x2 2x 1) (2P 4)x2 (4
4)x2
f(x) (2P
(4
2P)x
P
P
2P)x
és una funció polinòmica de 2n grau, on a 0 l tindrà un
mínim.
f’(x) 2(2P
4)x
f’(x) 0 l 2(2P
f’(x) 0 l 81
2
2
2x 0 l x lx
cm
2(2P
4) x 2P
y1
x1
S 4xy
P(x2
1
P
4
2P l
4)x
4
2P 0 l
4lx
m
m
y2) 4 ·
·
P
m2
Activitats finals
El valor x ƒ
cm maximitza l’àrea del triangle.
cm2
31. Demostra que de tots els rectangles de perímetre 4p, el que
té àrea màxima és el quadrat de costat p.
L’àrea del quadrat de costat p és Sc p2.
L’àrea d’un rectangle de perímetre 4p és
q2 com que (q
Sr (2p
q) q 2pq
q2
p2 0 l p2 2pq
2pq
p)2 0 l
q2 l Sc Sr .
1. Dibuixa la gràfica de la funció f(x) |x2 x|. Estudia la
continuïtat i la derivabilitat en els punts x 0 i x 1.
3
MATEMÀTIQUES 2
En els punts x 0 i x 1 la funció és contínua, però no derivable.
51
Resposta oberta, per exemple:
2. Dibuixa, en cada cas, la gràfica d’una funció que tingui una
discontinuïtat asimptòtica en un punt, i que en aquest
punt:
a) En canviï el creixement, però no la concavitat.
Respostes obertes, per exemple:
En el punt x x0 la funció no és derivable, ja que en aquest punt
no existeix una única recta tangent a la gràfica.
4. Raona la certesa o la falsedat de les afirmacions següents:
a) Dues funcions amb idèntica funció derivada són necessàriament idèntiques.
b) En canviï la concavitat, però no el creixement.
Fals, per exemple f(x) x2 i g(x) x2 2 tenen la mateixa
funció derivada i en canvi són diferents.
Respostes obertes, per exemple:
b) La funció f(x) 2x
cos x és sempre creixent.
Veritat, ja que f’(x) 2 sin x és sempre positiva; perquè
sin x 1 2 l 2 sin x 0
c) La funció f(x) 4x
sin x no té cap punt estacionari.
Veritat, ja que f’(x) 4
de x, perquè cos
5. Donada la funció
cos x no s’anul·la per a cap valor
R.
, indica’n el domini, els límits
per a x l 0 i x l , i les asímptotes. Raona detalladament
tot el que fas.
Df R
{1} l la recta x 1 és una asímptota vertical.
6. Sigui f(x) una funció derivable en tots els reals.
3. Dibuixa la gràfica d’una funció que sigui contínua en tots
els reals i que tingui un punt x x0 on canviï el creixement
i la concavitat de la funció. En aquest punt és derivable la
funció? Raona la resposta.
a) Si sabem que f’(a) 0, pots afirmar que f(x) té necessàriament un màxim o un mínim relatiu en el punt x a?
No, ja que també podria ser un punt d’inflexió de tangent
horitzontal.
52
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Si sabem que la derivada de f(x) és negativa en tots els
punts x a i positiva en tots els punts x a, pots afirmar que f(x) té necessàriament un mínim relatiu en el
punt x a?
Sí, ja que en ser derivable també és contínua, i això fa que
necessàriament en x a hi hagi un mínim relatiu.
a) La funció f(x) x e–kx tingui un màxim o un mínim relatiu
en el punt x 1.
f’(x) e–kx(1 kx)
f’(1) 0 l e–k(1 k) 0 l 1
f(x) x
3x
2
2a
b0l3
6
b0lb3
3x
11. Considerant la funció f(x) x3 3x2, troba l’equació de la
recta tangent a la gràfica en el punt d’inflexió.
l y 3x
1
k0lk1
tingui límit 2 quan x l
c) La funció f(x) ln (kx2
3
f’(x) 3x2 6x l f’’(x) 6x 6
f’’(x) 0 l 6x 6 0 l x 1
7. Calcula el valor de k per tal que:
b) La funció
f’(1) 0 l 3
.
12. Tenim una funció f(x) de la qual sabem que la seva derivada
és positiva en tot x w 2 i s’anul·la en x 2, tal com indica la
figura. Què pots dir de la funció f(x) en el punt x 2? Tindrà
en aquest punt un màxim, un mínim, un punt d’inflexió?
Raona detalladament la resposta.
1) sigui creixent en x 1.
k 1ok0
8. Determina els coeficients a i b de la funció següent
f(x) ax2 bx 2, sabent que la recta tangent a la gràfica
en el punt x 1 és la recta y 2x.
f’(x) 2ax b
f’(1) 2 l 2a
f(1) 2 l a
b 2
2 2la
b
a 2, b 6 l f(x) 2x2
6x
b
4
2
En el punt x 2 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal;
i x w 2, per tant no canvia el creixement
ja que f’(x) 0,
en el punt x 2, tot i que f’(2) 0.
13. Sabem que la gràfica de la derivada f’(x) d’una funció f(x)
és el que mostra el dibuix, s’anul·la en x 1, x 2 i x 3.
Digues quins valors de x corresponen a mínims relatius de
f(x). Explica el perquè de la teva resposta.
9. Determina quins són els coeficients a, b i c de la funció
f(x) ax3 bx2 cx per tal que aquesta funció tingui un
màxim relatiu en x 0, un mínim relatiu en x 1 i compleixi
la condició f(1) 1/2.
f’(x) 3ax2 2bx
f’(0) 0 l c 0
c
f’(1) 0 l 3a 2b
1
la b
f(1) 2
c 0 l 3a 2b 0
1
1
c
la b
2
2
3
3 2
D’on s’obté que a 1, b l f(x) x3
x
2
2
10. Determina els coeficients a i b de la funció següent
f(x) x3 ax2 bx, sabent que canvia de còncava a convexa
en el punt x 1 i que la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest mateix punt és horitzontal.
f’(x) 3x
2
2ax
f’’(1) 0 l 6
b l f’’(x) 6x
2a 0 l a 3
2a
En el punt x 1 la funció f’’(x) s’anul·la i passa de positiva a
negativa, per tant la funció f(x) passa de creixent a decreixent,
aleshores en x 1 hi ha un màxim.
En el punt x 2 també s’anul·la f’’(x), però no canvia de signe,
continua essent negativa, per tant la funció f(x) és decreixent
en aquest punt, aleshores en x 2 hi ha un punt d’inflexió de
tangent horitzontal.
MATEMÀTIQUES 2
En el punt x 3 tenim que f’(3) 0, i la derivada passa de negativa a positiva, la funció f(x) passa de decreixent a creixent,
aleshores en x 3 hi ha un mínim.
(4, 1), ja que és decreixent en (
en (2, 4).
3
, 2) i (4,
53
), i creixent
14. Tenim una funció derivable f(x) definida per a x 0, de la
qual sabem que la seva gràfica és la que s’indica, l’eix d’ordenades és asímptota vertical, la recta y x és asímptota
obliqua i té un mínim en el punt x 1. Fes un esquema senzill de la gràfica de la funció f’(x) tot explicant raonadament
la resposta.
b) f(x) Df R { 1}, la recta x 1 és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals i la recta y x 2 n’és una d’obliqua.
Passa per l’origen de coordenades, els punts estacionaris són
x 3 i x 0, i com que és creixent en els intervals ( , 3)
i ( 1,
), i decreixent en ( 3, 1), fa que en ( 3, 27/4)
hi hagi un mínim i en l’origen un punt d’inflexió de tangent
horitzontal.
15. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:
a) f(x) Df R {2}, les rectes x 2 i y 0 són una asímptota vertical i una asímptota horitzontal, respectivament. Talla els
eixos en els punts (3, 0) i (0, 3), i té un màxim en el punt
54
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) f(x) En ser una funció polinòmica, no té cap tipus d’asímptotes.
Talla els eixos en els punts (0, 0) i (3, 0). Els valors que
anul·len la derivada són x 0 i x 2, en el punt (0, 0) la
funció presenta un mínim i en (2, 4/3) un màxim, ja que és
) i és creixent en (0, 2).
decreixent en ( , 0) i (2,
d) f(x) x3
x 2 ± 2
anul·len la primera derivada, és creixent
en ( , 2 2 ) i (2 2 ,
), i decreixent en els
intervals (2 2 , 2) i (2, 2 2 ), per tant en el punt
la funció presenta un màxim i en x 2 2
x2 2
un mínim.
3x
Df R, no té asímptotes de cap tipus, talla els eixos en
, 0), (0, 0) i ( , 0). Té un màxim relatiu en ( 1, 2)
(
i un mínim relatiu en el punt (1, 2), ja que és creixent en
), i decreixent en ( 1, 1).
( , 1) i (1,
f) f(x) El domini és Df R { 2, 2}, les rectes x 2 i x 2 són
asímptotes verticals, la recta y 0 és una asímptota horitzontal. Té un màxim relatiu en el punt (0, 2) i no té cap
mínim relatiu, ja que és creixent en els intervals ( , 2) i
).
( 2, 0), i és decreixent en (0, 2) i (2,
e) f(x) Df R {2}, la recta x 2 és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals i la recta y x 4 és una asímptota obliqua. Passa pels punts ( 2, 0) i (0, 0), els valors
MATEMÀTIQUES 2
g) f(x) x2
Df R {0}, l’eix d’ordenades és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals ni d’obliqües. Talla l’eix d’abscisses en
el punt (
, 0), en x 1 hi ha un punt estacionari, que
resulta ser un mínim ja que és decreixent en ( , 0) i (0, 1)
).
i creixent en (1,
3
55
i) f(x) Df R { 4}, la recta x 4 és una asímptota vertical, no
en té d’obliqües. Té una asímptota horitzontal quan x l c:
f(x) 0.
y 0,
Talla els eixos en l’origen, té un punt estacionari en x 2,
com que és creixent en tot el seu domini, fa que en el punt
( 2, e 2) hi hagi un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
h) f(x) Df R { 1,1}, les rectes x 1 i x 1 són asímptotes verticals, la recta y x és una asímptota obliqua. Té un màxim
i en x respectivament,
i un mínim relatius en x el punt (0, 0) és un punt d’inflexió de tangent horitzontal,
)i( ,
) i decreixent en
ja que és creixent en ( ,
(
, 1), ( 1, 1) i (1,
).
j) f(x) Df R {0}, l’eix OY és una asímptota vertical, no n’hi ha de
cap més tipus. No talla els eixos en cap punt, f’(x) s’anul·la
en x o1, en el punt ( 1, 4) hi ha un màxim i en (1, 4) un
), i decreixent
mínim, ja que és creixent en ( , 1) i (1,
en ( 1, 0) i (0, 1).
56
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
16. A partir de la gràfica, dóna tota la informació possible de les
funcions dels apartats a, d, f i h de l’activitat anterior.
a) Df R {2}, les rectes x 2 i y 0 són una asímptota vertical i una asímptota horitzontal respectivament. Talla els
eixos en els punts (3, 0) i (0, 3), té un màxim absolut en
el punt (4, 1) i presenta un punt d’inflexió en x 5. És de), creixent en (2, 4), és convexa
creixent en ( , 2) i (4,
). No és simètrica
en ( , 2) i (2, 5) i còncava en (5,
ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen, el
recorregut és Rf ( , 1).
, 0), (0, 0) i ( , 0),
d) Df R, talla l’eix d’abscisses en (
té un màxim relatiu en ( 1, 2) i un mínim relatiu en el
punt (1, 2), el punt (0, 0) és un punt d’inflexió. És simè),
trica respecte de l’origen, és creixent en ( , 1) i (1,
decreixent en ( 1, 1), és convexa en ( , 0) i còncava en
). Rf R no hi ha ni màxim ni mínim absoluts.
(0,
per a x 0.
18. Considera la funció següent:
Troba els valors de x tals que f’(x) 0. Després fes un esquema senzill de la gràfica de f(x), i explica-ho.
f’(x) 0 l 1
ln 1 000x 0 l
ln 1 000x 1 l 1 000x e l x f
e
l
1000
e
( 1000
) 1000
e
e
la funció passa de creixent a decreixent, per tant
1000
e
1000
hi ha un màxim en el punt
,
1000
e
En x (
)
f) El domini és Df R { 2, 2}, les rectes x 2 i x 2 són
asímptotes verticals, la recta y 0 és una asímptota horitzontal. Té un màxim relatiu en el punt (0, 2), no té cap
mínim relatiu ni cap punt d’inflexió. És creixent en els intervals ( , 2) i ( 2, 0), i és decreixent en (0, 2) i (2, ), és
còncava en ( , 2) i (2, ) i convexa en l’interval ( 2, 2).
És simètrica respecte de l’eix d’ordenades, el recorregut és
Rf R ( 2, 0], no hi ha cap màxim ni cap mínim absoluts.
h) Df R { 1, 1}, les rectes x 1 i x 1 són asímptotes verticals, la recta y x és una asímptota obliqua. Té un màxim
i en x respectivament,
i un mínim relatius en x el punt (0, 0) és un punt d’inflexió de tangent horitzontal, és
) i ( , ) i decreixent en (
, 1),
creixent en ( ,
), és convexa en ( , 1) i (0, 1) i còncava
( 1, 1) i (1,
). És simètrica respecte de l’origen, el reen ( 1, 0) i (1,
corregut és Rf R, no té cap màxim ni cap mínim absoluts.
17. Calcula els intervals de creixement i de decreixement, els
màxims i els mínims de la funció següent:
19. Fes un esquema senzill de la gràfica de la funció f(x) ex e–x
que posi en evidència els límits quan x l i els possibles
màxims i mínims. Explica raonadament tot el que fas.
(ex
f’(x) ex
e–x) e–x, f’(x) 0 l ex
e–x 0 l
e2x 1 l 2x 0 l x 0 l f(0) 2
Després fes un esquema senzill de la gràfica.
En el punt (0, 2) hi ha un mínim ja que la funció és decreixent
).
en l’interval ( , 0) i creixent en (0,
), i decreixent
És creixent en els intervals ( , 2 000) i (0,
en l’interval ( 2 000, 0). Els punts x 2 000 i x 0 són respectivament un màxim i un mínim.
20. Troba dos nombres positius que sumin 30 tals que la suma
dels seus quadrats sigui mínima.
La funció que cal optimitzar és:
3
MATEMÀTIQUES 2
f(x) x2 (30 x)2 2x2 60x 900
f’(x) 4x 60, f’(x) 0 l x 15 és la solució, ja que minimitza
la funció f(x).
21. Hem de construir un parterre en forma de sector circular
amb perímetre de 20 m. Calcula el radi del sector per tal
d’obtenir-lo d’àrea màxima.
2r
x 20 m l x 20
f(r) 10r
f’(r) 10
57
24. Es vol construir un recipient cilíndric, amb tapa, de volum
100 m3. Quines han de ser les seves dimensions perquè
s’utilitzi la mínima quantitat de material?
r: radi de la base
h: altura del cilindre
2r
r2 l tindrà un màxim
2r l f’(r) 0 l 10 2r 0 l r 5 cm
22. Quin perímetre mínim pot tenir un sector circular de 25 m2
d’àrea?
25. Entre tots els cilindres rectes de base circular i d’àrea total
6P m2, troba les dimensions del que té volum màxim i calcula aquest volum.
r: radi de la base
h: altura del cilindre
.
V Pr2h Pr2
Pr(3
r2) 3Pr
Pr3
f(r) 3Pr Pr3 l ƒ’(r) 3P 3Pr2
f’(r) 3P 3Pr2 0 l r2 1 l r 1 m
f’’(r) 6Pr, f’’(1) 6P 0 l és un màxim.
El perímetre mínin és de 20 m.
23. La suma de totes les arestes d’un prisma recte de base quadrada és 36 cm. Calcula les dimensions del prisma perquè
tingui volum màxim.
Considerem x el costat del quadrat de la base i y l’altura del
prisma, tenim que:
8x 4y 36 l y 9 2x
V x2y l f(x) x2(9 2x) 9x2 2x3
f’(x) 18x 6x2 l f’(x) 0 l x 0, x 3
Per a x 0 dóna volum mínim, i per a x 3 el dóna màxim, per
tant les dimensions del prisma són x y 3 cm.
V Pr2h 2P m3
El volum màxim és de 2P m3.
26. Troba les dimensions del triangle isòsceles d’àrea màxima,
inscrit en una circumferència de radi 10 dm. Calcula aquesta
àrea màxima.
58
3
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Emprant les variables x, y del dibuix, tenim:
u2
L’àrea màxima és de 1 u2.
28. Una persona transporta un vidre molt prim per un carrer en
forma de L, de manera que una de les parts del carrer té 4 m
d’amplada i l’altra, 3 m. Quina serà la longitud màxima que
podrà tenir el vidre per poder passar-hi?
Emprant les variables x, A del dibuix, tenim
l l1
base: b 2x 10
altura: h 10
bh y 10
10
10
S
10
l2 és la longitud del vidre
dm
· 15 75
L’àrea màxima és de 75
15 dm
dm2
dm2.
27. Quina és l’àrea més gran que pot tenir un rectangle de costats paral·lels als eixos de coordenades inscrit a l’el·lipse
d’equació 4x2 y2 1?
A 47,74º és un mínim per a l’amplada del carrer, per tant serà
un màxim per a la longitud del vidre.
4,46
5,40 9,86 m 986 cm
La longitud màxima que pot tenir el vidre són 986 cm.
MATEMÀTIQUES 2
29. Considera una piràmide recta que té per base un hexàgon
regular d’1 cm de costat. L’altura d’aquesta piràmide mesura
també 1 cm. Digues a quina distància de la base s’ha de
situar un punt P sobre l’altura per tal que la suma de les
distàncies de P als vèrtexs de la piràmide sigui mínima.
3
59
La base del cilindre és b = 2y = 4 cm.
V(2) = 9,37 cm3
31. Considera un dipòsit constituït per una semiesfera de radi
r a la qual s’ha afegit un cilindre circular del mateix radi r i
d’altura h, tal com s’indica en la figura. Calcula r i h de manera
que l’àrea total de les parets i de la tapa sigui de 5 m2 i tingui
volum màxim.
és un mínim.
cm del centre de la base.
El punt P s’ha de situar a
30. Un triangle isòsceles de perímetre 10 cm gira al voltant de
la seva altura, i engendra un con. Calcula la base del triangle
perquè el con generat tingui volum màxim, i determina’l.
és un màxim.
2x
2 y 10 cm l x 10 2 y
2
V
P 2 2
1
P y 2h y x
3
3
y2 P 2 ¤ 10 2 y ³
y ¥
3
¦ 2 ´µ
P
25 y 4
3
V `( y) 2
y2 10 y 5
P 100 y 3 50 y 4
P 100 y 50 y 2
6 25 y 4 10 y 5
6
25 10 y
V `( y) 0 l y 2
V `(1) 0 l V ( y) creix
¹
º l y 2 és un màxim.
V `(2,1) 0 l V ( y) decreix»
32. Troba els punts de la gràfica de la funció y2 4x, tals que
la distància al punt (4, 0) sigui mínima. Calcula aquesta
distància.
3
60
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
En x 2, f’(x) passa de negativa a positiva, per tant la funció
f(x) passa de decreixent a creixent, en el punt x 2 la funció
presenta un mínim.
Els punts solució del problema són P1(2, 2
d 22
) i P2(2, 2
).
35. Entre totes les rectes que són tangents a la gràfica de la
funció f(x) tg x, on x està situada entre
i
, escriu
l’equació de la que té pendent mínim.
4 • 2 16 2 3 u
33. Troba el punt de la paràbola y 2x2 que està més a prop del
punt (9, 0).
y 2x2 l P(x, 2x2) és un punt de la paràbola.
IIF
PQ
IIF
PQ
36. Considera un triangle rectangle, de vèrtexs (0, 0), (x, 0) i
(x, y), amb x 0 i y 0, i amb el vèrtex (x, y) sobre l’el·lipse
d’equació x2 2y2 2, tal com s’indica en la figura. Troba
el punt (x, y) que fa que el triangle rectangle tingui àrea
màxima.
34. Calcula els punts de la gràfica de la funció següent
en què la tangent té pendent màxim.
g(x) f’(x) g’(x) 0 l 6x2
l g’(x) f“(x) 20lx±
1
3
. En x 1
hi ha un
3
3
¤ 1³
màxim de g(x), y f ¥
, el punt de la gràfica que dóna
¦ 3 ´µ
4
¤ 1 3³
,
la solució al problema és P ¥
.
¦ 3 4 ´µ
3
MATEMÀTIQUES 2
f(x) 0 l k(1
l x[ k(1
tg2 A)x2
tg2 A)x
61
x · tg A 0 l
tg A] 0 l
x 0 l O(0, 0).
L’altre punt, el que interessa és:
k(1
tg2 A)x
tg A 0 l x és el que cal
optimitzar.
37. La resistència de flexió d’una biga de secció rectangular és
directament proporcional a la base i directament proporcional, també, al quadrat de l’altura d’aquesta secció. Calcula
les dimensions que ha de tenir la secció rectangular d’una
biga fabricada a partir del tronc cilíndric d’un arbre que fa
un metre de diàmetre per tal que tingui una resistència de
flexió màxima.
g’(A) 0 l 1
tg2 A 0 l tg A 1 l A 45º
x: base
y: altura
x2 y2 1 l y2 1 x2
R kxy2 kx(1 x2) kx kx3
f(x) kx kx3 l f’(x) k 3kx2
Avaluació
és un màxim.
1. Considera la funció f(x) 4x
x2
a) Calcula l’equació de les rectes tangents a la gràfica de
f(x) en els punts d’abscisses x 0 i x 4.
,
La base ha de ser de
i l’altura de
.
38. La trajectòria d’un projectil disparat per un canó d’artilleria situat a l’origen de coordenades és la paràbola
f(x) k(1
tg2 A)x2
(tg A)x
on k és una constant positiva que depèn de les característiques del canó, i A és l’angle que formen l’eix de les x
positives i el canó. L’angle A se suposa que comprèn entre 0
i 90 graus, tal com indica el dibuix. Calcula l’angle A per al
qual la paràbola anterior talla l’eix de les x positives al més
lluny possible de l’origen.
La derivada de ƒ (x) és ƒ’(x) 4 2x. Els pendents de les
rectes tangents demanades són f’(0) 4 i f’(4) −4. La recta
tangent en el punt (0,0) té per equació y 4x i la recta tangent en el punt (4,0) és y 4x 16.
b) Fes un gràfic dels elements del problema.
3
62
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. (Curs 2004-05) Considera la funció ƒ(x) 3 x2 i un punt
de la seva gràfica, M, situat en el primer quadrant (x ≥ 0,
y ≥ 0). Si pel punt M tracem paraltleles als eixos de coordenades, la seva intersecció amb OX i OY determina dos punts,
A i B, respectivament.
a) Fes un gràfic dels elements del problema.
4. Per tal d’iltluminar una taula circular d’un metre de radi,
volem penjar del sostre de l’habitació un llum situat en
la vertical del centre de la taula i que enfoqui cap avall.
Digues a quina altura hem de situar aquest llum respecte
a la taula per tal que els punts de la seva vora tinguin una
iltluminació màxima. Si designem com a L el llum, que se
suposa puntual, i com a P un punt qualsevol de la taula, tal
com indica el dibuix, la iltluminació I del punt P és donada
per:
IK
on K és una constant que depèn de les característiques del
llum, d és la distància entre P i L, i a és l’angle entre PL i la
vertical.
b) Troba les coordenades del punt M que fan que el rectangle
OAMB tingui l’àrea màxima.
Sigui M(a, 3 a2), amb a ≥ 0. L’àrea del rectangle OAMB és
S(a) a∙(3 a2) 3a a3. Per trobar-ne el mínim, resolem
S’(a) 0, és a dir, 3 3a2 0. Tenim que a ±1. Ens quedem
només amb la solució positiva, a 1. Estem en un màxim perquè
S’’(1) 6 0. Així, el punt M demanat és (1, 2).
3. Donada la funció
, calcula els valors de
a, b, c i d sabent que f(x) té una asímptota vertical en el
punt d’abscissa x 1, que la recta y 3x 2 n’és asímptota
obliqua, i que f(x) té un màxim relatiu en el punt d’abscissa
x 0.
a 3, b 1, c 1 i d 1
x 1: asímptota vertical
x
d0l1
d0ld1
y 3x + 2: asímptota oblíqua
m lim
x l0
ax 2 bx c
3la3
x( x 1)
¤ 3 x 2 bx c
m lim ¥
x l0 ¦
x 1
³
(b 3) x c
3 x´ lim
2
x 1
µ x l0
lb 32lb 1
x 0: màxim relatiu l f ’(0) 0
f (x) f `( x ) 3x 2 x c
x 1
3x2
6x 1 c
( x 1)2
f `(0) 0 l 1 c 0 l c 1
h
L’altura ha de ser de
m.
m
MATEMÀTIQUES 2
j Unitat 4. Primitives
4
63
5. Si G1(x) i G2(x) són dues primitives d’una mateixa funció
g(x), es poden tallar les seves gràfiques? Dibuixa la gràfica
de la funció G1(x) sabent que passa pel punt (0, 4) si la
gràfica de la funció G2(x) és la de la figura.
Activitats
1. Escriu l’expressió general de les primitives de cadascuna de
les funcions següents:
a) f(x) 3x2
F(x) x3
C
b) g(x) sin x
G(x) cos x
C
c) h(x) 5
H(x) 5x
C
d) k(x) K(x) ln | x |
C
2. Determina la funció primitiva de la funció:
f(x) cos x
la gràfica de la qual passi pel punt de coordenades (P/2, 4).
F(x) sin x
F
C
4 l 4 sin
F(x) sin x
Cl41
ClC3
3
3. Sabem que la funció:
és una primitiva de la funció f(x). Quina és la funció f(x)?
4. Comprova que totes les primitives de la funció f(x) ln x
són del tipus F(x) x (ln x 1) C.
F ’(x) ln x
1
x
ln x
1
1 ln x f(x)
No es poden tallar, ja que les expressions algebraiques de les
funcions G1(x) i G2(x) només es diferencien en una constant.
64
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
6. Calcula la derivada de les funcions següents i escriu-ne després les corresponents integrals indefinides:
s(0) 5 m l 5 02
a) f(x) tg x
2
s(t) (t
3t
C’ l C’ 5 m
3·0
5) m
9. Comprova que les derivades de les funcions següents:
, n ΠR, n w 1 i
F(x)
són, respectivament, f(x) x n i g(x) ax.
b) g(x) 23x
5
c)
10. Troba x 1 dx.
11. Determina la primitiva de la funció f(x) 1
d) k(x) ln2 x
de la qual conté el punt
(
tg2 x la gràfica
)
,3 .
7. Troba la derivada de les funcions següents:
a) f(x) x 3x dx
f‘(x) x3x
b) g(x) cos2 x dx
12. Calcula les primitives següents:
g’(x) cos2 x
c) h(x) (tg x
h’(x) tg x
ln x) dx
a)
ln x
d) k(x) x2 ex dx
k’(x) x2 ex
8. Un mòbil recorre una trajectòria rectilínia amb una acceleració constant de 2 m/s2. Se sap que en el moment de
començar a comptar el temps, v(0) 3 m/s i s(0) 5 m.
b)
7
¯
Troba les expressions de les funcions v v(t) i s s(t) corresponents al seu moviment.
3
4
x4
x dx ¯ x dx 7
4
4
3
C
4
7
4
x7
C
Cal que recordis:
derivant
derivant
c)
1
3
v(0) 3 m/s l 3 2·0
v(t) (2t
3) m/s
C l C 3 m/s
¯
x
x2
dx ¯
2
5
x3
x3
3
d x ¯ x 3 dx dx 3
2
2
x
2 x2
3
C
MATEMÀTIQUES 2
4
65
d)
13. Calcula:
15. Justifica el motiu pel qual podem afirmar que no hi ha cap
a)
¯ 2x
(1
1
2
x dx 2 x(1
3
2 2
x )
3
2
C
primitiva de la funció f(x) 1
2 2
x ) dx 2
(1
3
x 2 )3
ni mínims relatius en el seu domini.
C
Sigui F(x) una primitiva de f(x).
F
b)
Per trobar els màxims i mínims relatius de F(x) cal resoldre
l’equació F ’(x) 0. És senzill observar que aquesta equació no
té solució.
c)
16. Troba la primitiva de la funció f(x) sin x ecos x la gràfica de
la qual talla l’eix d’abscisses en x .
d)
17. Calcula:
a)
4x3 sin (x4
e)
b)
dx
f)
c)
dx
14. Troba la primitiva de la funció f(x) sin x cos x la gràfica de
la qual passa pel punt
que presenti màxims
.
d)
dx
3) dx
4
66
e)
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
19. Determina les asímptotes de la funció:
dx
dx sabent que F( 2) 2.
F(x) f) (tg2 x
tg4 x) dx
18. Calcula:
a) (3x2
1) cos (x3
x) dx
.
b)
Asímptota vertical: la recta x 3.
dx
¯
1
2x
1
x2
dx ¯ 2 x • (1
(1
x 2 ) 2 dx 1
2 2
x )
1
2
C 2 1
Asímptota horitzontal: la recta y 3.
x2
C
20. Calcula:
a) (2x3
3x2
5x
1) dx
c) 3x2 sin x3 dx
b)
d)
dx
dx
c) (32x
e)
dx
e4x
1) dx
e
e
e
d)
f)
dx
dx
MATEMÀTIQUES 2
e) (2x
3)(2x
3) dx
24. Calcula:
a) 5cos (3x
f)
g)
h)
2) dx
dx
b)
dx
dx
dx
c)
21. Sabem que la gràfica d’una funció passa pel punt P(1, 4)
i que el pendent de la recta tangent en qualsevol punt
d’aquesta gràfica s’expressa mitjançant m(x) 2x2 3x 5.
Determina l’expressió algèbrica d’aquesta funció.
22. Troba la primitiva de la funció f(x) quan x 2.
d)
dx
dx
e)
dx
f)
dx
g)
dx
que s’anul·la
23. Calcula tg2 x dx.
Et suggerim que apliquis l’estratègia següent:
tg2 x 1
tg2 x
1
4
67
4
68
h)
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
dx
i)
dx
c) ln x dx
j)
dx
d) x ln x dx
25. Calcula:
a) x sin x dx
e) 2x x dx
2x
b) e sin x dx
f) arcsin x dx
MATEMÀTIQUES 2
g) (x
2) e3x dx
dx
b) x3 sin x dx
i) (3x
j)
2) cos x dx
dx
69
26. Ja has vist que, de vegades, cal aplicar en més d’una ocasió
el mètode d’integració per parts. Et caldrà fer-ho en el càlcul
de les primitives següents:
a) x2 e5x dx
h)
4
70
c) (x2
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
e)
dx
f) (1
x2) 23x dx
4) · 3x dx
d) x2 cos x dx
4
MATEMÀTIQUES 2
b)
27. a) Resol l’equació F’(x) 0 si F(x) ex x(2
dx amb
71
t.
x) dx.
Les solucions són x1 0 i x2 2.
b) Calcula la primitiva de la funció f(x) ex x(2 x) la gràfica de la qual passa per l’origen de coordenades.
x
¯ e x(2
x )dx ¯ e x ( x 2
2 x )dx 29. Aplicant el canvi de variable sin x t, calcula:
cos3 x dx
Si tens en compte la igualtat següent:
cos3 x cos2 x cos x (1
sin2 x) cos x
la pots calcular sense canvi de variable. Fes-ho.
28. Calcula amb els canvis de variable indicats:
a)
dx amb x 4t.
30. Calcula la integral
dx utilitzant el canvi de variable x sin t o x cos t. Arribaràs a una integral del tipus:
cos2 t dt o sin2 t dt
respectivament. Et caldrà fer ús de les identitats trigonomètriques:
cos2 t o sin2 t 72
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b)
c)
31. La integral
dx és quasi immediata. Calcula-la.
Comprova que arribes al mateix resultat aplicant-hi el canvi
de variable x2 3 t.
d)
32. Calcula:
a)
MATEMÀTIQUES 2
t3
e)
t3
t 1
t2
t2
t2
t2 t
t
t 1
1
t 1
34. Calcula:
a)
x 5
x2
5x
x 5
5x
5 x 25
25
x3
4
b)
f)
33. Calcula
x2
fent el canvi de variable x t6.
x
c)
3
x2
2
2x
2x 2
2x 2
2x
x 2
4
4x
4x 4
4
73
4
74
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Activitats finals
1. Determina la funció f(x) sabent que la funció F(x) x2 ex
n’és una primitiva.
A 2, C 2
2
2. Quina és la primitiva de la funció f(x) 2x 5 que verifica
la condició F(1) 9? I la que verifica F 1(3) 3?
3. Dos companys obtenen resultats diferents en el càlcul de les
primitives d’una mateixa funció. El primer obté:
i el segon,
d)
Indica raonadament quin dels dos ha arribat a la resposta
correcta.
El segon, ja que si
4. Calcula:
a) (2x3
x2
9
x2
2
9
18
1
x
3x2
1) dx
9
b) ( 3·3x
c)
4 cos x) dx
, es compleix que
MATEMÀTIQUES 2
d)
3x 2
3x
2
x 7
21 x
3 x 21
21 x
21 x 147
147
f) x3 sin (x4
e) (4
4
P) dx
2
tg x) dx
f)
6. Calcula les integrals quasi immediates següents:
a) 5tg x (1
5. Calcula les integrals quasi immediates següents:
a) cos 5x dx
b)
b)
c)
c) 5 sin4 x cos x dx
d)
d)
e)
e)
f)
tg2 x) dx
75
76
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
7. Troba la primitiva de la funció:
que verifica la condició
.
8. Troba l’expressió de la funció F(x) la gràfica de la qual passa
pel punt (1, 1) sabent que el pendent de la recta tangent en
qualsevol punt ve donat per la funció m(x) 3x2 6x 4.
b) cos (ln x) dx
9. Considera la funció
.
Determina’n les asímptotes, sabent que F(0) 3.
4x
16 0 l x 4
Asímptota vertical x 4.
Asímptota horitzonal y .
10. Calcula per parts les integrals següents:
a) x2 sin 3x dx
c) x3 ln x dx
4
MATEMÀTIQUES 2
77
d) e4x cos 4x dx
11. Comprova que:
(x2
2x
1) ex dx (x2
4x
3) ex
C
12. Calcula les integrals següents, fent ús en cada cas del canvi
de variable indicat:
a)
e) (x
dx, x 2 sin t
1) 5x dx
b)
dx, x 3t
f) ln2 x dx
c)
dx,
t
4
78
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Troba la primitiva de la funció
qual passa pel punt (2, 2).
t2
t2
d)
1
1
t2
1
1
x 2
x 1
3
dx, x 6t
x 1
1
15. Calcula les integrals següents:
a)
13. Calcula la integral
riable
dx mitjançant el canvi de va-
. Aquesta integral, però, és quasi immediata.
Calcula-la també sense fer canvi de variable.
x2
x2 1
x2 1
1
1
, la gràfica de la
4
MATEMÀTIQUES 2
b)
d)
x2 1
c)
2
x 4x
4x 1
x2
4x
1
e)
1
x )( x
¯ (x
2
1
ln x
7
7)
dx 1
ln x 1
8
f)
3x 5
3x 1
4
3x 1
1
1
ln x
56
7
C
79
80
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
16. Troba una primitiva de la funció següent:
19. Calcula les integrals següents:
a) (tg5 x
tg7 x) dx
Suggeriment: descompon la fracció en suma de dues fraccions del mateix denominador.
b)
Com que ens demanen una primitiva, fem, per exemple, C 0.
17. Troba la primitiva de la funció
c)
, la gràfica
de la qual té per asímptota horitzontal la recta y 2.
18. Determina la primitiva de la funció
, la gràfica
de la qual conté el punt (4, 0). Anomena F(x) aquesta funció i calcula
F(x) i
F(x).
Dibuixa de manera aproximada la gràfica de la funció F(x).
d)
e)
f)
¯
dx
x cos2 x
MATEMÀTIQUES 2
x4
x4
x2 1
x2
x2
x2 1
1
4
81
22. Calcula
x2 1
Indicació: multiplica primer numerador i denominador per
l’expressió conjugada del denominador.
g)
h)
23. Calcula
20. Troba l’expressió algèbrica de la funció F(x) que verifica les
condicions següents:
a) F’(x) 2x
Indicació: multiplica primer numerador i denominador per
1 sin x.
6
b) La gràfica de la funció F(x) presenta un mínim en el punt
d’ordenada 1.
24. Aplicant el mètode d’integració per parts, calcula cos2 x dx.
Cal que tinguis en compte que cos2 x cos x cos x i que
sin2 x 1 cos2 x. Compara el resultat amb el que has
obtingut a l’activitat 21.
Mínim
21. Calcula sin2 x dx i
següents:
sin2 x
cos2 x dx a partir de les igualtats
cos2 x 1 i cos 2x cos2 x
sin2 x
4
82
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
25. Un mòbil es desplaça sobre l’eix OX de manera que la seva
acceleració ve donada per l’equació següent:
Si la primitiva ha de passar pel punt
1 m/s2
a 2t
Si per a t 0 es verifica v(0) 2 m/s i x(0) 10 m, troba
les expressions de les funcions velocitat v v(t) i posició
x x(t) corresponents a aquest mòbil.
v(t ) ¯ (2t
1) dx t
2
t
v(t ) t
t
x(t ) ¯ (t 2 t
La primitiva demanada és, doncs,
C
v(0) 2 l C 2
2
b) Quina és la primitiva de ƒ(x) que passa pel punt
3. Donada la funció f(x) m
2
s
2) dx t3
3
t2
2
2t
a) Calcula la integral
C`
¯ f ( x )dx
x(0) 10 l C ` 10
¤1
x(t ) ¥ t 3
¦3
1 2
t
2
2t
³
10´ m
µ
26. Un mòbil descriu un moviment vibratori harmònic simple l’acceleració del qual s’expressa per l’equació a 36 cos 3t cm/s2.
Si a l’instant inicial es verifica v(0) 0 cm/s i x(0) 4 cm,
troba les expressions de les funcions velocitat v v(t) i
posició x x(t) d’aquest mòbil.
v(t ) ¯
36 cos 3 tdt 12 ¯ 3 cos 3 tdt 12 sin 3 t
b) Troba la primitiva F(x) de ƒ(x) que compleixi F(1) 1
C
v(0) 0 l C 0
cm
s
12 sin 3 tdt 4 ¯ 3 sin 3 tdt 4 cos 3 t
v(t ) 12 sin 3 t
x(t ) ¯
4. Calcula les primitives següents:
C`
a)
x(0) 4 l 4 4 C ` l C ` 0
x(t ) 4 cos 3t cm
b)
Avaluació
x2
f ( x ) x i g `( x ) cos 3 x l f `( x ) 1 i g( x ) x
1. Donada ƒ(x) (2x 1) e , determina la funció g(x) tal
que g’(x) ƒ(x) (és a dir, una primitiva de ƒ(x)) i que el seu
gràfic passa pel punt (0, 2).
x sin 3 x
3
x sin 3 x
3
¯ x • cos(3 x ) dx 2
Les funcions primitives de ƒ(x) (2x 1) e(x x) són de la forma
g(x) e(x x) C, on C és qualsevol constant. Si es demana que
el seu gràfic passi pel punt (0,2) cal que 2 g(0) e0 C; d’on
es dedueix que C 1 i g(x) e(x x) 1.
2
2
c)
2. Donada la funció ƒ(x) cos x
cos3 x:
a) Troba la seva integral indefinida. Indicació: recorda que
sin2 x cos2 x 1.
1
sin 3 x dx 3¯
1
cos3x C
9
sin 3 x
3
?
5
MATEMÀTIQUES 2
j Unitat 5. La integral
83
u2
Activitats
3. Considera la funció:
1. Representa gràficament la funció f(x) x2 8x en l’interval [0, 4]. Calcula les sumes inferior i superior per estimar
l’àrea sota la corba en aquest interval. Pots prendre n 8.
de l’exemple 1. Fes una partició de l’interval [0, 3] en 12 subintervals. Calcula la suma de les àrees inferior i superior.
Comprova que l’estimació feta abans és correcta.
f(x) x2
8x
8,08
La mitjana de les dues sumes és: A 7,515 u2.
4. Representa gràficament la funció següent: f(x) ex. Expressa la integral definida de f(x) en l’interval [0, 1]. EnUna estimació és la mitjana d’aquests valors:
cara que no sabem calcular la integral
, coincideix
aquesta integral amb l’àrea entre la corba i l’eix OX en el
mateix interval? Raona la teva resposta.
2. Calcula, en l’interval [0, 4], l’àrea sota la gràfica de la funció f(x) x 5. Fes-ne una gràfica i justifica per què pots
calcular exactament aquesta àrea.
f(x) x
f(x) ex
5
f(x) ex
i l’àrea no coincideix amb la integral.
5
84
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5. Utilitza les propietats lineals c) i d) de la integral definida
per expressar
b)
0
com a suma d’integrals.
c)
0
La primitiva per parts dues vegades:
0
6. L’expressió
0
0
no és una integral, encara que ho sembli.
Explica el perquè d’aquesta afirmació.
La funció
no és contínua a [ 1, 1] i, per tant, no
existeix la integral en aquest interval.
d)
7. Raona la certesa o no de cadascuna de les sumes següents:
a)
La igualtat és falsa. Cada una de les integrals sumants és 0 i
la suma diferent de 0.
b)
La igualtat és certa. El primer sumant és 0, però els altres
dos corresponen a intervals consecutius com el de la integral
suma.
e)
8. Troba la derivada de cadascuna de les funcions següents:
f)
La derivada de cada funció és la funció a integrar. N’hi ha prou
de canviar la t per x.
g)
9. Calcula les integrals següents:
a)
2186
7
5
MATEMÀTIQUES 2
85
12. Calcula l’àrea entre la gràfica de la funció f(x) x3
l’eix OX.
h)
3x i
La funció talla l’eix 0X en els punts:
Cal dividir el numerador pel denominador:
i presenta simetria imparella i l’àrea es pot expressar:
13. Calcula l’àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les
funcions f(x) x2 i g(x) x2 8.
Punts d’intersecció: f(x) g(x) l x2 10. Calcula
x2
8lx
2
i l’àrea sota la corba de la funció
f(x) cos x dx en l’interval [0, ]. Coincideixen els dos resultats? Raona la teva resposta.
14. Representa gràficament les funcions f(x) x2
g(x) . Calcula l’àrea de la regió compresa entre les dues
gràfiques.
No coincideixen els dos resultats ja que en l’interval [0, ] la
funció f(x) cos x canvia de signe.
11. Expressa i calcula l’àrea entre la gràfica de la funció
f(x) (x 1) (x2 x 6) i l’eix OX.
La funció talla l’eix 0X en els punts x 2, x 1, x 3
Punts d’intersecció:
x0
x
u
4x i
5
2
86
5
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
15. Representa gràficament la funció f(x) ln x en l’interval
[1, e]. Calcula l’àrea sota aquesta corba en aquest interval.
18. Calcula el volum que genera la paràbola y x2 en girar a l’entorn de l’eix OX en l’interval [0, 3]. Fes-ne la representació
gràfica.
16. La funció f(x) x2 x4 presenta simetria parella en la seva
gràfica. Pots comprovar-ho. Calcula l’àrea sota aquesta corba
i l’eix OX. Pots fer-ho calculant només una integral? Fes-ho
així i t’estalviaràs càlculs.
19. Dibuixa la gràfica de la funció f(x) sin x en l’interval [0, ].
Calcula el volum del cos que genera en girar a l’entorn de
l’eix de les abscisses.
f(x) talla l’eix 0X en els punts: x 1, x 0 i x 1. Per la simetria parella de la funció l’àrea es pot expressar per:
17. Calcula l’àrea ombrejada de la figura. Les funcions representades són:
g(x)
x2
2x
20. Considera la recta d’equació y 2x en l’interval [0, 2]. Si
gira a l’entorn de l’eix de les abscisses, quin cos genera? I
si consideres que ho fa en l’interval [1, 3], de quin cos es
tracta? Calcula el volum de cadascun d’aquests cossos.
La funció y 2x en l’interval [0,2] genera un con i en l’interval
[1, 3] un tronc de con.
Volum del con:
Intersecció de les gràfiques:
Volum del tronc de con:
Cal calcular també l’àrea en l’interval
21. Expressa i calcula el volum del cos generat per una circumferència de centre (3, 0) i radi 5.
El cos generat és una esfera i el seu volum només depén del
radi. Podem situar la circumferència centrada a l’origen de coordenades:
MATEMÀTIQUES 2
5
87
4. Calcula les integrals següents:
5
V 2P ¯ (25
0
§
x 2 )dx 2P ¨25 x
©
5
x3 ¶
500 P 3
u
3 ·¸0
3
Activitats finals
a)
b)
1. Calcula la derivada de F(x) .
F ’(x) 0 ja que F(x) és una constant.
2. Calcula F’(1) si F(x) .
c)
F ’(1) 0. En substituir x per 1, F és una constant.
3. Tenim una funció y f(x) de la qual l’única cosa que sabem és que la seva gràfica és aproximadament la que s’indica a la figura. Fes un esquema senzill de la gràfica de la
funció
d)
. Raona molt detalladament la
resposta.
5. Calcula:
e
. Per trobar una primitiva és necessari que
apliquis el mètode d’integració per parts dues vegades.
6. Troba una primitiva de la funció
i calcula la integral d’aquesta funció en l’interval [3, 5].
Cal dividir el numerador pel denominador:
g’(x) f(x). La gràfica de la figura de l’enunciat és la de g’(x) i
la que donem és la de g(x). En els punts x 0, x 2 i x 4 hi
ha extrems relatius.
5
88
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
dx utilitzant el canvi de variable: x 2 sin t.
7. Calcula
La primitiva:
Preu:
11. Calcula l’àrea limitada per la gràfica de la funció següent
y x2 3x i l’eix OX.
Les interseccions amb l’eix 0X són: x 0 i x 3
x1 2 l t P
2
x2 0 l t 0
8. Fent el canvi de variable u(x) ex, calcula la integral:
12. Calcula l’àrea determinada per la funció f(x) x3
de les abscisses.
x i l’eix
Punts d’intersecció amb l’eix 0X:
x3
x0
x 0, x 1
La funció presenta simetria imparella.
9. Calcula l’àrea compresa entre la gràfica de la funció
f(x) , l’eix de les abscisses i les ordenades corresponents
a x 1 i x 2.
13. Troba els punts de tall amb l’eix de les abscisses de la funció
f(x) x3 2x2 5x 6 i expressa i calcula l’àrea compresa
entre la gràfica de la funció i aquest eix.
Punts de tall: f(x) 0 l x 2, x 1 i x 3
10. En una comarca un riu adopta la forma de la funció
f(x) x3
x2
x i és tallat per un camí que té la direcció
positiva de l’eix OX. Prenent com a unitat el km, calcula el
valor del camp comprès entre el riu i el camí si el preu és de
300 l’hectàrea.
5
MATEMÀTIQUES 2
14. Representa gràficament la funció f(x) (x 2) ex en l’interval [2, 3]. Calcula l’àrea sota aquesta corba en aquest
interval.
89
No es pot calcular l’àrea en l’interval [0,2] perquè la funció
f(x) ln x no és contínua a x 0.
18. Calcula l’àrea entre la gràfica de la funció f(x) 2x ln x en
l’interval [a, 1]. Pot ser a un nombre negatiu? I a 0? Per
què?
4
3
2
1
4
3
2
1
Cal fer la primitiva per parts:
1
2
3
4
1
2
e
3
La primitiva per parts:
Cal que a > 0 ja que no existeixen el logaritme de a < 0 i de
a 0.
19. Representa gràficament la funció f(x) sin x en l’interval
[
L’àrea és
, ]. Raona quin és el valor de la integral
sense calcular-la.
15. Fes la gràfica de la funció f(x) sin x en l’interval [0, 2 ] i
calcula l’àrea compresa entre aquesta gràfica i les ordenades
corresponents a x ix
2
1
.
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1
–2
–3
16. Calcula l’àrea entre la corba
x
i les rectes x 0,
, ja que f(x) sinx és una
El valor de la integral:
funció que presenta simetria imparella en aquest interval.
i l’eix OX.
20. Demostra que no és necessari calcular la primitiva de la integral següent:
Estudia la simetria que pot presentar la gràfica de la funció
que s’ha d’integrar.
17. Considera la funció f(x) ln x. Calcula l’àrea sota aquesta
corba en l’interval [1, 2]. Pots fer el mateix en l’interval
[0, 2]? Raona’n la resposta.
La funció
l’interval [ 1, 1], és a dir,
presenta simetria imparella en
f(x) < 0 a [ 1, 0) i f(x) > 0 a (0, 1]
i, per tant, la integral és 0.
5
90
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
21. Demostra que l’àrea d’un cercle de radi r és donada per
A r2. Per fer-ho considera una circumferència centrada a
l’origen de radi r de la qual només tindràs en compte la semicircumferència positiva. Calcula l’àrea sota aquesta corba
i tindràs l’àrea del semicercle de radi r.
23. Troba l’àrea de la zona limitada per les funcions f(x) x3 i
g(x) 2x. Fes-ne una gràfica.
Circumferència:
Àrea del semicercle:
Canvi de variable:
L’àrea està formada per dues regions iguals:
Àrea del cercle:
24. Troba l’àrea compresa entre les funcions
22. Determina els valors de a, b i c en el polinomi
P(x) ax2
bx
Punts d’intersecció:
c
si verifica P(1) 4, P ’(1) 8 i P(2) 15P(0) 0. Representa la funció i calcula l’àrea compresa entre la corba i
l’eix OX.
P(1) a
b
P ’(1) 2a
c4
b
b8
15P(0) 4a
P(2)
P ’(x) 2ax
2b
c
15c 0
25. Representa les funcions y sin x i y cos x en una mateixa
En resoldre el sistema s’obté:
gràfica en l’interval
dues funcions en aquest interval.
a 3, b 2 i c 1
P(x) 3x2
2x
1 és una paràbola que talla l’eix 0X en els
punts
A
¯
1
3
1
(3 x 2
2 x 1)dx ;x 3
. Calcula l’àrea compresa entre les
1
x 2 x= 31 32 2
u
27
5
MATEMÀTIQUES 2
Les dues funcions es tallen en
donant dues regions
91
Interseccions:
d’àrees A1 i A2:
28. Troba el valor de a 0 si sabem que l’àrea entre la paràbola y x2 ax i la recta y x 0 és 36 u2.
Interseccions de les dues gràfiques:
x2
ax x l x2
ax
x 0 i x1 0 i x2 (1
a)
26. Representa les funcions y ex i y e x en una mateixa gràfica.
Calcula l’àrea limitada per les dues corbes i la recta x 1.
29. Calcula l’àrea del recinte limitat pels gràfics de les dues funcions següents: f(x) x3 2x, g(x) x2, quan considerem
només valors de x 0.
e
e
1
2
1,086 u2
27. Calcula l’àrea del recinte limitat per les dues paràboles
d’equacions:
y x2
2x i y x2
4x
f(x) g(x)
x3
2x x2
x1 0, x2 2 i x3 1
En la regió negativa és l’interval: [ 1, 0]
d
92
5
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
30. Considera un recinte tancat limitat per la paràbola d’equació
y x2 1 i la recta horitzontal d’equació y a, on a és un
número més petit que 1. Determina el valor de a per tal que
l’àrea d’aquest recinte valgui
33. Considera la corba d’equació 4x2 y2 1. Defineix la funció
y f(x) associada a aquesta funció. Quin és el seu domini?
En aquest domini, calcula el volum del cos que genera en
girar a l’entorn de l’eix OX.
u2.
Avaluació
Interseccions:
1. Calcula
Fent el canvi immediat t lnx la integral es converteix en
que val .
2. Considera la regió S del pla limitada per la paràbola y 3x2
i la recta y 3 representada en l’esquema següent:
y
3
31. Calcula el volum de l’el·lipsoide generat per l’el·lipse
d’equació
jor.
A
B
1 en girar a l’entorn del seu eix ma-
x
En l’equació de l’el·lipse
O
Siguin A i B els punts d’intersecció de la recta i la paràbola, i
T el triangle que té per vèrtexs A, B i l’origen de coordenades
(0, 0). Calcula l’àrea de la regió que resulta quan es treu el
triangle T a la regió S.
32. Calcula el volum generat per la funció f(x) x3
a l’entorn de l’eix OX en l’interval [0, 2].
Els punts A, B d’intersecció entre la recta i la paràbola són:
1 en girar
Calculem l’àrea d’intersecció entre la paràbola i la recta entre els
punts x 1 i x 1. Com que la superfície és simètrica respecte
l’eix d’ordenades, calculem només la meitat de l’àrea:
5
MATEMÀTIQUES 2
L’àrea total de la intersecció, per tant, és S 2 2 4 u2.
t
93
o bé es pot calcular obtenint l’expressió analítica de ƒ(x):
L’àrea del triangle que formen els punts A, B i l’origen de coordenades és
.
Per tant, l’àrea de la regió que resulta quan es treu el triangle T
.
a la regió S és
3. Considera la funció ƒ(x) de la figura definida a l’interval [0, 2].
4. Considera la funció ƒ(x)
a) Calcula el valor de m per tal que l’àrea del recinte limitat
per la gràfica de la funció, l’eix OX i les rectes x 0 i
x 2 sigui de 10 u2.
La funció es manté positiva per sobre de l’interval [0,2] per.
què per a x ≥ 0 i m ≥ 0 forçosament
a) Calcula la funció derivada ƒ’(x) a l’interval (0, 2)
El pendent del primer tram, entre 0 i 1, és 1. El pendent del
segon tram, entre 1 i 2, és 1/2. Per tant,
Alternativament es pot raonar que ƒ(x) es manté positiva a
l’interval [0,2] perquè ƒ(0) 1 i ƒ’(x) 3x2 2mx q 0 per
a x Œ [0,2] (recordem que m ≥ 0).
En conseqüència, l’àrea del recinte que ens diu l’enunciat
és:
b) Hi ha algun punt de (0, 2) en el qual ƒ’(x) no existeixi?
Evidentment, ƒ’(x) no existeix per a x 1, perquè en el punt
(1, 1) la gràfica de ƒ(x) no té tangent. Alternativament es
pot argumentar que en el punt x 1, la derivada de ƒ(x) per
l’esquerra és 1 i per la dreta 1/2.
c) Calcula
ƒ(x) dx.
b) Per a m 1, indica el punt o els punts on la recta tangent
a la gràfica de la funció forma un angle de 45° amb el
semieix positiu de OX.
Per a m 1 la funció és f(x)
Raona totes les respostes.
La integral demanada es pot calcular com la suma de les
àrees del triangle per sobre de (0, 1) i del trapezi per sobre
de (1, 2):
u2
.
El pendent de la recta tangent que ens diuen ha de ser igual a
1. Per tant, el punt o punts que ens demanen han de ser aquells
on f’(x)
. O sigui
Els punts en qüestió són ( 1, 1) i
i
.
.
94
6
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Bloc 2. Matrius i sistemes
j Unitat 6. Vectors a l’espai
Activitats
1. Indica en cada cas com identificaries a partir de les seves
coordenades:
3. Digues les coordenades dels punts següents:
a) El punt P que es troba a l’eix X a distància 3 de l’origen
de coordenades en el sentit negatiu de l’esmentat eix.
P( 3, 0, 0)
b) El punt Q que es troba en el pla YZ a distància 5 de l’origen de coordenades i tal que el vector OQ forma un angle
de 30° amb el sentit positiu de l’eix Y.
a) Un punt de l’eix X.
( x , 0, 0), x , y , z ΠR.
b) Un punt de l’eix Y.
(0, y , 0), x , y , z ΠR.
c) El punt R situat en el pla XZ a distància 4 de l’origen i tal
que la recta que passa per O i per R forma un angle de 60°
amb el sentit positiu de l’eix Z.
c) Un punt de l’eix Z.
(0, 0, z), x , y , z ΠR.
d) Un punt del pla XY.
( x , y , 0), x , y , z ŒR.
e) Un punt del pla XZ.
( x , 0, 0), x , y , z ΠR.
4. Donat el vector v (2, 4, 3), dibuixa en uns eixos de coordenades el seu representant que té per origen el punt A(3, 2, 4).
Quines són les coordenades de l’extrem d’aquest vector?
Si B(x, y, z), v AB l (2, 4, 3) (x
2x
4y
3z
3, y
2, z
4)
3lx5
2ly6
4lz7
f) Un punt del pla YZ.
(0, y, z) amb y i z ΠR.
L’extrem del vector v és el punt B(5, 6, 7).
2. Dibuixa uns eixos de coordenades i representa-hi els punts
següents:
A(5, 3, 2); B( 4, 6, 3); C(0, 0, 6); D(2, 5, 0)
5. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun
dels vectors següents:
a) AB amb A( 3, 1, 5) i B(2, 4, 1)
AB
AB
6
MATEMÀTIQUES 2
10. Dos vectors oposats tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i sentits contraris. Quina relació s’estableix entre els components de dos vectors oposats? Determina els components i
el mòdul del vector oposat del vector v ( 1, 3, 4).
b) CD amb C(0, 4, 1) i D( 3, 5, 6)
CD
CD
Els components respectius de dos vectors oposats són nombres
reals que també son oposats.
c) EF amb E(1, 1, 3) i F( 2, 3, 1)
EF
95
EF
d) GH amb G( 6, 10, 3) i H( 5, 8, 1)
GH
11. Donats els punts A(2, 4, 5) i B(4, 6, t), calcula els valors de
t sabent que |AB | 3.
GH
6. Representant el vector v (2, 6, 1) amb origen al punt M,
s’obté el punt N(1, 0, 4). Determina les coordenades de M.
AB
AB
Anomenem M(x, y, z).
AB
Si v MN , es verifica:
(2, 6, 1) (1 x, y, 4 z)
L’activitat té dues solucions possibles.
Per tant:
21 x lx 1
6 y ly6
1 4 zlz 3
12. Considera un punt P i el vector QR (2, 3, 5). Si les coordenades de Q són (1, 2, 1) i el vector posició del punt P és
equipol·lent al vector QR , troba les coordenades dels punts
P i R.
M( 1, 6, 3)
Les coordenades del punt P són (2, 3, 5).
7. Quins són els components del vector nul? I el seu mòdul?
O
Anomenem (x, y, z) les coordenades del punt R. Es compleix la
igualtat:
(2, 3, 5) (x
1, y
2, z
1)
O
8. Els vectors PQ i RS són equipol·lents. Si P(0, 1, 3),
Q(3, 4, 1) i S( 4, 2, 1), esbrina les coordenades del punt R.
Anomenem R(x, y, z)
PQ RS l (3, 5, 2) ( 4 x, 2
3 4 xlx 7
5 2 yly 7
21 zlz3
y, 1
z)
R( 7, 7, 3)
2x 1lx3
3y 2ly 1
5z 1lz4
Les coordenades del punt R són (3, 1, 4).
13. Donats els vectors a (2, 4, 5), b ( 5, 7,
c ( 5, 2, 3), troba els components dels vectors:
a) a
b
a
b
b) 3a
a
9. Els punts P, Q, R i S de l’activitat anterior determinen un
paral·lelogram? Raona’n la resposta.
Sí, perquè si els vectors PQ i RS són equipol·lents, també ho
són els vectors PR i QS . Per tant, unint mitjançant segments
els punts P, Q, R i S s’obté un quadrilàter que té els costats
iguals i paral·lels dos a dos.
c)
d) a
a
c
c
2b
2c
b
c
( a
3b
a
b
3c )
c
(c b )
c b
a
c
b
1) i
6
96
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Si a és un vector de l’espai i k, h Œ R, demostra que es verifica:
e) e
a)
u
e
f)
u
17. Si el vector v
b)
a
és unitari, quins valors pot
tenir v3?
a
a
v
a
18. Si s
a
b , es verifica s
a
b.
a) Interpreta geomètricament aquesta desigualtat.
15. Els vectors p ( 2, 3, 1) i q (4, 6, 2), tenen la mateixa
direcció? I el mateix sentit? Quina relació hi ha entre els
seus mòduls?
Tenen la mateixa direcció i sentit contrari, ja que es verifica que
q 2p , o, el que és el mateix, p
q
p
p
q . Per tant:
q
16. Determina el vector unitari en la direcció i sentit de cadascun dels vectors següents:
a)
Si i tenen direcció diferent, els segments que representen
els vectors , i determinen un triangle. Per tant, qualsevol dels costats d’aquest triangle ha de ser més petit que la
a
suma dels altres dos costats. En particular, s
b.
b) Indica en quin cas particular es verifica la igualtat.
Si i tenen la mateixa direcció i el mateix sentit, es coma
pleix la igualtat s
b.
19. Demostra que el conjunt de totes les funcions reals que
s’anul·len en el punt x0, amb les operacions habituals de
suma de funcions i producte d’un nombre real per una funció, té estructura d’espai vectorial.
Si f, g ΠF, (f
g) (x0) f(x0)
g(x0) 0
00lf
g ΠF.
Si f Œ F i L Œ R, (Lf)(x0) L f(x0) L · 0 0 l Lf Œ F.
L’element neutre 0(x) 0 pertany a F, ja que 0(x0) 0.
b) b
b
u
Si f Œ F, existeix l’element oposat f Œ F, ja que
( f)(x0) f(x0) 0 0.
20. Considera els vectors següents:
c) c
v (2, 1, 3) i w ( 1, 3, 2)
c
u
d) d
d
u
Troba el vector x ΠV3 que verifica 3x
2w v .
MATEMÀTIQUES 2
21. Considera un vector no nul v ΠV3. Prova que el conjunt de
vectors de V3 de la forma k · v , k Œ R amb les operacions
suma i producte per un nombre real té estructura d’espai
vectorial. No oblidis que (V3, , ·) ja és un espai vectorial.
Interpreta geomètricament el conjunt de vectors estudiat.
6
97
25. Donats els vectors {v 1, v 2, …, v n}, indica raonadament si són
certes o falses les afirmacions següents:
a) Cada vector v i és combinació lineal de tots ells.
Cert, perquè, per exemple:
a)
b)
El conjunt S està format per tots els vectors que tenen la
mateixa direcció.
22. Troba els nombres reals L1 i L2 que verifiquen la condició
L1(2, 3) L2( 1, 2) (0, 0).
23. Donats els vectors v 1 ( 3, 1, 5), v 2 (2, 5, 3) i
v 3 (4, 0, 1), troba en cada cas el vector que resulta de
fer-ne les combinacions lineals següents:
a) v 1
3v 2
v3
b) 2v 1
v2
3v 3
b) El vector 0 també és combinació lineal d’aquests vectors.
Cert, perquè:
26. Donats dos vectors no nuls de V3, quina condició geomètrica
s’ha de verificar perquè un d’ells sigui combinació lineal de
l’altre? Quina relació cal que hi hagi entre els respectius
components d’aquests dos vectors? Passa el mateix amb dos
vectors no nuls de V2?
Els dos vectors han de tenir la mateixa direcció, és a dir, s’han
de situar sobre la mateixa recta o sobre rectes parel·leles.
Els components respectius d’aquests vectors han de ser
proporcionals:
Amb dos vectors no nuls de V2 passa exactament el mateix.
c) 2(v 1 2v 2)
d) 3v 1
(v 2
4v 3
2v 3)
27. Esbrina si són linealment dependents o linealment independents els conjunts de vectors següents:
a) a 1 (2, 1, 3) i a 2 linealment dependents.
24. Expressa el vector v (2, 4, 1) en combinació lineal dels
vectors v 1 (1, 2, 3), v 2 (4, 1, 2) i v 3 (1, 0, 0).
b) b 1 ( 1, 0, 2), b 2 (2, 0, 4) i b 3 (3, 1, 5)
linealment dependents.
c) c 1 (1, 2, 4), c 2 (0, 2, 1) i c 3 ( 1, 3, 0)
La solució del sistema és L1 1, L2 2 i L3 9.
El sistema no té solució l linealment independents.
6
98
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d) d 1 (1, 3), d 2 (2, 1) i d 3 ( 4, 9)
Es compleix que
l els punts A, B i C se situen en
la mateixa recta.
31. Sabem que els punts P, Q i R estan alineats. Si P(1, 2, 3) i
Q(4, 1, 5), determina les coordenades x i y del punt R sabent
que la seva coordenada z és 9.
L1 2; L2 3; l linealment dependents.
Anomenem R(x, y, 9).
e) e 1 (1, 0, 0), e 2 (0, 1, 0), e 3 (0, 0, 1) i
e 4 (2, 3, 5)
L1 2; L2 3; L3 5 l linealment dependents.
28. Existeix algun valor de k que faci que els vectors v 1 (3, 2, 2)
i v 2 (6, 4, k) siguin linealment dependents? Justifica la
resposta.
No, perquè independentment del valor de k,
.
29. Troba p perquè els vectors següents: u 1 (1, 2, 3),
u 2 (3, 0, 4) i u 3 (2, 1, p) siguin linealment dependents. Per a quins valors de p aquests mateixos vectors són
linealment independents?
Les coordenades del punt R són (10, 7, 9).
32. Comprova que els vectors v 1 (1, 2, 1), v 2 (2, 1, 0) i
v 3 ( 1, 3, 1) són linealment independents. Expressa el
vector w (5, 2, 3) en combinació lineal dels vectors
v 1, v 2 i v 3.
Per tant,
Si p l vectors linealment dependents.
Si p ≠
l vectors linealment independents.
30. Justifica que si A, B i C són tres punts de R3 i els vectors
AB i BC són linealment dependents, aleshores aquests
tres punts estan alineats. Esbrina si els punts A(3, 4, 1),
B(2, 1, 4) i C(0, 5, 10) es troben sobre la mateixa recta.
Si els vectors AB i BC són linealment dependents, vol dir que
tenen la mateixa direcció. Per tant, els punts A, B i C han d’estar
alineats.
33. Donats els vectors v (6, 4, 2) i w ( 3, 2, 1):
a) Troba el valor de L que verifica v L · w.
b) Comprova després que |v | |L| · |w|.
Efectivament, es compleix que
.
MATEMÀTIQUES 2
34. Indica raonadament si són certes o falses les afirmacions
següents:
a) En V2, qualsevol conjunt format per dos vectors linealment independents és base.
Certa.
b) En V3, qualsevol conjunt format per dos vectors linealment independents és base.
6
99
37. Els components del vector v en la base formada pels vectors
v 1 (1, 2, 1), v 2 (2, 1, 0) i v 3 ( 1, 3, 1) són (2, 3, 4).
a) Expressa el vector v en combinació lineal dels vectors
v 1, v 2 i v 3.
b) Troba els components de v en la base canònica.
Falsa.
c) Si la dimensió d’un espai vectorial V (dim V) és n, n 1
vectors d’aquest espai sempre són linealment dependents.
Certa.
d) Tant en V2 com en V3, una recta que contingui l’origen és
un subespai vectorial de dimensió 1.
38. Per a quins valors de t els vectors u 1 (3, 4, t), u 2 (1, 1, 2)
i u 3 (0, 2, 1) formen una base de V3?
Els tres vectors han de ser linealment independents.
Certa.
e) En V3, un pla és un subespai vectorial de dimensió 2.
Falsa.
35. Esbrina si els vectors v 1 (1, 0,
v 3 (0, 2, 3) són base de V3.
3), v 2 (2,
1, 1) i
Si la resposta és afirmativa, troba els components del vector
v (3, 2, 4) en aquesta base.
L1 , L2 Els vectors v 1, v 2 i v 3 són base de V3, ja que són linealment
independents.
Els vectors u 1, u 2 i u 3 són base si
.
39. Els punts A(1, 2, 1), B(0, 0, 1), C( 2, 1, 3) i D(1, 1, 4)
són coplanaris?
Els punts A, B, C i D no són coplanaris, perquè, per exemple els
vectors AB , AC i AD són linealment independents.
Els components de v en la base
són
.
36. Considera un vector v ΠV2 els components del qual en la
base B {v 1, v 2} són (3, 2). Es demanen els components
d’aquest mateix vector en la base B’ {u 1, u 2}, sabent que:
v 1 4u 1
u2 i v 2 u1
Els components de v en la base
3u 2
El sistema no té solució l els tres vectors són linealment independents.
són (10,3).
100
6
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
40. En la base B {(1, 1, 2), (3, 1, 4), (5, 2, 0)}, els components d’un vector v són (2, 3, 0). Determina els components d’aquest mateix vector en la base canònica i en la base
B’ {(1, 0, 2), (2, 3 1), ( 2, 1, 0)}.
43. Donat el punt V(3, 5, 7), calcula les projeccions ortogonals
del vector v OV sobre els eixos de coordenades.
Sobre l’eix 0X, 3; sobre l’eix 0Y, 5; sobre l’eix 0Z, 7.
44. Considera el vector v (3, 4, 5). Calcula els angles que forma amb els sentits negatius dels tres eixos de coordenades.
Angle que forma el vector (3, 4, 5) amb el vector ( 1, 0, 0):
Angle que forma el vector (3, 4, 5) amb el vector (0, 1, 0):
La solució del sistema és
.
Per tant, els components del vector v en la base B són
Angle que forma el vector (3, 4, 5) amb el vector (0, 0, 1):
.
41. Ens diuen que els components d’un vector v en la base
B {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)} són (2, 1, 2) i
que els components d’aquest mateix vector en la base
B’ {(2, 1, 0), (0, 0, 1), ( 1, 1, 0)} són (1, 0, 2). És
això possible? Per què?
45. v i w són dos vectors de mòduls respectius 2 i 4. Sabent que
formen un angle de 60°, calcula k perquè el vector v kw
sigui perpendicular a v .
En el primer, els components del vector v en la base canònica
són:
I en el segon cas, són:
Això no és possible, ja que si fos així, obtindríem dues ternes de
components diferents per al mateix vector v en la base canònica, i això no té cap sentit.
46. Sabem que els vectors v (2, 1) i w (w1, w2) són ortogonals.
a) Quina condició verifiquen els components del vector w?
42. Justifica cadascuna de les afirmacions següents:
a) Si el producte escalar de dos vectors és positiu, l’angle
que formen és agut i si és negatiu, l’angle és obtús.
b) Troba el vector w sabent que el seu mòdul és 5 i analitza
les solucions obtingudes.
Hi ha dues solucions que són dos vectors oposats:
b) Si dos vectors tenen la mateixa direcció i sentit, el producte escalar d’aquests dos vectors és igual al producte
dels seus mòduls.
c) Si dos vectors tenen la mateixa direcció i sentit contrari,
el producte escalar d’aquests dos vectors és igual al producte dels seus mòduls amb signe negatiu.
47. Resol les mateixes qüestions de l’activitat anterior, amb els
vectors v (1, 2, 1) i w (w1, w2, w3) Œ V3 i |w| 5. Comenta les diferències que has trobat en relació amb l’activitat anterior i fes-ne una interpretació geomètrica. Et
solucionaria el problema si et diguessin que el vector w es
troba en el pla YZ? Per què?
Si v i w són perpendiculars:
6
MATEMÀTIQUES 2
101
3z 6lz9
B(2, 1, 9)
En aquest cas, no és possible determinar el vector w que ens
demanen, ja que el sistema:
té infinites solucions. Hi ha, per tant, infinits vectors w de
mòdul 5 que són perpendiculars al vector v .
Si w es troba en el pla YZ, w1 0 i, per tant, sí que es pot determinar el vector. De la mateixa manera que en l’activitat anterior,
s’obtenen dos vectors oposats:
b) Les coordenades del seu origen C si té l’extrem en el punt
D(0, 4, 2).
Anomenem C(x, y, z)
v CD l ( 2, 4, 3) ( x, 4
2 xlx2
44 yly0
3 2 zlz 5
C(2, 0, 5)
y,
2
z)
c) Els components del vector unitari que té la mateixa direcció que el vector v i sentit contrari.
Activitats finals
1. Determina les coordenades dels punts següents:
a) El punt P que es troba a l’eix Z a distància 5 de l’origen de
coordenades en el sentit negatiu d’aquest eix.
3. Troba una expressió que et permeti calcular les coordenades
del punt mitjà del segment d’extrems els punts A(a1, a2, a3)
i B(b1, b2, b3).
Anomenem M(x, y, z) aquest punt. Es verifica: AM MB
P(0, 0, 5)
b) El punt Q que es troba en el pla XY a distància 6 de l’origen de coordenades i tal que el vector 0Q forma un angle
de 210° amb el sentit positiu de l’eix X.
c) El punt R situat en el pla XZ a distància 4 de l’origen de
coordenades i tal que les projeccions ortogonals del vector 0R sobre els eixos X i Z siguin iguals. Hi ha més d’un
punt que verifiqui aquestes condicions?
Hi ha 4 punts que verifiquen la condició de l’enunciat:
4. Troba les coordenades de divisió del segment d’extrems els
punts P(3, 6, 3) i Q(9, 6, 0) en tres parts iguals.
Anomenem R i S els punts les coordenades dels quals hem de
determinar:
R(r1, r2, r3) i S(s1, s2, s3).
2. Els components del vector v són ( 2, 4, 3). Es demana:
6 3r1 9 l r1 5
12 3r2 18 l r2 2
3 3r3 9 l r3 2
a) Les coordenades del seu extrem B si se situa el seu origen
en el punt A(4, 3 , 6).
Anomenem B(x, y, z)
v AB l ( 2, 4, 3) (x
2x 4lx2
4y 3ly1
4, y
3, z
6)
6 27 3s1 l s1 7
12 18 3s2 l s2 2
3 3s3 l s3 1
Els punts són R(5, 2, 2) i S(7, 2, 1).
102
6
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5. Els punts A(3, 1, 2), B(5, 6, 4) i C(0, 4, 2) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Determina les coordenades del quart vèrtex D i indica raonadament de quin tipus
de paral·lelogram es tracta. Calcula’n l’àrea.
S’ha de verificar que AB DC . Anomenem D(x, y, z)
(2, 5, 6) ( x, 4 y, 2
2 xlx 2
54 yly 1
6 2 zlz 8
z)
b) Que tinguin diferent direcció.
Si v 1 i v 2 tenen diferent direcció, aquests dos vectors determinen un pla en què es troben tots els vectors de la forma
L1v 1 L2v 2.
8. Troba t perquè el vector v (3, 4, 1) sigui combinació lineal dels vectors v 1 (1, 4, 2) i v 2 (5, 2, t). Per a quins
valors de t aquests tres vectors formen una base de V3?
Les coordenades del quart vèrtex són D( 2, 1, 8).
Es tracta d’un rombe, ja que el paral·lelogram en estudi té els
quatre costats iguals i els seus angles no són rectes.
Es verifica:
D’altra banda, AB AD ≠ 0 l els vectors AB i AD no són perpendiculars.
Les diagonals d’aquest rombe mesuren:
i la seva àrea és:
La solució del sistema és
.
Perquè els tres vectors formin una base de V3 han de ser linealment independents, i això succeeix si t ≠
.
9. Expressa el vector v (3, 4) en combinació lineal dels vectors u 1 (1, 0), u 2 (0, 1) i u 3 (2, 0). Té solució única
el sistema que resulta? Com són entre ells els vectors u 1, u 2 i
u 3? Formen una base de V2?
6. Donats els vectors v i kv , k Œ R, estableix la relació que hi
ha entre els seus mòduls.
Aquest sistema té infinites solucions. Són de la forma:
L1 3
2L2; L2 4; L3 L3 (L3 ΠR)
Per a cada valor de L3 s’obté una solució particular del sistema.
7. Considera dos vectors no nuls v 1 i v 2 ΠV3. Prova que el conjunt de vectors de la forma L1v 1 L2v 2 amb L1 i L2 ΠR, amb
les operacions suma i producte per un nombre real, és un
subespai vectorial de V3. Fes-ne la interpretació geomètrica
considerant les dues possibilitats:
Anomenem S aquest conjunt de vectors.
Els vectors u 1, u 2 i u 3 són linealment dependents, per tant, no
formen base de V2.
10. Esbrina si els vectors v 1 (3, 5, 1), v 2 (1, 2, 1) i
v 3 (0, 1, 1) són base de V3. En cas afirmatiu, troba els
components del vector v (1, 3, 5) en aquesta base.
Els tres vectors són base, ja que són linealment independents.
a) Que v 1 i v 2 tinguin la mateixa direcció.
Si v 1 i v 2 tenen la mateixa direcció, qualsevol vector de la
forma L1v 1 L2v 2 també tindrà aquesta direcció. Els vectors
considerats se situen sobre la mateixa recta o sobre rectes
paral·leles.
Les components de v en aquesta base són
.
MATEMÀTIQUES 2
11. Els components de a en la base B {u 1, u 2, u 3} són (2, 1, 3).
Determina els components del vector a en la base
B’ {v 1, v 2, v 3} sabent que:
v 1 u1
u 3, v 2 u 1
u2
u 3 i v 3 2u 1
u3
Cal expressar els vectors de la base B en combinació lineal dels
vectors de la base B’.
6
103
14. Sabem que els vectors següents:
a (1, 2, 1) i b (b1, b2, b3)
són perpendiculars. Si el vector b es troba situat en el pla YZ
i és unitari, troba’n els components. Interpreta les solucions
obtingudes.
El vector b és del tipus b (0, b2, b3).
El sistema:
te dues solucions:
Hi ha dues solucions, són els vectors oposats:
12. Si a (1, 2, 1), b (3, 0, 4) i c ( 2, 5, 1), determina:
a) a
(2b
3c )
15. Les coordenades de dos vèrtexs consecutius d’un parallelogram són A(2, 3, 1) i B(0, 4, 3). Si el centre d’aquest
paral·lelogram es localitza en el punt P( 1, 2, 2), determina les coordenades dels altres dos vèrtexs i la mesura dels
seus angles.
Anomenem C(c1, c2, c3) i D(d1, d2, d3) aquests dos vèrtexs que no
coneixem, de manera que els vèrtexs A, B, C i D són consecutius.
Aleshores:
b) (a b ) c
P és el punt mitjà entre A i C l C( 4, 1, 3)
P és el punt mitjà entre B i D l D( 2, 8, 1)
c) a (b
c)
d) L’angle format per a i b .
c1 4; c2 1; c3 3
d1 2; d2 8; d3 1
13. Donats els vectors v 1 (3, 4, 5) i v 2 (1, 2, 3), calcula
la projecció ortogonal de v 2 sobre v 1.
Anomenem OP aquesta projecció:
Per tant, Â
104
6
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
16. Demostra que el baricentre d’un triangle de vèrtexs els punts
A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) i C(c1, c2, c3) està situat en el punt
G de coordenades:
Si sumem les dues primeres equacions del sistema, obtenim:
.
Si sumem la segona multiplicada per 4 amb la tercera, obtenim
Anomenem G(x, y, z) el baricentre. Si M és el punt mitjà del
costat AB, es compleix:
.
Per tant,
2. Considera els vectors de V 3:
a) Troba l’únic valor de k per al qual aquests vectors no són
una base de V 3.
Tres vectors de R3 no són base si no són linealment independents.
F
F
v 3 L 1v 1
F
L 2v 2
(1, 2k 1, k 3) L1 ( 1, 3, 4) L 2 (2, 1, 3)
ª1 L1 2L 2
­
«2k 1 3L1 L 2
­k 3 4L 3L
¬
1
2
Al mateix resultat s’arriba imposant que el rang de la matriu
formada pels tres vectors no sigui 3:
Avaluació
1. Donats els vectors
lk 3
(1, 1, 4),
(2, 1, 3) i
(1, 0, 0).
a) Determina si són vectors linealment dependents o independents.
Expressem
en combinació lineal dels altres dos:
b) Per a un valor de k diferent del que has trobat en l’apartat
en
a), quins són els components del vector
?
la base
El sistema no té solució, els vectors són linealment indenpendents.
b) Calcula la relació que hi ha d’haver entre els valors de a i b per
tal que el vector (a, 1, b) sigui combinació lineal de i .
és una base, el vector
Si
ment els components (1, 1, 1) .
té clara-
3. Un segment d’origen en el punt A( 1, 4, 2) i extrem en el
punt B està dividit en cinc parts iguals mitjançant els punts
de divisió A1, A2, A3 i A4. Si sabem que A2(1, 0, 2), quines
són les coordenades de B?
MATEMÀTIQUES 2
7
105
j Unitat 7. Matrius i determinants
Activitats
1. Escriu les matrius següents:
a) A (aij) on i 1, 2, 3, 4; j 1, 2, 3 per a aij i
.
j
b) B (bij) d’ordre (2, 4), sabent que bij ( 1)i
( 1)j.
4. Considera els punts A(1, 1, 1), B(2, 0, 1) i C(x, 2x, 1).
a) Calcula el valor de x que fa que els punts estiguin alineats.
c) C (cij) de tres files i tres columnes per a cij ji.
b) Calcula el valor de x per tal que els vectors
perpendiculars.
x
1
2x
siguin
0
Han de verificar que
(1, 1, 0) . (x 1, 2x
i
2. Indica els vectors que determinen cadascuna de les matrius de l’activitat anterior.
1, 0) 0
a)
10lx0
c) Si x 3, calcula l’angle entre
i
.
b)
Substituint per x 3:
c)
0,39
3. Escriu una matriu que representi 2 vectors de V2, i una altra
que representi 4 vectors de V3. Indica l’ordre de cadascuna.
Resposta oberta. Per exemple:
d) Calcula els valors de x per tal que el vector
tari.
sigui uniLa matriu A és d’ordre (2, 2) i la matriu B d’ordre (3, 4).
4. Escriu una matriu A d’ordre (3, 4).
Resposta oberta. Per exemple:
106
7
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Troba’n la matriu oposada i la matriu transposada. Comprova que la matriu oposada de la transposada és igual a
la matriu transposada de l’oposada.
7. Escriu una matriu quadrada d’ordre 4 que sigui alhora simètrica i antisimètrica. Hi ha moltes matrius que tinguin
aquesta característica?
La matriu quadrada nul·la d’ordre quatre. Només aquesta.
8. Qualsevol matriu diagonal és simètrica? I antisimètrica?
Justifica’n les respostes.
Sí, ja que si A és una matriu diagonal l tA A l A és
simètrica.
No, perquè si és una matriu diagonal, els elements de la diagonal principal no són zero, i per tant no pot ser antisimètrica.
9. Per què han de ser zero els elements de la diagonal principal
d’una matriu antisimètrica?
Perquè sigui una matriu antisimètrica, els elements de la diagonal principal han de verificar que aii aii, d’on s’obté que
aii 0.
b) Comprova que t(tA) A.
10. Tenim la matriu:
5. Donades les matrius següents:
troba els valors de x, y, z i t sabent que A B.
a) Com és aquesta matriu?
(1) 2x 4y
(2) 3z t
(3) x y z
(4) 2y 3x 4
És una matriu simètrica.
b) Troba la matriu transposada de la matriu oposada.
x 2, y 1, substituint a (3)
De (1) i (4)
t 3.
substituint a (2)
z 1, i
6. Escriu una matriu quadrada d’ordre 3 que sigui triangular
superior. Indica els vectors de V3 que defineixen la matriu.
Calcula’n la traça.
Resposta oberta. Per exemple:
c) Com són entre elles la matriu que has trobat en l’apartat
anterior i la matriu inicial?
Són oposades.
d) Es pot enunciar, en aquest sentit, alguna propietat general?
(2, 0, 0),
(3, 1, 0) i
tA 2 1 1 2
( 1, 2, 1)
En una matriu simètrica, la transposada de l’oposada coincideix amb la matriu oposada.
7
MATEMÀTIQUES 2
tEJTUSJCVUJWB
11. Donades les matrius:
A(B
(A
a) Comprova les propietats de la suma i del producte de matrius.
Suma:
tBTTPDJBUJWB
A
(B
C) AB
AC B)C AC
BC b) Prenent els valors k 2 i h 3, comprova les propietats
del producte d’un nombre per una matriu.
2(A
C) (A
107
B)
B) 2A
2B C
[2 ( 3)]A A tFYJTUÒODJBEFMFNFOUOFVUSF
A
OO
A
A
2[( 3)A] 6A essent O la matriu quadrada nul·la d’ordre tres.
1A A
tFYJTUÒODJBEFMFNFOUTJNÒUSJD
A
( A) ( A)
A O, essent
c) Amb el mateix valor de k de l’apartat anterior, comprova
les propietats de la transposició de matrius.
A
t
(A
B) tA
t
t
(2A) 2(tA) t
(AB) (tB)(tA) B
tDPNNVUBUJWB
A
BB
A
Producte:
tBTTPDJBUJWB
(AB)C A(BC) t
(A2) (tA)2 7
108
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
12. Amb les matrius de l’activitat anterior, calcula:
a) 2A
3B
La propietat és falsa.
4C
AB BA b) AB
C
No són iguals.
b) Si I és la matriu unitat, IA AI A.
c) 3A
CB
IA AI 14. Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre 2, tals que:
d) C(A
2B)
A (aij); a11 a22 1, a12 2, a21 0
B (bij); b11 b22 a12, b12 b11
1, b21 0
a) Escriu les dues matrius.
e) A3
B
A
b) Les matrius A i B commuten?
Sí, ja que AB BA f) (BC)2
c) Comprova que (A B) (A B) A2 B2. Per què creus que
passa això? Justifica’n la resposta.
(A
13. Es diu que dues matrius A i B commuten quan AB BA. Comprova, amb matrius quadrades d’ordre 3, que:
B)(A
B) A2
B2 Si commuten, vol dir que AB BA, d’on tenim que:
(A
B)(A
Respostes obertes. Per exemple:
B) AA BA
A2 B2
AB
BB A2
BA
B2 BA
15. Demostra que si A i B no commuten, aleshores
a) Una matriu diagonal commuta amb qualsevol matriu del
seu mateix ordre.
A
B
(A
B)2
A2
Si no commuten, tenim que AB
d’on:
(A
B)2 (A
B)(A
B) AA
2AB
B2
BA, i per tant BA
BA
AB
BB A2
AB
BA
2AB,
AB
B2
7
MATEMÀTIQUES 2
16. Siguin A, B i C matrius quadrades d’ordre 3 i no nul·les:
a) És possible que AB doni la matriu nul·la d’ordre 3?
Sí, ja que el producte de dues matrius no nul·les pot donar
la matriu nul·la.
20. Comprova les igualtats següents:
(t
a)
b) Si es verifica que AB AC, podem assegurar que B C?
No, AB AC
A 0iB C
AB AC 0
0, d’on B C.
A(B
109
1)(t
t2
6t
(y
x)(z
5)
5 (t
1)(t
5)
C) 0 i pot ser que
b)
x)(z
y)
17. Donades les matrius:
yz2
calcula els productes AB i (tB)·(tA).
AB (y
x)(z
x2z
xy2
y) yz2
x)(z
xz2
x2y
x2z
xz2
y2z
y2z
xy2
x2y
21. Resol les equacions:
(tB)(tA) a)
18. Calcula els determinants d’ordre 2 següents:
x3
3x2 0
x 0, x 3
a)
b)
b)
6x
4 10
x1
22. Considera els vectors de V3,
(0, 1, 3); i calcula:
( 1, 2, 1),
(2, 3, 2) i
c)
d)
19. Considera les matrius:
23. Considerant la matriu A de l’exemple 7, calcula |A| i |A*|.
Quina relació s’estableix entre els dos determinants?
Calcula |A|, |B|, |C| i |A
B
¤ 1
A ¥¥ 2
¥ 1
¦
C|.
|A| 19, |B| 26, |C| 2, |A
B
C| 17.
1 3³
¤ 2
´
0 2 ´ , A* ¥¥ 7
¥
1 4 ´µ
¦ 2
6
7
8
|A| 14, |A*| 196, |A*| |A|2
2³
0 ´´
2´µ
7
110
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
24. Sigui A (aij) una matriu quadrada d’ordre 3, definida per
aij i j 1. Troba la matriu A* i comprova que t(A*) (tA)*.
27. Desenvolupa, per la columna o la fila més adequada, els determinants:
a)
A* 3a columna
135
b)
t
(A*) (tA)* 25. Sigui B la matriu definida pels vectors
( 1, 1) de V2.
(1, 2) i
3a fila
20
2a fila
16
c)
a) Troba B*.
28. Comprova amb determinants d’ordre 3 i utilitzant la regla
de Sarrus la primera, segona i tercera propietats. Comprova
també la sisena i la desena.
b) Les matrius B i B* commuten? Justifica’n la resposta.
i B*B No, perquè BB* c) Calcula |B|, |B*|, |BB*| i |B*B|.
Resposta oberta. Per exemple:
a)
b)
|B| |B*| 3, |BB*| |B*B| 9
c)
26. Calcula el determinant
f)
a) Per la regla de Sarrus.
10
2
12
15 9
b) Desenvolupant-lo pels elements de la segona fila.
g)
( 2)
3·4
5( 1) 2
12
59
c) Desenvolupant-lo pels elements de la tercera columna.
2( 7)
5( 1) 14
59
7
MATEMÀTIQUES 2
29. Esbrina, emprant determinants, la dependència o independència lineal dels vectors següents:
a)
(3, 1, 2),
( 1, 1, 2),
111
Resposta oberta. Per exemple, deixant la 1a fila igual i canviant
les altres dues per f2’ f2 f1 i f3’ f3 f1 i desenvolupant-lo
pels elements de la segona columna nova queda:
(0, 2, 3)
linealment independents.
32. Troba el rang de les matrius següents:
b)
( 1, 1, 4),
(2, 1, 1),
( 2, 0, 2 )
a)
linealment dependents.
c)
(1, 0, 1),
( 2, 2, 1),
(1, 2, 2 )
b)
linealment dependents.
c)
d)
(1, 1, 1),
(1, 1, 1),
( 1, 1, 1 )
linealment dependents.
d)
30. Utilitzant determinants, troba els valors de a, per tal que els
vectors de V3 següents siguin linealment dependents:
a)
(1, 1, a),
(2, 3, 2),
rang A 2, rang B rang C rang D 3
(5, a, 8)
.
33. Considera la matriu
Troba els valors de a per als quals rang A
|A| 0
b)
(1, 3, 2),
(2, 1, a),
(2, 13, 13)
a2
3a
20
3.
a 1, a 2
34. Sigui A una matriu quadrada regular. Demostra:
a) Si AX B, aleshores X A 1B
b) Si XA C, aleshores X CA
31. Calcula el determinant següent, calculant només un determinant d’ordre 2:
XA C
(XA)A 1 CA 1
c) Aplica-ho a les matrius:
1
X(AA 1) CA 1
XI CA 1
X CA 1
112
7
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
¤ 5
¥ 13
X A B¥
¥¥ 1
¦ 13
1
¤ 5
¥ 13
¥
11
X CA 1 ¥
¥ 13
¥ 16
¥
¦ 13
14
13
8
13
8 ³
13 ´
´
1´
´
13 µ
3³
13 ´
´
4 ´
13 ´
7´
´
13 µ
|A 1| 35. De les matrius:
38. Troba una matriu B, tal que BA (1 2 0), essent A la matriu
de l’activitat anterior.
10 6 9 ³
B ¤¥
,
,
´
¦ 11 11 11 µ
a) Indica’n una que tingui inversa.
39. Comprova que la inversa de
La matriu A.
b) Troba aquesta inversa. Fes-ne la comprovació.
¤ 1
A 1 ¥ 1
¥
¦ 2
0³
1´
´
4µ
és A
1
Demostra que |A 1| |A|
1
¤1 0 ³
AA 1 A 1 A ¥
´
¦0 1 µ
36. Amb les matrius de l’activitat anterior, troba una matriu X
tal que AX B C.
1
X A (C
¤ 4
B) ¥ 7
¥
¦ 4
0
1
4 ³
7´
´
4 µ
37. Troba la inversa de la matriu:
i comprova-ho.
Calcula |A 1| i compara-ho amb |A|. Què observes?
¤3 1
40. Amb les matrius A ¥¥0 1
¥1 1
¦
2³
¤0 0 1 ³
´
1´ i B ¥0 1 0´ , comprova:
´
¥
¥1 0 0 ´
2 ´µ
µ
¦
(BA) 1 (A 1)(B 1) i (AB) 1 (B 1)(A 1)
7
MATEMÀTIQUES 2
Activitats finals
troba, si existeix, la matriu X:
a) 2A
j)
4. Resol l’equació següent:
XC
B
XC
3. Calcula el determinant d’una matriu quadrada A d’ordre 3,
definida per les condicions:
aij 3 (i j), aij 1 (i
1. Donades les matrius:
113
2A B
6x2
3x 0
x 0, x 1/2.
5. Demostra que les arrels del polinomi següent són 4, 8 i 12.
b)
X
3B A
X 2(A
C
C
3B) p(x) x3
112x
384 (x
4)(x
6. Calcula:
c) XB C
X C·B 1 ¤5 9 ³
¥ 4 17´
¦
µ
d) AX B
7. Troba les matrius inverses de:
X A 1·B 2. Sigui A troba una altra matriu quadrada B
d’ordre 2 tal que AB 3A.
Fes-ne la comprovació.
8)(x
12)
114
7
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
C
1
¤ 1
¥ 12
¥
1
¥
¥ 6
¥ 1
¥
¦ 6
5
6
2
3
1
3
7 ³
12 ´
´
1´
6 ´
1´
´
6 µ
11. Troba el rang de les matrius següents:
AA 1 A 1A BB 1 B 1B CC 1 C 1C 8. De les matrius:
rang A 3, rang B 2, rang C 2 i rang D 3.
12. Troba An si:
Si n és parell An I, si n és senar An A.
indica’n una que tingui inversa i troba-la.
Troba una matriu X tal que XA
La matriu A, A 1 X (2C
B 2C.
;
Avaluació
1. Un magatzem de rodes de vehicles de diferents tipus té l’estoc de components (en centenars d’unitats) donat per la
taula següent:
B)A 1 9. Les matrius:
commuten? Justifica’n la resposta.
Pneumàtics
Embellidors
Llantes
Utilitaris
3,1
0,3
2,1
Berlines
1,6
1,1
0,6
Tot terrenys
0,9
0
0,2
La quantitat de quilos de matèria necessària per a cada component és:
Acer
Cautxú
Pneumàtics
0,1
4,6
Embellidors
1
0,05
Tot Llantes
5
0
Sí, ja que AB BA 10. Decideix, segons els valors de k, el rang de la matriu:
a) Calcula el total d’acer acumulat al magatzem.
1 646 kg d’acer.
k2
5k
60
k 2, k 3
b) Calcula el total de cautxú acumulat al magatzem.
Si k 2 i k
és 2.
3, el rang és 3; i si k 2 o k 3, aleshores el rang
2 583 kg de cautxú.
8
MATEMÀTIQUES 2
2. Calcula els valors de t per als quals rang A 2, essent:
¤4 1 0 ³
A ¥¥2 3 0´´
¥3 2 t ´
µ
¦
115
b) Aplicant determinants, calcula els valors de m per tal que
els vectors (m, 3, 2), (2, 0, m) i ( 3, 1, 1) siguin linealment independents.
m2
D
9m
10
Rang A 2?
12
2 10
0
rang A
2
m2
10 0
m 1, m 10
m w 1, m w 10 l són linealment independents.
Rang A 3?
12t
9m
2t 10t
10t 0
t0
Si t 0 rang A 2.
Si t 0 rang A 3.
j Unitat 8. Sistemes d’equacions
Activitats
1. Esbrina si (0, 1, 2) és la solució d’algun dels sistemes següents:
3. Considera les matrius:
Substituim x 0, y 1 i z 2 en cada una de les equacions de
cada sistema. Si es verifiquen les tres alhora, és solució:
Troba una matriu X que compleixi A · X
A B.
La matriu X només pot ser quadrada d’ordre 2.
El problema es pot resoldre directament, fent
i efectuant A . X A i igualant a B.
S’obté el sistema d’equacions:
a)
No
b)
Sí
També es pot resoldre directament l’equació matricial:
AX
A B l AX B
A l X A-1 (B
c)
A).
Sí
La inversa de A és A 1 Ara, X A 1 (B
A) d)
4. a)Mitjançant el càlcul de determinants, dedueix la dependència o independència lineal dels vectors:
(1, 3, 2),
D( , , )
( 3, 1, 1) i
(1, 1, 1).
No
2. Aplica les propietats de l’equivalència de sistemes fins a arribar-ne a un d’esglaonat, per trobar la solució dels sistemes
següents:
0
a)
són linealment dependents.
116
8
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
ªx ­
ªx y z 0
­
­
­
l «y « 5y 1
­
­3 z 3
¬
­z 1
­¬
4
5
1
5
d)
F1, F2, F3
F1, F2’ F2
F1, F 2’, F3’’ F 3’
F1, F 3’ F3
F1
F 2’
Compatible determinat:
,
,
.
b)
4. Si en un sistema de tres equacions i tres incògnites substitueixes una equació per la que resulta de sumar les tres,
obtens un sistema equivalent? Raona la teva resposta.
ª x y z 2
ªx 0
­
­
l «y 1
«x z 1
­9 z 9
­z 1
¬
¬
Sí. La suma de les tres equacions és una combinació lineal d’elles
i el sistema que en resulta és equivalent al donat.
3. Aplica el mètode de Gauss per resoldre, si és possible, els
sistemes següents. Explica en cada cas de quin tipus de sistema es tracta.
5. Escriu dues equacions lineals amb tres incògnites. Afegeix
una tercera equació de manera que el sistema format per
aquesta i les altres dues sigui compatible indeterminat.
Construïm un sistema de manera que la tercera equació sigui
combinació lineal de les dues primeres:
a)
Posem la segona equació en primer lloc i dividim la tercera
per 2 per aplicar Gauss:
D’aquesta manera hem aconseguit un sistema compatible indeterminat. Ara canviem el terme independent de la tercera equació, i així obtenim un sistema incompatible.
6. Resol els sistemes següents en cas que siguin compatibles:
a)
el sistema és incompatible.
Posar la segona equació en primer lloc:
F1, F2, F3 F1, F2’ F2 3F1, F3’ F3 F1 Compatible indeterminat ja que F 2’ F 3’. Les solucions expressades en funció
de z, són:
b)
Posar la segona equació en primer lloc. Es pot esquematitzar
el procés representant les files de les successives matrius:
F1, F2, F3 F1, F 2’ F2 3F1, F 3’ F3 2F1
F1, F 2’ , F3’’ F 3’ 2F 2’
Compatible determinat: (5, 7, 6)
x
,y
, z.
b)
c)
Posar la tercera equació en primer lloc:
Posar la segona equació en primer lloc.
F1, F2, F3
F1, F 2’ F2
F1, F2’, F3’’ F3’
2F2’
3F1, F 3’ F3
2F1
Compatible determinat: ( 3, 3, 0).
F1, F2, F3 F1, F2’ F2
F1, F 2’, F3’’ F 3’ F2’
Compatible determinat:
2F1, F 3’ F3
,
,1
3F1
MATEMÀTIQUES 2
8
117
s’obté en orlar amb la columna de termes independents és
diferent de 0. El sistema és incompatible.
c)
Per reducció. Compatible determinat: x 37 i y 26
b)
d)
rang M 2 i rang M’ 3. Igual que l’apartat anterior.
Per reducció. Compatible determinat: x i y
9. Contesta veritat o fals a cadascuna de les afirmacions
següents:
7. Aplica el teorema de Rouché als sistemes següents i troba la
solució dels que siguin compatibles.
a) Un sistema de tres equacions i tres incògnites és sempre
compatible determinat.
És fals. Depèn dels rangs de les matrius M i M’.
a)
b) Un sistema compatible indeterminat té només dues
solucions.
És fals. Si és indeterminat té infinites solucions.
c) La matriu del sistema de dues equacions i tres incògnites
és de rang 3.
|M| 4, rang M rang M’ 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 2, 4).
És fals. Com a màxim és de rang 2, ja que només es pot considerar un determinant de segon ordre.
d) Un sistema és incompatible quan té més equacions que
incògnites.
b)
És fals. Que sigui incompatible només depèn dels rangs de
les matrius.
|M| 11, rang M rang M’ 3, per tant el sistema és compatible
determinat. Es pot resoldre per Gauss:
,
,
.
e) En un sistema compatible determinat de tres equacions
amb tres incògnites, la matriu ampliada és de rang 3.
És veritat. Coincideix amb el rang de la matriu.
c)
|M| 63, rang M rang M’ 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 4, 1)
10. Escriu els sistemes següents en forma matricial i troba’n la
solució, si són compatibles, utilitzant la matriu inversa:
a)
d)
|M| 12, rang M rang M’ 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss:
,
,
.
8. Comprova que aquests sistemes són incompatibles:
|M| 45, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar
la solució:
a)
|M| 0. Hi ha un determinant de segon ordre diferent de 0,
per tant, rang M 2 i rang M’ 3 ja que el determinant que
Solució: (2, 1, 0)
118
8
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b)
La solució és: x |M| 13, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar
la solució:
La solució és (1, 2, 3).
11. Escriu un sistema de dues equacions amb tres incògnites.
Posa’l en forma matricial. Té inversa, la matriu del sistema? És un sistema compatible i determinat? Raona les teves respostes.
i y
.
14. Comprova que els sistemes següents són de Cramer i troba’n
la solució utilitzant aquest mètode:
Per comprovar si els sistemes següents són de Cramer, calculem
el determinant $ de la matriu del sistema. Si és diferent de 0, es
pot aplicar aquest mètode. Calculem els determinants corresponents a cada incògnita, tot i que per trobar la tercera incògnita,
també podem substitur les altres dues en una de les equacions.
a)
$ 4, $x 12, $y 4 i $z 4; x Per exemple:
z
3; y 1;
1. La solució és (3, 1, 1).
En notació matricial:
La matriu M és d’ordre (2, 3), no és quadrada i no té inversa.
No es pot resoldre el sistema per aquest mètode. El sistema és
compatible indeterminat. Les dues matrius són de rang 2.
b)
$ 8, $x 40, $y 24 i $z 16. La solució és: (5, 3, 2).
12. Escriu en forma matricial el sistema:
c)
El pots resoldre utilitzant la matriu inversa? Raona la teva
resposta.
$ 5, $x 5, $y 0 i $z 5. La solució és: ( 1, 0, 1).
d)
i |M| 0, per tant, M no té inversa i no es pot resoldre el sistema
per aquest mètode.
$ 2, $x 5, $y 3 i $z 0. La solució és:
13. Resol el sistema següent en forma matricial:
,
,0 .
e)
$ 11, $x 96 i $y 10. La solució és:
,
.
8
MATEMÀTIQUES 2
f)
119
b)
$ 1, $x 5 i $y 3. La solució és: (5, 3).
$ 0.
Compatible indeterminat: (L,
15. Considera el sistema següent i mira si el pots resoldre pel
mètode de Cramer.
L,
L)
c)
$ 2, $x $y $z 0.
Compatible determinat: (0, 0, 0)
Si es considera el sistema
es pot resoldre per Cramer ja que $ 7 ≠ 0.
La solució és:
z,
z, z .
d)
$ 0.
16. Raona, i resol en cas que sigui possible, els sistemes següents pel mètode de Cramer.
a)
Compatible indeterminat: (L, 4L, L)
e)
$ 26. Es pot resoldre per Cramer. $x $y $z 0 per tenir
una columna de zeros. És compatible determinat i la solució
és la trivial: (0, 0, 0).
$ 24, $x $y $z 0.
Compatible determinat: (0, 0, 0).
18. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els
que siguin compatibles.
b)
a)
$ 0 . Es pot considerar el sistema:
|M| 0. Rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es poden
expressar: (9 4L, L, 3 3L).
b)
Compatible indeterminat i la solució: ( L, L, L).
|M| 0. Rang de M 2 i rang M’ 2. El sistema és compatible
indeterminat.
17. Resol els sistemes homogenis següents:
¤ 3 L , 19 3L , L ³
´
Solucions ¥
¦ 7
µ
7
a)
$ 6, $x $y $z 0.
Compatible determinat: (0, 0, 0)
c)
120
8
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
|M| 12. Rang M rang M’ 3. El sistema és compatible
determinat. Es pot resoldre per Cramer perquè
d)
$ |M| 12; $x 36; $y 24 i $z 24.
La solució és ( 3, 2, 2)
Si fem |M | 0
k 6. Per a k 6 el sistema és incompatible ja que rang M 2 i rang M’ 3. Per a k ≠ 6 és
compatible determinat.
d)
e)
|M| |M’| 0. Rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es
poden expressar: ( 5 7L, 3 2L, L).
Si fem |M| 0 k 8. Per a k 8 el sistema és incompatible
ja que rang M 2 i rang M’ 3. Per a k ≠ 8 és compatible
determinat.
e)
f)
|M| 3. Rang M rang M’ 3. El sistema és compatible
determinat. La solució és: (2, 2, 3).
Només serà compatible determinat si rang M rang M’ 2.
k2±
. Només és compaAixò implica que |M’| 0
tible determinat per a aquests dos valors de k. Per a valors
diferents d’aquests és incompatible.
f)
20. En una granja hi ha porcs, vaques i cavalls, en total 54 animals. El nombre de vaques representa
|M| 5. Rang M rang M’ 2. El sistema és compatible determinat. La solució és: ( 2, 3).
19. Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre k:
porcs, i el de cavalls,
del nombre de
del de vaques. Quants animals hi ha
de cada classe a la granja?
x: nombre de porcs; y: nombre de vaques; z: nombre de cavalls.
a)
Si fem |M| 0 k 3. Per a aquest valor,
rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible indeterminat.
Per a k ≠ 3 és compatible determinat.
Es pot resoldre per substitució. La solució és 24 porcs, 18 vaques i 12 cavalls.
b)
Si fem |M| 0 k 2. Per a aquest valor,
rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible indeterminat.
Per a k ≠ 2 és compatible determinat i té la solució trivial.
21. La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba
l’edat de cadascuna d’elles si saps que la del mig té 10 anys
més que la més petita, i que la més gran té tants anys com
les altres dues juntes.
x: edat més gran; y: edat del mitjà; z: edat més petita.
c)
Si fem |M| 0 k 0. Per a k 0 el sistema és incompatible
ja que rang M 2 i rang M’ 3. Per a k ≠ 0 és compatible
determinat.
Es pot resoldre per substitució. La solució és 50, 30 i 20 anys,
respectivament.
8
MATEMÀTIQUES 2
22. En un nombre de tres xifres la suma d’aquestes és 10. La
xifra de les desenes és 3 i quan s’inverteix l’ordre d’aquestes
xifres, s’obté un altre nombre que excedeix el primer en 495
unitats. Troba aquest nombre.
xyz
100x
10y
121
Activitats finals
1. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els
que siguin compatibles.
z
a)
|M| 23
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució: (1, 2, 3).
El nombre és 136.
23. L’edat d’en Pere és el doble de l’edat de la Maria. Fa 7 anys
la suma de les edats era igual a l’edat actual d’en Pere. Troba
les dues edats.
b)
|M| 18 rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució: (3, 3, 3).
x: edat d’en Pere, y: edat de Maria
c)
Solució: 28 i 14 anys, respectivament.
24. Les edats d’una nena, el seu pare i la seva àvia sumen 100
anys. Calcula aquestes edats sabent que la diferència entre
l’edat del pare i la de la seva filla és la meitat de l’edat de
l’àvia i que 14 vegades l’edat de la nena és el doble de l’edat
del pare.
|M| 2
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució: (5, 7, 1).
d)
x: edat de la nena; y: edat del pare; z: edat de l’àvia.
|M| 14
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució: (1, 5, 9).
e)
Solució: 5, 35 i 60 anys, respectivament.
|M| 30
25. D’un nombre de tres xifres sabem que:
determinat. La solució: 4, 6,
a) Sumant la xifra de les centenes amb la de les unitats
s’obté la xifra de les desenes.
b) Les tres xifres sumen 10.
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
f)
c) Si s’inverteix l’ordre de les xifres, s’obté un altre nombre
297 unitats major.
|M| 63
Calcula el nombre.
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució:
xyz
100x
10y
.
, 4, 2 .
z
g)
El nombre és 154.
|M| 95
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució: (2, 5, 3).
8
122
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c)
h)
|M| 27
rang M rang M’ 3 i el sistema és compatible
determinat; es pot resoldre per reducció o Gauss. La solució:
,
,
Són sistemes homogenis i tenen com a mínim la solució trivial. c) és compatible indeterminat ja que |M| 0. Les solucions: (0, L, L).
3. En una granja hi ha 1300 caps de bestiar distribuïts en tres
corrals de manera que la relació entre el nombre d’animals
del primer corral i el del segon és
i la relació entre el
i)
nombre d’animals del segon i tercer és
animals hi ha en cada corral.
|M| 0
rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible
indeterminat.
. Calcula quants
x: nombre de caps en el primer corral; y: nombre de caps en el
segon; z: nombre de caps en el tercer.
La solució: ( 2L , L, L)
j) El sistema següent està escrit en la forma matricial:
AX B. Per resoldre’l cal trobar la matriu de les incògnites, la qual cosa implica el càlcul de la matriu inversa A 1
si existeix. També es pot resoldre multiplicant les matrius
i escrivint el sistema en la forma més usual i resoldre’l
per qualsevol dels mètodes.
Multipliquem les matrius i obtenim el sistema:
Per substitució es resol fàcilment. La solució és 475, 450 i 375
caps de bestiar, respectivament.
4. Un constructor compra tres parcel·les i paga 150 €/m2,
180 €/m2 i 200 €/m2, respectivament. Calcula la superfície
de cada una sabent que entre les tres fan 1870 m2, que el
preu total de l’operació és de 336000 € i que el preu de la
tercera parcel·la representa les tres quartes parts del preu
de les altres dues juntes.
x: m2 de la 1a parcel·la, y: m2 de la 2a parcel·la, z: m2 de la 3a
parcel·la
rang M rang M ‘ 3
compatible determinat.
Per Cramer: $x 1; $y 7 i $z 6
La solució és 500 m2, 650 m2 i 720 m2.
5. Considera el sistema:
2. Raona per què tots els sistemes següents són compatibles.
Expressa la solució d’aquells que siguin indeterminats.
a)
b)
Troba els valors de m pels quals el sistema no és de Cramer.
Resol el sistema per aquest mètode quan m 1.
No és de Cramer si $ 0 m 3 i m 1.
Per a m 1, $ 8 i el sistema és compatible determinat.
La solució és
,
,4 .
8
MATEMÀTIQUES 2
6. Discuteix el sistema següent segons el valor del paràmetre
m. Expressa la solució general pel valor de m que el faci
compatible indeterminat.
123
Compatible indeterminat ja que rang M rang M’ 2. Una expressió de les solucions és:
,
, L . Cal resoldre
les inequacions que donen les solucions en nombres positius.
Per als valors de L tals que 0 L 1/4 les infinites solucions
són positives.
Fer |M| 0
m1 1 i m2 2
Per a m 1
rang M 1 i rang M ‘ 2
Per a m 2
indeterminat.
rang M rang M ‘ 2
sistema incompatible.
10. Per a quin valor de k el sistema és compatible? Troba’n la
solució.
sistema compatible
Es per resoldre per Gauss i s’obté:
7. Discuteix el sistema següent segons els valors de t i prova
de resoldre’l quan sigui compatible:
Resolem el sistema format per les 3 primeres equacions:
rang M rang M‘ 3 compatible determinat.
Per Cramer:
$ 6; $x 6, $y 12, $z 18
x 1; y 2; z 3
Per a t 4, rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible
indeterminat.
Les solucions:
,
,L .
Substituim aquesta solució en la 4a equació:
1 2 6k
Per a k 3 el sistema és compatible.
11. Considera les equacions:
Per a t ≠ 4 és incompatible ja que rang M 2 i rang M’ 3.
8. Un antiquari compra tres peces d’art per 2 milions d’euros.
Confia a vendre-les amb uns guanys del 20%, del 50% i del
25%, respectivament, amb la qual cosa obtindria un benefici de 0,6 milions. Però en una subhasta ha aconseguit uns
guanys del 80%, del 90% i del 85%, respectivament, fet que
li ha representat un benefici de 1,7 milions. A quin preu va
comprar cada peça?
x: preu de la 1a peça (milions €)
y: preu de la 2a peça (milions €)
z: preu de la 3a peça (milions €)
2x
3x
y z0
2y z 3
Escriu una tercera equació que, amb les dues anteriors, formi un sistema que sigui:
a) Compatible determinat.
Resoldre el sistema format per les dues equacions que és
indeterminat i escriure una tercera equació que verifiqui una
solució particular: 5x y 5z 9.
b) Compatible indeterminat.
Qualsevol combinació lineal de les dues equacions:
5x 3y 3.
c) Incompatible.
Solució: 0,5, 0,5 i 1 milions, respectivament.
9. Analitza’n la compatibilitat i resol el sistema següent. Demostra que hi ha infinites solucions que tenen els tres valors de les incògnites positius.
Com l’anterior però amb el terme independent diferent:
5x 3y 9.
12. Les tres xifres d’un nombre sumen 18. Si a aquest nombre
li restem el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres,
s’obté 594. Troba aquest nombre si sabem que la xifra de les
desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues.
xyz
100x
10y
z
124
8
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c)
rang M rang M‘ 2
El nombre és 963.
Sistema compatible indeterminat.
Prenem les dues primeres equacions:
13. Per la festa major, un noi va a tres espectacles diferents.
El primer dia va dues vegades a l’espectacle X, una al Y i
l’altra al Z, i es gasta 130 €. El segon dia va tres vegades al
X i una al Y i es gasta 180 €. El tercer dia va un cop a cada
espectacle i es gasta només 80 €. Quin era el preu de cada
espectacle?
y L, x 5
2 L , z 3x
2 L , L, 11
Solució: (5
L
4 11
5L
5 L)
16. Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre L:
X, Y, Z: preus dels espectacles, respectivament.
a)
Si L 3:
sistema compatible indeterminat
rang M rang M‘ 1
amb dos graus de llibertat.
Solució: X 50 €, Y 30 € i Z és gratis.
14. Troba l’edat de tres germans sabent que el triple de l’edat
del primer menys el doble de l’edat del segon més l’edat
del tercer fan 22 anys, l’edat del primer menys la del segon
més el doble de la del tercer fan 8 anys, i el doble de la del
primer més la del segon menys la del tercer fan 20 anys.
Si L ≠ 3 i L ≠ 6
sistema compatible determinat.
Si L 6:
sistema compatible indeterminat
rang M rang M‘ 2
amb un grau de llibertat.
x, y, z: les tres edats.
b)
Per a L 1
rang M rang M‘ 1
sistema compatible
indeterminat amb dos graus de llibertat.
Solució: 9, 3 i 1 anys, respectivament.
15. Troba la solució dels sistemes següents que siguin compatibles:
rang M 2, rang M‘ 3
Per a L 1
tible.
a)
Per a L ≠ 1 i L ≠ 1
patible determinat.
|M| |M ‘| 0
Sistema compatible indeterminat ja que
rang M rang M ‘ 2.
sistema incompa-
rang M rang M‘ 3
sistema com-
c)
Prenem les dues primeres equacions:
y L; x 3
2L; z 4
Solució: ( 3
2 L , L, 2
2x
3y 2
L
L).
b)
|M| 0
Per a L1 1 rang M rang M‘ 2 sistema compatible
indeterminat, amb un grau de llibertat.
Per a L2 patible.
rang M 2 i rang M‘ 3
Sistema incompatible.
L1 1 i L2 Per a L ≠ 1 i L ≠
rang M 2 i rang M‘ 3
sistema incom-
sistema compatible determinat.
8
MATEMÀTIQUES 2
125
3. Resol els sistemes següents:
Avaluació
1. Per a quin o quins valors del paràmetre real
d’equacions seguient
el sistema
a)
és compatible i indeterminat?
rang M 2 i rang M 3. És un sistema incompatible.
El determinant de la matriu de coeficients del sistema d’equacions val, per a cada L, 10L 14 4L2. Aquest determinant
només s’anul . la per a L 1 o per a L . En el cas que
L 1 surt un sistema incompatible, en el cas que L b)
el
sistema és compatible i indeterminat, en tots els altres casos el
sistema és compatible determinat.
Per Gauss:
2. Donat el sistema d’equacions:
a) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema
resultant sigui incompatible.
Per exemple 2x
equació.
3y
z 0, que es contradiu amb la segona
És un sistema compatible indeterminat: (1, L, 5 L).
4. (Curs 2003-04) En estudiar un sistema d’equacions lineal
dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss hem arribat
a la matriu ampliada següent:
b) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema
resultant sigui compatible indeterminat. Resol el sistema
que s’obtingui.
Si afegim una equació que resulti, per exemple, de multiplicar
la segona equació per 2: 4x 6y 2z 8. Aquesta equació no
aporta cap informació nova. El sistema queda:
Discuteix el sistema en funció del paràmetre k.
Apliquem Rouché-Frobenius.
Si l’únic determinant d’ordre 3 que podem extreure de la matriu
és nul, rang A 2.
A
(k
2) (k
1) 0
k 2; k 1
Per a k 2 i k 1 el rang A 2.
Per a k 2 i k 1 el rang A 3.
Per tant,
x y 1 y1 x
3x 2y z 5
z 5 3x 2(1 x) 5
Per a k 2 el rang A’ 3, el sistema és incompatible.
3x
La solució és (x, y, z) (x, 1
2
x, 7
2x 7
5x
5x) on x ΠR.
Per a k 1 el rang A’ 2, el sistema és compatible indeterminat.
Per a qualsevol altre valor el sistema és compatible determinat.
126
9
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Bloc 3. Geometria
j Unitat 9. Equacions de rectes
i plans
6. Un vector director d’una recta és u ( 2, 3, 1). Troba els
components d’un altre vector director d’aquesta recta que
sigui unitari.
Activitats
1. Determina tres punts de la recta:
r: (x, y, z) (4, 2, 5)
L( 3, 1, 2)
r: (x, y, z) (4, 2, 5) L( 3, 1, 2)
L 0 l A(4, 2, 5)
L 1 l B(1, 1, 3)
L 1 l C(7, 3, 7)
7. Sigui u (3, 5, 2) un vector director d’una recta. Esbrina
el valor que tenen v1 i v2 per tal que el vector v (v1, v2, 3)
també sigui un vector director de la mateixa recta. Escriu el
vector u com a combinació lineal del vector v .
2. Escriu les equacions paramètriques de la recta que passa pel
punt P(3, 2, 4) i té la direcció del vector u (2, 3, 3).
3. Determina l’equació vectorial i les equacions contínues de
la recta que passa per l’origen de coordenades i pel punt
P( 1, 4, 2).
F F IIF
P ( 1, 4 , 2) l v p OP ( 1, 4 , 2)¹
º
O(0, 0, 0)
»
equació vectorial: (x, y, z) L( 1, 4, 2), L Œ R
equacions contínues:
8. Determina tres punts del pla següent:
P: (x, y, z) (6, 1, 3)
(x, y, z) (6, 1, 3)
4. Determina la recta que passa pels punts P(2, 0, 1) i Q(3, 1, 1),
i comprova que conté el punt R(5, 3, 5).
L(2, 4, 5)
L(2, 4, 5)
μ(1, 0, 7)
M(1, 0, 7)
L M 0 l A(6, 1, 3)
L 0, M 1 l B(7, 1, 4)
L 1, M 0 l C(8, 5, 8)
9. Determina l’equació general del pla que té el vector
u (2, 2, 5) com a vector orientador i que passa pels
punts P(0, 2, 3) i Q(1, 1, 4).
5. Escriu l’equació vectorial de cadascuna de les rectes que determinen els eixos de coordenades.
L’eix OX: (x, y, z) L (1, 0, 0)
l’eix OY: (x, y, z) M(0, 1, 0)
l’eix OZ: (x, y, z) G (0, 0, 1)
MATEMÀTIQUES 2
10. Escriu les diferents equacions del pla que passa pel punt
A(3, 1, 2) sabent que els vectors que determinen la seva
orientació són u (2, 5, 3) i v (4, 1, 3).
Equació vectorial: (x, y, z) (3, 1, 2)
L(2, 5, 3)
9
127
14. Emprant l’equació general del pla, comprova que els punts
P(1, 2, 1), Q(3, 1, 2), R(1, 1, 0) i S(0, 2, 1) són coplanaris.
M(4, 1, 3).
Equacions paramètriques:
Equació general: x
y
z
20
S(0, 2, 1) l 2 3 5 0 l S és del pla que determinen els
punts P, Q i R, per tant els quatre punts són coplanaris.
Equació canònica:
11. Demostra que el pla que té per equació general By
és paral·lel a l’eix OX.
By
Cz
D0ly
Cz
D0
z
15. Troba dos vectors associats al pla següent:
3x
2y
2z
5 0 que siguin unitaris.
(x, y, z) (0,
, 0) L(1, 0, 0) M(0, C, B), el vector
e 1 (1, 0, 0) que determina la direcció de l’eix OX, és un vector
orientador del pla, per tant el pla és paral·lel a l’eix OX.
12. Comprova que les equacions vectorials següents:
(x, y, z) (1, 2, 3)
(x, y, z) (0, 0, 6)
L(1, 1, 0)
R(0, 1, 1)
μ( 1, 0, 1)
S(2, 1, 1)
són del mateix pla.
(x, y, z) (1, 2, 3)
L(1, 1, 0)
M( 1, 0, 1)
(x, y, z) (0, 0, 6)
R(0, 1, 1)
S(2, 1, 1)
16. Troba l’equació general del pla que passa pel punt ( 3, 2, 1)
i és perpendicular a una recta que té la direcció del vector
u (0, 3, 1).
17. Donat el pla P: 5x 3y 2z 8 0 i el punt P(3, 4, 2),
troba l’equació de la recta que passa per P i és perpendicular
al pla P.
Com que dóna la mateixa equacio general, és el mateix pla.
13. Determina un punt i els vectors orientadors del pla que té
per equació general:
x
3y
2z
50
128
9
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
18. Troba l’equació general i les equacions paramètriques
del pla que passa pel punt (0, 0, 3) i és perpendicular a
l’eix OZ.
P( 1, 0, 4),
(1, 1, 0)
d’on s'obté:
P(0, 0, 3) l 3
P: z
(1, 2, 1)
Q (0, 1, 0),
D0lD 3
22. Escriu la recta r: (x, y, z) ( 3, 2, 4)
intersecció de dos plans.
3 0 equació general.
equacions paramètriques.
L(2, 2, 5) com a
Resposta oberta, per exemple:
19. Donada la recta:
troba’n un punt i un vector director.
23. Considera les dues equacions següents:
resolem el sistema:
a) Digues per a quins valors de k aquestes dues equacions
representen una recta.
Perquè determinin una recta, els dos plans no han de ser
paral·lels. Considerant que són paral·les, tenim:
i obtenim:
20. Escriu les equacions paramètriques i contínues de la recta
de l’activitat anterior.
Per tant, si
, els dos plans determinen una recta.
b) Per a k 1 és una recta? En cas afirmatiu, escriu-ne les
equacions contínues.
Equacions paramètriques:
k 1;
1
l sí, és una recta
2
Substituim per k 1:
Equacions contínues:
21. Troba un punt i un vector director de cadascuna de les rectes
s: 2x y
obtenim:
no es poden escriure les equacions contínues perquè el 3r component del vector
director és zero.
1 2z
24. Donada la recta:
9
MATEMÀTIQUES 2
a) Determina’n un punt Q i un vector director u .
L
L
129
Resposta oberta, per exemple:
A(4x
y
13)
B(5x
z
21) 0
és el sistema.
b) Escriu l’equació general del pla que passa pel punt
P( 4, 2, 3) i té per vectors orientadors u i PQ .
Efectivament és un sistema compatible indeterminat amb un
grau de llibertat, ja que rang M rang M’ 2.
La resolució del sistema dóna: (x, y, z) (5, 7, 4)
que és la recta que passa per P i Q.
L(1, 4, 5)
Activitats finals
c) Comprova que és el mateix pla que hem obtingut a
l’exemple 8.
Comparant les dues equacions generals, s’observa que efectivament és el mateix pla.
1. Els punts P(p1, p2, p3), Q(q1, q2, q3) i R(r1, r2, r3) defineixen
un pla si no estan alineats. Justifica que la seva equació
general es pot expressar així:
25. A partir de l’expressió del feix de plans, determina l’equació
general del pla que passa per l’origen de coordenades i conté
la recta següent:
x 1
z
Considerem els vectors orientadors:
u PQ (q1
p1 , q2
v PR (r1
p1 , r2
p2 , q3
p2 , r3
p3) i
p3)
2) 0
Amb el punt P(p1, p2, p3) i el punt X(x, y, z), que és un punt
qualsevol del pla, tenim el vector PX (x p1, y p2, z p3),
Imposem que passi per l’origen:
que és un vector del pla, per tant el vector PX és combinació
O(0, 0, 0) l A
lineal dels vectors u i v , és a dir, els vectors PX , u i v són
linealment dependents, d’on tenim que D(PX , u , v ) 0.
escrivim el feix de plans:
A(x
z
1)
B(y
3z
2B 0 l A 2B
2B(x z 1) B(y 3z 2) 0
2(x z 1) y 3z 2 0
2x 2z 2 y 3z 2 0
P: 2x
y
z0
26. Escriu l’equació del feix de plans que contenen la recta que
passa pels punts P(5, 7, 4) i Q(4, 3, 1). Comprova que el
sistema definit per tres plans qualssevol del feix és compatible indeterminat amb un grau de llibertat i que la solució
d’aquest sistema és la recta PQ.
2. Demostra que el pla d’equació Ax
Ax
By 0 l (x, y, z) L( B, A, 0)
By 0 conté l’eix OZ.
M(0, 0, 1)
L’equació vectorial indica que el vector e 3 (0, 0, 1), que és el
vector que determina l’eix OZ, és un vector orientador del pla,
per tant el pla és paral·lel a l’eix OZ, a més el pla passa per
l’origen, ja que D 0, aleshores el pla passa per l’eix OZ.
3. Escriu l’equació canònica i general del pla que passa pels
punts P( 3, 0, 0), Q(0, 4, 0) i R(0, 0, 5). Indica’n dos
vectors orientadors.
Equació canònica:
130
9
Equació general: 20x
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
15y
12z
60 0
6. Donats els punts P(1, 2, 3), Q(1, 1, 1) i R(2, 0, 4), busca les
equacions paramètriques de la recta que passa pel punt P i
és perpendicular al pla que passa pels tres punts.
u PQ (3, 4, 0) i v PR (3, 0, 5)
4. Donades les equacions:
i
R
a) Comprova que es tracta d’un pla.
De les equacions paramètriques es dedueix:
u (3, 3, 0) i v ( 3, 2, 2) que són dos rectes linealment
independents, per tant determinen un pla.
b) Troba’n els punts de tall amb els eixos de coordenades.
L
L
L
P(3, 0, 0) de les equacions paramètriques, és el punt on talla
l’eix OX.
7. Determina els valors de a que fan que els dos plans
d’equacions:
ax
Per trobar els altres dos punts:
y
z
3 0 i (a
2)x
ay
az 5
siguin paral·lels.
talla l’eix OY.
talla l’eix OZ.
5. Justifica la certesa o la falsedat de cadascuna de les afirmacions següents:
perquè siguin paral·leles:
d’on a2 a
a) Els plans següents: Ax
By
(x, y, z) (x0, y0, z0) L(A, B, C)
pendiculars.
Cz
D 0 i
μ(v1, v2, v3) són per-
Veritat. Un dels vectors orientadors del segon pla és el vector
associat del primer.
2 l a2
a
2 0 l a1 2, a2 1
8. Troba l’equació canònica del pla que passa pel punt P( 3, 1, 4)
i és perpendicular als plans:
2x
5y
3z
5 0 i 7x
y
b) La recta (x, y, z) (x0, y0, z 0) L(u 1, u 2 , u 3) i el pla
Ax By Cz D 0 són perpendiculars si els vectors
u (u1, u2, u3) i v (A, B, C) són linealment dependents.
Veritat. Si u i v són linealment dependents, vol dir que
tenen la mateixa direcció, i per tant la recta té la direcció
d’un vector perpendicular al pla, aleshores, la recta és perpendicular al pla.
3z 21
són els vectors
orientadors.
c) Si u és un vector director d’una recta; n , un vector associat
a un pla i u · n 0, la recta i el pla són perpendiculars.
Fals. Si u · n 0, o bé la recta i el pla són paral·lels o el
pla conté la recta.
d) Si A · B · C ≠ 0 i A · B · C · D 0, el pla: Ax By Cz
talla els eixos de coordenades només a l’origen.
D0
Veritat. Es dedueix que D 0, per tant el pla passa pel
l’origen.
x
61
4
y
61
5
z
1
61
11
9
MATEMÀTIQUES 2
9. Indica les condicions que han de complir en cada cas els
coeficients A, B, C i D de l’equació general del pla, de manera
que aquest:
131
u
v
a) sigui paral·lel al pla determinat per OX i OZ.
12. Troba l’equació general del pla que conté la recta:
b) talli els tres semieixos de coordenades positius en punts
equidistants de l’origen.
considerant que un dels vectors que determina l’orientació
del pla és un vector director de la recta:
Punt de tall amb l’eix OX: y z 0 l
Punt de tall amb l’eix OY: x z 0 l
Punt de tall amb l’eix OZ: x y 0 l
Per tant:
10. Escriu les equacions contínues de la recta que passa pel
punt P(2, 3,5) i té la mateixa direcció que la recta:
Ho escrivim en forma de sistema:
13. Donats el pla P: x
y
2z
1 0 i la recta:
resolent, s’obté:
Podem prendre com a vector director de la recta: u ( 12, 2, 5)
11. Troba l’equació general del pla que passa pel punt P( 4, 2, 3)
i conté la recta d’equació:
(x, y, z) (1, 2, 2)
P( 4, 2, 3)
(x, y, z) (1, 2, 2)
PQ
v
escriu l’equació vectorial del pla que és perpendicular al pla
P i conté la recta r.
escrivim el sistema i el resolem:
L
L(2, 1, 2)
L(2, 1, 2) l Q(1, 2, 2), u (2, 1, 2)
L
M
132
9
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Considera la recta r que passa pel punt de coordenades
(1,1,2) i té el vector de components (1,1,1) com a vector director. Considera el vector v de components (1,1,a)
i digues si per a algun valor de a existeix un pla que conté
r i és perpendicular a v . En cas afirmatiu, escriu l’equació
cartesiana del pla.
r: (x, y, z) (1,1,2)
L(1,1,1)
b) Per a quins valors de k els punts A, B i C formen un triangle?
Per no formar un triangle, els tres punts han d’estar alineats.
Per tant, el punt C ha de pertànyer a la recta AB:
Així, la condició per tal que A, B i C formin un triangle és que
.
han de ser ortogonals, per tant:
3. Considera els plans d’equacions:
i
a) Hi ha algun valor del paràmetre a per al qual els plans
i no tenen intersecció?
Per tant, tenim:
F F
n v (1, 1, 2) l x
P(1, 1, 2) l 1 1 4
x y 2z 2 0 l x
Dos plans són paral.lels si els coeficients dels vectors directors són proporcionals. En aquest cas:
D0
y 2x
D0lD2
y 2z 2
.
Això passa si a 2.
Avaluació
A més a més, si
1. Determina l’equació del pla que conté a la recta:
r:
els plans són coincidents.
i passa per l’origen de coordenades.
Aquesta última condició no es compleix perquè
De la recta tenim:
i
.
b) Calcula un vector director de la recta que s’obté quan es fa
la intersecció de i per al valor del paràmetre a 0.
Per a a 0:
2. Considera els punts de l’espai A(1,1,2), B(0,1,1) i C(k,1,5).
Resolem el sistema considerant z com un paràmetre:
a) Troba l’equació de la recta que passa per A i B.
2
Si fem servir A com a punt base i el vector
com a vector director de la recta, la seva equació contínua
és:
L’equació vectorial de la recta és:
La general serà, doncs,
La recta passa pel punt P(7, 2,0) i té la direcció del vector
.
10
MATEMÀTIQUES 2
4. Un quadrat de l’espai té tres dels seus vèrtexs consecutius
situats en els punts de coordenades enteres P (3, 2, 4),
Q(a, 1, a 1)i R(2, 3, 0).
i
han de ser
a) Tenint en compte que els vectors
perpendiculars, calcula el valor del nombre enter a.
IIF
QP (3 a , 1, 3 a)
IIF
QR (2 a , 2, a 1)
IIF IIF
QP ; QR (3 a , 1, 3 a) • (2 a ,
2a2
133
j Unitat 10. Posició relativa de
rectes i plans
Activitats
1. Dóna la interpretació geomètrica de les solucions dels sistemes següents:
2,
a 1) 0 l
a)
10
7a 5 0 l a ia1
4
Resolem el sistema: rang M rang M’ 3 i el sistema és
compatible determinat i la solució (12, 21, 7) correspon
a les coordenades d’un punt. Els tres plans son concorrents
en un punt.
Com que ens demanen un valor enter a 1.
b) Calcula l’equació del pla que conté aquest quadrat.
Prenent el punt
i els vectors
i
, podem escriure l’equació vectorial del pla:
per passar a l’equació general:
b)
Rang M rang M’ 2 i el sistema és compatible indeterminat. Els tres plans tenen una recta en comú l’equació de la
qual es pot donar amb el sistema format per les equacions de
dos dels tres plans.
2. Dos plans són paral·lels coincidents o són secants. Considera els plans d’equacions:
: 2x 3y z 0
: x ky 4z 2
2
1
c) Calcula el quart vèrtex d’aquest quadrat.
Hem de trobar el punt S(x, y, z).
Raona si poden ser paral·lels per a algun valor de k.
que no es verifica ja
Condició de paral·lelisme:
que
independement del valor de k: els dos plans no
poden ser paral·lels per a cap valor de k.
3. Determina m i n per tal que els dos plans siguin paral·lels.
: 6x
: 9x
2
1
El punt que compleix aquest sistema d’equacions és
S(4, 4, 2).
my 4z 9
3y nz n
Condició de paral·lelisme:
.
d) Calcula l’àrea d’aquest quadrat.
L’àrea d’un quadrat és el quadrat del costat (l2). La longitud
d’un costat és la distància entre dos dels seus vèrtex consecutius:
Per a aquests valors els dos plans són paral·lels no coincidents.
4. Estudia la posició relativa dels tres plans:
: 2x y z 1
: x 2y z 1
:
x y 2z 1
3
1
2
134
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Estudiem els rangs: rang M 2 i rang M’ 3. El sistema és
incompatible, però els plans no són paral·lels, per tant, són
secants dos a dos.
5. Considera els plans d’equacions: x
y
2z
1 0 i
x y 3z 0. Justifica que són secants. Escriu l’equació
d’un tercer pla que passi per la recta que determinen aquests
dos. És únic aquest pla? Raona la teva resposta.
Els dos plans no són paral·lels ja que
, per tant,
8. Determina quina és la posició relativa del pla d’equació
3x 2y z 3 i la recta d’equació:
Recta en paramètriques:
Intersecció amb el pla:
són secants. La recta intersecció és:
Són secants i el punt d’intersecció és
l
Qualsevol combinació lineal de les dues equacions és un pla que
conté aquesta recta, per tant, aquest pla no és únic.
6. Troba la intersecció de la recta determinada pels punts
P(1,2,1) i Q(1,6,0) i el pla d’equació:
x
y
3z 2
9. Considera la recta r:
i estudia la posició relativa respecte del pla:
P: 2x
8y
5z
26 0
Podem considerar el sistema format per les tres equacions:
Equació de la recta PQ:
rang M rang M’ 3
Intersecció:
El sistema és compatible determinat: la recta i el pla són
secants.
10. Comprova que les rectes r i s són secants i escriu l’equació
general del pla que les conté.
Punt: (1, 2, 1)
7. Estudia la posició relativa de la recta:
Les rectes no són paral·leles:
i el pla d’equació x
3y
z 0.
Intersecció:
(4, 1, 0) w L(2, 3, 2)
Considerem aquests dos vectors i un tercer PQ , format amb un
punt de cada recta: PQ (4, 1, 0), que és el mateix que el
vector director de la primera recta, per tant, els tres vectors
estan en un mateix pla i són secants.
L’equació del pla és:
0 ≠ 2 indica que el sistema és incompatible.
La recta i el pla són paral·lels.
10
MATEMÀTIQUES 2
11. Determina la posició relativa de les rectes r i s en cada cas:
135
13. Escriu l’equació del pla que determinen les rectes:
a)
i la que té la direcció del vector u (6,2, 1) i passa per
l’origen de coordenades.
No són paral·leles: (1, 3, 1) ≠ k (5, 4, 1)
PQ (5, 5, 0)
Det(u , v , PQ )
Vector director de r:
v
les rectes s’encreuen.
u.
Com que r no conté el punt (0, 0, 0), les rectes són paral·leles.
Els dos vectors no poden ser orientadors del pla. En prenem un,
el u i el format per un punt de cada recta:
.
Equació del pla:
b)
14. Verifica que les rectes r i s són coplanàries.
vector PQ
Són paral·leles? Si no és així, troba el punt d’intersecció.
Det(u , v , PQ )
l
Vector director de r: v (0, 1, 1),
Vector director de s: u (1, 0, 1).
v ≠ ku i les rectes no són paral·leles.
les rectes s’encreuen.
Intersecció:
12. Troba la posició relativa de les rectes r, determinada pels
punts P(1, 1,0) i Q( 2,3,1), i s, paral·lela a l’eix OX i que
passa pel punt R(0, 1, 3).
Vector director de la recta r: u ( 3,4,1).
Vector director de la recta s: v (1, 0, 0).
No són paral·leles.
Vector PR ( 1, 2, 3).
15. Considera els vectors u , v i PR de l’activitat 12 i estableix
la relació que puguis trobar entre ells.
Els tres vectors són linealment independents.
Det(u , v , PR )
s’encreuen.
16. Comprova que els tres plans que conformen els tres eixos de
coordenades cartesianes són perpendiculars dos a dos.
Els tres plans tenen de vectors associats, respectivament, els
tres eixos de coordenades:
e1 (1, 0, 0); e2 (0, 1, 0) i e3 (0, 0, 1)
10
136
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Dos a dos són perpendiculars tal com es comprova amb el producte escalar:
e1 e2 0;
e1
·
·e
0 i e2
3
·
e3 0
20. Troba el peu de la perpendicular traçada pel punt P(1, 1,0)
al pla d’equació:
x
y
3z 2
El peu de la perpendicular és la intersecció de la recta i el pla: P’
17. Troba k per tal que les rectes r i s siguin perpendiculars.
Hi ha algun valor de k que faci que aquestes rectes siguin
secants?
recta:
Punt:
Condició de perpendicularitat: el producte escalar dels dos vectors directors ha de ser nul.
( 1, 3, 1)
· (1,
1, k) 1
3
k0lk4
Condició de secants:
18. Considera el pla P d’equacions paramètriques:
21. Troba la projecció ortogonal de l’origen de coordenades sobre la recta d’equacions:
Pla perpendicular a la recta per l’origen i la seva intersecció amb
la recta és la projecció ortogonal.
recta:
pla: x
y
z0
Troba l’equació de la recta perpendicular a P que passa per
l’origen de coordenades.
Projecció de l’origen:
El vector associat al pla és el vector director de la recta perpendicular al pla.
O’: (1, 0, 1)
Equació del pla:
22. Calcula les coordenades del punt simètric del punt P(5,0, 1),
respecte de la recta r:
n v ( 2, 2, 1)
El punt P i el seu simètric P” determinen un segment en el que
el punt mitjà P’ és la projecció de P sobre r.
Equació de la recta:
La projecció és el punt intersecció del pla perpendicular a r per
P i la recta r:
19. Troba l’equació del pla mitjaner del segment determinat
pels punts P(1,3,0) i Q( 1,5, 2). Per pla mitjaner s’entén
el perpendicular al segment pel seu punt mitjà.
Punt mitjà: (0, 4, 1); vector PQ ( 2, 2, 2) n
Equació del pla: 2x 2y 2z D 0 conté el punt (0, 4, 1):
8 2 D 0 l D 10 l 2x 2y 2z 10 0 l
x y z 50
x
2y
z
D 0 per P(5, 0, 1) l D 6 l
x
2y
z
60
1
L
4L
L
el simètric P ”
60l L
5
l
6
MATEMÀTIQUES 2
23. Donada la recta r:
P: x
2y
z
i el pla
26. Considera el pla x
y
10
137
z 3 i la recta,
r:
3 0, troba les equacions de la recta r’, pro-
jecció ortogonal de la recta r sobre .
La recta r’ és la intersecció del pla P amb el pla perpendicular a
ell que conté la recta r. Equació d’aquest pla:
2x
r `:
Digues si la recta talla el pla en un punt, si està continguda
en el pla, o bé si la recta i el pla són paral·lels.
La recta en paramètriques:
40
y
[
2x y 4 0
x 2y z 3 0
vector director:
24. Troba l’equació del pla que passa pel punt intersecció dels
plans:
vector associat al pla: u (1, 1, 1)
v
: x y 2z 5 0
: 2x 3z 1 0
2
:
x 2y z 1
3
· n 0 l la recta i el pla són paral·lels.
1
i és paral·lel al pla x
27. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(1, 2, 0),
és paral·lela al pla d’equació 3x y z 2 i talla la recta:
y
z
2 0.
r:
Resoldre el sistema per trobar el punt:
El vector director v de la recta està determinat per P i un punt
arbitrari de la recta donada:
l
Pla paral·lel:
La condició de paral·lelisme amb el pla és: n
·v
0
25. Esbrina la posició relativa dels plans:
2x y
x 3y
z 20
z 1
Si es tallen, troba l’equació de la recta paral·lela a la seva
intersecció, que passa pel punt P(2, 1, 1).
Equació de la recta:
Els plans no són paral·lels, són secants:
28. Determina quina és l’equació del pla que conté la recta
és paral·lel al vector d’extrems P(4, 0, 1)
i Q(0, 2, 1) i passa per P.
Recta paral·lela per P(2, 1, 1) l
(x, y, z) (2, 1, 1) L ( 4, 1, 7)
Els vectors orientadors del pla són el vector director de la recta:
v (3, 2, 1) i el PQ ( 4, 2, 2), que passa per P.
10
138
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Troba a i b per tal que els tres plans següents passin per una
mateixa recta:
Equació del pla:
P1: x 2y z 1
P2: 2x y az 0
P3: 3x 3y 2z b
29. Considera les rectes:
on a és un nombre real. Comprova que les dues rectes es
tallen per a qualsevol valor de a. Troba a, si és possible, per
tal que les dues rectes siguin perpendiculars.
Trobem la intersecció de les dues rectes:
El sistema format per les equacions dels tres plans ha de ser
compatible indeterminat de rang 2. Per tant, els dos determinants de 3r ordre han de ser nuls:
3. Hi ha algun valor de k pel qual els quatre plans tinguin un
punt en comú? Si és així, troba aquest punt.
P1: x 2z 3 0
P2: 3x y z 1
P3: 2y z 2 0
P4: x y kz 5 0
La solució del sistema indica que les rectes es tallen per a qualsevol valor de a.
El sistema format pels quatre plans ha de ser compatible determinat, és a dir, de rang 3.
Les rectes seran perpendiculars si:
Resolem el sistema format per les tres primeres equacions:
1,
1, 2 ; (1, a , 1) 0
a1
2
i substituïm aquesta solució en la quarta equació per trobar k:
1
2k
50lk 2
Activitats finals
4. Estudia la posició relativa de la recta:
1. Discuteix la posició relativa dels plans:
i el pla P: 3x
2y
z 3.
segons els valors de a ≠ 0.
Els plans són paral·lels o secants. Condició de paral·lelisme:
Recta en paramètriques:
Substituim en l’equació del pla:
a2
3a a l a2
2a 0 l a 0 i a 2
La solució és a 2, ja que una condició és a ≠ 0.
Per a a 2 els dos plans són paral·lels.
Per a a ≠ 2 els dos plans són secants.
3( 2
3L)
2 · 2L
(3
2L) 3 l
La recta i el pla són secants.
El punt d’intersecció és:
.
10
MATEMÀTIQUES 2
5. Calcula els valors de m i n per tal que el pla:
: nx
my
z
139
b) r i P siguin paral·lels.
rang M ≠ rang M’
Per a a 1 l rang M 2
20
contingui la recta:
Estudiem el determinant amb la columna de termes independents:
Es trien dos punts qualssevol de la recta, per exemple: P(0, 3, 4)
i R(3, 3, 1) que han de ser del pla:
3m 4
3n 3m
20lm 2
1 20ln3
Si 13b
39 0 l b 3 l rang M’ 2
Si a 1 i b ≠ 3 el sistema és incompatible i la recta és parallela al pla.
6. Considera una recta
c) La recta r estigui continguda en el pla .
Si a 1 i b 3, rang M rang M’ 2 i la recta està continguda en el pla.
i el pla
P: A’’x
B’’y
C’’z
D’’ 0
8. Considera les rectes:
Digues què significa geomètricament que el sistema que
s’obté considerant les tres equacions sigui incompatible. Digues què significa geomètricament que aquest sistema sigui
compatible determinat o indeterminat.
Si el sistema format per les tres equacions és incompatible, la
recta i el pla són paral·lels. Si el sistema és compatible determinat, el pla i la recta són secants, tenen un punt en comú. Si
el sistema és compatible indeterminat, la recta està continguda
en el pla.
s
on a és una constant. Comprova que aquestes dues rectes
són secants per a qualsevol valor de a i determina el valor
de a per tal que siguin perpendiculars.
En considerar y 1 en la recta s, s’obté x 1 i z 1 per a qualsevol valor de a. Les rectes són secants i es tallen en el punt
(1, 1, 1).
7. Considera la recta
Per ser perpendiculars: (1,0,1)
· (2,1,a) 0 l a 2
9. Estudia la posició relativa de les rectes r i s:
i el pla
P: 2x
5y
az
20
Determina els valors de a i b per tal que:
s
Podem estudiar els rangs de les matrius del sistema format per
les tres equacions:
s
a) r i
siguin secants. Troba el punt d’intersecció.
rang M rang M’ 3 l
Els vectors directors:
i u (1, 0, 1) no són pro-
porcionals, per tant, les rectes no són paral·leles.
Estudiem el determinant format pels vectors v , u i PP’ amb un
punt de cada recta:
Per a qualsevol a ≠ 1 i b qualsevol, el sistema és compatible
determinat i té de solució. Les coordenades del punt d’intersecció seran diferents segons els valors que es donin a a i b.
PP’ 10
140
2
1
2
1
1
0
1
1
2
1
4
0
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
12. Sigui el punt P1(1, 0, 1), P2 el punt simètric de P1 respecte
del pla d’equació x
1
w 0 l les rectes s’encreuen.
2
2y 0 i P3 el simètric de P2 respecte
del pla d’equació x 2y z 1. Troba l’equació general del
pla que determinen els punts P1, P2 i P3.
El pla cal que contingui un dels punts, per exemple P1, i que els
vectors orientadors siguin, per exemple P1P2 i P2P3 .
10. a) Explica la relació que hi ha entre el vector associat a
un pla i un vector director d’una recta perpendicular a
aquest.
El vector associat a un pla i el vector director d’una recta
perpendicular són linealment dependents.
P1P2 és proporcional al vector associat al primer pla: (1, 2, 0).
P2P3 és proporcional al vector associat al segon pla: (1, 2, 1).
Equació del pla:
b) Troba l’equació del pla que conté el punt (1,1,0) i és
perpendicular a la recta
13. Determina l’equació del pla que passa per P(1, 2, 1) i conté
la recta intersecció dels plans:
:x
2y
z 3 i el pla YZ
Recta intersecció:
Equació del pla: x
per a (1, 1, 0), x
5y
5y
3z
3z
D0
60
11. Troba l’equació de la recta projecció ortogonal de:
P(1, 2, 1) i el punt de la recta (0, 0, 3) donen: u (1, 2, 2)
Equació del pla amb v , u i P:
sobre el pla
P: 2x
2y
z
60
La projecció ortogonal de r sobre el pla és la intersecció d’aquest
pla amb el pla que conté la recta i és perpendicular al pla donat.
14. Comprova que les rectes:
són paral·leles i escriu l’equació del pla que les conté.
Equació del pla:
Vector director de r: v (1, 1, 1).
Vector director de la recta s: u (1, 1, 1).
Per tant, són paral·leles.
Per a l’equació del pla cal un vector determinat per un punt de
cada recta: P(1, 0, 2) i P’(5, 2, 0) l PP’ (4, 2, 2)
Equació del pla:
La recta projecció és:
10
MATEMÀTIQUES 2
15. Escriu l’equació de la recta que passa per l’origen de coordenades i és paral·lela a la recta:
141
18. Escriu l’equació del pla perpendicular a la recta que passa
pels punts P(2, 1, 3) i Q( 3, 1, 2) i que conté el punt
mitjà del segment PQ.
Vector associat al pla: PQ ( 5, 2, 5)
Cal trobar l’expressió de la recta en paramètriques tot resolent
el sistema:
Punt mitjà del segment PQ:
Equació del pla: 5x
5x
2y
2y 5z
D0
5z 0
vector director: v (1, 9, 5)
19. Determina si la recta
i el pla
3x 2y 5 0 són paral·lels. Es troba la recta continguda
en el pla?
Recta paral·lela per l’origen:
16. Sigui r la recta d’equacions:
Si la recta és paral·lela al pla, el vector director v ha de ser
perpendicular al vector n associat al pla. Comprovem-ho:
v · n (2, 3, 5) · (3, 2, 0) 6 6 0 l Són paral·lels.
troba l’equació cartesiana del pla que conté la recta r i és
perpendicular al pla y 0.
Un dels vectors orientadors del pla és el vector associat del pla
perpendicular: n (0, 1, 0). L’altre vector i el punt els trobem
en la recta r.
La recta està continguda en el pla si, en aquest cas, qualsevol
punt de la recta és del pla:
P(3, 1, 1) l 3 · 3 2 · 1 5 16 ≠ 0 l la recta no està
continguda en el pla.
20. Considera la recta
v (1, 0, 1)
Equació del pla:
i la recta s:
.
Comprova que les dues rectes s’encreuen.
17. Troba les equacions de la recta que passa pel punt P( 1, 0, 0)
i és paral·lela als plans:
1
: 2x
y
z
10 i
2
:x
3y
Dóna les coordenades d’un punt P de r i un punt Q de s que
verifiquin la condició que la recta PQ sigui la perpendicular
comuna a r i a s.
z5
Esbrinem el valor del determinant format pels vectors directors
La recta és paral·lela a la intersecció dels dos plans:
v i u i el P1Q1 ( 2, 3, 5)
les rectes s’encreuen.
Punts arbitraris de cada recta:
Equació de la recta paral·lela:
PQ
142
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Condició de perpendicularitat:
Recta paral·lela per l’origen:
El punt (6, 2, 2) no es troba en aquesta recta.
Els punts són: P(3, 4, 6) i Q(3, 5, 5).
24. Considera l’equació:
21. Donada la recta
(x
determina a per tal que existeixi un pla que contingui
aquesta recta i que sigui perpendicular al vector v (1, 1, 1).
Escriu l’equació cartesiana d’aquest pla.
y
z)2
(3x
y
2z
1)2 0
Raona i dóna una interpretació geomètrica dels punts
P(x, y, z) que verifiquen aquesta equació. No cal desenvolupar els quadrats.
L’equació consta d’una suma de dos quadrats que és 0. Només
pot ser aquest valor si es verifica:
Qualsevol pla que sigui perpendicular al vector v és de la forma:
x y z D 0.
Si restem les dues equacions que donen la recta r, obtenim:
2x 5y 13, independent de a. Substituïm en el pla qualsevol punt que verifiqui aquesta condició i obtenim diferents
plans paral·lels. Si substituim el punt (1, 3, 0) tenim el pla
x y z 4 0.
22. Determina k per tal que existeixi un pla que contingui la
recta
i que sigui perpendicular al vector v ( 6, 8, k).
que equival a la intersecció de dos plans no paral·lels. Per tant,
els punts P(x, y, z) són de la recta intersecció.
Avaluació
1. Determina per a quins valors del paràmetre a el pla
és paral·lel a la recta
El vector director de la recta cal que sigui perpendicular al
( 6, 8, k).
ªx 5
­­
x 2 y 6z 1
l y2
2 x 2 y 3 z 6 «­
­¬ z L
9 ³
¤
¥¦ 3, 2 , 1´µ ; ( 6, 8, k ) 18
[
3L
9 ³
9
F ¤
L l v ¥ 3,
,1
2
2 ´µ
¦
Si considerem el sistema d’equacions que té per equacions les
i la recta r:
del pla
36 k 0 l k 18
Equació del pla: 6x 8y 18z D 0 pel punt de la recta
(5, 2, 0): 6x 8y 18z 14 0 l 3x 4y 9z 7 0
23. Considera la recta
Digues si el punt P(6, 2, 2) es troba en la recta paral·lela a
r que passa per l’origen de coordenades.
la recta r és paral·lela al pla per als valors de a pels quals el
sistema és incompatible. El determinant de la matriu de coeficients d’aquest sistema val 2a 2, que s’anul·la per a a 1.
Quan a 1 el sistema és compatible determinat, mentre que quan
a 1 el sistema resulta incompatible. Per tant, a 1 és l’únic
cas per al qual la recta i el pla són paral·lels
2. Donats els punts de l’espai A(2,0,0), B(0,1,0) i C(0,0,3).
a) Determina l’equació del pla
que els conté.
L’espai director del pla
està determinat pels vectors
(2, 1, 0) i (2, 0, 3). L’equació del pla que passa per
A (2, 0, 0) i té aquest espai director és 3x 6y 2z 6 0.
10
MATEMÀTIQUES 2
b) Calcula l’equació de la recta r perpendicular al pla
passa per l’origen.
143
que
b) L’equació del pla que passa per P i és perpendicular a la
recta r.
Un vector perpendicular al pla
és (3,6,2). Les equacions
de la recta amb aquest vector director que passa per l’origen
.
són:
Un vector director de r (d’equacions paramètriques x 2z 3,
y z 4, z z) és (2, 1, 1), i serà perpendicular al pla,
que tindrà una equació general del tipus 2x y z d. En
passar per P (2, 1, 1)), necessàriament d 6 i l’equació
d’aquest pla és 2x y z 6.
3. Calcula el peu de la recta perpendicular a la recta
(x, y, z) (1, 1, 1)
(0, 1, 1)
c) Unes equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment r.
traçada des del punt A(1, 0, 1).
Determinem un punt Q de r per tant, Q2z 3, z
. El vector
Un
IIF punt P qualsevol de la recta serà
AP serà, doncs,
. Imposem que aquest vector sigui perpendicular a (0, 1, 1). Tindrem:
(2z
que el vector
5, z
3, z
4, z) tal
1) sigui ortogonal al
vector director de r, (2, 1, 1). La condició d’ortogonalitat
entre
i
és 4z
10
z
3
z
1 0, que dóna
.
i
d’on
Per tant,
4. Donats el pla
La recta buscada passa per P(2, 1, 1) i té el vector director
Unes equacions per a ella són:
.
d’equació x
2y
3z
.
1 0, la recta
r:
i el punt P(2, 1, 1).
d) Unes equacions de la recta que passa per P, és paral·lela
al pla i tal que el seu vector director és perpendicular al
de r.
Calcula:
a) Unes equacions de la recta que passa per P i és perpendicular a .
(1, 2, 3) és vector perpendicular al pla i serà director
de la recta perpendicular a que, en passar per P(2, 1, 1)
té les equacions:
Un vector director (a, b, c) ha de ser ortogonal a (1, 2, 3)
i a (2, 1, 1). Es pot trobar com a una de les solucions no nulles de (a, b, c) (1, 2, 3) 0 i (a, b, c) (2, 1, 1) 0.
·
·
La recta passa per (2, 1, 1) i, per tant, admet les equacions:
144
11
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Unitat 11. Distàncies i angles
Activitats
1. Calcula la distància entre els parells de punts següents:
a) P(1, 1, 3) i Q(4, 2, 0)
Es compleix que:
u
b) R(0, 2, 5) i S(1, 3, 2)
u
5. Donats els punts P(3, 6, 9) i Q(6, 3, 6), troba les coordenades del punt R alineat amb P i Q de manera que es
verifiqui:
IIF
IIF
PQ 3PR
c) T(4, 2, 1) i U(1, 1, 2)
u
d) V(5, 3, 7) i W(6, 2, 8)
Quina és la relació que hi ha entre d(R, Q) i d(P, R)? Comprova la teva resposta fent-ne el càlcul.
u
2. Si la distància entre els punts P(2, 1, 3) i Q(t, 1, 2) és 3,
calcula el valor de t. Quants punts Q verifiquen aquesta condició?
IIF
d (P , Q) PQ 3
Anomenem R(x, y, z).
3 3x 9 l 12 3x l x 4
9 3y 18 l 9 3y l y 3
15 3z 27 l 12 3z l z 4
Les coordenades del punt R són (4, 3, 4)
t2
4 t 0 l t (t
4) 0
t1 0
t2 4
Hi ha dues solucions: Q1(0, 1, 2) i Q2(4, 1, 2).
3. Per a quin valor de t és mínima la distància entre els punts
P i Q de l’activitat anterior? Quin és el valor d’aquesta distància mínima?
Derivem aquesta expressió respecte de t i igualem a zero:
La distància és mínima per a t 2, i el valor d’aquesta distància
mínima és:
u
4. Donat el triangle que té com a vèrtexs els punts A( 1, 2, 4),
B(4, 1, 6) i C(0, 3, 4), troba les coordenades del baricentre
G. Si M és el punt mitjà del costat AB, comprova que es verifica d(G, C) 2 · d(M, G).
Es compleix que d(R, Q) 2 · d(P, R).
6. El triangle de vèrtexs els punts A(1, 2, 0), B(3, 2, 1) i
C(1, 4, 0) és rectangle en A. Comprova-ho:
a) Mitjançant el producte escalar.
b) Aplicant el teorema de Pitàgores.
7. Calcula el perímetre del triangle que s’obté unint els punts
de tall del pla 3x 4y 3z 12 0 amb els eixos de coordenades.
Eix OX: (4, 0, 0) l punt P
Eix OY: (0, 3, 0) l punt Q
Eix OZ: (0, 0, 4) l punt R
Perímetre:
10
4 2 u
11
MATEMÀTIQUES 2
145
8. Calcula la distància del punt P(2, 3, 1) a la recta
r : (x, y, z) (1, 2, 1) L (2, 1, 3).
u
Equació del pla P que conté el punt P i és perpendicular a r:
P: 2x
y
3z
11. Donat el triangle que té com a vèrtexs els punts O(0, 0, 0),
P(2, 5, 0) i Q(3, 2, 4), calcula’n l’altura relativa al vèrtex
P. Quant val l’àrea d’aquest triangle?
40
Intersecció del pla P amb la recta r: punt P’
L’altura relativa al vèrtex O és la distància entre el punt O i la
recta que determinen els punt P i Q.
x 1 2 L; y 2 L; z 1 3 L
2 (1 2 L) ( 2 L) 3 (1 3 L )
2 4L 2 L 3 9L 40
Anomenem r aquesta recta:
r: (x, y, z) (2, 5, 0) L (1, 3, 4)
40
Pla P que conté O i és perpendicular a r:
Punt O ’ intersecció entre el pla P i la recta r:
L
L
2
2
3(5 3 L) 4 · ( 4 L) 0
15 9 L 16 L 0
26 L 13 l L ¤
O ` ¥2
¦
9. Determina la distància del punt P( 1, 3, 1) a la recta
Interpreta el resultat obtingut.
Les coordenades del punt P verifiquen cadascuna de les equacions dels dos plans que determinen la recta r, la qual cosa
significa que el punt P pertany a la recta recta. Aleshores:
Si P Πr l d(P, r) 0.
1
,5
2
1³
¤5 7
4 • ´ O` ¥ , ,
2µ
¦2 2
hO d (O , r ) d (O , O `) ³
2´
µ
90
3
10 u
4
2
Per a aquesta altura, la base del triangle és:
IIIF
b PQ 26 u
3
26 •
10
3
b • hO
2
A
65 u2
2
2
2
12. Calcula la distància del punt P(2, 3, 5) al pla
:x
2y
10. Donada la recta r: (x, y, z) (0, 1, 2)
L (2, 0, 1) i el
punt P(1, 0, 1), troba una expressió que et doni la distància d entre aquest punt P i un punt Q qualsevol de la recta r
en funció del paràmetre L.
Calcula després d(P, r) buscant el valor de L que faci mínima
la funció d f(L).
3
,
2
2z
70
u
13. Dedueix una expressió general que et permeti calcular la
distància entre l’origen de coordenades i un pla del qual
coneixes l’equació cartesiana.
Les coordenades d’un punt Q qualsevol són:
Q(2 L, 1, 2,
L)
14. El pla d’equació 2x 2y z D 0 es troba a distància 2 de
l’origen de coordenades. Troba D i interpreta el nombre de
solucions obtingudes.
Derivem respecte de L:
Es verifica:
11
146
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Hi ha dos plans que compleixen la condició que estableix l’enunciat:
2x
2y
z
6 0 i 2x
2y
r: (x, y, z) (2, 3, 0)
60
z
Evidentment, es tracta de dos plans paral·lels.
15. Quina és la distància entre el punt P(2, 0, 1) i el pla que
i el punt (5, 1, 0)?
conté la recta
17. Comprova que la recta
L (1, 0, 2)
és paral·lela al pla P: 2x 5y z 3 0. Troba després la
distància entre la recta r i el pla P.
i el vector associat
El vector director de la recta
al pla
han de ser perpendiculars. En efecte:
L’equació del pla P és:
x 1
y 2
z
3 4
2 1 0l
2 0
u
u
16. Calcula la distància entre els parells de rectes següents:
a) r: (x, y, z) (5, 1, 8)
18. La distància entre els plans 1: 3x 2y 4z 12 0 i
: 3x 2y 4z D 0 és 3. Calcula D i interpreta geomè2
tricament el nombre de solucions obtingudes.
Considerem un punt qualsevol d’un dels dos plans, per exemple,
el pla P1: P(0, 0, 3).
(1, 0, 2)
Les coordenades d’un punt genèric P de la recta r són de la
forma:
P(5
L , 1, 8
Donat un pla, hi ha dos plans paral·lels a aquest i, per tant,
paral·lels entre ells que es troben a una distància determinada
del pla inicial.
2 L)
I les d’un punt genèric P’ de la recta s:
P’(2
3M, 2
M, 1
19. Calcula la distància entre els plans
4M).
: 5x 4y 2z 3 0 i
: (x, y, z) (1, 0, 2)
2
1
(2, 1, 3)
(0, 1,
2)
Analitza’n prèviament la posició relativa.
Els plans són paral·lels, ja que el vector associat a P1 és perpendicular a cadascun dels vectors directors de P2:
(5, 4, 2) · (2, 1, 3) 0
(5, 4, 2) · (0, 1, 2) 0
Per tant,
u
u
d(P1 , P2) d(P2, P1) b) r: (x, y, z) L (2, 1, 1)
20. Determina la posició relativa de la recta
Procedint de la mateixa manera que en el cas de l’apartat
anterior, s’obté:
u
i el pla : x
ri ?
2y
z
2 0. Quina és la distància entre
11
MATEMÀTIQUES 2
La solució del sistema:
2x
4y
147
20
7z
Vector associat al pla P1:
.
Vector associat al pla P2:
.
és x 2, y 4, z 4.
Això vol dir que la recta r i el pla P es tallen en el punt
P(2, 4, 4). Aleshores: d(r, P) 0.
24. Donat el pla : 3x
calcula l’angle que formen.
i
s: (x, y, z) (0, 3, 4)
1 0 i la recta
2z
21. Considera les rectes
y
(2, 1, 4).
Vector director de la recta:
(3, 1, 2).
Vector associat al pla:
( 1, 2, 1).
Comprova que r i s s’encreuen. Troba l’equació del pla que
conté s i és paral·lel a r i calcula la distància entre la recta
r i aquest pla.
S'encreuen, ja que no tenen cap punt en comú i no són paralleles.
a) Troba l’equació de la recta r ’, projecció ortogonal de la
recta r sobre el pla .
Pla que conté s i és paral·lel a r:
x
P: y 3
z 4
1
2
1
P: 6x
z
4
P: 7x
y
5z
2
1 0
3
2y
6
25. Considera la mateixa recta i el mateix pla de l’activitat anterior.
Tingues en compte que la recta r ’ és la intersecció entre el
pla i un altre pla ’ que conté r i és perpendicular a .
4z
16
17 0 l 7x
y
3y
9
Equació del pla P’ que conté r i és perpendicular a P.
x0
x
17 0
5z
P `:
2
2
1
4
y
z 1
u
2x
4
P’:
2x
2z
2
3
1 0l
2
12 y
3z
3
4y
4x
80
22. Troba l’angle format per les rectes
,1 2 , )i
r: (x, y, z) (2
s: (x, y, z) (1, 1, 2) μ(2, 3, 5)
x 1
P2 : y
z
2
1
0
1
3 0 l 2x
2
16y
90
5z
b) Calcula l’angle format per les rectes r i r ’ i comprova que
és el mateix que l’angle format per la recta r i el pla P
que has trobat a l’activitat anterior.
(2, 1, 0)
Expressem el pla P2 en la forma Ax
9 0 l 2x
i el vector direc-
23. Calcula l’angle format pels plans
: 4x 3y z 7 0
: (x, y, z) (1, 0, 0)
2
5z
Recta r ’, intersecció entre els plans P i P’:
El vector director de la recta r és
.
tor de la recta s,
1
16y
By
(1, 3, 2)
Cz
D0
Angle que formen les rectes r i r ’: A.
Vector director recta r l
vector director recta r ’ l
2 6z
z
4y 0
.
.
148
11
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
26. Donats els vectors (2, 4, 1) i (1, 3, 2), calcula’n
el producte vectorial i comprova que el nou vector que has
obtingut és perpendicular al vector i al vector .
IF
e1 2 1
IF
IF
IF
F F IF
4 3 5e 5e 10 e
u r v eIF2
1
2
3
e3 1
2
Es tracta de dos vectors oposats i perpendiculars al pla que
determinen els vectors
.
29. Quant ha de mesurar l’angle que formen dos vectors per tal
que el mòdul del seu producte vectorial sigui màxim?
A 90º. En aquest cas:
30. Donats els vectors (2, 0, 1) i (1, 1, 2), comprova
i
x tenen el mateix mòdul, la
que els vectors x
mateixa direcció i sentits contraris.
27. Calcula l’angle format pels vectors
(2, 0, 1) a partir de:
( 1, 3, 4) i
És senzill veure que es tracta de dos vectors oposats.
a) el seu producte escalar.
b) el seu producte vectorial.
IF
e1
1 2
IF
IF
IF
F F eIF 3 0
v rw 2
3e1 8 e2 6e3
IF
e3 4 1
IF
IF
IF
3e1 9e2 6e3
IF
e2 31. Considera el pla determinat pels punts P(1, 2, 1),
Q(3, 2, 1) i R(0, 2, 3). Utilitza el producte vectorial per
determinar-ne el vector associat i troba l’equació cartesiana d’aquest pla.
IF
e1 1
1
F
IF
IF IF
IF
F e
2 0 4 e e 2e l n (4 , 1, 2)
n IF2
1
2
3
e3 1
2
Equació cartesiana del pla:
28. Determina tots els vectors de mòdul 4 que són perpendiculars als vectors (3, 0, 1) i (1, 1, 0). Interpreta el
nombre de solucions obtingudes.
IF
e1 3 1
IF IF IF
F
F F F IF
r p r q eIF2 0 1 3e3 e2 e1 l r (1, 1, 3)
e3
1 0
Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit que el vector:
32. Donats els vectors
(1, 3, 2),
( 1, 0, 2) i
(2, 1, 3), comprova que es verifiquen les propietats del
producte vectorial abans esmentades.
a) Anticommutativa:
b) Distributiva respecte de la suma de vectors:
c) Producte per un nombre real:
Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit contrari que
el vector:
Hi ha dos vectors que compleixen les condicions de l’enunciat
de l’activitat:
33. Amb els mateixos vectors de l'activitat anterior, esbrina si
es verifica la igualtat:
No es verifica, ja que:
34. Utilitza l’expressió en forma de determinant del producte
vectorial per demostrar que si i són linealment depen.
dents,
11
MATEMÀTIQUES 2
Suposem que
IF
e1 Lv1
F F
F F IF
u r v Lv r v eIF2 Lv2
e3 Lv3
IF
e1 v1
IF
v2 L e2 v2
IF
e3 v3
v3
v1
v1
F F
v2 L • 0 0
v3
c) La distància entre la recta r que conté els punts A i B, i la
recta s que conté els punts C i D.
La distància d(r, s) coincideix amb l’altura del paral·lelogram
ABCD. Si prenem com a base d’aquest paral·lelogram el costat DC, es compleix:
IIF
A = base · altura l A DC • d (r , s)
35. Raona la validesa de l’afirmació següent:
Si
tors
són dos vectors linealment independents, els vecformen una base de V3.
L’afirmació és correcta, perquè en ser i dos vectors linealment independents, el vector x és perpendicular al pla que
generan aquests dos vectors.
també són linealment indePer tant, els vectors , i x
pendents, i, en conseqüència, formen una base de V3.
36. Calcula l’àrea del paral·lelogram que es pot obtenir a partir
dels vectors (1, 4, 3) i (3, 2, 4).
s
38. Calcula, fent ús del producte vectorial, la distància entre el
punt P(1, 0, 2) i la recta que conté el punt Q(2, 1, 3) i és
paral·lela a la recta:
(x
IF
e1
IF
F F
v r w eIF2
e3
1
3
4
2 4
3
37. Els punts A(0, 1, 0), B(2, 1, 3) i C( 1, 3, 2) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Es demana:
a) Les coordenades del quart vèrtex D.
Anomenem D(x, y, z).
2 1
23
32
x
y
z
x, 3
y,2
z)
x 3
y5
z5
b) L’àrea del paral·lelogram.
2
2) L (1, 0, 3)
1
0
3
1
1 5
F IIF
u r QP
d (P , r ) F
u
74
10
37
5
185
u
5
39. Calcula, fent ús del producte vectorial, la distància entre el punt P(2,0, 1) i la recta r determinada pels plans
x y z 3 0 i x y 3z 5 0.
Equació de la recta
Les coordenades del quart vèrtex són D( 3, 5, 5).
IF
e1
IIF IIF IF
AB r AD eIF2
e3
1, y, z
IF
e1
F IIF IF
u r QP eIF2
e3
(2, 2, 3) ( 1
3
2
4 3
5
149
r:
z t, x 2t 1, y t 4
r: (x, y, z) (1, 4, 0) t(2, 1, 1)
IF
e1 2 1
I
I
F
IF
F
1 4 u r QP eIF2
e3 1
1
F IIF
u r QP
d (P , r ) F
u
99
6
33
2
66
u
2
150
11
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
40. Determina la mesura de les tres altures del triangle que té
com a vèrtexs els punts O(0,0,0), P(1,2,3) i Q( 2,1, 1).
Altura relativa al vèrtex 0: distància entre el punt 0 i la recta
que passa pels punts P i Q.
IF
e1
3 1
IIF IIF IF
1 2 PQ r PO eIF2
e3
4 3
43. Donats els vectors
calcula:
(2, 4, 1),
(1, 3, 1) i (0, 2, 3),
a)
b)
c)
d)
78
u
44. Els vectors , i verifiquen 2
. Pots calcular-ne
el producte mixt sense especificar-ne l’ordre? Si la resposta és
afirmativa, quant val? Justifica cadascuna de les respostes.
Seguint el mateix procediment, s’obté:
u
altura relativa al vèrtex
u
altura relativa al vèrtex
41. Els punts R(3, 4, 2), S(1, 0, 1) i T(0, 2, 3), estan alineats? Si la resposta és no, troba l’àrea del triangle que
determinen.
El producte mixt dels tres vectors , i és igual a zero, ja que
es tracta de tres vectors que són linealment dependents. En calcular el determinant, una fila seria combinació de les altres dues.
45. Sabem que el producte mixt de tres vectors és diferent de
zero. Què pots afirmar respecte d’aquests vectors?
Que són linealment independents.
46. Esbrina, utilitzant el producte mixt, si els punts P(1, 2, 1),
Q(3, 2, 1), R(0, 1, 3) i S( 3, 1, 0) són coplanaris.
Són coplanaris, ja que, per exemple,
IF
e1
IF
I IIF IF
RS r RT eIF2
e3
2
4
3
3
i això vol dir que es tracta de tres vectors linealment dependents.
2 1
47. Utilitza el producte mixt per calcular el valor de t que fa
que els vectors (1, 1, 3), (2, 3, 4) i (t, 2, 1)
siguin linealment dependents. Expressa després el vector
en combinació lineal dels vectors i .
F F F
;v , w , u= 0 l
42. Utilitza el producte vectorial per trobar un vector associat al
pla que conté els punts M(1, 2, 1), N(3, 1, 1) i P(7, 7, 5).
Interpreta el resultat que obtinguis.
Observem que
3
12
4t
1
1
3
9t
2
3
4
2
t
2 0
1
80l
(3, 2, 1) L1 (1, 1, 3)
5t
L2 (2, 3, 4)
, o també,
Per tant,
. És així perquè els tres punts M, N i
P estan alineats, i, en conseqüència, no determinen cap pla.
La solució del sistema és L1 L2 1
Aleshores:
15 0 l t 3
11
MATEMÀTIQUES 2
48. Calcula l’àrea total i el volum de la piràmide que té com a vèrtexs
els punts P(2, 3, 1), Q(4, 1, 2), R(2, 3, 5) i S( 2, 1, 3).
L’àrea total de la piràmide és la suma de les àrees dels triangles
que en determinen les cares:
At APQR
APQS
APRS
151
1 IIF IIF
1
QR r QS • 8 29 4 29 u2
2
2
At 4 2 12 8 2 4 29 u2 AQRS 12 12 2
4 29 u2
At 50, 5 u2
AQRS
El volum de la piràmide és:
IF
e1
IIF IIF IF
PQ r PR eIF2
e3
2
0
IF
2 0 8e
1
3 4
IF
8 e2
l
49. Troba el volum del paral·lelepípede format a partir dels vectors:
(4, 3, 5),
F F F
IF
e1
IIF IF
I
IF
PQ r PS eIF2
e3
2
4
2
4 2
3
;u , v , w= 4
3
5
(1, 0, 3) i
1
0
3
( 3, 5, 1)
3
5 25 27 3 60 55
1
F F F
V ;u , v , w= 55 u3
50. a)Determina les coordenades dels vèrtexs de la piràmide
limitada pels eixos de coordenades i el pla d’equació:
3x
3x
IF
e1 0
IIF IF
I
IF
PR r PS eIF2 0
e3 4
2z
2z
12 0
xy0lz6
yz0lx4
xz0ly3
12 0
Els vèrtexs de la piràmide són:
O(0, 0, 0), P(4, 0, 0), Q(0, 3, 0) i R(0, 0, 6).
4
IF
IF
4 16e 16ee
1
2
2
IIF IF
I
IIF IF
I
PR r PS ( 16, 16, 0) l PR r PS 16 2
b) Calcula’n el volum.
4 0 0
IIF IIF IIF
§OP , OQ , OR¶ 0 3 0 72
©
¸
0 0 6
V
IF
e1
IIF IF
I
IF
QR r QS eIF2
e3
4y
4y
1
6
IIF IIF IIF
§OP , OQ , OR¶ 1 • 72 12 u3
©
¸ 6
51. Considera les rectes següents:
2
6
2
2 5
7
r: (x, y, z) (5, 1, 8)
L (1, 0, 2)
a) Comprova que s’encreuen.
IIF IF
I
l QR r QS 8 29
S’encreuen, ja que no tenen cap punt en comú i no són paralleles.
11
152
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Calcula de tres maneres diferents la distància que les separa.
3
IIF
§PQ r uF r vF¶ 3
©
¸
9
IF
e1 1 3
IF
F F
u r v eIF2 0 1
e3 2 4
1
0
2
Les rectes r i s s’encreuen.
3
1 9 18 12 6 9
4
IF
IF
e3 6e2
IF
IF
4 e2 2ee1
IIF
§PQ , uF , vF¶
9
d (r , s) © F F ¸ 3 u
3
u rv
1
IIF
§PQ , uF , vF¶ 3
©
¸
4
IF
e1
2
IF
F F e
1
u r v IF2
e3 1
2 1
1 3 1 24 3 4 6 3 33
1 1
1
3 1
Nota: aquesta activitat només s’ha resolt mitjançant el procediment indicat en l’apartat.
52. Comprova que els punts A(1, 0, 0), B(2, 5, 3), C( 2, 4, 7) i
D( 1, 2, 5) no són coplanaris. Calcula el volum de la piràmide
que defineixen i troba la distància entre les arestes AB i CD.
.
No són coplanaris, ja que
IIF
IIF
IIF
AB (1, 5, 3); AC ( 3, 4 , 7); AD ( 2, 2, 5)
1 3 2
IIF IIF IIF
§©AB , AC , AD¶¸ 5 4 2 3 7
5
20 18 70 24 75 14 117
V
54. Calcula l’àrea total i el volum del paral·lelepípede que es pot
obtenir a partir dels vectors (2, 1, 0), (1, 2, 3) i
x . De quin tipus de paral·lelepípede es tracta?
IF
e1
F F IF
u r v eIF2
e3
2
1
1
2 3
0
1 IIF IIF IIF
1
39 3
§©AB , AC , AD¶¸ • 117 u
6
6
2
Equació de la recta que conté l’aresta AB:
r: (x, y, z) (1, 0, 0) L (1, 5, 3)
Equació de la recta que conté l’aresta CD:
r’: (x, y, z) ( 1, 2, 5) M (1, 2, 12)
Les rectes r i r’ s’encreuen. Per qualsevol dels procediments analitzats en aquesta unitat s’obté:
F F
u r v (3, 6, 5)
F F
Anomenem u r v (3, 6, 5) .
Es compleix que
fiquen:
per tant, els vectors
a) Són perpendiculars dos a dos.
u
b) Tenen el mòdul diferent:
53. Determina la posició relativa de les rectes:
y 1
1
z
2
1
y 2
s: x z 1
3
r:
x
3
Si les rectes r i s s’encreuen, utilitza el producte mixt per
calcular la distància que les separa.
En conseqüència, el paral·lelepípede és un ortòedre.
veri-
11
MATEMÀTIQUES 2
55. Els punts O(0, 0, 0), P(2, 3, 1) i Q(1, 2, 3) són tres vèrtexs d’una piràmide. Quina és la condició analítica que han
de verificar les coordenades (x, y, z) del quart vèrtex R per
tal que el volum d’aquesta piràmide sigui 14 u3? Fes-ne la
interpretació geomètrica.
1 IIF IIF IIF
V §©OP , OQ , OR¶¸ l V 14
6
IIF
IIF
IIF
OP (2, 3 1); OQ (1, 2, 3); OR ( x , y , z )
2 1 x
IIF IIF IIF
§©OP , OQ , OR¶¸ 3
2 y 1 3 z
4z y 9x 2x
7x
7x
3z 6 y 7 x
153
2. Es demana l’equació del pla que conté l’eix OX i dista 6 unitats del punt P(0, 10, 0).
Equació general del pla: Ax
By
D 0.
Cz
El pla conté l’eix OX l un dels punts del pla és l’origen de coordenades l D 0.
és normal al vector
Vector associat al pla
, un dels vectors directors del pla.
7 y 7z
Per tant, el pla que hem de trobar és de la forma By Cz 0.
Com que el punt P(0, 10, 0) dista 6 unitats d’aquest pla, es
compleix:
7z 84 l x y z 12 0
7z 84 l x y z 12 0
7y
7y
Es tracta de dos plans que són paral·lels entre ells i paral·lels al
pla determinat pels punts O, P i Q. La distància entre cadascun
d’aquests plans i el pla definit pels punts O, P i Q és precisament
l’altura de la piràmide corresponent.
Hi ha dos plans que verifiquen les condicions establertes a
l’enunciat d’aquesta activitat:
P1: 3y
4z 0 i P2: 3y
4z 0
3. Determina un punt de la recta
r: (x, y, z) (1, 1, 2)
Activitats finals
1. Troba la distància del punt (3, 4, 5) a la recta d’equació
L (2, 3, 2)
que equidisti dels plans:
3x
4y
1 0 i 4x
3y
10
És única la solució?
Interpreta geomètricament el resultat que has obtingut.
Les coordenades d’un punt genèric P de la recta r són:
P(x, y, z) l P(1
S’ha de verificar:
IF
e1
F IIF IF
u r QP eIF2
e3
1
4
2
6 1 10
IF
IF
IF
IF
IF
IF
20 e1 6e3 4 e2 8 e3 10 e2 6e1 IF
IF
IF
26e1 14 e2 2e3
F IIF
F IIF
u r QP (26, 14 , 2) l u r QP 876
F
u 6
d (P , r ) 876
6
146 u
d(P, P1) (P, P2)
2 L, 1
3 L, 2
2 L)
11
154
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Hi ha dos punt solució. Els plans P1 y P2 són perpendiculars i la
recta r té un punt d’intersecció amb cadascun d’ells.
¤ 3 3 3³
¤ 9 6 6 ³ IIIF ¤ 6 3 9 ³
P ¥ , , ´ ; P ` ¥ , , ´ ; PP ` ¥ , , ´
¦ 7 7 7µ
¦7 7 7 µ
¦7 7 7 µ
L, 2L)
Troba:
a) L’equació del pla perpendicular a la recta r que conté el
punt P.
L’equació general d’un pla perpendicular a la recta r és
x y 2z D 0. Com que aquest pla ha de contenir el punt
P(1,1,3), es compleix:
1
1
6
D0lD 8lx
y
2z
L; z 2 L; x
y
2z
La recta perpendicular a les rectes r i s és la recta que conté
els punt P i P’ i té per equació:
b) La distància entre les rectes r i s.
u
80
b) El punt intersecció d’aquest pla amb la recta r.
x L; y 2
.
Per tant, tenim que:
4. Considera el punt P(1, 1, 3) i la recta:
r: (x, y, z) (L, 2
la solució del qual és
6. Determina els vectors de mòdul 2 que són alhora perpendiculars als vectors (2, 2, 3) i (3, 3, 2).
80
El compliment simultani de les quatre equacions ens du a una
altra equació que ens permet trobar el valor del paràmetre L
que correspon al punt d’intersecció entre la recta i el pla:
Si representem per
complir alhora:
(v1, v2, v3) · (2, 2, 3) 0 l 2v1
2v2
3v3 0
L 2 L 4L 80lL1
L 1 l x 1, y 3, z 2
(v1, v2, v3) · (3, 3, 2) 0 l 3v1
3v2
2v3 0
un d’aquests vectors, s’ha de
El punt és P’(1, 3, 2).
La solució del sistema format per aquestes tres equacions és:
c) La distància del punt P a la recta r.
u
Hi ha dos vectors que verifiquen les condicions de l’enunciat de
l’activitat:
5. Donades les rectes:
r: x y z
s: (x, y, z) (1, 1, 1)
L (2, 1, 1)
7. Calcula l’angle que formen les rectes:
es demana:
a) L’equació de la recta perpendicular a r i a s.
Un punt P genèric de la recta r és P(M, M, M) i un punt P’
genèric de la recta s:
P’(1
2 L, 1
L, 1
L)
s: (x, y, z) (1, 2, 3)
L ( 3, 4, 5)
El vector director de la recta r és
( 3, 4, 5).
( 3, 4, 5) i el de la recta s,
El vector:
Els dos vectos són perpendiculars l A 90º
ha de ser perpendicular al vector
al vector
Per tant:
Les dues igualtats anteriors ens condueixen al sistema:
8. Calcula l’àrea del triangle que té com a vèrtexs els punts
O(0, 0, 0), P(1, 1, 0) i Q punt intersecció de la recta
(x, y, z) ( 1 2 L, 1 3 L, 2 L) amb el pla XY.
Q: punt intersecció de la recta.
(x, y, z) ( 1 2 L, 1 3 L, 2 L) amb el pla z 0.
2 L 0 l L 2 l Q(3, 5, 0)
11
MATEMÀTIQUES 2
155
El volum de la piràmide es calcula:
IF
e1 1 3
IIF IIF IF
IF
IF
IF
OP r OQ eIF2 1 5 5e3 3e3 2e3
e3 0 0
5 0 3
F F F
u
,
v
,
w
;
= 0 0 3 225
0 15 0
9. Troba l’angle que formen les rectes
r: x y z
11. Anomenem pla paral·lel mitjà a dos plans paral·lels aquell
pla els punts del qual equidisten d’aquests dos plans.
Determina l’equació del pla paral·lel mitjà als plans
2x 2y z 4 0 i 2x 2y z 10 0.
Vector director recta r:
Vector director recta s:
Com que
A 90º.
( 1, 1, 1).
( 1, 0, 1).
, les dues rectes són perpendiculars l
L’equació del pla que ens demanen ha de ser del tipus
2x 2y z D 0.
Si P(x, y, z) és un punt d’aquest pla, s’ha de complir la igualtat:
d(P, P1) d(P, P2)
10. Troba els vèrtexs de la piràmide triangular que determinen
els plans y 0, z 0, x y 0 i 3x 2y z 15 0 i calcula’n el volum.
2x
4x
Vèrtex O
x y z 0 l O(0, 0, 0)
2y
4y
z 4 2x 2y
2z 6 0 l 2x
z 10
2y z
30
12. Troba la condició analítica que verifiquen tots els punts de
23 que disten 2 unitats del pla d’equació 3x y z 0.
Representem per P(x, y, z) un d’aquests punts.
Vèrtex A
3x
x 5, y z 0 l A(5, 0, 0)
Vèrtex B
y
z
2
11
Són punts que pertanyen a dos plans paral·lels al pla que ens
donen i que es troben a distància 2 (equidisten) d’aquest pla,
que és el pla paral·lel mitjà dels altres dos.
13. Determina l’angle format per:
x y 0, z 15 l B(0, 0, 15)
Vèrtex C
x y 3, z 0 l C(3, 3, 0)
a) La recta x y i el pla y 0.
156
11
b) Els plans 3x
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5 0 i 2x
y
z
2 0.
14. Calcula la distància del punt P(3, 5, 6):
a) A l’origen de coordenades.
u
b) Determina l’angle que formen les rectes OT i QS.
9 25 16 0 l les rectes OT i SQ són perpendiculars l A 90º.
16. Determina l’equació dels plans de vector associat (1, 2, 3)
i que disten 3 unitats de l’origen de coordenades.
Els plans de vector associat
x 2y 3z D 0.
(1, 2, 3) són de la forma:
b) A cadascun dels plans XY, XZ i YZ.
pla XY: 6 u
pla XZ: 5 u
pla YZ: 3 u
La distància de l’origen de coordenades a un d’aquests plans és 3.
Aleshores:
c) A cadascun dels tres eixos de coordenades.
Hi ha dos plans solució:
17. Calcula l’àrea total i el volum de la piràmide limitada pels
plans x 0, y 0, z 0 i 2x 3y 4z 12 0.
Els vèrtexs de la piràmide són els punts:
15. a) Calcula l’àrea total i el volum del paral·lelepípede generat pels vectors
de la figura.
O(0, 0, 0); A(6, 0, 0); B(0, 4, 0) i C(0, 0, 3)
Àrea de la piràmide:
IF
e1
IIF IIF IF
AB r AC e2
IF
e3
6
0 3
IF
IF
IF
12e1 24e3 18 e2 l (12, 18, 24)
A 27
6
4
0
6 29
27 3 29 u2
2
Volum de la piràmide:
V 3 · 5 · 4 60 u3
Nota: cal observar que l’àrea i el volum d’aquest ortòedre es
poden determinar de manera molt senzilla, ja que se’n coneixen les tres dimensions.
11
MATEMÀTIQUES 2
18. Esbrina la longitud del segment projecció ortogonal del segment que té com a extrems els punts A(2, 4, 1) i B(1, 2, 5)
sobre el pla 2x y z 0.
Si representem per l la longitud del segment, es compleix:
21. Donats els vectors
(3, 2, 4) i
157
(1, 4, 2), troba:
a) El seu producte vectorial.
IF
e1 3 1
F F IF
2 4 u r v eIF2
e3 4
2
on A és l’angle que forma la recta que conté els punts A i B amb
el pla 2x y z 0.
b) Un vector unitari perpendicular als dos vectors.
Hi ha dos vectors unitaris que compleixen aquesta condició.
u
El que té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector
:
19. Quina és la condició que han de verificar els vectors associats a dos plans que són perpendiculars? Expressa-la analíticament utilitzant els seus components.
Els vectors associats també han de ser perpendiculars:
F F
n ; n` 0
El que té la mateixa direcció que el vector, però el sentit
:
contari
pla P1: Ax By Cz D 0 l (A,B,C)
pla P2: A’x B’y C’z D’ 0 l (A’, B’, C’)
c) L’àrea del paral·lelogram que es pot dibuixar a partir de
i .
20. Troba l’equació de la recta projecció ortogonal de la recta
(3, 2, 1) sobre el pla:
(x, y, z) (1, 2, 4)
3x 2y z 2 0.
Determinem l’equació del pla que conté la recta:
(x, y, z) (1, 2, 4) L (3, 2, 1) i és perpendicular al pla
3x 2y z 2 0.
D’aquest pla, en coneixem el punt (1, 2, 4) i dos vectors
directors: (3, 2, 1) i (3, 2, 1).
x 1
y 2
z 4
3
2
1
3
2 0 l y 2 z 10 0
1
La recta que ens demanen és la recta intersecció dels plans
3x 2y z 2 0 i y 2z 10 0.
d) El volum del paral·lelepípede que s’obté a partir dels
vectors , , i x .
22. Calcula l’angle que formen dues de les diagonals d’un cub.
Per més comoditat, situa un dels vèrtexs del cub a l’origen
de coordenades i considera’l d’aresta unitat.
Considerem la recta r que conté la diagonal determinada pels
vèrtexs (0, 0, 0) i (1, 1, 1), i la recta s que conté la diagonal
determinada pels vèrtexs (1, 0, 0) i (0, 1, 1).
Vector director de la recta r l (1,1,1).
Vector director de la recta s l ( 1,1,1).
L’angle A que formen les diagonals del cub verifica:
158
11
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
23. Troba els punts de la recta que passa per A( 1, 0, 1) i
B(1, 2, 3) que distin 3 unitats del punt C(2, 1, 1). Interpreta geomètricament el nombre de solucions obtingudes.
25. Donat el triangle que té com a vèrtexs els punts A( 3, 4, 0),
B(3, 6, 3) i C( 1, 2, 1), troba la mesura dels seus angles.
Pertany l’origen de coordenades al pla que conté aquest triangle?
L’equació de la recta r que conté els punts A i B és:
(x, y, z) ( 1, 0, 1) L (1, 1, 1) l
(x, y, z) ( 1 L, L, 1 L)
La distància entre el punt C (2, 1, 1) i un punt P qualsevol de
la recta r ve donada per l’expressió:
Pel mateix procediment obtenim:
Per tant, per a un punt P de r que es troba a distància 3 del punt
C, es compleix:
Equació del pla que conté els punts A, B i C:
Com que el punt C no pertany a r, hi ha dos punts que verifiquen
la condició de l’enunciat:
x
y
3 6
4 2
z
3
2
2 0l x
1
2z 3 0
no hi pertany, ja que D ≠ 0.
L1 1 l P1(0, 1, 2)
26. Donades les rectes
r: x 1 y 2 z 3
s: (x, y, z) (1 L, 2L, 3
2L)
24. Determina la distància de la recta
localitza dos punts, un de cada recta, tals que la distància
entre ells sigui mínima.
Un punt P genèric de la recta r és de la forma:
P(1 L’, 2 L’, 3 L’)
a cadascun dels eixos de coordenades.
La recta r es pot expressar en la forma:
r: (x, y, z) (2, 2, 0)
i un punt P ’ genèric de la recta s té per coordenades:
P’(1 L , 2 L, 3 2 L)
L (1, 1, 1)
D’altra banda, l’eix OX té per equació:
(x, y, z) M(1, 0, 0)
La distància entre la recta r i l’eix OX es pot calcular mitjançant
l’expressió:
Perquè es verifiquin les condicions de l’enunciat cal localitzar
sigui perpendicular a caP Œ r i P ’ Œ s tals que el vector
dascun dels vectors directors (1,1,1) i ( 1,2,2) de les
dues rectes.
Fent els càlculs, obtenim:
Com que,
IIIF
PP ` ( L L ` , 2 L ` 2L , L ` 2L)
IIIF F
PP ` ; u 0 l 3L 3L ` 2
IIIF F
PP ` ; v 0 l 9L 3L ` 4
El sistema:
té per solucions
En conseqüència:
Amb el mateix procediment calculem les altres dues distàncies
que ens demanen. Obtenim els resultats següents:
Distància entre la recta r i l’eix OY l
Distància entre la recta r i l’eix OZ l
u
u
11
MATEMÀTIQUES 2
27. Els punts A(1, 2, 3), B(2, 4, 1) i C(3, 2, 3) són tres vèrtexs
consecutius d’un paral·lelogram. Calcula’n l’àrea i la mesura
dels angles que formen les seves diagonals. De quin tipus de
paral·lelogram es tracta?
159
29. Determina l’angle que forma la recta
amb el pla P que conté el punt (2, 1, 1) i la recta
s: x 1 y z 2.
IF
e1
IIF IIF IF
AB r AC eIF2
e3
1
2
2
0 Equació general del pla P:
x 2 1 1
y 1 1 1 0l x
z 1 1 3
4 0
y 10
Hem considerat com a vectors directors del pla P el vector director de la recta s i el vector determinat pels punts (2, 1, 1) i
(1, 0, 2), ambdós pertanyents a P .
Representem per D(x, y, z) el quart vèrtex del paral·lelogram.
Es compleix:
On (1,3,2) és un vector director de la recta r i
el vector associat a P.
13 xlx2
22 yly0
43 zlz7
(1, 1, 0),
30. Calcula la distància entre el punt P(1, 2, 1) i el punt P ’
simètric de P respecte del pla que conté el punt A(4, 1, 0) i
és paral·lel al pla x 3y z 5 0.
Per tant, D(2, 0, 7).
Equació del pla P que conté el punt (4, 1, 0) i és paral·lel al pla
x 3y z 5 0:
Angle que formen les diagonals:
0 les diagonals són perpendiculars l A 90º.
El paral·lelogram és un rombe, ja que:
Equació de la recta r que passa per P i és perpendicular a P :
té les diagonals perpendiculars.
els costats no són perpendiculars
.
(x, y, z) (1, 2, 1) L (1, 3, 1)
(x, y, z) (1 L, 2 3 L, 1 L)
els costats són iguals
.
Punt intersecció Q entre la recta r i el pla P:
28. Troba la distància del punt P(1, 2, 4) al pla que conté la
recta
1
L
3 (2
3 L)
( 1)
L
10l
i és paral·lel a la recta
El punt Q és punt mitjà entre P i P ’ . Aleshores:
s:
Equació vectorial de la recta s:
(x, y, z) ( 1, 1, 0) M(4, 2, 1)
Equació general del pla P que ens demanen:
x 1
y
z 1
2 4
1 2 0 l 5 x 14 y
3 1
31. Calcula l’àrea del triangle els vèrtexs del qual són els punts
intersecció del pla 2x y 3z 6 amb els eixos de coordenades. Escriu l’equació de la recta que conté cadascun dels
costats d’aquest triangle.
8 z 13 0
Vèrtexs del triangle:
A(3, 0, 0) B(0, 6, 0) C(0, 0, 2)
11
160
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Equació general del pla P:
IF
e1
IIF IIF IF
AB r AC eIF2
e3
3
6
0
3
IF
IF
IF
0 12e 18 e 6e
3
2
1
2
x 1
y 3
z 2
1
2
1
7
7 0 l 11 x
2
9 y 7 z 30 0
b) Calcula la distància de l’origen de coordenades al pla .
u
Recta que conté el costat AB:
(x, y, z) (3, 0, 0) L1( 1, 2, 0)
Recta que conté el costat AC:
(x, y, z) (3, 0, 0) L2( 3, 0, 2)
Recta que conté el costat BC:
(x, y, z) (0, 0, 2) L3 (0, 3, 1)
3. a) Esbrina la posició relativa de les rectes:
r: (x
1) (1, 1, 2)
1, y, z
Les dues rectes s’encreuen, ja que no tenen cap punt en comú
i no són paral·leles.
b) Calcula la distància entre les rectes r i s.
r: (x, y, z) (1, 0, 1)
Avaluació
s: (x, y, z) (0, 1, 1)
L(1, 1, 2)
M(2, 1, 3)
1. Donat el punt P(1, 2, 3) i la recta
r:
x
1
2
y 1
z
1
a) Troba el punt P’, projecció ortogonal del punt P sobre la
recta r.
Les coordenades d’un punt genèric de la recta r són de la
ha de ser perpenforma: ( 1 2L, 1 L, L). El vector
dicular al vector , vector director de la recta r. Per tant:
IIF
§PQ , uF , vF¶ ©
¸
IF
e1
IF
F F
u r v eIF2
e3
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1 14
3
IF
IF
IF
1 e 7e 3e l (1, 7, 3)
1
2
3
3
u
b) Calcula la distància del punt P a la recta r.
4. Calcula l’àrea del triangle determinat pels punts d’intersecció
del pla 3x 2y 4z 24 0 amb els eixos de coordenades.
Els punts de tall amb els eixos són:
A( 8, 0, 0) B(0, 12, 0) C(0, 0, 6)
2. a) Troba l’equació del pla P que conté el punt P(1, 3, 2) i
la recta:
r:
[
x
x
y z 20
z 60
Determinem l’equació vectorial de la recta r:
z L; x 6 z l x 6 L
y x z 26 L L 24 2L
r : (x, y, z) ( 6, 4, 0) L ( 1, 2, 1)
Quin és el volum de la piràmide triangular definida pels
punts anteriors i l’origen de coordenades?