Diagrama de Bloques

Descripción
Diagramas de
bloques
originales
Diagramas de
bloques
equivalentes
8
CONMUTATIVA
PARA LA SUMA
MOVIMIENTO A LA
IZQUIERDA DE UN
PUNTO DE
BIFURCACIÓN
1
DISTRIBUTIVA PAR
LA SUMA
9
MOVIMIENTO A LA
DERECHA DE UN
PUNTO DE
BIFURCACIÓN
2
10
3
4
CONMUTATIVA
PARA LA
MULTIPLICACIÓN
DISTRIBUTIVA
PARA LA
MULTIPLICACIÓN
11
COMPENSACIÓN
DE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
12
COMPENSACIÓN
DE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
BLOQUES EN
PARALELO
5
6
MOVIMIENTO A LA
IZQUIERDA DE UN
PUNTO DE SUMA
LAZO CERRADO A
LAZO ABIERTO
13
7
MOVIMIENTO A LA
DERECHA DE UN
PUNTO DE SUMA
MOVIMIENTO A LA
IZQUIERDA DE UN
PUNTO DE
BIFURCACIÓN
SOBRE UN PUNTO
DE SUMA
Procedimiento para trazar diagrama de bloques.
5. Regresar al paso 4 hasta que la entrada sea
considerada y todas las variables del sistema sean
consideradas.
Un diagrama a bloques es una representación
matemática gráfica del modelo matemático de un sistema.
En muchos casos, estos diagramas nos permiten entender
el comportamiento y conexión del sistema y a su vez, esta
descripción puede ser programada en simuladores que
tienen un ambiente gráfico como lo es el simulink de
Matlab.
6. Después de obtener las ecuaciones se generan
los diagramas a bloques de cada una. Debido al
procedimiento utilizado los bloques quedan prácticamente
para ser conectados a partir del bloque de salida.
Con el objeto de trazar un diagrama de bloques de
un sistema se sugiere seguir los siguientes pasos:
Teniendo el diagrama a bloques en algunos casos es
necesario simplificarlo hasta una sola función de
transferencia. Para esto existen varios procedimientos, uno
de ellos es utilizando las propiedades del álgebra de
bloques y otro, utilizando gráficos de flujo de señal que se
verá mas adelante.
1. Es necesario conocer las ecuaciones diferenciales
que describen el comportamiento dinámico del sistema a
analizar y la salida y entrada consideradas.
2. Se obtiene la transformada de Laplace de estas
ecuaciones, en este caso como el diagrama a bloques son
representaciones de funciones de transferencia, las
condiciones iniciales se consideran cero.
3. De las ecuaciones transformadas se despeja
aquella donde esté involucrada la salida del sistema.
4. De la ecuación obtenida se ubican las variables
que están como entrada y que deben de ser salidas de
otros bloques. Se despejan esas variables de otras
ecuaciones. Recuerda nunca utilizar una ecuación que ya
se utilizó previamente.
Simplificación de un diagrama a Bloques
Una regla general para simplificar un diagrama de
bloques consiste en mover los puntos de bifurcación y los
puntos suma, intercambiar los puntos suma y después
reducir las mallas internas de realimentación. Es importante
que no se altere las señales involucradas en el movimiento
compensando con las funciones necesarias.
Ejemplo: Para el siguiente sistema hidráulico obtenga
la función de transferencia utilizando diagrama a bloques
(considere qin entrada y q 3 salida).
Suponga que: C1 , C2 , C3 , R1 , R2 , R3 =2
Ecuación
Para el tanque 1.
dh
C1 1 = qin − q1
dt
Para el tanque 2.
dh
C 2 2 = q1 − q2
dt
Para el tanque 3.
dh
C3 3 = q2 − q3
dt
h1 − h2
q1
;
R1 =
;
h − h3
R2 = 2
q2
;
R3 =
Transformando para 1.
1
H 1 ( s) =
(Qin ( s) − Q1 (s) )
C1 (s)
Transformando para 2.
1
H 2 ( s) =
(Q1 (s ) − Q2 (s) )
C 2 (s )
Transformando para 3.
1
H 3 ( s) =
(Q2 (s ) − Q3 (s ))
C 3 ( s)
h3
q3
;
q1 =
⇒
h − h3
q2 = 2
R2
Q1 (s) =
1
H 1 ( s) =
(Qin ( s) − Q1 ( s))
C1 (s )
1
Q1 (s) =
1
( H 1 ( s) − H 2 ( s) )
R1
2
H 2 ( s) =
1
(Q1 (s ) − Q2 (s) )
C 2 ( s)
2
Q2 (s) =
1
( H 2 (s ) − H 3 ( s))
R2
3
H 3 (s) =
1
(Q2 (s) − Q3 (s) )
C3 ( s )
h1 − h2
R1
⇒
⇒ q3 =
Diagrama de bloques.
1
h3
R3
1
( H 1 ( s) − H 2 ( s) )
R1
;
1
Q2 (s) =
( H 2 ( s) − H 3 ( s) )
R2
;
Q3 ( s) =
1
( H 3 ( s) )
R3
3
Q3 (s) =
1
(H 3 (s))
R3
Arreglo
Arreglo
Por lo tanto la función de transferencia es:
1
2
2
16 s + 8 s + 1 + 8s 2 + 4 s [8s + 4]
[
] [
]
GRAFICOS DE FLUJO DE SEÑAL.
S.J. MASON.
Es un diagrama que representa un conjunto de
ecuaciones algebraicas lineales simultaneas, donde cada:
•
•
•
Nodo ; Variables del sistema.
Rama
;
multiplicador
ecuación
transformada y transmitancia.
Dirección ; Sentido del flujo.
de
donde: PK : ganancia o transmitancia de trayectoria de
la k-ésima trayectoria directa.
∆
: determinante del grafico:
1 − ∑ La + ∑ LbLc − ∑ LdLeLf + .....
a
b, c
Ejemplo1.
Solución :
Gráfico de flujo de señal:
Fórmula de ganancia de Mason:
1
P = ∑ PK ∆ K
∆ K
d ,e , f ,
∆ K : Cofactor del determinante de la k-ésima
trayectoria directa del grafico, con los lazos que tocan la
trayectoria directa k-ésima eliminados.
Ejemplo Hidráulico.
Entrada: q in
Salida: q 2
Grafico de Señal:
Trayectorias directas: P1 = G1G 2G3
 L1 = G1G 2 H 1

Lazos:  L2 = −G 2 G3 H 2
 L = −G G G
 3
1 2 3
∆ = 1 − ( L1 +L2 + L3 )
∆1 = 1
Solución:
P∆
P= 1
∆
G1G 2G 3
P=
1 − G1G 2 H 1 + G 2 G3 H 2 + G1G 2 G3
P1 =
Lazos :
L1 =
1
C1 (s) R1C 2 (s) R2
Trayectori a Directa .
−1
−1
−1
; L2 =
; L3 =
.
R1C1 (s)
R1C 2 (s )
R2 C 2 (s)
L1 y L3 Adjuntos.
∆1 = 1 ;
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3 ) + L1 L3
1
P∆
R1 R2 C1C 2 (s 2 )
P= 1 1 =
1
1
1
1
∆
1+
+
+
+
R1C1 ( s) R1C 2 ( s) R2 C 2 ( s) R1 R2 C1C 2 (s 2 )
P=
1
R1 R2 C1C 2 ( s ) + (R 2C 2 + R2 C1 + R1C1 )(s) + 1
2
Ejemplo 3.
P1 = G1G 2G3 G4 G5
P2 = G1G6 G4 G5
P3 = G1G2 G7
L1 = −G 4 H 1
L2 = G 2 G 7 H 2
L3 = −G6 G 4G5 H 2
.
∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) + L1 L2
∆ 1 = 1;
∆ 2 = 1;
∆ 3 = 1 − L1
Grafico de flujo de señal.
P=
G1G 2G 3G4 G5 + G1G6 G4 G5 + G1G 2 G7 (1 + G4 H 1 )
.
1 + G 4 H 1 + G 2 G7 H 2 + G6 G 4G5 H 2 + G2 G 4G 7 H 1 H 2
;