Reflexión y refracción. Fórmulas de Fresnell

Óptica Física. Universidad de Murcia. Curso 05/06
Ginés Cervantes Linares
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN: FÓRMULAS DE FRESNEL.
- Las fórmulas de Fresnel nos van a dar la cantidad de energía que se refracta y se refleja.
- Plano de incidencia: Superficie de separación entre 2 medios de índices distintos. Es el plano que contiene
∧
∧
esos 2 vectores (el rayo que incide s y la normal n )
- Nosotros vamos a tener 3 ondas:
→
→
→∧
- onda incidente: E = E 0 ·e i ( wt − k0 n1 r s +ϕ )
→
→
'
'
→ ∧
'
'
- onda refractada: E ' = E '0 ·ei ( w t − k 0 n1 r s +ϕ )
→
→
''
''
→ ∧
''
- onda reflejada: E '' = E ''0 ·ei ( w t − k 0 n1 r s
+ϕ '' )
- Condiciones de contorno: se tienen que cumplir en la superficie de separación entre 2 medios. Para que las
condiciones de contorno se cumplan para cualquier x ó y, en cualquier instante de tiempo:
- Las fases han de ser iguales.
- Las partes temporales son iguales:
'
''
w = w ' = w '' ; v = v ' = v '' ; k 0 = k 0 = k 0
- Las partes espaciales son iguales:
∧
→∧
→
→ ∧
''
k 0 n1 r s = k 0 n 2 r s = k 0 n1 r s
Como se tiene que cumplir para cada punto:
- Para la componente y:
n1 s y y = n2 s 'y y = n1 s 'y' y
'
s y = 0; ⇒ 0 = s 'y = s 'y'
Esto significa que el plano de incidencia se conserva.
- Para la componente x:
n1 s x x = n2 s x' x = n1 s x'' x
La componente x de s es el senε .
s x = senε ; s x' = senε ' ; s x'' = senε ' '
∗ n1 s x = n 2 s x' → n1 senε = n 2 senε ' → Ley de Snell.
∗ s x = s x'' → senε = senε ' ' → ε = ε ' ' → Ley de la Reflexión.
Vamos a considerar las condiciones de contorno para las componentes del campo eléctrico. Mediante la
conservación del plano de incidencia vamos a hablar de la componente paralela al plano de incidencia y de la
componente perpendicular al plano. En principio, la componente perpendicular será la y.
El campo eléctrico tiene que ser perpendicular a la dirección de propagación y con 2 componentes nos basta
→
→
→
para representarlo. E = E ⊥ + E C
→
→
→
→
B = B C + B⊥
→
Como E y B tienen que ser perpendiculares a la componente perpendicular del campo eléctrico, está
relacionada con la componente paralela del campo magnético.
⎛ → → ⎞
⎜
⎟
⎜⎜ E ⊥ , BC ⎟⎟ → Se llama también onda s ó transversal eléctrica (TE)
⎝
⎠
⎛ → → ⎞
⎜
⎟
⎜⎜ E C , B⊥ ⎟⎟ → Se llama también onda γ ó transversal magnético (TM)
⎝
⎠
(los datos del dibujo no se corresponden con la simbología de la teoría)
1
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Con las fórmulas de Fresnel encontramos los coeficiente de transmisión y reflexión:
E 0' = t ·E 0 → t : coeficiente de transmisión. Relaciona la amplitud refractada con la amplitud incidente.
E 0'' = τ ·E 0 → τ : coeficiente de reflexión. Relaciona la amplitud reflejada con la amplitud incidente.
ONDA PERPENDICULAR:
Aplicando las condiciones de contorno vemos que el
coeficiente de transmisión es el perpendicular ya que
relaciona la amplitud del campo refractado e incidente
cuando el campo eléctrico es perpendicular.
t⊥ =
E 0' ⊥
2n1 cos ε
2 senε ' cos ε
=
=
→ ε ' podemos sacarlo de la Ley de Snell.
E 0⊥ n1 cos ε + n2 cos ε ' sen(ε + ε ' )
τ⊥ =
E 0''⊥ n1 cos ε − n 2 cos ε ' sen(ε '−ε )
=
=
E 0⊥ n1 cos ε + n2 cos ε ' sen(ε '+ε )
ONDA PARALELA:
Cuando el campo incidente E está en el plano de
incidencia es posible deducir un par de ecuaciones
similares. La continuidad de las componentes
tangenciales de E en ambos lados de la frontera nos lleva
a:
E0' C
2n1 cos ε
2 senε ' cos ε
tC =
=
=
E0 C n1 cos ε '+ n2 cos ε sen(ε + ε ' ) cos(ε − ε ' )
τ⊥ =
E 0'' C n2 cos ε − n1 cos ε ' − tg (ε '−ε )
=
=
E 0 C n2 cos ε + n1 cos ε '
tg (ε '+ε )
2
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2. Interpretación de las Fórmulas de Fresnel.
- La componente paralela del campo refractado E 0' C y del reflejado E 0'' C sólo dependen de la componente
'
'
paralela del campo incidente E 0 C . Análogamente E 0⊥
y E 0⊥
sólo dependen de E 0⊥ . No hay transferencia de
Amplitud entre componentes.
- En ciertas condiciones el factor de reflexión es menor de cero, lo que quiere decir que la amplitud del campo
eléctrico reflejado es negativa, pero esto no lo queremos a que ponemos que la amplitud sea positiva y para ello
el signo negativo pasa a la fase. Por lo que podemos interpretar que el desfase de la onda reflejada es ϕ ' ' = π .
- Que el factor de reflexión sea menor de cero significa que los coeficientes de reflexión me relacionan la
amplitud compleja. τ p 0
- En cambio el factor de transmisión es positiva para las 2 componentes (paralela y perpendicular) ya que sólo
hay sumas. t f 0
- Si ε y ε ' están en el primer cuadrante los cosenos son positivos. Que t f 0 significa que el desfase de la
componente transmitida ϕ ' = 0 , es decir, que el desfase de la onda refractada es cero.
3. Angulo Brewster o Ángulo de Polarización.
Es el ángulo de incidencia que al sumarlo con el ángulo de refracción da 90º. Como el ángulo de refracción
depende del índice de un lado y del otro, para el ángulo Brewster la componente paralela no se refleja aunque
hay componente incidente y esto significa que todo se transmite.
Se cumple que ε β + ε β' = 90º → tg (ε β + ε β' ) = ∞ → τ C = 0 → ε 0'' C = 0
Para el ángulo Brewster la luz reflejada sólo puede ser polarizada si tiene una componente y está linealmente
polarizada y perpendicular al plano de incidencia.
El ángulo de incidencia Brewster ε β y el ángulo de refracción ε ' β son complementarios ya que suman 90º, y
⎡
n ⎤
para estos ángulos se cumple que: n1 senε β = n2 senε β' = n2 cos ε β → ⎢tgε β = 2 ⎥
n1 ⎦
⎣
3.1 Figuras o Gráficas de los coeficientes de reflexión y transmisión.
1.Cuando n2 f n1
a)
b)
2n1
n1 − n2
⎧
⎫⎧
⎫
⎪τ ⊥ = n + n p 0 ⎪⎪t ⊥ = n + n f 0 ⎪
⎪
⎪⎪
⎪
1
2
1
2
ε = 0⎨
⎬⎨
⎬
⎪τ = n2 − n1 f 0⎪⎪t = 2n1 f 0⎪
⎪⎩ C n1 + n2
⎪⎭⎪⎩ C n1 + n2
⎪⎭
ε − ε ' p 90º Siempre este valor será menor de 90º, por lo
que 0 p cos(ε '−ε ) p 1
t⊥
tC =
≥ t⊥
cos(ε − ε ' )
c) ε = ε β → τ C = 0
τ
1
τ⊥
n 2 − n1
n 2 + n1
τC
90º
εβ
− n2 cos ε '
⎧
⎪τ ⊥ = n cos ε ' = 1 ⎧t = 0
⎪
⊥
2
d) ε = 90º → cos ε = 0 → ⎨
⎨
⎪τ = − n1 cos ε ' = −1⎩tC = 0
⎪⎩ C
n1 cos ε '
3
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2.Cuando
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n2 p n1
2n1
n1 − n2
⎧
⎫⎧
⎫
⎪τ ⊥ = n + n f 0 ⎪⎪t ⊥ = n + n f 1⎪
⎪
⎪⎪
⎪
1
2
1
2
a) ε = 0⎨
⎬⎨
⎬
⎪τ = n2 − n1 p 0⎪⎪t = 2n1 f 1⎪
⎪⎩ C n1 + n2
⎪⎭⎪⎩ C n1 + n 2
⎪⎭
b) ε − ε ' p 90º Siempre este valor será menor de 90º, por lo
que 0 p cos(ε − ε ' ) p 1 → t C f t ⊥
c) ε = ε β → τ C = 0
d) Aquí no todos los ángulos tienen refracción. El último
ángulo que tiene refracción es el ángulo límite:
n1 cos ε
⎧
⎪τ ⊥ = n cos ε = 1 ⎧t ⊥ = 2
⎪
⎪
1
ε = ε l → ε ' = 90º → cos 90 = 0 → ⎨
n1
⎨
⎪τ = n2 cos ε = 1⎪t C = 2 n
2
⎪⎩ C n2 cos ε ' ⎩
Los coeficientes de transmisión pueden ser mayores de 1.
t
τ
1
tC
t⊥
τ⊥
τC
90º
εβ
εl
Podemos encontrar gráficas distintas según el criterio de
signos que tome cada autor, lo que si que no cambia es la
del τ .
4. Relación entre intensidades.
Cuando medimos, no medimos campos, medimos las intensidades de los campos. Lo que voy a poner va a ser
la contribución en potencia.
→ 2
⎫
P
1
P = I · A = I · As ·cos ε
⎫ Onda Incidente
Is =
= I ·cos ε = n a cε 0 E 0 cos ε
⎪
As
2
⎪
⎪
P ' ' = I ' '·A' ' = I ' '·As ·cos ε ' '⎬ Onda Reflejada
2
⎪
→
Onda Refractada
P' '
1
⎪
P ' = I '·A' = I '·As ·cos ε ' ⎪⎭
I ' 's =
= I ' '·cos ε ' ' = n a cε 0 E ' ' 0 cos ε ' '⎬
As
2
⎪
Vamos a definir una intensidad en la superficie de
2
⎪
→
P'
1
intercambio y así relaciono las intensidades de las 3 ondas.
I 's =
= I '·cos ε ' = n a cε 0 E ' 0 cos ε ' ⎪
La llamo Is.
As
2
⎪⎭
→
2
E 0 = E 2 0⊥ + E 2 0 C → I = I ⊥ + I C = I s ⊥ + I s C
4
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5. Factores de Reflexión y Transmisión:
REFLEXIÓN
1
'' 2
2
I ' ' s C 2 ncε 0 E 0 C cos ε E 0'' C
RC =
=
=
= τ C2
2
2
1
IsC
ncε 0 E 0 C cos ε E 0 C
2
2
1
2
ncε 0 E 0''⊥ cos ε
E 0''⊥
I ' '⊥ 2
R⊥ =
=
=
= τ ⊥2
2
2
1
I s⊥
ncε 0 E 0⊥ cos ε E 0⊥
2
TRANSMISIÓN
1
' 2
2
I ' s C 2 n2 cε 0 E 0 C cos ε ' n2 cos ε ' E 0' C
n cos ε ' 2
TC =
·
=
=
= 2
tC
2
2
1
IsC
n1 cos ε E 0 C
n1 cos ε
n2 cε 0 E 0 C cos ε
2
2
1
n cε E ' cos ε '
I ' s ⊥ 2 2 0 0⊥
n cos ε ' 2
T⊥ =
=
= 2
t⊥
2
1
I s⊥
n1 cos ε
n2 cε 0 E 0⊥ cos ε
2
Por el principio de Conservación de la Energía se debe cumplir:
I s = I ' s + I ' ' s : Dividiendo por Is queda 1 = T + R
Por lo que T y R tiene que tomar valores comprendidos entre 0 y 1.
Cuando
n2 f n1
R
T
1
1
TC
R⊥
T⊥
RC
90º
90º
εβ
Cuando
εβ
n2 p n1
R
T
1
1
TC
R⊥
T⊥
RC
90º
εβ
εl
90º
εβ
εl
En la representación de la Reflexión vemos que hay un trozo en el que el valor es 1, la componente se refleja.
En la de la Transmisión vemos que es 0.
5
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6. Reflexión Total:
- Ángulo límite es aquél que hace que el ángulo de refracción sea 90º, entonces su seno vale 1.
⎧n1 senε L = n 2 senε ' L
⎪
ε L ⇒ ε ' L = 90º → senε ' L = 1
⎛ n2 ⎞
⎨
⎪n1 senε L = n 2 ·1 ⇒ ε L = arcsen⎜⎜ n ⎟⎟
⎝ 1⎠
⎩
- Cuando consideramos ángulos mayores que el ángulo límite: el seno de ε ' L f 1 y ε ' L sería un número
complejo.
⎤
⎡
⎥
⎢ε f ε L ⇒ sen ε ' = n1 sen ε f 1
n2
⎥
⎢
⎥
⎢
iε '
− iε '
⎥
⎢ sen ε ' = e − e
f1
⎥
⎢
2i
⎥
⎢
2
⎥
⎢
⎛
⎞
n
n
n
2
1
sen 2 ε = − i 1 sen 2 ε − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥
⎢ cos ε ' = 1· sen ε ' = 1 −
n2
n2
⎢⎣
⎝ n1 ⎠ ⎥⎦
τ⊥ =
τC =
n1 cos ε − n 2 cos ε '
=
n1 cos ε + n 2 cos ε '
n
n 2 cos ε + n1i 1
n2
n 2 cos ε − n1i
n1
n2
n
n1 cos ε + n 2 i 1
n2
n1 cos ε − n 2 i
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎛n ⎞
sen 2 ε − ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ n1 ⎠
2
⎛n
sen ε − ⎜⎜ 2
⎝ n1
2
n1
n2
⎛n
sen ε − ⎜⎜ 2
⎝ n1
2
⎛n
sen 2 ε − ⎜⎜ 2
⎝ n1
r = re
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
= ei2β
= e i 2α
Los 2 coeficientes tienen módulo 1.
2
2
⎛
⎛
⎛ n 2 ⎞ ⎞⎟
⎛ n2 ⎞
⎜
⎜
2
2
⎟
⎜
⎜ sen ε − ⎜ n ⎟ ⎟
⎜ sen ε − ⎜⎜ n ⎟⎟
1 ⎠
⎝
⎝ 1⎠
⎟
α = arctg ⎜
β = arctg ⎜
2
⎜
⎟
⎜ ⎛n ⎞
cos ε
⎜
⎟
⎜ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ·cos ε
⎜ ⎝ n1 ⎠
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
Tienen el mismo módulo pero distinta fase.
iθ
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎧ _
⎪ E ' ' = rE 0 = r E 0 e iθ
⇒⎨ 0
⎪⎩ E ' ' 0 = r E 0
De aquí se deduce:
2
·R = r
· Que en Reflexión Total RC = 1 y R⊥ = 1
· Que en Reflexión Total para cada componente se introduce un desfase diferente. Esto significa que tenemos
un estado de polarización:
→→
⎞
⎛
⎧
i ⎜⎜ wt − k r +ϕ C ⎟⎟
⎠
⎝
→
⎪⎪ E0 C e
E=⎨
→→
⎞
⎛
i ⎜⎜ wt − k r +ϕ ⊥ ⎟⎟
⎪
⎠
⎝
6
⎪⎩ E0 ⊥ e
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7. Reflexión y Transmisión en Metales:
7.1 Ecuación de Ampere.
1 1i i
i
Pr opiedad : =
= 2 =
−i
i ii i
−1
→
1 → → ⎛
iσ
−i ∂E
E=
→
∇ xB = ⎜E −
µ0
w
w ∂t
⎝
→
→
→
1 → → _ ∂E
⎞∂E
→
∇xB =ε
⎟
µ0
∂t
⎠ ∂t
_
⎛
⎝
ε = ⎜ε − i
σ⎞
⎟
w⎠
El efecto de la conductividad lo puedo tener en cuenta utilizando una permeabilidad dieléctrica compleja.
En los metales vamos a utilizar una permeabilidad compleja, no real. Esta permeabilidad depende de la
frecuencia de la onda que estamos utilizando.
_
ε
= N º Complejo = partereal + partecompleja
Un metal tiene índice de refracción compleja: n =
ε0
_
Muy pocos conductores son magnéticos.
La inducción compleja también depende de la frecuencia, no tiene índice real, sino complejo.
7.2. Onda Transmitida o Refractada.
→
→
_
→
→_
_
∧ →
_
_→
→
∧ →
_
_∧
→
∧ →
_
_∧
E ' = E0 ' ei ( wt − n k 0 r s ') = E0 ' ei ( wt − n r k 0 s ' r + n i k 0 s r ) = E0 ' ei ( wt − n r k 0 s ' r ) + i ( n i k 0 s r ) = E0 ' ei ( wt − n r k 0 s ' r ) e − n i k 0 s r
Esta onda se atenúa progresivamente hasta desaparecer.
La energía se va perdiendo por efecto Joule en forma de calor.
7.3. Onda Reflejada.
_
_
n1 senε = n sen ε '
⎛n ⎞
_
_
_
1 _
cos ε ' = 1 − sen 2 ε ' = 1 − ⎜ _1 ⎟ sen 2 ε ' = _ n− n12 sen 2 ε
⎜ ⎟
n
⎝n⎠
_
r⊥ =
_
n1 cos ε − n cos ε '
_
_
2
_
_
n1 cos ε + n cos ε '
=
n1 cos ε − n − n12 sen 2ε
_
'
= r ⊥ eiϕ ⊥ Este valor es siempre menor que 1
_2
n1 cos ε + n − n12 sen 2ε
_ 2
R⊥ = r⊥ p 1
_
rC =
_
_
_
_
n cos ε − n1 cos ε '
n cos ε + n1 cos ε '
=
_
2
_
_
2
_2
n cos ε − n1 n 2 − n12 sen 2ε
_
'
= r C eiϕ C Este valor es siempre menor que 1
n cos ε + n1 n − n12 sen 2ε
_ 2
RC = rC p 1
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En reflexión metálica el factor de reflexión en medios metálicos es menor que 1, esto se traduce en que en los
espejos metálicos la reflexión no es perfecta, siempre hay algo de pérdida.
8. Fase introducida en una reflexión.
Para nosotros, los coeficientes de transmisión van a ser siempre reales y positivos, no va a aparecer una nueva
fase en la transmisión en positivos o en negativos, en la reflexión sí.
Si los coeficientes son números reales:
- si r ∈ ℜ → no hay fase añadida, o como mucho π , y ese cambio es importante si se produce cuando r es un
número complejo.
- si r ∉ ℜ → si hay fase añadida o puede haberla.
Como los coeficientes suelen ser distintos para las dos fases, r⊥ ≠ rC y esto significa un cambio en el estado de
polarización.
Para que cambie una elipse debe haber un desfase añadido.
Ocurre en:
- Reflexión Total:
- Las amplitudes no cambian
- Los coeficientes son números complejos de módulo 1.
- Aquí la elipse es la misma pero cambia la caja donde está contenida.
- Reflexión Metálica:
- Las amplitudes si cambian
- Los coeficientes son números complejos de módulo menor que 1.
- Cambia la caja y la elipse.
9. Refracción y Reflexión en un anisótropo. BIRREFRINGENCIA.
Material Isótropo: ocurre en la misma manera para todas las direcciones.
Material Anisótropo: la propagación depende de la dirección del campo eléctrico. Para la luz depende de la
dirección de propagación.
⎛→⎞
⎛→⎞
La relación de constitución que relaciona el vector desplazamiento ⎜ D ⎟ y campo eléctrico ⎜ E ⎟ es un tensor de
⎝ ⎠
⎝ ⎠
dos dimensiones (es decir, está contenido en un plano).
→
⎛→⎞
⎜ D ⎟ = (ε ) E
⎝ ⎠
⎛ ε xxε xy ε xz ⎞
⎜
⎟
resultado dependerá de la dirección que tenga.
(ε ) = ⎜ ε yxε yy ε yz ⎟ -- El
⎜
⎟ Las tres componentes del campo eléctrico influyen en el vector desplazamiento.
⎜ε ε ε ⎟
→
zx
yz
zz
⎞ ⎛→⎞
⎛∧⎞
⎝
⎠ - No existe perpendicularidad entre ⎛ D
⎜ ⎟ y ⎜ E ⎟ , no hay ortogonalidad. La dirección ⎜ ρ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
del vector pointing de la onda va en un sentido pero la energía va en otra. Es como una serpiente, la onda va
hacia delante y se mueve hacia un lado.
⎛ ε x 00 ⎞
- Cualquier tensor se puede diagonizar.
⎜
⎟
(ε ) = ⎜ 0ε y 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 00ε z ⎠
⎛→⎞
- Existe distinta velocidad e índice de refracción dependiendo de la dirección de ⎜ E ⎟ :
⎝ ⎠
→
⎛ ⎞
- 2 rayos u ondas que vayan en la misma dirección pero con campo ⎜ E ⎟ en distinta dirección van a
⎝ ⎠
tener cosas diferentes.
8
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⎛ ⎞
- 2 rayos u ondas que vayan en diferente dirección pero con campos ⎜ E ⎟ en la misma dirección van a
⎝ ⎠
hacer cosas parecidas.
- La dirección se relaciona con una constante dieléctrica:
⎛→⎞
- Esta es la velocidad de las ondas con campo ⎜ E ⎟ en dirección x, y, z, pero la onda va perpendicular a ese
⎝ ⎠
1
1
1
; vz =
; vy =
campo. v x =
→
εx
εy
εz
-Lo que define la dirección de la onda es la dirección del campo. Sus índices son:
εy
εx
εz
nx =
;
; nz =
ny =
ε0
ε0
ε0
10. Medios Uniáxicos.
- En vez de tener 3 valores, tenemos 2 iguales y 1 diferente. Si los tres fueran iguales
⎛ ε 00 ⎞
⎜
⎟ tendríamos un medio isótropo.
(ε ) = ⎜ 0ε 0 ⎟ - El eje que varía es el eje Z, el X y el Y son iguales.
⎜
⎟ - El eje Z es el eje óptico.
⎝ 00ε z ⎠
Las coordenadas no tienen que ver con el eje óptico. Dentro del material hay direcciones privilegiadas para que
el plano de luz no sea igual en todas direcciones.
Siempre hay una dirección privilegiada:
⎛ ε o 00 ⎞
⎟
⎜
ε
ε
Índice extraordinario; ne =
, éste es un material positivo (ε ) = ⎜ 0ε o 0 ⎟
Índice ordinario; no =
εo
εe
⎜ 00ε ⎟
e ⎠
⎝
porque ne f no .
En medios uniáxicos hablamos de:
⎧n e f n o
- material positivo: ⎨
⎩ve p vo
⎧ne p no
- material negativo: ⎨
⎩ve f vo
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• Birrefringencia: es la diferencia entre el índice extraordinario y el ordinario.
∆n = n e − n o
En un material isótropo este valor es 0.
Para que haya birrefringencia el material tiene que se anisótropo.
• Propagación: Principio de Huyggens en anisótropos, dentro de uniáxicos.
- Una onda no ve 2 medios a la vez, o ve el ordinario o el extraordinario.
- A efectos prácticos es como si tuviéramos 2 rayos.
- Tenemos un material anisótropo con un punto que emite, cuando tenemos más puntos hacemos la envolvente.
a) Eje óptico perpendicular al plano de incidencia (plano de la pizarra es la componente perpendicular y tiene el
⎛→⎞
⎜ E ⎟ paralelo al eje óptico.
⎝ ⎠
- Tendremos que estudiar las ondas emisoras por componentes, una para el rayo ordinario y otra para el
extraordinario. La distancia que recorren cada una es: D = vo t y D = ve t .
- La componente perpendicular corresponde con el rayo extraordinario y tiene el campo paralelo al eje óptico y
va con velocidad ve. Esta componente da frentes de onda circulares y se cumple la ley de Snell con ne.
- La componente paralela corresponde con el rayo ordinario, depende de la dirección pero siempre es
perpendicular al eje óptico y va con vo. Esta componente da frentes de onda circulares o esféricos y se cumple
la ley de Snell con no.
- Las dos componentes se van a separar, menos cuando el ángulo de incidencia es 0 no se separan y viajan con
la misma velocidad.
- Cada componente está linealmente polarizada.
⎧n e f n o
- En los materiales positivos la componente paralela va más despacio que la perpendicular porque: ⎨
⎩ve p vo
⎧ne p no
- En los materiales negativos la componente paralela recorre más espacio que la perpendicular: ⎨
⎩ve f vo
b) Eje óptico paralelo al plano de incidencia.
- Rayo ordinario:
- corresponde al perpendicular al eje óptico en cualquier dirección. Viaja perpendicular al eje óptico con
velocidad vo y obtenemos circunferencias.
- ve al eje óptico al menos en alguna dirección.
- El rayo extraordinario:
- en la dirección del e.o. esa elipse que se forma tiene que tocar la circunferencia.
- el rayo va en la dirección de tangencia, no va en la dirección perpendicular al frente de onda.
- no sirve la ley de Snell, aunque esto no significa que no se pueda calcular el ángulo de refracción, sino
que no se aplica Snell para calcularlo, se usan otras fórmulas mucho más complicadas.
- 3 casos en incidencia normal:
- b.1)
⎧ordinario : vo
- las dos componentes no se separan en incidencia normal.
⎨
=
extraordin
ario
:
v
v
e
o
⎩
-b.2)
–
las dos componentes llevan la misma dirección pero distinta velocidad.
⎧ordinario : v o
⎨
En este caso aparece un desfase añadido.
⎩extraordin ario : v e ≠ v o
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Óptica Física. Universidad de Murcia. Curso 05/06
Ginés Cervantes Linares
⎧⎪ E Cd = E 0dC e i ( wt − k0 nC x )
- Dentro de la lámina ocurre aparece un desfase: ⎨
d +ϕ
⎪⎩ E ⊥d = E 0d⊥ e i ( wt − k0 n⊥ x )
d
⎧⎪ ECf = E0fC e i ( wt − k0 x − k0 nC ) → ECf = E0fC e i ( wt − k0 x f )
- Fuera de la lámina: ⎨
d +ϕ
f
f
d
⎪⎩ E⊥f = E0f⊥ e i ( wt − k0 x − k0 n⊥ ) → E⊥f = E0f⊥ e i ( wt − k0 x − k0 (nC − n⊥ ) )
f
d
- b.3) En incidencia normal el rayo extraordinario no sigue en la dirección normal. Uno está polarizado
paralelo al plano de incidencia y otro perpendicular al plano de incidencia.
- vo es la componente perpendicular y viaja perpendicular al eje óptico con velocidad vo.
- La componente paralela:
- cuando la luz viaja paralela al eje óptico el campo es perpendicular al eje óptico.
- cuando la luz viaja perpendicular al eje óptico el campo es paralelo al eje óptico.
- en una dirección intermedia el campo depende del ángulo.
⎧ne f no
- Si el material es positivo: ⎨
El frente de onda elemental es una elipse alineada con el eje óptico.
⎩ve p vo
⎧n e p n o
- Si el material es negativo: ⎨
Si la onda va en dirección del eje óptico las componentes son
⎩ve f vo
perpendiculares al eje óptico.
- Cuando la velocidad en una dirección que no es ni paralela ni perpendicular, depende del ángulo que forma
esa dirección con el eje óptico.
ve vo
vγ =
2
2
vo cos γ + ve2 sen 2 γ
• O: viene de rayo ordinario:
- Tiene el campo eléctrico perpendicular al eje óptico, es decir, no ve el eje óptico
- Para él no hay dirección privilegiada, por eso se llama ordinario.
- Viaja a velocidad vo y siempre da circunferencia.
• E: viene de rayo extraordinario:
- Dependiendo de la dirección del campo eléctrico puede no ser perpendicular al e.o.
- A veces es paralelo.
- Puede dar circunferencias o elipses.
c) Otra dirección de eje óptico (muy difícil)
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