Puentes de corriente continua

Medidas eléctricas
Hugo Alejandro Boggi
PUENTES DE CORRIENTE CONTINUA
El puente de Wheatstone. Usos. Análisis de errores.
Estudio de la sensibilidad
Formas de manejo del puente
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Medidas eléctricas
Hugo Alejandro Boggi
1-.Puente de Wheatstone
Este dispositivo sirve entre otras cosas para medir resistencias. Es un método de cero y por lo
tanto tiene muy buena exactitud.
Cuando la corriente Ig es nula, Ig=0, el puente está equilibrado y se verifica que los puntos C y D
tienen el mismo potencial, por lo tanto:
R2 ⋅ I 2 = R1 ⋅ I 1
I1 =
U
R1 + X
U = I ⋅ Req
I2 =
I1 =
I ⋅ Req
R1 + R3
I2 =
⇒
=
I=
U
Req
Req =
(1)
U
R2 + R3
(R2 + R3 ) ⋅ (R1 + X )
R1 + R2 + R3 + X
I ⋅ (R2 + R3 ) ⋅ (R1 + X )
I ⋅ (R1 + X )
=
(R2 + R3 ) ⋅ (R1 + R2 + R3 + X ) (R1 + R2 + R3 + X )
I ⋅ (R2 + R3 )
(R1 + R2 + R3 + X )
Volviendo a (1) tenemos
I ⋅ (R2 + R3 ) ⋅ R1
I ⋅ (R1 + X ) ⋅ R2
=
R1 + R2 + R3 + X R1 + R2 + R3 + X
⇒
R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ X = R2 ⋅ R1 + R1 ⋅ R3
R2 ⋅ X = R1 ⋅ R3
(2)
Condición de equilibrio
La condición de equilibrio se deduce de ésta última expresión y dice que el puente estará
equilibrado cuando el producto de sus resistencias opuestas sea igual.
De la ecuación (2) se puede obtener el valor de la incógnita X.
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•
•
•
•
Ventajas
Es más exacto por tratarse de un método de •
cero. Su exactitud es muy alta
•
Hay total independencia de la fuente; ni
•
siquiera es necesario que sea estable. Como
hemos visto, la incógnita es independiente
de U, Rb y Rg
Como R1, R2, R3 pueden ser muy exactas, la
exactitud resultante es elevada.
Es un método sencillo
Desventajas
R1, R2, R3 son variables
El galvanómetro pesa en la sensibilidad
Pueden existir calentamientos en distintas
partes del circuito y en partes que están
formadas por distintos materiales, a
consecuencia de esto aparecen fem
termoeléctricas, entonces circula una
corriente extra que provoca errores en la
medición.
Errores
Los errores que se producen son los siguientes:
e x = ±(e R1 + e R 2 + e R 3 + ei )
•
•
•
eR1, eR2, eR3 son los errores correspondientes a las tolerancias de las resistencias.
ei es el error de insensibilidad en la determinación del cero. Se tratará que este error sea
despreciable.
Pueden aparecer errores por fem térmicas. Las fem térmicas aparecen por calentamientos en
distintas partes del circuito que están formadas por distintos materiales. Para evitar este
problema, se mide dos veces con la polaridad de la batería invertida y lego se promedian los
valores obtenidos. Esto se hace cuando se requiere mucha exactitud. Otra alternativa es
trabajar con “falso cero”; para ello se abre la fuente y se mide con el galvanómetro; si indica
algo significa que hay fem termoeléctrica, entonces ajusto el cero nuevamente y
posteriormente conecto la fuente, entonces ahora el galvanómetro nos descontará el efecto de
la fem térmica.
La resistencia incógnita X se puede determinar con la expresión:
X =
R1
⋅ R3
R2
o también con la expresión
X = ρ ⋅ R3
Cuando se conoce la relación del puente ρ.
ρ=
R1
R2
En ambos casos la resistencia R3 es una caja de décadas y se denomina resistencia de
comparación.
Las resistencias R1 y R2 son variables a saltos y se denominan resistencias de relación. Sus
valores posibles pueden ser:
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R1: 1 – 10 –100 – 1000
R2: 1 – 10 –100 – 1000
Observación: la relación ρ debe ser lo más pequeña posible (mínima) de forma tal que se puedan
utilizar todas las décadas de R3 como sea posible (las razones se explicarán más adelante).
Usos del puente
El puente de Wheatstone se usa para medir resistencias comprendidas entre 10 Ω y algunas
decenas o centenas de kΩ.
También se suele usar este puente para dispositivos de medición y control, en los cuales la
resistencia incógnita es el elemento sensible y su variación es función de la cantidad medida. Por
ejemplo, temperatura, deformación mecánica, intensidad luminosa, posición, etc.
El puente de Wheatstone, si bien puede improvisarse con cuatro resistencias, es fabricado de
forma tal que la incógnita X integra un puente con otras tres resistencias conocidas,
pertenecientes al aparato y que pueden ser variadas a voluntad, de modo tal de establecer el
equilibrio, que se verifica mediante un detector de cero o galvanómetro.
En otros dispositivos de medición y control no eléctricos, el puente se usa desequilibrado y la
cantidad medida es indicada por el instrumento, que mide la corriente de desequilibrio que es
función de X.
Estudio de la sensibilidad
Hay un error de insensibilidad ei, porque hay un ΔIg que no puede ser detectado por el
galvanómetro, y ello puede hacernos creer que estamos en la situación de equilibrio cuando en
realidad no es así.
El error de insensibilidad se puede encontrar relacionando la mínima variación de X con la
mínima variación medible. Para ello usaremos el método aproximado.
Partimos del siguiente circuito, del cual haremos su equivalente de Thévenin visto desde los
bornes A y B.
El circuito equivalente de Thévenin resulta
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Planteamos para la situación de equilibrio
I1 =
I2 =
I ⋅ (R 2 + R 3 )
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
I ⋅ (R 1 + X + ΔX )
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
U Th =
U Th =
U Th =
U Th
I ⋅ (R 2 + R 3 ) ⋅ R 1
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
I
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
I
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
I
=
R1 + R2 + R3 + X + ΔX
U Th =
−
I ⋅ (R 1 + X + ΔX ) ⋅ R 2
R 1 + R 2 + R 3 + X + ΔX
⋅ [(R 2 + R 3 ) ⋅ R 1 − (R 1 + X + ΔX ) ⋅ R 2 ]
⋅ [R 1 ⋅ R 2 + R 1 ⋅ R 3 − R 1 ⋅ R 2 − R 2 ⋅ X − R 2 ⋅ ΔX ]
⎡
⎤
⎢
⋅ R1 ⋅ R3 − R2 ⋅ X − R2 ⋅ X ⎥
2 4 43
⎢ 1=04por4cond.
⎥
equilibrio
⎣
⎦
− I ⋅ R 2 ⋅ ΔX
R1 + R2 + R3 + X + ΔX
Como ΔX es extremadamente pequeño frente a X, entonces la corriente es prácticamente
constante, al igual que la suma del denominador. Es decir que la resistencia que se ve desde la
fuente U es casi constante. Entonces en la suposición de que la I=cte, calculamos la resistencia
equivalente vista desde la fuente RThf
Bajo estas condiciones impuestas I=cte y U=cte vemos que Uab es directamente proporcional a
ΔX y también proporcional a U.
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UTh debe ser grande porque debo detectar pequeñas variaciones de ΔX, de este modo con U
grande obtengo la sensibilidad que conviene para el puente.
La tensión de Thévenin resulta una función lineal de ΔX.
Ahora volviendo al circuito inicial calculamos la RTh que se ve desde los bornes a y b, para ello
cortocircuitamos U.
RTh =
R2 ⋅ R3
R ⋅X
+ 1
R2 + R3 R1 + X
Como ahora conocemos UTh y RTh conectamos a los bornes a y b el galvanómetro.
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U Th = k ⋅ U ⋅ ΔX
RTh =
R2 ⋅ R3
R ⋅X
+ 1
R2 + R3 R1 + X
Calculamos ΔI g
ΔI g =
U Th
k ⋅ U ⋅ ΔX
=
RTh + R g
RTh + R g
Entonces cuando ΔI g → ΔI gmin medible por el galvanometro, entonces ΔX → (ΔX )i
(ΔX )i error absoluto de insensibilidad.
ΔIgmin es la mínima corriente detectable por el galvanómetro.
ΔI gmin =
k ⋅ U ⋅ (ΔX ) i
RTh + R g
Despejamos (ΔX)i que es el error absoluto de insensibilidad de X (de la resistencia que queremos
medir) y luego calculamos el error relativo de insensibilidad.
(ΔX ) i =
ei =
ΔI gmin ⋅ (RTh + R g )
k ⋅U
ΔI gmin ⋅ (RTh + R g )
(ΔX ) i
1
=
=
X
Sm
k ⋅U ⋅ X
Sm: es la sensibilidad del método.
Condiciones para hacer mínimo el error absoluto de insensibilidad
•
•
El error absoluto de insensibilidad (ΔX)i disminuye si la tensión U aumenta. Se debe elegir
una tensión de la fuente de forma tal que sea compatible con la disipación del puente; si ésta
tensión es muy alta el puente se puede quemar. Debe ser lo más grande posible teniendo en
cuenta esto último.
Se debe tratar de que la resistencia equivalente de Thévenin sea pequeña, de esta manera el
error absoluto de insensibilidad también disminuye.
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•
•
Cuando seleccionamos el galvanómetro se debe tener presente que cuanto menor es ΔIgmin,
mayor resulta la resistencia Rg. La elección del galvanómetro se hará de acuerdo a Rg y sé
eligirá aquél que tenga Rg lo más parecido a RTh (por el teorema de la máxima transferencia
de potencia).
La sensibilidad del método resulta ser la inversa del error relativo de insensibilidad.
Sm =
1
ei
Formas de manejo del puente
La forma de operar el puente es variando las resistencias R1, R2, R3 hasta conseguir el equilibrio.
La incógnita X puede ser:
• Un valor totalmente desconocido
• Un valor que se conoce sólo aproximadamente.
En el primer caso, puede pasar que con el ajuste inicial de los resistores estemos muy lejos del
equilibrio, en cuyo caso es conveniente proteger al detector con una resistencia adicional Rp. Con
esta resistencia conectada al detector conseguimos que la sensibilidad disminuya, en otras
palabras habremos aumentado el error relativo de insensibilidad ei.
Esta resistencia también se podría conectar en paralelo con el detector pero esto aumentaría
ΔIdmin.
Las resistencias R1 y R2 son variables a saltos gruesos y se denominan resistencias de relación y
pueden tomar valores de 1- 10- 100- 1000- 10000 Ω.
Esto hace que una misma relación se pueda conseguir de varias maneras distintas.
R1: 1- 10- 100- 1000- 10000 Ω
R2: 1- 10- 100- 1000- 10000 Ω
La resistencia R3 es una resistencia de comparación y está conformada por una caja de décadas,
su valor puede variar desde 0 hasta 10000 Ω. La década más baja podrá tener valores de 1- 0,10,01 Ω
Alternativa 1: el valor de la incógnita X se conoce en forma aproximada.
Se fija la relación R1/R2 de forma tal que pueda usar todas las décadas de R3 como sea posible.
Es decir que la relación R1/R2 debe ser lo más pequeña posible, luego variando R3 se consigue el
equilibrio.
Ejemplo 1
Se desea medir una resistencia X≈200 Ω
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Para ello tomamos R3=20000 Ω y la relación R1/R2= 0.01
X =
R1
⋅ R3 = 0,01 ⋅ 20000 = 200
R2
Si el equilibrio se establece con R3=20172,3 Ω
R1
⋅ R3 = 0,01 ⋅ 20172,3 = 201,723 Ω
R2
Ejemplo 2
X =
Se quiere medir una resistencia de X≈875 Ω
X =
R1
⋅ R3 = 0,01 ⋅ 87500 = 875 Ω
R2
Ahora bien, las relaciones R1/R2= 0.01 se puede conseguir de muchas maneras, ¿cuál es la más
conveniente?
R1
10
100
= 0,01 =
=
R2
1000 10000
Elegimos aquella que nos dé mayor sensibilidad. Pero a priori no se puede conocer cuál será la
sensibilidad adecuada, a menos que mantenga constante algunos parámetros del puente.
Frecuentemente los puentes trabajan a tensión constante, de las dos opciones de conexión que
disponga , se tomará aquella que permita colocar una batería de mayor tensión, ya que si la
tensión U aumenta, entonces la sensibilidad aumenta y el error relativo de insensibilidad
disminuye. En definitiva habrá que ver que diagonal del puente admite mayor tensión.
A pesar de que la tensión no siempre es constante, en aquellos casos en los cuales se cumpla la
restricción “U=constante” (muy importante) se puede aplicar la regla de Maxwell.
Regla de Maxwell (válida solo sí la tensión U se mantiene constante)
Esta regla establece la forma en que se debe conectar el circuito para obtener la máxima
sensibilidad.
Primeramente se comparan las resistencias del galvanómetro Rg y la de la batería Rb y se toma
la mayor.
Una vez elegida la mayor, se la conecta donde concurran las dos resistencias mayores del
puente, y el otro extremo a donde concurran las dos menores.
Generalmente siempre es mayor la resistencia del galvanómetro.
Ejemplo
Esta regla vale siempre y cuando la tensión U sea constante, ésta condición es muy estricta; si
esto no ocurre, entonces la regla no se puede aplicar.
Supongamos que Rg>Rb
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Este método simplemente se lo utiliza para darse cuenta por inspección cual es la conexión de
mayor sensibilidad (menor error relativo de insensibilidad).
El método se demuestra analizando la sensibilidad del puente en las dos posibles formas de
conexión del galvanómetro y batería.
La elección de las resistencias de relación se hace teniendo en cuenta la resolución y no la
sensibilidad.
Ejemplo
Supongamos tener una resistencia de comparación por décadas
R3= (10x0,1- 10x1- 10x10- 10x100- 10x1000- 10x10000) Ω.
Se debe medir una resistencia X≈8,4 Ω; conviene utilizar una relación R1/R2=0,001 porque el
resultado que se obtiene será con más cifras
Si R 3 = 8.427,4 Ω ⇒ X = 0,001 ⋅ 8427,4 = 8,4274 Ω
Si R 3 = 842,7 Ω ⇒ X = 0,01 ⋅ 842,7 = 8,427 Ω
Si R 3 = 8.4 Ω ⇒ X = 1 ⋅ 8,4 = 8,4 Ω
Alternativa 2: la incógnita es totalmente desconocida
El problema que se presenta es que no sabemos si la incógnita que queremos medir es posible
medirla con nuestro puente; para ello hacemos lo siguiente:
a) Analizamos si es posible equilibrarlo, entonces colocamos R1/R2 y R3 con sus valores
mínimos y observamos como es la deflexión en el detector. Supongamos que ésta haya sido
en sentido negativo.
b) Luego ponemos R1/R2 y R3 en sus valores máximos. Si la deflexión es en el mismo sentido
negativo, entonces la X no es medible con el puente; en cambio si la deflexión es en sentido
positivo, entonces la X es posible medirla con el puente.
Limitaciones del puente
Analicemos los siguiente ejemplos
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A
X baja
X≈1 Ω
U=10 V
Rg=400 Ω
R1=10 Ω
R2=1000 Ω
R3=100 Ω
ΔIgmin=1,7 μA
B
X media
X≈1000 Ω
U=10 V
Rg=400 Ω
R1=1000 Ω
R2=10000 Ω
R3=10000 Ω
ΔIgmin=0,4 μA
C
X alta
X≈1 MΩ
U=10 V
Rg=400 Ω
R1=10000 Ω
R2=10000 Ω
R3=1 MΩ
ΔIgmin=4,9 nA
El puente está bien armado en todos los casos.
El ΔIgmin que debo medir en A y en B no es un problema porque puede medirse sin mayores
problemas, el inconveniente está en C ya que medir corrientes del orden de los nA es difícil.
Para valores muy altos de X (orden de los MΩ); la resistencia equivalente de Thévenin RTh toma
valores muy altos lo cual hace que la sensibilidad del método baje y aumente el error de
insensibilidad.
Los resistores, según su valor tendrán sus bornes:
•
•
•
De bajo valor (menor o igual a 1Ω): 4 terminales
De valor medio: 2 terminales
De alto valor (orden de los MΩ): 3 terminales
En resistencias de bajo valor , empieza a haber problemas porque entran en juego las resistencias
de contacto y las resistencias de los conductores. El puente de Wheatstone común se lo emplea
para medir resistencias de algunos ohms hasta decenas o centenas de kΩ. Para valores mayores
de resistencia están los Megóhmetros.
Determinación experimental de la sensibilidad
Volviendo al clásico puente de Wheatstone, calcularemos en forma práctica la sensibilidad del
método.
Hemos visto que la expresión teórica del error relativo de insensibilidad era:
ei =
(ΔX )i
X
=
ΔI gmin (RTh + R g )
X ⋅ k ⋅U
Esta expresión es muy útil para el diseño del puente.
Una vez que el puente está armado, al final de cada medida es aconsejable determinar
experimentalmente la sensibilidad, para ello partimos de la ecuación de equilibrio del puente:
X =
R1
⋅ R3
R2
Si R3 se incrementa en ΔR3, entonces X se incrementará en ΔX
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ΔX =
R1
⋅ ΔR3
R2
ΔX ΔR3
=
X
R3
En el límite
(ΔX )i
=
(ΔR3 )
X
R3
Y el cálculo de (ΔX)i se reduce al cálculo de ΔR3.
En consecuencia el cálculo de ei puede hacerse analizando las variaciones relativas de R3 que son
las mismas que las de X.
Supongamos que R30 es el valor de equilibrio para el cuál Ig=0; pero para un valor R3d hay un
cierto valor Igd y para otro valor R3i hay otro valor Igi; son en definitiva desplazamientos a la
derecha e izquierda del cero de la aguja del galvanómetro o detector.
(ΔR3 ) i ΔR3
=
ΔI gmin
ΔI g
ΔR3 = R3d − R3i
ΔI g = I gd − I gi
(ΔR3 )i
=
( R − R3 i )
ΔR3
⋅ ΔI gmin = 3d
(I gd − I gi ) ⋅ ΔI gmin
ΔI g
Luego el error de insensibilidad del método es
ei =
1
S exp
=
(ΔR3 ) i
R3
Casi siempre la batería es una pila y solo excepcionalmente es una fuente, a pesar que el detector
de cero es bueno, no será un galvanómetro, sino un detector de cero.
Los puentes tienen dos interruptores, uno en la batería y otro en el galvanómetro.
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Operación del puente (importante):
En la conexión se procede de la siguiente manera:
1-. Conecto la fuente
2-. Conecto el galvanómetro
3-. Equilibramos
4-. Abro el detector
5-. Abro la fuente
Los puntos 4 y 5 n deben alterarse en el orden porque si la incógnita X es inductiva, en ella se
puede inducir una fem que destruya el galvanómetro.
Secuencia de trabajo
1) Se calcula la tensión máxima admisible, en función de las potencias de disipación de los
resistores.
2) Determinación de la relación R1/R2 más favorable.
3) Polarización del puente
4) Ejecución de la medición
5) Determinación experimental de la sensibilidad
6) Expresión final de la medición
Polarización del puente
La polaridad de la fuente no altera el resultado, de todos modos es conveniente elegirla de forma
tal que se pueda establecer una relación fácil de recordar entre el sentido de desviación del
galvanómetro y el sentido de rotación de las manivelas del puente necesario para corregir el
desequilibrio. Esto ayudará a la rapidez en la búsqueda del equilibrio, pues el operador tendrá
presente que si el índice detector va por ejemplo hacia la derecha, deberá girar a la izquierda para
achicar el desequilibrio.
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