Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
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Tema 8: Movimientos
Ejercicios
1. Halla las ecuaciones de las simetrı́as respecto de las rectas:
√
(a) x − 3y = 2
(b) x + 2y = 4
(c) 2x − y = 1
2. Halla las ecuaciones de la simetrı́a deslizante de eje y = x − 2 y vector v = (3, 3).
3. Encuentra, si existe, las ecuaciones de un giro que transforme P (2, 0) en P 0 (−1, 1)
y Q(4, 1) en Q0 (0, −1).
4. Halla las ecuaciones de los siguientes movimientos:
(a) Giro de centro (1, 0) y ángulo 135◦ .
(b) Simetrı́a deslizante de eje paralelo a la recta 2x + y = 3 y que transforma (2, 1)
en (1, 0).
(c) Giro de ángulo 60◦ que transforme (2, 1) en (1, 0).
(d) La composición de los movimientos (a) y (b).
5. Determina todos los movimientos que transforman (1, 0) en (2, 1) y (0, 1) en (1, 0).
6. En R3 , halla las ecuaciones de los siguientes movimientos:
(a) Giro de ángulo 90◦ respecto de la recta que pasa por (1, 0, 1) con vector director
u = (1, 1, 0).
(b) Composición del giro de ángulo 180◦ respecto de la recta r ≡ (x, y, z) =
(0, 0, 1) + (0, 1, 1)t, con la traslación de vector v = (1, 1, 0). ¿Qué movimiento
se obtiene?
(c) Simetrı́a respecto del plano que pasa por (0, 1, 1) y es perpendicular al vector
u = (2, 1, 1). Obtén el punto simétrico de P (2, 1, −1).
½
x−z =0
. Obtén el punto simétrico
(d) Simetrı́a axial respecto de la recta r ≡
y − 3z = 2
de P (1, 1, 1).
(e) Simetrı́a rotacional (simetrı́a
compuesta con ½
giro) respecto del plano que con½
x − 3y = 1
x=4
tiene a las rectas r1 ≡
y r2 ≡
, con ángulo de giro
y−z =3
y−z =3
½
x=2
180◦ y eje de giro r ≡
.
y+z =0
(f) Movimiento helicoidal de eje r ≡ {(1, −1, 0)t : t ∈ R}, ángulo 180◦ y vector de
traslación v = (2, −2, 0).
(g) Giro respecto de la recta que pasa por los puntos (1, 1, 0) y (0, 0, 1), y que
transforma P (0, 1, 0) en P 0 (1, 1, 1).
(h) Composición de la simetrı́a respecto del plano 3x−y +2z = 1 con el movimiento
helicoidal del apartado (f).
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7. Dados los planos π1 ≡ x + y = 1 y π2 ≡ x + y = 4, encuentra las ecuaciones del
movimiento M = Sπ1 ◦ Sπ2 . Comprueba que es una traslación y halla su vector
asociado.
8. Clasifica los siguientes movimientos sobre R2 :
(
(
x0 = −y + 1
x0 = −y + 3
(c)
(a)
y 0 = −x + 1
y 0 = −x − 1
(
(
x0 = −y + 3
x0 = x + 3
(d)
(b)
y0 = x − 1
y0 = y − 1
(
(e)
x0 = 53 x + 54 y
y 0 = 45 x − 53 y + 1
9. Clasifica los siguientes movimientos sobre R3 :
0 = −y + 1
0 =z+1
0
x
x
x = z + 1
(a) y 0 = −x + 1
(c) y 0 = y + 1
(e) y 0 = −y + 1
0
0
z =z+1
z = −x + 1
z 0 = −x − 1
0
0
0
x = −x + 1
x = −y + 1
x = x + 1
(b) y 0 = −y + 1
(d) y 0 = −x + 1
(f) y 0 = y + 1
0
0
0
z = −z − 1
z =z
z =z−1
Soluciones
1.
2.
3.
4.
√ ¶µ ¶ µ
µ
¶
1
x
1
3
1 √
√
+
(a) S(x, y) = 2
;
y
− 3
3 −1
·µ
¶ µ ¶ µ ¶¸
3 −4
x
8
1
(b) S(x, y) = 5
+
;
−4 −3
y
16
·µ
¶ µ ¶ µ ¶¸
−3 4
x
4
(c) S(x, y) = 15
+
.
4 3
y
−2
µ
¶µ ¶ µ ¶
0 1
x
5
SD(x, y) =
+
.
1 0
y
1
µ
¶µ ¶ µ ¶
0 1
x
−1
G(x, y) =
+
.
−1 0
y
3
√ ¶¸
·µ
¶µ ¶ µ
−1 −1
x
1+ 2
1
√
(a) G(x, y) = 2
;
+
1 −1
y
−1
µ
¶µ ¶ µ ¶
−3 −4
x
3
(b) SD(x, y) = 15
+
;
−4 3
y
1
√ ¶µ ¶ µ √
·µ
¶¸
3
3
1
−
x
1
√
√
(c) G(x, y) = 2
+
;
y
−1 − 2 3
3
1
¶¸
·µ
¶µ ¶ µ √
7
1
x
5
2
−
15
1
;
+
(d) M(a) ◦ M(b) (x, y) = 5√2
1 −7
y
5
√
·µ
¶µ ¶ µ
¶¸
−1 7
x
12
1
√ 2+1 .
M(b) ◦ M(a) (x, y) = 5√
+
2
7 1
y
2−7
0
x = z + 1
(g) y 0 = y
0
z = −x + 1
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5. Giro de centro (1, 1) y ángulo 90◦ , o simetrı́a deslizante de eje 2y = 1 y vector
v = (1, 0).µ
¶µ ¶ µ ¶
µ
¶µ ¶ µ ¶
0 −1
x
2
1 0
x
1
+
; SD(x, y) =
+
G(x, y) =
1 0
y
0
0 −1
y
1
√
√
1
1
2
1 − √2
x
√
y + −1 + 2.
6. (a) G(x, y, z) = 12 √
1
√1 − 2
√
z
− 2
2
0
2+ 2
−1 0 0
x
1
(b) T ◦ G(x, y, z) = 0 0 1 y + 0. Es un movimiento helicoidal de eje
0 1 0
z
1
x = 1/2
¡
¢
y = −1/2 + λ , ángulo α = π y vector de deslizamiento v = 0, 12 , 12 .
r≡
z=λ
−1 −2 −2
x
4
¡
¢
1
−2 2 −1
y + 2; S(P ) = P 0 23 , 13 , −5
(c) S(x, y, z) = 3
3 .
−2 −1 2
z
2
−9 6 2
x
−12
¢
¡
27 −13
1
6 7 6 y + 8 ; SA(P ) = P 0 −13
(d) SA(x, y, z) = 11
11 , 11 , 11 .
2 6 −9
z
−12
−1 0
0
x
4
(e) SR(x, y, z) = 0 −1 0 y + 3 .
0
0 −1
z
−3
0 −1 0
x
2
0 y + −2.
(f) M H(x, y, z) = −1 0
0
0 −1
z
0
0 1 0
x
0
(g) G(x, y, z) = 0 0 −1 y + 1.
−1 0 0
z
1
−3 −6 −2
x
15
(h) M H ◦ S(x, y, z) = 17 2 −3 6 y + −17.
6 −2 −3
z
−2
1 0 0
x
−3
7. M (x, y, z) = 0 1 0 y + −3; v = (−3, −3, 0).
0 0 1
z
0
8. (a) Simetrı́a respecto de la recta r ≡ x + y = 1.
(b) Traslación de vector v = (3, −1).
(c) Simetrı́a deslizante respecto de la recta r ≡ x + y = 1, con vector de traslación
v = (2, −2).
(d) Giro de centro C(2, 1) y ángulo α = π/2.
(e) Simetrı́a
¡ 2 1 ¢ deslizante respecto de la recta r ≡ x−2y+1 = 0, con vector de traslación
v = 5, 5 .
9. (a) Simetrı́a deslizante respecto del plano π ≡ x + y = 1 con vector de deslizamiento
v = (0, 0, 1).
¡
¢
(b) Simetrı́a central de centro C 12 , 12 , −1
2 .
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(c) Movimiento helicoidal con eje de giro r ≡ {x = 1, z = 0}, ángulo α =
v = (0, 1, 0).
(d) Simetrı́a respecto del plano π ≡ x + y = 1.
(e) Simetrı́a rotacional respecto del plano π ≡ y = 1/2, eje de giro
r ≡ {x = 0, z = −1} y ángulo α = π2 .
(f) Traslación de vector v = (1, 1, −1).
(g) Giro de eje r ≡ {x = 1, z = 0} y ángulo α = π2 .
4
π
2
y vector
