Subido por Emmanuel Olivares

Sust Trigo 6

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𝑎
1
6. ∫
(𝑥 2
0
+
3 𝑑𝑥
2
𝑎 )2
Observar que caso es
CASO II
𝑢 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃
√𝑎2 + 𝑢2
𝑢
𝜃
√𝑎2 + 𝑢2 = √(𝑎2 + 𝑎2 tan2 𝜃 = √𝑎2 (1 + tan2 𝜃)
= √𝑎2 sec 2 𝜃 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑎
Dibujar nuestro triangulo
𝑢=𝑥
√𝑎2 + 𝑥 2
𝑥
𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑎=𝑎
𝜃
√𝑎2 + 𝑥 2
𝑎
√𝑎2 + 𝑥 2
= 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃
Notemos que no tenemos un termino elevado a la potencia 3/2, por lo tanto,
modificamos nuestras expresiones para poder hacer la sustitución
1
(𝑎2 + 𝑥 2 )2∗3 = (𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃)1∗3
(𝑎2 + 𝑥 2 ) 3/2 = 𝑎3 sec 3 𝜃
𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎sec 2 𝜃𝑑𝜃
Hacemos la sustitución
𝑎
∫
0
1
𝑎
3 𝑑𝑥 = ∫
(𝑥 2 + 𝑎2 )2
0
𝑎
1
1
2
𝑎sec
𝜃𝑑𝜃
=
∫
𝑎sec 2 𝜃 𝑑𝜃
3
3
2
2 𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑎 sec 𝜃
𝑎𝑎
sec
0
𝑎
∫
0
1
𝑎2 𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑑𝜃
Sacamos la constante
1 𝑎 1
∫
𝑑𝜃
𝑎2 0 𝑠𝑒𝑐𝜃
Usamos una expresión trigonométrica que relaciona a la secante y al coseno
1 𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑎2 0
Resolvemos la integral
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝜃 |
2
𝑎
0
Sustituimos el ángulo usando nuestro triangulo
1
𝑥
𝑎
|
𝑎2 √𝑎2 + 𝑥 2 0
Evaluamos en los límites de integración, todo donde este una x pondremos una a
1
𝑎
2
𝑎 √𝑎2 + 𝑎2
Reducimos
1
𝑎√2𝑎2
1
𝑎√2𝑎
1
√2𝑎2
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