ALGEBRA LINEAL EXAMEN
PARCIAL
Álgebra
Universitat Miguel Hernández d'Elx (UMH)
4 pag.
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Grado en Ingenierı́a Electrónica y Automática
Industrial. Grado en Ingenierı́a Eléctrica. Grado en
Ingenierı́a Mecánica
Álgebra
12 de Septiembre de 2014
Indicaciones:
Colocar sobre la mesa el D.N.I o cualquier otro documento acreditativo
Poner el nombre en cada folio que se entregue.
NO SE PUEDE UTILIZAR CALCULADORA QUE EFECTÚE OPERACIONES MATRICIALES.
1. (1 punto) En R4 se considera el sistema de vectores
u1 = (1, −2, 0, 4) , u2 = (3, 1, 1, 0) , u3 = (−1, −5, −1, 8) , u4 = (3, 8, 2, −10) .
Hallar (si las hay) la(s) relación(es) de dependencia lineal.
La relación de dependencia lineal es
· u1 +
· u2 +
· u3 +
· u4 = 0
2. En R4 se consideran los subespacios S y T dados por
S = h{(1, 2, 3, 4) , (2, 2, 2, 6) , (0, 2, 4, 4)}i , T = (x, y, z, t) ∈ R4 : 3x − 2y + 3z = 0, −2x + y + t = 0
a) (0,75 puntos) Hallar una base del subespacio S ∩ T .
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b) (0,25 puntos) Señalar con una cruz la dimensión del subespacio S + T .
0
1
1
1
3. (1 punto) Hallar la inversa de A =
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
2
3
4
1
2
usando el algoritmo de Gauss-Jordan.
3
4
A−1 =
4. (1 punto) Calcular el determinante siguiente
10 22 −8
2 −4 −10
1
2 −3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 −1
0
0 −2
0
0
0 −1
5
9
1
−8
4
0
0
−2
1
0
0
1
0 −9 −1
0
5
0
3
2 −1
2 10
1
0
6
2
5
1
0
0 11
0
0
−3
3
8 −1
0
0 −8
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
5. (1pto) Sea B una base de R5 , B ′ una base de R3 y f
respecto a esas bases es
1 0 1
′
B
[f ]B = 2 a 1
1 0 2
=
: R5 → R3 la aplicación lineal cuya matriz
3 0
6 a
3 b
con a, b ∈ R. Calcula a y b sabiendo que el núcleo de f tiene dimensión 3, dim ker f = 3.
2
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a=
b=
6. (1 pto) Dada la aplicación lineal f : R3 [x] → R3 [x] definida por f (p(x)) =
d2 p(x)
dp(x)
−2
+ p(x).
dx2
dx
B
a) (0,5 puntos) Hallar la matriz [f ]B00 de f en la base canónica B0 de R3 [x].
B
[f ]B
′
=
b) (0,5 puntos) Hallar la aplicación inversa f −1 , es decir, la forma explı́cita de f −1 .
f −1 a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 =
2
1 −1
0
1 .
7. (1 punto) Obtener la factorización LU de la matriz A = −1
−4 −2
1
L=
,
U=
3
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.
8. (1 punto) En R3 se considera el producto escalar definido por
h(x1 , x2 , x3 ) , (y1 , y2 , y3 )i = x1 y1 + x1 y3 + x2 y2 + x3 y1 + 4x3 y3
Obtener la matriz de Gram de dicho producto escalar en la base B = {(2, −1, −2), (0, 1, −1), (3, 0, 2)}.
G=
.
x+y+z =0
3
obtener las ecuaciones
9. (1 punto) Dado el subespacio F = (x, y, z) ∈ R :
y−z =0
⊥
implı́citas de F empleando el producto escalar del ejercicio anterior.
F⊥ =
1
0
1
2 , y discutir si es o no
10. (1 punto) Hallar los valores propios de la matriz A (m) = m −2
3
0 −1
diagonalizable en R en función de los distintos valores reales de m.
Valor de m
Valores propios y sus multiplicidades
4
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¿Diagonalizable?
