UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE ENERGÍA MECÁNICA DE FLUIDOS II “FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCIÓN VARIABLE” ING. HUAMAN ALFARO JUAN CARLOS CALLAO - 2020 CICLO 2020-B FLUJO COMPRESIBLE El flujo compresible es aquel en el cual la densidad varía ante cualquier variación de la presión o temperatura. Los gases o fluidos compresibles tienen una gran capacidad elástica porque sus espacios intermoleculares son “grandes” esto le permite modificar su volumen ante cualquier cambio de la fuerza que actúa sobre ellos. Para analizar a los flujos compresibles contamos con el número de Mach (M): M V C donde: V : velocidad relativa del fluido C: velocidad del sonido (gases) C KRT M<1 M=1 M1 M>1 M>2 Flujo Subsónico Flujo Sónico Flujo Transónico Flujo Supersónico Flujo Hipersónico Csólido > Clíquido > Cgas Recordando: u Cv T h Cp T K Cp 1 Cv R Cp Cv PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PROCESO ISOCORO: (V=cte) PROCESO ISOBÁRICO (P=cte) PROCESO ISOTÉRMICO: (T=cte) Para gases ideales: u Cv T K h Cp T Cp 1 Cv R Cv ( K 1) R Cp Cp K R Cp Cv Cv R R ( K 1) Cp (K - 1) K Cp R K R K -1 donde: T: temperatura absoluta R: constante particular del gas Ru M Ru: constante universal de los gases Para el aire: K = 1.4 Cp = 6010 pie 2 Cv = 4293 pie 2 R = 1717 pie 2 C = 49 2 = 1005.03 m º K . s2 º R . s2 = 716.5 º R . s2 J J º R .s = 287 2 T (º R) pies s = 20.04 Kg . º K Kg . º K T (º K) m s Para gases: Monoatómicos: Diatómicos: 5 3 ; K 7 5 ; Cp 4 Poliatómicos: Ru = 1.986 K Kcal Ru M = 49720 Kmol . º K En un flujo isoentrópico: Ru M Ru Cp 3.5 M Cp 2.5 T2 P2 T1 P1 K 1 K pie 2 2 1 º R .s 2 También: s s s2 s1 q T T P s2 s1 Cp Ln 2 R Ln 2 T1 P1 La transmisión de calor para un FEES: KJ Kmol . º K K 1 El cambio de entropía para procesos reversibles: Si el proceso es irreversible: = 8.3143 q h2 h1 1 2 dq T ) REV 7.2 FLUJO ISOENTRÓPICO Es aquel que cumple la condición de ser adiabático y además siempre esta asociado a procesos reversibles (interna y externamente). 7.2.1 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO Propiedades de remanso o propiedad del punto singular. Son las propiedades que obtendría el fluido si se le llevara a una condición cero, con una elevación cero en un proceso reversible sin transferencia de calor ni realización de trabajo. P0 T0 0 h0 presión de estancamiento temperatura de estancamiento densidad de estancamiento entalpía especifica de estancamiento NOTA * El punto de estancamiento es el lugar geométrico que ocupan todas aquellas partículas que carecen de energía cinética. * Todas las propiedades de estancamiento siempre permanecen constante en un flujo isoentrópico. a. TEMPERATURA DE ESTANCAMIENTO (T0) Es la temperatura que alcanza una partícula fluida cuando es frenada adiabáticamente. Todo instrumento mide temperatura de estancamiento. Punto de estancamiento 1 . 2 . Partícula Sabemos que por la primera ley de la termodinámica: V22 V12 g ( Z 2 Z1 ) 1 q2 1w2 h2 h1 2 2 V12 h2 h1 2 h Cp T pero: V12 Cp T2 Cp T1 2 V12 T0 T1 2 Cp (7.1) Para cualquier punto: T0 T V2 2 Cp (7.2) b. PRESIÓN DE ESTANCAMIENTO (P0) Es la presión que alcanza la partícula cuando es frenada isoentrópicamente. Por Bernoulli: P1 V12 P2 V22 Z1 Z 2 2g 2g Punto de estancamiento 1 . para cualquier punto : 2 . Partícula V12 2g P2 P1 V12 P2 P1 2 P0 P V2 2 (7.3) (7.4) 7.2.2 RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO Y LAS PROPIEDADES ESTÁTICAS a) Relación entre T0 y T Recordamos: T0 V ( K 1) V2 1 T0 T 1 T 2TK R T T 2 Cp T T0 V 2 ( K 1) tenemos que : T 1 2 C2 2 entonces: P0 T0 P1 T1 M V C (7.5) y P K P0 T0 K 1 P T P0 ( K 1) M 1 P 2 2 entonces: pero: T0 ( K 1) M 2 1 T 2 b) Relación entre P0 Recordamos: K K 1 como: C K R T K K 1 (7.6) c) Relación entre 0 y Recordamos: 1 T2 2 T1 1 K 1 T0 K 1 0 T entonces : 0 ( K 1) M 1 2 2 1 K 1 7.2.3 CONDICIÓN CRÍTICA Es aquella que se alcanza cuando el fluido es sónico y la sección o región donde ello ocurre se denomina sección critica y se designa como A*, y todas las propiedades que existen en dicha región son propiedades criticas: P*, T*, h*, V*, *. 7.2.3.1 RELACIONES CRÍTICAS Relación entre T0 y T* Sabemos : T0 ( K 1) T* 2 T0 ( K 1) M 2 1 T 2 como : T* 2 T0 ( K 1) M=1 entonces: (7.8) K P * 2 K 1 P0 K 1 Relación entre P0 y P*: 1 Relación entre 0 y *: Para el aire : T* 0.833 T0 (7.9) * 2 K 1 0 K 1 (7.10) K = 1.4 P* 0.528 P0 * 0.63394 0 (7.11) DUCTOS DE SECCIÓN VARIABLE TOBERAS Se denomina así a los dispositivos o ductos de cortos de sección variable que transforma la energía entálpica en energía cinética. Todos los procesos de expansión están asociados a este dispositivo existiendo toberas subsónicas y supersónicas e inclusive la sónica. NOTA El máximo numero de Mach que se puede obtener a la salida de una tobera subsónica es 1, jamás un valor superior a este. Cuando el Mach a la salida de la tobera es igual a 1, se dice que la tobera esta bloqueada, chocada, ahogada o estrangulada. DIFUSOR Dispositivo o ducto corto de sección variable que transforma la energía entálpica en energía de presión. Es decir todos los procesos de compresión están asociados a este dispositivo existiendo difusores subsónicos y supersónicos. NOTA La geometría del dispositivo no determina el nombre. El nombre lo determina el tipo de régimen con el cual ingresa el flujo al dispositivo. DUCTO CONVERGENTE – DIVERGENTE Es un dispositivo que permite solamente acelerar el flujo, es el caso de un tubo de venturi; en la sección mínima nunca se alcanza el estado sónico. TOBERA CONVERGENTE – DIVERGENTE Es un dispositivo de sección variable que permite obtener a la salida una condición supersónica del flujo, si al ingreso el flujo es subsónico en la sección mínima siempre se alcanzara el estado sónico. 7.3.5 RELACIÓN ENTRE A* Y A: 0 también: M 1 0 V1 C M* V* C 1V1A1 = *V*A* m1 m* Sabemos que: M1 1 V1 K R T1 V* K R T* V1 M K R T1 V* K R T * además: A1 *V* A* 1 V1 ; * T * 0 yT0 1 K 1 1 T1 0 T0 1 1 T * K 1 Reemplazando: A1 T0 1 T * 2 T * 1 A* M T T 1 1 1 T1 K 1 T 0 K 1 entonces: A1 1 2 ( K 1) M12 2 ( K 1) A * M1 K 1 A1 M 2 2 ( K 1) M A2 M 1 2 ( K 1) M 2 2 2 1 K 1 2 ( K 1) K 1 2 ( K 1) 1 M1 1 K 1 7.3.6 RELACIONES DEL FLUJO MÁSICO Y BLOQUEO: 0 Sabemos: m .V . A P Para gases ideales: RT Luego: 0 m y V M.C M KRT K P. A.M R T (a) Si sustituimos: K 1 p p 0 1 y M 2 2 K K 1 K 1 2 T T0 1 M 2 1 Remplazando en (a): ( K 1) PA K 1 2 2( K 1) m K ( 0 ) M 1 M 2 RT0 0 (b) Si M=1 y A = A* la ecuación (b) se transforma: 0 m max P0 A * 2 K RT0 K 1 K 1 2 ( K 1) (7.13) Por lo tanto el fenómeno de bloqueo ocurre en el flujo compresible en un conducto, cuando el M local llega a 1 en el área mínima del conducto; cuando éste ocurre no se puede aumentar el flujo másico a través del conducto, a menos que la relación de la presión de estancamiento entre la raíz cuadrada de To se aumente. 7.4 FLUJO EN UNA TOBERA CONVERGENTE La figura muestra una tobera convergente que extrae gas desde un tanque grande hacia una región de presión variable; supondremos que la presión y la temperatura en el tanque son constantes. La presión en la región de salida (contrapresión) se puede vaciar por medio de una válvula de control que conecta esta región con una bomba de vacío aguas abajo. También supondremos que no existe fricción en las paredes ni transferencia de calor o trabajo. Haciendo ciertas observaciones preliminares al flujo en la tobera: a) Como la tobera es convergente, el flujo no puede pasar a través de M = 1. b) El flujo a la entrada de la tobera evidentemente es subsónico ( M 0 ), luego en toda ella lo será también, con la posible excepción a la salida. c) El flujo no puede ser supersónico en la tobera, por lo que no pueden existir ondas de choque, luego el flujo será isoenergético e isoentrópico en toda la tobera. d) Las propiedades de remanso son constantes e iguales a las propiedades del gas en el tanque. e) El Mmax posible es 1, ocurriendo solamente en la salida (área mínima). Nota: Flujo isoentrópico e isoenergético; cuando el flujo es isoentrópico sin trabajo. f) Hay un flujo másico máximo que puede ocurrir; se determina por los valores de K y R del gas, de las propiedades de estancamiento en el tanque y el área de salida, el máximo ocurre cuando el M es 1 en la salida de la tobera. En la figura se muestran estos cambios de las propiedades a través de la tobera: • Las curvas y puntos “a” corresponden a la válvula de control cerrada; no hay flujo. La presión en todo lugar es la del tanque y el M = 0. • Caso “b” pequeña abertura de la válvula, la contrapresión es menor que la presión suministrada y existe flujo. • El gas se acelera del tanque hacia la salida de la tobera y la presión decrece. La P min y Mmax ocurren en la salida. La presión en la salida de la tobera es igual a la contrapresión. Si PB/Po se conoce: Psal PB y M sal f ( Psal ) P0 • • • P0 P0 El M a la salida se puede determinar. Caso ”c” similar a “b”, pero a una abertura mayor de la válvula, con una contrapresión menor, mayor y M. El Mmax ocurre a la salida de la tobera y es menor que 1. Caso “d”, la válvula se ha abierto lo suficiente para llevar a M =1, con una p = p* y también igual a la contrapresión. • Caso “e” se abre la válvula mas que el caso “d”; se nota que no hay cambios en la tobera, se alcanza el limite de la capacidad de la tobera, el M no puede exceder de 1 a la salida y la Psalida no puede caer por debajo de la crítica, y el no puede exceder el valor de bloqueo. El fenómeno de bloqueo ocurre cuando M local llega a 1 en el área mínima del conducto, no se puede aumentar el . 0 La única deferencia entre “d” y ”e” es que m la contrapresión y la presión de salida ya no son iguales. El flujo después de salir de la tobera se debe ajustar al valor de la contrapresión que es menor. El flujo corriente abajo es multidimensional, por lo que la curva de presión se muestra como una línea ondulada. Abrir mas la válvula con una mayor disminución de la contrapresión no cambia el flujo. En una tobera simple, existen dos regímenes de flujo: flujo no bloqueado y flujo bloqueado; esto depende de los valores relativos de la contrapresión y la P crítica. • • Si PB/P0 > P*/P0 Si PB/P0 P*/P0 El flujo esta no bloqueado. El flujo esta bloqueado. El flujo a través de la tobera puede dividirse en dos regímenes: 1. En el régimen I: PB/P0 P*/P0 , el flujo en la garganta es Isoentrópico, Pe = PB. 2. En el régimen II:PB/P0 < P*/P0, el flujo en la garganta es Isoentrópico, pero ocurre una expansión no isoentrópica en el flujo que abandona la tobera, P e = P* > PB. En el régimen II de flujo se muestra en el diagrama T – s. 7.5 FLUJO EN UNA TOBERA CONVERGENTE – DIVERGENTE La figura muestra una tobera convergente-divergente que empuja un gas desde un tanque grande a P y T constantes hacia una región de salida de presión variable. La contrapresión se puede variar abriendo o cerrando la válvula. También se supondrá que no existe fricción en la pared, ni flujo de calor ni de trabajo. Las observaciones preliminares son: a) Como la tobera convergente - divergente, el flujo puede pasar a través de un M = 1; el flujo puede ser subsónico. b) Si M1 = 1, en todos lados, debe serlo también en la garganta. c) En la porción divergente podría existir el flujo supersónico y en consecuencia podría haber ondas de choque en el flujo. Si éstas existen, el flujo no es completamente isoentrópico aunque si isoenergético. d) Si no hay ondas de choque, el flujo es isoentrópico. Si las hay, el flujo del tanque hasta la primera onda es isoentrópico. El flujo corriente abajo de una onda de choque también es isoentrópico pero con valores diferentes de entropía, P0 y área critica. e) El M máximo posible que puede ocurrir en cualquier lado del conducto corresponde a la aceleración del fluido en un proceso isoentrópico del tanque a la salida de la tobera. El Mmax posible sólo puede ocurrir en la salida y se determina con la relación de A salida con el Agarganta. f) El flujo máximo posible en la tobera esta determinado por las corrientes del gas, las propiedades del gas en el tanque y el área mínima, la cual se presenta en la garganta. Las curvas de comportamiento las vemos en la siguiente figura: 1. Para el caso “a”, la válvula está completamente cerrada; no hay flujo, la presión es uniforme y el M = 0. 2. Para el caso “b”, la válvula está ligeramente abierta; en la parte convergente el gas se acelera y la presión decrece. 3. Caso “c”, la válvula abierta ligeramente mayor que “b” con flujo másico mayor. Las P P casi simétricas distribuciones de presión y M siguen siendo con respecto a la garganta. (M sal ) B P0 P0 El Mmax ocurre en la garganta. 1 4. Caso “d”, la válvula esta abierta para llevar el M en la garganta a 1 donde el flujo sigue siendo subsónico en todos lados excepto en la garganta. El flujo es isoentrópico, pero ahora: Pt = P* y At = A* El flujo másico ha alcanzado su valor máximo posible y se ha bloqueado. Corriente abajo de la garganta la presión aumenta, originando que la contrapresión a la cual la tobera convergente-divergente se bloquea es mayor que P*/P0. La relación de presiones que origina que el bloqueo ocurra en primera instancia en la tobera se denomina primera relación de presión crítica (rpc1) y se calcula: (1) A rpc1 P A ( sal , M 1) P0 A * A t es decir, encontrando la relación de presión correspondiente al valor subsónico de A/A*. Si la válvula se abre más, como la garganta esta bloqueada el no se puede aumentar y las condiciones corriente debajo de ella no se pueden afectar. 5. Caso “e”, representa el flujo para una abertura ligeramente mayor que “d”. En la porción convergente el flujo se acelera, alcanza la velocidad sónica en la garganta y se acelera a una velocidad supersónica corriente debajo de la garganta. La aceleración supersónica termina en una onda de choque, luego corriente debajo de esta onda el flujo experimenta una desaceleración subsónica y sale del conducto con un Msal <1. La presión de salida y contrapresión son iguales. El m e es el mismo que el md. 6. Caso “f”, al abrir la válvula y disminuir la contrapresión provoca que la onda de choque se mueva corriente abajo, el flujo no se ve afectado al disminuir la contrapresión. A medida que la válvula se abre cada vez más, se lleva la onda de choque hasta la salida de la tobera. El flujo se acelera isoentrópicamente desde el tanque hasta la salida. El gas sale de la tobera supersónicamente con un Msal correspondiente a la relación de áreas de la salida con la de garganta. La Ps se determina solamente por la presión de remanso (P01) y el Msal y es diferente de la contrapresión. El flujo se acelera isoentrópicamente por todo el camino, desde el tanque hasta la onda de choque a la salida. 7. Caso “g”, exactamente a la salida, la presión salta hasta la contrapresión conforme el fluido sale a través de la onda; en éste la presión de salida duplica su valor. 8. Caso “h”, al disminuir más la contrapresión causa que la onda de choque salga de la tobera y se convierta en multidimensional (tri). 9. Caso “i”, la presión de salida alcanza la contrapresión, no hay ajuste de presión en el gas que sale. 10. Caso “j”, se alcanza al disminuir más la presión, lo que requiere ajustes de presión externos de expansión, pero no afecta al flujo. En resumen en una tobera convergente-divergente hay 4 regímenes de flujo: • RÉGIMEN VENTURI (casos a - d) .- El flujo en todos lados es subsónico e isoentrópico, acelerándose en la porción convergente y se desacelera en la divergente. El Mmax y Pmin ocurren en la garganta. • RÉGIMEN DE CHOQUE (casos d - g) .- En la porción convergente el flujo es subsónico, sónico en la garganta y parcialmente supersónico en la parte divergente. La aceleración termina en una onda de choque que se mantienen la parte divergente en un sitio determinado por el valor exacto de la contrapresión. El flujo experimenta una desaceleración subsónica desde la onda de choque hasta la salida. El flujo está bloqueado. • RÉGIMEN SOBREEXPANDIDO (caso g - i) .- Por la tobera el flujo se acelera, en la garganta es sónico y a la salida supersónico; la presión aumenta hasta la contrapresión corriente debajo de la salida de la tobera. • RÉGIMEN SUBEXPANDIDO (caso i - j) .- Similar al sobreexpandido, con excepción de que los ajustes de presión externos son expansivos en lugar de compresivos. Las relaciones de presión crítica, están limitadas por las fronteras d, g y i y se calculan por: rpc1 rpc2 = Donde: P2 P (M sal ) x (M sal )......( 2) cuando hay onda de choque en la salida. P1 P0 P2 (M) P1 es función de la relación de presiones estáticas de la onda de choque, entonces: Msal = M(A/A* = Asal/At). rpc3 = A P A ( sal , M 1) P0 A * A t A P A ( sal , M 1)......( 3) P0 A * A t