Apunte de El Traductor de Ingeniería - Julio 2020

Entendiendo por qué las fórmulas
que nos enseñan son como son
Este es un texto resumen de un video publicado en el canal de YouTube El
Traductor de Ingenierı́a. Fue redactado por el mismo del video, Damián Pedraza.
Puedes acceder al video a través de este enlace: https://www.youtube.com/
watch?v=z5lHS8t2sCA&feature=youtu.be
Esta versión fue redactada en julio de 2020.
Sobre la escritura de la matemática
El cálculo a realizar debe estar bien escrito, con letra clara y signos bien definidos.
Creo conveniente utilizar los siguientes sı́mbolos:
Para la suma: +
Para la resta: −
Para la multiplicación: ·
Para la división de una cantidad a entre una cantidad b: a/b o bien
a
b
Para la potencia de base a y exponente b: ab
Para la radicación de ı́ndice n de la cantidad a:
√
n
a
Más adelante veremos que existe una notación alternativa para la radicación que
es en forma de potencia de exponente racional.
Recomiendo utilizar la notación que yo denomino clásica. Aquı́ una comparación
entre notación en formato de sentencia lineal (1) y notación en formato clásico (2):
(3 × 5)2 : 36 + 3 : 8 × ((10 − (−1)2 ) : 7)
1
(1)
2
(3 · 5)2 3 10 − (−1)2
+ ·
36
8
7
Al utilizar la notación clásica (2) solo necesitarás asumir que:
a·b+c
(2)
(3)
es una suma, entre (a · b) y c, siendo a, b y c números, variables o expresiones en
general. Esto explica la necesidad de separar en términos al momento de empezar
a resolver un cálculo combinado. A veces se omite el signo · para hacer la escritura
más rápida, entonces se tiene esta equivalencia:
a · b + c = ab + c
(4)
Siguiendo el criterio mostrado hasta ahora, no necesitarás aprenderte la jerarquı́a
de operaciones ni nada por el estilo, pues redactando con el formato (2) las operaciones quedan perfectamente definidas sin ambigüedades. En otra ocasión explicaré
más a detalle por qué no me gusta que se enseñe matemática utilizando el formato
(1).
Es importante remarcar que en este texto trabajaremos solamente en el conjunto
de los números reales.
Propiedades de las operaciones elementales
Para la suma se tienen las siguientes propiedades:
Ley asociativa: No importa como se asocie, el resultado no cambia:
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
Ley conmutativa: No importa el orden de los sumandos, el resultado no cambia:
a+b=b+a
Existencia de elemento neutro: 0 es el elemento neutro porque al aplicar la
operación suma entre una cantidad a y 0, el resultado es invariablemente a:
a+0=a
Existencia de elemento inverso: −a es el inverso de a para la suma porque
al aplicar la operación suma entre ambos el resultado es el elemento neutro asociado
a la suma:
a + (−a) = 0
3
Para la multiplicación es análogo:
Ley asociativa: No importa como se asocie, el resultado no cambia:
a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c
Ley conmutativa: No importa el orden de los factores, el resultado no cambia.
a·b=b·a
Existencia de elemento neutro: 1 es el elemento neutro porque al aplicar la
operación multiplicación entre una cantidad a y 1, el resultado es invariablemente
a:
a·1=a
Existencia de elemento inverso: 1/a es el inverso de a para la multiplicación,
siempre que a 6= 0, porque al aplicar la operación multiplicación entre ambos el
resultado es el elemento neutro asociado a la multiplicación:
a · (1/a) = 1
Un poco más sobre operaciones
La resta entre a y b se puede pensar como la suma entre a y el opuesto de b, es
decir:
a − b = a + (−b)
(5)
La multiplicación se puede pensar como una suma interada, por ejemplo:
a+a+a=3·a
(6)
siendo a un número o una expresión cualquiera. En general se tiene que si sumamos la cantidad a, n veces, escribimos:
a+a+···+a=n·a
(7)
La división de a entre un número b, siempre que b 6= 0, puede pensarse como la
multiplicación entre a y el inverso multiplicativo de b, es decir:
a/b = a · (1/b)
La potencia de exponente natural se puede pensar como una multiplicación interada, por ejemplo:
a · a · a = a3
(8)
4
En general podemos decir que si tenemos n factores de a, siendo n un número
natural, estamos habilitados a escribir:
a · a · · · a = an
(9)
Se define la potencia de base no nula y exponente cero, ası́:
a0 = 1, a 6= 0
(10)
La propiedades de la potenciación las recordamos ahora (en el video hemos explicado algunas, es bastante sencillo demostrarlas):
(ap )q = ap·q
(11)
ap · aq = ap+q
(12)
(a · b)p = ap · bp
(13)
1/c = c−1
(14)
Es frecuente enseñar que:
La pregunta que aquı́ debemos hacer es, ¿por qué esto es ası́? Se puede justificar
del siguiente modo:
Planteamos que queremos escribir a 1/c en forma de potencia. Entonces deberı́a
existir un número q que cumpla:
1/c = cq
(15)
Recordemos la propiedad de existencia de elemento inverso asociado a la multiplicación. Esta decı́a que dado un número no nulo c, existe un inverso 1/c tal
que:
c · (1/c) = 1
(16)
Utilizando las ecuaciones (10), (15) y (16), podemos argumentar:
(1/c) · c = cq · c = c0
(17)
Deseamos que las propiedades de la potenciación sigan siendo válidas, incluso
para exponentes negativos. Entonces estamos habilitados a aplicarlas en (17), resultando esta igualdad:
cq+1 = c0
(18)
5
Para que esto sea cierto, necesariamente los expoenentes deben ser iguales. Entonces planteamos:
q+1=0
(19)
Despejando lo que nos interesa, encontramos que q no puede valer cualquier cosa,
necesariamente debe valer −1. Entonces podemos reescribir (15) incorporando este
hallazgo:
1/c = c−1
(20)
Esto nos va a servir para justificar otras propiedades. Por ejemplo, el hecho de
que la potencia distrubuye en la división, tal cual como lo hace en la multiplicación
(13). Lo hacemos ası́:
Nos preguntamos: ¿a qué es igual esto...
(a/b)p
?
(21)
Entonces escribimos y aplicamos las propiedades hasta ahora presentadas:
(a/b)p = [a · (1/b)]p = ap · (1/b)p = ap · (b−1 )p = ap · b(−1)·p = ap · b−p
(22)
= ap · (bp )−1 = ap · (1/bp ) = ap /bp
hice varios pasos para mostrártelo despacio y que no te pierdas. Como verás,
acabamos de demostrar que:
(a/b)p = ap /bp
(23)
lo que se conoce como ”ley de distributividad de la potencia en la división”, que
es análoga a (13).
Si planteamos la situación:
bn = a
(24)
buscar un número b que cumpla, es buscar la raı́z n-ésima de a, y se introduce
la notación:
b=
√
n
a
donde a recibe el nombre de radicando y n el nombre de ı́ndice de la raı́z.
Si n es par, ocurre que:
(25)
6
√
El sı́mbolo n · se reserva por definición solamente para el valor positivo de b
que cumple la ecuación (24).
a debe ser no negativo para que b exista.
por estas razones el momento de definir la raı́z de ı́ndice par, es necesario restringir los valores del radicando a solamente valores no negativos.
√
√
Si quisiéramos escribir a n a con forma de potencia de a, siempre que n a exista,
podemos plantear lo siguiente:
√
n
a = ap
(26)
Lo que queremos es averiguar cuánto debe valer p para que (26) tenga sentido.
Utilizaremos todo lo aprendido hasta el momento. √
Queremos que (26) se cumpla
para cierto número p. La ecuación (25) dice que b = n a, utilizando esto, la ecuación
(24) y la ecuación (26) podemos escribir:
b=
√
n
a = ap = (bn )p
(27)
Entonces nos queda la siguiente ecuación:
b = (bn )p
(28)
Además de querer que exista un p que cumpla (26), también deseamos que las
propiedades de la potenciación sigan valiendo, incluso para exponentes racionales.
Por ello, podemos aplicar estas propiedades en (28) y decir:
b = bn·p
(29)
como asumimos que b = b1 , podemos decir que para que (29) se cumpla, dado que
el b en ambos miembros es el mismo (¡por supuesto, por eso usamos la misma letra!),
es necesario que los exponentes sean iguales. Entonces igualamos sus exponentes:
1=n·p
(30)
Despejando el número misterioso p, descubrimos que:
p = 1/n
(31)
Entonces reescribimos a (26) utilizando el valor de p descubierto:
√
n
a = a1/n
(32)
7
Lo que acabamos de hacer es una justificación de por qué se acostumbra a utilizar
potencia de exponente fraccionario para la raı́z de ı́ndice n. Podrás aplicar todas las
propiedades de la potenciación aprendidas. Pero antes deberás garantizar que esas
raı́ces existan, sino llegarás a resultados incorrectos.