Matemática Básica: Números, Geometría y Álgebra

, ATICA I B > 1 '¥. ") X- a -? _ 1 ., \ y- \ _ b-' I .. X !-~ .. ~ Numeros Reales ~ Sistema de Coordenadas . Cartesianas en elPlano ~ Relaciones de R en R ~ .La Linea Recta ~ La Circunferencia ~ La Parabola ). La Elipse ~ La Hiperbola ~ Rotacion de los Ejes Coordenados ~ Vectores en Rn ~ Coordenadas Polares ~ Numeros Complejos ~ Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales. " CARLOS VERA G. \1 1 . '• MATEMAT1CA SA-SICA Aulor: Carlos Vera Gutierrez Prinvrn Edici6n: SeJi£mbre 2003 Prohibida la reproduccion total 0 parcial de esta obra por cualq"ier media, .sin 10 previa autorizacton por escrito de la editorial. Dec. Leg. 822 Dep6sito lega': 1501352003·4790 ISBN: 9972-B 13-26·6 Ediiado e lmpresa en los talletes graficosde: Distribuidora - Imprenta - Editorial - Llbreria MOSHERA 5.R.L R.U.C. 20101220584. PEDIIIOS At POR MAYOR; DiWibuidora - Imprenta . EdilOriaJ - Llbreria MOSUERA S.R.L JI. Tacna 2975 . lima 31 Telefax: 567·9299 • ~'I~~ • AGR{ldECimiEntO: DeS"eo eXpY"'eS"c:r'r'> mi a9l"t':ldecimiento Moi<e< L.:lu,ro S"ugerencias- 4 como po!' per pm' S"US" h"be" al proFeml'" CO"l'mu!"Jo u-l:le< valios-Gls- contl"ibuciones-, I" ,...,vi<i6n del texto . ..$1 hombr. no "al. per 10 quo scbe , sino per 10 quo hace con 10 quo scbc' c sf PRO LOGO Con esmerada y dedicada aiencion, elprofesor Carlos Vera Gutierrez, ha querido oolcar su exJmiencia docente, esaibiendo algunos apuntes acerca de la MATEMAT/CA. BAS/CA., que trata de temas bdsicos, que es la iniciacion delestudio de las matematicas en toda universidad. EI autor ha planteado trece capitulos en esta iniciacion matematica que, en orden son: • Numeros Reales • Sistema de Coordenadas Cartesianas en elPlano • Relaciones de JR en JR • La LineaRecta • La Circunferenda • La Parabola • La Elipse • La Hipirbola • Rotacum de los Ejes Coordenados • Vectores en JR" • Coordenadas Polares • Numeros Complejos • Mturices, Detsrminantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales. Ademds de poner especial cuidado en las definiciones y en las proposiciones, los ejemplos y problemas. se plantean fundamentalmente recurriendo a la iniuidtm grafica. un metoda que el estudianie debe aprender a explorar su imaginacion. Logrado este paso, empieza el razonamiento formal de las matemdticas, que es su objetivo principal. La Editorial /.. IN DICE CAPiTULO 1 INUMERO REALES I 1.0 1.1 1.2 1.3 1.6 1.7 1.8 2.0 2.1 3.0 3.1 4.0 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.4 5.0 5.1.2 5.L3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 6. 6.2 6.5 6.6 lrnroduccion Definicion axiomatica del sistema de los nurneros reales Teoremas relalivos a la igualdad . Diferencia de dos numeros reales . Ecuaciones lineales canuna Incognita Teoremas pararesolver ecuaciones lineales con unaincOgnita I 5 6 Ecuaciones cuadraticas Orden en los nurneros reales La relaci6n menor 0 igual.. . La recta real e inlervalos . lntervalos Ineeuaciones Inecuaciones dr primer grado 0 lineales Ineeuaciones desegundo grado 0 cuadraticas . . .. . 6 7 . 10 . . 19 24 . 25 . . 38 . . . 55 58 62 67 77 Proposicicn Maximo y minimo de unafuneion cuadralica Inecuaciones polinormcas Inecuaciones raeionales Valor absoluto. Definicion Proposieion 02. aplieaeiones Propcsicion 08, aplicaciones Proposicion 09. aplieaeiones . Proposici6n 10, aplicaciones Proposicion 11, aplieaciones . Radicacion. 6.1 Definicion Definicion. 6.3 Teorema. 6.4Teorema Ecuaciones con radicales Inecuaciones con radicales 17 31 81 '" . 82 83 84 9fJ . 94 .. 95 95 98 CAPiTULO 2 ISISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO I 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 Parordenado.2.2 Pafes ordenados iguales. 2.3 Producto cartesiano EI plano cartesiano Suma de parejas ordenadas. Producto de un numero real poruna pareja ordenada Distancia entre dos puntos Division de un segmento en unarazon dada 105 106 107 107 112 CAPITULO 3 IRELACIONES DE m. EN m.1 1 2 3 4 5 6 7 Relacion binaria Dominio y range de una relacion ........ Tipos de relaciones: reflenva, sirnetrlca, Iransiliva, de equivalencia Relaciones de men IR, definicion, donunio y rango Discusio» de Ja gr.i6ea de una ecuacton con dos variables Grafica deuna inecuacion en ':'f" y en 'y" . Gratiea de inecuaciones en dosvariables con valor absoluto Lugar geornetnco 125 126 127 129 131 139 145 lSI CAPiTULO 4 ILA LiNEA RECTA I 4.1 4.2 Angulo de inchnacion de una recta . Pendiente de una recta 4.3 Angulo entre dos rectas 4.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares 45 Eeuaeiones de la recta que pasapor un punto y tiene una pendicnte dada 4.6 Recta paralela atejeX y recta paralela al eje Y 4.7 Otras formas de la ecuaclon de lareela 4.8 Formagenerat de la ecuacion de una recta 4.9 Posiciones reianvas de dosrectas 4.10 Distancia de un puntoa una recta 163 164 164 165 170 180 180 181 184 187 4.11 412 Determinaclon lie las ecuaciones de las bisectrices de los angulos suplementarios formados par dos rectas dadas quese cortan ...................... 197 Familia de rectas ................. ......................... , ............................................ 201 Miscelanea de problemas ............................................................................. 204 CAPITULO 5 ILA CIRCUNFERENCIA I 5.1 5.2 5.3 5.4 Ecuacion de lacircunferencia, forma ordinaria ......,..................................... Forma general de laecuacion de lacircunferencia .'" .................................... Familia de circunferencias ............................................................................. Eie radical ...................................................................................................... Traslacion de ejes ........................................................................................... 239 249 254 255 286 CAPiTULO 6 ILA PARABOLA I 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 lntroduccion ................................................................................................. Elementos de la parabola ............................................................................... Definicior:, ia parabola .............................................................................. Ecuacion de la parabola de vertice en el origen y eieen un ejecoordenado ... Ecuacion de una parabola de vertice V(h,k) Y eje paralelo a un ejecoordenado .................................................................... Recta tangente a una parabola ....................................................................... 291 292 292 293 295 300 CAPiTULO 7 ILA ELiPSE I 70 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Introduccton ................................................................................................. Definicion de elipse ........................................................................................ Rectas directrices ........................................................................................... Distancias conocidas en una elipse ................................................................ Ecuacfon de laelipse de centro (h ,k) Y ejes paralelos a los ejes coordenados ..................................:.......................... Propiedades de la elipse: tangente y normal a una elipse ............................... 329 330 330 331 339 352 CAPiTULO 8 ILA HIPERBOLA I 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 Introduction Definicion de lahlperbola Elementos de la hiperbola Las rectas directrices, I. excentricidad, longitud dellado recto Primera ecuacton ordinaria dela hiperbola Ecuaciones de las asinlotas Hiperbola equilatera 0 rectangular Hiperbolas conlugadas Problemas Segunda ecuacion ordinaria delahiperbola Propiedades de la hlperbola Problemas resueltos Problemas propuestos 369 370 371 372 374 374 374 375 385 391 394 415 CAPITuLO 9 IROTAClON DE LOS QES COORDENADOS I 9.0 Introduccion 421 9.1 9.2 9.3 Rotacion de los ejes coordenados Traslacion y rotacion deejes Ecuacion general desegundo grado Problemas resueltos 422 427 430 433 CAPiTULO 10 IVECTORES EN /Rn I 1 2 3 4 5 6 7 Definicion Igualdad de vectores Adicion de vectores Multiplicacl6n de un numero real porun veelor EI espaclo vectorial /R" Dlferencia de dos vectores Rcpresentaci6n geometrica de los vectores 461 461 461 462 462 463 464 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Paralelismo devectores .................................................................................. EI producto escalar yIa longitud de un vector ................................................ Ortogonalidad de dos vectores ........................................................................ Proyecci6n ortogonal. Componentes .............................................................. Ortogonal de un vector en IR' ........................................................................ Angulo entre dos vectores ............................................................................... Desigualdad deSchwarz ................................................................................. Area de un paralelogramo .............................................................................. Arca de un trlangulo ....................................................................................... Problemas resueltos ....................................................................................... EI producto vectorial ...................................................................................... Regia de la mano derecha, Bltriple producto escalar, Volumen de un tetraedro, EI triple producto vectorial Aplicaciones del producto escalar ydel producto vectorial a IaFisica ............. Geomctria analitica del espacio ...................................................................... Distancia entre dos puntos delespacio Ecuaci6n vectorial de Ia recta ......................................................................... Pianos en IR' .................................................................................................. Distancia de un punto a un plano ................................................................. 465 466 468 469 472 473 473 474 474 476 504 515 517 518 524 529 CAPITULO 11 ICOORDENADAS POLARES I 1.0 20 3.0 4.0 5.0 EI sistema de coordenadas polares ................................................................. La roseta polar Relacion entre coordenadas polares yrectangulares ...................................... Ecuaclones polares de las conicas .................................................................. Discusi6n de lagrafica de una ecuacion polar ................................................ 549 552 558 560 CAPITULO 12 INUMEROS COMPU;YOS I 0 I 1.1 1.2 13 Introducclon .................................................................................................. EI conjunto de los numeros complejos .......................................................... Componentc real ycomponente imaginaria de un niimero complejo ............ ldentiticacion del conjunto <Gcon elconjunto lR' .....................:.................. Representaci6n geometnca delos numeros complejos .................................. 569 57 570 570 571 1.4 1.5 La unidad imaginaria i;,J-l Polencias enieras de i 12.0 1':1 sistema de los numeros complejos Propiedades de laadicton y de lamultiplicacion de mirneros compleios Propiedad distributiva " 19uaidad de numeros complejos Sustraccion de dos numeros complejos · . " enIre dos numeros DIVISlOn compie''os Conjugada de un mirnero complejo Potencta de un numero complejo Propiedades de las conjugadas de mimeros complejos MOdulo de un numero complejo Argumenlo deun numero complejo . Propiedades del mOdulo Propiedades del argumenlo Forma polar de un numero complejo .. Produclo y cociente demimeros complejo, cuando estan expresados ensu forma polar Forma exponential deun numero complejo FOrmula deDemoivre Raiz de un numero complejo El logantmo natural de un numero complejo .. Raices de un nomero complejo Problemas resuehos .. Problemas propueslos .. Las n raices de la unidad . 2.1 '2.2 2.3 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 .. 571 . .. .. . . .. .. .. .. . .. 572 572 573 574 574 575 575 575 575 576 576 576 .. 578 57S 579 579 580 581 582 583 584 585 605 614 CAPiTULO 13 MATRICES, DETERMINANTES YSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1. 2. Matrices, definiciones: orden deuna mamz, matriz cuadrada, matriz triangular, igualdad de matrices, matriz transpuesta, propiedades, matriz nilponenle, matriz idempotente, matriz involutiva, matriz hermitiana, elespacio vectorial de las matrices, propicdades de lasuma de matrices, multiplicacion de matrices, propiedades. Determinantes, definicion, propiedades 615 624 > 4. s. Problemas propuestos . Rango de unamatriz e inversa de unamatriz Equivalencia de matrices Matriz delos cofactores y adiurua de una rnatriz Inversa de unamatriz Metodos para hallar I. inversa de una matriz Ejemplos Problemas propuestos ...... Sistema deecuaciones lineales. Definicion Metodos para resolver un sistema deecuaciones lineales Metodo deGauss -Jordan Regia de Cramer Valores propios y vectores propios Problemas propuestos ~~ 629 638 640 642 643 644 6S1 6SS 656 657 '.660 664 6{i'J .,. =========...... / CAPITULO 1 , NUMEROS REALES 1.0 ImOlllCCIOI Damas por conocido los siguientes conjuntos numericos: = {O,I,2,3,. .. } • EI conjunto de los ruirneros naturales IN • El conjunto de los mimeros enteros Z = { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } • £1 conjunto de los mirneros racionales Q={ t / aEZ ,bEZ ,b"'O l • EI conjunto de los numeros irracionales (IT), son aquelJos que no se pueden expresar como la division de dos nurneros enteros. Son numeros irracionales: .J3 . • Ji .:r e, l/5 , ... ,etc. EI conjunto de los rnimeros reales es la union disjunta de los ruimeros racionales con los rnimeros irracionales, esto es : IR=QuU 1.1 DEFINICION AIIOMATICA DEL SISTEMA DE lOS NUMEROS RULES £1 sistema de los mimeros reales, es el conjunto IR, provisto de la relaci6n igualdad, de dos operaciones: adicion y multiplicacwn, y de una relaci6n de orden: !!!£!!Q!. 0 igual gue. 1 .II' Matematica ~a5ica I AXIDMAS DE LA IGUALOAD I I, . V a E lR I,. Va, b e lR I, . v o , b , c PROPIEDAD REFLEX IVA a~a E si a JR = b => si a=b 1\ b =a PROPIEDAD SIMETRICA b=c => a » c PROPIEDAD TRANSITIVA I AXIDMAS DE LA AOICliiN I La ley de clausura de la adicion de rulmeros reales, esta definida por la aplicaci6n +:lRxlR_lR (a.b) >------> a +b ULa suma de dos ruimeros reales es otro ruimero real" A,) Ley conmutativa v o ,b A,) Ley asocianva \;j A,) Existencia y unicidad del neutro A.) Existencia y unicidad del opuesto Va E lR a+b=b+a a , b , c E IR I, +b)+c=a+(b+c) 3!OElR, VaEIR E lR , 3! (-a) E 1R: a+O=a a + (-a) =0 I AXIDMAS DE LA MULTIPLICACliiN I La ley de c1ausura de la multiplicacion de numeros reales est. definida par la aplicacion lRxlR_lR (a ,b) >------> ab "El pmduc;:to de dos mimeros reales es otro mirnero real" MI) Ley conmutativa : Va, b e lR M,) Ley asociativa Va, b ,c M.,) Exillienciu y unicidad de la identidad 3! 1 M.) Elxllltencia y unicidad del inverso E ab = ba lR (a b) c = a (bc) E lR , Va E JR: a. 1 = a v o .. 0, a donde a -I E lR . 3! a -r : aa -t = 1 = 1u D. Ley de ~llllrlbucl6n de lu rnultiplicacion respecto de 1a adicion: V n , b , c e JR : a (b + c) = ab + ac ----------:-::::===-=:::-:cc=::--------NUME:ROS RE:AL.E:S nOREMAS RElATIVOS AlA IGUlDAD 1.2 I TEORE~IA 1 l (de la monotonfa y simplificaci6n) Las siguientes cuatro condicionales son vcrdaderas: I. Si a=bAcelR ~a+c=b+c 2. Si a+c=b+c =:> a 3. Si a=bAcEIR =:> ac =:> a 4. Si ac =bc AC.;tO =b = be =b (monotonia para lasuma) (simplificacilin para lasuma) (monotonia para lamultiplicacilin) (simplificacion para lamultiplicacion) L Sf! lee entonces Demo.c;traci6n : La demostracion de cada uno de estas proposiciones se haee aplicando correctarnente: las definiciones, los axiomas y las hipotesis, PRIJEBADE 1 (1) a+C = a+C V (a + c) (2) Pero (3) POI el principio de sustitucion; se sustituye (2) en (1), obteniendose a + c , lR E ta = ! • segun I, . Ia hip . 6tesis . • segun PRlJEBADE2 (I) POI hip6tesis se tiene: a + c = b + c (2) Aplicar 1 delteorema 1 sumando -e en ambos miembros: (a + c) + (-e) . (3) Por A,: a+(c+(-e» , (4) (5) Por A.: a Por A,: + . 0 = (b + c) + (-e) = b+(c+(-e» , , = b a =b PRIJEBA DE 3 : Queda como ejercicio PRIJEBA DE 4 Queda como ejercicio : . + 0 =b + c '''\ Matematica ITIoREMA 2 I r,~5ica Para todo a e IR, se cumple: a' 0 = 0 Demoslraci6n : Paniendo de a.O =a. 0 + 0 Yhaciendo 0 = a + (-a) ,!legar a probar que a.O =,a+(-a). • o ... Complete Ud. '" apJique los axiomas: A" 1 TEoIlEMA J l A2 , M), D, A•. (referente al opuesto de un mirnero real). -a =(-I)a l.'iaelR 2. 'i a. be IR a (-b) = -tab) = (-a) b 3. 'i a e IR -(-a) =a 4. 'ia,belR : (-a)(-b) =ab Demostracwn d. I : Bastara demostrar que a + (-I) a = 0 Tener en cuenta que: La igualdad: a + (-a) = 0 La igualdad: nos indica que x = -a es soluci6n de a + x = 0 ll2ii-I)~ nos indica que x = (-I) a es soluci6n de a + x = 0 Comparando: (I) con (2) y aplicando el axiorna I" se obtiene a + (-a) = a + (- l) a Por el Teorema 1 pane 2 (cancelaci6n) se deduce que -a = (-1) a. P,m9i1"mOl ,ue: a + (-1) a .: 0 o +(-I)a= Partir de '-..-' J .0+(-I)a M, -o.l+a(-I) M, .a<!+~-I)) D m • CI =0 • • • 0 .................. A. Teor.2 (I) (2) NUMEROS REAL.ES Demostracion de 2: Aplicar sucesivamente 1 y los axiomas M 2 • M J , Mz Demostraci6n de 3: Hacer similar a la demostracirin de 1 Demos/ra.ion de 4: Aplicar sucesivarnente: I , M, , M 1 , 2, 3 I TEOREMA 41 (aeerea del inverso de un numero real) I. Si a" 0 , a E lR ; entonces (a-I) 2. Si u e O A -I =a b"O; a,bElR;enlonees(a.b)-I=a-l.b- 1 Demos/radon de 1 : entonces existe un unico numero real a-I, tal que, aa- I = 1 .... ~ .... (1) • Si a '1: 0 • Si a-I • ' M 1: · d0 eIaxiorna Pera, ap I lean • Comparando (2) con (I) tenernos: • Aplieando el Teorema 1,4 (cancelacion) obtenernos: (a-I) -I = a. '1: O. existe un unico numero real (a-I) -I , tal que a -I (a -I (a- I ) -t )'-1 a -I = 1 .= I . (2) (a-I) -I a-I = aa- I Demos/radon de 2 : • Si a 0 A b • Si a " 0 A b " 0, "# '1: 0, entonces existen sus inversos a -I y b-I respectivarnente. t entonees ab e 0 y por tanto existe (a b rl (ab)(abr ' = I • tal que (i) Si en el produelo: (ab) (a-I b- I) aplieamos M, y M"oblenemos: = (aa- I ) (bb- ') '---v--' '---v--' I I I • (ii) Comparando (i) y el resultado (i i) obtenemos que: (ab) (abr' = (ab) (a-I b- I ) • Por cancelaci6n: (abr l = a-I b- I Matematica ea5ica 1J IIFERENCIA DE DDS NUMERDS REALES Dejillu:wlI.- Va,b e lR sedefine: a-b=a+(-b) Se lee "Ia diferencia de a y b es igual a la suma de a con el opuesto de b", LA DIVISION IE IDS NOMERDS RWES lA DejillU:il1II.- Va.belR con b"O,sedefine: t=a.b-' Se lee "la division de a entre b es igual al producto de a por el inverso de b". PDRNCIICIOII DE DPDNENTE EmRO 1.5 DefUlicwn.- Si a es un mimero real que no sea cero y m es un numero natural (IN), definimos: aO = I . { a'" =aIfl - I a,slm:2:1 a-III =(a-1r adernas . ' :.<1'...., \9 elii!1l1 t""'lI"'h:.ll.~~ot~,~.r\i"" "."'.'~' . N~" e ,;"",t., ...•... finida -, I TEOREMA S I Si a, be IR- {OJ Y m, n e IN, se curnplen: I. 1.8 alii a" 2, <a 3, (ab)m lfl )f1 = am" = am" = am bm m = a"'-II 4. " 5. (t)"'= a" ~ hili ECUAClOIlES DIlEAtES CON UNA INCOGNITA Una eeuacion lineDI con inc6gnita x tiene la forma ax + b =0 . (/:,c. O. EI siguiente lcnrcrnD afirma que la solucion de esta ecuaci6n es el numerc real x = _l!.. Y rcclprocamcnte. el ruimero real x • ax + b = 0. = -!!- es solucioh de la ecuacion u NUMEfWS REALES I TEOREMA6l Si Q. b, .r E lR Y a ~ 0 • entonces ax + b = 0 si y s610 si x =_!. u Demostracion: Partiendo de ax + b (=» = 0 , probar que .r =_P u La demostraci6n se haee aplicando cuidadosamente los axiornas de adici6n y multiplicaci6nde numeros reales: • Partir de ax + b = 0 • Sumar en ambos miembros el numero real -b : • ax+~b+(-b») = = -b A, • ax+O =-b (ax + b) + (-b) • Teo 1,1 ;-b A, A, = a-I (-b) Teo 1,3 = -a-'b M" Teo 3.2 1• x = -a-I .r :::; _l!.. • • ax Como a" 0,3 ! a-I => a-'(ax) • (a-1a)x • • b M, M"I.4 a (¢co) si x=-l!..u Demostrocion: 1.1 • 0 + (-b) ~ ax+b=O (queda como ejercicio: aplicar los axiomas y teoremas de manera similara la demostraci6n anterior). noR_ PAIA RESOLVER ECIACIONES UlWES COlINA IICOSIITA I TEOREMA 7 I ab =0 si y s610 si a =0 v b =0 ; D~mostraci6n: La demostraci6n tiene dos partes: una es de ida venida [cc) La de ida (=» (=» si ~;...Q, Hip6tesis => a=O v b=O '--v-----' Tesis Haremos la demostraci6n por el metoda de reduccion 31 absurdo. (~) y la otra es de MatemAtica r,Asica S•• mpieza negando la rssrs: I. Negando la tesis : a", 0 /\ b '" 0 2. En base a la nueva hip6tesis b", 0 y la hip6tesis ab = 0 • dado en el teorema, pasar al siguiente paso. 3. Hacer el siguiente razonamiento: b = I. b M, 4. Si a e 0 => 3 a-I tal que 5. Sustituir en 3: b = (a-I alb = a-I (ab) = a-I (0) • a-I a = 1 M, ......... ....... .. .... .. ...M2 pues ab = 0 • segun hip6tesis b =0 6. Hay una contradiccion, no puede ser que h . 0 y luego b = O. Esta contradicci6n se present6 porque heruos negado la tesis, Para que no ocurra esta contradiccion, simplemente no debe negarse fa tesis, esto es, la hipotesis ab = 0 implica que a = 0 v b = O. La venida (eo) (=» si a =b v b = 0 => ab =0 Dcmostracidll : Crllo1: SI a = 0 enlonces ab = 0 . b = 0 Caso 2: Si b = 0 entonces ab ;: a . 0 ;: 0 A.plleaclon•• : <D Resolver 'd x SoIud'" ; E lR: ;. - x - 6 = 0 1° Pactorizar 2" Apliear Teo 7 : 3" C'.S. L = {3 • -2) Conl.nlD SoIucl6n (x - 3) (x + 2) ~ 0 x 3 =0 x =3 v v x+2=0 x ;:-2 NUM£RQS RE:ALE:S <%J Resolver 'V x E lR: 6x' +x - 2 =0 Solac;;;n: W+x-2 10 Factorizar 3x>< 2 2x -I (3x+2)(2x-I)=0 2° Aplicar Teo T: 3" C.S. = 1_1. \ 3' 3x+2 =0 x =- v 2/ 3 2x-1 =0 V X = ~ .11 2 . I COROLARIO 7.1 I a· b '" 0 I TEOREMA 81 a' = b' si y s610 si a'" 0 si y 0610 si a = b v Demos/radon: Hacer a'- b' = O. factorizar y aplicar el Teorema 7. Ap/icaciones: ~ Resolver 'V x E lR : (x + 3)' = 9 Solacion .Escribir en la forma del Teorema 8: (x + 3)' = (3)' AplicaralTeorema8: x+3=3 x=O v x+3 =-3 v x =-6 C.S. = {O. -6} ev Resolver 'V x E lR: 16x' - 16x + 3 = 0 A b '" 0 a = -b Matematice r>a.sica SqlHci6n: COMPLETAR QJADRADOs: Multiplicar por 1° completar cuadrados en: 16x 2 -16x + 3 = 0 f6 . Elegir el coeficiente de .r, que es -1. .r 2 3 -x=-T6 Dividir-I emre2,quees 4 4 16 = x-.!.. =1. 2 4 que es t. en ambos miembros. As! se forma un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 1 __ 1. v x-"2- x=.l v 4 x=.l 4 3° CS = t Sumar (x-t)2=1~ 2° Aplicar eI Teorema 8 : +. Elevar al cuadrado - x 2_x+ l = l _ 2.. -t. 4 {i4' 1\ 4 I COROLARJO 8,1 I Si K;;' 0 entonces a' =K si y s610 si a ~ Jk v a =-Jk IJlIIJ!B Resolver en IR : • x' = 3 Solu.i6n: = x=,[3 Resolver en IR: _I)' (x =5 Solucion; v x=-,[3 Cs ={-,[3,,[3] Resolver en IR: • @ x' =-4 SolucMn " AI extraer ralz cuadrada He nbtiene numeros imaginarios, eruonces el C" = 0 =x-I=.,[5 v = x=I+.,[5 v x-l=-.,[5 x=I-.,[5 Cs=(I+.,[5,I.,[5) ® = Resolver en IR: (x 2 _I)' =2 x 2 -I =.J2 v x 2 -I 2 -I <:==::> x - +"'"2 L V X 2 _ - =-,fi I r-; }~O Sl' l'ILcde aplicar - " .: el ClIIUlariO 8.1. =X=~I+.J2 v x=-.JI+J2 c, ={~I+.J2 ,-~I+.J2} 1. ECUICIOIU CUIDRAnCAS Definicion.- Si (I • b • c son numerus reales cualesquiera y a*- 0, diremos que: ax 2 + bx + (' = 0 es una ecuaci6n cuadratica en x. 10 NUMEROS REALES Son ecuaciones cuadraticas con una sola inc6gnita "r", las siguientes igualdades F.JEMPLO.- CD 2x'-3x+2 =0 G) x'+4 ~O @ x 2_x ::::0 @ .<'-4 =0 BAlZ DE UNA ECUACION CUADRATICA Definicion» Diremos que el mimero r (real 0 complejo) es raiz de la ecuacion cuadratica ax' + bx + c = 0 si y s610 si + br + c " O. or Eiemplns: CD x = 2 es raiz de @ x ee 2.<' - 3x - 2 = 0, porque 2(2)' - 3(2) - 2 " 0 3 no es raiz de 2x' - 3-' - 2 = 0, porque 2(3)' - 3(3) - 2.,,0 '._------.- ..-----_.__ ._---~. 7 I TEOREl\1A 9 } a:C + bx + c ::; 0 La ecuacion cuadratica " ( .a ecuacion b)2 x+~ h ,a ':/< 0 es equivalente a 2-4ac =~. DemostraciOn : a:i+bx+c =0 Formar un trinomio cuadrado en Paso 1. Si a > 0 , multiplicar por 1.: a x 2 +.Q.x+.£.=O Paso2. Asociar los dos terrninos en x2 y x: x 2 +l!.x+ a Paso 3. Elegir el coeficiente de x : l!. dividir entre 2 ..!L elevar al cuadrado ~ en (I) X a a =-£+ a (I) a 2. a 2 Sumar ~ en ambos miembros 4a 4a 2 +-x+--=--- b h2 b2 c a 4a 2 -----....,.. ( ..-' 4a2 a '-_.~,-_.j x+-k.... ) 2 =b'--4." -2 2a 4a 11 ITEoREMA 9.1 I Las rakes de la ecuaci6n cuadratica ax .{ 2 + bx + C :::: 0 , a ;/:- 0 son -b+~ -b-~} 2a • 2a Dtmostraci6n: Puo1.1 Por el Teorema 9 se tiene que: ax 2 +bx+c=O ~ Puo2·1 Aplicar el corolario 8.1 para todo numero bl_4ac reaI - - c:::::::::) ( x+JL. ) 2a b' - 4", =--,- 4a 2 x+JL~ ~ 2u 2a ~ x+...£..._V b-- 4m ; 2a - 2a ~ x=-b+~ 2u v -b -1/b--4uc "'---;-b' v x 2" 4"' Paso 3.1 c.s ~ { -b+~ . -b-~~' -4a' 1 IISCRIMINAm IE II ECUACIO. CUAIUTICA Definicion .- El nrlmero real b2 - 4ac se llama discrirninante de la ecuaci6n cuadratica ax 2+ bx + c> 0 , a 7:- 0 NOTACION: Con la letra griega 6. (delta) vamos a denotar al discriminante. esto es, b'-4ac~!1. I TEOREMA 10 I (CLASES DE RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA) La ecuaci6n cuadratica a;c2 '* + bx + c:::: 0 , a 0 : si y s610 si, (1) tiene dos rakes reales diferentes, .1 > 0; (las rakes son ~ rj y I~) 0; (r, = r,) (2) uene solo una rafz real, si y s610 si. Ii (3) no tiene rufces reales, si y s610 si, 1'1 < 0; (rl :;;:: m + in , rz::::) -+-X *t-x +x ftx y y '1 Y'2 Ion ralces feillcs dlfel'tllkS L. pa",bola corb ,I eJc X en '1 Y'1' y y ralces iguales Le padbola ecrte .1 eje X CD un 1610 punto. V IX - in) Yl m "I Y'2 noson numerus rcales La paniibola DO eorta 81 ejc X. NU""EROS REALES PROPIEOADES DE lAS KAICES DE UNA ECUACION COAORAnCA I TEOREMA11 I Si -b+~ rl Y r2 2" -h-~ son 2" las rakes de la '* 0, se cumplen las ecuaci6n cuadratica ax 2 + bx + C = 0 , a siguientes propiedades: =--;h r, r2 -S -- tJ (I) r l + r2 (2) ax 2 + bx + C = a (x - r1 )( x - r2) y Demostracion: (Por el corolario 9.1 se conocen las rakes rl Y r» luego sumarlas. despues multiplicarlas, para demostrar (I). La demostraci6n de (2) se empieza factorizando a). APLICACIONES: EI discriminante 6. = b2 - 4ac de la ecuaci6n cuadratica ax 2 + bx + c = 0, tiene gran irnportancia en el . .oilisis de las rakes (TEOREMA 10) y en el analisis de las inecuaciones cuadraticas: a;c2 + bx + c S D y ax 2 + bx + c ~ 0 (ver mas adelante). u'-3x-l~ol d~(-3')-4(2)(-1)~17 r = J+m l 4 Porque A> 0, lias rakes son reales r = z diferentes. 9x'-6x+ 1 ~O x2+x+I=O s ~(-6')-4(9)(1) ~O s ~(1)'-4(1)(I) =-3 Porque /1 = O. tiene 5610 una rarz. Porque /1 < 0, r 6±JQ I = """2(9) = "3 Ii = -I+H 2 tiene rakes complejas conjugadas J-m 4 "2 = -I-H a Matem~tica ~~5ica 1.8 (<II.~ROS CO~~WOS a) DeRnlaon: _ . _ La raiz 'cuadrada de un numero real negatrvo se llama NUMERO IMAGINARlO. IEjemp/o 0 1 1 b) Definicion: ,H n ,H 'N ; son nameros imaginarios. La expresion ~ se llama numem imaginario unitario y se denota con la letra i, esto es ~ = i En base a esta definicion, los niimeros del ejemplo I, se pueden expresar de la siguiente forma: n=2i ,H=,[3i . H = f i ,N=,[5i c) Definicion: Los numeros complejos son donde a y b son numeros reales. .niellos que tienen la forma: a + bi. Notation: Los nurneros complejos se denotan con la letra Z IEjemplo 021 Z, =3+5i , Z2 =O-+i , Z3 =-f+4i d) CONJUGADA DE UN NUMERO COMPLEJO. Deflnlclon: La conjugada del niimero complejo Z = a + hi es Z 1 Ejemp/o = a - hi 03 1 Laconjugadade Z=-3+2i es 2=-3-2i Laconjugadade Z=5-3i es Z =5+3i . . Si el ruimero complejo m c ni , es rafz de 1'1 tlx 2+bx+c=O. entonces su conjugada m r Cl'U:\ 16n cuadratica ni , tambien es r.uz de la ccuaci6n. . . Si cl numero irracional 111 + flJP ' con p > O. es raiz de {Ix:! + bx + c = 0, entonces su conjugada m - nJP • tarnbien es raiz. NUM£ROS REALES E.JEFICICIDB GRUPO 1 GRUP002 Dadas las siguicntes ecuaciones cuadra Sea ax2 + bx + C ;; 0 una ecuaci6n de segundo grado de rafces a y p. Sea S la suma de estas rafces y p su producto. ticas, se pide: a) Hallar el discriminante de cada ecuacion. b) Segun el resultado obtenido en a) diga si las rakes son reales y di Ferentes 0 tiene raiz iinica 0 las rakes son mirneros complejos a) Calcular, cada una de las siguientes, expresiones algebraic as. en funci6n de S y p. b) Expresar, luego, en funcion de a, b y c. conjugados. 01 c) Hallar las rafces. . 2a-1 2a+1 + 2fJ-1 2,0+1 d) Ubique en la recta real las rakes reales, en caso que existan. 02 01. x'-3x+2=0 03.3(a 3+p3)+a2+p2 02. x' - 4.< + 4 = 0 fJ-l . a+2 + a-I P+2 1+_1 03. x' + 4x + 13 = 0 04. a'-S 04.4.<' + 12x + 9 = 0 05. (a+p)2 _4a 2 p2 fJ'-S 05.6x'+7x-3=0 06. x' - 6x + 34 = 0 GRUPO03 07. x'-6x+ 1 =0 01. Hallar los valores de a y b, si se sabe que la ecuacion cuadratica: 08.2x'+2x+5=0 09. 9x' - 30x + 23 = 0 x'-_.2(a - 10.20x'-x-12=0 b)x +.a + b = 0 tiene como raiz iinica el numero 2. Respuesla,'1: 01. 2, 1 02. 2 03. -2±3i 04. _1. 05. _.1. Y 06. 3 ± 5i 2 ~ , 3 x'-(a+ l)x+2=0 es 2. 3 . 09. 1.) + .fi 07. 3± 2,f2 08. _.L~ - ) 2 -"2 1 10. f,-i 02. Una raiz de la ecuacion Hallar el valor de a y la otra rafz. 03. Las rakes de la ecuacion: 2"-16x+c=0 15 Matematica siguen una progresi6n aritmetica de raz6n 2. Hallar las rafces y el valor dec. ~a5ica 10. Hallar el valor de ecuaci6n: 4x' + (Sc - 3)x + 108 = 0 05. Una raiz de la ecuaci6n: x' + (IOn +m - 9)x + mn = 0 es 3 + S;, donde i = ~, i' =-- I. Hallar los valores positives de m y 11. tiene solucion unica. Sol"ewn: 02. a = 2 • r, = I 01. a = 3 ,b = I , 5 , =9 03. c=30 . Ii =3 , r 04. c=-9 , rl =3 , r " 01. b=£. m :'.10. J m ==2" III =- 1., = OS. m=~ .X05. m = 3 . n = 2 "1. 06. Hallar el valor de m sabiendo que la ecuaci6n cuadratica: sabiendo que la nu' +( 4m + I )x+ 7m -I = 0 04. Las rakes de la ecuaci6n: estan en progresion geometries de razon 3. Hallar el valor de c y las rakes de la ecuacion, III, 08. 111 =J 1 m==-2" I m==(; , z +(2my\ -2m-x, ' -4)x m x + ( YI' + m " xI 2 m x, Y\ ) ee 0 ,-,-4px =0 Nota: Los problemas del 6) a 10) san muy (Hiles para resolver problemas de tangencia en GEOMETRIA ANALITICA. tiene una sola raiz y edemas: YI 1 01. Hallar el valor de b en terrninos de p y m. si la ecuaci6n: m'x' +(2bm-4p)x+b' =0 tiene una s61a ralz. 01. Hallar el valor de m, si la ecuaci6n: GRUPO04 Los siguientes sistemas de ecuaciones se resuelven por sustitucion 0 igualaci6n para hallar los valores de las parejas (.x,y). Resolver los siguientes sistemas. 01. {x' - 02. {x' 03. {y = 2 - x' nu' -4x+ 4(2-m) =0 tiene soluci6n unica. 08. Hallar eI valOf d. m, si la ecuaci6n: nu' - (3 + 8/1/ ).t +9+ 19m = 0 tiene una unica solucion, 18 y ~ 3 x-y=1 + y' = S x-y=l y=x 04.{x+i=3 x-y=1 06. {X 2-6x- y = 0 SolucUJn: y=O 06. { X 2 + 2x - y + 1 = 0 01. (2,1), (-1,-2) 02, (-1,-2), (2,1) 03. (-2,-2), (1,1) 04. (-1,-2) , (2,1) 05. (0,0), (6,0) 0&, (-2,1) , (2,9) 2x-y+5=0 07. (1,-{),(-q),({,-I),(-{,I) 07. {4(X 3-y')-3(X Y)=0 08. (-1,5), (3,-3) 2xy+I=0 08. 09. (1,-3) , (-3,1) 2 10. (0,3), (5,-2) y-e x =6 { Y +2x-3 = 0 2 Nota: La solucion de los sistemas de ecuaciones: 1,2, 3,4,5,6,8 Y 10 son intersecciones de una parabola con una l 09. { x - xy + = 13 x+ Y =-2 10. recta. Las soluciones de 7 son interseccio nes de dos curvas. La solucion de 9 son las interseccio nes de una curva y una recta. {X = 9-l x+y=3 2.0 ORDEN EN lOS NOMEROS REIlIS. Para poder establecer la relad6n de orden "rnenor que" entre los mimeros reales vamos a suponer que existe un subconjunto de mimeros reales, que denotaremos con IR+ y se llama el conjunto de los mimeros nates positivos. o -00 . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( ; • \ 01. +00 . Ley de la tricotomia: Para cualquier mirnero real "an se verifica una y solamente una de las siguientes relaciones: a 02, E lit v - a E JR+ v Ley de Clausura de JR+ . Si a y b pertenecen 31 conjunto JR+ , entonces (0 + b) a =0 E JR+ yo. b . E JR+ 17 P,OpIsl6" I. Decimos que el rnirnero real a es positive. si a E /R+. Y un mimero real a es negative, si -a E JR+. Dt/lnkiO" 2. Dados dos numeros reales, decimos que a es menor que b. si b - a es positive; esto es: a < b '----.,.--_." <==:::) b - a e /R+ a es rnenor que b, si y sOlo si. b - a penenece al conjunto /R" Si a es menor que b diremos que b es mayor que II '-------- ~- t:"::' '._------ ~-~ b---------, ~ A continuaci6n enunciarernos varies teorernas sobre el orden de los mimeros reales, cuya demostracion la dejaremos como ejercicio EI objetivo de este capitulo es aprendcr a resolver inecuaciones aplicando correctamente las definiciones y los teoremas. lEOREMA01. Corolorio 2.1. 1. a es positive = 1. Para todo numero real "an que no sea 2 cero. se cumple: a > 0 a > 0, y 2. a es negative <==::> a < 0 2. Para todo numero cumple: ,,';, 0 [)eOnki6" 3. I. Los nurneros a y b tienen signos iguales, si ambos son positives 0 umbos son negatives. 2. Los numeros II y b tienen signos diferentes si uoo es positivo y el otro e. negative, ".1> > 0 2. ". b < 0 = = Ejemplos: 1. Resolver: (x -I)' > 0 La soluci6n es: m- {I } 2. Resolver: (x - I)' '" () La soluci6n es: JR Corolorio 2.2. El conjunto vacio. Es decir JR+ :J; 0 TEOREMA02. 1. real "c", se (a> 0 1\ m: no es b > 0] v la < 0 1\ b <OJ I" < 0 1\ b > OJ v I" > 0 1\ b < OJ nOREMA03. (Transitividad de la relacion "menor que") Si [a 0~1.>0 Estoes: a 1. a cb =a+c<b+c (orden-adicion) Si a <o~ 1.<0 a Ejemplos: 2. a cb 1\ c c.d ~ a s c cb v d aJ sumar dos desigualdades con relaci6n "mellor que", se obtiene otra desigualdad con relacion "menor 1. t es positivo, su inversa: 2. -5 es NEGATIVO y su inversa 1. a 0 ~ ac < be (orden multiplicacion) TEOREMA07, (Multiplicacion - Cancelacion) 2. a c b I. ae<bc 1\ c>O ~ sc 1\ c<O ~ a i- ccD 1\ I -5' tarnbien es negative. TEOkEMAOS. 3. O<a<b 2 tambien es positive. que". 1\ 1 ~ ac v be O<e<d ~ ac c.bd 2. a c c nOkEMA06, b TEOkEMAOa, (Invertir una desigualdad) Si a es un mimero real diferente de cero, entonces a y a-I tienen signos iguales. 1. 0 < a ~ > 2. a c b c lA RElIGION .DlOR 0 IGIIl Definicion: a b a cb t) ~ i 1.>1. a b 2.1. v v a e- b a=b EI siguiente teorema agrupa un conjunto de propiedades referentes a la relacion "menor o igual" TEOREMA 09, Para los numeros reales a. b. c se cumplen las siguientes propiedades. 1. 2. 3. 4. S. 6. ".$ a (Todo niimeroreal a, es menor 0 igual a sf mismo) ~ a =b a -5. b 1\ b -5. a aS b 1\ b.$ c => a S c ae b as b asb ~ a c b va>b a+c -5. b s c c z O ~ a c s bc c s O => at: ~ be 7. a c b ~ 1\ 1\ ___ ~ (Definicion de la relacion igual) (transitividad) ......JL. PROBLEMAS RESUELTOS Las siguientes demostraciones se haee en base de una buena aplicacion de las de.finiciones y teoremas que se han enunciado. mJ Si i) ;;) a < b. demuestre que: 2a < 30+h a < 30+h 2 u +h a<-2-<b .2. a < 3a+b < a+b < a+3b <b Bastara aplicar el teorerna 4. dos veces y el teorema 3. Si a < b, sumar "a" en ambos miem bros. a+a < a s b parte de Ja+h u+b -2- ({+b -2-+a < b+a (I) sumar "b" en ambos miem a v b < b+b se <b < b+a (j+b+2a 2 u+b -2- lI+h -.-<~ Asl: Sumar "a" en ambos rniembros: 2a < a «b Si a < b. bros. (4) Para dernostrar que: Demostraclen de i) a < -. 3Q+b -2- < a+ b Multiplicar por ~ en ambos miembros: 30+b u wb -'-<-2- (5) a+b < 2b a+h < b ............... (2) 2 Por demostrar que: En (I) y (2) aplicar la transitividad: Partimos de: u+h a <-2-<b Sumar u,," (l+h "< -2- a+b<-2-+ b --,- a+b<u+3h (3) en ambos miembros de (3). f' III a+a < """"2'""""+(1 2a < 20 b u+b 3u+b Para dernosrrar que: a < - . . a< a; a+3h < -.- . Sumar "b" en ambos miembrus: Oemostraclon de ii) parurnos de: a+b -2- II I " I 2 2/1 Multiplicar por ~ en ambos rniembros: a eo a+3h -2-<-'- , . (6) 1 £I Fa ta demostrar que: + 31> -4- a w b > I+ab (a - J)b (a-I)-(a-l)b>O ...... b ... Si c c I => a-I<O (7) AI multipliear las desigualdades (1) y (2); obtenernos: (a-1)(1-b) > 0 2 (a - 1)(1) - (a - I)(b) > 0 4 a-J-ab+b>O Nota: Aplieando i) Se puede hacer ii) L·Observacwn:."" -1. ',;. ~,,: a-v b > I+ab ·.:t." : ., '':' _, .~~'"' .N?, Comopode'1'<lf?b,,"Yar,eo~ ljIl~P' algeb{a;~I~mentilI. *:'~p'\~~o .correctamente -',:'108 < aX~9ma,~'-'_';'r:Jas ",tleijl1icio~ y los teoremas, se pueden ~eri demostraciones, desil~Jl!Sl1JAAi rsimples basta las DIlls compUc,a¢i;':', :,: Sean a, b (1) multipliear por - J => I - b < 0 ... (2) < 3a+h < a+b < a+3b <b 4 m un bum indicio para cmpezar II demO$lr2Ci6n. Veamos: Conectamos las desigualdades: (4), (5), (6) y (7) aplicando eI teorema 4 (de transirividad) y obtenemos. .de <----- Esle ""vJ1IdD" (a - 1)(1 - b) > 0 Si b > I => b - J > 0 a+3h -4- < II = < 2b Multiplicar par ~ en ambos miembros: • a-I >ab-b = = Sumar "b" en ambos rniernbros: I/+b 2 = a < 0, entonces @Si I;f a E JR -2 , JR. Demoslracron.. Para saber partir, "borrador" con E a +.1:5 a a ensayemos en + 1- :5'-2. que es a equivalente al siguieme desarrollo: Si a I, dernostrar que: a+..L+2,;O a a+b> I +ab. 2 0 Demostraclon.« +1+2u a :5 0 Partiremos de: a I ~ :5 0 . En esta desigualdad se tiene a Sugerencia: para mayor facilidad y tener una idea clara se puede ensayar, en que (a+I)2;,O ya<O. 2 borrador, con la desigualdad: II Elite ensayo es uti] para darse cuenta de d6nde partir. => a 4 _2a 2 +1 ;, 0 a 4 + 1 ;::: 2a 2 =:0 La dernostracion empieza asf: • Por el COlORARIO 2.1. Va E lR se cumple (a+I)2;,0 Multiphcar ambos 1 > 2rl~ ~7:J t Multiplicar par • teorema 6 afirrna que: Si a es negativo, en ambos miembros: l>~ 2 - ,,4 ... J ..L. tambien es entonces su inversa " negative. :@J Dernostrar Resumiendo, tenernos: aJ+b J UT h ) 3 (~ ~--2-' que: Va, bE IR+. Si (a + 1)2;, 0, al multiplicar por L u se obtiene: Demostracion: Haciendo previo ensayo, partimos de: s o. I . porque. -u es negativo (a _b)2;, 0 , vi a. b el sentido cambia. AI en miembros: De a < O. deducimos que 1- < O. pues el (" + 1)2 -u - +I (14 Se tiene que a < O. segun dato del problema. • _1_ por los cuadrados ~ a 2 - ab - ab + b!;::: 0 y ~ a 2-ab+b2;:::ab mulliplicar por 1. se obtiene: u 2+2u+1 Multiplicar ambos miembros por (a + b): :5;0 u => (a + b)(a' - ab + b') ;, (a + blab ~a+2+!';0 ~ u ~ IR ICorolerio 2.1; => a'-2ab+b';,0 desarrollar u E a+!';-2 u • J 2 a + bJ 2:: a b + ab 2 Multiplicar por 3. en ambos miembros: -r- Jab' => 3(a' + b') ;, 3a'b ~ Demostrar que +-,;! 'V a u +1 E Hacer, previarnente, un ensayo. Partir de: 22 Sumar (a] + b 3) en ambos miembros: =:) Demostmcl6n: 2 (a 2 _ I ) " 0 , lR 3(a] + b]) + (a J =:)4(,,3+ bJ);:::.(a+b)3 Multiplicar par segun cl corolario 2.1 + b 3);:::. 3a 1b + 3ab 2 + a 3 + b 3 k b)' ~ 2:: .~i)+-/) ( PROBLElIIAS ill Sean GRUPO 05 a, b, m, n b > 0 Y /I> O. ill Probar cada uno de las siguientes proposiciones: 1. Si a <.0 /\ b <.0 2. Si a>O /\ b<O => ab<O :=:} ab>0 3. Si ab > 0 =::> a y b tienen el rnismo signa (Demostrar por el metodo del absurdo). 0 =::- a 2 > 0 4. Si a 5. Si a<h/\b<r.:::::::>a<c 6. Si a a+c 0 ::::::> ea < {'IJ Si c < 0 ::::::> ((1 > cb i) ii) '$. 9. a -a > -b 10. Si [a y b tienen el mismo signo y a<bl=>.l>-h' a @ Si o -<; a b, prober que @ Si a, b 3b h2 £.+->-+3 b a II) ~ Si 0 < a S b , entonces a 3h < /12 3 -b+--"""2+ a a Si E.. <!!!. b /I @Si a.b E E JR t arles que entonces E..<~ <.!!! b &+11 II JR+ => (a<b=ti'<b') @a<b:::::;>Q'Sb @O<l..<a::::::>-"l<a /I n+ j!] Si a a' + b' > 2ab GRUP006 QD Sean a y positlvos. b dos rnirneros reales Si ab ~ 1 => a + b ;, 2 @ Sean XJ • xi • X3 tres numeros reales positivos demostrar Que: Si XI Xl X3 = 1 ::::::> Y,..,.. X2 + XJ ~ 3 @ Si Xl, Xl , X3 sot. numeros reales positivos, demostrar que. ..:L T .:2. + ..2. > 3 Xl .1:) @ Demostrar que para xl a > 1 se uene log a Tioga 10;, 2 Q§] Demostrar la desigualdad x' j - - 4 ~":} I+x ~ i!I Si XI • X2 • ..(3 , x. son niimeros reales positives, demostrar que: ~XI X., X, X .. - @ Si x;, -I y 0 < a < I, entonces. (l +x)a:51 + ax <.(1 +..(2 -l-X3 +.(4 • 4 @ Si lli Entre todos los paralelepfpedos rectos .r + y + z = 6 , demostrar que: f+i+z 2 ;, 12 con la suma fija de sus aristas, hallar el paralelepfpedo de volumen j[] Si .r • y • z son numeros reales, 2 positives y x + -+ z:Z = 8, maximo. l ~ 16..Jt demostrar que: x 3 + y3 + Z3 Soluci6n: Es un cubo. 3.0 II RECTA RW EINTERVAlDS La recta real, geometricamente. se truz horizontal: .cl siguiente modo: dibujar una recta x<O x>O ~ ~ -"'vos,,", /~\)v. ., ..A ,. ,. 0 _. I I I ,Yo >l 2 V2 3 I 5 6 • I 55 clegir una "unidad de medida" y dividir la recta en tantas veces como se pueda, luego poner el cern en el centro y a Ia dcrecba colocar sucesivamenre los numeros enteros positives: 1,2,3.4, ... ya la izquierda colocar sus opuestos: -1, -2, -3. -4, etc. Los OITOS ruimcros reales se ubican facilmente entre los nurneros enteros. elida punto de la recta representa. intuitivarnente, un ruimero real. Como los ruimeros reales son ordcnados, establecernos una correspondencra uno a uno entre Ius puntos de Ill. recta y los mimeros reales. Es dccir: A cada numero real corresponde un unico punto de la recta, y a cuda punto de la recta corresponde 11 un unico mimero real. EI slmboI,,: -eo EI .lmb"I,,: +'" se Iee "rnenos infimto" se lee "mas infinito" Si utilizlI.mos -CI:I y +00, "extendernos" el conjunto IR de los nurneros reales a otro conjunto, que 10 denotaremos par 1R· ohteniendose que IR * = {-.:(J} u IRu {+oo} En el conjunto IN· dcfinirnos las operaciones de la adicidn y rnulnpltcaclon. del siguiente modo: ADICION: a) 'd a E lR b) 'd a E lR 0) MULTIPLICACION: a+(+oo) = (+oo)+a = +00 a+(-oo) = (-oo)+a =-00 (+00) + (+00) = +00 a) a (+00) = b) a (-00) = c) a (+00) = e) a (-00) = si 0 < a::$; +00 sIO<a::;+oo (+00) a = +00 (-00) a =-00 (+00) a =-00 (-00) a = -cco si -oo::$;a <0 si -co s a c O En lR*, definimos I. DIVISION, del siguiente modo: a) 1-=0 , si a E JR b) _~ No sc definen: 'Xj - 00 s: o ~ -~ ~ -~ ±~ =(.L)(±OO) , si O<lal <+00 a d = .a, eo -~ ~ A ccntinuacion varnos a definir subconjuntos infinitos de La recta real. llamados intervalos. Geometricamente, los intervalos -son segmentos de recta 0 semirectas. 3.1. INTERVAlOS Si a y b son ruimc: os reales. tales que a:S: b, definimos los siguientes intevaLos. ." '" DEFINIClOr.I INTERVALO ABlERTO de extremos a yb. INTERVAI.O CERRAIJO de extremes a -cb. INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUlERDA ]a.b[ = Ix E lR: a < x < b) [a,b] {x E lR: a < x < b) ]a,b]-{xEJR:a<x<b} · REPRESENtACION GijAFICA" • ---- ')--- ( a b a b - _. a b -- _. b - - - - I - r- INTERVALO ABIERTO POR LA ·DERECHA [a,b[ -{XE lR:a<x<b} -- -- a INTERVALO INFINITO IIllIERTO POR LA DERECHA EN a. ] oo.a[ {XElR:x<a) --<Xl a INTERVALO INFINITO CERRADO POR LA DERECHA EN a. J oo,a] {xElR:x<a} --<Xl a INTERVALO INFINITO ABIERTO POR LA IZQUlERDA EN a. Ja.+oo[ = {r E lR: .r > a} INTERVALO INFINITO CERRADO POR LA IZQUlERDA EN a. [a.+oo[ {r E lR:x>a) • • , .-----_. a -----< ----- a ---- . -cco .. ... " +00 APLICACIOI'(I':S DEL BUEI'( USO DE LOS II'(TERVALOS I I PROBLEMAS RESUELTOS Los siguientes ejemplos ilustran la rna nera eorrecla de apliear las definieiones de los intervalos y de las propiedades de las desigualdades. Solueion: Para haeer mas seneilla la dernostracion, diIV'idiIf: 3~+2 2.<-1 IEjemplo 01 I 2:< -2:< Si x E )-3,41 l.a que intervalo pertenece la expresi6n 4 - 2:< ? Soluewn: . Si x E entonces 1 3 3 7 '3 . h-I _ 2 7/3 Enlonces. h+ 2 - 3" - h+ 2······ (I) )-3 , 4I ~definici6n ~ ,-3 < x < 4, Ii) mlemlo ablertO) Ahora, ya podemos empezar: (5 -4x) Si ~ Veamos: para "x", E 1-10, -S[ -1O<S-4x<-S ......... (2) A partir de (2) hallemos una desigualdad Si ~ -3 < < 4 6> -2x >-8 Multtpllamospor-2: 10 > 4 - 2x > -4 Sumllr" Teo.S.2 Teo. 4.1 -4 <4-2x<10 ¢:;::;;o CONCLUSION: (4-2x) E )-4,IO[ Determiner el valor de verdad de la siguiente afirmaei6n: (5 - 4x) e 1-10, "'51 2.-1 -E 3x+2 Veamos: -1O<S-4x<+S Si: Sumar-S: -15 <-4x<O Por - i : '1 >x >0 Teo 4.1 (3) Teo 5.2 A partir de la desigualdad (3) formemos los terminos de (I) IEjempfo 02 I ~ 13X+2 ~ o A partir de (I) fonnemos el lermino 4 -2:<. Si I I1 - '"[ .... 2'.53 Asf: Si: .!i>x>o 4 por 3: ~ >3x>0 ...... Teo 5.1 sumar 2: ~' + 2 > 3.<+ 2 > 0+ 2 Teo 4.1 ~3 >3.<+2>2 4 -,-<_1_, invertir: por - 53 I 3x+2<"2···Teo8.1 t: -1' 5; > 3~722 > -1·1 Teo 5.2 _~> -7/3 159 sumar (} 17 3] [14'"2 E Z 26 17 Si ----L 3x+2 2 pertenece x ? >l_~ >_1 SoluciOn: 3x+2 3 2 Es verdudero la afirmaciou CONCLUSION: Si ---l.r-2 E IEjemplo 03 I . 2x+1 ~ E [8,16), myel .x E [m,n 1. menor i.3 que intervale [_1.2 ' _.12 ] entonces -1-$ . :2 $-1 dada. S, 3 n="2 [_.i2' _..l] 2 • E >2_£ >_1 3 DefiniciM de mtervalo cerrado IEjemplo 04 I x-2 53 > x '2 - CONCLUSION: m = :~ 7/3 -7 +4 ~ >"3-1.r+2 > - , 78 > 3 => => x 1 _.1.8.. > 1. _ -.l..l2- > _1 + 1. ,." .. Teo. 4 3 159 3 3x+2 6 3 159 -. ±+I;' x-I+I;' I~ +1 ... Teo 4.1 >_l 3x+2 t 106- 28 sumar 1: h.dlar el mayor valor vaJor 11, tal que. invertir _f~J;2~_2 por 3 -%~_"-2~-6 -t+2;',,-2+2~-6+2 sumar 2 Solucien: "!·>..t>-4 5 => Si 2>+1 => 2x+1 x-I E[8,16] 8<--s - x- 't CONCLUSION: 16 Ilefi ... I de melon 1."".10 cerrado. x E [- 4, II Ejemplo 05 I tI DIVIOIR 8 ;; 2 + X~I => ;; 16 sumar -2 => 6:$ ---..L.-I 5 14 ...... Teo 4.1 Si -2 s: x s o, a que intervalo pertenece la expresion ! ~4 _ x 2 . x- mvertir J > x-I> 1 ::::::> (; _ :;;- _ 14 por 3: => •• %~ ...... Teo 8.1 x-I ~ ?4 ......teo y.t Solucion: Si por -I: -2;;x;;0 2 ;, -x ;, 0 .. " ... "" .... ( I ) elevsr at cuadrado: 4" X'" 0 '''''' (2) Nola: S610 se puede elevar al cuadrado, cuando los extremos de (I) son positives 0 cero. Es una aplicacion del Teorema 5,3, puesto que estamos multiplicando las desigualdades: • En (2), sumar - 3: 16 - 3 > x' - 3 > 4- 3 13>.1'-3>1 o $ 0 s o o Nola : S610 se eleva al cuadrado, cuando los extrernos de (I) son positives. -x -x 2 2 $ $ • (-x) (-x) ., (2) (2) xz 4 $ ., $ ,f]3>Jx s -x' s s 0$4-.1' Sumar 4 2'3>1 (3) Nota : S610 se extrae raiz cuadrada, cuando I{)~ extremos de (3) son positives. En (2) muitiplicar por -1 : -4 Extraer raiz cuadrada: 0 4 • Ahara, invertir en (3): _1_< __1_<1 extracr raiz cuadrada: JI3 (4) /\2_ 3 2 pOT 0.,J4-x $2 , . 2' . Nota; La desigualdad (3) se pucde invertir porque los extrernos son posuivos. 0<1.J4-x' <3 - 2 CONCLUSI6N: tJ4-x2 E 10,31 • IEjemplo 06 I Si x E En (4) multiplicar pur 2: _2_< JlJ J-4,-21, i.a que intervale perte ' 1;-<2 VX -3 nccc la expresion algebraica ~? ...;x 2 -3 CONCLUSION: Soluci61f: Si .r to 1-4,-21 => -4 < por-I: E l.2-,2[ JJ'. IEjempJo 07 1 x < -2 4>-.1>2"",,(1) elevar <II cuadrado: 16>.1'>4 ~x'2 ., Si 3x".1 E ]-10,-1[ iA que intervale pertenece la expresi6n (2) algebraica --=l-? x +1 Solucion: • Si 3/-1 E ]-IO,-t[ ~ -1O<3x21<-~'"'''''' (1) • Invertir • Por .!i < _1_ 19 19 CONCLUSION: __3_ x+ 1 IEjempfo 08 Si .r E 13' 1 3x-1 3 (2) Nota : S610 se invierte cuando los extremes de una desigualdad son negatives 0 positives. Es la aplicaci6n del Teorema 7. 1 IR. ia que intervalo pertenece la -+-? , +4 Solucion: Como .r E JR , podemos deducir que: V .r E IR: x';:, O. (segun el corolario 2.1) A partir de: V x E IR : x';:, 0 vamos a construirla expresion: En (2) , multiplicar ror 2: 10 f' 5 4 I-t > 3x > -~+l 5 l~ > Par .1. 3 . • A "2 -3 x+ 4 _5_ <.2. Por5 (3) < .1 .-:2 +4 - .J;2 +4 - 4 Adernas 0<_5_<2 CONCLUSION: -r- .-:2 + 4 - x +4 E 4 ]0,.2.] 4 IEjempfo 091 En (3) sumar 1: l~+l>x+l>rr+l f _t_ Invertir 1 Asf: • x'+4;:'4 4 .r > x'+4;:'0+4 Sumar 4 partir de (3) construyamos la expresion x';:, 0 En la desigualdad : .! > 3x > .! => .r +4 8 _.1 > 3x-l > _1. Sumar 1: + Veamos: _..1... > 3x-l > _B. r • I 19 En (I) debemos invertir: -10 >-2->-8 • 13 36 _ & [ E ]_ expresi6n algebraica • 13 x+l .-:+1 A partir de (I) hallemos un intervale para "r", para luego "construir" la expresion _-2 < 11 > --=l- > _ 36 -45 -3 : x+1 .!..2.>x+l>.!.l 15 12 Si .r E [-2,1], i.a que intervale pertenece la expresi6n algebraica: -t~(I-x)(x+2) s",,""': SI '~ [-2 11 E , 1J ~I +~---' 'I' Sumar 2 2~-x~-1 Sumar 1 32:I-x2:0 & @ 5i r;;:;'\07 -t ~ O;,'-f,f(l-x)(x+2) 2:-2 ]S.8[, La que intervale 3.(+2 x-2 E • 51 [10,20], hallar 11/ < X < M, a> 0 y (3 - ~x) E 13,5[, i,a que intervalo pertenece la cxpreslcn algebraica (ax + 2)? ~ S-i .r E lR; l,a que intervalo pertenece la expresi6n algebraica CONCI.USION: -t,f(l-x)(x+2) E[-2,0] -,-'-? 2x +5 @ 51 -3 < 2x (Sx+2) EJERCICIOS: GRUPO 07 @ 51 (I - 3x) E 1-I,2J, La que intervalo perteeece la exprcsi6n (3x + 2)? @) 51 ~ e 13,51, LB que intervale pertenece 3x - 1'1 @) a) la expresion algebraica 5i x e I5,101, hallar el menor valor Myel mayor valor m, tal que, III 11" I S -;--2 ~M . .H j b) Analizar el valor de verdad de: Si (3x - 2) E 11,1 01. entonces 5x-11 E .(+5 I_I II • los @ 5i ~ 0 ~,f(I-x)(x+ 2) 0 por E valores de m y M tal que Multiplicar + 2) ~ 9 X~I perteneee 2x - I? ~ x)(x [-s.j5,O] E (2x'- 1) E J7.31[ , La que inter valo pertenece x? 0" l-x~iJ o ~ (I - [-3,2], probar que: @ si Cambiar signos _I E -S,f(2-x)(x+3) H3x~11 ~ 5i x E I < S, entonces ja,b[,Hallarayb, @ Probar: s: ~ E ]-6,-2] 12.(-6 ~ 2x-3 E ]lQ11'.5 . il[ Soluciones: 01. [1,4] 03. a) It,l[ 02. 9 m = 17' M= 19 32 b) es verdadero 05. ]-4,-21 u j2,4[ 06. ]2, ¥[ 07. m=..Q 17 • 08. lO,2[ 10. a=-3, b= 17 M=227 09. ]0, %[ 4.0 INECUACIONES. En esta parte del curso, estudiaremos las inecuaciones de primer grade, de segundo grado, las inecuaciones polin6micas y las inecuaciones racionales. EI objeto de estudiar inecuaciones, es porquese aplican: para acotar funciones; para hallar eI dominio de relaciones de IR en fR y de funciones, para hallar el rango de relaciones y funciones; para hacer dernostraciones de la existencia de limites de una funcion. 4.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 lINWES. Definicion: Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en las fomas: ax + b < 0 ,lU + b ,; 0 , ax + b > 0 , ax + b ;, 0 donde a y b son contantes y a 'i; O. I Ejemplo 01 Resolver en IR: 1 ''-'4- 1 - 3( 5 - 2x),; 4 32, Soluci6n: Paso I: Hallar el minima comtin multiple de los denominadores 4 y 3, que es 12 y reducir a su mfnima expresion la inecuacion dada. 3(3x - I) - 36(5 - 2x) ,; 4(4 - 2x) As' : 9x-3-180+72x ,; 16-8x Paso 2: Transportar los terminos en "r" al primer miembro y los terminos numericos transponerlos al segundo rniernbro. 9x+72x+8x ,; 16+3+ 180 ~ 89x ,; 199 1 = 'I' r,----- kI I • POT 89 . Ejemplo 02 x < 199 -89" XE]-OO 199 [ , 89' 3-5x 1 2x-8 I ResolverenLR: -2-<-4-~~x-3 hIM*": eaau..l: En este caso , separar la inecuacion dada, en dos inecuaciones y conectarlas con el conectivo "/\" (que define a la interseccion de dos conjunros) 3-5x 2x-8 -2-<-4- A.I: "- 2x-8 _ _ 2(3-5x) < a-8 "- a-8 ,; x-6 6-lOx<a-8 " a-x'; -6+8 "- .r ,; 2 "- .r ~ 2 = -lOx-a < -8-6 <==> <==> -Ia < -14 <==> la > 14 = x > .!± <==> X Paso 2. 12 > l. 6 Dibujar en la recta real los conjuntos soluciones A:= {x E lR : x> 7;} B ~ {x E fR: x,; 2}. Luego intersectar A can B. -<X> 0 I I 7/s CONCLUSION: EI canjunta saluci6n es: C s ~ .x E +00 2 ]7/6,2] EJERCICIOS GRUPQ08 En InM problem•• 1 - 20 resolver las inecuaciones. De su respuesta en nOlllci(\n de intervulos y representela en forrnn gcnml!tricu sobre la recta de los rulmcros fculcH. 01 4x> 12 045x-4';5+2x 05 -5;;' 3(2 - a) 06 4(x + 2) > 3(2 - 5x) 07 2(a - 3) < 3(2 - 5x) 08 5 - 2(x - I)'; 2(4 + .r) 02 13-4xs7 09 x+3<,fi -2x 035-3<1>8 10 fi(x+2)~.J8(3-x) y a) Si el intervale de temperatura 11 .i3 x < 2 para Montreal durante enero es: 0 -15 < CO < _5°, determinar el intervale en grados Fahrenheit en Montreal para el mismo periodo. 12 4x - J " 4(x - 2) + 7 13 -2x:54 14 4x - I <-5 b) La temperatura para Nueva York durante Junia es 63° < P' < SO', indiqueen gradosCelcius. 15 6:5 5 - 3y 1& 3(21-2) >~+....L 2 1-, - 5 10 3/-7 17 -2-<-3 <2-0,01, 18 9-01 • X 0.2 19 0.1(0.03x + 4)" 0.02x + 0.434 20 5)'-1 < 7(y+l) -3 @ La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galon en la ciudad y 27 millas par galen en la carretera y que la capacidad del tanque de gasolina es de IS.1 galones. i.Entre que distancias podra recorrer el auto can el tanque lIeno? @ Las funciones de ofena y demanda de -2 un cierto articulo son: GRlJPO 09 S(P) ~ 4p + 200 Y D(P) ~ -3p + 4S0 Proposicion.« Si a .$ f..l s b, diremos que b es el valor maxi:.ro que alcanza la variable Ji y a es el valor minima que alcanza fJ. Si a < f.J < b, entonces J.i no tiene maximo ni mlnimo. PROBLEMAS. @) Delerminar el costo minima C (en dolares) dado que: 1.75 + 2.5C:5 5(C - 25) @ Determinar la ganancia maxima P (en dolares) dado que: 6(P - 2500):5 4(P + 24(0) @ La relacion entre las temperaturas Celcius ("C) y Fahrenheit ("F) esta dada por la formula: C~.i(F-32) donde "p" es precio. i,Que valores toma "P". si la ofena S(P) es mayor que la demanda D(P)? @ Sea x el mlmero de unidades fabricadas y vendidas. Si el ingreso total es R(x) ~ JIOx Yel coste total es C(x) ~ 7500 + 6Ox, i.para que valores de x el ingreso es mayor que el coste? © Sea "p" el precio par unidad de un artfculo y "'I" la cantidad de artfculos. Si p ~ -2'1 + 50 Y "p" varfa entre 0 y 50, i,entre que valores varia "q"? @ Si 0:5 'I'; 900 y p ( ~ - I'ix, q + 63 i,Cual es el valor mfnimo de p'! y i,cmH es el valor maximo de p'! 9 II • Le Ill!!lJl!IB fUllClllln do consumo en cierta _lIlImll eltj dlda pur la funci6n C -0,75)' + 6, donde C es eonsumo III'lIInll" "y" es el ingreso personal .IDJ ~ dllpnnlble y ambas cantidades se mldon on miles de millones de dlllllOl, SI 9 S C S 13. entre que valores se encuentra 'Y'? .... a) b) ill<C< 9 y p ; - I~ q + 12 es 240 9 MJ [362,488.71 p z iJoq + 8 es la ecuaei6n de orerta c. ., -lll3<F<--"I3 ~p>40 @) SI m$12,300 $50.70 la ecuacion de demanda, l.para que valores de q el precio de oferta es mayor que el precio de demanda? wx > 150 .QIJ OSqS25 ~ p; 0 minimo ; p; 6? maximo ~4Sy"'8 1QJ q > 450 APUfACIONES DE DESIGU4lDADES. •. .IUIII mil, CISTI IITAI. UIIIIICIA. PROPOSICION Snbre un articulo que se produce y lueKD Be vende, definimos: a) IlIAIIAIICIA. ~ MAL - CIJSTO MAL b) 51 q 01 la cantidad vendida y p es el prcclo de venia pur unidad, entonees el. IINGRESO TOTAL; p q I c) 51 q 01 II cantldld producida y p es el preclo pm cada unidad producida, ,nloncol: I""C""08~TO~V~AR~IA~BL:-=E-;-p-q I d) Si C e. el cOllo Rjo. entonees el: ICOSTO TOTAl· P q + CJ donde C es el costo fijo. I 1. El punta de equilibrio entre el ingreso total y el costo total se obtiene euando lNGRESO TOTAL; COSTO TOTAL, es decir, euando la IGANANCIA - 0 I 2. Hay ganancia, cuando el INGRESO TOTAL> COSTO TOTAL, esto es, IGANANCIA> 01 3. Hay perdida, cuando el INGRESO TOTAL < COSTO TOTAL esto es, !GANANCIA < 0 IEjemplo 01 I I IUTIlIOAO) Cada roes del ana pasado una cornpanfa uivo utilidad (ganancial mayor que $37000 pero rnenor que $53000. Si S representa la urilidad total del afio, describa S utiJizando desigualdades. Solution: 1 Si U es la utilidad pOT un rnes, entonces 37000 < U < 53000 Como el ana tiene 12 rneses, entonces S esta entre: 12(37000) < S 444000 < S 1 < 12(53000) < 636000 Ejemplo 021 (UTllIOAOI Para una cornpafiia que fabrica zapati lias, el costo combinado de mana de obra y material es $10 por zapatilla. Los cos tos fijos (los costos de un perfodo dado sin importer la producci6n) son de $80000. Si el precio de venia de una za patilla es de $30, i,Cuantos deben ven derse para que la cornpanfa obtenga uti lidades? Soluci6n: EI coste total es: COSTO TOTAL ~ lOq + 80000 Ejemplo 031 IRENTA VERSUS COMPRAJ Un ingeniero constructor debe decidir entre alquilar 0 cornprar una rna-quina excavadora, Si alquila la maquina, el pago mensual serfa de $500 (el mfnimo tiernpo que debe alquilar es por un afio), y el costo diario (gas, aceite, conductor) serfa de $50 por cada dfa que sea utilizado. Si compra la maquina, su costo fijo anual serfa de $3000 y los costos de operaci6n y mantenimiento seria de $70 por cada dla que la maquina sea utilizada. l,Cual es el numero minirno de dias al ana que tendria que usarse la rnaquina para justificar el alquiler en lugar de la compra? Solucion: Sea "If' eI nurnero de dias. El ingeniero constructor esta entre comprar la maquina alquilar 0 excavadora. Si el costo de alquilar es menor que el de comprar, entonces convendra ALQUILAR, esto es: COSTO DE ALQUILAR < COSTO DE COMPRA El ingreso total es: INGRESO TOTAL = 30q Para que la campania obtenga utilidades, debera ser que: INGRESO TOTAL> COSTO TOTAL 30q > 10q + 80000 30q - 10q > 80000 20q > 80000 q > 4000 Respuesta.- La cornparua tendra que vender mas de 4000 zapatillas para obtener utilidades. 12(500) + 50d < 3000 + 70d AI resolver esta inecuaci6n se obtiene: d » 150 Respuesta» EI ingeniero constructor debe utilizar la rnaquina al menos 151 dias parajustificar el alquiler. IEjemplo 04IIRAZON OE ACTIVO) Definicion: negocio es circulantes mercancias La RAZON DE ACTIVO de un el cociente de sus activos (efectivo, inventario de y cuentas por cobrar) a sus pasivos circulantes (prestamos a corto plazo e impuestos). Este resultado nos indica que el gerente puede pedir prestado hasta $54000 PROBLEMA. Par sugerencia I Ejemplo del CONTAIlOR, el gerente de una empresa decide pedir un prestamo a corto plazo para comprar rnercancfa, La compafila tiene un activo de $45000 y un pasivo de $90000. i.euonto puede pedir prestado si quiere que su razon de activo no sea menor que 3.5? Nota..- Los fondos que recibira son considerados como activo y el prestamo como pasivo, Sea .r la cantidad que la empresa va a pedir prestado. Entonces sus activos seran 45()(x) + x y sus pasivos 9()(X)Q + x. As; tendremos: ACTIVO CIRCULANTE PASIVO CIRCULANTE RAZ~N DE ACTIVO 450000 +x 90000 +x . (PUBLICIOAOJ La compaftfa de publicidad EL ECO. detennina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.20. EI ingreso recibido de los distribuidores es de $1. 10 par revista. EI ingreso par publicidad es de el 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 5000. i,Cual cs eJ numero minimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la campania obtenga utilidades? Soluci6n: Solucwn: . Se quiere: os 1 450000+ x > 90000+ x 3.5 como "x" es POsrnvo. podemos hacer la multiplicacion: Para obrener utilidades, se debe curnplir que: INGRESO TOTAL> COSTO (I ) Donde: a) EI costa por publicar un ejemplar es $1.20 y de "x" ejernplares sera: 1.20x b) EI i ngreso rec i bido de los distribuidores es de $1.10 por revista y por "x" revlsras sera: 1.10x c) EI ingreso por publicidad es el: 0.10 [I. lO(x - 5000)J AI reemplazar en (I), obtenemos: 1.1Ox + O. IO[J.I0(x - 5000)] > 1.20x :J(J 450000 +x ~ 3.5 (90000 + x) 450000+ x ~ 315000 + J.5x 135000 z 2.5x 135000 2.5 ~x 54000 ~x Resolver esta desigualdad: 1.I Ox + 0.0 i x - 550 > 1.20x O.lOx > 550 x > 55000 CONCLUSION: Se deben vender mas de 55000 revistas para garantizar utilidades. PROBLEMAS GRUPO 10 Q!] La campania AMES fabrica zapatos que tienen un precio unitario de venia de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el mimero minima de unidades que deben ser vendidos para que la campania tenga utilidades, @ Para I unidad de un quimico nuevo, una compafifa deterrnina que el coste del material es de $2.50 y el de mano de producir producto obra de $4. £1 gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7.40 pOT unidad, determine el numero minima de unidades que deben ser vendidas para que la campania obtenga utilidades. @ Un hombre de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de cornprar y alquilar un auromovll. £1 puede alquilar un autornovil por $400 mensuales (con una base anual). Bajo esle plan el por kilo metro (gasolina y aceite) es de $0.10. Si comprara el costo carro, el gasto fijo anual serfa de "'" $3000 mas $0.10 por kilometre. l.Cual es el menor mirnero de millas '" ......;./ que debera conducir par ana para que el alquiler no sea mas caro que la compra? @ Una f;\brica de carnisas produce ".r" carnisas a un costo de mano de obra total de $1.2.r y un costo tolal por material de $0.3... Los gastos generales para la planla son $6000. Si cada camisa se vende en $3. l..Cuantas carnisas deben venderse para que la compafiia obtcngu utilidades? Q§] £1 costo unitario de publicae ion de una revista es de $0.65. Se vende al distribuidor en $0.60 cada una, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10% de la recibida por todas las revisras vendidas arriba de HXXXl Encuentre el menor mimero de revisras que pueden ser publicadas sin perdida, ~ Una cornpafua produce BUJiAS. Durante una semana normal de trabajo el costo par mane de obra para producir un bujias es de $2.00, pero si es hecho en tiempo extra, su costo asciendo a $3.00. £1 Jefe de Planta ha decidido no gastar mas de $25000 por semana en mana de obra. La cornpanla debe producir 11000 bujias esta semana. i,Cual es el minima ruirnero de bujias que deben ser producidas durante una semana normal de trabajo? mUna cornpafua invierte $30000 de sus fondos excedentes ados tasas de interes anual: 5 y 6.5%. Desea una ganancia anual que no sea menor al 6.5%. i,eual es la menor cantidad de dinero que debe invertir a la tasa de 6.75 por ciento? @ La tasa de aeti vo de una empresa es 3.8. Si sus actives circulantes son de $570000. (,Cuales son sus pasivos? para elevar sus fondos de reserva. l..Cual es la eantidad maxima que puede pedir prestado a ('0((0 pluzo si quiere que su raz6n de activo no sea menor que 2.6? ~ Una fabrica de maletines tiene 2500 unidades cuyo precio unitario es de $4. EI proximo mes el precio par unidad se incrernentara en $0.50. El fabric ante quiere que el ingreso total recibido por la venia de las 2500 unidades no sea menor que $10750. l.CuaJ es el mimero maximo de unidades que puede ser vendido este mes? j[] Suponga que los ill EI Rector de una universidad esta planeando que un grupo de ROCK realice un concierto en el campus. EI precio par el concierto seria un pago unico de $2440 a un pago de $1000 mas el 40% de las entradas. Es probable que 800 estudiantes asistan. A 10 mas. l.Cuanto podra cobrar el decano par boleto de modo que Ia segunda forma de pago no sea mas elevada que el pago unico? si se cobra este maximo. l,cuanto dinero debera dejarse para publicidad, guardias y otros gastos del concierto? consumidores cornpraran q unidades de un producto al precio de tOO + 1 d61ares por Respuestas» q unidad. l.Cual es el ruimero minima de unidades que deben ser vendidas para que el ingreso por ventas sea mayor que $5OOO? 01 al menos 120001 03 22,500 05 60000 06 $25,714.29 09 1000 10 $4.50, $1160 4.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GWO0 cUADRAncas Definicion» Una inecuacion cuadratica en la variable x es aquella que puede escribirse en las formas: ax' + bx + C (I) l < 0 '* 0 ax'+bx+c';O con a ax2+bx+c> 0 a, bye son constantes. ax2+bx+c ~ 0 METODOS PARA RESOLVER UNA INECUACION CUADRATICA Estudiarernos tres metodos: IMETODO 1 I METODO DE LOS PUIliTOS REFEREIliCIALES 2 Si nx + bx + C es de facil factorizacion, cualquiera de las inecuaciones dadas en (I) se pueden resolver, ficilmente, dibujando en la recta rea' los puntas referenciales y eligiendo los intervalos que satisfacen la inecuaci6n. Expliquemos este metoda hacienda algunos ejemplos: IEjemplo all Resolver en lR: x2 - 2x - 15 < 0 Solucion: Paso I. Factorizar : (x - 5)(x+ 3) < 0 Paso 2. Igualar a cera cada factor. para obtener los puntas referenciales. Asi: x-5 = 0 x+ 3 Paso 3. =0 ~~=5 ~ :> son los puntos referenciales. Dibujar, en la recta real, los puntas referenciales: 1--«l,-3[ ~ x =-3 -3 s l-3.~[ ]5,_[ o Los puntos .•..rerenciales -3 y 5 han di vidido a la recta real en tres intervalos: ]-«>,-3[, j-3,5[ y ]5,+«>[. Estos intervalos son abiertos en los extremos -3 y 5 porque la inecuaci6n dada es "rnenor que" («). !,: '~ " Paso 4. Mirando eI dibujo del paso 3 elegir el intervalo satisfacen la inecuaci6n dada: x' - 0 los intervalos, que 2x - 15 < 0 '-------.,---- (x - 5)(.>: + 3) '-) < 0 (I) Lmf!norquf! Veamos: ,'~ a) i.Es el intervale j-«>,-3[ solucion de la inecuaci6n (I)? Analicemos con .>: = -5 E j-«>,-3[: al reemplazar en (1), obtenemos (-5 - 5)(-5 + 3) < 0, que es una proposici6n FALSA. Por tanto, ]-«>,-3[ no es H H < 0 soluci6n de (1). h) i.Es el intervalo ]-3,5[ soluci6n de la inecuaci6n (I)? '" AnaJicemos con x = 0 E ]-3,5[ : al reemplazar en (I), obtenernos (0 - 5)(0 + 3) < 0, H (+) <0 que es una proposicion VERDADERA. Por tanto, ]-3.5[ es solucion de (I). c) l.Es el intervale ]5,+oo[ solucion de Ia inecuaci6n (1)1 Analicemos con x = 6 E )5.+001: al reemplazar en (I). obtenernos (6 - 5)(6 + 3) < 0, (+) (+) <0 que es una proposicion FALSA. Por tanto, ]5,+00[ no es solucion de (I). CONCLUSION: EI conjunto solucion de (I) es C s = ]-3,5[. IEjemplo 021 Resolver en IR : (2 - 3.<)(4 + 5.<) 90 (I) Soludon: Paso 1. Igualar a cero cada factor para obtener los pumos Paso 2. Dibujar, en la recta real, los puntos referenciales. referenciules: x==f·x=-t ]-oo,-~J J 2]' _.! [ _ .! J ' 3 J [t,+",[ l. 3 Elegir x =-5 Elegir .<=0 Elegir x ~ 2 AI reemplazar en (I) se AI reemplazar en (I) se AI reemplazar en (I) se obtiene: obtiene: obtiene: (2 + 15)(4 - 5) s 0 (+) H ,,0 . H s (2)(4) ,,0 (+)(+) ,,0 (+) H " 0 ESFALSO Elconjuntosoluci6nes: Cs;::x IEjemplo 03\ . '------v--' 0 ES VERDADERO Paso 3. (2-6)(4+ 10) ,,0 (+) ,H Resolver en IR E ,,0 ES VERDADERO ]-oo,-tJ u [1-,+<:tJ[ -3(x2+3)(4-x2) ,,0 Soluci6n: En Paso I. Paso 2. 40 Multiplicar por 3lx"l +4) Factorizar -3(x2+3)(4-x') ,,0 (4 - X 2) (2 - .<)(2 + x) '" 0 z 0 ......... (I) Paso 3. Dibujar en la recta real, los puntos refercnciales. -2 J-oo,-2[ [-2,2] Con .<=-3 2 Con .<=0 [2,+00] Can x =3 (2 + 3)(2 - 3) 2: 0 (2) (2) 2: 0 (2 - 3)(2 + 3) 2: 0 ESFALSO ES VERDADERO ESFALSO Paso 4. EI conjunto soluci6n es : Cs=xE[-2,2] MElOOO PRACTICO PARA RESOLVER UNA ECUACION CUAORATICA MEDIANTE LOS PUNTOS REFERENCIALES I Ejemplo 04 1 Resolver: 7x - 2 -l6x 2: 0 Cambia designo Solucion: Paso 1. 2 Multiplicar t-or -1 para que el coeficiente de x2 sea positivo y ordenar los terminos de! polinomio cuadratico. => 6x2-7x+2$0 L Cambi6 desen1ido Paso 2. Paso 3. 7x + 2 s 0 (3.< - 2)(Z.< - 1) $ 0 Factorizar: 6>;2 - Dibujar los puntos referenciales --«> ]-ao, 1/2] 1/2 (I) { X = 2/3 x = 1/2 11/2 , 2/JI en la recta real. 2/J [2/3, + oo[ ~'~"'liIP"~ ""'J\>\~~~i);;~~----,/ + 8 +co + 4' Paso 4. Asignar al primer intervalo de la derecha, (en este caso al inlervalo [2/3,+oo[ ) el signo "+"; luego al siguiente inlervalo de la izquierda (en este caso [1. t]) el signa u_"; despues al siguiente intervalo (en este caso ]-oo,V,J se Ie asigna el signa "+". En general, de izquierda a derecha, se asignan los signos: +. -. +. -, +•..... etc.; siempre que los coeficientes de las "x" en cada factor lineal sean positivos. Of Paso 5. Para elegir la soluci6n miramos la inecuaci6n (I): Como la relaci6n en (I) es ..... $ 0", elegimos el intervale con signa "'-". L .mmm: 0 igual ~ CONCLUSION: Cs;x E [1/2,'Jtll. OTHOS EJEMPLOS: 'Jif Resolver: x' - 3x ~0 • Dibujar los puntas referenciales: x = ~,x = -3; en la recta real. Solucio«: -3 ~ • Faclorizar::c(x - 3) 0 ...... • Dibujar los puntos referenciales: x ; 0, x ; 3; en la recta real. (I) ~P .;." ',''', ",'.. ~.• ~ ... ' ""-"'Ji' .. "." -------- 1/2 "'?;?J,'~-:.;7 '3 + + • Como en (.) la relacion es ...... $ 0" elegirnos el intervalo con signa (-). .,t>~ G) • -. Porque la relaci6n en (I) es MAYOR 0 IGUAL ACERO, elegirnos del dibujo los intervalos con signa (+). Cs ; X E ]-00,0] U [3,+oo[ ~ Resolver: (I - r 4)(x + 3) ~0 X E [-3,1/2]. -~Resolver: x'.-4x + 1 > 0 SoluciOn: No es de facil factorizacion, En este caso, completamos cuadrados, x'-4x+ ......... + 1 > 0 x' - 4x + 4 - 4 + I > 0 SoluciOn: • Cs ; G) (x - 2)' - 3 > 0 Cambio de signa en el primer factor: (4 - I)(x + 3)'; 0 L Cambia dB sentido 42 (0) Faclorizar: (x - 2 -,J3)( x - 2 +,J3) > 0 • Dibujar, en la recta real, los puntas referenciales: x -3/5 ...", = 2 +.fj 2-V3 ';0;:, Cs=xE[-3/5,4J (f) Elegimos los intervalos can signa (+) Cs = J-ro,2-,[3r v J2+,[3,+«>[ .esolver: (4 -x)(3 - 5x);'; 0 Solucion: Antes de dibujar los puntas referenciales debemos hacer cambios de signos en los coeficientes, de x del primer factor y del segundo factor: (4 - x)(3 - 5x) ;.;0 T L_ - Nncambia desentido pcrque hemos heche doscamblos de signo. (x - 4)(5x - 3) ;.; 0 Ahora, dibujar los puntas referenciales x=4 y X= 3/5. 3/5 I ,- + ~t;j~~;:,:'fr;" :'" GJ T 8 + 2+V3 .. 08SERVACIOl'lfS: 1. EI cambia de signos que se ha hecho en los problemas: 2. 4 Y 5 es can el fin de aplicar el metoda practice de los puntos referenciales, de no hacer esto, no funciona dicho metoda practice. 2. Cuando se dice "cambia de signo" en el primer factor, en el segundo factor a en ambos factores, es porque estamos multiplicando por -1 ambos miembros de la inecuaci6n tantas veces como sea necesario. Cada vez que se multiplica por -I, el sentido de la inecuaci6n cambia. Q§] Resol ver: 4:; x' < 2x - 3 Soluci6n: <:=:> 4sr 1\ <:=:> 05r-4 I\x1 - 2 t - 4 < O <:=:> 05(x-2)(x+2)l\r-2t+l-I-4<O - GJ CS =X E ]-ro,3/5J v (4,+ro[ .esolver: (4 -x)(5x + 3);'; 0 Soluci6n: En: " (4-x)(5x+3);';0 r Cambio de signo =:0 1 Cambiara elsenudo (x-4)(5x+3):;0 r . 1\ GJ """ >';:',,,, ,;J x=2-,[3 ":~,; I ~_'-~,"",,"'-'~'- < 2t + 4 . . (x-I)2-5<O <:=:>fx-2)(x+2)~O 1\ (x-l-E)(x-I+.,[5)<O ,2 2 I -v'S 1 +VS ~A~ ~ ® + 8 + EI conjunto solucion, es la interseccion de ambas soluciones: =l 1-,15 I I -2 2 t: 1+,15 Cs = JI-.J5,-2J v 12.1+.J51 ;J!jro.dO los conjuntos: c> 4 ;, 2x ;, .l+ 1 5 ;, 2x ;, .1 ;, .1 Hallar I. intersecci6n de A con B, "" "" '"" 4+1 ;, Solucion: EI CONJUNTO SOLUCION es: B = [ A = \x E /R : (x - x') E [0,1] l B={XE/R'-' . 2.r-1 E[.l4]} 2' Resolver en A: 2) Si (x - E .i > 2 - x __rl" o ~ x-x2 :;::.: O 1\ x-x2 5. 1 = 2-x,;0 A x'-x;,-I x(x-I)5.0 /\ ;r2- , =~ + e .. Al "= [0,1] 4 z , 4 i '~ 1 es: ,) 3/4 D 1. CONCLUSION: L. interseccion de A Con B [0,1] :::::::. O~x-x2~ I <:::::=> ;, 2x - 1 x +-t ; := -1+1 2 f conjunto soluci6n Q!l Resolver en /R : 2 .l_x <x-l<2x 2-3x 4 4 Bsta desigualdad es VERDADERO 'Vx e IR Por tanto, el coejunto soluci6n es todo fR. ESlQ es el 512 A"B=[3!4,1] (x_lo)2 >_1. A 1_ , Soluci6l1: este caso, inecuaciones: En separar en dos es: A2=/R = CONCLUSION: EI conjunto solucion es: A=A,"/R =[0,1] 2 .i_ X <x-I 4 " 1\ A Resol.er A: Resol.er ell B: Si 2 <x-I l_x 4 '.'-1 E[t,4J "" L2 < '- < - lx-I - 4 invertir: 2 > - 2.r-1 2 2 > 1.. - 1 2 :a-X -x+I5.0 x:;t:l.. 4 NotJJ: aqut se puede inventr porque los extremes Jon positivos "" "" x-I <2x2 - x , -x 2-x+1.<o 4 x 2 +X~.i>O 4 B Completar cuadrados: Factorizar: (I 5 +X+4-4~4~O ::::) x =:> 6 ( X+"21)2 -4~O =:> (X-I-*)( x-l+* »0 Los puntas referenciales son: "Factorizar: ::::::) x=I+-' 1,(6) >0 ( 1 ,(6)( x+-+22 x=I--{. J2' x+--2 2 ,2 Dibujar los puntas referenciales en la recta real y hallar los intervalos que son Los puntas referenciales son: saluci6n de fa inecuaci6n. x=_l+,[6 =,[6-1 2 2 2 X=.-l2 -2 ,[6 t- -(,[6 +1) I I+..L vI vI "~<iIi&!Jjiil? 2 (±J Graficar los puntas referenciales en la recta real y hallar los intervalos que son -(¥6+ I) -2- - (±J El conjunto soluci6n es: soluci6n de la inecuaci6n. B= VB-I -2 J-oo,1- ~[ uJl+ ~,+oo[ CONCLUSION: La soluci6n es la intersecci6n de A con B. ::::::=:::;-LJ-III -(V6"+I) 2 Resolver B: x - I < 2x2 - 3x o <'ZX'-3x-x+ I O. <ix' - 4x + I "Multiplicar por 1: ~ X2 -2x+ I-..L --;:1===: VB-I 2 ¥2 A"B~ J-OO,-(.,I62+ 1JJU I+..L ¥2 ]J+ j,,+oo[ ~ Sean los conjuntos: x 2_2x+ l>0 A=lxElR:x 2 2 E [4,9]) B={XElR.i.Ell . x2 5' Campletar cuadrados: •\ ! 2 1 0 +"2> ±[) 5 Hallar A " B. 2 ,x -2x+ 1-1+1 > 0 .,--J (x_l)2_l>0 2 Solucion de A: Si cCE [4,9] ~. 4S~S9 .; ( ) ( .. ) ( .) Factorizar: (x - 5)(x + 5) < 0 ~:t4 1\ ~;'9 ~-HO 1\ ~-9$0 (,< - 2)(,< + 2) ;, 0 8 e + I t: I -z z 3 1 ~:----,....-- ttl - (f) INTERSECfAR + INTESECfAR 1\ ~ -I + ~ (f) -3 ~ 1 + ...3 -3 s ~ x=3,.%=-3 ~ - =i L\ RECTA. REAL Puntos RlfereocWl's PunlaO IIflm"'iaIes /l-2,.t--2 (+) DIBUjARLOSPUNTOS REFERENCIAlES EN (x- 3)(x+ 3)';0 1\ %)( x+ %)> 0 (x - 1\ -~c:±=±::i ~ 5 5 ~ -I 1 La solucion para el conjunto B, es: B= ]-5,-%[ v H.5[ La soluci6n para el conjunto A es: A = [-3,-2] v [2.3] Conclusion: Como el problema pide hallar la interseccion de A con B, esto se ve en un grafico. SoIuclOn de B: ]1.S • .i[ S Si .s, xl ~ 1. <...i..<.4 E s invertir xl 5 , -5 -3 5>L>2 5 ...... ( 1) 4 Nola: Aquf se puede inventr porque los extremos de fa desigualdad .ron positivos. -5 1 -2 2 5 1 3 5 Mirando el grafico, obtenemos: AnB=[-3.-t[ v ]t.3] !J Resolver la inecuaci6n: -5 - 7x < x - 4xz $ 2 - Sxz Ahora, multiplicar en (I) pnr 5: Solution: 25>x 2 >11 4 Separar en dos inecuaciones conectadas Separar en dos inecuaciones: 25 >x' 0>x'-25 2 1\ x > 1\ x2 ~ _11>0 4 por "1\": -5 - 7x < x - 4x 2 • A 1\ x-4.i~2-5x2 B ill Un Resolver A: fabricante de cierto articulo estima que su ganancia en miles de d61ares esta dada por la expresion. 2 -5 -7x<x-4x ~ 4x 2-8x-5<O ~ (2x - 5)(2x + I) < 0 _6x 2 + 30x - 10 -Ill donde x (en miles) es el numero de unidades producidas, i.Que nivel de producci6n Ie permitira obtener una ganancia de al menos $14000 5/l :".;,-.... -"-~. e + + Solucwn: Entonces el conjunto soluci6n para A es: A=]-.l2' 2.[ 4 Resolver B: Se pide para que valores "r" se cumple que: _6x 2 + 30x - 10 <: 14 AI resolver la inecuaci6n se obtendra: 2-5.i X_4..(2.$ X E x 2+x-2 ~ 0 ~ ~ (x+ 2)(x- I) s Esto es, el nivel de producci6n que debe alcanzar debe estar entre 1000 Y 4000 unidades. 0 '-2 J~T~!;.' , ill Una pelota se lanza . + (~ + hacia arriba, de modo que su altura despues de 7 segundos es: 1.'»1 conjunto soluci6n cs: 128(-16r+4 B = [-2,1] i EI conjunto. soluci6~ de la ine~uaci6n 'dada, es la interseccron del conjunto A ,:.con el conjunto B. l,. ii' ~. I ---J I, -2 -1/2 [1,4] b I pies. Determine el tiempo durante e) eual la pelota estara arriba de una altura de 196 pies. Solucion: EI problema indica que: 5/2 Cs =AnB= ]-t,l] 128(-16r+4> 196 Resolver la inecuaci6n para hallar "t", La soluci6n es: 2 < t < 6. 9 IMUODO :z , REGlA DE LOS SIGNOS Si el producto de "o" por "b" es rosrrrvo, entonces esta ocurriendo que "an es y "b" es POsrnvo, 0 que "an es NEGATIVO y "b" es NEGATIVO. Estoes, = a b > 0 [a> 0 /\ b > 0] v [a < 0 /\ b < 0] POSITIVQ f---<D (+)(+) (-)(-) Si el producto de "a" por "b" es NEGATIVO, entonces esta ocurriendo que "a" es NEGATIVO y "b" es POSITIVO. 0 que, "a" es POSITlVO y "b" es NEGATIVO. = a b < 0 Esto es, ~ [a<O /\ b>Oj v [a>O /\ b<O] (-)(+) (+)(-) Si se tiene: ab e 0, se aplica CD agregando a las cuatro desigualdades la relacion "=" Si se tiene: ab ~ 0, se aplica <V agregando a las cuatro desigualdades I. relacion "=" EJEMPLOS: IEjemplo 011 Solucwn: Resolver en lR : (2 - x)(2x + 3) > 0 Como el producto: (2 - x) (2x + 3) > 0 (+) (-) es POSITIVO (+) (-) entonces (2 - x) es POSITIVO y (2x + 3) es POSITIVO ; 0 (2 - x) es NEGATIVO y (2x + 3) es NEGATIVO. Aplicar CD: = = = -. [2 -x> 0 /\ 2x+ 3 > [-x [ > -2 .x < 2 /\ /\ 2x X 0 I v > -3 l v > -1 L __..j -3/2 • [2-x<>0 I v u /\ .x > 2 '/\ .. ....... ] _1 1 x' < 2 c= -3/l ~ • 2x+3<01 =:J 2 • 2 ~ Aquila intefsecci6n 81 vacio: Aquila intersecci6n IS II intervalo: J-1,2 [ /'0; u t \lI1i6n dBlmbas solucionts o CONCLUSION: EI conjunto solucion de la inecuacion dada es: c. =]-~,2 [ 1Ejemplo 021 0= ]-~,d U Resol ver en IR: 2x' + 5x - 3 > 0 Solucion: (2x - I) (x + 3) > 0 Factorizar : (+) (-) (+) (-) Apliear la regia de los signos: = [2x-1 = o > > .r I >-3]v .r Lw.. < 0 < .r C, U = )-00 , 1\ 1/2 -1/2 CONJUNTO SOWClON: 031 x+3 > 0] v [2x-1 1/21\ -3 1Ejemplo 1\ 1\ X + 3 < 0] X ) I -3 1/2 < -3] -3[ u ] -1/2 , +oo[ Resolver: 2x' + 5x - 3 ,,0 Solucion: Factorizar : (2x - I) (x + 3) ,,0 (-) (+) (+) (-) Apliear 1a regia de los signos: = = [2x-l"0 r x I\x+3 "1/2 1\ :=i-3 II" .r ;'O]v[2x-1 ;, -3 J v 11·1 [-3,+] c, =[-3,+] u u 1/2 0=[-3,+] [x ;'0I\x+3,,0] ;, 1/2 1\ c= ~ \/2 -3 u ,,-3 ) x o OBSERVAClONES: 1. Es obvio que entre cl metoda de los puntos referenciales (rnetodo practice) y el metoda de la regla de los signos, el primero cs mas sencillo de aplicar. 2. La regla de los signos es muy uti] y practice cuando se trata de sirnplificar FACTORES POSITIVOS. ~mpl;Q4] Resolver: x' (x - 4) < 0 ~ x'(x-4)<0 Solucion: (+) ee [x - 2 > 0 1\ oX + 2 > OJ v [x - 2 < 0 1\ X + 2 c OJ (-) excepto para .r :::: 0, entonces porque la inecuaci6n -2 2 Cs s610 queda hacer: .r - 4 < O. ~ es x'(x-4) < 0 x-4 < 0 Solucion: 2 pues x > 0 VXElR-(O} <==::> < 4 x x"O EI conjunto solucicn es: , C~ )-oo,4[-{0) IEjemplo 05[ Resolver en lR : (1-2x)'(x'-4»0 (1 - 2x)' (x' - 4) > 0 (+) (+) x'-4>0 c> (x - 2) (x + 2) > 0 (+) (-) 50 Porque (x + 2)' es positive para x" -2, multipticamos ambos miernbros de la inecuaci6n por la inversa de (x + 2)2, quedando reducido la inecuaci6n a la forma: (2x - 1) (3 - x),; 0 (-) (+) ( +) (-) Aplicar 1a regIa de los signos: co !2x-l::;;OI\3-x:2::01v[2%-lzOI\3-:r::;;O] Solucion: c> Resolver en IR: (2x - l)(x + 2)' (3 - x) ,; 0 Resumiendo: = 2 ]-oo,-2[ U ]2,+00[ [EjemplO OtiJ NEGATIVA. .. J=:)_ >--1 -2 es posiuvo para tcdo x real. XI (x<2I\x<-2J v ---'C::;;;;:: _ Porque: {x>Zl\x>-2! (+) (-) con Lc- Zr se O con x" 1/2 ¢:> (.l"::;;!Ji1\.3zx] ;;:;;;:J 1/2 \ [xz','l1\3~xl XSl xz3 lu.J1/2 3 3 El conjunto soluci6n es: Cs ~ ]-00,+] U[3,+00] c:::: Pero : .r = -2 tarnbien es solucion, porque satisface la relacion ... = O. Solucion: x 2 + 4 es positive \j x x 2 + 1 es positivo V x CONCLUSION: Cs = ]-00,+] [3,+00[ V {2} V IEjemplo 07 I Resolver en IR: <0 (x_I)2 (3-x) E E IR IR Entonces la inecuacion se reduce en: x-2 < 0 x < 2 Cs=x E ]-00,2[ (x+4)4 EJERCICIOS: GRUPO 11 Solucion: (x - 1)2 es positivo si x:;c 1 (x + 4)4 es positive si Resolver en IR las siguienres inecuacio nes. de manera breve y rapida sirnplifi cando los factores positivos. x:;c-4 Entonces se reduce a: 3 - x < 0 ::::::> -x <-3 .~ .r >3 01 x'-2.<3>0 02 x'-x'"O 03 (x' + 1)(x-2)<0 porque la inecuacion es negative. = .r E Cs [ Ejempto-oB] j3,+00[ Rev-Iver en 04 m: (.1:+5)4 (2-x) (x+7)2 05 < 0 + 5)' x= -5 (x - 7)' es positivo 0 cero V .r es solucidn es positive si x:;c 7 E IR z z (x+4) (x+2) (2x_I)2 <0 08 l+ x < O x Entonces, la inecuacion se reduce a: 09 x-I+-'->O x-( 10 2-x';0 -x ~ -2 x ~ 2 (x - 2)' (x - I)' (5 - x) > 0 RespuesUlS: El conjunto solucion es: 01 ]-oo,+[-{Oj C s ={-5) V [2,+00[ - (7) Resolver en IR: a x +4 < 0 (.~2 +1)(x-2) x' (4 - .r) ,; 0 3 07 IEjemplo 09 I ~O 06 ~>O (x-2) Soluci6n: (x 2+4 x 3-2x - 02 ]-00, -I] v [1, -cco] v {OJ 03 )-00, 2[ 04 H,+oo[ II IEjemplo 03 1 05 [4, +oo[ v CO} 3-8x-UsO 06 )1, -sco] v {2} t 07 )-00, -2) Solucion: 08 )-00,01 Paso 1.- Ordenar el polinornio y ccnvertir en positive eI coeficiente de x2 : 09 )1,+001 10 )-00, 5[ - /I ,2) = IIlIETOOO Resolver en IR: 31 Aplicando uno de los teoremas siguientes. segun sea el caso. ITEOMiliA 1 I Si b ~ 0 entences a s» = -.Jb 5,a5,.Jb -2x' - 8.< + 3 s 0 4'+8x-3 Par -I: Multiplicar par .1 Iii inecua Paso 2.- 2 a2 ? b = a?.Jb v cion (I) : + xl E lR tenernos a5, -.Jb x 2 + 4x + <===:.> = 4x - 1.2 >- XJ+4x+4 '--------r---- IEjemplo 01 I Resolver en lR : XJ < 4 Aplicar el Teorema I: ~ x' < 4 -2<x < 2 C s = ]-2,2[ IEjemplo 02 I Resolver en lR: , .. > - Solucion: Aplicar el Teorema 2: x 2 >4 <=::::::> x>2 v x<-2 Cs 52 ~x E ]2,+0>0[ v J-oo,-2[ v m = .1 2 +4 :::: Ii ... (Teorema 2) x+2> ill -~T x>-'12 -2 v 11 .\:+2<_1 - V2 x~-ff-2 s ]-ro,-N-2]V[N-2,+oo[ C = IEjemplo 04 I ;1> 4 0 > ..1 - 2 (x + 2)2 Solucion: (I) Para lIegar a la forma del Teorema 2 debemos completar cuadrados. 2 ITroMM 21 Para lodo b zo lR: 36< - 5 - 36<' ~ 0 Resolver en Solucion: Ordenar e1 polinomio: -36<'+ 36.<- 5 ,,0 par-I: 36x'-36x+5 s o Cornpletar cuadrados: I. 5 <0 par 36' x 2 -x + 36 ANociar los terrninos en "x2.. y "z'": , .'-x+.l < _2-+.l 4, - 2 36 x -x+ ...... ~-~ (X-t)2,;; Hlcgir el coeficiente de "x" que es -1. < 20 l.<x-.!. -62 - 6 Illvidir -I entre 2, esto es l'uudrado el mimero Sumar -1' Elevar al -3'+.!.~x 2 t 'quees 1 ...... (Teorema I) ;5; .!.+l. 3 2 ,- l.<x < 1 -t en ambos miembros: IEj6r11plO 05 I 4 36 4 - 6 CS=XE[t·t] 2 Resol veren IR : x'· 3x 6 < 10 - 3x - 5.' s 10 - 4.' + 3x SI,/"ci6n: xcparnr en dos desigualdades: x - 3x2 - 6 < 10 - 3x - 5x 2 1\ 2 2x + 4x < 16 x + 2x < 8 (x 1\ (Teo. I) 1\ -4<x < 2 1\ E 10 - 4.' + 3x ~ 0 x2+6x+9 ~ 9 (x + 3)2 ~ 9 ...... (Teo2) 1\ -3<x+I<3 x ,;; completar cuadrados: 1< 9 + I)' < 9 2-6x x2+6x~0 1\ completar cuadrados: x -x 1\ 2 2+2x+ 10 - 3x - 5x2 ]-4, 2[ n ._--- .... ---_. x + 3 ~ 3 v x + 3';;-3 x~o x E v x';;-6 [c-eo , ~] u [0 , -cco] '--- - -- -- --,~-- -- ---- - ~ B A l:tlNCUISION: Intersectar los conjuntos A y B _--I ! --l -6 1'.1 ,·"njunto soluci6n es Cs = An B = x E 1_.......&-1 0 2 _ [0, 2[ 53 IEjemplo 06 I Resolver en lR : 4 < (x + 3)'';; 9 Soluci6n: = = = (x + 3)' (x+ 3 > 4 > 2 v ( > -I v .r /\ (x + 3)'';; 9 x+3 < -2) /\ (-3 ';;X < -5) /\ (-6 s e s o) .r I ---;:I=,J -S EI conjunto solucion es: IEjemplo 07 1 -5 + 3 ';;3) 1>--_ _ -1 0 C s =[-6,-5[ v J-1,0] -L<_1_?1 Resolver en IR.: x 2+4x 12 5 SoluciOn: -L< _'_<l~ 2 12 x +4x 5 Se puede invertir porque los extremos son positi VDS, donde 2 x + 4x x(x + 4) x;t:O *0 ;to 0 X:;L-4 1\ 12>x'+4x>5 = 12> x'+4x+4-4>5 . = 16 > = = (x+2)'<16/\ = . (x + 2)' > 9 (x + 2)' > 9 -4<x+Z<4 /\ x+2 > {-6<x<2} /\ x > ----;:1= ......,=,.] .. "'-"""'~".~ -6 EI conjunto solucion es: 54 c, ~ -5 3 v x+2 < v < -5} [= ...=~. . :. ;-J ".-~",.".-"~.,,~ I = ]-6,-5[ v]1,2[ 2 .r -3} 4.2.1 PROPOSICION 2 Un polinornio cuadratico ax + bx + c es positivo para todo x a> 0 y el discriminante es negative. E lR si y s6lo SI (ax2+bx+c>O , '\I .IE lR <==::> a>O /\ b2-4ac<O ) Esto es • ICOROLARIO I APLICACIO/ll 1 ax' + bx + C < 0 , 'i x = lR E a<0 A b' - 4ac < 0 Si: 4x' + (3 - k) x + 4 > 0 , 'i x E lR; hallar los valores reales de K: Como el coeficiente de x 2 es posiu vo, entonces el discriminante es Solution: NEGATlvO: = = = = = ,~ (3 - k)' < 64 Problema: Hallar ~l valor de@.E .lR) si e,xiste, 2 para la inecuaci6n qa 2 - 14)x - tr+ 4li?UJ:enga como co.njunto soluci6n al intervale( f~2,4J~_ (k - 3)' < 64 Solucion: (3 - k)' - 4(4)(4) < 0 '-------- --------_# --.~ DISCRIMINAHTE rl :::: -2 y T2 = 4 son r~fces ~ (a'-14)x'-4x+4a=O -8<k-3 < 8 Por tanto: -5 « k < II kE]-5,lIl Si T1 4 + TZ = -,-0-14 1\ T\ 4a a-14 r2 ,=-,- a'- 14> 0 Se obtiene a = -4. 4.2.2 CASOS ESPECIAlES 1. a2 2, 2 3. 4. 0 irnplica a a > 0 implica a;eO implica a=O ;::: a 2 s a 2 < 0 0 E IR implica, que "a NO EX[STE" EJEMPLOS: 1. Resolver Solucion (x + 3)'" 0 x E lR 3. Resolver (x+ 3)' x=-3 Soluci6n s 0 2. Resolver Solucion (x + 3)' > 0 xElR-{-3} 4. Resolver Soluci6n (x+3)'<O 13 55 APUCACION 2 Hallar los valores reales que tiene "k" • si 3x'+(k-l)x+k>O • VXE IR. Solueinn: z .(2+.1:+1 2 x _h +1 x 2 +x+1 E xl .. ~+ I 3x (k - I)' - 4 (3) (k) < 0 K - 2k + I - 12k k' - 14 k + 1 < 0 Pero x' + .r + 1 > 0, V .r E IR. porque el coeficiente de Xl es positive y su drscrirrunante . 14k + 49 - 49 + 1 < 0 (k - 7)' < 48 <--- Aplicar el Teor. 1 3x' + (2 - k) x + 3 > 0 , V .r Ix:- I k.r + I = = -6<k-2 < 6 -4<k<8 , -.b:+1 es valida para todo .r e lR . hallar valores reales para k. I X' - h + I I < 2 xl + x+ I = 56 z _2<x-.tx+l<2 .1 2 + ,,( -1 1 M Solucion de B: < 2 .r x +x+l SoluciOn: IR. si: (k - 2)' < 36 R.spu.sta: k E ]7 - 4../3 .7 + 4../3 [ Si la desigualdad E (2 - k)' - 4 (3) (3) < 0 7-4../3<k<7+4../3 APUCACION 3 A = -3 es NEGATIVO. Entonces el numerador es positive para rodo x E IR. ESIO es : (k: 7)' - 48 < 0 = -../48 <k-7<../48 = >0 2+ x +l Se tiene que la fraccion es positive. < 0 t =:> 2+{2-k)x+3 .t completa, cuadlados: .K - +i>o '_ ' _-.:kx::..:,+"I.:.+.:2<::..:.'~+.:2::.x~+..:2 >0 .:: lR. entonces su discriminante es negative, esto es: =:> ..... ------~. B R.solver A: es positivo para todo x =:> ,------- ... <2 .(2+.(+1 A 3x'+(k-l)x+k =:> x _ .lc + 1 1\ ,-------,~-----_ Si el polinomio cuedratico =:> 2 -2<..{ -kx+l = 2 <0 .(2+ x+ 1 = = .(2_U+1-2xl_2x-2<0 x 2+x+1 -x 2-u-2x_1 <0 x 2+X+l +u+2x+1 >0 por -I: Xl = x + ( k + 2) x + ! x 2 + x +! 1 xl +x + I >0 1-2k+k'-k'+4 < 0 El denominador es postrivo para todo .r E IR. porque el DlSCRIMINANTE es negativo. 5 -2k < 0 -2k < -5 Entonces el numerador es POSITIVO para todo .r E JR. Esto es: x' + (k + 2) x + I > 0, 'I x E lR; si (k + 2)' - 4(1)(1) < 0 (k ,= = 4-k' < 0 k' > 4 k > 2 v k < -2 Haciendo Ull + 2)' < 4 -2 < k +2 < 2 -4< <0 k Ik>f I Solucion de A: N grafico, hallar la mterseccion de B con x: I:ONtI,USION: Intersecrar M con N MnN=k E )-4,O[ -~ -2 >\PLlC>\CIOIll 4 CONCLUSION: i,Para que valores de K, la inecuacion los valores de k estan en el intervalo: k (4 - k') x' + (4k - 4) x -- 4 -c0 E ]t. + 00 [ xc satisface x a) Para todo h) Para .r E E Solucion de b: JR Si (4-k')x'+(4k-4)x-4<0 ]-f,t[ 'V x E ]-t.t[ Solucion de a: (4 - k')x' +(4k - 4)x -4 <0 , 'I x E lR entonces ocurre que: a(x+f)(x-11 < 0 . con a>O Si: ,4 -~' <0, A A Resolver ,(k' -4)x' + (4.-4k)x +4> 0, B , Lf - ,', B. luego resolver despues INTERSECTAR. Solucion de B: A; para => (x+f )(x-1 1< 0 => X 2 -.!.x-~ < => 15x'-8x-16 < 0 15 , , mtlltiplicar por 15 0 l· 4 . (4-4k)'-4(k'-4) (4) < 0 4' (I - k)' - 4' (k'- 4) < 0 1s ' -2x-4<0 => .x· (2) (l - k)' - (k' - 4) < 0 57 AI comparar (2) con la ineeuaci6n dada, debe ser que: 2 1l;4_k 4 k' ;1 4 k; Paso I. " -2 ; 4k - 4 Asi: " k;l2 h(l) () {1.2' _1.) 2 CONCLUSION: SaluciOn: Completar cuadrados. ; -16(1' - 41+ )+80 -16(1' - 41+4-4 )+80 ; -16(t - 2)' + 144 ; it) -16(' - 2)' +64+80 t Paso 2. 4.2.2 MAlI.. Y"I.MO OE.I POUIOMII ClIDUnCO P(x); ax' + ox + c polinomio cuadratico. Sea: a ,. 0 un a) Si a < 0, existe un numero real M, tal que, a:i + bx + C .$ M para todo x E IR EI numero M se llama maximo del polinomio P {r} b) Si a> 0 , existe un numero real m , tal que.ax2+bx+c~m. V xE IR. EI numero m se llama minima del polinomio P(x). APl.JCACION 5 Una piedra se lanza hacia arriba, desde el techo de un edificio 80 pies de altura. La Porque el coeficiente de negative, habra MAXThIO. Se cumple: (I - 2)' ~ 0 , V 1 ErR. p'rl6 -16(1-2)'''0 surnar 144: -16 (I - 2)' + 144 S 144 Hemos obtenido : h(t);-16(1-2)'+ 144" 144 a) Para t = 2, la piedra alcanza su punto mas alto. b) La altura. maxima que aleanza I. piedra desde el suelo es 144 pies 'h(I) 144 en cualquier instante 1 (en segundos) esta dada por h(I);-16t' + 641 + 80 a) i.En que momento alcanza la piedra su punto mas alto? 58 es Analizar: altura que Ia piedra alcanza desde el suelo b) i.eual es la altura maxima que aleanza la piedra con respecto del suelo'! /2 1= 2 APUCACION 6 (Maximizacion de Ganancias) La ganancia mensual estimada, obtenida por la empresa KODAK al producir y vender x unidades de camaras modelo Kl cs : P(x) = -O.04x' + 240x - 10 000 dolares. Encuentre cuantas cameras debe producir carla mes para maximizar sus gunancias. StJluci6n: l!aso 1. Completar cuadrados, La relacion entre las ganancias P(x) y la trirnestrales de teleftmica cantidad de dinero "x" invertido en publicidad par trimestre esta definido par la ecuacion, P( .r ) = -tx2 + Tx + 30 Donde P(x) y "x" se miden en miles de dolares. Determine la cantidad de dinero que debe invertir la campania en publicidad, par trimestre, para maximizar sus ganancias trimestrales, Soludan: 1'(.,) ~-0.04"'-600Ox+ ...)-loooo ~ -{I.04 (,' - 6000x + 9000(00) + 370000 P(x): -O.04(x - 3(00)' + 370000 Paso L P(x) = -t(x P : es la ganancia mensual x numero de cdmaras. P<JSO 2. 2 -t x+ ...... )+30 7x 49 :;:: -8l (2 x -i + 2.'1':i6 - =-8I (2 x Porque el cr-cficicnre de x? es NEGATIVO, habra MAxIMO. = Analizar: 49) 256 + 30 49) 49 30 -a7 X + 256 +2048+ _!(x_l)2 + 61489 8 16 2048 = - t (x - 0.4375) 2 + 30.0239 ... (1) (x - 3000)2 ;, 0 ; \;f X E fR. --O.04(x - 3(00)2 ,; 0 Paso 2. -O.04(x - 3000)' + 370000'; 370 000 Respuesta: Debe producir 3000 camaras carla mes para rriaxirnizar sus ganancias. APUCACION 7 (Efectos de la Publicidadsobre las ganancias) Sea x: Cornpletar cuadrados: cantidad de dinero invertido en publicidad por trimestre. Sea P(x) : la ganancia trimestral. Como el coeficiente de x2 es negative, existe maximo. Analizar en (I) : [x - 0.4375)' ;, 0 , \;f X E fR. -t(x-0.4375)2 ,; 0 _1(x-04375)2 +61489 < 614849 8 - 2048 - 2048 Respuesta: Para rnaxirmzar sus ganancias trirnestrales la campania debe invertir: (0.4375)(1000) = 437.5 d6lares. 59 APUCAClllN 8 (Maxirmzacion de lngresos) EI ingreso mensual R (en cientos de dolares) obtenido por la venta de 011 as clectricas se relaciona con el precio unitario p (en d6lares) mediante la ecuacion R(p) ~ -t pZ + 30p mensual? Soluci6n: Paso 1. I valor de 1 ocurre eI desplazamiento rninirno? b) iCual es el desplazamieuto minima del objeto desde el punto de referencia? Soluci6n: iCual precio unitario maxirniza el ingreso Como el coeficiente de habra maximo. a) iPara que Como eL coeficiente de "S" • tiene rninimo. Paso l. P es positivo, Completar cuadrados: es negative, S = 3.2"- 16'+28.7 = 3.2(r' - 5 1 + . Completar cuadrados: R(p)=-t(pz-60p+ ) =-t< pZ-60p+900)+450 =-t< p_30)z +450 3.2(1 = 32(1'-51+ = 3.2 (I - ) + 28.7 ~'i-:i)+2F,.7 251+ 2} )-(3.21(2,') +28.7 +)' - 20 + 28. 7 3.2 (r _2.5)2 + 8.7 Paso 2. Analizar: (p - 30)2 ;" 0 • V P ;" 0 Paso 2. Analizar: (r - 2.5)' ;"0,'01 _l.<p-30)2,; 0 2 -+<p-30)2+ 450 RESPUESTA: s 450 , L 3.2 (1- 2.5)' ;. 0 MAxiMO IHGRESO 3.2 (r - 2.5)2 + 8.7 > 8.7 - el precio es $ 30. rnaximiza la ganancia, Si LMiNIMO Resnuesta: APLJ(;I\CION 9 (ffsica) EI desplazamiento "S" de un objeto desde un punto de referencias en el nempo t, esta dada por S = 3 . 2t 2 - 16t + 28.7 donde "S" esta dado en metros y "r " en segundos 60 a) Para t = 2.5 segundos desplazarruento minima. ocurre el b) EI desplazamiento minimo del obje« cs 8.7 metros. PROBLEMi\S: GRUPO 12 I. INGRESO La funcion de dernanda para un producto es p = 1000 - 2q , donde p es el precio (en dolares) por unidad cuando q unidades son demandadas (par scmana) pOT los consumidores, Encontrar el nivel de produccion que maximizara el ingreso total del productor, y deterrninar ese ingreso. 2. FUERZA Durante una colision, la fuerza F (en newtons) que aetna sabre un objeto varfa con el tiernpo t de acuerdo con la ecuacion F = 87/ - 21/' • donde / esta dado en segundos. a) i,Para que valor de t fue maxima la fuerza? b) i,eU", fue el valor maximo de la fuerza? 3. ALTURA DE UNA PELOTA Suponga que la altura "S" de una pelota lanzada vertical mente hacia arriba desde el piso esta dada por S = -4,9 /' + 58,8 / donde "S" esta en metros y "t" es el tiempo transcurrido en segundos. l.Despues de : cuantos segundos 13 pelota alcanza 'su altura maxima? l.Cu:H es la akura maxima? 5. Resolver las siguientes inecuaciones: a) b) c) d) x' + 6.x + 5 s 0 x'+6.x+5;'0 9x' - 36x + 32 < 0 9x' - 36x + 32 > 0 6. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 4x' - 4x + I ;, 0 b) 4.<' - 4x + I > 0 c) 4x' - 4x + I $ 0 d) 4x' - 4x + I < 0 7. Simplificando los factores positives, resolver las siguientes inecuaciones: a) (x'+x) (x' + 1)$0 b) (x' + x) (x' + I) < 0 c) (x' + .r] (x' + I) ;, 0 d) (x' + .r] (x' + I) > 0 e) (x' + 6.x + 10) (x' - 3x - 10) > 0 f) (x' - 2x - 15) (x' - 2x + 3) s 0 8, Dado la ecuacion y = 6x' + .r - 2 a) Para que valores de "x", la variable "y" es POSITIVO. b) Para que valores de "x" la variable "y" es NEGATIVO. 9. Dado la ecuacion y = x' (10 - 3x - x') a) Para que valores de "x", la variable lOy" es rosrrrvo. b) Para que valores de "y" , la variable "y" es NEGATtVO, 10. Resolver 'd .r E lR: 4. En los siguientes problemas establezca si "y" tiene un valor maximo 0 mfnimo. Encuemre dicho valor: a) y = -2x' + 4x b) c) d) y=2x'-4x Y = 4x - 50 - 0.1 x' y = x {x + 3) - 12 a) x'-x<2x'-2<x'+2 b) .2..<, 25 1 x 2 -4x+4 <.1. 9 Respuestas I) q=250 R = 125000 67 2) 1 = 2.071 • F= 90.107 3) 1=6. S=176.4 7) a) maximo y =2 en x = I b) minimo y = -2 en x = I c) maximoy=-lOen x=20 d) minimo y = -14.25 en x = -1.5 4) 5) a) [-5. -I] Jt-t[ 8) b) 1R-11/2) (1/2) c) E c) XE J-oo.-I] u [O.+oo[ d) XE ]-oo.-l[ E X E U ]O.+oo[ ]--<Xl • -2[ u J5 • +oo[ ]-3 .5[ a) x e ]-C1J,-1[v[t,+oo{ a) J-5. 2[ - {OJ b) ]-00. -5[ v ]2. +001 10) x ]-1.0[ b)XEJ-t·i[ 9) a) XE f) .d) J-oo.1[u Jt.+ oo [ 6) b) e) x b) ]-00. -5] u [-I • +<>o[ c) a) XE [-1.0] a) x E ]1.2[ IR b) -r E ]_.L2'2.L [ v J22'2 .2. [ d) 0 4.3 IIECUACIIIES POUIOMICAS MtHodo: Para resolver Jas inecuaciones polinomicas, que son factorizables sabre Ie mirneros racionales, se aplica el metoda de los PUNTOS REFERENClALES. IEjemplo 01 I Resol ver: x (x + 2)' (2x - I) (3 - x) :5 0 Soluci6n: Antes de dibujar los puntas referenciales en la Tecla rea), se recomienda tener cuidado siguiente: 1° Simplificar los factores positives, si existieran. En esta inecuaci6n debernos sirnplificar el factor (x + 2)' , pIlr ser positivo para to x E IR con x'", -2. 2 0 Hacer carnbio de signo en los factores lineales, en los cuales el coeficiente de "x" NEGAT1YO. 62 En esta inecuaci6n hacer el cambia de signa en el factor (3 - .r). Resumiendo: x(x + 2)' (lx - I) (3 - x) ,,0 La inecuaci6n: T T Simplificar Camblc designo x(lx-I)(x-3) ;;, 0 inecuaci6n: L • • (0) cambio de senudo Los puntas referenciales son: .r = 0 • .r = Y.z , x:=:: 3 Dibujar los puntas referenciales en la recta real: ~ • -00 ~ 0 q) • se reduce en la siguiente 3 - +00 E8 Elegir los intervalos que son solucion de Ia inecuaci6n (*): Se elige los intervalos asignados can el signa ffi porque la inecuacion (*) es MAYOR QUE CERO. Porque adenuis es IGVAl A CERO, son soluciones todos los extremes de los intervalos. Aderr ., x = -2 , tambien, es solucion, CONCLUSION: CS IEjemplo 02 1 =x 1 E [0,+ U [3,+00[ U {-?l Resolver en IR las siguiente inecuaci6n (x- 1)3 (x+2) (3 - lx) (x- 3)' > 0 Soluci6n: (x - I)' (x + 2) (3 - 2x) (x - 3)' > 0 En: T (X_I)2(X_1) T Simplilicar par ser positive. si " T Cambiar de signa I T Simplificar par ser positive. si xn ,I. (2.< - 3) I Nota: Cambiar el signa en un factor impliea multiplicar por -1 a la inecuacion, por eso cambia de sentido la inecuacion. La inecuaci6n se reduce a ]0 siguiente: (x-l)(x+2)(2x-3) <0 -2 . x = • Los pumos referenciales son: x = 1 • Dibujar los puntos referenciaJes en la recta real ~~:,~~~~~;);: -et;l .2 'I L 2 I :""~; <\".; ;0 8 • , .x ee 001810 D[ SOOIDO 312 -cco 8 + (*) + Elegir los Inrervalos que satisfacen 1a inecuaci6n (*) Porque la inecuaci6n en ("') es "menor que cero", elegimos los intervalos asignadc can el signa 8 Yseran abiertos, porque la inecuaci6n en (*) es cstrictamentc MENO QUECERO. En consecuencia el conjunto sotucion es: Cs == ]- IEjempJo 03 I 00, - :2 [ U ]1, +[ Resolver en JR las siguiente i-ccuacton: (x-4)'(2x-l)(x'+4)(2- )x)20 Solucion: Hacer la simplificaci6n y cambios de signo en algun factor, si es necesar:o. Veamos: (x - 4)' (2x - 1) (x' En: 1 + 4) (2 - 5x) ~ 0 i (x _ 4)4(X_ 4) Simplificar Pm: i ~er i Cambiar de signo p<JSllIVO YXEIR Sirnplifiear,por ser positive, 51 x#.4 Se reduce a: (x - 4) (2x - I) (5x - 2) ,; 0 ~ , "~.\.' " ::r,. ;~'~~~~,(:.~:,~~ e c, = X E ]-",.~] v + {e} Itl 4 • • 8 + (1.,4 J L....U Son cerrados en: t :t.4 ; porque la inecuacion en (.j es s; o. Si fuera solo < 0, entonces los intcrvalos fueran abiertos. 64 +a2 04 I Ejemplo 1 Resolver en lR las siguiente inecuaci6n: (x + I) (I - 2<) (3 - 2<)' (x - 2) 2: 0 " -, .so/ufi6n: I \saibimos: (x + I) (I - 2<) (3 - 2<)2 (x - 2) 2: 0 r r Simplificar per ser positive 'fI .t e lR con .r :;t 3/2. Pero x = 312 es soluci6n de la inecuaci6n pcrque es: ~ 0 Cambia de signa ~ (x+ 1)(2<-I)(x-2):SO I)111ujar los puntas referenciales: -I ,;= 1/2 2 -oo~~~_ 8 ll conjunto solucion es: !1/8mplo 05 I 8 + c, =x ]-"',-1] u E + [+,2] Resol ver en IR I. siguiente inecuacion: 2<' + 3x' - 6.<' - 5x + 6 < 0 En este caso, debemos factorizar por el metoda de Ruffini: , 1 1 2 i 3 -6 -5 2 5 -I 5 -I 7 -6 6 0 2 -2 _.1 2 7 6 -4 -6 2 3 -3 0 2 0 2 6 -6 0 I)r csta manera, el polinomio queda factorizado de la siguiente manera: (4x+7)2 (x+2) r (x+tl < 0 Simplificar, pol sec positivo 'V .r e IR, con .r '#-'; 65 => (x+Z)(x+t )<0 (4) Dibujar en la recta real, los puntos referenciales: x = -2 • x = .3/l! ·Z --a:> -1" -+00 ~'. e EI coniunto soluci6nes: C s ~ x E ]-2. -t[ - (-l} + IEjempJo 061 ~ + Rcscl ver en IR : (4x+7)'(x+Z)(8x+ 13)'(2):+3)<0 Soluei6n: Lo primem que harernos es simplificar los terrninos (4x+ 7)2, con .r con X;l:. * -7/4 y (8x+ 13 )'. -13/8 ~ pol ser factores positivos, Entonces la inecuacion se reduce a: (x+ 2) (Zr + 3) .c 0 (4) Dibujar, en la recta real los puntos referenciales: .r e -2 y x = -3/2 -<0 ~'.?lg'19.!~r---+ -----'""' •.•~~ ~ ·Z e J-z·-t! - (-l, 'i} EI conjunto soluci6n es Cs ~ Como vemos. los nnmeros: -i Y- Ii quitamos del intervale ] -2 son solucion de la inecuaci6n reducida en (.). 66 -1<>0 + t -1 [ porque no PROBLEMAS: 6RUPO 13 Resolver en lR, las siguientes inecuaciones polin6micas: 01 x' - x ~ 0 02x'-x<0 03 x'+2.l-x-2<0 04 x'-3x'-4x+122:0 05 x' - IIx' - 18x - 8 ,;; 0 06 x' -x' _7x 3 -7x'+ 22x+ 24 <0 01 I +x-x'-x',;;O 08 x 3 + U + x + 2 > 0 09 x' - 21x' + 16x' + 108x - 144 < 0 10 x 6 + 6x' + 4x' - 42x' - ll3x' - 108x- 36 ~O 11 x' (I - x)' > 0 12 (x - x')(l - x) < 0 13 (ax - b)(a - bx) 2: 0, b < a < 0 14 x(x-I)(b-ax)2:0, si O<k<1 y a <0 a 15 (4 - x')(8 - x'),;; 0 16 (bx - a)(cx - a)(dx - a) < 0, . I I I 0 ,a<. 0 51 7>;>"b> Solucion: I. [-I ,0] u [I , -t-co] II IR-{O,I} 2. ]-oo,-I( u )0, I[ 12 ]-1 ,O[ 3. ]-00 , -2[ u ]- \ , I[ l3 ]-oo,f]u 14 [O.~]u ' [-2,2] u [3 , +oo[ 4. [~.+oo[ [I,+oo[ 5. [-2,-4] u {-I} 15 ]-00 , -3] u {2} 6. ]-oo,-I[ u ]2,3[ 16 ]-oo,~[ u 7. [I,+oo[u{-I) 8 ]-00 , -2[ 9. ]-00,-4[ u ]-3,3[-{2} 10. ]-00,-3] u [3 ,+oo[ u {-I,-2) 4.4 INECDACIONES UCIONAlES ];,f[ (FRACCIONARIAS) Sean P(x) y Q(x) polinomios. Son inecuaciones racionales: P(x) Q(x) <0 , P(x) Q(x) < _0 , p(x) Q(xl >0 Y P(x) Q(x) > _0. Resolveremos las inecuaciones racionales par el metoda de los puntas referenciales. Algunas veces sera necesario aplicar la regIa de los signos para 1a divisi6n. IEjemplo 01 I Resolver en JR: , l <~.~ 3 ....L< --t-2xtl -;.x-I .1 Solucwn: Paso 1. Separarcn dos inecuaciones ligados con el conectivo "x" .l_....L < -L ;( ~. x-l ,,-L x-I :0:-1 s ~ 2.1:+1 Transponer los rerminos del 2do. miembro ,aI Jer. miembm: .l_....L_-L x .x-I o < .x-I .....L_~ A .l: -1 " 2.1: + I o Paso 3. Hallar el minimo eomun mUltiplo de los denominadores y reducir a una sola rraccton: 3(x-I)-2,1"-5.I: .. (x-I) 3.. 3 2..--5.1. .1:(.1"-1) ........-4.1"-3 .>;(._-1) 4......3 (I) ""',"'" Paso 4. ~ < 0 < 0 < 0 > 0 :5(2.1:+1)-2(.1:-1) Hl (, l) (Z.t " + I) IO.l:+~-2.t+2 (x-I) (21+ I) tx IA J A 8.1:+7 1)(2t+l) 0 " 0 s 0 , ,(2) " Haller los puntos referenciales y dibujarlos en 14:1. recti} real. rI Punto referencial del numerador: x=-3/4 ! Puntos referenciales del denominador: x=-7/8 Puntas referenciales del denominador: x=1 • x=-1/2 x=O , .r e I -311 Punto referendal del numerador D I -7/8 ~ (f) - -1/2'1 ~ 8 + 8 + (f) Elegir los intervalos asignados con Elegir los intcrvalos asignados con eI si.gno 8. porque la inecuacion racional en (2) es "s". La .relacion "=" incluye a .x =-7 /8 el signo Ell, porque la inecuaci6n racional en (I) es ">" como soiucion. Pero .r = l, Luego, el conjunto soluci6n de la inecuacion (I), es: .< ~ -1 /2 no son" soiuciones. Luego, el conjunto solucion de 1<1 inecuaci6n (2), es: A=x 68 E ]-~.O[ V ]1,+"'[ n 8=x E ]-ao,-t] v ]-1.1[ El conjunto sofucion de la inecuaci6n dada, es la intersecci6n de A can B. Paso 5: -7 -I -J i .. CS IEjemplo 02 I ~XE Resol ver en lR: _x_>_2_ Solution: 1. Transponer los terminos miembro al I er miembro: ex 1)(... 2 2+V2' (f) del 2. - (f) - (f) 0 EI conjunto soluci6n es: c, ...-2 ~1-oo.2 - J2] v ]1,2 [v [2+ 2J2,+oo[ IEjemplo 03 I 2. Reducir a una sola fraccion: ...(x- 2)-2(:(-1) 1 ~ 2_>0 x-I ]-1,o[ 2-V2' x-I - x-2 _x 0 2 >0 Resol ver en lR: x-I < 2 x+3 2) SolutiOn: 2 x -2x-2x+2 I)(x (.l >0 1. Transponer el mimero 2 al primer miembro: 2) 2 ... -4...+2 ( ...-I)(x 2) >0 x-I x+3- Completar cuadrados en el numerador: Xl -4 ... +4+2 • (x-l)(x-2) (x_2)2 -2 >0 =~'---"';" > (x-1)(x-2) 2. Reducir a una sola fracci6n: .1'-1-2(x+3) < 0 ...+3 x-I-2.I-6 0 --"!x-7 <0 x+3 (x- 2 -./2) (x-2+.[i) l)(x 2) <0 x+3 Factorizar eI numerador: (x 2<0 " 0 Dibujar. en la recta real. los puntos referenctales del numerador y del denominador: x~2+-fi ; x~2--fi , x=l x~2 3. Para aplicar el criteria de los puntos referenciales, debernos cambiar "signos" en el numerador x+7>0 (oJ >+3 L Cam bio de senlido 69 ... Dibujar los puntos referenciales del numerador y del denominador: x=-7 y x=-3 -7 >- ..r- 2(1-3..r) 1-3..r = 7x-2 ~ " 2)(3, I) del 2"' 4. Dibujar los puntos referenciales: -In 1/3 2 _~i-, '-,-, EB EB Cs =x 2: 0 IEjemplo 06 I " 0 4. Dibujar los puntos referenciales del numerador y del denominador: I/l -=.7-....,,~R-"---+ S. El conjunto soluci6n es: CS IEjempJo 051 =X e [t.i:[ Resolver en 1R: ...1-<_2_ 2-x - 1-3x SoluciOn: 1 • ---1.-_-2..-<0 2-x 1-3..-: [-t,t[ u 0 e L CambiO de setdiJo 7.1-2 + <0 3. Hacer 3 cambios de signo: uno en el numerador y dos en el denominador h+J >0 " 'VI 0 (2+" (1+3,) E J2,+oo[ Resol ver en lR: (x_2)2 < .- -'-3--° ...... ,.. (I) , 3. Cambiar de signa en el denominador: "I;':T ... 2 SoluciOn: 1. Transponer el termino miembro aller' miembro. -'--2 2: 0 1- 3.x x)(I-3.r) 3-9x-4+2x < (2 x)(1 Jx) -7.1"-1 Resol ver en 1R: -'I-x 2. (2 -3 '~ EB EB Cs =X E )--<lO, -7[ U J-4, +oo[ IEjemplo 04 I 3(1-3,)-2(2-,) <0 2. Soludon: En este caso, aplicar la regia de los signos paraIa division. En el numerador, el ter mine {x - 2)2 es positive 0 cera \;j La fracaicn en (1) es iguaJ a cero que cero, x E JR. 0 menor Cuando la fraccion es negativa y el numerador es positivo, entonces el denominador debera ser negative. Esto es: = = = 2 - 3x < 0 -3x < -2 3x> 2 x> 1 3 I 1/.1 . 2 -\00 CONCLUSION: EI conjunto solucion es CS =]-"3 ' + • Dibujar los puntosreferenciales. -2 00 [ 0 (~=~~2 <0. el con Cs = = H,+oo[ - (2} Se te quila el 2, porque con x = 2 se Lemma: 0< 0, 10coal es falso. ~ 8 + ... 8 ... • EI conjunto soluci6n es: junto solucion es: Cs 2 tI3 ~ 8 Si 13 inecuacion es: I x E ]-oo,-2J v ]0,1] v [4/3,2[-( 3} [ Ejemplo 08] Resol ver en lR: , 2.(4 2 +3x 3 -6x -5x+6 <0 x J -7x+6 Soluci6n: [§§PJO?J Resolver en lR: • (x+2)3(X-l)(4--Jx) Factorizar por el metoda de Ia division sintetica: >0 x(x-3)1(x-Z) (x_Ill (x+ 2)(h+ J) (x I) (x 2) (x+ 3) Soluci6n: EI terrnino (x + 2)3 se puede expresar como el producto: (x + 2)' (x + 2). • Simplificar (x - I) , si x" 1 (x-l)(x+2)(2x+3) (x 2)(x+J) Ahara, simplificar los tcnninos: (x + 2)' por ser (x + 2)'" 0 , 'd .c E lR Y (x - 3)' por ser (x - 3)' > 0 , 'd .c E lR Entonces, la inecuacion dada queda reducido a la siguiente inecuaci6n: (<+2)(x-I)(4-3x) .r(x 2) • • <0 Dibujar los puntos referenciales: -3 -2 -312 I 2 ~ 8 ... 8 ... 8 ... con r r v B • <0 >0 , .c '* 3 Hacer cambio de signa en (4 - Sx), quedando: EI conjunto soluci6n es: Cs = J-oo,-3[ IEjemplo 091 U .r(x 2) cambio d~ seruida -i 1 U ]1,2[ Si a, bye son constan tes fijas tales que a < bye> 0, resolver en lR la inecuaci6n. (x+2)(x-I)(3x-4) [-2, .....!...-b'; _c_. xa-x <0 J Soluci6n: => _1 x-b c_,;O Q-~ 71 a-.r-c(x-b) =:> (x :S 0 SolutiOn: b)(a-x) ~+-X+b_2<O =:> a-x-c..r-+cb (x b)(a-x) =:> 2(b-a)x+4ub (.r+a){.r-b) AI reducir queda: -u+x+u-cb ~O Por -I: Analizar: (x-bHo-x) (x En el numerador: b - a < 0, porque b < a >0 (1 +c)x-Q-cb :::::::> b)(a-x) - segun dato. . L- Cambiar M ,ngllO =:> < (Hc),r-tl-ro (x-b)(x-a) 0 Entonces hacer cambio de signo: 2(0 -b).r-4ab (» (x+ o)(.r En la recta real, dibujar los puntos a+cb referenciales: x=)'+;""" , x teniendo ruimeros: de cuidado x-b X+Q sO r b • .r =.1' p' >0 hI 1- ' se reduce en: ._ AI multiplicar por (a-b)x-2ub (t+a)(.~-b) >0 . (» ordenar estes Como: b < a =:> a - b > 0, adernas O<b<a =:> ab>O a+eb S ecump Ie: a <-,--O x=-a b I+e e + ~---- @ C s =xE]-OO,a[ U a + cb b [ -'-;-;:-'. Resolver: ~+.r+b x+b si O<b<a 72 x=b 2gb a-b b -a ... Teniendo en cuenta en (*). el conjunto solucion es: IEjempfo 10 I • -a<b<.leL a -b '~ e • Ahara dibejar, en orden, estos numeros. ~ a x=.1Jl!L rJ -b x-b <2 [ $ - Teniendo en cuenta en (..l • el conjunto soluci6n es: .. . Cs =x r~emplo • 2 _a_> lU+h E 11 ]-a,b[ u I . •• \ a-b Resolver: ub ')(J, .. _ J2d ,+00 l • SI a cts-c b Solucion: 2a' + h' ---<L +h ~ ab 2(b-r-a) (Vi: >0 Por (3), el conjunto soluci6n es: 2(ax+b)(hx-u) Simplificar el numerador: U{ubI-2a 2_h 2) >0 Si en (I) multiplicamos pOT (-1) y luego simplificamos "<c " y "2" se reduce en: 2 (ax I 2 ,( ,I-a) L <0 t ( 2) a es NEGATIVO es POSITIVO b es ab es rosmvo -a 121 [Ejemplo b)(b:r . Factorizar "a" u el numerador u(u-x-~l > x-(l-a) u_x_.l t a > 0 x-(l-a) ~ y 0 < 0 ... (0) x-a+..l a Los puntos referenciales son .x =1- a 0(-- I es positive a2 _ 1 (a-l)(a+l) x=a--=- "a a <0 (3) 2 2a + b X=--"b <--- es NEGATIVO x=_l2.. <--- es rosrrrvo .x = <--- es NEGATIVO a Q. b 2a en a" como dato se tiene: 0 < a < 1 r" "+ Los puntas referenciales son: Adernas: 1 u(x-{1-a») NEGATl'VO a) L-Conservaelsentido 2 _E.[ a Solucion: ~ Asf tendrcrnos: _ab.x+2a E.. ] b' U >O,sIO<a< 2 a -cu-I simplificar deben ser positivos. Para ello, en (2), multiplicar por -1 tanto el numerador como el factor (ax + b). (-ax [ Resolver: ax-a(l-u) .Para aplicar el criteria de los puntas .. reterenciales, los coeficientes de "x" 2+b2 2 -oo'-"-b- denominador : Camoio de senndo Pero ] ........ (I) E1 data: a < 0 0 2u'Zlbx-u)-ab(ax+b) ~ a ----;;;;- 2+b2 ub <E...<_!!.... b a-l<O a-~ Q I -a > 0 I-a ~~ + e + Segun (0), el conjunto soluci6n es: s C =x E ]a-;.l-al a 73 I I I fQ9\ ~ --L < x <.J.... las siguientes I® ~ 10 - PROBlEMAS: GRUPO 14 x e lR, Resolver para inecuaciones:• .1-2 ® I>; 2.r-l ._1 I .r .1'+2 SOLUCIONES ®X<'~2<3 D1 )-OO,O[ u )1,_[ @ Si lIZ )-ro,-l[ g} ]-00, a~b [u )0, +oo[ 1M )0,1 [ u )a,b[ g§ [b·~a Qi )-b,-a [ I <a < b, resolver para x e lR '~<b • ®Si, I < a < b ~ resolver para so .% E IR or -tu-lu+ab x(.t -I) @ Si 0 < a < b .resolver para x e lR .:!..:..!. s k. • a @Si O<a<b .resolver para x e lR _'_,;_1 X2 _ tl 2 .l 2_b2 ,o[ u )a,b[ H·,o[ u Jl,-;[ !II xe ]-00 --' [u ]_1. 1.[ !!1 x e • @Si O<a<1 , resolver para xelR ,- ill x -oU£A-3 <0 " .1 2 -x @Si· I < b <a ,resolver para x e lR Di x e b-Q b'a ]H[ 10 x e ]-oo,-2[ u [-h.or 0lh.+oo[ _'_<---1 ax-I b.r+1 KIICOI'II!."DACIO"ES D1 En la inecuaci6n ;h- < 5. no hacer 3 < 5 (x + 2); porque 'el signo de x + 2 no se conoce, pucde ser positivo 0 negativo. 02 En: .~,,; 74 f' no hacer 12:$x (x - I); porque el signo de .x - I no se conoce. 03 En -3<-..L1 <5, no invertir; porque los extremes -3 y 5 lienen signos opuestos. <+ S610 se inviert.en cuando los extremes tienen signos iguales. Por ejemplo: a) -3 < _3_ < -2 se puede invertir asf : _1 > H' >_1. .r+1 . 3 :2 3 b) 1. > _3_ >.i sepuede invertir asf' .1 < ~ < 2 3 .1'+1 7 ':2 3 :2 04 En - 3 < -..L, < 5 , no invertir; no multipliear asf: - 3(x + I) < 3 < 5(x + I), porque el H _ signa de x-I no se conoce. " 05 Sien (x-l)(x+ 2) >0 hace x- I >0 .r > I f\ <+ 2 >0 1\ x>-2 y so queda alli, la soluei6n estara incomplela. La correcto es: (x - I) (x + 2) > 0 e> [x - 1 > 0 f\ X + 2 > 0] v [x - I < 0 f\ < + 2 < 0 ] 06 En cada inecuaci6n se debe hacer usa correcto de los conectivos 1\ 2>4 07 Si haee • V • :::::), :=:> x > ±2 esta mal. 08 Si hace ,; > 4 => x> 2. eslara incompl~lo. La eorrecto es:' 2 > 4 :=:> [< > 2 v x < -2] 2 09 Si hace x' < 4 => x < 2, esta incomplete < 4 :=:> -2 <x < 2, 10 Si haee 2 Lo correcto es: 11 Hacer: 4< Lo conecto es: < 4 => x<±2estamal. x' < 9 => 2 < < < 3 • esta ineompleto 4< x'< 9:=:> x'>4 f\ 2<9 :=:> [x>2 v x<-2] -2 -3 Cs ~ [-3<x<3] _EJ d Luego so intersecta. f\ . 2 3 ]-3. -2[ u ]2.3[ 12 Haeer: '-2' <O:=:> H La correcto es: [x-I<O <-2' <+ <0 = f\ x+2>0] y queda alli.estara incompleto. [x-I<O f\ x+2>0] v [x-I>O f\ x+2<0], luego terminar de resolver. Directamente, se puede resolver por puntas referenciales. 7S 13 Para resolver una inecuaci6n bastara aplicar correctamente los teoremas y las propiedades de desigualdades. « ...... -- • l.:t..!:.~ 2 2.. 14 Si x > O. resolver 7 + x :2:. 2 2 +x SoJucwn: ~ En este caso, si x > 0 • entonces x + 5 es positive, por 10 tanto se puede multiplicar = 7+x-4-2x > 0 2+-x - = -x+3 >0 x+2 asf: = 7+x 2: 2(2+x) 7+x z 4+2 3 2: x x ,; 3 Si x > 0 Y x'; 3. Cs=)O,3) 15 Resolver : 7 +x 2 +x ~ -2 ~- 16 Resolver en IR: 0 < _1<2 l-x Solucion: Porque -,-'es postuvo. bastara invcrtir: -x 1--x>1 2 !-l.->x 2 Ix En este caso, no debe hacer: .......,. < 1/2 1 ",,"', Tambien es valido, si haec; -'->0 /\ __ '_<2 1- .r J - __r Resuelva cada intersectar, inccuacion, El conjunto solucion es: 76 -r Cs = J-2,3] Solucion: Lo correcto es hacer: J;+2~ + (-3 El conjunto solucion es: z2 7 + x ;, 2(2 + .r), porque el signo de .. .r" no se conoce, ~<O 3 .~ HI conjunto sclucion es Ia intersecci6n siguiente: It:: o~I"' 3 7+x_22:0 2+x luego c, ::: ]-co , ~ [ 5. VALOR ABSOLUTO 5.1 DefiniCion. EI valor absoluto del numero real" a" , denotado por I a I, est. definido por: lal ={ [ 1'.; , ,-Q ; SI Sl a~O a <0 Se lee "el valor absoluto del numero real "an es igual al mismo mimero a, si a es positive 0 cero, 0 es igual a -a, si a es negativo. 5.11 Las siguientes ecuaciones e inecuaciones se van a resolver aplicando la definici6n 5.1 WResolverenlR: Solution: [s: x- 2 Ix-21-2x=4 (APLICAR LA DEFINlC16N 5.1l ~ 0, entonces (x - 2) - 2x = 4] v [Si x - 2.< 0, entonces -(x + 2) - 2x = 4 ] ··· · : · -x =6 [ ,_:_..~_:_" entonces x =-6] (p) v i [,_~_~_:__: e Cs entonces =2 x=(l (q) Eli solud6n porque cumple (q) No es solucion, porquenc cumple (P) CONCLUSION: -3A • • u (-11 = {-11 SOLUCION DE EGUACIONES EINECUACIONES CON DOS 0 MAs VALORES ABSOLUTOS, APLICANDO EL METODO DE LOS PUNTOS REFERENCIALES. W ResolverenlR: 51x + 11- 31x - 11 = 2 Solution Pasos a seguir: 1° Los puntos referenciales se obtienen igualando a cero cada valor absoluto: Ix+ 11=0 => x=-1 Ix-II=O => x e I 7T 2° AI definir cada valor absoluto se obtiene: %+ ~six+l~O I x- I six-l~O x;, I x ;'-1 /x+ll; -(%+1) 1 Ix-I/; ,six+l<O x <-I 3° Dibujar los punlos refcrenciales en la recta real: ]-<D,-II -I -(x-I) 1 (-I,ll six-l<O x<1 11,""'[ Los dos puntos referenciales: x ;-1 y x ; I dividen (parlicionan) a la recta real en Ires intervalos )-oo,-I[ , [-I,ll Y [1,+00[. Nola: En cada punto referencial, elegir abierto por la izquierda y CEJ/llAl)(1 por la derecha. 4° En carla intervale buscar soluciones de la ecuacion dada. teniendo en cuenta que: )--<o,~ I[ se cumple que: • En A ; • En B;(-I,I[ • En C; [1,+00 [ se cumple que: se cumple que: I x + I I; -(x + 1) ~ -x - I { Ix-II;-(x-l) ;-x+ 1 IX + 11;(x+ I) { 1x - I I; -(x - 1) ; -x + I ' X + 1 1; X+ 1 { Ix-I/;x-I 5° Porque hay 3 intervalos la ecuacion dada: 51x+ 11-3Ixse convierte en 3 ecuaciones diferentes. II; 2 (0) a) Para A; J-oo,-I [ . resolver: 5 (-x -I) -3{-x +1) ; 2, que se obtiene de (0) -5x - 5 ~ 3x - 3 ; 2 Ix ;-51 Porque x; -5 esta en A. es soluci6n -, b) Para B;[-I, 1[, resolver: 5(x+I)-3(-x+I); 2,quevienede(O) 5x+5 +3x-3 ; 2 x; 0 , 0 esta en B, essoluci6n. I Porque x = 78 e) Para C = [1,+00[, resolver: 5(x + I) - 3(x - I) = 2. que viene de (0) 5x+5-3x+3 = 2 I x =-31 Porque x = -3 no esta en C. no es soluei6n c, = {-5.0 I CONCLUSION: nJ Resolver enlR la siguiente inecuacion: 12x-11 S 3 x Soluown: 2x-I.$3 x 2x-l;'O=> Si x>.l=> - 2 i 2X-I_ x , I x 3 ,;;0 2x-l-Jx -1=> .x < $0 -2:tl_ 3 :S0 _-:::2x,-+:..I~-:..:3:::.x .$ 0 x x A, ----I Si 2x- I <0 => -lx.I,;;3 v -5x+1 x .:.!.:..!. .$ 0 x - ~~O ~ ffi III x 5x-1 0 j---C.l" > -~---~I i " 'h YJ ~ ffi <±l A, EI conjunto soluci6n es: EI conjunto solucion se obtiene intersectando el conjunto A I con la B=x soluci6n de Az- E E ]-00.01 u [H[ v EI conjunto soluei6n es: A=x $0 [t,+oo[ CONCLUSION: El conjunto soluci6n de c, =BuA ,g1J Resolver en LR la inecuaci6n dada es: = ]-00,01 u [t.t[ u = ]-00,0[ [t.+oo[ la inecuaci6n: U J!l < .l"-l - [1,+00[ _2_ IX+21 Soluown: Dibujar los punlos refereneiales: x recta real. = 0 y x = -2 (que se obtienen de I .r I y I x + 21l en la -2 A = l-oo,-2[ o [-2,O[ = B [0,+"'[ ~ C -qo Ixl Ix+21 Ixl = -x Ix+21=<+2 = -x = -x-2 Resolver lainecuacien: .....::.L <_2_ -..(-2 ~-l A, = 1--«>,-2[ U Resolver la inecuaci6n: ...::.:!.... <.....l Resolver la inecuacion: -'-- < _2_ La. soluci6n es: La solucion es: .I-l La soluci6n es: Ixl =x Ix+21 = <+2 [I,-kO[ .1+2 8, =J-<x>,-2-,,!6[Uj-2,-1/ U C,=J-2,1( j-2+J6,-kO[ Donde: Donde: A n A, = 1--«>,-2[ CONCLUSION: c, = Donde: 8 r, 8, = 1-2,0/ I --<», -2 [ V x+2 .x-I [-2, 0 [ V CroC,=lO,I[ [0, I [ ) --<», 1 [ ~ResolverenlR: I;=~' =-1 Solucwn: • Si x-3;' 0 => =..:2=-1 x-3 x~3 => 1 =-1 9!J Resolver en JR: I:: ~ I Solucion: Si x+2 >0 .r "> t E.sfuJxo Si x- 3 < 0 x < 3 x+2 => -;:;2 =::;) " -2 1'= .r e ]-2,+c<>[ Entonces, para x;' 3, el conjunto soluci6n es vacfo, Esto es A = 0 • '= a t v~rdaJ:llro 'Vx E J-2.+«l[ -(-1: -3) => -x-3 -=-1 => -I =-1 t es verdadero pan todo.I quecumplen : -..( c 3 Si ..t+2 <0 =:0 x+2 -(.1+2):=1 -I ~ I t es falsa ~ Luego, el conjunto soluci6n es: .r < 3 .r e ]-oo,3[ = 8 = o CONCLUSION: EI conjunto soluci6n de la ecuaci6n dada es: Cs =A V 8 =]--<»,3[ 110 Luego, el Cs = J-2 , +oo[ V [2) = ]-2 , +oo[ I mResolver en 1R: I.r + 21 08 Si b e: Gentonces lal=b c> a=b va =-b < -3 Soluci6n: C, = 0, porque el valor absoluto es positivo 0 cera y por ]0 tanto, no podrfa ser menor que el ruimero negativo -3. ~ Resolver en /R la ecuaci6n: ..' -5 I.x I + 6 = 0 10 Si b = 0 entonces 101 " b c> -b " a " b '-OO,or Paralodob 12 lal<lbl = 5 (-x) + 6 = 0 x 2-5x+6 =0 (x + 3)(x+ 2) ~o =>x=-] v x =-2 El conjunte soluci6n es A ~ {--2,-3) [x I=x La ecuation es: _.'- 5x+6 ~o (x-3)(x-2) =0 <==> a=OI = = = x=O v ~ x=Ovx=! x-..' C, =1 04 lal = 0 Q =0 10 + bl " 10I + Ib I .. (desiguoldod triongular) 10 bl = lallbl 05 1;;1=1:: ' si b",O l-x=O = {O,I} @ Resolver en 1R: II x 2 - 41-91 = 0 SolueiDn: = 1..'-41-9=0 = = ..'-4=9 v x'-4=-9 x' = 13 v ..' =-5 = 1R,s,ecumple: 101;,0 =0 x(l-x)=O EI conjunto solucioo ell B = (3,2} MOPOSICIONES x'\ = 0 1R: 1.r - Soluci6n: -::.x=3vx=2 CONCLUSION: EI conjunlo solucion es: C, = Au B = {-3,-2,2,3} 03 a'<b' Ilal=O ill Resolver en -----QlJo----=--------=- La ecuacien es: 02 E APLICACIONES [O,+oo[ Ix I=-x E fR: Ial~bc>a"bva';;-b 11 Haciendo IxI = 0, obtenemos el punto referendal .r = O. 01 'Va a=b va=-b 5.1.2 PRDPDSICIOU2 Solucion: :(2 _ = 09 101 =Ibl = 1..'-41=9 <-- Ap~<8r8 [x=mvx=-mJ v 0 c,.={m,-mJ @ Resolver en 06 101' =0' 07 1-01 = 101 1R: [lx-Il-lx+211=0 81 ~ @ So/aciD..: = = = Ix-II-lx+21=0 /x- 1/= Ix+21 +- APUCAR9 x-I =x+2 v x-I =-(xi-2) -I = 2 v x - I = -x - 2 t a =-1 hlsa U x=-t u I-tl C s =0 l-tH-tl e Resolver en lR: \a-II = 3 Solacid.. : = a-l=3 va-I=-3 a =-2 2x =4 x =2 (2} Cs = {2,-1} v x =-1 u {-I} @Resolveren lR: 13x- 11- x= 0 u So/aciD.. : = 5.U .....lIa•• D8 Si b Iial =b ~ 0 entonces = v a=-b I a=b APLICACIONES: 13x-ll~x = x;o, 0 1\ {3x - I e:::::::> x>O - A { ... - - - - , SolaciD..: a- 4x == 2 ! .1==1. ! 2 a) a-I=~I+a = 0 r 1 ES VEkDADERO para lodo x e i : u Il2 } lui ! I = -(I - o ~ J- co. t J = 2 Ix - lR: .<'-a=3 a 1= 3 c, = ]-00,+] NolIJ: U es el universo de La solucion. .<'-a=-3 v C.ompletar cuadrados: e=..c-2x+1=3+1 Y ~ .. (x_1)2=4 v ~(.r-1::::2v x-I =-2) ..'-2<+1 0-3+1 (x- 1)2=-2 ~ =( ]-oo,t]=U CONCLUSION: EI conjunto solucion es: 12 @ Resolver en So/acid.. : HACEMOS: 2x-l == 1-2xjv x=.L} 4 b l-a~O=lx,;tl<--U Si v =-x} [0,_[ () ' . - - -... - __ I a x=.l2 x v 3x - I It, t } cs=lt,t} = @Resolveren lR: la -II = I-a .. = = X= 3 v v x=-I) v 13.-I} v o o o c, = {3,-I} ~ Resolver en lR: 13 -I x -III = 1 Soludon: ]-00,1 [ =3-\x-II=1 v = Ix-II=2 v ~ 3-lx-II=-1 Ix-II=4 [x-!=2vx-I=-2]v[x-I=4vx-I=--4j c:::=::>,[x=3 v x=-lj v (x=5 v x=-3] C s = {3,-1,5,-3j ~ Resolver en Ix - 21 = I - /R: -2x~-1 :::: 3X=3 v x$;1 ~ x=l v -) + 2x] La ecuaci6n es: -x + I = x + I 0= 2x x=O La ecuaci6n es: x-l=x+1 -I = I Entonces 8=8 1 vB,= {OJ x=-1 CONCLUSION: C s = {-I} c, = A v Solucwn.: v a=-b[ APLICACIONES: x-Ix-II= I v x-Ix-II=-I '------- ...------_# -------, '--------~,-- A 8 @ Resolver en /R: 12x-11 =13x-4[ Resolver A: lx-II = x-I = Si Solucwn: x-I«O =>(x-I=x-I v x-I=-x+l) r x 2:. I :::::) [t'sverdoJno 'r/ x E C1.+oo( V X= t] [I,+oo[ => ([I,+oo[ u (I) [I,+oo[ . (:::::=:;' = = 2x-l=3x-4 v x=3 Resolver B: (Por punta referendal) @ Resol ver en referendal x = 1 v lx-I =-3x+4 5x= 5 CONCLUSION: Ix-Ij=x+1 v 2x-I=-(3x-4) -x=-3 Al intersectar: C s = [1,+00] PUDtO 8 = [I,+oo[ v {O I 5.U ..oPOIII10109 [l<>J=lbl =a=b ~ Resolver en /R: [I,+oo[ => i es falso para todo .r E [1,+<0] entonces el conjurac solucion es B1 = 0 es sofucion porque 0 E [-«>,H EI conjunto sojucicn esBI={O} -x= I ]-oo,~]n {I,-I} ~ 1x-II=x-1 T Solud6n: Si I - 2x «0 entonces Si Ix-II=-(x-I) 2x [x - 2'" 1 - 2x v .r - 2 0:: [ I,+oo[ c, = [x' - x",l (3, I) /R: 4xl = 15 - 4 x I 83 S"lllei6,,: = Soillewn d. B: X' -4x = 5 - 4x v X' - 4x=-(5 -4x) X' = 5 v X'-4x=-5+4x X' - 8x =-5 = Comptetar cuadrados: J X'- 8<+ 16=-5 + 16 :x=4±./Ii v = C s ={.[5,-.[5,4+m,4-m} @ Resolver en IR: Si X'"O => 5i xe IR lR x 2 ;;:: 4 { n {.x=±2 IX'/=X' x 2 ;;:: v C S ={2 , - 2 , i t} x=±i v ,- i Cs = } :s; = - 8 ,; por -I "" 8 " por 1. .::=> 4 " , 3 - 2% -2:x 2:x :x El conjunto soluci6n es: C, B { x x = -2 -\ E [ - I ,4 ] - 2 < x - .1 < 2 t x Separar en dos inecuacjones: <==::> -2<x-.1 x /\ x-.l<2 .r ~ -2-x+1..<O /\ x-.l-2<O r .r v CONJUNTO SOLUCION: A = {O} IN " " = cion raciDlUI Si 2t:+ 12:0:-:) tx-l =2r+ 1 vx-I ==--a-I} ..::;> ,; 2 -2 es una mecca Solllewn tk A: -i ,; 5 Solllei6n: \.<-I\-2=2%-lv\.<-I!-2=-2%+ 1 \.<-11=2%+1 v ~'-II=-2x+3 ~-- -- ~-- .... ---- -- -' '--- ----- ..... --------' ... z .r = 0 \ J tI !x-;. i < 2 @Resolveren IR: IR; A Si =2 =A v 8 ~ {O, t ) 11%-11-21 = 12%-11 = X RcsolverenlR;I3-2:x1';5 c:::=:::> @ Resolver en v ~oluc;on: (z.2-4=X'vz.2-4=-X') =:) =t APLICACIONES: ~ 12<' - 41 = Ix' I pues .r 5.1.5 PROPOSlclflN 10 ISi " " 0 cnlonees Ial,;; b =-b S II'; b ~-5 = 1z.2-41=X', {x-lo:-2x+3vx-l==-b"-31 .1"5.1- ~{ CONCLUSION: Soillewn: Si -2.r+3~O ~ CONJUNTO SOLUCION; B = { (x-4)'= II x-4=±JJI x=±/5 Si 1 = -2x-x 2+3 x <0 ~ ...2 + 2.,-3 >0 x A A x 2 -1- Z,t <0 .r 2 x - 2... -3_<0 , ~ (x+3)(x-l) >01\ x -) 0 I -I 0 ) n~ ~ 8 (£ (i-) Ix-3)(x+l) <0 x + e + Resolver B: 2x' - 19 ~ x+2 2x'- x-21 ,; 0 (2x-7) (x+ 3) ,; 0 = = ~ _r:--:"d r---t= -3 -I 0 I lR: 12x' - e + 3 + £1 conjunto solucion es: B = [-3,7/2J Cs = J-3,-I[ u ]I,3[ ill Resolver en t .,'I INTERSECTAR LAS SOLUCIONES 191 ,; x + 2 CONCLUSION' EI conjunlo solucion es: Cs=AnBnU Solution: ~[-I+,fl)7 4 51 _'(+22:0~j-(x+2)~2x~-19,:5;x+2} 1.] ' 2 51 x2:-2~ {-(..l+2),:5;lr-19I\U-19:>;x+2J '--~,---' '-------,~------_. '-------,~------~ A U B Nota: En este ejercicio el conjunto U = [-2,+00[ es el universo solucion, [lesol..r A: -x-2'; 2x'-19 -2+19 ';2x'+x 17 < 2x'+x ~ Resolver en lR: Ix'-2x1 compJetar cuadrados: 2+.lx !l<x 2 2 < 3 Solucwn: = -3 < x' - 2x < 3 11+.1. < x 2 +.lx+...L 2 16 - 2 16 Separar en dos inecuaciones ill~(x+7V '6 = (x+.1)~ ~ ill. 4 '6 = x+.1> = x~ 4 - -3 < X Z 2x 1\ - JI31 4 v ~+1.<_.Jm 4 4 V JITi -1X~--4-- EI conjunto soluci6n es: <==; ~ X Z - 2x < 3 @ t com"J~,ar comptetar cllodradm .Jm 4 -I + c:::::::> -3 + 1 < .r' - nlQ4Jrado..~ 2x + I ".t' - 2x + I < 3 + I -2 < (x - 1)21\ (x _ 1)2 <4 = IR 1\-2<x-l<2 <==> IR 1\-1 -c e c S ------ --- ----- -- ----- -------~.-- , ] - 0 0 '-I--Im] -I+-Im [ --4-U ] --4--,+00 -~. ;RI~rstctQr fl= £1 conjunto solucion es: Cs = ]-1,3[ 85 11~ V I '< ~ c ~" ] ~ + CD + CD .. L.!; 0 J L.!; I 8 I " ~ "l ~ ~ I'l I V I fl v; u C '03 '0 L.!; 0 II :;, \J'" II ~" c sc "l C 'g"o -.: V Q:j Z ... ~ !3 'e I ~ I " / • :I .. : 1/ I , V I "I, ".:f~ ,., i o 1 fl ~ T':.t_ • ! 2/" ,< / , V 11 .. 0 /I I V " tii ~I .. / : 11;" i 0 ~ ~ ~ l:; 0 . l:; + CD + I V + -I'" .'l " E!; c u ~ ~ 0 .:! ~ ?i' ;; .. :s I V + V ~ + 0 V I + + < ;l' +, I -I'" V .'l , N V 0 , '"+ !" , + V 0 , + ~['" " " < + + l '"V 0 V .:l " 0 , " '"+ < '" ', '" -I'" -I'" ,., , + < '" " I ;l , V -I'" -I'" .'l " V 0 n n n n /I 0 ~ .a /I 0 0 8 0 " -.: fl fl >< 0 .:I I <:> , '"+ 0 ~ + I " ~ ..'l + 0 ~ /I ... /I ~ ~, " + + , "I " ..., " " + I ~ ,. V ~ " V + I sf. .. " >< '< :;, I 21~ .;,: l " ~ + J) + $ ~ .,.,n '" _In I II ~ u'" V 0 "i V 0 $ V ~I " " .:I ~ + 0 "I " ~' " ~I" V I 0 '< I I - 11~ n+" r C iii tl 2 -c;. @ Utilizando el sfmbolo de valor absoluto, exprese cada uno de los siguientes hechos: a) "x esta a menos de 3 unidades de 7 " '--------------------'.~-------------------~' Ix-71<3 b) "x difiere de 2 en menos de 3 " '-- - -- ---. --- -----".---- -- - -- ---- ----~ Ix-21<3 c) "x esta a menos de a unidades de II" '--------------------- .... --------------------; IX-Ill < I'> d) EI ingreso promedio mensual X (en dolares) de una familia difiere de 850 en menos de 100: I x - 850 I <100 e) EI mirnero x de horas que una rnaquina funcionara de manera eficiente difiere de 105 en menos de 3: Ix- 1051 < 3 f) "x difiere de 5 en por 10 menos 6 " '. - -- --- ---- --- -----..,.------ - ---- .. ------" Ix-5!"6 g) Los precios PI Y P2 de dos productos pueden diferir en nc mas de 2 dolares: I PI - P,!,; 2 h) EI diarnerro x (en pulgadas) difiere de 0.1 pulgadas en no mas de 0.01 pulgadas: Ix-O.II';O.OI (0) i.,Cuales son los diarnetros minima y maximo? AI resolver en (0) obtenemos : = = -0.01'; x - 0.1 -0.01 + 0.1 ,; 0.09'; x x s 0.01 ';0.01+0.1 ,; 0.11 EI maximo es 0.11 yel mlnimo es 0.09 @ PROBLEMA La cornpafiia CAPiu fabrica varillas de metal. Suponga que las varillas solicitadas pm un c1iente se fabrican con una especificaci6n de 0.5 pulgadas y que estas son aceptables solo si estan dentro de los limites de tolerancias de 0.49 y 0.51 pulgadas. Si x denota el diametro de una varilla, escriba una desigualdad con valor absoluto que exprese un criteria relacionado con x que debe curnplirse para que una varilla sea aceptable, 87 Expliquemos dibujando un segmento de recta de extremes los puntos a = 0.49 Ir -.0.51 a . .. 0.49 Yb = 0.51 . % " 0.5 0.51 0.01 El punto medio de este segmento es m= a;" = O.49~O.Sl 0.5 ahora necesitamos la distancia del punto 10 m" al punto "b'", que es Ib - ml= 10.51 Entonces: Ix - -0.51 =om =Ia - mI=I0.49 -0.51 0.51:s 0.01 es la soluei6n del problema. L CIUIlq'" plUfltJ X "~IIO. el pllrltO "u'dio es merlor0 ;glUJl at RADIO. ~ PROBLfMA En la fabricacion de artefactos, fa dimension promedio de una pieza es 0.01 em. Utilizando el sirnbolo de valor absolute, exprese el hecho de que una medida individual "s" de la indicada pieza no debe diferir del promedio en mas de 0.005 em. SoluCWII: Representando en la recta real es: o.qos r • o.qos -----v "'\ s r I . 0.ll.1 G ...-Jio.J En valor absolute es: Donde el valor Ix- Ix - 0.011 % b I> - 0.011 ' :s 0.005 om I esla distancia d. "x al punto 0.01" ill PROBlEMA Determine todos 10. valores de x tales que Ix - II l:s 2 Ii SoluCWII: IX-Ill :s 21i -2 Ii :s x - II s 2 Ii 11-2 1i "11 + 21i = "x = .. OONCLUSION: x E [ 11 - 2 Ii • 11 + 21i 1 " . PROPOSICI6N: I ,u(x) I < a < ~ (x) < b ~ k , donde k = max { I a ]. I b Ii Esta proposici6n se aplica para acotar funciones. ill PROBLEMA Si (I - 2x) 1 -3 , 5 [ , hallar k, tal que .14 - 3x 1 < k E SoluciOn: Si (I - 2x) E ]-3 , 5[ ~ -3 < 1 - 2x < ~ ~ 2x x 4> 2> 5 < 4 > -4 > -2 ............ (I) ~-4<-2x A partir de 1a desigualdad (I) , formar e1 termino 4 - 3x. Veamos: 2 > x -6 < -3x -2 < 4 - 3x => 14 - 3x I Si Por -3 Sumar 4 >-2 < 6 < 10 < 10. porque 10 = max {1-21,1101 } t En este caso k = 10 j!] PROBLEMA Si (3x + 10) E mUimD Itt IfI1re 2y 10 [-8. -2] , hallar el rnenor valor de k, tal que 12x + 51" k SoIuci6n: Si Ox + 10) E [-8. -2] ~ sumar -10 ~ -18" 3x port ~1-6" x A partir de En -8 ,,3x + 10" -2 CD fonnemos la expresi6n: CD rnultiplicar por Sumar 5 2: ~ -12" ~ ~ - 7 " ,,-12 "-4~ 2x + 5 2x ,,--8 2x + 5 " -3 12x+51 s 7 pues el maximo de los numerus { 1-71,1-3I} es 7. Luego k E [7,+00) 89 OBSERVACI6N: Aplicando la proposicion, se deduce: ---.l.- 2 a) Si 13< 5,r-1 2 <) < 1. => _1_ 15,-1\ 3 b) Si -5 < .. - 2 < -4 => 5 > -(x - 2) > 3 c) Si -3<.1-1<-1 => ,.. -2/<5 => 3 > -(x - I) > I => 1.1-11<3 FROBLE\lIAS (aplicaciOn para acorar funciones} 1. Si lx-II 2. Si I < II o,;t ' probar que I~ 5.1-[+4 I , probarque I(x' - 9) + 51 < 50 o,;t ' probar que /23<+1_21 < ~o .1+2/<1'>'; lx-II 3. Si < < 11 6 0 :).l-1 23 11 4. Si Ix-I\<o,;~, probar que 1 5. Si 1.1+21<1'>'; I , probarque 1.13 + 81 <19 0 5.16 PUPIIICIOfI n Para todo b la!:<:b APLICACIONES: @ Resolver en <+1 - 24 1 < 289 0 2 13.t-12 = E IR tenemos a:<:b v as-b IR: 13.1 1 I > x + 2 Solucibn: 13.>: I I > x+2 = = 3.1 I > x + 2 2x > 3 v 3.. - I < -(x + 2) v 3.. -1< -.1+2 4.1 <-I = CS =X 90 E x ]-oo,-t[ u [~,+oo[ > 3/ 2 v x <-i Soillcion: = = = Ix' + 61 2: 5x .x' - 5x + 6 f+6 v 2: 0 v x (x-3)(x-2) 2: 0 2 $ -5x 2+5x+6 (x+3)(x+2) 0 0 $ ·2 -3 J ~ - ~. s ~ u (-B + + 9 1\1 unir las soluciones obtenemos el C, = ]-00, 2] U [3,+OO[ @3) @ Resolver en Resolver en fR: 13x - II> 5 fR: Ix - Ji I > ho , ,u , h , a constantes ,-'olllci6n: < 1', , , Solucion: 13x-ll>5 , v 3x-1 <-5 <==::> x-lJ>ha v x-IJ < -ha 3x > 6 v 3x <-4 c=:::> x>J1+ha v x > 2 v = ]-oo,-t[ x < _.! u ]2,+OO[ @ Resolver en lR: SoltldiJn: = = = = 12 - 5x I 2: 7 2 - 5x 2: 7 -s» 2: 5 v 2 -5x $ -7 ,; -9 v -5x 5x $ -5 v 5x 2: 9 x 2: 2 x :$ -I C, = 1-00,-1] U v [~,+oo[ 5 x _ < ,u-ha C,=]-oo ,,u-hal u ],u+ha,+<XJ[ 3 Soluci6n: , - Ji I > ho 3x-l > 5 ~~ Resolver en fR: 12-5xl2:7 .; 1 .r 3.{"-S -2-2:4 v ! 3.{"2- S ! .2: 4 3x-S<-4 2 3x-82:8 v 3x-8$-8 3x2: 16 v 3x$0 x>.!Q. - 3 v x<O - s = ]-OO,O[ U[I~ ,+oo[ C ® Resolver en m, I'~I 12: 2 91 SoluewlI: <==> = = = ~ _x_~2 v _x_<_2 _x-_2~0 V .... ~1 .... -2.1"+2 >0 v I+2x-2 :$0 x-I x-I I x - --:=J-3 +2:S;O Cs ~$O V .1'-1 I I c • ~ + 8 + .1"-1 1Jl I ~ • e XE )1,2) XE[f,t[ Cs = [t,l[ ]1,2) • U = = fR: 3 < Ix-2' ~4 -2-,;-4 3.. ·-8;,8 v 3x - 8';-8 x~.!&. 3 <:::::::::::> Cs v = ]-"',O[ x s O U[I; ,+"'[ ® Si a > 1, resolver en lR la inecuaci6n: I ~ I ;, 1 SoluewlI: <==> 1>-21>2" Ix-21,;4 <=::::::> <==>(> - 2 > 2 V x- 2 < -2)" (--4';> - 2 ';4) ,,(-2';x,,6) (»4v><0) =b d= -2 0 4 Cs = X E [ -2 ,0 [ @ Resol ver en 6 U ]4,6] x+a - -= ~-l~O x.a = -2d >0 V x-a --S;-l V --+lS;O v ....1!..-<O V ~:50 x wa X+£l- = ~s;o x+u x <-a V 1<-21-3<-2 1>-21>5 v 1>-21<1 .I+a x-a "a .1:+,, -a -e SoluewlI: 1>-21-3>2 ~>1 -:::::::x:::::e • IR: IIx-21-31> 2 92 3.1-8 v 3>,; 0 3x;' 16 3</x-2/" /x-2Is4 <==> 4 v <==> <==> ~ x+a SolMewlI: = 13x-81 -2 3x-8 > 4 2 = U @ Resolver en IR: Soluei611: ~$O V C 7 = ]-"',-3( U ]1,3[ U ]7 ,+"'[ 0.. Resolver en ® ~- = CJ I 3 I x >0 -%+2 = .... - ) 2 > 5 v x - 2 < -5) v -1 < > - 2 < J (x>7v x<-3) vI <x<3 (x - v 0 ~ + + 8 J-a,01 I --I -a 0 EI conjunlo solucion es: C, = ]-"'.0] - {-a} 01 Resolver las siguientes ecuaciones: 01 Si a y b son mimeros reales, probar las siguientes desigualdades: a) b) c) d) Ia +b I:51 a I +Ib 1 Ia I-I b I :51 a - b 1 IlaHbll:5 la+bl Iial-Ibil :5la-bl 02 Para cualquiera a, b, C E lR , pruebe que Ia - b I :51 a - C I + [c - b I 03 Pruebe que : la-bl<£~lal<lbl+£ 04 Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) 21 x - I I-I .r I = 0 31 ->:+ 21-1 x - I 1=5 Ix I = 2\ x - 21 + I.r - 31 212->: - II+1->:+ 31 =8 05 Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) 12->: - II =4 13->:+ 21 = 2 15x - I I = t 13x-21 =! a) I x - 2 I = 12->: - 31 b) 14->:+51= II-xl c) I.r - 21 =13->:+ 51 d) 16x - II =13x - 51 08 Resolver las siguientes inecuaciones: a) b) c) d) 12->: - I I : - I I :5 I 12->: - I I > I 12->:-11 2: I 09 Resolver las siguientes inecuaciones: b) 14x- I I<3 15x-II:58 c) It-tl:5t a) d) e) I) 12-xl:-11<3 g) 1",21 :5 I 2% -I h) 1<1,~,1<3 i) 1~1<2 .-2 j) 1~1<5 <+2 10 Resolver las siguientes inecuaciones: a) b) c) d) e) Ix - 21 > 3 12->: + I I> I 13x + I I> x 12->:- II;'x-1 15x - 21 ;, 4x 11 Resolver las siguientes inecuaciones: 06 Resolver las siguientes ecuaciones: 12->:-II=x-1 b) 15x+21 =x c) 14x - 51 =2->: - I d) 15x-11 =x-2 a) 1x - 5 I-I x - 2 I < I.x- I 1+ 3 - x b) 12->:-II-lx-3:52+x 2 c) I x' - x - I I :51 x + .x- 21 2 d) 121<- 21 +x +41 :5ll4x- 21 +2 +51 e) I.r - 31-12->: +I 1:5 4 a) 93 I IR Resolver en ciones: a) las siguientcs inecua- Ix-'I+/x-2/ < 3 Ixl-3 jx- 31- 2 > b) 5 2 4 Ix'- 6x + 81" 4-x b) Ix'+3x[~2-x' c) I-x-2 x-I I<x-1 d) 12x-II<2x+ I e) Ix'-41<x+ I >_,_ -lx-21 14 Resolveren IR: 2+lx+21 < 21xl-2 c) aj Ix 21 c) Ilx-lI-1j<~ d) 3-lx-II 13 Resolver las siguientes inecuaciones: Ixl a) 3 Ix- 21 =_1 b) Ix-21 =1 x-2 x-2 f) Ix-I/-x ~"O c) Ix-210-2 d) 1x - 2 t < 2 - x IX- 3 1"_. e) 1x - 3 1= x - 3 f) g) x-I x-I h) Ix-31=3-x 2Ix- 21-I,-71- 2 0> I' 21 4 _I &. BADICAClON Antcs de dar Ia definicion de RAlz n-esima de un nomero real no negative. recordemos que: ]N'+ es eI conjunto de los numerus naturales positives, esto es IN+ = {1.2,3,4, ... } lR; es el conjunto de los ntimeros reales no negatives. esto, es si a E JR; , entonces a;:'O 6.1 DEFINICION Sea c z O ynElN' Si .r" == a , entonces existe un iinico nurnero real no negative "b" tal que. b "b es la raiz~ -0 '1[;; e-esima de a" En la notacion '!.[; 0 tarnbien a'/n . decimos que "n: es el Indice de fa rafz u-esima y que '<a n es la EXPRESION SUBRADICAL en V-;. EJEMPLOS: =4 , tal que b =.J16 . b = V5 , tal que b' = 5. b = V13, tal que b' = 15. I.Six'=16, existe un unico numero real no negativo b 2, Si 3. Si x' = 5 x' = 13 existe un unico nurnero real no negativo existe un unico numero real no negativo PROPIEDADES: Para a,b E 1Rt = [0, -i-co] y n, m e IN+, se eumplen: I. ~ ~ '],/a ",fb 2. 3. "V'!J; = m~ 4. 6.2 p E IN+ Eo IR+ , definimos : a 7,- :::: t(;;;; E IR se eumple : ..[;? = I a I nOREMA a) Si b ;, 0 entonees b) Para todo b > 0 tenernos 6.5 ~:::: np,)a"'P . si TEOREMA (RAiz CUADRADA YVALOR ABSOLUTO) Para todo a 6.4 :Itb - 'Vb DEFlNI810N (POTENCIACION DE EXPONENTE RACIONAL) Si -;. § Q+ Y a 6.3 n a _"Fa _ a'sb = -,/bsas,/b a';, b = a ;,,/b vas-,/b ECUACIONES CON RADICAIES TEOREMA I Si a;' 0 1\ b e 0 entonees I.;;; = b = a ~ b21 95 I Ejemplo 01 I Resolver 'Vx IR: ../5x - 9 = x-I E Solllcwn: Antes de elevar al cuadrado, debernos hallar el UNIVERSO del conjunto soluci6n : "ItiHno A (5x - 9 ( ;0; x 2: -<JO 0 ;: t ';-1 ~) entonees elevar al cuadrado: 1\ X ,,0 ) rill. I. .2 I => t -toO ~ 5-" - 9 = (x _ I)' o =-<'-7x+1O o =(x-5)(-,,-2) A ={5,2} 5 El universoes: U = [1' +co( CONCLUSION: £1 conjunto soluci6n se obtiene intersectando el conjunto A con el universo u=[t,+ool C,= {5,2} Resolver en IR,las siguienle ecuaciones (aplicar el Teorerna I) : 01 "/1O-x=x+2 04 ~4x-x2 =3x-4 f1I ~ = 2-,,-8 02 ~4_x2=1 OS 2x-~=3x-7 08 ~x2+9 =2x-3 03 -,,+,}4-,,+1 =5 0& ~x-2x2 = .r 09 24x+4=2x-4 Resp"estlu: C-.J3 ..J3) 01 U=[-2,10], {I) 02 U ~ [-2.2], 04 U = ['I, .4] , {2} 05 U = [1,+00[, {5} 06 U ~ [0, \1,] . {O.'I,} f1I U = [4, +00[, {5} 08 U= ['I" +00[' [4} 09 96 03 U=[-±.5].{2} U~[2,+00[,(5) IEjemplo 02 1 Resolver en IR la ecuaci6n: ../6 - x+..r;;7 - ../12x+ I ~ 0 Solucitln: Paso 1.Hallar el UNIVERSO 6-x;'0 x,,;6 del conjunto soluci6n, haciendo la intersecci6n: A A x+7 x ;, 0 ;'-7 -7 E [ - 12x + I x A ;, 0 ;, _L 12 ["If- _-----<1 EI universo solucion es U =.x A -& 6 I~ .6] Paso 2.Expresar la ecuaci6n dada como "SUMA DE RADICALES" Y no como diferencia. Asi: ../6-x +../x+7 ~../12x+l Paso 3.Elevar aI cuadrado: 6 - x + 2../6 - x ..r;;7 + x + 7 ~ 12x + I Paso 4.- Reducir a su minima expresion: 2../6-x ../x+7 ~12x-12 ../6-x ../x+7 ~6x-6 Paso 5.Elevar al cuadrado: (6 - x)(x + 7) -x' -x + 42 o 36.<' - 72x + 36 36.<' - 72x + 36 ~ 37x'-71x-6 37xX3 -2 x o~ (37x + 3) (x - 2) 97 EI conjunto soluci6n de esta ecuaci6n es: A ; (- i7 .2 ) CONCLUSJON: El conjunto soluci6n se obtiene inrersectando el conjunto A con el universe U. Cs> {2} EJE R( It lflS. t.lll PO 17 Con el mismo modeJo del ejempJo 2, resolver en lR, las siguientes ecuaciones: 01 -Ix - 3 +J2x+J - 2../x ~ 0 03 ,J3x+ J - ,JJ6x+ J = 02 ,J5A-I-,J3u~.,fb -.rs; 04 ~2A+J4A-3 ~3 052../x=,Jx+7+* 06 Jx+,Jx+8 =2../x 01 J5-2A-b+6~Jx+3 08 .,[h+3-,JA-2;2 09 ../x+~~5 10 J4A-3-,JA-3~J3A-5 >+7 RespuesltU: 1) {4} 2) (2) 6) {J} 7) (-2.+) 5) (I.6) 3) {O,5} 4) {3} 8) 13,ll} 9) {J,J6} 10) {3} &.8 IIECDICIOIES COIIIIICIIES Para resolver inecuaciones con radicaJes {R.dz CUADRADA). aplicar, segun sea el caso, los siguientes teoremas: T, . ..Ja"..[b ..Ja s» ..Ja ~ b T•. ..Ja+..[b~Q T, . ..Ja+..[b"o T, . T, . 98 = = = = = O"a"b a s b2 t siempre que a ~ 0 A b~0 [a ~ 0 • si b < 0 1 v [a ~ b' , si b ~ c1] a~O 1\ b~O a~Ol\b=O IEjemplo 01 I Soluci6n: Resolver en lR ; ,f2x -I ~ 2x - I ,; .x + I Aplicar T, : 0 <=> 0~2x-1 <=> s ,f;+t " 2x-I';x+1 2x-12:0 = x>l. - 2 " x ~ 2 l~=_ _ _1 n 2 CS=xE[~,2] tJERCICIOS: GRlPO 1/01 01 ~ ~,f2x+1 02 ,fh < ,Jx 2 + 2 03 ~ ~~lx2_11 04 H>~ 05 ,fS-4x>,Jx 2-3x+2 Resolver en IR, las siguientes inecuaciones aplicando el T 1 06 ,Jx2-6x ~,f6-x 01 ,J3x2 + 3x > ,fIS - x 08 ~ Ix2 -41 ,,-.Jx+2 09 ,J4-\x I,;,J I x- 41 10 Si 0 < <I < t, resolver : ,fax -I < ,fbx- 2 R..pulSl<lS': 6) [-I,OJ u {6} 1) [0) 2) [0,11 U j2,+o<l[ 7) ]-o<l,-3[ u H,IS] 3) J-o<l,-2J u [0,1] B) \-2,IJ u [3,_[ 4) JO,IJ 9) 5) J -3,IJ 10) [-4,4) ];,+o<l[ 99 IEjemplo 02 I Solucion: Si Resolver en lR : ,/3 - 2x < x Apliear T, : {x> 0 A 3 - 2x ~ x>O A x<l. -2 °J , x' elevar al cuadrado: 3 - 2x < o < x'+2x-3 o t: I o < {x + 3) {x - I) ~ I -¥z -3 EI universe de la solucion es U ~] 0.'/,1 A ~ ]-00,-3[ u ]I,+oo[ EI conjunto soluci6n de la inecuacion se obtiene intersectando el conjunto A con el universo U. CONCLUSION: I bl------_ 1 ! -3 0 I Cs ~ ]1. ~ ] EJERCICIOS: GRlIPU 19 Aplicando el T2 , resolver en IR; las siguientes inecuaciones: ~4_x2 01 05 <;x 02 +2x-3 ",2x-I 03 ~6-lxl"'x 06 2,r;;4 -x", I 04 ~x2 ~x-2x2 <1+2x 07 Jbx 2+x<l-bx, h<-l r= ~9-x2_lx-II<;0 08 .,r;:;:i - 2 2 +Jx + 2 < (x + 2) 1/4 Respuestas: I) U ~ [0,2], c, ~ [,J2 , 2] 2) [O,~] 3) U ~ [0,6] , C\ 4) U~ [-3,3], Cs ~ c, ~[-3, '-.Ji71 u ['+-117 2 J 2' 5) U~ 7) U~[O,-i], C,~ u 100 [I,+oo[ , Cs~ U 6) U~ 8) u ~Cs [-l,+oo[ ; ~ 3] Cs~ ]2,+00[ [5,+001 ~ [2,6] APLICACION DEL TIIOJmJIIA :3 T, .;;; :;,; b = [a:;'; b 2 , si b e 0] [a:;'; 0 , si b < 0 J v '--- ------ .... ---- -----, '------ -- - .,.- --------, q p IEjemplo 03 I Resolver en IR: ~4_x2 :;';-1 Solucion: 4 - x2 ~ 0 Aplicar solo "p" , x' Porque b = -I es NEGATIVQ -2 :0; x :0; 4 :0; CONCLUSION: EI conjunto soluci6n es: Cs = x jEjempI004 [ Resolver en IR: 2 E [-2,2] ~4-x2:;,;1 Solucion: Aplicar solo "q" , 4-x':;';I' porque b = 1 es positivo: = = = 3 :;,; x' -.J3 :0; CONCLUSION: EI conjunto solucion es: Cs = x IEjemplo 051 Resolver en IR: E x2 S; 3 x :0; .J3 [-.J3,.J3] ~4_x2 :;';x-I 101 SpIIKI4g; En eore caso, aplicarel Teorerna 3. en forma completa, AsI: = x' ~ 0 • si x - I < 0) [ -z s x:S; 2, si x :'-h-3 02:x'-x- 12 o 2: x' - x +.1._1._1 4 4 2 (x-t)2_ t o 2: <2 ( X_ .1)2 2 - 4 ,fi • .» -T~x-2S:T I-,fi, = ----=:c=t-=L {[2,2) , si x <I } v t ·2 t I 2 {( I-2 ,fi ' < 1+./7 ~x_ 2 2 I+.fi] st. 'I} x~ 2 t t illl.n«dtIT -JI-off -2- E:::L ,.off I -2 .USION: HI conjunto soluci6n es la union de ambas soluciones: CS=[-Z,i[ u [1, l',.fiJ =(-Z,I+,.fi] 10:1 EJERCICIOS: GRUPO 20 Resolver en. lR. las siguientes inecuaciones: 01. .J2x-1 ;'-2 08. .J2x-1 " Ixl 02. .J2x-I" 2 09• OJ. .J2x-1 "x-I 10. 04. ~>-I I-x 11. JIxT=l" -2 JIxT=l" 2 JIxT=l " x -I 05. ~>l 1- x 12. ~-X-2 "X' -4x-26 06. ~> l ~ 2;':T lJ. ~9 _x 2 "x-4 07. a) l~x2 '::5x-6 14. .J5x - 2 " 1- x b) ~x' -3x-IO >x+3 " 2x+ 2 15. 3-~4-x2 x-2-J2x+1 Ixl+3 <0 RespuesulS: 01) [1;:,+00 [ 02) [1'+"'[ OJ) [1;:,2+./2] 04) [0,1[ 05) ]1,1 [ 06) !O, 1;:! a) [-3,-21 08) {I) 09) )-00,-1] 11) )-00,-1] u [1,2[ 07) U [1,+00 [ b) ]- 00 , - ': [ 10) ]--oc,-5] 12) H,-I] v {2} IJ) [-3,3] 14) !i,+oo! 15) [-1;:,3 +.J6[ U [2,+00[ 6RUPO 21 ACOTACION Deflnlcion,« Sea f(x) una funci6n real donde x E I (I ~ intervale). Dirernos que f(x) es ACOTADA E [-2,3) , hallar my Mtal que: m~7-5x:::;:M ill Si x E ~ Si 2 < x < 4, hallar m y M, tal f(x) que: m<-x 2 +6.\ - 8 ,; M ill Si 0 ,; x,; 4, hallar m y M, tal que: m$~-x2 +4x::; M ill SI x;o, 0, halter m y M, tal que: ;x2 -+- 4 ::l x -4 fR, hallar m y M, tal que: m<_'6_,;M !!J Sea mS-T-s; M en I. si existen dos numeros reales m y M tal que: m ';f(x),; M. !!J Si x ill Si Ix[ ,; I, hallar m y M, tal que: m,;..' ,;M 'l/5x +5 l xl =,L-e,,2, ,x E IR Hallar m y M, tal que: m <f(x)'; M ~ Si -I <.x < I, hallar m tal que: a m-5:-+-<5:M. x -4 ill SI x > 0, hallar m y Mtal que: 21xl < m<--, _M ill Si 2'; x,; 6, hallar m y M. tal que: m';3+2•./x-2,;M Soluciones: ,I. m=-8.M= 17 02.11J~O,M=4 1 83. m =0 , M= --r,; 04. m ~ -t ' M = 0 05. m = 0 • M = I I+x DC. ~ Si Ix[,; 4, hallar m y M, tal que: m~O, DB. m 07. m ~ 0, M=2 =- _)' , M ms,tJJ6-x2 "5:M ~.,L, M~ 2 09. m = 0 • M = I 10. m = 0, M= 2 ~Seaf(x)=_4_, ,x;o,O. 1 +e x Hallar m y M, tal que m <f(x)'; M. 104 11. m =0, M =+ 12. m ~ 3 , M =7 ~ CAPITULO 2 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO 2.1 PIII••EIWII Diremos que un conjunto que contiene dos elementos, denotado por (a,b) es un par orderuulo si y 5610 si dicho conjunto tiene la propiedad de que el elemento "an puede ser distinguido como el primero y el elemento "b" como el segundo elernento del par. 2.2 PDES OIDEIWIIS IBUlES Dos pares ordenados (a,b) y (c, d) son iguales, y escribimos (a, b) = (c , d) si, Y s610 si a=c y b v d. Esto es: 2.3 I-(a-,""b-)-=-(-c-,d -)-=--a-=-c-I\--b-=-d~1 EL PRODleTO CllTESIDI IR )( IR Dejini£i6n.- Si fR es el conjunto de los nlimeros reales, el producto fR x fR es el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) tales que x e fR 1\ Y E fR. Estoes: fRxfR=«x.y)/x e fR 1\ Y e fR} EI producto fR x fR, se llama PRODUCTO CARTESIANO. 705 ! IA ...... umsIllO Dl II plano oanesiano. en la Geometria Analitica, es la repnllllllC16n geometrica del productu lR x lR a lR'. donde lR IIpnllnll &1 conjunto de los numeros reales, '~~) ~Dl Un .tlff/ma coordenado reaangular 0 eartesiano en el plano. es la repre..,ll\ICi6n geometrica de dos rectas coordenadas perpendiculares que se InlerlOClin en el origen 0 de ambas, La recta horizontal se llama EIB X a EJE de las ab.ei.... la recta vertical se llama EJE Y a EJE de las ordenadas. Los dos ejes se denominan ejes coordenados y el plano. se llama plano coordenado XY. Los ejes coordenado. dividen al plano en euatro panes lIamadas; primer cuadrante, segundo cuadrante. tercer cuadranle y cuarto cuadrante: que se denotan por I. II. III Y IV, respectiYamente (Ver flg.). • El nombre de Canestano, se debe en honor del malemQlico jrancb Rrn~ Desco."es (1596·/650J qu;en!ueunode los primeros en emplttlr tllist~fM de coonJenadas rectangulares. , y 5 4/------ ---.--- I D 1'(--4,2) _ j! y, ! . ;X--...--< m ..4(5,4) 4 S 3 --. ----_:8(2,3) p (%,y) I - --. 2 1 x -5 --4 -3 -2 -I I 1 -I 2 3 % -2 tv QH,-3) . -3 -4 -5---' - --C(4,-5) &i5te una correspondencia biunivoca entre los puntos del plano XY. y las parejas ordenadas (x, y) E lR x IR HI'. cada punta P del plano XY Ie correspcnde el par ordenado unico (x. Y) de lR x lR y e elida pareja ordenada (x .y) de JR x lR Ie corresponde un ,010 punto P del plano XY In el par ordenado (x,y), la primera cornponente x es la abscisa del punta Pyla lI.unda componente y. es la ordenada del punta P. 1M H Ast, en la figura 2, tenernos : .. Las coordenadas del punto A son (5 ,4), la abscisa es 5 y la ordenada es 4. EI punto . A recae en el primer cuadrante. .. Las coordenadas del punto B son (2,3). .. Las coordenadas del punto P son (-4,2) , la abscisa es -4 y I. ordenada es 2. EI punto P recae en el segundo cuadrante. .. Las coordenadas del punto Q son (-3, -3), la abscisa es -3 y la ordenada es -3 . .. Las coordenadas del punto C son (4 ,-5), la abscisa es 4 y la ordenada es -5. EI punto C recae en el cuarto cuadrante. 2.5 SUMA DE PABUAS IRIENADAS PRIDUCIIIE UlIlIOmRI REAl PIR UIIA PARUA IRDEIIADA. Definicion 1.- Dado dos parejas ordenadas (x, ,y,) y (x" y,) de JR', I. surna de (x, ,y,) y (x, ,y,) es la pareja (x, + x, ,y, + y,); esto es : I (x, ,y,) + (x, ,y,) = (x, + x, ,YI + y,) I Definicion 2.- Dado la pareja ordenada (x ,y) de JR' y un numero real r, el producto del numero real r por la pareja ordenada (x ,y) , es la pareja 'ordenda (rx ,yr); esto es : I r(x, y) = (rx, ry) I 2.6 DISIAIICIA EmE lIS pums Prellmlnares : 2.6.1. Definicion: Dados dos puntos PI Y P, en el plano XY, la distancia del punto P".I punto P, es la longitud del segrnento de recta que las une. 2.6.2·1 Teorema / I La distancia d(P" P,) entre dos puntos PI(x, ,y,) y P,(x, ,y,) esta dado por la formula: I d(P', P2)=~ (x 2 -x, i +(Y2 - y,)2 I L distancia del punto PI al puntc r, "..""..,.: 1. BIcgir loa punIoo 1', Y', ell cualqoien de los cuatro cuadrantes. Supongamos que Ph es1i en el cuadrlDte '1 ell .1 primer cuadtante, respecti vamenle. '1 m "bo,n> 2. Si considenmos que " '1 " I0Il 101 vances de lID tri6ngulo rec:t6ngulo, redo en 1', cuyas /' I :I iJ'J -,,11 coordenadllll SOlI (x, ,1'), podemos aplicBT el Tearema de Piligons: % .L..... :.- _----I-----------·~ ,}'I) [dIP, PI(Xl,YI' ,N]' = [d(p, ,p,)J' + [dIp, ,p,)l' ~ l.ll: %,1 3. En la figur. se v~ que : 4. Reemplazar en 2. : d(p, ,p,) = lx, -xii [dip, ,p,)] , = Ix, - ~ dIP! ,p,) doede: ee y d(p, ,p,) xii' + Iy, - = 1" - yd yd ' ~ (X,_XI)2+(y,_y,)2 lx, - x, I' = (x, - x,l' , Iy, - y, I'= (Y,- y,l' N0tsd6" : La distancia d (I', ,I',) tambiense denota por d ( f\ ,1'2) = I f\ 1'21 = I 1'2 - f\ I I I .2.6.3 COROLARlO (Formula del punto medio) EI punto medio del segrnento entre P,(x, ,y,) y 1',(x" y,) es : 11+Y2) %1 + %2 ( 2 ' 2 DemostraeiO,,: ,C1(°.,nL. . P,(x,.y,) /i{O,,,) -- ; P\x ,,,) P,,,,,,,,,) .. A(%"O) . E(j'' ') B(x,0) q.,.O) 1. Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto I' en terminos de las coordenadas de 1', y 1',. Para ello, tracemos desde los puntos, P" P YP, segmentos paralelos al EIE Y Y corten al EJE X en los puntos A, B Y C respectivamente. 2. Par la Geornetria Plana elemental. se sabe ~"e I. recta paralela al EJE Y que pasa por el punto P biseca al segmento AC en el punta B. esto es, B es punto medio del segrnento AC. Si B es PUDlO medio del segmento AC. eraonces se cumple que: x-x, 2x ~ ~ x,.-, , donde: x, + x, X ~ --2 x-x, es la distancia de A a B(jB-AI> X2 -x es la distanciade B a C( I C - BI) Xl+.l'2 3. De manera similar, si por los puntos PI. P Y P2 trazamos segmentos paralelos al EJE X. Yconan al EJE Yen los puntas E, F YG respectivamcme, se obtiene el siguiente resultado: y, - y y, + y, ~ ~ y - y, 2y donde : Y2 - Y es la distaneia de FaG (\ G - F I> Y - y, es la distaneia de E a F ( IF - E I) Y\+Y2 Y~-2- I PROBL~MAS R~SU~LTOS I PROBLEMA 01 Hallar el perimetro del cuadrilatero cuyos vertices son (-3,-1) • (0,3), (3,4) , (4,-1). Soluci6n: Graficar los puntos en el plano cartesiano, EI perfrnetro del cuadrilatero es : P~IABI y +IBCI +ICDI+I DAI Donde: IABI ~J(-3-0)' B(O,3), :; / A(-3,-I) I \\ x 'D(4,-1) +(_1_3)2 ~5 IBCI ~J(0-3)'+(3-4)' ~JW ICDI =J(3-4)2 +(4+1)' ~..fi6 IDAI =J(-3-4)2+(-1+1)' ~7 109 BnlOMt••I-JlII'fn\llIro es ,01'''~'' I P = 5+M+.J26+7 = 5 + 3.16 + 5.09 + 7 = 20.25)l . PItOaLlMA 02 Los vl!ttices de un triangulo son A(3.8). B(2.-I) Y C(6,-I). Si D es el punto media dellado BC, calcular la longitud de la mediana AD. SoluciOlI : Graficar los puntas: El punto medic del lado y 8 Be es : D=(2;6, -~-I )=(4,-1) A(3,8) AD es la mediana. La longjtud del segmemo AD, es : IADI=~(3_4)2+(8+1)2 =../82 I rI ,\ X -1 PROBLeMA 3 Dado un triangulo de vertices: A(-3, 3) , B(3, 5) , C(-l ,-3) a) Hallar los puntos medics de cada lado del triangulo b) Hallar el perlmelta del nuevo triangulo formada por los puntos medias de los lados del triangulo ABC. c) Hallar el area del triangulo forrnado por los puntos medias de los lados del triangulo ABC. Solucl611 : Oralicar el triangulo, a) Hallar el punto medio de cada lada del tri'ngulo ABC. y • Punto medio de AB: M=(-\+3, 3;5)=(0,4) A(-l,3) • _\ II Punto medio de BC : N=(3~l, 5;3)=(1,1) x • Punto medio de CA: R=(-1;3, -3 C(-I,-3) 2+3)=(-2,0) b) ElperfmetrodeltrianguloMNRes: P=[MNI+INRI+IRMI donde: • IMNI=J(0-L)2 +(4-1)2 =,fIO • INRI=~(1+2)2+(1-0)2 =,fIO • I RMI=~(-2-0)2 +(0-4)2 Entonces, eJ perfmetro es: =.fiO P = ,JIO +,JIO +.fiO = 2,J1O+.,flO c) Ef area del triangulo se puede hallar, facilmente, por diferencias de areas de un rectangulo y triangulos rectangulos. y area('G)=A(R) - (A (RSM) LL + A (MQN) +A (RTN)) area del ree/lingulo RSQT area del /rlt2nxulo RMT· area(,&)=(3)(4)_{(4)(2) +(1)(3) \ N(I,I) i!--<51',Ji R(-2,O) I 2.6.4. Teorema y T 21 2 =J2-(4+t+t }=51J2 Sean A, B, C puntos de /R 2, se cumplen: I. d(A, B) ;, 0 2. d(A, B) = 0 si, Y5610 si A = B 3. d(A, B) = d(B , A) 4. d(A, B) 5, d(A , C) + d(C , B) 2 + (3)(1) 2 I U _ _•••••ITO EN UIII BIZOII DADA ..... ,...". 'Dido un segrnento de recta de extremos PI Y P, deseamos hallar las coordenadas del punto P sabiendo que P divide ·P,(z,.n) I al segmenlo 11 P2 en una razon dada r. Para deducir, facilmente, alguna formula que nos permita hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento It P2 en una razon I',lot. ,") dada r, haremos las siguientes definiciones : D.jlnicUln 1. Dados dos puntos PI(XI • y,l Y P,(x,. y,l, el segmento dirigido de PI a P" que la denotamos por f\.P2=P2 - 11 P2 ' se define por : P' = (x 2' y, 1- (x I' Y 1) = (x 2 - XI ' Y2 - Y I 1 Notacl6n: La notacien PIP: PP 2 se lee "el segmento DqinicUln 2. 1\ P es aI segmento P P2 ". Si el punto P divide al segmento r=I1 11 P2 en una razon dada r, definimos P : P P2 L""On 1H,/InkUln J. Si en el segmenlo dirigido p" P2 = Pz - p" , el punto P divide al -11 P2 en una razon dada segmenlo IIfP =r (PP; lJ r = ---11 P: P P2 ' definimos: para indicar que el segrnento dirigido 11 P es paraJelo al segmento dirigido P P2 IT,o,..ma 2 I 51 PI(x,. Yll Y P,(x, ,y,) son extrernos de un segrnento 11 P2 ' las coordenadas (x ,y) de un punto P que divide a este en la razon dada - - x,+:r2 r::fj P:PP2 son x=!""+"r )'1+YZ Y=---r;-r ; r e c-L: Demostrocilm : 1. Si P es un punto que divide al segmento PIPZ en la razon dada r aplicamos la definici6n 3 y obtenemos PIP; r (PP z) > P,P: PPz • (I') 2. Aplicando la DEFINICION I, a los segmentos dirigidos P,P y PP z, obtenemos : fl P;P-fl PPz; Pz-P ;(x,y)-(x"y,) ;(xz,yz)-(x,y) =(X-X!,Y-YI) ; (x Z - x , Y z y) • (x - x, ,Y - y,) ; ~x, - x , Y2 - y) 3. Reemplazar 2 en I' : = (r(x,-x) , r(Y2-Y) 4. Por definici6n de igualdad de pares ordenados, oblenemos : = r (x, - 1\ r: X-XI == rX2-rx 1\ y - y, ; ry, - ry Y+'Y ; y,-ry2 x- XI xl x .. rx == .t'\ + rX2 1\ x (I .. r) ~ XI + 1\ XI X; ICOROLARIO rXl + rX2 IH --- y, ; r (Y2 - y) y (I .. r) ; y, .. 'Y2 Y ; 1\ YI +1)'1 ---r:;:; I Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido PI (x" yll Y P2 (x" y,) son X I +'x2 ( YI + Y2 -z-, - z 1\ Pz cuyos extremos son ) Demostroci6n : Basta hacer r; I, porque si P es punto medio del segmento \P,PI IP,PI; IPP,I, entonces Ipp,l;l;r. 1\ Pz se tiene que 113 l!i~1011 Hallar los punlOS de bisecci6n del segmenlo cuyos extremos son los puntos (-2 • 3) Y(6 • -3). Sol.i61l : Oraficar el segmenlo ~ Pz Y Se pide hallar las coordenadas de los puntos P y Q. que dividen al segmento I ~ Pz en tres segmentos de igual longitud. RecomendaciolUls : -2 I .... ~4( x~ r ······_··P,(6,-3) 1. Oraficar los extremes del segmento ~ Pz 2. Trabajar de izquierda a derecha. Asf, por ejemplo, si queremos hallar el punto P, trabajamos de PI a P y luego de P a P2• 3. Como P y Q dividen al segmenlo ~ Pz en tres segrnentos de igual longilud, asignamos con "I" a cada segmento dividido, de este modo al segmento -QP - uigna "I", tal segmento PQ se Ie asigna "I" y al segmento Bala uignaci6n nos facilita obtener la raz6n de divisi6n deseada. 4. Par. hallar el punlo P tenernos la razon . ~ P : P Pz . Esto es, T ~ z se Ie asigna "I". ='; = t .Lo cual nos permitehacer : IfP = tppz P-~ =t(Pz -P) 2P-2~ = Pz-P 3P=2~+Pz P=}{2~+Pz} P=}12(-2. 3)+(6, -3J} 5. Q es punto medio del segmenlo PPz • entonces Q =[ 114 P se Ie =( t.l) t;6 ,';3 J=('.' ,-I) IEjtmplozl Supongamos que el mismo segmento lJ P2 del ejemplo I, queremos dividir en 5 segmentos de igual longitud. Haller las coordenadas del segundo punto mas cercado al punlo P,_ SolllcitJn .. 8 es el segundo punta mlls cerc3!l9. y Laraz6nes: -;=i=r Esroes : lJB=fBP2 .. ,.B 8-lJ =t(P2 -B) -2 8=t(3lJ +2P2 ) 'P>\6,-3) =+(3(-2,3)+2(6,-3) } =(t,tl IEjtmplo 31 Los puntos extrernos de un segmento son P ,(2 , 4) Y P,(8, -4). Hallar el punto PIx ,y) que divide a este segmento en dos partes tales que -- -- P2 P : P Ii = -2 . SolucitJn .. y Este problema es un caso especial. Cuando Ia raz6n es negativa el punto P se 1< encuentra fuera del segmento II P2 ~ "\8.-4) • EI dato P2 P: P Ii ~ -2 implica que P, P =-2 P Ii r ::::.!!!.=-2 • • De(l): P-P,= -2(P,-P) Despejar P: P - P, = -2 P, + 2P P= 2P ,-P, = 2(2,4)-(8,-4)=(-4,12) (I) 1!iiiElJ, .1 r .,.,. j, i .. Los puntos extremes de un segmento son A(I ,I) Y B = (10,7). ,If' I) Hallar el punto P que divide aJ segmento AB en la raz6n 2 : -5 " b) Hallar eI punto Q que divide al segmento AB en la razon -4 : J ) I. Bn primerlupr. graflCar el segmenlo AB , I Z. Mirando de izquierda a derecha : "'7' _ '_"'_'_'--:'>Oi - --.""---".---., -----) i Q -s " si Ja faron r = es I: A 10 AP: PB = !. es negativa y menor I!. I< I ; entonces el punto P que divide al segmento AB en la razon 13 2:-5 es~ fuera del segmeruo AB y cerca al extremo A (punto de la izquierda). i::' ----·_·1-3 3. EnIOJlCes :5 que la unidad, en valor absoluto, esto implica AP = - t PB P-A=-t(B-P) Pct{5A-2B} P=t (5(1.I)-2(10. 7)}= (-5.-3) SoIIIclifll Ik 6) Si II raz6n r = )4 es negativa y mayor que la unidad, en valor absolute, esto es 11I> I ; enlOnccs el punto Q que divide aI segmento AB en la razon ..,menlo AB y cen:a del extreme B (punlo de Ja derecha). BnIOIlCea AQ: QB =-: implica AQ = -4QB Q-A=-4(B-Q) Q-A~-4B+4Q 3Q~4B~A Q~tI4B-A) Q= t{4(1O, 7)- 0,1) "',. Q=(I3,9) l -\4 eslAfuera del - (M]\lj::I,l':I) " Hallese el Area del triangulo cuyos vertices son: I@ (2,3) , (8,0) , (5,6) 1@(1,4),(7,1),(5,8) I@ (6,0) , (-2,3) , (2,7) I@ (5,1), (-3,4), (-1,-2) I@ (0,-5), <7,-1), H,-I) I@ (4,0), (0,6), (-3,-5) I@ (-5,-3) ,H,4), (0,0) 00 (-4,-2) ,(-1,-1), (5;1) lID (7,--6) ,(-2,-7) , (5,5) mID (7,1) , (2,9) ,(-3,5) lID (1\',,-3) ,(6\',,2) ,(3,4) lID (2,1 ,3,2) ,(-4.4,0,5) ,(-3,0.0,3) Hallese el area del poligono cuyos vertices son: lID (2,6) , (0,-4) , (5,-3) , (8,3) lID (-3,7), (6,5), (2,12), (-2,0) lID (9,2), (4,7) ,(-2,0), (5,-3) 00 (6,7), (9,-1), (-4,0), (-2,7) ,(0,-5) lID (2,-5), (10,-3), (6,4), (1,2) ,(2,0) lID Los vertices de un cuadrilatero son, en orden: A(7,4), B(1,3), C(2,-4), D(IO,-2). a) Encuentrese el Area del cuadrilatero. b) Verifique el resultado haJlando las areas de los triangulos ABC y ACD y surnandolas. c) Veriflquese el resultado hallando las areas de los triangulos ABD y BCD y sumandolas. @ Encuentrese el Area del triangulo cuyos vertices son PI (xI' YI ), P2 (x2 ' Y2) Yel origen. ~ Obtengase el area del triangulo cuyos vertices son (0,0), (x,O), (x2' x2) . lID LoI v4n1cel de un biangulo son (2,7), (5,1), (x,3); su area lOS 19. iCual lOS el valor de Jr: I) 11101 WrtIc:es, en la forma dada, estan en el sentido contrario al del reloj?; b) si .lAn en e1l1ntido del reloj? 1m DemuAlrese que los puntos (-2,8), (I.-I), (3,-7) estan en una recta probando que el , .... dll''biangulo'' cuyos vertices son estos puntos, es cero, lID Hailese el valor de x que haga que el punto (x,-8) este en la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4). IW Dado' los puntosA(-3,4), B(-1,-2), C(5,6), D(x,-4). Obtengase los valores de x tale' que el Area del triangulo ABD sea igual al de ACD. (Dos soluciones.) @ Hallen,e los valores de x del ejereicio anterior, tales que el area del triangulo ABD sea el dob/e del de ACD. @ Encuentrense 10, valores de a para 10' euales los puntos (a,4), (5.a), (-1,6) esten sobre una recta. ® E1 area de un triangulo cuyos vl!rtices son (a,6), (2,a), (4,2) es 28. Encuentrese los valores de a. III Encuentrese las longitudes de los segmentos que unen los siguientes pare' de puntos: a) (2,1), (6,4) b) H,2), (8,7) 0) (4,3), (-5,-1) . co) (-10,1), (-2,7) d) (1,2), (6,-3) f) (-1,2),(-7,-3) I) (-6,3), (9,-5) h) (-3,-2), (-5,-4) I) (3,-7), (8,-10) j) (2,0), (5,1) k) (0,-6), (-1,1) I) (-7,0), (-4,-4) m) (0,0) , (6,5) n) (0,0), (-6,5) 0) (2.3), (8,3) p) (-2,3). (8,3) q) (3,4), (3,-5) r) !S,O). (5.-3) ,,, s) (a,O), (O,b) u) (t,1),(-i,i) w) (..[3,5),(-2.J3,4) I) (a,b), (b,a) v) (-3,2,0,1), (i,0, 5,7) x) (3./5, - 5.J3 ) , (i 0.J3 , 6,[5 ) y) (- 5.J3 , 2.,f2), (- 2.J3 , 5.,f2) z) (.J3 +.,f2 , 3.J3 - 2.,f2), (2.J3 - 3.,f2 ,.J3 - 4.,f2) lIZ Obtengase una f6rrnula para la longitud del segmenlo que une el punto (x" y,) con elorigen. D3 Hallense las longitudes de los lados de los triangulos cuyos vertices son: a) (-3,2), (1,-1), (9,7) b) (7,5), (-8,-3), (10,1) c) (-4,2), (6,4), (-2,6) d) (7,8), (-1,2), (5,-3) ~ Encuentrese el perimelro del cuadrilatero cuyos vertices son: (5,-13) , (10,-1) , (7,3), (-3,2). lla Una circunferencia cuyo centro esta en (-3,4) pasa por el punto (9,9). "Cual es su radio? QA Dernuestrese que los triangulos que tiene los siguienles vertices son isosceles: Dl a) (-4,3), (-1,-1), (3,2) b) (-6,2), (1,3), (2,-4) 0) (4,8), (3,-1), (-5,7) d) (-1,-6), (-6,4), (5,2) Dernuestrese que el triangulo cuyos vertices estan en el origen y en los punlos (a,b), [t(a+b.J3 ,tb-a.J3)] es equilatero. III III Cornpruebese que los triangulos que lienen los siguientes vertices son rectangulos: a) (8,6), (-3,3), (i,-I) b) (10,1), (-4,3), (-2,-3) c) (-1,2), (6,1), (2,-2) d) (-2,2), (i,-2), (9,4) Encuentrese las area' de las circunferencias circunscritas a los triangulos del ejercicio 08. '''''''''.' LIJ hipolenusa de un lridngulo rectdngulo es el duimetro de La clrcunferencia circunscrita. 11 "'Uenae lu longitudes de las diagonales del cuadrilatero cuyos vertices son: (10,7), (2,-1), (-5,-1), (-3,4). U Demu&trese que los puntos A(-5,6), B(-I,3), C(7,-3) estan sobre una recta, haciendo ver que AB + BC = AC. Veriflquese encontrando eJ area del "triangulo" ABC. IZ La base de un triangulo isosceles es el segmenlo que une los puntos (6,1) y (-1,2). La abscisa del vc!rtice es 3. Hallese la ordenada del vertice. 9 EI punlo (.1,-5) esta tres veces mas lejos del punto (-5,4) que del punto (10,-1). H41lese.r. (Dos soluciones.) H Hallense la altura de los triangulos que liene los siguientes vertices, utilizando sus 4reas y las longitudes de sus lados: B) (9,7), (1,-1), (-3,2); b) (5,7), (-3,-8), (1,10). Ii Detcrmlnense las coordenadas de un punlo que equidiste de los puntos (6,2), (5,-5), (-1,3). I a) Hallense las coordenadas del centro de una circunferencia que pase por los puntos: (10,2), (9,-3), (-8,-10). b) Encuentrese el radio de la circunferencia, 11 Demuestrese que las diagonales del cuadrilatero cuyos vertices son 11(5,-4), B(-2,-I), c(l,lO), D(8,7) se bisecan. I Ulilizando la ley de los cosenos, halfense los angulos de los triangulos cuyos vertices lOR: a) A(I,5) ,B(6,-2) , C(I,-4) ; b) A(-I,2) ,B(8,O) , C(3,4). Bn gada _ de 101 proximos 12 ejercicios se dan dos puntos y la raz6n en que hay que dlvldlr lUi aegmenlol. Hallese el punto de division, considerando como primer punto y como aegundo P~. Sera conveniente representar en una grafica los puntos. i!J (1,2),(7,5),1:2. m(2,1), (9,15),3:4. III (-3,8), (7,-7),3:2. D!J (-5,0), (7.-6) , 1:3. 1\, g§I (1,2), (9,8) ,-3:5. au (1,2) , (9,8) , -5:3. mJ (6,3), (-1,-2) , -1:2. lIU (-2,3), (7,-8), -5:2. nJ (-7,-8) , (1,-2),3:1 1m (-1,7), (-8,-3), -2:1. ill (-3,8), (7,-7) ,2:3. !tI (-3,8), (7,-7), -2:3. Hallense las eoordenadas de los puntas medias de los segmentos que unen los siguientes pares de puntos: ill (1,2), (7,5). 1!J J§J (-3,8), (7,-7). !!.I (-5,0), (7,-6). ill (6,3), (-1,-2). ill (-7,-8), (1,-2). !!I (0,0) , (a,b). 1m (a,O) , (O,b). (2,1), (9,15). m(a,b), (-a,-b). mDernuestrese que si I. raz6n esta dado en - - PI P ~ r( PI Pt), las coordenadas del punto de division son: x ~ = Xl + r (xz - xI) , Y = Y, + r (yz - Y\) Encuentrense los puntos de triseccion del segrnento que une (12,-7) con (-3,5). MI Dados los puntos A(-5,3), B(7,-9). 0) Hallense las coordenadas del punto que divide al segmento AB en la raz6n 2,3. b) Hallense las coordenadas del punto que divide el segmento BA en la raz6n 3:2. g§J Los vertices de un triangulo son: A(-2,8), B(6,4), C(2,-4). Los puntos rnedios de AB y de AC son 8' y C' respectivarnente, Demuestrese encontrando valores nurnericos, que 0) B' C' ~ = +BC . b) Area AB'C' = t, area ABC. Encuentrense las longitudes de las medianas del triangulo A(8,6), B(4,-2), C(-2,8). ru Hallense las coordenadas de las interseeciones de las medianas de los trinangulos de los ejercicios 25 y 26. II lAII·. . . . de un cllldrililero son (7.4). (-5,-2), (3.-8), (-1,6). Demuestrese, calcullllllo 100 valores numericos que el perimetro del cuadrilltero formado al unir 101 punloS medios de los Iados, es igual a la suma de las diagonales del cuadrilatero original. mIDIllese la r.ron en la cual el punlo (2.3) divide al segmenlo que une (3.8) con (-1.-12). JU EI punto (5.-1) divide al segmento 1\ P2 en la raron 2:3. Si las coordenadas de son (11,-3), ~Cu1les con lao coordenadas de P2 ? .......... Gn!po 01. 131 03 22 0& 16 08 30 II 13t 13 461- 16 56 17 48 19 ZI a) 10 ; b)-2 23 -I 2669 • -14 1S 21 10.-4 01 Dl 13 2 tlX'Y2-x2y,1 BwMU!as GrU!!!! 02. 01 a) 5 e) 10 c) f)..{6i g) 17 .fi4 j) m).J6i n) I) .j97 b) 13 JiO ../6i k) s,fi 0) 6 Ja 2+bl q) 9 r) 3 s) u) .f8S/12 v) 7,0 w) 2,fi y) 3,Js z) ,fSS d) s,fi h) 2,fi I) 5 p) 10 t) Ib-al,fi x) 10,[6 1\ 03 a) 5,13, S& b) S,17,2..ji5 c) 2../26, 2m, 2,Js d) 10, S,Js,,f6l 05 13 01 a) 6~. b) SO". 13 7 , §1. 4 16 (2,-1) ZS .. c) -2 d) IZS .. 4 ReMMe"" Grupp 03. 01 (3,3) Dl (13,S) »: 13 (4,3t) II (ta, tb) 25 (2,2t) 83 (3,-1) 06 (-1[,-7) 09 (-I,-3t) 11 (1,2) (2,t) 11 (2 2I ' 2I) 15 . 21 (0,0) 23 (2,1), (7,-3) 11 (3!,4) 29 1:3. , ;lIJ\;".lr· II Deterrninar cual de los puntos siguientesA(7,3); B(-S,2) y C(-S,I), es el mas cereano al punto P(-3,S). n Calcu!e el perimetro de los triangulos reetangulos cuyos vertices son: a) A(-2,2); B(7,1) Y C(3,S) b) Q(-2,-6); 8(-S,S). Y S(6,9) 13 Calcular el area de los triangulos siguientes, cuyos vertices son: I" a) A(I,2); B(3,0) Y C(4,1) b) J(I,I) ; K(6,-4) Y L(S,3) It Dado el tri~ngulo ABC, de vertices A(-2,2), B(K,2) Y C(6,2) se tiene que la altura relallva allado BC tiene longitud 3 unidades. Hallar el (los) valor (es) de K y el area del triangulo .4BC. 723 15 Demostrar que los puntos A(4,2); B(-4,O) y C(O,I), son colineales. 1& Uno de los extremes de un segmento de recta es el punto A(3,5) y su punto medic es M(-J ,-2), determinar las coordenadas del otro punto B extremo. 17 Encontrar la longitud de cada una de las medianas del triangulo cuyos vertices son los puntos A( -2,-2), B(6,O) y C(2,8). 18 Si la longitud de un segmento es lOy las coordenadas de uno de sus extremos A(8,JO). Caleular la coordenada del otro extremo sabiendo que su abscisa es 2. " Encontrar las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento L(-2,4); K(4,7) y comprobar los resultados caleulando distancias. II Dos vertices consecutivos de un paralelograrno son A(-I,3) y B(O,4). Determinar las coordenadas de los otros vertices, si las diagonales se cortan en el eje Y y su Area es 6}l' . II Sea A(-2,1) y B(3,-I). Hallar en el semieje positive de las ordenadas un punto Q tal que el triangulo AQB sea is6sceles cuyos lados congruentes tienen en cornun el vertice B. 12 Sean los puntos A(-3,O) y B(3,O). Hallar algun punto P en el eje Y, tal que, el triangulo APB es equilatero. 13 Dado el triangulo ABC, de vertices A(-2,-2), B(I,3) Y C(5,-2); hallar la longitud del segmento AP, donde P es un punto que esta contenido en el lado BC a t de la longitud dellado BC . 14 En el triangulo rectangulo de vertices A(3,O), 0(0,0) Y B(0,6) se tiene que los puntos P y Q trisecan eJ lado AB. Hallarel area del triangulc OPQ. IS EI area de un triangulo de vertices en los puntos (0,0), (1,3), (2,k) es igual a 1;1, hallar el (los) valor (es) de k. IS Hallar el valor K, si el area del triangulo ABC, de vertices A(-2,-I). B(2,3) y C(5,10 el igual a 16;1. 124 " CAPITULO 3 RELACIONES DE IR EN IR 1. REIICiON liNARIA. Definicion» Dados dos conjuntos A y B, no vacfos, llamarernos RELACION BINARIA de A en B a rodo subconjunto R deA x B. Esto es, IRes una rehclO~ de A en B, si y s6la si R ~ A x B I Ii~Ri~ Dadoslosconjuntos A~{a,b,e} ,B~{m,n) a) Halle el conjunto A x B. b) Halle el conjunto B x A. c) i.Cuantas relaciones de A en B habran? Halle 5 relaciones de A en B. d) Halle 5 ejemplos de relaciones de B en A.. Soluci6n: a) A x B ~ {(a,m) , (a,n) , (b,m) , (b,n) , (e,m), (e,n)} b) B x A ~ {(m,a) , (m,b) , (m,e), (n,a) , (n,b) , (n,e)} c) En general si el producto A x B tiene "n" elementos, entonces cxistcn 2/1 - 1 relaciones de A en B no vacios. 125 8n ,I probl'IllI, ,I producto A x B tiene "6" elementos, entonces habran 2' - J = 63 "'lI:lnn.. de A " B no vacios. Blillendo, un elemento cualquiera, dos, tres, cuatro, cinco 0 seis elementos del cul\lunto A )( B, se pueden formar relaciones de A en B no vacios. Los conjuntos : R, = R, = {(a,m) {(a,m)} ,R2 = {(a,m) , (c,n)} ,(b,m) , (c,m)} ,R, = {(b,m) , (c,n) 1, R, = A x B; son cinco relaciones de AenB. = {(m,b)} ,S2 = {(m,a) , (m,c) 1,S, = {(m,b) , (lIl,c) , (n,c)} S, = {(m,b), (n,a), (n,b) , (n,c)} , S, = {(IIl,a), (n,a) , (n,b)}, d) S, , son cinco relaciones de B en A. 2. DOMINIO YB11180 DE UIIA REIICldN, Si R es una relacion de A en B, el IlOMINIO de R es el conjunto de las primeras componentes de las parejas ordenadas de R. esto es : Dom(R) = {x E A 13 y E B , (x.y) E R} EI RANGO de R es el conjunto de las segundas componentes de las parejas ordenadas de R. esto es, Rang(R) = { y E B /3 x E A , (x.y) E R} Del ejemplo 0 I 50 obtiene : Dom(R,) = {a} Rang(R,) = {m} Dom(R,) = {a.c} Rang(R 2) = {m,n 1 Dom(R,) = {a,b,c} Rang(R,) = {m} Dom(R,) = {b,cl Dom(R,) = A Rang(R.) = {m,n} Rang(R,) =B 3. T1POS DE REIACIONES RllAClON EN A 3.1 Cuando R es una relacion de A en A, esto es. cuando R >;; A ",l; diremos que R es una relaci6n enA. Si R es una relaci6n en A. podemos definir las relaciones: reflexiva, simetrica, transitiva y de equivalencia. 3.2 REIACIONES: Reneliva, slm6trica, transltiva. de equlvalencla. Sea R una relacion en A, definirnos : A) R es una relacion REFLEXIVA en A si y s610 si (x ,x) E R, para todo x E A. B) Res una relacion SIMETRICA si par (x,y) E y 5610 st (x,y) E R implica (y,x) E R, para lodo R. C) R es una relaclon TRANSITlVA si Y 5610 si : (x,y) E R t 1\ (y.c) E R implica (x .z ) E R. -l D) RELACION DE EQUlVAI.ENCIA Diremos que R es una relaci6n de equivalencia si y 5610 si R es reflexiva, simetrica y transitiva. ~ Dado el conj unto A = {a, b, C ,d} , elegimos la relacion : R = {(a,a) , (b,b) , (c.c) , (d,d) , (a,c) , (c,a) , (b,d) , (d,b)} que es una relaci6n en A. esto es, RcA x A. Se pregunta : i) lEs R una relaci6n reflexive? ii) l,Es R una relaci6n simetrica? iii) LEs R una relacion transitiva? iv) l,Es R unarelaci6n de equivalencia? Sa"*"i I) PllIque (11,11), (b,b), (c,c), (d,dJ son elementos de R, donde dichas parejas se han fllrmldo con todos los elementos de A, afirmamos que R es una relacion REFLEXIVA. NIJ#/A " 51 'allase una de las 4 parejas, entonces R ya no seria reflexi va. II) l!lellmol uno por uno cada pareja de R e invertimos el orden de los elementos de elida pareja. Si al invertir cada pareja, este pertenece a R, afirmamos que R es .lrnttr;c•. • AI invertir cada pareja de las 4 primeras, se obtiene la misma pareja, 10 cual implica que hasta aquf cumple Ia definicion de reflexiva. • (c ,c) E R al invertir Ia pareja se obtiene (c,a), que tambien pertenece a R. (b,d) E RaJ invertir la pareja se obtiene (d,b), que tambien pertenece a R, ... asf, sucesivamente, se hace con cada pareja. CONCLUSION: R es reflexiva. iii) Para Ia transitividad, 10 que se hace es: elegir, dos parejas tal que la segunda componente de la prirnera pareja sea igual a 1a primera componente de la segunda pareja, asf fonnamos una nueva pareja Call la primera componenle de la primera pareja y la segunda componente de la segunda pareja. Si esta nueva pareja pertenece a la relacion entonces cumple la definicion de transitividad. Si la nueva pareja no pertenece a la relaci6n entonces ya no es transitiva. En el problema tenemos : (a,a) (b,b) (c,c) (d,t!) (a,c) (c,a) (b,t!) (b,t!) E R 1\ E R 1\ E R 1\ E R 1\ E R 1\ E R 1\ E R 1\ E R 1\ (a,c) E (b,t!) E (c,a) E (d,b) E (c,c) E (a,a) E (d,b) E (d,dJ E R R R R R R R R ~ (a,c) ~ (b,t!) (c,a) (d,b) (a,c) (c,a) (b,b) (b,t!) ~ ~ ~ ~ ~ ~ E R E R E R E R E R E R E R E R CONCLUSION: R cs una relacion transitiva. Iv) Como R es : reflexiva, simetrica y transitiva, afirrnarnos que R es una rclacion de equivalencia. U OlUS IUIUNESIEEOUIVALENCII. Usando las relaciones de igualdad, de inclusion y con algunas operaciones aritmeticas se encuentran diversos problemas de equivalencia. PROBLEMAS: 1. Sea R una relacion en INx IN definida por : «a, b) , (c,d» E R a +d; b + c Prohar que R es una rclacion de equivalencia. = . 2. Sea S una relacion definida por : S; {(x,y) E ZxZl3dividea(x-y)} i,Es S una relacion de equivalencia? 3. Sea R una relacion definida en Z+ x (a,b) R (c,d) = z: . por : ad ~ be i,Es R una relaci6n de equivalencia? 4. RElACIONES DE lR EN lR 4.1. DEFINICION. - Sea lR el conjuruo de los mimeros reales. 51 S es un subconjunto de lR x IR:::lR2 , diremos que S es una relaci6n de lR en JR (0 simplemente una relacion en IR) Scgan esta definicion, la grafica de la recta, de la circunferencia, de los semiplanos. de los pianos. etc. y la grafica de cualquier curva en el plano cartesiano: son relaciones de lR en fR, porque son subconjuntos de IR x JR. 4.2. DOMINIO YRANGO DE UNA RElAClON EN IR Si la variable 'y' esta en relaci6n con la variable "x" mediante una ecuacion F(x,y) ~ 0, esto es, si se tiene I. relacion S; {(x,y) E lR ' I F(x,y) = O}, definimos: 1. EI dominio de la relacion S, es el conjunto : Dom(S);{xEJRI3yElR /\ (x,y) ESl L Sf! lee: "e! dominin de S es el fonjunlo de Ios etememos "x penenecieme a los Iwmeros reaies. tal que. euste por to menasun etemesuo "y" penenecioue a IOJ lIumero.\· reates .v que fa pareja ordenada (x,y) pertenece a La retacion S" Z, BI rlnlt' de la relaei6n S, es e1 conjunto: RlnllS) • ( y E IR/3 x E IR " (x ,y) E S} IIJII","UJI/ OIIA"COS: 1 I La p'lIea de la ecuaci6n: 2 ..z+y-4=O La grafica de: x' + y' = 2x es una circunferencia. el una par'bola. y y 1. If I JI It ):c 11111. 2 x ·1 . -:... EI dominio es: EI range es: x E IR 3 ILa intersecci6n de las inecuaciones: (x-3)' (y-4)' < I 4 + 9 Y (x - 3)' " 4(y - 3) sombreada. I ~ Ob.eJ'Nc:wn: 4 En el grafico hay dos regiones : S=R, uR, es la regi6n s Dominio : 1S x s 5 Rango: I"x S4 EI dominio es: 0 Sx S 2 EI rango es: -I S Y S 1 y S4 x ,·5 EI dominio de S es : -3 S x S 3 EI rango es : y E [-5,-1] u [1,5] En la grafica de una relacion, se observa que su dominic es la proyecci6n de la grafica sabre e1 eje' X. EI rango, es la proyecci6n de la grafica sabre el eje Y. 4.3. DISCUSION DE II BRAnCA DE UNA ECUACION CON lOS llllABlE5. La grafica de una ecuaci6n en "r" y en ".i' es el conjunto de puntas (x,y) del plano cartesiano que satisfacen ala misma, Algunas ecuaciones en "x" y en "y", son: x'-y=O x 2 xy-4=0 yx' - 9y - x =0 l =4 4x' +9y'= 36 x'y-9y-,,'=O x'+y'-2x+y=O xy-y-3x=O Para graficar cada una de estas ecuaciones, es necesaric discutir. La discusion consiste en: Deterrninar los interceptos con los ejes coordenados; deterrninar 13 sirnetria con respectc a los ejes coordenados y con respecto al origen, determinar el dominic y el rango de la relacion, determinar las asfntotas verticales, horizontales y oblicuas, hallar un nurnero necesario de pares ordenados. Finalrnente graficar la CUTVa algebraica. Antes de hacer una discusion completa de una ecuaci6n algebraica, hagamos algunos ejemplos concretos de como hallar el dominic y rango de una relacion. il~Jt~ Hallar el dominic de cada una de las siguientes relaciones : S, = {(x,y) E lR'ly+3x'-2x+4=Oj S, = {(x,y) E lR'Iy'-y'x'-x=O} S, = {(xoY) E lRI4x'-y'-8x-4y-4=O} s. = {(xoY) E lR I y' - x + 2 = 0 s, E lR I x' + yx' - 4y = 0 = {(x,y) l 1 SoluciOn: 4,3.1. TECNICAS PARA HALLAR EL DOMINIO Para hallar el dominio de una relaci6n R expresada mediante una ecuaci6n con dos variables F{x,y) = 0, requiere de una tecnica algebraica, que tiene dos pasos: PASO 1. Despejar "y" en terminos de "z", si esto es posible. 131 PASO 2. Analizar "que valores reales debe tener "x" para que la variable "y" sea un mirnero real. Apliquemos estos dos pasos a cada uno de las relaciones dada en el ejernplo 4. • ReJacion 51 PASO 1. I y+3x'-2x+4=0 Despejar "y" de la ecuaci6n ~ y = -3x' + 2x-4 • PASO 2. Analizar : como -3~ + 2x - 4 es un polinomio en .r, entonces "r" toma cualquier valor real para que y sea un mimero real. CONCLUSI6N: EI dominio de S, es el conjunto de todos los numeros reates, esto es : Dom(S,) = x E IR • Relacion PASO 1. 52l Despejar "y" de la ecuaci6n ~ ~ ~ PASO 2. 6 .r E ( -00.+(0) i-ix' - x= 0 y2(l-x')-x=0 2 _ _,_ Y y - I-.x) =± ~ l_x ,3 Analizar : para que 'Y' sea un mlmero real, debe curnplirse que -'-1 ~ 0 1- .r (pues 13 subradical de una raiz cuadrada no puede scr jarnas negativa, de serlo "y" serfa un ruimero complejo) AI resolverse la inecuaci6n : e:::::> l_x 3 - ~ - _'_,,0 x 3_1 o x <0 (.I:_I)(x 2 +.1:+1) el conjunto soluci6n es : x CONCLUSI6N: _'_>0 ~ + 8 + E Dom (S,) = x E [O.I[ [0.1 [ • Relacion S, PASO 1. I Despejar "y" de la ecuacion : 4x' -y'- 8x - 4y - 4 ~ 0 En este caso asociar los terminos "i" e "v", para completar cuadrados y luego despejar I. variable "y". -y' - 4y ~ -4x' + 8x + 4 Ast : y' + 4y ~ 4x' - 8x - 4 /+4.>+4 ~ 4x'-8x-4+4 ~ 4x'-8x (y+2)' y+2 = ±..j"Z2-8x ~ ±2~x2_2x-2 Y PASO 2. Analizar : Para que y E IR debe ser que: x 2 - 2x ;::: 0 x(x- 2);' 0 o 2 <tI CONCLUSION: • Relaeion S4 PASO 1. ~X Dom(S,) I y'-x+2~O Despeja "s" de I. ecuacion : Y ~ En este caso: y E positivo, del cero CONCLUSION: Dom(S4) • Relacion S5 PASO 1. PASO 2. <tI E \-oo.oJ U [2.+oo[ JR, si y 5610sl x 0 ~X E Vx - 2 JR, porque la raiz cubica de un numero de un numero negative es un numero real. E lR I Dcspejar "y" de la ecuacion : x 2 + yx' -4.> ~ 0 Analizar : y E lR. si y solo si x? ~ 4 X CONCLUSION: Dom(S,) *0 '" => y(x2_4)~_x2 =::) y • el denominador no puede ser am, porque La division entre rero no euste. ±2 ~ X E lR - {-2.2l ~ X E ]-oo.-2[ u ]-2.2[ u ]2.+oo[ 2 =:: -=.!.... x2 _ 4 4.U. ltcNICAS PARA HAU.AR EL RANGO 51 Flx.y) =Oes unaecuaci6nalgebraica y s= ((x,y) E TR '/ F(x,y) =O} eo una relaci6n de lR en lR (relaci6n en lR), la tecnica para hallar el rango de la re(aci6n S consiste en hacer dos pasos: P_ 1. P_ 2. Despejar "s" en tbmillOS de ''y'', si es posible. Analizar j,quc! valon:s reaJes debe IOmar ''y'' para que "x" sea un numero real? .An8Iiuin~: . __ , ".e:'! E,f-JtIlllJlO de S es: x=±~4y-1 4y-I;;'0 ye[t·+ oo[ 2 x=±~ 1-4/ > 0 I .L[ ye ] -2"' 2 x y1 -y-4>:=O x= yl-' -4 1-4;<0 Y E TR- {-2,2} x-21 + y- 3 = 0 x=21-y+3 Y x' - x'y - 4y = 0 X=±2~1-, , -'-;;,0 1- , ~·-,:-"i/. x' -4y + I =0. x'-4x'1-4=0 ",1-4y~ E TR Y E lR Y E [O,lf 4.3.3. AsINTOUS Lu ..InlOW _ rectas (verticales, horizontales u oblicuas), tal que. 10 grafica de 10 ecuaci6n Flx,y) a 0 lic:nde a acercarse a elias. vOf los ai8uienlea gr6ficos : ~ 'j~ ----- ... ------- r-1 ../ ../ t/ %::::2 . -. E • Si al despejar "y" en terminos de "r" obtenemos una expresion algebraica racional, como en este caso, la tecnica de hallar la asfntota vertical, consiste en igualar a cera el denominador : 1.\ =-2 • En este caso, la varlable "y" esl! expresada en terminos de "z" • La asinrota vertical es x-I:: O. • 1. es asintota vertical de 52. porque al acercarse "x" pOT la derecha de I, el valor de "y" se aleja a +00. Si "x" se acerca a 1 por 13 i zquierda el valor de "y" se a1eja a -00. • La recta v x=2 ECUA(:IQNES DE LAS ASINTOT'" VERTICAlES x = -2 es asintota vertical de 5" porque cumple la siguiente propiedad: Si "x" se acerca a -2 por la derecha, el valor de la variable "y" se aleja a -00. Si x se acerca a -2 por la izquierda, 'y' se aleja a +00. X = 2, es asfntota vertical, por la misma razon. X = y = I7U + b sera asfntota oblicua si existen los Umites : . Y AI despejar x se obliene : x = ± 2 ,-I • Al igual a eero el denominador obtenemos y - 1 = 0 (que es la asfntota horizontal de SI) y = 1 es asintora vertical de 51. porque al crecer infinitamenre "x". el valor de "y" se acerca al mimero "1". . a) m= lim 1.= 11m X---"+c() J x 2 _ 2.r + 2 J-)+<I;I , x-x =1 b) b= lim [y-mxl ,dondem= I X-)+<Xl lim ["-2>+2 J • • "-2<+2 } , J z =-f , -4 AI despejar "v" obtenemos: y x'-4=O ~ S2={ (X,y)EUl 2/ y lR'/yx'-x'-4y=O} • • • ~1 S, = {(X,y) • · V ......... / .r::< -2 - •y 10-)+00 Entonces oblicua. Nota : x-I y = x-I X ] es =-] asi'nlota EI estudio de limite de una funcion corresponde al curso de cetculo. CONCLUSION: I) 51 y. Sl:l Las asfntotas verticales se obtienen hacienda Q(x) = 0, siempre que 18soluci6n de esta ecuaci6n sea un numero real. R(y) b) Si x =Q(;) ... Las asintotas horizontales se obtienen haciendo Q(v) = 0, siempre que la solucicn de esta ecuacion sea un mirnero real. 7;~hi( .f, ,. HorliOlfial ' x=.i y=O "\,.~ <.~... .1=0 __ I. y- x 2 + 4 -2(x- 2) Y x I y=±3~ .-1 • No tiene, porque alhacerx'+4=O no existe s.ducion .r E IR .1-1=0 .1-1=0 ;;ijiiltota, ,~~ejarx '".' y X=±Jl~4yl x= ~+ y=O .'1+4 y+2=0 .'1+ 2 i-9=0 -.I X - .'1'1_ 9 y=3 v y=-3 Discutir II gr4fica de la relacion : S = { (x,y) E lR' I xi - i - 4.1 = 0 } SoluM: La grAlic. de 18 ecnacion correspondiente a la relacion S, se discutc en cl siguiente orden: ill DlITU""NAC,ON DE WS INTERCEPTOS. 0) Can el eje X: Se bace y = 0 en la ecuaci6n xl" - i - 4.1 = 0 y resolver: Asl : .1(0) - 0 - 4.1 = 0 .1=0 Lo cual implica que la grafica de S pasa por (0,0) b) Can el eje Y Se haee x = 0 en la ecuacion .ty2 - y1 - 4x = 0 Asf : O(y') - / - 4(0) v =0 =0 Lo cual implica que el grafico de S pasa por (0,0) [!] SIMETRJAS a) Simetria respecto al eje X Si al hacer eI cambia de y por -yo la ecuacion de la relacion S. no varia afirmamos que existe simetriarespectoal eje X, Observernos : x(-y)' - (-y)' - 4.\ = ° => xv' - y' - 4x = ° ' - coincide con la ecuacicn original, earonces 13 grafica de S es sUnemca respeao aJ eje X. b) Simetrfa respecto al eje Y Si al cambiar x por -x. Ia ecuacion de la rclacion S, no varia. afirmamos que existe simetria respectoal eje Y. En el ejemplo se tiene (-x) Y" - Y - 4(-xl = 0 => -xy" - y4 + x0 = => x/+/-4x=0 ' - esta ecuacion 110 es igual a La original. entonas la grdjka de 10 relacioll S no I!S simetrica respeao at eje Y. c) Simetrfa respecto al ORIGEN ; Si al cambiar "x" por "-x", adernas "y" por "-y"; la ecuaci6n original NO VARiA, afirmamos que existe simetna respectoal origen, En el ejemplo se hace : (-x)(-y)' - (_.y)' - 4(-x) = ° => => ° -xy' - / + 4x = xl + / - 4x = 0 ' - No es iguai a La ecuacion original. Entonces La 8,d./ica de S 110 es stmemca respecto at origen. [I] DETERMINAClO:-l DEL DOMINIO Y RANGO a) Determinacion del dominic : Paso 1. Despejar y en terminos de .r : De xy' - y' - 4x = ° => /(x - I) = 4;: => y=±2J x-I x ,." AMllur : "y" eo un n6mcro real si -'~0 ,-I ..... AI NIOIvw II lnec_iM> raci...... l se obtiene x Dom(S) = x : E E )-"',0) V ]1 , +<o[ )--<0,0) v]1,+",[ c........ntot. venical .r - I =0 • b) Delemllnaci6n de RanI" : I'uo J, Despejar"X' en lbminos de "y" De xy'-,'-o4x=0 ~ .1(1-4)=,' => PfUO :l. , x==-' ,1_ 4 y' - 4 no es cero, Analizar : "x" es un n6mero real si el denominador y' - 4 ,,0 ~ y" ±2. colo eo; En consecuencia, el Rang(S) = y lR - {-2,2} E Con 88(ntotas hotizontales 1-4=0 = y=-2 v y=2 D TABULACION: La tabulaci6n consiste en hallar algunos puntos de la relaci6n S. Los puntos se hallan teniendo en cuenta el dominio 0 el rango de la relaci6n . • Si tenemos en cuenta el dominio: x E )--«l,Oj v )I,+<o[ , entonces el valor de "y" y=±2.J'~I· aehallaen All: -<Xl<xSO x Ix=J\ x>1 ~-~-15T y.±2.j"; I I±2i 10" 2 13 I ±2.,1z • Si IenelllOl ell cuenta el rango: y E lR - {-2,2), el valor de "x" se halla en , x-....L - ,.] -4 . As. : .:»: y2 -4 y -3 -4 -2.5 -1.5 0 -~ 4 2S 9 S 0 1.5 2.5 3 Iy=-21 9 4 I y= 2 I I!l GRAFICO D£ LA IlELACION Para hacer el grafico nos ayudamos con 10 que tenemos en el proceso de la discusion: • EI grafico pasa por (0,0) • Es simetrica respecto al eje X. • EI domi nio es : x E )-ro,OI vII ,ro! • La asfntota vertical es x = I • EI rango es y E lR- {-2,2} • Las asinlotas horizontales son : y = -2 , y = 2. • Algunos puntos de la tabulaci6n ayudan a graficar. .. C=I.. - ----- ~. , \ x:::: I -: [y=-l 5. IWiCA IE ....IEGIIC.OI 0 "x" YO "y" Para una mejor y ordenada presentacion, vamos a cJasificar a las inecuaciones con dos variables en dos clases: Inecuaciones lineales e inecuaciones no lineales. a) Las inecuaciones lineales se pueden presentar en 4 form as : Ax+By+C<O __ No incluye la frontera <--- A.r+By+C:O;O A.r+By + C>O Ax + By + C" 0 b) -E----- <--- Incluye a I. frontera No incJuye a la frontera Incluye I. frontera La. inecuaciones no lineales, con este nombre designarnos a tod. . .quellas lnecuaciones cuyo gnifico tiene como frontera una linea que no es unarecta. MhODO ,HAcnco ,IRA GRARCAR UNA INECUACION 5.1 F(X,y ) < 0 F(x, ):0;0 S, una mecuacion uene una de las formas : F(X,;) > 0 { F( .r.y ) ~ 0 . . .,. . ' para graficarla seguir dos pasos, 1° GraCiear I. frontera F(x,y) = O. La frontera divide .1 plano cartesiano en dos regiones. 2° Sombrear I. region F(x,y) < 0 (0 F(x,y) > 0), eligiendo un punto cualquiera (x,y) del plano y verificando si dicho punta pertenece 0 no a fa region definida por F(x,y) < 0 (0 por F(x,y) > 0), GraCiear 1. relacion A = { (x.y) E m' /2x - 3y - 6 > 0 } So/ucwn: 1° Graficar I. frontera 2x - 3y - 6 = 0 Por tratarse de una relaci6n lineal bastaran dos puntas arbitrarios que pertenecen a la frontera. Los puntas mas sencillos se obtienen : hacienda x = 0 para obiener el valor de y, luego hacer y = 0 para obtener, el eorrespondiente valor de .r . As( : ~ y o -2 Si .r = 0, enlonees 2(0) - 3y - 6 = 0 => y =-2 3 0 Si y = 0, enronces 2x - 3(0) - 6 = 0 => x ~ 3 Entonees I. frontera es una linea recta que pas. por los puntos P(0.-2) y Q(3,0). Grafico de 10 regi6n R,: 2x - 3Y - 6 > 0 EI grafico de 10 frontera es : y y R, _ ''' " , x .- .'~' , --~ (0/0) L R, FRONTERA ------1 h-3y-6~O R, 2° Sombrear.- La frontera ha dividido al plano IR 2 en dos regiones : R I Y R 2 (,emil de las regiones debemos sombrear? ' Para sombrear hace 10siguiente : • Elegir un punto cualquiera de la region R j y reemplazar en la relaci6n A : 2x - 3y - 6 > 0_ o Supongamos que e1egimos el punto (0,0) obtenemos : A : 2(0) - 3(0) - 6 > ° E R,. al reemplazar en la reladlm-A 1-6(°1 El fllso atl Plopoaie'" Este resultado nos indica que NO debemos sombrear la region R t porque el punto (0,0) E R I no satisface la relaci6n A. En consecuencia se sombrea la region Rz que se encuentra al otro lado de la frontera. • Si por el contrario, elegimos eJ punto (4,-3) E R z Y reemplazamos en la relacion A: 2x - 3y - 6 > 0, obtenemos A: 2(4) - 3(-3) - 6 > ° ~ V.rdadero Este resultado nos indica que debemos sombrear la region R z• porque el punto (4,-3) E R, Ysatisface ala relacion A. Nota: En el grafico se observa que la linea recta se ha lrazado con puntitos 0 con rayitas; se hace asr, porque la relaci6n dada A: 2x - 3y - 6 > 0 es estrictamente MAVOR. Si la relacion fuera 2x - 3y - 6 ~ 0, entonces la frontera se traza con una linea continua. (lrlnc., .1 pllllD eoavexo, limitado por al intersecei6n de las graficas de las siguientes . rel..,I"•••n IR . A : ~-y-2S0 B : .. +4y-4~0 C: 5.>:+ 7y S 35 D: x~O E : y>O SebH:i6" : a) Oraliear la relaci6n A . 1° Oraliear la frontera : x - y - 2 ~ 0 (£A) y ~ o -2 2 0 ZO Sombrear: Elegir el punto (0,0) y reemplazar en la relaei6n A : x - y - 2 < 0, obleni~ndose -2 < 0 , el eual es verdadero, Entonces sombrear 10 regi6n donde se ubiea el punto (0,0) b) Oraliear 10 relaei6n B . ,0 Oraliear la frontera : x + 4y - 4 ~ 0......... (£.) ~ y o J 4 0 2° Sombrear.- Elegir (0,0) y reemplazar en B: x - 4y - 4> 0 obreniendose : ~Es talso Entonces graflcar la ngi6" opuesla a la region donde se encuentra el (0,0) 142 c) Graficar la relacion C (£d \0 Graficar la frontera : 5x + 7y = 35 y ~ o 5 7 0 . 2° Sombrear: Elegir (0.0) y reemplazar en C: 5y + 7y < 35 Obteniendose : ~VerdaderO Entonces graficar la region donde esta el punto (0,0). d) La regi6n D = { (x,y) e) La region E = { (x,y) incluyendo al eje X. IR' / X" 0 } es la parte derecha del eje Y incluyendo al eje Y. E lR' / y" 0 } es la parte superior del eje X (encima del eje Xl E La intersecci6n de las regiones D n E EI grafico del = PRIMER CUADRANTE. PLANO CONVEXO contenido en lR' y -I ~ _ ::::::::: " _< x r. EI plano P es convexo de vertices P, Q. R. S Y es la intersecci6n de las cinco relaciones: A nB n c r.o nE. Ij~~Pf§~·Q1 Graficar la inecuacion : xl + 4x + 4y/'S > 0 'et.,., I" It ....lIcI.l. frontera xi + 4x+ 4,' - 5 =0 DllCullllllllla ecuaci6n : ~4x+4,'-5~ ( I) IN'nIlCZPTOS : .r • • COlI ejc Y : bacer ~. 0 cull ecuci60----+ COlI ejc Y: hater ~ "" 0 CD IIccuaci60----+ 0 y ±1.1 I (O)(y')+ 4(0) + 4y' -5 =O=> y =±1j. =±I. t .i 4 0 x(O) + 4.<+4(0)' -5=O=> x=f (2) SIMETRtAs • Respecto al eje X : al carnbiar Y por - Y, la ecuaci6n E no varia. Entonces existe simelria respecto al eje X (esto, porque 5610 la variable y liene exponente entero par). (3) DETEIlMINACI6N DEL DOMINIO YDEL RANGO .) Para hal1ar el dominio, despejar "y" de la ecuaci6n E : i(x+4) = 5-4x x(i+4)=5-4/ y=±~5-4X x+4 Analizar: y e IR , si y 5010 si : ~~O~~SO ~+4 ~+4 + ... e Yo b) Para hallar el rango, despejar "r" de la ecuaci6n E: .r e 5_4,2 7:7 Analizar: x e IR , si y 5010 si Y E IR Entonces el rango es : y e )-00 , -eco] + I:,:~J;,tJ I 0..... Con aslntota vertical 'x + 4 = 0 x=-4 (4) EI grafico de la frontera (cur va) se hace con ayuda de algunos puntas (x,y) que satisfacen la ecuacion E, dando a la variable "x" algunos valores del dorninio. y y ±Jf=~l x x="-4 20 Sombrear. "R;.'. L_ -1=1 Eligiendo el punta (0,0) zando en la relacion: -4 I ['>" E R1 Y recmpla x xl +4x +4/- 5 > 0 , se obtiene : o+ 0 + 0 - 5 > 0 r::s;Dl Esfalso~ Este resultado nos indica que NO debemos sombrear 1a region R1 sino R2 . Nota,' Para sombrear, de preferencia usar los puntas (0,0), (0,1), (1,0). 6. GRAFICA DE ECUACIONES EN DDS VARIARLES CON VAlOR ABSOlUTO. Para graficar las relacioncs con VALOR ABSOLUTO. tales como: R { (x.y) E S {(x,y) E Ixl + Iyl :0; 2 } IR'/(x- I) [y - II =x} T (x,y) E ' IR z Ix=[y--41) Q { (x,y) E 1R'l y JR'I = Ix - 11- 21x + 21 } 10 primero que debera hacerse es definir cada valor absoluto, luego se procede como en el ejemplo 7. -- Oraficar la relacion R = { (x,y) E [R'/lxl + Iyl ,,2 } SqIHci6n : I" Graticar la frontera: Ixl +Iyl =2 Recordar que: a) Definir cada valor absoluto Ixl+lyl=2 b) = r'~' =2 -x +Y = 2 -x - y = 2 si x y, si. y;, 0 -y , Sl Y < 0 (son 4 segrnentos de recta = frontera) 2" Sombrear : con (0,0) es verdadero o < 2, entonces sombrear 13 region ,,;+y=2 ') IyI={ si x<O /\ Y < 0 y I x,s; .r z O -x,si x c O ~ 0 /\ Y < 0 si x <0 /\ y z O x- y Graficar cada una de las cuatro ecuaciones ( Ixl ={ si .e z o /\ y z O interior. y % ';.-y=2 r ,,'1_1'" It,... . Oraficar la relacion S = { (x,y) a) Detinir el valor absoluto: (x - I) lv - II = x = E [R'I (x - I) b - II = x} iY - II (x-I)(y -I) =x, si y a 1 { (x-I)(-y+I) =x, si y < 1 ,,---~--- Recordar que: y - I , si Y - I ;, 0 Iy-II= 14B yz L { -y + I , si y - I < 0 Y< 1 '~ b) Discutir la grafica de la primera ecuacion : (x-I)(y-l)~x y" 1 , Si Conviene despejar .r : un xy-x- y+l=x xy-2x- m..:..:...... --~- - .. :. - -1:(' y+l~O x(y-2)~y-l y-l x~- ,-2 .L Asintotas {" H,nz.,nlol Y- 2 =0 • Vertical .r =' I Dando algunos valores a ''y'', con y ~ 1, pero y +- 2 ya se puede graficar. Si despejamos "y", obtenemos : y ~ 1+ ''.1 c) Discutir 13 grafica de Ia segunda ecuaci6n : (x-I)(-y+ l)~x.para y y-l~ - 0 y-I , x~- L Horizontal: y == 0 (eje X) A,lnto'" {: Vertical: x.= 1 • Tabulando algunas parejas, dando valores a "y", para y < I, con y" 0 • Si despejamos "y" se obtiene: y~~ Orlllcif II relacion T = { (x,y) E JR', x = Iy'- 4[ } a) Dlnnlr 'I valorabaolulO : x-ll'1- 41= Recordar: {X=y'-4 , si y'-4~O r J"-4,si/- 4~O y2::2 v v:o;-2 x = -y' + 4 , si y' - 4 < 0 1 lY ={y'=X+4 , si y~2 v y:<;;-2 41 = - ~ -(J/ -4), si/-4 <0 /<4 -2 <y < 2 y' = 4 - x , si -2 < y < 2 y b) Discutir y graficar la ecuaci6n : yl=x+4 y'=x+4 , si y~2 v y:<;;-2 e) Discutir y graficer la ecuacion : I y'=4-x, si -2<y<2 ') x d) EI dominiode Tes: x '2: 0 III rango de Tes: y IR E I L_ y l = x + 4 Orlfocar II relaei6n Q = { (z.y) E JR', Y = Ix - 11- 21x + 21 } Recordar que: 1x_ 1J=- { I) Graficar cada valor absolute : inlusrcdon Y-Ix-II-21x+2\ =< = { Y ::: X - I ~ 2(X + 2) ' y::= X - six e I - 2(-x - 2) , si x l ~ x~-2' 1\ I A y=-x+I-2(x+2), si x c L>, X :::1 X- I . Si X- I 2:: 0 -x+\ ,si x-I <0 ~ I 21={X+2.S~ x+2~O -x-2,sl x+2<0 <.-2 y x~-2 y::::-x+I-2(-x-2) , SI x<l/\ x<-2 x~ y= -x- S si Y = 3x + 3 '2' +----- vacio y=-3x-3 si -2:<;; x < 1 y=x+5 si x <-2 1 ,, \ I ' .r PROBLEMAS PROPUESTOS: GRUPO 01 I. Discutir la grafica de las siguientes ecuaciones y graficarlas : 1. y' x - 3y' - I = 0 7. i+x'y-Y=O 2. 8. y' x + 2y' +x'+x - 6 = 0 3. Y y -x' - 4xy + 4y = 0 yx' - 4y -Y = 0 9. 2x' y + xy = 3y + 2 4. x y' - 9x - y' = 0 10. y = 2-~2x2_6 5. (x - I)(y - 2) = 4 II. 6. yx-x'-I =0 12. ..' y' - 8(2 - x) = 0 .? +x(y - 2)' - (y - 2)' = 0 II. Sombrear la region R que tiene como frontera las ecuacionesdadas : 1. R: f'" 6. x=l R: y =2 y=-3 7. 2. {y=x' R: y= 8 -x' R: f=.? y=x 8. 3. R'. {y=Y y=x+2 R: {y=,? x' y= 2 -x R: r=-x+2 y=x y=(x-I)' 9. 4. { v=x' R: ~=y' 5. R: {y=x, y=x r' y(x'+I)=x x=! x=3 3 I 10. y R: r = y=_2_ x 2 +1 ]11. Graficar las siguientcs regiones: 1. R= (x,y) 2. R={(X,y)EIR'lx3,;,y';'x+!, -!,;,x,;,lj E /R'II-x,;,y,;,../x , l';'x,;,2 j 3, R. { (x,y) _ IR J / 4, IR J / ' R• ( (x,y) _ i So x S 2y ,OS y S 2 } -y - 1 S x S y - 1 ,OS y S 1 ) ~, R.(x,y)e/R'/-~4-x' 6. R. { (x,y) e /R'/ x' - 4 S YS x - 2 , -I S x S 2 } 7. R· { (x,y) e /R'/4Sx' + y' s9 } 8. R~(x,y)e/R'/x'-2SySx, -ISxS2} 9. R~'«x,y) e 10. R~ (x,y) e /R'/x'SyS6-x, -3SxS2' IV. En carla uno de los siguientes ejercicios, graficar la interseccion de R con S. I. R~{(x,y)e/R'/y;'lxl}, S~{(x,y)~/R'/x'+y'S4} 2. R ~ ( (x,y) e /R'/Ixl-Iyl > 1 ) , S ~ { (x,y) e /R'/ x' + y' S 16 } 3. R~(x,y)e/R'/lxls2 /\ lylS3}, S~{(x,Y)EIR'/y'S4x} 4. R~(x,y)e/R2/YSIX~lIl, S~{(x,Y)E/R'/y;'Ix':'1f} 5. R~(x,y)e/R2/y;,~), S~{(x,y)e/R'/x'+y'SI6} 6. R~ (x,y) e /R'/y;' 7. R~{ (x,y)e /R2/lyl;, /4} 8. R ~ ( (x,y) e /R'/ y;, Ix' - 41) , S ~ ( (x,y) E /R'/Ixl + y S 6 ) 9. R ~ ( (x,y) e /R'/Ixllyl ;, 2 , S ~ { (x,y) E /R'/ x' + y' S 25 } 10. R ~ { (x,y) e lR'/lxllyl ;, 2 } S ~ ( (x,y) E /R'/Ixl + Iyl S 6 , /R'/ f SyS4-x', -ISxS2} sxs,fY ,OSyS4} M } , S~ (x,y) E lR'/lxl +yS3} , S~{ (x,y)E1R h>;: 2 SI} 1. lUGAR GEOMhBtCO 1.1 D8UDItion ." Se llama lugar geomelrico 31 conjunto de puntos [x.y) mils propiedades geometricas. 12 lR2 que cumple una E 0 Procedimiento para obtener la ecuacion dellular leometrico. Para obtener la ecuacion de un lugar geornetrico procedemos del siguiente modo: I· Suponer que P = (x,y) es un punto cualquiera del lugar geornetrico que satisfacc Ia condici6n (0 condiciones) dada(s). 2" Expresar analfticamente, la condicion 0 condiciones geomerncas por media de una ecuaci6n 0 ecuaciones en terminos de las coordenadas (.x,y). 0 30 Simplificar la ecuacion obtenida en 2 paso. ~~EjtwJ>'i~j1J~ Dos de los vertices de un triangulo ABC son A(-2,3) y B(4,3). Hallar la ecuaci6n del Iugar geometrico descrito por C sabiendo que el angulo CAB es el doble del angulo CBA. Soluci6n: Hacer un grafico de ayuda en el eual aparezcan los punros A y B. y I· EI punto C = (x,y) describe el lugar geornetrico . EJ punto C puede estar encima 0 debajo del C{x,y) segmento AB. 2° Las condiciones geornetricas son: Si el angulo CBA = 0, entonces angulo CAB = 20 B{4,3) ·2 I 4 x Pero : Donde : 19 20 = ~ 1'gO i_tgle (I) PENDlEN'ffi A C ? y-3 ~ J = tg 20 = 19 2(} .. (2) 151 Adem'.: \ PBNDIBNTE CB y-3 .-4 _ y-3 .-4 • tg (180 - 0) • = -tg 0 tg 0 (3) >+3 3° AI simplificar obtenernos : 3x' - 2[ -7=4 Y-3] )'-3 Reemplazar (2) y (3) en (I) : [Y-3]' .-4 1- - - y' - 12x + 6y - 9 (elipse) IIIIlIlIII Una recta m6vil corta a los semiejes coordenados positives determinando con elias triangulos de area iguaJ a 5;1. Determinar la ecuacion del lugar geornetrico descrito por el pie de la perpendicular trazado desde el origen a la recta rnovil. SqI!!£I4ll : Hacer un grafico que ayude a intuir el problema: I" Sea P = (x,y) un punto del lugar geornetrico 2 Establezcamos mediante una ecuaci6n las condiciones geornetricas del problema: D . .r ~ a-ex . . .A(a,b) . i) area triangulo AOB = 5 1" \ .,. I '"z' => ": =5 => ab = 10 ...... (I)' ii) Ahora, hallemos alguna relacidn que exprese "a" en terrninos de (x,y) y "b" en I~rmino. de (x,y). • En el triangulo rectangulo BPO, recto en P, I. altura NP es media proporcional entre las proyecciones de los caletas sabre la hipotenusa OB. esto es : , , h-y x • =-"- => b=~ y (2) y En el triangulo rectanguio OPA. recto en P, MP es altura relativo a Ia hipotenusa. OA entonces : L=_"~ Y => a (I-X =x 1 2 + .'1 " • Reernplazar (2) y (3) en (I) : .............. (3) ["':")( "':" )=10 => (x 2+i)2=lOxy ,~lel)l~19(J3 Dado un triangulo ABC, hallar la ecuacion del lugar geornetrico descrito par el venice C de manera que dos de sus vertices son AIO,b) y B(O,-b} can b > 0, Y la longitud de la mediana trazada desde el vert ice A es 4 J3 Solllci6n: • )' • A(O.b} ,( 'B(O.-h) AM es mediana de BC • Como M es punta media de BC entonces: M C(",,} I Sea C = (x,y) x • Como data se tiene: I AM II ~(f)2 +('~h -b t =4./3 =("-2' l.::.!!-) 2 = 4./3 Elevar al cuadrado y resumir: x 2 + l- 6by + 9b' = 192. ~ififupio .04 . Dados los puntos A(4.2) y la ecuacion de la curva C: x2 - y + 1 = 0, sea Q un punta arbitrario de C. Si P es punta media del segrnento AQ, hallar la ecuacion del lugar geornetrico descrito pOT P. ,."., Si Q es un punto arbitrario de C, hacer Q = (/ , /' + I) 1 Si Pes punto medic de QA , entonces: x --~ 2 1 12 + 1+ 2 =:0 2 X -4= t ,2+ 3 Y=--2-=-2- =:0 2y I r 4 =,2 +4 (1) (2) Rcempllzar (I) en (2): 2y = (lx - 4)' + 4 Simplificando: y = lx' - 8x + 10 .-wi En el paralelogramo ABCD, con lados paralelos AB y CD, que se cumplen las siguientes condiciones: (i) (ii) (11/) Ellado AB esta contenido en la recta de ecuacion y = x + 2. EI lado BC esta contenido en la recta de ecuacion y =- t x + 5 LI suma de las ordenadas en el origen de las ecuaciones de las rectas AD y CD 004. Haller la ecuacion dellugar geometrico descrito por el vertice D. SolucitJn: p y v = x+2 Graficar la rectas: ,y=;r+2 { y=-t x + 5 _y=_~x+ 5 Como AD es paralelo a Be , la ecuacion de 1a Tecta que contiene el segrnento AD ;/ I :> <::: :;4 ;>. *""" 10" x es: s. AD: Hx+ilJ (1) Como DC es paralelo al segmento AB, entonces la ecuacion de la recta que contiene al selmento DC, es ~'DC: y = x + d So pide hallar D(x,y). (2) Pero D=2-n£-' AD Be ' -lx+b 2 Por dato se tiene: = x+d b - d = l. x { b-v d 2b 2 =4 = 3x+8 2 b (3) en (I): y = ~ 3x+8 • . (3) -+x+ 3x+8 = x+8 • • • x+8) . hacien . d L uego: D = ( x, -.0 x =b t se 0 ' nene y 1+8 =-,- 0 x+8 • v=- • o=x- 4y + 8. EierriploO~; Por el punta A(2,O) se trazan rectas secantes a la circunferencia de ecuacion x2 + (ver figura). l =9 y • ::I) Hallar el lugar geometrico determinado pOT los puntos medics Plx,y), de todas las cuerdas determinadas por las secantes. y grafica r cl lugar geornetrico obtenido en Ia). b) Jdentificar o \ ... Sugerencia: encontrar ulla relacion entre - - las rectas OP y AP . Solucitln : • .!'. '"-. / La ecuaci6n de La recta £ que pasa pOT el punta A(2,O) es: '£: y = mix - 2) (I) Si OP pasa por el punto medio de la cuerda RT, entonces OP es perpendicular aL segmenro RT . Si OP 1- RT , enlonces: m OP m £ = -1 (~)(m)=-1 ~ m=-'£y ......... Reemplazar (2) en (I): y=-~(x-2) Y 2 = -x(x-2) (2) x'-2x+/ = 0 (x - I)' + l = 1 (Circunferencia de centro (1,0) y radio r = I) -- Hallar e identificar el Iugar geometrico descrito por el centro de una circunferencia de radio variable, que es tangente exteriorrnente a las dos circunfcrencias: x 2 + l::: 4, x'+ /-I6x+ 48 =0. SO/Ilew" : Graficar las circunferencias. el y x2 + i = 4 : 10, x'-16x+64-64+/=-48 (x - 8)' + l = 16 -"-"""'\ / 4 IV] Sc pide hallar el lugar geornetrico descrito por el centro C(h,k). "LJ Lei • La ecuacion de la circunferencia de :" / \ . "-.... ------"'\ ...-------/ -e, ccntroen(h,k) y radio res: • e: (x _ h)' + (y _ k)' =? Como e es tangente a e entonces: IIOCII=2+r (1) • Como e es tangente a t.:2. entonces: IIEell = 4+r (2) • De (I) y (2) se obtiene: l• IIECII ~(x-8)' E1cvar 01 cuadrado: (h -8)' +k' Simplificar: 15 - 411 = +k 2 II Dell = 2+ = 2+Mk' = 4 + 4~h2 + k 2 + h 2 + k' ~h2 + k' Elcvar DI cuadrado y simplificar: ISh' - k' -120h + 225 = 0 Haeiendo: 15x' - Ix £(8,0) "=x { k=y y' -120x + 225 = 0 , es I. ecuaci6n de uno hiperbola, PROBlEM~S CD PROPUESTOS: GRUPO 02 Un punto se mueve de tal rnanera que su distancia al eje Y disminuida en 3 cs siempre igual ,,1 doble de su distancia at cjc X. Hallar la ecuacion del lugar geometrico y dar su interpretacion geornetrico. R. : x - 2y - 3 ~ 0 punto se mueve de tal manera que su distancia al eJe X es siempre igual a su ® Un distancia del punto A(O,4). Halle 1a ecuaci6n de su lugar geometrico. R. : (] x' - Bv + 16 ~ a Hallar 1a ecuacion dellugar geornetrico de un punto que se mueve de tal manera que la diterencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntas A(2.-2) y B(4.1) es igual a 12. R. : CD 4x + 6y - 21 ~ 0 . 4x + 6y + 3 ~ 0 Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2,4) es siempre igual a su distancia del eje Y aurnentado en 3. Hallar la ecuacion de Sll lugar geometrico. R.: i-lOx-~ "11~0 la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de la manera que ® Hallar la surna de sus distancias a los das puntas A(3.0) y B( -3.0) es siempre igual a 8. R. 7x' + 16/ ~ 112 Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos ® A(3,0) y 8(-3,0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuacion de su lugar geometrico, R. 5x'-4y'~20 Dos de los vertices de un triangulo son los puntas fijos A(-1.3) y B(5.1). Hallar la ® ecuacion del lugar geomernco del tercer venice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre e! dable de la dellada BC R. : xy + x + 7v - 17 ~ 0 @ Los extremes de la base de un triangula son los puntas A(O.O) y BO.oJ Hnllar I" ecuaci6n del lugar geornetrico del vertice opuesto C si se mueve de tal manera que el angulo en la base CAB es siempre igual al dable del angulo en la base CBA. LI • b.6_~3y1+9 ; yoOO Una MOuldr. ae desplaza en su mismo plano, manteniendo los extremos de la hlpolanUlll .abre los ejes coordenados. Uno de sus angulos mide 30" y su vertice IlOrrNpondiente siempre esta en el eje X. Hallar el lugar geornetrico que describe el .&-tiee del "'gulo recto. R. : 8 Sea t' una circunferencia que pasa por el origen y tiene radio a, a > O. la cual es tangente a la recta L: x = 2a. Desde el origen de coordenadas "0", se traza un rayc el cual corta a la circunferencia y a la recta L en los puntas C y D. respectivarnente. Determinar el lugar geometrico descrito pOT 101 puntas P pertenecientes al rayo tales que d(O.P) = d(C,D). R.: x'+/x=2xy' @ Sea la circunferencia ~ : (x - a)2 +l ;: a 2 • a > O. Del origen de cordenadas "0" se traza una cuerda cualquiera DB. Se prolonga la cuerda hasta el punto P de tal rnanera que la distancia 18Pj es siempre una constante. Hallar el lugar geometrico descrito por P a medida que la cuerda prolongada gira en lomo al origen. Ro: x2+i=2ax+~x2+y2 K , K=constante. I BJBRCICIOS I ~'~.: ~",~.,,,3; ill H411eliC la ecuaci6n del lugar geometnco de un punto cuya distanciu al punto (-4,0) lea Ilual al valor absoluto de su distancia al eje-Y. jij H411eliC la ecuacion del lugar geometrico de un punto que est. a una distancia de 5 unidndes de (2.3). <Que clase de curva es ellugar geornetrico? Traccse. ~ Hallese In ecuaci6n del lugar geornetrico de un punto que equidista de A(7,4) Y 8(1,-2). i.Que c1ase de curva es el lugar geornetrico' <Que relacion tiene con respecto al segmento AB? Tracese este lugar geornetrico. m Encuentrese la ecuacion dellugar geometrico de los puntos que equidistan de: a) (3,4) Y (-1,2) b) (8.0) Y <-4,-4) c) (-6,2) y (6,-4) d) (-3,4) Y (-3,-6) e) (0,0) y (4,6) o (5.2) y (-7,2) g) (a.O) y (O,b) h) (a,b) y (c,d) ~ Hallese la ecuacion del Iugar geometrico de un punto cuya ordenada es igual: a) a su abscise. b) al negative de su abscisa. Tracense los lugares geometricos. gij Encuentrese la ecuacion del lugar geometrico de unpunto que esta siernpre a: a) b) c) d) 6 unidades a la derecha del eje-y. 5 unidades a Ia izquierda del eje-y, 2 unidades arriba del eje-x. 3 unidades abajo del eje-x. Hallese la ecuacion del lugar geornetrico de un punto que satisfaga la slguientc condicion. m Su distancia al punto (3.6) es igual al valor absoluto de su distancia al eje-r. Dit Est3 dos veces m,b alejado del origen quedel punto (2,3). m Est" dos veces mas alejado del punto (6,0) que del eje-y. it Su distancia al punto (6,0) es la mitad de la distancia al eje-y. IT! Se encuentra siempre a 6 unidades del punto (-3,7) ill Su distancia al punto (6,0) es la mitad de la distancia a (-6,0). iU Esta tres veees mas alejado de (0,4) que de (0,-4). iU Esta dos veces mas alejado del (6,1) que de (-4,5). It Su distancia a (6,0) es 2 unidades mas que su dislancia al origen. it Su distancia al punto (5.-4) es igual a su distancia aJ eje-r, iU EI cuadrado de su distancia al origen es igual a su distancia al punto (3,4). Respuestas Grupo 03. 03 x+y-5;0 05 a) y;x , b) 01 x'-6x-12y+45;0 09 3x' - / + 12x- 36; 0 11 x'+/+6x-14y+22;0 13 15 8x' - / - 48x + 64 ; 0 11 x' + 2x'/ + y' - x' - /",: 6x + 8y - 25 ; 0 x' + / y;-x + lOy + 16 ; 0 19 9x' + 25/ - 225 ; 0 Respueslas Grupo 04. 01 (0,0) , (1,1) 03 (4,0), (-2,12) 05 (0,0), (4,4) 01 (2,0) , (-1,3) 09 (.,fi,2),(-..{i,2) 11 (0,3) 13 (0.0), (3,9) , (-3,-9) 15 7.,fi !1iRUP9~~: ill Determine la ecuacion del lugar geornetrico de un punta P que se mueve en el plano de manera que el segmento de extremes A(-3,0) y B(3,0) se ven desde ese punto bajo un angulo cuya tangente es siempre igual a 3. ~'Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos P tales que si 0 es un punto cualquiera de la parabola y; x', el punto medio del segmento abscisa 3 y ordenada igual que la del extreme Q. PO tiene ~ Determine la ecuaci6n del lugar geornetrico del punto P que divide al segmento AB en la razon t' sabiendo que A(-2,3) y B satisface la ecuacion y2 - 2y - 4x + 3; O. 161 i! HI producto de su distancia de (5,0) y (-5,0) es igual a 25. i! L. suma de sus distancias de (4,0) y (-4,0) es igual a 10. m La diferencia de sus distancia a (5,0) y (-5,0) es igual a 8. "''''D~~~ 1Jm~~· Tracense los siguientes pares de curvas y hallense sus puntos de interseccion. @ly=x' , y e z. @y=x'-2,Y=X+4 @y=x'-4x, y= 16-x' @.r @)4y=x' .4x=/ @x+/=5. x'+/=25 ® y=x'-h . y=4-x' @y=V,x'-2x-l , Y+ L =0 t.;;l\, ' ~ y e r , y=4-x' @x'+/=36 , x'+y=36 @x'+/=9 , y=x'+3 @x'+/=4, y=x'-2 +/ = 25 , , - 7y = -25 @ x' = 3y , y = 3x @ h=/ , 4y=x' @ Hallese la longitud de La cuerda corruin, a las curvas: x'+/=25 , x'-6x+7y-19=0 Constniyase la grafica. @ Encuentrese la pendiente de la recta que pasa por los puntos de interseccion de las curvas, y =4 Constnlyase la grafica. -:l . y = 2 x + 4x + 4 II PIt. III ....... UIIl1Ungulo ABC son A(-2,O) y B(2,O). Hallar la ecuacion del I..., , IU.llrIIo _rlto por C sabiendo que se cumple tg a + tg fJ = 2 , donde a y /lil!1IIIl_dGI de la base AB . II UnlrIalulo rect4ngulo OAB tiene como hipotenusa al segmento OA donde 0(0,0) 1 AlII,D),1I ell una conslante positiva. Hallar la ecuacion dellugar geornetricodescrito pot: cl pic de la bisectriz del 6ngulo BOA, sabiendo que el venice B es variable y se ClICuenlra eneLprimer cuadrante. (S",...IfdlI: usar pendieme de una ,uta). i] Hallar la ecuaci6n del lugar geomemco de los puntos P(x,y) del plano tales que A(-2,4) es un punto dado 1 B se mueve sobre la curva x 2 - 8x + Y + 15 = 0, el punto P divide al segmento AB en la razon ~; = t. il La base de un triangulo es de longitud fija, siendo sus extremes los puntos (0,0) y (6,0). Hallar e identificar la ecuacion del lugar geometrico del venice opuesto y ordenada positiva, que se mueve de tal manera que el producto de las tangentes de 101 4ngulol de las bases es siempre igual a 4. !l Desde cada punto de la circunferencia c' : x2 + y2 - 6x - 2y - 1 = O. se traza una perpendicular al diametro de la circunferencia que es paralelo al EJE Y. Hallar e identificar la ecuaci6n del lugar geornetrico de los puntos medios de estas perpendiculares. !l Sea el triangulo ABC donde A(l,2), B(l,IO) Y C(5,8). Hallar la ecuacion del lugar gcoroetrico detenninado por los centros (puntos de interseccion de las diagonales) de 101 rect4ngulos inscritos en el triangulo, de manera que uno de sus lados este siempre sobre el lado AB . ill Delldo e1 origen de coordenadas 0 se trazan segmentos que conan a la recta !t: II.. 2r en el punto A, 1 en el punto B a la circunferencia e de radio' que pasa pot o y CI tanllenle a I. recta.f. Encontrar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos P que estando en el segmento OA satisface que d(O,P) = d(A.B). 1811 , CAPITULO 4 LA LINEA RECTA Dejilliclolles Preliminares: 4.1 AItllllO DE INClIlIClllN DE III RECTA Definicion.- Sea ~ una recta en el plane IR I , se llama cingulo de inclinacion de fa recta £ el fonnado por I. parte positiva del EJE X, Y I. recta £, movitndose en sentido antihorario. Si (J es el angulo de inclinaci6n de ~, su variacion es ; 0" ~ (J ~ ] 800 EJEMPLOS GRAFICI)S : RECTA QUE SE (NCLINA AI), IZQUlERDA RECTA QUE SE INCUNA AI), DERI!CW. .: RECTA HORIZONTAL IlI!C!AVF.R1'ICAL y / ~ 0<8<90' tgO > 0 pendionto po.itiva La recta SoB laderocha. inclina a ~ ~ r ~ e ~ C'> x x h:S' x ~ I 0= O' v 0= 180' 0= 90' tgO < 0 tgO= 0 tg901'l no existe pendiente negativa pendiento cero En esta ease sa dice 90' < 0< 180' La recta S8 inclina no existe pendionto. hacia lai'Quierda. 163 I . -, ~'''''''f!U-' ~~ 1~1na ~ndiente de una recta, no vertical, a Ia tangente de su angulo de Inclinaci6n. Esto es, si 0 es el angulo de inclinaci6n de una recta !t, entonces la pendiente de !t;-::e:=s-': --, I m =tg(} l .. pendiellte Segun esta definicion, 1a pendiente de una recta .£ es un nurnero real. EI unico caso en el que la pendiente no existe (no es un rnirnero real) es cuando 0 = 90° IT.ortJma 1 I Si P,(XI ,YI) Y P,(x,. y,) son dos puntos cualesquiera de una recta no vertical. la pendiente de !t es s: XI ,,",x2 DemoslrocUJ" : I. Si 0 es el angulo de inclinaci6n de la recta !t, entonces la pendiente de!t es m = tgO. y 2 >'2 2. El angulo 0 del triangulo rectangulo P R P2' recto en R, en el mismo que el angulo de inclinaci6n de .£; porque son angulos correspondientes. J X2 - Xl 3. En el triangulo rectangulo PI R P" se .7 u. es el angulo de inclinacion de la recta .£\ . 2- 1 Y (h es el angulo de inclinacion de la recta '£2; el angulo a se llama angulo entre las rectas .£1 Y ~. que se mueve en sentido antihorario desde la recta .£) I / .. " ::,,uZl < X hasta 1a recta '£2 A la recta £, la lIamaremos recta inicilll y a la recta £, la lIamaremos recta final. A la tg/;l, = In, la lIamaremos la pendiente inicial y a la tg/;l, = Inlla lIamaremos la pendiente final. ITeorema 21 £" Si a es el Angulo entre las rectas £, y ( entonces i '"2-'"t • tga::::: 1+ III JnI 2 ml m2:#.-1 en donde In, es la pendiente inicial y correspondienle al Angulo a'. mi la pendiente final Demostracion : 1. Sean £ I .; £, dos rectas que se cortan en el punta C, donde /;I, y /;I" son sus angulos de inclinacion, respectivamente. y 2. En el triangulo ACB se tiene : /;I, es un Angulo exterior relativa al vertice B. /;I, Y a son angulos interiores del triangulo ACB. Par geornetrfa elemental, se sabe que: I r-:/ l7n ;a '-172) X 8 2 := Al despejar a, se obtiene Aplicar la funci6n tangente Por trigonometria elemental se obtiene : e1 + a un dngula exterior es iliUaJ] ~ fia suma de 10.\' dngulas [ mlento.~ no adsacesues a=/;I,-B, tg a = tg (B, - B,) 'SO} -Igo] 1+tgt1'lfg01 1n2 - I l l j 3. PeTotgf}z=mlytgO\=m],entonces: tga=-l- J1I + 1Jn 2 4.4. RECTAS PARAlEIAS YRECTAS PERPENDICIIARES Del leorema 2 podemos deducir las condiciones de paralelismo y perpendicular de dos rectas, conocidas sus pendientes. Dado dos rectas : L 1 con pendiente mI' y L, can pendiente In,. I L, @\ L, UU I a) Si L, Y I., son paralelas, el 4ngulo a formado por elias eo O· 6180·. AI aplicar el Teorema 2.tendremos: tg 180" I = '"2 -Ill] 1+R1[ In} 11'12 -/III 0=I+ml,"2 . tg 180" =0 • tg O· ~ m2 - ml => 1m, =m,1 =0 ==0 As], podemos conduir que L, es paralela a I., si, y s610 si sus pendienles son iguales : IL, 1/l-2 = m, = m 21 Usando notaciones : b) Si L, Y I., son perpendiculares, el 4ngulo a fonnado por elias es 90·. Como tg 90" no existe, esto es Ig 90° = 00, no podemos deducir ninguna ~ relaci6n entre las pendientes m, y m,. Para evitar esto, utilizamos la ctg 90°. Del Teorema 2 deducimos: ctg a I+lnl '"2 '"2 -m, Si L, es perpendicular a 1.,. 01 4ngulo entre ellas es 90· y ctg90· = O. POT tanto, 0 . 1+'"I /R1. "'2 -"'\ • implica que mj mz + I = 0 ,ml m2 ;:-1 CO"dIl5id" : L, es perpendicular a I., si, y 0610 si el producto do sus pendientes es igual a -] Notacion : ICOROLARIO 1 l ICOROLARIO 2 l ,. I L, 1. ~ = m, m2 = -I I La condicion necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes son iguales. La condicion necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre 51. es que el producto de sus pendientes sea igual a -I. I I iJIMPLOS I...08l.UIA 0 r I Dado un cuadrilatero de vertices A( -3 , 2), B(3, 4), C(5 , -4) Y D(-I , -2) ; demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero ABCD son vertices de un paralelogramo, ,,",eM: En primer lugar, graficar los puntos y hallar los POlltOS medios de cada lado, a) M es punto medio de AB, entonces M=(-\+3,2;4)=(O,3) b) N es punto medic de N= (3; 5, 4; 4)= (4,0) BC, entonces c) P es punto medio de CD. entonces (5-1 -4-2) = (2,- 3 ) P= -2-'-2qS,-4) I d) Q es punto medio de Q=( DA, entonces -1;3, -2;2) = (-2,0) Ahora, probemos que el cuadrilatero MNPQ es un paralelogramo : MNPQ es un paralelogramo = i) Sus lados opuestos son paralelos, y i,) Sus lados opuestos son iguales, Veamos: i) MN 1/ QP .porque m u» _ 3-0 -0:4=-~ m - = 0-(-3) QP 3 _1. ---- 2 m 5011 igwales -2-2 =- 4 0-3 QM 1/ PN ,porque J QM-_ 2_ 0 -3-0 -1. mPN = 2-4 - 2 J J'oniguoles 117 II) IJmI-Il'I. porquel IMN I~ J(O- 4) 2 + (3-0) 2 =5 IQPI~J(2-(-2»)2+(-3-0)2~5 I· ::"",,rt ~I.fih 'J,orque I QM I ~ J(-2 -0) 2 +(0- 3)2 =..m IPNI~J(4-2)2+(0-(-3»)2 ~..m INO.....2! Dado un tri6ngulo de vertices: (2, -2) ,(-1,4) Y (4,5); hallar : a) el ortocentro (intersecci6n de las alturas) b) el 6rea del mangulo Sol"tl6n: En primer lugar, graficar los datos del problema con el fin de intuir como plantear y resolver el problema. y a) Debemos hallar el punto P ~ £ C(4,S) ( " , ~ I rv £ CN . Para ello, hallemos las ecuaciones de las rectas .£ AM I \. " AM Y .£ CN . .f. AM es la recta que ccntiene a (a altura AM X o£Oi es la recta que contiene a la altura < CN A = (2, -2), punto de paso Para hailer la ecuaci6n de Ie AM se necesitan _ .. , m=---L~-S mI Luego, Ie AM: 1M Y+ 2 =-5(x - 2) 4 -<j I ~ -1-'4 = '5 = ISx + y - 8 = 0 I (AM .LBC) (pendiente de BC) < c Para hallar la ecuaci6n de ~ eN se necesitan = (4,5), ponto de paso _ _ m= __ l =.1 1n2 Luego, 2 CN Resolver el sistema {~ + y -+ 8 = 0 x 2y « 2 (CNJ.BA) 4-(-2) = --::r:-2 = -2 ( pendiente de BA ) = I x-2y+6=0! y-5=f(x-4) : m, 6=0 se obtiene : () P = :~. ~~ b) Cilculo del Area dellti4ngulo ABC A"a bIlfl!')( ul1IJra 2 (iiCUAMj ., .1./26.J.. '/28314 = 16.5 u 2 2 l6 Donde: . Elegircomobase: IBeI = J(4-(_1))2+(5-4)2 =./26 La a1lura relaliva a la base Hallemos el punto: donde foAM: Y f. BC : BE es AM M = £ AM n £ BC 5x+ y-8=0 4-~ y-4=_1_4(x+l) y-4=t(HI) Resolver el sistema Luego , = !x-5y+21=0! 5x+y-8 =0 () se obtiene : M == ~:. ldi,; { x-5y+21 =0 IAMI=J(2-~)2+(-2-I;i)2 = 2~'/28314 '" u ..... IIIECTI QUE PISIPOR UN PINTO ,,..11 PIIIIElTE IlIA. OtorMlrla.menle. una recta quid. JlIrfeelimenle determi 1lId. par uno de sus puntos y su dlreccl6n. Su direcci6n esta dada por cualquier vector pa rolelo a 10 recta. ~1Itp/Q Analfticamente, la ecuaci6n de una recta queda bien definida, si: a) se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su pendiente, b) se conocen las coordenadas de dos puntos . .. I. y • 'I y y _ '-1: x > '1 ) s: m=lg4So= I P(-1.4) E !t Q(2.0) E La ecuaciO. de !t es La ecuaci6n de !t es P(2.3) Pes un punto de!t ii es un vector paralelo a !f" x E y-3= I (x-2) s: Ix-y+l=ol I T'ONlltfl I 3 4-0 -1-2 y-4=-(x-(-I) 14x - 3y - 8 =0 La recta que pasa por el punto dado P,(x, • y,) y tiene la pendiente dada In. tiene por ecuaci6n : y - y, = m (x - x,) Ef.'lIQri6ll : punto - fHIJdienre , ~lIto.lnlcI611 t. .. Por hip6tesis: P, (x, • y,) es un punto de la recta Yin su pendiente. 2. Sean (x.y) las coordenadas de cualquier punto P de la recta. 170 I 3. Con los puntos (x, ,y,) , (x ,y) de la recta aplicamos el Teorema 1. obteniendose : ym=- )'1 X-XI = y-y, =m(x-x,) t ll1G~idGS t $0" IEjemp/o 1 I Hallar I.. ecuaci6n de 10 recta que pasa por el punto A(-6, -3) Y uene angulo de inclinaci6n 135" SoIacwft : 1. La ecuaci6n de una recta es )f: y-?= 9(x-~) YI ", 1 ... ·"""",·····(1) XI donde (x,. y.l es un punto conocido de la recta y m es su pendiente. 1. (x , ,y,) = (-6,-3) Por los datos del problema tenemos: 3. ReempJazar (2) en (I): { m ='8 135" : =:8 45" )f: y -{-3) = -1 (x - (-6» Y+ 3 = - (x+6) Ix+y+9 = 01 IEjemplo Z I Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2. -I) Yque forman cada una un angulo de 45· con la recta 2x - 3y + 7 = 0 So/acwn: ( X, . y tl = ? Se pide hallar ecuaciones de la forma )f: y - y, = m(x - XI), donde Por los datos del problema ya tenemos: { m;:::.? (x,. y,) = (2. -1) Asf, las ecuaciones por hallarse son: y + I = m(x - 2) "" .. " ...... "" .. "..... (\) Faltaria hallar la pendiente m : Para ello, hagamos un bosquejo de 10 grafica del problema: a) Oraticar el pumo (2 , -I) b) Graficar la recta L: 2x - 3y + 7 = O. una manera muy sencillaes : j) hac.. x = 0 para hallar y jj) haecr y = 0 para hallar x ~ -tTB0 2(0)-3y+7=0~ y=t=2t 2x-3(0)+7=0~x=-;=-3.5 rca '" la pendiente de £ (recta por hallarse) como L: 2x- 3y + 7 = 0, su pendiente es : m,=-..1.=~ -) ) Aplicar el Teorema 2 : Tg45"= .. -t I+f 3.-"' 1= 3+210 -- ~ '" = S (2 ) AI reempluar (2) en (I), oolenemos £ : y + 1 = 5(.1 - 2) 5.1-)1-11=0 La OCI1l reclll eo£,. de pendienle desconocida "'" 1111 que : 1_ .. 1145" = ..L.:::!.. 1+1111 1 3 z-.. I=~ Lulao,IICCUICi6nde£,es: y+I=-}(x-2) 1~.oJI = ~ "'I -_1 _ ~ Ix+5y+3=01 Sean £, : 5.1 + 4y - 16 =0. £, : x- y = 0 dos rectas de IR'. ABel Iellmenlo de recta en el primer cuadranle comprendido entre los ejes coordenados delerminado por £.,. Si ~ es la recta que pasa por el punto medio del segmenlo AB y forma con !i', un ~ngul(} o (medido desde 2, hacia ~) tal que rg O = - L a) Hallar la ecuaci6n la £ b) Determiner el area del triangulo formado por las rectas !t, £, y ~. SoIaciAn : a) Se pide hallar la ecuaci6n de !t : ] - YI = m (x - x,). Debemos hallar el ponto de paso (x, •],) '/ 10 pendienle m. En primer lugar. hacer un bosquejo de las lP'~ficas de las reetaadadas en el problema: £':1Q01Il ~ 1)1'-I:~ ~ ~ r ~. 2) EI segmento AB. donde A = (0.4). B =(161S. 0) - 3) Punlo medio de AB es M (O+JA 4+0) = (8IS,2) ---t-.-z~ 4) SilgO=-I,entoncesO=Jf-E.=4 ........ 4 En segundo lugar, al reemplazar el punto de paso (x, ' Y, ) • ( .f:y-2=m(x-t) I Falla Balw m I La pendiente In la hallamos con la relaci6n : 8 tg = "'-'"2 1+",m2 -1= .. -I 1+ .. rgO donde => m=O { = -I = pendienle de !t "" = I = pendiente , de £, In 4 ......../~ ;;II<. l. 2) en!t, oblcnemos : LIIIIII. II lICulClcln de .t es .£ : y - 2 = °( x- t) z . [y-2=0\ b) Hallar el area deltriAngulo MNR L, Podemos aplicar 10 f6nnulo : L, f. '(' D Area tri~ngulo MNR = ,j p ( p - a)( p - b )( p - c) JU j donde a. b. c son las longitudes de los lados - -- --. u+b+(: RM • MN Y NR. respecuvarnente p = - 2 Para haeer 1000 esto,hallar los vertices : M. N Y R. RSpeCtivamente. M=£n~{Y-2=0 . (I)en(2): LueSO: (I) => y=2 ~x+4y-16=0 ~x+8-16=O IM=(t. 2 ) N. f.n~ => x=81~ I Y- 2 = O { x-y=O R_f.ln~{~X+4Y-16 = x- y = Ahora. hallemoa: (2) => y = 2 => x=y ° ° => => => jN=(2.2)I x=2 IR = (1619 • 1619) I ° a =1 RM 1= J(!16)2 +(2-~) 2 = 2.[41 '" 28 19 9 4l' HMNI=J(2-fj2 +(2_2)2 =i=0.4 e.INRI=J(~-2)2+(.If-2)2 =iJ2 "'0.31 P -- ~ 2 = 0.49~ EI Area del triangulo MNR es: A =~(0.495 )(0.215 )(0.095 )(0.185) =../I%i =1.3611' IEjemplo 4 I Dadas las rectas L, : x + y - 3 = O. L,: 2x - y + I = 0; hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (I, I) que forme angulos iguales con las dos rectas dadas. SoI"ei6" : 1. En primer lugar, hacer el grafico de todos los datos L, L, y y y §±§ ~ o 3 o I 3 0 -1/2 0 2. La recta inc6gnita que pasa por (1.1), es: £: y-I=m(x-I) ' \r., Por hallarse la pendienle "m". Li.-.z=-.l... 2 -I £I._,=-l.t :-t 3. Como: 9, = 9, entonccs Ig 9, = Ig 9, ... -2 -1-. I + 2m = ""'i"'='m m'-6111-1 =0 m=-3±.JW 4. Por 10 tanIo, .IEjemplo 5 ) £ :y-I=(-3±.JW)(x-l) Dadas las ecuaciones de los dos lados de un rectangulo L,: 2x - 3y + 5 = 0 ; L,: 3x + 2y - 7 = 0 y uno de sus vertices A(2 ,-3), hallar las ecuaciones de los otros dos lados de esle rectangulo, SoI"ciO" : L, 1. Graflcar los datos : L, x y x 0 5/3 0 7/2 -5/2 0 7/3 0 y 171 2. Se pide haUar las ecuaciones de I., y r.. a) Sea 1.,: y - y, = m(x - x,) Un punto de paso de I., es A(2 • -3) ComO 1.,1.1., enlonces (m)(-f)=-l > < t. '1 '. < m=t 1l L:!: y+3=1(x-2) Luego 12.< - 3yb) L,: y-y, 13 = 0 I / ~m(x -x,). Pero L, II Lt y pasa por A (2 • -3) .1 L,IILtentonces m=-t. Luego. L..:y+3=-f(x-2) 13.<+2y= 01 I~.pID If I EI punto p( I • -I) es el centro de un euadrado , uno de cuyos lados esta enlarecta L:x-2y+ 12=0. a) Hallar las ecuaciones de las rectas en lao que es"n los otros lades de este cuadrado. . b) Hallar eI Area del cuadrado. ,.,. ,,*,: I. Oraficar 101 datos : L ~ o 1 ...J", ~ -12 -12 f .····.I:~I'(I,-I) /C. /.... "'" ;;'-e :..... " Ii 6 0 2. De P trazamos el segmenlO PM que sea " perpendicular a la recta L y hacemos: ~ 1AM 1=IMBI=IPM I. asl hemos cons truido el cuadrado ABeD. Se pide hallar lao rectas : L DC • L AD Y L Be' 3. Las pendientes de eOI3$ rectas es fAci! de hallar, pucsto que: i) Como L DC es paralelo a L, tienen la misma pendiente, esto es, /11 = - _1 = 2 m= ii) Como L AD Y L BC son perpendiculares a la recta L de pendieme 7 -t. entonces la pendiente de L AD Y L BC es -2 (producto de pendientes es igual a - I, si las rectas son perpendiculares). Falla hallar el punto de pasopara las rectas : L BC ' L AD Y L DC 4. EI punto B (punto de paso de L BC ) 50 puede hallar intersectando la diagonal DB conL. I) Hallar la ecuaci6n de la diagonal DB que pasa por P(I ,-I): Como 8=45·, m, = ~ (pendieme de L), m =1 (pendiente de DB), entonces : Ig 45· = --+ m-J. => m = 3 1+ 2'" Por 10 tanto.la ecuacion de Ja recta que contiene a LOB es: L DB : y +1 =3(x-l) <::::::> 13x- y - 4 - 01 if) intersectar L i:on I. diagonal : 3x-y-4=0 { x-2y+12=0 iii) Entonces Lac' 5. Hallar el punto La ecuaci6n de ~ B=(4.8) <::::::> y - 8 =-2 (x - 4) 12x +y - C=LBCnL AC L Ac , y + 1 = m ( x - 1) II donde a=45" y 1945 = ,"-(-2) 1+( 2)m Luego , L AC: y + 1 = -t(x-I) Resolverelsistema => m=-t = I x+ 3y + 2:::::<>J 2X + Y - 16 = 0 { x+3y+2=0 =0 C=(lO-4) 16 -0 I' m, =-2 8nlo_llllolIIC16n L OC:y+4=!(x-lO) = Ix-2y-18=01 6. LIIGIIIGI6II de LAD el : y - y, = -:- 2 (x·- x,) • donde (x, • y,) = A A II hllli ruolvlendo el sistema Lueao. X- 2Y+ 12 z 0 { x+3»+2-0 = L"o:Y:"Z=-Z(.1+8) ~ A = (- 8 •2 ) 1F":2x""'-+-»-+-:1-:4-="""ol b) ConocidOl B=(4.8) y C=(IO.-4).enlonces IBCI=~(4-10)2+(8+4)2 =J180 EI 4rea del cuadrado es: "'... =(./1SO ) 2 =ISO Jl2 EI punlo = (-1.3) es un virtice del cuadrado una de cuyas If;j.mplo 7 1 diagonales esl4 en la L : 7x - Y- I = O. Hallar las ecuaciones de A ABCD. ~ recta los lados y lie la otra diagonal de este cuadrado. Sol"cM" : L:7x-y-lS mO y ",:a 1. Oralicar los datos ~ y .:f = 7 A c I) ,./ .. 2 -I Isn 0 2. Se pide hallar las ecuaciones de : L:u . LiC • LCD' LOA y LAC; para -I ella, necesitamos un punlo de paso y su respeeliva pendienle para cada recta, a) Un punto do paso de LAii es A(-I , 3), su JlCndiente III. la hallamos can la formula: 7- .. Ig ~ = 'i"+'7m' como /}= 4~·, entonees I=~ 1+7," =::) m=l~ " Luego, LA.: y-3=~(x+I) = b) Un punto de paso de L BC es B = L AB AI resolver el sistema f'I 3X- 4 Y + 15 = O { m-:::-l:.:.l 13x-4y+15=ol AD -4 4 L se obtiene B = (3.6) 7x-y-15=O La pendiente de L"iC es la inversa negativa de L AB esto es , m = -1 (porque LAB.lL) Portanlo, L"iC:y-6=-1(x-3) => 14x+3y-30=ol. lIIiC =-1 c) Un punto de paso de L Ac(Diagonal) es A = (-I ,3) Ysa pendiente se halla con la f6nnula: tga = i=f.; .a = 45°; entonces 1 = ,-::-;;;; I x+7y-20=ol 3m+4 _ ....4. =0> Por tanto, L AC:y-3=-t(x+1) I III = -"7 . =0> d) Un punto de paso de LCD es C = L Be f'I LAc Y su pendiente es m = //I A. = t. 4 x+ 3 Y- 30 = O EI punto C se halla resolviendo el sistema { x+7y-20=O . y se obtiene C = (6 • 2) Luego, L CD:y-2=t(x-6) = 3x-4y-IO=O e) Un punto de paso de Lo;. es A=(-I,3)ysapendientees m=miC=-1.1uego Lj);i:y-3=-1(x+l) = 14x+3y-5=OI lEOTA PAlALElA Al ElE x flEGTA PWlElA Al ElE y U I a) La ecuacion de una recta paralela al eje X es de la forma: y = k !donde k es un namero real. Su pendiente es cero. . La grafica de Ja ecuaci6n y = k es una recta horizontal. IRECTA HORIZONTAl. SU PENDIENTE ES CERO. I Ejemplos : y y { y-2 - - - x x . ~_x y=o lejcx) 'C Y-:- 3h I b) La ecuaci6n de una recta paralela al eje Yes de la forma : x = k nWnero real. No tiene pendienle. I . donde k es un La grAfica de la ecuaci6n x = k es una recta vertical. Ejemplos: IRECTA VERTICAl. NO TIENEPENDIENTE I - y y y LJ- 1 L x u=o .r" -2 lejex) I· • x mAl FOI... DE lA EeOCIOJl DE lA IECTA. 4.J Hay otras formas de la ecuacion de I. recta. que se aplican a situaciones problemAticas especiales. Dichas formas son: a) ECUACION DE LA RECTA. DADAS SU PENDlENT'E Y SU INTERCEPCION CON EL EJE Y. 1110 I Teonma 41 La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b Ejemplos Graficos : y y y , 1/ 3 / ~=3 x -I I y=2%+3 m=2 ~ " b=2 % y=-.t+2 • b= 3 Iff b=-~ 1/ x I -2 y=3%-2 ,"=3 • b=-2 =-t • b=2 b) ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA. I Teorema 51 1;:+f=ll Ejemplos graficos: y b y ~4 , x • t+t=l a=4 U a" 0 y b., O. La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son respectivarnente, tiene por ecuaci6n • b=3 .> Y ~ -3 x -~ -2 L+f= 1 -3 0=-3 x ...L... L = I . -3 -2 b=2 0= -3 b=-2 fORMA GENERAl DE II ECUACION DE UNA RECTA I Teorema 6/ La grafica de la ccuaci6n lineal lAx + By + C== 0 I es una recta recfprocamente, tada linea recta es la grafica de una ecuaci6n lineal. v. Ejemplol: l A= 2 1. 2:< - 31 + 3. O. donde B = -3 ,Ia pendienle es m = -t =_~=l C=3 -3 l 3 A= O -= 1. 41 -7 -0 1= t (recti horizontll) m=-Jl=O 4 B= 4 C--7 = 3. 2x+S=0 A-2 x=-t (recta vertical) m = -~ B=O 1 (110 existe) CaS OBSBIV.tCJ6N: La divisi6n entre cero no eslll delinido, esto es la 110 exilIC (110 es un n"mero real) divisi6n t En el limite, la divisi6n t tiende al +00 0 al -<t). Aunque no es correcto escribir ~ = ± ec , 10 podemos dejar asf, entendiendo que es cuesli6n de limite. S. Si en la ecuaci6n general de la reeta : Ax + By + C = O. se liene C = O. entonces Ax+By-O 1- -ix CO una recta que pasa por el origen de coordenadas, Ejemplos 1I'6ficos. r -, 10K - 3 .. 2>+3y=0 Ii .I-I r y • y,.-2h • t! I I • -/ ~ 2 ,=2> y= lX x I IProble_ Il PROBLEMAS RESUELTOS I Hallar la ecuaci6n de la recta. que pasa por el punta (- 2 , t) y forma con 10& ejes coordenadas un U'iingulo de irea 6,1. SoI.ei611 : 1. Enprimer Jugar. I"'ficar los datos : 1. En este problema. para hallar I. recta £, convlene aplicar la fonna simc!lrica r ~ £:;'+f=1 (-2,t> 3. a) si .( .I.LJ - (-2.t) e ~ _ · =1+1Ll o b £ =I -4b+ 3D = 2ab ...... (I) b) Si £ forma can los ejes coordenados un lriingulo de irea 6. entonces ~=6 2 = jabl=12 = ab=12 v b =.ll o ab=-12 b=-.ll o (3) (2) -4("f)+3a = 2(-12) ... Reemplazar (3) en (I) : a'+ Sa + 16 = 0 (a + 4)' = 0 Elllonces £: .:'. + ~ a=- 4 • b=3 f =I •• Reemplazar (2) en (I): a'- Sa _ 16= o < a = 4+4../2 • b= 3(../2 -I) Asr. se obtienen dos ecuaciones mas. a = 4 - 4../2 • b = -3(1 +../2) IProbl,mo Z~ Una recta £ pas. por J. intersecci6n de las rectas : L, : 4,,+3y-12=0 . L, : 2.<-y+4=0 y forma con los ejes coordenados un triangulo de are. igual a IOJ?, hallar £. SOIIlt/tllI : I. Hallar la inlersecci6n de L, resolviendo el sistem.: = I 4. Si (0.4)El. => ~+.i a b y L,. )I 4x"3y-12= 0 { {4 2,,-y+4=0 4,,":3y -12 = 0 { 6,,-3y+12=0 0 10..+0 + 0 - 0 1,,=01 "", 1 x 5. EI area del triangulo OAB es : ~-IO 2 ' ly=41 2. Asi. obtenemos eJ punto de paso (4,0) de £. 3. Como la recta b = 4 = 101=5 0 =5 v 0=-5 6. Conclusi6n: forma con los eje. coordenados un triangulo de area lOu', conviene .plicar I. forma sim6trica de I. recta l. : !f, l.:f .. f=1 : 4x + 5y - 20 = 0 l.: .:'s+f=1 : 4x-5y+20=0 £:;'+f= 1 4.8 .OSICIOIES REUTIVIS DE DOS RlOJIS ITeunma 6.1 I Si las ecuaciones de dos rectas, no verticales, son: L:Ax+By"C=O , L,:A,x .. B,y+C,=O. m=-~ • B"O "'1=-;: B,,,O. Las retaciones siguientes soncondiciones necesarias y suficientes: a) L es paralelo a L, si, y s610 si m = m, A A, -8=-»; = AI _.JL ~-81 = AB, -A1B=0 =-1 = (-1)(-::)=-1 = b) L es perpendic..lar a L, si, y 8010 si mill, c) L coincide con 1-,. si, y 8010si A = tA, = B = kB, , • C = kC, • b.O ..4.=.4.=£ = k AI 81 C1 d) L Y1-,. se imersectan en un punlo si , y 8010 si IEjemploSI AA,+BB,=O m~ml = ..4. .. .4. = AB,-A,B .. O AI 81 Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo si uno de sus vertices es el punlO B(-4. -S) Ylas ecuaciones de dos alturas del triangulo sor 5x + 3y - 4 = 0 Y 3x + 8y + 13 = 0 SoI"d6n: 1. Oraficar los datos , y H, H,:5x+3y-4=O Hz" 3x + 8y + 13 = 0 ~ ~ ~ ~ H, es altura relativa allado BC :> e::l~_':":-.~\ /' / x I Hz es altura relative 81 lado AS 2. Un punlO de paso de L Be es B y su pendiente es m.tal que. III ( -t) =-1 L....pend;enl~ckHI m=ls Luego:• L-'y+S=1(x+4) Be' .5 I 3x - 5y - 13 = 0 I 3. Un punto de paso de L BA es B y su pendiente es Ill, tal que . pendtente de Hz m(-t)=-I ~ m=1J Luego , L BA : Y+5=f(,t+4) 1s..-3Y+17=01 4. Para hallar la ecuaci6n dellado L AC • tenemos dos puntos A y C. donde: A =Ls;, f'lH 1 C=L BC f'lH z y 8,t - 3Y+ 17 = 0 3,t - 5 Y - 13= 0 { 5,t+3y-4=0 { 3,t+8y+13=0 Seobliene A=(-1.3) Se obtiene C = (I • -2) Luego: LTc:y-3= I Ejemplo91 3+Z -1-1 (,t+I) = = y-3=-f(,t+I) 15,t+2y-I=01 Dos v~rtices consecutivos de un paralelogramo son A( -I • 3) y B(O, 4 ). Determinar las coordenadas de los OITOS vertices. si las diagonales se cortan en el eje Y su area es 6u'. Solucldn: 1. Oraticar los datos, 2. El area del lriangulo ABD es 3u' (rnitad de un paralelogramo de area 6..'). y Como los vertices del triangulo ABD son A ( - 1.3), B(0,4) , D(O.yo) con Yo=? entonces area c A~ :," \' :~ triangulo : ~~ ,)Il) ABD = +IAI/II DB I 3 = +1-1114-Yol , 6=14-Yol r = -I 4-Yo=6 IYo v = -21 v 4-yo =-6 Yo Luego , cI vertice D = (0 • -2) 3. EI v~rlice C = L BC f'I L DC . = 10 L No pued..... Donde: a) Un punto de paso de Lac es B = (0.4) Y su pendiente es igual a I. pendiente "' AD = -;:14= -6 (por ser paralela) luego, L BC:y-4=-6(x-0) = 16x+y-4=01 b) Un punto de paso de L DC es D = (0. -2) Y su pendiente es m- =~=l AB -1-0 L DC : y + 2 = l( x - 0 ) Luego, = Ix-y-2=01 6x+ y-4';' 0 4. Resolver el sistema { • so obtiene C = x-y-2=0 (t. - t) 4.10 DISlIKell DE UN PINTO I UII BECTI DefUlicion. !Teon'ma 71 m' La distancia de un punto P de a una recta L c lR' es la longitud del segmento perpendicular.trazado del punlo a la recta. Si L : Ax + By + C = 0 es una recta y P, 2 .lR • entonces la distancia de PI a L. es: d(p'.L) = (x, • y,) es un punto de IAxI + By, +C1 ~ Demos/raeion : Nuestro interes es hallar Ia longitud "d" que es la longitud del segmento perpendicular P,Q trazado desde el punto P, ala recta L. y PI(Xl.y,) 1. En el triangulo rectangulo RQP,. recto en Q. se bene: d = x, 2. Pero: a) I Rp' I= I YI - Yo I IRp, [cos a (I» (porque Rp' es un segrnento vertical) 117 b) R. L 0 04%, + 8yo+ C = 0 Yo = -1%1 -t (bo ) c) Reemplazar (b o) en (a) : l +CI IRIII = IYI +1... +%1 = 18YI +rb Illi 3. Entonces d I""', +,~, +C1 cos a ...... (2 0 ) ..................... (3 0 ) 4. Ahors, hallemos el cos a, sabiendo que IgO = -1 (pendiente de L). Pero 0 = a (porque los lados de 0 son perpendiculares a los Jados de a), entonces : Ig a =_"i=...4.. B -B ~A ,A>O -B 5. Analicemos el signo de 8 y el signa de cos a : a <90" y cosa<O,luego casa J b) Si 8>0 ~ a>90" yeas a>O, luego cos a J8 a) Si 8<0 ~ -B A2 +82 A2 +8 2 >0 >0 6. Para ambos casos: a) y b) se cumple: d = lAx, + By, +C1 JA . I Problema I } 2+B 2 , Sean L Y L, dos rectas tales que la ecuaci6n de L es % - Y + 2 = O. L, no pasa por el tercer cuadrante y el angulo 0 formado por L y L, (medido en sentido antihorario desde L, hacia L), satisface IgO= 2. La distancia desde el punto A(-2,-I) a L, es I -- ,fW. Hallar la ccuacion de L,. cr i'. T;~ \L Solution: L:~ u:::r::IT]J 1. Hacer un grafico con los datos: y 1.'.m=_-.1."" 1 -I 'LI,1II1 CSe pid; haii.;Ia ~u~6~d;L,) 2. Como datos se bene: )-111, tg8=- I+ml !L ;.4 l 2~:::: ~ lml=-j % -I entonces : I Lt: y = -1x+b ILt: x+3y-3b=OI 3. La distancia del punto A(-2. -I} a la recta L, es ,f1o. entonces aplieamos la formula: d(A. L,) 1.u,·By, .cl JA' .8' ,fW = 1- 2+3(-1)-31>1 41• 9 lO=I3b+sl = b=t v b=-S 4. En consecuencia, hay dos ecuaciones para L, : y=-tx+i v ly=-t x 51 N. pal "" " 3to CUldrlllll IProbhma 1 I Las rectas L, y L, se eortan en el punlo P(l ,3) fonnando un angulo de 45° (medido de L, a L,). La recta L, tiene ordenada en el origen igual at. Determinar los pumos sabre ~ rates que su distancia de estos puntas a L, sea 4u. .. ,,.,, I. Or.IIMr 101-. : 2. Como datos lenemos: a) a= 45' b) L, pasa por P( 1.3) y A =(0, f), su ccuaci6n cs: 3-.1 L, :y-3= 1-~ (x-I) ,r-2y+5=0 , r ; , =1" L, pasa por PO,3) Y su pendiente m es desconocido. x I c) La recta -tt 3. COlI I. f6rmula Ig 45° = .. 1+ .. Por tanto. Ia _mn de Inl 1m =31 obtenemos L,: y - 3 = 3(.1- I) 3.r-y=0 4. Ahara, hallar los puntos Q(.ro. Yo) E L, tal que la distancia de Q a L, es 4u. Si (.ro.1o) E L, => 3.<o-Yo=0 => Yo=3.<o La f6mwl. de la distancia de Q a L, es : '''p-2'p+51 =4 JI+4 = 1'0-2(3'0)+SI _ 4 = 15-5,rol=4v'5 :rs = = 5-5,ro=4v'5 v 5-5,ro =-4v'5 .ro = S-4.{s' U S v ,rO=S+4,fS Yo v ;lS-4,fSl S 5. LoopuntollOll: (S-4,fS 31S-4,fSl) 5 I. • S • S U Yo = 31S+4,fSl S l(S+4,fS 31S+4,fSl) S' S IProblema 3l Determinar la ecuaci6n de una recta I de pendiente negativa que no pasa por el primer cuadrante, sabiendo que forma con i,: x-2y-6=O un angulo a (medido en sentido anuhorario de i a it) tal que Ig( a) = 2 Yla distancia del origen de coordenadas a i es 4..fi. SoluciOn: 1. Graficar los datos: ( Se- pide- hallor - -la--l) eeuacion de ~ y 2. Si aes el angulo de i a i, con pendientes t " , .1 "......... x m Y Inj == - _1 2 =t. respectivarnente, y .1-", tg a;. 2 ; entonces: 2 = -'-- =:> m )-l-t m 3. Entonces la ecuacien de Les : y=-fx+b = "= _1. . 4 3x+4y-4b=0 Debemos hallar b. con el dato de la distancia del origen a i : ",U''-,U,-_, 4. = 5. Las ecuaciones de z, son: 3x+ 4y - Ibl=s..fi 20..[2 = 0 = b=s..fi v b=-S..fi v 13x+ 4y + 20..fi = 01 N. pes. p.. II lar. ",adr8llte I1'robkma 41 Sean las rectas Lt : x - 7y - 10 = O. L, : x - y - 2 = O. Hallar la ecuacion de la recta L de pendienle negativa, no pasa por el tercer cuadrante y forma con las rectas L 1 Y L2 un triiingulo isosceles cuyos lados iguales se encuentran en L, y L,. respectivamente. Adernas 50 sabe que d (P. L) = 2,/5. PEL,nL,. SoIaci6n: 1. Graficar los datos L,: x - 7y - 10 = 0 • '"' = ~ ~ t L,:x-y-2=0. ,",=1 ~ ~ II' Se pide hallar la ecuaci6n de L ; que no pasa por el tercer cuadrante y forma con L1 y 1., un triangulo is6sceles Dehemos hallar un punto de paso y su pendiente deL I£n~ 2. Sean: _L1 a) Q E L tal que d ( P , Q) =2./5 b) P se halla resolviendo el sistema: { x-7y-lO= 0 seobtiene p=(~ x-y-2=0 3' _.!) 3 c) Q es un punto de la bisectriz PQ (en un triangulo is6sceles la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz relativo al vtrtice P, coinciden) conocido los lados L1 Y LIb' 'PQ I >-7y-10 y-2) ,"" a ,secITIZ se halla as : J ± (>Oji:i 1+49 = 1+1 2.I+y=0 v I1lpunto Q es Q=(x,tx-t) d) Como d(P.Q)=2./5 entonces J<x-t)2+<tx-t+t)2 =2./5 9..'-12.1-140=0 Para x = = .If. se obtiene x= ': v y= e) La pendiente m de t, se halla con la relaci6n : Igo =lg6 = 3. Conocidos: Q = ( m I l-m 1 -r:;m = i7tm 1.t) = 2m2 + 3m-2 =0 = m=t v Im=-21 y m = -2 de L, su ecuaci6n es : y-t=-2(x-.lf) = [2x- y-lO=ol t x=-.!.Q. 3 Ihvll'ema 5 1 Sean los puntos A = (2. ~ B = (5,7) y sean M y N los puntos de triseccion del segrnento AB. con N mas cercano a B. L es la recta . que pasa por M y forma con la recta Ig 8 = 2 (medido desde N • I. recta L. Ali. Ali hacia L), Hallar un angulo (J lal que la distancia del punlo SoI"dM : 1 .. Se pide hall... ; d (N , L) = ? ,. ,,~L. , . Debemos hallar los puntos M, Ny I. pendienre m de L, 1. .. 71- ' ., l . , ' ,,'''' ,8 ~INI .~. La .u6n AM: iii eo I x 2 ~ AM=t t. entonces MB M -A =J.(B-M) 2 M =t(2A+B) (3 .f) =t(2(2. 8)+(5.7)) = 2. N eo punlO medio de MB enlo""es N= (3;" .f;7) - (4 • .2f ) J. La pendienre m de L se halla con la fnul.: Ig8 = ,. -. Ai . donde: Ig8= 2 Entonees 2::: -+i l-!.. • ···u 7-1 J. m AII= ~-2 = - 3 m= I =:> of. Unpunlo de paso deLes M =(3.¥) ysupendienlem= I. eNoneesL: y-~=(~-3) = 3~-3y+14=O 3 I, CollOClldo N. ( 4 ,t) y L, entonces : d(N,L)= 1 ( 0 ) - 3( -¥ ) + 10 , ~9+9 , - 0 -3Ji 1""''''1 Hallar I.. ecuaciones de los lados de un triangulo conociendo uno de sus y6rticcs C(4, -I) Y las ecuaciones de la altura H: 2x - 3y + 12 '" 0 y de la medians M : 2x + 3y = trazada. desde el mismo y6rtice. ° SDl.d611 : I. OraflCar los datos: y 1. Se pide hallar las ecuacioncs de 100Iadosdeltriangulo ABC. ... ) H:2z-3y+IZ.O a) Ecuaci6n del lado L AC Se conoce el punlO C'" (4, -I) Ypodemos hallar A"'Hr.M. .,=- ~ .J At J', 4 Jr Rcsol ver el sistema : 2X- 3 Y + 12 : 0 { 2x+3y - 0 : 2z+3y.O 1 II 4x+ 12 =0 x =-3 Reemplazar en II: y = 2 Sumar: B Lueso A (-3 ,2) G -1-2 La ecuacidn de L AC es : y+l= 0+3 (x-4) y+I=-t(>:-4)y' 13x + 7y - S = b) F&uaci6n del lado L BC Se conoce un punto de paso C = (4 , -I) Ysu pendienle m se halla con la relaci6n de perpendicularidad: m '" 'N' °I -t, porque H es perpendicular a la recta L BC • Entonces, L Be = y+I;-t(,r-4) \3,r+2y-IO;01 c) Ecuaci6n dellado L AB Se conoce un punlo de paso. el punto A ; (-3 • 2). Debemos hallar el punlo B En el grafico lenemos , i) Como REM => R ; ( .I: • -f) De M, h + 3y ; O. hemos despejado obteniendose y = - 2z . U y )J , 3 ..) 8 U B[6. 10;:3b] De E L Be L Be => 8 3z ) = ( . ( '10-2 ,3.1: + 2y -10 = 0 se ha despejado IO-3x y;-2 iii) Conviene reemplazar en el punto R. la variable x pol' a,y en el punto B. reemplazar la variable ,r por a. 4+b iv) Como R es ""nlo medio del segmenlo C8 • enlonces a; -2- • AI resolver el sistema de las do. eceacioees se obtiene 8;(8.-7) . Conocidos los puntos A L AB,y-2; IProblema 71 i) = (-3 .2) :;_18( .1: + 3 ) = -I+~ _-1- = __ , 2 b; 8. POT tanto, Y B - (8 • -7). la ecuaci6n de : 19.1: + 11y + 5 = 0 1 Sea A8CD un trapecio is6sceles que cumple las Ires condiciones siguientes: La base menor A8 esta contenida en la Tecta L, ' ,r - y + 6 = O. SU pUnlO medio esta en el eje Y y la abscisa de 8 es 2; ii) La base mayor CD eSI' contenida en la recta iii) Cada lado no paralelo del trapecio mide L",r - y - 2 =0 ; .J34. Hallar las ecuaciones de las reclas que contienen a los lados no paralelos del trapecio. ••111.' I. 111"._ ..... ....liear los dltOI. Esto nos lyudln! intuir el problema : i L, :.J'-1+6,...0 L, 1-, ~ I:2TITIJ ~ c::LTI::IIJ R , / \1t , V 2. HIlIar II ecuaei6n de L Be . x Para ello, lenemo. que hlllar el punlo B ) el punto CoIl pendien1ede BC . ID Vamos: ,) 8(2, b) ;1) Si C • E L, ~ 2- b+ 6 =0 ~ b= 8, entonccs IB= (2,8)1 Lz en_a las eoordellldas de C son (x , x - 2), porque y = x - 2. ;;1) Si .. 10ngilUd dellado \BCI-../34 implicl Be co ../34 ,entoncca; J(x-2)2+(x-IO)2 =../34 x2-4x+4+x2-2Ox+lOO = 34 2x2-24x+70 = 0 0< x2-12x+35 = 0 (x-7)(x-5) = Sedille IC=(7,5) I x=7 y=5 x=5 y=3 8-' LUCIO, II ecuaci6n de LiC el: y -lI= 2=1 (x - 2) 13x+ 5y - 46 = 0 1 3. Jllliar II ccullCi6n de L;W' Neccaltamo. 101 punlOS A y D. I) Si A " L, , entollteS las eoordenldls de A son (x, x + 6), pues y = x + 6. ;1) Si M = (0,6) es punto medic del segmento A8, entonces : ,. 0= x+2 2 A 6 == x+6+8 A x=-2 x=-2 2 Luego, y=-2+6=4.Portanto, IA=(-2,4)! L", entonees las coordenadas del punto D son (x • x - 2). Si la longitud de AO es .J34, entonces .J34 = J(x + 2)2 + (x _6)2 iiI) Como 0 E . 0= 2x'-Sx+6 0= x'-4x+3 o= (x - I) {x - 3) < x» I • y e c-I x=3 Seelige 10=(1,-1)1 iv) La ecuaci6n de -1-4 L AD: y + I = ""i"+T(x-l) y+I=-f(x-l) => 15x+3y-2=01 4.11 DmRMINACIOI DE lAS leUGlOlR DE lAS BISEGTRICO DE IDS ANGUlUS SUPlEMENTARIOS FOlMADOS POI DOS IEellS DADAS QUE IE GORTIIl ITeorertUl S I Las ecuaciones de las bisectrices de los angulos suplementarios formados por dos rectas que 50 conan L:Ax+8y+C=0, L,:A,x+8,y+C,=0 son L, IAx+By+C~ JA'+B' IEjemplo I + A1A'+B,y+C 1 JAl+B I2 -- Hallar la ecuaci6n de la bisectriz del angulo agudo fonnado por las rectas L: x- 2y -4 =0 Y L,: 4x - y-4 =0. I ....... ' I. Clrltlelr Iu doIl'Ic:las : L,:~ c:L:8IQJ _tliz dol -+ ~ ... ,/ I { Z. Las ecuaciones de las bisectrices son : L :;p}(: ~ x - 2y - 4 ±4x- y-4 JI+4 C'6+' Aqu{, lIoy do! ef'ual'ionl's. En este pmbwma, rleg;, el qu.e firne signo ~1I0.f Estoes: ~-2,,-4 _ j; - 4~-y-4 J'6+1 (Ji'i +4,[S)J:+(-2Ji'i -,[Sy)-4Ji'i -4,[S =0 Otraa proposiciones fAciles de probar son: IT,,,,.-'I EI Area del trtangulo que tiene por vertices los puntos (x" y,), (X2 ,YV Y (x" y,) es Area = I Ejlmplo I x, y, X2 Y2 X3 Y3 tI Hallar por tres metodos diferentes, el Area del triangulo cuyos vertices son A H, I), 8(3,4) Y C(5. -I). SobI~M" : En primer lugar, graficar los puntos : ,. , debiendose tomar en valor absolute el determinante, Metodo 1 : y A(T) = -tbh • donde : b { h = altura =d(B, LAC) A' ! ........... ' t , r ' -I' R' =base =IACI =J36+4 =2M Se neceslta ta ecuaci6n .. 1_\ LAC' Y-I=:.(~+I) ~+3y-2=O 13+3(4)-21 Entonces, A(T) = -2' Mhodo 2: 7iO ji:9 Luego d (B , LAc) = '.' 13 2M 4,. = 13 u ~lO 2 Hallar las longitudes de cada lado: a - - = IABI. b = IBCI. c = - ICAI J u+b+c . Entonces A( T )= P(P-a)(P- b )(P-c) , P=-2 Mltodo 3 : Por determinantes : -I A(T) =1. 2 3 1 CD 9(-1) 4 I 5 -I tUsarrollO} ,Para 'rour mdsfi1cilel lUI tUIUm;nanle: multipliea, la p,il7lera fila PO' -} Y 31U1tar a 3egundo y lercerafila .' ta + I + -I I =-tl 4 3 6 -2 I ~1=-t(1)I: }2!=-t(-S-IS)= -13 DlSarl• . par II31........... En valor absoluto : A (7) = 13 &Ntodo 4 : Por diferencia de areas: i) Formar el rectlingulo MNCR. haciendo pasar sus lados por los vertices del triangulo ABC. I,) A(7) = A (R) - [Sumas de areas de los triangulos rectangulos : AMB • BNC • CRA] t .l area del rectdng"'0~NCR ~4rea lUI rrithrgulo ABC If. ICOROlARIO I Una condici6n necesaria y suficientepara que tres puntosdiferentes de coordenadas(x, • y,). (x, • y,). (X3 • Y3) sean colinealeses que No'" ITeo~1fIIJ i!J Colineal t's cuando recla. y, x, Y2 x3 Y3 11=0 putuos se encuemran en una IOJ 'Tt'S La ecuaci6n de la recta que pasa por los punros P, (x" y,) Y P, (x,. y,) • expresadoen forma de determinanres, es : Y x I Ejemplo I x, x, y,ll=o x2 Y2 HaUar la ecuaci6n de la recta que pasa por los pumos P,(-I. I) P,(3.4) : SoluCWII : Aplicando el Teorema 10 : Y 1 x -1 1 3 4 Multiplien,PO' -I a /a I'" fila y .'JUI." n In r y 1'"Jiln. x -I-x 3-x Io r Y 1 1-- Y O=O=) 4-y o I-I-x 3-x I-yl 4-y =0 => (-1- x)(4 -y) -(3 -x)( 1- y) = 0 => - ~+7=ol Y 4.12 FAMILIADERECTAS Definicion ,- EI conjunto de rectas que satisfacen una unica condicion geornetrica se llama familia 0 haz de rectas. ACLARACl6N DE LA DEFINICl6N Se sabe que una recta queda bien definida si se conocen : un punto y su pendiente 0 en su defecto dos puntos. En ambos casas, hay dos condiciones que definen a una recta. Hay dos tipos de familia de rectas. a) Familia de rectas que pasan por un punto comun. DlIllmlIII EI haz de rectas que pasan por el punto (1.2) escribe : y-2=m(x-l) se b) Familia de rectas que tienen pen diente cormin (son las rectas parale las) . - EI haz de pendiente .!. , ,. recras de se escribe ast: y =.!.x+b y y 21;.' .I ~ ;i.e ,""""-' x £..={(x,y)e ar/y = 2 + m (x-I), me IR} Bastanl dar un valor a "m" para hallar un clcmenlo de la familia [ PROPOSICI6N) Si las rectas :>? ;r ff,b~«x,y)eIR2/y~tx +b, beIR) Bastara dar un valor a b. para hallar un elemento de la familia. t; : A, x + B, y + C, = 0 L, : A,x+B,y+C,=O se intersectan en el punto P,(x, • y,), entonces la familia de rectas que pasan por la intersecci6n de L, Y L,. es : A ,x + Bly + C, +" (A,x + B,y + C,) = 0 • " .. 0 , "E 1R IEje",plo 1 I Una recta pasa por el punto A(-2,3) y por la intersecci6n de las rectas L, : x + 5y + 2 = 0 Y L,: 3x + 4y - 5 = O. Hallar su ecuaci6n sin delerminar su punlOde intersecci6n. Solllci6" : La familia de rectas que pasan por Ia intersecci6n de L, Y L, es: £,,: x+5y+2+A(3x+4y-5)=0 Si A (-2 • 3) E £" => -2 + 5(3) + 2 + A(3 (-2) + 4(3) IS+A(1) =0 => Reemplazar en (I): 5) = 0 ~ = -IS x + Sy + 2 - IS(3x+ 4y - S) = 0 = = IE;;e.plo 21 (I) 44x+S5,-n = 0 14.<+ s, - 7 - 01 Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por la intenecci6n de la. do. recIas L,: 3x + Y- 9 • O. L,: ob - ), + I = 0 y cu,a di&lanl:ia del oriaen es 2. So1IId6" : Se pide hallar una recta L de la familia £.: 3x + y - 9 + ~ (4x - 3, + I) = 0 (3 + 4~) x + (I - la1 que 3~) y + ~ --9) = 0 d«O.O). £,,) = 2 (3:4A)(O);(I-J.l~0)+A-91_2 = IA-91- 2J(3+4J.)2+(1-3A)2 "'HA)' +(I-J.l)' elevar aJ cuadrado y ft:C1ucir : =::> 99~'+9OA-41.0 ))~X41 -I )~ <== CMtdM,i611 : (33A+41)(3~-I)=O~ A =-1t.A=t Ha, dol rec"'; a) cusndo A • b) cuando A= ., t en £.: x = 2 -11- en £.: 5x - 12y+ 26 = 0 I~",p'" 31 Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por la intersection de las dus rectas L,: 3x - 4y 0, L,: 2.>: - Sy + 7 0 y forma con los ejes coerdenadas un triangulo de Area 8. = = SohId~1I : La familia de reetas que pasa por la inlersca:i6n de L, Y L, es : 3x-4y +A (2.>:- Sy+ 7) = 0 L.: x y 0 ...l.L _...l.L 0 (3 + U) x + (-4 - SA) y + 7A = 0 Loo ill1emlplos COlI 100 cjes coordellllllos se obtienen hacienda x = 0 y y z O. AlII obtenemos: ~A+4 2.1+3 Enlonl:es el Area del IriAnguio 4111C forma Ia recta L. con 101 ejea coordellldos es bII 2 #. hlh IJ !i¥'.I_ g 2 - = (5A+4)(2J+3) = I1U2+368.4+I92z0 A' ". base . II. ai_a 8 -!l .. = v v A=~24 "' E _1t 31 A' a, =_1l!t. 1\1 • 11>2 =-jt .. LA: '''-4y-24=0 I) A. ') A2=-~ .. LA: x-4y+I-O I = 16 49 -_.Ii ('A+4)(%J+3) - 49 209A2 + 36lU + 192 = 0 No ' Haydos _iones : \ ~. (5~+4)(2~+3) 4.1"- ..... A. I -2SOII lObM;i4It rNI ~~llA lJi(I~IOIJ,'~,)Ii\S ,!,.!Oni.llMA 0 II Ntnn 101 punlu.: A(2,2) , B(S , -3) , C(-l ,4) Y 0(-4, -3) ,~I Itt e•• 1 pumo que divide al segmento All en la razon de y N es el punto que divide t .1 ,egmento CD ~D la rawn 1. hallar Ia longitud del segrnento MN . .')"llIeI6" : • • y Graficar lu datos. Si M divide al segmento AB en I. raz6n i, entonces AM : MD = t, esto es, AM=t MB ( (r •. I :M~'''''''' 'I.... JI: M -A=t(B-M) SM -SA=3B-3M 8(5,.3) D(....,-3) 8M =SA+3B M =t{SA+3B} M =t{S(2,2)+3(S,-3) • Si N divide al segmento CO en la ra z6n l' entonces eN : NO = t esto es: CN=lND J N-C=!<D-N) 3N-3C~D-N 4N-3C+D N- t<3C+ D) N ~t {3(-1, 4)+(-4, -3») .. N=(_11) ' • }=(¥-.t) La longitud del segmentu MN , es : I!iN I=~( 28' +t)2 +(t-t)2 =t.Jl8l0 IPROBL.EMA 021 Dado los pumos A(-3, -I), B(2 ,4) Y C(-3, 5), hallar la ecuacion de la recta L que pasando por el punto C divide al segmento AB en la razon -t SolUtiO" : I I. y Suponer que p(x,y) es el punto que divide al segmento AB entonces AP: PB q-3,S{ .. _~B(2••) Entonees en la razon - =-t - t' 3 AP=-'2 PB P-A=-t(B-P) I , I / P=3B-2A % P=(l2,14) .1(-3,-1) • La ecuacion de L que pasa por C(-3,5) y P(12.14),es: 14- S y-5=I"2+3(x+3) = 3x-5y-34=O IPROBL.EMA 031 Desde e1 punto P( 3,5) se trazan dos rectas que cortan a la recta L: x + 2y ~ 8 en los puntos Q y R, respectivamente, y forman el triangulo reelangulo isosceles PQR. recto en Q, Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen al cateto PQ y a la hipolenusa PRo SolutiO" : a) Graficar los datos: P(3,5) y L: , y r¥f8l ~ Se pide hallar las ecuaciones de las rectas L pQ y L pR ' S' Veamos: b) L pQ pasapor P(3,5) I 3 >c 8 r L Como L es perpendicular a PQ, entonces ",,,,,--1 .",.-2 Ill { '" I : -t PfIIIlI.",. d. L ,.1fIIt.",. d. L I'Q Par 10 IIIIlo, I. ecuaci6n de L I'Q es: y - 5 = 2 (.. - 3) O.2%-y-l c) L n pili por 1'(3,5) y R. Oebemos bllllr II PUIIto R COIllO el bi4naulom:t4nsuto PQR es is6s<:e1es, entonees I PQI = DebelllOl hall., Q Y R. IQRI .{ x +2Y=S ~ x =2. y=3 .... 2 x -y=1 I) IQI-Lf"lL.;;;:; Entonces Q = (2,3). 'I) Si R E L. entonces al despejar x = 8 - 2y de L. el ponlo R es lie la forma : R-(S -2y ,y). IPQ 1=1 QR I III) Si : cntonces . J(3-2)2 + (S_3)2 = ~r(S-_-2-y-_-2)':""2+-(-y-_-3""':")2 ';. ! aloY" al cuedrado : ..rs = J( 6 - 2y)2 + (y - 3)2 ..rs =J4( y_3)2 +( Y _3)2 S=S(y-3)2 (y _ 3)2 = I .----"'y = 4 .. =0 ..........y=2 x=4 BnCOllMCuencia,elpuntoRes: R =(0.4) v R=(4,2) - d) Entonces L PR tiene dos ecuaciones : i) Cuando pas. por P = (3,5) y R = (0,4), su ecuaciOn es : '-4 y-S= 3_0(x-3) jj) = x-3y+12=0 Caandopasapor P(3,S) y R(4.2),suecuaei6nes: '-2 y-S=-(x-3) 3-4 = 3x+ y-14=0 IPROBLEMA M] Dos rectas L, y 1-,: 3x - y - 10 = 0 son perpendiculares y se intersectan en el punto C. Una tercer. recta 1., intersecta las rectas L, y I-, en los puntos A Y B, respeetivamente, fonnandose el trianllulo rectllnllulo ACB, recto en C de lIrea 200 u'. Si : (2,6) E L, y d(A, L,) = 5J1O, hallar la ecuacion de I. recta 1.,. StIlIIei61l : 0) Graficar los datos : I Para hallar 1.,. ntee.it.mos conocer A y B I b) Hallar la recta L,. L, pasa po< (2,6) yes perpendicular a 4:1<-y-IO-O L, 1-" que tiene pendiente m, = 3, entonces I. ecuaci6n de L, es L): L, ~ y-6=-1(x-2) x+3y-20=0 x c) l C } =L,,,,..,L{3x-y-IO=O x+3y-20=O AI ~I ver el sistema, obtenemos: C=(S,S) d) Enladislanciad(A.L 2)=SM Se tienen A = (20 - 3y , y) E L, Y C= (S,S). Entonces, d(A,Lz) = sJIO IACI=sJIO J(20-3y-S)2+(y-5)2 = 5.JlO .7 U1•••r .1 euldrlClo y Ilrnplificar : o(y - 5)1 + (y - 5)1 ; . -c:.: 250 (y - 5)1 ; 25 y ; 10 ~ A(20, 0) ~ A(-tO, 10) D) ".r. hall.r 01 punto 8, aplicar el 4rea del triangulo » 200 ul . EJICiI 1 ; 200 - I';'CIIC81; 400 ';'J( : 5JW como 8 E 1-;, ~ 8; (0 , 3<1 - 10) pues al huer x ; 0 en 1-;,: 3x- y IO;O,obtenemos y; 3a 10 ~(a_5)2 +(3<1-10-5)2 =400 (0-5)2=64 Coru:lllJ/6,,: 1-;, tiene dos ecuaciones < 0 . 13 ~ 8(13,29) 0--3 ~ 8(-3,-19) I) Cuaedo pesa por A(20,O) y 8(-3,-19); 1.): y-O; ~~(x-20) 19x- 23y - 380; 0 Ii) Cuandopasapor A(-IO,IO) y 8(13,29); 1.): y-IO;=~~(x+IO) 19x - 23y + 420; 0 IPROBLEMA--05] En un tri4ngulo A8C, la ecuaci6n de la recta que contiene al lado AB es f.~B : -- x + 2y -7; 0 Y las ecuaciones de las alturas AN y BM son, respectivamente, 2r + Y - 2 ; 0 y 2r + 5y - 16; O. Hallar las ecuaciones de los otros dos lados del Iri4ngulo y la tercera altura. Sollld6" : a) Hacer un grafico intuitivo : b) Como datos sc tiene : B I L~N: 2x+y-2;0 Liiii ' 2x+5y-16=O MIl Para hallar la ecuacion de la tercera altura LCR tenernos un punto de paso. que es ( P) = LAN LAB :mt n L y su pendiente m es I, inversa negativa de la pendiente de BM =-t· ESIO es m = 2. 2x+ y-2=0 Resolver el sistema Luego, c) LTc y-t=2(H~) LCil: , se obtiene P = { 2x+5y-16=0 < = (_.14' 2) 2 Ih-y+5=01 , donde m=_1, 8M m = - .. : .. =t X+ 2Y- 7 = O { 2<+ Y- 2 = 0 A = L AB rvl: AN =(-1,4) Luego,~: y-4=1(x+l) d) LiC < -.L-= m=-"._ = 15x-2y+13=01 2 ' dondem 1_1. --2 AN AN B=LxBnLBM -2 {X+2Y-7 = 0 2l:+5y-16 = 0 =(3.2) Luego, Lac: y-2=t(x-3) = Ix+2y+I=0 I IPROBlDIA 06 1 Desde el punto A(5, 1) 50 traza una perpendicular, la recta L: x + Y + 2 = 0 que la eorta en B. Si el segmento AB es la base de un tnangulo isosceles cuyo tercer venice C se encuentra sobre ele eje Y, a) Hallar el vernce C b) Hallar el baricentro del trilingulo ABC c) Hallar el circuncentro del triangulo ABC <:4INlo del *ice C. I. CIIIIIrr 101 drIOI: ......... 1) 2. Como el lriAngulo ABC e. isosceles y AB e. - - la base. enlonce. I BC I = ICA I Porque C eslll sabre el eje Y. liene la forma (O.b). IDelio hallar b I % l) EI punlo B e. la inlerse<:ci6n de las rectas Ly LAB' II) HaJJar la ecll8l:i6n de LAii que pasa por A = (5.1) y liene pendiente m = I (como L ea perpendicular a L Aii •enlonees m (-I) = -I) LueJO. LAB: y -I = I( x - 5) = l'x---y---47'_"""::'O I IBI=LI"'ILAB{%+Y+2 -0 ",,-,-4.0 =0.-3) III) Cak:u1ar - - IBCI = ICAI J(5-0)2+(I-b)2 = J(O-I)2 + (b + 3)2 b=2 III ~nice C es C = (0.2) SoIadalld) EI baricentro es la mterseccion de I.. medianas. Una mediana e. un segmento trazado desde un vertice al punlo medio del lado opuesto al venice. Para hallar el baricentro P necesitamos I.. ecuaciones de dos medianas. BM 11(1.-3) M=(.l. 1.) < l) Ecuaci6n de la mediana L - 2• 2 8=(1.-3) L-: 8M 1.3 y+3=-'-(x-i) t- I !3x-y-6=ol ii) Ecuaci6n de la mediana LCii < -1-2 N =(3 , -i) C=(O,2) LCii: y-2 =):1j"(x-O) IHy-2=OI ii.''J IP)=L-nL8M cs P=(2,O) {JX- Y- 6 = O - x+y-2=O L SoI_w" de e) .. EI circuncentre es la inlersecci6n de las mediatrices. Una medialriz es una semirecta perpendicular Irazado desde el punlo medio de un lado del triAngulo. Pan hallar el circuncentro, necesilamos las ecuaciones de dos mediatrices : Las ecuaciones de las roediatrices son : 11 La mediatriz L Mil pasa por M inCA = ~=~ = (%' i) y su pendiente, es la inversa negativa de -t .esto es m = 5. (par perpendicularidad). Luego, L-·Y-.!=5(x-~) MQ' 2 2 5x-y-1l =0 i1) La mediatriz L NQ pasa por N (3,-1) y su .4(S,I) pendienle m AS 'N(3,-I) es =--r:s= I. catoeam ==-1 Luego, L NQ .> B(I,-3) iii) la inversa negaliva -3-1 : Y + 1 = -{x - 3) luy-2=OI La intersecci6n de L "Q Y L NQ se halla resolviendo eI sistema se obtiene Q=(¥,-t) . f~~yy-=.1; : ~ de IPROBUIMA 0' I L.. "'II' 'I : ar + 3y - 8 - O. 1.,: 3y + 1 O. 1.,: 9y - 25 0 10. l,cIt. . . un Iri....ulo. Kallar lascoordenadasdel ortocentro y el area de dicho triangulo ~ 5x - s"'...., ~ x- -.1., y L, I. arancar lu rectu : ~ y 1 o 813 x 0 4 0 -1/5 Z. InIl:~lar 1/3 0 contienen a L, -, x 0 25 y -25/9 0 las rectas. L, ,,1., = {(I • 2)} == L,,, I., • = {(7. -2)} 1.,,, I., = {(-2. -3)} .-2( 3. EI lll1ocentro eo la interseeci6n de las tres alturas. Bastar4hallar doealturas. digamoo L AM Y L BN a) L";ij pasa par A(1.2) Y su pendienlA: es 10 inversa, con signo carnbiado, de I. pendienlA: de la recta 1.,. Como m3 =- ~ =t es la pendiente de 1.,. entonces fa pendiente de L AM es m~-9, Lueso. LAM: Y- 2 = -9 (x - I) b) LiN < B - (7. - 2) = I . s . porque la pendiente de L, es m2 = "3 m= _1 Luello, LiN: 19x + y - 11 = 0 5 y+2=-!(x-7) = 13.<+5Y-II~01 c) EI ortoeentro P, es la inlersec,i6n de LAij con L BN { 11) P -- (.... 21 I 21 9.< + Y- l l = O esto es. 3.<+5y-II=0 4. EIareadeltrianguloABC es A(T)=(Base);AIlUf"a) donde: BASE = I CB I= ~(-2 _7)2 +(-3+ 2)2 =,f82 ALTURA=d(A.L )=,1-9(2)-25 1 ~. 3 '1+81 Jii Enlonces : .J82fr; A(T) = _ _12_= 21,,2 2 I PROBLEMA 08 1 Dos reetas L1 Y 1-" con pendientes positivas (0 < m, < m,) , se cortan en el punlO A(2 ,4) formandose un angulo, cuya tangenle es La recta L, corta al eje X en el punlO B. lal t. que, la longitud del segmento AB mide 2../13 unidades. Si A, B Y C son los vertices de un triangulo, con C E I-, Y la allura relative al vertice B mide sf unidades y la longitud del segmenlo trazado desde el pie de la altura anterior al v~l1ice C es 4f unidades. Hallar la ecuaci6n de la recta que contiene allado BC . Sol"ri" : 1. Graficar 100 daios, 2. Si y L, L, IAi I= 2../13 ~(b_2)2 +(0-4)2 =2../13 b'-4b+4+ 16 KS2 b'-4b-32 =0 ........ A., (b - 8) (b + 4) = 0 , x • Blegir b = -4 (porquc Ia pendienle de L, es pooitiva). Luego, B = (-4,0) 3, Como tga=t y "'2 "'2-"'1 =.! 1 1+"'1 "'2 ::::> 1m 2 =?, ;::21 ml =~:~=f Entonces la ecuaci6n de I-, es : y - 4 = 2(x - 2) !2x-y=ol 4) Pita hallar la ecuaci6n de la recta L Be' necesitamos un punto y su pendienle. PO' 10 pronlO se conoee el punto B = (-4,0), falta hallar su pendiente, En eltri4nsulo rect4ngulo BMC. recto en M. se tiene : i) IMCj=¥ (Mes pie de la altura BM) iI), IBMI=d(B L2)=12<tl-OI=...1..=SJ;' iiI) Ig9= IBM! =2 iv) Sea m la pendiente del segmento BC. Como m, = 2 es la pendiente de 1-,. • 4+1,fl S IMC! enlOnces'. 2= 1+2M .. -2 ::>m=-J. 3 1 4x + 3y + 16 Luego, LiC: y-0=-!(x+4) = =0 1 IPROBLEMA 091 Por el punlO (0, 10) hacemos pasar una recta de pendiente positi va tal que intersecta al eJe X en el punto A. La distancia de la recta al origen de coordenadas es 2..rs unidades. PO' el punto B(3.6) pasa la mediatriz del segmento AC contenido en la recta. Hallar las coorclenadas de los pumes A y C. SoIlIeM" : I I y 1. Graficar los datos: L 2. La medialriz del segmento AC es la perpendicular que se levanta del punto mediode AC "Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremes A y C del segmento A C ". '.>~.. 1::. ... _~ ··'1 ~ Esto es, I BA I = I BC I La ecuacion sirnetrica de la recta L. es : L :-;+io=I=lOx+ay-IOa=O ... 3. Porque la d«O,OJ,L)=2.[s a 2 =25 a=±5 se elige ,,= -5, porque 1.. liene pendiente posiuva, Asi tenemos : 1..: ~+I~=l =ly=2x+IOJ A = (-5 ,0) y la recta 4, Si C E 1.., entonces C = (x, 2x + 10). Adem.. : - -- IBAI=IBCI ,/64+36 = .J{:-3)2 +(2x+4)2 x 2+2x-15 = 0 = x=-5 v x=3 Elegimas x = 3. As. tenemas C = (3, 16). IPROBLEMA 10 I Una recta L pasa por el punta de intersecci6n de 1..,: 2x - 3y - 5 = 0, Lz: x + 2y - 13 = O. Hallar la ecuacion de L sabiendo que la abscisa del punta de interseccion de 1.. can el eje X es igual al doble de su pendiente. SoIlIe;o" : I. Hallar la interseccion de 1.., can 1..,. esto es, resolver el sistema: I Y 2x - 3y - 5 = 0 { x+2y-13=0 se obtiene A = (7,3) 2. Graficar los datos: ,..L /~(7.J) I ./ T 3. Suponer que "0" es la abscisa de B, punto que L intersects aJ eje X. La pendiente de L es m = ~ =~ a=2\-L) 7-. 4. Segun el problema : 7a-0 2 =6 2 0=0 -70+6 0~(a-6)(-1)20 Se obtiene a= 1. 0=6.Hay dos puntos que inlenlCCtan al eje x B(1,O) y B(6,O). Co"elusio" : a) La ecuacion de la recta L que pasa por B(1,O) y A(7,3) es : = ,-3=t(.-7) !x-2,B b) La ecuaci6n de L, que pasa por B(6.0) y A(7.3) es : ,-3 =3(.-7) =!:U-y-18=01 IPROBLEMA II I Dada Ia recta L: • - y + 1 = 0 y el punto C(4 • -3), haUar dos puntos A y Ben L. que formen con C un triAngulo equilAtero. AdemAs hallar el 6rea del triAngulo So/wid" : 1. Graficar los datos: So pide haUar: A. B y el area del triangulo. y L:J:-y+l=O 2. Porque el lTiAngulo ABC es equilatero, se cumple las siguienles relaciones : ~ / L :; / : :2 , I ~ ··t-<•.-3) 21. . ./3 3 Tg 30· = iii! I - . ; : ~ I Area ;: L 2 4 .J3 t 3. Para haUar el area de un triangulo equilaterc bastard hallar la longitud de un lado del Iriangulo equilatero, ' ICRI Lf . donde ICRI ~ stc , L) _ LJ) _14-(-3)+11 4..r.1.2 --2,f2 Hallando la altura ee IL=t~1 Luego, el ~rca del tri~ngulo equilatero es A (T) 4. La longitud dellado CA es 5. Como A E ICA I ~ 8 -4r. 2 .. 1. ,f2 - =L: ../3 =3;../3 L = t~ L. tiene la forma A = (r .x+ I). ICAI=t../3 Pcro: J(x-4)2+(x+1+3)2 ~t~ x 2 -l§. -3 < x~t../3 (:;3 X=-J"'V'..1 4 y=t../3 +I y=-t../3 +1 B~(-t../3 .-t../3+1) / ConclusiOn: A =(t../3 .t../3 +I ) I PROBLEMA 12 1 L, '1 En I. figura, ABCD es un paralelogramo, el area del triangulo L, :4x +3y - 22 =O. La recta distancia del punloA a la recta L, es pasa pori II • es ABO 1: 1/2 • 2. t) yes perpendicular a la recta L,. Si la hallar la ecuaei6n de la recta que pasa por C y A. SoluciOn: c Se pide hallar la ecuaci6n de LAC <: AC ~'1 = 'I 1. Para hallar B necesitamos coaocer la ecuaci6n de L,< P=(2·t) L, (~ ,":1. 4 Entonces: A ~: y-t=f(x-2) = mj ~: 1- ~) =-t 3x-4y-4=O 4I:+3y-22 =0 2. (B J - L, "La. { 3.o:-4y-4-0 •• d(A, L 1 ) = "t 3. Se Ilene: jot.3(l!.;!)-nl _. < .. reducea II ':4\- 3 , se obticne ' 11 •• = = IB = (4.2)I ( 3k-') La; A = I, - . - . donde A E . homosdelpe)ado "y" de . x- i z.. haciendo 1-4 =3 v . 1-4 --3 1.7 v I - I t) Elep I· I. All obtenemosel punto A - ( 1, 4. Hall., el punto DEL, . a) Como e l " del triAnBuJo ABD. recto en B. IS : A(T)a1f. Haciendo oblcnemos : a = IABI-Jf 1- = 1f ,donde y b = IBDI I.481 = Jf Jib _<_al.t => baS 2 • b) Como DEL.. Intonus D = (I, U;ot ). &10 porqllC de L, bemos despejado y, llaciendo x - I. c) En J(I _4)2 IBDI +(22;~k _2)2 = S, calcular II valorde I. =S = (1_4)2 =9 1-4-3 v 1-4=-3 1=7 v 1=1 I Elllir I = I Yas! obtenemos D = 0,6) 5. NeclsitalllOl hallar II punto C. VealllOS: I < D. O.6) I· Hallar la c<:uaci6n de la recta L DC oc :y-6=i(x-1) Enllm;:es L .. = t (DCI L,) <== 13x-4y+21=01 U•• donde 0.(1.6). C= ( lOCI- T Como ~ (~_1)2-:-(3.t:21_6)2 .Jt (k _1)1. 9 <== k-I- 3 v k -I =-3 k '" 4 v E1cair k= 4 para obIencr 3.t+21) k.-. k =-2 '-C-=-(4-.-11-1I IPROBLEMA lal Sea L, una recta vertical que inteJSeCta a la recta L, en el punto (3.3). Hallar la c<:uaci6ll de L, de pendieme nclllltiva tal que el area del tNngulo formado por las _las Lt. L, Y elejeXe.6u'. SoI.doll : I. GraflCar los dalOS : 2. Si L, tienc pendie"lo ncgativa, e"loneo, su 'ngulo de inclinaciOn tiene mas de 90 grados. y L, 3. Por Ioi datos, quoda definido 01 lti4ngulo rcct4ngulo ABC. recto en B. Si I J " ,,,.,,-< • lIamamos: - IABI=b=3 Y - IDCI='" c1area es: ¥=6 1,,1=4 <== ,,=4 v a=-4 4. Elegi,,, = 4. Mf obtcnelllO' el punlo C = (3 + 4 • 0) = (7 ,0). 5. La eeuacion de L, que pasa por 04(3.3) Y C(7 .0). es : 3-0 y-3=-(x-3) 3-7 = h+4y-21=0 IPROBLEMA .... 1 Dadas las ecuaclones de dos lados de un rectangulo L, : x - 2y = 0, L,: x - 2y + 15 = 0 y la ecuaci6n de una de sus diagonales L,: 7x + y - 15 = 0, hallar los vertices del recl6n,ulo, L, Sol.e/6" : I. Oraticor los datos: L, L, ~ ~ ~ c::LI2J ~ ~ 2. Mirando el grafico podemos percibir que AB es la diagonal. y Los vertices A y B se halla resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones : {A} = L, n L, • {7X + y - 15 = 0 x-2y+15=0 se obliene : ...l"+ ? 7 • • {B} =L,nL, A = (1,8) {7X+ Y- 15 =0 x- 2y =0 se obliene : 3. Haciendo de B = (2.1l pasar por el punto A una recta, perpendicular a L" obtendrernos la ecuaci6n LAC' L~ AC < A =(1.8) l m = -2 . porque m 2 = 2 Luego LAC : Y- 8 = -2(x - 1) = 12.< + Y- 10 = 0 I 4. Haciendo pasar por el punto B una recta, perpendicular a L, se obtiene la ecuaci6n de LBo < 8 =(2.1) L BO m = -2 . porque L- /I L Luego Liii: Y- 1 = -2(x - 2) . 5. EI vertlce {C} = L, n L AC seobtiene C=(4.2) 2211 BD { = AC 12.< + Y- 5 = 0 I x- 2y=O 2x+y-lO=O 6. El vertice {D} =Lz f'\ X - 2Y + 15 = O L BD { 2x+y-5=O seobtiene D=(-1,7) IPROBLEMA J 51 Una recta L, pasa por el pumo (4, -2) Yforma un tri4ngulo isosceles con las rectas L,: y-2=O y Lz: 2:<+y-6=O SoIuci6l1 : J. Graficar los datos: Como el problema no especffica .que lados son iguales?, puede ocurrir!res casos : y ILl L CASOI: si I ACI=I ADI se halla facilmente que B = (6,3). Pues M es J ··C M L, If puntomediode CB, M =(4,2) ICMI=2 y • 0-4=2~ 0=6 ..--. A =(4 -2) En L se tiene .....,. A(4,':2) Enlonces L: y-3=f(x-6) = B = (6,3) ISx-2y-24=ol - -- CASQ:Z: ICBI=ICAI "y A • B m, En el 4ngulo A, si =-2 es la pendienle de y m es la pendiente de L, se tiene : -2- ..... tga = ~ • "." .. , Lz " (I) En el angulo 8, si m, =0 es la pendienle de L, Y m es la pendiente de L. se tiene : tga m-O ==T+'O=m """'''''''''''''''''' (2) 121 Igualar (1) y (2) : Teniendoen L r:-r,;;- - -2-171 _ m = = 1<./5 Z < m= m+Z -r,;:] = III A .(4 -2) seobliene: 1+./5 m - -Z = mZ-m-I=O IY+2=¥~ IBC'-IBAI CASOJ; 'v • B En el 4ngulo C. tenemos m, = 0 (pendiente de L,) y -2 (pendiente de Li) m,· Entonces tgO = • A 0-(-2) I+(O)(-Z) - 2 En el 4ngulo A. se tiene m, = -2 (pendiente de L,) y m (pendiente de L). -2-. Entonces tg 0 = 'j":1';" -Z-.. 4 • Luego. 2 -1-2", - - => m=3 Teniendo en L<A.= (4. -2) m • .i 3 D2 seobtiene: Iy+2=t(.<-4)1 LA RECTA· Qrapo 01 01. Dada, las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo 8x + 3y + I = O. 2x + y - I = 0 y la ecuacion de una de sus diagonales 3x + 2y + 3 = O. determinar las coordenadas de los vertices de este paralelogramo. Rpltl. :(1 ; -3), (-2; 5), (5; -9) y (8; -17) 02. Los lados de un triingulo eSlin en las rectas .r + 5y - 7 = O. 3x - 2y - 4 = O. Tx + Y + 19 = O. Calcular su are. S. RpIIJ. : S os. =17 unid. cuad, EI irea de un tri~ngulo es S = 8 unidades cuadradas; dos de sus venices son los puntos A(1 ; -2), 8(2 ; 3) y el tercer venice C eSI~ en la recta 2l + y - 2 = O. Deterrninar las coordenadas del venice C. c. (-I ;4) RpIIJ.: 0.. 0 C, It; -.If) EI Mea de un triingulo es S = 1,5 unidades cuadradas; dos de sus venices son los punlOs A(2 ; -3) y 8(3; -2) Y el centre de gravedad de este triangulo esui en la recta h-y-8=0. Determinar las coordenadas del tercer v<!rtice C. RpttJ.: 0.. C,(I ; -I) 6 C,(-2; -10) Dadas las eeuacioees de dos lados de un rectAngulo x - 2y = 0, x - 2y + 15 = 0 y la ecuacion de una de sus diagonales Tx + y - 15 = 0, haDar los vertices del rectangulo. RpIIJ.: N. (2; 1),(4;2),(-) ;7)() ;8) Hallar las ecuadones de las rectas que pasan por los vertices del triangulo A(S ; - 4). 8(-1; 3). C(-3; -2) Yson peralel.. a los lados opuestos. RpItI. : Sx - 2y - 33 = 0 • x + 4y - II = 0 , Tx + oy + 33 = 0 . 223 07. Dados los puntos medios de los lados de un triangulo : M,(2;1) , M,(5;3) y M,(3;4), hallar las ecuaciones de sus lados. /lpIa.: oa. 7x-2y-12=O, 5x+y-28=0 , 2x-3y-18=0 Dados los vertices de un triangulo M,(2;1), M,(-I; -I) y M,(3;2), hallar las ecuaciones de sus alturas. 4x + 3y II = 0 , x + y + 2 = 0 , 3x + 2y - 13 = 0 Rpla. : 0.. Los lados de un triangulo se dan por sus ecuaciones 4x y - 7 = 0 x + 3y - 31 = 0, x + 5y - 7 = O. Hallar el punto de intersecci6n de sus alturas. Rpllz. : (3 ; 4) 10. Dados los vertices de un triangulo A(I ; -I), 8(-2; I) y C(3; 5), hallar la ecuaci6n de la perpendicular bajada desde e1 venice A a la mediana, Irazada desde el vertice 8. 1/plIl.: 4x+y-3=0 11. Dados los vertices de un triangulo A(2 ; -2). 8(3 : -5). C(5 ; 7). hallar 1aecuaci6n de I. perpendicular bajada desde e1 vertice C a la bisectriz del Angulo interno del vertice A. x-5=0 Rpl,,": 12. Hallar las ecuaciones de los lados y de las medianas del triAngulo que tiene los vertices A(3; 2) • B(5; -2) , C( 1 ; 0) , / ecuacion del lado AB : 2x + y - 8 = 0; BC : x + 2y I = 0; CA : x y - I = O. La ecuaci6n de la mediana trazada por el verttce A : x 3 ~ 0; por el vertice 8 : x + y - 3 =0; por el vettice C: y =O. La Rp/tL : 1~. Demostrar que la condici6n, segun la cual tres puntos M,(x, ; y,). M,(x, ; y,) y M,(x, : y,) estan situados en una recta, puede escribirse en la forma siguiente: x, X2 x, y, yz YJ II 11=0 I 14. Demostrar que la ecuaci6n de la recta que pasa por dos puntos dados M,(x, ; y,) y M,(x, ; y,), puede escribirse en la forma siguiente : 15. x Y x2 Y2 x3 Y3 Dados los vertices consecutivos de un cuadrilatero convexo A(- 3 ; I), B(3 ; 9), C(7 ; 6) y 0(-2; -6), detenninar el punto de intersecci6n de sus diagonales. Rpta.: 16. ~ 0 ; x + 7y - 16 = 0 ; 3x - 5y - 22 =0 ; x + 7y + 10 = 0 Las ecuaciones de los lados del rectangulo : 2x - 5y + 3 = 0, 2x - 5y - 26 = 0; la ecuaci6n de su diagonal: 7x - 3y - 33 ~ 0 5x + y - 3 =0 es la bisectriz del angulo interne; x - 5y - II bisectriz del angulo externo. =0 es la Hallar en el eje de ordenadas. un punto P de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos M(- 3 ; 2) y N(2; 5) sea maxima. Rpta. : 20. 3x - 5y + 4 Dados los vertices de un triangulo A(I ; -2), B(5 ; 4) y C(-2; 0), hallar las ecuaciones de las bisectrices de los angulos interno y extemo del venice A. Rpta. : 19. / Se dan las ecuaciones de dos lados de un rectangulo 5x + 2y -7 = 0, 5x + 2y - 36 = 0 y la ecuaci6n de una de sus diagonales, 3x + 7y - 10 = O. Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la otra diagonal. Rpta, : 18. (1;3) Dados los vertices consecutivos de un cuadrilatero convexo A(-3 ; -I), B(2 ;2) de un paralelogramo ABeD y eI punto, Q(3 ;0) de intersecci6n de sus diagonales, hallar las ecuaciones de sus lados. Rpta, : 17. Ii ~ 0 P(O ; 11) Hallar en la recta 2x - y - 5 = 0 un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos A(-7; I), B(-5; 5) sea minima. Rpta. : P(2 ; -I) 22S 21. Dada I. recta 2x + 3y + 4 = 0 hallar ecuaci6n de la recta que pas. por el punto M. (2 ; I) y forma un Angulo de 45° con 1arecta dada. Rpta. : x - 5y + 3 = 0 6 5x + y - II = 0 22. EI punto A(-4 ; 5) es un venice del cuadrado cuya diagonal esta en la recta 7x - y + 8 = O. Hallar las ecuaciones de los lados y de la segunda diagonal de este cuadrado. 1lpJD. .. 2~. Ecuaciones de los lados del cuadrado: 4x + 3y + I =0, 3x - 4y + 22 = 0, 4x + 3y - 24 = 0, 3x - 4y + 7 = 0; ecuaci6n de su segunda diagonal: x + 7y - 31 =0 Un rayo de luz va dirigido por la recta x - 2y + 5 = O. AI llegar a la recta 3x - 2y + 7 = 0 se ha reflejado de ella. Hallar la ecuaci6n de la recta en la que eslt el rayo reflejado. RptQ. : 29x - 2y + 33 = 0 24. Dadas las ecuaciones de los lados de un triAngulo 3.t+4y -1 =0. x -7y - 17 = 0, 7x + Y + 31 = O. demostrar que este triAngulo es isosceles. Resolver este problema comparando los Angulos de este triAngulo. 2.. Demostrar que la ecuaci6n de la recta que pasa por el punto M,(x, ; y,) y es paralela a 1a recta Ax + By + C = 0, puede escribirse en la forms siguiente : A(x - x,) + B(y - y,) = O. 26. Dados dos vertices A(3; -I), B(5; 7) del triAngulo ABC y el punlo N(4; -I) de intersecci6n de sus alturas, hallar las ecuaciones de los lados de este triangulo. 1lpJD. : 4x - y - 13 =0, x - 5 =0 , x + 8y + 5 =0 27. Hallar las ecuaciones de los lados del triAngulo ABC. si se dan uno de sus vMices A(1 ; 3) y las ecuaciones de dos medianas x - 2y + 1 = 0 e y - I = O. RptQ. : x + 2y - 7 =0 , x - 4y - 1 = 0 , x - y + 2 =0 ,/ Nota: EI problema se puede resolver por eI metodo siguiente : 1. Se verifica que el venice A no esta situado en ninguna de las reetas dadas. 2. Se hall a el punto de interseccion de las medianas y se sefiala con alguna Ietra, por ejemplo, con M. Conociendo el punto Myel vertice A sc puede hallar 1aecuacion de la tercera mediana. 3. En la recta que pasa por los puntos A y M se traza el segmento MD = AM. Despues, conociendo c1 punto media M del segmento AD y uno de sus extremos A, se hallan las coordenadas del punto D. 4. Se verifica que el cuadrikitero BDCM es un paralelogramo (sus diagonales se dividen entre sf por la mitad) y se hallan las ecuaciones de las rectas DB y DC. 5. Se calculan las coordenadas de los puntos B y C. 6. Conociendo todos los vertices del triangulo se pueden hallar las ecuaciones de sus lades. 28. Hallar las ecuaciones de los lades de un trianguk» si se dan uno de sus vertices B(-4; -5) Y las ecuaciones de dos alturas 5x + 3y - 4 ee 0 y 3x + 8y + 13 = O. Rpta.: 29. ox-5y-13=0, 8x-3y+ 17=0 , 5x+2y-l =0 HaUaT las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de los vertices =0 Y x - Y - 1 = O. A( 4 ; -I) Ylas ecuaciones de dos bisectrices x-I Rpta. : 2x - y + 3 = 0 , 2x + y - 7 = 0 , x - 2y - 6 = 0 . Nota: Si en un Iado de un angulo se da un punto A, el punto simetrico al punto A can respecto a ta bisectriz de este Angulo estara en el otro Iado. 30. Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de sus vertices B(2;6) y las ecuaciones de la altura x-7y+ 15=0 y de la bisectriz 7x + Y + 5 = 0, trazadas desdc uno de sus vertices. Rpta. : 4x - 3y + 10 = 0 , 7 x + y - 20 = 0 , 3x + 4y - 5 = 0 227 ~ 1. Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de sus vertices 8(2; -I) y las ecuaciones de la altura 3x - 4y + 27 ~ 0 y de la biseetriz x + 2y - 5 ~ 0, trazadas desde diferentes vertices. RpI4 : 32. ~ 0 , y - 3 ~ 0 , 4x + 3y - 5 = 0 Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de sus vertices C(4; -I) y las ecuaciones de la altura 2x - 3y + 12 ~ 0 y de la mediana b + 3y = 0, trazadas desdc un vertice. RpI4: 33. 4x + 7y - I 3x+7y-5~O, 3x+2y-IO=0 , 9x+lly+5~0 Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo. conociendo uno de sus vertices 8(2; -7) y las ecuaciones de la altura 3x + y + II = 0 y de la mediana x + 2y + 7 = 0, trazadas desde difercntes vertices. RpIiJ.: 34. , 4x+3y+ l3~0 x + y -7 =0 , x + 7y + 5 ~ 0 , x - By + 20 = 0 Haller las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de sus vertices A(3 ; -I) Y las ecuaciones de la bisectriz .r - 4y + 10~ 0 y de la rnediana 6<+ IOy- 59 =0, lrazadas desde diferentes vertices. 2x+9y-65~O, 6x-7y-25~O, IBx+l3y-41~O Hallar la ecuacion de la recta que pasa per el origen de coordenadas y forma con las rectas x - y + 12 = O. 2x + Y + 9 = 0 un trhingu!o. cuya area es iguat a l.5 unidudes cuadradas. RpllJ. : :17. :9~0 ° RpIiJ.: 36. 7x+9y+ HaHar las ecuaciones de los lados de un triangulo, conociendo uno de sus vertices C(4;3) Y las ecuaciones de 1a bisectriz x + 2y -- 5 = y de la mediana 4x + 13y - 10 = 0, trazadas de un venice. RpIiJ.: 35. x-3y-23~0, x + 2y =0 , 23x + 25y ~ 0 Entre las rectas que pasan por el punto P(3;0) hallar una cuyo segrnento, comprcndido entre las rectas 2l - y - 2 "= 0, .r + y + 3 = 0, St:U dividido por la mitad en eI punto P. Rpla,: Bx-y-24~0 31. Por el punto P(-3 ; -I) se han trazado IOOas las rectas posibles. Dernostrar que el segmento de cada una de elias, comprendido entre las rectas x - 2y - 3 = O. x - 2y + 5 = 0, se divide por Ia mitad en e\ punto P. 39. Por el punto prO ; I) se han lrazado todas las rectas posibles. Demostrar que entre elias no hay una recta cuyo segmento. comprendido entre las rectas x - 2y - 3 = 0, x - 2y + 17 = 0, sea dividido por Ia mitad en el punto P. 40. Hallar Ia ecuacion de Ia recta que pasa por el origen de coordenadas sabiendo que la longitud de su segmenlO, comprendido entre las rectas 4 - y + 5 = O. 4 - y+ 10 = O. eo iguala Rpta. : 41. ../iO. 3x + y = 0 , x - 3y =0 Hallar Ia ecuacion de la recta que pasa por el punto C(-5 ; 4) sabiendo que la longitud de su segmento, comprendido entre las recras x + 2y + 1 = 0, x + 2y - I = 0, es igual a 5. 1lpIs.: 3x +4y -1 =0 • 7x+ 24x -61 =0 fAMILIA DE REeTAS : Gr.,. 01 01. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto de interseccion de las rectas 3x - 2y + 5 = O. 4x + 3y - I = 0 e intercepta en el eje de ordenadas un segmento b = -3. Resolver el problema sin hallar las coordenadas del punto de interseccion de las rectas dadas. ItpUl. : 02. 74x + l3y + 39 = 0 Hallar la ecuacion de la recta que pasa por eI punto de interseccion de las rectas 4 + y - 2 = 0, x - 5y - 23 = 0 y divide por Ia mitad el segmento limitado por los puntos M,(5 • -6) Y M,(-I; --4). Resolver el problema sin calcular las coordenadas del purao de interseccion de las rectas dadas. Rpta.: x-y-7=0 221 011 Oeda la ecuacion de un haz de rectas a(3x - 4y - 3) + p.2.t + 3y - I) = 0, escribir I. ecuacion de la recta de este haz que pasa por el centro de gravedad de una lAmina triangular homogenea. cuyos vertices sean los puntos A(-I ; 2), B(4 ;-4) yC(6;-I) Ilpt&: 04. Dada la ecuacion de un haz de rectas a(3x - 2y - I) + p'4x + 5y + 8) = 0, hallar la recta de este haz que pasa por la mitad del segmento de la recta x + 2y + 4 = 0, comprendido entre las rectas 2.t + 3y + 5 = 0, x + 7y - I = 0 Rpto.: 05. 5x -:- y - 5 (BC) , x - y + 3 = 0 (AC) , 3x - y - I = 0 (CN) Haller las eeaaciones de los lados del triangulo ABC, conociendo uno de sus vertices A(2 ;'L.I) ylas ecuaciones de la altura Tx - lOy + I = 0 y de la bisectriz 3x - 2y + 5 = 0, trazadas desde un venice. Resolver el problema sin caleular las coordenadas de los vertices B y C. Rpta. : :no x -',5y + 13 = 0 , 5x + Y + 13= 0 En el triangulo ABC se dan la ecuacion de la altura AN: x + 5y - 3 = 0; la de la altura BN : x + y - I = 0 y la del lado AB : x + 3y - I = 0, Hallar las ecuaciones de los otros dos lados y de la tercera altura sin determinar las coordenadas de los vertices y de los puntos de interseccion de las alturas de este triangulo. Rpta. : 08. 4x - 5y + 22 = 0 Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto de interseccion de las rectas 2.t + 7y - 8 = 0, 3x + 2y + 5 = 0 con una inclinacion de 45° respecto a la recta 2.t + 3y - 7 = O. Resolver el problema sin caleular las coordenadas del punto de interseccion de las rectas dadas. RpIIL : 07. x-y+I=O Dadas las ecuaciones de los lados de un triangulo x + 2y - I = 0, 5.t + 4y - 17= 0, x - 4y + II = 0, hallar las ecuaciones de las alturas de este triangulo sin detenninar las coordenadas de sus vertices. Ilpt& : 06. 7x+ 19y-2=0 x --' 5y - 7 = 0 , 5x + Y + 17 = 0 , lOx + 7y - 13 = 0 , 09. Dada la ecuacion de un haz de rectas a(2x + y + 8) + ~x + y + 3) = O. hallar las rectas de este haz, cuyos segmentos comprendidos entre las rectas x-y-5=Q x - y - 2 = O. sean iguales a 1lpIa. : ../5 2x + Y + 8 = 0 • x + 2y + I = 0 10. Dada la ecuaci6n de un haz de rectas a(3x + y - I) + ~2x - y - 9) ~ O. demostrat que la recta x + 3y + 13 = 0 pertenece a este haz, 11. Dada la eeuaci6n de un haz de rectas a(5x + 3y + 6) + ~3x - 4y - 37) = O. dernostrar que la recta Tx + 2y -1 5 = 0 no pertenece a este haz. 12. Dada 1a ecuacion de un haz de rectas a(3x + 2y - 9) + ~2x + 5y + 5) = O. determinar el valor de C, para que la recta 4> - 3y + C = 0 penenezca a este lIaz. 1lpIIL : 13. Dada la ecuaci6n de un haz de rectas a(5x + 3y -7) + f1 (3x + lOy + 4) = O. determinar para que valores de a. la recta ax + 5y + 9 = 0 no pertenece a este haz. 1lpIIL ; 14. C = -29 a " -2 EI centro del haz de rectas a(2x - 3y + 20) + /X.3x + 5y - 27) =0 es el vertice de un cuadrado cuya diagonal esta en la recta x + 7y - 16 = O.Hallar las ecuaciones de los lados y de la segunda diagonal de este cuadrado. RpIiI. : Las ecuacioncs de los lados del cuadrado: 4>: + 3y - 14 = O. 3x - 4y + 27 = O. 3x - 4y + 2 = O. 4x + 3y + II = 0; la eeuaci6n de su segunda diagonal: Tx - Y + 13 =0 15. Dada la ecuaci6n de un haz de rectas a(2x + 5y + 4) + /X.3x - 2y + 25) = 0, hallar la recta de este haz que intercepta en los ejes coordenados unos segmentos de igual magnitud (partiendo del origen de coordenadas) y diferentes de cero. Rplll.: 16. x+y+5=0 Dada la ecuacicn de un haz de rectas a(2x + Y + I) + p-x - 3y - 10) ~ O. hallar las rectas de este haz que interceptan en los ejes coordenados segmentos de igual magnitud (partiendo del origen de coordenadas). .".: 17. Dada Ia eeuaci6n de un haz de rectas a(2lx + 8y - 18) + fJ-Ilx + 3y + 12) = O. hall... las rectas de este haz que interceptan en los ejes coordenados triangulos de flea ipaal a 9 unidades cuadrados. .".: 18. x+y+2=0 .x-y-4=0. 3x+y=0 2.o:+y-6=0. 9x+2y+ 18=0 Dada la ecuaci6n de un haz de reetas a(2.0: + Y+ 4) + fJ-x 2y - 3) = 0, demostrar que entre las rectas de este haz exille solamenle una que ella a la distancia d =.JJij .".: del punta 1'(2; -3). Escribir la ecuaci6n de esta recta . 3x-y+I=0 19. Dada la ecuaci6n de un haz de rectal a(2.0: y - 6) + fJ-x Y - 4) = O. demostrar que no hay entre las reetas de este haz una que esle a la distancia d = 3 del punto 1'(3; -I). ZOo Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa par el punlo de interseeci6n de las rectas 3x + Y- 5 = 0, x 2y + 10=0 Y est.i a la distancia d= 5 del punto C(-I ; -2). Resolver el problema sin calcular las coonlcnadas del punta de inlel1leCCi6n de las rectasdadas. .". : 21. Dada la ecuaci6i1 de un haz de rectas a(5x + 2y + 4) + fJ-x + 9y - 25) = 0, escribir las ecuaciones de las rectas de este haz, que junto con las rectas 2.0: 3y + 5 = O. 12.0: + 8y - 7 = 0, forman tri6ngulOi is6sceles. llpIa.: 22. x+5y-13=0, 5x-y+13=0 Hallar Ia ecuaci6n de la recta que pasa por el punto de inlersecci6n de las rectas IIx + 3y - 7 = 0, 12.0: + y - 19 = 0 a igual distancia de los puntos A(3 ; -2) y 8(-1 ; 6). Resolver el problema sin calcular las coordenadas del punto de inlersecci6n de las rectas dadas. llpIa. : ,." 3x 4y + 20=0 , 4.0:+ 3y - 15 =0, A las condiciones del problema satisfacen do. rectas : Tx + y - 9 = 0, 2.o:+y+I=0 Dada las ecuaciones de dos haces de rectas al(Sx + 3y - 2) + fJ,(3x - y - 4) ~ 0, a,(x - y + I) + j3,(2x - y - 2) ~ 0, hallar la ecuaci6n de la recta que pertenece a los dos haces sin derermmar sus centros. 23. Rpta.: 24. Sx - 2y -7 ~ 0, Dados los lades AB, BC, CD Y DA del cuadriiatero ABCD par sus ecuaciones correspondientes Sx + y + 13 ~ 0, 2x - 7y - 17 ~ 0 3x + 2y - 13 = 0, 3x - 4y + 17 ~ 0, hallar las ecuaciones de sus diagonales AC y BD sin determinar las coordenadas de sus vertices. Rpta. : AC. 3x + 8y - 7 = ° Sx- 3y + 7 ~ 0 EI centro del haz de rectas a(2x + 3y + S) + fr-3x - y + 2) ~ 0. es uno de los vertices de un triangulo, dos de cuyas alturas se dan por las ecuaciones x - 4y + 1 = 0, 2x + Y + 1 = O. I1allar las ecuaciones de los lados de este triangulo. 25. Rpta. : 4x + y + 5 ~ °, .r - 2y - I ~ °, 2x + Sy - II ~ ° Grupo 03 WHallense las pendientes de las rectas que pasan par los pares de puntas: a) (2.1), (6,4) b) (-4.2). (8,7) c) (4.3). (-5,-1) d) (1,2), (6,-3) e) (-10,1), (-2,7) 0 (-1,2), (-7,-3) g) (-6,3), (9,-S) h) (-3,-2), (-S,-4) i) (3,-7), (8,-10) j) (2,0). (5,1) k) (0,-6), (-1,1) I) (-7,0), (-4,-4) m) (0,0) , (6,5) p) (-2,3), (8,3) q) (3,4). (3,-S) r) (5,0), (S,-3) s) (a,O), (O,b) t) (a,b), (b,a) u) (t,t),(-1,-i) v) (-3.2,0.1),(1,S.7) w) (../3,S), (-2.,[3,4) x) o,[5.-s.,[3), (10../3 ,6,[5) y) (- s.,[3 , 2.[i) , (- 2.,[3 , s.[i ) z) (.,[3 +,J2 , 3.,[3 - 2../2) , (2.,[3 - 3../2 ,.,[3 - 4../2) mTracese la recta que pasa por el punto dado, cuya pendiente sea el ruimero dado: a) (2.3).t b) (2,3),-i c) (-2,3),-t d) (-4.-5).2 e) (O,-{j),-I f) (4,-3),0 g) (-1.7).-5 h) (0,0), i) (3,-1),-; j) (5,4).,fj t k) (-3.0),,/z-1 mi,CuAl es la inclinaci6n de una recta cuya pendiente es b) -I? a) I? d) .If? e) -,fj c) ,fj? f) _.J3? 3 • ~ Hallense las pendientes de las medianas del triangulo cuyos vertices son (2.6), (8.3). H,-I). ~ Demul!strese que la figura formada al unir en orden los puntos A(-4,5). 8(-1,-2), C(lO,I). D(7,8), es un paralelogramo. ~ Demw!strese que la figura formada al unir en orden los puntos A(3,4), 8(-3,0), C(-4,-7), D(8,l) es un trapecio. mDado W1 fi (xI' Y\ ), P2 (x2 ' Y2), P3 (x, ' Y3 ). Dernuestrese medio de fi P3 e igual a la rnitad de P, P3 . triangulo cualquiera que 13 recta que une el punto ~ Compruebese utilizando pendientes, que los puntos A, 8, C estan en una recta. a) A(-2.-3), 8(2,-1). C(lO,3) b) A(-I,-2). 8(5,2) , C(8,4) c). A(I,I), 8(-4.3) • C(6,-I) d) A(8,9), 8(-1,5), C(-5,l2) e) A(7.-9). 8(-1,5), C(-5.12) f) A(-I,5, --0,8),8(2,5,0) , C(-3,5 • -1,2) 234 !!!I Demu6itn:5c que eI cuadril'lero cuyos vbtic:es son (8,6). (-2.1). (1,5), (-I,-{i) es un trapecio is6s<:cIes. ~ Demu6itn:5c que el cuadril4tero cuyos vertices son (11,8). (6.-2), (-5.-4), (0,6) es unrombo. !!.I Demu6itn:5c que I. ftlCla que pasa por los punlO. (-4,3) y (6,-1) es perpendicular a Ie que pasa per (2.4) y (-2,-{i). !!.I DemoXslrese que Ics Iri4ngulos que tienen los siguientes vertices son rectangalos. a) (6.7), (3.-4). (-1.0) b) (5,-3), (4.4) , (1,0) c) (-2,-17). (-{i.II). (6.7) d) (-2.1), (2.-2). (8,6) !.I Demu6itn:5c que Ics punlO5 (6.3), (3,7), (-5.1), (-2.-3). son los vertices de un recdnguJo. ~ Demu6i_ que 106 puntos (-2,2), (2,5). (5,1), (1,-2) son los vertices de un cuadrado. !J Rillese Ja pendiellle de una recta perpendicular a la que pasa por los punlO5 (3,-2). y (-3,-1). ~ EncUl!ntrese la langenle del 'ogulo que fonna la recta que pasa por los puntos (2,3) y (5.1) con la recta cuya pendientes es t. !!.IRillese la langente del 'oguin que forma 1a recta que pasa por (2,7) y (-1,-2) con la que pasa por (6,4) y (-2,2), !J H'lIese la tangeme del 'ogulo que forma la recta que pasa por (-5,6) y (1,2) con 10 que pasa por (-4,7) y (8,7), !!J Encuentrese la tangente del angulo que forma la recta que pasa por (2,-3) y (2.4) con la que pasa por el origen y por (6,2), ~ Demuestrese que la tangente del angulo que forma la recta, cuya pendiente es m, con eje eje-y, es -11m, !!I Hliliese el 'ngulo que forma la recta que pasa por (2,6) y (4,-1) con la que pasa por (5,2) y (0.3), m ..... ~ as, ... de los angulos del bi:ingulo cuyos vertices son: a) (1,4), (6,2). (0.-3). b) (6,4), (4,-1). (-2,3). c) (--4,3). (5,1) • (-1,--6>. d) 0,2). (7,5) , (10.2). e) (-2,4). (3,1) .(-2,-3). m f) (3,0), (6,3), (-1.5). ... ~. mgu10s de los lrWtgulos cuyos vertices son: a) ($J). (-5.5), (2,-1). b) (0,2), (10,-2), (3,-5). c) (3,6).(4,-1),(-3,0). d) 0,2),(3,6),(7,-1). e) (5,1),(3.-2).(-3.4). I) (-1,2) ,(8.0),(3,4). HI ~ Ia pmdicollc de una (-1.2) y (5.5); a) -t, c) ~ WI WI recta que forme con la que past pur los puntos angulo cuya tangente sea t, b) un :ingulo coya IaIIP'ftlC sea 3np1o de 45", d) un angulo de 135°, e) un angulo de 60". Dos rectas que se 00I1an tiene pendientes m, y m 2 , respectiva..-. IJIamalRse que las bisectria:s de los :ingulos lormados par elias tiene pendieoles: ...,~ -I ± J(mi+l)(m~+I) ...,+~ Clrapo04 Demu&trese anaIlticamente: ~ Las dia&<Jllllles de wi cuadrado son perpendiculares. i2I Las diagonales de WI paraIe1ogramo se bisecan. S.,mda. Co16quese el paralelogramo con un vertice en el origen y un 1880 sobre ele eje-x, de modo que tres de sus vertices, en orden, estaran en 0(0,0), A(a.O), C(c,b). La coorde:nada del cuarto vertice se podra deterrninar. (Los vertices se praentan en el orden OABC). iii Las diaplnales de WI recl:ingulos son iguales. ~ EI pam> medio de Ia hipotenusa de un triangulo rectangulo equidista de los Ires vbtic:es. jJ La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paraIeIa a las bases e igual a la mitad de su suma. ::!l La figura fonnada uniendo en orden consecutive lospnnros rnedios de los.Iados de un euadrihitero es un, paralelogramo, cuyo. perfmetm es igual a la diagonales del cuadriliitero original. SUDia Ide las ru Las rectas que unen los puntos medios de 10. Iados opuestos de un cuadnletero, se bisecan. ill La recta que une los·puntos medios de dos lades opeestos'de un cuadnletero y la que una los puntosmedios de sus diagonajes, se biseean, @ La suma de 10' cuadrados.de las distancias de cualquier punto a do. vertices opeestos de un rectangulo, es Igual a la suma de los cuadradosde sus distancias a otras dos vertices. j[] La suma de los cuadrados.de los cuatro Iados de unparalelogramo es.igual ala suma de los cuadrados de las I diegonales. ill Las rnedianas de 10. Iades.iguales de un triangulo isosceles, son iguales. !D La suma de los cuadradesdc las mcdianas de un.mangulo, es iguaha las Ires cuartas partes de la sumade los cuadrados d. los lados. Resp.-tas GruIlO '03. 01 a) ~ b) g) -t h) I m).i 6 I~' vc) .! 9 iii) _E. y) .If a --:S j) I 1. 4 k) -7 n) _.i oil) 0 t) -I JII) .1 v] .! w} .J] e) f Itl(J' z) 9 J . q) , .1) .l. 6 I) _.! J noexlIte . r) noexillt 9 X ) ~JIS .IS -----n 21'''''+''1 ~ 03 a) 45° b) 135° , c) IlO" d) 30" 15 6 17 11 7 119 21 117°15' !3 e) 3' p) 0 6 s) •J d) -I a) 36°10',67"10'.76-"110' d) 90",33°41',56°'9' 13 I) 150" bb) 90",45°,45 " c) 73°44',53°8',53"8' 0) 76°52',24"27',78°41' II) 39"6'.26°8',114°46' Grapo 05 @ Enconlr... Jo recta que pIS8 po< 10 intersecci6n de las reetas: Tx- 2y = 0 4x - y - 1 • O. yeo papeildicular 0 Ia recta 3x + 8y = 19. y m Hallar los valores de A Y C para que las recta. Ax - 2y - I = 0 y fu - 4y + C = 0 b) sean paralelas 0) Ienpn a610 un punlO comlin c) _ perpendiculares d) sean iguales 0 coincidenles m Si A(2,3) Y B(5,4), enconlrar C tal que el triangulos ABC tenga Area 5 y la bisectriz del anguJoA paseporel punlO 0(3,5). ~ Si y = ax - bef2 ,y = bx - acf2 • y = ex - abf2. en donde a < b < e. son las ecuaciones de los lados de un lriAngulo: a) haJlar los vl!rtices b) probar que el Area es (a - b)(b - e)(e - a)/8 ~ Hallar las ecuaciones de los lados del IriAngulo ABC si B(2,-I), la perpendicular al lado BC es 3x - 4y + 27 = 0 y la bisectriz del Angulo C es x + 21 - 5 = 0 ~ Un triangulo tiene por vertices los pumos A(-l,-l). B(3.3) Y C(5.1). Hallar las ecuaciones de las rectas que: a) contienen a sus alturas b) contienen a sus mediatrices !!J Dos vU1ic:es consecutivos de un rombo son el origen (0,0) y el vMices opueslO alorigen es B. Si el area del rombo es *u 2 punlO A(2,4) y el . Hallar todos los valores posibles de la pendienle de la recta que pasa por A y B. a. I finuIcLD~ 7 DI Bx-3y+5 z 0 D2 a) AdistinlOde3 03 C(I,6) 0 b) AiguaJa3 c) A=-1/3 e(3,O) OS AB: 4x + 7y - I = 0 ; BC: 4x + 3y - 5 = 0 ; AC: y = 3 05 a) y=x. x+y-6=0. 3x+y-12=0 b) x- y-2 =0 • x+ y- 2 =0 , 3:<+y-6= 0 31 01 17 '1 d) A = 3 Y C= 2 , CAPITULO 5 LA CIRCUNFERENCIA 5.1 ECUACION DE IA CIRCUNFERENCIA: FORMA ORDINARIA. A partir de la definicion de circunferencia obrenernos 'a ecuacion de circunferencta. Definicion. III Circunfercncia es eI lugar geomerrico de un punto P que se rnueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo C del mismo plano (ver. fig. 1). ESlO es, ICP: = r . EI punta fijo se llama Centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama RADIO. y P\I'ltoque semue" .pJ r t! u; t 1C(h,t) r:n.rD: I ~ Fig. 2 Fig. 1 ITeorema 1 I h La circunferencia cuyo centro es el punto (h.k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuaci6n. 239 (x - h)'+ (y- k)'= r' FORMA OROINARIA Demos/ration: 1. Sea P(x.y) un punto cualquiera de Ia circunferencia de centro C(h.k) y radio, (fig.2). ICP\=, 2. Por definicion de circunferencia se bene: 3. Pero la distancia de CaP es: ~(x - h)' + (y - k)' (x - II)' + (y - k)' = " 4. Elevar at cuadrado: ICOROLARIO I =, La Circunferencia de centro en el origen y radio r tiene par eeuaci6n: 2 ;,.?tl:::::r fORMA GANONIGA IEjemplo l' Hallar la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es el punro A(-4. -1) Y que es tangente a la recta L: 3x + 2y - 12 = 0 Sol"ci6n: Se pide hallar la ecuacion : (x - h)' + (y - k)' = r' ~ Dehemos buscar (1) el centro (II • k) ~e)radior a) Como dato se da el centro (h. k) = (-4. -I) b) El radio r, 50 halla por distancia: ,= d (A • L) 13(-4)+2(-1) J9+4 2 ""'6 Reemplazar en (I) . (x+4) 2 +(y+1)"-r =-" 13 (x + 4)' + (y + l)' = 52 12 1 26 JJ3 I~jemplo 2,1 Solution: Una circunferencia pasa par los puntas A(-3 , 3) Y B(1 ,4) Y su centr esta sobre la recta: L ; 3x - 2y - 23 .= O. Hallese su ecuaci6n. 1. Hagamos un grafico sirnulado. 2. Debernos hallar el centro y el radio . -~ a) Como CA y CB son radios, entonces B(I.4) ICA I= ICBI c ........ (1) b) Como el centro esta sobre la recta L. entonces tiene 13 forma: L ; 3•. 2y - 23 =0 C=(x, 3X;2J) y=h;:23 I '('" '3 3 )2 =V(x-n-+ I '(,,-23)2 c) Entonces t l j es : V(x+3)"+ +-'-2-- 4 Elevar al cuadrado y reducir ; 44x - 88 = 0 Pur tanto, el centro es C = ( .2 , - "" x =2 1; ) y el radio es : r=lr-ll=~(2+3)2+(_I; -3Y ~~ 3. La circunferencia es : (x _ 2)2 + ( Y + I; ) 2 = 6~9 IEjemplo 3 I Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa par eJ punta A(7 , -5) • Solucion : Yes tangeme a la recta x - y - 4 = 0 en el punta B(3 • -I), 1. Hacer un grafico que simule con los datos que se dan. 2. Necesitarnos hallar el centro y el radio, a) Si C(h • k) es el centro. entonces L:x-y-4=O 1I'lI=.l.= I -I . ICA I= ICB I . porque CA y CB son radios. b) Hallemos la ecuacion de la recta que pasa - por BC. se tiene: punto de paso B(3,-I) { m = -I. porque BC es perpendicular a la recta L. Lueso. L sc : )I+1=-I(x-3) = IX+)I-2 = 01 )I = 2-x c) E _ . el centro C tiene la forma C = (x • 2 - x) porque C E L Be . Ailora, podemos hacer ICAI=ICBI ~(x--7/+(2-=x+5)2 = ~(x-3)2+(2-x+I)2 Elevar aI cuadrado: (x - 7)2 + (7 - X)2 = (x - 3)2 + (3 - x)' 2(x - 7)2 = 2(x _ 3)' x=5 d) Con x = 5, obtenemos: i) EI centro C =(5 ; -3) , y ii) Elradio r~ICAI=~(7-5)2+(-3+5)2=25 3. Conclusi6n: La circunferencia es: (x - 5)2 + (y + 3)' = 8 IEjelllpW 41 Hallar 1a ecuaci6n de la circunferencia cuyo centro esta sabre la recta 6x + 7)1- 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15)1 + 7 = 0 y 3x-4)1-18=0. SoluriDlI : 1. HagBmos un grafico simulando 2. Debemos hallar el centro yel radio. a) Par los datos y mirando el grafico se tiene : - L):lr-4y-18~O - ICPI=jCQI" .... ·" .... ", .... ", .... ", porque CP y CQ son radios, b) Sean (It. k) las coordcnadas del centro C. L. :6:1"+ 7y-16=O (I) i) Como CELl ~ [6h + 7k - 16 = 0 I (2) ii) Ahora, hallemos las distancias: d (C. 1-,.) Y d (C, L,) paraluego igualarlos: d(C.I-,.) = «c , L,) 180+15t+71 _ 130-4<-181 J64+225 - J9+16 180+15t+71 _ 130-4<-181 17 = - 5 SISh+ ISk+71 = 17IJh-4k-lsl·Aplicarlal =Ibl= a=bva=-b = S(Sh + ISk + 7) = 17(3h - 4k - IS) v S(8h + ISk + 7) = -17(3h - 4k - IS) = h-13k-31=0 91h+7k-271=0 v (3) (4) 3. Resolver los dos sistemas formados por (2) y (3). ademas (2) con (4): r 61z+7k-16=0 6h+7k-16=0 { h-13k -31= 0 19Ih+7k-271=0 Al resolver, obtenemos : AI resolver obtenemos : h =3 h = S • k =-2 • k =--'7 4. a) Si elegimos el centro C = (S ,-2) Y 1-,.. obtenemos : r=d(C.~) 18 (5 ) + 15_1- 2) + 7 1 I Asf, la circunferencia es: (x - S)2 + (y + 2)2 = 1 b) Si elegimos el centro C = (3. r=d(C,~) f) Y L 3 , obtenemos : 13(3)-41-+)-181_ 11 < -7 Asi, obtenemos la circunferencia : (x - 3)2 + IEjemplo 51 (Y + t )2 = Ii; Dado el tnangulo ABC cuyos vertices son: A(-1 ,0). B(2. 9/4) C(S ,0). y Se pide : 243 a} Hulhlr la ecuUicidnde Ia circunferencia circunscrita al triangulo. h) Ilullur lu e"uu"i6n de la eireunferencia inscrita al tnangulo c) hLillur lu ccuaci6n de la circunferencia que pasa par las puntos medios de los lados dellri4ngulo. S"/,,cld,. de d) 1. hacer el grafico de los puntos A, B, C. 2. Unir mediante un segmento de recta el punto A con el punto B y el punto B con el punto C. r B 3. hallar el punta medio de AB y el punto media de BC . As' obtenernos : A ~x \:p Ll A+B I) M = -2== ( , ii) N == 8; '- L, "- c- t. i ) ,es el punto media de AB (t, i). es el punto medio de BC 4. Por M lrazar la recta 1-, • perpendicular al segmento AB. 5. Por N trazar la recta L,. perpendicular al segmento BC. Asf obtenemos cl punta P, que es intersecci6n de las rnediatrices L l Y ~, Hamada circuncentro (centro de la drcunferencia circunscrita al trianguto}. 6. Ahara, hallemos la ecuacion de la circunfercncia de centro P = L, n L, y radio r=IPBI 1 .~.) y de pendiente m == i) La ecuaci6n de L J que pasa por M == (-2 • 0-% donde es 3 Y-r = -t(.<-+) = ii) La ecuacion de es L, A ll '"AB=-1-2=4" L,: donde -~ "'" _.1., , "r 132.<+ 24y-43= 01 y que pasa por N 2.-0 (~,!l..) - Y de pendiente m 3 m-=-'-=--' Be 2-5 ,,' : Y-r= = t (.<-f) = 1 32.<-24y-85 =0 I = _-1.=.±,- , m oc iii) P = u r. L-, 32x+24y-43=O = { 32x-24y-85=O => x=2 . y=-t =(2·-t) I iv) EI radio es r = PBI ~ ~(2 - 2)2 +(-t _*Y = ~(,;)2 7. Conclusi6n:lacircunferenciaes (x-2)2+(y+t}=~. Solucioll de b) 1. Graficar : A. B Y C 2. Una circunferencia inscrita al trianguio ABC tiene centro P en la interseccion de las bisectrices interiores (incentro). y B 3. AI trazar las bisectriccs L, y L, se intersectan en P (centro de la circunferencia que se pide hallar). c A 2 3 4 5 4. De P trazar perpendicularcs a los - Asi obtenemos la circunferencia inscrita de centro P y radio Donde: i) P = L, ji) - lados A B Y BC • respecti vamente. r::;; d l P , L AB ). n L, r = d(P.LAii) S. Para obtener P. tenemos que hallar las ecuaciones de las bisectrices L, y L,. i) Para hallar la biscctriz Lit necesitamos conocer las ecuaciones de los lados L AB Y LAC Veamos: LAB:Y-O=t~(X+1) = LAC 0-0 :y-O=T+T(HI) = !3x-4y+3=ol ~ ~ Luego, la ecuaci6n de la bisectriz L, entre 3x - 4y + 3 = 0 3x-4y+3 ±1. I S A Y= O. se obtiene en : . 3x-4y+3 S se obtienen : L, : 3x-4y+3 S v = Y I-x---=-3y-+~ = - Y 3.l:+y+3 = 0 ~bislctriz intlriu' ii) Para hallar la bisectriz L" necesitamos conocer las ecuaciones de los lados L ca y LeA' Veamo. : Y-0=2~5(X-5) Lei: LeA: <==> 13H 4 y - 15 = 0 1 Iy =0 I Luego, la bisectriz L, entre 3x + 4y - 15 = 0 3<+4,-15 5 <==> 3~+4y-IS 5 = ± Y= 0 se obtiene en : A Y )x+4y-IS v -y 3x-y-15=0 v 5 liii[! -.J -.y I = 0 L, J.Io.1iso<1riz _ . L, :x-3y+I=0 iiI) La intersecci6n de 6. Conduwn: { . es.. P = (2. I ) ~:.l:+3y-5=0 Conocidos el centro P = (2. I) Yel radio r, donde r eo la distancia de P ala recta L ca : 3x+4y-15=0. r = ,..\ ..,;_ "'\'~ O' h I, la ecuaei6nde la circunferencia, es : (X-2)1+(Y_1)I= I c) Hallar I. ecuaci6n de la circunferencia que pasa por los puntos medios del triangulo ABC. 1. Ya tenemos los punlos medios: M =( t.t ). N =(f. t) .EI punto medio del lado AC es R =,(2. 0). Z. Debernos hallar el centro C y el radio r : y .) C es la intersecci6n de las mediatrices L, y I.., trazados de los lados MR y UN I respectivamente. Mk I .IN .. :: - Para hallar L, • necesitamos : Iot+R_(l. 'h ~;Z< .2.) 5=-2--"'16 % 2 you pendiente m = -~ =i _iii 3 ! '"iii::: -'-:;-~ t- 2 Luego, .. Y-ii- = t(x-f) l64x-48y-53 = 01 L, - L,: Para hallar 1..,. necesitamos: T = lot; N = ( 2 .l) y SU pendienle m=--.L=--o' ='foo (eo existe). En este caso laecllllCi6nde I.., es Ix=21 '"iiN - Luego, C = L, r. I..,• resolver el sistema 50 obtiene C = ( 2 • ii) Elradio r.es , 64X- 48Y - 53 = 0 { -n-l =ICRI= ~ 3. C."dIlJw,,: La circunferencia es: (x - 2)2 IEjemplo 61 x=2 • +( Y- -n-) 2 = ~. Dos circunferencias C, y C, son coneentncas; el radio de C, es 2./5 Y la recta tangente a C, coria a C, en los puntos 8(8. -10) y C(l2. -2). Hallar las ecuaciones de C, y sabiendo ademas que la abscisa del centro de las circunferencias es mellOrque 10. C,. Solucl6n' 1. En primer lugar; hacer un grafico simulado con el fin de tener mejor idea para resolver el problema. 2. Para hallar la ecuaci6n de la circunferencia C, necesitamos su centro D = (h,k) y su radio r. a) seglin datos : r = 2,[5 b) Para hallar el centro necesilamos: i) Hallar M. punlo medio de BC : B+C M =-2-=(10.-6) iI) La ecuaci6n de L OM es: y + 6 = m (x - 10) Donde m es la inversa, con signo cambiado, de m BC= -81~;22 = 2 • porque DM es per pendicular a BC . Luego, L OM :y+6=-t(x-lO) iii) Como (h. k)e L OM ~ = L OM : !x+2y+2=01 Ih+2k+2=01· .. ·.... ·....·· (I) h =-2k-2 \ iv) Ahora, el centro podemos expresar asf D = (-2k - 2. k). Como el radio de C, es: IDM 1=2,[5 ~r(_-2-k--2---1-0)-:-z-+-(k-+-6)-=-z = 2,[5 Elevar al cuadrado: 4(k + 6)1 + (k + 6)1 = 20 (k+6)z = 4 = k=-4 v U _.. _a -.1 C=(6.-4) v btl JIIIllO It oligo _quo 10. 2411 k=-8 U C = (14. -8) 3. Conciusum: < < D =(6 . - 4J a) La ecuaci6n de la circunferencia C 1 conocidos es: (x- 6)' + (y+ 4)' = 20 r=2,R D=(6.-4) b) La ecuaci6n de la circunferencia C, conocidos cs: (x-6)'+(y+4)'=40 = IDBI ~r(8-_-6--')'-(-_-I0-+-4"7), ~ J40 r = 5.2. FIBMA IIENEWDE II ECUACION DE II CIRCUNRBENCIA ITeorema 21 La grafica de la ecuacion rx':;:y' + Dx + Ey + F = 01 represenla una ECUACIDN GENERAL circunferencia de radio diferente de cero st, y s610 sl ..,.. Las coordenadas del centro son Ii' + E'- 4F > 0 (-~.-f) y eI radio es r= 1JD' + F' - 4F I. Por el Teorema I, la ecuaci6n de una circunferencia de centro (h. k) Y radio r, r » 0 es: (x - h)' + (y - k)' = r' (Forma ordinaria) (I) 2. Debemos expresar la ecuaci6n x' + y' + Dx + Ey + F = 0 en fonna ordinaria. Para ello, completarnos cuadrados respecto a x y respecto a y. asf: x' + Dx + ...... + y' + Ey + ...... = -F 2 , 1 2 1 1. E1 x +Dx+l2: + Y +Ey+L = L+--F y 4 (x+f)' I \ • + (y+1)' 4 , 4 4 D 2+E 2_4F 4 (2) 3. AI comparar la ecuaci6n (2) con la ecuaci6n ordinaria (I). debe ser: h=-f ' k=-1 ' r=1~D'+E2_4F con D'+E'-4F>0 5.1.1 APLICACI0NES: ill Oados tres puntas: A(2. -2). B(-I .4) Y C(4. 6) hallar la ecuacion de la eireunfereneia que pasa por los Ires puntas: Soillcl6n : Hay por 100 menos ues manerBS de resolver. Fprmq 1 Utilizando la ecuaeion general de la eireunfereneia e: "'+y'+Dx+Ey+F=O: e ~ Si BEe ~ e ~ Si A E Si C Restar : E =0 1+ 16-D+4E+F = 0 16+36+4D+6E+F = 0 4+4+2D-2E+F (1)-(2) :{ (I) - (3) : ............ (I) ............ (2) ............ (3) -9+30-6E =0 ~ {-3+0-2E=0 (4) - 44- 20 - 8E =0 -22-0-4E=0 (5) Al resolver el sistema formado por (4) y (5) se obtiene: E =- ~ AI reemplazar en (I) so obtiene F , D =-~ =-~ Coaf/HIMa: Al reemplazar en la ecuaeion general obtenemos : e:x z + / - m 3; x- ~ y-¥=O = Dado la eireunfereneia e: a) hallar el centro y el radio de 25~ + 25y' + 30>: - 6t' +6/- 32>:- 25y- 34=0 20y - 62 =0 e. b) Oraliear la eireunfereneia. c) Hallar Ia Iongirud de la eireuRfereneia, d) Hallar el 4rea del circulo. SoIl1cl6n : La primcro que debera hacerse es eompletar euadrados en la ecuacion : 25'" + 25y' + 30>: - 20y - 62 =0 x 2 + y 2 + JQ. X _ 1!!y_ Dividir entre 25 25 Orden.. x 2_30 X 25 + ...... +y 26 62 25 25 2_l9. y 25 + ······ =0 _~ -25 24 62 X -JX+ ...... + Y -Jy+ ...... =25 .X Forma ordinaria: 269 -JX+E + , • (x-t)2 e + 2 4 4 Y -JY+-g , (Y~tI2 ' =M+.2..+..!. 25 25 25 = 3 R.",••SIiB : a) Mirando Ia forma ordinaria tencmos : -Elcenlroes C=(t.tl - El radio es r = ,{3 b) EJ grtlico es : r c) l(e)=21rr=21r,{3 L d) A( ,i I ~'- .. x ~ LACIlCUNFERENCIA e ) =nr 2 =3". L J WNGm.!D AREA DELCfOCULO 5.2.2 DETERMINACION DE UNA CIRCUNFERENCIA SVJETA A TRES CONDICIONES DADAS. I'ropollclAn. Unacircunferencia queda biendeterminada si se conocen tres puntos si se conocen el centroy el radio. E»IO es : a) Si queremos hallar la ecuaci6n ordinaria de la circunferencia (x - h)' + (y - k)' = ;. , hay tres constantestparametros) arbitrarias : h, k Y r que deberan conocerse. b) 0 Si queremos hallar la ecuaci6n general de 1a circunferencia x' + y' + Dx + Ey + F = 0, hay, tambien, tres constantes arbitrarias independientes : D, E Y F, que deberan conoeerse. IT.or.rna 31 La ecuaci6n de la circunfereneia que pasa por tres puntas dados no colineales I',(x" y,), I',(x,. y,) Y I',(x" y,). esta dada por 1a determinante : x'+i , xI z + YI x y xI y, z , x, y, z z x, y, x, + y, x, + y, IEj.mplo 1 "I =0 I Hallar la ecuaci6n de la circunfereneia que pasa por los tres puntas 1',(4, -I), 1',(0, -7), 1',(-2. -3). Solucwn: Hay por 10 menos Ires formas de hallar la ecuaci6n de la circunferencia Ph 1', Y 1',. Forma I : Aplicando el Teorema 3, la ecuaci6n de z x y I 4 -I 0 -7 x' + Y 16 + 0 + 49 4 + 9 -2 -3 e, es : "1=0 I I'-------Es undd~rminal/te de 4 filas por 4 Co(Um1UL~. e que pasa por .. 2 x , 17 4 -1 1 49 0 -7 1 ,2 + 1 I 13 -2 -) 1 x 2 +,2 . , = 0 , JUtmdo Ia Ira fila con 1a 2da, ,,2 + ,2 -17 .. -4 ,+1 0 ,,2 + ,:i -49 ,+7 0 ,,2 +,z -"13 ,,+2 ,+3 0 x 3ra, ,4ta fila, " " - - . 1_0 Desm'ollmdod detami_ por la 4"" ooIumna, oblenclllOs : ,,2 +,2 -17 ,,-4 _.;r2 +,2 -49 ,+1 '+71- 0 , resIM 1a I" fila con la 2", 3"fiIas: ;r2 +,z -13 ,,+2 ,+3 x ..2 +,2_17 ,,-4 ,+1 )2 -4 -6 1-0 -4 -6 -2 F ~ 2 de Ia 2'" Fila, -2 de la 3" Fila : ,,2+,2_17 ,,-4 ,+1 -(2)(-2) 16 -2 2 3 -3 1-0 Multiplicar la 3" fila por 3 y sumar a la 2" fila; luego, multiplicar -(y + 1) a la 3" fila y sumar a la I" Fila: x'+/-2y-19 x-3y-7 0 22 7 2 3 01=0 Desarrollar por la 3" columna: 2 y- 7 x + y2 -2y -19 x-3 1 =0 => 22 7 Forma 2 i Utilizando la ecuaci6n general Si Sl e: x' +! + Dx + Ey + F = 0 P,ee: 17+4D-E+F=0 e: P, e e: 49' - 7E + F = 0 P, e Sf 17x' + 7y' -22x+52y+21 = 0 I 13 - 2D - 3E + F = 0 AI resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos: D = F=3 Fqrma oJ : -f- ' E= si ' / Hallando dos mediatrices, luego hallando la intersecci6n de las mediatrices (centro de la circunferencia) y luego hallando la distancia dcl centro de I. circunferencia a uno dc los tres puntos (radio). FAMIUlIE elReUIFEIEICIA. 5.3 Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualquiera C, y C, Teorema4 son: C,: C,: x'+!+D,x+E,y+F,= 0 x' ~ y' + D, x + E,)" + F, = 0 I La ccuacion: x' + y' + D,x + ElY + F, + A(x' + y' + D,x + E,y + F,) = 0 I A e IR representa a la familia de circunferencias que tienen sus centres en la recta que une C, y C,. 2114 5A DE RADICAL e" el EJE RADICAL de (;;, y e, es el lugar geometrico de un punlo P que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde P a (;;, y e, . son iguales, Definicion: Dadas las circunferencias (;;, y Ejemplosgnlfreos : En los siguientes graficos la recta L es el ElE RADICAL. /1, o!,icdwln ,I, I ("<.' radical PI: EI segmento de recta C1 C z . que una los centres, es perpendicular al cje radical. P, Las longitudes de los segmentos tangentes a las circunferencias C, y C, trazadas del eje radical, son iguales. EsIO es, IPAl L = IPBI. L L p 'p e, e, Fig. 1 e, e, Fig. 2 e, Fig. 3 Se pueden presentar tres casos. Caso 1: Si (;;, y e, rio tienen ningun punto coman, el eje radical corta al segmento que une a los centros en su punto medio M. Esto es Caso 2: Si e1 Y ~ se cortan cuerda comun. lei MI = 1M Czl. en dos puntos diferentes, su eje radical coincide con su Caso 3: Si (;;, y e, son tangentes entre sf, su eje radical es su tangente comun, ITeoN_ 51 eo son: Si lISecuaciones de dos cilcunferencias 110 conc6nlricIS f. y f,: ~+,'+D,,,+E,y+F,.0 eo: ~+ 1+D,x+ B..,+Fz • O. La eculICi6n del U.llADICAL do f, Y eo CI: (II, - ~ +(•• - ~1 +', - Fa-a 0 n... oslnlddtl: BlSla reslar miembro I miembro. II ecuaei6n de f, menoall ecuaci6n do la ecuaci6n linul (D, - D,)Jt + (E, - Ei)y + F, - F z = 0 . eo. y Ie oblieM • •O.IIB_AII 1UiI1JVBII'II08 IProble_l' Hallu fa ecuaci6n do II circunferencil que paso por el punto A( -8 • 5) Ypor lIS intcnecciones de 110 circ....ferencias : e, : ~+I-8Jt-6y+ 17=0, eo: ~+I-I8Jt-4y+67=0 SoItIfIM : J. La familil de circunferenciu que pasIJI por 110 intenecc:iones de f, y ~ Si A E fA fA: ~+I-b-6y+17+A(~+I-I8Jt-4y+67)= 0 ~ 64+25+64-30+ 17+A(64+25+ 144-20+67) = 0 140+28IU - . ~ .l=-t 3. AI reemplazar III I.oblene_ : ,,2 + y2 -b-6y+17 -t(,,2 + y2 -lb-4y+67) = 0 <== ". eo. es : ,,2 +" +b-&.r-33-0 IProbkma 2 I Hallar la ecuaci6n de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y - 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias : 10,: x'+1'-lIx-4y+ II" 0 y 10,: ..'+1'-4.1:+4y-8 ~ 0 SolarilJ" : I. La familia de cin:unfen:ncias que pasan por las inteneceioneS de las cin:unferencias 10, y 10,... : e. : ..'+1'-8.l:-4y+ 11 +>1 (..'+1-4 x +4y-8) 20 (I +>1)..'+(1 +>1)I+(-8-4>1).>+(--4+4>1)y+ 11-8.1= 0 1. EI centro de C. es C= (h.t). donde h = Siendo D = -I-U , +A . Luego • h=~ I+A • -i- . t ,,-t . E=~ I+A t = 1-1A I+A 3. Como el centro pertenece a la recta 2x + y - 14 = O. entonces : 1-U 4 +1A ) 2 (- + ---14=0 I+l I+A t >1 .. -1 8 + 4>1 + 2 - 2A- 14 - 14>1 = 0 <==> .. 4. AI reemplazaren C 1 : >1 =_l.] ..'+ y' - 8.I:-4y+ 11 - t(..' + 1'- 4.1: +4y - 8)=0 Zx'+2y'-2Ox-16y+41 =0 Notll: Cualquier otra manera de resolver est« problemLl seria muy laboriosa. IProblema 031 Hallar la ecuaci6n de la circunferencia de radio f../2 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias : e, :x' + " + 2x - 6y - 16; 0 y ("~: ~ + " - 6x + 2y ; 0 Sol/lci611 : 1. La familia de circunferencias que pasa por las intersecciones de e,: e, y e" es : ~ + y' + 2x - 6y - 16 + A(~ + y' - 6x + 2y) ; 0 (1 +.!)..'+(I+.!)"+(2-U)x+(-{l+2A)y-16 ; 0 e, 2. El radio de F; -16 es r ;t../D2 + E 2 -4F • donde D;2-6.I ""'i+T • E;~ 1+1 .! .. -I '+1 3. Como dalo se liene el radio r; l.fi;1. '(2-61)2 2 2'V 1+.t t../2. e_os ilualamos : +(~)2 I...... -4(.=!t.) I.'" s.fi ; rh~(2-6A)2 +( _6+u,)2 +64(1T.!) 5../2 (I + .! ) ; .J40.!2 + 1M + 104 . elevar al cuadndo y simplificar : S.!2+ 42.!-27;O <=> .!;-9 , .!=i 4. Conclusi6n: a) con .!; -9 oblenemos: x' +" -7x + 3y + 2 = 0 b) IProblema tu ~ C<HI .!; i obtenemos: ~ +" ... x ... 3y - 10 =0 Hallar la ecuaci6n de la cin;unfc:rcnc;ia que pasa por las intersecciones de las circunferencias ..' + " ... 6x + 4 ; 0, 2 = O. Yque es tangente a la recta x + 3y ... 14 ;0. . ' +" SoIud611 : 1. En primer lugar, graficar los datos para tener una idea del problema . .. Lacircunferencia e,: x'+/-6x+4 = 0 , , - -4 x-6x+ ...... +y , 9 '--4+9 x - 6x + + Y (x La circunferenc:ia -3)' + y' e,: x'- + y' =2 Reela Tangente L: x + 3y- 14 = 0 < < ra<tio r =,J5 centro. = (0.0> radio r = ,j2 = I..' u:ITillJ y ~ Hallemo' 10 inlerSeCCi6n de AI restar =5 centro. = (J.O) e, e, can e, : meno, e, , obtenemos : -6:< + 6 = 0 .. = 1 Reemplazarx=1 ene,: l+l-6+4=0 => l=1 => y=±1 Lospunla,deinler5CCcianeuan A=(I,I) . B=(I.-I) p Secumple: d(C,L) =ICA I y ICAI=ICBI· 0 2.:13 (I) Ih+3X -1 41= J(h _I)' + (k _I)' ,/1+9 y J(h-I)'+(k-I)2 =J(h-I)'+(k+I)' (k - I)' = (k Ik=OI (2) 't I4 ! = J(h 1+9 Rcempluer (2) en (I): + I)' _I)' + I elever 11 eUlldrado : (h~~4)' => (h_14)Z=IO[(h_1)2+ I) 2(h-I)'+1 => 9h'+8h-176-0 => h=4. h=-~ 3. ConeIUli6n: , C = (h , k) z (4 ,0); el radio ea r = I CA I= eircunf_ia II: (.t - 4)' + y' = 10 a) Para b) Para C-(h.k)=(-~ .0) = 051 y la eeuaci6n de la ,elradioes r = ICAI=Jz:-:o y la eeuaei6n de la circunferencia es : ( .. + ~ ) 2 + 11+oblema JiO l = z::o 9..' + 9y' + 8a.. - 106 = 0 Los v~rtices de un cuadrado perteneeen a las rectas L, : x - 7y + 35 = 0 L, : .. -7y-15= 0 L,: 7x + y - 5 = 0 L. : 7.. + Y- 55 = 0 Haller la eeuaci6n de la circunferencia que pasa por los Solllddn: v~ices del cuadrado. 1.< I. Para intuir .1 problema, podemos hacer un simulacro del gnlfico. 2. Se pide hallar la eeuaci6n de la circunferencia e: (.t -II)' + (y h=? • k)' = k=? , r' r=? L, 3. Si la circunferencia e pasa por los vertices A, 8. C y D, bastan' hallar : a) EI centro P, que es punlo medio del segmenlo AC b) EI radio r =1 PAl 4. Hallar (A) = L, ,-, se obtiene C = (I , -2) S. Conocidos A y C, hallamos : a) EI centro P = b) Elradio r=!PA!=5 c) Conclusi6n: , - 7Y+ 3S = O u { 7.1"+y-55=0 e: se obtiene A = (7 , 6) Hallar Ie} = 1.,,-, L. t (A + C) =(4,2) (x - 4) 1 + (y _ 2) 1 = 2S {,-7Y- I5- 0 7.1"+y-5=0 las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los IPro6/.11U1 06 1 Hallar punlos A(4, y 8(-8, -2) y son IaDgentes a la recta -fi) x- y -14 =0 Sol"eilm : 1. Gralicar los datos : Y 1J{-1,-21 2. Hallar el punto medio de AB. que es M = (-2 • -4). PO' M se Iraza L" perpendicular mediatriz) - AB a (so 5. Resolver la ecuacion I CBI = d( C • L) ~r(h-+-8--=)2-+-(3-"-+-4)-=-2= J21 h + 81 llama La ecuaci6n de L, es L1 L1 : y + 4 = 3 (x + 2) ("+8)2 +(3"+4)2 =2("+8)2 (3"+4)2 =("+8)2 3x-y+2=0. pues la pendiente de BA es : -6+2 3"+4=h+8 1 m=""'4"+i""=-J" En la mediatriz L, est4 el centro C de la circunferencia e. Si h es la aboeisa de C y como C E L" ersoeces C = (h • 3h + 2) " =2 " =-3 U U C(2.8) C(-3 • -7) r=d(C.L) 4. Son radios: ICBI=ICA l=d(C. L) donde: - d(C. L) = ,A-(3II+2)-141 'i:i L Jt' =J212+81 =J21-3+81 =IM =sJ2 las citcunferencias son : e,: (x - 2)' + (y - 8)' = 200 = J(h +8)2 +(3h+4)2 =J("-4)2 +(3"+8)2 r=d(C.L) 6. Conclusi6n: ICBI = J(h +8)2 +(3h + 2 + 2)2 ICA I = J(h _4)2 +(3h + 2+ 6)2 v 3h +4 = -h - 8 e, : (x + 3)' + (y + 7)' = 50 OTRA MAMRA DE RESOLVER: Si ah ,11) es el centro. haeer: ICAI = ICBI = d(C.L) =J21"+81 =12 ~ diSlaDCia de C (h • 3h + 2) alarectl L::l-y-l~=O IProblema 07 1 Hallar la tangente del Angulo obtuso que forman las rectas tangentes a la circunferencia ,r + lOx + 7 = O. trazadas desde el punlo A(-S • 4) l- Solud4n : 1. Graficar losdatos: e: Si L es tangente a la circunferencia : ,7-+,'-101+7 = 0 ,7--10>:+ ... +1 = -7 ,7--10>:+25+1 = -7+25 (J-5)' +,' ccnlrO C=(5.0) • e : ,7- + " - 10< + 7 = O.entonccs satisfac. a e. y = 4 + m(J + 5) e: ,7-+ [4+m(J+5»)'-10>:+7=0 = 18 X' +16+....... 5) • •2(.1'+,.2 -10.1:+1_0 r=[i8 =4.2 r Xl .. 16+1_i-4OIII• • J ..- 1 +IOM2.r.1JIIrIo J -IClr+ 1-0 . (1+1II1)X2 +(.... +1~2 -10).1:+40lIl+ 15.12 +2) .. 0 4. La condici6n de tangencia••s que .1 discriminanlC de la ecuaci6n es cern. esto es : -'----"'or,H I-x .2_ . . =-0 (IN. 101,,2 -lO)' _ 04(1+.3 xelll. 1SM;2 .. 13) cO Elevar al cuadrado y simplificar : Se pille hallar IgO= Ig (180" - a) 1. Para hallar a debemos conocer las pendicnleSde loP y IoQ. - Isa=~ !+ . . ~ .n_ 3. Como loP y IoQ 150Il 41 5. En coDSCCuencia. las lang.nlCs son : L ,: y-4=-(J+5) L,: y-4= ta(H5) IaIlgcntcs a la circ"nfetencia. resolvamos d "problema de la laftBCncia" : Sea ... =-1 41 m'+40m-1 : 0 < ... =.1. L:y-4=m(x+5) la m:ta que pasa por.1 punto 10(-5.4). 6. En lup de hallar II a • hallar IgO : Ig8=~ I ..... =~ I I-a Is8 = -j I P el punto donde se inlerceptln la' rectas langentes una IPtobI,lIlQ 08 1 Sea circunfcrencia en sua puntos Q(-I ,9) Y R(7 , S). Si se sabe que el I punto (-3, S) perteneee I dicha circunferencia, hallor Ja ccuaci6n de la circunfcrencil que tiene a! segmenlo RP como di6melro. SoIfldlHr: 1. Orlliear loadatoa : Lueao.f.r,;;j: y-7=2(x-3) r Ih-y+l=ol eo b) Para hall... L ,.. ncc:eaitamos : R=(7,S) Y ... =_....L.. (-3")lf -Ai I l. "S>4......... ~,/ :r 2. Se pide bailor II ccuaci6n de la cir cunfcrencia que ticnc a! ICgmenlO e, PR como diamelrO. Butar6 bailor el punto P, que ea Ia inlersecci6n de II Peru AR es dialllClro de II circuttrerettcia que pasa por los pttntoaA. Q. R. EI trianplo AQR es <Cetangulo, recto en Q. pucstoque m-",-=-I II" QIl . ...•.... (compruebe) langenle PR y L-m' I PI = L;:;; r. L;w I) Pori hillor I. ccuaci6n de la <Cell L I'M . neccslllmoa : < M =.l(Q+R) 1 m=-....L.. "iii Velmos: M .. t(Q+R)=(3, 7) 1ft _ QII .!:.!...._l. -1-7 EnlOllCea ... = 2 . 1 Ademaa el dialllCtro AR es petllCndiculor a! segrncnlo RP y I. pcndienle de AR es: "'_ =1.:.l=Jl=O All 7+3 Entonces ... = -t- 10 no existe, y en consecuenciala ccuaci6nde LPi: co: 1 .. =71 3. Abora, resolver el sistema h - Y+ I = O { x=7 4. Para hallar la ecuaci6n de la circunferencia . La soluci6n es P = (7,15) e, de CENTRO. E(h.k)=1(P+R)=(7.1O) yradio r = tIPRI=tI15-51 = 5,es: ~: (x_7)2+(y_IO)2 =25 IPtobk",a 09 1 1-" Desde el punto A(k + 1.1). k < O. se trazan las rectas L, y tangentes a la circunferencia e:x 2 + i - 4x - 6y + II = O. El segmento determinado pur el punto de langencia T y el punto A mide 3,fi. Hallar las ecuaciones de las rectas L, y 1-,. SobIdtHI : b) EI ponto T. se halla por distancia: I. Gnlficar los datos: d(A.T)=3,fi 1'.: ;-4.1+ ... +1-6,+ ... =-11 (1'-4.1+4)+(/-6,+9)--11 +4+9 e: "'-2'" + d 2 ( A.T) = 18 (y-3f =2 donde y (\) (x.3±~2-(x-2)2) Al desarrollar (I) obtenemos: C.(2,3) (1+ 8±.J19 x=-. • 2. Para hallar las ecuaciones de L, y 1-" se necesitan hallar el punto A y el ponto T. a) Hallar k, aplicando el Ieorema de PitAgoras en el 1ri4ngulo recllingulo ATe. recto en T. IAC!2 = IATI + In::I2 2 Una pareja T, es: T =( 8 +.J19 3 J,1-4.J19 (i _1)2 + 4 = 20 <:::::t= -3 ("<gIrl ,+ 5 5 I ) 3. La ecuaci6n de L, que pasa por A(-2.1) y Tes: L.:)'-l- (i_I)2 +4= 18+2 t=5 = 18 5x 2 -16x +9 = 0 Se reduce en: I.I)A~L, I (H 2) 2 + (2± ~2-(x- 2)2) 2 y"'" H {27 ~/Ji9 _I 8 .. $ -, ... 2 (x+2 ) & . . - IO ) ( . + 2 ) + 1 (~ 10 4. Hallar la ecuaci6n de I-, (Ejercicio). EI puntoA es A = (-2,1) IProblema 10 I • Parabola 9': (y + 2)' = -4(>: + 5) Sean las curvas: VERTICE V = (-5,-2) 4P=-4=>P=-1 t: : ; + y' - 2>: +4y=0 9' : y' + 4y + 4>: + 24 = 0 • Elfoco es F(-5,-3) Sea !e una recta con ordenada en el ongen positiva, tangente a e y per pendicular a la recta de ecuacion. >:-2y+9=0. F es e1 foeo de 9', A es el punlo de inlersceci6n de !e y e, y B es el punlo de intersceci6n de !e con el eje foeal de 9'. i) ji) HaUar la ecuacl6n de !e. Hallar el4rca dcllri4nguJo FAB • Ahora, hallemos el PIll1Io A = e rv L CA • Porque CA es radio de y It es perpendicular a L" entonces CA es paralelo a la recta L,. • La ecuaci6n de la recta que pasa por C(I,-2) yes paralela a es: .t CA :y+2=1(>:-I) L,. y=1(>:-1)-2 Solutl611 : Graficar los dalos: e ...... (I) • Para hallar el punto A, rccmpla2ar (I) ene: (x_I)2 +[1(x-I)-2+2]2 =5 . x=3--+y=-1 >:= -I Entonces A = (3.-1) " ~ % • Circunfcrcnciae:(>:-I)'+(y+2!'=5 CENTRO: C(I,-2) IProblema 11 I • La ecuaci6n de la recta que pasa por el punlo Ayes tangente a e, es: .£ : y + I = -2(>:- 3) 2>:+y-5=0 X- 5 i) B = I!JEfOCALf"IL: _ { = (-5,15) 21'+,-5-0 ii) Entonces el area del triangulo FAB,es: -5 15 I ,{reo=11- 5 -3 11=72,u2 3 -I I Hallar la ecuacion de la circunfcrencia tangente a 3x - 4y -' 4 = 0, en (0, ·-1) Yque contenga al punto (-2, -9). Solaewn: 1. Graflcar los datos : 4. Como CeL,=> C=(h.-1h-l) L:3s-4y-"~O -=-:t=t 5. EI radio es r -2 Jill + =1 CA I =I CHI. esro es: (-th-I+J)1.J<It..2)1 Jl2+~h2 .. (h+2)1 + + {-th-I1"9)1 (a-t lt )2 AI simplificar, obtenemos : h =# 6. Entonces, el centro es : C=(1! 13 9 _ll) 13 EI radio es : 2. Se tiene como datos: • AlO.-I)ee • A eo el punlOde tangeneia • La recta L es tangenle a e en A • 8(-2. -9) e r= =JW-0)2+H~+1)2 e = 3. EI centro C=lh.l) pertenece a la recta L, que pasa por A y su pendienle es ml =: ICAI J7225 169 7. La circunferencia, es -t. e.. (x _11.)2 +(y+!!)2 = 7225 13 /3 169 Luego, L,: y+I=-1l x -0) y=_.i3 x _1 IProblema 111 Halle una ecuaci6n de la circunferencia inserita en el triangulo cuyos lados son las reetas 4.<- 3y =0 • y=0 . 4x +3y = 8. I 501l«i6" : 1. Graficar las rectas : L3 :y-o AV"--" " '/""f' I JI: 217 2. Para hallar la ecuaci6n de la clrcunferencla neeesitamoo el centro C(I.,. I 'Y el radio r. III centro de una circunferencia inlerlta en eI triAngulo ABC. es la 4...+3y-8 _ ~16+9 - h - y -4 =0 v l!sla bisntri: Inleraecci6n de las bisectrices : ± y 11 4x + 7y - 8 = 0 AN-----1 I' = LAii"" LeN 41:-7,=0 El radio , = distancia del centro I' a c) (PI es Ia IOI""iOO de { 4>+ 7y -a = 0 uno de los lados del tri4ngulo. , = d (I', L ,) a) La biseclriz AM se obtiene en : 4.x-3Y d) ,=d(I',L _ :t ' J'6+9 - 7i , 4.-3, = Y 4 x -7y = 0 L" b) P=(I,t) seobtiene: )J 4(1 )-3(. ll 5 1 • .11 35 v 4.-3, =_y v 2x + y = 0 3. La circunferencia os : 5 e. ("_112+(y_t)2.~ III bi,,,'riz in"rio' AM La bisectriz AN, se obtiene en : IPro6I4m/i 13' Dada la circunferencia x' + y' - 6>: - 2y + 6 = 0 • determine los valores de la pendiente m para 100 cuales la recta y = InK + 3 : a) corta a la circunferencia en dos puntas diotintos. b) eo tangente. e) no tiene punto en coman con la circunferencia. Adernas, en b) indique 100 puntas de intersecci6n. Soluti61t : a) Si la recta L: y = InK + 3 corta a la circunferencia e :x'+ y' - 6>:- 2y + 6 = 0: entonces, a1 reemplazar L en obtenemos la ecuaci6n cuadratica : ZlII x' + (.... +3)' - 6>: - 2 (InK + 3) + 6 = 0 x'+m'x' + 6mx+9 - 6>:-2",>:- 6+ 6=0 e (I + ..')x' + (4m - 6) x + 9=0 ' El discriminante h' - 4ac debe ser posiuvo : h' -4ac =0 m(5m+\2)=0 (4111-6)'-4(\ +",')(9) > 0 m=O v -20m'-48111 > 0 51/1' + 12m < 0 //I (5//1 + 12) < 0 _1.'11, La recta Les: .v=3 v .v=_l1 s x+3 0 Los puntos de tangeneiason: ~ + - m=-ll s (3.3).(:i. IJJ)' + me}-1p! b) Si la recta L es tangente a la eireunfe c] //I E ]-oo.-.!f[ u \O.+oo[ e. rencia entonces el discriminante es cere, esto es, IProblema J4l Hallar la eeuaci6n de la circunfereneia que determina sobre los ejes coordenados X e Y. segmento de 3 y 6 unidades de longilud. respectivamente, y cuyo centro esta en el primer cuadrante y pertenece a 1arecta L: y =2x , SoI.cw" : 3. EI radioes r= d(C .A)=d(C. BJ 1. Grafiear los datos: Resolver: L:y=2x .uc .A) =d (C ,1J) .J(h-3)~(2h-ol= ~(I,-O)' +(21,_6)' (h-3)' +411' =h' +(21,_6)' " =' 4. El centro es C=(t.3) J Sea e: (x - Elradioes r=d(C.A)=.J¥ 11)' (y - k)' = r' Debemos hallar el centro (Il.k) y el radio r. E e. B(0.6) E e Si el centro C = (h • k) eslt en la recta L: y 2.<. entonces C (h. 2h). = Entonces: e . (x-f)'+(y-3)'=;f !. Segun el problema: A(3.0) t = 1~/tmaJjI Hallar la ecuaei6n de la eireunfereneia que es tangente a las rectas x + 2y =O. 2x- y ;:: O. Y su centro se encuentra en el segundo euadranIC sobre la recta x - y + 3 = O. Sol. . . . : 3h+6 .. h-3 v I. Graflear q dlltos : h=-t ]I L:x-,+3-0 3h+6=-h+3 h=-t v .l: .. -1.+3 4 .l: = -t+3 =-t =14 Haydos soIuciones: ... SieleemroCl C=(--t.t) Y ,..I (;)-lL..lL=3 f . , • .jj 2 2. Debemos hallar el cemro (h.f) Y el radio r, La eirellnferencia del problema es Veamos: a) si C(h.l) en"""'.. C e , (x+t)2 +(y-t)2 =1l L: .r - y + 3 z 0 y .. .r+3 E z (h • h + 3) 5. Sielcenlroes C(-!.-tl y ,..!2(1H1. 3Ji . s 3. EI radio e. 2 r =tl(C. L I ) 1"""~\"T"n : z tl(C • L 2 ) La cin:unferencia es: ,--,,, .... ,,,, C:(.x+!)2 +(y+%)2 = ~ . 13h+61=lh-31 IPtobl_l'l Hallar la ecuaeiOn de una eireunfereneia con centro en el vriaen de coordenadas y que es langenle a I. eireunfereneia de ecuacioo ;+ l-4x+ lOy+28 =0. So/uew" : 2. Se pide hallar Ja ecuaci6n de I_ circunferencia de centro en (0.0) y radio r= 't 1. Oraficar los datos : La circunferencia e,; ~+ y' -4.>+ 10,+28 = 0 e, : x'+lc,' ~-4J<+ ... +y'+IOy+... = -28 ~-4x+4+y'+IOy+23 = -28+4+25 r + I = d «0,0) • (2. -$» 3. Pell>: (x-2l'+ (y+$)' • I r +I.J4+2$ y e '=&-1 .,0,0) 2 4. EnlOllCCl: e,: Jl2 1"""- 17 1 punto HalJar 1a tansente _ la circunfeteno:ia (11 .4). + i = ( & -I) 2 x' + y' - s.. - 6y = 0 en el SolIldM : La recta que paso por eI punlO.( 11 .4) y de pendielllC m eo : L:y-4~"'(Jl-11) = y=4+"'(Jl-11) Si L eo tanselllC _ I_ ein:unferencia e: x' + y' - Ilx - 6y = O. x' + [4 + '" (x- II))' - s. - 6 [4 + '" (Jl - entonees: II») = O. bene dilCrimillUlle i....l. eero, y_: x'+ 16+ .... (Jl-11)+IIl'(Jl-11)'-1lx-24-6In(Jl-11)=O La ccllllCi6nse reduce. : (I + ",') x'- 2 (11",' - m + 4).t + 121 Ill' - 22m - 8 = 0 EI discriminanle: b' - 4ae = O. esto es : 4(11",'-",+4)'-4(1 +",')(121 ",'-22",-8) = 0 12",'-7",-12 = 0 (3", - 4) (4m + 3) = 0 < { m=4{3 m~-3 4 Z71 La. rectas tangentes son : COllc/addll : L: y=4+t(x-ll)= 4x-3y-32=O L: y=4-t(x-ll)= 3x+4y-49=O IProblema 18 I Encontrar la ecuaci6n de una circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (-I. I) Y cuyo centro penenece a la recta de ecuaci6n x - 3y - 11 = 0 . So/ac/dll : 1. Hacer un gr6fico simulado con los datos: LP\:.-3Y b) Por definici6n de radio: d(C .A) =d(C, B) .1(2,3) - II =O J(JI: +11- 2)' +(t _3)' = J(JI: +11+1)' +(t _1)' (JI: +9)' +(t-3)' =(JI: + 12)' +(t _I)' (-I.I)BV Desarrollar y simplificar : se obtiene 1. Se pide hallar Y e: (x _ h)' + (y - k)' = r' Para ello, debemos hallar cl centro C = (Ii, k) Y el radio r: Elradioes Veamof: a) Como el centro (h,k) € L, entonces: h-3k-II=O h=3k+11 k = _ ss =-~ 22 2 h=22 r=J(t-2)2 +(-t-3)2 r 2 = .ull. 4 3. Conclusi6n: e . (x-tY +(y+t)2 = ':' Enlonces C = (3k + II, k) IProblema 19 1 a) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia : e: +y'- 2x + 4y = 0 que son perpendiculares a la recta L, :x-2y+9=O x' b) Hallar el punto de tangencia. Solucilm: 2" EI discriminante L=1 [-2 (2b + 5)]' - 4(5) (b' + 4b) = 0 L. :x-2y+9=O -, ,",=-~=t 4 (2b + 5)' - 4(5) (b' + 4b) = 0 (2 b + 5)' - 5(b' + 4b) = 0 -b'+25 Se pide hallar la ecuaci6n de L, que es perpendicular a L, y tangeme a la circunferencia e. I) Porque L,l. L. la pendiente de L es m = -2, luego la ecuaci6n de L, es : L: y = -2x +b =0< b=~ b =-5 3) Las tangentes son : y=-2x+5 , y=-2x-5 b) Los punlos de tangencia resolvieado los sislemas : 50 obtienen Y= - 2x + 5 { x'+y'-2x+4y=O e, enlonees el discriminanle de la ecuaci6n 2) Si L es tangenle a se obtiene: P = (3, -I) x' + (-2x + bj' - 2x + 4 (-2x + bj ~ 0 ... (OJ {x'+y'-2x+4y=O y = -2x - ~ es cero, I" limplificar la ecuaci6n ( 0 ) : se obtiene : Q=(-I,-3) x'+4x'-4bx+b'-2x-1Ix+4b = 0 5x' + (- 4b - 10) x + b' + 4b = 0 5x' - 2 (2b + 5) x + b' + 4b = 0 IProbk",,, 20 I Determinar la ecuaciOn de una cireunferencia tangente a los ejes coordenados y cuyo centro pertenece a la recta que pasa por los puntos (2 • 3f2) Y (0,3). Soht.iD" : 1. Gnfi.... los datos : Se pide hallar y e. (x _ h)' + (y _ kj' = l <C(h, kj = ~ r =7 Veamos: I >... ................ ... x a) El eje X (y = 0) es tangente a e b) El eje Y (x = 0) es tangenteae" 0) La recta que pasa por (2, 312) y (0,3) es L: )' - 3 = 2. Bl centro (h,k) e L,enlonces k =-th+3 3. Elradio es r l-th + 31 = Ihl 4 v -.lh+3~-h 4 h=Jl v h--12 7 Hay dos solUl:iones: h=¥,obtenemos k =-H¥ )+3 ¥ Asl tenemos : a) EI centro C ¥,¥) z I) 51 z ( b) Elradio Lacircunferenciaes i{) r= ¥ e. (x_¥)l + (y_¥)l = I:: Si h--12,oblenemos k=-7(-12)+3=12 Asl tenemos: c) EI centro C = (-12,12) b) EI radio r = 12 La circunferencia es e: (x + 12)' + (y - 0_~ (x - 0) y=-tx+3 = d(C ,eje Xl = d(C, eje y) <== _lh+3=h 3-~ 12)' = 144 . " . " . •. [ :_ . .~~ ~~';i! r ,.. .&'m~ 01. .' . ' >... .t""/"~ ~, - '~""'C' ._ ICIRCUNFERENCIA I (.. _5. 2 +(y+ 2)2 = 20 y (.. _~)2 +(y-f Y=20 Hallar la ecuaci6n de la circunferencia que. teniendo el centro en la recta 2.< + y = 0, es tangentea las rectas 4.1:10= 0 , 4.. 30= O. 3y+ Rpt& : 03. ~ Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan par el punlo de A( 1;0) y son tangentes a las dos TC<:1as paralelas : 2>: + Y+ 2 = 0 . 2>: + y - Ig ~ 0 , RpIa.: 02. ~ ....,'. (x - I)'. (y 3y- + 2)2 = ~.~ HaJlar las c<:uaciones de las circunferencias que son tangentes a dos rectas concurrentes: 7.. - y - 5 = 0, x + y + 13 = 0 y, a una de elias, en el punto M,O ; 2) RpIa. : 04. ( x - 29)' (y + 2)' = 800 (x-2)1+(y-1)2=5 y ( x -~)2+(y+1'-Y=~ Hallar las ecuacio.... de las circunferenciali que teniendo sus cenlroS en 1a recta 4.. -5y-3=0 sontangentes a las re<:1as 2>:-3y-10=0. 3.. -2y+5=0 Rpta.: 06. y Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan par d. origen de coordcnadas y son tangentes a las dos rectos concurrentes: .. + 2y - 9 = O. 2.<-y+2=O. RpIa.: 05. (.. + 6)' + (y - 3)' = SO (x_2)2+(y_I)1=~~. (.. +8)2+(y+7)1~~ Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por 01 punto A( -I ; 5) Y son tangentes a las dos reetas concurrentes: 3x + 4y - 35 =O. 4x + 3y + 14 =0 Rpla.: (x-2)'+(y-I)2=25 y (x+~;l'+(y+,::12=(.wY 07. H.llar I.. ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las Ires recta. : 4.<-3,,-10=0. 3x-4y-5=0 y 3x-4y-15=0 ",.: 01. {H.If)2+{y+lf)2=1 Y {x_J~Y+{y_t)2=1 H.II.r I•• ecuaciones de las circunferencias que son tangente. a las Ires rectas : 3x + 4y - 35 = 0 • 3x - 4y - 35 = 0 y x - I = 0 Rpm.: 09. i (x_5)2 + {x-..lf Y = 16 • (HI5)2 + y2 =256. {x-..lf)2 + b - , +{y + ~Y = Y= {1f Y y (1f)2 i.Qw! ecuaciones de las expuestu a continuaci6n detenninan circunferencias? Hallar el centro C y el radio R de cada una de elias : I) (x - 5)2+ (y + 2)2 = 25 ; 6) ~ + 1-2.l + 4y+ 14 =0 l 7) ~+I+4.<-2y+5=0 3) (x - 5)2 + (y + 2)2 = 0; g) ~+ l+x=o 4) ~+(y_5)2=5; 5) x2 + l- 2x + 4y - 20 = 0 ; 9) ~+I+6r-4y+14=0 2) (x + 2)2+ Rpm. : = 64 ; 10) x 2 +l +y =0 Las ecuaciones 1).2) .4).5).8) Y 10) determinan circunferencias ; 1) C (5; -2) • R = 5 ; 2) C (-2;0) • R = 8 ; 3) la ecuaci6n determina un punto unico (5; -2); 4) C(0;5). R =..[5; 5) C(I ; -2). R = 5; 6) la ecuaci6n no determina en el plano ninguna figura geometrica ; 7) la R= ecuaci6n determina un punto unico (-2 ; 1); 8) C (- t; 0) . t; 9) la ecuaci6n no determina en el plano ninguna figura geornetrica ; 10) C (O; - 10. Hallar la ecuacion del diimelro de la circunferencia ~ + l + 4x - 6y - 17 = O. que es perpendicular a la recta 5x + 2y - 13 = 0 RpItL: Z7I t) ; R = t 2x.- 5y + 19 =0 11. Deterrninar las coordenadas de los puntos de interseccion de la recta 7x-y+ 12:0 ylacircunferencia (x-2)'+(y-l)':25. Rpta.: 12. Y M,(-2;-2) Determiner para que valores del coeficiente angular k la recta y: kx I) corta a Ia circunferencia :l- + / - lOx + 16: 0 2) e. tangente a esta circunferencia; 3) pasa fuera de esta circunferencia. Rpta. : 13. M,(-I ;5) Ikl<2 4 I) .• 2) k :±2 4 3) Ikl>2 4 Dada la ecuacion de un haz de rectas a(x - Sy + 30) + P(x+ 5y- 22): 0 • hallar las rectas de este haz, en las que la circunferencia :l- + / - 2x + 2y - 14: 0 intercepta cuerdas de longitud 2,[3 Rpfa. : 14. 2x - 3y + S: 0 , 3x + 2y - 14:0 Dadas dos circunferencias (x - m,)' + (y - nIl' ~ R ,2 • (x - m;)' + (y - 0')' ~ R i. que se conan en los puntos M,(x, ; Yo) Y M,(x,; y,), demoslrar que cualquier circunferencia que pasa por los puntos M I , M" Y tambien la recta M j M, • se pueden determinar por una ecuacion de la forma [ 2 2 2] +P [(x-mz) 2+(y- 0 2 ) 2-R 22] ~ 0 a (x-tnl) +(y-o,) -R, eligiendo adecuadamenle 10. numeros a y 15. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto de A( I ; -I) Ypor el punto de interseccion de las dos circunferencias :l- + / + 2x - 2y - 23 ~ 0 . x'+/-6x+ 12y-35~0 RpItI.: 16. P. :l-+/+6x-9y-17~0. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersecci6n de las dos circunferencias: (x + 3)' + (y + I)' ~ 25. (x-2)'+(Y+4)':9 RpItI.: 13:l-+ 13/+3x+7Iy:0 17. l Caleular II dillaneia del eenlro de la eireunfereneia ,.) + = 2x a la recta que pasa por el punto de interseccion de las dos eireunfereneias: ,.) + + '-' - 8y + I = 0 • .x' + 1<+ 7y - 25 = 0 l Rplo. : 18. X-21+5=0 3x - 4)' + 43 =0 MI (- ~ ; i) ; d =2,fS El punto MI(x, • )',) esta en la cjrcunferencia ,.). tangente aesta circunferencia enel punto MI' 1Ipto. : 24. en el punto Haller en la circunferencia 16.<' + 161 + 48.< - 81 - 43 = 0 el punto M, mas proximo a la recta !l.< - 4y + 73 = 0 y calcular la distancia d del punt" M, a esta recta. RpIO. : 23. l =5 Hallar la ecuacion de I. tangente a la circunferencia (x + 2)' + (y - 3)' = 25 en 01 punto A(-5 ; 7). Rpta. : 22. (x+3)'+(y-3)'= 10 Hallar la ecuacion de la tangente a la eireunferenda ,.) + A(-I .2). RpIO.: 21. 10 EI centro de una eireunfereneia estA en la recta x + y = 0 . Haller la ""uacion de eata eireunfereneia. si sabe que paso por el punto de interseceion de las dos eireunfereneias: (x - I)' + (y + si = SO, (x + I)' + (y + Ii = 10 Rpta.: 20. 2 Determiner la longinid de la euerda coman a las dos eircunferencias : ,.)+/-lo.-IOy=O . ,.) +Y + 6:<+2y-4O = 0 Rpta. : 19. l- XIX + 1= R1 Hallar I. ecuacion de la YIJ :; ~ EI punto M,(x, ; YI) estA en la eireunfereneia (x - a)' + (y ecuaci6n de la tangente a esta circunferencia en el punto MI' Rpta. : (x, - a) (x - a) + (Y, - fJJ (y - fJJ =H' fJJ' .~ H' . Hallar I. 25. Determinar el angulo agudo formado poria intersecei6n de la recta 3x-y-l =0 Yla eireunfereneia (x - 2)' + l = 5 (se llama angulo formado por una recta y una eireunfereneia at angulo cornprendido entre la recta y la tangente a la circunferencia trazada en el punto de interseccion), Rpla.: 26. 45° Determinar el angulo formado por la intersecei6n de las dos circunferencias : (x - 3)' + (y - 1)' = 8, (x - 2)' + (y + 2)' = 2 (se llama ~ngulo formado por dos eireunferencias al ingulo eomprendido entre sus tangentes en el punto de interseccion), Rpta. : 27. 90° Dedueir la eondiei6n segun la eual dos circunferencias (x- a,l' + (y - P,)' = R ~ • (x -a,)' + (y -/h.J' = Rise cortan, formando un angulo recto, Rpta.: 28. (a\-a2)2 +(Pt-P2)2 =R~ +Ri Demostrar que las dos eireunferencias x' + i - 2mx + 2nY-nl' +n'=O x' + l-2nx+ 2my + m' -n' = 0 se cortan, formando un 4ngulo recto. Rpta. : 29. Desde el punto A ( x' + i Rpta. : 30. han trazado tangentes a la eireunfereneia = 5. Hallar sus ecuaciones, x - 2y - 5 = 0 y 2x - y - 5 = 0 Desde el punto A( I ; 6) se han ltazado tangentes a la cireunferencia 19 = O. Hallar sus ecuaciones. 2x+y-8=0 y x-2y+ II =0 Se da la eeuaci6n de un haz de rectas a(3x + 4y - 10) + jJ(3x - y - 5) = 0 . Hallar las rectas de este haz que son tangentes a la eireunferencia x' + l + 2x - 4y = 0 Rpta.: 32. se x' + l + 2x Rpla.: 31. t.-t) 2x + y- 5 =0 . x-2y =0 Desde el punto A(4; 2) se han trazado tangentes a la eireunferencia Determinar el ingulo formado por estas tangentes. Rpta. : 90° x' + l = 10, 33. Desde el punto P(2; -3) se han trazado tangentes a la circunferencia (x - 1)2 + (y + 5)2 = 4. Hallar la ecuaci6n de la cuerda que une los puntos de contacto. Rpta. : 34. 1 Desde el punta C(6 ; -8) se han uazado tangentes a la circunferencta r" + =25 Calcular 1adistancia d del punto C a la cuerda que une los puntos de contacto, RpIIJ. : 35. x + 2y + 5 = 0 d = 7.s Desde el punta P( -9 ; 3) ~+ 1-6x+4y-78 = O. se han trazado tangentes a la cireunferencia Calcular la distancia d del centro de la circunferencia a la cuerda que une los puntos de contacto. ."..: 36. d=6 Desde el punto M(4 ; -4) ~+l-6x+2y+5=O se han uazado tangentes a la cireunferencia Calcular la longitud d de la cuerda que une los puntas de contacto, Rpta. : 37. Calcular la longitud de la tangente trazada desde el punta A(I ; -2) a la circunferencia ~ + 1 + x - 3y - 3 = 0 Rpta. : 38. 3 Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia ~ + que son paralelas a la recta 2x + y - 7 = 0 RpItJ. : 39. d = ,flO 2x + y - 1 = 0 y 1 + Uk - 2y + 6 = O. 2x + Y + 19 = 0 Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia ~ + que son perpendiculares a la recta x - 2y + 9 = O. Rpta.: 2x+y-5=O 1- 2x + 4y = O. ~ Hallese la ecuaci6n y tracese la grafica de una circunferencia que pasa por los puntos: 01 (6,0) , (0,4) •(0,0) 02 (4,0) , (0, -2) , (4 •-2) 03 (2,5) , (9, 6) , (3 , -2) 04 (5,12), (13,0), (-12,5) OS (6,0), (-I, 7) , (-11 , -7) 06 (I, -2) , (3,0) , (--<i,O) 07 (3,4), (-II, 6) , (I, -10) 08 (3,2) (-1,2), (1,1) 09 (10.2) , (5,4) • (-5,8) 10 (17,19) (-14, 2). (-10,10) 11 (1,3), (2 .-2), (5,1) 12 (1,7). (-2.8), (2,6) Hallese la ecuaci6n de la circunferencia circunscrila en el triAnguio cuyos vertices son: 14 13 (10.9) •(-4,11), (--<', -3) IS Hallese 1a ecuaci6n de la circunferencia circunscrila en el triAnguio cuyos lados esllin dados por las ecuaciones: :<+7y -30=0 • (I , -5). (26,0), (18 , 12) 7:<-y-IO=0 , 4:<+3y+S=0 Hallese la ecuaci6n de la cin:unferencia delaminada por las siguientes condiciones: 16 Pasa por los (-I ,3) Y(7 , -I) , su eeneo collien II recla 2x + Y- 11 = 0 17 Es langente a 3:< - 4y + 10 = 0 en el punlo (2,4) su cenlro esta en la recta 2x-Sy-IO=O 18 Es tangente a los dos ejes y pasa per el punlo (2 • -1). 19 Es concentrica con la circunferencil recta :<+2y +9=0 20 Es langente a 3:< - 4y - 24 = 0 en el ponto (4, -3) y IU radio es S. 21 Es langenle a los dos ejes y su centro eslli en I. recla :< - 3y + 8 = 0 22 Es langente a 1acircunferencia x' + 1- 10& + 4y - 20 = 0 , y langente a 1a x' + I + 4:< + 2y - 20 = 0 • su centro eslli en (6,5) 23 Est! inscrita en el triangulo cuyos lados estan dados po. las eeuaciones 3x+4y-17=0 , 4x-3y+ 19=0, y+7=0 24 Est! inscrita en el triangulo cuyos vertices son (-16 ,-12), (5 ,-5) ,(20,40) Z5 Es tangente a las reetas 3x - 4y + 5 = 0 Y 4x + 3y - 10 = 0 y pasa por el punto (2,4) 26 Los vertices de un triangulo son A (5,19), B (7.4) Y C (9,4). Las medianas AD, BE Y CF concurren en G. Las alturas AK. BL Y CM concurren en H. Los puntos medios AHy BH Y CH son R , S • T respectivamente. Demuestrese que los nueve puntos D, E, F, K, L, M, R, S Y T estan en una circunferencia cuyo centro esta en la recta que une G con H y divide GH en Ia rawn 1;3. (Esta circunferencia recibe el nombre de eirculo de los nueve punlos del triangulo ABC.) ~ 01 H411ese 10 ecuaci6n de la familia de circunferencias: 0) cuyo radio es 3 y sus centros estan en el eje-x , b) cuyo radio es 4 y sus cenlros estan en el eje-y, c) tangenles al eje-y en el origen , d) tangentes al eje-x en el origen. 02 H411ese la ecuaci6n de la familia de circunferencias cuyos centros estan en la recta x - y - 5 = 0 y a) pasan por el origen ; b) son tangentes al eje-y. 03 H411ese la ecuaci6n de la familia de circunfereneias que pasan por el origen y el punlo (8,0). 04 H411ese la ecuaci6n de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (2,3) y(-4,5) 05 06 JUllese 10 ecuaci6n de la familia de circunferencias cuyos centros estan en la y: a) pasan por el origen, b) son langcntes al eje-r parabola y = x' Hallese la ecuaci6n de la circunferencia que pasa por la interseccion de las circunferencias x'+y'+ lOx + 12y+45=0 , x'+y'+6x-2y-15=0 y por el origen 07 Hallese la ecuaci6n de la circunferencia que pasa por la intersecci6n de las circunferencias x'+y'+6x+4y-12=0 , x'+y'-2x-12y+ 12=0, Ypor el centro de la primera. 08 Hallese la ecuaci6n de la circunferencia que pasa por la intersecci6n de las circunferencias. x'+y'-6x+2y =0, x'+y'+6x-4y-12=0 y por eI punto (5,3). 09 Hallese 1a ecuaci6n de la circunferencia que pasa por la intersecci6n de las circunferencias x'+y'-x+7y-3=0 , x'+y'-5x-y+ 1=0 Y cuyo centro esta en a) el eje-x , b) el eje-y , c) la recta x - y = 0 y d) la recta x+y=O 10 Hallense las ecuaciones de los ejes radicales de los pares de circunferencias de los ejercicios 6-9. 1'm.Ol'I!D7D~ 01 Demuestrese que el eje radical de dos circunferencias es el lugar geornetrico de los puntos desde los cuales las tangentes trazadas hacia las dos circunferencias son iguales, 02 Demuestrese que los ejes radicales de tres circunferencias, consideradas por pares, se cortan en un punto. Este punto se denomina el centro radical de las tres circunferencias. Hallese la longitud de una tangente a una circunferencia dada, desde los puntos: 03 x'+y'= 25; (5,6),(7,-1),(0,-10) 04 (x-I)'+(y-3)'=4; (-1,0),(0,0),(4,1) 05 x'+y'-6r+4y- 12 ~ 0; (-4, -I) , (-8,0), (7,3). 06 .1+1 - 6.I:-2y - 07 2x'+2;-2.r+3y-5=0:(-I,l) ,(-2,1),(0,3). 08 2x' + 2; - 3r+ 5y - 35 = 0; (5 ,2) ',(-5,0). (0,5). 09 .1+1- 10..-6y-135=0; (12, -10) 10 a) H'lIense las longitudes de las tangente. Irazada. a la circunferencia x'+;-4x+6y-12=0 desdeelpunto(-3, 7). 15 ~O; (I, -10) ,(10, -I) ,(6, -4). ,(22, -4), (7,32). b) H4llense los dos puntos de tangencia. 11 Dada la circunferencia x' + 1 + 4x - 8y - 30 = 0 . Dlpse si 10. si&Uientes puntos estAn dentro, fuera 0 sobre la circunferencia: a) (4.7) b) (-8,8) c) (-9,3) d) (-2, -3) e) (-6. -2) f) (5,5) g) (-6,0) h) (3,9) i) (-8, I) j) (-5, -2) k) (-7, -I) I) (50 2) , IlttP""", GruM 02. !!l x' + 1 - 6r - 4y = o. ~ 6r' + 61 + 37>:+25y - 438 = O. !J x' + 1- 12.1 - 4y + 15 = O. !.I 51.1+ 511+ 50lh:+ 134y - 3311 = O. ill 3x' + 3y' - 14x - 4y - 4 = o. 1U .1+ 1-4x-6y- 87 =0. !lI x' +1 +4x-2y -20= O. !!lx' + 1 - lOr. O. !!J x' + 1 - 10.. + 4y + 9 = 0 !J .1+ 1 +4x-4J1 +4=0 , .1+ l-ax-8y + 16=0 1!l x' + 1 + 4y - 21 ·0 HI .1+ 1- 4x- 18y +60 =0 , 5.1 +51.., 12.1 - 34y+6O = O. !!lllnposible Respuestas Gruoo 03. b) Dl a) (x - h)' + " = 9 c) (x - h)' + " = h' a x'+,'-8>:-2«y=0 DIi a) 4) x'+,'-2hx-2h'y=O x' + (y x' + (y - k)' = 16. k)' = k'. b) x' +,' - 2hx - 2h'y +h' = O. " 2x' + 21+ 7x - 2y -9 =0. • a) 2x'+2,'-9x-1 =0 c) x'+,'-9x-9y+5=0 • (07) x+2y-3=0 .(09) x+2y-1 =0. b) x' + 1+ 9y -4 =0 d) x'+I- 3x+3y-1 =0. _ _ 111118 GruDO 04. II 6,5,5./3. • DIi 5,10,4. " .fi . .f6, JI1 7,13,26 II a), d), g), i), j) interior ; b), c), I). exterior ; c), I), h), k) 1Obfc. U TUSIICIUN IE DES. Dado los ejes eoordenados XY COn origen 0 = (0,0), deseamos Irasladar estos ejes a eualquier otro lugar del plano eartesiano con nuevo origen O' = (h.k) Y los nuevos ejes coordenados X' r (ver fig.) , de tal manera que, si (x, y) son las eoordenadas del punto P respecto a los ejes eoordenados XY , las parejas ordenadas (x', f) son las nuevas t eoordenadas del mismo punto P , respecto a los o nuevas ejes coordenados x' Y' . • De_mo. hallar la relaci6n entre las eoordenadas (x ,y) del plano X Y , Y las nuevas coordenadas (.t', y') del plano X' Y'. En el grafieo, sumemos horizontalmente y venicaJmente las eoordenadas : I) Sumar horizontalmente : x = x' + h b) 5umar vertiealmente : y=y'+k IT , = = x' = x - h y'=y-k Si se trasladan los ejes eoordenados a un nuevo origen O'(h,k), y si las coordenadas de eualquier punto P antes y despues de la traslaci6n son (x,y) y (.t' ,f), respectivamente, las ecuaciones de transformaci6n del sistema primitivo al nuevo sistema de eoordenadas son : x =x' + h .....,., y =f+h 51 (.I.,) IOn las eoordenadas pnrmtivas del punto P y (x', f) son las nuevas coordlnldl. del punto P, entonces las ecuaciones de transformacion del sistema prImltlvo II nuevo sistema de eoordenadas son x= x'+h { y= y'+k Las ecuaciones de transformaci6n del nuevo sistema de coordenadas al sistema primitivo de coordenadas son { X' ~ X - h y' ~ y-k La traslaci6n de ejes se aplica generalmente, para expresar de la forma mas simple (forma can6nica) las ecuaciones de la circunferencia, de la paribola, de la elipse y de la hiperbola. [jill Si se tiene Ia circunferencia e: (x - h)' + (y - k)' = ,) en el sistema XY, al hacer x-h=x' { y-k = y , seobtiene IJ,2+y,2;:::r21 enelsislemaX' r-, cuandoelorigen 0(0,0) se traslada al centro O'(h , k). ~ Si se tiene la parabola [J'; (x - h)' = 4p{y - k) en el sistema XY X - h = X' al hacer { y «]: = Y , se obtiene I x" ~ 4p y' I en el sistema X' r-, cuando el origen 0(0,0) se traslada al vernce O'(h, k). ~ Si se tiene la elipsc e : (~_:)2 T ()I-i>2 se ] Q h = x' se obtiene y-k=y' X{ li:i'" T b en el sistema XY , al hacer +-;- :;::., en el sistema X' f Q I , cuando el origen b 0(0,0) se traslada al centro O'(h ,k). .~ Si se tiene la hipCrbola X; X - h = X' { y-k , se obtiene =Y x,1 7 I>-,h)' • ., -1.-:.1 b2 0(0,0) se traslada al centro O'(Il, k). _I> -:)' b =I en el sistema XY, al hacer en el sistema x' Y' , cuando el origen Las ccllll:iones que aparecen en los recuadros son las mis simples de la circunferencia, de la PMAlKJla, de la elipse y de II hipQbola, respectivamente. Olros ejcmploo: I~.". OJ I· Transfonna la ccllll:i6n de e: ~ + + 2.t - 6y + 6 = 0 truladando los ej,s coordenados II centro de 1 e SoIIIdM : En e COlIII'le.... cuadrados : ~+2.t+ .,. + 1-6,+". . ~+2.t+1 + 1-6,+9 (x: ~ x' I x+l-x' , 1)2 + ()' _ 3)2 2 2 + " =-6 • -6+1+9 • 4 • 4 h-3-" I·."." I En los ,jercicios a) y b), por una trullCi6n de ,je5, lrllllSf6r_ II ccuaci6n dada en Olra que caraca de Ibmi_ de primer .,.ado: a) ~ - 21 -42.t - 4, + 133 = 0 b) .1Y - x+ 2, - 10 =0 'pb·4'·' J. Hacer Ia lI'aMformICi&I x-x'+11 { , - " +A: 2. • ......... n Ia ccllll:i6n : 3(x + II)' - 2(y' + A:)' - 42(.1'+ II)- 4(y' + A:) + 113 = 0 ~ ~, ., 3(x + 2"... + II ,- 2 (y' + 2A:y' +..-) -4U-~ -4,' - 4A: + 113 • 0 _Iliplicar •asociar y ordenar : 2 3... + 6hx ' + 3h' - 2/ , , - 4A:, ,- :u2 - 4U - 4211 - 4, ' - 4A: + 113 = 0 (2.),.. 3X - 2,' + (611 - 42) x'+ (-44- 4),' + 3112 - 242 - 4211 - 4A: + 113 = 0 ---- .. ,. __J \'. ~. I " 'i ,.' ~ 3. Como se pide que en la ecuaci6n carezca de ll!rminosde primer grado, se debe hacer 611-42=0 ~ h=7 { -44-4=0 ~ 4=-1 4. Asl la ecuaci6n (2.) se reduce a: 11",2 - 2" 2- 32 = 0 I 501';';6" de b I X= ,, +h 1. Reemplazar en la ecuaci6n la In\nsfonnaci6n { ,= y'+4 (x' + h) if + 4) - (x' + h) + 2 (y' + 4) - 10 = 0 x'y' + h' + hy' + III - " - h + 2" + 24 - 10 = 0 x'y'+(k-I)x'+(h+2)y'+h.t-h+24-10= 0 2. HllCcr (1.) 4 - 1= 0 ~ 4=1 { h+2=0 ~ h=-2 3. Asi.la eclllCmn (I.) se reduce a: I x',' - 8 = 0\ OBSERVACION. Como podemos apreeiDr La traslaci611 de ejes eoordetllUias simplifiea las ecuaciones .,complictulDI" en eclltlciones simples, ladles de r«OIIOCer y faciles de grdfiear. 1.1 aEWlTIlDlIIPIRIBOII : x' . eje de Ja parabola (biseca a la paribol.) V: venice de la parAbol•. Se encuen tra en el eje de la paribola. F: faco de Ja parAbola (es un punto fijo que penenece al eje de 1a paribola y se eneuemra L a una distancia p del verrice). L: Directriz de la paribola (recta fija perpendicular .1 eje de I. parAbol. y se encucntra a una distancia I' del venice). La distancia del vhtice .1 faco co igual a la diSlancia del venice a la din:ctriz. Dieha distanci. I. denotarcmos con "1'''. Esto es IVFI~d(V .L)= I' NI N 2: lado rceto (cucrda que pasa por el foco y co perpendicular al eje de Ja paribola y lieJlc IollIitud i. .l. 41') 12 . . . . . . .".,.... Como lugar gco~trico. I. paribol. se define del siguiellle modo: !P={ peIR 2/d(p.Ll=lpFI} L La pardbol4 es el IU8ar gtomlr,ico de lUI ptIIJlO P qw :Ie nuwve m un plano de tal MalW'TG qw s,. distancUJ a IUItl ~etd jija L. s;tlMldo en el plalW, s;empre es i,1ItJ1 a IU distQ1f.cia de lUI PUII,o}ljo F del piMa qw no /Hneneu a 10 recta L _ D..so I. din:ctriz L: 3x - 4)1- 12 = 0 y el foeo F(I.2) hallar la ccuaci6n de Iapribol• .!MIdM: Sea P = (x • y) un pulllO de I. parAboI•. Por definici611 de pribol. se tiene: d(P.L) = II'FI 13S-5.. -12/ = /(x_I)2 +()I-2)2 Elevar a1 cuadrado y simplificar : (3x - 4,. - 12)' = 25 [ (x - 1)' + (y - 2)' J 9x' + 16l+ 144 - 24xy-72x+ 96y = 25 [x' -2x+ I + l-4y +4) 116x'+9l+24xy+22x-I96y-44 = 01 Lest. ec...,Oln es ",ompIi'ada ". Sift embargo, oJ rotar trruladtu 1meJes XY y se cOftvwrte eft waa t'ella€iOr'I ffUly s~. 8.3 ECOICIOI DE II'1RABIIIA DE IEmCE EI El OBIBEI 'DE01DE COOBDEIIDO. @La .ecuaci6n de una panlbola' de. vo!rticc en cl origcn y EJE, el cjc X, CS ® La ecuaci6n de una par6bola de venicc en 'cl odgen y EJE, eI eje Y. es Il=4PSI I x'=4pYl I! L. N: I ~. ';Ic< % ..." ..." \ , I. DlItECTRII Dondc el foco es F= (P,O) Y la ecuaci6n de la dircctriz CO x = -po • Si p > 0, la panlbola se abre hacia la dereeha. • Si P < 0, la panlbola se abn: hacia Ia izquierda, Donde el foro cs F = (O.p) y la ecuaci6n de la direclriz es y = -po o Si p > 0, la par6bola se abre hacla • arriba. Si p < 0, la par6bola, se abrc hacla abajo. EI cada caso, lalongitud dellado recto es IN1N2 1 = 14 pi . 293 Demostroci6n de ® Sea 9' una parabola de verttce en el origen y eje, el y L • ejex. ~I ~ -I-----Q.--...:x ~F(p.O) -p I Si F(P,O) es el foco y L : x + p = 0 es la ecuaci6n de la directriz, entonces por definici6n de parabola se tiene: d(p,L)=I"1 P=(x,y) J+ pI =~r(x-_-p)-:2-+-(-Y-_-0)-:;-2 1+0 ( x + p)' = (x _ p)' + yO Elevar al cuadrado: ~+2px+p' = ~_2pX+p2+Y' Y' __ = 4px. Hallar la ecuacicln de I. panlbola de v&tice en el origen y foco el punto (0, -3). SoI.tlOn: = Como el foco F (0. -3) se encuentran en ellado negativo del eje Y, la parAbola se abre hacia abajo y pot 10 tanto p =-3 y IVF I = I p I = 3. La ecuaci6n de la parAbola es de la forma : ~ = 4py ]I ,I x p 1'\0,-3) __ ~ = 4(-3) Y ~ = -12y Hallar la ecuacicln de la parabola de vertice en el origen y directriz la recta x+5= O. Sol.tlOn: L /, .1 . 1=4px ; donde p=d(V,L)=5 I F ", .d Si la parabola tiene v&tice en V = (0,0) y su direcniz es x = -5. entonces la ecuacicln de la parabola tiene la forma: ]I '<. r Como la parabola se abre hacla la derecha, elegimos p = 5 , entonces la parAbola es : 1=4(5)x = y2=20x ECIACIOUE UNA PARABOlA DE WERnCE V(h,k) VElE PARAlElO AUN ElE CDDRDENADO. SA En algunos problemas necesitamos obtener la ecuacion de una parabola cuyo vertice no este en el origen y cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados. En el grafico adjunto tenemos : el sistema XY y el 'Sistema X' Y' (x ,y) son las coordenadas del punta Pen el sistema XY. (x', y') son las coordenadas del punto Pen el sistema X' Y' . , • yo y I Respecto al sistema de ejes coordenados X' Y' la ecuaci6n de la parAbolaes : , Y'~=4F y' =4px' .........•..... (I) • ..+ji------ ..• x: , ......... o y Por traslaci6n de los ejes coonIenados XY al nuevo origen 0' (hJc), se obtiene el nuevo sistema de coordenadas X' Y'. La relaci6n entre (x,y) y (x', y') esta dado por la siguiente transformaciOn : x = x',+h { y= y +k • x'=x-h { y'= y_k·· .. ·····(2) AI reemplazar (2) en (I) oblenemos: (y - k)' = 4p (x - h), que viene a ser la ecuaci6n de una paribola de ve.-ticeen el punto V = (h,k) y el eje de la parabola es paralelo al ejeX. y I r'=4py' \ll~.< .. _~0' De manera similar observemos el siguiente grafico : y' I • => 0' :(IJ,A) • Respeclo al plano de ejes coordenados X' Y' , la ecuaci6n de la parabola es : ., x =4py' • " "" ". (3) Por traslaci6n de los ejes coordenados XY, las coordenadas (x,y) del punto P que pertenecen a la parabola, esta dado por : y X= X' + h { y= y'+k => {X'=X-h ... " ....... (4) y'= y-k AI reemplazar (4) en (3) obtenemos: (x - h)' = 4p(y - k), que viene a ser ecuaci6n de una parabola de venice en el punto V(h,k) y eje paralelo al eje Y. la (T~l'elllll-;J @ La ec:uaci6n ordinaria de una par'bola puede presentarse de dos farmas: La ec:uaci6n de una par'bola de vc!rtice V(h,k) Y EJE paralelo al eje X. es de la I(y -1)1 = 4p(x - h) I forma: Siendo vatice IPI la longilUd del segmenlO del lit: comprendido enlre el foeo y el Y L Y _.. __z' -.I'! :~hp,l) I I ,~ X I '" I p<O Oum: a) Si p > 0 : la par.oola se abre bacra la dereeha. ® b) Si p < 0, la par'bola se abre bacra la izquierda. EI focoes F=(h - p .k) La direclriz L; x = II + p EI focoes F= (h+p .1) La cliJeclriz L: z z h - P Lado recto : x Lado recto : IN. N3 1 = ]4pl IN. N3 1 z 14pl La ecuac:i6n de una par'bola de vbtice V(II.k) Y lit: paralelo al eje Y. es de la forma: I(z-h)l=4p(y-k) , Siendo Ip Iialongilud del segmenlOdel EJE comprendido enlre eJ foco yel vOrtice r y' Y' I ,. L p h,l··!'jN, Ni'cr"Pl· ': p 't I u'iFI.o ~ P),~' 1", , pp I 'I" N. L • X Ca'o' : a) Si p > O. la parabola se abre hacia arriba. b) Si p < O. la par6bola se abre hacia abajo. Elfoco es F= (h. k + p) El foco es F = (h. k - p) La directriz L: Ladirectriz L: Lado recto : y =k- P IN, N2 1 = 14pl Lado recto : y = k +p INI N21 = 14pl ICOROIARlO l a) Una ecuaci6n cuadrAtica de la forma : y' + py + qx + r = O. con q _ 0; es una par6bola con Eje paralelo al eje X. b) Una ecuaci6n cuadrAtica de la forma : x' + a.r + by + c = 0 con b _ 0; es una par6bola con EJE paralelo al eje Y o..MtnIdtJ. d, II) En Ia ecuaci6n y' + PY + qx + r = 0 2 J rompletamos cuadrados respecto a y : 2' 2 +PJ+7- z-qx-r+.!T (Y+iY =-q( x+t-~) ............... (I) La ecuaci6n (I) aene la fanna A del Teorema 2. donde : V=(_L+.t!... _.!!.) q 4q' 2 Dt.tntnIdDtt .. b) En la ecuaci6n i" + ax + by + C = O. compIelar c:uadrados respecto. .r : 2' , x +IU+",-=-by-C+"'- (x+tt = • b .. O -b( y +t-~ ) ............... (2) La ecuaci6n (2) liene la forma B delteorema 2 donde : v=( -f.-t+~) es el vertice y 4p=-b ... Hall.. el v6nice. elfoeo y la ecuacion de la recta direetriz de las parabolas euyaucua,ciones son : 2=0 ai ,; - 4x:;- y + 3 =0 c) 4x' - 8x - 3y - b) 31'::4x+ 12y+ 16=0 d) y'+6x+6y+ 15=0 Nola: Para ,l'fI/lcaruna p<lrdbola. bustardhallar el vir/ice, el foco y Ia 1000gillld del iado rec'o. t.a ,r4(1CtJ dt ItJ 1"'rdbola pasa PO" el vertice y 10J extrnnos del Iado recto. Sallld6" : a) En r - 4.>: - y + 3 = 0 eompletar cuadrado. respecto a x : r-4.>:+ =y-3 r-4x+4 = y-3+4 I(x-2)' = l(y+ I I) • EIv6nice .. V-(2 .-1) • EI eje de la parAbola es paralela aJ eje Y. • 4p-1 => p-t • La parAbola ac abrc hacia arriba, porque p es positiva. • EIFocoes F.12.-~.tH2.-t) • Laccuaei6ndeJadirectrizes: x=-I-1'=-1 • La Iongitud del tado recto es 14p I = I • EI pifieo de la parAbola paso tres PllDlIJS : pur el v6nicc y los extremes dellado recto b) En 31 - 4.>:+ 12y + 16 = 0 complclar cuadrado. respecto a y: 3y'+ 12y+ =4x-16 l+4y+ =!X-'t y2+ 4 y+4=jx-"t+ 4 (y+2)2 =.!x-.! -i., 3 3 110.1\ =.!(x-I) 3 • EJ v6rtice es V = (I • -2) • EI eje de la parAbola es paralela al eje X . • 4p=t • Si p > 0, entonces la parabola so abre pur dereeha. => ,f\: ~ p=t I " F=(I+t·- 2) = • EI focoes • Ladirectrizes: (t·- 2 ) y x=l-l=1. 3 I 3 14p I= t • La longitud del lado recto es: • EI grafico pasa pot los tres puntos : el vertice y los extremes dellado recto. c) En 1 >,C X -2 4..' - 8.t - 3y - 2 = 0 • completar cuadrado respecto a x : 4..,2 - 8x + = 3y + 2 I--y'----------I x 2-2x+······=iy+t xZ-2x+l=.1y+~+1 U • • (x_I)2 =.ly+~ • • = ~(y+ 2) • • EI vertice es V = (I , -2) El eje de la parabola es paralelo al eje Y • 4p=1.• ~ • Si p > 0 ~ La parabola • El foco es I -X -I p=.1. I. -2 50 ~ I r abre haci. arriba. I I F=(I.-2+,~)=(I.-::) " 3 3' • Ladirecmzes r»>2 -16=-16" t • La longitud dellado recto es : I N,Nzl = 14p I= • EI grafico de la parabola pasa por tres puntos c1aves : por el venice y por los extremos del Iado recto. d) En l + 6x + 6y + 15 = 0 completar cuadrado respeclO a y: + 6y + ... = --6>: - 15 r'- - - - - - - - " l l+6y+9 = --6>:-15+9 (y+3)' = --6>:-6 = --6(x+ I) • • ElveniceesV=(-I.-3) EI eje de la parabola es paralelo al IDE X • 4P=-6 ~ • Si P < 0 ~ P=_1.z la parabola se abre hacia la izquierda I I .... _Y\.N~ '< -1 i '" -I -2 .-, -s -6 -, =(-I-t. - • £1 foco es : F • La dircctriz es L: x= -I + • (-t. -3) 3) = t= 1 La longitud del lado recto eo IN, Nzi =14p I =1-61 = 6 £1 extreme Nz est! a 3 unidades encima del foco y N, cst! a 3 unidades debajo del foco Nau: No olvidar que el LADO REbo pasa por 01 focc, perpendicular aI EJE FOCAL. Y ueee lonJitud 14pl· La milad de 14pI ala derecha (arriba) del (OCO Yla otra milld a la iz.quienla (abajo)del roco. U IECTIJIlIUTE I IlIA ,1IIAB8IA. Los siguienleS teoremas son relanvos a la recta tangente a una parAbola: ITeore_3I IT--.41 ITeon_S I l La tangente a la parAbola = 4px en clllllquier punto P,(x'JI,) de la curva liene por ecuaci6n " , = 2p(x + XI). La langente de pendienle mala parAbola ecuaci6n: ,=mJ:+ L • m"O . l = 4px liene por La recta tangenle a la parAbola fJ' en el punlo P(x",,) E fJ'. corta el BIll FOCAL en un punto Q tal que la distancia de Q al v&tice es igual a la distancia del v~ al pie de la perpendicular trazada desde el punlo de contacto (x, •,,) al eje focal. r y r L :y -)'1.81(% -XI) L:)'s . . . 6 .. ·1 6.1 ,'1 % ;' I .r ');' 01 & .r IllYl = II'RI T.O• • •" . ITeore_'1 T.O• • •" . T.O•••" . La ecuaci6n de la recta tangente a la parAbola (x - h)z = 4p(y - k) en un punto de COntaCIO (.to. '0) es (x" -h)(x- h) = 4p (Y+/' -k ) I Teorema U La normal a la parabola en cualquier punto p = (x, , y.J de la parabola forma angulos iguales con el radio vector (vector focal) de Pyla recta que pasa por P y es paralela al eje de la parabola, y N 'f~tQ::\,* r;~remaS d~[ii.g'lJCla $I ,.~:." ~~n"4'P'P.lJPrqlleeT drs~(f'ilelJil¥:~,i T I X r' T: reea. THIGENTE N : rectaNOR~ ',;~ ,. ~~!14':"'8W11io;Birldo-.~ igual a. ,,:':ji::t.. ;¥~"~::i,- .; -t.. ,'L\:~t~0!1-$b !b.::~;c/t~ :i'. a={J PROBLEMAS RESUELI'OS I Problema 01 l La recta L: x = -3 es I. directriz de una parabola 9'. Los puntos A(-13. - 5) Y 8(-13, II) pertenecen a 9' y la abscisa del foco es "a" tal que a> -13. a) hallarla ecuacion de 9'_ b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a 9' que sea paralela a la recta L, : x -2y - 5 = 0 Soillewn de a. 1. Graficar los datos del problema ; L 11 I 2. Por la posicion que tienen los puntos A • 8 Yla Y • directriz podemos intuir que se trata de una II parabola de F.JE paralelo al eje x. y que se abre por la izquierda. I L13 A (I 1 -.---- ·-5 x Entonces la parabola fonna 9': ( y - k) 2 9' tiene la siguiente = 4p debemos hallar : h, k, p _ ( x - h). con p < 0 v_os: I) A(-13, -5) E fP, enlonees (-5 - k)' = 4p (-13- h) b) B(-13, 11) E fP, entonees (11- k)' = 4P (-13 - h) c) Dividir (I) entre (2) : 3. Resolverlaecuaci6n (3): (-,-tj' (11_*)2 (\) (2) I (3) (k+ 5)2 = (k- II)' k'+ IOk+25 = k'-22k+ 121 k = 3 4. SegUn date del problema la abscisa del foco es a. Como k = 3, entonces el focn es F= (a, 3). 5. Eligiendo el punto B = (-13 ,-5) y teniendo el foeo F = (a , 3) y la directriz L : x + 3 = 0, aplicamos la definici6n de parabola: d(B,L)=IBFI 1-13+ 31 = ..J(a + 13)2 + (3 + 5') . Elevar al cuadrado y sirnplificar a= -19 a'+26a+ 133 = 0 < a=-7 L 6. Elegir a = -7 (porque a> -13) "'-7,3) p 7. Si el foco es Y{h,3) -- "-----v F = (-7,3), entonces p r h-(-7) = -3-h h + 7 = -3 - h =:0 2h = - 10 =:0 h = - 5 /\ p = -3-11 = -3+5=2 8. Teniendoel vertice V = (-5 , 3) y p = -2, la ecuaci6n de la parabola es: fP : (y - 3)' = 4 (-2)(x + 5) (y - 3)' = -8(x + 5) fP: y'-6y+8x+49 = 0 Solucitln de b. Se pide hallar una recta :£- que es tangente a la parabola fI' yes paralela a la recta L, : x - 2y - 5 = 0 y Graficar L,: ~ ~ Como la pendiente de L, es m = - ~ = ------%' £ t L,. entonces 1a ecuaci6n de la recta tangente, es :£-: y = t x + b L, y f es paralelo a • Reemplazar y= t.:t + b en f.P : (tx+b)' -6(tX+b)+Sx+49=O AI elevar al cuadrado y reducir, obtenemos : • ?- + 4 (b + 5) x + 4b' - 24b + 196 = 0 La condici6n de tangencia es que: J'I discriminando de la ecuaci6n es cero, esto es, [4 (b + 5)]' - 4( I) [4b' - 24b + 196] =0 , b=1. • Conclusion, s:: y = 1- x + t IProblema 02 I Dos puntos de una parabola son P( 11 • 9) y Q( 6 • -I). Si Ia directriz es la recta x = 1 encontrar la ecuaci6n de la parabola. Soludon: Dado dos puntos de Ia parabola y su directriz, podemos aplicar la definicion de parabola. a) Sea F = (m , n) el foco. Considerando el punto P( II ,9) y la directriz L: x-I aplicamos la definicion de parabola: d(P.L)=1 PF! Ii 1- II = ~r(m---I-I--=),'--+-(-n-_-9)7, 10= Jm 2 - 22m + 121+ n2 -I8n + 81; m'+n'-22m-ISn =-102 Elevar al cuadrado y reducir : (I) = O. b) Teniendo eI foco F=(m.n). el punto Q(6.1) y la directriz L:x-I =0, aplicamos la definicion de parabola : d(Q,L) = IQFI 16-11 = J(m-6)' +(n+I)' I - 6)"" + (n + I) 5 = ,/(m . . Elevar al cuadrado y reducir : m2 + n2 _ 12m + 2n = -12 c) Restar (2) - (I): (2) 10m + 20n = 90 m+2o = 9 ~ rn=9-2o (3) d) Reemplazar(3) en (2) : (9-2n)2+ n2-12(9-2n)+2n = -12 n2 - 2n - 3 = 0 n=3 (n-3)(n+l) = O<n=_1 e) Elellir n =3. Reemplazar en (3): m =9 - 2 (3) Entonces el foeo es F = (3,3). =3 f) Para hallar la ecuaci6n de Ia parabola, aplicamos la respective definicion, porque tenemos: F = (3,3) , L:x-l =0 y P(x,y) d(P, L) = \PF\ lx-II = ,j(:_3)2+(y_3)2 (x_I)2 = (~_3)2+(y_3)2 y'-6y-4x+17 = 0 = (y-3)2=4(x-2) Il) Para n = -I , obtenemos fP : (y + IProbkma 03 r <) ii) . Elevar al cuadrado y reducir : Ii = 20(~ - 6) Sean A Y B dos puntos de la parabola El segmento AB corta al eje de la parabola en el punto G. EI angulo AOB es recto (en el origen), Dcmoslrar que G no depende de las coordenadas de A y B. y' = 8x. tales que: Ihmo.tracwlI : 1. Graficar la parabola l' = ll.t . Se sabe que 8=4p =:> p=2 l' =ix. haccr ~ =a. y =,JS; que scrIan las 2. En la par~bola r para obIener coordenadas del punto A = (a • .,fi;; ) .J-f 3. Haciendo x = b en r j :G(m,O) l' = ll.t obtenemos y = ±../8b. Elegir las coordenadas del '. :Jl(b. -.v) punto B. como B=(b.-../8b). m-· m- = -I 4. Si ADB es recto, entonees AO 08 ~( -~)=-l (producto de pendientes de rectas pcrpendiculares tc ares es izual Ig a I ) =:> ab=64 (I) 5. Los pumos A. B. G est6n en una misma recta, entooces se cwnple I. siguiente relaci6n de pendientes : rs;; - 0 0 +.fib - = -m-btj-m 6. De (I) despejar b =:> m= = M. a 7. Reemplazar (3) en (2) a./b b.Ja .Ja + Jb =:> (2) a+ b ~=* a-l.. +J!! r: m = .j. II <,fa .Ja+t. m= 8 Este resultado nos indica que G no depende de las coordenadas de A y B. m IProbkmIJ 04 I La recta L: x - 2y - 6 = 0 es I. direetriz de una parabola cuyo v~rtice es el punto V(l, 1). Determinor la ecuaci6n de 10 parabola. SoluewlI :. L ~ I. Graficar los datos : t::itl::J , Se pide hallar I. ecuacion de la parabola. Por definicion de parabola se tiene : OISTANQADE UN PUNTO DE LA PARAIou AI. FDCD r ~ »: r="", >/' D1STANC4A DE UN PUNTO DE LA - PARABOLA ALA OIRECTRlZ L I d(P,F)=d(P,L) , P=(x,y) 2. La directriz L es conocida, Falta hallar el foco F. IFVI=d(V,L) 3.Pero: 11-2(1)-61 == J1+4 _ 7 -75 4. Para hallar F, debemos conocer la ecuaei6n de la recta L FV ' que pasa por V = (I , 1) Y su pendiente es m = -2 (porque L es perpendicular a L FV ) L FV y-l = -2(x-1) : 2x+y-3 = 0 5. Como F E L FV F= (X, 3 -2>:) ' entonces - 6. Pero: IFVI = 7 75 ~(X-I)2+(3-2x-1)2 -7, JS(x-l) 2 -7> _ 7 2 •• (x-I) ~ 2' ,<x=-t,y",y II x-l-±"j .1= S 2 19) 7. Elfocoes F= ( -"5'5 8. Al aplicar la definici6n de parabola: d(F,P) = d(P,L) ~(x+t f +(y-';f !'x"-2y -61. .F4 elevar al cuadrado y reducir : ...... concluya Ud. IProbkma 051 Hollar 10 longitud de la cuerda focal de la parabola que es paralela 0 I. recta 3x + 4y - 7 = 0. i' +8y = 0 SolKcWII : 1. Graficar los datos : 0) i' + 8y =0 = x' =-8y • doncle Foco: y = -8 =4p p=-2 1"=(-2.0) 2. EI segrnento AB que pasa por el foco 1". se llama cuerda focal 3. La recta L_~F=(-2.0) 4 :;:::== 11<..::'7....... AS <, ~m=-1. 4 x 'L: 3%+4,.-1=0 ..=-t LAS: y-0=-t(x+2) ~x+4y+6=0 4. A Y B se obtienen intersectando la parabola y la recta .{3x+: y+6:0 x +8y-O L AS 0) (2) De (2) despejar y : x' y=-T Reemplazar (3) en (I) : (3) 3x+4(- X:)+6=0 x 2-6x-12=0 x=3+5i = X=3±.fil<x=3- ... 21 5. Asiobtenemos: A=(3-.fil.-t(l5-3.fi\)). B=(3+.fil.-t(15+N2)) Luego, IABI = J(-2.fill 2 +(t ..J2J j =t..J2J 11'rob'-- I Hallar la ecuackln de la parilboia CllYO eje es paralelo al eje x y que pasapar loa IJCS punlO5 (0.0). (8 • -4) y (3, 1). (II SollIdD,,: 1. Cuando el eje de una ...,-Abola cs paraJelo aI eje X. au ee....i6n cll8drilica tie... l~ forma!P: l+py+qJt+'=O, • Si (0,0) E!P. C1lIonCea rJ + P(O) + 'I (0) +' = 0 r = 0 • Si (8. -4) e!P, entOllCCS 16 - 4p + 8tj • Si (3, 1) e !P. entonI:CS I + p + 3'1 = 0 Al resolverel sistema =0 --4p+ 8q ~ -16 { p+3q: -I Seobliene: p=2 • q=-I • ,=0 2. La ecuaci6n de la parabola, es : fP: l + 2y - x = 0 la ecuaci6n de la padbola con venice Y(h.l). h > 0 que IP1vblI_ 07 1 Hallar pasa par los punlos A(7 .8) • B(7 • -12) y tiene como directrtz la recta D: x= -3, SohId6If : 1. Graficar los datos D. a' 2. Como la directriz D : x = -3 es una recta vertical y los puntos A y B estan a su derecha entonces \a parabola tiene I. --T A(7.S) forma !P : (y - I)' I G I : ":1 "'v ·········rm.-2) x=-3 \ Y .. -'8(7,-12) p > 0. 3. Como los puntos A y B tiene I. misma abscisa, entonces el punto medio del segmerao AB. que es: -2) (~ 2 ' ~)=(7 2 . , pertenece al eje -121···- =4p(x - h), con R>CAL. 4. La ecuacion del EIE R>CAL es y = -2 y eI punto G = (-3,-2), es I. interseccion de 1a D1RECfRIZ con el eje focal. 5. EI foco tendra la forma F = (a , -2), donde a se debe hallar. d (F , A) = d ( A , D) 6. Por definicion de parabola se tiene : , D: directriz ~(a_7)2 +(-2_8)2 = 17-(-3)1 (a-7)2+ 100= 100 => la=71 7. Entonces, el foeo es F = (7, -2). EI vertice Ves el punto medio del segmento GF esro es, V = (2, -2). Adernas P = 1VF 1= 17 - 21 = 5 8. Por 10 tanto. la parabola es 9': (y + 2)' = 20 (x - 2) I Problema oal Hallar la ecuacion de I. parabola de eje foeal paralelo al eje Y sabiendo que su lade recto es un diarnetro de la circunferencia x' + / + 2x+ 4y+ 4 = O. Salucitln: 1. Graficar la circunferencia e :x'+/+2x+4. ,4 =0 x 2+2x+ ... +/'+4y+ ... =-4 x' + 2x + I + (x + I)' + '------y------J v' + 4y + 4 = -4 + I + 4 "----v-------' (y + 2)' = I 2. Segun el problema. en e1 grafico se tiene: a) La recta x = -I es el eje de la parabola 9'. b) EI diametro AB es lado recto de la parabola 9'. entonces Elcentroes C=(-I.-2) • r= I 14PI=IABI. A=(-2.-2) y B= (0.-2) 14pl=!0-(-2)1 -1 14pl=2 .. L A c ---+ --,fl1-2 Se pide hallar la ecuacion de una parabola 9': (x - h)' = 4p(y - k) cuyo EJE es paralelo al eje Y. = 4p=2 v 4p~-2 p=1 y 4p=-t c) Ocurre dos casas : i) Si p = ~ '> ii) Si p = 0, Ia parabola se abre hacia arriba y el foco es F = (-1, -2) pues el foco esta en su 1000 recto. EI vertice es V = (-1, - 2- +) =(-1,-%) -+ < 0, Ia parabola 9', se abre hacia abajo. EI foco es F=(-I,-2) El vertice es V=(-1,-2+-!) =(-I,-~) La parabola es : La parabola es : 9': ('>:+1)2=_2(y+~) 9': (.>:+1)2 =2(Y+%) IProhlemo. 09 1 Hallar la ecuaci6n de la parabola de eje focal paralelo al eje X sabiendo que su foco y su venice son los extremos de un diarnetro de fa circunferencia x2 - 8x + + 6y = O. l Solution: 1. Graficar la circunferencia b) EI otro caso seria : e: x' - 8x + y' + 6y = 0 8x + ... + y' + 6y + ' .. = 0 x'-8x+ 16+y'+6y+9 = 16+9 f - '----------y-- (x - 4)' y + (v + 3)' = 25 A ~ foco, B = vertice veamos: Casoa) Como el centro es C = (4. -3) Yel radio es r = 5, entonces : A = (4-5,-3)=(-1,-3) B = (4+5,-3)=(9,-3) 4 'i 'I ' ... ..... IB Ahara, si V = (-I, -3) es el vertice y F = (9, -3) es el foco, enlonces p = 1(9 - (-1)1 = 10 La parabola es fJ' : (y + 3)' = 40 (x + I) 2. Se pide hallar Ia ecuaci6n de una parabola 9' : (v - k)' = 4p(x - h) cuyo eje focal es paralelo al EJE X, sabiendo que: a) A = vertice 310 y B = foco Caso h) EI venice V = (9, -3) Elfoco F=(-1,-3) Enlonces p = -10 (se abre por izquierda) La parabola es : g> : (v+3)'= -40(x-9) (PTOb1ema 10 I Un piloto conduce un carro rnilitar que sigue una trayectoria segun la recta i.: y - 2x - 6 = O. La frontera de su objetivo esta dada par la parabola P: y' - 4x + 6y + 17 = O. Deterrninar a que distaneia minima de dicha frontera pasara el carro militar. Solucion : Grafiear Ia recta y la parabola dadas can el fin de intuit el problema: , y x t:y-2r-6=O o 2r-y+6=O -1 i. -3 venice I 2 7/ X V = (2, -3) 4p=4=>p=1 seabrepor derecha -3 Longitud de lado recto = 14pl = /41 = 4 Se pide la distancia minima de la recta l ala parabola P. Para ella, se debe hallar Ia recta para lela a la rectat. L : y = 2x + b , que sea tangente a la parabola 9' y Reemplazar 1aecuaci6n de L en 9' : (2x + b)' - 4x + 6 (2x + b) + 17 = O. Su discriminante igual acero, es: 16 (b + 2)' - 16 (b' + 6b + 17) = 0 Seobtiene b=-il L' y=2x- il 2" 2 EI punta de tangencia es P = (9/4, -2). La distancia de i. aPes: IProblemall I s,fS/2 EI lado recto de una parabola P, can eje focal paralelo al eje X, mide 8 unidades. Hallar las ecuaciones de todas las parabolas tales que para cada una de elias los extremes de su lade recto estan sabre las rectas L, : x - y + I = 0 y L,: x + 2y - 4 = O. Soluei6n: 1. Graficar las rectas L, Y L 2 para asf intuir el problema. 311 y L. :,r-y+ I =0 N,/ y=.r+l 3, Hay dos casas: a) Cuando los extrernos del lado recto N,N 2 son: N,(6. 7) y N,(6, -I) En este caso se tiene ; -~.F:~_.r' 7' N, I . . . . . 'C .r i) 14p\=8=>p=±2 L,,:x+2y-4=O y• .y ii) EI punto media del segmento N,N 2 es elfoeo, esto es F = (6,3) Se pide parabolas de la forma: (y - t)'. 4p(x - o Si p = 2, el venice es V = (4,3) Y la parabola es: 9': (y - 3)' = 8(x - 4) h) • Veamo.r : 2. Sea I N,N 2 1 el lado recto, como dalo se tiene que : IN, N 2 1 • 8 Como N, Si E b) Cuando los extremes son : N,(-'t·-=¥) (2.) N2 = F=(-l.!3 ' 1) 1 o 3.<0-2 =16 .<0 =6 312 = 16 V(-;~,+) Sip=2.elverticees y la parabola es : 9':(x-+)' =8(.>:+ 2n v 3xo-2.-16 v (- 't .'i ) ii) EI foeo es punto medic de N,N,: IXo+I-(~)1 = 8 = N2 i) p=±2 4-xo) (xo.2 De (2 0 ) se deduce que: I3xo-21 y En este casu se tiene : L, => N,. (.<0 , Xo + I) N,Ey => Si p = -2. cI venice es V= (8,3) y I. parabola es: 9': (y - 3)' = -8(x - 8) Xo =_H. 3 lL lL N,(6.7) N1(_li·-¥) N,(6,-1) N2 ( - 't ' 'i' ) • Si, P = -2 9': , V (- ~, +) (y_+)2 =-8(x+~) IProblema 12 , I Sea la parabola fJ': y - 12x - 2y + 1 = O. Hallar el ... del triangulo que forman los ejes coordenados con la recta tangcnte T a fJ' siendo T paralela a Ia recta L: 3x - 2y + 32 = O. Solucion : Para intuir el problema. debemos graficar la recta L y Ia parabola fJ' ~ (2') ···(tx+b)' -12x-2(tx+b)+I=O y' - 2y + 1 3, Reducir la ecuaci6n (2') : 9x' + 12 (b - 5 ) x + 4 ( b - I)' =0 L: ~P: 2, Si T es tangente a Ia ecuaci6n cuadnitica : o 16 -32/3 0 i - 2y+ ... cumple que su discriminante es igual a cera. Veamos: Ilx-1 Ilx-1+1 (y _I)' = Ilx V(O, I), 4p 12 => p=3 rL EJ discriminante igual a cern es : 3x-2y+32=O M"! [I2(b-5)]' -4(9) 4(b-I)' =0 [t2(b -5) -12(b -I)] [12(b -5) + 12(b-ll) 1= 0 T 12'[-4j[2b-6j=0 "" Ib"31 4. La recta tangente es .. ·..t ) ·;·'l ,.. . L.... x T: y=%x+3 S. Los interceptos de la recta T con los ejes coordenados son: B(0,3) Y A(-2,0) Se pide hallar e1 area del triangulo AOB. 1, Si Ia recla tangente T es paralela a Ia recta L, entonces su pendiente es m = 1-. Enlonces (;, EI area del Triangulo AOB , es : Area = (3X2) 2 = 3u 2 su ecuaci6n es T ·. y = l.2 x +b . 111 . I Problema 13 I Una parabola fJ' tiene par ecuacion y' - 6y - 4x + 17 = 0 se trazan rectas tangentes a 9' que pasan per los extremes del lado recto. Hallar la ecuacion de la parabola que tenga como venice el punto donde se intersectan die has rectas y foco en el punto (1,0). Solucilm: [5 + m (x - 3) - 3J' = 4 (x - 2) 1. Graficar la parabola fJ' : y' - 6y + ... [m (x - 3) + 2J' = 4(x - 2) = 4x - 17 y '-6y+9 = 4x-I7+9 fJ' : (y - 3)' = 4(x - 2) y se reduce a : m'.<'- 2(3m' - 2m+ 2).<+3 (3m'- 4m + 4)~O su discriminante igual a cera es : L, N, ~N,(3.5} 31 - ~l ~ 4[3m'- 2m + 2]'- 12m'(3m'-4m + 4) ~O 13m'- 2m + 2J' - 3m' (3m' - 4m + 4 ) = 0 . iF(3,J) Se reduce a : (m _I)' = 0 m :N,(3,I} 2 4. La recta tangente en N ,(3, 1). es: a) EI vertice : V (2,3) m(x-3) , m=1 L,:y-I y = I + m (x - 3) b) 4p=4 "" p=l c) EI foco es P(3, 3) Al reernplazar obtenemos: d) Como el lado recto pasa par el foco, perpendicularmente. sus 3. la recta tangente en el punto N 2 es : L ,: y - 5 = m (x - 3) y = 5 + m (x - 3) Al reemplazar en la parabola, se tiene: en la parabola [1 + m (x - 3) - 3J' = 4(x - 2) extremos son : N, (3 , 5) , N,(3 , I) 1 Luego, L, : y ~ 5 + 1 (x - 3) y= x+2 L, 2. En la parabola se tiene : = se reduce a : /112 r- 2(3m~ + 2m + 2)x+ 3 (3111' +4/11 +4) =0 Su discriminanre iguala a cero es ; 4 [3m'! + 2m + 2f - 12m 2 (3m 2 + 4m + 4) = 0 [3m 2 + 2m + 2f - 1m 2 Om! + 4m + 4 ) = 0 m == - 1 es solucion : Luego. L,: y = I I(x 3) y = -x +4 I = 4 (-3)(y-3) = -12(y-3) (x-I)' (x-I)' S. L 1 "L,= {(I, 3)} I Pr'!!:lema 14 6. La parabola de vertice en V(l,3) y foco F(l,O) , es : Dada la parabola 9' : y' = 4px, p > 0. Sea A un punto del primer cuadrante perteneciente a 9'. La recta tangente a ~ en el punta A corta al eje focal en el punto B(-20. 0) Y la recta que pasa por Ayes perpendicular al eje focal, corta a este en el punto C, tal que I AC I= 10,[5 . a) Hallar la ecuacion ,de la parabola y Ia longitud de su lado recto. b) Hallar la recta tangente a 9' en el punto A. Solucion : 1. Graficar la parabola 9' y los puntos A, B y C. ~ I 4p =~ ~ xo=? , p=? y 4. La ecuacion de la recta que pas a por los puntos A y B, es : Rf-20,0) L: _ y- 2~ (.H20) xo+20 - 10,15 (x Y- xo+20 2. Si x{) es la abscisa de C entonces : C (xo, 0) Y A (xo ' 2~ pxo ) . S. Si L es tangente a P, entonces reemplazar la ecuacion de L en la ecuaci6n de P : Se pide hallar la parabola 9' : y' = 4px 10 ,15 [ xo+20(x+20) p=? 3. Como dato se tiene: esto es, IAC I= 10,[5 [2~ = 10,[5 ~ + 20) ]2 = 500 x "0 Desarrollar y simplificar, reducien dose a: 315 x" x' + 140<0 - (x. + 20)'Jx + 4()()x" = 0 6. Conclusion: a) La parabola es fP : Su discriminante igual a cero es : " v:, =4(~)x 4 y' = 2Sx 14Oxo- (.<0+ 20) ',' - 4.<0 [400.<0) =0 La longilud del Iado recto esl4p I = 2S [4a.. - (x. + 20)' )' - 4(400) x,,' = 0 Factorizar e.sta diferencia de cuadrados y resolviendo se oblienen : x. Si = -20 v x. b) La ecuaci6n de la recta tangente en el punto A. es : .... IO./s L; y= zo+zo(x+20) x" = 20(c1egir ~sle valor) = 20 enlonces p= IProbkma 15 I J5 Y=T(x+20) 4p = ~ :i La parabola fP tiene como foeo F( -1,0) Y directnz la recta .r = 1 . L 1 Y ~ son rectas tangentes a ~ en los extremes del lado recto. Determine el area del triangulu que se forma con L h el lado recto. ~ Y Soluci6n: • 1. Graficar los datos : 1 • ,-_F I • L, ··.:P % L, 2. En el grafico apreciamos : • Si e! foeo es F = (-I • 0) y la directriz x = I, entonces el venice es V (0,0) Y Ipl = I La longitud dellado recto es : j4pl=4(l)=4 La ecuacion de la parabola es : fP: y' =-4x Los exrrernos dellado recto son: N,(-1,2) Y N,(-I,-2). 3e La recta tangente que pasa pOT N2 es : L,:y-2 = m(x+l) y = 2 + III (x + I) m=? Reemplazar en Ia parabola fP : [2+m(x+ 1)]'=-4x 4 + 4m (x + I) + m'( x + I)' = - 4x 4+4nu+4m + m 2x 2 + 2"?"x+"? =" - 4x Im 2 + 4m + 4 ) =0 m2.? + 2 [m2 + 2m+ 2] X+ 316 Se reduce a: EI discriminante debe ser cero: "[ /n1+ 2/n + 2 f- III r+ 2 (1112_ 2m + 21x + (m!- 4", +4) ='0 4"r [m! +4m +4] =0 4 [ m' + 2m + 2]' ~ 4m' [m + 2J'; 0 El discriminante igual a cero es: Factorizar: 4 1m' - 2m + 2J' - 4m' (m' - 4m + 4 ) ; 0 [2 (m' + 2m + 2) -2m (m + 2) ) [2 (m' + 2m + 2) + 2m (m + 2)] ; 0 4 1m' - 2m+ 2)' - 4ni' (m - 2)' =0 ,";1 4[4m'+8m+4);0 Luego, 16(m'+2m+ 1);0 => m; - 16(m + I)'; 0 Luego, 1-,: L,: y ; -2+(x+l) ly;x-iJ 1 5. La interseccicn'deL, eon 1-, es PO,O) y ; 2 - (x + I) I y ; -iii] 6. EI area del triangulo N, P N, es: 4. La recta tangente que pasa por N,(-I,-2) es: (bau) (uIIIlI'U) I~IIFPI 2 L, : y + 2 ; m (x + 1) y ; -2 + m (x + I) 2 ; (4)(2) ;4«2 2 Reemplazar en la parabola g>: [-2 + mIx + 1))'; - 4x I Problema 161 Sea la parabola y'; 4px a) Verificar que si el punto A(x, • y,). con X, "0, pertenece a la parabola entonees B (£..... , - P},l) XI tambien pertenece y que el foeo es colineal con los dos. .1] Encontrar la raz6n en que el foco divide al segmento formado por los dos puntos. b) Encontrar las tangerues a la parabola en A y B, respectivarnente. Verificar que el punto de interseccion P entre las tangentes esta sobre 13 directriz de esta. c) Identificar el tipo de triangulo formado por A, B Y P. ~ '''{Ilt /(111 til a) 1. Oraficar la parabola para p > 0, D • La tangente en A(XI ,y,) Y E ~. es L, : y - y, = m (r - x,) Luego de reemplazar en la parabola y resolver la ecuacion : discriminante :: 0, se obtiene : .1'=-p "--- I -I '\..r\.p.Vj 4t IL,: y,y=2p(x+xd! x ~> • Tenemos la parabola 9': y2 = 4px Todas las rectas tangentes a Ia parabola 9' : l = 4px que pasan por (x, ,y,) E 9', tienen la forma de LI En particular si la tangente pasa par el 2. Si AE9'~ I'Y) a B ( L. punta A(xl,2Jpxl) tendra _I .tl Xl la forma : 3. Si los puntos A, F y B son colineales, debe cumplirse que : mFA::: m FB I L.,: "" --- L_ ,"_ YI-O ~l-P ~ ' : ~---_2'1(--:: _____-_" p • -PYI = P-,- pX j p' ( z L.,: --'-' y =2p x+ LXl Xl \ ";-j-1 :~ J AI intersectar L, con ~. se obtiene P ( - p, ;, (x, - P))' que perte 1 = _Y_'_, "I-P Esta igualdad indica que los puntos A, F y B son colineales. IIOS nece a la directiz D. BllIIIIJ!IlID El triangulo ABP, de vertices : A(x" y,) , 4. Si el foeo F divide al segmento AB en una razon, entonces : - IAFI r = AF: FB , estc es r = IFBI r - 12_'(.lJ_p)2 ' !....i+(__ a ., ) " I 318 2 ,,2 p B(L,_~) Xl XI ,r=(- p , E!.(x YI I p)) es recrangulo. porque e) producto de las - - pendienles de AP y PH es -1. Pues : m AP = 21' y;- 2xI m PH =-~ YI - 21' IProblema 17 1 Una parabola con vertice en el origen de coordenadas tiene como foco el punto (0,2) (3) Determine la ecuaci6n de su directriz (b) Determine la ecuaci6n de dicha parabola, SoI"ci6n: 2. Mirando el grafico, I. Graficar los datos : P y observa que : = IVFI = 2 b) La parabola se abre hacia arriba: entonces la ecuaci6n de la parabola tiene la forma F(0,2) } y P: x 2 = 4py , p = 2 p 1'\ 50 x2 ~ 8y D .y=-2 a) La directriz es D: y = -2 IProblema 18 I Dernostrar que la ecuacion de la normal a la parabola l ;:: 4px en PI(x,. y,) es y,x + 2py = x,y, + 2py, . PRUEBA Por el problema 17. 50 prueba que la ecuaci6n de la tangente a la parabola 9': l = 4px en el punto P,(x, , y,) E 9' es: L: y,y= 2p(x +x,) 2px - y,y + 2px, = 0 L, : recta perpendicular a L en P, se llama NORMAL a la parabola 9' en el punto P,(x, , y,). La ecuaci6n de la normal L1 es : L, de pendiente: m;:: _..3..r...;:: 2p -Y\ Yl Y- y, = - ;~ (x - x,) y,x + 2py = x,y, + 2py, y L I x 319 IProblema 19 I Sea 9' una parabola can directriz L : .x- 3 = 0 y que pasa par el punta P.(-2 ,6). Si la recta que pasa por p. y que contiene al foco tiene pendiente --4/3, hallar la ecuaci6n de 9'. S,Olllc/dll : Distancia de Po a F = Distancia Po a L I, Graficar los datos: d (P. , F) = d ( p. ,L) y P: -----t6 ~(h+2)'+(-1h+1jL-6)' D .1'=3 ~(h + 2)2 + I: (h + 2)2 = 5 of I -2 25(h+2)' = 9 I I (h + 2)' 2. Observando el grafico, par la posicion de la directriz, se trata de una parabola de eje PARAUW al eje X y se abre por izquierda . 3. la recta de pendiente -4/3 que pasa por el punta P.(-2, 6) es : L: y-6=-r(x+2) 3 4. Como el foeo F E L entonces las coordenadas de F son de la forma -4h = h +2 = 3 h = 1 10 ) v v IJ 25 =9 h+2 h = ~3 = -5 IJ F(-5 , 10) F(l ,2) Como vemos hay do! soluciones : a) Si el foco es FO.2), se obtiene p Y el vertice V(2,2). 9': y=_4x+1O 3 = 13-(-2)1 =1 (y - 2)' = 4(-I)(x - 2) (y - 2)' = -4(x - 2) b) Si el foco es F(-5 , 10) Y la directriz es x = 3, entonces 2p= 13 - (-5) I p=4 F ( h'-3-+T . 5. Teniendo: el Foeo F(h, -yh+ In el punta P.(-2, 6) y la directriz L: .x- 3 = 0, podemos aplicar la definicion de parabola: 3:10 F(-S, IO) v 0 0(3,10) Luego el venice es V(-l,lO), que es punto media de FD. Luego ; la parabola es : 9' : (y - 10)' = -4(4) (x + I) (y-IO)' = -16(x+ I) I Problellla 20 ~ Los extrernos del lado recto de una parabola g"J son los puntas A(-5,4) Y B(I,- 4). Se pide: a) Determinar el foco c) Hall~lr la ecuaci6n de la directriz b) Hallar la ecuaci6n del eje focal d) hallar la ecuacion de la parabola, Soluci6n : 1. Graficar los extremos de los lados rectos, con el fin de tener idea como es la parabola: EI valor del para metro "p" se obtiene • con la longitud dellado recto: 14pI = d (A , B) y A .. '_\ =~(_5_1)2+(4+4)2 4 Y( I .' ~ 14pI = x' = B 2, Mirando el lado recto AB, podemos intuir cuatro casas: a) EI foco F es el punro medio de AB, estoes, F=t(A+B) = (-2.0) v 4p =-10 p==t v p=_2 • 2 Porque p tiene dos valores se deduce que habran dos parabolas. Una parabola ~ 1 que se abre hacia la derecha del eje focal x'. • Otra parabola !P 2 que se abre hacia la izquierda del eje focal x'. c) Elegir la parabola !P, y hallar la ecuaci6n de su directriz. b) EJ eje Foeal pasa por F(-2, 0) Y es perpendicular al segmento AB. Estos dos datos, nos permite hallar la ecuaci6n del eje foeal: • La directriz D, es perpendicular a1 eje focal x' y pasa por un punto Q del eje foeal a una distancia J2pl del foeo. EJE FOCAL: La pendiente de la directriz D1 es m=-l. 3 y-O=t(x+2) y=1. x + .1 4 4p =10 x • 10 2 mAB D, pasa pot Q. 8 - =-~ 3 ComoQ = -6 E EJEFOCAL::::>Q= (a .t a +t) Adem4s: 3. Conociendo el foco F( -2 ,0) y la directriz D,. la parabola 9', se halla aplicando la definicion de parabola: d(F,Q) = 2p ~(a+2)'+(ta+~)' =2(1) d(P • F) Se reduce en : (a =0> + 2)' a+2 AI elegir ~(x+2)' +(y-O)' = 16 = 4 v a+2 =-4 la-2lv /a--61 a = -6 obtenemos Q( -6 , -3) = d(P , D,) 14x + 3y+J31 ,)'6+ 9 AI elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene : 6OlU' + 6161- 24xy + 2236x - 198y - 1089 = 0 Entonces !a ecuaci6n de la directriz Db es:D,: y+3=-f(x+6) 4. Para p 4x + 3y+ 33 = 0 . 322 ........... . = -~ , hagalo usted. [ EJERCICIOS ) ';QiljJl-'cQ~Q:i !!l Tracese la parabola y' = px para p = 1,2,3,4, -4. i,Cual es eJ efecto de p sobre el aspectode la cur va? Para cada una de las siguientes parabolas, hallense las coordenadas del foco, Ja ecuacion de la directriz y la longitud del semilado recto. Tracese la curva, mostrando todas estas caracterfsticas. :@y'=I2x 03 y'=-l2x 04 y'=4x ~ x' =4y 06 x' = -6y 01 y'=x ~ 2y'= 5x 09 5y' = 2x 10 y'+8x= 0 ill y' = 2x 12 lOx = y' 13 y=w? Con los datos siguientes, hallese la ecuacion de la parabola: jD Foeo (6,0), directriz .r =-6 ~ Foeo (-4,0), veruce en el origen, j!] Vertice en el origen, eje coincidente con el eje-x, pasa por el punto (3,2). i,Cual es el foco de esta parabola? ill Lado recto igual a 8, vertice en el origen, eje coincidente con el eje-y. [] Pasa por (5,4), (5, -4) Ypor el origen, su eje coincide con el eje-x. Hallese el foco de esta parabola. !!J Directriz .r = 6 , venice en el origen. ~ Los extremes de su lado recto estan en los punlos (2,4) y (2,-4) , su venice esta en el origen, iI] EI foeo esta en (0,-4), 10 directriz es paralela al eje-r y esta por encima del mismo, el lado recto es 16. 221 Foco m «. 0) , venice en el origen, Hallese Ia ecuacion de la circunferencia que pasa por el vertice y los extremes del lado recto de la parabola y' = 4x. ~ La secci6n longitudinal de un reflector es una parabola de 8 centimetres de ancho y 4 ccntfmctros de profundidad. A que distancia del venice se encuernra el foco? ~ Un arco de forma parab6lica mide 6 metros a 10 largo de su base; su venice esta 2,4 metros arriba de la misma. Hallese la longitud de una viga paralela a la base y 1,8 metros arriba de 13 misma. ~ Un cable de un puente colgante est. suspendida en forma parab6lica, las torres de soporte de los cables se encuentran separadas 180 metros una de la otra. EI cable pasa por las torres de soporte a 33 metros sobre el nivel de la plataforma. y el punta mas bajo del cable esta a 3 metros de Ia misma. Hallense las longitudes de las barras suspensoras (del cable al suelo) a intervalos de 15 metros del centro del puente hasta una torre de soporte. m EI area de un puente de piedra tiene la forma de una parabola; la luz es de 12 metros y la altura maxima de 3 metros. Hallese la altura del areo a intervalos de 1,5 metros. desde un extreme hasta el centro. Usando la definici6n de parabola, hallese 'a ecuaci6n de la parabola cuyo foco y directriz estan dados: 2il (6,0) , eje-y 29 (3,4) eje-x ~ (5,-4), recta x - 3 = 0 31 (-6,2), eje-y ~ (0,0), recta x + 4 = 0 33 (-5,3) , recta x + I ~ (8,-4) , recta y - 2 = 0 35 (3,-4), recta y + 2 = 0 3Sl (-1,-5), recta 11 (-2,0), recta y - 4 = 0 y + I =0 ee 0 ~ (2, I) , recta 3x + 4y = 0 39 (0,0), recta x + y - 6 ~ (4,-3), recta 41 (O,ll, recta 5x + 12y - 13 = 0 y =x =0 ~ (2,4), recta 12x - 5y = 0 ~ EI radio focal de un punta de una parabola es la recta que une el foco can este punta. Demuestrese que el radio focal del punto (x,y) de la parabola longitud 324 Ix + t I p l = 2px tiene una ...,~>,,'t""'''.;·;,.,.._,,?". ~., :GR!:!~.O 02· De los datos siguientes, hallese la ecuaci6n de la parabola: @II Vertice (2,3), foco (5,3) @) Foeo (6,1), directriz, el eje-y @) Vertice (4,-2) lado recto igual a 8, eje y + 2 = 0 (® Vertice (2,5) foeo (2,-1) @ Vertice (3,1), directriz, y = 3 @ Vertice (-4,-3), directriz, x = 6 @) Extremos dellado recto (-2,-7) y (6,-7), vertice por debajo dellado recto. @) Foco (4,-1), directriz x = -I @) Foco (-3,8), directriz, el eje-x @ Vertice (1,-2), foco (+, -2) @ @ Extremes dellado recto (3, I) Y(3,5), abierta hacia la derecha. @ Vertice (3,2) , distancia del vertice a un extreme del lado recto igual a paralelo a OX. Abscisa de un exu "rna dellado recto igual a 5, vertice (1,-1). Eje paralelo a or. .J5, eje Reduzcanse cada una de las siguientes ecuaciones de parabolas, a una de las formas estandar. ( y - k)' = 2p (x - h) , (x - h)' = 2p (y - k) Hallense las coordenadas del vertice y del foco, y la ecuaci6n de la directriz. Tracese la curva. @/-8x-2y+17=O tID / + 12x - 6y + 45 = 0 00 :C- (ill x'- 8x + 4y + 12 = 0 12x - lOy + 36 = 0 @ / +8x + 14y + 89 = 0 @ / - 24x -4y -20 = 0 @ 2/ - 15x - 20y+ 35 =0 @/+16x+8Y+16=0 tEl 4x' - ® 3/+ 12x - 24y - 15 = 0 @x'-8x+16y=0 @:C+ x+y-I =0 16x-96=0 ..... @ Un cable de ucero esta colgado por los dos extremos; los puntas de suspension estan situados II unu misma altura y a una distancia de 20 m. La magnitud de la flexion a la distancio de 2 m de los puntas de suspension en sentido horizontal, es igual a 14,4 em. Determinar la magnitud de Ia f1exi6n de este cable en su punta media (la f1echa), suponiendo que el cable tiene la forma de un area de parabola, @) Hallar la ecuaci6n de la parabola, si se dan su foco F (2 ; -I) Y la directriz. x-y-I=O @ Dado el vertice de una parabola A(6; -3) y la ecuaci6n de su directriz 3x - 5y + 1 = 0 hallar el toea F de esta parabola. @ Dado el venice de una parabola A(-2;-I) v I. ecuacion de su directriz x+ 2y - I =0 hallar Ia ecuaei6n de esta parabola. @ Hallar en la parabola y' = 64x el punta M 1 mas pr6ximo a la recta 4x + 3y - 14 = 0 y ealeular la distancia d del punta M 1 a esta recta. @ Dcsde el punta A(5;9) se han trazado tangentes a la parabola ecuaci6n de la cuerda que une los puntas de contacto. y' = 5x Hallar la ® Dados los segmentos AB de extremes A(3,-2) y B(7,I) Y la parabola 8y + 17 = 0, hallar sabre Ia parabola un punta Q tal que unido a los puntas A y B forme un triangulo cuya areasea minima. Hallar el valor del area. x' + 2x - @ Una parabola cuya directriz es el eje X es tal que su foco esta en 13 recta L1 : 2x + 5y + 12 ~ 0 y su vertice esta en la recta L, = 3x + 5y - 6 ~ O. Hallar I. ecuaci6n de la parabola. @) Si eI venice de una parabola es el punta V(-2,-3), Ja longitud dellado recto es 4,[5 y la recta tangente a la parabola en V es £, : 2\" - y + 1 = 0, determine la ecuacion de la parabola. @ Si el vertice de una parabola es V(-2,-3) y un extrema del lado recto es el punto (0,-7); encontrar la ecuaci6n de la parabola. 326 @ Una parabola fJ' para por el punto A(6,4) y su vertice es el extremo derecho del eje menor de la ELiPSE &, : 4/ + 9x' = 36. Hallar la ecuaci6n de fJ' y graticar fJ' y &, en un mismo sistema de coordenadas. x @ Dos puntos de una parabola son: P(7,8) y Q(2,-2). Si la directriz es la recta L : = 3 encontrar la ecuacion de la parabola (dos soluciones). @ Sea 0 el centro de la circunferencia C : x' +/ + 8x + JOy + 23 = 0 Y D : x = -I la directriz de una parabola fJ', cuyo foco es el punto F ubicado en el primer cuadrante. Si 7{-1,-2) divide al segmento OF en la razon r =:t, hallar la ecuaci6n de la parabola ® Una parabola fJ' que tiene como eje focal a la recta y = 5 Y cuyo foco esta situado en la recta 2x - y=2, pasa porel punto A(3,5 +.fi). a) Hallar la ecuaci6n de cada una de tales parabolas, b) Hallar en la parabola de la parte (a), que se abre hacia la derecha, todos los puntos Q tales que el area del triangulo VFQ sea 3)1, siendo V y F el venice y el foco, respectivarnente, de dicha parabola, ® Un triangulo equilatero inscrito en la parabola (x + 2)' = 4(y - I) tiene uno de sus vertices coincidentes con el vertice de la parabola. Hallar las coordenadas de los vertices del triangulo, ® Dadas: la parabola fJ' de ecuaci6n x' - 8x + 3by = 0, donde b es una constante no nula, y la recta £ : 3x - 2y - 5 = 0 que pasa por eJ foco de fJ'; hallar los valores de la constante by la longitud dellado recto de las parabolas correspondientes, @ Hallar la ecuaci6n de la parabola9' que cumple con las siguientes cuatro condiciones: i) La circunferencia C: (x - 2)' + (y - 3)' = 25 corta a la parabola fJ' solamente en su venice V. ii) La parabola fJ' tiene eje focal paralelo al eje X. iii) Un extremo del lado recto esta contenido en la recta £: y = -x + 16 iv) EI foco de fJ' tiene abscisa mayor que 7. 327 B,."", Grupo 01: 05 (0,1). y =-I 03 (-3,0) ,x = 3 •1=6 fYI .t =2 Of 0,1,0) , x = ~,I , / = (t,O).x=-t,l=t t II (t.O).x=-t,I=1 13 (0 ...«t: .J...) y=_.J... / =.J... 4G'1. 15 y' = -16< 17 x'=±8y l' y'=-24x 21 x' = -16y %3 x' + y'-~x=O 1.5 3 m. 1.7 0 m, 1,31~ m. 2,2~ m, 2,8125 m, 3 m 1.!1 x'-6<-8y+ ~ =0 31 y'+ 12x-4y+40=0 3J 1+ Rx-6y+ 33 =0 3~ x'-6<+4y+21 =0 37 y'+12x-12=0 3' x' - 2xy + 1+ 12x+ 12y - 36 =0 41 144x'-12o.y+~y'+ I3Or-26y=0 Relp"ella! Grupp 02: 01 (y - 3)' = 12(.1 - 2) 03 (y + 2)' = ±8(x - 4) 05 (.1- 3)'= -8(y - I) fYI (.1- 09 (x + 3)' = 16(y - 4) 11 (y - 3)' = 4(.1 - 2) 13 (Y-2)'=±4(x-3) 1~ (Y-3)'=-12(x+3) , V(-3.3),F(-6,3) ,.1=0 2)' = 8(y +9) 17 (.1-6)'= lOy, V(6,O) , F(6,t), y =-t l' (y + 4)'= -16<, V(O,-4) , F(-4,-4) , .1= 4 Z1 (x - 4)' = -16(y - I), V(4,1) ,F(4,-3), y = 5 %3 (x+t)2=-{Y-t),V(-t,t),F(-t,I),y=t 1.~ i =-.!f(X-6),V(6,O),"'CIf,O),x=-¥ Respuests. GIJIPO OJ: fYI Q(2,~) :J2I . Area=I1.75,u' 08 x2=_~(y+~) 09 (y + 3)' = 8(.1 + 2) " CAPITULO 7 LA ELIPSE 1.0 Imo..... La elipse es una curva cerrada, similar a las siguientes : .., I E1?--" --- ----F;----: F2 ,.. ~F2 -----:- -- !F 1 .: @ ~ ...~ ---1.----_// .... , : /\F, :' -"'-, F'J" '. .. -, Para definir la ELIPSE necesitamos conocer algunos elementos propios de ella, En una elipse, se tienen : L, >( p Lj x· ElBR:>CAL y' ElENORMAL c= (h,t) V" V, vertices F"F, focos [V, , V,) [B , B,l L"L, 329 CEN11l0 DE LA ELIPSE ars MAYOR (de longitud 2a) ElE MENOR (de longitud 2b) DlRECl'RICES Los ~e~1 que se definen en la elipse son : '" ~: CUERDA FOCAL (segmento que pasa por los • focoa) NIN~: lado recto (cuerda que pasa por los focos y es perpendicular al eje focal) • • DD': DIAMI>l'RO (cuerda que pasa por el centro) • F1P Y F~P se lIaman RADIOS VECl"ORES (son vectores que se trazan de cada foco al punto P de la elipse). · __.e' , IUIIICIOIIE ElIPSE 1.1 S'RJI§tte.s fijos F, Y F2 lIamados 111& fill!lkil!lk9 , y d~na constante "a" tal que a > c > 0, se define I" elipse como el conjunto de'todos los puntos P tales que la suma de las distancias de P a los focos F, YF2 es igual a 2a. esto es. Dado?' 1 FOCOS. separa Id(P.F,) + d(P,F,): 2a I usando notaci6n conjuntista, la EUPSE se define como : ,,: {P(x.y) e lR 2 / d(P. F,) + d(P, Fi): 2a} 1.2 IECTIS IllEmlGH Dos rectas L, y L, se lIaman rectas directrices de la elipse if, correspondiente a los focos Fj y F2• respectivamente, si son perpendiculares al eje focal, no cortan al segmento F 1 F2 y.si existe una constante "e", lIamado excentricidad de la elipse tal que para todopunto P e Ii; se cumple e 33lJ diP ,f;) dIP.L, ) d(P.F2) diP,L, ) • O<e<1 1.3 DISTANCIAS CONOCIDAS EN UNA EUPSE Las distancias conocidas en la elipse son: modo: a) d(V"C) = d (C,v,) = c) c = d (c'F,) ~ d) c=ae e) 0' = b' + c' b Y c, las cuales se definen del siguiente (distancia de cada vertice al centro) 0 =d (C,L,) = s: e h) d(C,L,) 0, (distancia del centro a cada directriz) =d(C,F,) (distancia del centro a cada foco) e=.£ a (relaci6n pitag6rica entre yo> b = d(B"F,) =0 d(B"F,) = d(B"F,) = 0 0, b, c) f) d(B"F,) B, : extrerno inferior (izquierdo) del ElE MENOR. g) B, ITeorema IJ extreme superior (derecho) del ElEMENOR. La ecuaci6n de una elipse de centro en el origen, eje focal el ElE x, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 20, es: ' [IB--cD ~+lT=l a Donde: es la relaci6n pitag6rica entre a _.!!. • • z- b 0, by c es la excentricidad de la elipse, con 0 < e < I e=.£. L1 : x = 1, a es la longitud del semieje mayor es la longitud del semieje menor "a" "b" 2 2 2 0 = b + c 2~ b , es la longitud del lado recto. L,.: x =!!. • • son las ecuaciones de las directrices. Demostraci6n : 1. Sean F, y F, los foeos de la elipse y P(x,y) un punto de I. elipse. Por definici6n de Elipse, se tiene : y B,(O,b) d(F"P) + d(F"P) = 20 (-a,oWA ~(X+C)2+y2 +~(x_c)2+y2 =20 F\(--e,O) B,(O.-b) ~(x+c)2+y2 =20-~(x-c)2+/ 331 (x+e)2 + i = 4a 2 -4a ~(.x- e)2 + y2 + (x-e)2 + l x 2 +2cx+e 2 + y2 =4a 2 -4a~(X-e)2 + l 4cx = 4a 2 -4a~(x-e)2 + i a~(x-e)2 + i =a 2 -ex • +X 2 -2cx+e 2 + y2 elevar al cuadrado : a' [(x - e)' + y') = a' - 2a' ex + e' x' a' x' - 2a' ex+ a' e' +a' y'=a' -2a' ex +e' x' (a' - e') x' + a' y' = a' - a' <? (a' - e') x' + a' y' = a' (a' - e'). b' x' + a' y' x2 Hacer: a' - e' = b' = a' b' . y:Z -, +-=1 a b2 . Dividir entre : a' b' ECVACION ORDINAIIJA Es la ecuaci6n m6s simple de la elip.e lqqd. ICOToiano I La ecuaci6n de una elipse de centro en el origen y eje foeat el eje Y, es: 15+~=1~ • y a>b 11(0,.,) Nota: BastarA ver la posici6n de "a" para identificar si el eje focal coincide coilel EJE x 0 con el EJE Y . , , T + 'I} = I; a := :3 est~ debajo de EJE FOCAL coincide (-b,O)8, 'B,(b,O) 1 yZ ~ yz. . 1i"+T=l. I. entonces el ron el EJEY. a = 4 est~ debajo de ;.. entonces el EJE FOCAL coincidecon el EJE X. -;-+T=I; I\(O,-a) 332 a =,f8 .slA debajo de I. entonces el EJE fOCAL coincide con el EJE Y. ~ara graficar una elipse bastara conocer. el centro y valores de a y b. I lOS ~'i~;:iROBLEW 'RESuiLTOS:, .'.<0 , ,~' [ProblemnOl1 ',".;> • ' ..... , ,J . . _',) " ..:,.,\,:,:; ,~"",. '" " -, "," En cada uno de las ecuaciones: a) y b); hallar: i) las coordenadas de los vfrtlces ii) las coordenadas de los locos ,/ iii) lolongilud deleje mayor iv) lalongilud del etemenor v) 10 excenlricidad a) 9x'+4y'=36 vi) II Iongitud dellado rec.. x'+4l=16 b) SoI"d6n de n) En primer lugar, escribir la ecuaci6n: 9x' + 4y' = 36 en su forma ordinaria Para ello, dividir entre 36: 14 +? I_ =I forma ordinaria En segundo lugar, hall... el valor de n y b de 1aecuaci6n ordinaria. EI valor de n' es n' = 9 2 EI valor de b es b' = 4 , entonces n = 3 , entonces b = 2 En tercer lugar, debemos identificar el I!IE RlCAL : como n = 3 se encuenlra debajo de la variable Y, afirmamos que ell!lE RlCAL coincide con el eje Y. En tercer lugar, hallar e1 valor de "c" con la relaci6n n' = b' + c' 9 = 4+ c' C = ±./s En cuarto lugar, hacer el grafico: Necesitamos conocer el centro y los valores de n = 3 y b = 2; para poder ubicar los puntos: VI , V, , B, , B,. y ...._1 I I8,(2,0) V\(O,-3) x • Los venices son: VI(O,-3) , V, (0,3) • Extremos dell!lE MENOR: B,(-2,O), B,(O,2) • Losfocosson: F1(O,-./s) , F2(O,./s) • La longitud del eje mayor es : 2a = 2(3) = 6 • La longitud del eje menor es : 2b = 2(2) = 4 • La excenbicidad es : e = -; = • La longitud dellado recto es: "'! -- 1f, ININ, I = = 2(4) 3 =1 3 331 Soilleld" • b) I" Escribir la ecuaci6n f + 41 = 16 es su forma ordinaria Para ello, dividir entre 16: 1* + 4 II. = forma ordinaria 2" Hallar tI y b. De la forma ordinaria, obtenemos: el mayor es lenemos: a'= 16~ a=4 ; b'= 4 ~ b=2 3" Porque a' = 4' a' y el menor es b'. Asr esta debajo de f. afirmamos que el eje focal coincide con el ElE X 4" EI valor de "c" se halla con la relaci6n: a' = b' + c' ~ 16 = 4 + c' ~ C = 2J3 .. 3.46 S" EI grafico es: /li.O,2) H,. (4,O)Y'\F, H, B,(O,-2) • Los v6rti~s son V'<-4,O) • V,( 4.0) • Los focos son • • La longitud del eje mayor eo : 24 = 2(4) = 8 La longitud del eje menor eo : 24 = 2(2) = 4 • La excentricidad es : e • PI (-2J3. 0) , F2 (2J3. 0) =s:" =M4 = J3 2 -, La longitud dellado recto eo : 1N IN 2 1= 1!L. a = I I Problema 02 2(4) =2 4 Hallar la ecuaci6n de la elipse cuyos vertices son los puntos (4,0), (-4.0). Ycuyos focos son los puntos (3.0), (-3.0). Soluci611 : I. Graficar 10. datos, con el fin de percibir, "que forma tiene la ecuaci6n de la elipse? 2. Como los dos vertices y los dos focos estan en el ElE x, entonces la elipse tiene la forma: ~ Xl y2 a b' 2+~=1 2. ""-3,0) ..-t:. . F,(3,O) ~ 3. Debemos hallar a y b : Y,(4,O) Y,(-4,O) , 'fa "Como !V, V 2 1 = 24 14 - (-4) I= 24 8 = 24 I.. =41 :J84 ii) IF, F2 / = 2c ~ 13-(-3)1 = 2c 6 = 2c c = 3 a' = jii) Por la relaci6n : b' + c' 16 = b' + 9 ~ b' = 16 - 9 Ib' = 71 a , 4. ConclusiOn: la ecuaci6n de la elipse es: ~6 + ~ = I . ~le"", 03 I Los vertices de una elipse son los puntos (0,6), (0,-6), Y sus focos son los puntos (0,4), (0,-4). Hallar su ecuaci6n. ,~/"uciOn : I. Graftcar,los datos, para poder intuir i.qu~ forma tiene la ecuaci6n de la elipse? 2. Por la posici6n de los vertices y los focos, la elipse y tiene la forma: 1',(0,6) , , L.+.L...=1 2 I F,(O,4) b a a=?,b=? Debemos hallar : , I I 2c 2<l 3. En el grafico : x 2a = 12 2c= 8 ~ Ia = ~ c=4 4. Para ballar b, aplicar la relaci6n : F,(O,-4) 1',(0,-6) a1 = b1+c1 36 = b' + 16 !b1=201 5. Luego, la elipse es : y2 36 .r 2 _ +20- 1 61 IProblema 04 I Los focos de una elipse son los puntos (3,0), (-3,0), y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Hallar 10 ecuaci6n de 10 elipse. SoI,"UJII: I. Oraficar los focos y el 1ado recto. r 2. Sepin el sr66co, la ecllllCi6n de la elipse liene la N, N, ! ! forma : . , jFl 2<: N•, &: • I .2 .Z =+L=I a=?, • b=? N. 3. Para poder hallar a y b, debemos usar los datos del problema : 2c=6~c i) ., 11/ .. 3 £-9 u2=9a ~ b 2 -.2s. ~ ~"' - 2 (I) . L - t ...... d1110dD ""10 4. Pero: a' = b' + C· ~ a1 = b1+9 , co"",~ =3 (2) 5. Reemplazar (I) en (2): ..,a' ='t+9 2a 2-9a':'.8=0 .' ",.- a = 91,111- 4(2)(-11) .( 9.15 a=- <a=-t .& G. Elegir a ~ 6, entonces en (I): 7. Conclusion: :lStI .. ' L 2 · 9(61 _ b =-2~- .. : ~6+27~1 I 27 a=6 IProblema OS I Hallar la ecuaci6n de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0), (-2,0), y su excentricidad es igual at. SOIIlCWII: I. Graficar los focos: 2. La ecuaci6n de la elipse tiene la forma y , 8;: F, F, , + L..::l 1 a=? . 2c b b=? J. Del grafico obtenemos : 2c ; 4 C ; 2 4. La excentricidad es 3. obtuvimos: e=£. • ,;"'~"';£.~20;3c Por dato, se tiene 5. En ..!....a1 3 3 (4.) • I 20; 6 ~ a; 31 c; 2 ; al sustituir en (4') : 6. Por la relaci6n pitag6rica: a'; b' + c' 7. Por tanto, la ecuaci6n de la elipse es : IProblema 06 I Ib';51 ~ 9; b'+4 obtenemos : c. "'. , , L+L;I 9 5 Hallar la ecuaci6n y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vertices es el punto (0,-7) y que. y pasa por el punto 1',(0,7) .p(Yr,¥) (.,f5 , Ii ) SOlllCi611 : I. Graficar el vc!rtice dado y el punto dado, con el fin de percibir geometricamente el problema. I ~ ! 2a 2. Como el vc!rtice V, pertenece al WE Y Yel centro de 1a e1ipse es (0,0), eittonces la ecuaci6n de la elipse tiene la forma 6;: , , .;- + .., ; 1 • b 0;:::1 •b =: ? V,(O,-7) 337 3. Por simetrfa, 01 ono v~rtice es V, (0,7) Adem4.: 2a. 14 = 71 la 4. Reemplazar el valor de a en la elipse, asf obtenemos: 5. Si p(v'5, '; )E& =:> I b' ; 91 Luego, la ecuaci6n de la elipse es &: I J9 \!l. b1 (~! + (~)' =1 De esta eeuacion se hall. b': Il'roblema 07 , , c. L+.£...=I , , :9 + + =1 Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuaci6n sabiendo. Que pasa por los puntos (.,f6, -I) Y (2,,fi) . Sol"ci61l : 1. Si el eje mayor de la elipse coincide con el eje x, enlonces la ecuaci6n de la e\ipse es , , de Ia forrna:. & .. .£...+L =1 b2 a2 y (I) 3. Si (2, ,fi) E if, =:> 4-+4-= I (2) a ..... .(2,0/2) I 2. Si(,f6,-I) E&=:> -+++=1 i a x b b 4. Resolver el sistema de ecuaciones formados por (I) y (2): ............ (I) 6..L+1·..L=1 2 a hI { 4·..L~2·..L=1 ............ (2) R2 Multiplicar (I) por -2 y sumar con (2); se obtiene a' = 8. Sustiuur a' = 8 en (1). se obtiene b' =4. 5. En consecuencia la elipse es &: 338 ..[2 y2 'R + -4- = 1 hI lA ECIACION DE II EliPSE DE CENTRD (h ,k) II DES PARAlElDS AlDS DES CDDRDEII1ADDS Supongamos que x' y Y' son los nuevos ejes coordenados cuyo origen de coordenadas es 0' . La ecuaci6n ordinaria de la elipse de centro en 0' respecto al sistema X' Y' Ycon eje focal el eje X' • es : s. ,2 ,2 "-;-+';-=1 a b x donde (x'. y') son las coordenadas del punto P E & respecto a1 sistema X' Y' x' I __.. Y = k + y' AI reemplazar en la elipse, se obtiene : I"(x'",') l x' : y t-f<i.{~,k)- -----x' Pero las coordenadas del punto P' respeclO al sistemaoriginal XY son: x = h + x' AI despejar x' e y~ respectivamente, se ,obtiene: x ' = x-h { s' = y - k: ~ : o ~ I I& : ~ +~ = 1 ~ x a >b La ecuaci6n al, es Ja ecuaci6n de la elipse de eje focal paralelo al EJE XYcentro en el punto (h,k). !Teorema y Zl r . -.\29-r ~ : La ecuaci6n de la elipse de centro en el punlO (h,k) yeje focal paralelo al EJE X, eslll dada por: , , ~+~=I 2 Col] b 3'\+·- I Ii! X II si el eje focal es paralelo a1 EJE Y, su ecuaci6n esta dada por : Y Ir Q1-, x (y-k)' a2 + (.-h)' = I b 2 4). I Para cada ellpae Ie dene : as la longitud del semieje mayor as la longitud del semieje manor es la distan<;ia del centro a cada foco /I b c tl ~ b' + t! 1i. • es la relaci6n Pitag6rica entre a, b y c as la longitud de cada lado recto. es 1. excentricidad. • = s:. • Lasdireclrices de G) sonL: x ~h±; ITeore"'" 31 Ej,mplos : ; de(!) sonL: y =k ±-;- ; Si los coeficientes Aye son del mismo signo, la ecuaci6n Ax'+ cl + Dx + Ey + F = 0 representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, 0 bien un punto 0 no reprcscnta ninglln lugar geomttrico real. Dado las siguientes ecuaciones : a) 9x' + 41- 8y - 32 = 0 b) 4x' + 91 + 32x - 18y + 37 = 0 c) x'+41-4x+24y+40=O d) x' + 41 + 2x + 17 = 0 Diga, si son elipses 0 no. Si son elipses, hallar su centro, los vertices, los focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la longitud de lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las directrices. SoIl1eion dell) Lo primero que haremos es completar cuadrados para llegar a la forma ordinaria de la elipse, Veamos: 9x' + 41 - 8y + = 32 9x' + 4(y'- 2y + ) = 32 9x'+4 (y'-2y +1) = 32+4 9x'+4(y-1)' Dividir entre 36: 340 = 36 Lx; + (y~l): = II ~ Forma ordinaria de la elipse orque a' = 9 esta debajo de "y" afirmamos que el eje focal es paralelo al Ell! Y EI centro es C = (0,1) a'=9 => a=3 b'=4 => b=2 EI valor de c se obtiene con la relaci6n: a Z = b2+c2 9 = 4 +c' => c'= 5 I y 9 II y=I+~ Y, => c =../5 Para hallar las coordenadas de los vertices, de los focos y de los extremes del eje B.---- ,, B, I II X menor se lorna como referencia el centro C= (h,k) = (0,1) y las longitudes: a = 3, Y, c=../5,b=2. AsI,obtenemos: L,:y=I-* V, = (h, k - a) = (0,1 - 3) = (0, -2) V, = (h, k: + a) = (0,1 + 3) = (0,4) F J = (h, k: - c) = (0,1 -../5 ) F, = (h,k+c)=(O,1 +../5) 8, = (h+b,a)=(O+2,1 )=(2,1) 8 1 = (h-h,k)=(O-2,1 )=(-2,1) La longitud del eje mayor es 2a = 2(3) = 6 La longitud del eje menor es 2b = 2(2) = 4 2b' _ 2(4) _ 8 La longitud de cada lado recto es : .--3--"3 La excentricidad es e = s: = ,fl • 3 Las ecuaciones de las directrices son L : y=k±!!. • y=I±9!.f5 Solucwlt de b: Cornpletar cuadrados para lIegar a la forma ordinaria 4x' + 9y' + 32x - 18y + 37 = 0 4.>:' + 32x + + 9y' - 18y + = --37 4(x' + 8.>: + ) + 9 (y' - 2y + ) = -37 4(x' + 8.>:+ 16) +9 (y' - 2y + 1) = -37 +64 +9 4(.>:+4)+9(Y-1)' =36 141 «+4)' 9- + il..:.!ll ... 4 y y' • forma ordinaria :II:Z Porque ",2. 9 e.14 debajo de x, afirmamos que el eJe focil es paralelo al eje X • BI centro es C = (h, k) = (-4,1) • ",2.9 => a=3 • b'.4 => b=2 • EI valor de c se obtiene Con la relaci6n: • Los vmices son -- • • - --1- ._,. " . Y1\ FI . .... _,_. __ F2 Y2 ;-4 :81 a2 :::. b2+c2 9 =4+c' => c'=5=> c=./5 v, = (h-a,k) = (-4 -3,1)=(-7,1) V, = (lI+a,k) = (-4+3,1)=(-1,1) 1", = (h -c,k) = (-4-./5,1) • Los foeos son 1", = (h+c.k) =(-4+./5,1) B, = (lI,k-b) = (-4,1-2)=(-4,-1) B, = (h,k+b) = (-4,1 +2)=(-4,3) • Losextremosdelejemenor: • La longitud del eje mayor es : 2a = 2(3) = 6 • La longitud del eje menor es: 2b = 2(2) = 4 • La longitud de cada lado recto es: • Laexcentricidad es : e -:: : L " • "'" 1f= 2~4) = t ..{5 3 Las ecuadones de las directrices son L: x = h ± s: • x=-4±9!,fS Solllcw" d. oj Completar cuadrados : 41 - :l- + :l--4x+ 4x + 24y + 40 = 0 + 41+24y+ . =-40 :l--4x+ + 4(y'+6y+ ) =-40 :! -4x+4 + 4(Y'+6y+9) =-40+4+36 (x - 2)' + 4 (y + 3)2 =0 EI gr~fico de esta ecuaci6n es el punto (2, -3). 142 ,-r Soluewn de d) >?- + 41 + completar cuadrados : 2.>: + 17 = 0 >?-+ 2.>: + .. , + >?-+ 2.>: + I .. (.. +1)' + + 41 41 41 , = -17 =-17+1 =-16 ~ ,.talume ~ UR nUmIIro fill positi,o Esta proposici6n es negltivo FALSA para todo parordenado (.. ,y) E 1R' En consecuencia, no existe ningun lugar geometrico. ... ' ,U U, ' . " , .',. ~1il._Jf~ ~', Jt~.':'~ :;·d:2j1A IProblema 08 I Los foeos de una elipse son los puntos (-4 , -2) Y(-4 , -.6) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallese la ecuaci6n de I. elipse y su excenlricidad. SoludAn: I) segmento I, Graficar los focos, con el fin de tener una idea de la forma de 1aelipse I < % Pi F2 C=t(Fl +F2)=(-4,-4) y > EI centro es el punto medio del iI) c=d(C,F,)=\-2-(-4)1=2 L dbltuleitl DEL CENTIlOAI. FOCO iiI) Por dato del problema se tiene : -1!l. 6a 2, Por la posicion de los focos, podemos afirmar que la elipse tiene eje foeal paralelo al eje Y y por 10 tanto la ecuaci6n de la elipse tiene la forma : (y-l)' + (x_h)' a2 h::::? • k =? b = 1 a =? . b =? _ z ...... (1) oo-2b L- W NGTTUD DEl. lADO IlllCJ"O iv) Aplicar la relaci6n : =:0 2 = a'=b'+c' ,donde c=2. a'=b'+4 b'=a'-4 ......... (2) (1) Y (2) forman dos ecuaciones con dos incogmtas. 343 v) Reemplazar(2) en (I): vi) Elegir a = 4 Reemplazar en (2) : 6a = 2(a' - 4) b'= 16-4= 12 a'-3a-4 = 0 a= 4 (a-4) (a+ I) =0<';=_1 3. Entonces la ecuaeiOn de la elipse es (1+ 4)' 16 J: • w : IProblema Oil I + (<+4)' 12 =I Los vl!rtices de una elipse Ion los puntos (1,1) Y (7,1) Y su excentricidad es Hallar la ecuaci6n de la elipse, las t. coordenadas de sus fOCal y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto. SoluciOn: 1. En primer lugar, graficar los vertices can el prop6sito de identificar que forma tiene la ecuacion de la elipse. 4. Par dato del problema : e=-,,=1:::>3c=a • (I) 3 y j1Y, _L·.mn ~y, - . 2, Par la posicion de los vertices, podemos pensar que la ecuacion ordinaria de la elipse es /i,: (.-h)' .' + (y-,t)' =1 b h=? ,k=?, a=1 ,b=? 3, EI centro es el punto media del segmento VI V 2 esto es, c=t(VI +V2)=(4,1) 344 5. 20= d(V,. V,) 2a=6:::> a=3 (2) 6. (2)en(l): 3c=3:::>c=1 (3) 7. EI valor de b se halla can la relacion : a2 ::; b1+c2 9 =b'+ I:::> b'=8 8. ConclusiOn: Conocidos: el centro C(4,1), a = 3, b' = 8, la ecuacion de la elipse es /i,: (.-4)' (Y-I)'-I --9-+--8- IProbietlUlIO I Determinar la ecuaci6n de la. elipse euyos foeos son lu intersecciones de la eireunferencia e: x' + l - 4x - 2y - 20 ; 0 con la recta l: x - 5 ; 0 y UIlO de los extremes de su eje menor esIA sobre la recta l, : 2x - 3y - 13; O. Solu.iOn: 1. En primer lugar, grafiear los datos, para tener mejor idea acerca del problema. La eircunferencia Y e: t:x=' .l-4x+ ... +l-2y+... ; 20 .l-4x+ 4 +l-2y+ 1 ; 20+4+ I (x- 2)' + (y - Ii ; 25 aNTRa; (2.1) • RADIO; 5 2. Para graticar la recta llo basta dos puntos l I ::Lt-j -1j; x y 0 -13/3 13/2 0 o 5. Per la posici6n de los focos, se trata de una elipse de eje paralelo al eje Y. 3. La recta l: x; 5. es vertical 4. Mirando el grafico, observamos que los focos F , Y F, se oblienen resolviendo el sistema de ecuaeiones siguiente .l + l-4x -2y- 20= { x =5 0 (I) - 20 - 2y - 20; (y_l)2 a2 + (.r_h)2 =1 b2 h=? • k=? • o=? b;? 6. EI centro, es el punlo medio de Fj F, C=!(Fj+F,)=(5,1) (2) Reemplazar (2) en (I) 25 + l &: 7. EI valor de c se obtiene de: 0 Y' - 2y - 15; 0 (y - 5) (y + 3); 0 2c = d (Flo Fi) <_ Asi. obtenemos los focos : y=5 y-- 2c;8 ~ IC=41 3 8. Los extremes del eje menor son: B, (5 - b , I) y B, (5 + b. I). F , (5 • - 3) , F, (5,5) H6 lI. Perc B2(5 cumple : + b , I) Ii.t.. entonces se 10. EI valor de a se halla can la relacion : 2 a = b2+c2 a' ~ 9 + 16 2(5+b)-3(1)-I3~O a' ~ 25 2b-6~O I b~ 3 u. Conclusion: 1 La ecuaci6n de la e1ipse es : &: !1"roIIle_ II I (Y-I)' -25--+ (._5)' 9 1 Hallar las ecuaciones <Ie todas las elipses tales que. para cada una de elias, su cenlro es el punta C(4,3), su eje focal es paralelo a "un eje coordenado y la recta L: y ~ 11: pasa por uno de sus focos y par un extrema de su eje menor. Sol.d6II: I. Oraficar los datos del problema : r r I Par simebia, el segundo foco es F,(7,3). y'-h 3. En este caso la elipse tiene la forma ...#,-------.-----t--.-------- ..--- . ··-r F, iC(4,3) &: h~? J i x (.~_h)2 ,,2 k.=? + (y_.i:)2 =1 b2 a=? 4. El centro. es el punta media de F1 F, ' esto es: c~t(Fj +F2 ) = 1(4.3) 2. Si el centro es C(4,3), si el eje focal es paralelo at eje x y si el foco F, pasa por la recta y ~ 3x, entonces: b=? I 5. EI valor de c es : c = d(F"C) c ~ 3 3=3.r => x= 1 En consecuencia las coordenadas del foco F, son (1,3). C=3 FlO,]) C=3 C(4,3) 6, Como el extrema B, del eje menor pertenece a la recta y ~ 3x y el centro es C(4,3) entonces x ~ 3 Y b ~ 3(3) I b=9! F,(1,3) 7. EI valor de a se obtiene can' la relaci6n: a 2 = b2 + c 2 ii) Las coordenadas del foco F, son'((y) donde y = 3x. a' = SI + 9 Ia' = 901 iii) c = '12 - 3 1c = 91 8. C........: La elipse es: (x-4)' + (y-3)' =1 90 81 e- J: Para x = 4, se obtiene F, (4,12) iv) Las coordenadas del extreme B, del eje rnenor son (x,3). Como B, paaa por la recta y = h. entonces EI eje focal es paralelo al ejey. 3x = 3 x = I ~ !, .y=3x r'} :,' , Luego B, = (1,3) y b = 4 - 1 Ib=31 c V,.;----l,.· ---,.-~ v) EI valor de a se obtiene relaci6n : a 2 = b2+c2 ,q4,3) b (y-k)' • " + (x-h)' = 1 b , h=? . k=?, a=? , b=? la a'=9+SI Ia' = 90\ ' En este caso, la elipse tiene la forma &: COR vi) En consecuencia, la elipse es: &: (y-3)' 90 + (x-4)' = 1 9 i) Como data se tiene el centro C = (h, k) = (4,3), I Problema 12 1 Ellado recto de una elipse s mide '; . Hallar ,. ecuaci6n de G, si I. recta L : x = 2 es su eje focal. la recta L': y = -4 contiene • uno de sus lados rectos y 2 es la ordenada de uno de sus Cocos. 501"e;611 : 1. GrAficar los datos del problema : 6. La relaci6n entre a • bye es : a 2 = b 2+c2 V%~2 a'=b'+9 (2) I • 7. Resolver el sistema formado por (I) y ..... .1Fi2,2) I (2) : I % 2h' = 11::) b2 Q 5 C(2.-1) { L~-4 ~ I~ _ ...... a 2 =b' +9 (I) (2) Reemplazar (I) en (2) : F,(2,-4) 2. En el grAfico, fAcilmenle se ubican los focos F, Y F,. Par la posici6n de los focos podemos inducir que el eje focal es panlelo aI eje Y. La ecuaci6n ordinaria de la elipse tiene la forma: ., s . ~+(.-:) • , ~I b a2 = Ilia 5 +9 Sa'-I6a-4S=O 9 Sa>< S a a~-9/S - ./' (Sa +9)(a - S) ~ 0 ~a ~ S h=? ,k=? . a=? ,b=? 3. EI centro, es el punlO medio de F1F, c =t(fj + F2) =(2, -I) 4. EI valor de "e" es c = 2 - (-I) Ie = 31 Se elige la=SI AI reemplazar en (I) : b' = l§.(5) 5 Ib'= 16 8. Conclusi6n. La elipse es : S. Por dato del problema se tiene : ~= 3 52 ~ loo;.1111 dlilado'IC". (I) &: (y+l)' 25 + (._2)' _I 16 1 IProblema 13 I En una elipse &, se conocen : Su excentricidad •= t, un foco F,(O,I) y su directriz correspondiente, la recta de ecuaci6n x + y + 29 = O. Hallar la ecuaci6n de la otta directriz. SoIIIcwn: I. Gr3ficar los datos del problema: DiJ<f .: p. r ii,) e = s: =:> iY) Remplazar (2) en (I) : ... "2 1>1 :x+y+29=O .=-1 II( 6rt.. ./ ...~.' r- . . . . . " =:> c = 11. ... (2) 2 • 15Ji+t=2a =:> 0=10./2 c/}z " " -2' = L •• Luego : d(C,O,)=20./2 =d(C,D2 ) % , Como dato se tiene que la recta D, es la directriz correspondienle al foco F" 2. Se pide hallar la otra directriz D, Y) La ecuaci6n del eje focal Jt' es : x": y-I = I(x-O) y = x+1 vi) Un vii} /UnpunlOP e D, Se necesitan ........... Yiii) pulllO Pe D, rv EJE focal, tiene la forma P = (:0: • X + 1). D, n Eje focal = {(-IS, -14)} d(Q,P)=2(20Ji) Su pendiente m. a) Como la segunda directriz D, es paralela a la directriz D" entonces tienen igual pendiente. Esto es : J(x + 15)2 + (x +15)2 = ~x =25 (x+15)'=I600 __ . --'x =-55 m=-I b) Falta hallar un punto P e D, . 4OJ2 Entonces P = (25 , 26) e D, n BlE FOCAL Veamos: IO+J.f91= 15Ji i) d(fj,D1 ) = ii) d(C,D')=7 =:> 15JiH=2a • pero e=t (I) COlldJUwn: D ,: y - 26 = -1(x - 25) x+y-51 =0 - IPro6kma 14 I Hallar la ecuaci6n de la elipse cuyo eje foeal es la recta y = 7, uno de sus focos pertenece a Ja recta ex = 8. Adernas la recta 2x - 5y + 35 = 0 pasa por uno de los extremes del lado recto y por el vertice correspondiente al otro foeo. Sol"cWII : 1. Gnlficar los datos del problema: ",(0,7) • .; L:~-5,+3'.O y FI C FoJ,8,7) '''-r--' c 3. Si C es el centro. se tiene : a+c=8 ~ c=8-a ...... (I) N, "I -- NI 1£ 4. IF2N2 1=I • b2 .51 --7= 5 • -10 ~'=. ~=i...~62=I~a ... 5. (2) J La elipse es <li: ('-;l' + (y-i)' =1 • b' 2. En el gr4rlCO y por los datos, inducimos que: el vertice V.. y los foeos F, Y F, eat4n en la recta y = 7 (eje foeal). Tenemos: S. La relaci6n entre a, bye, es : a'=6'+c' (3) 6. Reemplazar (I) y (2) en (3): a 2 = ~a+(8-a)2 5 l) {V,} = L ,..., EJErocAL 5a' = 1602 + 320 - 80a + 5a' AI reemplazar y = 7 en : L: 2x-35+35 =0 ex =0 Entonces el vertice VI es VI = (0,7) o = 320-64a la = 51 7. Reemplazar en (2) : 6 2 =~·5 5 1 iJ) EI foeo F, es, F, = (8.7). iii) EI extrerno N, dellado recto N,N, se obtiene al reemplazar ex = 8 en.: L : 2(8) - 5y + 35 = 0 y =11 5 - Entonces N, = (8, 55' ) 62 = 16 1 8. EI centro es C = (0 + 5 .7) = (5 , 7) 9. Luego, la elipse es : & . . (.-5) 25 ,+ (y-7) 16 , =1 I Problema 15 1 Hallar la ecuaci6n de una elipse cuyos focos se encuentran en la interseccion de las rectas L, : 2x - y - I = 0 , L, : 3x - y = 14, con Hallar el centro la recta L, : x - y = 0, y su excentricidad es e = t. y los vertices, SoluciOn: 3. EI CEImlO, es el punto media de F, F2 • esto es, C=t(F, +F2)=(4.4). 1. Graficar los datos L, L, : C!ITI:.K] G..B.:I!J un I ~: x ~ ~ 4.~, ,~ S, Como dato tenemos: e:::'t Pero e=E.. => £..=1 => 5c="3a " "S 6. c=d(V.F,)=~(7-4)'+(7-4)' 2. En segundo lugir hallar F, y F, . a)IF,}=L,.(')L,=> (2) en (I): { 7, Luego, 3a =5 (3-/2) => a = 5.J2 2X- Y= I (1) x-y=0 (2) 2x -x = I ~ ~ Asi obtenemos: F, = (1,1). 3X- Y = 14 ...... (31 b) IF,} = 1-, (') L, => { x-y=0· ..·.. (4) (4) en (3) : 8. La recta que pasa por los focos es L,:y=x. Como V2 e 1-, => V, = (x,x) Ademas: d (C, V,) =5.J2 ~(x-4)2+(x-4)' = 5.J2 2(x _4)' = 25(2) (x-4)' = 25<x =9 x = -I' 3x - x = 14 ~ ~ =M 9. Los vertices son : V, = (9 , 9) V, = (-I , -1). El foco es F, = (7,7). 351 1.5 PIUPlEII8ES DE LA EUnE: Tangente Vnormal auna ellpse IT,orema 41 La tangente a la clipse b'x' + a'y' ; a'b' en cualquier punto Pr/..Xo • Yo) de la curva tiene por ecuaci6n: ""; + YO! a b ;1 D,moslFacw" : Si L es una recla tangente a la elipse & : b',,: + a'y' ; a'b' en el punto Pr/..Xo , Yo) E &. entonces su ecuaci6n es L : y - Yo ; m(x - Xo) y; Yo + m(x-Xo) Por1IDUsn, m;? Si L es tangente a la elipse, entonces el discriminanle de la ecuaci6n : b',,: + a' [ Yo + m(x - Xo)J' ; a'b' es cero. Veamos: b2x2+a2[y~+2myo(x--<o)+m2(x-xo)2);a 2b2 b 2x2 +a2y~ + 2ma 2yo (x --<0) +a 2",2x2 -2D 2",2xoX +a2m2~ _a 2b2 ;0 (b 2 +.a2m2)x 2 + (2ma 2yo -2D2m2-<o)x+a2y~ _ 2ma 2yo-<o +a2m2x~ _a 2b2 ;0 l. I T (b 2 + a 2m2)x 2 + 2ma2(Yli - m-<o)x + (ayo - anIXo)2 _a 2b 2 ; 0 (b' + a'm') x' + 2ma'(yo - _ ) x + a'(yo - "'Xo)' - a'b' ; 0 (b' +. a'm'),,: + 2ma' (yo - nIX.) x + a'(yo - IflXo)' - b']...; 0 (0) El discriminanle de (0) : 4m'a' (yo- "'Xo)' - 4(b' + a'm') a' [(yo- nlXo)' - b'] ; 0 Simplificar 40': m'a'(yo - "'Xo)' - (b' + a'm') [ (yo- "'Xo)' - b'] ; 0 m'a' (yo - nlXo)' - b' [(yo- nlXo)' - b'] - a'm' [(vo- nlXo)' - b'l ; 0 m'a'~"'Xo)' - b' [(yo- _ ) ' - b']- a'm~- _)' + a'b'm'; 0 -b'. [ (yo- "'Xo)' - b'] + a'b'm' ; 0 - [(yo- _)' - b'] + a'm' ; 0 Siml'lificar b' : -[yJ - 2Xcyom + xi~m2 - p2] + 02m2 (a 2 e- 0 -~) m 2 + 2-<0 yo'" + b 2 - y~ ; 0 m= - 2ZOyot " 4 "-'-:0)(b"-YO) J4.1"010(0 2~2_~) . 12212222222 m= -'-:010 ±~.l'O"O -6 b +a YO +'-:0 b -,1"0 YO 0: 2 _ .1'2 Como el punto Prl-Xo , yo) perteaece a la elipse, entonces se cumple que: b2X~+/l2Y~_/l2b2=0. • -x y x y Estos terminos apareeen en la subradical, entonces se reduce a : In = ~ = -+-7 . a -x • .t-a • AI dividir numerador y denominador por /I' obtenemos: => ~ m z ....£...... .' 1"-1 • , .12 113 . m=~, -:t ,,2 =I • Pern: ...2.+..J!. 2 1 2 b .' , =- -2.._1_ , --a y. b' O 6 1.t --" u Y. b Coneluswn : La ecuaci6n de la recta tangente es: y = Yo-~!2.(x-.<o) ,,2 Yo /l2 yo Y = /l2y~-b2xox+b2x~ ,,2YoY + b 2J:oX = a 2 y ~+ b ,,2 Yo y+ b2.<ox = a 2b 2 ITeorem/l 51 2x = ~ ~+M=l l 2 a b Las ecuaciones de las tangentes de pendiente mala elipse b'x'+a'y'=a'b' son: y=mx±Ja2m 2+b2. Demostmewn : Si m es la pendiente de las rectas tangentes a la elipse entonces sus ecuaciones son . y e mx wk: 353 Por 1ulJJD,.e k Si Y = mx + k es recta tangenle a la elipse If,: b' ;. + a' y' = a'b'; entonces el discriminante de I. ecuaci6n cuadnltica: b';' + a' [mx + kJ' = a'b' es cera. b2; ' + a2 1m2; ' + 2kmx + k'] = a2b' Esto es : (b2 + a2m') ;. + 2a'kmx + a'k' - a2b2 = 0 4a' k' m' - 4 (b2 + a'm 2)(a'k' - a'b') = 0 Su discriminante igual a cera es : 4a' k' m' - 4a' (b' + a'm')(k' - b') = 0 Simplificar 4a 2 : a2 k' m2 - (b' + a2m2)(k' _ b2) = 0 a2 k' m2 - b 2 k' + b' - a2m'k' + a'm 2b' = 0 _b2k' + b' + a2m2b2 = 0 b2 [-k' + b2 + a2m2 ] = 0 . k' = a2m2 + b2 => COIu:wiOIt : k = ±Ja2m2 +b 2 Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendienle m. son: y=nu±Ja2m 2+b2 Iqqd. I. Teon"'" 6 l La normal • una elipse en uno cualquiera de sus puntas es bisectriz del angnlo formado por 'as radios vectores de ese punta. Demo_iOIt: La recta L : b' Xo x + a' Yo Y = a2b' es tangenle a la elipse If, : b';' + a'l = a'b' en el punto Po(xo• Yo)' La recta n. que es perpendicular a L en Po. se llama: NORMAL a la elipse If,. ( .'0._ I •\ •.1 ~ Como I. recta n pas. por Po(XooYo) Ysu pendiente es : m = 0 2, Tb ... (n es perpendicular a L). entonces . a'y la ecuaci6n de n es: y - Yo = T ( x - "'0) . b '0 Los radios vectores, son F1Po. Y F2PO' :flU s, .~,.~ . . . . . .! Delio prob' :.,' , ' ",i· '~'1 .. ,.~ ~ ..' "j"i, ...,. .",,;. l' .i' '" , .... 'ildfu\ "ai. que: 'Iz';'\>'b \, ,<".ji0~,,;;>\J!;., .• "1;:0",",,"', ,~"'~' ,_,:,," ,':II;';>:.",' Veamos: ":c Necesitamos la pendiente de F, Po. que es m,; -'<J Tambien necesitamos la pendiente F2 /';0 • que es m2;...!!L .1"0 c ,'0 » '0 ';"'0 "'0 «c a La tangente de m-m (1 es: tg a ; -,--' + '"'" I + [ ' ][ ~ .2L b2z0 Teniendo en cuenta que: c'; a' - h' y h' zo+c ] xJ + a 2yJ = a 2h2.• se 0 bti bene: tga = -'"2 , b . ................ (1) .2L_~ La tangente de pes: tg p ; blx o -'- ; -,--"-"...--':---. m -m 1+m2'" .I - C [ , ] .', 1+.....::a..... .:.....:il.. zQ-C ';zQ Teniendoencuentaque:b'-a'=c y h'x'+a'y';a'h", seobtiene: o 0, tgp=""i ... (2) b Por (I) y (2) queda probado el teorema. I Problema 16 I &: Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 3..' + + 4x - 2y - 3 ; 0 que son perpendiculares.a la recta L:x+y-5;O l Solucio,. : Supongamos que ~ es la recta tangente a la elipse o$. COIllO !t es peqlClliIicular a L y la pendiente deL es m; -t; -1 • entonces la pendiente.de!tsert m, ;.1. En consecuencia 1a recta !t tiene por ecuaci6n !t: y ; x + k Por hoJJture k Si ~ es tangente ali>. entonces el discriminante de la ecuaci6n cuadnltica: 3x' + [x + k]' + 4x - 2[x + ~]- 3; O. es cero, Veamos: 3..'+..' +2kx + k'+ 4x- 2.r-2k - 3 ; 0 4..' + (2k + 2) x + k' - 2k - 3 ; 0 4..' + 2(k + l)x + k' - 2k - 3; 0 355 EI discrimillAftlc es: (2(k + 1»)1 - 4(4)(ot1- :zot - 3) = 0 (l+ 1)1_4(t1-:zot-3) = 0 ot1+:zot+ 1-4ot1+U+ 12 = 0 -3ot1+ lot + 13 - 0 3ot1-1ot-13- 0 =:>(3k-13)(k+I)=O 3 X -13 k 1 Conclusi6n: Las rec:1U I&npnlel lOR: '!'rob""" 17l ~ : y ~ ~+ ¥ < t : 13/ 3 t :-1 f,,:y=~-I Ha1lar las ccuocio_ de las rec:1aI tanllenlca 8 &: 9~1 + 16l = 144, InWldu desde (4,9). 18 elipse : SoIIIeI6ft: 1. 5i un _ pua par (4,9), cnIonces auccuacioo CI :t: y - 9 ~ m(~ - 4) y-9+m(~-4) 2, 51:t CI l8nIenIe • i, enIOIICCI el discriminante de la ecuaci6n : 9~ + 16 (9 + . . -4111)' - 144 CI cero velmaa : 9~ + 16 (Ill + ",'~ + 16m' + IS- - 72111- Sm'It) - 144 = 0 9~ + 16 (~~ + (ISm - S",') x + 16m' - 72m + Ill] - 144 =0 (9 + 16mY + 16.2m (9 - 4",)~ + 16 (16m' - 72m) + 1152 = 0 (9 + 16mY + 16.2m (9 - 4m)~ + 16.8.(2",1 - 9m + 9) =0 [l6.2m (9 - 4111))' - 4.16.8 (9 + 16m1)(2m1 - 9m + 9) = 0 EI DilCriminante: 16.16.2.2m' (9 - 4111)' - 4.16.8 (9 + 16m1)(2m1 _ 9111 + 9) = 0 2111' (9 - 4m)1 - (9 + 16m')(2",' - 9m + 9) = 0 2m' (81 -12m + 16m; - [ISm' - 81", + 81 + 32m' - 144m' + 144111'] = 0 16~- 144m' + 32m' - 162m1 + 81m - 81 - 32m' + 144m' = 0 81", - 81 = 0 ~. EnlOnce.,la _ ~ III ~ tangente 1 CI L; 1 - 9 + 1(~ Y =~+5 :tu - 4) IhoMe_ 18 ~ Los facos de una elipse son FI(O • -6). F,(O • 6)·.1 la ecuaci6n de una recta tangente es L:~x + 3y - ~ = O. Hallar la ec:uaci6n de la elipse y Ia ecuaeilln de sus direclrices. SoIIId6", 1. Gdficar los daIos del problema: 5. Como L: y =-t.. +' es tangente a 1a e!ipse 0. enlonces el discriminante de la liguiente ecuacilln es cero: b'(-.1] x +l!l)'+a'..' =a'b' ] ~b'(lO..)' + a'..' = a'b' 9 ~b'(10020.< +..') + 9 L 1. Par la ~i6a de Sereduce a : loa focoa. se IraIa de una eUpse cuya ecuaci6n tiene la forma I ., , L L=1 0: -= .2 + b2 el eje I') (J) La elipse es , , 0: 100 + 'fr = I. 7. Laa ecuaeiones de las direclricea I0Il: 3. Como los focoa se conocen. enIonces: 2<: = 12 Ie =61 seobli_: Ib'= 64 I ..· la'=loo\ Por llaJlane a J b ... Par Ja relacilln: b' -21b' -2304 = 0 (b' - 64)(b' + 36) = 0 6. Reemplazar (3) en (2): 0: b'y' + a''?- = a'b' (EJE RJCAL coincide con a'..' sG'b' (1) L,:y .... =y=.JlL.s, e="-=.1. • 6110)~. 10 L,:y=-" =:> y=_s, • J tl'• b' + e' 1"'=b'+36! ... (2) II'rPMuJa l' I a) Demos..... que el produclo de las distancias de los focos de una eUpse a cualquier tangente es ilual aI cuadrado de Ia lonptud del semieje menor. ., a a Nola: Recordar que 10 recta tangente 0 la elipse & : ~ + -;" =1 en el punto b de tangencio P(x". Yo)' tiene por ecuaci6n !t: I,'xo + a'yoY = a'ii b) HaJlar10 ecuaci6n de 10 elipse cuyos focos estAn siluados en el eje de abscisas y son sillll!lricoa con respectos 01 origen de coordenadas. aderruis 10 recta 3x + 4 y es tangente 0 10elipse y 10Iongilud de su semieje menor es -.J8 = 0 !. Suge,elU:1a : Usa, la p,opiedad enruu:iada en la pane (a). o..oslraefDII til a} 1. Apreciemos en d siguienle grifico I. naturaleza del problema. £: b' Xox+ a' YoY =a' b' ~ :Ih"r + ,ry""- ,;.", - if) La distancia de F, 0 0 ~ es : =:.ry-' p. iii) ... ,"V ... ! j • .... .. ... i tV .. A" _b'l'ilc'-·'1 b4 xJ +t.l4~ 2. Se pide probar que: [d (Fl. ft») [d (F,. ft») = b' iv) b' 2 -xO) 2 Yo =-(a Veamos: I) d(F. .£) 1 Ib'... i-,.}'p'-' .. ., A" _1-b'.roc-a'b'l - Jb"~ +a4,~ b'I..<+a'l Jb·~ +a 4Y5 358 Reemplazar: - - I .' c 2 = a 2 _b 2 Se obtiene: b' I ... , z Se pide hallar 10 ELIPSE "': 'T + 1;- = I SolucwlI d. 6) a <a=? b_ b -., 1. Hacer un grafico auxiliar: 2. La eeuaci6n de 10 recta tangente que pasa por (Xo,Yo) es Ie: b' Xo x + Yo Y = b'. que y 0' coincide con 3x + 4Y = { I F'<: 0' 6' 4. Como dato se tiene: b=.l =:>.to =31:, 2 4 (4) 5, Dividir (5) : (6), se obIiene Yo = I 6. Reemplazar (7) en £ : \ 7. Sehallo I: ,y 2 0 8. La elipse es: Iii : IPro6umo 20 I =.J81: 02 Yo (3) = 41: , £=.J81: (5) 4 (6) (7) -{,- x + -4. -j". = 1 =:> ...,8.J8 . . 8 x= .If =t :,9, + 04, = 1 a Lae1ipse Iii: ~8 +-1'-=1 La recta L: ~ f=8.3 ~ EI panto P e Iii mas proximo 0 L, es el punto de tangencia de la recta tangente £, paralela 0 L. Si £ es paralelo a L. entonees tienen igual pendienle m = t. -1[=-12.5 4"'--3=, 1. Laecuaci6nde£esy=tx+l:. Por 1IIIlIan. k !t 1 (2) Encontror en 10elipse Iii : 4x' + 9y' = 72 el punlo P mts proximo a I. recta L : 2x - 3y + 25 = 0 y catcular 1. distancia del punto P a esla recta, , /' (I) /.J8 SolIICWII 1. Oraliear los datos del problema : y .J8 . 3, Emonces se eumple: b'Xo = 31: 0' Yo = 41: z 0' I ) x Reemplazar y= t x + I: en la elipse, obteniendose: m 4x 2 +9(tx+k 4x2 +9 (2.<+3t) 9 y=72 Elcgir k = 4 YI. recta tangcntc es f.: y=tx+4 , = 72 J. {P}=f.nlii 4;' + 4;' + 12A:lr + 9t2 = 72 Sx' + 12A:lr + 9t2 - 72 ,. 0 ...... (0) La condici6n de tanaenci. implica que eI discriminanle de Ia ceuaci6n es cern. cslo es: (12k)' - 4(8j(9t2 - n) = 0 BawA rcaol_ I. ccuaci6n (0) despu6s de rcemplazar cl valor de k=4 : Sx'+4&r+72" 0 ;'+6x+9 ,. 0 I~ - 4(8X9t2 - n) = 0 (.lIIrd6) 9t2-2(9t2-n) ,. 0 -9t2+ 144=0 ~ k 2 =~ ~ Ix = -31 ,=f(-3)+4 11= 21 .-4~ t2 = 16<• • .---- - (x+ 3)' = 0 Co"""': '=(-3.2) ~ iIIlIiIII (ELIPSE) m Demuestrese que si coda ordenada de la circunferencia x 2 + y2 = a 2 se acorta en la , ra.6n bla, la curva resullanle es una elipse. 1 "T +.z, = I. • b De esto se puede demostrar que el area de una elipse cuyos semiejes son a y b, es 1IlJb. Para cada una de las siguientes elipses, hallense las coordenadas de los vertices y de los focos, la longilud del semilado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las directrices. Tncese la curva, moslrando lodas estas caraeterfslicas. iM'I 2 ,2 , , , , 1J~+9=1 ji31.L+L= I !!o!J 9 4 W L+.L=I ~ 100 64 !l 4x 2 + 25y 2 = 100 rn 25x rn 2 + 16y2 = 400 nJ 1681x2 +8Il-136161 =0 i[] 64x 2 + 289y2 -18496= 0 i!l16x 2 + 9i = 256 l44x 2 + 169y2 = 24336 ill y2 =50-2x 2 ill 16x2 + 25y 2 = I j!] x 2 = 49 ( I - l ) i!l Tracense las elipses en las cuales a = 10 y e liene los valores 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. De los datos siguientes. ~Iese la ecuaci6n de la elipse. [) Vertices (±6, 0). eje menor 10. il Verti~ (O,±8), extremos del eje ...,noren (±3,O). iLl Vertices (±5 ,0), un foeo (3,0). i!l Un vertice (0, I 3), el foco cercano a este vertice (0,5), centro en el origen. i!l Vertices (±20, 0 ). excentricidad igual a 0,6. ill Vernces (0,16), excentncidad igual at. ill Vertices (±4, 0), lado recto igual a 2. m m Extrernos del eje menor en (14,0), lado recto igual a 4. Extremes del eje menor en (0, 1 J5 ), excentricidad igual at. WCentro en eI origen, eje menor sobre el eje-x e igual a 14, excentricidad igual a 0,96. ID Focos (±6 , 0), excentricidad igual at. ID Focos (0 • ±2). excentricidad igual at· mFocos (14 , 0), lado recto igual a 12. mExtremos de los lados rectos en (J),t), (J).-t), (-J)·t), (-J),-t), eje mayor sobre eJ eje-x. ID Vertices (±4, 0) directrices x = ±l2 !I Eje menor igual a 6, eje mayor sobre el eje-x, directrices x = ±:i . ill Focos (0, ±2), directrices y = 18. ill Directrices x = 18, excentricidad iguaJai, centro en el origen. ID Lado recto igual a 6,4, excentricidad igual a 0,6, eje mayor sobre eje-z, eje menor sobre el eje-y. HI Utilizando la definici6n de elipse, hallese la ecuaci6n de la elipse cuyos focos son los puntos (4,4) Y(-4,-4) ycuyo eje mayores igual a 16. ID EI arco de un puente de piedra tiene 1a forma de una semielipse; la luz es de 12 metros y la altura maxima es de 13 metros. Hallese la altura del areo a intervalos de 1,5 metros de un extremo hasta el centro, (Comparense) este con el arco parab6lico del ejercicio VI A.27) 3S2 ill Los radio. focale« de un punto sobre una elipse son las rectas que unen los focos con este punto, Dernuestrese que los radios focales del punto (x ,y) de la elipse. 2 2 .:L-+L=l 2 2 a b tienen longitudes a ± ex. !.~ A partir de los siguientes datos, hallese Ia ecuaci6n MIa elipse: @) Eje mayor igual a 12 y paralelo al eje-x, eje menor igual a-lO,centro en (2,-1). ® Vertices (8,2) y (-2,2), un foco en (6,2). @ Extremes del eje menor en (0,5) y (0,-7), extremes de un lado recto en -(6./3,2) y (6./3,-4). @ Extremes d~1 eje menor en (-2,8) y (-2,-16), un foco en (3,-4). @ Focos (5,3) y (5,-1), excentricidad igual at. @ vertices (5,3) y (5,-1), excentricidad igual at. ® Vertices (8,-1) y (-4,-1), Iadorecto igual a 3. @ Extremes de un lado recto en (9,2,6) y (9 , -4,6), extremes del otro Iado recto en (-7 , 2,6) Y(-7 , -4,6) eje mayor paralelo a OX. @ Directrices 4x + 9 = 0 Y4x - 41 = 0, eje mayor sobre la recta y - 2 = 0, excentricidad . I 4 igua as' ® Extremes del eje Menoren (-I ,-3) y (-I , 5), directrices 3x - 22 = 0 y 3x + 28 = O. ® Extremos del eje menor en (-3, -2) y (13, -2), excentricidad igual a g. ., @FocoS (5+4J3.I) Y (S-4J].I).ladorecIOi&uala4. Reduzcase cada una de las siguientes ecuaciones.a una de las formas eslJ.ndar. ( ..._.)2 .2 + (y_1:)2 ;11:1 62 ('-'1' - +C<-h)' ---: I .J .2 H4Jlense las coordenadu de los 1Il!nites Y cIe los foc:os. el semi/ado _ . la excentricidad y las ecuaciones de las e1irectrices de la curva que represenle Ia ecll8Cicln. Trkese Ia curva. ® 16..2 +25)12 +64.. +S0)l-311-0. ® ..2 +4)12+6.. -16)1+9=0. @ 25x 2 +9)12 -200.. +90)1+400=0. @ 25,t2 +9)12 -300.. -9Oy + 225 =0. ® 144x ® 4x' + y2 +8,t:':1~)1 +64 =0. 2+169i-676y-23660=0. {,;;\ ~ , , 2,' ,3)1--8x -18)1+29:0. @ 9x2+25y2+9O,t-150)l+225=O, ® 16,t2+ 25)12+ 96.. -50)l+I69=0. ® 9,t2+2i-18,t-16)1+S9=0. @ 2,t2 +5i +8,t-20)1+48=0. (f~ 8,t2+ 7i +96.< + 70)1 +463= 0, - @ x 2+ 4 y2_6x+16y=0. @ Los focos de una elipse son (6,0) y (10,0) respectivamente. Luoma de las elistanciu del foco a cualquier punto (x ,y) de Ia elipse, es 8. Htilese 1& ecuaci6n de Ia elipse. ® Un punto se mueve de modo que su distancia a (6,0) es 1& mitad de su distancia &1 eje-y. Demuestrese que ellugar gcometrico es 1& e1ipse del ejercicio 26. @ Un punro se mueve de modo que su distancia &(10,0) e. Ia mitad de su distaneia a Ia recta x = 16. Demuestrese que el Iugar geometrico es 1& elipse del ejercicio 26. @~Cu41 es Ia excentricidad de la elipse del ejercicio 267 ~Cu4Ies son las ecuaciollCS 'de sus directrices? [SOLUCIONES GRUPO'OI ' @ V(±3,O) ~ I , F(±,[s,O) ,1=1' e=.If ,x=±9~ V(±5,O), F(±,fiI,O). I=!, e=.fii x=±25.fii 5 5' 21' @V(±I3,O), F(±5,O) ,I=~, e=2.., .r=±lli. 13 I) 5' 9!1 V ( O, ±s ,fi) ill V(±t. o), iD V(±7,O) , , , , F(O,±5) , 1=5;Z ,e=t,fi, y=±lO. F(±~,O), I=~ ,e=t, .r=±I~· F(±4J3,O) • I=t ,e=4f • x=±~~ a , is' L+L= I. ~)6 25 !!J 15 + "i6 - I. ill :OO+~=1. 2f1L+L=1. !.!J 16 4 m~ +~=1. "m ~ tooa + "64 =1. , y' m:"+48=1. ~ ~6 + 12819- a a L+L=I. :!:!J 25 16 ~ 0 m , 1,98 m • 2,61 m , 2,91 m • 3 m. , , 331 ii1.1"2 a 2 y2_ a y2 -I. " VII L+_=1. , 12 .!!I 16 ,. o @) (x-2) , 36 , , Q L+~=;). ~ 144 36 +.!1..::.!L =1. 25 , , (,-I) + (x-5) @ O ~ ---..---= I . @ (X;:)' + ('~I)' =1. , (x-') , =1 (,+2) IQI (x-4)' + (,-2)' a I ~ 9 25 @l . 3 (<+2)' +~=I ; V(3.-1) @ 25 ., 219+64 . • V'(-7,-I) ; F(I,-l), P'(-5.1) 1=11 ; .. at; 3z-:-19=O. 3z+31=O. @ (,;:)' + (X-:)' =1; V(4.0) , V'(4.-10) ; F(4.-I) • r(4,-9) I=t; .. =t; 4y-5=O. 4y+45=O. ® t~+(';~)' =1; V(±12.2); F(±5.2); I=W; e=I'3 @ (X-32) ' 2~ 1= +('-23)' = I ; V (2±.J3,3) ; F(3,3) • r(1.3) ; Jf ; z=5 , z=-1. ; e= 'ii' (<+3)' + (,-I)' =0 • elipsepunlual. (.;l\ (<+2) +...1..:..-.. -I • elipse imagtnana. 18' 'eI 25 16 , 10 ; .. =±I~. ( 2)' . . 4 (x-3)' (,+2)' ~ ~+~al ; V(8,-2) , V'(-2.-2) ; F ( 3±'~3c: ,-2 ) IQI 1=1; .. =t.J3; Z=3±I0[3. IQ.L. z=o. z=16. ~ 2' - !!!I Deterrninar la ecuacion de una elipse E sabiendo que su eje normal es el eje focal de una parabola 9' can ecuacion: 9': i + 4 y - 4x + S = 0, sus focos coinciden con los extremes dellado recto de 9' y que (5,0) E E. ~ Sea E una elipse cuyo lado recto es el mismo que el de la parabola: 9':(x-4)2 =-12(y-2). Determinar la ecuacion de E, si se sabe que E es tangente a la recta vertical h en el punto (16,-5) de tangencia. ~ Los extrernos del lado recto de una elipse &, en los puntos (-1,1) y (-5,1). Si el venice correspondiente al foco inferior tiene coordenada negativa y esta sobre la curva .ly::; 18, determinar la ccuacion de la elipse. W Un satelite es punta de orbita eliptica alrededor de la Tierra. EI radio terrestre mide 6,000 krn. aproximadamente, y su centro se localiza en uno de los focos de la orbita, a) Utilice la informaci6n dada en la p 2000km. figura, para obtener una ecuacion de la tOOOOkm. orbita. c- b) Si el satelite esta en el punto P de la orbita, i,a que altura se encuentra sobre la superficie de \a Tierra? ~ Hallar la ecuacion de la elipse cuyos focos esra situados en el eje de abscis.. y son simetncos can respecto al origen de coordenadas si P(S, 12) es un punto de la elipse y 10 distancia de P a1 foco de abscisa negativa es 20. ~ Encontrar la ecuacion de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y, tiene como centro el punta (2,3), uno de sus focos sobre la recta £ : 2x - y - 9 = 0 y uno de sus vertices se encuentra en fa grafica de la ecuaci6n x 2 y ::; -24_ mLos focos de una elipse & son los puntos (-2,0) Y (2,0). Si el vo!rtice de la parabola 9' : x 2 + 2 y - 2 = 0 es uno de los extremes del eje menor de la elipse, hallar su ecuaci6n. 367 Q!J Sea la elipse &,: 16x 2+9i-32x-S4y-47=0 Sea 13 elipse &2 cuyo centro es el extrema derecho del eje menor de focos es el vertice inferior de a) Hallar el otro foco de &1' uno de sus &1 . &2 b) Hallar la longitud del eje menor de c) Hallar la ecuacion de &1' Y adernas pasa por el venice superior de &2 &2 . ~ Entonces la ecuacion de la elipse que pasa par (2,0), tiene a ( 0, 2'f ) como uno de sus focos, su eje mayor es paralelo al eje Y, es tangente ala recta 2x + 3y =8 Ytiene excentrjcidad 1,4. ill EI centro de una elipse es (1,0). EI eje normal es la recta x - y -1 ~ 0, el eje mayor mide 12 y ellado recto mide 8. Determinar 13 ecuaci6n de la elipse, ill Hallar la ecuacion de la elipse cuyos foeos estan situados en el eje de abscisas y son simetricos con respecro al origen de coordenadas, si la recta 3x + 4Y- J8 = 0 es tangente a la elipse y la longitud de su semieje menor es 2. !!J Determinar la ecuacicn de la elipse de centro C(2,4), eje mayor paralelo al eje X y cuyos focos se hallan en los lados PQ y PR del triangulo PQR. Se sabe, ademas, que P ( - 2, - 4) , el angulo P tiene tangente -I, Yque el lado QR rnide 60, es paralelo al eje X y pasa por el extrema superior del semieje menor. !!J EI eje menor de una elipse es el segmento ST, paralelo al eje X (S a la izquierda de 1). EI lado reclo MN (M a la izquierda de N) que pasa por el foeo superior se prolonga hacia la derecha, obteniendose el segmento MA cuya longitud es el triple de la longitud del lado recto de la elipse. Se sabe adernas que el foco inferior es el punto (4,1), el area del triangulo SNA es J~ 1'2 Y que la recta L:5x+Sy-S3=0 pasa par el punta M. Hallar la ecuacion de la elipse. 368 / CAPITULO 8 LA HIPERBOLA 8.0 IIiTRODUCCIOIi La grafica de una hiperbola es una curva de dos ramas como la que lenemos en estas figuras : y ) I ( y ;0; I y' ;0; Para definir una hiperbola necesitamos dos puntos fijos F, y F" lIamados focos y un punlO P de la curva. 1.1 DHlIICIO•• IIPCIIOIi Dado dos puntos fijos diferentes F, y F,. tales que, la distancia entre F, y F, IF, - F,t = 2c, con 0 < a < c, se define la Hiperbola X ell como el conjunto de los puntos P(x,y) tales que la diferencia de las distancias a los focos F, Y F" en valor absolute, es igual • 2a, esto es : 3C = { P = (x,y) E lR'/1 d(F" P) - d (F, ,P) I = 2a ) jI x' 8.2 ELEMEIITOS BE LA HIPERBOLA En una hiperbola se aprecia los siguientes elementos: C = (h , k) centro de la hiperbola x' : eje focal VI • v2 : vertices F, , F,: focos V1V2 : eje transversa. de longitud 2a 370 8,8 2 . eje conjugado, de longitud 2b d [C; F,] 2 c = a 2 = d [C, F,] = C + b 2 (Relacicn Pitagorica entre a, b, c) 8.3 lAS RECTAS DIRECTRICES, lA ElICENTRICIIAI. LINIITUD DEl lADI RECTI. • Dos rectas L, y L, perpendiculares al eje focal .r', son lIamadas RECTAS DIRECTRICES ala hiperbolas j{ correspondientes a los focos F1 YF1, respectivamente, si existe una canstante e, lIamada EXCENTRICIDAD de la hiperbola :Je, tal que para tada punta P E :!C, se cumple que: d[P,F,J~e diP, FjJ diP ;L,I • Los ladas rectos N,N 2 diP, L, ) N; N; correspondiente a los facos F, y F" y respcctivarnente, son cuerdas perpendiculares al eje focal que pasan por los fOC05. 2 Cada Iada recto tiene langitud 1L, " I Las siguientes relaciones se cumplen: lO, x' ~ d[C,F,]~d[C,F,]~c ~ d[V, t:I c= ae e I N, N 2 I ~ 2:' (lONGITUD DfllADO IEGOI ~ Las rcctas ~, y £, son las aslntatas ,C]~d[V"C]~o de Ia hiperbola (son las diaganales del rectangulo de centro en C y """-£1 lados 20 y 2b,) ~, e En toda hiperbola se 2 pitagorica: c2 :::: a + b2 . cumple la relaci6n Pueden presentarse tres casos: a> b, a:::: b, a < b. Si 0 ~ r». 'V7 b, H se llama hiperbola equilatera, ~ d[C,L,]~d[C,L2]~~ ~ En la hiperbola se cumple: e > I 371 U PlIIIIII ECUICIOB OIDIIAIlIA DE IA IIPEIIBIIA I TeoIYtr/Q 1 ILa ecuacion de la hiperbola de centro en el origen, cuyo . X: eje focal coincide con el EJE X, Yfocos 10. punlos F,( -c , 0) , F,(c , 0); esc 15-~=1~ y Donde: o -eo la longuud del semieje trans verso b III la longitud de semieje conjugado c lis la distancia del centro a cada foco." c' = + b' (relacion pitagorica entre 0, b, Yc) e = s: es el valor de la excentricidad. a . 0' 2h Z a Centro Vertices es la longitud de cada lado recto. (0,0) VI(-a,O) , V,(a,O) Pecos : FI(-c,O), F,(c,O) e > 1 se cumple en la hiperbola, Las ecusciones de las d05 asintotas, se obtienen , haciendo Extremes del eje conjugado ; BI(O,-b) , B,(O,bj a L - L aZ b2 = 0 b 1.t2 _02 y2 = 0 (b.t - o,)(b.t + oy) ~ 0 £,: bx - oy .. 0 , i'.,: bx + oy = 0 500 las ecuaciones de las asfnlotas. IN.a_wr!: 1. Si F,(--e,O) y F , (c ,O) IOD los focos Y P(.t,y) e. un punto de la hiperbola X, por definici6n de I. hiperbola se cumple: d [F , , Pj - d IF" Pj = 2a 2. ~(.t+c)2+(Y_O)2 _~(x_c)2+(Y_O)2 =20 ~(X+C)2+,z =2a+J(x-c)2+ y2. 312 Elevaralcuadrado: :4a 2 +4a J(x-e)2 + y2 +(x_e)2 + y2 (x+e)2 + / 3. x 2 +2ex+e 2 + / :4a 2 +4a ~(x _e)2 + / +x 2 -2cx+e 2 + / 4ex-4a 2 :4a ~(x-e)2 + / ex - a 2 : a 2X2 C _ (c2 (c 2 _ 2ca 2x + a4 ~(x - :;:: Q2 [Xl _ e)2 + / . Elevar al cuadrado: 2ex + c 2 + ll. Asociar t6rminos semejaates: a 2) x 2 _ all = a 2eZ _ a 4 _ 02)X2 _ b1x l _ , all = a 2(c2 _ a 2) . Pero : all = a 2b2 c2_a2 =: b2 Divi.dir entre: a l b2 2 £-.!- = I a2 ,,2 Iqqtl. IComlario I La eeuaci6n de 1a hiperbola de centro en el ortgen. de eje focal que coincide con el EJE Y Y de focos F,(O,-c), F,(O.cf; es: ------@ X: CelKro C: (0,0) Venice V,(O, -a) , V,(O. a) Focos F,(O. -c) , F,(O, e) ,y , F• ./ flI', 161 II .D_ J: Extremes del Eje conjugado : 8,(-1>,0) , 8,(1),0) Las ecuaciones de Jas asintotas SOH : del cual se obtieeen £, : I>y :- ax : 0 , , 1:., _.£-, : 0 u' b £,:I>y+ax:O. I Nola: Los parametres a, bye . la relaci6" pttagorica entre a, bye: Ia excentricidad e y la loogitud de coda ''Ida recto U ohtiene" con Itll mismas relaciones dadas en el teorema J. 373 8.5 ECUICIONES DE lAS asfNTOTAS ITeorema 21 2 2 1 2 2 2 La hiperbola b x - a = a b • tiene por asintotas las rectas: bx - ay = 0 y bx + ay = 0 . 8.6 HI'~RBOIA EQUIIiTERA 0 RECTAIIBUW b'x' - a'l = a'b' se cumple que b = a, a'J?- a'l = a', lIamado hiperbola equilatera. Si en la hiperbola X : entonces se obtiene : ~ J?-l=a' HIPERBOLA EQUILATERA • La forma simple y util de la ecuacion de la hiperbola equilatera, es: Ixy=k! @ Nola: La ecuacion 4 se convierte en la ecuaci6n 3 cuando se giran los ejes coordenados un anguk: de 45°. Esta demostracian estudiaremos mas adelante, en el capitulo: Rotacion de Coordenados. EJES 8.1. II'~BBOIIS COIJUUDlS. Defm;cwn: Dos hiperbolas son conjugadas si el eje transversa de una es identico al eje conjugado de la otra, esto es, la hiperbola conjugada de 2 l a - es H:,L_L=l 2 2 t 2 2 H:L-L=l 2 2 b b 0 t tJ EJE TRANSVERSO de H es ldintico al EJECONJUGADode H. IEjemplo 1 374 a L=I H ~- i b=t 9 H 2 a 9 4 L_£o=1 a!3 rFh ipRdBLEMAS,'.RESUEL~· IProblema 01 I a) 9x' - 4/ = 36 c) / - 36x' = 9 b) 4x'-9v'=36 d) /-4x' Dividir entre 36: x2 _ 2 1-.. :;:: 1 ,~;,,,,.,. Es la ecuacion ordinaria de La ') i i a=2 b=3 4 =4 4/ = 36 9x' - Solucwn : de a) • En cada uno de las ecuaciones dadas de la hiperbota, hallarse las coordenadas de los vertices y focos, las longitudes de los ejes transverse y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Grafiquese cada hiperbola: hiperbola cuyo eje focal coincide con eje x. Nota: El ruimero 0 2 es aquel que esta debajo de )3 variable anteccdido con signo positive En este caso: 0 2:;:: 4 esta debajo de :r?, entonces el eje focal coincide con el eje .r. • £1 valor de c se obticne con 1a relacion : c2 c' a 2 + b2 = 4 +9 :;:: c =../l3 • Conocidos a = 2 y b = 3 y ». Fj Se dibuja un rectangulo de lados 2a y 2b de centro en (D,D), fuego se trazan las dos diagonales del rectangulo. que vienen a ser las asfntotas. La circunferencia que se haee pasar por los vertices del rectangulo ayudan a ubicar los FOCOS, e Los vertices son Vt(-2, D) , V,(2, D) e Los focosson F1 (-../l3, D) , F2 (../l3, D) e Longitud del eje trans verso : 2a = 2(2) = 4 ~ Longitud del eje conjugado : 2b = 2(3)=6 t'l La excentricidad: e = s: = ~ longitud del lado recto: a _ 1N 1N2 1 2b' 0 • 2(9) == -2= 9 a 376 4"'_91' ~ 36 SoluciOn th b) • ,z Dividir entre 36 - 9 - - • = I . . EClUld6rl ordinaria de la hiperbola. 1 x2 Como a = 9 ~Sla tkbajo de 2, afirmamos ., f!~ focal CDi"cid~ COrt ei eje x. t t a.,. 3 6.2 • qu~ Si se conoeen : " ~ 3 Y b = 2 se dibuja el rectB.ngulo de lados 6 y 4 con centro en (0,0). Las diagonales del rectangulo son las as'nlolal. Dibujar una circunferencia que pasa por los vMices del rectB.ngulo para ubicar los focos. fI EI valor c se obtiene con: c 2 = a 2 + b 2 e c Vertic.. : V,(-3 .0) • V,(3 .0) r =.Jl3 .Jl3 . ~ j'.",\'F, --'-)' SoluciOn th c) • = 2(3) = 6 e Longitud del eje conjugado : 2b = 2(2) = 4 I) excentricidad: e e Loagitud del Iado recto: =.; = ~ a2b 1 T ')(4) = 8 =3 y' - 36'" a 9 , , T - 1~4 Dividir entre 9: I+- t t a= 3 • .Jl3 ,0) Focos: F t ( 0) • F2 ( e Longilud del eje transverso : 2a e ECUACION OIlDlNA./A Como (i = 9 ~slti debajo de y afirmamos que t!l t!jt! focal coirtcide con el Eje y. b=t Conocidos a = 3 • b=t • se dibuja un reetangulo de lados 6 y I con centro y I en(O,O). Las diagonales del rectangulo son las aiintotas. Se dibuja una circunferencia que pasa por los vertices del rectaagulo para ubicar los focos, 1 fI 2 2 c = a + b2 EI valor de c se obtiene con: c 2 = 9+1 4 c2 = 31 4 ,% ,'% c= ... " : e Vertices: V,(O, -3) , V,(O , 3) e Focos : . 376 .If F.1 (0 _5i) • 2 ' F2 (0 .m) '2 e Longitud del eje transverso : 2a = 2(3) = 6 ~Longilud del eje conjugado : 2b = 2 (t) = 1 e =-; = ~ /2 e excenlricidad: . e , = .n: -+ =i 2(~) ,,'-4..'=4 SO,,"WII • d) • ~ Longllud del lado recto : = Dividirentre 4: " - L . .1= 1 4 I . . . ECVACl6N OIlDINA.IUA • I. Como tI =4 ,,1<1 d.bajo de ofi-qw 1:1 tjl! focal co;ru:i« ron I!t eie Y. t t a=2 b=1 Conocidos a = 2 Y b = 1. podemos graficar : e EI valor de c se obliene con: C' = a' + b' =4 + I £' -c ". -I '" \' IV, IProblema 02 I =:15 e Vertices: V,(O • -2) • V,(O • 2) tl Foeos: F,(O.-..[5). F2(0.-..[5). e Longitud del eje transverso : 2a ~ longitud del eje conjugado : ~ Excentricidad: e = -; = e Longilud dellado recto : ,:' If =2(2) = 4 2b = 2( I) = 2 = 2i) = 1 Los vertices de una hiperbola son los puntos (2.0) y (-2.0) Y sus foeos son los puntos (3.0). (-3.0). Hallar su ecuaci6n y su excentricidad. 501..<;6,. : y 1. En primer lugar, graficar los datos para tener idea acerca ecuaci6n de la hiperbola, de la - -'-~'-'...,diF ic ' · 2. En segundo lugar, deducir que! forma liene la ecuaci6n de la hipc!rbola. Por la posicion de los vertices y focos inducimns que la hipc!rbola tiene 10 forma: , , X: _L = I L ,,2 4. IF1 F 2 6 2c =:> c ~ e S S. EI valor de b se halla con 10 relacion : c2 = a2 + b2 9 = 4 +b' (f.j<aI_ronej.X) b2 = 2c 1 ~ b' = 5 Debemos hal1ll, II Yb 6. Conclusion: La ecuacion hiperbola es: 3. IVI V2 1 = 211 :Ie '-v---' 4 =20=:>0=2 IProblema 03 I 2 2 4 5 de la L_L=1 EI centro de una hiperbola esti en el origen, 'j su eje transverse esta sobre el eje Y. Si su foeo es el punto (0,5) y la excentricidud es igual a 3, hallese la ecuaci6n de la hipc!rbola y la longitud de coda lado recto. Soluewn: 1. Graficar los datos del problema. y b) La excentricidad es e = 3 Pero: e =.L. a cntonces s: a 3 c=3a 5 = 3a 1;(0.') la = t I c II x 'C 3. EI valor de b se halla con 10 relacion: F,lO.-') c2 = a2 + b 2 Por la disposicion del centro y de los focos, la hiperbola bene la forma , , H·L_L=l . u2 b2 rejejocal COincide] l con DE Y. 2. Por los datos del problema se tiene: 37B IF, F,\ = 2c 10 ~2c ~ 25 9 + b2 =:> b 2 = 200 9 2 2 4. La hipc!rbola es: H: £;'9 - 2~!9 = I S. La longitud de eada lade recto es: Po, hallone : II y b a) 25 = =:> c=5 2b' 2('go) 80 --;;-=--r=) , 1 Problema 04 Los extremes del eje conjugado de una hiperbola son los puntos (0,3) y (0,-3), Y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuaci6n de la hiperbola y su excentricidad, 1 SolaciOn: I, Graficar los datos: 3. Como dato se tiene: 2b2 y -aB,(0.3) . 11 0091100 dollado recto) =6 b' = 30 9=30=:>0=3 I % 4. Entonces, la hiperbola es : z z H ·. L9 - L9 - l B,(0,-3) Por la posici6n de los puntas B I Y 8 2 podemos iruuir que se trata de un hiperbola cuya ecuaci6n siguiente forma. H . x2 . a1 _ tiene la L = 1 [ejl' focal cOincide] con DE X. /} S. El valor de c se halla con la relacion: = a 2 + b2 C' = 9 + 9 c ~ 3,{i c 2 6. La excentricidad es e="-_3./2 a -3 =,{i Par halla,.e : a y b 2. Como IBI B,I = 2b ~ =2b=:>b=3 6 I Problema 05 1 Una hiperbola tiene su centro en el origen y su eje transverse sobre el eje x. Hallar su ecuaci6n sabiendo que su excentricidad es iJ6 y que la curva pasa par el punto (2,1). Solucion : I. Por los datos del problema, podemos deducir que hiperbola es : la ecuaci6n de b2 2. Como dato se tiene que: e = pero e , _.L.. z = 1 [eje focal COincide] H : .£. 02 la carl EJ£ X. 1"J6 = s:a .entonces s: = -21 J6 a ("2 => 3 ;r=2 2c' = 30' ... (I) 379 3. Si (2,1) E H emonces se cumple: Reemplazar en (3) : (2) c2 = t e2+b 1 te2 = b 2 .....••••.....•..• (3) Reemplazar (4) Y(5) en (2): J..._..l..=l a1 b2 4b' - a' = II'b' ... AdemU: e' = a' + b' 4(te2 ]-t e2 = (te2Htc2J 5. Resolve.- el sistema fonnodor par (I), (2) y (3) : 2c 1 =3a 1 c' = (I) 4b1 _a 1 = a 1b 1 3 < a' =2 h' = 1 6. Conclusion: (2) 2 e 1 =a 2 +b 1 (5) , H:'2 -2j-=1 (3) De (I) despejar a': a2 =te2 (4) IPro6klfUJ061 Hallar la ecuacion de la hiperbola que pasa por el punto (3 , -I), su centro est! en el origen, su eje transverse esta sobre el eje x, y una de sus aslntotas es Ia recta 2x + 3,fiy = O. SoluewlI : Si el eje transverse esta sobre el eje x, por el Teorema 2, las asintotas son: bx - ay = 0 v IIX + ay = 0 yen consecuencia la ecuacion de la hiperbola es : (bx - ay)(bx + ay) = k. Apli~ndo este teorema al problema, podemos afirmar que la hiperbola es H : (2x +J,fiy)(2x -J,fiy) = k Po, IuJlIu ., ....r tie k. Como (3,-1) E H => [2(3)+3,fi(-1) ][2(3)-3,fi(-I) J = k [6-3,fi][6+3,fi] = k 36-18=k => k= 18 En consecuencia la ecuaci6n de la hiperbola es: (2x + 3.fiy)(2x - 3.fiy) ; 18 4x2 - 1 8 / ; 18 I Problema 07 1 Hallar la ecuaci6n de la hiperbola que pasa por el punto (2,3),tiene su centro en el origen. su eje transversa esta sobre el eje Y, y una de sus aslnrotas es la recta 2y - J7:c = O. Soiueion: I. AI esbozar el grafico de la hiperbola, segun los datos del problema, rendremos que la ecuaci6n de la hiperbola es de la 3t--A" 2)':- o/1x = 0 ."-'J forma: H : .t:.._L = 1 feje/ocalco;ncidej u2 b2 l· con EJE Y. . :c .~, 2 b/ - a 2x' ; a2 b' Sus asintotas: b1l- a 1;cl = 0 (by-ax)(by+ax) ; 0 Segun datos del prohlema,la hiperbola es: X: (2y- .,fix) (2y+.,fix) ; k: 4/ _7x2 ; k: Por hallarse el valor de k; Como (2,3) EX=:> 4(9) - 7(4) ; k: 8 ;k Luego, X: 4/-7x'; 8 IProblema 08 I Dernostrar que la excentricidad de toda hiperbola equilatera es igual a .fi : Demostracwn : Una hiperbola equilatcra es H Xl - l -= a ".2 --~; I x2 ,,2 La excenlricidad es e;;;- ,,2 (I) 381 Hallemos eI valor de c con la relaeion : c' ; a' + b' Conoo b' ,,2, entonces tendremos : c' = 24' E c ; a,fi Reemplazar (2) en (I): e; • .fi • [jrobkm a 091 (2) ;,fi Dernostrar que el producto de las distancias de cualquier punta de una hiperbola eqoilatera a sus asfntotas es una constante. Demo.traci6n : Sea H: X'- - y' = a' Sus aslntolas son una hiperbola equilarera. X' - y' ; 0 = L,: x - Y ; 0 • L,: x + Y ; 0 Sea p.(Xo. Yo) un punto de H : a) La distancia de Po a L, es b) La distancia de Po a L, es EI producto de ambas distancias es: 1"'0 - Yol ----rz 1"0 + Yol d ( Po ' Lz ); ----rz d ( Po ' Lt ) = d ( Po ' I... - Yol \xu + YoI Lt ) d ( Po • Lz ) =----rz-----rz , , , 0 -2 y0 -.L ; -x 2 ~ Constante Porque PolXo .Y.) E H. 50 cumple: IPrahk_JO I x; - y; ; a2 . Hallar la ecuaci6n de la hiperbola equilatera que pasa por el punta (-1.-5) y liene por aslntotas a los ejes coordenadas. Sol"t:ilJn: 1. Simulemos un grafico de la hipCrbola equilAlera segiin los datos del problema. 2. Como I....Inlotas de la hipCrbola 5011: el eje X: y; 0 y el eje Y: x;O; enlOllCos la ecuacioa de la hipCrbola es : H : :xy ee k. - y 3. Como (-1.-5) E H => (-I) (-5) = k 5 = k: 4. En consecuencia, la hiperbola es: H : !iJ [problema X)' =5 Demostrar que la distancia de eualquier punto de una biperbola equilatera a su centro es media proportional entre las longitudes de los radios vectores del punto. Demostracioll : I. Sea H: x 2 -l == a"l a) una hiperbola equilatera. I FIPo I = J(xo + a,fi)2 + Y 6 2 = JX5 + 2a ,fixo + 2a + Y~ y '·Pg(X(h)'O) Como ~ 1"1 :1;. I !~ Po E 2 2 2 2 2 H => .x 0- Yo =a Yo=.xo-a X 2 Entonces : /2 r: 2' 2 I-FIPo 1= Vxo + 2a,, 2xo + 2a + xo-a 2 En el grafico se ticne : = J2xJ + 2a,fixo + a I CPo I = distoncio del centro 01 punlo p. = J(,fixo+a)2 =,fixo+a F,PO Y F2PO ""I", "dios "nNes d,l punto p. b) IF,P.I = EI centro es C = (0.0) 4. Enlonces: Comoc 2=a2+a2 => c;:a..fi. Los focos son : F, IF,P.IIF,Pol c- a,fi . 0). F2 (a,fi . 0). - - !!i!!I.! = ~ 2. Se pide probar que: --2 IC Pol Esto es: ICPoI ---- = IF, Po I IF2 Pol - /2 2 ICPol=vxo+Yo = (,(ixo+n)(,{ixo-a) = 2xo _a 2 = 2x,,-(xJ-yJ) = x5+yt I F2 Pol 5. As. queda probado que: --2 ICPol 3. Pero: ~(xo-a,{i)2+yJ =,{i"",-a --- =lfiPolIF2Po l ~ Problema 12 I La excentricidad de la hiperbola b'x' - a'/ ~ a'b' es e.. Si la excentricidad de su hiperbola conjugada es demostrar que CZ. !L:::£. ea u Demos/radon: H:L_ Dado la hiperbola _ a2 , Su conjugada es H:L- donde at ~b Ademas : CI b2 Entonces, e 2 = ~;- IProblema J3 I y b, e =.5...= su excentricidad es e = I l .. , 2 :r == 1 x Ja2 + b 2 " - su excentricidad es ~ 2 ", a = ~a? + b,2 ~ ~r;'-'-2-+-u"""'2 'Jb 2 +u 2 ~ ", y 2 bT::: 1 Ju2 + /)2 == __"_ _ b . Ahora, hacemos : .!.L t:2 ~--. ~ h a 'Si las excentricidades de dos hiperbolas conjugadas son e, y e" demostracion que er+e~=erei Demostracwn : e, En el problema 12, se tenia: e, +e, 2 Donde: 2 - j:1:bi Y u ,i +h 2 2 e2 2 ~ b +b :: ) [ -I + 2 ~(2 b 2 ) <h Z .... a 2 ) == b2 11 +b 2 J] ~--+--~(u 2 h (12 a + b 22 u h 2 (£l2.,.h ) 2 21 II , h 2 == ele2 IProblema 14 I Demostrar que la distancia de un foeo a una cualquiera de las asintotas de una hiperbola es igual a 13 longitud de su semieje conjugado. I y I Demostrocwn : 1. Sea la HipirbolaH 2 :""-4- ~ 1 cuya grafica es: " b ,...' I Las asintotas son: b'x' - a'/ ~ 0 384 L, L, , = bx - ay ~ 0, bx + ay ~ 0 'J. q' !!,."L.n X 2. Elegir el foco F,(c. 0) y la asintota L,: bx - ay = 0 La distancia de F, a L, es : d (F2; 1.-,.) Pero: ~b2 +a 2 [Proble@ =c, entonces = be c = R b 2 +0 be 2 ~b2 + a 1 =b Si a es el lingula agudo de inclinacion de una aslntota de la hiperbola b'X' - a'l = a'b', demostrar que su excentricidad es igual a sec a. Demos/radon: Debo probar que sec a e • teniendo en cuenta que e = = s: a En el triangulo rectangulo CPF2 • rectoen P, se tiene: _ICF,I seca- ICPI Debo hallar En ············ 2 - {por et probiema amertor) ICPI. se uene CPF, : (6) se tiene Pero c @ c /F P I = b 2 Donde : 1 el triangulo rectangulo Por . {ICF21= CD b 2 = a 2 , eruonces Reemplazar en CD queda demostrado que ICPI = JiCF21 2 = ICPI =a = 2 ~c2 _b 2 ICPI sec a -IF2PI e B.8 SEGUNDA ECUACION ORDINUII DE IIIIPERBOII La segunda ecuacion ordinaria de la hiperbola cs H: o H: a 1 (X-;l a (y_k)2 -(y-;) =1 SiSUEJERlCALeSparaleloalejeX. b (X-h j 1_ --a-'- - -b-'- - 1 si su IDE RlCALes paralelo al eje Y. Estas ecuaciones se obtienen cuando el origen (0,0) del PLANO CARTESIANO XY se traslada al punto C = (h,k), que es el origen del nuevo plano cartesiano x' Y·. Los dos casas la enunciamos en el siguiente teorema. ITeorema 03 I lII!III Eje Focal Paralelo al eje X La ecuaci6n de una hiperbola de centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma: 385 Y. H:l%-h)' • , ~: J' L, f £2 L' (y-t)' - - - =1 b' Do.: V, = (h - a , k) , V, = (h + a , k) son los vertices 1/ 1 1 I', % F,= (h - c , k) • F, = (h + c • k) son los focos B, = (h , k - b) , B, = (h • k + b) son los extrernos del Eje conjugado Lt : x = h -~ ' (.I: - • , i1 , 2 ) - (y - 2#.:) b = ~ : x = h +~ son las Directrices. = 0 son las ecuaciones de las asintotas: L' y L" y-k=±1L(x-h) a _ _ Eje Focal Paralelo 01Eje Y y . oJ' L~ La ecuaci6n de una hiperbola de centro en el punto (h,J.) y eje focal paralelo al eje Y. es de la forma: Ll+f: ", (y-k)' (x_h)' ----1 H . -ill b2 DoDde: V, = (h , k - a) .• V, = (h • k + a) son los vertices F , = (h. k - c) • F, = (h • k + c) son los foeos B, = (h - b. k) • B, = (h + b , k) son los extremes de Lt: y =k +A • • ~ : y =k- A son las DIRECTRICES (x-h)' -y-- - - - (-t)' a = 3BtJ 2 b 2 EJE CONJUGAOO • =0 son las ecuaciones de las AsfNTOTAS : L' y L'I y-k = ±~(x-h) L" Paractukl hiperooltJ se tiene : c 2=a2 a es la longitud del semieje transverse b es la longitud del semieje conjugado 2 +b es la relaci6n pitagorica que ligan: a, bye 2b' a es la longitud de cada lado recto e = s: a es la excentricidad Demostraci6JJ dcl ca.o A : 1. Supongamos que X • Y Y' sean los nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes X y Y, respectivamente (ver grafico), ,y' LI : 2. La ecuaci6n ordinaria de 1a hiperbola de centro C respecto aJ plano cartesiano X' Y' , es: A",1 y.2 s: H d:2- - - - I k \, b~' f :-'t' ')t x donde (x' ,i) son las coordenadas del punto P' E H respeclo al sislema coordenado rectangular X' Y' (0 plano cartesiano X' Y') 3, Peru las coordenadas del punto P' respecto aJ plano cartesiano original XY son : X = h + X' { Y = k + y' .. AI despejar x' e v', respectivamente, se obtiene: X' = X - h { y'\=y-k 4. AIReemplazarenlahipc!rbolaH,seobliene H:<x-:>' a _(Y-:l' b =1 lqqd. 3tJ7 I TeoNma41 Si los coeficientes A y C difieren en el signo. la ecuaci6n Ax' + Cy' + Dx + Ey + F = 0 representa una hiperbola de ejes paralelos a los ejes coordenados, 0 un par de rectas que se cortan. IF;iemplo I a) En cada uno de los ejercicios a) - c), reducir la ecuacicn dada a la segunda fonna ordinaria de la ecuaci6n de la hiperbola y detenninar las coordenadas del centro. vernces y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asintolas. x'-9y'-4x+36y-41=0 b) 4x' - 9y'+32x+ 36y + 64=0 c) x'-y'-4y-8=0 SoluelOtt de tI) , . . Ordenar y asociar los tenninos en x', x; luego ordenar y aoociar los tenninos en y; respectivamente, para completar cuadnldos: l. x'-4x+ -9y'+36y+ = 41 x'-4x"!" -9(y'-4y x'-4x+4-9(Y'-4y+4) (x - 2)' - 9 (y - 2)' Dividirentre9: y 9 -~-". = 41 +4-36 =9 I ' 'I ~£FOCAL (x"2) _(y-2) =II'ARAUUJAL FJEX 1 y I ) = 41 )F(·-: Donde: el centro es C= (h,k) = (2.2) 0'=9 => 0=3 b' = 1 => b = I NOIiI: a' es el numero que eSla debajo de 10 variable antecedido de signo posiuvo b2 es el m;mero que isla debajo de ta variable antecedido de signa menos. El valor de "c" se obtiene con la relacion : c' = a' + b' .. "- ...,- c'=9+1 => c=,fW Los v<!rtices son: V, = (It - a, k) = (-I .2) V, = (h + a • k) Losfocosson: =(5 ,2) F1 =(h-c,k) =(2-JIO,2) . Fz =(It+c.k) =(2+JIO,2) La longilud del eje ITansverso es: 2a = 2(3) = 6 La longilud del eje conjupdo es: 2b =2(1) =2 La excenbicidad es : e = s: = :Iii.. longitud dellado recto: ~ = • J • Z(I) J =.1 J Las ecuaciones de las asfntolas se obliene hllCiendo: (x - 2)' - 9 (y - 2)' = 0 +--+ Ix- 2 - x - 3y + 4 = 0 +--+ .SohIeiO" de II: 4..' Asociar: ~ + 32r + ..... 3 (y - 2) IIx - 2 + 3(y - 2)) = 0 • x + 3y - 8 = 0 9l + 32.< + 36y + 64 = 0 -91+ 36y, + .. __ .. :::: --64 . Comp...... 4(r+IU+ ... )-9(Y'-4y+ .. ) =-64 cuadndos, 4(r+IU+16)-9(Y'-4y+4) = -64+64-36 ~-----...y' I I ." . y' )F: // . '..- r )'(...... .l' ......2il.. I 4{x+4)'-9(y-2)' =-36 .. 9(y - 2)' - -4 (x + 4)' = 36 Por-l .!L::1t., _ Entre 36 .. 1 4' = I ~ 9 1 a=2 b=3 ' EJEr V&1i<es, .,m{A,t-.)=(-4,O) V1={II.k+I1)::::(- ..... ) Focos, 1', =(A.t-<)=(-4,2-/I'3) 1', = (A. t +<) =(-4 ,2+/1'3') IV••,1 2 c =a'1+b c' =4+9 1 "!I [D£FOCA.L] ......1.£1.0AL EI centro es C = (It , k) = (-4,2) EI valor de c se obtiene con la relacien .. = 20=2(2)=4 IBoll,l = Zb=Z(J)=6 . , t:::.!.=::.iii => c=m . , LollliIUdladorttlo:.D.:z ~(9) ==9 .. Las ecuaciones de las asfntotas se obtienen hacienda: 9 (y - 2)' - 4(x + 4)' = 0 ~ 13(Y-2)-2(x+4)]13(y-2)+2(x+4)] = 0 ~ 3y-2x-14=0 3y+2x+2 = 0 x'- y' -4y - 8 Solucwn dec) IDOrdenar: x'-y'-4y+ ;-(y'+4y+ = 0 = y.y 8 ) = 8 2 Completar cuadrados respecto 0610 a y: ;-CY'+4y+4) = 8-4 ; _ (y +2)' = 4 D Dividir entre 4 : L4 - 1 a=2 (y+2l' --4- 1 --z' EJEFOCAL ] = 1 [PAllAlELOAL EJEX b=2 EI centroes C=(h, k) = (0. -2) c'1 EI valor de C 50 obtiene con la relacion: c V, V, Focos: J'j = (h - C, 0' + b' 0:= 4 + 4 c' = 2(4) ~ =(h - 0 , k) =(-2, -2) =(h + 0 , k) =(2 , -2) Verne,.: = c=2./2 k) = (-2./2,-2) F2 =(h+c,k)=(2./2 ,-2) Longituddel Eje transversa: Longitud del Eje conjugado : 2a = 2 (2) = 4 2b =2(2) =4 Longitudde cada lado Recto: ou;,' =2i4) =4 La Excentricidad e = ;- = : 2 f! =./2 Las Ecuaciones de las aslntotas se obtienen hacienda: L_ (y+2)' = 0 4 4 x' - (y + 2)' = 0 390 = = x - (y + 2) = 0 x-y-2 =0 v v x + (y + 2) = 0 x+y+2 = 0 8.9 PROPIEDADES DE IA HIPERIOIA (rectus langenres a una hiperbola). I I Teorema 5 La ecuaci6n de 10 recta, que es tangente a 10 hiperbola b' x' - a'l = a'b' en cualquier punto Po(x" , Yo) de la curva es: b'x,x a'yoY = a'b' . y L Demostraci6n .. 1. La ecuaci6n de una recta L que pasa por el punto Po(x", Yo) Yde pendiente "m", es: I :~:- / I ;r L: y-Yo = m(x-x,,) y = yo+m(x-x,,) m= ? 2, Para haUar "m", reemplazar y = Yo + m (x - x,,) en la ecuaci6n de la hiperbola : b'x' - a' [Yo + m (x - x,,))' = a'b' = b'x' -a'[ yfi+2myo(x-Xo )+m'(x-xo)' J= a'b' MulJiplU:tu y ",ocw: = • ... ' • A .-a' [(yo - C..rnx,,)' + b'] = 0 - Zma' (yo - rnx,,) x I (b' - a'm') x' t ' ' B EI discriminante de la ecuaci6n: Ax' + Bx + C = 0 es <\ = B' - 4AC 3, La condici6n de tangencia es que, el discriminante es cero, esto es: [- 2ma' (yo - nuo)]' - 4(b' - a'm'X- a')[(yo - rnx,,)' + b'] = 0 4m'a' (yo - rnx,,)' + 40' (b' - a'm') [(yo - rnx,,)' + b'] = 0 simplificar : 40' m'a'(yo - rnx,,)' + (b' - a'm')[(yo - nuo)' + b'] = 0 m~- nuo)' + b'[(yo - nuo)' + b,l - a'~ nuo)' - a'b'm' = 0 < simplificar b' : , (yo - nuo)' + b' - a'm' =() "1 ordenar el polinomio en m: 2 (xJ -- a 2 ) m - 2 2) WI ..... 2sQYo ±J4xay~ -4 (x&-a X, i +b . 2(xa-a 2) La soluci6n es : ~10±';;'].b2 +a2Yo_b2x~ 81= 2 .to - 0 2 ' xJ = 0 pero a 2b2 +a 2yo -b 2 pero ~-l:&U al hI , ~. m = -jtlL = --.L... l 1'2 Xo -a 2-<o yom + yJ + b 2 = O. 7- 1 ~ , %0 ,,1 =-"- = Y;7 ~ '0 b:a 4. R.!emplazar I_ pendieate m = !!L L: , en I_ recta L. y=yo+!!Lk:.(x-xo) 2 . 10. L: b2xox-a2Yoy-a2b2 =0 x2 ,2 liZ hI pues ..J!. _..J!. = I cuando Po e H. [gJI4. Las ecuaciones de las rangentes hiptrbolo m son I r eon"",' I hI Xl _ all = lib} de 0 10 pendiente y=mx±~a2m2_b2 , Iml > ~ De,.o.,,..d6,, : I. La ecuaci6n de una recta de pendiente "m" es L: y = mx + k Por 1IIIlIiIne j; 1. Si L es tangente _ I_ hipl!rbolo H : h'';' - a'y' y = nIX + k en H. oblenemos: h'';'- a' [n... + kJ' - a'b' = 0 b'x' - a' [m'';' + 2mkx + k'j - a'b' =0 i) j -- 2a'mkx -- a'k' - a'b' = (b' ~-a'm 1I.._-.----.__ ._,_.__. . .__. 3fJZ 0~I (0) = a'h' emonees al reemplazar 3. La condici6n de tangencia, es que el discriminante de la ecuaci6n (.) sea cero, [_2a2mk)' - 4{b 2 - .,>",2)(_ a 2k' _ a 2b2) = 0 4"4,,,2k' + 4a2 (b 2 _ a 2",2)(k' + b 2) = 0 Eslo es: 4a2 : a 2",2k' + (b 2 _ a'",2Xk' + b2) = 0 a 2m2k' + b 2k' + b4 _ a 2",2k' _ "2,,,2b2 = 0 Simplificar b'(k' + b"- a'",') = 0 k' =a'",'- b' ::> k: =±Ja2",2 - b2 4. Reemp1azar el valor de k en L: L: y = 1ft)< ± J"2,,,2 - h 2 ,tal que .,>",' - b' ",2 I Teo",,,,., 7 I ~0 .' = ~ JL . 1"'1 ~ R. !fa La tangente a una hiperbola en cualquier punte de la cuna es bisectris del 4ngulo formado por los radios vectores de esc punlo, y ~n: Se debe probar que: tg p = Ig a, para afirmar .nt I , .• que L ell bisectriz de los radios veetores Po I'j y Po F2 • Para tal demoSlraci60 DlOCellitamos las pendientes de L", " Si H : . E , La pendienle deilUDIO ~ Po F 2 es "'z =...!L. -c _m-..." = "'1-111 1+111111) 1+"""1 P- =tga . .!i-!l... ,. .... ~ os "'t _...!L. tg . es la ecuaci6n de \a hipaboIa, Ia ocUllCi6Il de la recta taDfeI* .. el . H os L: b'Xo1C - a'Yo:J = ,,'b' (T"""""" 5), Ia pendiente de Los'" ~ La pendienle dellUDIO VIlcroll • L 1'.1', , , 'T-.;- = I punlo p. y ~o conel"", ".IMI. ~ !ProbhrJUI 01 I Los v~rtices de una hi~rbola son los puntos (-I • 3) Y (3 . 3). Y su excentricidad es t. Hallar la ecuaci6n de Ia hiperbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverse y conjugado. y de cada lado recto. So"'cl4l1: 1. Graficar 105 datos que son factibles: b) !VI Vzl = 2a 4=2a => a =2 7 e) e=£ => ~=£. Q Z. ,; d) Pero: i I Z C = az + b' 9 = 4+b' => b'=5 • 2. Por la posiciOn de los veruces, podemos afirmar que la ecuaci6n de Ia hip&bola es: H : ~_(y-t)' =1 .J 3a=2c => 3(2) = 2c 3=c ry;·lt·£-·----~r Fz , , ! => b2 Po. hallarsc: el centro C = (h.!) Ylos valores de .. y b . 4. En consecuencia, la ecuaci6n de la hipabola. es : H: (._1)' _0- 3)' .= 1 4 . 5 5. F,(-2. 3) • F,(4. 3) . Longitud de lado recto =]Ii.. = Q 2(5) Z =5 Longitud del eje transverse = 20 = 4 3. Veamos: Longitud del eje conjugado = 2b = 2,[5 - a) EI centro es punto medio de VI V2 .esto es, C -- .1( 2 ""I +V2 1194 )_(-1.3 >+3)-(1 - -z-· -z- . 3) IProblema 02 I Los foeos de una hiperbola son los puntos (4,-2) y (4,-8), Y la longitud de su eje transverso es 4. Hallar la ecuacion de la hiperbola, la longitud de su lado recto y su excentrieidad. Soluewn: 1. Grafiear los datos: Por hallarse: el centro y los valores de o yb: y 3. Veamos: 4 a) C=t(F,+F2)=(4,-5) -2 +F2 -8.-------------- ..FI 2, Por el grafico podemos deducir que la eeuaci6n de la hiperbola ,liene la forma: H : (,-i)' a IProblema 031 , b) IfiF21=2c 6=2c ~ c=3 c) 2a = ~ 0=2 4 d) c'=o'+b' =9=4+b'~ b'=5 4, Entonees H .• (,+~) 4 Long.lado recto: _ (z-4)' -~-=I l!L= 2(~)_5 a 2 t!'=.£.=.l a 2 (z-h)' - - - =1 b' Sea la hiperbola , , H: .r,-~= 1 Y P=(J:, ,y,) a b un punlo eualquiera de H. Demostrar que el producto de las distancias de P a las aslntotas es una constante y hallar dicha constante. Demostraewn : 1. Hagamos el grafico de H. el punto Pylas asfntotas: 2. Las aslntotas de H, son: y, LC::D' "'. ( £_'£"=0 2 2 a = LI::=::~ \ h bV - 02J:2 = 0 ,.~~ -: -$' (by - ax)(by + ax) = 0 L, : by - ax = 0 , L,: by + ax = 0 396 1. Lai diltulc:iu de,. a L, y Lz ,. d(P.L,); SOD. mpectivUDenle: 17' -.,.1 .. 2 .....2 d(P.L:z).~ 2 ~42 +6 ,.. 1!I11ft1C1ulo., Jaa d!ollIIPD. es : tI(,..~) d(P.L:z) .10Il-!zJ'""4 +~I .J ... ,,10"1- ;111 . 6 • +6 .. Si ,. (;<I.,a> E N ~ 5. ~.(1.): 11'nIbk- 141 ().) ,,2,,2 _1J2~2 • •2,,2 •• ..- ., IUI4 c-..nane.. =~ • +6 Si lu ••fntoh.s de .11& hip«bola H Ii....., por ecuacion..: ~- 4, + 3 0.3>:+ 4, + 9 =0 Y P(-3. H . delmninlI el -t)e = *ea dItllri6nplo que forllWl la ../nlola de pendienIe positiva, cl eje foea! y la recta que conticne a IWI • 105 Iados rectos. SoI"cl6l1 : = I. Si L, : 3>: - ." + 3 0 y Lz : k + 4y + , ; 0 lIOn lu ulnlow de una hi¢tbola H. entonces 1& ceuaei6n de H CI: H: (~ - 4y + 3)(3x + 4y + 9) = /t . 11111. Como P(-3.-!)eH ~ [)(-3)-4(-!)+3)[3(-3)+4(-t)+91- /t [-31[-31=/t 9 • /t Bntonces Ia ceuaei6n de Ia biI*bola CI H : - 4y + 3)(1z + 4, + 9) = 9 9x' 361< - 241 + 18 = 0 (~ -161 .. 9(x2 +4>:+ ... ) _16(,2 +ty+ ... ) = -II 9(~ +4,...4)-16(1+tY+!i)" -18+3&-9 9(.<+2)2 -16(Y+r)2;9 «+2)' --I 811 (1 4114 )' 9/1' =1 <C. (-2.-314) .=-1 • "=:31'4. 2. Para hallar el area dellriangulo. hacer el grifico de la hiperbola, de sus aslntOtu y la recta que contiene a uno de los lados =IOS: I P/ ~c Area lrilingulo CFP = tlcFII Fp·1 I) y L , : lx - 4Y + 3 . 0 I = 1.(c) ( 2. 1f-2 ) =1.(c)(~) 2 • ~ • ordinaria de ./a hipatlol.. oblenemos: .. =1 • 6=~ iI) De .... --"- , la ecuaci6n • c' = ..' + 6' AdemU: c =1+ I~ 2 ~ c=t iiI) Entonces Area lrilingulo CFP 11'robk"'" 05 1 =1.2(1.)( iI ' ).,2 = A.,2 121 Los focos de una hipo!rbola H son los exllemos del bdo recto de la parabola!f : 4.. - lOy + 14 = O. Si una de las aslnlOtas de H es la recta ~: 8x + 6y - 31 = O. ballar la ecuaci6n de H. x> - Sobu:iOn : 1. Grafiquemos la ...,.aboJa y hallemos los extremos dellado reeIO : 2. So grafico eo : !f: X>-4x+ ... = IOy-14 x' - 4x + 4 = lOy - 14 + 4 (x - 2)' = lOy - 10 (x-2)' = 10(y-1) ',(7.11) VEItTICE: V=(2.1) =14p I 10 = 14p I ~ p = t Longilud lado recto 1'(2,1) .t:k+6y-37=O ., entonces exista la siguiente propor 3. Ahora, se liene : los focos F,(-3.712). F,(7 ,712) Y el centro C = (2. tn: • a = 6k --~-----, F,(-3, *l donde: b = 8k c~, C7S r ci6n: F,(7. *) Cl2.*l S. Mediante la relaci6n Pitag6rica: I) 24:= 10 => iI) La hiperbola es : H ." c=S (._2)' (,_2)' , a b , c' = a' + b' Y c 2S = 2S =1 Las asfntotas son: = Elegir b,(.-2)'-a'(y-t)= 0 = [b%-ay- 2b+ta )[bHay-2b--ta]= 0 t = S • obtenemos 36k' + 64k' lOOk' => k = ±.L2 k= 1.2 => {ba=3 =4 6. La ecuaci6n de la hipCrbola es: t H 4. Como£:&x+6y-37=0 t t . (._2)' _ (,-712)' . 9 7 16 es una de las asfntotas. IProbkma 061 En una hiperbola H se sabe que: una de sus ..Intotas es la recta A : 4,t + 3y - 17 = O. Uno de sus focos se encuentra en la r~a x - 4y = 0 Y su lado recto correspondiente es el segmento LR. siendo L(12. m) y R(l2, n). Hallar: a) L. R. los focos y la ecuaci6n de H. b) La ecuaci6n de la hi¢rbola conjugada de H y sus asfntotas. Soluel6fJ: y 1. Graficar los datos del problema: La recta A : s La recta :,t - 4y = 0 .C(~~) GI:iD I:ilTI :F,(12,3) :::::> I.....,........; %-4y=0 39B _ " 12 A :4%+3y-17=0 x 2. Si L(12, m) y R(l2. n) son los extremos del lado recto LR. entonces para x = 12 en la recta x - 4y = O. se obtiene: ~ 12-4y=O 5. Como A :4x+3y-17=O 1 t es asfntota, entonces existe siguiente proporci6n: b= 4k y=3. Entonces el foeo F, es F,(12, 3). Cuando y = 3 en la Asintota A se obtiene: ~ 4x+3(3)-17=O a = 3k 6. Can la relacion: c' = a' + b' Y c = 10, obtenemos: x=2 100 = 9k' + 16k' As! obtenemos el centro C = (2 • 3) de la hiperbola H. 100 = 25k' 3. La longitud del segmento CF, es Ie = 101 que viene a ser la distancia del 13 ~ k'=±2 ~Jb=8 la = 6 Ahorasetiene:c=lO. a=6 , b=8 7. ILRI = 2b' = 2(64) _ 64 6-3 a centro al foeo. ILRj _ 32 -2- - 3 = 10.6 4. La hiperbola, es: H (._2)' a (y-3)' ---=1 a 8. L(12,3+ 3; ) . R(12.3- 3 ;) " 9. La conjugada de H es: La. asintotas son: b'(.-2)'-a'(y-3)' =0 [b(.- 2)- a(y- 3)] [b(.- 2) + a( y -3)] = 0 H (y-3)_(.-2) 64 ~=I [b.-oy- 2b+Ja I [bH oy - 2b- Ja] = 0 t 1Problema 071 t La ecuaci6n del eje NORMAL de una hiperbola H es x = I Y una de sus asintotas es la recta L : 3x - 2y + I = O. Hallar la ecuaci6n de H sabiendo ademas que pasa par el punlo A(3,4). Sol.1611 : 1. En primer lupr.....flclJ" los c1a1Ol del mejar problema, con.1 fin de _ idea de plan"" el problema. 3. La hipbbola liene la I'orma: H . l ~_(,-11 .2 '.2 , =1 Laaufn..........: ~ .'(.1_1)2_.2(,_2)2.& ".A(J,4) c::=o .2(.1_1)1_.1(,_%)'., ~ (&(.1-1)-8(1- 2JUt(.r-I).8(y- 2)] = 0 I""·.,.·" 2<011""'.'-.- 2<01·0 "1 , »r-~:z·1 _ _l ~ , 1. Po. los dalOl graficados, Ie puede oblener el centro de la hiperbola. {CI = L, n~, Ie obIiene resol viendo el siSlema: e t 4. Si L: lor- 2, +I = 0 .. ASIHroTA '=:Y:, .. =2A ......... (1) L.:b-:q+l.0 x e_ IM'-.,.-t.MlI:O v .t+1I)'-6-M"'"O t 5. Si A e H: 4---t=1 • • 41,'- 40' = ..' b' ...... (2) (I) en (2): 4(9A:') - 4(4k') = 36t' S = 9A:' I { 3x-2y+ 1= 0 6. Luego: b' = S , => 3(1)-2y+ 1= 0 => y=2 a' = 2019 Lahlperbolaeso (•. 1)' f _ (,-2)' $ -I Enlonces C = (1,1) eo el centro. Irro'k_ tISI Los puntos extremes de los dos lados rectos de una hiperbola pertenecen a las rectas 2x - y = 0, 2x + y - 8 = 0 (dos en cada recta). Si el eje focal es paralelo al eje Y y dichos puntos extremes son los vertices de un rectanllulo de :irea 32,1. hallar la ecuaci6n de la hiperbola. ~ci6l1: 1. Graficar 105 datos: - 2.r-y=o r;TYl [ill] 2.r+y-8-0 y I [OO o 4 0 Asf, obtenemos el centro C = (2 , 4) 5. La hiperbola es: H·(Y-4>' _(.-2)_1 '",2 b2 Porhallara=? , b=? , 6. Elpunlo Q(2+.t;-,4+c)e~ , ~ 2[2+R:.J-[4+cJ=0 • , 4+£-4-c=0 ,. 2. Si el eje es paralelo aI eje Y enlonces se tiene a1go parecido al siguiente gnlfico : ~=c ,,(2) • 7. Reemplazar (2) en (I) [2c )[ c J= 32 ~ c = 4 c 8. 2,4) (3)en~2): ~=4~b2=2a ... {4) • 9. Reemplazar en: ±.,ft7 =a+1 a = .,ft7 --I 3. EI area del rectangulo es : = 32 ...... (1) 4. La intersecci6n de las dos rectas : 2x-y=0 = 0 (6) en (5): 11. La hiperbola es : (y - 4)' . (%-1)' ~ x=2 y=4 ... (5) b 2 = 2 ( .,ft7 - I) 10. H' { 2x+y-8=0 4x - 8 c' = a' + b' 16 = a' + 2a 16+1 = a' + 2a + 1 17=(a+I)' c 2b' ] [2c] [ --;- (3) , (.-2) _I 2(Ji'i-t> !l'roblema 091 Sea H una hiperbola cuyo eje focal es paralelo al eje X. uno de sus focos es el punta (1,1) y una de sus asintotas es la recta 3x - 2y + 2 ; O. Deterrninar Ia ecuaci6n de H . SoluciOn: 1. Graficar los datos del problema: y AI :3%-2)'+2""0 EI centro es C = (0,1) Y la hiperbola es: H £_ (y_I)2 .' -b-'-; 1 4. Las asintotas son: EJE.FO~ ._:t! )'1 eft x 1 2 [bx-ay+a)[bx+ay-al ; 0 bx-ay+a;O , bx+ay-a;O Como una de las asintotas es: 3x-2y+2;O, 2. Porque el eje focal es paralelo a! eje X. su ecuaei6n ordinaria tiene la forma: H . (x_h)' (y-k)' a b' '--,-- ---;1 entonces podemos proporci6n: establecer b ;3k --> b' ;91l a;2k --> a' ;4k' 5. La distancia del centro al foco F,. es: Par ha!larse el centro C = (h,k), a y b. Veamos: 3. La intersecci6n de la aslntota: 3x-2y+ 12=0; ICF2 1; c 1 ;c 6. Pero: c'; a' + b' I ; 41l +9k' y el eje focal y ; 1 es el centro. 1; l31l =:> k 2 ;.L 13 Esto es: si y; 1 => 3x - 2(1) + 2 ; 0 x=O 7. Entonces: b';9/l3 a'; 4/13 •.. ConclusiOn. H . 402 la x 2 _()'-1)2=1 4113 9113 I ~ma 10 Hallar la ecuaci6n de la hiperbola que pasa par el punta (3,-1), su centro esta en el origen, su eje transversa esta sobre el eje X y una de sus asfntotas es la recta 2x + 3,[2 y = 0 . Solucion : 1. Graficar los datos del problema. 2x + 3.rzy~O 1 .......c 1....... 3. Si (3.- I) E H, entonces se cumple: [2(3)-3,/2(-1)][2(3)+3,/2(1)1 =k (6+3,/2][6-3,/2J = k ( to 36-18=k 18= k 2, Si el centro es (0.0) y su eje trans verso esta sobre el eje X. entonces la hiperbola es , , . L._L = I H . a2 4. Por tanto. la hiperbola es H : (2x-3.J2"y)[2x+:N2y) = 18 b2 4..' -18y' = 18 b'x' - a'y' = a'b' [bx-ay] [bx+ay) =k [2x-3,[2y)[2x+3,[2y) = k IProblema II I Sea X la hiperbola cuya ecuaci6n es x' - y' + 4x - 2y - 5 = 0 Y L la recta de pendiente 2 que pasa por el foco de X de abscisa positiva, Hallar el area del triangulo cuyos lados yacen uno sobre L y los otros sobre las asfntotas de X. SoluciOn: 1. Graficar los datos del problema: a) La hiperbola, H: x' +4x+ ... - y' -2y+ ... = 5 x'+4x+4-(y'+2y+l)=5+4-1" "'. (x+2)'-(y+I)' =8 (y+I)2 =I (x+2)Z 8 _ 8 es una hiperbola equilatera, de centro en C(-2,-I). a =2,[2 , b =2,[2. PI )::- 5. Sc pidc ballar el area del lritngulo rectUguJo ACH. recto en C (eo reclO'! en C. porque H es equilatero). b) LuUIntolUIOD: {.¥+2)2_cy+ 1)2=0 ~ ~ .u2-,-1-0 . %+2+,+1-0 La:z-,+I-O • L,:z+,+3-0 o '1 -I 0 ~ ' ~ o -3 -3 0 2. HaJlar el valor de c con 10JeIaci6n ,i +b' c' '" 8+8 c' = 16 => c' '" DoncIc: C'" (-2.-1) tAl =L,nL.seobtiene: A={f.-lf) {H) c=4 4. La recta L de peadieIlIe pasa por F, = (2.-1) eo : til =L,n L. se oblieIle: H "'(6.7) IACI = 3. Los I'ocoa I0Il : F, .. (-2-4. -1)=(-6,-1) F, .. (-2+4,-1)=(2,-1) = 2 que Hi+z}2 +(-)l+1}2 =!J2 IBCI = J(6+2)2+(7+1)' =8J2 6. C""dlUl6.: Arealriang ACB=HJ2.sJ2 L: y+1 - 2(%-Z) u =M. 3 ' 0=2%-,-5 IProbk_JzI c =tIACIIHCI Area Tridng EI ejo focal de una hip6rbola es paralelo • uno de los ejes coordenados; uno de sus focos es 01 punto F(-3.1) y una de sus aslnlOtas es 12 recta 2% - y - 3 = O. Hallar 1. ecuaeion do I. hip6rbola. (Dar todas las respuestas) y Soluci6,,: L,: 2x-y-3=O 1. Graflcar los datos del problema: a) Foco : F= (-3. I) b) AsfnlOta: 2%-y-3=0 F,(-3.ll ~. ~, b.7rlIl 2. Halnn dos casos: 4iU I l :r . . . . Cuando el eje focal es paraleJo al eje X. su ecuaci6n es: H' • (x_h)' _(y-k)' a'l b2 6. Entonces H : (x-2)' _ 5 rim =1 3. EI centro, es la intenecci6n del eje focal: y = 1 con la asfnlota. (y-k)' _ (x_h)' a2 y ..... IIIist111l1 {PI............ -I 20- Cuando el eje focal es paralelo aI eje Y. su ecuaci6n es H : L,: 2>:-y-3=0 (y-I)' =1 b2 .y ~:~N_ (I) I 2x - y-3=0 ... (2) I l % (I) en (2) : 2>:-1-3=0 ~ x=2 ·A:2x-y.,a .. O 6y- 2xt]=o Enlonces d celllro es: C=(h.k)=(2.1) La hipabola es; H·(x-2)' • _11-1)'_1 61 - a'l 1. EI centro es la intersecci6n de : Las asintolas son: X= - 3 1l(x-2)'-a'Iy-I)'=0 { 2x- y-3=0 ~-~-~+~~+~-~-~=O t t Como una asfnlota es: L, : 2>: - y - 3 = O. hacemos la proporci6n: b = 2k --+ b' = 4k' a=! --+ a'=.t' obteni~: La hiperbola es : H . • 4. IFC/ = <<=>12-(-3)1 S. Con la relaci6n: se obtiene: c' = C= (h .k) =(-3. -9) (1+ 9)' - (.+3)' -I a2 62 - = <<=><=s Las asfntotas son: a' + b' 25 = k 2 + 4k 2 < a'= S ,,' = 5 b'=20 b' (y + 9)' _a' (x+ 3)' =0 [by-ax+9b- 3D) [by+ax+9b+ 3D) =0 t t Como una asfntota es: Se obtiene: A:y-2x+3=0 2+k 2 lOO=4k a' = 80 2 => k =20< b' =20 hacemoa 1a proporci6n: 3. La hiperbola es : b-k ---+ b'=k' a =2k ---+ a' =4k' H . (>+3)'_1 . (y+9)' ----w--~- 2. Como c = 10. can la relaci6n: c 2 = a 2 + b2 IProbletnll 131 La hiperbola X tiene eje focal: y = -t; pasa por los puntas (1.2) y (-9.2). Si ademas una de las asintotas de X tiene pendiente t. encontrar la ecuacion de X y de la otra asintota. SoluciOn: 4. Usar los datos: 1. Graficar los datos del problema: a) Si el eje focal es y = - y h=- t. entonces t .porque el centro pertenece al eje focal . (-9,2?;- EJEFOCAl i ' : 7 . ...,(t,2) 2/ ~~ m=! 2. Una asfntota tiene pendiente m = entoncessu ecuaei6n es : t. L: y=tX+d b) (1.2) y (-9.2) son puntos de H. porque tienen 1a misma ordenada, afirmamos: el segmento que contiene aI EJE CONJUGAOO pasa por el punta media del segmento que une los puntas (1,2)· Y(-9,2), que es (-4,2). t Bntonces el centro de H es C ( - 4 , - S. La biperbola es: 0=2x-3y+3d H' • 3. Como el eje focal es paralelo al eje X. entonces la ecuaci6n ordinaria de la hiperbola es : H . (x-h)' _ (y-k)' = I '"2 t) b2 Debemos hallar: h. k, a, b (x+4)' _ a2 (y+fl' b2 1 6. Adem's, si (1,2) y (-9,2) pertenece a H, se tiene: 1l_.M.=1 a2 9h2 225b 2 -64a 2 =9a 2b 2 ......... (I) 7. Las asinlotas son: (x+4)1 _ 8. Reemplazar (2) en (I), para obtener: (y+tY =0 a2 o'=9,b'=4 b']. [b.<-ay+4b-ta ][bx+aY+4b+ta ]=0 t t 9. La hiperbola es: Porque L:2x-3y+3d=0 es una asfntota, hacemos la proporci6n. (X+4)2 (y+.1)2 ~- --4-'-=1 b = 2k --+ b' = 4k' { 0=3k--+ 0' = 9k' ......... (2) IProbkma 14] Hallar la ecuaci6n de la hiperbola que pasa por el punto (2.-3), sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, una de sus asintotas es la recta 4.< - 3y - 5 =0 Yla otra asintota pasa por el punto (3,'/,). SoMdoll : 1. Graficar los datos del problema: . 3. Conocidas las dos asintotas, la hiperbola es: y , t---·- 1··L-r-·-·- J H: [4.<- 3y- S)(3nu:+ 3y- I - 9m] = k: 1 x }m=4 .m = .!, H: [4x - 3y - 5](4.< + 3y - 13] = k .} "';(2,-3) 4. Si (2,-3) Z. Si L, : 4x - 3y - 5 = 0 es una de las asintotas que tiene pendiente positiva ml=t La otra asinlota que pasa por el punto (3, II,) de pendiente negativa -m, es: Lz : y-t=-m(x-3) E [8+9-5][8-9-13] = K -168 = K S. eanelu.i6I1: La hiperbola es, [4.<-3y-5] [4x+3y-13]=-168 y -_ ~, _ )' _ ( _ lM. donde: m > 0 =1 16 0=4.32 , CENTRO (.-1.)' 4 .ta 9 3mx+3y-I-9m=0 H entonces se cumple: b=3.24 C=(9/4,4/3) IProbk"'" 151 Sea H una hip6rbola equilatera tal que: (6,10) E H. EI eje focal de He. paralelo al eje Y. Su asintota AI de pendiente positiva pasa por el punto (5,8) y la otra asinlOta A, tiene ordenada en el origen que es igual a -10. a) Hallar las ecuaciones de las asfnlotas y de la hipCtbola. b) Hallar la ecuaci6n de I. hiperbola <:onjugada de H . SoIMCiM : I. Graficar los datos del problema . Asi oblcnemos: K = h + 3 A,: x:-y+3;0 y 4. En A,: x+ y-k-h =0 si k=h+3=>A.: x+y-h-3-h=0 A,: x+y-2h-3=0 En A. la ordcnada en el origen es -10. Eslo es (0.-10) E A, : => 0 - 10 - 2h - 3 = 10 h ; -Ii Asi obtenemos A. : x + y + 10 = 0 2. la ecuaei6n de una hiperbola equil6aera cuyo eje focal es paralelo aI cjc Y de centro C; (h,k) es : H: (y-k)'-(x-h)' ; a' [y - k-x+ h) [y - k +x- hI [x- y + k-h][x+ Y - k - h) t ; a' ; _a' -*1 II'-'~ AI :x-y+k-h;O: A2 :x+ y-k-h=O 3. (5,8) E AI => 5 - 8 + k - h = 0 => k-h=3 5. La hip6rbola es : H: [x-y + 3) [x+ Y+ 10); t Halliu' H, entonces [6.,.10+3) [6+ 10+ 10) = -26; 6. Como (6,10) E t t 7. Conclusi6n: H:[x-y+3) [x+y+ 10J ;-26 (y+t)2 _(.<+11)2 ;26 IProblema 161 Hallar la ecuaci6n de la lIiperbola que pasa por el punto (4.6). tiene el eje focal paralelo al eje X, y sus asfntotas son las recta> L, :2x+y-3=O y L,:2x-y-I=O. Sohu:i6" : I. Si L, Y L, son las asfntotas de una hiperbola H, su ecuaci6n es: H: [4+ y- 3)[4- y- I] =K 1, Si (4,6) e H, enlonces [8 + 6 - 3)[8 - 6 - I] = K II=K 3. Corula.i6n: La hiperbola es: H : (2x+y-3)[4-y-l] = II 4x'-&x-y'+2Y+3 = 11 4x'-y'-&X+2y-8 = 0 IProblema 17 1 Hallar la ecuaci6n de la hi¢rbola que tiene un foco en F( -3.13, -1) ,las asIntotas se intersecan en el punto (0,-1) y una de sus aslntotas pasa por el punto Q( 4,5), Solaei6n: I. Graficar los datos del problema: ~: x 5+1 Y -(-1) ="W (x-O) •v+l=2 2x , - __ .Q(4,5) ~: I y F(-l¥r.-I) 3x-2y-2=0 4. Por la posicion del centro y del foco, en la grafica. el eje focal es paralelo aI eje x y par 10 tanto, 50 ecuacion ordinaria es: H 2. La intersecci6n de las asfntotas es el centro de la hiperbola, esto es qO,-1) es el centro. 3. La ecuaci6n de la asfntota que paso por los puntos qO. -1) YQ(4.5). es: £...:...(y+1)2 , --=1 • b' Las asfntotas son: b'x'-a'(y + I)' = 0 [bx-ay-a][bx+ay+a) = 0 i es u «J9 5. Como LI : 3x - 2y - 2 = 0 es uno de las aslntotas, entonces: • I 7. Por la relaci6n: c2 = a 2 + b2 27 = 4k' + 9k' k 2 = 11 13 b = 3k ---+ b' = 9k' a =2* ---+ a' =4K Ii. Porque F y C son conocidos, entonces c = 3,[3 b2 = 8. a 2 = 108 13 9. ConclusiOn: La hiperbola es : H: IPro",._ 18 I 243 13 xl "iii87IT - , i.!.:.!.L ; 1 243/13 Si los vertices de 10 elipse 9K + 4/- 1& + 4y = 26 son los verti ces de una hiperbola y el eje menor de esla elipse es el eje conju gado de 10 hiperbolo anterior, hallar 10 ecuaci6n de 10 hiperbola. S6b1eiO" : 1. En primer lugar, completar cuadrados en la elipse, para oblener su forma ordinaria: 'h' -IIH... + 41 +4y + = 26 9(; -21+ ... ) +4(I+y+ )=26 Su graficoes : .:' I I'.:: 9(;-2r+1) +4(I+y+t)=26+9+1 9(x-lr + I~ + , I % 4(y+t) =36 ~ =11 n»IIA_...,.. 1 m'**'>eI C·(l.~) ... 3 • b=2 Eje focal paraIcIo at eje r, 3. Como a =3, b =2. el eje focal es paraJelo al eje Y, el centro es C = (l.~). entonces 10 eeuacion ordinaria de 10 hiperbolo, es : H ' (,+t )' _ (%_1)' '9 4 =I IProblema 191 Encontrar la ecuaci6n de la hiperbola cuyas asintolas son 12< + 5y = 39, 12< - 5y = 9 y pasa por el punto (12,3) Soluci6n: 1. Si las asintotas de una hiperbola son : L, 12<+5y - 39= 0 L, 12<-5y- 9 =0 [12< + 5y- 39) [12<- 5,- 9] zl enlonces la ecuaci6n de 1a hiperbola es : H Por 1uIIJIIrse K =? 2. Si (12,3) E H ~ [12(12) + 5(3) - 39)[12(12) - 5(3) - 9) = K 120' = K H: [l2<+5y-39) [12<-5y-9( = 120' 3. Entonces la hiperbola es 144..' - 576>: - 251 + 150, + 351 = 120' 144(..' - 4x+ ... ) - 25 (y2- 61 +...) + 351 = 120' 144 (..' - 4x+ 4) - 25 (y2 - 61 + 9) 144 (x- 2)2_ 25 (y- 3)' (.-21' '00 IProblema 20 I _ = 120' = 120' = I (y-3)' 576 EI eje focal de una hiperbola cola dado por la recta y = 4 y.u eje conjugado esta contenido en la recta x = 2. Si la abscisa de uno de sus focos es 6 y su lado recto mide 12p, hallar la ecuaci6n de I. hipCrbola y las ecuaciotles de sus asintotas. SobIdDn: I. Oraficar los datos del problema: r 2. Si e1 centro es (2,4) y 01 eje focal eo paralelo aI eje X, entOllCCS la hiperbola eo: . H' (.-2)' _ . II' ,q2,4) (y-4)2 =I b' Por halluse : a y b 3. Seliene: c=ICF21=4 I . j -'3456 1--,' x=2 % 4. Lado recto : 2 2b a = 12 ~ b 2 = 6a 417 I. Par la relaci6n: c' 7. Las asfntotas son : = a' + b' 16 = a'+6a a'+6a -16 = 0 (a + 8)(a - 2) Luego : 12 (x - 2)2 - 4 (y - 4)2 = 0 = 0 => Ia = 21 b' = 6(2) . .~2 A,: y=,[3x+4-2,[3 A2: y = -,[3x + 4+ 2,[3 = 12 6. Concl",iDII: . (._2)2 H . 4 obteniendose : La hiperbola es : _ (y-4)' =I 12 IProblema 211 Sean A, Y A2 Ias asIntotas de una hiperbola H. cuyo eje focal es paralelo al eje Y. donde : AJ : 3x-4y+I=O A,: pasa par el punto (-3. -2) (0 • t) E H. Hallar la ecuaci6n de A, Yde la hiperbola H. Sol"ci6" : 1. Graficar los datos del problema: A,: 3x-4y+ I =0 y ~ t:i!rl:I:J -3 3. La hiperbola es : H: [3x - 4y + I] [3x + 4y + 17) = K 4. Si (0.7/4) E H • entonces [0 - 7 + I] [0 + 7 + 17] = K -144 = K ••JIt ••••• ----... ~2 5. COllcl".ibll: 2. Si . A,: 3x-4y + I = O.entonces A2 : 3x + 4y + r = 0 r 9X2-161 + 54x-64y+161 =0 =? Como: (-3.-2) eA2 => -9-8 +r = 0 r = 17 Enlonces A2 : 3x + 4y + 17 = 0 H:[3x-4y+ I] [3x+4y+17) =-144 Il'robk_ 221 Probar la siguiente propiedad intrinseca de la hiperbola ; Si el punta el centro de una hiperbola, cuyos semiejes transversa y conjugado son de longitud a y b respectivamente, y Q es el pie de la perpendicular trazada desde cualquier punto P de la hiperbola a su eje focal, se veritica . o es , , d (O,/l) _ d (I',!,!) a1 o..tnII'atUS" : , , I. Elegir H: ~ • -.zr b = 1 cuya grllflca b 1. Distaneias : d{QlJ) y d(P,Q), son: d(O,Q)=lx-'OI=lxl d(P,Q) = Iy '''OJ''ly I es: r ='1 2 3. Reemplazar las dillaDi:ias en siguiente diferencia . d'(O,!,!) d'll',!,!) .' b' la ~_w:. a2 b 1 , _y ' .L. _ ,,2 b2 4. ESIa difereneia es la unidad, segUn I: L , _y' _ =I 42 IProbkllUJ 23 1 b2 Sean a y b las longitudes de los semiejes transverso y conjugado. respectivamente, de una hiperbola. Hallar la relaci6n e.,tre a y b para que se pueda construir un cuadrado con vertices en la hipCrbola y lados paralelos a los ejes de la hiperbola. Hallar ellado del cuadrado. SobIew" : I. Hagamos dos hipCrbolas: unaconb<a ylaotracon b » a y l·~ll.:· b<. ( " I ¥t b>. " 1. Cuando b < a, es imposible construir un cuadrado con los cuatro vertices en la hiperbola, Para ello debe cumplirse que: x=y x::b..Jx 2_a 2 3. Cuando b > a, se puede construir un cuadrado con vertice en cada punto P(x,y) donde: E H: a x 2 =A:.(x 2_a 2.) y' 2 .' "T-,=I u b , , L_I=L a 2 b x2(b2_a2)=a2b2 x 2 lib - J"l_a'1. y2 =A:.(x2 _a2) .' ... La longitud del lado del cllldrado, es 2x=~ ~b2_Q2 . ~ . .l.>11 .-;.' ~,> l:l~llOQl;,~,1 IIIftilfi (HIPERBOLA) Para cada una de las hiperbolas, hallense las coordenadas de los vertices y los focos, la longitud del semilado recto, la excentricidad, la ecuaciones de las directrices y las de las asfntotas. Tracese la curva mostrando todas sus caracterfsticas, Hallese la ecuaci6n de la hiperbola conjugada, 2 2 2 2 iWL.-~=1. J!,!J36 M1 xl ~ T-T6=1. ~ ~5 !!I x 2 - y2 =16. @x 2_ 4 y2=16. ~ 25x 2-144i=3600. ill 4y2 _3x 2 =48. !!J 64i -225x 2 -14400=0. iii y2 =9x2 -36. ~ 49x 2 - 576y2 -28224=0. illl6x2 _ 9 y 2 = 2304. [I1600i - 81.<2 = 129600. ,2 -'9 =1. i!J Tracese una sene de hiperbolas en las cuales a = 10 y e adquiere sucesivamente los valores 1,1, 105,2,2,6, 3. i.Culil es el efecto del valor de la excentricidad sobre el aspecto de la curva? i.Que sucede con la hiperbola cuando su excentricidad aumenta sin Ifmite? De los siguientes datos, h411ese la ecuaci6n de la hiperbola. iii Eje transverso est4 en el eje-x y es igual a 12, eje conjugado es 8, centro en el origen. !J Vertices (0, ±7), extrernos del eje conjugado eo (t5,O). i!J Vertices (t6,0), focos (±9,O). ill }{ertices (0, ± 3), distancia entre los focos igual a 10. i!J Vertices (t4,0), excentricidad igual a 2. i!l Vertices (±S ,0), lado recto igual a 3,6. 415 nJ Directrices Jt. :1:1, un v6rtlces en (3,0). nJ Aslnlolu y. :1:2.>:, un v~ice en (3,0) m ExtrelllOl del eje conjugado en (O,±2), un foco en (4.0) nJ EXlrelllOl del eje conjugado en (:1:3,0), excenlricidad iluaJ at. WFocos (:1:9,0), excenlricidad igual at. ill Focos (:1:6,0), lado recto igual a 10. mFocos t (:I:I 0,0). aslntotas y = x , ID Utilizando la definici6n de una hipUbola, h"tese la ecuaci611 de la hipCrbola cuyos focos est6n en los punlos (3,-1) y (-3,1) y cuyo eje lransveroo sea iguaJ a 2. mLos nulw, /De.' de un punlo de una hipUbola son las rectas que unen los focos con este pumo. Demooslrese que los radios foc.les del punlo (x. de la hiperbola. y) , y' .!....--:=d 1 2 tl tiene longitudes b Iex:l: al. m L. excemricidad de una hipUbola dada es e. ~Cual es I. excentricidad de la hipUbola conjugada? " ,I,_ i v: - • '.' '/I/~, HalJese J. ecuaci6n de la hipUbola, a.partir de los siguientes datos: @l Eje transverso iguaJ a 12 y paraleJo aI eje-x, eje conjugado igual a 10. centro en (2.-1). l@ V~ices (6,2) y (0,2), un loco en (8,2). @ Focos (5,-4) Y(-3,-4), un v6rtlce en (4.-4). 8 V6rtlces (-6,8) y (2.8). excentricidad igual at. @ Focos (~.7) y (2.7). excenlricidad igual at. @ V&lices (1.8) y (1.-2). eje conjupdo ilual a 8. @ Poco. (-5.12) y (-5.4). eje conjusado igual a 6. (8 Vatices (1.8) y (1.-2). eje co'liupdo igual a 8. fi Focoo (0.1) Y(10,1).lado recto ilual at· @ Extremos de los lado. rectos en (-1.4). (-1.-8). (7.4). (7.-8) eje Iransverso paralelo al eje-x. ® Directrices 5x = 26, 5x = ~. eje Iransverso en la recta y = 5. eje conjuaado igual a 6. @ Focoo (5.-2) Y (-3,-2). directrices x = 2 yel eje-y. @ AsfnlOtas 4x - 3y - 20 = 0 y 4x + 3y + 4 = O. eje Iransverso paralelo ala eje-y e igual a 4. @ AsfnlOtas2x-y+5=0 y 2x+y+7=0.unvaticeen(-I.-l). Redo1zcase cada una de las siguientes ecuaciones a una de las formas est4ndar. (x_h)' _(y-O' Q2 b2 =1 ~ (y-t)' .(x-h)' u2 b2 =1 H'Ilense las coordenadas de los vectores y de los focos, el semilado recto. la excentricidad, las ecuaciones de las directrices y de las asfnlotas de la curva que representa la ecuaci6n. Tracese la curva. Hallese la ecuaci6n de la hiperbola conjugada. @ x 2 _ 4y2 +6x+32y-59=0. @ 4x 2 _9 y 2 -8x-36y-68=0. ®x i 2 - +4x+lOy-5 =0. 417 @ 25x 2-144 y2+IOOx-864y-4796=O. @ 4x 2 _9 y 2 -56x-18y+187=0. @ IIx 2 -25l +88x+ 100y -199 = O. ® 9x 2-l+18x-12y-18=0. @ 4x 2- 25y2+32x+50Y+39=0. @ 25x 2 -144y2 -160x -720y -4244 = O. @ x2 _ 4y 2 -4x-12y-21 =0. @ 4x 2-9 y2+4x+18y-44=0. @ 25x2_24y2_100x+120y+550=0. ® Lo~ foeos de una hiperbola estan en (-8, I) Y(10, I) respectivarnente, La difereneia de las distaneias de un punto (x,y) de la hiperbola a los focos, es igual a 6. Hallese la ecuaci6n de la hiperbola, @ Un punto se mueve de modo que su distancia a (-8, I) es tres veces mayor que su distancia al eje-y. Demuestrese que el lugar geometrico es la hiperbola del ejercieio 27. @ Un put;lto 50 mueve de manera que su distaneia al punto (10,1) es tres veces mayor que su distaneia a la recta x = 2. Demuestrese que el lugar geornetrico es la hiperbola del ejercicio 27. @ ~Cual es la excentricidad de la hiperbola del ejercicio 27? ~Cuales son las ecuaeiones de sus directrices? I RESPUESTASI GRUPO 01 @ V(±6,O), F(±10,O), 1=332 @ V(O,±5), F(O,±,f34) 3 X=±sy , ~ 2 X 9 , 2 , 2 e=f, X=±I: ' y=±tx, ~ -~6 =1. 54 I='i5 ' e=54 y_+25 5' --~ y2 -25=1. V(±4,O) , F(±2../5,O) ,1=1, e=t../5 , X=±8Jj , y=±tx, 4 y2- x2=16. ID V(O,±2.,f3), I'(O,±2..{i), 1=8'f ' e='T ' y=±6f 2Jl • 3x2 -4y 2 =48. X=±-3-y ~ V(±2,O) ,F(±2.J!O,O) ,1=18. e=.J!O , x=±.;o y=±3x, y2-9x 2=36. ill V(±2,O) , F(±20,O) , I=~ , e=f. x=±3; , y=±tx 9i -16x 2 = 2.034. 15 ill l' L2= I. __ 49 25 2 , 2 , j]~-:6=1. 2 IDx9-~6=1. ID ID 8x 2-6xy-9=0. mJ.:-I· , ~5-T=1. ;0"1 , y' 2 2 !!.J ~ -9"=1. 251 L_L=1. 20 ~ 16 419 GRUPOQZ t.:I \!!lI ~ (x-1)' &;\ (.. 1)' eI 64]9 Q ~ (x-I)' _ (,+4)' = 1 ('-g' =.1 Q ("51' = 1 ,,-1)' -I. Co, 1 --,r ---zr . (x-5,' _ ." --,r ~ 10 9 (,-I)' _ 7 \!!97 \!.lJ 9 9' (x-1)' _ 16 . (,-51' _I 9 . (x-1)'_1 @ a ~ 4 - ---g'f4 • ~ \l!f ("43) , - ('-14), -I, V(-1,4) , V'(-5,4) ; F(-H.JS,4) ; I=t ' .=t.JS • x=-'3±4f ; x-2,+1=0, x+2,-5=0; (Y-,4)' -(>+43 ) ' =1. ® (Y~:)' -(X;;)' =1; V(-2,9). V'(-2.1); F(-2,S±4.fi); 1=4; t: t: (. . 1)' (-~)' .=,,2 ; ,=5±2,,2 ; x-,+7=0, ..,+,-3=0; -16--~-=1. @ (X-97 )' _(Y~Il' =0. parde rectas que se cortan, @.(Y+ 6 ) ' _(X~I)' =1; V(-I,-3) • V'(-I,-9) ; F(-I,-6±,fW) ; I=t; 9 JiO 9JiO (HI)' (y+6)' '=-3-; '=~±""'iO; 3x-y-3=0. 3x+y+9=0; -1----9-=1. @ (X~~1)' -i'+;i)' =1; V(lS,2.-2,S) . F ' ( - 9t 8 t _2C) ,." (y+1.5)' 2S (.-3,1)' 144 • V'(-8,8.-2,.5) ; F(l6,2.-2,S) • _I . I=~' .=11 . 65x-928=0 • 12' 12' , 65x+512.0. ,Q '6' ~ 9 - ~ 4 =1; V (12' I) • V·(,-'2,1. 7 ). r.:;3 ).. I =5"4 F (I -l±"iJ,,·l .ill l. 9Ji3 '=3; "'--1±13; 2x-3,+4-0, 2x+3,-2=0 _ (Y-I)' _I @ (._1)' 9 72 . - • \1-1)' ;-4-- (~+t)' 4 =1 " CAPITULO 9 , ROTACION DE LOS EJES COORDENADOS 1.0 ImODICCION. EJigiendo dos ejes perpendiculares entre si, el eje X yel eje Y. formamos el SISTEMA COORDENADORECfANGULARXY 0 PLANOCARTESIANOXY. Cada punto P = (x.y) en el sistema rectangular XY es un elemento del espacio bidimensional fR 2 • A continuacion, vearnos la posicion relativa de un punto P de fR'. respecto ados sistemas rectangulares : el sistema XY y el sistema x' Y'. en el cual los ejes XY han sufrido una rotaci6n con angulo 0 para convertirse en el sistema x' y' En el grafico apreciamos dos sistemas: el sistema rectangular , y' i "----.-:--f XY y el nuevo sistema rectangular x' Y' . .,y' »1\ .. ,x, Los ejes XY han girado, en torno al origen, como centro de rotacion, ~/~' x ;' X formandose el X'y' . 421 un lingula 0 nuevo sistema rectangular , . y. • .~Lal ~"rectangUlares del punta P • LII E IR', respecto al sistema XY, son (x,y). ~.d.s-rectangularesdel punta P E [R2. respecto al sistema X' y' , son ~'o,)I'), • NlIIIlrO interes es encontrar una relacion vectorial y algebraica entre las coordenadas ~o,)I) y~, y') del punta P E IR'. Esta relacion 10 tratamos en el siguiente teorema : l1 IITICIOI • LOS DES caOllE1IIIS (1,__ 1 ) Si 106 ejes coordenados XY giran un ingulo 0 en tomo de su origen como centro de rotacion y si las coordenadas de un punta cualquiera P E IR' antes y despues de 1a rotaei6n son (x ,y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformaci6n del sistema original a! nuevo sistema de coordenadas estsn dadas por: x = x' cos 0- y' sen 0 y = x' sen 0+ y' cos 0 Dcmostrpci611 : 1. Hagamos el siguiente grafico (x,y) Y son las coordenadas originales del punlo P, respeclo a los ejes XY. (x',y'): IOn las nuevas coordenadas del ._---~-_ .. {-:/ ; 1 -,' X' :: '.'. 1.: 0.< Jl<= IJ' punlo P respecto a los ejes rotados x' y' y • ..... X . p '.,1 A' 2. 'Bn 01 ar'fico se oboerva : 9 : eaeI "'palo de rotaei6n (Lot ojes coordenado XY han airIdo UD ",&ulo 0) Xl'. : I0Il 101 ejea coordenados del sistema oriainal X' y' : IOn los ejes coordenados del .. nuevo sistema. ...x ' ~ft) h.• Ie A y \ 3. Ahara, veamos c6mo se relacionan las coordenadas originales (x ,y) del punto P can las nuevas coordenadas (x', y') del rnismo punta. a) En el triangulo rectangulo OAP, recto b) En el triangulo rcctangulo OA'P, recto en A I. se tiene : en A, se tiene : lOP 1= r y ademas: x=OA=rcos(lI+a) (1) { y=AP~rsen(lI+a) y' Pero: (2) {x, (4) _ = OA' = r cos c = A'P = rsena Reemplazar (4) en (3) : COS (0+ a) = { cosO cosc -. sen Usen a x = x ' cos II-y'sen II sen (8+ a) = senD cosa+ cos Bsen a { y=x" sen Reemplazar(2) en (I) : e +y'cosf} x = r cos 8 cosa- rsene sen a ... (3) { y= rsen B cosa+ rcosOsen a 1, Sea P un punto cualquiera del plano coordenado. Si (x ,y) son las coordenadas de P referidas a los ejes coordenados originales XY y (x', y') sus coordenadas referidas a los ejes girados x' Y' en un angulo IJ, entonces las coordenadas (x, y) de P 50 expresan en funci6n de las coordenadas (x', y') mediante las relaciones: x= { y= x x x x' cosll-y'senll sen II +y'cos 0 X' = xcosO+ysenll { y'= -x sen 0 + y cos II -sene 1 Iy coso A <050 y' _ ILA RELACION INVERSA ES 1senS donde xl y cos(J /!,,= I sen II -senlll cosO A 2. Una ecuaci6n de la forma Ai + Bxy + Cy' + Dx + Ey + F = 0 se Iransfonna en una ecuaci6n simple mediante una rotaei6n de ejes coordenados aplicaodo las relaciones: = x' cos 11- y' sen II y == x' sen 9 +y'cos 8 X { ._l"'finibS:' 'S'~*r''K'''T''i>" "',',",, "' !1'NIIl,ma 01 I . . . J'.,": Transformar la ecuaci6n x' - 2xy + l- x = 0 girando los ejes coordenados un lIngulo de 45°. Trazar el lugar geometrico y ambos sistemas de ejes coordenados. , I/;n : I. "':= 45\ x entonces (I) e { y '= x' cos 45· - y' sen 45· sen 45° + y' cos 45 0 Xl x=x'''! - y'1 { x'1 + y' :If y= 2. Reemplazar las relaciones de (1) en la ecuaci6n : x' - 2xy + l- x = 0 ["->f- y' 4 ]' -2[x'4-/4J[ x'4+ y'4H x'4+ y'4]' -[ x'4-/4J=0 1[x,2 -2x'/+ y'2)-2'1(x,2 - /2 )+1Ix'2 + 2x'y' +y'2 1-4x'+4/ =0 1lx' 2 -2xY + y,2]_x, 2 + ,,2 +!{x,2 +2x'y' + v' 2 l-Jj.x· +if y' =0 ~. 2y'2_4x'+4Y'=0 4y'2 -../2 x' +../2Y' =0 (enna I"'FoOO/o) 1:: 4( Y'2+1i' 2 X, . 4 Y + ... ) = ~J. 4( /2+1j.y'+ii )=../2 x'+t 4( /+Jf)' =.[2 ("+07,) v =(,s./2 -..J-.-:Ij 1=(-0.008.-017) I ( y' K- ,fi , I ~ """ 4p --Ji""p=oos " +.If) =.{ x +"8Ji) ~comoP>O, 2 . derecba se abre bacia la F..JE FOCAL es paraleio al eje Y! y' " ....' "'-VU-l / ... IProbIeIlUJ 02 I •••• ' ..... Par una rolaCi6n de los ejes coordenadol, _formar Ia ecuaci6n sx' + 4.1)1 + 2/ = 2 en otta que carezca del tbmino en x·y·. Trazar su lugar geometrico y ambos sistemas de ejes coordenados. SobId6n: En la ecuaei6n dada sustituir: x e y dados por las u:ansformaciones : 'J x = x' cosO - y' senO y = x senO +y' cosO S(x cosO - y' senO)'+ 4(.1' cosll- y' senO) (x 'enll+ y'cos/l) + 2(x' senO... y' co,!J)' = 2 = 5(.1" cos' 11- 2.ty' co,lI senII+ y" sen' /I) + 4 x' cosllsenll+ 4.1' y' co,, II - 4xy' sen' 0- 4y" senllcosll ... 2 (x' sen'lI + 2xy' senl/ cosll + y': cos' fJ) = 2 Asociar : = ;<,' (S cos'O ...4 cos IIsenO+ 2 sen'O) +x'y' (-lOcosllsenO 4 cos' 0- 4 sen'O + 4senOcos/l) + y" (Ssen' 0-4 senOcosO+ 2cos'O) = 2 = Como la ecuacion transformada debe carecer del tlinnino coeficiente de x' y' a cero, obteniendose : -lOcosOsenO +4cos'O -4sen'O+4sentlcosO =0 f'~6~~-o-~~~-ij:;'-4-~;;;i(j-=4;;';;i(j;:'o"i ,.. -_----- .._------_--_ . Resolver esta ecuaei6n trigonometrica : Hacer el siguiente reemplazo 2 sen /lcosO = sen 20 { C05'O- sen'/I = cos 2/1 (I) x y'. igualamos el -3 sen 211 + 4cos 20 = 0 4 cos 20 = 3 sen 20 . .!;: sen 28 3 1 18 211 cos28 =1 ~4 I esta relaci6n trigonometrica nos permile hacer el tri"'gu!o rect6ngulo: 3 A continuaci6n hacer uso de las identidodes : sen II = Jt- <0< 28 2 r.:t I ='/T-2-=-rs COSII=JI+7 =JI~t 28 =* ....... '" ..... (II) Abora, reemplazar (Il) en (I) : => ~.2 [s.t+ 4 . t . t + 2.t]+ y. 2 [s.t- 4 t . t + 2.t ]=2 ~ 6x,2 x· 2 T + y'2 = 2 ... (elipse) ,2 + L 2 6 =2 y y\.\ p' 1 1 b-* '\ \ 'J .-,t ; 17 I _-.u:a.. a =./2 • Con laayuda de: tg {I = ::-t se ubica el punto (2,1) en el PIANO n. Luego se traza el EJE x' pasando par (0,0) y (2,1). EI EJE y' pasa por (0;0). y perpendicular al EJE x', y i4, x 9.2 lRASlACION YROIACION DE EJES 9.2.0 Introduccion Si Ia ecuaci6n de segundo grado en dos variables es completa de la forma: \ . Ax'+Bxy+Cy' + Dx+Ey+F=O .. J \ (I) I Trastacion Rotacion amerita hacer, primero una traslacicn con el fin de que los terminos Dx + Ey se anulen, en segundo Iugar, hacer una rotacion, con el prop6sito de anular el terrnino Bxy. As! la ecuaci6n (1) se convierte en otra ecuaci6n, mas simple y mucho mas facil de reconocer, si es una parabola, 0 una elipse 0 una hiperbola, EI siguicnte teorema consolida la doble transformaci6n [Tearerna 1] Si efectuamos un cambia de ejes coordenados mediante una X = traslaci6n { x' + II y = y' + k y una rotacron {x' = x" cosO - y" sens )" = x" senB+)I" senB tornadas en cualquier odell. :v las coordenadas de cualquier punto P referido a los sistemas original y final scn (x.y) y (x",y"), respectivamente, las ecuaciones de transformaci6n del sistr,-' .:l original al nuevo sistema de coordenadas son: J_ :::;:; x" cosB- y" senO+ II y:::x"senO+y"cosO+k en donde B es el angulo de rotacion y (h,k) son las coordenadas del nuevo origen referido a los ejes coordenados originales y y. \ t .\«/ : H'UJ/IJ~' .. En e) grafico se tiene x' ,X" (x, y) son las coordenadas respecto a XI' de P, (x' • y') son las coordenadas de respecto ax' y' P, (x" , y") son las coordenadas respecto a X" Y" :-jl' ",: y .-<,/ : .. \/.~L....... ... _X' - 'O'(h,k) ~I,--' de P. y Q7 IProblema 03 I Por transfonnaci6n de coordenadas, simplificar la ecuaci6n : U+2xy+2y'-2x-IOy+ II =0. Tracese el lugar geornetrico y todos los sistemas de ejes coordenados. SoluciOn: 1. En primer lugar, hacer la traslaci6n de los ejes a un nuevo origen (h,k) mediante I. transformaci6n X= X' + h { Y= y' +k A1 reemplazar en la ecuaci6n dada. obtenemos ; 2(x' + h)' + 2(x' + h). (y' + k) + 2 (y' + k)' - 2 (x' + h) - 10 (y' + k) + II = 0 2x' '+ 4hx' + 2 h' + 2x' y' + 2kx' +2hy' + 2hk + 2y" + 4kY' + 2k' -2x' - 2h - lOy' - 10k + II = 0 Asociar los terminos comunes : 2.t" + 2y'l+ 2.t'y'+ (4h + 2k - 2)x' + (2h + 4k- 10)y' + (2h' + 2M +21<' - 2h - 10k + 11)=0 ... (10 ) 2. Igualor a cero los coeficientes de x' y de y' : 4h + 2k - 2 =0 { 2h+4k-1O =0 2h + k -I ~O { h+2k-S=0 A1 resolver el sistema se obtiene : h = -I , k = 3 Enlonces el nuevoorigen del sistema x' y' es (h,k) = (-1,3) 3. Reemplazar los valores de h y k en (1*) : 2x" + 2y" +2x' y' + (2 - 6+ 18 + 2 - 30 + II) = 0 2x' '+2y' '+2>:' y' -3=0 _ _ _. (3*) 4. En segundo lugar, hacer la rotaci6n de los ejes X' Y' mediante la transforrnacion : X' { = x" cosB - y" senB y' = x" senO + y" cosO Al reemplazar en la ecuaci6n (3*) , obtenemos : 2 [r" cosez- j' senlJ]' + 2[x' senlJ+ j' coslJ]' + 2[x' coslJ- j' senlJ] [r" senlJ+ j' coslJ]- 3 ~ 0 2X"2 cos 2B - 4x" y" cosO sene + 2y" 2 sen2 (} + 2x" 2 sen2e + 4x" y" senB cosB+ 2y":!: cos? e + 2x',2 cos8senB+ 2 x' v" C05 2 8- 2x"y" sen2 8- 2y" 2 senBcosB- 3 = 0 S. Asociar los terrninos comunes : (2cos' 0+ 2 sen'O+2 coslJ sent!) x'" + (2 sen'O+ 2 cos'O- 2 senO cost!) y''' + (-4 cosO senO+ 4 senO cosO+ 2 cos'O- 2 sen'O) x" y" - 3 ~ 0 =~ (2 + sen2t1) x" '+ (2 - sen28)y'" + (2cos'8- 2 sen'8) x" y" - 3 """" (5*) 6. Igualar a cera el coeficiente de x" v" 2 cos'O- 2 sen' 0 ~ 0 cos 2 () sen 2 - () cos 20 o =0 ~ ~ 0 28 ~ t <cos 21J ~6 sen 28 =1 !L 4 7. Reemplazar en 5* : (2+ l j r" 2 3x" 2 . + y"2_3=O + 2 LI + i,2 y' T ~3 1 ~ I EI grafico es : (E/ipse) , donde a ~.J3 y Ii ,,,x" -x' -1 -2 I x 2 -1 "---------~ , b ~I U ECUACION GENERAl DE SEGUNDO GRADO ~ ..I.O Introduccion En esta parte del curso, haremos un estudio de la ecuaci6n general de segundo grado, Ax' + Bxy + Cy'+ Dx « Ey + F=O (I) En particular nos interesa que el termino 8xy se anule de la ecuacion (I). Mediante una rotacion de ejes, la ecuaci6n (I) se transforma en otra de la forma A' x' '+ C' y" + 0' x' + E' y' + F' = 0 (2) en la que no aparece el termino en x' y' . Asf. tendrcmos que la ecuacion (2) es la expresion simple de una c6nica (parabola. elipse 0 hiperbola), El siguiente teorema, nos indica la mane' a de transformar la ecuacion (1) en la ecuacion (2). ( Teorema 3 J La ecuaci6n general de segundo grado I AX'+8xy+Ci+Dx+EY+~, (1) con B *" O. puede transformarse siempre en 13 forma: I A' x' '+ C y' '+ 0' x' + E' y' + r =0 I (2) sin terrnino en .c'y'. haciendo girar los ejes coordenados un angulo agudo positive 8, tal que t£2~' = _B_ si A c# C A~C (J = 45" si A= C En la ecuacion (I) el binomio / = 8' - 4AC, se llama INDICADOR. EI binomio 8' - 4AC indica la naturaleza dellugar geometrico de la ecuacion (I) : • Si 8' - 4AC = 0 ,entonees I. ecuacion (I) es del genero parabola. • Si B 2 - 4AC < 0 , entonces la ecuaci6n (I) es del genero elipse. • Si 8' - 4AC > 0 ,entonees la ecuacion (I) es del genero hiperbola. DfMOS17UleiON Dfl TfOIfMA = X cosO - V' sene X Al reemplazar la transformacion en la ecuaci6n (L). se obtiene : { Y = x' senO + .v' cosO A [x' cosO- y' senO]' + B [r' cosO- y' senO] [x' senO+ y' cosO] + C [x' senO- y' cosO]' + D [x' cosO- y' senO] + E [,'C' senO + y' cosO] + F,~ 0 Que al desarrollarse los cuadrados, los productos y asociar los terminos sernejantes se obtiene Ia siguiente ecuacion transformada : (A c0s'l1+ B scnO cosO + C sen' 0) x" + [2 (C - A) senllco'l1+ B (cos'lI- sen'lIl] xy' + ;1'1 "en"-O~ B sen {}r:.osB-+- C cos20) .v ,1- + (D cosB+ £ senB)x' + (E cosB- D sen~x + F =' 0 Al hacer las sj guientes, sustituciones : At :..4. I.~o~:./·O~ FJ sellBcusO+ C sf'n 2 p H' ~ 2 (C - A) senO C(ISO + B ((OSlO - senlO) C' = D cosli + £ senO E' =£cosO -DsenU F' =F Ob tenemos : A ' .r" "t- 8'" x Y + C"" Y + D" x + E" y + F ::;: 0 -"" .,\(2) , Si en la ecuacion transformada (2) va carecer del terrnino en .r' y', entonees e) cueficiente de x' y' debe anularse, esto es : 2 (C - A) senO cosO+ B (coo'O- sen'O) Par anguiu doblc : (C - A) se0211+ B co029 ~ =0 (3) 0 DRfMfllNMU1I 0 lividir entre cos 20: (C-A) sen2B cos 20 + 8 COl 20 =0 cos 20 (C-A)lg20+ 8=0 Ilg20~~ I ~ 1;7 26, A-C 18 e Donde la variacion del angulo es 0 ~ cose, se obtienen can las formulas: e ~ 90° y las funciones trigonornetricas sene y sen o= ~l-COS20 2 cosO = Jl+C~S26 Si A - C = 0, entonces en (3) se obtiene : Como B ~ B cos 2e = 0 e, entonces cos 2 = 0 2e = 90° e = 45° I Observaciones: I 1. Cuando Ia ecuacion general de segundo grado es complete. como, A.x'- + Bxy + cl + Dx + Ey + F = O. entonces existe rotacion y traslacion 2. Cuando 13 ecuaci6n cuadratica es s610 de la forma Ax 2 + Bxy + c.i + F 8610 existe rotacion, = 0, entonces 3. Para efectos practicos. si se desea identificar y graficar fa ecuaci6n de segundo grado. bastara hacer rotacion, Pues la traslaci6n se haee facil si completamos cuadrados en las variables x' y y' . C ~5/124 4. EI eje x' (rotacion del eje x) tiene la direccion de tgO. Ejemplo para guiarse: A Si tg 2B = 2.,4 entonces podemos hacer el triangulo rectangulo ABC : donde senB=~I-COS28 2 tgO = senB cos8 \- La funci6n tg 0 = 7 =3 • cosO= ,,~ {1+cosZ9 =4 = 1. 4 :t nos permite dibujar el eje X' • r: x' 31 que sigue Ja direccion de la hipotenusa del triangulo rectangulo DAB, recto en A. de caletas 3 y4. d~B B 7> 8' bl '\ M 4 A x PROBLEMAS RESUELTOS f)E ROTAC'ON Y' TRASUC'ON f)E EIES I Problema 01 I Dada la ecuacion 5x' - 26xy + 5/ + 72 Identificar la conica que ella representa =0 Trazar su grafica sefialando Jas ecuaciones de rotaci6n. Soluci6n: Segun 1aobservaci6n (2), en este problema s610 habra rotaci6n. X = x' c058- y' senU y = x' La transformaci6n de rotacion es { ........................ (I) senD + y' cose Hallemos : cosO y senO a partir de tg 20 =/ c En este caso A = C, entonces resolvarnos : .If sen 0 = .If cos O = Asi, tendremos { X B cos 20 = O. B;I!: 0 cos 20 =0 0=45 0 ........ / ,..•...•...............••.•.•...... 2 , ................... ................. (3) y=,[2x'+,[2y' 2 2 Reemplazar (3) en la ecuacion dada. 5[ 1 (x' - y') r- 26 [ .If (x' - y') ] [ 1 (x' + y') ] + 5 [ 5'%(X'2 -2x'y' + y'2 )-26.% (x,2 .. y'2) +5 ~X'2 -5x'y' ~) = ,[2 x' _ ,[2 y' Reemplazar (2) en (I) : { 8=-26 A =5 { C=5 1 (x' + y') r + 72 = 0 tex'2 + 2x'y' + y'2)+ 72 = 0 +-t y,2 -13x,2 + 13y'2 +!X,2 +5x'y' +1 y,2 + 72 = 0 y I ~, .~' .. " " ; , , , -8x' + 18y' + 72 ",~ , 2 ' 8x' - 18y' 4t~'-· 8' -Y~' I su excentricidad e En una elipse = t . un E. =0 = 72 = IJ Es la htperbcla en el sistema x· r [Problema 02 , 0 y' . se conocen : foeo F1(O, 1) J Sll directriz correspondiente, la recta de ecuaei6n x + y + 29 = 0, HalJar la elipse en el nuevo sistema x' Po y', de origen po. donde Po es el centro de la elipse. Sohu:i6n: l. Hacer el grafico de los datos: a) eI foco FI(O,!) b) Ia recta x + y + 29 =0 y 2. Hallemos la ecuaei6n del eje focal: que pasa por FJ(O, I) Y es perpendi cular a L, de pendiente Ittj ~ -1 La eeuaci6n del eje focal, es : ~: y-I y = e, I (x-O) x+ I ,.1',(0,1) 3. Por hallarse : el centro de la elipse, y los valores de a y b. Veamos: Si Po es el centro de la dipse, en el siguiente grafico se tiene : L I :.1"+1+29=0 pJ;< • %~ \) 5. Ahora, hallemos el centro Po : ~ IF, Pol; e c ~x2+x2 II- ; s,{i => Ixl; S Ehgiendo x; S, obtenemos Po; (S, 6) IRF,I + (3·) e;.!. c 6. Asi, tendremos en el grafico : Y'19'.....~ donde : I RF, I ; distaneia de F, ala recta L, .2 y,2 ~+T50=1 ..' a .. ·P, )0+1+29! = IS,{i fi e -!- ; (segun dato) 7. Como la pendiente del eje focal es IgO ; 1, entonces 0; 4So, Emonces, al rcernplazar en (3*) 15...[2 + c = 2a cosO = If, senO = '1 (1) 8. En el sistema original coordenadas de P son : otras ecuaciones son : 2 a a = 2e las P = P, + x (cosll, senll) + y (-senll,cosll) De e =.1 obtenemos .1 = s: 2 XOY, .. (2) Ademas : a'; b' + e' (3) De aqui se despeja x', y', obteniendose : fi .fi 6) x ,;T(x-S)+T(Y- 4. Al resolver las ecuaciones: (I). (2) Y (3); se obtienen : e; s,{i. a = 10./2 .fi fi (Y- 6) Y.;--(x-S)+2 2 b;SJ6 IProblema 03 I Deterrninar, cuando existan, los valores de k para los cuales la ccuaci6n: k' x' + 2kxy + (k'- I) y' + 2x - 3y + 300 ; 0 representa : i) una parabola iil una elipse iii) una hiperbola iv) una circunferencia Solucl6n: La ecuaci6n general de segundo grado : k' ~+2.1xy+(k'-I)y'+2x-3y+300=0 (I) II = k' donde B=2k { i) c~ k' - I B' - 4AC Representa una parabola, si = 0 (2k)' 4 (k')(k' -I) = 0 AI resolver : 4k'[I-(k'-I)) =0 k'[2-k') = 0 < ~ <=0 r: <=h'2 ii) La ecuaci6n (I) representa una elipse, si B' - 4AC < 0 k' [2 - k') < 0 k' [k' - 2] > 0 Resolver la inecuaci6n : si k '" 0 ~ k' - 2 > 0 ~ iiI) La ecuaci6n (I) representa una hiperbola si k' > 2 = Ik > .,fi v k < -.,fi I B'-4AC> 0 k' [2 - k'J > 0 si k", 0 k' < 0 ~ -.,fi ~ IProblema 04 I IkE < k < )-.,fi,.,fi[ - .,fi {oJ El sistema XOY es trasladado al punto PO<I,3) y luego es rotado en un angulo a = 30° obteniendose el sistema X .. Po y". En este sistema la ecuaci6n de una parabola fJ' es: (y")' = 8x" Hallar: a) EI area del trillngulo PoLR, siendo L y R los extremes de su lado recto. b) Las coordenadas del foco, L y R con respecto al sistema original (XOY) Solucion : 1. Hacer un grafico con los datos que se dan: 3. Las coordenadas del foeo en el sistema X .. Po 1"" es F = (2,0) = (x", y") Como hay rotacion y traslacion, por el Teorema 2. se tiene la transformacion: >( .' x" x = x" cos8- y" senD + h = x" sen8+ y" cosO + k y 3, ~''7'''A'-~-~'- f" 4. Como datos se tiene . ~~ y'" = &r" ! R------- ~ =2. y"=O 8 = 30° x h~l.k=3 2. En el sistema x" Po r", Po es el origen de x" Y". 8 = 4p ~ (base) (a/tun;,) ::::; (8) (2) ::::; 8u 2 2 altura 2 .ILRI = = IPoFI = base = IProblema 05 I {X=2J! -O-!-+I p ::::;2 EI area del triangulo Po LR es : (Po) Entonces: En este sistema se tiene la parabola U':y,,2::::;8x" donde !fOCD) y=2.-!-+0.J! +3 {X=J3+1 y=4 5. Conclusi6n: Las coordenadas del foco en el sistema original XOP, son: F=(../3+1,4) 8 unidades 2 unidades Los serniejes trans verso y conjugado de una hiperbola tienen .fi respectivamente. Si el eje focal es Ia recta LF : 3,< - 3y + 3 = 0 y el eje normal.Ia recta LN : 3x+3y-ll =0 longitud 2 y Encontrar la ecuacion de la hiperbola, Soluci6n: 1. Para tener mejor idea. graficar el eje focal y el eje normal. respectiva- LF : 3,< - 3y + 3 = 0 m=1 cu:::ITIJ Cill..l.QJ mente: L N : 3x + 3y - II = 0 ~ ~ y 5. Si 0 es el angulo de rotaci6n y la pendiente de L F es tgO= I, entonces se obtiene : y' ! x· ld I cosO = 12 I sen 0 = 12 l 1 < 7 1\-" I '" x " LN \: 6. Como hay ROTACION LACION, entonces: {y a=2,b=..[i = x" sen 0+ y" cos B+ h Sustituir datos: r x::cx,,_1 -y"~+.! 3. EI centro de la hiperbola respecto al sistema XY es la intersecci6n del eje focal con el eje normal. 1_.~ .~2: lY"x ,fi+Yj2+, t 't)} 4 < 4. Respecto a los EJES de la hiperbola es: H TRAS' X= x"cosO-y"senO+h 2. Como datos se tiene : Po = LF r. LN = {( y r x" Y" la ecuaci6n 1 " I x-'=12 x -j2Y " l 7 1 " 1 " Y- 1=j2x+,fiY ~_L-I 42- X'=i (X+Y - ¥) 7. l I Y.. =Ji(y-x-I) 8, Sustituir 7 en 4. IProblema 06 r a) La recta D: x - 2y - 6 = 0 e. I. directnz de una parabola cuyo venice es el punto V( I, I). Determinar la ecuaci6n de la parabola por rotaci6n de ejes. b) EI centro de una elipse es (1,0). EI eje normal es la recta .r - y - I = 0, el eje mayor mide 12 y el lado recto 8. Detenninar la ecuaci6n de la elipse, por rotacion de ejes. 438 Solueion de a) Como V = (h.k) = (1.1). entonces 1. Graficar la directriz y el vertice : x = ..L x ' - .rs { , "x" "1" -, , :> <' 6 I Ts y'+1 y=~x'+ ~y'+l 'S .S 3. AI despejar: x" y y" se obtiene : x f 1y' X'=*(x-I)+*(y-l) 2. Si v" es el eje focal y x'y" OS el nuevo sistema, entonces la ecuaci6n de la parabola es P : x" 2 p=d(V.D'= => c1> ~ 9': P/-6 =151 1+4 que se reduce a : 1 9': 4~+4xy+l+ 16x-62y+ 31 =0 y' ., x.2 = ~ ",j X ~ = x" cos8 - y" senl/+ h porque X" es paralela a D, ld 2 1 tg 8 Sol.own de b : 1. Grafiear los datos ~, y = X" sen8 + y" cos8+ k La pendiente del eje X" es [i(X-l)+*(y-l)f =*[ i(Y-I)-*(X-l)] Como hay rotaci6n y traslacion, las coordenadas de un PEg>. en el sistema origmal. esta dado por: { 4. Reemplazar en 10 parabola: = 4py" , con "p" positiva Hallar p =i(y -I) -*(X-I) = ,~x" .\: t. .. ME NORJIM. '--x-y-l""O .. \/ L(8\ ,\ x \ 9=4'· senO=* 2 cos8 = 15 439 Z. Como datos se tiene : En el sistema x" Po y", Ia ecuaci6n de la elipse es : y,,2 £2 =1 E:36"+2. 2a = 12 =0> a = 6 longitud lado recto: 2b' 2 -=8=o>b =24 • Po = (h.k) = 0,0) 3. Hay rotaci6n y Iraslaci6n. IProbkma 07' ,J2" x _ ,J2 x = -22 v" + 1 .r!' ~ tal que: { ,J2" + 0 r:: ...,2 x"+_y Y=-22 1 8 \" ._% Despejar : x" y y" para reemplazar en E Dada I. ecuacion : x 2 - 2../3.<)' + 3 y 2 -16../3x -16y = 0 a) Graficarla con respecto al sistema xor dado (justifique mediante rotacion de ejes). b) Hallar, respecto de dicho sistema, la ecuacion de la recta que contiene a un lado reclo de la grafica, Solueron : Para responder las partes a) y la parte b). bastara hacer dos cosas : A~c B = - 2J3 A= 1 { B=3 tg 20 = -2,[3 1-3 ~ 1" Hallar el senO y cosO, sabiendo que tg 28 = 2 tg 20 = ,f3 .j'f 20=60" 0=3(J' 24 Reducir la ecuaci6n dada a la forma can6nica mediante la transformaci6n: . { y =.x' senD + y' cosO J3, { =0> cmO =,[3 senO:! x=x cosO - y' 'enO _'=,x (I) I -,Y I , Y=1- x'+1y' ,A] 2 '-1 L-J ' V3 0=30· Veamos : Reemplazar (I) en la ecuaci6n dada: [~( ,[3x' - y') ]2 -2,[3 [~( ,[3x' - y') ] [~( x' + ,[3y') l- 3 [~(x' + ,[3y') l' -16,[3 [~( ,[3x' ~ y') ]-16 [~(x'+,[3y') ]= 0 Esta ecuaci6n se reduce a : Y,2 - 8' x 2 y' Dandc: = 0 (pardbola) = 8x =8 l 4p p =2 b) La ecuaci6n del lada recto en el sistema x'y' es x' = 2. La ecuaci6n x' = 2 en el sistema XY se halla mediante la transformaci6n. 101 eje focal, es el eje x' graficar, necesitamos la direcci6n del eje x' (sigue la direcci6n x' = xcosB + ysen(J 2 = x,/3 + yl 4 = ,[3x + Y a) Para de la tg30° = .E) o= »:x' I Problema 08 1 ' I \\ 2 ,[3x + y-4 t J\ ._~' 2 Es la eclUldOn dellado recta en el suunaa n". x EI sistema XOY se traslada al punta (2,2) y luega se rota un angulo de 60" en sentido antihorario obteniendose el sistema x' Po yl. La recta L tiene por ecuaci6n L 2+,/3, 1-2,/3 , - 2 - x +-2- y = 5 Si L, es una recta ortogonal a L y pasa por el punta L n Eje Y, determinar la ecuaci6n de L, en el sistema XY, 1. Graficar los datos: L: 8x+4y-44=0 L: 2x+y-11=0 ,1' y, /1 La pendiente de L es m I y~ = -2. 4. Para hallar la ecuaci6n de la recta L,. H/~ ~;J' se necesitan: un punto Po E -x" pendiente Lz Y su m2. a) Como L, es perpendicular a L, entonces la pendiente de L2 es 2 m2--S-' -' 2. EI sistema XOY se traslada al punto (2.2) y luego se rota un angulo de 60" en sentido antihorano. se obtiene el sistema x' Po y'. Entonces la trans formaci6n es: b) L2 pasa por la interseccidn de L con ele EJE Y. EI intercepto de L con el EJE Y, se obtiene hacienda x ;::: 0 en la ecuacion deL x'" = x' cos 60" - y' sen 60° + 2 { y" = x' sen 60° + y' CDS y, L, 60° + 2 X- 2 = l- X' _ ,[3 y' . 2 (I) { y-2= 2 "l x'+.ty' Hallar x' y y', resolviendo el sistema (I) per deterrninantes: X' 'L = tlx+v"3 y- 2-2v"3] (II) { y' = t[ y Asi: -v"3 x+ 2v"3 - 2] =>y=lI 3. Reemplazar (II) en L : (2+ ,[3) 2 (1-1;.,[3) Luego Po = (0,11). [t(x+:v'3y-2-2v"3)] + La ecuaci6n de Lz es: [t(y-v"3 x+2v"3- 2) ]=5 Al multiplicar obtiene: y x = 0 => 2(0) + Y - 11 = 0 simplificar se L,: y-ll=t(x-O) y =t x + 11 I!'roblema09) Dada la ecuaci6n: 2x 2 -4xy- y2 -4,Jsx-2,Jsy+14 = 0 a) Identificar la c6nica a la eual representa. b) Graficar la cornea. c) Determinar la ecuaci6n del eje focal de la conica en el sistema XY. y Solucion : 1. Enprimerlugar,hallar {B tg28= A~C' tg28= -4 2-(-1) donde = -4 A = 2 C = -I 4 =-"3 2, En segundo lugar, reemplazar : ra'l:lfl\ x -3 X la transforrnacion = .c' cos8- ",'senD . cos 20 y.=: x' senO+ y'cosB { =-t seno=JI-C;~18 "2, x=,fSx-,fSy { cosO = y =..L. x' +~y' l ,fS -i5 en la ecuaci6n dada: 2 [-L(X' -2v') 11 ,fS " =-j; J' ",,29 =-\... 2 ./5 rg = 2 2 - 2v') -L(2x' + y')J-[-L(2X' + y' J2 - .;l' -L(x' ,fS ',fS ,fS -4,Js [ Js (x' -2y') J- 2-1s [ Js (2x' + y') J+ 14 = 0 Al desarrollar y simplificar, se obtiene : 3 " - 8' 6,' 14 - 0 a) -",' _x+Y x+)+ .. (hiperbolav 3. Ahora completamos cuadrados, para poder hallar el centro Po de la hiperbola en el sistema x/of' . H . 3(y,2 + " _y' + ... .) _ 2 (" x + 4' x + ... ) - -14 , , 3(y' +2/+1) -2(x' +4x'+4)=-14+3-8 3(v' + I)' - 2 (x' + 2)' = -19 y x' Y, '~L , }I " . '= ---:r - --..... 2(x' + 2)' - 3 (y' + I)' = 19 ex' ----..rz a =jIf = 3.08 + 2)2 ~=1 19/3 b=fF=2.51 443 Bn el sistema )(01", el centro de la hiperbola es (-2 ,-1) Eje trans verso paralelo al eje x: Al reemplazar en 4 : -j;y-*x~-I 4. La ecuacion del eje focal en el sistema )(01" es : y' ~ Js y - Jsx y' ~ -1 = 2x- y-.[5"o Del sistema de ecuaciones que aparece en el paso 2 despejar y' : IProblema 10 I Hallar la ecuacion de una elipse con vertices en (3.3) y (-1, -1) y excentricidad e = t. Soluci6n: 1. Graficar los datos en el sistema original XOY : yo y, i '\ Hallemos a y b z' i) a"d(po .v,)~~(3_1)1+(3-1)1 ~2.fi ( I) p~ l ( ' I I \ -I ,X I I 1t' ii) Como e=L y e=l=> £=l. 2. 5i V, Y V, son los vertices de la elipse, entonces el centro es el punto medio del segmento V I V 2 ' esto es : Po ~t(V1 +V2)~(l,I) 3. Si elegimos eJ punto p.(1,!) como origen del sistema x' Po y' . entonces la ecuacion de la elipse es : .2 .2 .:!.-+L=l 2 2 a b a 2 =Q 2c ~ 2,[2 c ~,[2 c> 2c = b2 + c2 iii) Pero: a 2 8 ~ b' + 2 => b' ~ 6 Entonces, la elipse es : ,2 ,2 8 6 .:L-+L=l E 1 E: :2 a x 3x' +4y' E 1 ~24 4. Por el punto p., hagamos pasar el sistema x" PoYl' . entonces los ejes x" , y" han rotado B= 450 respecto a x' y' (pues la pendiente de VI>' 2 es tg8~ I) As! obtencrnos la transforrnacion : x" { y" = .r' cosO - y' senD = x' senB + y' cosO 6. Reernplazar en la elipse E: E: 3[ ftx'+y·)J'.4[ 4-(Y'-X')]' =24 E : 3 (.f" + Y" )2 + 4 (y" - ..1",,)2 " ,fi , ,fi , :,,: ~:': ~:' { 7. EI sistema XOY se ha trasladado 01 punto P o( 1.1) entonces : = x-I y"=y-l x" 5. Al despejar : x'. v' se obtiene : f l 8. Reernplazar en I. elipse : £ : 3(x-1 +y-I)'+4(Y-1-x+ 1)'=48 .r' = -h fi-"" 2 .r" ,-' 2 v' ~.:: _"./'2 v" - • 2· = 48 /2 x" 2 + Y - 2)' + 4 (y - x)' = 48 : 7 x' - 2xy + 7/ - 12.< - 12y - 36 = 0 s : 3 (x r; r~~~n~l!J EI cs a) b) EI sistema XO\' se h. trasladado al punlo Q(3,2), obteniendose el sistema x: Qf'. Iucgo ::.e realiza una rotacion de ejes resultando el sistema )(" Q r" sernieje positive del cie x" pasa por el punto (3,4) referido al sistema X'QY'. Si E: una elipse de ecu.vron y,,2 + 4x·,2 = 16. determinar : La ecuador .lc z en el sistema XOY Las ecuaciones de las directrices de E: en el sistema XOY. 501uci6n : 1. Graficar los dalos : 2. En el triangulo rectangulo QAB, recto en A, se tiene 19B = y Y 5/1. LJ x" yo t- senB=± 5 cos(}=l J ¥U\ ". . J J ,/ L 3. La transformacion es ; A "< x' x X' { { y' = x" cosO = x" senO - y" senO + y" cosO X' = 15 x" - ±5 .v" Y' =±x" , +1, .v" 5 Dc.peJar: e , y" X x'_I _ ' -4/51 y' y' _13/5 - 4/5 ~, , 3/5 Reemplazar en la elipse : [3(y-2)-4(x-311'+4[3(x-3}+4(x-211' ~ 400 E: 3x ="5 ' +t l que se reduce a : 5h' + 131' + 12x.y - 456.< - 508y +192 =0 E: iX'I =ti-t x' 6. Las ecuaciones de las directrices en el sistema x"y" son: , Reemplazar en la elipse : y" +4x" =16 . -L (3y' - 4x')' + 4 . -L (3x'+4y')' = 16 . 25 25 E: E E : \'~ . -, ±+. "J !(y- 2)-1(x- 3) = ±-}; y' ~ (3y' - 4x' )' + 4 (3x' + 4y')' = 400 5. Pero KOY se traslad6 al punto Q(3,2) forrnandose el sistema X' y', entonces: { 14X-3Y-6±-E=O x' = x-3 y'=y-2 IProblema 12 I = .s n a~4 r= -If I Sea la recta L: 4x + 3y - 21 = O. Se realiza una iraslacion de los ejes coordenados 31 nuevo origen P o(6, -1), scguida de una rotacion, obteniendose el sistema x' y' . EI eje Y' coincide con 1a recta L. En el sistema x' y' la ecuaci6n de una recta L 1 es L) : x' - 3y' + 6 = O. Hallar la ecuacion de L, en el sistema XY. SolucitJn 1. Graficar los datos: y\tY >(' 7 x· I I\,~'O J. :;( /81 x_x" -I / C , L.4x+3y-21:0 :x'-3y'+6=lO Graficar L, : x'- 3y' + 6 = 0 '§rn y' Si 0 es el angulo de rotaci6n o 2 -6 0 m;:; -.± 3. Despejar: x' • i x , Ix'y' y , = 14/5 3/5 debemos hallar : tgB Veamos : la pendiente de L es 3 - > 3/51 4 4/5 =sx'+ty' x'i y' 4 = s y' - t x· como eJ eje x' es perpendicular a la recta L, entonces tg B = 4. Al reemplazar en L, : t. 4 • +-3 V ' -x :/1 LLJ 55' 3 sen () ,,",.1 5 ' sistema x"y" 3(4 3 . )+6 = 0 -y • --x 5 5 y : 13x' -9y' +30= 0 cosf}:= l. 5 4 2. EI - ha rotado 0""" arctg (~) para convertirse en el 5. Como el sistema XY se traslado, teniendo como nuevo origen el punto Po (6.-1) ,para formarse el sistema x" Po Y". entonces : sistema x' y', entonces : x":= x-6 y"=y+l x" : : : x' cosO - y' sent) { y" : : : x' senB + y' cosO X' { =.ix' _.1 v' 5 .5 • y' : : : 1. X' + ~ y' 5 6. Al reemplazar en L" se obtiene : L, 13(x - 6) - 9(y + 1) + 30 = 0 L, 13x - 9y - 57 = 0 5 IProblema 13 I Los ejes coordenados del sistema XY son rotados alrededor del origen en sentido antihorario en un aegulc de 1200. En el sistema resultante x: y' la ecuaci6n de una parabola es : y' 2 =8 (x' - 2) Determinar las coordenadas de su venice y de su foco en el sistema XY. 447 Solucwn: 1. Hacer un grafico con los datos del problema : y 2. Si eI sistema XY rota 120" sobre el mismo origen para convertirse en el sistema KY. entonces [a transfor maci6n es: = x' cos B- y' sen x e y = x' sen B+ y' cos () Como 0 = 120", enlonces : sen 0 = ./f cosO =_1 \1/--) /1\ -: 2 Y Luego: 9' : y. 2 = 8 (x' - 2) EI venice en el sistema x'y' es . V= (2,0). • Como 4p=8 => p=2. • RespeclO aI sistema X'I' la parabola se abre hacia la derecha (ver. fig.) EI foeo en eI sistema X'I' es • = -tx' - ' : y' J3 , I • Y=T x -"I Y \ En el sistema X'I' la ecuacion de una parabola es : • x \ 3. l.as coordenadas del vertice y del foeo en el sistema xr son respect! vamente : x=-t 2 -./f _,[5 1 (0) "<, V=(-I,,[5) Y-T· 2-t(0)/ x=-1: 1 4 = ,[5 4 Y 2· -./f I (0). . ">F:<-2.2,[5) -2(0)/ F= (4,0). I Problema 141 Despues de una rotacion de los ejes punto P'=(-.[i12.-3.[i) (0 < 0 < 1- )Y una traslacion al en el nuevo sistema, la ecuacion 3x2 - 2xy + 3/ + 2Dx + 2Ey + F = 0 se transforma en 10 ecuaci6n T ,,2 + y" 2 = 1 . Determinar los valores de D, E y F. Solucion : Asi, la ecuacion, se reduce a: ,Y yl •.•. y< _1! _-- -------- -x 'lY I .' 3x· 2 - 2x'y' + 3y,2 + F -12 = 0 •• ,(4)1') ,x" / 5. Si el sistema x' p' y' rota (}=45, porque A =C (ver leorema), para transformarse en el sistema x" p' r", x' ~ I", entonces se tiene: . " a " e x =.x cos -y sen 1. Si el sistema XY se ha trasladado al nuevo origen P' ~ ( - "!.-3;'2). Iorrnandose eJ nuevo sistema X' { y' = x"senO+ y"cos() r' r', X' = entonees: ! J2x"+ J2 I' Y' _-T TY Jx'~X-(-,,!) 1y' ~ y -(- 341 =:> ( X ~ X' _f Reemplazar en la ecuacion 4*: 3[ If (x"~ y")T -2[.If Y")1 +3[ "!<x"+y")f +F-12=O (x"- 2 ) y~ y'_3.[2 2 (x"+ y..)] Desarrollar y reducir: 2. Reemplazar en la ecuaci6n dada: 3(X'-~r -2(X'-~)(Y'-~)+J(:I-~r + "! x"-"! y" 2D(x - ~)+2E(Y' - ~)+ r = 0 2x,,2 +4y,,2 -12 + F =0 Dividir entre 4: x~2 + y,,2 = 12~ F Segun dato del problema, debe ser: ::::::> 3x,2 - 2x'y' +3y,2 + 2Dx' + (-8..[i + 2E}y' 12-F =1 =:>F=8 4 + [12-.[20- 3.[2E + Flo 0 6. ConclusiOII: 4. Igualar a cero los coeflcientes de x' e t y. ~ 0 => D~O -8./2 + 2E ~ 0 => E ~4./2 2D { La ecuaci6n de la elipse en el sistema original XY, es: 3x 2 - 2xy + 3i + 8./2y + 8 = 0 la ecuaci6n 3x' + Sy - 4 = 4xy + 12x. Identificar la curva, IProbkma 15 1 Dada hallar las coordenadas en el sistema rotado del punta que y x' y' P tiene como abscisa x = 1. Solacioll : y ! x=_t x'_..L y ' (2*) .J5 .J5 y= 1'5 x' + Jsl 3.. Reemplazar en la ecuaci6n (1): 3t(x' _2y')2 -4+(x' -2y')(2x' + y') -12.-),,(x'-2y')+8. </5 cc> ),,(2x'+ y')-4 00 1/S· -x,2+ 4y'2+'1;x'+*/-4:=O Completando cuadrados se obtiene: (y' + f,)' 1. Ordenar la ecuaci6n: 3x'-4xy-I2x+Sy-4=O ...... (I) donde:A=3, 8=-4, C=O y tg20=_B_= 4~ 1 -4 3 A-C 5 senO=~ t-cos20 2 - ~t+COS20 2 - cosO = # +1' 2 X { = y = x'senB + y' cosO EJE FOCAL paralelo al eje y' 20 3-4y-12+Sy-4=O 13 y=. = 15 1_ -2--.J5 x'cosO - y'senO (1'5 ,- is) , en x' y'. 2 tt __ ;Z, La transformaci6n es: Centro Po = Ihiperbolal 4. Si la abscisa de P es x = I, cntonces al reemplazar en (1), se obtiene: ~ cos (20) =_2 (x' })' = j 5. Reemplazar: x = 1, y = '] en la trans formaci6n (2*): ! 1= ...LX' _ ..L l .J5 1]= 1'5x'+ .J5 Jsl Al resolver, determinantes: x'=1 1314 y' este sistema, par 1 1 13/4 2/,/5 (3;} ,Jf) son las coordenadas del punto P en el sistema -2/,/51= 3./5 11,/5 2 =,1!,/5 6. (x', y') = X'Y', ./5 =. IProblema 16 1 Par traslacion de los ejes coordenados al nuevo origen (1,1) y luego rotacion de los ejes en un lingula de 45°, la ecuaci6n de cierto lugar 2 J - 2 y" = 2 . Hallar la ecuaci6n dellugar geornetrico con respecto a los ejes originales. geometrico se transformo en x" Solucion : t. Graficar los datos: y Despejar : x", y" : y' x" = x' cosO + y' sen o ~ Ii 1[' , y" X" { v'> -x' sen ()+ y'ease .\ Como 0=45· -X' "..-="-'4 I i,/ /'>, c:;: ~ 2. x ' y' TOto para convertirse en x" y", can angulo de rotaei6n 0 = 45·. entonces : ' X '' cos O -y '' sen O x:: { y' = x"senO+ y"cos8 x " -- .(i(x'+y') 2 X " - .,fi. (-x' + y') /Y - 2 3. ReempJuar en 1. ecuacion : x ,,2 - 2 y ,,2 = 2 .1(x' + y,)2 -2.1(-x' + y')2 = 2 2 2 ( x '+ y ')2 - 2 (y' -x ,)2 =4 Se reduce a: " + y .2 + 4 -- 0 x ,2 _ 6xy . (3<) ... XY Ie 1rU1ad6 para convertirse en x'Y con punlo de traslacion Po = (1.1). cntonee.: X= X' + I { y = y' + I 5. Reemplazar en la ecuacion (3)) : (x-I)'- 6 (x-1) (y- I) + (y - 1)'+ 4 = 0 Se reduce a: x' -6xy + l+ 4x+4y = 0 X' = X- I Necesitamos: [Problema { y' = y-I 171 Por transformaci6n de coordenadas, demuestrese que la ecuaci6n general de una recta. Ax + By + C = O. puede transformarse en y. = O. que es 1aecuaci6n del eje x", SDluciOn: Se debe hacer dos cosas : trasladar y TOlar Reemplazar en L : I. Trasladar el sistema XY a otto origen Po que pertenezca a la recta : L': A(x' +.1"0 )+8 L : Ax + By + C = 0 para obtenerse el sistema x' Po y' . (y' -1-xo -1 )+c =0 Se reduce a: L': Ax' + By' = 0 Y I j Veamos: Si x = Xo. entonces en L se tendra : Axo+By+C=O { y=-tXo-~ " I " x Asl obtenemos : Po =(Xo.-tXo-~) Si el origen (0,0) del sistema original XY se lraslada al punto Po para formarse el nuevo sistema x' Po r", entonces la transforrnaci6n es: 2. Rotar e1 sistema x' Po y' sobre el punto Po para convertirse en el sistema x" Po Y·. de tal modo que la recta L sea el eje x: . Hacer la transformaci6n: x= x'+xo • Ax C { y=y-/i O 8 { x" cosB - y" sen o X' = y' = .r" sen () + v" cosO donde 8 se halla de la pendiente de Reemplazar en L' ~, L':Ax'+By'=O L': A ~[-Bx·-AY·l+ ,,2 + 82 LJ Asl: tgB =_.d B 8 ~ [Ax· -By·J=O -B vA - + 8 2 Entonces la transformacion es: ' rX = 1v' = l 1 B" JA 2+B 2 X A - Se reduce a: H ~A~+-B2 Y _(A' + B') y" = 0 A JA 2+B 2 .r" _ ~roblema.18 ~ B JA 2+S2 = y" v" =0, puesA'+B',.O Hallar las coordenadas del nuevo ongen si los ejes coordenados se traslada de rnanera que la ccueclon Ax! + Bxv + q-i + Dx + Ey + F = 0 se transforrna en otra ecuacion que carezca de terrninos de primer grado. Solucion X = x' +11 1. La traslaci6n se hace con 13 transforrnacion { y= y'+k 2. Al reemplazar en la ecuaci6n dada. se obticne : A (x'+II)' + B(x' + II) (y'+ k) + C(y'+ k)' + D(x'+II) + E (y'+ k) + F = 0 A(x· 2 + 2hx' + h 2 ) + B(x'y" +kx' +hy' +hk)+C(y'2 + 2ky' +k 2 ) + Dx' + Dh+ Ey' + Ek+ F =0 A,' + 11x' v' + c/' +(2Ah+ Bk + Dj x' + (Bh+ 2Ck + Ely' + Ah' + IJhk+Ck 2 + EK + F ~O 3. Se quiere que esta ecuaci6n carezca de terminos de primer grade. esto es. 2Ah + IJk + D = 0 { Bh+~('J. +-E=O II=? , k=? ... Ruolver, por determinantes: -D /I " . -II 2C 2A /I /I - -2DC+EB 4AC-B 2 fH B ; k = 2A -E B B 2C 2C 5. Las coordenadas del nuevo origen son Po = IProbk"'" 19 ~ -2AE+BD 4AC-8 2 (21:C -EB ,2~E -BD) B -4AC B -4AC -l- Sea 2x' - 4xy 4x - 8y + 14 = 0 una hiptrbola H, y sea fJ' una parabola cuyo vertice coincide con el foro de la pane superior de H, y cuyo foco es el centro de H. Hallar la ecuacion de la parabola en el sistema KY. SO/Mew" : Para hallar el centro y los focos de la hiperbola, debemos de rotar y trasladar . x e x'cosO- y'senO 1. La rotaei6n se haec con la transformacion { y = x'senO + y' cosO EllinguloOsehallacon:lg20= A~C ,doDde A=2,B=-4,C=-1 ~ Ig20 = ---=i. 2-(-1) senO = JI-C05' 28 -...l... --2- .[5 Ig20=-~ cosO = JI 3 + cos 20 -..l... .[5 --2- - tgO = 2 COI28=~ s ! x= i(x' -2y') Luego, 1a transformaci6n de rotaei6n es y = Js (2x' + y') 1. Reemplazar en 1aecuaci6n de la hiperbola, 2 -4[ H: [t,(X' -2y') r-4[ t,(x'-2y') t,(x' -2y') ] [ ]-s[ t(2x'+ J, (2x' + y') ] -[ J, (2x' + y") y') ]+14~O r Se reduce a: H: -2x,2+ 3y'2_ 4.,[sx'+14=0 (complelarcuadrados) 2(x' + .,[s)2 - 3y'Z = 24 a = 2,f3 lx' • ..[5), " L=I 8 12 b= 2fi c= ,/ F:.. . •.~¥ 2..[5 • El foco de la parte superior de H es • F2=(-.,[s+2.,[sm=(.,[s,O) . EI centro de H es Po = (-.,[s ,0) . x 3. La parabola de vertice F = (-../5.0) • donde p V = (../5 • 0) y foeo =1 FV 1= 2,/5 tiene por ecuacion, en el sistema x' Po y': 9' y'z =4(-2.,[s)(x'-.,[s) 9' y'2 = -8.,[s (x' -.,[s) 4. Para hallar la ecuaei6n de 9' en el sistema KY, bastara despejar x' y y' de la transformaei6n y luego reemplazar en 9', (hagalo), I Problema 20 I Sea la elipse E,: 16x' + 9y' - 32x - 54y - 47 = O. Sea E2• otra elipse cuyo centro es el extremo derecho del eje menor de EJ, uno de sus focos es el vertice inferior de ElY adernas pasapor el venice superior de £1 . a) Hallar el otro foeo de E, ' b) Hallar la longitud del eje menor de E,. c) Hallar la ecuaci6n de E2 , respecto al sistema original XY. Solucion: 1. En primer lugar, hallar la eeuaei6n ordinaria de E,. Cumplctar cuadrados: 16x%-32x+ 16(.t'-2x+ ii) EI valar de "a" se halla conociendo el +9y2_54y+. otro foco F, de la elipse E,. Como F, esta en la recta que pasa par F, y Po. primero hallemos la ecuaci6n de =47 )+9(y'-6y+ ... ) =47 16(.<' - 2x + I) +9(y' - 6y + 9) = 47 + 16 + 81 y + 1= L F1PO : 16(x-1)'+9(y-3)' = 144 y=.!x- L (x_I)' (y-3)'_1 - - 9 - + -1-6- 3 1 1 b=3 Centro : t(x -I) Las coordenadas de F2 Pero a=4 C;=(1.3). 3 = (x .1 x- t). IPoF2 = 5 1 ,'----=-2-.--7::------=-' V(x-4) +(3x-3-3)- =5 x'-8x+7 =0 (x - 7)(x - I) = 0 Y- < X= l .r = 7 Asf. obtenemos F, = (7 • 7) E, --JI' 'I 1'... I /: iii) Por definicion de elipse : IF1P! x + IF 2P ! = 2a 17 - (-1) 1+ 17 -II = 2a 14 = 2a => a 2. La ecuacion de la clipse E, en el sistema x' y' es : .2 .2 Porhallarse:a=? 2 49 = b2 + c2 = b' + 25 => b' = 24 3. Entonces la ecuacion de E2 en el .:!-+L=l 2 2 a iv) Como a =7 b sistema x' r', es: £-].: b=?, c=? i) En la elipse E" el valor de c es Ia distancia del foco F,(l,-I) al centro )',2 + -24 = 1 4. Para hallar la ecuacion de £2. en el sistema original. hacemos: Po(4,3); esto es. 10 una rotacion, donde tgll = ~ 3 (pendiente de x') c =1 F, Po I= ~(4_1)2 +(3+1)2 = 5 « ,1 ~<) 2° Una traslacion. donde Po = (4.3) es el nuevo origen. ----- • 7iT1'-' ~ ' ~ r !QJ!IT .1 iE'J l~~,>'" '.~ loi,' 1"\,." , ..::' ....._ ._n~),;!:tlL~t Gtrense los ejes el angulo indicado y h41leDie las coordenadas de los puntol dados con respecto a los nuevos ejes. Tr6cese una figora moslrando los dos sistemas de ejes, as< como los puntos. W4S" ; A(4,O) , 8(0,4) . C(6,2) , 0(6,-8) , E(-3,5) , F(-6,-6), 0 (.,fi ,:Wi), H(-S.,fi,4). :@60" ; A(2,0) , 8(0,2) , C(4,2) , 0(2,-6) , , E(-4,2./3), F(-4../3.-2) , 0(./3,./3), H(6...fi,2-!6). '@ Arctgt ;A(S,O) , 8(0,5), C(4,2), 0(3,-6), £(-1,7), F(-IO,-S) , 0(-4,3), H(2,-3) @ Demubtrese que la ecuaci6n de la circunferencia x' + l = ?- no varia al girar Ius ejes cualquier angulo. ~ Transf6rmese ta ecuaci6n de la hipCrbola equilalera x' -l = a' giralldo los ejes un angulo de -4S". (N6tese que el nuevo sistema de ejes son las asmtotas de la hi)ll!rbola). Transf6rmese cada IIJIlI de I.. siguientes ecuaciones giralldo los ejes, el angulo que se indica. Traccse la corva. (N6lese que al Irazar la curva, seria conveniente que eI papel cuadrlculado renga el rayado paralelo a los nuevus ejes.) ~ x'+ 3xy+l= 10 ,45". ID x'-2xy + l= 18,45", j!l3x' + 4xy = 16, Arclgt. ~ 34x' - 24xy + 411 = 25 , Arctg 2. j]) 8x' + 12xy + 171 = 20, Arclg 2. ill X2 -.J3 . xy +2y 2 = 16 .30". i!llli - 24Jty + 4,' = SO. Arctg t. [] 3x2 - 3xy - .; = 54 • Arctg 3. i!]2929x1- lOSOxy + 4000,' = 67600 • Arctg I~ . Simplifique cada una de las siguientes ecuaciones mediante una rotaci6n y traslaci6n de ejes, Tracese ellugar geometrico, mostrando todos los sistemas de ejes empleados. Oil U 021 +xy + 2y' = 90. u - 5xy + 2,' = IS. 031 4x' - 3xy = IS. 041 4xy - 3,' = 64. O&I3x' + 2xy + 3,'- 16Jt + 20 = O. 0&15x1 + 2xy + 5,'- 12Jt - 12y = O. 07.117x1 + 12xy + S,' + 46Jt+ 2Sy + 17 = O. oa.19x' - 24xy + 16,'- 240Jt - ISO, = O. 09116Jt' - 24xy + 9,'- 300Jt- 400y = O. 10 1108x1- 312xy + 17,' + 840Jt - 3So, - 100 = O. ifI3SW-72Oxy - 97,' + 720x + 194y + 4S1 = O. 1217x' - 48xy - 7,' + 68x + 124y - 292 = O. 13125x' - 120xy + 144l- 4056.>: - 1690y = O. 141 199x' - 240xy - 119y' - 24h -716y - 668 =0 Hallense las coordenadas de los focos de las siguientes curvas, 16116.>:' - 24xy + 9l- 120x - 16Qy = O. iii 14x' - 20xy - l1l- 16.>: - 40y ~ 128 = O. ifI369x' - 384xy + 481l + 112h - 1346y - 4391 = o. _I 2xy = a' (hipCrbola equilateral. Ilespuest••: GnIpo 01 I 01 A(2..[2.-2..[2), 8(2..[2,2..[2) , C(4..[2,-2..[2) , 0(-..[2,-7..[2) , E(..[2,4..[2), F(-6../2,O), G(4,2) , H(-5+2,fi,5+2,fi). 03 A(3,-4). 8(4,3) , C(4,-2), D(-3,-6), E(5,5), F(-1O,5), G(O,5), H 06 h'y' = a'. 11 f1I y" x' + 5y" = 32 Kespuestas: Gnapo ,2 '16 f1I T+-.-=1. ,,2 + '60 =1. y .. 2 13 y.2 = 26x' = I. 13 7y·2 - 3x· 2 = 108. 021 12 01 os x' + 2y" = 9. (-t,_I;). y,Z ,2 03 . - '36 =1. OS y.2 =20x' 16 (t,! ) .. 2 v" 2 06 _'_+_=1 \ 2 . " ., .. 2 ,,2 -j---'T=1 17 (1112) (_115 '_.2) S 5~5' 459 m Por una rotaci6n de los ejes coordenados, transformar la ceuaci6n: 9..' - 24xy + 16,' - 40x - 30y = 0 !I Por rotacion de los ejes coordenados, trahsformar 1a ecuacion 2x - y - 2 = 0 en otta que carezca del termino x'. II Las coordenadas del punto P = (x.y) satisface la ecuacion x' + xy +,' = 8. Giramos los ejes coordenados y la direcciOn posiliva del eje x' pasa por 1'1 punto (1,1). HI Dibiijense los ejes coordenados y descrlbese cada uno de los cambios de coonlenadas abajo definidos. a) x=x'+3 y=y'-2 c) x=y'-I y=-x' +2 b) x=1i(x'+y') d) x'=t(x-J3"y)-2 1 ( -x, +Y ') y=7i y'=t(J3"x+ y)-I ~ Para cada uno de los cambios de coordenadas del problema 4 proporci6nense ccuacionesen las nuevas coordenadas para la recta cuya ecuaci6n en las coordenadas originales es: 2x -- 3y = 5. !!J Mediante una rotaci6n de ejes, la ecuaci6n U + 3xy + 2/ = 4 se transforma en 7x" + y" = 8. Hallar la rotaci6n de los ejes coordenados XY. iii Por transformaci6n de coordenadas, simplificar la ecuaci6n: 3..' - 2xy + 3,' - 2x - lOy + 9 = 0 Tr4cese ellugar geomc!trico y todos los sistemas de ejes coordenados. Ilapuatu: QI1IPO 81 v"> 2x' =0 031 J5 02 y' +2 =0 03 3x" + y"= 16 a) Esta es una trallaci6n de coordenadas. EI nuevo origen esta en 1'1 punlo (x,y) = (3,-2) ; c) Los ejes de coordenadas han girado destr6giramente un angulo de 90" y despues de han trasladado. E1 nuevo origen esui en 1'1 punto (x,y) = (-1,2) 0& a) .~, - 3y' = -7 ; c) 2y' + 3x' = 13 . 04 III a) (x',y')=±1i(x+ y,y-x) .. 111 x" + 2y,2 = I " CAPITULO 10 VECTORES EN IRD -r-; t DmllCIOK: Si n es un nlimero entero positivo y JR es el conjunto de los nUmeros reale s, definimos a JRO como el conjunto de elementos que tienen Ia forma (XI ,Xl ,X3 t ••• • xJ. tal que. XI E IR.X1 E JR, ..•• XII E lR. Esto es: JRo = {(X, , X, ~ •.•• X.) I Xi e JR ; ; = I, 2•...• n } CASOS PARTICULARES Si n = 2 • tendremos Si n = 3, tendremos JR' = {(x,y.,) I X e JR , y e JR" JR' = { (x , y) I X e JR , Y e JR} Los elementos (x" X, , ... ,xo) e JRo se lIaman vectores de JRo 0 e JR} puntos de JRo . 2. IBUAlDAD DE VlCTORES: Si X =(XI. x, ..... xo) y y =(Y, ,y, , ... , Yo) son vectores en JRO •entonces : X=J si Xi=Y; paratodo i= 1.2•...• '1 3. ADICIOI DE IECTORES: Si X =(XI. x, , ... ,Xo) Y Y =(Y, ,y, ..... Yo) son vectores en X + Y = (XI + y, ,x, + y, .... , Xo + Yo) 461 JRO •entonces : 4. IllYiPUDlDI" DE n 10.00 REIl POR II VECTOR: 51 r .. un nllmero real y x = (x, , X2 , ••• x") un vector en JR" , entonees , • • ('.1'1 , fXz , ...• T.l'1I) IBJ--plo 01 t Dados los vectores a=(2,3), b=(-t,2), c=(4,5),hallarlos A mimeros reales a y p, si existen tal que a a+ Pb = c. SolIId6n: aa+pb=c a(2,3)+ P( -1,2)= (4 ,5) => (2a,3a)+(-p,2P)=(4,5) => (2a-p,3a+2p)=(4,5) Por igualdad de vectores se obtiene : 2a - p = 4 { 3a+2p = 5 Al resolver el sistema de ecuaciones, por deterrninantes se obtiene : 4 -I I 1 5 2 -.!..!1=Jl a=~-4+3 7 I 3 21 2 4 _ 13 P -12 -I 3 2 51_10-12 __ .1 1- 7 - 7 5. ElESPlClOVECTORlAllR n Defillld6n.. I 1 .' . . Diremos queel conjunto de vectores JR" es un espacio vectorial sobre IR, si en JR" se definen dos operaciones: la suma de vectores (con cuatro axiomas) y la multiplicaci6n de un mimero real por un vector (con cuatro axiomas). Esto es: II Sumo de Vectores : + : JRII x 1R" ------+ /Rtf (x .n ---+ x + Y •.•.•. (la suma de dos vectores de JR" es otro vector de JR") Axiomas: A,: x+Y=Y+x, 'elx,y e fR' (lasumadevecloreseseonmutaliva) + y) + Z = X + (y + z) , 'eI X, y, Z e fR' (la suma de vectores es asociativa) AI: (x A, : 3! 0 = (0, 0, ...• 0) e fR' , tal que X + 0 = x , 'eI x e fR" (existencia y unicidad del vector 0 = (0, 0, ... , 0) A.: 'eI x e fR", 3! -x, tal que, x + (-x) =0 (existencia y unieidaddel opuesto -x} 1IJ Producto de un mimero real por un vector: lR x lR" ----) mit (r , x) --> rx ... (el produeto de un narnero real por un vector, es otro vector) Axiomas: M,: (·x=x, 'elxe//(' MI r (~ x) = (r~)x : , 'eI r, ~ e IR , 'eI x e fR' M,: (r+~)x=rx+~ 'eI r , ~ e fR, M.: r(x+y)=rx+ry 'elrelR • • , 'eI x e fR' 'elx,yefR' A la suma de veetores se llama ley de eomposiei6n interna. A la multiplieaei6n de un numero real por un vector se Ie llama ley de composici6n extema. 6. DIFERENCIA DE DOS VECTORES. Defmicion.Dado dos vectores x = (x, ,x, , ... ,x.) y y = del vector x menos el vector y. es el vector: 0', , y, , ... , Y,) en fR', la difereneia x -y =X + (-y) = (x, - y, ,x, - y" ... IEiemp/ooz! ,Xo - Dados los veetores a=(-2,3,-4) diferencia de Yo) y b=(3,-5,2l, la b. es el vector: ii menos a-b = (-2 ,3,-4)-(3,-5 ,2) , = (-2-3,3-(-5), -4-2) =(-5,8,-6) 463_ 7. IIPIIIIIIIII.I BEOMlTRlCA DE LOS VECTOBES. A. VICTORIS EN IR 2 B. VECTORES EN IR 3 Bn ..1 En el sistema cartesiano tridimensional. los vectores i = (x. r, l ) de JR' son segmenlos dirigidos con punlo de aplicaci6n en el origen de coordenadas (0.0.0) y pUDlo exlremO en el punlo 1R 2 • (X.,.l) de JR'. Allema cartesiano bidimensional 101 vectores i = (x. y ) de JR2 son ...mentos dirigidos con punlo de apllcllCi6n en el origen de coordenadas (0,0) y punIO extremo el puDlo (x.y) de Ejemplo: i=(2.3.6) ..... ... ( .. )~ .~~ .;(2,),6) h;r )IcC:: .{ -------~B % • El vector a=(4.2), geometncamente es dirigido OP. • • ,'I I el segmenlo - Al segmento dirigido O P, se Ie llama vector posicion 0 radio vector. A todo vector posici6n se Ie idenlifica por su punlo extreme, esto es, aa &= P-O • (4.3)-(0.0) =(4-0.3.-0) =(4,3) Q.OP~p • EI vector AB con pueto de aplicaci6n en A y extremo en B. se define del siguiente modo: AB=B-A =(3.-3)-(-2.-2) =(5,-1) • EI vector " 1 1 V B i=(2.3.6). geometrica mente. eo el segmento dirigido OP. OP es la diagonal de un paralelepipedo. Para graficar el vector i = (2.3.6) se procede del siguiente modo: , Se parte de O. nos dirigimos al punto A contando dos unidades, de A nos dirigi mos hacia B, contando Ires unidades, de B nos dirigimos a P contando seis unida des, , Si alguno de los componentes (x.y.z) son negatives, simplemenle seguir el senlido negative de los ejes .r, y. z; respectivamente. 1.1. BEPRESEHTAGION BEOMbRlCA DE IISI. DE DOSVECTOBES Dados, geometricamente dos veclores ii y como aparece en la siguiente figura: b / Dibujar la suma ii + b . ~ )~~L;J.., Soluci6n: ~./Q En primer lugar se fija uno de los vectores; digamos b . En segundo lugar, trasladamos el vector ii, de tal manera que el punto de aplicaci6n del vector ii [; coincida con el punto de aplicaci6n del vector b . En tercer lugar, dibujar un paralelogramo de aristas ii y La diagonal del paralelogramo es el vector suma 1.2. REPRESENTACION BEOMh'RIGA DE Se liene: Q Q b. a+ b. ii - b La diferencia ii - - . ,,' ~~' b. es el vector que tiene como punto de aplicaci6n el extreme de b -. y como extremeel punto extremade j; a. 1.3. IGOALOAD GEOMETRICA DE DOS VECTOIES. Geometricamentc ii = h. si ii es paralelo a1 vector liene la misma direcci6n y tiene igual longitud. 8. b. tiene el mismo sentido, PARALELISMO DE VEGTOIES. Definicion.• Dados dos vectores a, b de fR' no nulos, decimos que: el vector tal que a= r b . vector b • si existe un mimero real r *' 0 NOTAG/6N: all b = ii es paralelo al 3 r E fR lal que a = rb 465 a y b tienen el mismo sentido. Si r < 0, entonces a y b tienen sentido opuesto. Si 0 <' r < 1, entonces la longitud de a es menor que la longitud de i) Si r > 0, entonces CoDilCUlDci.. : ir) iii) b y tienen el mismo sentido. I. El 'RBOICTO ESCAUR YII lOl8lTUO DE II VECTOI. Pata hacer geometrfa analftica plana y geometrfa analltica solida requerimos delinir sobre eI espacio vectorial JR" (llamado tambien espacio euclidiano de dimension n) el producto escalar y la longitud de un vector. . 1.1. nPiOOlm ESCAlAR. Defmkwn.Dados dos vectores a= (a, ,a2 ,... ,a.) y b = (~,bz ,... ,b") de JR", el producto escalar ;; • b esta delinido por: a.b =al~ +a2b2 + ... +a.b. L l.l\ienrplo031 el puntQ indicaeI producto escalarde i por b a) Sea~ los vectores;;=(-2,3) y b=(4.-2) de JR', hallar a.b. b) Dados los vectores x=(-2,-I,3) y ;=(2,3,7/3), hallar ex. y . • SoIIIcwn.. a) b) ;;.b = (-2)(4) + (3)(-2) x.; = -8-6=-14 = (-2)(2)+(-1)(3)+ 3(t) = -4-3+7=0 I.u. 'laPlEIIDES FllDAMENTAlES DEl PRODlm ESCAUR PI: ;; . b• b. a (el producto escalar es conmutativo) PJ : p.: - p.: (ra).b=r(a.b). '!IreJR. '!Ia.belR" a.(b+c)=a.b+;;.c a.a~O , a.;;=O si y solo st a=O 9.2. IONSnuD DE ON VECTOR. Definicion» La longitud de un vector lal = Jal +ai+...... +a; IEjemplo 041 SO/Rcwn: a= (a, .az •....a" ) e IR"• denotado por IaI. se define por : HaJJar longitud b = (-6.8,-5) La longitud del vector de cada , de IR , vector a=(-3.4) de IR'. a es 'Ial = J9+I6 = 5 I;;I = La longitud del vector;; es = .J36 + 64 + 25 .J125 = 5../5 9.2.1. PROPIEDADES FONDAMENTAlES DE II IDNGITOD DE ON VECTOR. PI: lal" P,: Iral=lrllal . 'VrelR . P,: la +;; I Sial + IbI 0 'Vae IR" ; lal = 0 siysolosi a=O 'VaelR" (Desigualdad triangular) Consecuencias. Otraspropiedades son: p.: p.: lal 2 la±;;l z = lal z±2a·;;+I;;l z a.a = 9.2.2. VECTDIINITARIO. Definicion.Un vector de longitud igual a la unidad se llama VECTOR UNITARIO. Esto es, ae IR" es unitario, si y solo si lal = I. Con'.II.IIellu: .[J Un VlClDr unltario en la direcci6n del vec~r a es , p = I~I ' si a~ 0 Q ~ [!) Dido el vector Ai, cuyo punlO de aplicaci6n es A y punto extreme B, con longitud conocida IAi I, el vector unitarioen la direcci6n del vector Ai, esta dado por : p= A' ~ IAil p= B-A AI IAII AB '~ B=A + B ,AiIPAi k/ il F6nnula que nos pcnni.le haltar el extreme B de un vector. si se coeccee: el punto de aplicaci60 A. la kmgitud del vector Ai y el vectorllIIitario en Ia direccitSn del vector Aii . o i = (1,0) Y j JR' son, i = 0,0,0), j Los vectores unitarios can6nicos en JR' son: = (0,1) Los vectores unitarios can6nicos en = (0,1,0), k = (0,0,1) 10. IBTDGOIAUDU DE DOS VECTORES. lhfmkUln.Un vector es ortogonal al vector . a b si Iii + bI = Ia- hi. t Ge<Jm6ric:arnenle esta igualdad indica que las klngilQdes de las diagoRales de un rectingulo de Iados y b. son iguales. a [Teonm" 01 I Dos vectores Demos/rae/6R' (~) Si a es orlOgonal a elevaral cuadrado: a y b son ortogonales,si y 0010 si b ~ Iii + bI = Ia- bI ... Definici6n de vectores ortogonales. lal 2 +2a.b +lbl 2 = lal 2 - 2a, b+lbl 4a.b = 0 ~ a.b=O a. b = 0 . (<=) a y b son ortogonales. Oebo probar que: Ia+ bI = Ia- bI Si a.b = 0 ITeorema 02 1 =:> a esortogonala Queda como ejercicio. b,siys6losi ja+bl 2 = lal 2 + Ibl 2 Demostracion: (=:» Si a es ortogonal a b =:> la +b1 2 = lal 2 + Ibl 2 P",ob. : - . de: 11-1 Partimos a+ b-1 2 = 1-1 a 2 +2a.b+ b 2 Como a es ortogonal a b Reemplazar (2) en (1): (<=) a. b = 0 la +b1 2 (2) = lal 2 + Ibj2 Si la+bl 2 = lal 2 + Ibl probarque Pruob. : 11. =:> (1) Queda como ejercicio a esortogonala b. . PROYECCIDN ORTOGONAL COMPONENRS. lntroduccion.» El significado geomemco del producto escalar ii . b sera discutido en a terminos de la proyecci6n ortogonal y componentes de sobre b. Adernas, definido el producto escalar podemos definir el coseno del angulo () formado por los vectores a y b de fR". 11.1 PROYECCIDN ORTOGONAL Construyamos el triangulo rectangulo ABC. recto en C. Dados dos vectores a y b, tal que. a= AB y AC es paralelo al vector b (ver la figural. c A -:::;---c Deseamos hallar el vector CB en terminos de que CB sea ortogonal al vector b . a y b tal yumos: • Si AC es paralelo al vector b. entonces existe un mimero real r. tal que. AC = rb . • • CB ii - r b ..... Si queremos que 1!f sea ortogonal al vector b Por diferencia de vectores se tiene que: = CB.b=O , estoes: debe cumplirse que: (a-rb).b=O => ii.b-r(b.b)=O - 2 a.b-rllbll =0 => => r= AC • En consecuencia el vector AC es: {j.b Ibl' = rb = ii.b b lbO' y • - B- a - -ii-.•- b C Ibl' EI vector ii_. ~ . Ibl b es paralelo al vector b y se llama proyecci6n ortogonal de ;; sobre b. lNjinieiOn. a. Sean b vectores de /Rn con b'"O. La proyecci6n orlogonal de denotado por Proy b es el vector: a, a sobre b, - ii.~ ProYLa=~b " • La proyecci6n de Como L 1"1 a sobre b, tambien pucde escribirse como es un vector unitario, el namero ":b ProYb-;; =( ii:b) ~ . ObO IIbll es la "longitud dirigida" de lbl Ibl Proy b ii . Este numero real se llama cornpanente del vector ii en la direcci6n de b. Definicioll.El mimero real ii:b se llama componente de Ibl aen la direcci6n de b y se denota por: [comPba=M • Geometricamente el producto escalar del vector 1 a por el vector b , esta dado por : a. b = Ib ICompb a Ilustraci6n grafica de la proyecci6n ortogonal: ~b . /: I,Ejemplo I . . PrOY b a ProY b a 0<8<1- 1"<8<8 a= (-3.4), b = (6.8); hallar: Proy b a ii) Comp ;; a Dados los vectores i) iiI) Proy ii b iv) ComPii b SoluCWII: . I) - ii.b- Proy b- a = ----=""T b Rbi - z,» -l!=.l i,) Comp b a = Ibl - . to 5 Y donde: a.b = (-3.4).(6,8) 8 b = -18+32=14 IIbll = .J36+64 = 10 'I{ Luego, Proy b- x 6 a=.u, (6 8) = (.l!. 100' 25 • 2ll) 25 - OM = ProYiib ON = Proy-a b iii) Luego, - boa Proy- b = - a lIall' a Proy-b=.!.i(-3 4)=(_42 b. a = -18+32 = 14 donde: lIall = .J9+16 ee 5 P, a, b, a lIall 5 11.1.2 PROPIEIADES IEUS COMPONENTES. c se cumplen: o P, : _ - - Comp , (a +b) = Cornp , a+Comp, b Proy - (a +b) = Proy- a+Proy, b P, : Comp,; (ta) = t Comp,; a P, Proy ; (t a) = t Proy- a PROPIEDAD: [Comp,; .&) 25'25 Comp - b = boa =H iv) 11.1.1 PROPIEDADES DEl VECTOR PROYECCION ORTOGONAL Dados los vectores: 25' a rd valor absolute 01 = II Proy ,; a!1 I l del numero Comp - a es igual a 1a longitud del vector Pro: jj • 12. ORTOGONAL DE UN VECTOR EN JR 2 Dejinic/on.- Dado un vector a = (at, ",) de JR'. el ortogonal del vector a. denotado -1.. -~ por a ,es el vector a 1.. = ( - a2 ,a, ) 0 INTERPRETACION GEOMETRICA: EI vector a.L (que es el ortogonal de a) gira 90° a partir del vector en sentido antihorario. y a @~ !II" _a.l ~ (a.l).i. .r Si a= (4,2), el ortogonalde a es 0.L Si b =(-3,-5), ;'.L =(5,-3) e1 ortogonal = (-2.4) . de b es Propiedades del ortogonal de un vector de /R'. PI : (0 L ) ~ =-0 L P, : (o+b) P, : (aa/ =aa.L P, : \Iall 13, El CoSENo IE UN ANGULO 8 EmELOS IEmBES ii V i -t - -.1 -.1 =0 ) , 0=(0,,02 -1. +b , 0 1- b=(ht,b2 =(-02,0\) ) -~ , b =(-b2,ht) lIa~1I = Dado los vectores s ':'- a y I, no paralelas de /R', por trigonometria elemental se tiene: Comp i a = lal eosll (1) • Comp-o- ii.b =-_- Ibl b -, b '8 Pero • '--y---' Reemplazando (2) en (I) : ii.b = I-I -_a cos II ComP b ii 2 () fbi ~ ii.b cos II =--_ IiilibI '·eve.h~ -IESIGUAllAlIE SCHWARZ 14. [ThD""remaJ Para cualquier vector ii. b de lRR se cumple: la. 1,1,; II all 111,11 Si a es paralelo al vector I, entonees 50 cumple: la. I,I = II all III,II. Prueba: Una manera seneilia de demostrar este teorema es tomando como referenda un triangulo rectangulo sobre un triangulo de lado ay b jj.A • :2" L---'-~-_b Sea BA elvector BA=e=a-ProYba • Por Pitagoras : lIall 2 = lI ell 2 + [Proy b all 2 [Proy Ii all 2 Pern: ~ x lIal1 2 _11;;11 2 < lIall 2 II Proy ,; all < lIall (1) a•b = lib II Comp b a • Sl cn aplicamos valor absoluto, tcndremos: • la.b\ = lib II IComPbal Pero [Comp btil = [Proy ball • Rccmplazar (3) en (2) la.bl • Si en (4) aplicamos (1) la .bl < IIblillall (2) (3) AREI DE UN PARAlElOGRAMO OE lADOS Ii y DEl PRODUCTO ESCAlAR. 15. a - (4) = IIblillProYbal1 i EN ]R2 EN fiRMINOS -- Sean = AB y b = AD dos lados de un paralelogramo ABCD (vel' figural. donde I. altura h es: • h = [Comp Ii" al , -ol.j b tl3 : i~ A ---,7 _.8 : : ", " • C A = lib II h :h (base por altura) = IIblllComPb-lal = IIblllu.~"1 = la.boll "'" b EI area del paralelogramo es: lib" 'D CONCLUSION: EI area de un paralelogramo de lados , Area --.1 = la. b I 0 ' Area , a y b es: --i = lb. a I 18. AIEl ••• 1IIANGUlO DE lAIOS Ii Y b : EUrea de un lriangulo de lados IEjemplo OJ I 474 a y b es: A = t la . i- I Hallar el area del triangulo de vertices A(2,-3), B(4,5) • C(-3.6). Sobu:iOn: Fijamosel puntoA(2,-3) y hallamos ii = AB = B- A = (2;f8) b=AC=C-A=(-5,9) • EUrea del triangulo ABC es: CaIculosauxiliares: area = t Iii . b.ll b.l =(-9,-5) - -.l a s b =(2.-8).(-9.-5)=-18+40=22 • Luego,Areatriangulo ABC = tl221 = IIp2 IEjemplo 02 I Los vertices de un trianguln en 1R' son : A( - 3.l), B(m - k,k) Y C(-I,-2). Hallar m y k sabiendo que CB = ( 4, 3) ii) Hallar 1., si el area del triangulo de vertices A, B, C es igual all unidades cuadradas. i) Solucion: CB i) = (4.3) B - C = (4,3) B = (4.3) + C ~ (m - k, k) = (4.3)+ (-1,-2) = (3,1) ~ m- k ~ 3 { k ~ ~ m=4 I ConclusiOn: m = 4 , k = 1 ii) Los vertices del triangulo A son: A(-3.l), B(3,1) , C(-I,-2) V B A Hacieodo: ii=AB=B-A=(6,1-1.) b = AC = C -A = (2,-2-1.) b.l =(2+1.,2) C Area = tlii.b.ll II = tI6(2+1.)+2(1-1.>I 22 = 114+41.1 ~ II = 17+211 ~ 1.=2,1.=-9 475 I PROBLEMAS RESUELTOS 1 l1li Sun vectores I". v=(-1,2,-3), w-(2.1.-I). SI v=a+b, donde a es Il.rllell I W Y b es ortogonal a w, haller a y b. SoluelOn: • Si a es paralelo a w, entonces existe un unico mimerp_r~1 t, tal que: a=lw • (I) Si b es ortogonal a W, Solucion: • entonees: b. W= 0 (2) • Dato : v = a + b (3) .• Multiplicar escalarmente en (3) par w: v.w = a.w msean a y b vectores tales quellal1= 2, ~bl\,=5 Y a v b >'], Hallar a + b sabiendo que tiene la misma direcci6n pero sentido opuesto al vector (-4,3). Si a + b tiene la misrna direcci6n pero sentido opuesto al vector (-4,3), entonees. a+b=-I(-4,3) ; 1>0 a+b=I(4,-3) • Pero: o la+bl' = lal'+ibl'+20.b 10 + bi' = 4 + 25 + 2(7) +~:2::S v v w = a.w = 43 (4) =>1.la + hi • • Sustituir (I) en (4): v , w = (tw). w v , w . = 1 [w , w) ......... (5) • En (I) aplicar • Iii 1(4,-3)11 Como I > 0 => 1= • (3) en (I): ~ ...... (3) a+b=~(4,-3) m (7) Y v en (3): Dado un vector a = (ai, a,). Se define b=v-a a.L =( -a2 ,01), b=(-I-I ,2-t,.-3+'!-) b=(-2,t, I I: • (6) en (I): a='!-(2,1,-I) a=(q,-'!-) ...... (7) (2) .J43 = III .jJ(;;9 .J43 = 5III -2+2+3=61 r = '!- ...... (6) =.J43 ..... la+bl = En (5) reemplazar los vectores v y w : ( - 1,2, - 3) • (2,1, - I) = 1(4 + I + 1) • (I) -n Sean ,u= (1,2), w = (-3,1). Hallar x.L, si (w.,u.L)x=(,u.w),u + Ilwllw.L SlllucitJn: SohIci61f: Calculos auxiliares: a = 0- E = (0,0,0) - (2,0,4) = (-2,0,-4) wop'- = (-3,().(-2,1)=6+1=7) (I) pow= (1,2).(-3,1)=-3+2=-1 b = G- = (0,6,4) - B (2,6,0) = (-2,0,4) IIwll=~9+I=JiO c = A - C = (2,0,0) -'(0;6,0) Pero: = (2,~,O) (w.pi)x=(p.w)p + 1...111''- ... (2) a) • i = (-2,0,-4) + (-2,0,4) + (2,~,0) = Reemplazar (I) en (2): 7x= -p+,[iij wi (-2,~,0) b) EI trianguJo OBG es red8DguJo. recto enB. Tx = -(1,2) +,[iij(-1,-3) Area=tIlOBIIIIOOIi x = t (-I-,[iij, -2 -3,[iij) r!DEnlafigura OB=(2,6,O) donde: ~ xi =t(2+3,[iij,-I-,[iij) BG=b=(-2,O,4) 10AI = 2, 1I0BII = ~4 + 36 =.,f40 lOCI = 6 110011 = ~4+16 =5 IBDj = 4 Entonces area = z • u a) Sean los vectores no nulos jJ, 2 de 1R 0 1R'. Demostrar 1\ue el vector .,;.- ... ---~_. .' a . , v , .-- "' •• - ' C ~ , "• 'A 1O.fi p2 b = I~I + I~I iguales con jJ y u. PRUEBo4: b 00 a) Si = EO , = Determinar el vector: y forma angulos ;1 c=.CA .•"b i=a+b+c b) Calcular el area del triangulo OBG. ;; Se pide probar que: a = P 477 • HI vector unitario en la direcci6n de - y Sohu:iOl! : " f.J es liil • HI vector unitario en la direcci6n de - v u es Ivl w t~1 • HI angulo a entn: los vectores y 3 x Se pide hallar ii = ? tal que L(ji,ii)=f Orrlg como ejercicio •..... 'F' ,• cos a = I1M_ " ",-,_ • po' r _ 1+iPim l+cos(a+Pl -II~I+~ Iliilit + 1.1; ii y Sean b vectores de 1R 3 . a) Si ii es paralelo abo comprobar que ii x b=O ii (ii x b) = 0 b) Comprobar que • HI angulo P entre los vectores I~I y b se halla por : 0 y b o(iixb)=O SoluciOn: a) Si a es paralelo a b • entonces existe un mimero real r, tal que ii = t b . - z~~'~ +1 =I+c~s(a+p) J!... If)Ij+ml '------y---J 0 =t • Como velDOl CQ6 a = eos p ~ til = - =I(bxb) ~ - IPI +tr - iixb=(tb)xb p. =0 b) Sean a=(a"a2,a,), b =(~,b2,b,)o b) Usando a) (cios veces), enc_ ... vector que fonna el vector ji = ( liD angulo de t ' t) <:on 'x. -I .. .,i ., b, b, b, medido desde jl en sentido antiftorario. 471 f '= k (a2~-a3bz .a3b,-al~ .a,~ -a 2h t ) a bt ) Del dato : Proy;U AC = (4.3,O).onol gr2fico es: a. (a)( b) = (al.1II2 ,63)' ("2 b:J -a)~ ,43baal~'·I~-a2ht) AB= (4.3.0) =a,,,,I>,-~+~ CI:Z.Ib:J B-A=(4.3.0) +~ -G13~'" B=(4,3,O)+A =0 B = (7,5,1) b.(axb)= b.) = (q,b2 ,1>, ) • (a21>, -a3~ .~q a,b,.a,~-~",) =q~I>,-"'~~+~~"'-~~1>, a IABI =416+9+0 =5 a Porque ABCD. es un cuadrado, se cumpte: --== IADI = +b,a1 b2 - b3aZ '" 5 ~ =0 liD Sea J(x-3)2+(y-2)2 =5 (x_3)2 +(y-2) Z = 25 ...... (I) el cuadrado ABCD con una diagonal A C . Si A(3,2,1), Proy a ABAC=(4,3,O) Y I. tercer. coordenada de D es I. hall.. los otros vertices del cuadrado. (Dar todas las soluciones) AB. AD =0 (B-A). (O--A) =0 (4.].0). (x-3. y-2 ,0) = 0 SIll"*,, : Se pide baIlar: B. C AB es perpendicular .1 vector AD, entoeees: YD 4(x-3)+3(y-2) =0 del cuadrado AKD: y-2=-J.(x-3) (2) 3 ~,J.I) (2)",,(1) : (x-3)· + 1-....-3)F = 25 25(x-3)· = 25(9) . X - 3 = 3 ::::) X +; 6 ,4(3,2,1) ~....,t) (x_3)2=9 , < x-3=-3.:::)x=O 51 => )1-2= x=6 -t(3) - )' =-2 'SI x=O => [ a 2i.a-b.a a.a=a - 1-,2 - -] -, . la' ( I) =[ 2-~.·I;]a )1=6 Enlonccs el vertice 0 tiene dos valore. : 0,=(6,-2,1) ,0.=(0,6,1) o Pero: b.ii = Iblliilcos(n/3) NOES CJ Porque el vector BC = (3) (2) ( y AD son paralelos y de igual longitud, se cumple: BC=AO ,con D,=(6,-2,1) y o = => m = 10} n-5 = -4 => n = 1 3 p-I =0 lal'=4 (3) Reemplazar (2) Y(3) en (I) : [ 3J- s = 2- 4 a=.a (m -7 , n - 5,p'- I) = (3, -4,0) m-7 t )= 3 ... (2) b) EI Ic, =(10,1,1) ! area del paralelogramo formado - - por los vectores 2a - b Y a - 2b esta dada por la longitud del producto =>p=1 vectorial (2ii-b)x(a+2b). CJ Con D, = (0,6,1) se obtiene: m Sean IC, = (-3,4,1) INa a longitudes y b dos Veamos: ES vectores de lal = 2, 'bl = 3 y que forman un angulo de t b) EI area del paralelograrno farmada '---v----' o =4(a xb)+(a xb) Area pualelograrno = 2ii- b Y a+ 2b . SohIei6n: - iJ -(b xa)-2(bxb) =5(axb) a) Proya(2a-b) a) ProYa(2ii-b) '----.---' radianes. Hallar : por 10. vectores (2a-b)x (a+2b)= 2(a x a)+4(a x b) = . [(,;;-6).aJ lai' a = o Pero Hiixbll = 115 (a x b)II 511a xbll lIallllbll sent =(2)(3)( 1)=3J3 o Entonces: Solucien: area paralelogramo = ISJj;? II Sea Jl Y v vectores en IR D(IJ,O) 3 con v -:F- 0 Y A una constante no nula. Demostrar que el vector W='j.J-p";v B es 1'1 V26' perpendicular a Av. W A = (6,0) Demostracion: Debo probar que el producto escalar de w • Si ED=(6,IjS)=:> D-E=(6,tl por ..tv sea igual a cero. D=E+(6,tl Veamos: 1",'). ( p- I "I A v = u , (A v >-( 1";')' Ivl D=(7,-tH6,tl (A v) ~A(P'V)-A( 1'.; )(V.V) 1'1 ~A(p.V)-A E(7,-t) D = (13,0) • Si AE//(S,-I)=:>E-A=I(S,-I) (p·,jlvl' 1 =:> (7,-tl- A=I(S,-I) 1"1 =:> A=(7-SI,-t+ 1 = A(;I. V)-A(p.V) =0 m Sea ABCD un pentagono para el cual l (I) • Si Proy:wAC=(lI,O) se tiene: =ICDI =../26, AB.lAE , EfJ.lOC , ED=(6,IjS) E=(7,-I/S) , IABI AE//(S,-I) Y Proy:wAC=(lI,O) Hallar las coordenadas de los vertices del • =:> AD//(lI,O) ee, D-A=<I(lI,O) =:> (l3,0)-A=<I(1l,0) =:> A = (13-11<1,0) (2) Igualando (I) y (2) : pentagono. ( 7 - SI , =:> t + l = (13 - I l<l , 0) I -t+I=O =:> 1= 1/5 Entonces A = (6,0) • -- Si n = 5.09 => m = 13- Si AB.lAE=> AB.AE=O => AB.(I.-})=O ;0 (5.09) m = 12.8 Entonces C = (12.8,5.09) Sea B =(x,y) mDados los vectores a=(I,-2.3) y => (x-6,y).(I,-})=0 b x-6-}y=0 los vectores e de lR' que cumplen las condiciones siguientes: x-6=}y ...... (3) • = (3, 1,2) . hallar todos Ilell Si : = ,f84 e=aa+/3b . e.lb IABI = .fi6 '=> (x-6)' + y' =26 ... (4) (a, Pson escalares) z • is +l =26=> y- =25 (3)en(4); => y =±5 • • En (3), si y = 5 si y =-5 - - Soluci6n: De: e= a(I,-2,3) + /3( 3, 1.2) => x = 7 => B(7,5) => x = 5 => 8(5,-5) -- Si ED.l DC => ED. DC = 0 Sea C= (m,n) '=> (D - E). (C - D) = 0 (x,y,z) = (a +3/3,- 2a + /3 ,3a + 2/3) x = a + 3P => (6,}). (m-l3. n) = 0 Si 6(m-13)+}n=0 m-I3=-ion ...... (5) • Si: Iml = .fi6,=>(m-I3)'+n'=26 ... (6) { y= -2a+/3 z= 3a+2/3 e.l b entonces: b. e =0 (3,1,2). (a+ 3/3, -2a+ /3, 3a + 2/3) 3(a+ 3/3) - 2a+ /3+ 2(3a+ 2f3)= 0 a+2p=0 => a=-2/3 • (5) en (6): ~n2 +n 2 =26 9OIn 2 = 26(900) n= ± 30 126 "901 n = ± 6.09 • En(5): De (I) II e/I = ,f84 , obtenemos: X2+y2+:2=84 (a+ 3/3)' + (-2a+ /3)' + (3a+ 2/3)' = 84 a' +/3'+ af3=6 (l)cn(2): (2) (_2p)2 + p2+(-2P)P= 6 2 3p • lii_&1 2=laI 2+1&1 2 =6 p2 = 2 • p2 = ±,fi Luego: Ademas: EI Angulo entre a.& = a = -2,fi , p = ,fi = 2a.h ... (3) - a Y h f' entonces: lallblcos1' (2)(4)(~ )=4 (4) a=2,fi, p=-,fi • Se obtienen dos resultados para: Reemplazar (4) en (2) y (3); la+bl 2 =4+16+2(4) C=,fi(1,5,-4) = 28 c = -,fi(1,5,-4) II Dos vectores a f de angulo y & de ~ la+bl =.,fi8 m: forman un radianes la-&1 - vectores a+b y a-b. 2 = 4+16-2(4) = 12 y tiene longitudes lal = 2, 1&1 =4. Hallar el coseno del angulo formado por los - • ~ la+&1 = ../12 -12 = .,fi8 a+ b- (a+b).(a-b) lal' -Ibl - y a - b esta dado por = la+blla-blcosll '= la+blla-blcosll 4-16 = la+blla-blcosll -12 = la+blla-blcosll... (1) • Pero: ',a+&1 2 = lal 2 +1&1 2 +2a.& ... (2) (6) Reernplazar (5) y (6) en (I); Resolucion : • El coseno del angulo formado por los vectores (5) ../12 cosO cosO =-.Jf I a) Dados dos vectores unitarios ji y v de fR", sean: a el angulo entre ji y ji + v; pel angulo entre v y ji + v. Comprobar algebraicamente que se cumple: cos a = cos p (por tanto a = f3) Solucion: • Si ji Y Ivl=1. v son unitarios ~ ljil = I y • Si a es el angulo entre ji y ji + v , • entonces se cumple : ji.ji+ji.v = llji+vlcosa ljil' +ji.v = • • lji+vlcosa v • Si P es angulo entre y ji + Ivllji+vlcosP = Iji+v!cosP =+(-1,7) III Dados (2) = Iji+vlcosP = los vectores E lR 2 a) a - Proy j; a es ortogonal a b b) II Pray. all' + lIa-Proy,; all , = lIall' Demos/ration: cos fJ s c a=p => a, h b '" 0 . Demostrar que: Como (I) y (2) son iguales. se obtiene: =:- cos a Ihl =../64+ 36 =10 Entonces: v, v.(ji+v) = lji+vlcosa = (-8,6) => ji+ v =+(3,4)+ t~ (-8.6) (I) entonces: v.ji+1 Como: Ihl = lji+vlcosa I+ji.v lal = ../9+16 =s a=(3,4) => = ljillji+vlcosa ji.(ji+v) Como: a-Proy~jj b -+V'., , .. " p. a) Debo probar que: b) Usar la parte a) para hallar un vector paralelo a la bisectriz del angulo formado par los vectores = ( 3,4) Y a b=(-8,6). = Un vector paralela a la bisectriz del - - Veamos: (a- Pray. a). I, = a. I, -(Pray,; a). I, Solucwn: angulo formado (a-ProYj;a).h =0 pOT ..: es fJ + v , donde I' los vectores ay b = -1'Q1 Y v- = ~. u Inl b, a. b-(-,;-) - ~;12 b • b - (- b) - - =a.b-..!'..:..,-lb.b). Pew b vb Ibl =;;.b-a.b=O = Ibl- 2 b) Como el triangulo ABC es rectangulo entonces por el teorema de Pitagoras se cumple que: IIProYEall2 + lIa-ProYEa1l2 = lIall 2 ma) Caleular: = 4 + 1 + 411b 11 = 4 + 1 + 4=9 b) Se pide hallar : - ii.2b ComP2b a = 12b1 2(ii.bj Y lIall = 3. = IIbll = 6 • lIeli = 7 ii y b son vectores unitarios y paralelos.entonces: lIall=1, IIbll=! y • (j.b Bastara hallar c a. mente por el vector por el vector b Y c. respectivamente : Se pide hallar 112a1- + bII. por el vector Pero : 1I:za~ +bll' = 1I:za~II' + IIbll' + 2(:zaL. b) Por a: - li.ii+a.b+a.c=O lal'+a.b+a.c=O 9+a.b+a.c = 0 Si: a=Ib => a. b : Veamos: En + b+ = 0 multiplicar escalar- a a=Ib l!2a L +bll'= 41101- II' +lIbll' + 4(0~. b) • 2ibI =Ibi Snlucwn: a) Si 2 Luego, 112a1- +bll = 3 112a1- +bll sabiendo que a Y b son vectores unitarios y paralelos de lR'. b) Hallar Comp2b a. si a+b+c=O 112a1-+ bIl2 = 4(1)2+(I)2+ 4 (b.bl lIall = 1IIIIbil ! = III => I=±l Elegir I = 1. si estan en el mismo sentido, entonces a= b . Ademas lIa1- II = lIali = 1 Enconsecuencia: 0.b+a.e=-9 (I) Por b : o.b+b.b+e.b=O a. b- + Ib- I2 +c. b- = 0 0.b+36+c.b=0 a.b+c.b =-36 .. , (2) Por c • Como iioc+b.c+c.c=O ~ - - -2 a.c+b.c+lcl =0 a.c+b.c+49=0 ii,c=O (2,3,0) . (x.y,z) = 0 2x + 3y = 0 .. • Comob.c=O: a.;: + b • c = -49.. => (-1,2,4). (x.y.z) = 0 (3) Sumar (I) + (2) + (3) : -x+2y+4z=0 a.b+a.c+b.c=-47 formadas por (I), (2) Y(3) : x'+l+z' = 100 (4) 2x+3y a. b - 49 =-47 s.i :, As! obtenemos: I ii-b (3) • Resolver el sistema de ecuaciones 2(a.b +a.c +b.c) = -94 (3) en (4) : (2) 2 { = (I) 0 (2) -x + 2y + 4z = 0 (3) • De(2)despejary: y=-': ... (4) • (4) en (3) : I 1bI = 6" = 3 Dados los vectores a= 2 i + 3 ] -x+z(-t x)+4pO Y b = -i + 2] + 4k . z= c de 10 unidades de norma. ortogona! a los vectores a y b. Ii x ... (5) Hallar un vector • (4) Y (5) en (I) : 2 +~x2 = 100 x 2 +!x 9 144 Solucwn: 257x' = (100) (144) Se pide hallar un vector ;:, tal que. IIcll=1O y a.c=O. b.c=O. x ee + 120 ... (6) - Jill Veamos: Sea c = ( x , y, z ) el vector por hallarse. AI reemplazar (6) en (4) y (5) : y=+1. ~ x, + Y2 + zz = I 00 120 3 J251 • Como: IIcll=IO (I) =+ 80 J251 _+ 1 --!l2...-+ z--12' J257 70 --"Jill Cancluimos: c= ~7(±120,+80,±70) IIIsi B=(6,-3,-2) y C=(-2,3,6) son puntos de 1R', hallar un vectar i que biseca el angulo farmada par los - - vectares OB y OC, dande 0 es eI arigen de coordenadas. a) Hallar las coordenadas de los vertices del trapecio. b) Hallar el area del triangulo ABD. SolucwfI : a) Se pide hallar las coordenadas de los puntos : A, B, C, D que son vertices del trapecia ABCD. Solru;wfI : Se pide hallar el vector i tal que i sea bisectriz del angula farmado par los • Par datos del problema se tiene 1A - Y -OC . vectares OB oL~__; ~ • = (-4,-2) 1 Del data AB=(2,3) sededuce: B-A = (2,3) B = (2,3) +A = (2,3) C IB= (-2,1)1 En el problema 5, se prob6 que la bisectriz i es : i dande: = - OB + + (-4,-2) DC Solo faltaria hallar: C yD. gOBn II0q OB=B-0=B=(6,-3,-2) Par el dato ProYIiD BC = (4,-1) • DC=C-0=C=(-2,3,6) ~ Se deduce que: Y 1I0BII = ,J36+9+4 =7 lloell = ,J4+9+36 =7 I I Luego, x- = "7(6,-3,-2) +"7( -2,3,6) BD es paralela a (4,-1), entances existe un m1mero real t, tal que: =+(4,0,4) BD , ~~~ I = t(4,-I) D-B=t(4,-I) III Sea ABCD un lrapecia para el cual se D= B+t(4,-I) tiene AB=(2,3), A=(-4,-2) D= (-2,1)+t(4,-I) ProYIiD BC = ( 4 ,- 1) ProYAtiA8=(3,1), B~ IIBCU =,fW. -c-, D = (- 2 + 4t , I - r) """ (l) 4tJ7 • nBCII =.JiO Por el dato ProY:w AB = (3,1) se Del dato: deduce que: AD es paralelo a (3,1), paralelo a AD. entonces existe un mimero real .<S, tal que: B--ji AD = -.1(3,1) C ElpunIOCes y porque BC es . p = vector unitario paralclo a Be C=B+IIBCII.u D-A=-.I(3,1) EI vector unitatio D = A + -.1(3,1) D = (-4+ 3-.1,- 2 + -.I) = (2,0)-(-4,-2) (2) = (6,2) Igualando (I) con (2) : (-2+41,1-1)=(-4+3-.1,-2+4) Se obtiene: se obtiene del vector AD=D-A = (-4,-2)+-.1(3,1) • .u Luego,.u= AD IADI =""(3,1) ,,10 - 2 +41 =-4 + 34 { I - I = -2 + 4 41-3-.1 =-2 { -1--.l~·3 Al resolver se obtiene I , 4 = 2. 1= D = (-2 + 4 , I - I) Entonces el punto ID =(2,0)1 • Entonces C~(-2,1)+.JiO hlJ.I) ,,10 1(>(],2)1 II Dados los vectores j.J :;:: ( 1,2 , 3 ) . ;; = (2,1,-3) Y w=(3.-4.2). a) Hal/ar los vectores de norma .Jl39 paralelos .1 vector Proy jj lV + Proy, W' Fal/lllralllJr el punto C b) Con los vectores y -4 , D v. w de JR es posible formar un paralelepipedo de volumen V. Hallar el volumen del paralelepipedo que se puede formal con los vectores 2jJ - V. 2jJ + 3 v. 2 - jt. A ~~:;~ ::'~~;\' ~.~~:~':': _j~~f~.>~. Solaew,. : Conclusi6n: V = 0 x= ? , tal que a) Se pide hallar un vector II xII = .J139 Y sea paralelo al vector II a) Si s, b. c son vectores de IR tal que, C.. 0, demostrar que se eumple: Proy ii W+ Proy; W • En primer lugar hallar: - - - - Wop - PlOYe (a +b) = Proy. -- w.\,- PlOYii w+ProY v W= liil' P+ lvi' v 6-4-61+4+9)1+ 4+1+9" == t..u-i7 V= t.<,u - 4v) v = (-5,15,d) que satisfacen las dos condiciones siguientes : =14(-7,-2,15) x es Pr0Yii (ji + v) = (12,2,4) paralelo a I~ (-7,-2,15), entonces existe un mlmero real t tal que: x= => '14(-7,-2,15) Jl39 = l'I14,[i Jl39 Proy ii (ji - v) = (24,4,8) Solaew,. : a) Por definici6n de ortogonal, se tiene : Ilxll = 14I'IM • Entonees => 1'1 = 7,[i proyeccion ProYe(a+b)= lii+b).elei' c x = ±7..{i 1~(-7,-2,15) ii..c+boc - 1"1' = ±Jf(-7,-2,15) b) Se pide hallar : V absoluto, donde : a+ Proy; b b) Hallar los vectores ji = (a ,b,c) Y 3-8+6 =: • Si II, c (j.e - b.r=--c+--c lei' lei' = [a b c) en valor = a= 2ji-v = (0,3,9) PlOYe a+ ProYe b b=2p+v=(4,5,3) b) Antes de reemplazar los datos definimos la proyecci6n ortogonal : c = ji + 3v = (7,5, - 6) i) [abc)=a.(bxc) ProYii(ji+v) =(12,2,4) lii+v),ii ji = (12,2,4) liil' . = (0,3,9). (-45,45,-15) = (3) (15)(0,1,3), (-3,3,-1) = 45[3-3)=0 -- p.p - -- v.p- liil' P+liil' p=(l2,2,4) (I) Ii) ProY,iiLii-v)=(24,4,8) Comparando los vectores (,ii-v).p ;; ~ (24 4 8) 'p,' p,,ii Ipl' r- AD con BC • 50 tiene: ,. - it- v.p it= (24.4.8) (I) Ipl' - a) AD es paralelo a BC b) } Porque A/JCD es unparalelegramc IADI = lOCI iii) Sumar (1) + (2) : De a) . 2 i;lP' it = (36,6,12) 2 1pl Ipl D-A =1(C-B) D =A+l(C-B) D =(-2+21,3+31) it = (36.6,12) : Iit = (18,3,6) AD=tBC I IADI 2 Deb) 4,'+91' iv) Desarrollar la proyecci6n ortogonal e igualar vectores: Proy,,(,ii+v) = (12.2,4) liil' (122,41 '[324+6dJ(18,3,6) = 369(12,2.4) 18[324+6d I = 369(12) d :=; -lJ • el cuarto vertice de un paralelogramo, dados Ires de sus vertices A(-2,3), 8(4,2) Y C(6,5). Hacerlo usando vectores y dar todas las soluciones posibles. SoluciOn: II 1 = 1 =-1 1 Sean p c y => D => D no paralelos en fR IIitliv + = (0,6) =(-4,01 v dos vectorcs 3 110 nutos y . analfticarnente que tiene la direcci6n de IIvllji la bisectriz del angulo que forman jJ Yv. b) EI vector jj de IR' satisface las tres condiciones siguientes : I) D = 4+9 Conclusion: Si Si a) Probar II Hallar IBCI 2 131' = 13 => t=±1 Proy;; (l3.18,6+d) = (12.2.4) [(13,18,6+<1),(18,3,6)111 = = B tiene la direcci6n de la bisec triz del angelo que forman jj y v. ii) jixB=4vxji .3 A ~ iiI) lljill = 211vll B -2 490 4 6 Hallar B (en termino-, de iL y v). SoluciOn: iii) IljLlI = 2111711 => 111711 = +lljLlI a) Suponiendo que B es el vector bisectriz del angulo que forman jL y 11 17 11 = + ( - -; ) V. debo probar que el II jL II v mismo sentido que el vector B . V~amos = _1., vector + II v II jL es paratelo y tiene el Donde t< O. Reemplazando (2) y (3) en (I) : : B=tH·v-fjLJ EI vector bisectriz que forman /-I y v , = -417 - 2jL es: P v B- --~pl+K'1 = ( .omo ilia) Sea b un vector no nulo de JR' i,Para cuales vectores ii se cumple que IIproy,; all = lIall· MP~I;II<llvlljL+lljLllv) -----.LII~II ~;II cs un • numero rea b) Sean J - - ". vector B y tiene el misrno sentido de B . Si B tiene la direcci6n de la bisectriz del angulo que forman jL y b) i) jL y v dos vectores unitarios perpendiculares en lR positive, afirmamos que el vector II,; I jL + I jL I v sigue la direccion del 3 . Hallar (jL x v) x jL y jL x (jL x v) SoluciOn: ~--_a a) v, entonces existe un numero real "t" . . tal que, B = t (IIjL II v + II v II jL) ... (I) ii) Si ... (3) b E ' ProyjjQ a Cuando es paralelo al vector b. se cumple que IIProy,; all = lIall· jLxB=4vxjL => jLxt(lIjLllv+llvlljL)=4vxjL => tlljLlljLxv+tllvlljLxjL=4vxjL '----v--J o til jLlI jL x v= -4/-1 x v (tlljLlI+4)jLxv=O Prueba: • Proy· • Si b - 0 ii.bNb I = --=--yb (I) aII b => b = t a (2) a.,';;: • (2) en (1) : Proy- a = - .-,.b Il'bll =0 => rll/-lIl+4=0 => IIjLlI=--; ... (2) • Apliear m6dulo y queda probado. 491 V ""n veetores unitarios, entonees II/ill a 1. II VII = I, ademas 2 - - II 1/'11 z -I. v.v= -. - 11-11 1/./1_ V =1 b) Si jJ Y jJ Y V son perpendiculares, emonces jJ. V = 0 Si Para hallar 10 pedido, se debe aplicar la siguienle identidad: aX(b xc)=(a .c)b-(a .b)c - -1 ya.b =(a,.a2).(-b2.b,) =-a,hz +a2q (1) Ademas -r -a L .b=-(-a2.atl.(ht,b2) =a2q -a lb2 (2) Como vernos (1) y (2) son iguales, 10 cual pruebaque: - -1- a sb .1 a-a .b As! tendremos: b) llii +b" II 2 =lIiill i) 2 +lIb"11 2 +2ii.b" (jJxv)xjJ=-px(jJxli) - -1 =4+16+2<i.b = -{(I/.v) p-(p. jJ)v} '-v-' =v ii) '-v-' o I (3) ... 1Ib-'-1i = IIhll Px (p x Ii) = (1/ • Ii) P- (p . ji ) v '-v-' ~ o J a a) Si y b son vectores de lR - b-~ Demuestre que a . = 2 = (2)(4) cos 0 . -1 -a . b . a y b son vectores de lR' tales b) Si que lliill=2. IIhll=iI. lii~.bl=7_ Hallar E 1ii .h~ =8cosO I. -.1 Pero: a. b := -1-- -a . b . entonces. Aplicar II: /_iil. . hi= 8/co.01 IR 2 => a- =(a,.a2 ) • a-1. =(-a2,a, ) - (4) ... - iil. •b = 8cosO . lIa +hl.lI So/ucwn: a) Si a- ii. hJ. =lliill IIb" II cosO Pero =-v • llIii+b~1I' =20+2ii .bJ.l. , Si bE/R" => b=(ht.b2) , -~ b =(-b2.q) Iii .L .bl=8Ico.01 7=8lcosOI =:> IcosOI=f·· (5) (5)en(4): ii.hl.=8(f)=7. si cos 0 > 0 Reemplazar en (3) : • Si: Proy AB AP=(3,1) => AB//(),I) llii+Pll2 = 20+2(7) => => = 34 llii +b~ II = J34 => m • Sea CAB un triangulo rectangulo, recto en A, ademas C(2,7) y AB=I(3,1) B-A=I(3,1) => A = B-I(3,1) => A=(1O-31,3-1) - - - SiAB.lAC=> (AB).(AC)=O => (B-A).(C-A) =0 => (31 , I) • (-8 + 31 ,4+ I) = 0 BC=(-8,4). Si Pes un punto del => -241+91'+41+1' segmento BC y ProYABAP=(3,1), 101' - 20t =0 =0 /",=0 1(1-2) = 0" encontrar. .... , == a) Las eoordenadas de los veetores A y • 2 Para 1=2 , A = (4,1) B. b) La ecuaei6n vectorial de la recta que contiene a) segmento AP. Sn/uci6n: a) De BC =(- 8,4) , se obtiene: C-B =(-8,4) B = C-(-8,4) = (2,7) - M =A+IAMlpAB =(7,2) • 2MP - : y - 2 = -2(x - 7) • 2BC - : y-7=-1.(x-2) 2 • P =2 • 2 AP : (x,y)=(4,1)+t(1,¥) MP",2 BC = (16/3.16/3) II Calcular el volumen del tetraedro cuyos vertices son los puntas: A(2,-2,3) , B(I,3,-I) , C(-I,I,O) y D(O,O,4), (-8,4) B = (10,3) 71 b). So/ucion: c ~b ]ll B ' a ,.,B 3 , .... ' , .. :;.;-/.1 [~Proy_D A8 2 ' Comp ~ a ': (bl(t) D \, '/ .. , ' C II Tees de los vertices de un rectangulo HI volumen de un tetraedro de lados a. b y c OS tlabc) en valor absolute. son A( -2,-6). C(2,6) y D(-6,-2). Los Ihmoltracwn : dos CD. AB Y BC , respecnvamence puntos M, N Y P, pertenecen a los la- - Ana letmed.. t lArea d,'a bas'llaltura) ; t(tlbxci )(comp(b - - y son tales que el vector NM es pa- - ; raleloa (1,-3)y NM +NP=(4.14). xc) a) a] Hallar eI punto B yel vector NM . =-'jb- xc-I ii.(_• • r) b) Hallar 10. puntos M. N Y P. =ta .(b Soluewn: 6 lb )(c) xc) y C(2.6) ;t[abcl En el problema se tiene : a;B-A;(-1,5,-4) '8 "'? l 7/\ /;/ x b;C-A;(-3.3,-3) c;D-A=(-2,2.1) -I 5 [abc) = I -3 -4 3 -3 -2 2 I =, =1 -I 5 0 -12 0 -8 -1 5 0 -12 -- 0 4 .: -4/ :I:J -41 9 =-11-36) =36 O[ Area;-!;(36);6.u VI 1 A(-2.-6) Para hallar B, aplicamos: 1 1. B =A + jiAii II ABII 2. Como ABCD es un rectangulo - -- entonces ABII DC y IABI=IDCI. entonces: B; A + jioc II DCII IB=(6,2) donde: J N I {II~CII:- 8J2 ~~ Ji oc ~ 3. CM II CD Sumar : M =C+.6(D-C) 1613 = 14 =(2,6)+.6(-8,-8) p=! 4. BN IIBA Restar : ~IN=(6,2)+p(-8,-8) 5. NM //(1,-3) ~ I...... (I) NM =r(l.-3) 13) (- 8.-8) = I 9. Reemplazar en 1 y II. respectivamente: N = (6.2)+!(-8.-8) r(l,-3) =(-1,-5) INM=(-2,~ Luego: = -2 a=4" M -N = r(l,-3) (-4.4) + (.6 - -8a P= (6.2)+t(-4,4) 6. De NM + NP = (4,14) =(5,3) (-2,6)+NP=(4.14) ~ 10. En NM=(-2,6) 1&=(6.8)J M-N = (-2,6) M = N+(-2.6) M = (-3,1) 7. BP II BC ~ &,2)+a( -4,4)] ...... (II) m La tigura ABDC es un cuadrilatero en el que: AB es paralelo al vector (3.-1). 8. Teniendo en cuenta que: NP=(6,8) Y por(l)y(II): P- N = (6.8) (6,2) + a(-4,4) - (6,2) -1A:-8,-8) = (6,8) - Si adem's { (ti '- t) es punto ,~B .. ' 813 = 6 4a+8p =8 M medio de AB y el 'rea del cuadrilatero es de 28/', hallar los vertices A, B, D Y C. a(-4,4) -1A:-8,-8) = (6.8) -4 a + - ProYA<' AD = (2,2) , BC =( -5,7) A D(x,y) SO/NeUJ" : • Al resolver se obtienen : -6 = 2 , 1 = 3. AI reemplazar -6 = 2 con (6), se obtiene : ABII(3.-I) c> AH=/(3,-1) => B-A=I{3,-1) • (1) ProYACAD=(2,2) => ACI/(2.2) => C-A=-6(2.2) B = (13.-2) (8) AI reemplazar (8) en (4) se obriene : A = (4.1) (2) (9) • Reemplazar (8) en (3) : • BC=(-5,7) ;=:> C-B=(-5.7) • C - (8.5) (3) • (1; ,- t)es p.m. de AB ~ ~=(11 _1.) 2 2' 2 M =>A+B=(17.-1) SeaD=(x.y)=? Como dato se tiene : ProYM'AD=(2,2), del cual se obtiene : (4) (,-4.y-l).(4,4) (4.4)=(~,2) • 11(4,4111' (2) - (3) ; => x+y-5=4 => !x+y=91 .. (10) -A + B = -6(2,2) - (-5,7) -A + B ;= (1.6 + 5 , 1.6 - 7) .. (5) Resolver (4) con (5) ; - A + B = (1.6 + 5,1.6 { A+B • Teniendo en cuerna el area del trtangulo ABC yel truingulo ABD' Area triang. ABC = 1- iii. b II ~ 24 7) Area triang. ABD =1- 1..1 • bI = 4 = (17.-1) 2B = (1.6 + 22 • 1.6 - 8) ...... (6) 8 = 1-6x+ 60 Resolver (1) + (4) : 2B ~ (31 + 17.-1 - 1) => 8=j(x-4,y-l).(3.9)1 (7) Se obtienen: Igualar (6) con (7) : (1.6 + 22,1.6 - 8) = (31 + 17, -I - 1) => {U+22 = 3/+17 1.6-8=-1-1. Y D( I<x- 2613 x=: 3413 >; ,- f ) D(23' ,t) II Los vectores s, bye satisfacen condicion ii + b + C ,; que Q x h:: b 0. xc =c x a. fa Demostrar Solucion: Solucion: • Si grafieamos los vectores dados en JR3, se tendra: En la igualdad: a+b+c=O multiplicar vectorialmente z ambos c miembros por el vector b , por la derecha: (a+b+c)xb=Oxb p aXb+bxb+cxb=O 'B '-v-' o ..: - - x axb+cxb=O => axb;;;-cxb => axb=bxc ...... (1) • Ahora, multiplicar vectorialmente por el vector C , por la derecha: EI angulo formado por los vectores PA y PB, es: cosO • (a+b+c)xc=Oxc (PA).(PB) Calculos auxiliares: PA= A-P -( 0OJ-(.!!.2 '~2 '£o)-(.!!. -b -=<) -a" 2-.2'2'2 iixc+bxc+cxc=O '-v-' c . o ii x + b x c= 0- => PB= B-P c= ~ii x C b x c= cx a... (2) --(0 "b bx " II PAil Por (I) y (2): = OJ-(.!!.2 '!L2£)-(= !L' 2 -=<) '2-2'2 ~' " { ..!:L+!!....+£...=1.va2+b2+c2 4 4 4 2 ::: 1. ~4c2 +C Z iixb=bxc=cxii B!J Sea (I) II PA II II PBII z =.f5 c 2 A = (a,O,O), B = (O,b,O) y C(O,O,e) vertices de una caja rectangular y p= (1, t, 1) el centro de la misrna. Si a' + b' = 4e', halle el angulo APB, esto es, el angulo entre los vectores - -PA Y PH. (O<a<b<e) • IlPOII= .f5 c 2 (PA). (PH)::: _JC._!L+ L::: _J. c 2 4 4 4 4 • . . Si X = (x, , x, , x,) , Y = (Yl , y, , y,) Al reemplazar en (I): _1. e 2 Z = (xz y:\ -.1"3 yz • X3 YI - X, Y3 • XI Y2 - X2 y,) Pruebeque: a) IIXII 2I1YII 2=(X.y)2+IIZI1 2 b) IIZII=IIXIIIIYllsenll II = ISO" - 53° = 127" mSi A =(1,0.1) , B=(-2,1,3), C= (-1,1,-1) Y D = (1.2,4), encuemre escalares a, bye. si existen, tales que endonde: II XII =10Dgitud 0 norma del veclor x D=aA + bB +ec. X • Y = produc1D ...alarde dos veclores. = .Dgulo ..Ire X e Y. II So/new" : Se pide hallar las escalares: a, b, c tales que: D=aA +bB+ cC Indicaci6n: a) Desarrolle carla miembro b) Use X, Y = IIXIIIIYllcos8 (1.2,4) = a(l,O.I) + b(-2, I,3) + c(-I, 1,-1) SoluciOn: Multiplicando e igualando componentes, se obtiene un sstema de tres ecuaciones con tres incognitas: a - 2b - e { a = 1.. (I) b+c =2 (2) + 3b - e = 4 (3) a) Al desarrollar el primer miembro. I I ~ s => .., .., 2 2 • 2) IIYII = YI + Y2 + yj 3) 2222 =:,2 IIXII 2 IIYII 2=x 1 YI +x, Y2 +x, .' 3 2 =x, +xi +xj 222222 +X2YI +x2Y2+ X2Y3 222122 +X3 YI +.l3)'2 +X3 Y3 b=t Reemplazar en (2): c=2- 1 2 IIXII Restar (I) - (3): -5b=-3 2 I) Ic=1.1 s AI desarrollar el segundo miernbro: 4) X. Y =x, Y, +x,Y, +x,Y, 2222222 5) (X .Y) =x, Y, +x2Y2+x'Y3 Reemplazar en (I): a-.§._2=1 => s s 498 la= 's81 + 2x1 )'1 X2 Y2 + 2xI + 2X2 )'2 X3 Y3 )'1 X3 Y3 6)IIZII' =(x, y, - " y,)' +(x, y, -x, y,)' + (x, Y2 -~ , y,) , z 2 = .(2Y3- II mente. Hallar z z X2Y3~Y2+X3Y2 z , 2 z z i) a.b =-2 ii) Iiall +X3'1- X]YI XIY3+ X.Y3 , , +X 1'Z- 2XIY2~YI"X2Yl ' z = a+ b sabiendo que: 211bH iii) Las dos primeras componentes de a- 7) Sumar 5) + 6) (X .Y) Los vectores ii. b E 1R 3 pertenecen a los pianos YOZ y XOZ respectiva- 2 , + II Z 11 2 =XI2 YI+X2Y2+X3Y3 2. 1 2 2 2 2 2 2 ·2 2 2 2 +X2Y3+X3YZ+XJYI +XI Y3 2b son iguales y se difcrcncian de la tercera componente 0610 en el signo. Solucwn: a +xi y~ +x~ yt Si pertenece al plano YOZ, entonces delaforma: a=(o,y,z)· EI resultado oblenido en 3) y el obtenido en 7) son iguales, 10 cuak prueba la igualdad dada en a). ~s Si b pertenece al plano XOZ, entonces b =(m,o,n). SglJlfwn de b) Pori) a.b =-2 Se pide probar que : (e.y,z) , (m,o,n) = HZH = UX IIIYII sen 0 De a) dcspcjar IIZI/2 = Hzf : Ilxf Dyn 2 -(X. Y)2 Pero: X,Y zn = IIXI/HYHcosl1 2 2 Porii) Ji+z =2.Jm +n (2) 2 (2) a- 2b = (0, y, z ) - 2(m ,o,n) = (-2m ,y, z - 2n) Reemplazar (2) en (1): IIZII' =IIXII'IIyg 2 -lIxg' IYI' cos'O (I) y' + z2 = 4( m 2 + n 2 ) (I) Par iii) Sc: tiene: =IIX II'IYA' (l-coo'O) => -2 = -2 =IIXII' nYII' sen'O IIZII=IIXlinYllsen8 De (4): -2m = y (3) -2m =-z+2n (4) y = -z+ 2n (5) z = 2(m + n) (6) - Reemplazar (3) Y(6) en (2) : SoluciOn: 4m' + 4(m + n)' = 4(m' + n') • 4m' + 4(m' + n') + 8mn = 4(m' + n') Sea M = (x,y) donde: 4m2 + 8mtl:;: 0 4R.(m + 2n) =0 x = IIOMllcos30o=2. ~ m = -2n 2=2(-2n+n) = -2n (7) en (6) : (7) y = II OMlIsen300=2·t=1 Entonces M = ( ,fi ,I) (8) 2 N=(m.l) , donde m=? • Sea (-2n)n = -2 (8) en (I): Jf =,fi n2=1'~ n=±1 m = 1I0NlIsen30"=tIIONII ... (I) Pero: { si n = 1 en (8) : 2 = -2 , en (5): y = 4 si n = -I en (8) : Z = 2 , en (5) : y = -4 En (3) : si y=4 ~ -2m=4 ~ ",=-2 si y=-4~ -2m=-4~ y=4 ~ • =-' -,{j ,{j 3 Jf.I) -1 ON = aOM + 130M (Jf,1 )=a(,{i,l)+j3(-I,,fi) N. M Ll/)Q"l .. o 110M II = 2 - ,fia - j3 - ,fj -3 Pero: { a+,fij3=1 AI resolver e) sistema se obtiene : -1 ON =aOM + 130M a=l, ' j3=,{j 6 a.j3E lR Determinar a + 13. 500 (2) Como dato se tiene : III En el siguiente grafico se tiene : - Jf II ON II 13 Entonces: N=( .1=(0,4,-2), b =(-2,0,1) y IIONII = (2) en (I): m Conclusion : .1=(0,-4,2), b=(2,O,-I) 1= IIONllcos300= La suma: a + 13 = 3+,{j 6 II Dados los vectores A, Bno nulos, - hallar en terrnino de A y Bios vectores C y D que cumplen las tres condiciones siguientes : - - - - BIIC, A~C+D, B.D~O m 50 dan los vertices de un ~ A(I,-I,2), B(5,-6,2) Y C(1,3,-1). Usando los vectores ca!cular la longitud de su altura, bajada desde el vertice B al lado AC . Soluci6n: Solucion: - ,~, - - • 50 pide hallar C en rerminos de A y B Y D" D Veamos: - - • Si BIIC • En ~ 31E - - - lR t.q. - - C~IB... (I) A~C+D multiplicar escalarmente, miembros, por B: ambos A•B ~ AC= C-A =(0.4,-3) B •C (2) Entonces: AD II - II 2 ~ 1 B ( -16 12) = -~0(o,4,-3)= 0'-5-'5 • A. B ~ 1 ~ - _ - ...... (3) IIBI' Reemplazar en (3) en (I): c= A_,B 181' AD = (0 • _lQ.5 ' 12) 5 11) D-A=(O • _lQ. 5' 5 D= A+(O , _lQ.5' 11) 5 D~(l _11 22) • 5' 5 B - - - - D=A-C - De A = C + D • despejar D : ~A- A_.8 (0,4,-3) (4.-5,0).(0,4.-3) 1Il0.4,-3)1 2 B.UB) =I(B.B) • - =~ ABACAC UAq2 AB=B-A=(4,-5,0) donde: Reemplazar (I) en (2): A.B~ - Pero : AD = Pray-AB AC ~'~~~'~+J!6Q • Se pide hallar h = II BD 1\. para ello se debe conocer el punto D. Luego, la altura h, es : B h = IIBDII = JI6+~+I;; =5 liB" a 5bf .~._ __ .f HaJhIr. l1li Ay i en IR" forman "'auJo de Iii si 45" y A- i • IAI =3. Debemos hallar Iii+b1 extraer .. raiz cuadrada. 2 pan luego Sesabeque : es ortogonaI a A. lii+bl 2 = liil 2 +2ii.b + Ibl SrI: He: = 16 + 2 ii . b + 36 nil. Se pide hallar - • Si el angulo _ - = 52+2ii.b A Y B es 45". entonees • A.i = BAn nin cos 45" ii • b = Pero A. B = • 3';: 2,,2 UBR · - - (1) IbICornp,; ii = 6(2)=12 A•i = 3ft il ;;: -- 2 · lii+bl 2 (2)eo(l): = (2) 52+24 = 76 (I) - Iii +bl = =:> • Si A - B eo ortogonal a A • entonces: 2.Jl9 liEn el triangulo equilatero ABC de I. figura, M y N tnsecan al segmento (A-B).A=O Be. A.A-B.A=O B - \lAD 2 - - - -A.B=O ~ A.B=9 .. (2) • (2)en(l): 9=t../2\18\1 ~ \180=3../2 A= --s Encontrar: .Los lados de un triangulo son los vectores s. Ib 1= 6 Y Iii+bl· b y ii+b. Camp,; ii = 2. r-:. - - a+. 502 a) Comp ABAM b) CamP.c Q • hallar donde: Q=AN+AB if Sol"ew" : Si liil=4. "',C" Solucw" : a) Cornp_AM=AM .•B_AM.AB AB IABI - 1 -.-'" ( ) Pero: • IABI - Pero: ~ 8, porque - IABI ~ IBCj ~ IACj ~ 8 AB. AC = IABIIACI cos 60" = 32 (2) • Reemplazar en (7) : (Aii+tBC~AB =t[64-t(32)+32] • Ai.AB+t SC . AB • -t iC . SA =ll 3 ' AB=-BA mLos lados de un triangulo son: .................. (3) • IABI ii,byii-b Si liil~6,lbl=2 y Ib-iil~5 = 8 Calcular: Comp,; ii - Compj b Be, BA = IBeilBAlcos6O" = (8)(8)(t )=32 ... (4) 64· i(32) • (4) en (3) : = ICBIICAlcos6O" = 32 • Reemplazar (2) en (I) : • Pero -- -- CB.CA • AM=AB+BM , BM=tBe = AB+tBe IABI 2 IACI 2 =64 Solacwn: • 20 t-=T Se pide hallar: - - b b) Comp-(AN+AB) - -- (AN+A.8).AC • Pero ; II (AN+AB).AC AC ii.b b.ii Ibl 1111 ii.b ii.b Comp- a - Comp- b = -.- - -.- lAC! ~-'---6- .................. (5) AN=AC+tai ... (I) • Pero : Ib-iil2 ~lbI2_2<i.b+liiI2 (6) 25=4-2ii.b+36 2ii. b = 15 (6) en (5) : (AC+fCi.Ai).A"C ii.b=& • ~ t [AC, AC+tCB. AC+AB. AC] °t[IACI' -tCB.CA+AB.ACl··· (7) 2 • (2) Reemplazar (2) en (I) : =Jt-g=Jg 503 11. EL PRDDICTD VECTORIAL 11.1 De/It"d,!I1.- 1:1 producto vectorial de dos · h" (h, 3 ,h2 ' bJ ) de IR • denotado por a x b , vectores a~(a, ,a2 .aJ) Y es el vector definido por: ux h =(a2b, - a3!J., ,a31i-a,b, ,a,b,-a,q). - I Regia practica: j k aXb = I 01 a2 a3 b) b2 b3 = ,; I a2 a31_Jla, b2 b3 b, a31+ila\ b3 b, a2 b2 = (a2b3 - a3b2 ,a3b, - a,b 3 ,a,b2 - alb) iixb s ie' b • ~ HECLA DE LAMANU DEREtHA. Si los dedos de la mana derecha se curvan en la a hacia b , entonces cl dedu pulgar sefiala en direcci6n de ax b . dircccion de EI producto vectorial esto cs: LIlla rotacion de a< b es un vector y es ortogonal al vector ii y al vector b, a,(axb)=O b.(axb)=O Estas igualdades se demuestran desarrollando primero, el producto vectorial ax h , Y a continuaci6n el producto escalar. I Ejemplo I Hallar: Dado los vectores: 1) c x b 2) (a.c)b-(a,h)c 3) «(iX2b)x(cx{-b) 4) ax(b +c) 5) (a-b)xc 504 a=(-3,2-1) ,b = (2, -4, 2) ,c =(1 ,-3.4). SolueiOn: ,i j k I)CXb=11 -3 4 2 -4 2 I . . . In. ...... yln.fiIo, ,.,. .......... _y.............. l:x:1 l~x:1 =(-6+16 -(2 - 8) ........!dL In. ' ... -4 + 6) = (10.6.2) -I:x:l . . . 11L .......t IlL fiIo, .... 2) Calculos auxiliares: ii.c =(-3, 2, -I). (I. -3.4) = -3~6-4=-13 ii.b =(-3, 2. -I) .(2 ,-4.2) = -6-8-2 = -16 Luego, (ii.c)b-(ii.b)c= = -13(2.-4.2) - (-16) (1.-3.4) = (26.52. - 26) + (16. - 48,64) = (42.4.38) 3) (iix2b)x(cx-tb)= Calculo de ii x b : =(2)(-t) (iixb)x(cxb) t = t t (iixb)x(cxb) ii x b=I-3 2 j k 2 -I -4 2 (0.4,8)x(l0.6.2) = (4-4. - (-6+2),12-4) (4)(2) (0,1,2)x(5,3,1) =(0.4.8) 4(0.1,2)x(5.3.1) = 4(-5.10.-5) (-20.40. -20) 505 4) ax(b +c). (-3, 2,-I)x(3 ,-7,6) =(5, IS ,IS) 5) (a-b) xc • (-5,6, -3)x(1 ,-3,4) =(15 ,17 ,9) 11.2 ITearema 11 a,bye son vectores de lR' y a un nUmeroreal, entonces: ax b = -b x a (el producto vectorial no es conrnutativa) (aa)xb=a(axb)=ax(ab) aX(b+c)=axb+axc (a+b)xc=axc+bxc a.(bxc)=(axb).c Si I. 2. 3. 4. 5. Nota: Cada una de estas propiedades se demuestran aplicando la definicion de producto vectorial, aplicando las propiedades de un determinante 3 x 3 y aplicando la definicion de producto escalar. 11.31 Lema I lIaxbll2 = lIall 211bll 2 _ (a.b)2 Demostracion a La demostraci6n se hace eligiendo: = (a, ' a2 ' a3) , b = (b l ,b2 • b3 ) Y desarrollando el primer miembro y el segundo miembro independientemente y luego comparando. Bastara aplicar las definiciones de producto vectorial, de producto escalar y de NORMA de un vector. l1A ITearerna 21 Si 0 es el angulo entre a y b (con 0,; 0,; II axb II = lIa IIl1b II sen 0 506 !l), entonces Prtltba En prjmer lugar, aplicar el lema anterior y en segundo lugar, aplicar que ii.b;' nanlibll cosO yl-cos 20=sen 20. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA LONGITUD DE ii x b a Supongamos que los vectores y b en lR 3 son los lados de un paralelogramo, donde 0 eo el angulo entre a y b. h='b'senO EI area del paralelogramo eo: A = (base) (altura) donde la longitud de 1a base es IIan y la longitud de la altura eo '0" h=nbnsenO. Entonces el area del paralelogramo es: A = IIannbnsenO. Por el Teorerna Z, se tiene que lliillllbllsen() = I En consec"encia: §ROIARIO J naxbll. Area de paralelogramo de lados Dos _ve:lores distintos de cero ay a y b = IIa x bII b I son paralelos si y 0610 si iixb=O. P,,,eba (=:0) La demostraci6n de ida (condici6n necesaria) se parte de: ii eo paralelo a b para lIegar a demostrar que ii x b = 0 Veamos: b. entonces existe un numero real t, tal que, Ii = tb b = (b l • b 2 • b 3 ). entonces a= (fbI' fb 2 , fb 3) • Si Ii es paralelo a Supongamos que EI producto vectorial de ii por b. es: 507 j axb =llb, j k b2 I I b3 b2 b, b3 = i (tb 2 b 3 -lb 2 b 3)- J (Ib, b 3-lb, b 3) + k (Ib, b 2 -fbi b 2 ) =0; +OJ +Ok =0 (<=) La demostraci6n de venida (condici6n necesaria). Se parte de ax b = 0 para probar que ii es paralelo a b. Veamos: Supongamos que ii = (al ,a2 ,a3) Y b = (b , ,b 2 ,b 3)· EI producto vectorial de ii por j i b es: k a2 axb=la} a2 a3 =i bl b2 b3 3 !_j\a, b3 ht a b2 a2 a31+k\a, b3 b, b, Porhip6tesis se tiene que ii x b;;: 0, esto cs: a2 Ib2 a31=0 b:J I' a, ' bl ~ 1=0 , a, Iht a21=0. b2 Estas deterrninantes s610 pueden ser igual cero, cuando la primera fila sea igual a la segunda 0 que sean proporcionales. Es decir: a2 = b2 o a2 Esto es, S08 = th2 a3 = b, a, =b l OJ = tb) a. := tbl para algun t E lR (a" a, ,aJ) =t (b l • bi, b,) , 10coal prueba que vi es paralelo a b . 17.5 EL TRIPLE PRDDICTD ESCAW Definicion> Dados tres ii = (01 ,02 ,03) vectores c = (cl ,c2 ,C3) b = (hi ,h 2 ,h3 ) de /R', el triple producto escalar de Y a, b, c denotado par [0 b c] , se define par: [abc]=a.(bxc) 0, °2 °3 ~ h2 ~ c, c2 C3 =°11 h2 Ejemplo I ~ -°2 c2 I ~ C3 h3 c, I~ h2 I c, C2 +°3 c3 Dado los vectores: 0=(-2,-4,3) , h=(3,O,-2) Y c=(2,3,-2). Hallar el triple producto escalar de 0 , b, c. Solucion: [iibc]~1 -2 -4 3 o 2 3 -~1~-21~ -21 1 -21+ -2 -2 ~ -(-4) 3 2 -2 31 3 2 ~I -2 [(0)(-2) - (3)(-2) J+ 4 [(3)( -2) - (2)(-2)] + 3 [(3)(3) - (2)(0) I ~-216J +4[-6+41 +3[9] ~-12-8+27=7 SIGNIFICADO GWl'IETRICO DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR a, b ,c • Los vectores constituyen una terna positivamente orientada si • Si la terna de vectores a, b, [a be] > 0 . c esta positivamente orientada, entonces 509 I [ii 1 be] 1 = - volumen del paralel~pip~do determinado por los vectores ii •b • e. Triple howl. EsaWu ell V«IorA.• .YIIIM Demo.tr",ilm: Hagamos el siguiente gr.fico: / b><c ...... 1. EI volumen de un paralelepipedo es igual al producto del area de la base por su altura. esto es: / A = (area de la base) (altura) 2. En la figura, la base esta formado por los vectores es: b bye. entonces area base = el area de la base IIbxeli 3. En la figura, la altura h del paralelepipedo es: h = I Comp b xcii I Valor absoluto de La comp~nenll' del I( veclor ii sobre el vector b xc. 4. Reemplazar (2) y (3) en (1): v = IIbxelllComPbxc iii = IlIhxell;;·~b:C) Ibxd 510 I = lii.(bxe)1 = nobel! . L.,.r . IIlmdlllo.' lriple pnMJIdDeK" VOllMEN DEL TmlEIBO IEIAlDS a , bye ,xc Volumcn= i[abcl !!Bk: h Partir del volumen tetraedro = s 11.1 ITeoremll31 i (area base) (altura) Luego, hacer una operaci6n similar a la demoslraci6n anterior. T"", vectores Ii. b. c de lR' son linealmente dependientes siys6losi [iibcl=O. Demostrtleilm (=» si ii • b , c son linealmenle dependienle => [a bel = 0 Prueba: 1) Si Ii, b.c son Iinealmenle dependiente entonces el vector expresar como combinaciOn de los vectores bye. esto es: a se puede a = a b + f3 c para algunos a, p E lR que no es cero, 2) Si en la igualdad anlerior 10multiplicamos, escalarmente, por el vector bxc; que b yc, oblenemos: es ortogonal a los .«lGrCS Ii . (b xc) = ab • (" xc) + pc •(bxc) = a(b. (b xc)+ P(c .(b xc» , T o (<=) si ' ... ... =0 I 0 [a bcI = 0 =>a•b. c son linealrnente dependientes . 511 PTaeha: Por hip6tesis se tiene: Pero: [a be] = 0 a y bxc [abc]=a.(bxc),entonces a.(bxc)=O;locualimplicaque ortogonales. Por otro lado. el vector b x c es ortogonal al vector son b. Par 10 tanto, b x c es paralelo a ii x b. Considerar dos casas: bXC Casol: Si aXb=O, entonces zi y b son linealmente dependientes y por tanto, los vectores b a ii . b y e son Iinealrnente independientes. Caso 2: e Si ii x b -:t:. 0, entonces existe algun mimero real t. tal que, b xc = t (a x b) =} bxc-t(axb)=O =} bxc+t(bxa)~O =} bx(c+ta) =0 Esra igualdad nos dice que bye + t ii son paralelos. esto es, existe un numero real r tal que: c+ t ii = , b , si b ~ 0. Esta igualdad prueba que a.bye son linealmente independientes. 11.1 El TRIPLE PRODUCTO VECJORIAL Dado tres vectores ii , ;; y c de IR3 • no nulos, el triple producto vectorial a, by c.es: I aX(b xc) = (a. c) b-(a.b)e de I Si se quiere dernostrar esta igualdad, desarrollar independientemente el primer miembro y el segundo miernbro hacienda n =- (Ql . a2 .Q3) , c = (c,.cz ,c3) . Luego se comparan yllegaremos que se curnplc 512 b = (hI ,b 2 ,h]) la igu.udad. IEJEKCICIOS I II Probar las siguientes identidades: (a+b).[(axc)x(a+b)I=O a x [ax(axb)l=(a.a)(bxa) (axb) x (cxd)=[(axb).dlc-[(axb).c]d (a x b) •(c x d) = (a. c)( b•d) - (a •d)(b•c) (axb)x(axc)=[a.(bxc))a aX(bxc)+bx(cxa)+cx(axb)=O (axb)xc=(a.c)b-(b.c)a a) b) c) d) e) 1) g) (a" a2 ,a3 } una terna positivamente orientada de vectores i:_ _ iiI h. ::;: "2 xU3 i:_ = "3 xOI !1 = [al a2 a3]' Definimos VI ,1, "'2 .1. • "3 - - A - Y IJ Sea y sea XD2' I para i = j 0;] (llamado delta de Kronecker) por alj ={ 0 para i*j Demuestre que: a) [~b2b31=t - - - b) {bl , b2 • b3 1 es una terna positivamente orientada de vectores. c) ai' bj = alj , i, j = I. 2.3 - - - d) Los vectores b l • b 2 Y b 3 son los iinicos vectores con la propiedad c) e) Si {ai' a2 . a3} es ' una tema positivamente orientada de vectores unitarios ortogonales dos a dos, entonces 13 Sean bl =a, . b2= a2 Y b3= a3 a, b ,c los lados de un triangulo ABC (ver figural. cA B~C Demostrar que: senA _ senB _ sene -u- - -6- - - , - siendo a = IIBCIJ ' b = IICAII ' c = IIABII 513 04 Demostrar que los vectores ii . bye son coplanares si. y s610 si a. t b xc) "'" 0 :~:;i~i~'i1*1~~n de;'~olum~~de'~~ ;~t'~8ei~s£a: bye /ow~.'kd\.,.:·~'r·; 'I'" .»: .,~ 15 Las diagonales de un paralelogramo son: {C!lS.}:"::" ".- ii~3;-4j-k y b~2i+3j-6k. Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallar sus angulos y la longitud de sus lados. ~ 5.{3i2 arc cos ~; Sol. • 180° - arc cos.li 33. 72°8' 75' 0 bien 4 . , 107° 52' Hallar el area del triangulo euyos vertices son los puntos (3, -1,2) , (I, (4.-3,1). 17 Hallar el ~; volumen del + 2j - k , Sol. I. c ~ 3; - paralelepipedo cuyas aristas son: ii ~ 2i - 3 j + 4,\ . j + 2k . 7 Hallar la constante a de forma que los vectores 2i - 3j + k • i + 2j - 3k y 3i + aj + 5,\ sean coplanares Sol. 7 II Demostrarque .1 l , -3) Y !J165 Sol. b -c ---- ---- SugeTencia: aplicar la propiedad d) del ejercicio 1. Simplificar: (A+B).(B+C)x(CxA) RpIiL: 514 ---- (AxB).(CxD)+(BxC).(AxD)+(CxA).(BxD)~O - - 2A.Bxe - -- 18. APliCACIONES DEl PRODDClO ESCIlAR YOIL PHOIUClO VECTORIAL A lAFfSICA 18.1 El TRABAJO COMO PRODDCTO ESCAW Supongamos que una fuerza constante F de direccion de trayectoria rectilfnea de una partieula que so desplaza desde P hasta Q. F_ ~ entonces el !rabajo W efectuado por la fuerza sobre la partieula es igual al producto de la P Q , • ,magnitud de la fuerza F por la magnitud del d desplazarniento d a traves del cual actua la fuerza, esto es, W = IIFlid I L Dis_ia desde L loIagnitud deI. fuen•. Ph.... Q Ahara. supongamos que la fuerza F actaa en otra direccion, hacienda un angulo () . con eI desplazamiento lineal PQ (ver figural. En este caso, el trabajo realizado es: Ll W=(Comp Pi;F)(IIPQII) = F.PQ IIPQII Q P'------J Pr.,y-F I PQI "" I Ejemplo I I I IW=F.PQ Halle el trabajo realizado por la fuerza - F= ti -f j +tk cuando desplaza un objeto desde el punlo P(-3, -5. -4) hasta Q(4.9,3) a 10 largo de la recta que las une. Soluciiin: l _(6 ~ 6) F- 7'-7'7 EI trabajo realizado cs: W = F. PQ , donde PQ = Q - P =(7,14,7) 5111 -(2. - 7' -2 2.).(7,14,7) 7 •7 =6-4+6 = 8 unidades I Ejemplo 2 I Supongamos que el viento sopla con una fuerza de 5000 newtons sobre la vela de un barco en la direcci6n 60· NW. Halle el trabajo realizado al desplazar el barco 50 m hacia el norte. Solucwn: EI trabajo es W = F • OQ 't Q j; F•....... donde IFI co, 60" ~ W = ( - 5000 1 E = (-5000sen60·,5000cos60·) OQ 2500 ) = (0, 50) W ~ ( - 5000 S 1' 1.2500 ). (0,50) = 125000 Joules 18.2 ElMOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO AUN PONTO z Supongamos que se tiene I. puerta PQRS (ver figural, donde PS esta fijo en la pared. SISsl'- R (3'1' .., [':-.J -.. .../ ~'ll ,~tv _/ p x y ~' a Sea P un punta fijo. Si abrimos la puerta aplicando una fuerza EI modulo lIill del sabre el punta Q. T=PQxF L:r o {i=PQ=Q-P F entonces queda definido el MOMENTO T de F respecto a P, del siguiente modo; . Momento de F respecto a P. momento da una medida de la tendencia del brazo PQ a girar, en - - sentido antihorario, alrededor del eje perpendicular al plano detcrrninado por PQ y F. 516 IEjemplo I z Se fija el pivote de una palanca en el origen de tal manera que gire en el plano rz, como rnuestra el dibujo. Se aplica una fuerza vertical de 200 newton al extreme de la palanca. Halle el momenta de la paJanca respecto a su pivote cuando forma un %u, angulo de 3D"con el plano XY. Y n x SoluciOn: Hacienda otro grafico equivalente se tiene: T=OQ x F L momentorespectoal punlo O. donde OQ=(O,ICOS300,lsen3D")=(0 • ,[j 2 .1) • 2 F F=(O,O,-200) Entonces, 19 i=( 0, Jf ,t) x (0,0,-200) j k ,[j l. 0 T 0 0 2 1=(-looJ3,O,O) -200 SEOMmll ANAlfnCA EN B ESPACII 19.1 DISTANCIA ENTRE DOS PINTOS DB ESP.CID Definicion. Dado dos puntos P, (Xlo Ylo z,) YP, (x" y" z,) de lR'. la distancia de PI a P" denotada por d(P" P,), es la longitud del vector P, - PI ,es decir, d(P,.,P2) = IIP2-P,.11 = ~(X2-XJ)'+(Y2-YI)2+(Z2-ZI)2 517 I Ejempto 1 I La distancia del punta PI = (3,-4,-2) al punta P, = (-2,2,-5), es: d (11 ' P2) = ~ (-2 -3) 2 +(2 -(-4)) 2 + (-5 - (-2)) 2 = ~ (_5)2 + (6)2 + (_3)2 =~25+36+9 =.[70 19.2 ECUACION VECTORW DE II RECTA Para definir la ecuaci6n vectorial de una recta en ~ se necesitan dos elementos: a) Un punta de la recta y un vector paralelo a la recta. b) dos puntas de la recta. • z a S i Po es un punto de la recta y es un vector paralelo a la recta. entonces la ecuaci6n vectorial de la recta .2, es: L k.. y P=Po+ta +-<v llama YEcrOR D1RECfOR de la recta Si Po(xo . Yo, Zo) Y P1(Xj • YI • 2':1) son dos puntas de una recta £: , entonees la vectorial de la recta es : I P=PO+t(PI-PO) • tEIR 1 - 1 t es el parametro EI vector ii paralelo a 1a recta )c x • 0 Si en P - Po = t ii se multi plica vectorial mente poT ii x (P-Po)=t(iixii) I Ejempto 2 I • ~ liix(P-Po)=O fElR] a se obtiene: ~ Hallar la ecuaci6n vectorial de la ,:cta que pasa por el punta P o= (5,3. -1) yes paralelo a1 vector a = (2 ,-3,2). Solucion: La ecuacion vectorial de la recta que pasa pm Prj y es paralelo al vector P ~ Po + ta , t c. IR 518 eCU3i.'J()n a.es: Reemplazar datos: I P=(5,3,-I)+t(2,-3,2), telR I t Es la ecuaci6n vectorial de una recta que pasa por el punto (5.3.-1) Yes paralelo al vector(2.-3.2) I Ejemplo 3 I Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos (-I, -2, 3) Y(2,3, -2). Sol"ciOn: .I: : P = (-1,-2,3) + t «2,3,-2) - (-I, -2, 3» , t e lR (I) ...... [£;;f1,-2, 3) +1(3,5,-5), t e lR I Tambien, puede ser: Q = (2,3,-2) + -6 «-I, -2, 3) - (2, 3, -2» , -6 e lR (2) ...... 1 Q = (2,3,-2) + -6 (-3, -5, 5) , -6 e lR I La ecuacion (I) Y la ecuacion (2) expresan la ecuacion vectoriarde la misma recta que pasa por (-1,-2,3) y (2,3,-2,), Tambien puede ser ... (3) I R = (2, 3, -2) + r (3/5,1,-1) , r e lR I otra ecuacion vectorial de la recta que pasa por (2,3, -2) Y(-I, :"'2, 3). - I. Una recta tiene infinidad de ecuaciones parametricas. 2. Las letras minUsculas: t • 4. r representan a un parametro, esto es, a una variable que puede tamar cualquier valor real. Cada vez que el parametro toma un valor real se obtendra un punto de la recta. 3. Los veclores: (3, 5, -5) • (-3, -5, 5) , (t ,I, - J) son paralelas a la recta !to 61. 19.2.1 INTERSECCION DE DOS RECTAS Dados dos rectas, con ecuaciones vectoriales: £,: £,: P~(6.-7,-I)+t(2.-2.-I) t Q~(-4,-·6,7)+4(2,1,-2) 4 E IR E IR Hallar la interseccion de 2, con ~'2, si existe. Solucion: £, n £., existe, si y s610 si P ~ Q para algun unico valor de t y 4. (6.-7,-1) + t (2.-2,-1) (6 + 2t, -7 - 2t, -I - r) => => ~ (-4,-6.7) +4 (2,1.-2) ~ (-4 + 24, -6 + 4.7 - 24) 6+2t ~-4+24 -7-2t ~-6+4 { -1-t ~7-24 { :t-:" :-I0 (I) 2t 4 - 1 -t + 24 ~ (2) 8 (3) Como hay 3 ecuaciones con dos incognitas. bastara elegir dos ecuaciones para hnllar los valores de t 0 de-d. Si elegimos las eeuaeiones (I) Y(2); { 2t -24 -2t - 4 ~-10 - 34 -9 Sumar: El valor de t es: 4 t ~ 1 3 ee -2 ~ Es suficiente elegir uno de valores de los parametres. Si elegimos .4 obtenemos el punta de interseccion, que es Q Q 520 ~ (-4, -6, 7) + 3 (2. I, -2) ~ (2. -3, I) 0;..:: 3 en £2 N~'i4:"M<)'b~\~~ £; comnn de y~ . '-" "0 .;\~-:,Pam ?'(" ;de!lem ,~~~~~~~ . ,~ >\ 19.2.2 ...~ 'uOOr queJas solucionesa =.3, I = -2 sansfacela , .. ~~l'Cl\II.""l!~ 'P'~l.,~, . : ',~: p~~~'~\~--~'i _.. :,,:<.i"'~*,~ ",' '~'ffl'''~Ml~' "ase ","",s" roe'" '-~"''M~" - - -~:_~~p.'"~ "..• :. -" - ' , ..., .•." , .,. ' ,"-' ECIACIONES PAlAMhRlCAS DE UNA RECTA Y ECIACIONES CONTINIIS DE INAIECTA EN lR 3 Si en la ecuaci6n vectorial de la recta ~ . P=Po+la ,IElR P=(x.y.z) hacemos P~ = (Xo ' Yo ' Zo) 1 a = (ai' a2 ' a3) obtendremos: (x , Y .z) = (Xo, Yo, Zo) + t(a" a" a,) Que al igual componentes se obtienen: X =xo+ta, y = Yo ®- { I + t Qz IE lR Z =ZQ+1a3 I Estas Ires ecutJ£wnell se lltunan ECUACIONE$ PARAMETRICAS tU .f, Si de las ecuaciones parametncas despejamos la variable I,obtenemos: t= X-XQ ", I::; y- Yo ", t= z-zo ", que igualando las "I", obtenemos: -'"-.to - at Y-Yo Z - 20 Q2 al =--- ECUACIONES CONTINUAS DE UNA IlEcrA 521 19.2.3 RECTAS PAlWFIAS Definicion. Dos rectas £,: P = Po +Iii . t E lR se dicen que son paralelas si los vectores IEj emp lo 4 1 , 2,: Q= Qo + sb , J.. E IR ay b son paralelas. Hallar la ecuaci6n vectorial de una recta que pasa la intersecci6n x=-1+21 x+l +3 z.-2 de las rectas£, Y£l,donde.2,: -3-= Y-2 =~,2,: y=-2-21 { <=7-41 pOT Yes paralela a Ia recta £, : P = Po + .4 (-1,2-3) ,.IE lR Solnewn: Sea £ : Q = Qo + Iii Ia ecuacion vectorial de la recta buscada. Necesitamos hallar el punto de paso Qo Yel vector ii . • Si £ es paralelo a £3 • entonces • EI punto de paso Qo = £, n 3 En .£1 hacer: X;I = .\'_+2 I l ii :::: (-1. 2. - 3) .......- Es el mismo vector direcci6n de \:':'1 :r" = z~/:..:: r para obtener las ecuaciones pararnetricas de x=-1+3r .3',: y=-3-2r z=2-r Ahora igualar las x, las y, las z de las ecuaciones parametricas de 2 respectivamente: I + 21= - I + 3r 21-3r=0 -2-21=-3-2r =:> basta resolver Con { las dos primeras -21+2r =-1 7-41=2-r 51obtiene I r:::: 1 I Para r = I, en £, se obtiene X= 2 y =-5 { z=I Luego: EI punto de paso es Qo = (2, -5,1) l'iImIllIIlIm La ecuacion vectorial de £ es: Q = (2. -5.1) + I (-1, 2,-3) . t 522 E IR 1 y i' 2. 19.2A 1· COSENOS DIREcmRES La direccion de un vector ;; = a, i + a2 ; + aJ k. Se puede determiner por lei. angulos: a, p, y que forma el vector ii con losejes x, Y, z: respectivamente. z • Los angulos a, DIRECTORES de s p, s. y se lIaman I.NGULO.~ Los cos a, cos p, cos y ; se lIamsn ii. • COSENOS D/RECTORES de ~""I ~ • - • EI vector (cos a , cos p , cos n es paralelo al vector a. Y PROPIEDAD: cos'a+ cos'p+ cos' y= I Prueba : i = (1,0,0),1 = (0,1,0), i Con los vectores unitarios canonicos = (0,0,1) yel vector ii = (a, 'U2 ,a3) hallemos eI coseno de a, p y r- respectivamente: 1) i.;; 2) 1·;; = 11111 lliill cosp - = lIilllliillcosa => _ "I cosa - Dall ", => cos P = lIaN - "J 3) k.ii=lIklllliillcosy => cosy -_ lIaN 4) Elevar al cuadrado cada coseno y sumandolas, obtenemos: cos 2a+cos2 p+cos 2 y a a a at +"2 +°3 1 lall' 623 19.3 PlaNOS EN IR 3 • VECTOR NORMAL AUN PLANO.- Cualquier vector ortogonal a un plano, se llama vector normal. • ii En el dibujo Ii es un vector normal al plano >P. • ~ Todo vector contenido en el plano g' es ortogonal al vector normal Ii . En el dibuja: el vector Po P. que est. contenido en el plano. es ortogonal al vector normal ii. esto es, n , (PoP) =0 • ECIACIO. DE U. PLANO.- Formas de la ecuacion de un plano. 0) Si se conocen: un punta Po(xo, Yo. 00) de un plano >P y su normal ii = (A, B ,C), la ecuacion del plano es: ii.(poP)=O = (A,B,C).(P-Po)=O = (A.B.C).(.\-Xo,Y-Yn·z-zo)=O = I A (x - XII) + IJ (Y - Yo) P=(x,y.z) +C «- <0) = 0 I'ortua PUNTO - )'\ORMAL b) Si se conocen tres puntas: Po = (xu. Yo • zo) , PI :::: piano 9, un vector normal al plano :Y es: ii =: YI• .::d . Pl (x~ . .\'1. '::1) de un --Pofj x PoP:! y la ecuacion del (.\1 • plano es: Ii = PJ'\ x P-;P2 >P: lii.(P-Po)=ol. P=(x,v,z) Po P, Proposicion» 524 Un plano queda bien definido si se conocen: un punto y su vector normal 0 tres puntos. c) Si en la ecuacion (I) multiplicamos y hacemos -A.xo- By. - C", ~ D, obtenemos: I Ax+By+Cz+D~O ~ Forma ~5tdndar [EF:PJ,;!] Hallar la ecuacion del plano que pasa pot el punto (-3.2.-2) y tiene vector normal ii ~ 3i - 2) + i SO/Ilcion: Se pide hallar la ecuacion 9' : ii. ( P - Po ) ee 0 ii ~ (3.-2.1) como: I P~(x.y,z) { Po Ejemp/o 2 entonces ~(-3,2-2) I «x. 9': (3. -2. I) . y. z) - (-3. 2.-2» 3 (x + 3) - 2 (y -2) + (z + 2) 3x+9 -2y + 4+z+2 3 x - 2 y + z + 15 ~ 0 ~0 ~ 0 ~O Hallar la ecuacion de un plano que pasa por los puntos (-3.1.1), (2.-1,-2). (0,3,-1). ."';Ollicioll : \;ccesitamos un punto de paso Po Ysu vector normal. \, conocen Ires puntos: A(-3.1.1). B(2,-I,-2), C(O,3,-I), el vector normal al plano se halla fijando un punto, digamos A, y se definen los vectores. n=a)( b ii ~ AB ee B-A ~ (5.-2,-3) b~AC~C-A~(3,2,-2) I - Qi-: 7'A. La normal es ii ~ ii x b ~I5 3 ~ j k -2 -3 2 -2 (10,1,16) Como hay tres puntos conocidos, podemos elegir como punto de paso del plano a cualquiera de los tres puntos dados. Si elegirnos el punto A (~3.1.l). la ecuacion del plano es: 525 P: ii. ( P - A ) = 0 (10,1,16) ,«x,y,z)-(-3,1,1)) =0 10 (x + 3) + I (y - I) + 16 (z - I) = 0 10 x + Y + 16z + 30 - 1 - 16 =0 IOx+y+16z+13=0 • ECUAC••• ImD.W DE III 'lUI Dado un plano Po paralelos r = z _ r 1R 3 Y dos vectores no b de lR' • la relacion ii y Po +}lii + vb i Punto de paso t I'ElR,VE/R t t se sectcres que ge· neran alplano ~J' Ilaman t parllmetros es Ja ecuaci6n vectorial del plano. Esta ecuacion se deduce hacicndo la siguienre x suma vectorial. En el grafico se tiene: OP • E Pero: = OPo + PoP .... (I) OP = P -0 = (x, y, z) - (0.0,0) = (x,y, z) = P OPo = Po -0 = (xo.Yo,zo)-(O,O,O) = (xo,Yo,zo) ~ Po PoP=}lii+vb • AI reemplazar en (I) se obliene: P = Po + }Iii + vb-~ ' E D/ 1------{3 ECUlaC/ON VECfORlA.L DEL PUNO qllt! pasll por el plmlo Pe Y genertulo por panUelos 10$ vedores no ii y b. ii X b = ii es el VECTOR NORMAL. Las variables Ji Y v se lIaman pararnetros, 526 • .mIIIlII:IICIRIII:TllIIllllfll.UTUDU Si de la ecuaci6n (3) tomamos: Po Y los vectores se obtiene haciendo: I Ejempw31 a, b ; la forma estandar del plano (a x b), (P- Po) = 0 Hallar la ecuaci6n vectorial de un plano que pasa por tres puntos: A(-2,1,2),80,-2,-I) Y C(-3,2,-3). SoludOn: La ecuacion vectorial de un plano fP tiene la forma Debemos hallar el punto de paso Po Ylos veetores • Ip = Po + J.l ii + v b ~ a, b Como se tiene tres puntas A. Bye, podemos elegir como punto de paso cualquiera de los tres puntos. Ehjamos, por ejemplo, Po = A = (-2.1,2) • Los vectores ii y b se obtienen del siguiente modo: aA B~C • a= AB = 8- A = (1,- 2,-1) -(-2,1,2) = (3,-3.-3) b = AC = C - A =(-3.2,-3) -(-2,1,2) =(-1.1.-5) Entonces la ecuaci6n vectorial del plano que pasa por los puntos A. 8 YC, es: I P=(-2, 1,2)+,u(3,-3,-3)+v(-I. 1.-5) I ~=: I • lIDS Er:ur:1IIES: • Si hacemos P = (x,y.z) e igualamos componentes, obtenemos: x=-2+3,u-v y=I-3,u+v 1 z =2-3,u-5v ... son las ecuaciones parametricas del plano. 527 • Porque hay dos purametros (p, v) y cada una de las Ires variables (x,y,z) es funcion de los parametres (p,~')' podemos definir la siguiente funcion vectorial. r: Dc IR'-----. IR 3 tal que r(p,v)=(-2+3p-v,I-3p+v,2-3p-5v) --> (x.y.z ) (p,v) En este caso D = m? , • PDSlCIO. ROATIVI DE DOS 'WlOS Dado dos pIanos 9',: 9',: A,x+H,y+C,z+D, =0 A"x+H,y+C,z+D, =0 diremos que: a) 9', es paralelo a 9', , si Y solo si, sus vectores NORMALES ;;2 = (A 2,H2,C2) sonparalelos,estoes,;;, =/;;2' / E ;;1 = (A, ,8, ' C,) Y lR b) 9', es ortogonal a 9', , si Y s610 si, sus veetores NORMALES ;;1 = (AI' H,. C,) y ii 2 = ( A 2, B 2 . C 2 ) son ortogonales, estoes, ii1 . n 2 = O 'gll '1 '9', ~ Ii ", e, '!f2 Hallar la ecuacion del plano que pasa pol el punto (4.5,2) y es paralelo al plano 3x - 2y + 72 - 10 = 0 Solucioll: La ecuacion del plano buscado es!:P ; ii. • • (P - Po) = 0 (1 ) Por daro, se conoce el punto Po = (4,5,2) , (2) POT dato, el plano incognito ~ es paralelo al plano 3x - 2y + Tz - 10:= 0 cuya normal es el vector O. -2,7), entonces elegimos ;; = <3.- 2.7) ~ La ecuaci6n de ~p es: 0, -2. 7) . ((x, v, z) - (4.5.2» = 0 3r-2y . . '7. --1(1 -=- n 528 -"'-- -,,~ IEjemplosl Hallar la ecuacion del plano que pasa por dos puntos A(I._t,4)t y B(3,I,I) Yes perpendicular al plano 9'1: .r - 2y + 3z - 5 = 0 Soluci6n: La ecuacion buscada es ff: ii . (P - Po ) = 0; donde ,I iii = (1,-2.3) .4 podemos elegir Po = A (1.-1.-2) EI vector normal ii es: ii 9' = iii tambien B). x (An), donde ii ( = (1,-2, 3) es el vector normal del plano fJ'1 Y B .4~'1 AB=B-A=(2,2,3). j B Entonces ii = II - 2 2 • (0 La ecuacion del plano 9'es: 2 k 31=(-12.3,6) 3 (-12,3,6).«x,y.z)-(l,-I,-2) =0 4x-y-2z-9=0 • DISTINCtA DE UII PDlITe AUII PIAND P, n Definicion. d= Icomp_P~11 La distancia de un punto Po E 1R 3 al plano V' es la perpendicular trazado desde Po a 9'. n '9' PI '•. F6RMuLAP~~~T~DE1iNftm:r~ALPLAi~~ La distancia del punto P, = (Xu, Yo, Zo) por: d ( Po ; ,p) = ICamp - p, 1'. I " =!(po,,).nj IInli 0 1 E lR 3 al plano 9' : Ax + By + Cz + D = 0 esta dado donde: c ' PI E J) j Po = (Xo, Yo· 'ol Ii =(x\'Yl·Zl) n=(A.B,C) _ IA~+8)'o+C~o+DI - ~A2+Bl+C2 1121 I Ejemplo 61 Hallar la distancia del punto Po = (-2,-3,2) al plano de ecuacion 3x - 2y- 5z - 3 = 0 Solucldn: Aplicando, directamente, la formula anterior tenemos: d(? 9') = 13(-2)-2(-3)-5(2)-31 ~9+4+25 0, -.1L j38 • IA RECTA COMO INTERSECCION DE DOS PIANOS Una recta puede representarse por la interseccion de dos pianos, esto es, por dos ecuaciones simultaneas de primer grado: Alx+Bly+Clz+DI =0 £: { A2x+B2y+C2z+D2 = 0 n, siempre que los vectores iii = (AI' 8 1,CI ) Y ii, =(A2,B2,C2 ) noseanparalelos. /~/ £=!:P\ n~@2 Si iii es el vector normal del plano ~ll y entonces el vector director de lu recta .s::. es: n:! es el vector normal del plano U'~. a= ii, x nz. • POSICION REIATIVA ENTRE PIANOS YRECTAS I. Un plano es paralelo a una recta, 51 Y solo sl, el vector I\ORMAL del plano es ortogo nal al VECTOR DIRECTOR de la recta. 9'11£ = iiLi = ii.;;=o 2. Un plano es perpendicular a una recta, si y solo si, el vector NORMAL del plano es paralelo al VECTOR DIRECTOR de la recta. 9'1-£ = iilla = ii=t(, n £--=~---1---ii I 9' £1 to an IEjemplo 71 Hallar la ecuaci6n vectorial de la recta que pasa por el punto (2,-3,-5) yes perpendicularal plano 6x- 3y- 5z+2; 0 Solucwn: Sepidehallar £: p;po+tii , tElR t t Segun datos del problema, tenemos Po; (2,-3,-5). EI vector normal del plano 6x - 3y - 5z + 2; 0 es ii. perpendicular al plano dato, elegirnos ii ; Entonces £: p; (2,-3,-5) + t (6,-3,-5), t IEjemploal ii ; (6,-3,-5) . Como la recta £ es E lR. Hallar la ecuaci6n del plano que pasa por el punto (1,-2,1) y es x-2y+z-3;0 perpendicular a la recta { x+y-z+2;0 Solucion: Sepide hallarel plano go: ",(P-Po);O Necesitamos hallar el punto de paso Po Yel vector normal ii. • El punto de paso es Ps e Ll c-Z.J) • EI vector normal ii se obtiene de la recta dada. Como la recta dada es perpendicular j k al plano go, entonces ii ; 11 1 • -2 1 I 1;(1,2,3) -1 Luego,Iaecuaci6ndeiplanoes go:(l,2,3).«x,y,z) - (1,-2,1»;0 x+2y+3z ;0 I Ejemplo?] Hallar la ecuaci6n del plano que pasa pur la recta X ; 3t + 1 .£,: ! y;2t+3, tElR z « -r - 2 531 y es paralelo a la recta £:!. 2X- Y + Z- 3 = 0 { x+2y-z-5=0 Solution: Se pide hallar Ia ecuaci6n del plano 9' : ii. ( P - Po ) = 0 Debemos buscar el vector normal ii y el punto de paso Po. -Ii, ~y • La recta £, esta conlenido en el plano 9', entonces elegimos el punto P oO,3,-2) de £, como punto de paso del plano 9'. • Como ~ es paralelo al planu ~p y S'l esta contenido en 9'. elcgirnos eJ vector direcci6n de '~I que cs ii I -= (3.2, -1) y el vector direccion de .f-2' que es a2 = (2, -1,1) x (I, 2, -I), enronces: ii "'" al x a2 =0 } k I3 2 -I -I 3 5 (I:; :::::: i j k 2 -I 1 1 2 -I 1= H.3.5) = (13,-14,11) Iil.llIllIlI.ll La ecuaci6n del plano 9' es: 03. -14, 11).«x,y.z) - 0,3, -2» = 0 13x-I4y+ 11<+51 =0 532 EJEn~i~!oJ?·r~Q~u.mf1S.;1W(J.OO'9j, QI] Dadoelvector a~(4,-J2.z),hallarz,siendolIa/l ~ 13 @ Dado dos puntas A(3,-I,2) y B(-I,2,1), hallar las coordenadas de los vectores ~ ~ AB Y BA. ~ Hallar el punta N, con el que coincide el extrema del vector a~ (3. -1,4) , si su origen coincide con el punto M(l,2,-3). ~ Dado el modulo del vector /la/l ~ 2 y los angulos a ~ 45· , calcular la proyecci6n del vector a sobre los ejes coordenados. fJ ~ 60·, r ~ 120" , ~ Calcular los cosenos directores del vector ii = ( 133 ~ Un vector a -forrna con los ejes coordenados ox y OY los angulos a = 6<Y' • fJ ~ 120" . Calcuiar sus coordenadas, sabiendo que Iiall ~ 2. ~ Hallar las coordenadas del punta M, si su radio vector forma con los ejes coordenados angulos iguales y su modulo es igual a 3. @ Dado: Ilal\ ~ 13 , /lb/l ~ 19 Y /la+b/l ~ 14.Calcular /la-bll. 22l Los vectores a ' Ii ' :; ) y b son perpendiculares entre sf y Ila/l ~ 5 , /lbll = 12. Deterrninar /la+b/l y /la-b/l. IQ] Los vectores ay b forman un engulo II ~ 120·. Sabiendo que lIa/l ~ 3 Y IIbll~5,determinar lIa+bll y TIl lIa-bli. (,Que condiciones deben satisfacer los vectores a , ,; para que siguienres relaciones?: I) Ila+bll=lIa-bll 2) lIa+hll>lla-bll >"'"~"" { 3) IIi;+bll < Ila.-hll 5~ gj Se dan dos vectores a=(3,-2,6) y b=(-2,1,0). Determinar las proyecciones sobre los ejes coordenados de los vectores siguientes : I) DJ Ii] ii + b 4) 3) 2a _lb 2 5) 2a +3b Verificarque los vectores a=(2,-1,3) y b=(-6,3,-9) soncolineales. Deterrninar cual es el mas largo yen cuantas veces, como estan dirigidas, (en una misma direcci6n 0 en direcciones opuestas). Determinar para que valores de a y - b =ai -6j+2k ~ ~ a-b 2) f3 los vectores ;; = -it + 3] + f3 i y soncolineales. Demostrar que. si p y ij son dos vectores cualesquiera no colineales, cada VECTOR situado en su plano puede ser representado de la forma: jJ a=ap+{Jq , a,{JEIR C( l A Se lee: ., ii cs combinaci6n lmcal de Y q 0 en la base B p que ri sc dcscomponc Ii y (/ ". Demostrar que los numerus a y p se determinan univocamente por los vectorcs p y q. (existcncia de a y {J) a, :@l Dados dos vectores en descornposicion del vector TIl el plano p = (2, - 3) , (/ = (1,2), hallar ia a= (9,4) en la base p, q. En el plano se dan cuatro puntos A(l,-2), B(2,1), C(3,2) y D( -2,3). Hallar la descomposicion del vector AD + BD + CD, tornando por base los - - vectores AB y AC . ~ Se dan cuatro vectores a=(2,1,0), b =(1,-1,2), 0=(2,2,-1) y d ( 3, 7 ,- 7) . Hallar la descornposicion de cada uno de estos vectores tomando por base a los otros tres. 534 12] Dados los vectores unitarios ii, b y e que satisfacen a la condici6n a+b +e =O,calcular a.b -i .: +e.a. ~ m a, bye, que satisfacen a Ja condici6n a+ b + e= 0, y sabiendoque lIall=3, lib II = I, lie II =4 , calcular a.b+b.e +e.a. Dado tres vectores Cada par de vectores a, bye , fonnan entre sf un angulo de 6fJ', sabiendo que lIali = 4, IIbli = 2 Y II ell = 6, detenninar el modulo del vector p = a+b +e . m Sabiendo que II aII = 8, II bII = 2 detenninar para que valor de a los vectores a- b + a b y ii + b- a b son perpendiculares entre sf. TIJ i.,Que condiciones deben satisfacer los vectores ii y sea perpendicular al vector b para que el vector ii + b a- b ? ~ Demostrar que el vector ~ a y b forman un angulo 0 = t ; sabiendo que II aII = .J3 , II bII = 1, calcular el angulo a formado por los vectores P = a+ b y q= a- b . ~ Dadoslospunlos A=(-1.3,-7);B=(2,-1,5);C=(O,l.-5) p = (a.e)b -(a. b)e es perpendicular al vector a. Los vectores Calcular: I) (2AB-CB).(2BC+BA) 2) ~(AB).(AB) 3) J(:4i:).(AC) 4) ~ AB(AC.BC) Y (AB.AC)BC Se dan los vertices de un triangulo: A(~J,-2,4), B(-4,-2,0) Y C(3,-2.1). a) Calcular el angulo interno del vertice B. b) Calcular el angulo exterior del venice A. c) Calcular el area del triangulo ABC. S35 ~ EI vector X es colineal al vector ii = (6,-8,-7,5) Yforma un angulo agudo con el eje 02. flallar sus coordenadas, sabiendo que II II = 50 . x ~ Hallar el vector condici6n ~ EI x, que es colineal al vector es perpendicular x. a= 3 . vector x - - - b = I8i - 22 j -5k flallar el vector b=(1,-2,3) m los vectores y satisface la a= 3 i +2 ] + 2 i y y forma con el eje OYun angulo obtuso. flallar sus coordenadas, sabiendo que: ill a a= (2,1,-1) II xII = 14, x, si se sabe que es perpendicular a los vectores a= (2,3, -I) Y satisface Ia condici6n: Y x' (2i - ] +k) = -6. Hallar la componente del vector :i =( .,fi.- 3, - 5) sabre el eje que forma can los ejes coordenados OX y 02 los Jngulos a = 45°, r = 60" y con el eje or un angulo agudo fJ . TIl Se dan los puntas A~,3,-4) • 8(3,2.5) , C(I,-1,2) , D(2,3,-4) Caleular Camp CD ( A8) . :EJ Se da: II ~ Los vectores ii y b son perpendiculares entre Sl. Sabiendo que aII = 3, lib II = 26 Ilbll=4,caleular: Y II ii "b II = 72 Calcular a, b. Ii Ii II = 3 , a) lI(a+b)x(a-b)1I b) lI(3ii-b)x(a-2b)1I ~ Los vectores ii y b forman un engulo Calcular : lI(a+3b)x(3a-b)1I m t tr . Sabiendo que: II 0 II = I. II &II ~ 2 . Dados los vectores 0 =(3,-1,-2) Y b =(1,2,-1); hallar las coordenadas de los vectores: I) (2'; + b) x b 536 0= 2 2) (20-b)x(20+&). m Se dan los vertices de un triangulo A(I,-1,2), B(5,-6,2) y C(1,3,-1). Calcular la longitud de su altura, bajando desde el vertice B allado AC. :!:2J Se dan los vectores - a= (2,-3,1), b = (--3,1,2), e = (1,2,3). - Calcular: (axb)xe , ax(b x c}. ~ Hallar el vector xE R3 , sabiendo que es perpendicular a los vectores a=(2,-3,1) y b=(I,-2,3) y satisface a la condicion: x.(i+2j-7k)=10. =DJ Calcular el seno del angulo fonnado por los vectores a= (2, - 2, I ) Y b = (2,3,6). m :ill x EI vector es perpendicular a los vectores a=(4,-2,-3) y b=(0,1,3) y forma con el eje or un angulo obtuso. Hallar sus coordenadas, sabiendo que Ilxll =26. Los vectores a, bye son perpendiculares entre si. Sabiendo que lIall = 4, lib II =2, Ilell = 3. Calcular [ab Ii]. :8J EI vector e es perpendicular a los vectores a y i . el angulo entre a, b Sabiendo que Iiall =6, IIbll = 3, Ilell = 3. Calcular ~ es 30°. [abc]. Demostrar que los cuatro puntos A(I,2,-J), B(0,1,5), C(-1,2,1) Y D(2,1,3) estan situ ados en un plano. ~ Calcular el volumen del tetraedro cuyos vertices estan en los puntos A(2,-1, I), 8(5,5,4), C(3,2,-1) Y D(4,1,3). ~ Dado los vectores a y b pertenecientes al espacio IR', demostrar que: a. b = Ilallllb II cose, 0,; e,; n. ~ Si a y b son vectores de IR 3 , demostrarque: Ilaxbll=llallllblisene, 0,; 0,; tt. 537 ~ Dados los vectores a,b,;: E lR 3 , demostrar la siguiente propiedad : lIaxbf =lIa1l 211b1l 2 _(a.b)2 ~ Establezcalaidentidad: ax(bx;:)=(a.;:)b-(a.b);: ill (Teorema) Dos vectores a,b E lR 3 g] Usando la identidad son paralelos sf y s610 sf ax b = 6. aX(b xc)=(a.c)b-(a.b)c b = ax b = 6. Pruebese que: si aparalelo a b xc. paralelo al vector entonces ~ Demuestrese que (P2 - 105_ y el teorema: si II es aes ortogonal a b y a c , puntas Pi • P2 Y P3 son colinealcs. si y s610 si. P, ) x (P3- P, ) = 0 . ~ i,Cual es una condicion necesaria y suficiente para que los puntos PI • P: Y P3 sean colineales? ~ Sean at • PI , YI Y Uz , pz . Y2 los angulos directores de los vectores a y b. a respectivamente, si Oes eI angulo entre y b demostrar que: cosf) = casal cosa 2 + cos PI cos P2 + cosy, cosY2' ~ Demostrar que si los vectores ;; • bye satisfacen la condicion: a x b+b x c+c x ii =0. soncoplanares. ~ Sabiendo que ~ Demostrar que la condici6n necesaria y suficiente para que los tres vectores ;; , b y sean lineal mente dependientes es que esten en un mismo plano que pasa por elorigen. ~ Si [a bzI = a. (b xc) demostrar que: a.(b xc)=b.(cxa)=c. (axb). c A=(I,-2.3), 8=(3.1,2). Hallar un vector combinacion lineal de A y B y sea a su vez onogonal a 538 C B. no nulo que sea ~ - - Los vectores A y B forman entre sf un angulo de 45° y el modulo de A vale 3. - - - - Hallar el m6dulo de B para que A - B sea ortogonal a A . a=tT +s] + rk, I, = 2T -3] +5k, -c= -i + 2 j - k sean coplanares si los tres vectorestienen un origen comun, ~ Buscar t, s, r de manera que los vectores @ Sean A = (1,2) y B = (3,4) dos VECTORES de V2( IR). Hallar los veelores P - - - --- - y Q de V2 ( IR) tales que A = P + Q , siendo - -- P paralelo a B y Q ortogonal a B. @ - - - Sea A=(/,-2,3) y B=(3,1,2) dos vectores de V3(1R). Hallarun vector C de longitud 1 paralelo a 2 A - B . - Hallar el vector S de la forma x W + YU ortogonal a V y de longitud I. - - ~ Dados los vectores V=(2,-I,I), W=(l,2,-I), U=O,/,-2) de V3(1R). ~ Dados los veelores a=(x,-3y), b=(2y,-z). Hallar x+Y+z, para que 0+1,=(8,-4), iiI/b. ~ - Sean B = (~,b2 ,b3), - C =(c1 ,c2'c3), demostrarque: ix(BxC)=elB-~C. ~ Probarque: (A x B) x(Cx D) =[(Ax B). D]C -(Ax B).C]D. ~ Probarque: A x(B x C)+Bx (C x A)+C x (A x B) = O. 539 KESPUESTAS: 01 z = ±3 02 AB=(-4,3,-1); BA=(4,-3,1) 03 N=(4,1,1) 04 ii=(J2,I,-I) 05 cosa = 06 a= (1,-I,±J2) 07 M] 08 \lii-611=12./6 10 Ilii+611 =,J19 ; Ilii-611 = J49 =7 3/13 I =.l. 13 cosp = ~ =.1. =(,/3,,/3,,/3) I 6 M, 13 13 2) -K<O<K 2 , 3) K<()< 3ff j , 12/13 I = 1.1. 13 =(-,/3,-,/3,-,/3) 09 I) Ii y 6 son perpendiculares 11 cosy = 12 , Ilii+bll = 13 l" Proy, Iii = a Pray)' m=- } Pray, ,n = 12k a Y b son colineales; EI vector b se alarga en sentido opuesto porque a 14 a=4, p=-I 15 16 a=2p+3q 17 19 a= +6- F + 1- d ; continuar hallando a. b+6.(: -tc . a=o_{ 20 21 Ilpll =10 540 ~ 13 m = 2a + 3b = (0 , -I , 12) EI vector b es mas largo que el vector ii, porque a < - 18 Iia-bil ; 22 ::::0 - J; 3 es negative. AD+ BD+CD = 32AB-22AC bye. ii.b+b.c+c.a=-13 a=-3;a·=5 23 Los vectores ay b deben tener igual longitud para que la suma perpendicular a la diferencia p. a= 0 25 Probar que 26 I) -524 27 B=45°=f; A=90"=f ; area = 12.5;1 28 x=4a=-4(6,-8,-7.5)=(-24,32,30) 29 x=-;;-a= 31 I - sea a- b . 24 - a+ b a = arccos ( l ) ; 2) 3 ; 3) (-78,104,-312) ( I I ) 1."2'-'2 30 x =(-4.-6,12) x=(-3,3,3) 32 cam p,; s = J2 ( "I)-3(t)-5(t)=-3 33 Comp _ 35 lI(ii+b)x(a-b)11 36 lI(a+3b)x(3a-b)1I 2 = 300 37 (2a+b)xb =(10,2,14) ; (2a-b)x(2ii+b)=(I0,4,28). 38 IIHBII = 4 39 (iixb)xc=(-7,14,-7); ax(bxc)=(45,24,0) 40 x=(7,5,1) 41 senO=;,ffi 42 x=(-6,-24,8) 43 [iibcl=24 CD Ali = -477 34 = 24 ; a.b =±30 lI<3a-b) x (ii-2b)1I = 60 21 541 44 lab cl~27 45 Basta probar 46 A~*(18)~3113 47 ............... 59 C~a2(1,5,-4) 60 IIBII ~ 61 1 ~ 2fJI I, ; a 2,,0 fJ2 ; S ~ -3fJI +2fJ2 ee S ; r ~ 5fJI s y r dependeran de los valores de fJI YfJz. - - [abel ~ 58 0 ............ 3../2 fJ2 • Estas relaciones indican que 62 p- 25'25 - _(33 44) '. Q- _(-25"'25 8 6) 63 64 S~(O,-I,-I) 65 x+y+z~8 66 .................. 68 ........ , ......... C~±J.z (-1,-5,4) 42 EJERCICIOS PROPUESTOS: GRUPO 02 ill Sean los vectores Ii ~ (2, x ). b = ( x , - 2x) Y C ~ ( x - 2, x + I) can x > 0, dondc adernas se cumple que: (Ii ~ b) . c ~ Calcular: s @ = a.b + 1 . a- 26 + C. Sea ABeD un paralelogramo, cuyo vertice...::!- es el origen de coordenadas, sea p ~ (4.2) un punta de triseccion del lado AB cercano a B y Q ~ (7,11/2) el punto medio de CD, hallar los vertices del paralelogramo. ~ y Hallar los vertices del 8~(1,2) paralelogramo ABCD, si BC~3BQ. Q(O,H c. 0, D 542 @ y En el rombo mostrado, hallar eI venice B. B 4 F ~ X loX! De acuerdo a la figura siguiente, hallar ~ p ~a +b +c +d+e + j, en terrninos de su rn6dulo y angulo de direcci6n, si II aII ~ 10 , J b IIdll~15. Q§] c ~ t a+ s b, si el vector c es perpendicular al vector (a + b). Hallar donde a~ (3.5), b = (2,-2). fill Sean los vertices de un polfgono ABCD, donde A = (-5,2); B ~ (0,5), C = (5,3); D = (2,-4); E ~ (-3,-3) Ylos puntos M y N triseean al segmento AB; R es punto medio de BC; P y Q triseean al segmento ED. Sea: sit - -DC Calcular los escalares "r y t" si: rQM +t NR ~ Nota: El punto M est. cercano al punto A. EI punto Pest. cercano al punto E. @ Calcular: IIxIIIlYII, sabiendo que se cumple: + IIbllb~(b.c)y (a.hi [(2a -b). (a +c)]y+3ii ~ 2y-b donde: ~ a~(l,-l) Sean los veetores ; b~(2,0) ; c~(2.1) x e y. si se cumple: x=(a,3m); y~(-2m,b); x+Y=(8,-4) x~ r y • (r '" 0). Hallar "a + b" 543 ETI Del triangulo equildtero ABC, el punto Q es punto medio de AB, y los puntos M y N trisecan a Be. Calcular: i) -- B QM+MN M ill Q ii) IIAB-QNII iii) (CB+BA).MQ -- A N l"_,,,~_ 12'~ ,,,,,1 C Los vertices de un parale/ogramo son: 0 = (0,0) ; A = (8,0) : B = (m.n) ; C = (3,4). Hallar el vertice B, en las Ires posibilidades que tiene y ademas, calcular el area de dicho triangulo que se forma con estas tres soluciones. Nota: Resolver e) problema en forma vectorial. m CaJcular el vector ;. sabiendo que se cumple: [(a . p);l. -aJ" + 2a =[( a_ 3bl. ) . cl.jal. -b donde: III a= (1,-1) Sean los vectores a, bye difcrentes del vector nulo, tales que: a= ( r , s) m;t :8J ; b = (2,0) ; c = (-3,-2) 0 , 1I;t ; b = (JIll + r .nb + s ) ; c = ( - mb + r ,ma + s ) , siendo O. Hall" e1 angulo que forman los vectores (b - a) y (c - ii) . Hallar el angulo formado par los vectores a y c; 51: b=(6,6,[3) ; Proy"b=(-3,3,[3) ; a.b=Z,[3 : c=(2,-2,[3). " Nota: Los vectores ii y m Hallar ;; si secumple: (a .bl.)c donde: ~ a=(Z,3) ; Si Proy,; a= (2,3) Hallar los vectores 544 b forman un angulo agudo. = !O;l. -5;. b=(I,-1) ; c=(O,Z) Y Proy , b ii y b. = (1,2) !21 Hallarelvector a, si a1. llb ; ~ Calcular el vector i, sabiendo que se cumple: [(a +ih, b1. ji1. lIa+a1.11 =.JW ; donde b=(l,-3) - a1. + 2a = [(a -3P), c1. ji1. + b donde: a=(2,-I) ; b=(I,I) ; c=(O,-I) !21 Hallar i;sisecumple: (a_p)1.+i1.=(b1.. c1.)i donde: ~ a= (2,3) ; b = (1,-1) ; c = (0,2) Sean los vectores unitarios ii = (2b - 3,b - 2) Y ;; = (a - 4,3 - a) Calcular: lI(a - b)2 ii - b;; + ab(ii + ;;)11 Nota: a, b m E Z+ De la siguiente figura: Hallar c v d ; si: Iia +bll = 7, d Ilell = 3 ; Ildll = 5 ~ y En el siguiente paralelogramo OABC 1l0A11 = 5 , Iloq = 15 Si el vector: x es paralelo al vector DB y es paralelo al vector i + m y = (1,\) Calcular i, Dados los vectores .. , ~ x OA Y ; a = 37° a= (k + 2,2k) Y b =(- 3,k + 1). Determinar los valores de "lc" de modo que Pray hll. Y b se encuentren en direcciones opuestas. ~ a=(2,2111-3) y b = (l-III,-5l,determinar los valores de "III" de modo que a sea paralelo a h . a) Si: b) Dado el vector ii:::: (- 3,4). Encontrar otro vector b , tal que sea perpendicular at vector a y que su modulo sea 10. 646 ~ En el paralelograrno: - = 3AF - Datos: AD ED=5BE Hallar: "m" y un" si: A l~/ F D EF =mAD+nAB ~ Sean los vectores tal que ~ m \lall = ,f3/4 Y Ilb\l = 2 . Hallar: 1I(2a + 3h) x (2a - 5h)1I Calcular la distancia, que existe, del punto P(3,-3.3) a la recta que pasa por los puntos A = 0,2,0) y B = (4.3,2). EI vector 15 es perpendicular a los vectores es igual a 30"; ~ a y h que pertenecen aIR' , que forman un angulo de 120"; lal = 6. Ihl =3, lei =3. Sabiendo que los vectores: a y h; el angulo formado por ii y b Calcular ii . (h x e). ii=2; -3c]-k +Z;) b=(-I.O,2) 15=3; -]+k Calcular: (axh)x(axe)x(hxe) ~ Sean los vectores: a= ZI - 3(] + k) - 7 b =(-1.1,2) e=;+4{]-k-I)+Z] Calcular: [(a x b) x (b x e)]. (a x e) Nota: i , j , k son vectores unitarios canonicos, ill 546 Hallar la distancia del punta P = ( I .2, 1) a la recta que pasa par los puntos: A=(3.2,O) y B=(2,3.1). El De la siguiente figura, calcular: s (2a).b+(3b).e-ii.e Si: ~ liil = 2 ; II,I = 3 Sean los vectores ii y ; b lei = 4 I, e tales que: (,=(6,6.,/3) , PrOYa i b = (- 3,M ) , Comp. ii > O y ii.b=IZ,[j Hallar el vector ii , EI - Sea ABC un tnangulo, si M = (1,9) YN ~ (6,2) son los puntos medios de los lados - - AB Y BC, respectivamente. EI vector AB es paralelo al vector (1,1). y Proy- AB = ~5 (3,-1) . Hallar los vertices del triangulo. AN ~ Sea el cuadrilatero ABCDen donde: Proy- AD AC = (Z,2) Proy-(Proy- AD) = (3,-1) ; BC = (-5,7) AD AC Sabiendo que el area del cuadrilatero es Z8u' y que M ~ (17/2,-1), es punto medio de AB . Hallar los vertices A, B, C YD. §] En el trapecio isosceles ABCD. M es punta medio de CD. A t?2s I ADI =9 IProy-ABI = 3 AD D Calcular: Comp- (AM + 3AC) AD 547 EJERCIC;:IOS PROPUESTOS: GRU"QQ3 @ Encuentre la ecuaci6n del plano que contiene al punto (-1,-2,3) y que es perpendicular a los planas Jr,: x - 3y + 2z : 7 y Jr2: 2x - 2y - z : -3 @ Encuentre la ecuacion del plano que pasa por (6,2,-1) yes perpendicular a los planes Jr, : 4x - 3y + Zz + 5 : 0 y Jr2 : 3x + 2y - z + II : 0 @ Encuentra la ceuaci6n del plano que contiene a las rectas paralelas: L,: Q±t @ X : - 2 + 21 y:I+41 { z:2-1 L2 : {X:2-2t y:3-41 z:l+I Encuentra Ia ecuaci6ndel planoque contiene a la recta: L: y al punta (1,-1,5) { X : I + 21 y:-1+31 z =4+1 Halle las ecuaciones de la recta que pasa par el punta A(-1,2,-3), es perpendicular al vector ;; : (6, - 2, - 3) e interseca a la recta: L: p: (1,-1,3) + 1(3,2,-5),1 E lR Rpta.: L': p: (-1,2,-3) + r\2,-3,6) , r E lR Q§! Halle la ccuacion del plano que pasa par el punta A(2,-3,-4) e interseca a los ejes coordenudos en segmentos de igual magnitud y diferentes de cero (se asume que cada sepnnnto parte del origen de coordenadas). Rpta.: x + y + Z + 5 : 0 @ · I d" "I L ; { 32x+3v-z+a:0 Determme que va or e a a recta 2' 2 6 - 0 corta al eje X. x- Y+ z- - Rpta.: a:-4 @ . { 3x-2y+z+3:0 iPara que valor de A la recta L: es paralela 01 plano 4x - 3 y + 4z + I : 0 P:2x-y+AZ-2:0? RP1a..._?_ @ "Para que valores de a y b, la recta L: p; (2,-1,5) + l(a.4.-3) perpendicular al plano: P: 3x - 2y + b: + I ; O? ill ill 1 E IR es Determine el valar de k para que los dos planas: P,: kx - 2y - 2z - 7 : 0 . PI: 4x + ky - 6..-: + 9 ;; 0 sean perpendiculares entre sf. Rpta.: k Determine la ecuaci6n de la recta que intercepta a las rectas: L, : p; (1,-1,1) + 1(1.0,-1) 1 E lR , L 2 : Q; (1,0,0) + ,,(-1,1,1) S E = 6 lR, en los puntas A Y B, respectivamente. de tal manera que la Iongitud del segmenro AB sea minima. 548 / CAPITULO 11 COORDENADAS POLARES B. SISnMI DE COOBDENADIS POlARES 18 En el sistemade coordenadas polares, las coordenadas de un punto P de "/R 2 consisten de una distancia r = IOPI y la medida de un angulo 8 respecto a un punto fijo 0 y a una semirecta horizontal ox. Tenemos: I) EI punto fijo 0 se llama POW y (0,8) V 8, son las ,9f.Y' coordenadas del polo. G. p(rIJ) l>LL:=' ;ji ( 3) r = IOPI : es la distancia no dirigida desde el polo hasta el punto P. : 9 o EJE POlAR 2) OX es el EJE POLAR. X Ll'OlD 4) 8, medida en radianes, es el angulo dirigido XOP. Es posiri va cuando se mide en sentido antihorario y es negativa cuando se mideen sentido horario. 0,; 8,; 2".. 5) (r,8) son las coordenadas polares del punto P. 2. 1I10SErI"1II. La. rosetapolar es un conjunto de circunferencias concentricas de centroen el POW y rectas concurrentes que pasan por el polo formado por los radios vectores. Cada circunferencia coecentrica tiene radio de longitud rmiltiplo entero de radio mas pequeno tornado comounidad. 549 • .1" .1" 6 "I I f -= ~ II I 0" lln L" • 6 .i" 3 1." 2 IEJEMPLO 01 I Otras coordenadas polares del punto A (3 • a) EI punto A(3·f) B(-4·f) C(4·-t) D(-3·-t) .1" 2 1." 3 f) A, son: se determina dibujando primero el angulo medida en radiante es (3.!} )=(3.f-2Jr )=(3.-tJr) e cuya sentido~ 1-. que tiene su horario venice en el polo 0 y su lado inicial a 10 largo del FJE POLAR. 3 A(3.t Jf] 2 t" 3·A3.t] ( o .. , ." -7 ( n 4 X j :X (3·t)=(3.!}+2Jr)=(3. 9; Luego, el punto A se encuentra en el lado terminal a una distancia de 3 unidades del POLO. Ha dado una vuelta J ) EI angulo 0 = {- ha dado una vuella. Luego, sobre el lado terminal dol angolo 0 '-A(3,~) =- t se mide 5 unidades a partir del polo. 2 d) EI punto D{-5.-t) se determina dibujando primero el angulo 0 = ...r " ~ I en sentido horario: n(-s, En general: B( -4.f) ~) 5~'~".... 3'·}-, (3,1")=(3'1"+2/r); n E Z b) EI punto -t I . se determina dibujando primero el angulo 0 =f • •~~.~ ~, 'r-'- - - - . l y en senado antihorario. -<'<-"~ Luego, sobre la prclongacion opuesta del lado terminal del angulo 0 = ~. .• -t se cuenta 5 unidades de longimdxa partir del polo . ~ Luego, sobre la PROWNGACION OPUESTA del lado terminal del angulo f se mide 4 unidades a partir del polo. c) EI punto C(5,-t) se determina = -t 0, X dibujando primero el angulc 0 en sentido horario. ',' -~) • • c[s • a) A cada par de numeros reales (r,O) le corresponde un unico punto P del plano, pew a cada punto P del plano Ie corresponden infinitos pares (r.O). b) (r,O) es un punlo que se encuentra a una distancia lrl del polo y sobre el rayo 0,.; r>O. c) (r,O) es un punlo que se encuentra a una distancia Irl del polo y sobre el rayo 0+ n; si r < O. d) Las coordenadas polares del polo son (0,0), V 0. e) En general: (r ,0)" «-I)" r ,O+mr), V n E Z. 3 551 3. REIAClON ENTRE COORDEIIIIIAS POWES YRECTANIDIARES. Proposicicn 2 Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden. respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema de coordenadas cartesianas, se obtienen las siguientes relaciones trigonornetricas: y (r{r x= rcosB p(x,y) { y = rsenB x2 + y2 = ,2 !Y tgB = 1. x \V 11 I ! 11' POLgl EJEPOt.AR (EJU) Demostraci6n: Sea (x,y) las coordenadas cartesianas rectangulares de un punta P. de 1R2 (origcn) Sea (r,B) las coordeoadas polares de P. Consideremos dos casos: CAse 1 y Si r> 0, entonces el punto P se encuentra en ellado terminal del angulo B. En este caso se tiene: r = cosf) = _x_ =.3.. => x 10PI senB r = I;PI = ~ => y = p IOPI y. rcosO x = rsenB '1_) x CAse 2 Si r < 0, entonces el punta P se encuentra en la prolongaci6n opuesta dellato terminal del lingulo B. En este caso se tiene: r = -lOP I Entonces, si Q es el punta (-x,-y), tenemos: cosO = I~~I = I~;I = =~ ~ -y -y .."! Y y -y y = 10QI = 10PI =-::;: = 7 ASI obtenemos: y = r sen B. 552 y x =-; Asf obtenemos: x = r cos (J Ademas: senB Q(-x,-y) ···.P(r.9) (x,y) Para ambos casos se cumplen: X "'. = rcos(J ,;. + l = ; cos' 0+; sen'·O = ; (cos' 0+ sen' 0) b) a) { "\-'\"", y = rcosO 1"--'-,;.-+ l""'-=---=-;I c) L = rsen8 = senB = tgO x rcos8 cos8 If=tgOI OBSERVACI0N.- y I'(r,8) ~";'-=7" ;' . . .,( Jf2 ~'-! --_.__ • % r Las coordenadas polares (r,O) de un punlo P se miran rrulialmente, esto es, se "pone el ojo" en el polo y desde aqui se mira al punto P siguiendo la direcci6n de las flechas. Para llegar al punto P se mueve el RA YO - que coincide con OX, en sentido antihorario, hasta coincidir con eJ rayo OP. Para Ilegar al punto Q, se sigue moviendo e1 rayo OP en sentido antihorario hasta coincidir con el rayo OQ, asi obtenemos las coordenadas polares (Ii ,01 ) del punto Q. En cambio, las coordenadas cartesianas (x.y) del punto P se proyectan ortogonalmente sobre el EJE X Y sobre el EJE Y, respectivamcnte, Vale decir, que las coordenadas cartesianas (x,y) de P se miran horizontal y t·,rtiealr.lente. t 553 Ejemplo.: Usar las ecuaciones: I. Encontrar las coordenadas cartesianas de cada uno de los siguientes puntos dados en coordenadas polares: (3,tr) b) (J2,-ttr) c) (-4,ftr) d) (-2,-ttr) a) (-2,ftr) e) x = rcosO x=-2cos(-tJr) Y=-2sen(-t x) (-I,-itr) f) x;rcosO y;rsenO x;3costr y;3sentr x ; 3(-1) y ; 3(0) ; -3 y; Por 10 tanto, el punto es (-3,0) ° dada. 1) -4 cos SoluciOn: X ; { .. y = rsene (t" ) rcosO y= rsenO Obtenemos: ; -4sen(f;r) ? cos' O+? sen' -4[-cos(;r-f;r)] = -4sen(tr-t 1t ) =-4sen(t) ;4cos(f) ~ 4(t} = -4( Jf) / = =2 x'+y';a' Usando Usar las ecuaciones: = y= 2 encontrar una ecuaci6n polar de la grafica cuya ecuaci6n cartesiana esta (-4,ftr) rcosO x; 0 II. En los ejercicios desde I) hasta 10). Usaf las ecuaciones: x= y= EI resto es identico. (3,tr) c) 2sen( tJr) x = -2cos(!n-) EI punto es (0,2). Solllci6n: a) y = rsenD (C05 , 2 () ; . B+ serr' 0) . y a' = a2 r2 = a 2 Ir;al°';()';2;r1 Ecuacion polar de la ctrcunferencia de radio a y rell/ro ell (0,0). = -2.[3 I 1"" \ I x Por tanto, el punto es (2, - 2.J3 ) d) (-2,-ttr) 554 Muy usuales son las siguientes circunferencias. La ecuaci6n polar de la circunf~r&Dl:ia, 2) La circunferencia: x'+/-2ax = 0 x2-2ax+a2 + l = (x - a)' + / a2 x'+/-2ay = 0 r - 2a, sen 0 = 0 r(,- 2a sen OJ = 0 es: = a' de centro en (a,O) y radio a es: ,-ZasenO =0 !l: r=2asenO z OS:OS:" nr C7! ~_n" I x 4) La ecuaci6n polar de: x'+/-2<uy = 0 es: rcoslO + rsen)O - 2a(rcosO) (rsenB) = 0 ~ -1" r(coslO+ senlO) - 2arsenOcos8 = 0 r [r(coslO+ senlO) - 2asen8cos8] La ecuacion polar de 2 X + v2 '------y---"-' es: _ 2ax r'-2arcosO r(,- 2a cos OJ ,-Zacoso => I => r =2acosO -1-::;;O::;;f =0 =0 =0 =0 0 2asenOcosO cos30 + sen3 0 r 5) La ecuaci6n polar de: (x' + /)' = 4(x' - /), es: (,')' = 4(,.' cos'O- ,.' sen'O) ,4 = 4,.' (cos'O- sen'O) I I,' 3) La circunferencia: x'+/-Zay = 0 2 + l - 2 a y + a2 = 4 cos 20 r = a2 '(Y ) ' =a , x+ -a x = r(cos30+ sen30) - 2a sen8cos8 = 0 I 2.Jcos20 '= donde: cos(20) de centro en (O,«) y radio' = a es: ~ 0 Como el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, el arco 20 . "Y"'2' van a entre -"2 " "2 esto es: -1"::;;20::;;1- lr ........ r':/"J 0 l-fS:OS:fl 555 P0rque 005(219) es sim6trico respecto al polo. hacemo5: -t'/"Il" S,19 S f+" Ik<0<5~1 4 - 4 3n I< "4 T -2 la recta 2 s: -~ y~3 8 COI\ICLUSION: La ecuaci6n polar de x'+y'-2axy=0 y=3 ? =4 cos20 es: _.!!..<{}<.!!.. 4--4 V 3Jf ,senO = 3 <B<51r 4--4 r= 6) La ecuaci6n polar de: l ? sen'O ? (I - cos'O) ? - ? cos'O = 4(x + I), es: = 4(, cosO+ I) = 4, cosO+ 4 = 4, cosO+ 4 " = ? co"O+ 4, co,O+ 4 ? = (r cosO+ 2)' Cualquier recta horizontal similar ecuaci6n polar. 0<0 __ 2_ I-cosO <2" tiene 8) La ecuaci6n polar de la recta vertical x=4, y P(x,)') r(l - cosO) = 2 , 3 senD 0<0<" , = ,cosO+2 556 de 7) La ecuaci6n polar horizontal: y = 3 , '8, b) La x=4 rcos/J = 4 r= coso -' rsen/J = -f<8<1' y=x c) y=..{jx de la recta "! rcos/J tg/J= J3 3 9) Son muy usuales las ecuaciones polares de las rectas que pasan por el origen de coordenadas, tales como: a) polar ecuacion _ J3 . Y-"'""3x • es. /J = arct g( I/J=t I y="!x b) "!) y y= 1%-.. Sol.cwn: a) La ecuacion polar de la recta y = x. r senD = r cosO es: rsenO rcosO \C Of X 1 c) La ecuacion polar de la recta tg/J = 1 y =..{j xes: I/J = f I r sen /J = ..{j r cos /J y tg/J = ..{j 'X=Y,xo:::O /J = arctg (..{j ) IC!' I/J=f I x y y=-I3. , O=~ ( ,I) +1-'" +' <- ~ x IO)Arcos de circunferencia limitado por rectas que pasan por el origen de coordenadas. 557 a) y 0=3>< , 4 y=t~.", 4. ECUACIONES POUBES IE lIS CoNICAS. .....-+--J' (PARABoLA, ELIPSE, HIPERBOW ~Sean: -", V'0'\ ., '" 'I OX : elI\JEPOIAR F : loco de I. conica (coincide con ell'OLO) £ : directriz de Iaconica p : distanciadel foro F • Iadirectriz£. £ La ecuaci6n polar del arco AB, es: Q~ I r=3 f~O~lf I ; • t ,. b) (J{~J ._EJEPO!AR '2 !.o n.1"""'-U'( --'C>'+y'-4x=O Sea e = :~~: I. excenlricidad de una conica cuyo foco coincida con el polo. La ecuaci6n polar del arco OA, es: Ir=4COSO.O:SIf:Sfl c) A) Si el EJE FOCAL de la cOnica coincide can el EJE POLAR, enlonces la ecuacion polar de la conica es: .y r ,.. ~i f.. . . . ln \ La ecuaci6D polar del area AO. es: Ir=~cosO . If:sO:slf] 55B X X rp l±ecosO • Si elegimos el signn +. la direclriz esta • la derecha del polo. • Si elegimos el signn -. la direclriz esta a al izquierda del polo. B) Si el EJE POLAR coincide con ele EJE a 90". la ecuaci6n de la c6niea es de la forma: r ep l±esenB i£ ~£ Como en esta ecuaci6n polar aparece senU, se trata de una conica euyo EJE POLARcoincide con el EJE a 9<1'. CONCLUSIONES: • • Si elegimos el signa +, la directriz esta arriba del polo. Si elegimos el signo -, la directriz esta debajo del polo. En ambos casos: • Si e::; 1 , la conica es una parabola. • Si e < 1 • la cornea es una elipse. • Si e > 1 , la cornea es una hiperbola, a) Si e~ -t es MAYOR que I, entonces la conica es una hiperbola, b) Como el coeficiente de senB es NEGATIVO y P = 2. entonces la directriz esta debajo del polo a una distancia de p = 2 unidades. c) EI polo coincide con el foco de la conica. 51a EJEMPLOS ~ I) Dado la ecuaci6n polar: r I~ 6 2- 3senO a) i, Que conica es? umc:CTRIZ b) Grafique la conica 2) La ecuaci6n polar r = 1-~8 es una SoIMeron: La ecuaci6n polar dada es una conica, que para identificarla, debemos expresar el denominador en la forma: l-esenB Esto se logra, tan .010 dividiendo parabola, porque e = I. EI eje focal coincide con el EJE POLAR. 3) La ecuaci6n polar r 4/3 y l-t cosO Se tiene e = 3=ep 3=-tp 12 = t. por ser menor que I, afirmamos que se trata de una elipse. En esta ecuaci6n tenemos: le=-tl r=-- 3 l-t senO 2~B' que al dividir numerador y denominador entre 3, obtenemos: numerador y denominador entre 2: r 3 pi 4) Encontrar una ecuaci6n cartesiana de la grafica cuya ecuaci6n es: 6 r - 2-3sen9 569 Soluci6n: 2r - 3r senB = 6 Hacer: 2r- 3y = 6 2r = 3y + 6 (2r)' = (3y + 6)' 4r' = 9/ + 36y + 36 4(.<' + /) = 9/ + 36y + 36 4x' - 5/ - 36y - 36 =0 (hiperbola) 5. DISCUSIOI DE lA GRAnc. DE UI. ECUICIOI POlAR. Para trazar la grafica de la ecuaci6n polar F(r,l}) = 0, se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- INTERSECClONES. a) Con el eje polar: i) Hacer I}= 0, para hallar valores reales de r en el eje polar il) Hacer = st , para hallar valores reales de r e En general, hacer e= nn , n E Z. f. i) Hacer e = f ' para hallar r. ill Hacer e = - f ' para hallar r. En general hacer e = f + ns: , n E Z b) Con ele eje c) Con el polo. Hacer r = 0, para hallar valores de pasa por el polo. 560 I}. Si existe algun etal que r = 0, entonces la curva 2.- SIMETRlAS 1[ a) CON RESPECTO AL EJE POLAR. (-r.~+1f) p(rp) 2 .) Reemplazar (r,B) por (r,-B) Si la ecuaci6n no varia, es simetrica Si la ecuaci6n varia, no es simetnca, IJEI'lI.IR -% i.) Reemplazar (r,B) por (-r,rr- B) Si la ecuaci6n no varia, es simetrica Si la ecuaci6n no varia. no es simetrica . (-r.,8+ x) En general se reemplaza: (r,B) por «-1)" r , -B+ nrr), n E Z. b) CON RESPECTO AL EJE t (r... - (.,--8) l'i 8) <, .) Reemplazar (r,B) por (r,rr- B) Si la ecuaci6n no varia, es simetrica Si 13 ecuacion varia. no es simetrica. P(rP) ,.-8 K i.) Reemplazar (r,B) por (-r,B) Si la ecuaci6n no varia, es simetrica Si la ecuaci6n varia, no es simetrica. 0" ;!o' 2 En general reemplazar: (r,B) por (-{-I)" r, -B + nn), n E Z c) CON RESPECTO AL POW. e£rp) .) Reemplazar (r,B) por (r,B + rr) Si la ecuaci6n no varia. es simetrica, Si la ecuaci6n varia. no es simetnca, ! :""c WI 0- i.) Reemplazar (r.B) por (-r.B). Si 13 ecuaci6n no varia. es simetrica, Si la ecuaci6n varia, no es simetrica, (rp + x) En general, reemplazar, (r,B) por (-(-1)" r. B+ nn ) ,n E Z. 3.- EXTENSION Despejar r en terminos de B(r = f(B» y analizar I. variacion de r y (J. a) Si r es finito 'I B, I. curva es cerrada. b) Si r es infinito para ciertos valore de entonccs la curva es abierta. e Ie1 4.- TABULACI6N Dar algunos valores de 0 para obtener r. 5.- TRAZADO DE LA GRAFICA Dibujar la rosela polar y en ella loealizar los puntos labulados y trazar la curva. LO Ql1E liSTED DEBE SABER sen(-O) cos(-O) sen(1f- 0) cos(1f- 0) sen(1f + 0) cos(1f+ 0) cos(nn) = -sen(O) = cosO = sen(O) = --<:os(O) = -sen(O) = --<:os(O) = (-I)" SOLUCION GENERAL TRIGONOMETRICA DE UNA ECUACION 0, =k1f+ (_1)'0 para seno y cosecante 0, = 2ktr± 0 para cosenoy secante para tangente y cotangente 0, = k1f+ 0 donde 0= angulo principal, k E Z • sen( a) y cos( a) son acotadas, esto es: -1" sen(a)" 1 -I" cos(a)" I • EI perfodo del seno y coseno es T = 21f EI perfodo de sen(nO) se halla asi: hacer sen[n(O+ Dl = sen[nO+ nIl como el periodo del sene es 2Jr, hacer nT = 21f =:- T = 28 " Ecuaciones trigonometricas: sen(x) = 0 =:- x = kn , k E Z Entonces eI perfodo de sen(nO) es T = 28 cos(x)=O=:- x=f+k1f ,k E Z • IEJEMPLO 01 I graficar y r=a sen(40),a > 0 Discutir " EI pertodo de cos(nO) es T = Si O=-!£=:-r=O 2 la ecuaci6n (o.-if)· 2.c • ' " pasa por (O,f)Y (O,-f)esel POW, Sol""wn: 1.- INTERSECCIONES a) CONEL EJE POLAR: Si 0 = 0 =:- r = O. pasa por (0.0") Si 0 = 1f =:- r = O. pasa por (0.1f) (0.0") y (O,1f) es el POW. c) CONEL POLO. Si r=O =:- asen(40)=0. a;<O =:=:=:- b) CONELEJE f Si O=f=:-r=O 'pasapor (O.f) 562 sen(40) =0 40 =ktr [0= \8 I kEZI Hallemos soluciones con [O,2nj: Si k=O ~ {}=O Si k= I ~ ()=!!. 4 Si k=2 mullipliar pora : 3; ~ Si k=7 ~ 7; {}= ~ Bastara tabular para ] [ 4,Jr· [ 0 E [O,f]. petalo de la rosa. El resto de p6IaIm es identico y se graficacin en los La gnifica de la ecuaci6n polar r = a sen(4{}) es una ROSA de 8 hojas. inlaYalos: ~ Asf obtendremos la grafica de un Los rayos que se acaban de hallar sirven para graficar. ROSA . sen(48) , . , . ' l-a~"'''al 4.- TABULACION: (}=2tr Cada hoja de la ~a r {}= 54" 3; "sea(~)~l:~;l Este resulIado nos iodica que la curv. es cerrada y esta "encerrado" denIrQ de la circunferencia + y2 = a I . {}=tr Sit = 6 ~ {} = 3K -a 2 Si k=5 ~ Si k=8 como: -I ~ {}=!!. Si k = 3 ~ () = Si k=4 3.- EXTENSION: se grafica en los intervalos: [t.t]. [f. ~] ...:.... [7: .2tr ]; respectivamente. [O,f]· [f·f]· [V;]· 5"] [5,. 3,.] [3,. 7"] 4 · 4 ' 2 ' T'4' 0 0 .s: s: r= sen(40) 0 ,fi I 1C· [7:,1x] BastaO, graficar la hoja definida en 16 8 2 3..- 4 II. 4 ,fi 0 T .. [O.f]. el resto de hojas es similar. 2: 3.. T 2.- PERfoooDE r = a sen(40) Haa:r. r = a sen [4(0+ T)] = a sen [40+ 4T] .. =::-..) como el periodo del seno es 21<; bacemos: 4T = 2tr IT=f I ~: .- 0",2>< 1IJ 4 ,3.. ., ~"""""""""""""""""""""~ ~ ~ ii) ~ , GeneralizaciOn: , ,~ Las graficas de las ecuaciones polares: ,~ ~ i) r=a_cos(nO),ner ,~~ ~ i,) ,=a.sen(1I0).n E Z' , ~ 3;. entonces Pasa por (0, 3; ) Hacer 0 = r = O. ~ ~ , vari petaIos. ,~ son rosas dee vanos ~ EI ndmero de ,~~ depende de Un". ~ i. ,, ~ :' , ~ i, Ejemplos: ,! r = cos(30) • es una rosa de 3 petalos ,~ r = cos(20), es una rosa de 4 petalos ~ r = sen(50) • es una rosa de 5 petalos , ~ [ijEMPLO ,i ~ , I, !, ~ • • • Si k = O. obtenemos: 0=0 Si k = 1, obtenemos: O=~ Si k = 3, obtenemos: 0= 3" • Si k = 4, obtenemos: 0=211: (-r'J' = r' = , sen(2/J) sen(20) 3.- EXTENSION. 1.- J1\ITERSECCIONES a) Con el eje polar i) Hacer 0 = 0, entonces r = O. Pasa por (0,0) ii) Hacer 0 = fC. entonces r = O. Pasa por (O.n). (0.0) y (O,fC) es el polo. a) i.Que valores reales toma /J si r es real? Veamos: De => 0 = 1-. entonces r = O. Pasa por (0,1-). ,2=sen(2/J) r = ±Jsen(20) debe ser: sen(20) 2: 0 = b) Con eje 90" Hacer 2 Hay simetria respecto al POW, pues al cambiar (,./J) por (-,,0) la ecuaci6n no varfa: Discutir y graficar la ecuaci6n polar: ,2.- sen ( 2 0 ) i) 2 2.- SIMETRiAS. 021 Solucwn: tEZ Hallemos soluciones en [O,2nj: : r = sen(80) • es una rosa de 16 petalos ~""""'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''',( , => 10=¥1 J i ! ~ sen(20)=0=>20=k1C ,, petalos de la rosa! Si Un" es irnpar, tiene Un" petalos Si un" es par. tiene ''2n'' petalos, donde n 2: 2. ,! i. c) Con el polo Hacer r = 0, para resolver la ecuaciOo trigonometrica: = O~2/J~fC 10~/J~1-1 v v 2fC~20~3" 111" ~lJ ~lfl b) Variaci6n de r. Si ,.. . -I" sen(20)" . 1 \ = = = = El grafico es: 2 -1",2"1 -I" ,2 lR A A ~ ,:z" 1 -I" ,,,1 ,,--..,'------:: -1",,,1 L maximovalor indica. el de res Nos ~ 0 que 1y el minimo valor es -I. Ademas, la curva es cerrada, porque r esta acotada por -I y I. La curva esta encerrada dentro de una circunferencia de radio I. ~ Generallzad6n: LA LEMNISCATA. Las formas generales de estas Clll\'a5 son: 4.- TABULACION. Tabulemos para 0 E [0, t] y para a) OE[O,t]U[n:,t] OE[".3;] Oe[O'1-] r~~sen(20) OE[0,3;] ,=~sen(20) ,:z = a2 sen(20) ° ° !!.. 6 !!.. 4 "3 K !!.. 2 0.93 I 0.93 0 " o 7K 4K 6 4 T 0.93 1 0.93 " 'r--. ,:z = -a 2 sen(20) c) ;:[~~0~2]~[3K k] ~ ~ k 2 0 " b) 4'4 d) 4'4 ,:z = _a2 cos(20) I EJEMPLO 03 -, \ .... - : -- SK ~ ~ ... .....: ', ~ ~ 1 Discutir y graficar r = 2-cos( 48) S65 1.- INTERCEPI'OS. 4.- TABULACI6N a) Con eje polar. Si 0 = fJ' ~ r = I. pasa por (l.fJ') Si 0= If ~ r= I. pasa por (I.If) 8 I 0" I 15' 130" 145' 160' 17S' 190" ,=2-<05481 1\1.51 2.51312.51 1.51 1 III' b) Coneje t Si O=t ~ r=l.pasapor (1.1.) Si O=-t~r=l.pasapor (I.-t) ~II' c) Con el polo. Si r = O. se obtiene 0 = 2 - cos(4t1) cos(40) = 2 IEJEMPLO 041 es absurdo porque e1-.J maximo valor de COSCDO es 1. Otras graficas similares al ejemplo 3; son: Entonces, la curva no pasa por el origen, 2.- slMETRiAs La curva es simetrica respecto al eje polar. respecto al eje 90" y respecto al polo. a) r = 3 + eos(40) , ~ R' 1 r 0 3.- EXTENSI6N EI recorrido de "r" se obtiene a partir de: -I " cos(40) s I Por -I: 1 ~ --<:os(40) ~ -I Sumar 2: 3 ~ 2-cos(40) ~ 1 . 3 . ~ r~ 2 b) r=a(3-cos60) 90' ' 1 Este resultado y las simetrias nos indican que el grafico esta eontenido en una regi6n en forma de ARO en el eual el maximo valor de , es 3 y el minima valor de res I. Bastara tabular para Oe[O.t]. el resto del grafico se obtiene por la simetrfa existente. 566 ,~ 30' IEJEMPLO 051 (La Cardiode) La cardiode es una curva cerrada, cuyas ecuaciones pueden presentarse en una de las siguientes formas: -e- -Et r = 0(1 - cos8) r = 0( 1 +'CosII) Si k=O=> 0= 2" 3 Si k = 1 => 0 = 27f_ 2" = 4" 3 IEJEMPLO oal 3 (Caracoles) La ecuaci6ngeneral de los caracoles tiene la forma: I) r=a±bcos(O),a>O,b>O -cD- -CP- r = 0(1 + senD) r = 0(1 - senD) IEJEMPLO 061 Hallar los puntas donde se interceplan las cardiodes: r = 1 + cos II. r = 1 - sen II. Solucion: Al igual, obtenemos: 1 + cosO = 1 - senO sen8+ cosB sen II :>: 0 Jz +cosO"* = 0 Si k=2 a) r = I - 2eosO b)r=I-2senO B--ctJ IEJEMPLO 091 => 0+7f/4 = ks: => => Algunas ecuaciones particulares son: son caracoles con lazo interno. sen(O+l}) = 0 Si k = 1 2) r=a±bsen(O),a>O,b>O O=k7f-l},kEZ Hallar los puntas donde se intersectan: r= 2 - 3 cosO, r= 2. o = 37f/4 SO/Ilew,,: II = 77f/4 Racer: 2 - 3 cosO = 2 IEJEMPLO 07 I cosO = 0 Hallar los puntos de interseccion de r= -6 cosO, r = 2 - 2cosO. => 0 = -r+k7f,keZ Sotueio»: Hacer -6 cosO = 2 - 2 cosO 0= 2+4eosll cosO = -1 0= 2k7f± si k=O => 0 = O=!!.2 si k =1 => 0 = O=J!!. 2 2; 667 ~':iJ i i IJ :::t~l$i~1!:1".[':1' . 01. r=2 22. r=2+3senO 02. r=5 23. r=3-4cos8 03. O=t 24 r=3-2cosO 04. 0=1f 25. r=2+senO 26. r=2.cos30 05. r= sec 0 27. r=3.cosO 06 r=4senO 21. r= 2(1- sen 0) IY'I. r=3+2.eosO 29. r=l+cosO 08. r=senO 30. r=4+Seos 0 O!I. r=2secO 31. r = 2(1 - 2 sen 0) 10. r= 4(2 - sen 0) 32. r=5-4senO 11. r=3.eosO 33. r=4+3cos 0 12. r=3.eosec 0 34. r=-senS 0 13. r=2+oosO 35. r= 3 cosec 8 14. r= 1 +2cos 0 36. r=2.soo 0 15. r= 2(I-cos 0) 37. r=3.cos20 16. r=2.oos30 38. r=3sen3t:1 17. r=3.cos20 39. r ;:: sen 8 -- zcos t9 40. r- _ _6 l 18. ?=9.sen20 19. r=2-oosecO 20. r= 3(1-cos 0) 41. ? = 4 cos 21. r=4(1 +senO) 42. ,2 = 4 sen 2(} 56B 0< 0< tr - 2senO - 3cosB 2B " CAPITULO 12 , NUMEROS COMPLEJOS o INTRODUCCION • 2 Al resolver la ecuaci6n cuadratica x + 4 = 0 se obtienen como soluciones: XI =2;, x2 =-2;. = Pues; x 2 + 4 = 0 x=±.j(4)(-I) x=±2H , x hacer H =; = ±2; • AI resolver 13 ecuaci6n cuadratica x 2 + x + 1 = O. se obtienecomo soJuciones: X I =_1-+,[3; 2 2 1,[3· X2 :;;:;-2"-T1 • Los mimeros: • H • ,r:4, donde '=l/-J . ~I N . R. etc. se llaman nUmeros imaginarios. es la UNIDAD IMAGINARtA Y la denotaremos por i. -t+ 1;, -3 - 5; se les lIaman numeros complejos. • A los numeros: • En generaJ, un ruimero complejo tiene 13 forma: x +;y , donde "x" , "y" son numeros reales; i = H 569 • A los mlmeros complejos los denotaremos por la letra Z. As! tendremos: Z, =2+3i , z.,=4-4i , Z3 =-l+J3i. • Al conjunto de los numeros complejos 10denotamos con la letra C, Asi tendremos: rC ={Z = x + i Y/ x E IR , Y E lR ) L Conjunto delos nnmeros complejos El CONJUNTO DE lOS NUMEROS COMPlEJOS 1. Deftnkion 1,- EI conjunto de los rnimeros complejos es: rC=(Z=X+iy/X,YEIR ,i=rJ) COMPONENn RUl YCOMPONENTl IMAGINARIA DE UI IUMERO COMPLEJO 1.1. Todo m'imero complejo z:; x + iy tiene dos componentes: "r'' es la componente real de Z y se denota por x = Re(Z) "y" es la componente imaginaria de Z y se denota par y = lm(Z) Ejemplos: 1. En Z=-3+2i Re(Z) =-3 lm(Z) = 2 2. En Z=-4-5i Re(Z) =-4 lm(Z) =-5 12. IDENnFICACIDI DEl CONJUNTO C CON a CONJUNTO IR 2 Porque cada mimero complejo Z:; x + iy tiene dos componcntes, la componente real "x" y la componente irnaginaria "v"; el conjunto esc idenrifica con lR 2 haciendo: Z=X+iyErC. (X.y)EIR' Gracias a esta identificacion: • 570 EI rnimero complejo Z, = -2 - 3i se identifica con el vector (-2,-3) = -5 + 2i se identifica con el vector (-5,2) • EI ruirnero complejo 2, • EI mirnero complejo 2 3 = 1 + Oi se identifica con el vector 0,0) • EI mirnero complejo 2, = 0 + i sc identifica con eJ vector (0,1) 1.3. REPRESENTAClDN GEOMETRICA DE lOS NUMEROS COMPlUOS Porque cada numero complejo Z = x + iy se identifica con el vector (x,y) de [R2 entonces el numero complejo Z se grafica en el PLANO CARTESIANO. Ejemplos: Graficar los mimeros complejos 2, = 2 + 3i =(2,3) I 2, = -5 - 2i I =(-5,-2) 2,=-3i = (0,-3) I 2, = -2 I 2, = -3 + 5i f 26=4+Oi = (-2,0) = (-3,5) I = (4.0) Z, Z, \ ..J+ ~~.4~;:::+'IJ/""73-li 4 - ..., z, ~-Re(Z) 6 -3jZ, -4 1.4. U UNlOAD IMAGINARIA i El numero complejo i = (0,1) es la unidad imaginaria de rC, donde i = ~ 571 t POTEIICIAS ENIERAS DE i = ~ 1.5 Las unicas potencias enteras del numero complejo i son {i ,-1 ,-i ,I} Se deduce del siguiente modo: ;=H ;2 = -1 =i i 2 =;(-1) =-i ;4 = ;2 ;2 =(-1)( -1) =1 ;l En general: .• si n = 4 , I'. 2. s1 n=4+ 1 ={ i -1 si n=4+2 -i si n=4+3 • 4 : 50 lee "mul';plo de 4" ElSISTEMA DE lOS NOMEROS COMPWOS Definicion» EI SISTEMA DE WS NUMEROS COMPLEJOS es el conjunto !C de todos los mimeros de la forma x + iy tal que, sobre !C se definen dos operaciones: la adici6n de dos numeros complejos y la multiplicaci6n de dos mlmeros complejos del siguiente modo: Sumo de Numeros Complejos: Dados dos mlmeros complejos Zl::; definida por: IZ, Xl + i Yl , Zz = Xl + t YZ. la suma de Zl Y Z2 es + Z, = (x, + x,) + i(yl + y,) I Producto de Numeros Complejos: Dado dos numeros complejos 2\::; Xl + i definido por: IZ, Z, = (XI YI • x, - YI y,) + i(xi Y, + x, YI) Dados los mimeros complejos Z, = 2 - 3i , Z, 572 2 2 = Xl + i = -3 - I 2i Y2 , el producto de ZI Y 2 2 es a) Hallar 2, + Z, b) Hallar Re(2, + z,) c) Hallar 2, Z, d) Hallar Re(2, , Im(2, + 2,) z,) , Im(2, z,) Soluewn: a) Z, +2, = (2-3i) + (-3-Zi) t Como et Mgebr. elemental: Sumar los componentlS rules entr, sl y Iuega slIIMr las co~tlS imIginaria: ..tre sl. = (2 - 3) + i(-3 = -1 - 5i b) c) 2) Re(2, + 2,) = -I , Im(2, + 2,) =-5 Z,z, = ~ (2-3i)(-3-Zi) LU tJ Muttiplicar de manera natural, lenlenda cuidado qUI ;2 = -1 = (2)(-3) + (2)(-2i) + (-3i)(-3) + (-3i )(-2i) 4i + 9i + 6i' . i'=-I =-6 - = -6 - 4; + 9; - 6 = -12 + 5; d) Re(2, 2,) 2.1. ~ -12 , lm(2, 2,) =5 PROPIEOADES DE lA ADIClDN YDE lA MULnPllCAClDN DE NOMEROS COMPlEJOS Propiedodes de 10 Adici6n: AI' Para todo 2, ,2, E iC se cumple: (2, + z,) A,. Para todo 2, , 2, E iC se cumple: 2, + Z, = Z, + 2, (Prop. Conmutativa) A,. Para todo 2, , Z, y 2, E iC se cumple: (2, + 2,) + 2, = 2, + (2, + 2,) (Prop. Asociativa) E iC 573 A.. As. Existe un elemento en iC, al que denotamos por 0 ~ 0 + i 0 , tal que para todo Zen iC, se cumple: Z + 0 ~ Z. Para cada Z en iC, existe un elemento en iC, al que denotamos por -Z , tal que Z+(-Z)~O Propiedodes de 10Multiplicoci6n: MI' Para todo Z, , Z, en iC se cumple: Z, Z, E M,. Para todo Z, , Z, en iC se cumple: Z, Z, ~ M,. Para todo Z, , Z, y Z, en iC se cumple: (Z, Z,) Z, M.. Existe un elemento en iC, al que denotamos por 1 tal que para todo Zen iC, se cumple Z. 1 ~ Z. Ms. Para cada Zen C. diferente de 0, existe un elemento en C. al que denotarnos por Z-I , tal que Z z! ~ I, z' iC Z, Z, (Prop. Conmulaliva) ~ ~ Z,(Z, Z,) (Prop. Asocialiva) I + Oi . diferente de 0 se llama el inverso de Z Pruebo: Dado Z ~ x + i y , ballemos el ruimero complejo T Veamos: Z r' (x+iy)(a+ib) 1 ~ a + bi tal que Z z" ~ I ~ I ~ I (xa - yb) + (xb + ya)i~ 1 +Oi Igualando componentes: xa - Yb ~ 1 { xb+ya = ~O {xa-Yb ~I ya s- xb ~O Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene: a = ~ b x+y Conclusion: Elinversode Z=x+iy es z" = 2 -.v 2 X'tv =~-~i x +y x + yo. 2.2. PROPIEDAB BISTRIBUTIVA Para todo Z, , Z" Z, en iC, se cumple Z,(Z, + Z,) 2.3. IGUIlBAI BE NOMEROS COMPWOS x+iy 574 = a+ib <:=:=::> x >.a /\ ye b ~ Z, Z, + Z, Z, 3. SUS11IACCION DE DOS NOMEROS COMPWOS Definicion 2.- 4. rc, DMSION ENTRE DOS NOMEROS COMPLEJOS Definicion 3.- 5. Para Z, y Z, cualquiera en ZI - Z, = ZI + (-Z,l Para ZI y Z, cualesquiera en Z, Z.-1 z=Z" 2 2 rc con Z, '" 0 CONJUGADO DE UN NOMERO COMPLEJO Definicion 4.- Si Z = x + i y es un mimero complejo. entonces Z = x - i y se llama CONJUGADO COMPLEJO, 0 simplemente, CONJUGADO, de Z. Ejemplos: o EI conjugado de Z,- -2 + 3i , es Z, = -2-3i o BI conjugado de Z2 = -1i , es Z"- =.li 2 o EI conjugado de Z, = 4 , es Z3 '" 4 • El conjugado de Z4=cosO+isenli es Z4=cosll-isenll 6. PORNCIA DE UN NOMERO COMPLEJO Sea Z un numero complejo, definimos: 1, Z" =I , V Z" 0 Z I =Z 2. 3. { Z" =Zn-I. Z r n =(Z-I)n • V nEZ+ . si Z",O 575 1. PROPIEDADES DE lOS CONIUWOS DE NUMEROS COMPlOOS PI. Z=Z P,. P,. -Z, +Z2 =z, +Z2 - - Z, • Z2 = ZI • Z2 p•. (~~)=:~ p•• Re(Z)=-2- P,. zs z P7 (i)m =Z" • ,si Z2 ;<0 z-z Z+Z = , Im(Z)=2i ZeTR , \;fme~+ • ZeiC MODllO 0VALOR ABSOlUTO DE UI NOMERO COMPlOO 8. Definicion 5.- El modulo 0 valor absoluto de un numero complejo Z = x + i y es el numero real no negativo IZI = ~x2 + i . Como ese identifica con 1R2 ,entonces el mimero complejo Z = x + i y se identifica con el vector Z = (x,y) E TR' . Ejemplos Gr6ficos: Z, = 3 +4i z, = (3,4) Z, = -2 + 3i z; = (-2,3) -2 EI modulo de Zl es la longuud del vector (3.4): IZ,I = ./9+16 ~ 576 5 El modulo de Z1 es la longitud del vector (-2,3): IZ21 = ./4+9 =./13 9. ARGUMENTO 0AMPLITUD DE UN NOMERO COMPlEJO Definicion 6. El argumento de un numero complejo distinto de cero Z = x + i y, denotado por (}= Arg(Z), es la medida en radianes del angulo de ' inclinacion del vector (x,y). a Im(Z) z= (x,y) <P'. . (}=Arg(2) = Arctg(f) , si x .. O 0\ Ejemplos Gr6ficos 2, = 3 + 3i 2 2 =-1+,{3i \ ~P" 3 (}2 =' 81 I =::: Arctg( 2 2 ) =::: Arugtt) Arctgt I) =7 'f-a .. . -2V3 Z, = (-6,-2v'3) 8 3=Arg(Z3)=tr+u Jt 2,=3-3i = "-Arctg(,{3) K 1- 2<31 + Arctg ----=6 v;) :: 21r-Arctglfl = 2JZ'"-Arctg(l) 2Jr-t , =1l"+~ = _lJ!.. _1JL 6 ". 2]1r 8 4 = 27r-a = Jr+ Arctg ( - ~I st =.Ir-t ~ = -Arctgl := ~l;::; z,o+,.ji, . ~ -I 8, OJ =::: Arg(Z,) =::: 2 V3 - 577 Za3+01 Z-O+2i ~ Z~ (0,2) "i\ / r\ Z=(-2,O) Z- 0- 3; t O=!L 2 0= It PRoPiEDADES DEL MODULO Para todo Z, Z, , Zz en !C, se cumple: PI' P,. P,. IZI 2: 0 , V Z E !C ; Ilzl = 0 = ~ I rZ 1= IrllZI ' V r E lR , V Z E !C I z, z, I = 1z.] 1z, 1 P Iz, I Ps . IZI p.. IZI 2 P7 p.. IZ,+ZzI,;IZ"+IZ,1 Re(Z) s IZI . Im(Z),; IZI 11. PRoPIEDADES DEl UGUMENTo DE UN NUMERo COMPLEJO P" Arg(Z, P,. Arg( P,. Arg(Z·) = n Arg(Z) .' • 578 2, 12.1 =iT,T' = Z 2* 0 I-ZI = 121 ZZ = Zz) = Arg(Z,) + Arg(Z,) ~: - " 0= [J' 10. Z - -2 +Oi )=Arg(ZI)-Arg(Z2) , Z= (0,-3) 0= 3. 2 12. FORMA POlaR DE UN NOMERO COMPlEJO Sea el 'rnimero complejo 2 "'-x + i Y Si el modulo de 2 es 121='Jx2 + y2 Yel argumento de 2 es 0. entonces la forma polar de 2 es: '2 = 121 (cosO + i senO) FORMA POLAR OE Z Im(ZJ X ,z~ { (x,y) 1.1 13. RP(7) x y = 121 sen ° 2 = x-e i y = 121 cosO+ i 121 senO = 121 (cosO+ i senO) y r = /21 cosO PRODUCTO YCOCIEm DE NOMEROS COMPlEJOS CUANDO ESTAN ElPRESADOS EN SI FORMA POlaR TEOREMA Sean 2, Y2, dos rnimeros complejos dados en su forma polar: 2,=,,(cosO,+isenO,) , donde r Z2='2(cos0 2+isen0 2), donde Entonces: =1211 ,O,=Arg(Z,) '2 =IZ\ ' ° 2 = Arg(Z2) • 1. Z, Z2 =', '2 (cos(O, +° 2 )+i sen ( 0, + 1/ 2 » 2. r Z -Z' 2 =-(cos(O, r -° 2 )+isen(O, -0"2» Para demostrar este teorema, bastara aplicar las relaciones trigonometricas: ° ° sen (0, ± 2 ) = senO, cos02 ±cosO, senO l ° cost 0, ± 2) = cosO, cos02 +sen 0, sen 2 579 14. FORMA EJlPONENClAl DE UN NUMERO COMPLEJO La exponencial compleja e i o es definida por la relacion: Definicion 7.· e' IJ = COS B+ i sen B F6RMULA DElULER ITEOREMA I Todo numero c mplejo Z=x+iy expresarse de la forma Z = re i O • con Z;< 0 puede r = IZI = Jx 2+y2 donde: {I = Arg(Z) + 2kJr . k E;Z Para Z = x + i y • se define e Z por la relacion DejinkiOn 8.- e Z = eX (cosy +iseny) Ejemplos: 1. Z= I _ i < r = IZI =,F;l =../2 {I r:; Z=-.;2 2. e'·k 4 Z~3+3i < r = r:; Z I =21f-Arctg(l) = 21f-.!L = 7x 4 4 {I 3. = 21f- Arctgli l IZI = ,/9+9=3../2 = Arctg] t) = Arctg t l ) =.!L .... 4 = 3-.;2 e' 4 Para Z= -5 - 2i , e Z = e-5 - 2i == e-5 e 2i = e-5 (cos( -2) +isen( -2)) 580 4. Para Z=2+Jri . e Z =e 2 + 1ri =e 2e Jr i =e 2 ( cos Jr + i senJr ) ;e 2(-I+Oi) =_e 2 15. FORMUla DlIE-MOIVRE (Potencia entera de un nurnero complejo) I ITEOREMA I (Formula de De-Molvre) Sea ",," un ruimero entero positivo y z; r(cosB+isenB) , Z", 0, r » IZ/ zn; rn(cos("B)+isen(nB» entonces COROLARIO I I Paratodo numero entero un" se cumple: (cosB -i sen e')" ; cos( liB) -isen (nB) IEjemplo 01 I Exprcsese en terminos de la exponencial compleja: (-I + ..{3i)' b) Re((I+i)e'W') obtener<IZI; ~(_I)2+(..{3)2;2 a) SoluciOn de a): De Z;-I+..{3i y B;7f-a =7f-.!j- a; Arct g ! ~I ; Arctg ( ..{3) Zo(-I,V3)Iy'J 2n T !L 3 10'18\ -I • La forma polar de Z es Z = 2(cos( 2; )+isen( 2;)) 581 Por la f6rmula de De Moivre: • Z5 = 25 (cos( 5. 2; )+i sen (5. 2; )) = 25(cos( I~ Jr )+isen(l~1r)) = 25 b) Para hallar Re «(I + i) e' 0" en forma exponenciaJ. De Z= 1 +i Entonces Z = ) • oblenemos ,fi(cos f ,12 e' 3 tr en primer lugar expresar el numero complejo Z = 1 + i IZI = .JI+l =,fi < + i sen B = Arctg ( ) 1 I =!!. 4 f) 'J!. z=,fi e'4 En segundo lugar, hallar: (I+i)e'W' =,fi e't e i w' =,fi e'(t+ WI) =,fi [cos(f+ wr )+isen(f+wr)] En tercer lugar, hallar: Re( (I + i) e i wt ) = ,fi cos (~ + w r) 16. UfZ DE DN NOMERO COMPWO DefiniciOn 8.· La rafz "n" esima del numero complejo Z = a + hi, es otro ruirnero w, tal que w" = Z , 1&.1. FORMUlA.UAHWUlAS rn: RAlCES Las "n" raices de Z = a +bi son Wk =pl/nei(o,,:,h) k = 0, I, 2, .. , n - 1 donde p= IZI B= Arg(Z) ... IEjemp/o I Hallar las cuatro rafces de Z; 16. ~. So/uewn: PASO1 PASO I Hallar el modulo y el argumenlo de Z = 16 + ()j 21 < .J ' p=IZI= 162+0- ~16 ()= 0° Se pide halla las 4 rafces de Z = 16. En este caso n = 4 Ylas rafces son: W .(0+2>,)" k Iw k 11. =16 1 / 4 e ' - , - ;2e i ¥ , k=O 1, 23 • " k=O,I,2,31 ELLOURITMO NATURAl DE UN NUMERO COMPLEJO Definicion 9.- EI logarilmo natural del mimero complejo Z es otro mlmero complejo W. lal que Z = e W . Esto es: Ln(Z) = LnlZI + i (Arg Z + 2ktr) , k E :z IEjemp/o I Hallar el logantmo natural del rnimero complejo Z= 2 - 2i :to/uewn: Necesitamos hallar< y IZI= -/4+4 =2,[2=2 3/ 2 () = Arg(Z);21l'-a , donde a; Arctgl-i 2:r-l!.. ; Arclg(l) = 4 9/T\ \. a.. =1!L 4 I ={ z= (2,-2) MtTODO 11 Usando directamente la formula: Ln(Z)=LnIZI+i(Arg(Z)+2ktr) , kEE = Ln(2 3/ 2 )+i( 7; + 2k1r) =1Ln(2)+i(7;+2k1r) , h E .J { 583 MtTOOO 21 Aplicando la definicion de logarilmo nalural del numero complejo Z~ 2 - 2i. EI Ln(Z) es otro mirnero complejo w, tal que: 8. Z =e w Z = e + y x i Z i = eX • e y , • donde w = x + i y debemos hallar "x" • "y". ..~---III--------,t IZI IZI ~ leXlle'YI Aplicar: Aplicar Arg(Z) , '-y--J 2 3/ 2 = eX 1 Arg(e x .e'Y) Argt Z) , 2:r-f+2k;r = )' tLn(3) = x J.!L + 2k71 4 = y , k Aplicar Ln Ln(Z) = Ln(e", e'V) LnZ = Ln(e X )+Ln(e' Y) =x+; y = 18. t Ln (3) + i (7; + 2k71) EZ RAleES DE UN NOMERO C8MPLUO Las rakes n-esimas de un numero complejo Z = re to son: _ I/n [cos (O+2b)' _ n +,sen (o+2kn)]. n ,k-O,1,2,3, ... n _1. Wk-r Demostracion> Una raiz n-esima de Z = r e io es un mimero complejo W tal que W n = Z ptleilfl=re i B En consecuencia: W =r 1 / ll e dfJ +;k1r k Suponerque W = ae '« p=? 'I'=? =;, p n = r =;,p=rl/n { e'~ = e'o =;, ljl=B+2k71 k=O,I,2, ...... ,n+1 584 k = 0, ) '. I, 2, ... n - I. PROBLEMAS ®complejos Expresar los siguientes en forma polar: > J3-i a) i b) d) -I e) - . II .J6 +fii l+cosa+isena l-e cosc isena IZI ~ J(.j3)'+<_1)2 ~2 e = Are,g( - },) ~2Jr-Aretg(}, J c) 1- i = 21!-.!L= 51f 3 3 t) 3-4i (O<a<f) g) l-sena+'icosa h) numeros (0 Entonces Z = 2 ( cos .) <a<2" c) Z=I-i=(I,-I) Solucion: a) Z=h(O,1) Debo hallar el argumento modulo IZI, tal que: ey • EI modulo es IZI = • EJ argumento () es: Graficar i L. =2:r-!!.... 4 = = (0, I) En el grafico vemos que: e=!L • 7: Luego, Z IZI = Iii = J02+1 2 =1 • cos f + i sen f -, . . I, =,fi( cos ': +isen ':) EI grafico de Z es: • EI modulo es \21 = I = ,~ ., -I d) 2=-1 = (-1,0) 2 Paso 2: Entonces i b) Jl+l =,fi e = 2Jr-Arctg(f) el a + hi = IZI (cose+ i sene) Paso 1 5; + i sen 5; ) • EI argumento es e= " + • Entonces Z = cos:r+ i senx J3-i Paso 1: Graficar el mimero complejo e) oy 4 4 • Hallar .J6+fii =.J6+fi i Z=,[3-i=(,[3,-I) e~2 Z IZI 4 EI grafico de Z es: k 585 • EI m6dulo de Z es: IZ/ = ,I( • EI denominador 2 2 =l+cosa-isena "1r +( -:r = 1+ cos ( - a) +; sen (-a) -',fi EI argumento es: 0 = ArC\g( • = ArC\g( = 2C082 (- T)+i2sen( -f )cos( -1-) t) JJ ) = 2cos (• Entonces: 2e05(.r )[cos.y+isen("} )] Zl 22 = 20+1')[oos(-1' )+ rsen (-1')1 =t _ • Entonces f)( cos( -f )+isen( -f)] cosy+isent - cos(-t }+isen(-t) z=*(cos~+isent) = cos] t+1- )+isen( t+t) g) Z= 1 - sena+; cosa =cos(a)+isen(a) ::: l+cos( f+a )+isen(t+a) ::: 2(8/".)+ .2 sen (8/2+" - , - tf (8/2+") 2 COS -2- O' - 2 I ® Hallar es positivo si 0 < a < t del numero complejo Z, = Z2 + Z, sf: : : 2cos(t+t )[cos( f+ T)+ isen ({'+%) 1 Aquf tenemos: IZ/ = 2cos(f+-}) , el argumento Z=cosO+;senO,O,;O<2n: Soluci6n: • Si expresamos Z como exponencial, es: h) I+cosa+isena ~ Z = e i () , el cuadrado es: isena 22 Z = e'"(20) =cos(20) +;sen(20) l+cosa • EI numerador • EI conjugado de Z es: Z =cosO-isenll Zl =l+cosa+isena = 2cos 2 1- + i 2 sen }-cost = 2cos-r [cost + i sen t] • Entonces: 2 1 :::cos(28)+isen(2B)+cosB-isenB = [cos (20) + cos0 I + i [sen (20) - sen 0 J = 2cos(3:)cos{% )+i [2co,{': ),en{%)] = 2co,(3: )[cos(%)+i'en{%)] 5lI6 @ Expresar CONCLUSI6N: IZI! = 2cos( 3f ) siempre que: « st con 0 < 30 2 • a) 4«os65' + 1 sen65') .,.3«0820" + 1 sen20") 3(J:;t.lL 2 2 Soluci6n: .8:;t.f 0<0< ~ ~' = t[ cos (65" - 20") + i sent 65" - 20") 1 z • EI argumento de Z, es: Arg(Z,) = @ Expresar f el el cociente en forma de cartesiana: • EI modulo de Z, es =t[COS45° + isen45°] producto en forma cartesiana: =t[ ",2 + ",2 = 1..fi + 1..fi i J a) 2[cos20' + Isen20') '«os70' + 1 sen70') Solucion: Al multiplicar directamente, tenemos: Z = lO[co,(20" + 70")+ i ,en(20""170")] = IO[ co,(90") + i ,en(90")] 71C ).!.(cosJzL+isen 4!l" ) b) 1(cosL!..+isen 4 18 18 3 9 9 3 b) 6(cosk + ; sen 18 71f )-,-1 (cos 9 18· 2 7;r 1/r) +i sen 9 Solucion: Z, 6 [ cos (7' 7.). 7')1 z;-= 3/2 18-9 +Isen (7' 18-9 =1O[O+i) = lOi=O+ lOi i] ,=4 [cos{- ;;}+isen(- ;;)] = 4 [cos(;; )-isen(;;)1 = 4 [cos 70" - i sen 70"] Solucion: Al multiplicar directamente: Z= 1.4·3.a [co, (7n18 + .!.IL)+i sen (k + .ll. l] 9 18 9 Ii: )+isen (';: )] =2 [costs; )+isen('.' l] = 2 [cos( = = 4 [0.3420- 0.9396i 1 = 1.3680- 3.7587i ®Calcular: (,J3 - i) (cosO +isenO) 2 [cos! 50° + i sen 150°] , 2(1+i) (cosO -isenO) = 2 [-eos( 180-ISO") + i sen(180"-150") 1 = 2 [- cos30° + i sen30°] =~[-~+it] Soluci6n: Expresar cada forma polar: ruimero complejo en =-../3+i 587 Z, =,{j-I @ Para = IZ,I(cosa+isena) = 2(cas(-t}+isenH-)) Dando: 1 z" = ,f3;] = B = 2 2" - Arctg ( cada caso: a, b, c, d; seilalar d6nde se encuentran los puntos que representan los nurneros complejos Z para las cuales: a) argZ ={ J, ) b) t<argZ <1' ' IZI = 2 21Z"-~ B ~ c) argZ=", IZI < I II, , d) IZ-il= I 6 a:::_ lL 8)1L s argZ=1 Solucion: ~' A .' '\ o Z2 =I+i = IZ 2!(casp+isenp) ::: .J2(cost+ isen{) 11,: , IZ21 = M=f2 p = Arctg(t) Hay infinidad de numeros complejos contenidos en el rayo OA, tal que, argZ={-_ b) La ecuacion IZI = 2 es una circunfe rencia de radio 2 y centro en el origen (0,0). Los numeros complejos Z pertenecen, a los puntas de la circunferencia. =-i Z3 ~ casB-isenB = cas( -B)+isen( -B) • , H :A Ahara, ya podemos multiplicar y dividir: Los numeros complejos que cumples las dos condiciones: ~ ...L[cas(-!L-!L+8+8} .fi (, 4 +isen = 588 IZI=2, t<argZ<1' (-t -t+ 0+ B)] 1 [cas ( 20- * )+ i sen(28 - recaen entre los puntos del area i;)l ~ circular AB, sin tocar los puntos A y B. /21 < I La grafica de 121 < 1 es un cfrculo de c) arg • 2 = Jr , estan contenidos en el rayo OA . ·',,1 ®Calcular: radio 1 y centro en (0,0), no incluye a la ,circunferencia IZI = I. ({i:~Wk .j0 (1+../3.)20 a) (l_li)IS b) c) d) (-3-3i)~ (4-5i)S 1'1 Solucion: i' a) Expresar en forma polar el nl1mero complejo 2 = 1 - 2i Hay infinidad de ndmeros complejos "z" que estan contenidos en e] rayo =lJ2 (cos 7; +isenlf l OA. ellyn argumento es. :r y cuyo modulo se acerca a I, pues [z] < I. Donde: • El modulo de 2 es: 121=~4+4=1J2 d) La grafica de IZ- i 1= 1 es una circunferencia de radio 1 y centro en (0,1), • El argumento de 2 es: AI hacer 2 = x + i y , tendrernos: i: Ix+iy-i! = I Ix+(y-I)i! =I ~x2+(Y_I)2 = I • Entonces x 2 + (y -1) 2 = I Z15 , 0= lJr-Arctg( t) :: 2tr- 1£ 4 :;: 7; es : z" = (2J2)IS [cos(IS( ': )): i"n (IS(:If ))1 = A 2'" [cos(lOh)+' -,- 'sen.(IOh)] _,_ w b) Lo primero que S~ hara, es expresar los Dtl.Teros complejos. 2, =1+,f3i Y 22 = I-i en forma polar. o Los mimeros complejos 2 que cumplen las condiciones: { arg~Z) = 1/ Iz-r-r -< Empecemos con Z, : IJ Z, =1211(cosB+isenB) 'N DoDde:· IZII = J1+3 = 2 8 = Arg(ZI) = Arctg( • VfJ4-i. 6 c) (4-3i)' f) En primer lugar, expresar el namero complejo Z = 4 - 3; en forma polar: IZ[=.l16+9=5 • =f • : (} =21T-a I Entonces: ZI = 21T-Arctgl-fl 6/" =2(cost+isent} = 360"-37° = 323° Convernr Z, = I -; a la forma polar: tt I \. ::•. • IZ2 j=,1l-:j:! = ,fi • 8 -I = 211" = 211" - La forma polar de Z, es: Z = 5(cos 328° +; sen 323°) Arctgl ~ll y Z' = 5' (cos 5(323°) + i sen 5(323°» Arctg (l ) = 5' (cos(l615°) +; sen(l615°» ~ =211"-, CONCLUSION: 7~ =7 d) (-3-3i r 4 La forma polar de Z, es: o 7: 7: ) Z2 =,fi( cos Z2 =,fi( cos] -f )+isen( -f)) + isen CONCLUSION: r=/ Z' = 5' (cos 175° + i sen 175°) , I "1 I 'r\ ___ . 6/ Convertir Z = -3 - 3; a la forma polar, Para ello, necesitarnos: • El modulo de Z: IZI =.19 + 9 = 3,fi • EI argumento de Z es: ] 20 8=1I"+a ~- -3 r l\ = 11" + Arctg \0 = [J2( cos( *+ t )+isen] *+t) )]20 = ZIO[cos(20. ~; )+isen( 20. ~'~)} 10 =2 [COS-¥tr+ i sen ¥ir J =IT+ 1L 4 -3 • = 5; La forma polar de Z es: Z = 3,fi (cos ': +;sen 590 5:) 1-33 1 • En consecuencia: La potencia Z -4 es: z" = (3./2 )-' [cos(.lf)+isen( ': Jr' [J2(cost+isent )]/1 [J2(cos1t+isenlf )]11-1 (l+i)" [cos(- 4(.lf))+isen(- 4(.lf))] = (3./2 )-' [cos( -5,,) +isen(- 5,,)] = (3./2 )-' [cos( -,,)+ isen(-,,) I (I-i)"-2 = (3./2)' @Expresar en forma bin6mica (I+i)" resultado de: (I-i)" 2 e) 2I [cos{"t )+i"n("t)] 22- [C05(("-1)'1- )+isen((n-l)i')] "-1 = 2t [cos( f )+isen( f)] @ Dado W = cosO+ i senO • calcular (1 + W)" Solucion: En primer lugar, expresar los mlmeros complejos 2, = 1 + i . 2, = 1 - i a la forma polar. Soluci6n: En primer lugar, expresar Z = 1 + W en forma polar. Veamos: · · · . tL 2=I+W a) 2, =I+i = J2( cosf+isenf) z I········· , 8 =1+cosO+isenO donde: o o 1 "" = 2cos·Hcos1+isen1] 4 7,,) 4 1\ 1 : _I. : 12 =M oO=2tr-a 0 21 =J2 =2tr-Arctgl~'1 , = 2tr-. _ 7, -4 En segundo lugar, hallar 2 n : Z" = [2cos!( COS!+ isen1)]" donde: a = 2cos21+i2sen~cost =.!L 4 b) 2, = 1-; = J2(cos1!L+isen 8/ / '~---v----' 12d = M=J2 o = Arctg(t) = 2"cos"! [cos( @Datos: W, "f )+isen( ":)] =-t+;1 y W, = _1._ i .J3 .. 2 T Calcular: W," + W 2" 591 Soluci6n: n=cos(n7; )+isen(n7; b) W 2 1) Expresar W, en forma polar. Hacer: n • IWI! =~±+t=1 .., .11 B=1f-a ~ • .[31 = 1f - Arctg] _.L ' , = 1f - Arclg../3 2" =tr-J!... 6 s: = n Win +W2 =cosA+cosB+i(senA+senB) Pero: cos A +cosB = A - B::: Pero .x A-B 2 n( 5: _76 ft ) 3 A+B= 11 ( 5: + 7: ) =2n1f CONCWSION: B=1f+a -t =1t + Arctg j _li I ;:Jl+1t 6 -1 A;B = -Il!!. 6 • IWI! =~±+t =1 -1"1 8 COS A-B[ A+B . A+B] + Wz11 = 2C05-,cos-,-+,sen-,- 2) Expresar W, en forma polar. 8. +_(:J) A; A+B l¥. = cos 511'" + i sen 51r )I 2C08 sen A + sen B = 2sen- cos - 2 11 La forma polar de W, es: • 7; ;; B Y sumar: WI 6 6 n Entonces: =E!.. I A = 71l wt + w TJ 2 :::: lCOS(- nf )[ cos(2nJr) + ;sen(lmr) 1 @ Demostrar la identidad: l + i tan a ) n = I+itanllu ( I-ilana I itanna 6 Solucion: La forma polar de W, es: Bastara hacer: tan a = llliQ.. Y W 2 =cos1L+isen 7/f 6 3) Queremos hallar a) 592 wt=cos(n ) 6 wt + W 2' 5;)+isen(n S ; ) cos c simplificar la expresi6n: l+itana = l+i~ _ L'tlsa ]-itana l-i~ coac rosa +isena cosa ;SCIlU Ahara, elevar a la potencia "n". [ cosa +~sena ] n cosa rsene Entonces, Re (W 2 ) cosna+;senna cosna -;senna Dividir entre cosac : l-itan(na) ;(-4+tH1-%)i ;; _.!2.+.1; c) 5 Hallar: 5 k~9)2 +(t)2 Luego, IZ +WI ; b) IZ + a) Re(W) hallemos 1. Z+W;(-4+i)+(+-%i) 1+itan(lla) Z; 2(1 - i ) + 3(i - 2) Y 1'\" i5 IZ + W I, b) Para hallar suma: @Sean los rnimeros complejos: W; ; - WI ; 1./370 5 Im(z~) Solucion: c) Para hallar 1m(ZiW), necesitamos: Hacer operaciones auxiliares. 1" ZW;(-4+i)(t-ti) 1) Simplificar Z: ee _.!+.!; +.1; _1.;2 5 Z; 2(1 - i) + 3(i - 2) 2-2i+3i-6 ; -4+i 5 5 5 =_.!+.2.;+1. 5 5 5 =_1.+.2.; 5 5 2) Hacer la division en W. I W 1-2i 1-2i = 1+2i = (I + 2i)(1 20 1+4 2" .L: ; __i _ zw -t+ri d-i-t;) ;; 1-1.; 5 5 (-f+ti)(-f-%;) a) Para hallar la componente real del numero complejo w', hallemos: 2 W ;(t-t i )2 4· .2._1.; 4 - 25 -15'-15 _ 3 4· --15-25 1 ."1 I W ::= -1 25 +25' ; i5- 2 (t )(t i H _ I _1.; +.2.5 _ 5 -..i. 81 , t i)2 ·2 1 =1 2.._1.i =~=~ 25 5' _ 9 2· - 17- IT' Entonces 1m(~ ) = - 1; 593 @ Si Z= x+ yl ,hallar Re( :~~ ) (l+X)(I-X)_y2 I +Z ) eImy:z, ( 1-x2-l= 0= -2x+ 2x2+ 2/ :~~ En primer lugar, hallemos: 2 0= -x +x + Veamo.s: I+Z [(t+.l)~ _vi}[(1-X)Tyi} 1(1~x) - )'/][(1 [(1 +x)( 1- x) l La grafica de esta ecuaci6n es una circunferencia: I+x+)'; 1-2:::; I-_~-yi _ (I-x)'+/ "I2x " I-x-y= - ·+x+Y Solucl4n: - 1 , (x,y) .. (1,0) (l_x)2+ y2 ~i Hallernos el centro y eI radio. x)+ yi J+[(l+x) y + y(l-x)]i X 2 1 2 1 -x+4"+Y =4' (I-X)2 +y2 (I+x)(I-x)_y2 ""'=~.-:-'--+--+ (l_x)2+ y2 (x -1)2 + y2 = t (l+.:t)y+y(l-x). I (l_X)2+ y2 centro=::;(t.o), RADIO=! Se tiene: y • Re(~) I-Z • Im ( -- I+ Z ) 1-Z (I+x)(l-x)- y2 (I_x)2+ y2 I (i+x)y+ y(I-x) 22 (I-x) +Y .1, ,-x 'I 2y ::: (I_x)2+ y2 @ Graficar el siguiente conjunto: A=(ZEC/Re(:~~)=I} Es una circunferencia con un "agujero" en (I,D). @ Hallar los numeros complejos: Z = 0 + bi y W = c + di , tales que su suma sea 6 y.su producto sea 13. So,"<lOn: En el problema 12 se tiene: Re(~) 1-2 (l+x)(I-x)_y2 (1_x)2+ y2 Solucion: Debemos hallur a, b. c. d. • Se pide graficar Ia ecuacion: 594 La suma deZ y·W, es: Z + W = (0 + c) + (b + tf)i • EI producto de Z y Wes: Si a = 3, en la ecuaci6n (5) tenemos: 6(3) - (3)' + b' = 13 18-9+b' = 13 b' = 4 b = ±2 ZW = (a+bi)(e+dJl = (ac - btl) + (ad + be)1 • Comodatos se tiene: { Z+ W =6 CONCLUSION: en (I): e = 3 en (2): d =-2 • Para a=3,b=2 ZW = 13 a+e =6 => e=6-a (I) b w d =0 => d= -b (2) { ac - bd = 13 ..................... (3) ad+bc=O ..................... (4) Reemplazar (I) y (2) en (3) y (4), respectivamente: a(6 - a) - b(-b) = 13 { a(-b)+b(6-a) = 0 6a { a' + b' -ab+6b-ab { { 6a - a' + b' 6b- 2ab • Los numeros complejos Z y W, son: Z=3-21 W=3+2i Z=3+2i W=3-21 @ Deterrninar los valores 'del argumento del mimero complejo Z, sabiendo que Z (-I + I) = -Z (I + I), Z #' o. Solucion: = 13 Sea: Z=x + yl =0 Z=x-yi En seguida, reemplazar en la ecuaci6n dada: = 13 =0 • Para a=3,b=-2 en(I):e=3 en (2): d = 2 <-- Pactonzar b (x+iy)(-I +i) (-x-y)+(x-y)i 6a - a' + b' = 13 (5) 2b(3-a) = 0 = b=Ova=3 (2x-2y)i => => = -(x-iy)(1 +i) ~ (-x-y) + (-x + y)i = 0+01 2x - 2y = 0 Y = x Si b = 0 , al reemplazar en (5) : 6a-a' = 13 a'-6a+ 13 = 0 a'-6a+9-9+ 13=0 (a - 3)' + 4 = 0 EI numero complejo Z tiene la forma: Z=x+xi. con x;tO donde Arg Z = Arctg(; ) = Arctg(l) Esta ecuacion NO tiene soJuciones reales para "0", = {-+2k1r k E:;Z 615 ·1i1l Hallar todos los numeros complejos "P que son conjugados con su cubo. (Dcan@:{x=O (1) 3x'-/+ 1 =0 (4) SoluciOn: Se pide hallar los numeros complejos (1) en (4): Z Z=x+ Iy • tal que. Z3 = , Donde: 0-/+ 1=0 / =1 y = ±I La soluciones son: (0.1) . (0.-1) ". Z'='Hly)' =x'+3x'ly+3x(/y)'+(/y)' = x' + 3<)1 - 3>y' -II \61 1">\con G): {X'-3'y -1:0 (2) y - 0 (3) ='" - 3>y') + (3<)-1)1 • Z=x-Iy (3) en (2): .• AI igualar, se obtiene: (x' - 3xy') + (3x'y - y')i = x - iy = {x'-3XY'=X (1) 3x'y - y' = -y (2) De la ecuaci6n (I) se obtiene: TV (1.0). (-1.0) @con@:{ x'-3/-1=0 3x ' ~y z +1=0 IX'-3 J - I =01 3x'y-y'+y =0 <==> TV =0 ,r-3x-" _- y" -+-1-=-0" , = (DconG): x=O. y=O 596 TVT (5)en(I): x'-3x'-1 =0 -2x' - 1 = 0 2x'+ 1 =0 No existe solucion real. (6) en (I): Combinar las ecuaciones: =0 (x - y)(x + y) = 0 De la ecuacion (2) se obtiene: y(2x' - / + 1) 4x' - 4/ = 0, 4(x' -i) x(x' - 3/- I) = 0 = I=0 x =±I Las soluciones son: Sumar x' - 3xy'-x=0 x'- x' - 3x' - 1 = 0 2x'+l=O No existe soluci6n real. (I) (2) CONCLUSI6N: • EI numero complejo Z = x + iy , @Si I I Z= 0 + i 0 Z=O+i Z=O-i Z=I+Oi Z=-I+Oi puede ser: Z.. -I mero real y 1 Del numerador: IZ,I Z -1+../3i,hallar:( 8 = ~. 2 = Arclg ("3) ,,> =Jr., v'3 rO" IZI = I, hallar el nu- ~ lR La forma polar de Z, es: l +ti tal que: Z = -,--/I.. Z I =2(COS!!.+isen!!.) 3 3 Solucion: Aplicar el modulo en la igualdad: z = IZI = Y Z,30 = 2 1-,; lI+ril I'-ril • 2 ,2 D el denominador: z, = 2 - Jl~t2 2i , hallar<:: verdadera paralodo 1E fi<'rsn IR = t« T esta igualdad es La forma polar de Z, es: JR. Portanto lIE JR I @Hallar Ia forma binornica del nurnero . 8 'z, Z, = 2J2( cos( complejo, e = An:lg( f) = An:lg(-I) = 1+/ 2 = 12 , I _ ,[.1;4= 2..[2 IZ, - I ~ = ~I+/2 1+/ cost 301 )+isen(301)) = 2 30 (cosf IOa }+isen(lOIf) I+li p 1= 30( (1 +..[3i)30 III y Z~o = (23/1)10 7: )+isen( 7:)) [cos(lO. 7; }+isen(IO . .7t)] • (2 -20 =21 Solucion: 5 [cos(Jfn)+isen(¥Jr)] 2} En segundo lugar, hacer la division: I) En primer lugar. expresar los nurneros complejos del numerador y del denominador en forma polar. 1S'7 =2 15 [Cos ( IOJr - 31 tr )+ i sen (10Jr -~1t )] = 215 [cos ( -Jflf )+isen( La forma polar de Z,. es: -¥Jr H 2, := 215[C05( -41r+1-)+isen(- 4... +f)] y 2" [cos (1)+ isen(t)] = 2,[2[cos(f )+i sen( f)] ee Z~8=227[coS(18·7)+isen(18·f)] 2=2"10+i(l)) 2"lcos( ¥ }+isen( '; )] = =0+2 15;=215; 2) En segundo tugar, hacer la divisi6n: @sea (-J] +30 Z 12 (2+20 11 , hallar la forma z:= Z:2 Soluci6n: 1) En primer lugar, expresar los numeros complejos del numerador y del denominador en forma polar. Del numerador: '.,. -!i t; ZI =-,,3+3i e = Arct g ( -~ ) = Arctg(-,(i) = 180"-60" [COS(Sll- 9; )+isen(SJT- 9;)] = ;I~~ [cos (7; )+isen(7;)] = L[cos(2Jr+ ,II"2 )+isen(Z!l+ 3'T)] 215 \ '2 L[cos(.l1L)' + i sen (.l1L J] 21:'i 2 2 3' . Z = 0--. 15 2 ~ @ Graficar el conjunto de todas los numeros complejos Z;: x + yi, tales ~ que, arg Z+1 ="4' = 120" ->/3 (Z-I) =21 La forma polar de Z, es: Y :I~~ =' '8 2, = 2,/3 {cos (8Jr ) -t- i sen ( 81r») = < I ZII='/3+9=2,(i i 12.36 zi 2V{cos(lf)+isen(9; )f cartesiana de Z. • ee 2 8 [cos ('; )+ i sen (If )] Solucion: ZI12:=(2J3)12[cOS(12. 2;)+isen(12. 2;)] "" 212 • )6 (cos( 8Jr) + i sen (81r)] 1) En primer lugar, hacer la division: Z-l x+iv-l Z+l = .t-t-i;+1 (x-I)+iy (.l+[)+iy Del denomi nador: • Z,=2+2i<\2,1 = '/4+4=2,[2 8 Arctg(t) =' Arctg (I ) = 11. 4 598 Multiplicar y dividir por la conjugada del denominador: l(x-1)+i }'](x+ 1) -i y) leu 1)+ i yJl(x + I)-i yJ Solucion: 1) En (.~-I)(x+1)+ y2 +[ -yC(-l)+ y(x+1)]i (x,Y)o'(-I,O) (x+l)2+.~,2 .- lugar, hallar ' .t + y- -I Lt+I)2 + y2 + Z +.!.= x+i y+-'-.2y (x+1)2 +y2 x+l i x+iy x 2 + 2xyi _ yl + I x+iy (Xl - 1!.. 4 . .-. ,. -1 [ ,,+ (H-I)- ... \,- ·1, J 2, Arctg [ x-, ... \'2 - 2 4 L2L4 J' [(x = 2 4) 2, ' - ' t ( • - ,'+\,2_ 1- g _ y2 !x,-i J[x-i -+ I) i (pjy)fx Ii= = I ly [(x 2 _ )'2 -t 2y=x = = x + x 2 2+/_1 l- 2y = I J + (y - I) = 2 ." ~;n Circunferencia $, de centro (0,1) y radio r = @ Graficar Ji el conjunto de todos los puntas que representan a los niimeros complejos, tales que: Im(Z+tl=O. +1)+2xyi x+iy yJ iy) Ilx -+ 2_~' [+il-y(x 2 _ y2 +1)+ 2:1: 2 Y xl ... 1;2 + \'2 _I 2 i Mulliplicar el denominador y denominador por la conjugada de x+iy.asi: '" .e ,,1-- (x+I)-+.\'· Y (x+iy)2 +1 2) A continuaci6n hallar el argumento de este nuevo complejo e igualar a A rg t' Veamos: Z 2 Z+ sabiendo que Z = x + i Y (x+I)2+ y 2 _ {x 2-1+/)+2yi primer y2 2) En segundo lugar, hallar la componente irnaginaria del mimero complejo u. -y{x Im(p) 2-i+1)+2x2y xl + y2 3) Ahara, igualar a cero: Im(p) = 0 2 2 2 'y(x ' y +1)+2x y 2 1 x + v I - y (x2 _ y[ _(x 2 - 0 ( ' X. Y ) ¢ (00) • y' + I) + 2x 2 y = 0 y' +1)+2x 2 ] =0 599 y=O v -(x'-/+ 1)+2x'=o Es una circunferencia de radio Y=O v x'+I.=1 LEl ejez LClr<unfmndl + a -I a' +1 J. ( --,-,0 a -I ycentro y RAlz WAoRAoA DE UN NUMERo COMPLEJO I l I •z @ Hallar las raices cuadradas mimero complejo Z = 3 - 2i . del SolnciOn: @ Sea Resolvamos en forma algebraica: a>O, a « I. I I I - z = a representa T+Z Pruebese que La rafz cuadrada de Z es otro mlmero complejo W= x + iy,lal que Z = W 2 unacircunferencia. Esto es, SolnciOn: tal que, Si: Z = x + i y , entonees: I 3 - 2i 1(i-x)-iYI= al(x+I)+iYI +i J x2 _/ 2xy (a 2 -l)x 2 +(a 2 _I) y l + 2(a 2 + l)x = l_a 2 .r 4x'/=4 0'2 -I 1)' 1 ( x +0'2+1)' +y'_(0'2+ 1 -~ - {a 2 _ 1)2 600 (I) (2) -2 x' '- 2x'y' + y' = 9 1 1+1)X+y2:_ X 2 + 2{a 1 0'2_ =3 = En (I) Y(2), elevar al cuadrado: 22(0'2+1) 1_0'2 +y +~.r:: 0'2_ ",1_1 (0) Para ello, igualar las componentes en («): 1-2x+x1+ y2 ::a2[x2+2x+l+ y2] 2 = x' - v' + 2xyi ~ . Hallar "x", "y" Elevar al cuadrado: (I_X)2 + y2 :=:a 2[(x+1)1 = W' Z 3 - 2i = (x + iy)' 1= a I-(Hiy) l+(x+iy) ,fZ = W Sumar: x' + 2x'/ + y' = 13 (x' + I)' = 13 x 2 + y2 =,f\3 ... (3) Ahora, resolver el sistema fonnado por las ecuaciones (I) y (3): x 2 2 4 Z - T=i Z -3-9i =: I""=i t t MulJipUcar por .fU -l =3 conjugtida , , r;;; x- + y- =,,13 Sumar: 2x 2 = 3 +./13 2 3+.[i3 ---40+i) Z2 " :,~t, x=±~3+f3 ...... (4) =-2 = -I y = _l. x Si x Si e J3+f3 x=_~3+f3 => Y=-~3+~ = Y=~3+~ CONCLUSI6N: Las dos raices cuadradas de Z = 3 - 2i , son: W I =~3+.[i3 2 _ - ;)(1 +0 U=i 2+i)]1 3° Extraer la raiz cuadrada [Z-(l+i)1=~3-4i . Hallar lasdos cuadradas de3-4i. rafces ---.J 4° Las dos rafces cuadradas de 3 - 4i : ~3-4i = xw iy 3-4i = (x+iy)2 2 ') 2 . =(x-y-+xyl V~ Igualar las componentes reales e irnaginarias, respectivamente: @ Resolver: (I - i)Z '.... 4Z = -3 - 9i Solucion: =3_6i+[20 [Z-(I+i)J 2=3-4i V~ ECUACION CUADRAIlCA CON COEflCIENIES COMPlEJOS l' Z2 -2(1+i)Z +(I+i)2 =3-4; w =_~3+f3 + ~i 2 (I 2° Completar cuadrados: Z2 -2(1+i)Z+[2(12+ 0 xy - Z2- 2(I+i)Z = 3-6i x =-2- Reemplazar (4) en (2): 2xy (~3-9i)(l+i) Z _ ~, 2 { X :~ 2 = 3 (I) = -4 (2) Me/OlIo a seguir: 1° Reducir a Ia unidad el coeficiente de Z': 601 @Hallar todos los numeros complejos Z • Elevar al cuadrado (I) Y(2): que satisfacen las des ecuaciones: x' - 2x' y' + y' = 9 IZI =2; IZ+I\ = ~IZ-II . 4x'y' = 16 Sumar: x' + 2x'y' + y' = 25 (x' + i)' x' + i • Soluci6n: = 25 = 5 Sea Z=x+iy (3) Resolverel sistema (I) y (3): X2_ y2: 3 x'+/ Por hallarse: .r , y • Si \ZI = 2 =:> • Si IZ+II = = 5 x' ~IZ-li => lex+I)+iyl = ~I(x-l)+iyl Elevar al cuadrado: (x+ I)'+i Reemplazar en (2): Si .r = 2 =:> 2(2)y = --4 =:> y = -I x = -2 =:> 2(-2)y = --4 =:> y = 1 • Entonces, las dos rafces cuadradas de 3 - 4i son: x' + 2x + 1 + / x' + / • { -2 +i - 6x + 1 = 0 31 (2) Resolver el sistema de ecuaciones: { X 2 (lJ , + Y - 6x + 1 = 0 (llen(2): 4-6x+1 • (3) en (I): 25 (2) =0 x = 50 Ahara, reemplazar en 3°: a) Z - (I + i) = 2 - i = = 2[(X-1)2+/] = 2[x' - 2x + 1 + /1 X' + / = 4 2-i Iz (I) = 4 x = ±2 • =4 Ix+iy+11 = ~Ix+iy-II =:> 2x' = 8 Sumar: x' + i t ..... (3) J 36+y-=4 y2 = ill 36 b) Z - (I + i) Iz = -2 + i = CONCLUSI6N: Las soluciones de la ecuaci6n cuadratica dada, son: Z= 3 , Z= -I + 2i 602 y=±~ -1+2i1 • CONCLUSI6N: Los numeros comple jos buscados son: ,f\l9. Z 1.:« -6+6' Z _~_ '/119. 2-66' @Resolver, en el conjunto de los @ Mediante mimeros complejos, el sistema: (I+i)Z-W=-I-i { (a + b i) e iO , demuestre que: (1) 2i Z + (I - i) W = i la consideraci6n de las partes real e imaginaria del producto acos(} -bsen(} = ~a2 + b2 cas «(} + 0) (2) y Solucion: a sen IJ+bcoslJ = Ja 2 +b 2 sen Par hallarse Z y W Resolver por el metodo de sumas y restas: En este caso, es notorio simplificar el mirnero complejo W. si multiplicamos la ecuacion (I) por (I - i): co +0) donde 0 = Arg(a + bi). Interpretese el resuJtado geometricamenre. Sollldon: En primer lugar, expresar el mimero complejo a + hi en forma exponencial: (I-I)(l+OZ-(l+I)W = (1-1)(-1-0 2Z- (I-I)W ~-2 { 21Z+(l-I)W~ a «b i = 1 = Sumar: .Ja 2 +b 2 (coso +iseno) ')' " sI., o: +b- e'" (2+2i)Z+0 = -2 +i ~2+i ~ = 2+ 2; z = (-2+;)(2-2i) donde: la+bil = ~a2 +b 2 o = Arg(a +bi) (2+2i)(2-2i) Z := -2+6; 8 I-Z-=---tifj .. (3) En segundo lugar, multiplicar: (a+bi)e i O =~a2 +b 2 e i 8 e i 8 (a+bi)(cos8+isene)=~a2 +b 2 ei(a-tB) • Reemplazar (3) en (l): (1+i)(-t+~i)-W ~.Ja' +b'I'05(8 +IJ) -1-i -I+ti-W = -I-i I W = ~i I +isen(J +11)J (acosB - bsen (J) + i (asen8 + b(058) = =~aZ +6 2 cos(c5 +(})+iJa 2 +h2 sen(8 +(}) Igualar la componente real y la cornponente imaginaria, respectivamente: 603 Ja +b cosio +0) asenO +bcosO = Ja 2 +b 2 sen(o +0) 2 acosO-bsenO = @Usese la f6rmula de 2 Demoivre para ®Demostrar que: cosO =.l( e ili + e- ili) 2 Proeba: demostrar que: eili =cosO+isenO 30- 3cosOsen'0 cos 30 = cos sen 30 = 3cos'senO-sen'O SoluciOn: La f6rmula de Demoivre relaciona la forma polar de un numero complejo con la potencia entera: ",,(ali) + I ...(oli) , (""Ii+ henli)" a "tIft_o.: (0$(30) + Isen(8) Se tiene: • { e-ili =cos9-isenO eil} Sumar: + e-UJ = 2cosO ~Ii +e-ili) • = cos9 I.. (I) Si restamos, se obtiene: e i li _e-i li = 2isenO = (00$0+' ~en(j}-l GJ,(e = ros}8+ ,3(os18 (I senO) ili _e-i li ) = sen ° I ..... (II) + 3 to~8(1 sen8Jl + ('sen8)' = mNJ- 3c0l>8sen18 + I (3 cos":OsenB- sen'O) • Elevar al cuadrado: _1_( ei ( 21i) _ 2+ e-i(W» = sen 2 0 4;2 Igualar las componentes real e imagina ria. respectivamente: ..1.-( _ 2 + ei(W) + e-i(ZO») = sen 2 0 -4, cos(30) = cos'O - 3cosOsen'O sen(3 0) = 3cos' 0 sen 0 - sen' 0 @ Demostrar que: -t( - 2 + 2cos(20» e i O = e- i O e i B = cos8+isenO ~ . Apticarconjugoda: e'li = cosO-isenO = cos( -0) +isen( -0) = e" -Ii) = e- i O I = sen 2 0 t(l- cos20) = sen 2 0 Proeba: Se sabe que: • Por (I) @Hallar las 4 rafces del numero complejo Z=16-16.,fii SoluciOn: Las cuatro rafees de Z = 16- 16.,fi i se halla con Ja formula. Wk =p 1/4 [COS (O+2kff)' - 4 - +ISen (O+2kff)] -4- ill Hallar donde: p = JI6 2 + (l6.J3) 2 es el mddulo de Z a) Z , , O=2Jr-a=2Jr-!L= 7tr,. b) 2=-3-4i Solucion: ~ .. 8\' a;, . '., (I6,-16v'3) a) .J3 +i -.J3~i b) 1 - 2i -I + 2; ~ Hallar las rakes 2 = -4,/2 + 4,/2 i cubicas de Entonces: Wk = (2) 5 W, = 2 + 2.J3; es el argumento de Z. • las rakes cuadradas de los numeros complejos: = 2' • I PROBLEMAS PROPUESTOS m:mm:lD k=O.1,2,3 • I -'-,- +isen (1,<'''')] \ -'-,l/'[ cos l("'+''') L -_25/.. e i(lf + 2br)/4 k=O,I,2,3 En forma explicita las 4 rakes son: Wo = 2 5/4 [cos (i; )+ i sen (i; )] Solution: Aplicando Dernoivre, se obtienen: Wa WI =-~2+.J3 +i~2-.J3 W2 =b-.J3 -i~2+.J3 ill Dada la ecuaci6n: Il WI::: W2 54 2 / [cos (?; )+isen (?;)] =25/4[cose~; )+isen(\9;)] W, = 2 5/4 [cos (2t; )+isen (1ff)] =,/2 +,/2i , x" - I = 0, donde es un ruimero entero positive, se pide: a) Hallar las "n" rafces de la unidad. b) Hacienda Ia noracion e t "!- ::: w , las "n" rafces de la unidad son: {I • W • 11,2 , w3 , w4 , ••.•.•• W n - I } Probar que: 1 + W + w 2 + w 3 + w 4 + ... + w" - I = 0 105 !!J Hallar las 12 rafees de !!l Hallar las "n" rafees de la ecuacion _2 12 (iZ-I)" =Z",n SolutiOn: o = b+,fi +iJ2-,fi . WI =.fi +i.fi W Z· E Soludan: a,) = (a, ) -2sen K cis ( "4-T w) = 2( -cos7SIJ + isen 7S-), W. = -.fi + i.fi •,-'. WII = Jz+,fi -i Jz-,f3 ~ Demostrar que si B es un mimero ~ __ 4 2 Zt k=O.1.2•...• n-l complejo. cuyo modulo es igual a I, entonces la ecuacion I ' )" ( I : ;; =B ~ Hallar los Z E if'. tal que: (Z+ I)"=(Z-I)" •• E Z· tiene las raices reales y distintas, • Si 181 = (h ) Soludan: Solucilm: Z. = -i cotg -;; I • entonces B = rosa + i sene. k = 0, I, 2, 3, , .. ,. - 1 • Haciendo la notacion !!J Hallar las 2n rakes de la ecuaci6n: cosa + i sena = cis(a) X 2' 1 -1 = O. Solucit1n: se obtiene las raices: t Xl: =tg ( If'2 ) • <PJ: !J Hallar todas las raices de la ecuacion: !!l Si II E II , k = O. I, 2, ,.. , 211 - I X. Z· , resolver: =i , -l+-}::ox { Solucion: Solucan: Z. =25On( at )CiS( a,;,) k=O.I.2 x. (2k + 1)Jl" , =cis(a.) a ~ {l+4k)Jr k 2" k=O.I,2, .. , .• -1 -a, CIS. ('-, -1 ) T r' a. Z. = ZeDS (; k 606 .... Hallar, "x" y "'Z. (Z+I)"=-I a. == e = Q+;kn k=O.I.2 ........ -1 donde: xk = 0, I, 2, 3, ... , II - I. l4k +I)i'f 2, ill Resolver: i ZZn + (i -I) Zn -I = 0 Soluci6n: . Z, =c,s . Z, = CIS _ . k=O.I, ...• n-I (3+4k)1r Zn ' k = 0, I.... , n - 1 a) x'-(2-i)x+(-1 +71)=0 b) x' - (3 - 21) x + (5 - 51) = 0 c) (2 +1 )x'- (5 -i )x+(2-2i) =0 a) x[=3-i.x2=-1+2i b) x,=2+1. x,=1-31 = . 1-, , 4- 2i Xl = - 4 - ill Aplicando la definicion de logaritmo natural de un numero complejo. deducir las propiedades siguientes de los ruirneros cornplejos: a) Ln(-I)=nl b) Ln(-I)=7rt c) Ln(Z, 2 2 ) = LnZJ + LnZ2 + 2nJri d) Ln(ZdZ,)~LnZ,-LnZ,+2ntri e)e Ln 2=Z donde n E Z El Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con variable compleja: a) z, + 2 2 + 2 3 = 2 ~I ~~Z2 ~(2+31)Z3 =12+41 1 I (2+i )Z, -(3-i)Z, + (I-i)Z, Z,-IZ 2 +23 =21 ~8-2i Soluci6n: a) 2, =-t-1'1 . 22 =4 . 2 3 ;;:2"+2"' 5 i . b) 2, = I • 2, = 1 - !!l Para todo 2, ' 2 Solueion: XI 3iZ, +2, +(I+i)Z, ~2+3i (I-i)2, +(2+ilZ, +(I-2il~, =7-7,; (1+2k);r ill Resolver las ecuaciones: c) b) I • 2 E 2, = 3 - I !C , dernostrar que: IZ, +Z,I' + IZ, -z,I' ~ 2(1Z,I' -IZ,I') ill a) Si W= WW b) Si 2, - 22 1-2,2 2 , demoslrar que IZJ!2 +12212 -(2122 +Z221) I+IZd21Z212 -(2,2 2 +Z2 2 1) 12.1:5 1, demostrar que IWI:5 1 ill Probar que: IIZ.I-12211 :5 12, - 221. Z, .Z2 E!C. para todo ill Sean Z y W m\meros complejos, tales que, 121 = IWI = 1 z-w a) Probarque z+w ,conZ::J:.-W,es imaginario puro. . rz i wi" b) S. n E Z, probar que .:.::,.:...::-',z» +w n con Zfl *" -W II , es real. ill Hallar Z en forma exponencial, si: (liZ+41+IZ+4iIJIZ+3i1 =0 ill Expresar mediante Z=3e 3Ki / 2 , x Y sen x: a) cos 5x b) cos 8x c) sen 6x d) sen 7x Solueion: z=4e'K/2 CDS Solucion: Sugerencia: ill Hallar 1a forma exponencial de Z, tal que,Z= W' + W, W~-l, IWI= 1. !!J Realicense las operaciones indicadas, reduciendose a un complejo de la forma a s610 nurnero + bi. a) (2 + 3i) (3 - 3i) + (2 - 3i )(3 + 2i) b) 4+; + 5-3; 2-i 3+; I I Aplicar (cos x r r sen x)" =cosnx+isennx y desarrolle el binomio de Newton. a) cos 5x - 10 cos3x sen 2x + 5 cosr sen'x b) cos 8x - 28cos6x sen 2x + 70cos4x sen 4x - 28 cos 2x sen 6x + sen 8x c) 6cos5senx-20cos3xsen3x+ 6 cos x sensx d) 7 cos'sen x - 35 cos'x sen 3x + 21 cos 2x sen 5x - sen 7x c) J+4i+"'4="i d) (1+.)(3+.) (I-i)(3-i) 3 i 3+i !!l Expresar tg 68 mediante tg o ~ Escribase en forma trigonometric a cada uno de los siguientes mimeros complejos: a) Z =C+;J3 r Z= 1 + cos 40"+ i sen 40" ill Hallese todos los Z que satisfacen las siguientes ecuaciones: a) (Z + i) 5 + (Z -I) 5 60S 1-15tg Z0+ 151g4 e- tg 6 0 ill Identiffquense a) [ZI =I geometricarnente (y graficar) los conjuntos de mimeros complejos con la propiedad de que: =I b) Arg(Z)=-'} =Z5 c) Re(Z) =-2 (~ :: )4 = I d) Re(Z);'-2 b) Z5 c) S 2( 31gB -lOlg 3 () + 31g (}) m:mB'iD b) Z=ctga+i, aEj"',2".r c) Solucion: e) ImZ= 1 ~ Hallar el lugar geornetrico de los f) ImZ> I puntos que representan a los numeros g) ReZ>O h) IZ-II<1 complejos 2 que satisfacen a las desigualdades. i) IZ+II<I a) IZI<2 j) IZ-il=IZ-11 c) 12-I-il<l d) IZ+I-2il<=2 k) IZ-II+IZ+II=2 I) b) IZ-il,;1 ~ Graficar los siguientes conjuntos: IZ-II+12+1/=4 A={ZEV/f';Arg(ZJ';'; } m) IZ-IHZ+II n) IZ-II-IZ+II=2 0) IZ-l+il"'IZ+l-il Pi l"'IZ+2;1';2 ~ Construir una represeotacico del conjunto de todos los Z del plano complejo que satisfagan cada una de lascondiciones siguientes: a) IZI <1 c) Z - Z = i d) IZ+2i1=12ZI e) Re(2-1»lm(2+i) Z+Z =121 c= (zEV/f';Arg(Z)S '; ,IZI';3) D""{ZEC/t<Arg(Z + 2 -i)<2f.' IZ +2-i[<2} £={zeV/IZ_2I1>3, -f<Arg(Z)<f} f = {z EV liZ+ 3 - 211,; 2,IArg(Z +3- 2I)I,;t I G= (z e Vi Re(Z) < 2, IArg(Z)I< t} H= {W eCIIWI"1 ,1''; Arg(lI'j,; f l b) Z+Z =1 f) B=jzec!f<Arg(Z+2-i)<'; ) I={ZEV/lRe(Z)I>l,IZI,;5} K={ZEc/I~:iISl,Im(Zz)s2 2 ~ Representar el conjunto de todos los complejos Z que satisfacen cada una de las condiciones siguientes: a) 122+31<4 b) IZ+I+il<12-1+2il c) 12-il <= 12+i-21 d) \21 <= 122 + 11 -t 5 Arg( Z)5 0' ) SOLVCIOl'lES: @ ')~' b) ~ 609 -I;' ~:," *' cJ x-2j f _ Y x dJ x I • """ -- .J ~~ o) ¥~~~ Y p) ~ \S1x .. '\.j.;' ~; @) "+~: #J" ¢ +, t-// k Y J ,'~ :,>, ilL:' :':~~": x a . y;:,,\'~;: Y hi r.' .} g) .'>2> h) :r 'IF ~\-. i) Y j) ',', '':;:;':;, '~-- 1,:':Y~~, ~x .'¥' 'J • e) I) k) elipse con focos centro (t.-t) f) " elipse con focos ./::" (1,0), (-1,0) centro (0.0) (1,0), (0,-1) 2a =4 2a =2 a=2 @) a=l kQV ... /' @x a) X m +, nJ ~x F,(1,O),F,(-I,O) Centro: (0,0) Iz, -Z, 1= 2C 2 = 2C 1 =C EI g,nUico es s610 una ramade una hiperbola. 610 < .~ :'\~,: ,: x-y-I~O I/ ----r- ~~x_Y3X .r •..!;;.....: :., b) Hiperbola con jccos ZI = F) ,12 = F2 e- Y3X C)+ Y J h(d;'=Jf x d) x 4x - 2y - 3 < 0 e+- x (X+t)2 + y2 st @ a) mIl:!JlI!m .' --, "J,,;, x' + y',;; 4 k d) ("~;') ", .' ~ Demostrar la identidad: lx+yI2+lx_yI2=2(l xI 2+lyI2) i,QUe significado geometrico tiene esta identidad? x 2 + (y _1)2,;; I Y c) j1!f' b) Sugerencia: Hacer x=a+bi ,y=c+di It·, 'i ,,~Yo. . ;:i'. X I . !!l Demostrar que todo numero complejo x .'" Z distinto de -I y cuyo m6dulo es igual ai, puede expresarse en la (x-1)'+(y-lj'<l forma @ID "*, C)*Y . . " numero real. b) d) "",J ~, ~".'.'.' -2 t) i sen (} f.l = ,J ZW .Demostrar que: IZI+IWI=IZ~W -f.lHZ~W +#1 Sugerencia: hacer Z = t 2, W = r problema L J /; (}+ ~ Z Y W son dos numeros complejos, ',. ~'\" '" x:" ...' .'." Y Sugerencia: hacer Z = cos Y ". e) 1+li Z = -,-., donde t es un -n x 2, Y ~ Demostrar que si IZ 1< Emplear el +, entonces 1(l+i)Z3+iZI<~, h)¥'i. ........ " ',I g) Y / ,.\ .... . ". 6 x ;l ~ aZ +b Sea W = cZ + d ; donde a, b, e y d son reales. Demuestre que: w -w = (ad -be)(Z -ZJ/IcZ +d1 2 donde ad - be > 0, probar que las partes imaginarias de Z y W tienen el mismo signa. 611 ~ En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relacion dada: a) ex+ly b) Il+~ =xe i y --I !!l Demostrar que toda trigonometrica de la forma: Sn(x)=tao+ -, suma f. (atcoskx+btsenkx) k=l puede expresarse como exponenciales complejas, suma de no SII (x)= L. ~ c k e lk x x k =-11 ademas: cos nx + i sen nx = e' n.x Rpm.: a) x = 0, y = (2n + 1)11" , n E ::z b) x= 1, y=t1l"+2n1l" ,n E::Z !!l Hanar todos los complejos Z para los que e Z = I. Rpta.: Z=2nm , n E::Z ~ Expresar cada uno de los numeros complejos en la forma a + hi 21ri a) i + e b) e xi!4 _ e -xi!4 c) Demostrar que: (I + i J3)( 1+ i )(eos 'P + i sen 'P) = = 2,fi [cos ( i; 'P) + i sen ( i; + 'P) 1 ~ Demostrar que: a) (l+i)" (J3 - i) =2t(COSn; +isen n;) n :::: ill Demostrar que: b) - i ~ Demostrar el teorema de Demoi vre I +itg a ) " ( l-itga = l+itgna I itgna ~ Calcular: (cosB+isenB)n ::::cos(nB)+isen(nB) ) a (l--i.{j)(coslp+isenlp) 2(1-i)(cos<p-isenCj:l) valido para todo valor real 8 y todo entero n positivo. b) (l+i)25 Sugerencia: Se prueba par inducci6n. c) (l+i.J3) 20 1-, 612 z" (cos n; ~ i sen n~'T: n es un mimero entero. -----==, ,fi i . m b) l_e 1r j {2 I ... e 'U' " Rpm.: a) m:m!'llm ) d) (1- J3 -· 2 ) e ~ Hallar la suma: J 24 I-C': cosx+c~cos2x~C~ cos3x+ .. +(- I)" CO.,u (_1+;.[3)15 (-I-i./3)15 + (I_ij20 Solucion: (l+i)20 2 f1 sen" Leos!!.( x - Jr) 2 Solucion: ~ Hallar la suma: a) cost 2'1'-1; )+isen( 2'1'-1;) sen:! x + sen 2 3x+ ... + sen 2 (2n -1) x b) 212 0 + i ) c) 2 10 [cos 25Jr +isen 251T] 3 Solucion: 3 .!!._ sen41lx 2 4sen 2x d) 2" sen48.!L 12 ~ Hallar la suma: ~ Hallar la suma: sen x + sen 2x + + sen(nx) (nx) Solucion: 2 ( , ) sen2seoTx sen ; cos:' x + cos ' 2x + ... + cos 3 nx SolueiOn: sen..1!!!. sen.QL I) _L __'-cosl.(n+ l)x+1.--2-cos~ sen-t 4 ~ Hallar las sumas: a) cosx+C~cos2x+ .. +C~cos(fI+l)x b) senx+C7sen2x+ ... +C~sen(n+1)x 2 4 t 2 ill Hallar 1a suma: cosx+ 2cos 2x+ 3cos 'It + __ . + n co5("') Solucion: Solucion: a) b) )x x ("+2) 2 n cos « zsen :-2- x 2 11 cos" fcos (..:; 2 -'-,- [-1 + (1 +n)coslU - ncos( n + 1) x] 4sen f 613 19.. W n HAICES DE II UNlOAD .Ut Las n ratces de la ecuacion x" -1 = 0, n > 1, n e IN, son Wk = e l-;;- r .2.. - =le' 7 J k ,k=O,I, 2,3, ... ,. - I. Haciendo w = e 1lf ,las n GRUPO OS rakes de la unidad son {I. w, w 2 • w3 , ...• w fl - I } . (Problemas) ill Probarque 1+w+w2+~,3+... +wll-l =0 .n > 1 ~ Calcular 1+2w+3w+ + IlW n - l• donde w es una rafz u-esima de 1, ru Calcular 1+4w+9w z + !il HaHar las sumas: +"2 w"-I.donde w es una rafz u-esima de I. a) cosk+2cos~+ ... +(n-l)cos2(n-I)''l" b) sen 2if II n If + 2 sen .!zL + ... +(n_l)sen 2 \ n n II n ~ Hallar todos los mlmeros complejos que satisfacen a la condicion conjugado de Z. ~ Resolver las ecuaciones: a) (x+J)m_(x-J)m=O b) (x+i)m_(x-i)"'=O l l lI' Z"" Zn-l, donde Z es el x II -naxn-I - ell2. a 2 x n-2 - ... -a /l = 0 Demostrar que si A es un numero complejo, cuyo modulo es igual a I, entonces la ecuacicn C) m ~ J' ( l+ I-IX )'" 'Z A tienc todas la raices reales y disuntas. ~ Demostrar que las rakes de la ecuaci6n A. (z - a ) /I + P ( z - b ) n ::: 0. dcndc A. P. {I, b son ccr-plejas. estan situados en una circuntercncia, la cual. en caso particular. puede dcgenerarsc en una recta (n es un ruimem natural). SOLUCIOl'lES: __ "_ .xi w e l : ~ ;siw=l 2) I-w si w.,t: 3) n 2 1; 4) a) -~ : b) 20-w)+::?n 51 w:;t 1; n{n.,.I)(211+11 6 (J-w12 -l!..2 etg£. 5) si " " lzl =O.z=O. si Izi = 1---+ ::z= I. zz= z", Entonces z":;:: I. Por 10tanto. z=O, z =C05 2k1r +isen 21ar ,k=O. 1, .. " m - I. 6) a) c) x t=ictg k ,.1t x, =--"-, Wt"../2-1 7) x=tglp+2.br 2m 614 n " .k""O,l, ... ,m-L wk = em 8) 2kJr +isen n I;=;I~Vl4l b) x~=ctgk:.k=O,I. ... ,m-1. ~kJr • k= 0.1, 2..... n - 1. " , CAPITULO 13 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1 MATRICES 1.1 Dennlclon: Una rnatriz de In filas por IJ columnas, denotado por Am x n • es un arreglo rectangular de mimeros ~ij , las cuales son dispuestas en m fiJas y n :.olumna~/ I Am,n = a 12 a\3 ...... al n a22 aZ3 ...... aZ n a mZ am3 ...... a mn lT all amI donde I 1 $;i$;m 1 Sj S n t es una matriz de m filas por II columnas IEjemplo 011 A =[-}] B=[ ~ ~l -3 J r 5 11~ es unamatriz d<; 3 files oor 1 columna es unamatriz de 3 filas por 2 columnas 1- 2 C =l ~ 5 0 -2 -1 ] -3 D =[-3 -2 5] 4 4 1 t es unamatriz cuadrada de3 filas per 3 columnas malriz de una fila por cuauccolumnas 615 • 1.2 OIDEIOE UNA'MlTlIZ EI orden de una matriz est. dado por el producto m x n, donde m indica el mi mero de mas y 'I el mimero de columnas. es el conjunto D(2, 0, -2, 4) c) MATRIZ DIAGONAL.- Una rnatriz CUADRADA A /I es DIAGONAL, si pOT 10 menos algun elemento de la diago nal principal es diferente de cero y 10 En el ejemplo I, se tiene: A es una matriz de orden 3 x 1 B es una matriz de orden 3 x 2 C es una matriz de orden 3 x 3 D es una matriz de orden 1 x 4 1~ MlTlRCESESPECUUlS dos los elementos que estan por de bajo y por encima de la diagonal prin cipal SON CEROS. IEjemplo 04 a) MATRIZ CVADRADA.- Si en una matriz A el numero de filas es igual al mimero de coJumnas (m = n), diremos que A es una matriz cuadrada de orden II. A 0 ~ A= [ [ - 2 1 B~ [ 3 4 0-1 ]1-' Es unamatriz cuaerada de ordenj. 4 -2 -5 b) DIAGONAL PRlNCtPAL DE UNA MATRIZ.- La diagonal principal de la matriz cuadrada An ~ [a;j 1 es el 0 000 B~I de orden 2. 0 3 0 0 0 0""4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 -3 3 ] _ , Es unam.trizcuadrada 5 -5 0 0 IEjempb 021 - 2 I 1 d) MATRIZ IDENTIDAD.- Una matriz diagonal; en el cual todos los elementos de la diagonal principal son I, se llama MATRIZ IDENTIDAD. [EFmploosl conjunto: D(all, a22. Q33, ... , aliI!) [Ejemplo 031 /2 La diagonal principal de la matriz A: A~ -2 o 616 ~ [~ ~] 1 0 , /3 1o 0J 00 0] 0 t, ~ 0 0 1 0 [o 0 0 1 ~[ 0 o 1 1 0J 0 0 1 son matrices identidad de orden 2, 3 y 4 respecuvamente. 1A MATRIZTRIANGUlAR·, 1.5 Hay dos clases: Definicion» Las matrices del mismo orden mxn: A=(aij]mxn Y a) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR, es aquella matriz cuadrada, en el cual TODOS los elementos que estan debajo de la diagonal principal SON CEROS Y por 10 menos algiin elemento de la diagonal principal 0 los elementos que estan encima de la diagonal principal es Dn'ERENTE DE CERO, IEjemplo 06 8 = [b; j 1m , n si a i j =b;j son iguales, si y s610 paratodoiyparatodoj, donde I <; i <; m , I <; j <; n ' 1.6 MATRIZ TRANSPUESTA Definicion» La TRANSPUESTA de una matriz Am )( n de orden m x n. es otra 1 ~] A,= IGUAlDAD DE MATRICES matriz 8" >< m de orden n x m. que se obtiene escribiendo las FILAS de 8 como columnas de A. ~~ 2 A4 = Notation: La transpuesta de la matriz A, se denota por AT . Segun la definici6n: ~= o bij E0 8 es la transpuesta deA b) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR, es aquella matriz cuadrada en el eual TODOS los elementos que estan por encima de la diagonal son CEROS, 'o'i,'o'j I Indica que las fil115 de B son lali columnas <leA. IEjemplo os I a) La traspuesta de la rnatriz 34-5] A=[-22 83 = -'1 0 - 2 de orden 2 x 4 es la rnatriz: 84 2'~ = 111:,'0 . 0 0 4· 3 <-2 0 5 1 -10 -2 AT ~ = [ 2]o -I de orden 4 x 2, -5 -2 617 b) La transpuesta de la matriz B= 2 " -2-5 0] [ 4 2-3 3 0 c= II 4 de orden 3 x 3, es la matriz. ~] -2 3 B = -5 0 [ o 4 -3 T 4 -5 -3 MITlIZ INTISIMlTRICI 1.8 A es antisimetrica, si Ar 1.9 1.6.1 PRDPIIDIDIS MITlIZ ORTOGDNll Sea la matriz cuadrada A PI: (ATl =A :;:: - A = [Qj j ]/1 x /I = AT . P z : (..1.Al =..1.A T A es ortogonal, si y s610 si A -I siendo A una matriz no singular. P, : (A+Bl =A T +B T Propiedades: P, : (ABl =B T AT PI A es octagonal <===> A A ~ P2 Si A Y B son ortogonales, enronces AB es ortogonal. P s : In T = In , In : matriz identidad p. :(A-1l =(AT)-I. A-1:inversadeA li transpuest;'A T Sea la matriz cuadrada A . Esto es, A es simetrica IEjemplo 09 e=::) A=[ 618 -~ ~] Tr (A) 1 Las siguientes matrices son simetrlcas: = [a i j ]/1 X TI se llama TRAZA dela rnatriz A, al nurnero Tr(A) que se obtiene sumando todos los elementos de 1a diagonal principal de la matriz A, esto es: A = AT 1 I II 1.10 TRill DE UNI MITHIZ MITRIZ SIMlTllC1 Definicion» Una matriz cuadrada A es sirnetrica, si y s6lo si, es igual a su = = a[ I + an + Q 33 + ... + ann Ejemplo 10 I De las matrices: A=[~] B= -1o 5] 2 ~ Se obtienen: 1.13 MATRIZ IDEMPOTENTE a) Tr(A) = 2 + (-5) =-3 Una matriz cuadrada A = [a j j ]11 x n es b) Tr(B)=2+(-3)+(-2)+4= I idempotente si, y s610 si AZ = A . 1.11 PROPIEDADES PI: Tr«(}) =0 , (} : Matriz nula P,: Tr(l,,)=n P3 Tr(AT)=Tr(A) : 1.14 MATRIl IIVOlUTlVA Sea A una matriz cuadrada de orden n. A es involutiva, si y 5610 si A2 = In' P,: Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) P,: P,: Tr(AA)=ATr(A) 1.15 MATRIZ HERMITIANA Tr(AB)C'Tr(BA) Sea AeC" x n A es HERMITIANA si y s610 si A=(A"l 1.12 MATRIZ NllPOTENTE Una matriz NILPOTENTE, cuadrada L A. es 'rranspuesu de la conjugada de A. si A K = (}, para algun K'd?2. 1.1& El ESPACIO VECTORIAl DE LAS MATRICES Sea: JRrn x n = (( a j j) / a ij E lR ; 1:S; i :s; m .] :s; j :s; n} el conjunto de las matrices de m filas por n columnas, cuyos elementos a ij son numeros reales, Con los elementos del conjunto JRm X'I , definamos dos operaciones: • La adici6n de matrices, y • La multiphcaci6n de un ruimero real (escalar) por una matriz. Definicion I,» Adici6n de matrices. Sean: A=(aij)~ alZ a 13 ...... aZI : a 22 a Z3 ...... ami a mZ [" : ~. am) ". a z" ...... am" ] y B=(bij)= .. .... ...... ',. ] b,Z b13 b ZI : b zz b Z3 b ml b~2 b: 3 ...... b~n [" b2n dos matrices de m x n. 619 La sumo de A Y B es 10 matriz A + B de m x n definida por: a ll +bll alZ +~Z alII A+B=(aij+bij)= aZlrbZI azzlbzz az. [ +bm1 ami IHfUlu:wn 2.Si A = (a i j) a m2 +bm2 Q nm +b 1n r bz• +bl1111 MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ. es una matriz de m x n y si a es un nurnero real, entonces la matriz a4 de m x n esta definida por aall ! aa ZI aA=(aaij)=1 aa l 2 ...... aaln aa2l ...... aa l " aa ml aa m2 ...... aa"lIl Ejemplo: I) [-~ 3 -5 ~]+[-~ -5 5 -~] - 2+4 [ 4 + (-2) 3+(-5) -5 +5 0+2 ] 2 + (-5) = [2 -2 2 2) 2[-96 3 t(-9) 4 12] -3 0 [ 2(6) 3 2] 0-3 2(4) t(12) ] 3 1.(-3) 3 2(0) 3 [-64 -2~ 8]0 Observaciones» 1. S610 se suman matrices del mismo orden. 2. EI mimero real 620 r t multiplica a carla elemento de la matriz. 1.16.1 PRO.IEWES DE IASIMA DE MATRICES Sean A, B, Cmatrices m x n. Secumplen: AI: A +B=B+A (Conmutativa) At : (A + B) + C = A + (B + q (Asocialiva) A3 : Existe la matriz nula [ ~ 9·.... ····?] 8= : : ! : : : 00 ·········0 de orden m x n , tal que: A + 8 A, : V A , existe una rnatriz B, tal que = 8+ A = A, V A A + B =B + A = B Existencia dela matriz nula. ; donde: B = -A es el opuesto de A. 1.16.2 Existencia del opuesto. .ROPIEDADES DEl PRODUCTO DE UN ESCAIAR POR UNA MATRII Si A , P son escalares (mimeros reales) y A, B E JR m ," , se cumplen: E,: E,: E3 : A(A+B) = AA+AB (J.fJ)A = A(jiA) = fI(A-A) (J.+fI)A = A-A+flA 1.11 MULn.UCACION DE MATRICES Deflnicton,« Sea A = (a ij) una matriz de m x n y sea B = (b ij) una matriz de n x p. Entonces el producto de A y B es la matriz C = (c ij) de m x p, tal que: n <. = Lai/cb/ej k: Observacion» == 1 }$ism I" j" P Dos matrices se pueden multipJicar s610 si el numero de columnas de la primera matriz es igual al rnimero de renglones de la segunda. 621 Ejemplo.- Sean las matrices A=[21 0-3] -4 2 Y B= -3-2 0] [ I 4 2 2 -I -3 Hallar, si existe, el producto AB SoluciQn: Aqui tenemos que • A es una matriz 2x3 Y B es una matriz 3x3 Como el niimero de columnas de A es igual al niimero de filas de la matriz B, entonces existe el producto AB = C. donde C es una matriz 2 x 3, de la forma C= ell [ e21 en e l3 ] e2l c23 • Los elementos C ij 2)(3 de la matriz C se obtienen asf: C" = (2,0.-3).(-3,1.4) = -6 + 0 - 12 = -18 L es eI""""""" ~" de la FILA I de A/'OTIa_ldeB. C 12 = (2,0.-3).(-2,2,-1)= -4 + 0 + 3 =-1 L es eIprodM&lo escaJm. de taFIlA I de it por/4 rolIImna 2 deB. C" = (2,0. -3). (0 .2. -3) = L 0 + 0 + 9 = 9 es elprod""l0 escaJm, de Ia F'0 I de A/'OT Ia roIum.. 3 de B. C2I = (I. -4 , 2) , (-3 , 1 .4) = -3 - 4 + 8 L es el""""""" ~" de Ia FILA 2 de . . po,fa comlHna J de B. C" = (1,-4,2).(-2,2,-1)= -2 - 8 - 2 = -12 L eseIproduclo escaIaT, de taFILA 2 de A/'OT tacolumna2 de B. C23 = (I. -4 , 2). (0 . 2 • -3) = L • ConclusiOn: La malriz C es C = [ 622 0 - 8 - 6 = -14 es eI""""""" ""'alae, de IaFIlA 2 de A"'" Ia co1s"''''83 de B. - 18 -I s] 1 -12 -14 J METODO pRAcrlco.· El producto AB se podrfa hallar facilmente, coloeando I. matriz B a la derecha de A, en la parte inferior. Ver el siguienle ejemplo: A B~[~ 0-3 2 [C-4 -3-2 0] [ 1 2 2 4 -I -3 En segundo lugar, "manchar" las filas de A y las columnas de B para encontrar las intersecciones. Las intersecciones son los elementos C ij de la matriz producto C :::. AB .. En tercer lugar, calcular los elementos C ij' hacienda e) producto escalar siguiente: ell = primera FILA de A pOT primera columna de B C12~ por segunda CI3~ pOT tercera " "B "" B C 21 ~ segunda fila de A por primera columna de B C22~ por segunda " "B C,,~ por tercera " "B 117.1 'ROPllDlDIS M} Amx"(BnxpCpxq)=(AmxnB,,xp)Cpxq M2 A(B+C)~AB+AC M'2 (B+ C)A M3 I n x n An x m =An x m M4 (}pxm Ms A(AB)~(AA)B~A(AB) ~ .siempre quc tengan senudo B+C,AB,AC BA+CA, si tienen sentido B + C, BA Y CA 0 A n x m Imxm =An xm Am x n =B/J'><n . 'IAEIR 623 Ejemplo: A= Dadas las matrices -2I] [ [ 3 0 -2 2 30 2 I] B= -2 4 -3 -2 3,2 2<4 . Hallar / producto AB, si existe. Solucidn. A3 , 2 Bh 4 =C3'4 <= EI productoA por B es una matriz C)'4' Hallemos la rnarriz C. ,--.. ~ ~ ~ -2 1 c14 1) c" c24 1! C c34 ll CII C 12 C n 3 0 C'I CO2 -2 2 C32 C3I [ -: -8 => c=1 -10 33 0 2 4 -3 '--- '--- 9 4 -7 0 -4 6 3 8 -10 --4 -: ] '---' Donde: CII = -6 - 2 =-8 C I2 = 9 + 0 = 9 CJ I = - 6 - 4 =-10 C I,= 0+4 =4 CO2 = 0 + 0 = 0 C" = 0 + 8 = 8 C 13=-4-3 =-7 C2J = 6 + 0 = 6 C33=-4-6 =-10 C l4 = -2 - 2 =-4 C24 = 3 + 0 C 34 = -2 - 4 = -6 2. DETERMINANTES 2.1. DERNICION =3 Dada una matriz cuadrada A = (aij) de orden "n", lIamaremos determinante de la matriz A, al numero real I AI (0 det(A)), definido del siguiente modo. I) Si la matriz cuadrada es 1 x l , A = (all) ; su determinante es IA I = all Ejemplo: 624 Si A =[-f] , entonces IAI =-f 2) Si la matriz cuadrada es 2 x 2, A;[: :] su determinante es IAI;/:X:/;ad-eb Ejemplo: Si A; -3] -2 [ 5 4 ,entonces IAI; /-24 -31 5 ;-10-(-12);2 e f , su determinante, por el metodo de 3) Si la matriz cuadrada es 3 x 3, A; [: be] h i Sarrus, es: <:>: dxeX IAI f h g ;, (aei + dhe + gbf) - (gee + ahf + dbi) I aXbXc d/e"'.,.,f 2 2 SiA;-33 [ Ejemplo: 4 0 1.41 ; 2"'.,., 2 / - 2 -3 3 4 X3X 0 -I -2] 3 • entonces su determinante es: -1 ; (-6+0+24)-(-24+0+6) ;18+18;36 2 X 2X-2 -3/3"'.,., 3 625 En general, si [." G21 A= G ...... Gin '2 G22 ...... G2n Gn2 ...... : Gn l I es una matriz cuadrada de orden Gnn "n", el determinante de la matriz A, es el numero real: n det(A)= L(-l)'+) a'jdet(A(!/j) j == 1 A (1/ j) es la submatriz de A eliminando la fila 1 y la j-esima columna r--J eligiendo I "'l I la fila I F6rmula de LAPLACE IEjemplo 01 1' I -41 - 3 -2 3 4 Hallar el determinante de la matriz A = 2 2 aplicando la f6rmula de -2 2 -3 -3 [ j 5 -I -2 2 Laplace. SoluciOn. Can la f6rmula de Laplace, el determinante de A se desarrolla par la primera fila de la matriz, del siguiente modo: Luego, cada uno de los cuatro determinantes se desarrollan, aplicando el rnetodo de Sarrus. Observacion. La forma mas sencilla de desarrollar un determinante de orden 4 0 de orden mayor que 4. es aplicando operaciones elementales. 2.2 PROPIEDADES DE 105 DmRMINANTES Las propiedades basicas del determinante, son: PI P,: II" I = I "el determinante de la matriz identidad es igual a la unidad" IBlll = 0 "El determinante de La matriz nula es igua!a cera" IAT I = IA I "EI determinante de la transpuesta de A y el determinante de A. son iguales" P, IABI =IA IIBI "EI determinante del producto AB, es igual al producto del determiname de A por el determinante de B". P, IA-II=I~I Ps : IAml=IAl m, mE;Z+ p.: IJAI=JnIAI, JEER P7 Sea A una matrizcuadrada a) Si A posee una fila (0 una columna) de ceros, entonces IA I= 0 b) Si A posee dos filas (0 dos columnas) iguales a proporcionales, entonces "El determinante de A-I esigualalainversade[AI" IAI=O. c) Si A = (a ij I ) es triangular. entonces !A I = Gil a 22 ami. OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS DE UNA MATRIZ Dado una matriz A = (a ij I )mxn ,las operaciones elementales que se hacen sabre las fllas de A , son: I. Perrnutar dos filas 2. Multiplicar a una fila por un escalar 3. Sumar a una fila eI rruiltiplo de otra fila. 627 p. : Supongamos que la malriz B se ha obtenido de la matriz A, sumando sucesivamente el multiplo de una fila a las olras filas, entonces IBI = IAI. E}BMPW: 5 4 2 I] 2 3 1-2 Calcular el determinante de A= -5 -7 -3 9 [ 1 -2 -I 4 So/Mew•. Si enA existe un numero "I", por ahi aplicamos Ia propiedad P,. En este caso, el mimero "1" aparece en a 41 ' en G23 yen a 14 . En consecuencia podemos aplicar la propiedad P g por cualquiera de las posiciones en que se encuentra el "I". Si aplicamos la propiedad P, por la posici6n a.1 ' obtenemos: ' " Iijl ~~ (_04+ I 4 3 - .' -7 1 '.O~.: 1.-2 -3 9 ',2~'; 2 "".'1;:;;\~"':I~tJ~ (,5) (·2) (5) "'C" •. ,' • ~ 14 7 .',Q,; -17 7 -19 I 14 3 -10 =-(1) 7 -8 29 -17 '?Y~:}:;L..!Z:':~V!;,r(t~€\t4 I TC;;~C:':~:::rrolloes;;' menores complementarios (Formula de Laplace) 7 3 -8 1t -19 -10 29 I = 38 Sedesarrolla porel metodo de Sarrus. Se han hecho las siguientes operaciones elementales: I. Multiplicar la fila 4 por 5 y sumar a Ia fila 3 2. Multiplicar Ia fila 4 por -2 y sumar a la fila 2 3. Multiplicar la fila 4 por -5 y sumar a la fila I En este caso, el elemento a41 = 1 se llama elemenlo PIVOTAL y a la fila 4, se Ie llama FILA PIVOTAL. Si aplicamos la propiedad P, empezando por Ia posici6n a23 628 = 1, obtendremos: r, Aphcar Ps r (1)(3)(·2) C (_I)l+] 5 4 2 2 3 CD -2 -5 -7 -;\, 9 2 . 3 CD -2; = I· 2 [,0: 3 1 -2 -1 4 3 1 1 -2 O. 5 1 \() 3!3 1(I)I CD1 -22 l, 3 1 5 ? ('3)] 3 2 2 I -2 o o En este caso: 323 = 1. es eI ejemento PIVOTAL la fila J. es la fila PIVOTAL. 4 5 4 -2 7-13 X 7 -2 1=-<-5,2-<-14» ~38 -13 I [!ROBL£MAS PROPUESTOS mmm!I!D ID Escribir explicitarnente las siguientes matrices: a) A -- [ aij l 3)(3 b) B=[bijh" c) -( aij - b." C=[cijh" ID Sean A=[aijh" , [x-y+z B= = { lJ -r t,)j-l 2i - j , si i - j es impar (_ j)i . si i - j es par c, ='{' max{i,j} si i+j ~4 'J (_l)i+ j si i+)<4 a ij = { i/j , max{i,j} si i + j si i + j esimpar espar y 1/2 2 2 3 3/2 2x + : + 3z ], Si A = B, hallar x, y, z. x+2y+z 629 ~ Sean y aij [ -1/2 B= x+y-2 x- y+3z -I 2x+ y-z ~ Sean A Si =[ (0.2)x+2 8 0 . Si A + B A= [ax b' o eX A =B , 1 y calcular: E =B, calcular x, y, z, -3/2 (1Y~5)13] I] . =[245 si i < j si i~ j , , 2] 5/2. Si A -1/2 x+2z C ~ Sean { (l+j)/2 (i-2j)/2 = A=[aijhd =C. B=[ b: , B =[-IY 0 ] _43y.2 Hallar x + y + z. ae] bY =.1(1-x + 1-=r' y ~ Hallar la malriz "X" en: 3(X + 2A) - 2(2X + B) = 4(B - 3A + 2X) donde A = [~ :] ,B = 2/- A. !!l Considerar las siguientes matrices: A= 2 I 0] [o i+J B=[bJ 3 3 b. = 1 l' "X Y { i-j C=[~ ~] , D=[dijhx3 si i?: j si i<j dij = max{i,j} Calcular (si es posible): a) AA T +B T b) ±(3BD+2A A) c) 2A+3C 2 d) ATD Y CA e) (AB)A T l) A(B T +D) y DATA Y qAT +CI !!l Hanar las matrices X e Y si: (2X+y)T =(3y T +Y{ +2A (2Y_X T{ =2(X+B) donde AT = [~ ~] B= , [~ ~] !!l Caleular la matriz X, si: 2 [c X T +tAT Y+2(BT AT { donde: C = [ 02 O]T 2 ; AT [I 2] = 0 I = C[X T + ABJ+BT Y C = AT - B rn Hallar las matrices Xe Y si: 2(X T +X{ =2(A+X T{ +3Y 3X T +y T =2B donde: A=[~ ~] T • B =A-I TIl Caleular la matriz X, en: donde: A A( X _CB T) T BT = CB -( BC BAT) T = 01 I2 31 ] • [ B 001 =1200] I0 2 0 L002 y [102] C= 0 1 I 320 ill Caleular la rnatriz X, en: A( X -B) =[BT +(2X _BT)ATJ T Bonde: A=f 2 I] . LO 3 ' B=[4 3] ill Hallar la matriz X. si se cumple: donde: B =[ 0] - 1/2 0 _ 1/2 ' 6 9 [C AT - 2B( ATC - X T) T] T = _AT C A =I - C T = [21 32] 631 .ffi Halle "x + y + ," en: [ - 2 x y] [~ ~ ~] ; [x '10 0 z x] yul 2 0 !!I Dad.. las matrices: i-2j { 2j-i A ;[a ij ]30'3 con a ij B=(bij]ZOd con bij con c ij == 2i + } con -, =C C = [c,j hOx30 D =[d'j ],x3 E ; ;L , , , SI i ~ j si i < j si i - J es par si i- j esimpar i>j i$j =213 a) Si F = 3ABT + 2C T , calcular el elemento de la matriz F ubicado en la fila II y columna 6. b) Si G = ADEO T, calcular el elemento de la matnz G ubicado en la fila 15 y columna 10. !!I Dadas las matrices: . A =laij box30 "u " { ~ 8 =(b'j box30 bij=2i+j si i si ~ j i<j a) Si C = 2A 2 +38, calcular en la matriz C el elemento en posicion c15.20 b) Si 0 = 3A T A + 28 T ,calcular en la matriz 0 el elemento en posicion d 20.l 5 632 ~ @ Hallar el determinante de cada una de las siguientesmatrices: a) [ 6 2 5 3] b) [3-2] 4 ' 5. //fila.: a) 8, b} 23, c); [4-5] -I _ 2 c) -13 Q,. ~ Determiner eldeterminante , de [1-5 -I 1:3] //fIta.: 12 '- 21- 8 @ Determiner los valoresde K para los cuales: I4K K I= 0 2K Rpta.: K= 0 , K= 2 @Aplicando.propiedades, hallar el determinante de cada uno de las siguientes matrices: a) I2 -24 - 3]I b) [25 36 4]7 [I 8·91 5'~2~ RPta.:· a). 9 . b) 21 @i}litllairel.delennimmte.deiJa'>.marnCltt" 1 0 5 2 1 -2 1 1 bh I, 1 2 -2 3 3 -I 2 3' 0 ;-1' -I -3 4 2 6" 2' a), 1;. 0, - 2' 0' 3,· -1; 1 -2 4'-3' O· 3' [' "'J RJlftl.: a) -149· b) -Hl2~ Sugerenc ia: reducir a matriz escaloDadai empezandopor donde haya la unidad. @ Si (1 • w • w') son las raices ciibicas de la unidad, hallar. a) I w w2 Iw w2 1 1 w w2 b) b) -3.,[j; RpItL: a) 0 l+x @Hallar: . 1 1 1 w w2 1 w2 w 1 I 11 1 I I-x I 1 I 1+, 1 1 1 1 1 1-, RptD.: x 2 , 2 @ Aplicando propiedades calcular el determinante: a2 b2 (I' + 1)2 (I' + 2)2 (a+3)2 (b+ l)l (b « 2)2 (b+3)2 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 (d + 2)2 (d+3)2 c d 2 (d + 1)2 @l Aplicando propiedades, cakular: x q a b x x x b b x x a x b a x Rpto.: (b-a)2 (a +b-2x)(a +b+ 2x) @ Usando unicamente propiedades demostrar que: abc d I a d -c = (a2 +b2 +c2 +d2)2 -c -d a b -d c -b a -b 634 Rpm.: 0 I!!I Probar que: ao -I 0 0 al az a3 .r 0 0 -I x 0 0 0 a,,_1 a. 0 0 =oo.l' It +a.xn-I +a2.l' .. -2 + ... +all_lx+a" -I 0 X ~ Hallar el valor de .~.. (en cada coso) si: x 1 0 x a) I 1 x x 0 x x x 1 x+1 0 x+1 x =0 2x+1 2x x -I -3x 0 1 2 -I b) 2 0 2 1 1 -I 2 1=3 [!] Dadas los matrices A y Brn coda caso,baIlar "x" a) IA-BI=-I ,donde 3X- 2 1 0 3 ] x 2 x 2 A= x+2 4x [ B= b) 18A-BI=2 ,donde 2 1 3 3 1 1 2x-1 24 1x 1I] x [ A= 3 3 2 2 x 3 4 0 x+1 o 4 2x-1 -2 o 4 -I -I . 2 -I 3 1 1 [ 0] 3 B=(t/r' 636 x-2 -1 1 J o 2-1 A c) IA-2B/=3 ,dande [ 3x-4 -1 -2 1 x 3 B=(2/)-' ~ En cada caso hallar IX I si: a) B 2 X-IA T _(ATe)' =0 donde A= 11 2] [o 0 2 3 0 2/3 2/3 1/3] B = 4/5 1 1/5 , [ 1/2 1/2 1/2 1 e = A-3 B2 b) A'+B'(A-2X)'=(AB)'-B ,dande A=31-B = [ 2 -1 0 3 -1 I -n c) 2B 2X-'C'-A(X T)2B=0 , dande A= 02 24 33 ] [ 001 00 , B = [ 10 1 15] , A 2e = B 2 336 3 0 ~ Dadas las matrices: A = 0 1/6 -1] 3 [ ° 0 B= [1 1 2] 0 0 1 6 4 2 3 Calcular: liB'. AI/,ll lA' .B2 1 ~ Dada I. ecuaci6n: A 3_2A 2B-' = 0 can Ah 636 4 y \AI;tOcanA4 , 4 Y IAI;tO, Hallar IABI si: B = ~ Calcular [(_4A T 30 00] 0 1 1 0 [3I 2 1 0 1 1 3 I"I. si A es una matriz de orden 4 x 4<IA 1'" 0) y ademas: .A{12_ U2 A T =0 ~ Sabiendo que A, Bye son matrices de orden 3 x 3 y ademas que: IAI=II2. IBI=3. ICi=2 Calcular: a) IIA TBIC IAI b c) IAAT1-1'.') AI I-AS-'I d 12A'I-IA' -A' 81 18 11+1 2/ , 1 f) e) 1<8'C') T A-'II/,I ) IcT A-', 18T _28T AI ) 14A8' -28'1 12AS' +48'1-1,/281' IA+ 211 11/ ~ Dadas las matrices: A=[~ -I] 2 . [31 1I] . C=[1/2 0] 0 1/2 B= CalcuIar: a) IIA + 81C! lAC! ~Calcular b) IIA + 2q 281 IIASI/,I C ) \I2C-8I(c+2J,ll 12AS' I"+BI si A=31nxn • B=[bijlnxn " - {O1 donde: b .. _ i= j i '" j ts:n 3. .... R'" .Tlll EIIMBSA DE UNA MITRIZ 3.1 TRII DeftnkI611.- Sea A = (a ij ) mxn una matriz m x n, diremos que el numero entero positivo "r" es el rango de la matriz A, si existe una submatriz cuadrada B de A de orden "r", tal que, IBI" 0 y eJ determinante de cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que B es cero. N%ew,,: EI range de la matrizA,la denotaremos por ptA) 3,1.1 PROPIEDADFS Dado la matriz A = (a ij ) m' n se cumplen: p(A) :5 mil m,lI} Pl' "el rango de A es menor 0 igual al minimo de los mimeros enteros m, n ". P,. p(,r) = ptA) "el rango de la Iranspuesta de A es igual al rango de A". P3- Si A=(a jj es una matriz cuadrada de orden n.entoncesp(A) <n.si ) lI x li y solo si IAI=O. q ..1lElCll1E MATRICES U Diremos que la matriz B~xn es equivalente a la matriz A m x n ' si Ys6lo si, B puede obtenerse efectuando un namero finito de operaciones elementales sabreA. NoIaew": La notaci6n A - B se lee "A es equivalente a B" [PRoPIEDAD: Si A - B, entonces p(A) = p(B) ll3lI I I Ejemplo 01 1 Hallar el rango de la matriz A =[ ~ 2 0 -1] 6 -3 -3 10 -6 -5 Sobu:i6n: La forma mas sencilla de hallar el rango de la matriz A, es reduciendo A a la forma escalonada utilizando las operaciones eJementales entre filas. La forma escalonada de la matriz A. es otra matriz equivalente que se obtiene mediante operaciones elementales, en el cual los elementos que estan debajo de la DIAGONAL PRINCIPAL de la matriz A son ceros, Veamos como se opera: 1 2 0 0 2 -3 0 4 -6 t , • t Esla_ esaIonada La 61aZ es........• donal a la fila 3- Para hallar el rango de Ja matriz A, miramos la mattiz escalonada y contamos el m1mero de VECfORES Fn.AS NO NULAS, en este caso hay 2 filas no nulas: (1,2,0,-1) y (0,2,-3,1). Entonces P(A) = 2' LRqod<. IEjemplo 021 Hallar el rango de la mattiz B= [ 1 1 -2 2 3-1 -52 -2 9 4 -1 1 -1 5 5 -3 2 I J 3 Sobu:wn: Prlmera operaclOn elemental: eligiendo Ja fila 1 como fila pivot y convertir en ceros todos Jos elementos que estan debajo del elemento pivotal all = I. 639 1 -2 I 2-2 ?t7~~·t"""1'·J) o 7-3 o 7-3 t ..- Esla_ SeguucIa operaciOD elemetltaJ: elegir la FILA 2, multiplicarla po< -1 Y sumac a las ALAS 3 y 4, respectivamente. CONCWSION: Mirando la matriz escalonada, podemos contar que existen dos vectores FllAS no nulas, entonces el rango de la matriz B es igual a dos, esto es: L@::i] 3.3 U1III.lIS CIFICTUES YAmIITIIE INA UIIIl Dado 10 matriz cuadrada A = (a ii) de orden "n", definimos: a) A (il j) es la submatriz cuadrada que se obtiene eliminando la i~ima fila y Ja j-6sima columna.. b) EI determinanle de la submatriz A (ifj) ,que la denotamos por A(ifj) es el I I i-j esimo menor complementario. c) EI mimero real aii =(_l)i+ i IA(il j) I es el i-] esimo COFACfOR. d) La matriz de los cofactores de la matriz cuadrada A = (a ii ) de orden "n" , es la matriz. cof(A)=(a .. )= 'J [ a ll al2 a ln] a~1 a~2 a2n a III a n2 . ann ~ ~ ~ e) La adjunta de la matriz A, es la transpuesta de la matriz de los cofactores de A, esto es: Adj(A) = (aii / fU() [lijemplo 031 Dado la matriz A =[: :]. " TIn,1 hallar la Adj(A) ·1 SobuiOII: d En primer lugar, hallar el cof(A) = -b [ -c] a En segundo lugar, hallar: Adj(A) =[cof(A)]T = IEjempIo lUI Dado la matriz A = ~ 1 0 2 -1 [4 1 [-cd -b] a ~ ]. Hallar la Adj (A). SobIeiO,,: En primer lugar. hallemos el cof(A) = = Ea segundo hrgar, Adj(A) = [cof(A»)' = +1-: :1 -I~ :1 +I~ -:1 I -I ~ ~ I +1: ~ 1-I ~ ~I +I-~ ~I-I~ ~I +I~ -~I -11 -4 6] [ -11 2 2] [ 2 0-1 2 1-1 -4 0 I 6 -I -I N' 3A IIIIEISIDEUII.1IIZ Dejinici6n. Se dice que una matriz euadrada A es invertible (0 no singular) si existe una matriz B con 10 propiedad de que: AB = BA = 1 ; sieDdo 1 I. matriz identidad. Tal matriz B es unica. Notacron: Si B es fa Inverse de A, la denotarnos por A-I EXISTENCIA DE lA INVERSA DE UN" MURIZ CIlAIJIWM PROPOSICION I.-La malriz cuadrada A. de orden "II" tiene inverse, si y solo si P(A) ~ n IIq>drA--1 PROPOSICION 2.-La rnatriz cuadrada A. de orden "II" tiene inversa, si y solo si IA I ,,0 _dr-.1 A Teo........: Sea la mattiz euadrada A = (a ij ) . , n tal que OOISCdU IA I ;< O. entonces: A .adj(A) = IAI'. L L d......,"" porII del detenniMote de malllz idenlidad _ d r II molriz d porIlJdjuO.. drA. Corolario: 1142 La inversa de la matTiz A. si existe, es: IA" =~adj(A)1 3A.l METODOS PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ La inversa de una matriz cuadrada A, si existe, se puede hallar mediante los siguientes metodos: 1. Resolviendo la ecuaci6n AB: I, donde B es la matriz inc6gnita por hallarse. 2. Por operaciones elementales. 3. Aplicando la f6rmula: A-I: I~I adj(A) PROPIEOAOES DE LA I.VERSA PROPlEOAOES DE LA AOJUNTA 1. adj (/) 1. (rl)-I ~ A =1 =(adj (All T , 2. (AB)-I = B-1A-I 2. adj (AT) 3. (AT)-I =(A-')' 3. adj (A-I) = (adj (A)j-' I 4. (M)-I :±A- {A':l 4. adj(AB) =adj(A) : adj(B) .IA 1;< 0 , IBI 5. (An)-I = (A-1)n \lneZ+donde A' =A,-I A n 6. t:' =1 , 1: identidad si IA1;< 0 ;< 0 5. adj (A") = (adj (A»O EZ+ 6. adj (M) =..0-1 adj (Al , .. e 0/ 1. I adj (A) 1=IA ,0-1 o-'r IA!O-I 8. jadj (M)j: (.. 9. I adj (AO)I= jA 0- 1 10 10. I adj (adj (A»I ~ IA I (.-1) 2 fI43 IEjempio osl I 1 0 0 0 CD 3/2 0 I 2 I 0 I I 0 0 I 0 0 0 1 3/2 -2 1/2 0 Per 2 -c-, 0 0 112 3 -1/2 I M6todoll I 0 0 1 0 Poroperaciones elementales entre filas de 0 HF!+F,i 0 I 3/2 0 CD 6 -I 2 I 0 0 I 0 0 0 1 0 -11 2 -3 0 0 I 6 -I 2 Hallar Ia iJIVersa de la matriz: A~ [ ¥. I 00] 4 2 3 . -I I 2 Soillewn: Haremos dos metodos: una matriz. 0 -2 1/2 0 -2 1/2 0 0 0 Paso 1: Escribir la matriz A a la izquierda y la matriz IDENTIDAD a la derecha, separados por una linea vertical: 1 0 I 0 0 423 o 1 0 o 0 -I 0 I 2 CONCLUSI6N: La inversa de 13 matrizA es: I A-I ~ Ptuo2: Aplicando, simultaneamente, operaciones elementales; convertir la maIriz A (el de la izquierda) en matriz IDENTIDAD. La nueva matriz de la derecha es la inversa deA. Veamos: 0 423 -I I 2 I 0 0 r po 1 ---> 0 2 3 0 644 1 2 I 0 0 0 I 0 o 0 I 1 o 0 -4 1 0 I 0 I 2-3 6 -I 2 M6t0d021 Aplicando la adjunta de la matriz A. f6rmula: CD 0 [ 1 0 0] -II IAI : A-I ~mAdj(A) es el detenninantedeA. Adj (A): es la adjuntadeA. f!M!!..J..: Empecemos por 10 mas simple: caleular e1 determinante de A por el metodo de Sarrus: 1"'-,.0/0 -I XIX 4 COMENTARlO: = (4+0+0) - (0+ 3+0) X2 X321=1 1/0"'-,.0 423 Como habra notado el lector. los dos metodos s610requieren de operaciones aritmc!ticas simples de suma, resta, multiplicaci6n y division. Para hallar la inversa de las matrices de orden 4 0 mayor que 4. es preferible aplicar el mc!todo I. Paso 2: Calculo de la adjunla de A: En la actualidad, con las calculadoras cientfficas. se pueden hallar la suma de matrices. el producto de matrices y la inversa de una rnatriz Adj(A) =[cof( AliT L'IItAN5PUfSU de It M\TID' deb_ded. 4 2 3 + 1 2 1 co/(A) = I -I ~ 31 - -I 2 1 1 ~ 1+I~I ~I 4 + -I 1 21 1 fl ~I +I~ ~I -I ~ ~ 1+1 ~ ~ 1 I -II 6] 2 -I [ o -3 2 = 0 I EIM/plo Scan las matrices 4] . [I -I °3] 2I ° [ A= -I 2 I I 02-30] Mj(A)= -II [ 6 -I 2 CONCLUSION: A- I 1 0 0] = -II 2-3 [ 6 -I 2 °° B= 2 ° 2 I I a) Hallar BA. b) Hallar la matriz inversa de la matriz BA. Soluci6n: Paso3: La adjunta de A. es: 06 1 BA= [ I -I 2 2 ° I 3]-©-Gi i ° _.@j)-@i)- , . Cn ... I-@-@- C;, j [-: ! ! ) ~] 2 ° IUS Cll = 2 + 1 + 3 = 6 C12= 1-2+0 =-1 C13 = 4 + 0 + 0 = 4 donde: C2I Cn Cn C3I Cn =4- =2 = = = =6 =8 =0 = C,,= 2 +0 2 +4+0 8+0+0 0-1+1 0 +2+0 0+0+0 r-;~ 16119 20/19 (-i~6 )( if) 0 0 I 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I I 6-1 4] [ (BAj-1 = 1a inversa de operaciones elementales: -I 4 2 0 6 8 0 J) ·1/6 6 2 2(; ·1/6 2,>3 2 20/; 0 C::' 2 0 2 8 0 0 0 1/2 ·1120 ;;20 ·19/40 I 1/5 -1/10 0 o l -1/20 2 6 8 020 @ I/S ·1/10 2/S CONCWSION: La inversa de BA, es =0 b) Hallar Pur .1..... 6 CD =2 Entonces la matriz BA. es: BA= 3/19 1/38 0 ·1/19 ;119 0 ·1120 ;/20 -19/40 BA por 2/5 1/2 ] -19/40 3/20 IEjemplo 071 Hallar la inversa de 1a matriz: I 0 0 0 I 0 0 0 I 1/6 0 0 0 1 0 0 0 1 116 ·1/; 0 0 0 0 1 A=[: : ] , si ad-bc¢O SoluciOn: Aplicando 1af6rmula: r' = ~adj (A) En el ejemplo 3, se hall6 la adjunta de A. I Por.l.. -+ 0 '9 0 C-2)~ 646 2/; I 0 ·1/6 0 2 20/19 0 I 0 16119 0 Per _12. -'0 ... ® CD l&fy o ·40/19 I 0 1/6 0 ·1/19 ;/19 0 0 0 0 ;/19 1/;8 ·1/19 3119 2(19 ·6119 0 0 1 1 Faltarfa s610 hallar el determinante de A. det(A)=ad-bc CONCLUSION: -1 _ _ '_ A - ad-be a [ -cd -b] IEjemplo 08 Si A ~ [ -2I 1 -I A ~jAj 2 [I - 2] I ~t [~ 2] -1 I , IAI~I+4~5 2] determinar la matriz X I en la ecuaci6n: (AX T + A-1)T ~ 3A-1 Soluci6n: PROPIEDAD: En la ecuaci6n: (AT)-I ~ (A-'jT (AX T +A-1)T ~3A-1 _I[ I 2]I r - 5' .. 2 (2) Aplicar lapropiedad delatranspuesta (AXT)T +(A-1)T ~3A-1 1 (XT)T AT +(AT)-I ~3A-1 1T XA Reemplazar (2) Ylas matrices A,I en (I): x-[- 3 [-2I ']_[' O]_1 Lf-2I 2]' ] 1[ 1 2] I 0 1 1 . 5 ~Z I 'i -1- 3-1~t 6-"] ,t [I '] [3-6+i 1 ~3A-I_(AT)-1 0::: multiplicar por 1J derecha, la matriz (AT)-I: -2 I o1[ -289 "]1[ I ']_..L[-47 46] 9 'L--2 1 -46 'i ~47 -l5 [Ejempto 091 (JAT)(AT)-I ~(OA_I_(AT)-I)(.1T)-1 X(A T(AT)-II ~ «3A -1- (AT)-I )(A T )-1 CalcularlamatrizX,si: A-IX-IB~C-I donde: '--.,----' A~[~ ~] 1 x ~ OA _I_(A T )-1 )(AT)-I , .. , (I) l CALCULOS AUXILIA RES: Hallar la inversa de A Aplicar eJ ejemplo 7: ~'[ -2I C 2] I . B- 1 ~ [1/3o 2/3] 1/3 ~[~ ~] Soluci6n: En laecuaci6n: A-IX-IB~C-I multiplicar par la izquierda la matriz A y pOT la derecha la matriz B- 1 . 647 X~ 2[2I 4]-1 I As!: AA-I X-I BB- 1 ~ AC-1B- I '-rJ '-rJ I I 4 X-I ~AC'B-I ! (I) Hemos aplicado la propiedad asociativa y las siguientes propiedades: AA- I ~ I Aplicar el ejcmplo 7 1 3_1 X~4(2_4) [ -I X~-i[~1 BB- 1 ~ I IX- I ~ X-I 4 -2 ] 4 -2 ] X-II ~ X En la ecuaci6n (I) hacer los siguientes productos: AC I ~[~ o] -t -t...~ [8 0] 1 ~ 4 ~.... 4 [~ ~] Ahora: IEjemplo 10 I Calcularla matriz X. si: AX-I + B ~ C donde: A-I [8{3 1~3] [~ O]·····-t····t···~ 4 ~ ~ 4{3 AX -I + B ~ C, despejar X -I : AX-I = C-B A-I A X -I ~ [I~ 2{3 ] 1{3 I Pero t ~[8{3 16{3 4/34 ]~'/l2 4] 313 648 A-I (C - B) X- I ~ A-I (C-B) ., ... , (I) ~ A C ~ A - 21 (2) Reemplazar (2) en (I): X- I ~ A-I (A-2/-B) ~ Aplicar lainversa enambos miembros: ~ C+21 Asf, hemos obtenido: X-I = A SoluciOn: De: (AC') B-' = ~lB~[~ ~ lC+2/ ~ [~ A-IA- 2A- I / - k IB ~ / - 2A- I -'A- 1 B ......... (3) Ad} (XA) = Ad} (X) • Ad} (A) CALCUWS AUXILIARES: A-'B;[~ 3]I ·····-t····t····;[ 582]3 ~ ~.... ! j Ad} (A) Ad} (B) [~ ~] IXI X-I = IA IA-I 1 = IBI B- Ad} (X) = A-I B- 1 = (BA)-I en la ecuaci6n: Volver a (3): x" ; IAB'X IB Adj(X).Adj(A).Adj(B) ~ IAIIBI'IXIB IXIx-I.IAW1.IBWI; IAIIBIIBIIXIB Adj(XA). Adj (B) ; [~ ~] - 2 [ ~ ~]-[: ~] X-I;[-II -8] U -II [ Suponiendo que: -II -4 IAI;<O.IBI;<O,IXI;<O I -8]- X; ,E; -11 -4 -11 -4 lEI f) [-11-8 ;44-88;-44 X-I A-' B- 1 =IBIB Aplicar elejemplo 7 ;IBIIBI 1:1 ;m [-4 8] 11 -11 -4 hacemos la sirnplificacion correspondiente de los rnimeros reales: IXI.IAI.IBI: 8 x" X;-14 [ 11 -11 ; [.L _.1.] 11 11 -i i (BAl- I ; I B 12 B- 1 multipliear,por la derecha.la matriz BA: x :' ,(BA)-.' (BA). ~ IBI 2 B-I(BA) IEjemplo 11 I X-I; IBI 2 (B-IB)A Calcularla matriz X, si: Ad}(XA) • Ad}(B) ; donde: A ~ [21 '-,,---' IAB' X I B 0] -I' Solucion: B-1; I x- I ;IBI 2 A [3 0] 1 I Falta hallar ......... (1) IBI = -'-I IB" I Apliear las propiedades: 649 =[ ~ 1 De B hallamos I B -'I IBI Luego: ~] CCIXAB=.!.Cl ~ C = 3. = X AB=.!. C 3 t (2) X(AB)(ABF I =.!.C(AB)-I , Reemplazar (2) en (I): 3 v----J I X- 1 -10] l X=9[20]-1 1 -1 I 3~ I I C -I X=,8 A-I, = .!.[ 2 (1 ) 9 Aplicar ill\'tlSl enambos miembros: Ademas: y Adj(B) = 181 B- Adj (Ad] (B») = Adj ( 181 8-') = 181]-1 Adj (B- 1) =[BI 21 ApJicar eJ ejemplo 7: = 181' =9 !2 [-1-10] 2 X=_~[-J 0] -J C X X = .!.IBI8B- I ~ 3 I~I 8 = 181 8 (2) A-I I ~mplO 121 I Hallar la matriz X. si: C- X AB = tI = l[BI A-I 3 = tlBII~1 Adj(A) donde: 52 J4 1O] • B =[321] 0I 3 [ 121 001 C = Adj (Adj (B)) IAI >0 En C-IX AB = t1 • hacer: (3) Pero: IBI = 3 (4) (4) en (3): X = r!iTAdj(A) Solucion: 650 8-'18 Reemplazar (2) en (1): 2 Adj(A) = 1 5 2 =r!iT [ J 01 J I 2 J 4 .1t(fflWiAs{PRoPU~Sl'd$~~;~1 2 A:[ 4a+1 3-2b BHallar: A=t 3I 40 0] 0 donde rmmDID ~ Sean ~ Hallar la matriz B = 13 Adj (All A-I 2b] 2 A" 10-1 0 o [ 2a+2 2b-b A - B, sabiendo que: I 0 2 2 donde: 0] B- - [20 3] A:[ 1~2 1/2' 1 _ [ 248 I : [ : ~ Hallar la rnatriz 2 2 IAj<O. I 0 0 I ~ Hallar la matriz X, si BXA = C, donde B:Adj(A) , C:Adj(Bl y J 1 1 1 L donde A = ~] 0 0 3 9 0 I A= 0 2 0 [ rO2 ~] B: IA«;(2A)1 I, ~ Hallar la matriz X -I si: I AX-2 - BX- = 03x3 ' donde: lo donde: C- I = 3 2 0 AdA- AB-IXC I =2A- I B- 3 4 0 I 111011001] 0310 0220 'B1()-10031 -0220 ~ Calcular la matriz X si: , I 5 I 0 O" tB:Adj(2A)= X -2 A-IB- X-I A: 02,2 [~ ~] l2-10] AX = B, donde: ~ Calcular la matriz X, si: A-I: ,c' = ~ Hallar la matriz X, si se, cumple: - A:I BI B- 1 1 I ~ Calcular Adj(B) ,si AB = C, donde: ' 1-2a] -2 I , (tA)-1 o1 0] 0 1 2 2 ~ Calcular la matriz X -I , si: Adj(BX). C: lAX lA, donde: C = Adj(A). B=Adj(C) Y B= 200] [o1 I 0 I 2 651 I 4 PROBLEMAS PROPUESTOS I B- [ amDIIID @) SI A.ll 2] deterrninar -2 1 ~ ~ Determinar la inversa de 13 rnatriz A. A= -2 3 4] [ 2 -I 1 1 -2 t ~ Dada ta matriz: B I = b11 b12 b13] L b21 b22 b23 Se dice que el triangulo TB estti asocilldo a la matriz B. si tiene como vertices (bibb,,) . (b",b,,), (b 13,b21) , Si A=[ ~ ~I] B= [ - I 1 -3 4 2 -2 ] ' 234] 3 2 1 [a+3 0 c 0 2 c-l -6 4 6 8 ~ Y IA I -2 -4 6 ~ 1J -4 a) Hallar todos tos vatores de A para los cuales A es invertible (es decir, tiene inversa). b) Usando operaciones eJementales de filas, hallar para A = 7 la matriz inversaA- 1 ~ Halle ta matriz X que satisface ta ecuaci6n de las matrices de orden 3 x 3: 3A + AX = B + C . en donde: c= [ I rI 3 -2 'B=jO l -2 5 1 -11 J 3 12 6 15 -9 -7 6 -2 , 01 11 22 2] 3 [22 2 2 3 3 3 3 11 IIJi a 0 @!) Encuentre la matriz inversa de: A= Y IBI -2 ~ Dadas las matrices: 4 a 2 A=,2 5-3 L-3 2 -4 Determinar y graficar el triangulo asociado a la matriz AB. A~ a 0 c 0 3a 3 3c -9 Dada la rnatriz: A = [ r Y t 2 Hallar la relaci6n entre la malr;. X en la ecuaci6n: (AX 1' +A-1)T =3A-I 3 ~ Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. justificando debidamente su respuesta. a) Si de una matriz A de orden loll" Y rango: ran(A) = T, se elige una submatriz B forrnado por "v" filas de A, el rango de B: ran(8) = t satisface t ~ r + s - 11 b) Si A Y 8 son dos matrices simetricas de orden "n", entonees AB es sirnetrica si y solo si AB = BA c) Si A es una matriz de orden impar 2/1 + I Y AT = -A , entonces: det(A) = 0 d) Si A, 8, C Y D son matrices cuadradas tales que: (A - Br ' (A + B) Y AX ~ Sean las matrices: A=[~ 0 -2 B=[~ 1 1 ~ Si A Y B son matrices cuadradas simetricas de orden n, demostrar AB es usando propiedades que sirnetrica <0> AB = BA. 2 4 3 ~ Si A= 3 6 5 2 ] I!!J a) S,: A = l 3 3] 3 4 1 4 3 -I 0 2 0 -3 I -I 1 2 ' b) Para una matriz cuadrada A de orden n tal que existe -< E /R para el cual A2 + M + l; = 0, Demuestre que existe la inversa de A. c) Si A es una matriz de orden 3, antisimetrica y triangular. ~Existe A -I? Justifique, !!!J a) Dada las matrices: A= 0 0 2 1 [ -1 2 B J I [o 01 I hallar A-I Hallar la inversa de: 1 ] -I -2 tiene inversa, encontrar det(A- 1) . A= ~I 0 2 2 5 12 -3 [ 4 5 14 14 -I 0 +D=BX + C A. E 1R, entoncex det(M) = A' det(A) [ill 0 Determinar 18 matriz X que satisface la ecuaci6n AX = A r + 28 Entonces X = A + B Nota: Si A es una matnz de orden "n" y qy =[ ~ ~] -/l oJ I 0 1 1 YC=230_ [ Ca1cular. si tiene sentido, cada una de las siguientes operaciones: [!!J Hallar la inversa de Y (CcTr', AB • BA b) Sea A = -30-4J [ 4 1 4 2 0 3 rl I 1 I] A ~ll 2 -I 2 1 -I 2 1 I 3 3 2 i) obtenga el (los) valor (es) de: C E fRtal (esj que j A -cll=O ii) Para el (los) encontrado (s) sistema: (A - cl ) X = 0 vector columna A= B= C= [ I -3 0 A~[a c donde X denota un de orden 3 x 1. 1 -2 J SI AB = BA, toque condiciones de ben cumplir a, b, c, d E lR? llama simetrica si es de la forma: [~ 240 4 2 -1] [ 1 -I 1 2 -3 2 [ :] Dar un ejemplo de una rnatriz simetrica de orden 2 con entradas no nulas, tal que: 4 1 3] 0 2 -1 1 0 b] YB~[ -I1 1]1 d b) Una matriz cuadrada de orden 2 se 2 A2~A , (!!) Hallar la inversa de la matriz: 5 hallar: a) la inversa de C - B b) la rnatriz X tal que A + BX 654 Dadas las matrices valor (es) de C en i) resolver el ~ Dadas las matrices: 0 Iffi a) ~ ex A~ 23 51 53 2: 2 [ 42 5 2 -3 5 14 14 • 4. SISTEMA DE ECIICIONES 4.1 DEfiNICION Un sistema de "m" ecuaciones con "n" inc6gnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma: all x) + al2X2 + +alnxll=b j a21 Xl + a22 X2 + + a:zn XII = b2 (0) I + a m2 X2 + '" .. + amJf XII = bm ami Xl donde: A= X [",i al2 .,. a21 a22 ... ami a m2 ... ['t = x2: I B= .. ] " I es la matriz de los coeficientes m,n es la matriz de las "n" incognitas. In,1 [, b, I ;- es la matriz de los terminos independientes. L Jmd all an ... a ln [A/8]·[1" a22 ... a2n ami a m2 ... r ,I b2 amn bn En forma matricial. el sistema (0) se escribe: es la matriz ampliada 0 matriz aumentada del sistema (.) IAX = B I 655 Un sistema de ecuaciones lineales puede ser homogenea 0 no homogenea: Es homogenea, si AX=O o : matriz NULA m x 1 Es no homogenea, si AX=B B : no es matriz NULA 4.2 MOODOS PARA RESOlVER UN SISnMA DE ECUACIONES liNEAlES Antes de aplicar algun metodo para resolver un sistema de ecuaciones lineales de "m" ecuaciones con "n" incognitas, se procede en hacer un breve y rapido calculo del rango de A y del rango de [AlB]. para luego comparar con el mimero de incognitas que tiene el sistema. Supongamos que se tienen: • EI rango de la matriz de los coeficientes peA) • El rango de la matriz aumentada p(AIB) • EJ mimero de incognitas "n" EI analisis es: a) Si peA) = p(AIB) = r , entonces el sistema es compatible. Ahora, si el sistema es cbmpatible, se presentan dos casas: a.) si r = it n , entonces existe uniea solucion. el rango es igual aI numero de incognitas a2) si r < n it entonces existe inlinita soluclon. En este caso, el numero de parametres en 1asolucion genera) es k = n - r el rango es menor que el nnmero de inc6gnitas b) Si p(A) '" p(AIB) • el sistema es incompatible y por 10tanto no existe solucion. 4.2.1 METODO DE GAUSS- JORDAN <Por operaeiones elementales) EI metoda de Gauss - Jordan. para resolver un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incognitas. consiste en rcducir Ia matriz ampliada [AlB] a la forma escalonada por jilas a mejor todavia a la forma canonica par jilas. Esta reducci6n es posible hacienda operaciones eJementaJes entre filas, [E/empIO 01 I Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x - 2y + z + 2p 2x + 3y - z - 5p ~-2 ~ 9 4x-y+z-p=5 5x - 3y + 2z + p = 3 Solucion: .~ Escribir la matriz ampliada (es la matriz de los coeficientes, agregando la columna de los terrninos independientes), entrada ~ principal dela fi1~ J Oondf la matriz de los 2f29 -5 I DI1IGONAL PRINCIPAl DELA MATIUZ DE LOS COEflCIENTES Ytarnllien 5 :;t3 ~ roe6(~nles y I. matriz mpHada son, respectsamente: A- '~ -: I 21 4 -1 1 -5 1 _I 5 -3 2 [ ~ [12 -23 -I1 -52 y [A/BI' 1 4 -1 5 -3 1-1 2 1 -;1 de laampJiada Mediante operaciones elernentales, reducir los elementos que estan debajo de la diagonal principal en CEROS. Para facilitar esta operaci6n es preferible reducir a la unidad, cada elemento de la diagonal principal, si 10requerimos. 657 • Empecemos las operaciones elementales: [['.'~~ .4 -2 .5 3 -1 -3 I -2 1 -1 I 2 1 G) -3 7 -3 7 -3 0 0 0 In. ITERACION : 2 -2 -5 • multiplicar por -21a FILA 1 Ysumar a la fila 2 -1 9 5 • multiplicar por -4 laFILA 1 Ysumar a lafila 3 1 3 • multiplicar por -5 laFILA 1 Ysumar a la fila4 2 -2 2'" ITERACION : -9 -9 -9 13 13 13 • • Multiplicar por -1 la FILA 2 y sumar ala fila3 Multiplicar por - 1laFILA 2 y suma, a lafila4 -2 13 o.....' MATRlZ ESCALONADA o Mirando las filas de la matriz escalonada que es equivalente a la matriz A tenemos dos vectores filas NO NULAS: (1, -2 . 1 ,2) y (0,7, -3, -9); entonces p(A) = 2 LRangOdCA Mirando las filas de la matriz escalonada, que es equivalente a la rnatriz ampliada [AlB], tenemos dos vectores filas NO NULAS: (1, -2, I, 2, -2) y (0, 7, -3, -9, 13); entonces PlA/B] = 2. Ahora, el analisis es: 1, Como pCA) = p"A/B) = 2, afirmamos que el sistema es compatible. 2. Hay n = 4 incognitas. Como ~ 2 < ~. entonces existe injinita solucien. 4 3. Habran 4 - 2 = 2 parametres en la solucion general. 658 4. Las soluciones (0 conjunto solucion 0 vector solucion) se obtiene de la matriz escaJonada. Asf: x - 2y + z + 21' = -2 (1) = 13 (2) 7y - 3z - 91' z Porque, hay 2 para metros. hacemos: = 1 I' = s x - 2y • y de ( I) obtenemos y de (2) obtenemos 1+ 2s ~-2 (3) 7y - 31 - 9s = 13 (4) 13+3t+9s 7 De (4) despejar y y De (3) despejar x x =2y-I-2s-2 =2(13+3;+9~. )-t-2s-2 12-1+4.\' 7 A . CONCLUS/UN: EJ conjunto ' es Cs = so Iucion Jt (12-1+',' 13+3,.9, If 7 , 7 J t , S Ht •S E IR i FORMA CAIIIOIIIICA POR FlUS 2 -2 0 7 -3 -9 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I De la matriz escalonada => I ~ -2 1 obtenemos la matriz CANONICA por filas, si hacemos las siguientes operaciones elernentales: - 3" ITEKACION: -2 • 2 -2 1 -3/7 -9/7 13/7 AI multiplicar la FI~ 0 2 por obtenemos. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +, ,, 4" ITEKACION: • 1 i I 0 , 1/7 -4/7 o I! - 3/7 -9/7 Multiplicar por 2 la FILA 2 Y sumar a la FlLA I 12/7 13/7 -ii--or---O-------O---- ----·0 , o , t0 0 01 0 es 1. matriz canonica de [AI B] / 2, 2 [ si en la forma can6nica, hacemos: X + l. t - ..±.6 :::: ll. 7 obtenemos 7 7 { ·y_.lt-~-6=ll 7 7 7 { n N2d ] N2 x 3 N Z X2 z = t )l =-6 => x=-.lt+A.t+ Q 7 => 7 7 y=.lt+~-6+11 7 7 7 1 4 12 3 9 lJ I "' es X -- ( -7t+7~+7'7t+7-6+7' e I vector sotucion -6.t ) , tE IR ,-6E IR 4.2.2 REGLA DE CRAMER Si en la ecuaci6n matricial AX = B se tienen: a) EI numero de ecuaciones (m) es igual al rnimero de incognitas (n). Esto es m:::: n ; y b) EI deterrninante de A es diferente de eero, esto es IA I "0, entonees I. solucion de Ia. ecuaci6n matricial AX = B. es: I X 660 = A-I B I ..... (1) De (1). el valor de cada inc6gnita xJ es: xi dd C'J .= d;A • I . donde del C, se obtiene reemplazando el vector columna de la incognita Xj por los terminos independientes. IEJ-mplo 021 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: { 2xI - 3X2 =-5 XI + 2x2 == 4 . aplicando la regIa de Cramer. Sow.,6n: I~ ~I XI IEjemplo 03 :1 I~ = 2 .1 1I 7 X2 =1~ -51 4 -:1 =ll 7 1 + 2x2 + 2x1 + 5X2 3xI - 2x, XI Resolver { = 3 X, = -4 X, = 5 X, Solucion: En primer lugar, hallemos el deterrninante de la matriz de los coeficientes de las 'I : 2 del(A)=12 3 1 -11=-28 5 -2 -I En segundo lugar, hallar los determinantes de las matrices C, para obtener Xj 3 2 1 1 3 1 1 2 3 -4 5 -I 2 -4 -I 2 5 -4 5 -2 -I 3 5 -1 3 -2 5 XI == X2= X) -28 -56 -28 xJ = - XI =2 : == -28 28 -28 x2 = - X2 =-1 -28 -84 -28 x3=- x, = 3 661 Si det(A) ; 0 , ya no es posible aplicar la regia de Cramer. En este caso recurrir al metodo de Gauss - Jordan. Observacwn: IEjemplo 04 1 Discutir y analizar, segun los valores de K, el conjunto solucion del sistema siguiente: Z ;0 x + (k + I) y + x + Y + (k + I) Z :;: 0 ~II es un sistema de ecuaciones (k + I) x + Y + Z lineales homogeneo de 3 =0 ecuaciones con 3 incognitas. Solucwn: 1. Debemos empezar, hallando el determinante de Ja matriz de los coeficientes de las inc6gnitas. J l'-....k+J .... detA = IX····} ("'k + J I; (I + 1 +(k +1)3) -'(k + I +k + 1 +(k +1»; k 2(k +3) .... .>: k + 1 .' '" .1 ><. ~)< I k+I"1 1 1 ·····.k+1 2. A continuaci6n, analicemos el del(A) ; k' (k + 3): sistema de ecuaciones, segun los val ores del a) Si det (A) = k' (k + 3) '" 0; esto es, si k '" 0 Y k '" -3, Yel sistema es homogeneo, entonces 13 unica solucion es: x:;: 0 , y:;: 0 • z» o. b) Si det (A) = k' (k + 3); 0; esto es, si k = 0 mediante el rnetodo de Gauss - Jordan: b.) Si k = 0 , el sistema es { 0 k; -3, debemos analiza, el sistema o o X + y + z x + y + z x + y + z =0 ! Reducir a matriz escalonada: 662 [e l ): f 0 0 0 0 0 0 '1 0 0 • EI analisis es: i) EI rango de A es 1 yel rango de [AlB] es 1. Como P(A); plAlB]; 1, afirmamos que et sistema es COMPATIBLE. ii) Hay 11 = 3 incognitas. iii) Como 1 < 3. afirmamos que existe infinita soluci6n. IV) Habran 3 - I ; 2 parametres en la soluci6n general. y;1 ,,) Hacienda . de la matriz escalonada obtenemos: { x+t+~=O::::> x=-t-~ LZ='& vi) El conjunto solucidn es b2) Si k = -3, el sistema cs Cs;{(-t-~,I,~)/~ L; - 2y + Z EIR,tEIR) ; 0 +y-2z;O +y+z;O • REDUCIR A MATRIZ ESCAlONADA [(2) C-l) -2 1 I 1 -2 -2 J -2 0 0 G) I +C SUIDar la fila 2 a la ALA 3 por : <D t L ~ 0 0 +L; I I -3 -3 3 -2 3 -3 0 0 1 I -2 1 0 0 1 -1 0 0 : 0 -1 o : 0 0 1 o : 1 -1 -----+--------------- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ MATRIZ ESCALONADA 0 0 0 0 0 c:: 0 MA7RlZ LAN6N1CA 663 P(A) = 2 Y P(A/B) = 2. Como ptA) = p (A/B) = 2 , afinnamos que el sistema., i) compatible. Hay n = 3 inc6gnitas. il) iii) Como 2 < 3. afirmamos que existe infinita soluci6n. Ilan&o J L NO de inc6gni... Habran 3 - 2 = 1 parametres en la soluci6n general. iv) Haciendo v) z = I , de la matriz can6nica obtenemos { =:> x=t y-I=O =:> Y =1 X- I = O EI conjunto soluci6n es Cs = {( I, I, I) E JR3/ IE JR} . vi) 5. IAlIRES .RIPIIS YIEmRES PROPIIS Definicion: Sea A == (aij) una matriz cuadrada de orden "n" cuyos elementos au E JR. EI numero A (real 0 complejo) se llama VALOR PROPIO de A, si existe un vector (columna) no nulo U E JR" tal que: IAU=AU I Todo vector "u" que satisface esta relacion se llama vector propio de A correspon diente al valor propio A . ~ De la relaci6n: se obtiene: Como v Av = AV Au -AV = 0 Au-Alv = 0 (A -AI) v = 0 * 0, entonces IL A - AI = 0 Matti' NUU n x n Aplicar lafunci6n detenninante del (A - AI) 664 =0 1. PO.) = det(A- )J ) se llama polinomio caracterfstico. 2. Para cada cscaIar A. que se obtiene de resolver la ecuaci6n P(A) = O. se resuelve la ecuaci6n homogenea: (A-)J)u=O", ..... _hom...... 0III1nfinj1l soI_. para obtener el vector u • lIamado vector propio correspondiente a A. 3. La matriz A -)J es singular (no invertible). porque det(A -)J) = 0 IEJemplo 01 I Dado la matriz A =[ ~ ~] a) Hallar el polinomio caracterfstico. b) Hallar las raices del polinomio caracterfsticos, lIamados valores propios de la matriz A. c) Hallar los vectores propios de A. Solucitln: a) P (A) = det (A -AT) = I- A 2 3 2-,1. I I =(1-,1.)(2-,1.)-6=.1. 2 -3.1.-4 = (A - 4)(.1. + I) b) (A-4)(A+1)=0 ~ .1.=4 v ,1.=-1 c) CALCUW DEL VIlCTOR PROPIO DE A, = 4 (A - AI) u = 0 Resolver 1aecuaci6n homogenea: [ 1- 4 3 [-33 Resolverpor el milodo de Gtuus-lordJJn ~ 2 2-4 ][X1]=[0]0 x2 _22] [::] = [ 1 ~] ° 3X, + 2x2 = 3XI- = 0 2X2 - 2 o -2 o -3 2 o o o o +C~ An6lisis: J) Como = ~AIB) = J, el sistema es compatible. n = 2 incognitas, ~A) 2) Se tiene 3) Como I < 2. habran 2 - I = I parametro . 4) Haciendo x, = x, , de -3x, + 2x, = 0 = XI . 5) EI vector solucion es X= 6) EI vector propio de A I =4 tX2 [ XI] = [1. xz ] = "3t X es 3 xZ z i z[ 2 ] 2 ] =[ vI x Es el vector propi. de .l = 4 3 Clilcolo del vector propio de A., = -I Resolver la ecuaci6n homogenea: EJ vector solucion es X =[ 3 - .1'2 xz] = EI vector propio de A., = - J es V .1'2 [ 2 - -I) ] [ :: ] =[ { + 2xz = 0 3xI + 3xz { xI + Xz = 0 xt + Xz = 0 -I1 ] ~] ~] 2xI z =[ -:] EJ conjunto de vectores propios es { [ 666 ~ 1- (- 1) [ • [ -:] } = 0 => Xl = -Xl IEjemplo 021 Hallar los valores propios y los vectores propios de la matriz: . A =r ~ LI 27 -15-5] 2 -4 SDlucwn: a) Los valores propios se obtienen resolviendo la ecuacion: det{ A -») = 0 => => 2--< 2 3 7-' (-<-1)2(;(-3) =0 i 1=3 b) Los vectores propios se hallan resolviendo las siguientes ecuaciones lineales homogeneas: PARAI·(~ i] PARAI-<=31 I ~ [ 2~ 1 2 -5][ x:X] [0] [2-3 7 -I 2 -15 -4-1 = x3 0 0 x, + 2x, - 5'<3 = 0 3.<, + 6'<2 - 15x3 = 0 1 xl + 2x z - 5x J ! PorGauss: ::. 0 3 1 ~155 ][:: ]=[~] 2 7 -3 -4-3 2 '<3 0 1-" · h, - '''' • o 3xl + 4x 2 - 15x3 = 0 Xl + 2x 2 - 7x3 = 0 ! Por Gauss: 667 co [<-: r 1 0 0 2 6 2 -S -IS -S 2 0 0 -S 0 0 0 0 0 n (0) -I)C-3) .:D 3 C •I • porroI --. Ami/isis: I) p(A) Por-I-+ -1 3 1 = P (AlB) = 1 2 4 2 -S -IS -7 0 0 0 -2 2 S -IS -7 0 0 0 -2 S 10 -30 0 0 4 -12 0 4 1 0 por.l --. 0 4 2) 1 < 3 , entonces hay infinita solucion. 3) Habran 3 - 1 = 2 parametres. 4) Hacer x, = X, [<-1)[(2) Xl =X3 S) De (0) obtenemos: Xl + 2x, - Sx, = 0 Xl = -2x, + Sx, ~ 1 -2 S 0 0 CD -3 -3 0 0 0 1 0 0 0 -1 -3 0 0 0 0 1 1 0 }(o: 6) EI vector solucion es: Ami/isis: I) P(A) = P(AIB) patible. - 2X2 + SXl ] X = x, [ x, = = 2, el sistema es com- 2) 2 < 3, entonces hay infinita solucion. x, [~2 ] + x, [ ~ ] 3) Habra: 3 - 2 = 1 parametro. 4) Hacer: X3 = X3 S) De (0) obtenemos: XI = X, X2 = 3X3 7) Los vectores propios de son: VI = [ -n ' v2 =[ ~ ] ,,= 1 6) EJ vector solucion es: X=[0 ]=X3[~J 7) EI vector propio de 668 ,,= 3 es v, =[ ~ ] PROBLEMAS PROPUESTOS ID 16111J&II'11i1 Resolver los (3a + I)x + siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ID 2ax + { {ax + by + ax +(2b-l)y+ ax+ 2z = J 3z = J y+(b+3)z =2b-1 Solucion: detA=a(b-l)(b+ I) i) SI a " b " J , b " - J , Ja solucion °, , . 5 -b uruca es x= a(b+l) , y= x=t , 1\ {ax - 3y + 2z = I x+ay+2z=a b"'" 5; la soluci6n es: °, iv) Si b = 1, la solucion es : x = t , y= I-at; z=O; te/R v) Si b = -I ; el sistema es incompatible. + x CS,\ + l )x + Hy + (4,\+I)z =1+'\ (4,\-I)x +('\-I)y + (4,\-I)z =-1 { 2(3'\ + I)x + 2,ly + (SA + 2)z = 2 -,\ z = 1 Solucion: J) detA=(a-3)(a+l) 2) Si a = 3 => x = Y __1I+ 1 - 3 3) Si a = -1 ble. ~ ill a' parametres. @ iii) Si a = b" 1 , b " 5; el sistema es incompatible. = i) detA=(a-J)'(a+l) il) Si a = -I, el sistema es incompatible. iii)' Si a = I, la solucion depende de dos -2 y=-t, z:;::;t . teJR I 2ay +(3a+ I)z =a (a+ I)x + (a+ l)y + 2(a+ 1)z b+l 2(b-l) = Solucion: ==~ 0) Si a = 0 2ay +(3a+ 1)z 3' ~ + {: . -t + 1, z -e t el sistema es incompati- + y Z =0 (a-l)y+z=O + ay = ° Solucion: Saindon: I) detA=-(a+2)(a-l) detA=A(A-I)(A+ I) i) Si A. == 1, A = el sistema es incompatible. ii) Si A= 0, la solucion depende de un solo parametro. -r ] ; 2) Si det x e O => x e y e z e Il 3) 51 a = -2 => x = 21 , Y = t z = 31 , I E JR 4) si a == 1 => x = t , z=O y;::.-I 669 ~ ~ Analizar en funcion del pararnetro A., el siguiente sistema de ecuaciones y x - y + z =a x+ y - az = 1 { 2x- ay + z = 0 resolverlo cuando sea compatible. 2) Si del A .. 0 => exisle unica soluci6n: z 2+a+l/a. y=(2a 2+a+l)/a(a-l). ax + by + z =1 x+ aby + z = b los valores de ··a" para que el sistema 3axi a 2 Xl + 3X2 + X3 = 6 (a - I) x, + x, = 1 + Xl := 3 a) tenga infinitas soluciones, b) no tenga solucion, y c) tenga solucion tinica. x+ by + cz = 1 So/ueM,,: Solucion: detA = -(a - 3) (a - 1) I) del A = -a (I - a')b =0 =5 !!J Determinar 4) Si a = I => el sistema es incornpa tible, no tiene solucion. 2) Analizar para a a=-I 1 5 detA = '«5 - ,<) 3) Si a = 0 => el sislema es incompa tible, no existe solucion, { = So/ueM,,: = (a 2 + a + 2)/a(a -I) !!J + Ax] 3Xl I) del A = --ala - I) .l:(a x, = + X2 + A.x2 4xI + Ax, XI So/ueM,,: , b =0 • a =1 , 3) Si del A .. 0, existe unica soluei6n, hallar aplicando el rnetodo Cramer. TIl Sea el sistema: allAI + Q12XZ+ all Xl + a22 Xl Q31 XI + 032 Xl ~ Dado el sistema de ecuaciones: 3x + 4y + (a+l)z =-1 z = -1 x + 2y + + az = 2 ax + donde aij { + + i- j i+] I Q13X3:::: ~3 Q23 X3 := 4 033 X3 - 1 si i;::: j 51 i » J 51 i < j los cuales el sistema tiene solucion a) Si A = (a,) es la matriz de los coeficientes del sistema, calcular el determinante de A. (mica. b) Calcular si existe A-' . Justifique, determinar el valor 0 valores de a para c) Determinar la solucion del sistema. 670 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 'C;illa,IIPJ ® Analizar en funei6n del pararnetro A., el siguiente sistema de ecuaciones y resolverlo cuando sea compatible: @ a) Resolver el sistema j + X, 2xI - X2- XI + + XI 3Xl 2X2 X2 3x, 4xI + X2 - X3 =: 1 + 4y + 2y + + + = 2 determinar el a valores de a para los cuales el sistema tiene solucion unica, @ Aplieando el algoritmo de Gauss Jordan resuelva el sistema de ecuaciones lineales. 4x, 2x, 2'<1 - x, 3x, + - I lx, 7x, + 3x) + 0 - X3 - 2x4 = 0 + 7X3+8x4 = 0 4X3 - 5X4 = 0 X4 :;;: @ Estudiar la compatibilidad del sistema segun los valores de a : ax - y + 2z = a+1 x + ay - z = -I 3x + y + z = a X4 = 7 X4 :;;: o 4X4 = -5 2x 1 + X3 + 2X4 ;; -4 c) Para el sistema de la parte b), indicar la solucion en el ella! Xl excede a X3 en 6. (a+l)z= -I z = -I ex z X4 X3 Yresolverel nuevo sistema. Ax, + Ax) = 5 Ax, = 5 @ Dado el sistema de ecuaciones: 3x x ax -I + 2x3 + + X3 + + 3xJ + b) Sustituir en el sistema anterior la segunda ecuaci6n por: XI - + + X, + @ a) Para que determinante k, -I el I 3 k I es k 3 valores I~ I de cero ? b) Para cada uno de los valores anteriores de k, i,que puede decir de las soluciones del sistema? y z = k+ I X + 2x+ 3y + kz = 3 x+ ky + 3z = k - 2 ® a) Determinar para que valores de a y b. el sistema de ecuaciones: 2x + 3y z= I xY+ 2z=-b X + 6y + a: = -10 segun sea el case, tiene solucion llnica. tiene infinitas soluciones 0 no tiene soluciones. 671 @ Resolver el sistema: b) Sea A una matriz euadrada de orden 5, tal que IA I = 5 Y B una matriz que resulta de intercarnbiar dos filas de A. Si C = 3BA T, hallar - x, - X4 = 1 X4 = 1 = = -3 1 + 2x, - 3x, + + 2x, = 4 + + kx, = 5 x, = 0 X3 3X2 @ Resolver el sistema: + - x, - 2x, 3Xl + 2X2 - x, @ Resolver el sistema: x] - X4 X4 x, 4x, 27x, + 9X2- 3x,+ x, =-112 -Xl + X2 x) + X4 = - 2 x, + X2 + X3 + X4 = 4 8x, + 4X2 + 2x, + x, = 13 3X3 + X3 3X3 - el valor de K para que e1 sistema tenga infinitas soluciones: eliminaci6n de Gauss, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: + + - X3 @ Hallar @ Usando (neeesariamente) e1 metodo de 2X2 2x2 3X2 2x2 5X2 4x, 5x, c) Si A es una matriz invertible y A-I =A T • Dernuestre que [a] = ±l. '+ + + + + + X4 = 2 + 2x, - 2x, = -8 + 3x, Iq. x, 3x, 2x, 2x, 5x, 2x, 2x J + x, + 2X3 + 4X3 - x, + 3xs 2X4 + 6xs 3X4 - ,= 1 = 2 9x, " 3 Soluci6n: x = (1, 2a + X3 + X4 = 1 + 2x, - x, = 1 = 2 + 2x, , a, -3b, b), b e lR a E lR @ En los ejercicios a), b), c) y d) resuelva el sistema dado utilizando la regia de Cramer. a) 2x, + 3X2 = -1 -ts, + 4X2 b) c) = 47 3x, - X2 = 0 + 2X2 = 5 2x, + X2 + X3 = 6 3x, - 2x, - 3X3 = 5 8x, + 2x, + 5x, = 11 X2 Soluciones: a) x, = -5 , xa = 3 672 X3 4X2 - 3x, - c) x, = 2 = 8 X, = -2 + 2t'3 = 0 x, + X, + d) 4X2 • X2 = 5 • b)x,=1X3 =-3 d) x1-_11 4 x 2 =~ x2 = 1 [4 , x3 = 13 o. e es~ j- \ ~ 0 m Co ~ ~ .5 ~ 0 Ubras del aut or: MATEMATICA BAslCA CARLUSVERA I< COLECCION MOSHERA - TEXTOS UNIVERSITARIOS ...L1SIII MUEJI.1TICOI WMITEST CONTlIlUIDIID + , \

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