Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ciencias Puras y Naturales Informática Solucionario N° 2 Lógica para la ciencia de la computación INF – 144 Práctica General - Lógica de Predicados NOTA: La práctica será calificada bajo los siguientes puntos: • La práctica deben estar resuelta en un 100% • La práctica deberá ser resuelta a mano 1. Expresar como sentencias en lógica de predicados los siguientes enunciados: a. "Todo lo que no es tradición es plagio". Solución: Predicados: T(x): x es tradición P(x): x es plagio Formalización: (∀x) (¬T(x) → P(x)) b. "Existen individuos que, sin ser completamente idiotas, se comportan como tales". Solución: Predicados: I(x): x es individuo. C(x): x es completamente idiota. T(x): x se comporta como tal idiota. Formalización: (∃x) (I(x) ᴧ C(x) ᴧ T(x)) c. “Ningún animal sin cuernos puede lanzarlo a uno contra una puerta” Solución: Predicados: A(x): x es un animal sin cuernos. P(x): x puede lanzarlo a uno contra una puerta. Formalización: (∀x) (A(x) → ¬P(x)) Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 1 2. De los siguiente ejercicios realizar : ● Formalice los siguiente ejemplos ● Eliminar cuantificadores ● Aplicar leyes de derivación, reglas de inferencia, teoremas. a. Todos los felinos son mamíferos. Todos los tigres son felinos. Luego, todos los tigres son mamíferos _ Solución: Predicados: F(x): x es felino M(x): x es mamífero Constantes: t: tigre Conclusión: Luego, todos los tigres son mamíferos (∀t) (M(t)) N Pasos Razones 1 (∀x) (F(x) → M(x)) Premisa. Todos los felinos son mamíferos. 2 (∀x) (F(x)) Premisa. Todos los tigres son felinos. 3 F(t) → M(t) Particularización universal ∫en 1 𝑥 𝑡 𝑡 4 F(t) Particularización universal ∫en 2 𝑡 5 M(t) Modus Ponendo Ponens en 3 y 4 6 (∀t) (M(t)) Generalización Universal en 5 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 2 b. Todos los tiranos son crueles. Algunos civiles son tiranos. Luego, algunos civiles son crueles. _ Solución: Predicados: T(x): x es tierno C(x): x es cruel I(x): x es civil Constantes: (no hay) Conclusión: Luego, Algunos civiles son crueles (∃x) (I(x) ᴧ C(x)) N Pasos Razones 1 (∀x) (T(x) → C(x)) Premisa. Todos los tiranos son crueles. 2 (∀x) (I(x) ᴧ T(x)) Premisa. Algunos civiles son tiranos. 3 T(x) → C(x) Particularización universal ∫en 1 𝑥 𝑥 𝑥 4 I(x) ᴧ T(x) Particularización universal ∫en 2 𝑥 5 I(x) Simplificación en 4 6 T(x) Simplificación en 4 7 C(x) Modus Ponendo Ponens en 3 y 6 8 I(x) ᴧ C(x) Adjunción en 5 y 7 9 (∃x) (I(x) ᴧ C(x)) Generalización Existencial en 8 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 3 c. Si todo es fácil y agradable, entonces Arturo no estudiará. Todo es fácil No hay cosas que sean agradables. _ Luego, Arturo no estudiara Solución: Predicados: F(x): x es fácil A(x): x es agradable E(t): t estudia Constantes: t: Arturo Conclusión: Luego, Arturo no estudiará ¬E(t) N Pasos Razones 1 (∀x) [(F(x) ᴧ A(x)) → ¬E(t)] Premisa. Si todo es fácil y agradable, entonces Arturo no estudiará. 2 (∀x) (F(x)) Premisa. Todo es fácil. 3 ¬(∃x) ¬A(x) Premisa. No hay cosas que sean agradables. 4 (∀x) (A(x)) Equivalencia del cuantificador existencial en 3 5 (∀x) (F(x)) ᴧ (ꓯx) (A(x)) Adjunción de 3 y 4 6 (∀x) (F(x) ᴧ (A(x)) Distributividad del cuantificador en 5 7 ¬E(t) Modus Ponendo Ponens en 1 y 6 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 4 3. Formalizar los siguientes enunciados y comprobar sus conclusiones. a. Todo es simple y sencillo solo si Elmo no reprueba. No hay examen que no sea sencillo. Todo es simple. Por consiguiente, Elmo no reprobó. Solución: Predicados: S(𝑥) : “x es simple” E(𝑥) : “x es sencillo” R(e) : “e reprueba” Constantes: e: Elmo Formalizando: 1. (∀𝑥) [S(𝑥) ∧ E(𝑥)] ↔ ¬R(e) 2. ¬(∃𝑥)¬E(𝑥) 3. (∀𝑥)S(𝑥) ∴ ¬R(e) N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [S(𝑥) ∧ E(𝑥)] ↔ ¬R(e) Premisa. 2 ¬(∃𝑥) ¬E(𝑥) Premisa 3 (∀𝑥) S(𝑥) Premisa. 4 (∀𝑥)E(𝑥) Equivalencia entre cuantificadores, en 2 5 [S(a) ∧ E(a)] ↔ ¬R(e) Particularización universal ∫ en 1 𝑥 𝑎 𝑥 6 S(a) Particularización universal ∫ en 3 𝑎 𝑥 7 E(a) Particularización existencial ∫ en 4 𝑎 8 {[S(a) ∧ E(a)] → ¬R(e) }∧ {¬R(e)→[S(a) ∧ E(a)] } Equivalencia del bicondicional, en 5 9 [S(a) ∧ E(a)] → ¬R(e) Simplificación, en 8 10 S(a) ∧ E(a) Conjunción, en 6 y 7 11 ¬R(e) Modus ponens, en 9 y 10 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 5 b. Ningún ordenador se equivoca y el que tiene boca se equivoca. Por lo tanto, ningún ordenador tiene boca. Solución: Predicados: O(𝑥): x es ordenador B(𝑥): x es boca E(e): x se equivoca Constantes: (no tiene) Formalizando: 1. (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬E(𝑥)] 2. (∃𝑥) (B(𝑥) ᴧ E(𝑥)) ∴ (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬B(𝑥)] N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬E(𝑥)] Premisa. 2 (∃𝑥) (B(𝑥) ᴧ E(𝑥)) Premisa. 3 O(𝑥) → ¬E(𝑥) Particularización universal ∫ en 1 𝑥 𝑥 𝑥 4 B(𝑥) ᴧ E(𝑥) Particularización existencial ∫en 2 𝑥 5 B(𝑥) Simplificación de 4 6 E(𝑥) Simplificación de 4 7 ¬O(𝑥) Modus Ponendo Ponens en 3 y 6 8 ¬O(𝑥) v ¬B(𝑥) Adición en 7 9 O(𝑥) → ¬B(𝑥) Equivalencia lógica de “→” en 8 10 (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬B(𝑥)] Generalización universal en 9 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 6 c. Todos los libros de informática son instructivos. Ninguna novela es un libro de informática. Por lo tanto, ninguna novela es instructiva. Solución: Predicados: L(𝑥): x es libro de informática I(𝑥): x es instructivo N(e): x es novela Constantes: (no tiene) Formalizando: 1. (∀𝑥) [L(𝑥) → I(𝑥)] 2. (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬L(𝑥)] ∴ (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬I(𝑥)] N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [L(𝑥) → I(𝑥)] Premisa. 2 (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬L(𝑥)] Premisa. 3 L(𝑥) → I(𝑥) Particularización universal ∫ en 1 𝑥 𝑥 𝑥 4 N(𝑥) → ¬L(𝑥) Particularización existencial ∫en 2 𝑥 5 ¬L(𝑥) → ¬I(𝑥)] Inversa en 3 6 N(𝑥) → ¬I(𝑥) Silogismo Hipotético en 4 y 5 7 (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬I(𝑥)] Generalización universal en 6 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 7 d. Todos los niños son traviesos, así pues, si Guillermo es un niño, entonces, si todos los seres traviesos son adorables, Guillermo es adorable. Solución: Predicados: N(𝑥): x es niño T(𝑥): x es travieso A(e): x es adorable Constantes: g: Guillermo Formalizando: 1. (∀𝑥) [N(𝑥) → T(𝑥)] ∴ N(g) →{(∀𝑥) [T(𝑥) → A(𝑥)] → A(g)} N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [N(𝑥) → T(𝑥)] Premisa. 2 ¬[N(g) →{(∀𝑥) [T(𝑥) → A(𝑥)] → A(g)}] Premisa. 3 ¬[¬N(g) v{¬(∀𝑥) ¬[¬T(𝑥) v A(𝑥)] v ¬ A(g)}] Equivalencia lógica de “→” en 2 4 N(g) ᴧ {¬(∃𝑥) ¬[T(𝑥) ᴧ ¬A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g)} Morgan en 3 5 N(g) ᴧ {(∀𝑥) [¬T(𝑥) v A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g)} Morgan en 4 6 N(g) Simplificación en 5 7 (∀𝑥) [¬T(𝑥) v A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g) Simplificación en 5 𝑥 8 N(g) → T(g) Particularización universal ∫ en 1 𝑔 𝑥 9 [¬T(g) v A(g)] ᴧ ¬ A(g) Particularización universal ∫en 7 𝑔 10 T(g) Modus Ponendo Ponens de 6 y 8 11 ¬T(g) v A(g) Simplificación de 9 12 ¬A(g) Simplificación de 9 13 A(g) Modus Tollendo Ponens de 10 y 11 14 ¬A(g) ᴧ A(g) Adjunción de 12 y 13 15 λ Condición de negación en 14 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 8 4. Comprobar la conclusión de las siguientes expresiones: a. (∀𝑥) [𝐶(𝑥) → 𝐿(𝑥)] (∀𝑦) [𝐶(𝑦) ∨ 𝐷(𝑦)] (∃𝑥) ¬𝐿(𝑥) ∴(∃𝑥)𝐷(𝑥) Solución: N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [𝐶(𝑥) → 𝐿(𝑥)] Premisa. 2 (∀𝑦) [𝐶(𝑦) ∨ 𝐷(𝑦)] Premisa 3 (∃𝑥) ¬𝐿(𝑥) Premisa. 𝑎 4 𝐶(a) → 𝐿(a) Particularización Universal ∫ en 1 𝑥 𝑎 5 𝐶(a) → D(a) Particularización Universal ∫ en 2 𝑥 𝑎 6 ¬L(a) Particularización Existencial ∫ en 3 𝑥 7 ¬C(a) Modus Tollendo Tollens en 4 y 6 8 D(a) Regla de la resolución en 5 y 7 9 (∃𝑥)D(x) Generalización Existencial ∫ en 8 𝑥 𝑎 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 9 b. ¬(∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎) ¬(∃𝑥) ¬𝑄(𝑥) (∀𝑥) 𝑃(𝑥) ∴ ¬𝐻(𝑎) Solución: N Pasos Razones 1 ¬(∀𝑥)[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎) Premisa. 2 ¬(∃𝑥)¬𝑄(𝑥) Premisa 3 (∀𝑥)𝑃(𝑥) Premisa. 4 (∃𝑥)¬[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎) Equivalencia entre cuantificadores, en 1 5 (∀𝑥)𝑄(𝑥) Equivalencia entre cuantificadores, en 2 𝑥 6 ¬[𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎)] ∨ ¬𝐻(𝑎) Particularización Existencial ∫en 4 𝑎 𝑥 7 𝑄(𝑎) Particularización Universal ∫en 5 𝑎 𝑥 8 𝑃(𝑎) Particularización Universal ∫en 3 𝑎 9 [𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎)] → ¬𝐻(𝑎) Equivalencia del condicional en 6 10 𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎) Conjunción en 7 y 8 11 ¬𝐻(𝑎) Modus ponens en 9 y10 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 10 c. (∀𝑥) [𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] (∀𝑥) [𝑅(𝑥) → 𝑄(𝑥)] (∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)] .∴ (∀𝑥) 𝑄(𝑥) Solución: N Pasos Razones 1 (∀𝑥) [𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] Premisa. 2 (∀𝑥) [𝑅(𝑥) → 𝑄(𝑥)] Premisa 3 (∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)] Premisa. 𝑥 4 𝑃(a) → 𝑄(a) Particularización Universal ∫ en 1 𝑎 𝑥 5 𝑅(a) → 𝑄(a) Particularización Universal ∫ en 2 𝑎 𝑥 6 𝑃(a) ∨ 𝑅(a) Particularización Universal ∫ en 3 𝑎 7 ∼𝑃(a) → 𝑅(a) Equivalencia lógica de “→” en 6 8 ∼𝑃(a) → 𝑄(a) Silogismo hipotético de 5 y 7 9 ∼𝑃(a) ∨ 𝑄(a) Inverso implicativo en 4 10 𝑃(a) ∨ 𝑄(a) Implicación en 8 11 𝑄(a)∨ 𝑄(a) Regla de la resolución de 8 y 9 12 𝑄(a) Idempotencia en 11 13 (∀𝑥) 𝑄(𝑥) Generalización Universal ∫ en 12 𝑎 𝑥 Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 11 5. Llevar a su forma clausulada: a. (∀𝑥){[𝐶(𝑥) ∨ 𝐴(𝑥)] → [(∃𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]} Solución: Eliminación del condicional y bicondicional: (∀𝑥){ ¬[𝐶(𝑥) ∨ 𝐴(𝑥)] ∨ [(∃𝑦)𝑃(𝑥,𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]} Introducción de negaciones: (∀𝑥){ [¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [(∃𝑦)𝑃(𝑥,𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]} Eliminación del cuantificador existencial: (∀𝑥){ [¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [𝑃(𝑥, f(𝑥)) ∧ 𝑂(𝑥, g(𝑥))]} Eliminación del cuantificador universal: [¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [𝑃(𝑥, f(𝑥)) ∧ 𝑂(𝑥,g(𝑥))] Distributividad: [¬𝐶(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥, f(𝑥))] ∧ [¬𝐶(𝑥) ∨ 𝑂(𝑥, g(𝑥))] ∧ [¬𝐴(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥, f(𝑥))] ∧ [¬𝐴(𝑥) ∨ 𝑂(𝑥, g(𝑥))] Finalmente se tienen las siguientes cláusulas: ¬𝐶(𝑥1) ∨ 𝑃(𝑥1, f(𝑥1)) ¬𝐶(𝑥2) ∨ 𝑂(𝑥2, g(𝑥2)) ¬𝐴(𝑥3) ∨ 𝑃(𝑥3, f(𝑥3)) ¬𝐴(𝑥4) ∨ 𝑂(𝑥4, g(𝑥4)) Auxiliares ● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395 ● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613 ● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018 12