1.1.- EL PLANO CARTESIANO. El modelo desarrollado para representar pares ordenados de números reales se llama sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano. Se construye este modelo considerando dos rectas que se cortan formando ángulos rectos La recta horizontal se llama tradicionalmente eje x ó eje de las abcisas, y la recta vertical se llama eje y ó eje de las ordenadas. Su punto de intersección se llama origen, el cual corresponde al punto ( 0 , 0 ) , dividiendo las rectas al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes o sectores Cada punto del plano se identifica por medio de un par ordenado ( x , y ) de números reales x e y llamados coordenadas del punto. El ente matemático que representa el par ( x , y ) se denomina punto del plano, de coordenadas x e y . El número x representa la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto (Figura 3). En el punto P ( x , y ) , la primera coordenada se denomina coordenada x o abcisa y la segunda coordenada y u ordenada. . Ejemplo 1. Ubicar los puntos ( 1, 2 ) ; ( 3 , 4 ) ; ( 0 , 0 ) ; ( 3 , 0 ) ; ( 2 , 3 ) ; ( 0 , 5 ) , ( 4 , 5 ) , en el plano cartesiano e indique el cuadrante o eje donde se encuentra cada uno. 1.2.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. La distancia d entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) en el plano viene dada por d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 La distancia entre dos puntos no es una distancia dirigida. De hecho, podemos intercambiar el orden de substracción y escribir la expresión equivalente d ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . Ejemplo 2. Hallar la distancia entre los puntos ( 2 ,1) y ( 3, 4 ) . Ejercicios propuestos. 1. Hallar la distancia entre los puntos a) A ( 3, 4 ) y B ( 5 , 2 ) b) M ( 1, 2 ) y N ( 0 , 6 ) c) T ( 32 , 65 ) y S ( 3, 2 ) d) R ( 14 , 23 ) y P ( 23 , 5 ) Ejemplo 3. Hallar un x tal que la distancia entre ( x , 3 ) y ( 2 , 1) vale 5. Ejercicios propuestos. 2. Hallar y tal que la distancia del origen al punto ( 3 , y ) sea 5. 3. Hallar x tal que la distancia del origen al punto ( x , 4 ) sea 5. 4. Hallar x tal que la distancia de ( 2 , 1) al punto ( x , 2 ) sea 5. 5. Hallar “ x ” tal que la distancia AB 5 , si A ( 3 , 0 ) y B ( x , 3 ) Ejemplo 4. Hallar la relación entre x e y de forma que el punto ( x , y ) sea equidistante de ( 4 , 1) y ( 2 , 3) . Ejercicios propuestos. 6. Hallar la relación entre x e y de forma que el punto ( x , y ) sea equidistante de ( 3 , 52 ) y ( 7 , 1) . Coordenadas del punto medio de un segmento. El punto medio del segmento de recta que une los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) es x x2 y1 y 2 PM 1 , PM ( x , y ) 2 2 Ejemplo 5. Calcular el punto medio del segmento de recta que une los puntos: a) ( 3, 5 ) y ( 3, 9 ) b) (1, 3 ) , ( 5 ,11) Ejercicios propuestos. 8. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos sean los puntos A ( 3, 5 ) y B ( 7 , 3) . 9. Representar los puntos, calcular la distancia entre los puntos y hallar el punto medio del segmento que los une. a) ( 2 ,1) , ( 4 , 5 ) b) ( 3, 2 ) , ( 3, 2 ) c) ( 12 ,1) , ( 32 , 5 ) d) ( 23 , 13 ) , ( 56 ,1) e) ( 2 , 2 ) , ( 4 ,14 ) f) ( 3, 7 ) , (1, 1) g) (1, 3 ) , ( 1,1) h) ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) 10. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento que generan cada par de puntos del ejercicio 1. 11. Sea el punto A ( 3, 2 ) , el punto medio del segmento BC . Si B ( 5 , 4 ) . ¿Qué coordenadas tiene C ? 12. Si los extremos de un segmento son A ( 3, 2 y ) y B ( 2 x , 52 ) , y su punto medio es ( 4 , 32 ) . Calcule x e y . Aplicaciones de la distancia entre dos puntos. Puntos colineales. Dos puntos distintos cualesquiera determinan una recta. Tres puntos diferentes pueden o no estar en una recta. Si tres o más puntos están en la misma recta se les llama colineales. En consecuencia, tres puntos A , B y C son colineales si la suma de las distancias entre los dos puntos intermedios del segmento es igual a la distancia entre los dos puntos extremos del mismo. En la figura 5, los puntos A, B y C son colineales. Se cumple d AC d A B d BC . En la figura 6, los puntos no son colineales. Figura 5. Figura 6. Ejemplo 6. Usar la fórmula de la distancia para ver si los puntos ( 0 , 4 ) , ( 2 , 0 ) y ( 3, 2 ) están contenidos en una recta. Sugerencia: Ubicar los puntos en el plano real. Ejercicios propuestos. 13. Usar la fórmula de la distancia para ver si los puntos están contenidos en una recta. a) ( 0 , 4 ) , ( 7 , 6 ) y ( 5 ,11) b) ( 2 ,1) , ( 1, 0 ) y ( 2 , 2 ) Ejemplo 7. Emplear la fórmula de la distancia para demostrar que los puntos ( 2 ,1) , ( 4 , 0 ) y ( 5 , 7 ) son los vértices de un triángulo rectángulo. Ejercicios propuestos. 14. Demostrar que los puntos ( 4 , 0 ) , ( 2 ,1) , ( 1, 5 ) son los vértices de un triángulo rectángulo. 15. Use la fórmula de la distancia entre puntos y verifique si el triángulo que forman los puntos dados corresponde a los vértices de un triángulo rectángulo. a) A ( 2 , 4 ) , B ( 4 , 0 ) y C ( 8 , 2 ) b) M ( 0 , 0 ) , N ( 2 , 3 ) y P ( 3, 3 ) c) Q ( 2 , 2 ) , S ( 0 , 4 ) y T (1,1) Sugerencia: Haga el gráfico. Ejemplo 8. Demostrar que los puntos (1, 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 , 4 ) son los vértices de un triángulo isósceles. Ejercicios propuestos. 16. Encuéntrese el punto P ( x , y ) en el primer cuadrante, tal que con los puntos P , A ( 0 , 0 ) y B ( 3, 4 ) , se forma un triángulo equilátero. Ejemplo 9. Demuestre por medio de distancias que los cuatro puntos ( 0 , 0 ) , ( 2 ,1) , ( 3 , 4 ) y ( 5 , 3 ) son los vértices de un paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos). Ejercicios propuestos. 17. Demostrar que los puntos ( 0 , 0 ) , (1, 2 ) , ( 2 ,1) , ( 3 , 3 ) son los vértices de un rombo. 18. Demostrar que los puntos ( 0 ,1) , ( 3 , 7 ) , ( 4 , 4 ) , (1, 2 ) son los vértices de un paralelogramo. 1.3.- RECTAS EN EL PLANO. Definición de la pendiente de una recta. Tiene que ver con la idea del cociente de la medida de su elevación, y , y su alcance horizontal o carrera, x . Si P 1( x1 , y1 ) y P 2 ( x2 , y2 ) son dos puntos cualesquiera de la recta L (Figura 11), la cual no es paralela al eje y , entonces la pendiente de L , denotada por m , está determinada por m y y 2 y1 . x x 2 x1 Figura 11. Si la pendiente de una recta es positiva, entonces conforme la abcisa de un punto de la recta se incrementa, la ordenada se incrementa también, tal como se muestra en la figura 12. En la figura 13 se presenta una recta cuya pendiente es negativa. Para esta recta, conforme la abcisa de un punto de la recta se incrementa, la ordenada disminuye. Figura 12. Figura 13. Si una recta es paralela al eje x , entonces y 2 y1 , de modo que la pendiente es cero (Figura 14). Si una recta es paralela al eje y , entonces x 2 x1 , por lo que la fracción y 2 y1 carece de significado debido a que no puede dividirse entre cero. Por esta razón, x 2 x1 las rectas paralelas al eje y se excluyen de la definición de pendiente (Figura 15). Por tanto, la pendiente de una recta vertical no está definida. Figura 14. Figura 15. Ejemplo 10. Para cada par de puntos, dibuje la recta que pasa por ellos y determine su pendiente: a) A ( 3, 7 ) y B ( 2 , 4 ) b) A ( 2 , 5 ) y B ( 2 , 3 ) c) A ( 3, 4 ) y B ( 5 , 4 ) d) A ( 5 , 3 ) y B ( 5 , 1) . Ejercicios propuestos. 1. Representar los puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. a) ( 3, 4 ) , ( 5 , 2 ) d) ( 32 , 5 ) , ( 56 , 4 ) g) (1, 2 ) , ( 2 , 2 ) Ejemplo 11. Encuentre todos los t , b) ( 2 ,1) , ( 4 , 3 ) e) ( 6 , 1) , ( 6 , 4 ) h) ( 78 , 34 ) , ( 54 , 14 ) c) ( 12 , 2 ) , ( 6 , 2 ) f) ( 2 ,1) , ( 2 , 5 ) tales que la pendiente de la recta que pasa por ( t , 2 t 1) y (1 3t , 2 t ) , sea igual a –1. Ejercicios propuestos. 2. Encuentre un número real “a” , tal que la pendiente de la recta que pasa por el punto (a , 4 ) y por el punto (1, 2 a 5 ) sea igual a –6. 3. Encuentre un número real k , tal que la pendiente de la recta que pasa por el punto (1, 2 ) y por el punto ( k 2 , k 1) sea igual a 2. Definición de la gráfica de una ecuación en dos variables. La gráfica de una ecuación que contiene dos variables x e y es la colección de todos los puntos en el plano que son puntos solución de la ecuación. La gráfica de una ecuación se llama a veces su locus. Definición de ecuación de una gráfica. Una ecuación de una gráfica es una ecuación que es satisfecha por las coordenadas de aquellos, y sólo aquellos, puntos de la gráfica. A partir de esta definición, se deduce que una ecuación de una gráfica tienes las siguientes propiedades: a) Si un punto P ( x , y ) está en la gráfica, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación. b) Si un punto P ( x , y ) no está en la gráfica, entonces sus coordenadas no satisfacen la ecuación. Ejemplo 12. Decir si los puntos (1, 2 ) , (1, 1) y ( 4 , 5 ) están en la gráfica de 2 x y 3 0 . Ejercicios propuestos. 5. Decir si los puntos (1, 3 ) , ( 12 , 1) , ( 32 , 72 ) están en la gráfica de x 2 y 2 4 . 6. Decir si los puntos (1, 15 ) , ( 2 , 12 ) , ( 1, 2 ) están en la gráfica de x 2 y x 2 4 y 0 . 7. Decir si los puntos ( 0 , 2 ) , ( 2 , 16 ) , ( 3, 6 ) están en la gráfica de x 2 x y 4 y 3 . Ejemplo 13. Encuentre un número real k , tal que el punto (1, 2 ) esté sobre la recta de ecuación 3k x 2 y 7 0 . Ejercicios propuestos. 8. ¿Para qué valores de k pasa la gráfica de y k x 3 por los puntos dados: a) (1, 4 ) b) ( 2 ,1) c) ( 0 , 0 ) d) ( 1, 1) ? 2 9. ¿Para qué valores de k pasa la gráfica de y 4 k x por los puntos: a) (1,1) b) ( 2 , 4 ) c) ( 0 , 0 ) d) ( 3, 3 ) Formas de la ecuación de una recta. Sus ecuaciones. Ecuación punto – pendiente. A fin de obtener la ecuación de una recta, se emplea el hecho de que un punto P 1( x1 , y1 ) y la pendiente m determinan sólo una recta. Sea P ( x , y ) cualquier punto de la recta diferente de P 1 . Entonces, como la pendiente de la recta que pasa por P 1 y P es m , se tiene y y1 m x x1 y y1 m ( x x1 ) . Esta ecuación se denomina forma punto – pendiente de la ecuación de la recta. Esta forma proporciona la ecuación de la recta si se conocen un punto P 1( x1 , y1 ) de la recta y la pendiente de la misma. Ecuación pendiente – intersección. Si en la forma punto – pendiente se elige el punto particular ( 0 , b ) (es decir, el punto donde la recta intersecta al eje y) como el punto ( x1 , y1 ) , se tiene y b m ( x 0) y mxb. El número b , la ordenada del punto donde la recta corta al eje y , se llama intersección y (u ordenada en el origen) de la recta. En consecuencia, la ecuación anterior recibe el nombre de forma pendiente – intersección de la ecuación de la recta. Esta forma es especialmente útil debido a que expresa de manera explícita la coordenada y de un punto de la recta en términos de su coordenada x . Como la pendiente de una recta vertical no está definida, no se puede aplicar la forma punto – pendiente para obtener su ecuación. 1. Una ecuación de la recta horizontal que tiene intersección y igual a b es y b (figura 14). 2. Una ecuación de la recta vertical que tiene intersección x igual a a es x a (figura 15). Ecuación general de la línea recta. Se ha mostrado que una ecuación de una recta no vertical es de la forma y m x b , y una ecuación de una recta vertical es x a . Como cada una de estas ecuaciones es un caso especial de una ecuación de la forma A x B y C 0 donde A , B y C son constantes y A y B no son cero simultáneamente, se deduce que cada recta tiene una ecuación de la forma A x B y C 0 . La gráfica de la ecuación A x B y C 0 donde A , B y C son constantes y A y B no son ambas cero, es una recta. Como la gráfica de A x B y C 0 es una recta, esta ecuación se denomina ecuación lineal y es la ecuación general de primer grado en x e y . Recta horizontal. Una recta horizontal tiene pendiente igual a cero. Partiendo de la forma pendiente – intersección y m x b , para m 0 la ecuación se reduce a y b , la cual representa una recta horizontal. Recta vertical. Una recta vertical tiene pendiente infinita. La ecuación x a en el plano queda representada en el plano mediante una recta vertical. Ejemplo 15. Hallar la ecuación de una recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1, 2 ) . Ejercicios propuestos. 10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5 ) y tiene pendiente 2. 11. Una recta de pendiente 2 pasa por el punto A ( 1, 4 ) . Hallar su ecuación. 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 2 , 4 ) y tiene una pendiente igual a 3 . Ejemplo 16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( 4 , 2 ) y B ( 5 , 7 ) . Ejercicios propuestos. 13. Una recta pasa por los dos puntos A ( 3, 1) y B ( 2 , 6 ) . Hallar su ecuación. 14. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A ( 1, 7 ) y B ( 4 , 2 ) . 15. Los vértices de un cuadrilátero son A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 4 ) , C ( 6 , 7 ) y D ( 8 , 0 ) . Hallar las ecuaciones de sus lados. 16. Escribir la forma general de la recta que se indica y dibujar su gráfica. a) La que pasa por ( 2 ,1) y ( 0 , 3 ) . b) La que pasa por ( 3, 4 ) y (1, 4 ) . c) La que pasa por ( 0 , 0 ) y ( 1, 3 ) . d) La que pasa por ( 3, 6 ) y (1, 2 ) . e) La que pasa por ( 2 , 3 ) y ( 2 , 2 ) . f) La que pasa por ( 6 ,1) y (10 ,1) . g) La que pasa por (1, 2 ) y ( 3, 2 ) . h) La que pasa por ( 78 , 34 ) y ( 54 , 14 ) . i) La que pasa por ( 0 , 3 ) , m 34 . j) La que pasa por ( 1, 2 ) , m indefinida. k) La que pasa por ( 0 , 0 ) , m 23 . l) La que pasa por ( 1, 4 ) , m 14 . m) La que pasa por ( 0 , 5 ) , m 2 . n) La que pasa por ( 2 , 4 ) , m 53 . Definición de las intersecciones con los ejes. El punto ( a , 0 ) se llama una intersección con el eje x de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de la ecuación. El punto ( 0 , b ) se llama una intersección con el eje y de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de la ecuación. Cálculo de las intersecciones. Para calcular la intersección con el eje x , se hace y cero y se resuelve la ecuación en x . Para calcular la intersección con el eje y , se hace x cero y se resuelve la ecuación en y . Ejemplo 18. Calcular las intersecciones con los ejes x e y de las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) 2 x 3 y 6 0 y b) 6 x 5 y 7 0 . Representar gráficamente ambas ecuaciones. Ejemplo 19. Calcular las intersecciones con los ejes x e y de las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) y x 3 4 x b) y 2 3 x Ejercicios propuestos. 20. Calcular las intersecciones con los ejes. a) y 2 x 3 b) y ( x 1) ( x 3) c) y x 2 x 2 d) y 2 x 3 4 x g) y x 1 x2 j) y 2 x e) y x 2 4 x 2 h) y x 3x (3 x 1) 2 2 f) x y 4 i) x 2 y x 2 4 y 0 x2 1 Ejemplo 20. Hallar la ecuación de la recta cuyos cortes con los ejes x e y son 3 y –5 respectivamente. Ejemplo 21. Encuentre la ecuación de una línea recta tal que su abcisa en el origen es –4 y su ordenada en el origen sea 23 . Ejercicios propuestos. 21. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y cuya intersección con el eje y es 2. 22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 2 , 4 ) y determina sobre el eje x el segmento 9 . 23. Escribir la forma general de la recta que se indica y dibujar su gráfica. a) Con intersección y 2 , m 4 . b) Con intersección y 23 , m 16 . c) Con intersección y 23 , m 34 . d) Con intersección y 4 , m 0 . e) La recta vertical con intersección con el eje x igual a 3. f) Con intersección x 2 , intersección y 3 . g) Con intersección x 3 , intersección y 4 . h) Con intersección x 16 , intersección y 23 . i) Con intersección x 23 , intersección y 2 . 24. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2 y 3 . Hallar su ecuación. Cálculo de la pendiente de una recta dada su ecuación. Para determinar la pendiente de una recta se debe observar la forma que tiene la ecuación de la misma. Se presentan los siguientes casos: - Ecuación pendiente – intersección y m x b : La pendiente es m, el coeficiente de x. - Ecuación general A x B y C 0 : La pendiente es m B . A Ejemplo 22. Determine la pendiente de la recta que tiene la ecuación a) y 2 x 2 b) y 13 x 2 c) y 3 12 x d) 6 x 5 y 7 0 e) 4 x 3 y 6 f) 4 y 5 x 20 0 Ejercicios propuestos. 30. Hallar la pendiente e intersecciones de la recta 7 x 9 y 2 0 . 31. Encuentre el número real k tal que: a) La recta 5 x k y 3 0 , tenga ordenada en el origen –5. 1 1 2 b) La recta x y , tenga abcisa en el origen 12 3k k 3 Aplicaciones de la pendiente de una recta. Rectas paralelas. Si L 1 y L 2 son dos rectas no verticales diferentes que tienen pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces L 1 y L 2 son paralelas si y sólo si m 1 m 2 . En la figura 16 se muestran dos rectas paralelas. Figura 16. Ejemplo 23. Compruebe que las rectas que tienen ecuaciones 3 x 5 y 7 0 6 x 10 y 5 0 son paralelas; dibuje sus gráficas. Ejemplo 24. Obtenga el valor de k tal que las rectas cuyas ecuaciones son 3 x 6 k y 7 9 k x 8 y 15 sean paralelas. Ejemplo 25. Una recta pasa por el punto A ( 7 , 8 ) y es paralela a la recta C ( 2 , 2 ) y D ( 3, 4 ) . Hallar su ecuación. Ejercicios propuestos. 32. Demuestre que las rectas que tienen ecuaciones 4 x 3 y 12 0 8 x 6 y 15 0 son paralelas; y dibuje sus gráficas. 33. Hallar el valor de k para que la recta k x (k 1) y 18 0 sea paralela a la recta 4 x 3 y 7 0. 34. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta x 5 y 11 0 y pasa por el punto A ( 7 , 2 ) 35. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto dado paralela a la recta dada: a) ( 2 ,1) ; 4 x 2 y 3 b) ( 3, 2 ) ; x y 7 7 3 c) ( 8 , 4 ) ; 5 x 3 y 0 d) ( 6 , 4 ) ; 3 x 4 y 1 e) ( 2 , 5 ) ; x 4 f) ( 1, 0 ) ; y 3 36. Una recta cuya ordenada en el origen es el doble de la ordenada en el origen de otra recta 7 x 4 y 3 0 , es paralela a la recta que pasa por ( 3 ,1) y (1, 6 ) . Dar su ecuación. Puntos colineales. Dos puntos distintos cualesquiera determinan una recta. Tres puntos diferentes pueden o no estar en una recta. Si tres o más puntos están en la misma recta se les llama colineales. En consecuencia, tres puntos A , B y C son colineales si la recta que pasa por los puntos A y B es la misma que la que pasa por los puntos B y C . Como la recta que pasa por A y B y la recta que pasa por B y C contienen al punto B , ellas serán la misma recta si y sólo si sus pendientes son iguales. Luego A , B y C son colineales. Ejemplo 26. Determine por medio de pendientes si los puntos A ( 3, 4 ) , B ( 2 , 1) y C ( 7 , 2 ) son colineales. Una forma adicional de demostrar que tres puntos son colineales es determinando la ecuación de la recta que pasa por dos de ellos, y verificar que el tercer punto satisface la ecuación obtenida, esto es, el tercer punto también pertenece a la recta obtenida con los dos primeros. Ejemplo 27. Demostrar que los puntos A ( 5 , 2 ) , B (1, 4 ) y C ( 4 , 5 ) son colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos y verificando que el tercer punto satisface la ecuación obtenida. Ejercicios propuestos. 37. Decir si los tres puntos dados son colineales (se encuentran en la misma recta). a) ( 0 , 4 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , 2 ) b) ( 0 , 4 ) , ( 7 , 6 ) , ( 5 ,11) c) ( 2 ,1) , ( 1, 0 ) , ( 2 , 2 ) d) ( 1, 3 ) , ( 2 , 9 ) , ( 3 ,11) 38. Grafique A , B y C , y determine si están sobre una misma línea recta: a) A ( 1, 2 ) ; B ( 2 ,1) ; C ( 4 , 3 ) b) A ( 2 , 5 ) ; B ( 2 , 3 ) ; C ( 8 , 0 ) c) A ( 3, 2 ) ; B (1, 6 ) ; C ( 8 ,14 ) Rectas perpendiculares. Dos rectas no verticales L 1 y L 2 que tienen pendientes m 1 y m 2 respectivamente, son perpendiculares si y sólo si m 1 m 2 1 . En la figura 17 se muestran dos rectas perpendiculares Figura 17. Ejemplo 28. Pruebe que las rectas que tienen ecuaciones 2 x 3 y 6 0 3 x 2 y 12 0 son perpendiculares; dibuje sus gráficas. Ejemplo 29. Determine el valor de k tal que las rectas cuyas ecuaciones son 3 k x 8 y 5 6 y 4 k x 1 sean perpendiculares. Ejemplo 30. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 3 x 4 y 11 0 y pasa por el punto A ( 1, 3 ) . Ejercicios propuestos. 39. Demuestre que las rectas que tienen ecuaciones 2 y 10 5 x 5 y 2 x 20 son perpendiculares; dibuje sus gráficas. 40. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto dado perpendicular a la recta dada: a) ( 2 ,1) ; 4 x 2 y 3 b) ( 3, 2 ) ; x y 7 7 3 c) ( 8 , 4 ) ; 5 x 3 y 0 d) ( 6 , 4 ) ; 3 x 4 y 1 e) ( 2 , 5 ) ; x 4 f) ( 1, 0 ) ; y 3 41. Una recta con abscisa en el origen –2, es perpendicular a otra recta que pasa por ( 2 ,1) y cuya ordenada en el origen es 4. ¿Cuál es su ecuación? 42. Una recta con ordenada en el origen 5, es perpendicular a otra recta que pasa por los puntos ( 4 , 3 ) y ( 23 , 53 ) . ¿Cuál es su ecuación? 43. Hallar la pendiente y las intersecciones de la recta que pasa por el punto ( 2 , 3 ) y es perpendicular a la recta 2 x 7 y 2 0 . 44. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 , 1) y es: a) Paralela a la recta 2 x 3 y 5 . b) Perpendicular a la recta 3 x 4 y 10 . 45. Determinar el valor de k para que la recta k 2 x (k 1) y 3 0 sea perpendicular a la recta 3 x 2 y 11 0 . 48. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 , 4 ) y: a) Tiene pendiente 167 . b) Es paralela a la recta 5 x 3 y 3 . c) Es perpendicular a la recta 5 x 3 y 3 . d) Es paralela al eje x . e) Es paralela al eje y . f) Pasa por el origen. Ejemplo 31. Pruebe por medio de pendientes que los tres puntos ( 3 ,1) , ( 6 , 0 ) y ( 4 , 4 ) son los vértices de un triángulo rectángulo. Ejemplo 32. Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos ( 0 , 0 ) , ( 2 ,1) , ( 3 , 4 ) y ( 5 , 3 ) son los vértices de un paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos). Ejercicios propuestos. 49. Use el concepto de pendiente para demostrar que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. a) A ( 1, 3 ) ; B ( 5 , 0 ) ; C ( 7 , 4 ) ; D (1, 7 ) b) A ( 7 , 1) ; B ( 2 , 2 ) ; C (1, 4 ) ; D (10 ,1) c) A ( 6 ,1) ; B ( 4 , 6 ) ; C ( 4 , 3 ) ; D ( 6 , 2 ) 50. Sean A ( 1, 6 ) ; B ( 0 , 0 ) y C ( 3 ,1) , vértices consecutivos de un paralelogramo. ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice? Ejemplo 33. Compruebe mediante pendientes que los cuatro puntos ( 4 , 1) , ( 3 , 83 ) , ( 8 , 4 ) y ( 2 , 9 ) son los vértices de un trapecio (cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos). Intersección de dos rectas. Sean dos rectas L 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 L 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 , el punto de intersección es el punto ( x0 , y0 ) que satisface ambas ecuaciones. Para determinar el punto de intersección, se procede a resolver el sistema formado por las ecuaciones: A1 x B 1 y C 1 A2 x B 2 y C 2 Ejemplo 34. Hallar el punto de intersección de las rectas 2 x 3 y 5 4 x 2 y 3 . Ejemplo 35. Hallar la ecuación de una línea recta L , cuya pendiente es 4 5 de la pendiente de la recta L1 : 2 x 3 y 4 0 , y que pasa por el punto de intersección entre las rectas L 2 : 3 x 2 y 1 0 L3 : x 3 y 2 0 . Ejercicios propuestos. 51. Hallar el punto de intersección de las rectas 3 x 4 y 8 x y 5 . 52. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2 x y 8 0 3 x 2 y 9 0 . 53. Una recta pasa por el origen y por la intersección de las rectas 3 x 2 y 14 0 x 3 y 1 0 . Hallar su ecuación. 54. Una recta pasa por el punto A (2 , 3) y por la intersección de las rectas x 5 y 2 0 3 x 4 y 5 0 . Hallar su ecuación. 55. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por: a) La intersección de 7 x 13 y 15 0 , 23 x 37 y 40 0 y por (1, 3 ) . b) La intersección de 43 x 29 y 43 0 , 23 x 8 y 6 0 ; y cuya ordenada en el origen es –2. c) La intersección de 12 x 11 y 20 0 , 4 x 7 y 4 0 ; y cuya abcisa en el origen es 3 . 4 56. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 3 x 2 y 8 0 2 x 9 y 5 0 . Hallar su ecuación sabiendo que es paralela a la recta 6 x 2 y 11 0 . 57. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 7 x 2 y 0 4 x y 1 0 y es perpendicular a la recta 3 x 8 y 19 0 . Hallar su ecuación. 58. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3 x 8 y 36 0 , x y 10 0 , 3 x 8 y 19 0 x y 1 0 . Demostrar que la figura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices. 59. Demostrar que las rectas 2 x y 1 0 , x 8 y 37 0 , 2 x y 16 0 x 8 y 7 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales. 60. Demostrar que las rectas 5 x y 6 0 , x 5 y 22 0 , 5 x y 32 0 x 5 y 4 0 forman un cuadrado.
