Subido por Helen Lugo Méndez

126757480-2-Analisis-Sistemas-No-Lineales

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Análisis de Sistemas No Lineales
Antonio Flores T. ∗
Departmento de Ciencias
Universidad Iberoamericana
Prolongación Paseo de la Reforma 880
México DF, 01210, MEXICO
June 5, 2000
1
El plano de fase
Dado un sistema dinámico compuesto de dos estados:
dx1
= f1 (x1 , x2 ), x1 (0) = xo1
dt
dx2
= f2 (x1 , x2 ), x2 (0) = xo2
dt
(1.1)
(1.2)
la simulación dinámica del sistema producirá vectores x1 (t) y x2 (t). Si en vez de graficar
x1 o x2 contra el tiempo, graficamos x1 contra x2 (siendo en este caso el tiempo un
parámetro) obtendremos el ası́ llamado diagrama del plano de fase (también llamado
retrato de fase o diagrama de fase) tal como se muestra en la figura 1.
En este caso la única curva que presenta el diagrama anterior corresponda a la
evolución dinámica de x1 y x2 partiendo de una sola condición inicial representada por
xo1 y xo2 . El diagrama de fase está compuesto por una familia de curvas tales como las
descritas anteriormente.
Para completar el diagrama de fase se debe simular el sistema original de ecuaciones partiendo, en cada caso, de condiciones iniciales diferentes: x̄(0), y graficando
la respuesta obtenida. En la grafica 2 se muestra un ejemplo de un posible diagrama
de fase.
En esta grafica el punto ”•” representa las coordenadas asociadas a cada condición
inicial; la punta de flecha sobre las trayectorias representa el sentido de la evolución
dinámica dels sistema. El diagrama anterior podrı́a representar, por ejemplo, la evolución
dinámica de un sistema que posee un único estado estacionario (el cual está localizado
en el origen de coordenadas).
∗
E-mail: antonio.flores@uia.mx, http://kaos.dci.uia.mx, phone/fax: (+52)5 2674279
1
0
1
0
1
0
1
1
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0
1
0
1
0
1
0
1
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0
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1
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1
0
1
0
1
x
2
x
1
x (0)
1
Las flechas van
hacia dentro
Figura 1:
x
2
x
1
Figura 2:
El diagrama de fase de un sistema dinámico no lineal que presenta 3 estados estacionarios podrı́a estar representado por una figura como la mostrada en la figura 3;
donde los estados estacionarios del sistema están representados por los puntos 1,2 y 3.
Puede observarse claramente que los estados estacionarios 1 y 3 son estables; mientras
que el estado estacionario 2 es inestable. Dependiendo del punto de arranque (es decir,
de la condición inicial) la trayectoria dinámica puede dirigirse al estado estacionaro
1 o 3. Ninguna trayectoria dinámica finaliza en el estado estacionario 2 debido a la
naturaleza inestable de dicho punto.
La gran mayorı́a de análisis en el plano de fase se realiza sólo para sistemas de
dos estados (lo cual constituye una desventaja de este tipo de análisis). Como es
claro, también podrı́a realizarse el análisis dl plano de fase en sistemas compuestos por
tres estados. La imposibilidad de visualizar sistemas de orden mayor a 3 hace poco
útil el análisis del plano de fase. Sin embargo, cuando resulta posible su aplicación
proporciona información cualitativa relevante para analizar la conducta dinámica del
sistema bajo estudio.
2
x
2
1
2
3
x
1
Figura 3:
2
Clasificación de la conducta dinámica de sistemas
lineales
Usando al análisis del plano de fase, obtendremos todos los tipos de conducta dinámica
que un sistema lineal puede presentar. Cualquier sistema dinámico lineal compuesto
de dos estados (x, y) se puede representar de la siguiente forma:
dx
= ax + by
dt
dy
= cx + dy
dt
(2.3)
(2.4)
siendo a, b, c y d los coeficientes del anterior grupo de ecuaciones. La conducta dinámica
del sistema lineal depende completamente de los eigenvalores de la matriz jacobiana A:
A=
a b
c d
(2.5)
a su vez los eigenvalores de la matriz A dependen del valor de los coeficientes a, b, c, d.
De acuerdo con los valores que pueden tomar los eigenvalores, podemos clasificar la
conducta dinámica de un sistema lineal en los siguientes casos (notese que el estado
estacionario del sistema siempre corresponde al vector: x = [0 0]T ).
1. Nodo estable. Los dos eigenvalores de A tienen parte real estrictamente negativa.
2. Nodo inestable. Los dos eigenvalores de A tienen parte real positiva.
3
Nodo Estable
x
x
Nodo Inestable
xx
Tipo de Punto a
Nodo estable -1
-1
-1
-1
b
0
1
0
1
c
0
0
1
1
d
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
λ1
-1
-1
-1
-.2192
λ2
-1.5
-1.5
-1.5
-2.2808
λ1
1
1
1
.2192
λ2
1.5
1.5
1.5
2.2808
Table 1:
Punto silla
x
x
Espiral Estable
Tipo de Punto a
Nodo inestable 1
1
1
1
b
0
1
0
1
c
0
0
1
1
d
1.5
1.5
1.5
1.5
Table 2:
x
3. Punto silla. Un eigenvalor tiene parte real negativa, y el otro tiene parte real
positiva.
x
Espiral Inestable
x
x
4. Vórtice o espiral estable. Los dos eigenvalores tienen parte imaginaria (distinta de cero), y ambos poseen parte real negativa.
5. Vórtice o espiral inestable. Los dos eigenvalores tienen parte imaginaria
(distinta de cero), y ambos poseen parte real positiva.
6. Centro. Los dos eigenvalores tienen solo parte imaginaria.
Centro
x
x
7. Nodo degenerado. Los dos eigenvalores son idénticos.
8. Campo de lı́nea. Uno de los dos eigenvalores es cero.
Nodo degenerado
4
Tipo de Punto a
Nodo Silla
-1
-1
-1
-1
b
0
1
0
1
c d
0 1
0 1
1 1
1 1
λ1
-1
-1
-1
-1.4142
λ2
1
1
1
1.4142
Table 3:
Tipo de Punto a
Vórtice estable -1
-1
-1
-1
b
-2
-2
-2
-2
c d
λ1
λ2
1 -1 -1+1.4142i -1-1.4142i
3 -1 -1+2.4495i -1-2.4495i
5 -1 -1+3.1623i -1-3.1623i
10 -1 -1+4.4721i -1-4.4721i
Table 4:
Tipo de Punto a
Vórtice inestable 1
1
1
1
b
-2
-2
-2
-2
c d
1 1
3 1
5 1
10 1
λ1
λ2
-1+1.4142i -1-1.4142i
-1+2.4495i -1-2.4495i
-1+3.1623i -1-3.1623i
-1+4.4721i -1-4.4721i
Table 5:
Tipo de Punto a
Centro
-1
-1
-1
-1
b
-2
-2
-2
-2
c d
1 1
3 1
5 1
10 1
Table 6:
5
λ1
λ2
0+1i
0-1i
0+2.2361i 0-2.2361i
0+3i
0-3i
0+4.3589i 0-4.3589i
Tipo de Punto
a
Nodo degenerado -1
-1
-1
-1
-1
b
0
1
-3
-5
-5
c d λ1
0 -1 -1
0 -1 -1
0 -1 -1
0 -1 -1
10 -1 -1
λ2
-1
-1
-1
-1
-1
Table 7:
Tipo de Punto a
Campo de lı́nea 0
0
b
0
1
Table 8:
6
c
0
0
d λ1
-1 0
-1 0
λ2
-1
-1
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