CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la cadena por Sandra Elvia Pérez Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono 14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más. Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente x aparece dentro de algún logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y exponencial. Funciones logarítmicas Función exponencial y = log(x), y = ln(x) y = a x , y = ex Figura 1. Gráfica de funciones logarítmicas Figura 2. Gráfica de función exponencial Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial, se aplican teoremas específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las derivadas de esta sección. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 1 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Formulario de Derivadas de Funciones Logarítmica y Exponencial C representa cualquier constante Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ, wʼ, representan la derivada de u, v, w. 1. d u′ ln(u ) = dx u 2. ′ d (log a u ) = u dx u ln a 3. d u a = u ′a u ln(a ) dx 4. d u e = u ′e u dx ( ) ( ) Figura 3. Formulario de Derivadas de Funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange. Te recomiendo visites la sección Para aprender más, en donde encontrarás enlaces sobre el origen de los logaritmos, datos históricos, los personajes que desarrollaron estas teorías, el número e, entre otros temas de interés. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 2 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los exponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico. Leyes de los logaritmos log(A ⋅ B) = log A + log B ⎛ A⎞ log⎜ ⎟ = log A − log B ⎝B⎠ log( A) = n log A log n A = n ( ) 1 log A n Figura 4. Formulario de Leyes de los logaritmos (Allen, 2004). Ejemplo 1 Determina la derivada de la función y = ln(9 x) Usando la fórmula d u′ ln(u ) = dx u Tienes: u = 9x u′ = 9 d [ln(9 x )] = 9 = 1 dx 9x x Por lo que la derivada queda: y′ = 1 x ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 3 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 2 ( ) Determina la derivada de la función y = ln 3x 2 Usando la fórmula d u′ ln(u ) = dx u Tienes: u = 3x 2 u′ = 6 x [ ( )] d 6x 2 ln 3x 2 = 2 = dx 3x x Por lo que la derivada queda: 2 x y′ = Ejemplo 3 ( ) Determina la derivada de la función y = ln 3x 2 − 1 Usando la fórmula d u′ ln(u ) = dx u Tienes: u = 3 x 2 −1 u′ = 6 x [ ( )] d 6x ln 3 x 2 −1 = 2 dx 3 x −1 Por lo que la derivada queda y′ = 6x 3x −1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser 4 2 reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 4 Determina la derivada de la función y = x ln(x) En este ejemplo usa la fórmula del producto d (uv ) = uv′ + vu′ dx En combinación con la fórmula u=x u′ = 1 d u′ ln(u ) = , tienes: dx u v = ln(x ) v′ = 1 x d [x ln(x )] = x⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ln(x )(1) dx ⎝ x⎠ d [x ln(x )] = x + ln(x ) dx x d [x ln(x )] = 1 + ln(x ) dx Por lo que la derivada queda: y′ = 1+ ln(x) ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 5 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 5 [ )] ( Determina la derivada de la función y = ln (x + 3) x 2 − 5 En este ejemplo usa la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para transformar la expresión anterior. ln( AB ) = ln( A) + ln(B ) [ )] ( ( ln (x + 3) x 2 − 5 = ln(x + 3) + ln x 2 − 5 ) Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de d u′ y tienes lo siguiente: ln(u ) = dx u logaritmos, utiliza la fórmula [ ( )] [ ( d d d ln(x + 3) + ln x 2 − 5 = [ln(x + 3)] + ln x 2 − 5 dx dx dx )] u = x+3 u′ = 1 u = x2 − 5 u′ = 2 x d [ln(x + 3)] = 1 dx x+3 d 2x ln x 2 − 5 = 2 dx x −5 [ ( [ ( )] )] d 1 2x ln(x + 3) + ln x 2 − 5 = + 2 dx x+3 x −5 Por lo que la derivada queda: y′ = 1 2x + 2 x +3 x −5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 6 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 6 Determina la derivada de la función y = ln x − 3 Para facilitar el cálculo de esta derivada recurre nuevamente a las leyes de los logaritmos. Específicamente a: ln n A = 1 ln A n Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en y = ln x − 3 y= 1 ln(x − 3) 2 Derivando: d ⎡1 ⎤ 1 d ln(x − 3)⎥ = ln(x − 3) ⎢ dx ⎣ 2 ⎦ 2 dx u = x−3 u′ = 1 d 1 ln(x − 3) = dx x−3 Por lo tanto, 1⎛ 1 ⎞ y′ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ x −3⎠ ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 7 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 7 ⎡ x2 + 1 ⎤ Determina la derivada de la función y = ln ⎢ 4 ⎥ ⎣ 3x − 6 x ⎦ Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los logaritmos. Específicamente a: ⎛ A⎞ ln⎜ ⎟ = ln A − ln B ⎝B⎠ Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en: ⎡ x2 + 1 ⎤ y = ln ⎢ 4 ⎥ ⎣ 3x − 6 x ⎦ A = x 2 + 1; B = 3x 4 − 6 x ( ) ( ) [ ( ) ( )] y = ln x 2 + 1 − ln 3x 4 − 6 x Derivando: ( ) ( d d d ln x 2 + 1 − ln 3x 4 − 6 x = ln x 2 + 1 − ln 3x 4 − 6 x dx dx dx u = 3x 4 − 6 x u = x2 + 1 u′ = 2 x ( ) u′ = 12 x 3 − 6 ) d 2x ln x 2 + 1 = 2 dx x +1 d 12 x 3 − 6 4 ln 3x − 6 x = 4 dx 3x − 6 x ( ) Por lo tanto, y′ = 2x 12 x 3 − 6 − x 2 + 1 3x 4 − 6 x ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 8 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 8 Determina la derivada de la función y = log 2 (3x − 6) Basándose en la siguiente fórmula: d u′ log a u = dx u ln a Tienes: a=2 u′ = 3 u = 3x − 6 y′ = 3 (3x − 6)ln 2 Ejemplo 9 Determina la derivada de la función y = 57 x Usando el teorema ( ) d u a = u ′a u ln(a ) dx Queda: a=5 u = 7x u′ = 7 ( ) y ′ = 7 57 x ln 5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 9 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 10 2 Determina la derivada de la función y = e (x −3) Empleando el teorema ( ) d u e = u ′e u dx Obtienes: u = x2 − 3 u′ = 2 x y′ = 2 x ⋅ e (x −3) 2 Ejemplo 11 Determina la derivada de la función y = e5 x − e −2 x Y tienes: u = 5x u = −2 x u′ = 5 u ′ = −2 y ′ = 5e 5 x − (−2)e −2 x y ′ = 5e 5 x + 2e −2 x ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 10 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Regla de la cadena Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente: ( ) d n u = nu n−1 ⋅ u ′ dx A este teorema, con frecuencia se le denomina regla de la cadena. Los siguientes ejemplos muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmulas permite la obtención de múltiples derivadas. Ejemplo 1 4 ⎛ x + 2⎞ Calcula la derivada de y = ⎜ ⎟ . ⎝ x−2⎠ Solución Identifica u = (x − 2) − (x + 2) = − 4 . Aplicando la fórmula tienes: x+2 , entonces u ′ = x−2 (x − 2)2 (x − 2)2 ⎛ x + 2⎞ y ′ = 4⎜ ⎟ ⎝ x−2⎠ 3 ⎛ −4 ⎜ ⎜ (x − 2 )2 ⎝ ⎛ x + 2⎞ y ′ = −16⎜ ⎟ ⎝ x−2⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 11 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Ejemplo 2 Calcula la derivada de y = sen 4 (x ) . Solución En trigonometría, este tipo de expresión es equivalente a y = [sen(x )]4 . De esta última expresión, identifica u = sen(x), entonces u′ = cos(x). Aplicando la fórmula tienes, y ′ = 4[sen(x )] cos(x ) 3 y ′ = 4sen 3 (x ) cos(x ) En el caso de las funciones trigonométricas, se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Ejemplo 3 ( Calcula la derivada de (x − 2) 3x 4 − x ) −5 . Solución En este ejercicio, debes aplicar la fórmula del producto y la regla de la cadena; tienes: ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 12 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Sustituyendo en la fórmula del producto queda: [ ( − 5(x − 2 )(12 x y′ = (3x − 4) ) (12 x − 1)]+ (1)(3x − 1) 1 + (3x − x ) y ′ = (x − 2 ) − 5 3 x 4 − 4 4 3 6 −6 3 4 4 −x ) −5 5 Este último ejemplo, se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada. Ejemplo 4 Calcula la derivada de y = e sen ( x ) Solución Identificando u = sen(x), tienes que u′ = cos(x). Aplicando la fórmula ( ) d u e = e u ⋅ u ′ obtienes: dx y ′ = e sen ( x ) cos(x ) En estos ejemplos, se pone de manifiesto que la aplicación de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de la función a derivar en particular. Con la práctica serás capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más complejas. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 13 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez Referencias Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6a. ed.; V. H. Ibarra, Trad.). México: Pearson Educación. Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall. Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 14 sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
