Sólidos geométricos
Observa y responde
Para desarrollar en tu cuaderno
Los sólidos geométricos en nuestro entorno
Genera/menee cuando observamos alrededor nuestro, encontramos muchas cons­
trucciones que tienen formas tridimensionales, comúnmente estas formas corres­
ponden a la de los sólidos geométricos como el prisma, hexaedro, entre otros.
m
¿Qué tipo de sólidos geométricos observas en la imagen?
� Menciona algunos objetos de tu entorno que tengan forma de sólidos geométricos.
r.,::,,:0; Construye
tus aprendizajes
•1•) • 1 •X•Xrl f·1�1:j • ;Jt<• •
Ficha de
re(uerro-,
i,;,\
PPTf:,
se define como
\
1
Una figura geométrica que limita una porción del espacio cotidiano. Están dados
por ciertas superficies que r2ueden ser ¡::ilanas o curvas.
Cla5e
tnteracttva
1
COREFONE"T)
Recuerda����
se clasifican en
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
POLIEDROS
1.....
Poliedros
..
B
..
-..
Son aquellos sólidos geométricos, cuya superficie está formada por cuatro
o más regiones poligonales.
E
o
e
·¡;
-e
• leonard Euler (1707-1783). Es
uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos,
fue el primero que observó que
los poliedros regulares son solo
cinco: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
•!,:!
u
..2
,..._
se
..
·e·5
Nº de caras:
e= JO
Nº de vértices: V = 16
Nº de aristas: A = 24
�+---cara
.. - "-'
vértice
o
E
arista
.;
E
Importante--�
Poliedros regulares
....
..
.2
..
...
.......
..
.....
�
Son aquellos poliedros, cuyas caras son regiones limitadas por polígonos regulares de igual número de lados. Se clasifican de acuerdo con el número de
caras en tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
">
e
u
:,
·;¡
Tetraedro
e
Hexaedro o cubo
C=4
V=4
e
E
u
A=6
·-
""sE
..
....
.....
I
ª� 11�
h =
=
Donde:
� = área total
V = volumen
E
e
.!
Q.
::,.
2
ª "31
(=6
T
V=8
u
C: N° de caras
V: N° de vértices
A: Nº de aristas
v_�ª-J�
� I
AL
= área
lateral
COREFO
Matemática I
2
p
o
234
u
�--c__t_
n n_u_
i a_t
' ___
s p_r_e
a _d_i
n _a_
z e; _s_e_n_e__L
l _b_ro_d_e_a_c_
i
_
t v_
id_a
i __
d s_
e�
, -gá �· _84 _.___,)J;
------l
C+V=A+2
A= 12
•:,
et
Teorema de Euler
"En todo poliedro, el número de
caras más su número de vértices, es igual al número de aristas aumentado en dos'.
Para desarrollar en tu cuaderno
Clasificación
Octaedro
a. Prisma recto
b. Prisma regular
(=8
V= 6
A= 12
ª3;�
F,2
1
ñ 2
� = 2v3a
v
�__
¿
Un prisma es recto
cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases.
Donde:
� = área total
Dodecaedro
Área y volumen de un prisma recto
e=
12
V= 20
a
Un prisma regular es
un prisma recto y su
base es un polígono
regular.
Área lateral (AL)
A= 30
x_h_.l
Área total (,\)
l
.__L_2_P
A
_e
Donde:
2p6: Perímetro
de la base
h: altura
Icosaedro
a
e=
20
V= 12
Volumen (V)
11
�
= AL
+ 2A6
V = A6
xh
I Donde:
Donde:
de la A6: área de la base
h: altura
....
�
Ejemplo:
A= 30
..
E
Calcula el volumen de un prisma triangular regular,
si la arista de la base mide 12 cm y la altura, 16 cm.
o
�
e
·¡;¡
'O
I V ="fr(3 + Js)a I
3
Prisma
Los prismas son poliedros que están limitados por
dos bases paralelas, que son regiones planas de
igual medida; y por caras laterales, que son regiones paralelográmicas.
T
altura
_I
aris
b'
Piden: V
16
1 -·------------------
Bementos
¡
=
1«:­­�1­­­=­1
....
:§
�
o
::,.
o
e
122 .J3
- 36J3
4
A8 x h
V= 36 J3
V= 576-./3
·
El volumen es 576
arista
--lateral
cara
lateral
.;
Solución:
Como el prisma es regular entonces la base es un
triángulo equilátero, luego:
::,
o
E
,¡
�
�
�
....
16
J3 cm3.
-e�u
.."'
....
..
Paralelepípedo o rectoedro
::,
·;:¡
e
e
e
E
....."'E
.!:!
base
,'
,'
..
,,
b
"'E
.."'..
.ii.
a
El prisma es triangular oblicuo ABC - DEF.
1
�
= 2(a x b
+ b x c + a x c)
e
1
.."'
::,.
,::,
Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 248.
)jj
u
<
Matemática I
COREFO
235
i.-----
Ejemplo:
Si el volumen del paralelepípedo mostrado es
81 O cm3, calcula su área total.
Pirámide regular
Para desarrollar en tu cuaderno
Es aquella pirámide cuya base es un polígono regular y sus caras son triángulos isósceles.
T
2x
'
/
'
' ·-------------·--- ---- l
3x
1---Sx---1
Solución:
Por dato:
Área y volumen de una pirámide
Area lateral (AL)
V= 810
(2x)(3x)(5x) = 81 O
30x3 = 810
Las dimensiones son 15; 9; 6 cm, luego:
A¡ = 2(15 · 6 + 15 · 9 + 6 · 9)
A¡ = 2(90 + 135 + 54 )
A¡ = 558
El área total es de 558 cm2 •
..
..
-..
E
o
Volumen (V)
lv=+A6xhl
X=3
1.....
Area total (A¡)
Donde:
Ps: Semiperímetro
de la base
aP: Apotema
Donde:
A6: área de
de la base
Donde:
h: Altura
Ejemplos:
1. Calcula el área lateral de la pirámide regular
mostrada.
Pirámide
B
Es un poliedro de una sola base, el cual es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos
que se unen en un punto común llamado vértice
de la pirámide.
e
·¡;
-e
•!,:!
u
..2
se
··5..e
p8
.;
altura
E
....
..
.2
..
...
.......
..
.....
�
arist
bá .
">
cara
lateral
base
e
=
AL =
AL=
AL=
Piden:
2
8
o
E
1-10--l
Solución:
p _ 5(10)
::,.
25
El área lateral es 375 cm2
.
2. Determina el volumen de la siguiente pirámide
cuadrangular regular:
u
:,
Las pirámides se nombran de acuerdo con el polígono de sus bases. En el gráfico anterior, se trata
de una pirámide pentagonal, porque su base es un
pentágono .
·;¡
e
e
E
u
·-
""sE
Noto
..
....
.....
E
Solución:
Piden:
V = _ 1(8)2
�
• El número de caras laterales es igual al número de lados de la base .
e
.!
3
V= 128
Q.
X
(6)
El volumen es 128 cm3.
::,.
•:,
u
et
d
a
t _
a u_s
t ___
ág__.4_8
pr__
e d_
n z_a
i Je_
_· e_n_e_
s
_l _
iL r_o
b ___
e c_
a i_
t i_
v a_d_e
d _, __
sp __
2 __
. _,JJJ
__c_o_n_in_ú_
236
........................--:,
COREFO
Matemática I
p8 x ap
25 x 15
375
Analiza los ejemplos
Para desarrollar en tu cuaderno
1. En un poliedro la suma del número de caras,
Solución:
vértices y aristas es 38. Determina el número de
aristas de dicho poliedro.
�-�e
Solución:
Por dato: C +V+ A= 38 ... (1).
Por el teorema de Euler:
a
C + V = A + 2 ... (11)
Reemplazamos (11) en (1): (A+ 2) + A = 38
A= 18
,,
G
,,
Sea "a" la medida de la
arista del cubo, por dato:
CH = 5,J'j_ ... (1)
Por Pitágoras en el 1::::,.HGC
CH = '1 a2 + a2
CH= a,J'J.
Reemplazamos en (1)
a.../2 = 5J'J. ­­ a= 5
H
Piden:
V= (5)3
V= 125
Rpta.: 18 aristas
2. Calcula el volumen de un tetraedro regular,
cuya arista mide 18 cm.
Rpta.: 125 cm3
Solución:
Sabemos que: V=
18
e­n
12
18 3,J'J.
V
=
Luego:
c....._
Solución -------------__..,,.,
_
_ .
_
3. Determina el área total de un hexaedro regular
si se sabe que la suma de las longitudes de sus
aristas es igual a 36 cm.
Solución:
T
a
J ,, '
regular, si la arista básica mide 6 cm y la altura,
10 cm.
1
12
V= 486,J'l.
486,J'l. cm3
l R Pta.: __
5. Calcula el área lateral de un prisma hexagonal
.,
-�
1
1
10
-------
-
Sabemos que:
AL= 2pB x h
,,.----,., Sabemos que un hexaedro tiene 12 aristas, luego
por el dato se cumple:
12a = 36
a=3
5,J'l. cm.
B
s
J'
A
,,
' __ -- -- F;;
,
,
E"-----"
'
o
X
o
E
,¡
_ )---- -- 1
-e�u
f-4 cm-
e
.."'
....
..
:::,
·;:¡
Solución:--------------
(4)2
:::,
....
h
AB x h
G
....
:§
�
í
e
E
....."'E
V= 320
,
.;
�
�
�
Por dato:
e
·¡;¡
o
e
6. El volumen del prisma cuadrangular regular
es 320 cm3, calcula el valor de "h"
Rpta.: 54 cm2
=
=
Rpta.: 360 cm2
\= 54
sabe que CH
e
'O
::,.
Piden:
\ = 6(3)2
4. Calcula el volumen del cubo mostrado, si se
�
(36)(1 O)
AL= 360
1-6-1
..
E
o
Del gráfico:
2p = 6(6) = 36
Piden: AL
....
�
.!:!
..
=
=
320
h
320
h = 20
"'E
.."'..
ºii.
e
Rpta.: 20 cm
.."'
::,.
,:::,
Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 248.
)jj
u
<
Matemática I
COREFO
Para desarrollar en tu cuaderno
7. Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de dimensiones 12; 8 y 6 cm.
Solución:
T
10.EI volumen de una pirámide regular triangular
es 36J3 cm3 y su arista básica mide 4J3 cm.
¿Cuánto mide la altura?
Solución:_
6
.
Ar =
Ar =
•
T
.. . . ------------------ ---- 1
h
1
8
1---12
"
2(12 X 6 + 8 X 6) + 2(12 X 8)
432
Por dato:
V= 36.J3
a=4J3
V = (12 x 8) x 6
Sabemos que:
1
8)
V= 576
Rpta :
Ar = 432 cm2 ; V = 576 cm3.
V= - (A x h
3
}
Reemplazamos los valores:
8. Calcula el valor de "x" si el volumen del rectoedro mostrado es 180 cm3.
36 .J3 =
T
Scm
......
.....
�
..
--..
-..
E
o
B
e
-e
u
•!,:!
u
..2
::,.
...oe
..
·e·5
o
E
.;
E
....
..
--..
...
.......
..
.....
-"".....
..
....
.....
�
"'>
e
o
u
..
.
'
'
�J------------------
X
X
h
h
h=9
Rpta.: 9 cm
9cm--1
Solución:-------------Por dato:
_)
1
V= 180 cm3
(9)(x)(5) = 180
X= 4
R P ta.: 4 cm
11.Calcula el volumen de la pirámide cuadrangular
regular.
_
9. Calcula el área lateral y total de una pirámide cuadrangular regular, si su arista básica mide 6 cm; su
altura, 4 cm; y la apotema, 5 cm.
Solución:
T
e
h
-----'::i::::: --- 6 _,..-\
1---6
E
6 4
AL = ( ; ) x 5
E
AL=60
Ar=96
AL= 60 cm2 y A = 96rcm2 .
Rpta :��----"�
A8 = 32
2.JIT
Piden:
2'12
(2 v'i1)2 = h2 + (2'12)2
44 = h2 + 8
--
! Ar = 60 + 62
j
h =6
_
Rpta.: 64 cm3.
\
,:,
u
Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 24S.
et
COREFO
Matemática I
_
Calculamos la altura La base de la pirámide la pirámide, apli- de es un cuadrado,
cando el teorema de luego:
Pitágoras:
AB = (4,!1.)2
l
::
''
'' ''
'' ''
'' ' '''
'
'
'
1-4./Fcm-1
Solución:
.
e
E
u
::,.
= 4 ../3
J3 ]
1
:,
Q.
l
.x
·;¡
e
.!
----
36 ../§
�2
� [ (4
)�)
V=- 1(A8)xh
3
V=+ (32) x 6
V= 64
Sólidos de revolución
Analiza y responde
Para desarrollar en tu cuaderno
Construimos sólidos de revolución
Muchas de las formas de los objetos que nos rodean se pueden obtener por la rotación de cierta
superficie alrededor una recta llamada eje. Una forma práctica de poder conocer las características
de este tipo de sólidos es mediante la construcción de las mismas utilizando distintos tipos de ma­
terial como la cartulina.
il
eJ
¿Qué entiendes por sólido de revolución?
¿Cómo podrías construir un cílindro de cartulina? Explica
Construye tus aprendizajes
Ficha11iwl
\...__""'�
Recuerda_____ --;;ch.c1e
Sólido de revolución
Se denomina sólido de revolución, al sólido que se obtiene al rotar una región del plano alrededor de una recta, ubicada en el mismo plano. Dicha
recta se denomina "eje de revolución" o "eje de giro''.
Cilindro circular recto
El cilindro es un sólido de revolución que se genera por la rotación completa
de un rectángulo, alrededor de uno de sus lados llamado eje.
(efu"'D
Area del rectángulo
a
IA=axbl
Area del círculo
Elementos
• Bases: Son los dos círculos iguales y paralelos.
• Radio (r): Es el radio de la base.
• Generatriz (g): Es el lado del rectángulo opuesto al eje de giro.
• Altura (h): Es la línea perpendicular trazada entre las bases
....
�
..
E
o
�
e
·¡;¡
'O
Longitud de una circunferencia
g
g
(J
h
.: _-_-_c.----
Área lateral (AL)
1---
2n r
Volumen(V)
Jl
AL= 2nrg
+ 2(AB)
A1 = 2nrg + 2nr2
IAr = 2nr(g + r) 1
AT = AL
V= nr2h
I
-e�u
.."'
....
..
·;:¡
e
e
E
....."'E
lv=A6
I
....
::,
su base tiene igual medida que las
generatrices.
xhl
o
e
�
�
�
Es aquel cono cuyo diámetro de
.---------.. -- -- l
---1
3,1416
Cono equilátero
h
o
o
E
,¡
Importante---�
T
g
.
.!:!
..
/
.
- ..
1--- g -1
"'E
.."'..
'ii.
e
.."'
:::,.
,::,
i __
a u_s
t _a__e_n
r __
d za_j
i _s_e_n_e_
e
_u
1 __ro_d_e_a_tc _v_
i di _a_d_e_,_p
s _gá �._2_3s __
. __,)jj
�--oc _n_t_n_ú
u
<
b
p
1:
Área total (,\)
....
:§
�
::,
� = 2itr
1t"
,;
Motemático I
COREFO
239
i.------
Para desarrollar en tu cuaderno
Ejemplo:
eje de giro
1. Calcula el área total del cilindro mostrado, si se sabe
que r = 7 cm.
+-Vértice
1
1
8cm
Solución:
Volumen (V)
Area lateral (AL)
Por dato
r=7;h=g=8
Sabemos que: Ar = 21tr(g + r)
g
h
/
Reemplazamos los datos:
Ar = 21t(7)(8 + 7)
Ar = 2101t
------ ·:r:_-21t r
Area total (Ar)
El área total es 2101t cm2.
1
{!
2. Determina el volumen del cilindro circular recto.
1
1
I
24cm
1.....
..
B
..
-..
E
o
e
·¡;
-e
.!,:!
u
..2
::,.
se
·..e
·5
o
E
.;
E
....
..
.2
..
...
.......
..
.....
�
">
e
u
:,
·;¡
e
e
E
u
·-
""sE
..
....
.....
E
e
.!
Q.
::,.
Solución:
Del gráfico:
g
1--l6cm�
Ar = 7t r(g
+
r)
r
1
Teorema de
Pitágoras:
192 = h2 + r2
I
Ejemplo:
1. Calcula el área lateral
circular recto:
y
total del siguiente cono
16
r=-=8
2
Piden: V = 1t(8)2 (24)
V= 15361t
El volumen es 15361t cm3
.
Cono e ircular recto
El cono circular recto es un sólido de revolución generado por la rotación completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos que forman
el ángulo recto.
Elementos
• Vértice: Es el punto fijo que pertenece al eje de
giro .
• Altura (h): Es la línea perpendicular trazada del
vértice a la base.
• Base: Es el círculo generado por la base del
triángulo rectángulo que gira.
• Generatriz (g): Es la hipotenusa del triángulo rectángulo que gira alrededor del eje .
• Radio (r): Es el radio de la base.
Solución:
Determinamos la generatriz del cono:
g2 = 82 + 62
g
=
10
Piden:
Al= 1t(6)(l O)
Al= 601t
Ar = 1t(6)(l O + 6)
Ar= 961t
El área lateral es 601t cm2
•:,
u
et
Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 253.
COREFO
Matemática I
/J)
y el área total es 961t cm2.
Para desarrollar en tu cuaderno
2. Determina el volumen del siguiente cono s1
r = 5 cm.
13 cm
Ejemplo:
1. Determina la medida del radio de una esfera
cuya área de la superficie esférica es 1441t cm2.
Solución:
. . . . . . . - . i· . - - \.
-
'
R:'
''
.... ---�· ,l--.-....
'
•O
Solución:
h
Por dato:
13
ASE= 1441t
41t R2 = 1441t
\
.. -··-· ·-§ .... \
R2 = 36
Por el teorema de Pitágoras:
R =6
El radio mide 6 cm.
132 = h2 + 52
h2= 144
h = 12
2. Calcula el volumen de una esfera cuyo radio
mide
Piden:
V=
2J3 cm.
Solución:
.L 1t
3
V= 1001t
(5)2(12)
Piden:
.,
. -----
El volumen es 1001t cm3
V
2-.13/
•
•'
,•---
Elementos
• Centro (O): Es el punto fijo que equidista de
cualquier punto de la superficie esférica.
.>
,.
.· · ··______
'Ff .._.Ir ... ···
. .......
Area de la superficie
esférica
A S.E. = 41tR2
I
V= ..!11R
3
o
�
e
·¡;¡
'O
.;
....
:§
�
o
se funden para formar otra bola de acero más
grande, determina el volumen de esta.
::,.
o
e
()(8
::,
o
E
,¡
�
�
�
Solución:
Sea Vx el volumen de la bola más grande que
se obtiene al fundir las otras dos bolas, luego se
cumple:
....
-e�u
.."'
....
..
::,
vx = v1 + v2
·;:¡
e
= ..i.,c(,,/3)3 + _±_ 1t(2'°'6)3
v. =
3
..
E
1t.J3
3. En la figura se muestran dos bolas de acero de
diferentes tamaño (R =-J3 cm; R1 = 2 "6 cm). Si
X
Volumen de la esfera
....
�
El volumen es 321t.J3 cm3.
V
eje de giro
3
V= 32
• Radio (R): Es el segmento que une el centro
con cualquier punto de la superficie esférica.
360º
.±.. 1t(2.J3)3
V = _±_ 1t(24'8)
3
Esfera
La esfera es un sólido de revolución generado por
la rotación completa de un semicírculo en torno a
su diámetro.
=
3
e
3
E
....."'E
11t(3.J3) + 11t(48"6)
.!:!
..
vx = 4../31t + 64"61t
VX
=
"'E
.."'..
"ii.
4.J31t (1 + 16,J'l)
e
El volumen es 4.J31t (1 + 16
.J2)
cm3.
.."'
::,.
,::,
Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 253.
)jj
u
<
Matemática I
COREFO
241
