CUADRO COMPARATIVO DE LOS METODOS

CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS
MÉTODO DE BISECCION
Es el método más elemental y antiguo
para determinar las raíces de una
ecuación. Está basado directamente
en el teorema de Bolzano. Consiste en
partir de un intervalo [x0,x1]tal que
f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que
existe, al menos, una raíz real. A partir
de este punto se va reduciendo el
intervalo sucesivamente hasta hacerlo
tan pequeño como exija la precisión
que hayamos decidido emplear. El
método de bisección es menos
eficiente que el método de Newton,
pero es mucho más seguro asegurar la
convergencia.
Si f es una función continua en el
intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces
este método converge a la raíz de f. De
hecho, una cota del error absoluto es:
MÉTODO REGLA FALSA
Se trata de encontrar la raíz de una
ecuación. La ecuación tiene la forma
f(x), es decir, es una función de x.
Además, f(x) está definida en el
intervalo [a, b].
El método de la interpolación lineal
inversa, requiere varias condiciones:
1.- f(a)*f(b) < 0
Es decir, que el producto de la
función de x, f(x), evaluada en a, f(a),
multiplicada por la función de x, f(x),
evaluada en b, f(b), sea negativo
(menor a cero).
2.- Que la función f(x) se aproxime
por otra función L(x).
f(x) es aproximadamente igual a L(x)
Por tanto encontramos un punto falso
c
Donde C es la raíz que se anda
buscando Después se calcula f(C)
para ver su valor. Si se obtiene cero,
no se debe avanzar más, pero gen caso
de no ser así, se realiza lo siguiente:
En la n ésima iteración. La bisección
converge linealmente, por lo cual es un
poco lento. Sin embargo, se garantiza
la convergencia si f(a) y f(b) tienen
distinto signo.
Se calcula f(C)*f(a) si este producto
es menor a cero (negativo), entonces
ahora C equivaldrá a b, y se repite el
cálculo para encontrar una nueva C.
MÉTODO DE NEWTON -RAPHSON
MÉTODO ITERATIVO DE PUNTO FIJO
El método de Newton es un algoritmo
eficiente para encontrar aproximaciones
de los ceros o raíces de una función real.
También puede ser usado para encontrar
el máximo o mínimo de una función,
encontrando los ceros de su primera
derivada. Este método parte de una
aproximación inicial x0 y obtiene una
aproximación mejor, x1, dada por la
fórmula:
El método del punto fijo es un
método iterativo que permite
resolver sistemas de ecuaciones no
necesariamente
lineales.
En
particular se puede utilizar para
determinar raíces de una función de
la forma f(x) siempre y cuando se
cumplan
los
criterios
de
convergencia.
La expresión anterior puede derivarse a
partir de un desarrollo en serie de
Taylor. Efectivamente, sea r un cero de
f y sea x una aproximación a r tal que
r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el
teorema de Taylor tenemos:
En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es
decir hes pequeña), es razonable ignorar
el término O(h2):
0 = f(x) + hf'(x)
(3)
Por lo que obtenemos la siguiente
expresión para h:
A partir de la ecuación y teniendo en
cuenta que r=x+h es fácil derivar la
primera ecuación.
Consiste en obtener una raíz o
solución, de una ecuación de la
forma f(x) = 0, la misma que se
debe transformar es una ecuación
equivalente de punto fijo g(x), de
tal forma que al reordenar la
ecuación f(x) = 0, “x” se ubique al
lado izquierdo de la ecuación de
manera que se defina: x= g(x).