Metodo-de-Cross-Para-Marcos-Sin-Desplazamiento-Lateral

MÉTODO DE CROSS PARA MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL
INTRODUCCIÓN
Él método de CROSS lleva su nombre en honor al profesor Hardy Cross quien desarrollo
en el año 1932 un método numérico para la resolución de estructuras hiperestáticas o
indeterminadas que alcanzó gran popularidad en aquellos tiempos, aunque en la
actualidad no se usa con mayor frecuencia este método, gracias a los estudios realizados
por el Prof. Hardy Cross se han podido desarrollar otros métodos para la resolución de
estructuras hiperestáticas o indeterminadas como es el caso del método de
“FLEXIBILIDAD O ROGIDEZ” expuestos en clase por el Ing. Carlos Ayala.
Este método tiene dos características que lo hacen interesante:
1. Es un método numérico de aproximaciones sucesivas, que evita tener que
resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de un número elevado, como
sucede en los métodos de las fuerzas y las deformaciones. Cuando el Prof. Cross
público su método, no existían comercialmente computadoras como ahora que
permitiesen resolver sistemas de ecuaciones en segundos o fracciones de
segundo, por lo tanto cualquier estructura con un grado de indeterminación
importante requería una gran labor aritmética para resolver el sistema de
ecuaciones resultantes. La verificación de las condiciones de las condiciones
finales de equilibrio se tenían que hacer después de toda esta labor numérica,
gracias al método de Cross no sólo evita la necesidad de resolver el sistema de
ecuaciones, sino que permite verificar las condiciones de equilibrio en cualquier
etapa del proceso de solución.
2. Este método permite entender claramente el funcionamiento de una estructura,
la forma en que las cargas aplicadas producen momentos flexiónantes y fuerzas
cortantes en los diferentes miembros de la estructura, y el concepto de equilibrio
en cada nudo de la estructura y en la estructura de su conjunto.
El método de Cross es muy usado en la práctica cuando se presentan situaciones en las
que hay necesidad de resolver estructuras sencillas
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL MÉTODO
1.1 Rigidez Angular
Es el momento que hay que aplicar en el extremo de un miembro estructural
para producir una rotación unitaria en dicho extremo. En la siguiente figura se
presenta el caso de un extremo con apoyo articulado y el opuesto como
empotrado donde se presenta su respectiva rigidez angular y su
correspondiente factor de transporte.
𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑀𝐴𝐵 =
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒,
=
1
2
4𝐸𝐼
𝑙
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐴𝐵
Para el caso de un miembro con dos extremos articulados se presentará
respectiva rigidez angular y su correspondiente factor de transporte.
3𝐸𝐼
𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑀𝐴𝐵 =
𝑙
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒,
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐴𝐵
=0
Es común que en las estructuras se usen el mismo material para los distintos miembros.
Cuando esto sucede, el valor de E es el mismo para todos los miembros. Como además
lo que interesa en la mayoría de los casos es la rigidez relativa de los diferentes miembros
estructurales, suele considerarse que la rigidez de un miembro con un extremo articulado
y el otro empotrados es:
𝐾=
𝐼
𝑙
Esta rigidez se denomina rigidez angular simplificada para un viga con apoyo articulado y
un empotramiento, en otro caso si se requiere una rigidez simplificada para una viga con
apoyos articulados en sus extremos se usara la siguiente ecuación:
3
𝐾′ = 𝐾
4
La rigidez K’ se denomina rigidez angular simplificada modificada.
1.2 Rigidez Angular
Se define como la relación entre el momento que se desarrolla en el extremo de
un miembro cuando se aplica un momento en el extremo, y el valor del momento
MAB en el extremo A de la figura mostrada a continuación y el extremo B se
desarrolla como consecuencia un momento MBA, el factor de trasporte del
miembro AB es la relación entre los momentos MBA y MAB.
𝐹𝑇 =
1
2
En un miembro que tenga dos extremos articulados como muestra la figura
siguiente, al aplicar un momento en el extremo A no se desarrolla ningún
momento en el extremo B, prescisamente porque esta articulado. En este caso el
factor de transparte vale 0.
𝐹𝑇 = 0
El momento que se desarrolla en un extremo como consecuencia de la aplicación de un
momento en el otro extremo se denomina momento transportado, así en la figura
mostrada a continuación, el momento MBA es un momento trasnportado ya que aparece
como resultado de haber aplicado el momento MAB en el extremo A.
Rigidez Lineal
Se ha definido como el valor de los momentos que se desarrollan en los extremos
de un miembro cuando se imponen desplazamientos lineales unitarios entre
dichos extremos. Si los dos extremos están empotrados como en la siguiente
figura se presentaran la rigidez lineal siguiente:
𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙, 𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐵𝐴
6𝐸𝐼
= 2
𝑙
Si un extremo está empotrado y el otro está con un apoyo articulado, como se
muestra a continuación, la rigidez lineal será la siguiente:
𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙, 𝑀𝐴𝐵 =
3𝐸𝐼
𝑙2
Siguiendo un razonamiento semejante al del caso de la rigidez angular, se pueden definir
la rigidez lineal simplificada:
𝑅𝐿 =
𝐼
𝑙2
Y la rigidez lineal simplificadaq modificada:
𝑅𝐿′ =
𝐼
𝑅𝐿
2
Esta última es para el caso de miembros con un extremo empotrado y el otro articulado.
Factor de distribución
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
EL método se realiza de la misma manera que para vigas continuas. La única diferencia
consiste en que pueden concurrir más de dos miembros a un mismo nudo.
Un ejemplo claro está dado en un nudo interior de un marco reticular donde se unen
generalmente dos vigas y dos columnas. Las rigideces angulares de los miembros y los
factores de distribución en cada nudo se calculan como ya se ha explicado en el capítulo
anterior.
Se debe de verificar que la suma de los factores de distribución sea igual a 1 en todos los
nudos y el momento de equilibrio que se introduzca en la etapa de distribución debe ser
igual a la suma de los momentos de empotramiento perfecto de todos los miembros que
concurren al nudo.
METODO DE CROSS PARA MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL
Introducción
En los análisis de vigas y marcos sin desplazamiento lateral, bastaba con verificar que
todos los nudos estuviesen en equilibrio para garantizar que la estructura en su conjunto
también lo estuviese.
En marcos con posibilidad de tener desplazamientos laterales se presenta un factor
adicional que debe considerarse: el equilibrio de todas las fuerzas horizontales que
actúan sobre el marco, incluyendo las reacciones horizontales en los apoyos.
Marcos de un nivel
Es un marco asimétrico tanto en carga como en geometría. Por lo tanto los nudos B y C
pueden desplazarse horizontalmente al aplicar la carga de 12 ton.
Para comprobar esa posibilidad se ha resuelto el marco en la Tabla 9.1 por el método
presentado anteriormente, es decir suponiendo que NO HAY DESPLAZAMIENTOS
HORIZONTALES.
Los momentos de barra sobre apoyo obtenidos en el cálculo se muestran en la figura 9.1
– b.
Reacciones horizontales
A partir de los momentos de las columnas se calculan las reacciones horizontales en los
apoyos A y D, se obtienen los valores mostrados en la figura 9.2 – a. Así en la columna
AB:
Reacciones horizontales
Reacciones horizontales
Como no hay ninguna carga lateral aplicada al marco, no se cumple el equilibrio de
fuerzas horizontales, o sea, Ʃ Fx ≠ 0
El marco no está en equilibrio, aunque los nudos si lo estén. Para que se cumpla la
condición de equilibrio de fuerzas horizontales, sería necesario introducir un apoyo
adicional, como se muestra en la fig. 9.2 –b , el cual impediría que el marco se desplace
horizontalmente hacia la derecha.
En este apoyo se desarrollaría una reacción de derecha a izquierda de 1.03 ton, que es la
diferencia entre las dos reacciones horizontales en los apoyos A y D.
Método para resolver marcos con desplazamiento lateral
Método para resolver marcos con desplazamiento lateral
El marco asimétrico de la figura 9.3 – a puede resolverse, aplicando el principio de
superposición de causas y efectos, como la suma de la resolución del marco 9.3 –b y la
del marco 9.3 – c.
La resolución del primero es la que ya se ha hecho en la tabla 9.1, con los resultados
mostrados en la figura 9.1 – b. Faltaría resolver el marco de la figura 9.3 – c, el mismo
que se explica a continuación:
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
desplazamiento impuesto Δ
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
desplazamiento impuesto Δ
Se tiene un marco como el de la figura 9.4 – a con una carga horizontal aplicada en uno
de los nudos del cabezal. Se puede restringir los nudos contra giro e imponer al marco
un desplazamiento horizontal Δ, como se muestra en la figura 9.4 – b.
En estas circunstancias, aparecerá en los extremos de las columnas momentos de
empotramiento perfecto que serán iguales a partir de las siguientes relaciones:
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
desplazamiento impuesto Δ
Sacando la relación entre los momentos de las dos columnas se obtiene:
Esta expresión indica que la relación entre los momentos de empotramiento perfecto
producidos por un desplazamiento lineal es directamente proporcional a los valores de
EI e inversamente proporcional a los cuadrados de las longitudes l de las columnas.
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Si en el marco de la figura 9.5 se imponen los momentos de empotramiento perfecto
MAB y MBA, pueden calcularse los momentos correspondientes en la columna CD
utilizando la ecuación 9.6.
Si el marco tiene varias crujías, se aplica la ecuación 9.6 entre la columna a la cual se
impusieron los momentos y cada una de las otras columnas.
Si una columna tiene un extremo articulado se está en el caso de la figura 7.4 y su
rigidez lineal es la mitad de la correspondiente a una columna con el extremo
empotrado.
Después de tener los momentos de empotramiento perfecto en las columnas, se procede
de la misma manera explicada en relación a la figura 9.4, es decir, se equilibran los
nudos con varios ciclos de distribución y transporte, se calculan las reacciones
horizontales H, y el factor de corrección X con la ecuación 9.3. Los momentos de la
figura 9.5 – c, multiplicados por el factor X serán los momentos producidos en el marco
por la fuerza horizontal P.
En las figuras 9.6 y 9.7, y en la tabla 9.2, se ilustra el procedimiento descrito para
resolver el marco de la figura 9.3 – c.
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
En la figura 9.6 – a se reproduce el marco con sus dimensiones y los momentos de
inercia de sus miembros.
En la figura 9.6 – b se impone un momento de – 10 ton-m a la columna AB, en ambos
extremos; estos momentos están producidos por un desplazamiento del marco, cuya
magnitud no interesa, como se muestra en la misma figura. Los momentos que aparecen
en la columna DC se calculan con la ecuación 9.6, asignándole el valor de 10 ton – m al
momento MAB y despejando MDC:
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Es importante observar que el signo de estos momentos es negativo, ya que al introducir
un desplazamiento hacia la derecha, como se muestra en la figura 9.6 – b, ambas
columnas giran en sentido horario.
Teniendo los momentos de empotramiento perfecto en las columnas AB y DC, se
liberan los empotramientos que se habían introducido en sus extremos, efectuando los
ciclos necesarios de distribución y transporte. Esto se muestra en la tabla 9.2, donde los
factores de distribución son los mismos que se habían calculado en la tabla 9.1 y los
momentos de empotramiento perfecto son los que acabamos de obtener
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Es importante observar que el signo de estos momentos es negativo, ya que al introducir
un desplazamiento hacia la derecha, como se muestra en la figura 9.6 – b, ambas
columnas giran en sentido horario.
Teniendo los momentos de empotramiento perfecto en las columnas AB y DC, se
liberan los empotramientos que se habían introducido en sus extremos, efectuando los
ciclos necesarios de distribución y transporte. Esto se muestra en la tabla 9.2, donde los
factores de distribución son los mismos que se habían calculado en la tabla 9.1 y los
momentos de empotramiento perfecto son los que acabamos de obtener
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Después de tres ciclos, se obtuvieron los momentos finales (antepenúltimo reglón,
figura 9.6 - c). Se calcula las reacciones horizontales H, obteniendo los valores de:
Estos valores nos indican que el marco no está en equilibrio de fuerzas horizontales,
pues deberían ser igual y de signo contrario a la fuerza horizontal de 1.03 ton. Entonces
debe introducirse el factor correctivo X de la ecuación 9.3
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal a partir de un
momento impuesto
Los momentos obtenidos en el antepenúltimo renglón de la tabla 9.2 se multiplican por
el factor de corrección, obteniendo los momentos corregidos que constan en el
penúltimo renglón y en la figura 9.7 – a.
Las reacciones horizontales H correspondientes a estos momentos, sí equilibran a la
fuerza horizontal aplicada de 1.03 ton.
Sumando estos momentos a los calculados en la tabla 9.1, que se reproducen en la
figura 9.7 – b, se obtienen los momentos totales que aparecen en el último renglón de la
tabla 9.2 y en la figura 9.7 – c.
Procedimiento para resolver un marco con carga horizontal, momentos totales
EJEMPLO 9.1 ANALISIS DE UN MARCO DE DOS CRUJIAS CON
DESPLAZAMIENTO LATERAL
Marcos de varios niveles
Para resolver un marco de varios niveles, es necesario plantear una ecuación de
equilibrio de fuerzas horizontales en cada piso del marco.
Vamos a revisar el procedimiento para resolver un marco de tres niveles y asimétrico en
carga como en geometría.
Resolución
En una primera etapa, el marco se resuelve bajo la acción de las cargas verticales
impidiendo el desplazamiento lateral como se muestra en la figura 9.9 – a.
Esta etapa es semejante a la correspondiente a marcos de un nivel, pero ahora, en cada
piso aparece una reacción horizontal. El cálculo de estas reacciones se muestran en la
figuras 9.9 – b, c y d.
Se empieza en el piso superior, haciendo un corte horizontal inmediatamente arriba del
la trabe (viga) del segundo piso.
Resolución en piso superior
Dividiendo los momentos obtenidos en el análisis de la primera etapa entre las alturas
de las columnas, se obtienen las fuerzas horizontales HCD y HFE, y por equilibrio de
fuerzas horizontales se calcula la reacción horizontal H3. Si las columnas son de la
misma altura, h, la reacción puede obtenerse dividiendo la suma de los momentos entre
la altura. Obsérvese que la reacción tiene un signo contrario a la resultante de las fuerzas
horizontales en las columnas.
Resolución en piso intermedio
A continuación se establece el equilibrio de fuerzas horizontales en los dos pisos
superiores en conjunto, como se muestra en la figura 9.9 – c. Las fuerzas horizontales en
las columnas del segundo nivel, HBC y HGF, se calculan a partir de los momentos en
las columnas BC y GF. Después se plantea la ecuación de equilibrio de las fuerzas
horizontales y, como ya se conoce el valor de H3, puede obtenerse el valor de la
reacción H2.
El mismo procedimiento se repite en cada piso, hasta llegar al inferior.
Resolución del piso inferior
Se calcula la reacción H1, a partir del equilibrio de fuerzas horizontales en el primer
piso y del valor ya calculado de las reacciones H2 y H3, como se muestra la figura 9.9 –
d.
Una vez obtenidas las reacciones H1, H2 y H3, debe resolverse el marco mostrado en la
figura 9.10, un marco con fuerzas iguales y de sentido contrario a las reacciones
calculadas. Los momentos obtenidos del análisis de este marco, sumados a los
obtenidos en la primera etapa, o sea, con los desplazamientos horizontales impedidos,
serán los momentos totales.
Análisis del marco 9.10
Se empieza por imponer un desplazamiento en el tercer nivel, restringiendo el
desplazamiento de los otros niveles, figura 9.11 – a. Esto se hace de la misma manera
que en marcos de un nivel, es decir, introduciendo momentos de empotramiento
perfecto arbitrarios en una de las columnas del nivel, calculando los momentos en las
otras columnas de acuerdo a su rigidez lineal y llevando a cabo los ciclos de
distribución y transporte de momentos.
Una vez terminados los ciclos de distribución y transporte, se calcula la fuerza
horizontal en el tercer nivel, que se ha denominado H33.
Análisis del marco 9.10
La notación H33 indica que es la fuerza en el nivel 3 debida a un desplazamiento
impuesto en el mismo nivel 3.
El cálculo de esta fuerza se realiza como se indicó en la figura 9.9 – b, pero se debe
tomar en cuenta que es la fuerza que produce el desplazamiento impuesto, y no la
reacción que impide el desplazamiento.
Una vez calculada la fuerza H33, se calcula la reacción H23, de la manera indicada en la
figura 9.9 –c, y después la reacción H13 como se planteo en la figura 9.9 – d. Se debe
considerar en que H23 es la reacción en el nivel 2 debida al desplazamiento impuesto en
el nivel 3 y H13 es la reacción en el nivel 1 debida al desplazamiento impuesto en el
nivel 3.
Análisis marco 9.11- b
A continuación, el desplazamiento se impone en el nivel 2 y se restringen los
desplazamientos en los niveles 1 y 3.
De la misma forma anterior se calculan la fuerza H22 y las reacciones H32 y H12.
Nótese que al imponer el desplazamiento en el nivel 2 aparecen momentos de
empotramiento perfecto en las columnas de los entrepisos 2 y 3.
Se fija el momento de empotramiento perfecto en cualquiera de las columnas afectadas
y se calculan los momentos en las otras columnas de acuerdo con su rigidez lineal.
Análisis marco 9.11- c
Como paso siguiente, el desplazamiento se impone en el nivel 1 y se calculan la fuerza
H11 y las reacciones H21 y H31
En marcos de un mayor número de niveles habrá que repetir el procedimiento tantas
veces como número de pisos tenga el marco.
Análisis de las fuerzas Hij
En la figura 9.11 se han dibujado todas las fuerzas Hij de derecha a izquierda, pero al
hacer los cálculos reales no resultan todas del mismo signo. Así la fuerza H33 en la
figura 9.11 – a seguramente tendría un sentido de izquierda a derecha, ya que es la que
produce un desplazamiento en este mismo sentido, mientras que la reacción H23 es muy
probable que si tenga el sentido mostrado en la figura. Por lo tanto se debe establecer
una convención de signos consistente, todas las fuerzas de izquierda a derecha serán
positivas y las de derecha a izquierda negativas
Ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales
Luego que se han realizado los cálculos de la figura 9.11, se planean las ecuaciones de
equilibrio de fuerzas horizontales para cada nivel. Estas ecuaciones representan que las
fuerzas horizontales de los marcos de las figuras 9.10 y 9.11 deben ser iguales. Pero la
de los marcos 9.11 deben estar multiplicadas por factores X3, X2, X1, ya que los
desplazamientos o los momentos de empotramiento perfecto impuestos en las figuras
9.11 – a, b y c fueron arbitrarios
Ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales
Planteando estas ecuaciones de equilibrio se obtienen entonces el siguiente sistema de
ecuaciones:
Resolviendo el sistema se obtienen los factores correctivos X1, X2 y X3.