www.elsolucionario.net 56 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA z 2.7 B 2m O 2 Vectores de posición En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se mostrará que este vector es importante al formular un vector de fuerza cartesiano dirigido entre dos puntos cualesquiera en el espacio. y 4m Coordenadas x, y, z. A lo largo de este libro usaremos un siste- 2m ma coordenado derecho para hacer referencia a la localización de puntos en el espacio. También usaremos la convención seguida en muchos libros técnicos, la cual exige que el eje z positivo esté dirigido hacia arriba (dirección cenital) de forma que mida la altura de un objeto o la altitud de un punto. Por tanto, los ejes x, y se encuentran en el plano horizontal, figura 2-34. Los puntos en el espacio se localizan con relación al origen de coordenadas, O, por mediciones sucesivas a lo largo de los ejes x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas del punto A se obtienen comenzando en O y midiendo xA 4 m a lo largo del eje x, luego yA 2 m a lo largo del eje y, y finalmente zA 6 m a lo largo del eje z. Así, A(4 m, 2 m, 6 m). De la misma manera, mediciones a lo largo de los ejes x, y, z desde O hasta B generan las coordenadas de B, es decir, B(6 m, 1 m, 4 m). 6m 1m x A Fig. 2-34 Vector de posición. Un vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto. Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P(x, y, z), figura 2-35a, entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como r xi yj zk Observe cómo la suma vectorial de cabeza a cola de las tres componentes genera el vector r, figura 2-35b. A partir del origen O, se “recorre” x en la dirección i, luego y en la dirección j y finalmente z en la dirección k para llegar al punto P(x, y, z). z www.elsolucionario.net 4m z zk P(x, y, z) r r yj O y xi xi x x (a) P(x, y, z) zk O y yj (b) Fig. 2-35 C02 EST_H BBELER.indd 5 11/19/09 2:4 :41 AM www.elsolucionario.net 57 2.7 VECTORES DE POSICIÓN En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio, figura 2-36a. Este vector también está designado por el símbolo r. A manera de convención, algunas veces nos referiremos a este vector con dos subíndices para indicar desde dónde y hasta qué punto está dirigido. Así, r también puede designarse como rAB. Además observe que rA y rB, en la figura 2-36a están referenciados con sólo un subíndice puesto que se extienden desde el origen de coordenadas. A partir de la figura 2-36a, por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del triángulo, se requiere que 2 B(xB, yB, zB) r rB A(xA, yA, zA) rA Al despejar r y expresar rA y rB en forma vectorial cartesiana se obtiene r r" r! (X"i Y" j Z"k) (X!i Y! j y x (a) Z!k) o bien r (X" X!)i (Y" Y!)j (Z" Z!)k (2-11) Así, las componentes i, j, k del vector de posición r pueden formarse al tomar las coordenadas de la cola del vector A(xA, yA, zA) para después restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabeza. B(xB, yB, zB). También podemos formar estas componentes directamente, figura 2-36b, al comenzar en A y recorrer una distancia de (xB xA) a lo largo del eje x positivo (i), después (yB yA) a lo largo del eje y positivo (j) y finalmente (zB zA) a lo largo del eje z positivo (k) para obtener B. z B r (xB xA)i u r (zB zA)k A (yB yA)j A x www.elsolucionario.net rA r rB z y (b) Fig. 2-36 B Si se establece un sistema de coordenadas x, y, z, entonces se pueden determinar las coordenadas de los puntos A y B. A partir de esta posición se puede formular el vector r que actúa a lo largo del cable. Su magnitud representa la longitud del cable, y su vector unitario, u r>r, proporciona la dirección definida por , , . C02 EST_H BBELER.indd 57 11/19/09 2:4 :41 AM www.elsolucionario.net 58 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.12 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como se muestra en la figura 2-37a. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B. 2 z B 2m SOLUCIÓN 3m 2m 3m r [ 2m A1m (a) z 3i B {6 k} y r x 1 m]i 2j [2 m 0] j [3 m ( 3 m)]k 6k m Estas componentes de r también se pueden determinar directamente si se observa que representan la dirección y la distancia que debe recorrerse a lo largo de cada eje a fin de llegar desde A hasta B, es decir, a lo largo del eje x {3i} m, a lo largo del eje y {2j} m y finalmente a lo largo del eje z {6k} m. Por lo tanto, la longitud de la banda de caucho es {2 j} m {3 i} m R ( 3 m)2 A (2 m)2 (6 m)2 7 m Resp. (b) Al formular un vector unitario en la dirección de r, obtenemos B u z¿ r R 3 i 7 2 j 7 6 k 7 r7m g 31.0 Las componentes de este vector unitario dan los ángulos directores coordenados b 73.4 a 115 y¿ A x¿ 3 3 115° 7 Resp. 2 cos 1 2 3 73.4° 7 Resp. 6 cos 1 2 3 31.0° 7 Resp. cos 1 2 (c) Fig. 2-37 www.elsolucionario.net x y Primero establecemos un vector de posición desde A hasta B, figura 2-37b. De acuerdo con la ecuación 2-11, las coordenadas de la cola A(1 m, 0, 3 m) se restan de las coordenadas de la cabeza B(2 m, 2 m, 3 m), de donde se obtiene estos ángulos se miden desde los ejes positivos de un sistema de coordenadas localizado en la cola de r, como se muestra en la figura 2-37c. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 58 11/19/09 2:4 :4 AM www.elsolucionario.net 59 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA z 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea F r Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos a través de los cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muestra en la figura 2-38, donde la fuerza F está dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza tiene la misma dirección y sentido que el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector unitario u r>r. Por lo tanto, Aunque hemos representado F simbólicamente en la figura 2-38, observe que tiene unidades de fuerza, a diferencia de r, que tiene unidades de longitud. u r F La fuerza F que actúa a lo largo de la cadena puede ser representada como un vector cartesiano si se establecen primero los ejes x, y, z y se forma un vector de posición r a lo largo de la longitud de la cadena. Después se puede determinar el vector unitario correspondiente u r>r que define la dirección tanto de la cadena como de la fuerza. Finalmente, la magnitud de la fuerza se combina con su dirección. F Fu. 2 u A y x Fig. 2-38 www.elsolucionario.net (X" X!)i (Y" Y!)j (Z" Z!)k r F &u & 2 3 & 2 3 R (X" X!)2 (Y" Y!)2 (Z" Z!)2 B Puntos importantes • Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto. • La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición consiste en determinar la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, desde la cola hasta la cabeza del vector. • Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por la magnitud de la fuerza, es decir, F Fu F(r>r). C02 EST_H BBELER.indd 59 11/19/09 2:4 :4 AM www.elsolucionario.net 60 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.13 z 2 El hombre que se muestra en la figura 2-39a jala la cuerda con una fuerza de 70 lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A como un vector cartesiano y determine su dirección. A SOLUCIÓN 30 pies 8 pies 6 pies B y r {12i 8j 24k} pies 12 pies La magnitud de r, que representa la longitud de la cuerda AB, es x R (12 pies) 2 (a) A y¿ u b F 70 lb a x¿ ( 24 pies) 2 28 pies Para formar el vector unitario que define la dirección y el sentido de r y F tenemos z¿ g ( 8 pies) 2 r 12 i R 28 8 j 28 24 k 28 Como F tiene una magnitud de 70 lb y una dirección especificada por u, entonces u r F &u 70 lb2 12 i 28 8 j 28 24 k3 28 B 30i (b) Fig. 2-39 20j 60k lb Resp. www.elsolucionario.net En la figura 2-39b se muestra la fuerza F. La dirección de este vector, u, está determinada a partir del vector de posición r, el cual se extiende desde A hasta B. En vez de usar estas coordenadas de los extremos de la cuerda, r también puede obtenerse directamente al observar en la figura 2-39a que se debe recorrer desde A{24k} pies, luego {8j} pies y finalmente {12i} pies para llegar a B. Así, Los ángulos directores coordenados están medidos entre r (o F) y los ejes positivos de un sistema coordenado con origen en A, figura 2-39b. A partir de las componentes del vector unitario: cos 1 2 12 3 64.6° 28 Resp. cos 1 2 8 3 107° 28 Resp. 24 3 149° 28 Resp. cos 1 2 estos resultados tienen sentido si se les compara con los ángulos identificados en la figura 2-39b. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 0 11/19/09 2:4 :47 AM www.elsolucionario.net 61 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA EJEMPLO 2.14 La fuerza que se muestra en la figura 2-40a actúa sobre el gancho. Exprésela como un vector cartesiano. z z FB 750 N 2m B 5 ( 3 )(5 m) 5 5m 2m uB B(–2 m, 3.464 m, 3 m) rB 3 4 A 2 30° A(2 m, 0 , 2 m) FB ( 4 )(5 m) y y x (b) (a) Fig. 2-40 SOLUCIÓN Como se muestra en la figura 2-40b, las coordenadas para los puntos A y B son A(2 m, 0, 2 m) y 4 4 3 "4 2 3 5 sen 30° m, 2 3 5 cos 30° m, 2 3 5 m 5 5 5 5 o bien B(2 m, 3.464 m, 3 m) www.elsolucionario.net 5 x Por lo tanto, para ir desde A hasta B, deben recorrerse {4i} m, después {3.464j} m y finalmente {1k} m. Así, u" 2 4i r" 3 R" ( 4 m)2 0.7428i 3.464j 1k m (3.464 m)2 0.6433j (1 m)2 0.1857k La fuerza FB expresada como un vector cartesiano se convierte en F" FB u" (750 N)( 0.74281i 557i C02 EST_H BBELER.indd 1 482j 0.6433j 139k N 0.1857k) Resp. 11/19/09 2:4 :50 AM www.elsolucionario.net 62 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.15 El techo está sostenido por cables como se muestra en la fotografía. Si los cables ejercen fuerzas FAB 100 N y FAC 120 N sobre el gancho de pared en A como se muestra en la figura 2-41a, determine la fuerza resultante que actúa en A. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 2 En la figura 2-41b se muestra gráficamente la fuerza resultante FR. Podemos expresar esta fuerza como un vector cartesiano si formulamos FAB y FAC como vectores cartesianos y sumamos luego sus componentes. Las direcciones de FAB y FAC se especifican al formar vectores unitarios uAB y uAC a lo largo de los cables. Esos vectores unitarios se obtienen a partir de los vectores de posición asociados rAB y rAC. Con referencia a la figura 2-41a, para ir desde A hasta B debemos recorrer {4k} m, y después {4i} m. Por consiguiente, z A FAB 100 N r!" 4i FAC 120 N 4m 4k m R!" (4 m)2 y r!" 4 3 (100 N) 2 i R!" 5.66 F!" F!" 2 4m B F!" 70.7i C ( 4 m)2 5.66 m 4 k3 5.66 70.7k N 2m x Para ir desde A hasta C, debemos recorrer {4k} m, luego {2j} m y finalmente {4j}. Por lo tanto, (a) z r!# 4i A FAB FAC 2j 4k m R!# (4 m)2 (2 m)2 F!# F!# 2 rAC rAB 80i ( 4 m)2 6 m r!# 4 3 (120 N) 2 i R!# 6 40j 2 j 6 www.elsolucionario.net SOLUCIÓN 4 k3 6 80k N y FR Por lo tanto, la fuerza resultante es B C F2 F!" F!# 70.7i 70.7k N 80i 40j 80k N x (b) 151i 40j 151k N Resp. Fig. 2-41 C02 EST_H BBELER.indd 2 11/19/09 2:4 :52 AM www.elsolucionario.net 63 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA PROBLEMAS FUNDAMENTALES F2-19. Exprese el vector de posición rAB en forma de vector cartesiano, después determine su magnitud y sus ángulos directores coordenados. F2-22. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. 2 z z B A F 900 N 3m rAB 2m 4m 3m 2m y 7m 4m x A 2m F2-22 x F2-19 F2-20. Determine la longitud de la varilla y el vector de posición dirigido desde A hasta B. ¿Cuál es el ángulo u? F2-23. Determine la magnitud de la fuerza resultante en A. z z A FB 840 N 2 pies 6m B FC 420 N 3m 4 pies u B 2m O 3m x 4 pies y 2m C A x y www.elsolucionario.net 3m B y F2-23 F2-20 F2-21. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. F2-24. Determine la fuerza resultante en A. z z 2m 2 pies A A 2m FC 490 lb C FB 600 lb 4 pies 6 pies x 4m 3m F 630 N 4m y 3 pies B x 4 pies 2 pies B y F2-21 C02 EST_H BBELER.indd 4 pies F2-24 11/19/09 2:4 :54 AM www.elsolucionario.net 64 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS 2 2-86. Determine el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la cuerda AB. Considere z 4 m. •2-89. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. 2-87. Si la cuerda AB tiene 7.5 m de longitud, determine la posición coordenada z del punto B. z 4 pies A 6m 3m B 3 pies B z FB 600 lb FC 750 lb 2.5 pies A y 3 pies 4 pies 2m C x x 2 pies y Prob. 2-89 Probs. 2-86/87 *2-88. Determine la distancia entre los puntos extremos A y B sobre el alambre, pero antes formule un vector de posición desde A hasta B para luego determinar su magnitud. 2-90. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. www.elsolucionario.net z z z 2m A 3 pulg 1 pulg A 30 y 600 N 500 N 4m 60 8 pulg B y 4m 2 pulg x B Prob. 2-88 C02 EST_H BBELER.indd 4 C 8m x Prob. 2-90 11/19/09 2:4 :55 AM www.elsolucionario.net 65 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA 2-91. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. •2-93. El candelabro está sostenido por tres cadenas que son concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-94. El candelabro está sostenido por tres cadenas que son concurrentes en el punto O. Si la fuerza resultante en O tiene una magnitud de 130 lb y está dirigida a lo largo del eje negativo z, determine la fuerza en cada cadena. z FB 900 N A 2 z FC 600 N www.elsolucionario.net C O 6m FB 3m 45 4.5 m B FC FA 6 pies y 6m B 120 x A 120 4 pies C y 120 Prob. 2-91 x Probs. 2-93/94 *2-92. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-95. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; después determine sus ángulos directores coordenados. z z F 135 lb A 10 pies C F2 81 lb 70 F1 100 lb 3 pies 4 pies 5 pies B 7 pies y x x Prob. 2-92 5 A 40 7 pies C02 EST_H BBELER.indd y 4 pies B 30 Prob. 2-95 11/19/09 2:4 :5 AM www.elsolucionario.net 66 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA *2-96. La torre se mantiene en su posición mediante tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa sobre la torre es como se muestra en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados , , de la fuerza resultante. Considere x 20 m, y 15 m. 2-98. Los cables de retén se utilizan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste. 2 z z D 600 N 800 N B 1.5 m A FB 175 N 24 m FA 250 N 4m 2m 4m D C 16 m O C B 6m 18 m x y 3m 4m y 1m y x Prob. 2-98 A x Prob. 2-96 •2-97. La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si las tensiones en AB y CD son FA 300 N y FC 250 N, respectivamente, exprese cada una de estas fuerzas en forma vectorial cartesiana. z C 2-99. Se utilizan dos cables para asegurar la barra saliente en su posición y soportar la carga de 1500 N. Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra desde el punto A hacia O, determine las magnitudes de la fuerza resultante y de las fuerzas FB y FC. Considere x 3 m y z 2 m. *2-100. Se utilizan dos cables para asegurar la barra saliente en su posición y para soportar la carga de 1500 N. Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra desde el punto A hacia O, determine los valores de x y z para las coordenadas del punto C y la magnitud de la fuerza resultante. Considere FB 1610 N y FC 2400 N. 1.5 m 2.5 m z FC 250 N 2m B x A FA 300 N 3m C z D 30 FB O 0.5 m 1m x B 6 m FC y Prob. 2-97 A y 1500 N x C02 EST_H BBELER.indd www.elsolucionario.net 400 N Probs. 2-99/100 11/22/09 10:01:51 AM www.elsolucionario.net 67 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA •2-101. El cable AO ejerce una fuerza sobre la parte superior del poste de F {120i 90j 80k} lb. Si el cable tiene una longitud de 34 pies, determine la altura z del poste y la ubicación (x, y) de su base. *2-104. La torre de antena se sostiene mediante tres cables. Si las fuerzas de estos cables que actúan sobre la antena son FB 520 N, FC 680 N y FD 560 N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. 2 z A z F A FB FC 24 m O 8m y x B D 10 m y 12 m O y 16 m x x 18 m C Prob. 2-101 Prob. 2-104 2-102. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 450 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-103. Si la resultante de las tres fuerzas es FR {900k} lb, determine la magnitud de la fuerza en cada cadena. •2-105. Si la fuerza en cada cable atado al cofre es de 70 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-106. Si la resultante de las cuatro fuerzas es FR {360k} lb, determine la tensión desarrollada en cada cable. Debido a la simetría, la tensión en los cuatro cables es la misma. z z D FC FB www.elsolucionario.net z FD FA 7 pies E B FB 120 120 C FC FA 120 D 3 pies A A y x 6 pies FD 2 pies x 2 pies C B 3 pies y 3 pies Probs. 2-102/103 C02 EST_H BBELER.indd 7 Probs. 2-105/106 11/19/09 2:4 :57 AM www.elsolucionario.net 68 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-107. El tubo está soportado en su extremo mediante una cuerda AB. Si la cuerda ejerce una fuerza F 12 lb sobre el tubo en A, exprese esta fuerza como un vector cartesiano. •2-109. La placa cilíndrica está sometida a las fuerzas de tres cables que concurren en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2 z z 6 pies FC 5 kN 3m FB 8 kN F 12 lb x C 5 pies B 45 y 30 y 3 pies A 20 A 0.75 m FA 6 kN x Prob. 2-107 Prob. 2-109 *2-108. La carga en A genera una fuerza de 200 N en el cable AB. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano, que actúa en A y está dirigido hacia B. 2-110. El cable unido al brazo de la grúa ejerce una fuerza de F 350 lb. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano. z z www.elsolucionario.net D B A 120 y 30 1m B 120 35 pies 2m F 350 lb x F 200 N 30 50 pies A x y B Prob. 2-108 C02 EST_H BBELER.indd 8 Prob. 2-110 11/19/09 2:4 :57 AM