CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES UNIDAD: 01 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Semana 01 Sesión 01 TEMA: Saberes previos: Formulas de derivación: Reglas de derivación: ECUACION DIFERENCIAL Utilidad : La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real pueden implicar una ecuación en la que una función y sus derivadas se relacionan mediante leyes científicas, estas son llamadas ecuaciones diferenciales. 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) ECUACION DIFERENCIAL Una ecuación que contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes se denomina Ecuación Diferencial. 𝒅𝟐𝒙 𝒎 𝟐 + 𝒌𝒙 = 𝟎 𝒅𝒕 Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Según la Cantidad de variables independientes: 1.-Ecuación diferencial Ordinaria “EDO” : cuando la función desconocida presenta derivadas respecto a una sola variable independiente. Ejemplo: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2.-Ecuación diferencial Parcial “EDP”: Cuando la función desconocida presenta derivadas respecto a 2 o mas variables independientes. Ejemplo: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 2𝑥𝑦 𝜕 𝑧 = 𝑥𝑧 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝜕𝑦 EJERCICIO 1: Clasifique las E D según el numero de variables independientes : 𝑎) 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑑2𝑞 = −𝑘𝑥 E.D.O del M.A.S. E.D.O para la carga 𝑑𝑞 𝑞 𝑏) 𝐿 2 + 𝑅 + = 𝑉 eléctrica en circuitos 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 R.L.C. c) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑡 2 2 = 𝛼2 𝜕 𝜕𝑥 2 d) 𝜕 𝑢 = 𝛼 2 𝜕 𝜕𝑡 𝑢 2 𝑢 𝜕𝑥 2 E.D.P de Onda E.D.P del calor Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Según el orden de la ecuación diferencial: El orden de una E.D. es dada por el orden de la derivada mas alta que presenta la ED. -E. D. de primer orden: Si la E.D. contiene a la función incógnita y su derivada hasta el orden 1 . -E. D. de orden superior n: Si la ecuación contiene a la función incógnita y sus derivas hasta el orden n. Ejercicio 2: Clasifique las EDOs según el orden de la ED Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Según la linealidad de la variable dependiente: Una EDO es lineal si: la variable dependiente y sus derivadas tienen grado 1 y todos sus coeficientes 𝑎𝑖(𝑥) incluyendo 𝑔(𝑥) son funciones solo de la variable independiente. Es decir toma la forma Ejercicio 3 : Clasifique las EDOs según su linealidad 𝑦 ′′′ − 𝑥 3 𝑦 ′′ + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦′ = ln(𝑥) EDO no lineal debido a que en el segundo termino, la derivada (𝑦 ′ ) 3 es de grado 3 Solución de una Ecuación Diferencial La función y=f(x) definida en un intervalo Ι , es solución de una ecuación diferencial en Ι, si al sustituirla en la ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera. Ejercicio 4: Verificar que 𝑦 = 4 𝑥 16 es solución de la ecuación 𝑦 ′ − 𝑥𝑦 = 0. 1 Verificamos: Reemplazando 1 2 4 4 ( 𝑥 )′−𝑥( 𝑥 )2= 16 16 𝑥 3 − 𝑥( 𝑥 2) = 4 4 𝑥3 − 𝑥3 = 0 4 4 CLASIFICACIÓN DE SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Solución Explicita: Es una función y=f(x) tal que al sustituirla en la E.D. la satisface. Solución implícita: Es dada por una relación G(x,y)=0 que define una o mas soluciones explicitas de la E.D. Ejemplo: 2𝑥 2 Ejemplo: y = 𝑒2 + ln 𝑥 3 + 2𝑒 es solución explicita de la EDO 𝑑 𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑒2𝑦 2 de la EDO + 𝑦 − 𝑥 4 − 2𝑥 = 𝑐 es solución implícita (𝑒 2𝑦 +1) 𝑑 𝑦 = 4𝑥 3 + 2 𝑑𝑥 CLASIFICACIÓN DE SOLUCIONES DE UNA EDO Familia de soluciones: Así como en la integral indefinida aparece la constante de integración “c”, al resolver la ED 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0 obtenemos una solución 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐 = 0 con una constante o parámetro, llamada familia de soluciones a 1-parámetro. Al resolver la ED 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛) = 0 , buscamos tener como solución una familia de soluciones con n – parámetros 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐1, … , 𝑐𝑛 = 0 SOLUCIÓN GENERAL DE UNA EDO: Es aquella familia que contiene a todas las soluciones de la EDO Características de la solución general: - Verifica la ecuación - Posee al menos una constante arbitraria - Representa las infinitas soluciones de la E.D SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA EDO: Es aquella que no contiene constantes arbitrarias, ya que estas se han determinado a partir de condiciones iniciales. Ejemplo : La E.D. 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 que tiene como solución general a : 𝑦 = 𝑐𝑒−𝑥 Si a la ED le adicionamos la condición inicial y(0) = 3 Si a la ED le adicionamos la condición inicial y(1) = 0.3𝑒−1 → 𝑦=3= 𝑐𝑒 −0 → → 𝑦 = 0.3𝑒−1 = 𝑐𝑒−1 → Obtenemos la solución particular 𝑦𝑝 = 3𝑒−𝑥 Obtenemos la solución particular 𝑦𝑝 = 0.3𝑒−𝑥 Ejercicio 5: Si la E.D. 𝑦 ′ − 2𝑥 = 0 tiene como solución general 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 Encontrar la solución particular que verifica la condición y(1)=3 Solución : De y = 𝑥 2 + 𝑐 la condición Reemplace y(1) = 3 y halle el valor de “c” así 3 = 1 + 𝑐 , luego la solución particular es y = 𝑥 2 + 2 EJERCICIO EXPLICATIVO 6 Verificar que la función 𝑦 = 𝑒 𝑥 es solución particular de la ED x𝑦 ′′ − 𝑥 + 10 𝑦 ′ + 10𝑦 = 0 Solución : x(𝑒 𝑥 ) ′′ − 𝑥 + 10 𝑒 𝑥 ′ + 10𝑒𝑥 = x𝑒 𝑥 − 𝑥 + 10 𝑒 𝑥 + 10𝑒𝑥 = x𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 − 10𝑒𝑥 + 10𝑒𝑥 = 0=0 EJERCICIO EXPLICATIVO 7 La ED y′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 tiene como solución general a y = A𝑒 𝑥 + B𝑒 2𝑥 . Determine la solución particular que satisface las condiciones 𝑦(0) = 2; 𝑦′(0) = 6. 𝑦(0) = 2 𝑦′(0) = 6 y = A𝑒 𝑥 + B𝑒2𝑥 Solución general y′ = A𝑒 𝑥 + 2B𝑒2𝑥 𝑦𝑝 = −2𝑒𝑥 + 4𝑒2𝑥 Solución particular 2 =A+B 6 = A + 2B B=4 A= - 2 EJERCICIO EXPLICATIVO Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada: ex 2 x y ce , y '2 y e x 3 RESOLUCION x x e e y ce 2 x y ' 2ce 2 x 3 3 Ahora reemplazando en la ecuación dada: 2 x e x ex y '2 y 2ce 2 ce 3 3 ex 2e x 2 x 2 x 2ce 2ce 3 3 ex ex 2 ex. 3 3 2 x EJERCICIO EXPLICATIVO Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada: x sent y x dt , xy ' y x.senx 0 t RESOLUCION x sent sent senx x sent y x dt y ' dt x. dt senx 0 0 0 t t x t x Ahora reemplazando en la ecuación dada: x sent x sent xy ' x dt senx x dt x.senx 0 t 0 t y xsenx. EJERCICIO EXPLICATIVO Verificar que la función dada es solución general de la ecuación diferencial indicada: y xc Lnx , x y dx xdy 0 RESOLUCION dx y xc Lnx dy c Lnx dx x x Ahora multiplicando por “x” a la función derivada: xdy xc Lnx dx xdx Como y xc Lnx xdy ydx xdx x y dx xdy 0 LISTO PARA MI EJERCICIO RETO EJERCICIO RETO La ED 𝑦 ′ ′ + 4𝑦 = 0 tiene solución general dada por y = Acos 2t + Bsen(2t) . Determine la solución particular que satisface las condiciones 𝑦(0) = 3; 𝑦′(0) = 8 CONCLUSIONES: 1.- Muchos modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se analizan y explican mediante leyes científicas las cuales son expresadas mediante ecuaciones diferenciales.. 2.-Las ED se pueden clasificar mediante el numero de variables independientes en: EDO … . EDP 3.- Las EDO se pueden clasificar mediante el orden de la ecuación diferencial en : EDO de orden 2 … E D O de orden 3 … … . 4.- Las EDO se pueden clasificar mediante la linealidad de la variable dependiente y de sus derivadas en: sen(x) y’’+ln(x) y’ –y= tan(x)… 5.- Las soluciones se pueden clasificar en : Solución explicita … … Solución implícita Solución general … … Solución particular Ecuación diferencial ordinaria: Orden. Solución general y particular. Familia de curvas.
