Subido por leo ruiz

resistencia de materiales

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Asignatura Física
Ingeniería Industrial
Unidad 4
Resistencia de Materiales
Ing. Fabiola Yolanda Molina Beltrán
Esfuerzo y deformación
• El diseño de cualquier elemento o de un sistema estructural implica responder dos
preguntas:
1 ¿El elemento es resistente a las cargas aplicadas?
2¿Tendra la superficie rigidez para que las deformaciones no sean excesivas?
• La respuesta implica el análisis de la resistencia y rigidez de una estructura, aspectos que
forman parte de sus requisitos.
Estos análisis comienzan por la introducción de nuevos conceptos que son el esfuerzo y la
deformación.
Esfuerzo
Ideas y necesidad del concepto de
esfuerzos
• Las fuerzas de un elemento se encuentran dentro de un material por lo que
se distribuye en todas las áreas; Justamente se denomina esfuerzo a la fuerza
por unidad de área.
𝑃
𝛿=
𝐴
• Donde:
P= Fuerza axial
A= Área de la sección transversal
Deformación
• Hay que controlar las deformaciones de una estructura para que cumplan el
propositopor el cual fueron diseñadas. El análisis de las deformaciones se
relacionan con los cambios en la forma de la estructura que genera la carga.
• Para poder definir la deformación 𝜖 como el coeficiente entre el
alargamiento (δ) y la longitud inicial (L)
𝛿
𝜖=
𝐿
Diagrama esfuerzo-deformacion
• El diseño de los elementos estructurales implica determinar
1 La resistencia.
2 La rigidez del material estructural.
Fractura
Esfuerzo
Región plástica
Región elástica
Deformacion
• No se presenta ninguna deformación permanente en la probeta en estructura
Esfuerzo Ø = P/A₀
si la carga se suprime en este punto. Entre P y E el diagrama no tiene la
forma de una recta perfecta aunque el material sea elástico.
Sᵤ
Sᵳ
Sᵧ
A
U
F
Y
℮ᵧ
℮ᵤ
Deformación х
℮ᵳ
σ
E'
D
Esfuerzo ultimo
Esfuerzo de
fluencia
Limite de
proporcionalidad
Fractura
B
E
C
A
Region
lineal
Plasticidad
Endurecimiento
por deformación
Estriccion
Ƹ
• Un aluminio de 40 pulgadas de longitud y de 4 pulgadas de sección transversal está unida a una barra de
acero de 40 pulgadas de longitud y de 2 pulgadas de sección transversal.
Determinar lo siguiente:
A) El esfuerzo unitario en barra cada una de ellas.
B) Deformación total debido a una fuerza axial de tensión 3600lb.
𝑃
𝐴
3600𝑙𝑏
=
= 9000lb/pulg2
4𝑝𝑢𝑙𝑔
3600𝑙𝑏
=
=18000 lb/pulg2
2𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑃𝐿
=
𝐴𝐸
3600𝑙𝑏 40𝑝𝑢𝑙𝑔
=0.036”
4𝑝𝑢𝑙𝑔 10∗10∧6𝑝𝑢𝑙𝑔
A)𝜎𝐴𝐿 =
𝜎𝐴𝐿
𝜎𝐴𝐿
B) 𝛿
𝛿=
𝛿=
3600 40 𝑝𝑢𝑙𝑔
2 𝑝𝑢𝑙𝑔 30∗10∧6
=0.24”acero
aluminio
Problemas
• Una barra de acero de ¾ ” de Ø esta sujeta a una fuerza de tensión de 7000 lb el
modulo de elasticiadad del acero es de 30𝑥10^6
Determinar
A) Deformacion unitaria
• Ð=E℮
P
A
Ð
℮=
E
• Ð= =
7000𝑙𝑏
0.422
15.837
=
15.837𝑙𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2
• ℮ = 30𝑥106 = 0.000528
• Un bloque de aluminio de 12” de longitud y de 3x3” y esta sujeta a una
fuerza de compresión de 135 e=10x10^6 lb/pulg²
Determinar:
a) Deformación unitaria en el bloque.
b) Deformación total.
𝜎=
135000
=
9
15000 lb/pulg² …𝜎 =
𝑃
𝐴
𝑒=
15000
=
10∗106
0.0015……….…..𝑒 =
𝜎
𝐸
𝛿 = 0.0015 12 = 0.018”
𝛿
𝑒 = 𝛿 = 𝑒𝐿
𝐿
• Una mesa de 3ft x 4ft soporta una carga uniforme distribuida sobre su
superficie.
Determinar la carga máxima que puede soportar la mesa en cada una de las
cuatro patas de madera tiene una sección 2”x 2. El esfuerzo unitario a
comprensión no debe exceder a 18.000 lb/plg²
𝑃
τ= 𝑃 = τ𝑋𝐴 𝑃 = 18000 16 = 288000𝑙𝑏
𝐴
288000𝑙𝑏
𝑤=
12𝑓𝑡 2
𝑊 = 24000𝑙𝑏\ft²
Deformación total
• Si un elemento se somete a una fuerza exterior axial P. el elemento se deforma. Se puede demostrar que la
Delta es directamente proporcional a la carga (P) y delta es directamente proporcional a la transversal (A).
Esto se expresa como:
𝑃𝐿
ʆ=
𝐴𝐸
• Donde:
ʆ=Deformacion total en plg o mts
P= Carga axial en lb o N
L=Longitud original del elementoenplg o mts
A=Area de la sección transversal
E=Modulo de elasticidad
• La barra de acero es de 2.5 m de longitud y tiene un área en su sección transversal de
3x10^-4 m², determinar la deformación total producida por Una fuerza de tensión de
80xn. El modulo de elasticidad es de 200Gpa.
𝑃𝐿
• 𝛿 = 𝐴𝐸=
80∗10⋀3𝑁 2.5𝑚
3∗10−4 𝑚2
• 𝛿 = 3.3𝑚𝑚
104 𝑁
200∗ 2
𝑚
=0.0033m
• Una barra de aluminio de 1” de 𝜙 y de 8 pies de longitud esta sujeta a
una carga axial de tensión. Determinar: la magnitud de esa fuerza que
hará la deformación total sea 0.075 plg.
• 𝛿=
• 𝑃=
𝑃𝐿
𝑃
𝐴𝐸
=
𝛿𝐴𝐸
𝐿
0.075𝑝𝑙𝑔 0.7854 10∗106
96𝑝𝑢𝑙𝑔
• 𝑃 = 6135.92𝑙𝑏
• Determinar la carga máxima de tensión que puede soportar una barra de aluminio de 5 pies
de longitud y ¼” x 1” de sección transversal al esfuerzo de tensión no debe exceder de 1500
lb/pulg² y la deformación debe ser menor de 0.10”.
𝑃
• 𝜎 = 𝐴𝑃 = 𝜎 ∗𝐴
𝑃𝐿
• 𝛿 = 𝐴𝐸
• 𝑃=
𝛿𝐴𝐸
𝐿
1
=
0.10 4)(10∗10
60
= 4166.66lb
• 𝜎 = 15000 𝑙𝑏/pulg²
• 𝛿 = 0.10
• 𝑃 = 15000 0.25 =3750 lb
• 𝛿=
3750 60
0.25 10∗106
= 0.09 pulg.
Vigas
• Se le llama así a cada elemento estructural que soporta una carga
determinada y que salva un claro determinado
Una viga deberá estar apoyada, y los tipos de apoyo pueden ser
Apoyo empotrado.
Dos o mas apoyos libres.
Apoyos articulados.
• Una viga deberá estar apoyada y se les dice que es estáticamente determinada
cuando cumple con las condiciones de equilibrio.
∑fx=0 Movimientos horizontales.
∑fy=0 Movimientos verticales.
∑Mof=0 Movimientos de rotación.
Viga apoyada
• Es una pieza de carga transversal con sus dos apoyos articulados siendo uno
de ellos deslizable, asi se descarta la posibilidad de que existan reacciones
horizontales y momentos en los apoyos, por lo que las reacciones solo serán
verticales.
• De haber una fuerza inclinada, habría una componente horizontal que tendrá que
ser equilibrada en el apoyo no deslizable
• Aplicando las condiciones de equilibrio
Fa=RBL
RB=Fa/L
• Haciendo ∑M en Ro
-F(a)+RiL=0
RA+RB=F
RA=Fa/L
Viga empotrada
• Es una pieza cargada transversalmente con un extremo libre y el otro
empotrado, en el que solo se impide los movimientos de rotación y vertical.
Viga apoyada con un extremo en mensula
• Pieza cargada transversalmente con un apoyo articulado y el otro deslizable, en este punto
prolongada es voladizo.
Estas condiciones destruyen la posibilidad de reacción horizontal.
• Una fuerza concentrada o uniformemente repartida se representa por un vector.
Una fuerza representa una acción y con ello aparecea una reacción que llamaremos
equilibrante.
Condiciones de apoyo
• Apoyo deslizable: No hay resistencia al movimiento horizontal. Implica que
en el no habrá reacción horizontal.
• Apoyo articulado: No tiene resistencia al movimiento de rotación. Implica
que no habrá momento.
• Empotre: este apoyo existe solo cuando la viga esta en “ménsula” por que de
haber un segundo apoyo se convierte en solución hiperestática.
Grado de Hiperestaticidad
(Gh)
• Cuando el numero de fuerzas desconocidas que pueden ser momentos o
cortantes (reacciones), se obtienen con las ecuaciones de equilibrio. Se dice
que la estructura es estáticamente determinada y su grado de hiperestaticidad
es cero(Gh=0).
• Si las ecuaciones de equilibrio no sirven se dice que la viga tiene un punto
estáticamente indeterminado y su grado de hiperestaticidad es diferente de
cero. Es muy importante tener presente que, en el plano son 3 ecuaciones de
equilibrio pero no siempre se requieren todas
No de incognitas (Ra, Rb)=2
(-) No de ecuaciones (ΣFᵪ = Σᴍ =
0) = 2
Gh=0
No de incognitas (Rax, Ray. Ma, Rb)=4
(-) No de ecuaciones (ΣFᵪ= ΣFᵧ = Σᴍ =
0)=3
Gh=1
Rb
No de incognitas (Ra, Ma, Rb, Mb)=4
(-) No de ecuaciones (ΣFᵧ = Σᴍ =
0)=2
Gh=2
Ra
Rb
Grado de Libertad
• Cuando el numero de deformaciones son las incógnitas, se dice que la
indeterminación es cinemática y para ello es conveniente trazar la elástica. La
indeterminación de las fronteras.
No de incógnitas (φA, φB)=2
GL=2
No de incógnitas (φA, φB, φC)=3
GL=3
No de incógnitas (φA, x)=2
Gl=2
Compatibilidad y continuidad
• Es una condición que debe cumplirse en los modos de toda estructura, osea,
en los puntos de unión de dos o mas elementos y esa condición exige que las
deformaciones (desplazamientos y giros) sean consistentes con las
condiciones de apoyo, es decir, que haya continuidad en cada nudo.
Principio de superposición
(causa-efecto)
• Cuando hay relaciones entre brazos y desplazamientos es posible que se
cumpla el criterio ”no hay efecto sin causa a toda causa corresponde un
efecto” Por lo que el principio establece que los efectos producidos por
varias causas pueden obtenerse combinando los efectos debidos a cada causa.
Ejemplos
Gh=1
Causa total
Causa parcial
Efecto parcial
Efecto parcial
Causa parcial
Análisis de estructuras isostáticas
• Todas las estructuras cuya indeterminación estática (grado cero) es nula, se
dice que son isostáticas (estáticamente determinada) y para analizarlas son
suficientes las 3 ecuaciones de equilibrio.
• Presentan n+1 discontinuidades, según las n cargas que soportan, y por lo
tanto, se puede recurrir al uso de:las funciones de singularidad y de
discontinuidad, para representar cargas o a las secciones , esto es, fraccionar a
lo largo del elemento.
Tipos de vigas
Vigas isostáticas
Viga isostática con articulación
Articulación
Vigas Hiperestaticas
Tipos de carga
Carga concentrada
Carga distribuida triangularmente
W2(kg/m)
W1(kg/m)
Carga distribuida uniformemente
Carga distribuida variablemente
Método de las secciones
SECCION C-B
CUERPO LIBRE
SECCION A-C
Análisis de columnas
• Son elementos estructurales con eje longitudinal y en el cual
puede estar contenida la carga o ser paralelo al plano de la
misma.
• La sección transversal de una columna varia según su
necesidades estructural y arquitectónica, y por lo mismo puede
ser circular, cuadrada, estrella etc.
• También el material de construcción es muy variado en
atención al proyecto y el complemento de la columna. Aun
cuando el pandeo ocurre en diferentes elementos estructurales
y es muy característico en las estructuras.
• Se presenta cuando un elemento es demasiado largo o tiene
una sección transversal demasiado esbelta y esta sujeto a una
carga axial y una compresión.
Flexión
axial
lateral
• Para comprender que es el pandeo, considérese un elemento vertical
simplemente apoyado en su base, con un resorte elástico de soporte en la
parte superior sometido a una carga axial
1. Si la fuerza P es muy pequeña el elemento tendrá un equilibrio estable
2. Si la fuerza P es muy grande el elemento continuara girando.
b
h
L1
Mr (momento de volteo =Pδ=PLθ. Puede suceder que:
Si Mv<Mr PLθ<βθL² equilibrio estable
Si Mv>Mr PLθ>βθL² equilibrio inestable
Si Mv>Mr PLθ>βθL² equilibrio indiferente
P=βL carga critica (Pcr) Pcr = βL
Conclusión. Dentro del rango elástico el comportamiento
idealizado, de una columna, es parecido al del conjunto barra
resorte.
Carga Critica
• El comportamiento idealizado de una columna, comprimida y acortada por
una carga axial P puede resumirse de la siguiente manera:
si P<Pcr la columna esta en equilibrio estable, Si P>Pcr la columna esta en
equilibrio inestable, si P=Pcr la columna esta en equilibrio indiferente.
• Para una sección en x y alrededor del eje z: M2=PY; sustituyendo este valor en
la ecuación
•
𝑑2 y
𝑑𝑥 2
=
1
𝐸1
Considerando 𝐾 2
𝑃𝑦
𝑃
𝐸1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑃
+ 𝑦
𝐸1
= 0 𝑦" + 𝑃/𝐸1𝑦 = 0
= entonces se tiene 𝑦" + 𝐾 2 𝑦 = 0 la cual es una
ecuación diferencial lineal ordinaria homogénea de segundo grado, con
coeficientes constantes.
Modo de pandeo
• Esta asociado a
los valores de la
solución de la
curva elástica:
y=
Aθnx
si n=1
L
x
= y se
L
y y
llama modo
fundamental de
pandeo o primer
modo.
Longitud libre de pandeo
• Es la distancia
entre puntos de
inflexión, de las
curvas elásticas y
se expresa por kL,
donde k, es el
factor de longitud
efectiva, en
función de las
condiciones de
apoyo.
• Carga critica con diferentes condiciones de apoyo de las columnas
• Columna empotrada y volada 𝑃𝑐𝑟 =
𝑥 2 𝐸𝐼
4𝐿2
• Columna empotrada y apoyada 𝑃𝑐𝑟 =
2.05𝑥 2 𝐸𝐼
𝐿2
• Columna doblemente empotrada 𝑃𝑐𝑟 =
4𝑥 2 𝐸𝐼
𝐿2
Ejemplo
• Una columna de madera con sección transversal de 4”x 6”, tiene un modulo
de elasticidad de 2x10^6 lb/pulg si se considera el elemento esta doblemente
apoyado ¿Cuál es la carga axial máxima que puede soportar en una longitud
libre de 15 pies?
• 𝑃𝑐𝑟 =
𝜋𝐸𝐼 3.1416 2000000 6 43
=
𝐿2
12 1802
• ʄ𝑎𝑑𝑚 =
• ʄ𝑐𝑟 =
𝑃𝑚𝑎𝑥
𝐴
𝜋2 E
ʎ2
• 𝑟𝑚𝑖𝑛 =
𝑃𝑚𝑎𝑥 = ʄ𝑎𝑑𝑚𝐴 = 5000 4 6 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 120000𝑙𝑏𝑠
𝑟𝑚𝑖𝑛 =
32
24
Pminima= 19496lbs
𝐼𝑚𝑖𝑛
𝐴 𝐼𝑚𝑖𝑛
= 1.16𝑝𝑢𝑙𝑔
=
𝐿
𝑟
𝑏ℎ3
12
ƛ= =
=
15 12
𝐿16
6 43
12
= 32𝑝𝑢𝑙𝑔
= 155ƒ𝑐𝑟 =
𝑥2E
ƛ2
• Determinar la carga critica para la sección tubular
mostrada para las siguientes longitudes: a)40 pies
b)30 pies c)20 pies. Usar la ecuación de Euler con
𝑙𝑏
6
E=29𝑥10
y esfuerzo máximo permisible de
𝑝𝑢𝑙𝑔
33000 lb/pulg.
• 𝐴 = 0.785
14.47 𝑝𝑢𝑙𝑔
• 𝐼𝑋 = 𝐼𝑌
0.0491
322
42
2
−
272
42
= 0.785
32 4
27 4
=
−
4
4
1048576
531441
−
256
256
1024
16
−
729
16
=
= 99.18pulg^4
=
Si 𝐿1 = 20 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑃𝑐𝑟 =
3.14162 29 10
20 12
6
2
99.18
=
28387230000
= 492833𝑙𝑏𝑠
57600
Si 𝐿2 = 30 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑃𝑐𝑟 =
28387230000
= 219037𝑙𝑏𝑠
129600
Si 𝐿3 = 40 𝑝𝑖𝑒𝑠
28387230000
= 123208𝑙𝑏𝑠
230400
492833
𝑙𝑏
123208
𝑙𝑏
33000 <
= 34058
;
33000
>
=
8514
14.47
𝑝𝑢𝑙𝑔2
14.47
𝑝𝑢𝑙𝑔2
219037
33000 >
= 15137 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
14.47
𝑃𝑐𝑟 =
Columnas
Flexión desviada
Flexión y tracción combinadas
Flexión y compresión combinadas
Tipos de secciones
Columna de acero
columna
Bloque
Pandeo de columna
Ensanchamiento del bloque
• UNA COLUMNA
al comprimirse se acorta y se flexiona (pandeo)
P
P
Equilibrio inestable
Equilibrio indiferente
Equilibrio estable
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