(en majúscula) COGNOMS:
NOM:
Nota:
UPC. ETSEIB. Àlgebra lineal. Temps total: 1 h 15’.
Examen parcial. 30 d’Octubre de 2018. TEST.
Codi: A
(i) ENCERCLEU la resposta correcta a la taula de sota. Només n’hi ha una.
(ii) Totes les preguntes valen el mateix.
(iii) Les respostes incorrectes RESTEN 1/4 de la puntuació de la pregunta.
Respostes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
0
Codi: A
1. La segona coordenada del vector (1, −2, 3) en la base (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) és:
(a) −5
(b) 2
(c) 4
(d) −1/2
(e) Cap de les anteriors
2. Discutiu el sistema matricial AX = B, on
1
A = 1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
2 , B = 2
3
3
1
3
4
(a) Sistema compatible determinat
(b) Sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat
(c) Sistema compatible indeterminat amb dos graus de llibertat
(d) Sistema incompatible
(e) Cap de les anteriors
3. Donats els polinomis p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2 i q(x) = 3x3 + 13x2 + 16x + 4, quin és el seu màxim comú
divisor?
(a) (x + 2)(x − 1)
(b) (x + 2)
(c) (x + 1/3)(x2 + 1)
(d) (x + 2)2
(e) Cap de les anteriors
√
4. Siguin z = ( 21−i2 )12 i u = ( 2i−2
)12 . Aleshores:
1+i
(a) u = z.
(b) u = −z.
(c) u = 2 z.
(d)u = z i.
(e) Cap de les anteriors és certa.
5. Sigui A ∈ Mm,n (R) una matriu amb m files i n columnes, i b ∈ Rm . Si el sistema Ax = b és compatible, podem
concloure que
(a) m ≤ n
(b) rang (A) = min{n, m}
(c) det (A) 6= 0
(d) el sistema (2A)x = −b també és compatible.
(e) Cap de les anteriors
6. Cas que existeixi, trobeu la inversa de la matriu
1
A = 1
1
1
α
1
1
1
2
en funció de α ∈ R.
(a) Si α = 1, A no té inversa. Si α 6= 1, A és invertible i
1 − 2α
1
1
A−1 =
1−α
α−1
(b) Si α 6= 1, A no té inversa. Si α = 1, A és invertible i
1 − 2α
−1
A = 1
α−1
(e) Cap de les anteriors
α−1
0 .
1−α
α−1
0 .
1−α
1
−1
0
(c) Si α = 1, A no té inversa. Si α 6= 1, A és invertible i
1 − 2α
1
−1
1
A =
1−α
0
(d) Si α 6= 1, A no té inversa. Si α = 1, A és invertible i
1
1
1
A−1 =
1−α
1
1
−1
0
1
−1
0
1
−1
0
α−1
0 .
0
−1
0 .
0
7. Considerem el subconjunt V ⊂ M2 (R) donat per
x y
| x−y+z+t=0 .
V =
z t
Llavors
(a) V és un subespai vectorial de M2 (R) de
1
0
dimensió 3, i
1
−1 0
,
,
0
1
0
−1
0
0
1
n’és una base.
(b) V és un subespai vectorial de M2 (R) de dimensió 2, i
−1
1 1
,
1
0 0
0
0
n’és una base.
(c) V és un subespai vectorial de M2 (R) de dimensió 1, i
1 1
0 0
n’és una base.
(d) V no és un subespai vectorial de M2 (R).
(e) Cap de les anteriors
8. Donats els subespais F = [t3 + t − 2, λt3 + µt2 − 5] i G = {p(t) ∈ R3 [t] | p(1) = 0, p00 (0) = 0}, aleshores:
(a) F = G per tot valor de λ i µ
(b) F ⊂ G per tot valor de λ i µ
(c) F ∩ G = {0} per λ = 3 i µ = 7
(d) F = G per λ = 5 i µ = 0
(e) Cap de les anteriors
9. Donats els tres vectors de R3 , u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, −1, 3), u3 = (1, 3, 1):
(a) {u1 , u2 , u3 } són base de R3 .
(b) El vector (2, −4, 7) no es pot obtenir con a combinació lineal de u1 , u2 , u3 .
(c) El vector (1, 0, 0) no es pot obtenir con a combinació lineal de u1 , u2 , u3 .
(d) {u1 , u2 , u3 } generen un subespai de dimensió 1.
(e) Els subespais [u1 , u2 ] i [u3 ] tenen intersecció {0}.
10. Sigui p(x) el polinomi mònic a coeficients reals de grau 4 que té l’arrel 2 + i, que la suma de dues arrels reals
és 5 i que el residu de la divisió per x − 1 és 4. Doneu el valor del terme independent de p(x).
(a) 20
(b) 30
(c) −20
(d) −30
(e) Cap de les anteriors