Subido por Belén Costa

Apunte Biela-Manivela 2018

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Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Bahía Blanca
Cátedra: Ingeniería Mecánica II
Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela
Estudio cinemático del mecanismo biela-manivela
La cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica que estudia las leyes
del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas que lo originan y estudia la trayectoria de
objetos, partículas, cuerpos en función del tiempo. La velocidad y la aceleración son las dos principales
magnitudes que describen cómo cambia la posición en función del tiempo.
En este caso estudiamos la posición en función del desplazamiento angular de la manivela.
a) Ecuación del desplazamiento del pistón en función del ángulo de giro de la manivela
Mecanismo: Conjunto de piezas o elementos que ajustados entre sí y empleando energía (mecánica, de
presión, de combustión, etc.) hacen un trabajo y/o transmiten movimiento, destinados a asegurar el
funcionamiento efectivo de un algo.
Referencias
L = longitud de la biela
r = radio de la manivela
C = carrera del pistón
PMS = punto muerto superior
PMI = punto muerto inferior
x = desplazamiento del pistón (referido al PMS)
α = desplazamiento angular de la manivela respecto
a la posición correspondiente al PMS
β = ángulo que forma la biela con el eje del cilindro
El mecanismo de biela - manivela es un mecanismo que transforma un
movimiento circular en un movimiento de traslación, o viceversa. El
ejemplo actual más común se encuentra en el motor de combustión
interna de un automóvil, en el cual el movimiento lineal del pistón
(émbolo) producido por la combustión del combustible (nafta, gasoil, gas
natural) se trasmite a la biela y se convierte en movimiento circular en el
cigüeñal (manivela).
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A continuación, obtendremos la ecuación del desplazamiento del pistón en función de α:
( )
(
)–
[1]
Para hacer que el desplazamiento x sea exclusivamente función del ángulo α nos valdremos de la siguiente
relación, obtenida a partir del esquema del mecanismo que se muestra en la página anterior:
(con
)
Recordando además que:
√ –
√
Reemplazando en [1]:
(
(
)
[ √
)
]
(
√
) [2]
En la gráfica se observa
que
para un ángulo
α < 90º, esto implica que
el mecanismo tardará
menos tiempo en recorrer
la primera mitad de la
carrera que en completar
la
segunda
mitad.
También se observa que la
curva presenta un punto
de inflexión para α1 < 90º
y otro para α2 > 270º.
A modo de ejemplo, verificaremos con un mecanismo biela-manivela cualquiera que, para un ángulo α =
90º, el mismo ya ha recorrido más de la mitad de su carrera:
Datos:
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Si α = 90º resulta, reemplazando en [2]:
(
)
(
)
√
(
)
√
(
Se verifica que x > r. Por lo tanto, el mecanismo ha recorrido más de la mitad de su carrera.
b) Ecuación de la velocidad del pistón
Si derivamos la ecuación de desplazamiento [2] con respecto al tiempo:
[ (
)
(
√
)]
Necesitamos expresar v en función de α. Para ello, recurrimos a la conocida regla de la cadena para
derivación:
[ (
)
(
√
)]
dα/dt es la velocidad angular de la manivela, que llamaremos ω. Reemplazando en la expresión anterior:
[ (
)
(
√
)]
Ahora estamos en condiciones de derivar con respecto a :
[
√
]
Tanto λ como sin α son menores a la unidad. Si elevamos al cuadrado ambas magnitudes y luego las
multiplicamos entre sí, da como resultado un número muy pequeño. Por esta razón es válido considerar que
la expresión √
es igual a 1. De ese modo nos queda:
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Recordando que sin 2α = 2 sin α.cos α:
[
]
[3]
La siguiente es la representación gráfica de la ecuación [3]:
Se observa que la velocidad es nula para
α = 0º, α = 180º y α = 360º. Tiene su
valor máximo en α1 < 90º y su valor
mínimo en α2 > 270º.
c1) Ecuación de la aceleración del pistón
Derivando [3] con respecto al tiempo:
[
[
(
)]
(
)]
(
)
(
)
[4]
A continuación, la representación gráfica de [4]:
La aceleración tendrá
su valor máximo en α
= 0º y su valor
mínimo en α = 180º.
La aceleración será
nula en α1 < 90º
(donde la velocidad es
máxima) y en α2 >
270º
(donde
la
velocidad es mínima).
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A continuación, mostraremos juntas las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración en función del
ángulo de giro de la manivela , con el objeto de poder apreciar mejor las relaciones existentes entre ellas:
c2)
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Determinación analítica de los ángulos α1 y α2
De acuerdo con lo visto en Análisis Matemático I, sabemos que es posible la existencia de puntos de
inflexión para aquellos valores de la variable independiente en los cuales la función derivada segunda de una
función dada es igual a 0.
En nuestro caso, partimos de la función desplazamiento, siendo su derivada primera la velocidad y su
derivada segunda la aceleración. En las gráficas correspondientes, ya hemos visto que la aceleración se
anula en α1 y α2 y que esos valores dan lugar a puntos de inflexión en la curva
( ). Comenzaremos
entonces igualando la expresión de la aceleración [4] a cero:
(
)
[a]
Necesitamos poner todo en función de α, para ello recurriremos a la siguiente identidad trigonométrica:
[b]
Reemplazando [b] en [a] y operando:
(
)
Dividiendo ambos miembros por 2λ y ordenando:
La anterior es una ecuación de segundo grado, que admite 2 soluciones o raíces. En este caso, una de las
raíces será un valor que no pertenece al conjunto imagen de la función cos α, por lo que no se tendrá en
cuenta. La otra raíz es la que nos permitirá calcular α1. Luego, haciendo
, obtendremos . A
modo de ejemplo, calcularemos α1 y α2 para una relación λ = 0,25:
Resolviendo esta ecuación se obtienen las raíces
la primera de ellas para determinar que
(
. Haciendo
√ ) y
(
obtenemos
√ ). Tomaremos
.
Observación: en el ejemplo se comprueba que α1 < 90º y que α2 > 270º. Sin embargo, es importante aclarar
que estos valores de α en general no coinciden con los ángulos para los cuales se verifica
(ver
gráfico de desplazamiento).
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c3) Análisis de la relación λ
Sabemos que
. El ángulo β será máximo para α = 90º, dado que sin α =1. Por lo tanto:
La relación λ representa un índice máximo de inclinación de la biela. Siguiendo con nuestro ejemplo, donde
λ = 0,25:
Representación gráfica de βmax en
función de λ. Por lo general, en motores
automovilísticos, se adoptan en la
práctica para la relación λ, valores
comprendidos entre 0,22 y 0,30.
Estudio dinámico del mecanismo biela-manivela
a1) Fuerzas Alternas de Inercia
La inercia es la propiedad física en virtud de la cual un cuerpo tiende a permanecer en su estado
de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esto ocurrirá siempre y cuando la fuerza neta o resultante
que pudiera actuar sobre dicho cuerpo sea nula. En consecuencia, un cuerpo conserva su estado de
movimiento original si no existe una o más fuerzas actuando sobre él. De acuerdo con la Segunda Ley de
Newton, se cumple que:
[5]
ma involucra aquellas masas del mecanismo sometidas a movimiento rectilíneo alternativo. El signo menos
se debe a que Fa se opone al cambio del sentido del movimiento. En la práctica se considera que las masas
sometidas a movimiento alternativo en un mecanismo biela-manivela son:
- Pistón con sus aros
- Perno de pistón
- Pie de biela y 2/3 de la caña.
Reemplazando [4] en [5]:
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(
Aplicando propiedad distributiva:
)
[6]
A continuación, la representación gráfica de la ecuación [6]:
En el primer término de
[6] tenemos las fuerzas
alternas de inercia que
dependen del ángulo α y
que se conocen como
fuerzas alternas de
primer orden Fa´. En el
segundo término están
las fuerzas alternas de
inercia que varían en
función del ángulo doble 2α. Por esa razón, se las denomina como fuerzas alternas de segundo orden Fa´´.
A continuación, se muestran las curvas correspondientes a las Fa´ y a las Fa´´:
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Comparando ambas curvas, se observa por un lado, que la frecuencia de las Fa´´ es el doble de la frecuencia
de las Fa´. Por otra parte, la amplitud de las Fa´´ es igual a veces la amplitud de las Fa´. Al ser
1, la
magnitud de las fuerzas alternas de inercia de 1º orden será mayor que la de las fuerzas alternas de 2º orden.
a2) Diagrama de las fuerzas alternas de inercia en función del desplazamiento del pistón
Es posible trazar un diagrama Fa = f(x), cuya forma será aproximadamente la siguiente:
representa el trabajo neto realizado por las fuerzas alternas de inercia
∫
cuando el pistón realiza dos carreras completas (lo que equivale a decir, en un motor de 4 tiempos, cuando el
mismo completa un ciclo de funcionamiento). En el gráfico anterior, el trabajo equivale al área comprendida
entre la curva de la fuerza alterna de inercia Fa y el eje x, correspondiente al desplazamiento del pistón. Del
análisis del gráfico anterior, se desprende que las áreas con signo positivo se compensan con las áreas con
signo negativo. Por lo tanto, el trabajo neto realizado por las fuerzas alternas de inercia es nulo.
La integral definida
b) Par
Motor
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A continuación, nos propondremos hallar una expresión del par motor instantáneo en función del ángulo de
giro de la manivela, es decir, queremos determinar
( ). Observando la figura anterior, podemos
decir que:
[a]
[b]
Donde
, siendo Fg la fuerza efectuada sobre el pistón por los gases de combustión al
expandirse en el interior del cilindro y Fa la fuerza alterna de inercia. Cabe aclarar que esta suma es
algebraica, ya que dependiendo del valor de , Fa puede ser positiva o negativa. Por otro lado, también a
partir del esquema anterior, se desprende:
(
)
(
)
Teniendo en cuenta que:
(
)
(
)
Obtenemos la siguiente expresión para d:
(
)
[c]
Reemplazando [b] y [c] en [a]:
(
)
(
)
Recordando que
[d]
, despejando
, obtenemos:
[e]
Por otro lado:
√ –
[f]
Reemplazando [e] y [f] en [d]:
(
Como √ –
√ –
)
:
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(
Sabiendo que
)
, nos queda finalmente la expresión del par motor instantáneo:
(
)
[7]
Presentaremos ahora una importante y conocida expresión del par motor Mt, en función de la potencia N y el
número de vueltas n, es decir:
(
).
Recordemos que:
( )
[
]
Por otro lado:
[ ]
Sabemos que la potencia N se puede expresar como:
Teniendo en cuenta que
, reemplazando:
[
]
En las expresiones anteriores, r está dado en metros [m], n en revoluciones por minuto [rpm] y F en
kilogramos fuerza [⃗⃗⃗⃗ ]. Para expresar la potencia N en CV, es necesario recordar que 1 CV = 75 kgm/s.
Haciendo el correspondiente pasaje de unidades y operando obtenemos:
[CV]
Y despejando el par motor Mt:
[kgm]
Nota: El Mt calculado a partir de la expresión anterior no se corresponde con el par motor instantáneo, el
cual se determina utilizando la ecuación [7].
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c) Motor Descentrado
A partir del análisis de la figura, es posible concluir que la fuerza de empuje Fn del pistón sobre las paredes
del cilindro está dada por:
La fuerza normal Fn produce fenómenos indeseables, como ser la pérdida de potencia y el desgaste por
rozamiento del pistón contra las paredes del cilindro. Para disminuir la magnitud de Fn sería posible
aumentar la longitud de la biela, con el objeto de reducir su inclinación de β a β’. Sin embargo, esta solución
no resulta conveniente, porque aumenta ma (y en consecuencia Fa). También podríamos disminuir el radio de
la manivela, reduciendo asimismo la inclinación de la biela. Esta solución no es conveniente porque se
reduce el par motor y por consiguiente se pierde potencia en el eje.
Entonces se recurre como alternativa en la práctica a desplazar el eje del cilindro respecto al plano que
contiene al eje geométrico del cigüeñal una cierta distancia s, en el sentido en el cual se verifica la rotación
de la manivela en la fase de expansión. De este modo, la biela resulta menos inclinada en las fases de
expansión y aspiración y más inclinada en las etapas de compresión y escape. Como consecuencia de esto,
tendremos una disminución en el valor máximo y un aumento en el valor mínimo de la fuerza de empuje Fn.
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