ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. MODULO ALGEBRA LINEAL CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010 -1- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas. -2- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General MÓDULO CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN REVISADA © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2010 Bogotá, Colombia -3- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. -4- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. AL ESTUDIANTE El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales. A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar. Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad. La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc. -5- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. TABLA DE CONTENIDO Pag. UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes 1.1 1.2. 1.3 1.4 CAPITULO 1: VECTORES EN R 2 …………………………………………….10 Lección 1: NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….12 Lección 2: SEGMENTOS DIRIGIDOS……………………………………….15 Lección 3: DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..21 Lección 4: ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………24 Lección 5: PROYECCIONES……………………………………………………53 CAPITULO 2: VECTORES EN R 3 …………………………………………….59 Lección 6: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS…………………………..63 Lección 7: VECTORES BASE…………………………………………………..67 Lección 8: PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..73 CAPITULO 3: MATRICES……………………………………………………...82 Lección 9: OPERACIONES CON MATRICES…………………………….84 Lección 10: SUMA DE MATRICES……………………………………………85 Lección 11: MULTIPLICACION DE MATRICES…………………………..89 Lección 12: OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….93 Lección 13: MATRICES ELEMENTALES……………………………………106 CAPITULO 4: DETERMINANTES…………………………………………..132 Lección 14: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…..139 Lección 15: INVERSAS………………………………………………………………141 Lección 16: INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ…………………………………………………………………….148 UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales 2.1 CAPITULO 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………….164 Lección 17: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………………………………….187 Lección 18: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN…………………………………..190 Lección 19: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………………………………….196 Lección 20: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………199 Lección 21: QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……………………………….204 Lección 22: SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…………………………207 -6- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. 2.2 2.3 2.4 CAPITULO 6: RECTAS EN R 3 ……………………………………………….209 Lección 23: RECTAS EN R 3 ……………………………………………………….209 Lección 24: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA……………………….211 Lección 25: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA…………….......214 Lección 26: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA……………………….215 CAPITULO 7: PLANOS……………………………………………………….222 Lección 27: ECUACION DEL PLANO……………………………………………222 Lección 28: PLANOS PARALELOS……………………………………………….225 Lección 29: ECUACION DE LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS PLANOS NO PARALELOS………………………………….226 CAPITULO 8: ESPACIOS VECTORIALES………………………………..230 Lección 30: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES………………………………………………………..230 -7- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. UNIDAD 1 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES -8- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. OBJETIVO GENERAL Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber. OBJETIVOS ESPECIFICOS Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos. Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales. -9- ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 1 - 10 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 11 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 1 1.1 NOCION DE DISTANCIA Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que: - 12 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. a 2 62 82 a 2 100 a 100 Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir, a 10 unidades. - 13 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 14 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 2 - 15 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 16 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 17 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 18 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 19 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 20 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 3 - 21 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 22 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 23 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 4 - 24 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 25 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 26 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 27 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 28 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 29 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 30 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 31 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 32 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 33 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 34 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 35 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 36 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 37 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 38 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 39 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 40 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 41 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 42 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 43 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 44 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 45 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 46 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 47 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 48 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 49 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 50 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 51 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 52 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 5 - 53 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 54 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 55 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 56 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 57 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 58 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 2 - 59 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 60 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 61 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 62 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 6 - 63 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 64 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 65 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 66 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 7 - 67 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 68 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 69 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 70 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 71 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 72 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 8 - 73 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 251 - 74 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 263 - 75 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 76 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 77 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 78 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 79 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 80 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 81 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 3 - 82 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 83 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 9 - 84 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 10 - 85 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 86 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 87 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 88 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 11 - 89 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 90 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 91 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 92 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 12 - 93 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 94 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 95 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 96 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 97 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 98 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 99 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 100 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 101 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 102 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 103 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 104 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 105 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 106 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 107 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 108 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 109 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 110 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 111 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 112 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 113 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 114 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 115 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. 1 0 0 1 1 E1 1 1 0 , por lo tanto E1 1 0 0 1 0 1 E2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 , por lo tanto E2 0 6 0 0 0 1 1 0 1 6 0 1 E3 0 0 2 1 0 1 2 0 , por lo tanto E 1 0 1 0 3 0 0 1 1 1 E4 0 0 0 1 0 0 1 E5 0 0 1 E6 0 0 1 E7 0 0 6 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , por lo tanto E 1 0 1 0 4 0 6 1 1 0 1 0 0 1 0 , por lo tanto E5 0 1 0 0 0 3 1 3 5 1 3 0 , por lo tanto E61 0 0 1 0 1 1 , por lo tanto E71 0 6 0 1 0 1 0 0 1 0 Ahora realicemos el siguiente producto E11 E 21 E 61 E71 - 116 - 5 3 0 1 0 1 6 1 ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 6 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 6 1 0 0 3 5 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 1 Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos: 1 1 0 0 6 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 6 1 0 0 3 0 0 1 0 5 1 3 0 0 1 0 Seguimos 1 1 0 2 4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 6 1 0 0 3 0 0 1 0 5 1 3 0 0 1 0 Seguimos 1 1 0 2 4 6 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 5 1 3 0 0 1 0 Seguimos 1 1 0 2 4 6 1 0 0 0 3 0 0 1 0 5 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 1 - 117 - 0 1 0 0 1 6 1 0 1 0 0 1 6 1 0 1 0 0 1 6 1 ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. Seguimos 1 1 0 2 4 6 5 1 3 5 0 3 3 0 0 1 0 0 1 6 1 Finalmente 1 1 0 2 4 6 2 1 2 En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales. - 118 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 119 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 120 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 121 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 122 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 123 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 124 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 125 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 126 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 127 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 128 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 129 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 130 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 131 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 4 - 132 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 133 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 134 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 135 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 136 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 137 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 138 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 14 - 139 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 140 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 141 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 142 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 143 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 144 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 145 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 146 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 147 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 16 - 148 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 149 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 150 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 151 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 152 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 153 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 154 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 155 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 156 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 157 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 158 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 159 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 160 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 161 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES - 162 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. OBJETIVO GENERAL Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento. OBJETIVOS ESPECIFICOS Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan. Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en el caso en que sea posible) - 163 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 5 - 164 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 165 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 166 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 167 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 168 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 169 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 170 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 171 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 172 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 173 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 174 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 175 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 176 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 177 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 178 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 179 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 180 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 181 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 182 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 183 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 184 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 185 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 186 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 17 - 187 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 188 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 189 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 18 - 190 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 191 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 192 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 193 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 194 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 195 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 19 - 196 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 197 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 198 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 20 - 199 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 200 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 201 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 202 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 203 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 21 5.5. QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA El objetivo es resolver un sistema de la forma AX b (con A de n n ), donde A es invertible. Partiendo del sistema AX b , podemos multiplicar a izquierda por A 1 (Que existe, dado que A es invertible), con lo que nos queda: Agrupando obtenemos A 1 AX A 1b A 1 AX A 1b Simplificando I X A 1b Finalmente 1 X A b La ultima afirmación, nos indica que se A es de n n e invertible, entonces la solución del sistema lineal AX b , la encontramos de la forma X A 1b . Ejemplo Dado el sistema lineal 2 x1 3x 2 10 x3 21 4 x1 x 2 x3 11 7 x1 5 x2 4 x3 17 Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su inversa y úsela para resolver el sistema. Solución Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante: 2 3 10 DetA 4 1 1 225 7 5 4 Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán 1 2. Empleando determinantes ( A 1 * AdjA ) det A - 204 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la invitación a realizarlo también por el otro método. 1 f1 2 f 2 4 f1 1 f2 7 f 3 7 f1 f1 f3 f1 11 f2 2 3 f2 2 14 f3 225 13 f3 14 f2 19 f3 7 Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir, - 205 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. 1 25 1 A 1 25 3 25 38 225 62 225 11 225 13 225 38 225 14 225 Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X A 1b . Donde, 21 b 11 17 Por tanto, 1 25 1 X 25 3 25 38 225 62 225 11 225 13 225 21 38 11 225 14 17 225 2 X 1 2 Es decir, la solución es x1 2; x 2 1; x3 2 - 206 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 22 SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS - 207 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 208 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 6 LECCION 23 - 209 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 210 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 24 - 211 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 212 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 213 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 25 - 214 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 26 - 215 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 216 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 217 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 218 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 219 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 220 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 221 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 7 LECCION 27 - 222 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 223 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 224 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 225 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. LECCION 29 Para ver que n1 y n 2 son paralelos, puede emplear cualquiera de las dos siguientes condiciones - 226 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 227 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 228 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 229 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. CAPITULO 8 LECCION 30 - 230 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 231 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 232 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 233 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 234 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 235 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 236 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 237 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 238 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 239 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 240 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 241 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 242 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 243 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 244 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 245 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 246 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 247 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 248 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 249 - ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - 250 -
