NOMBRES REALS
Pag: 10-24
Nombres Racionals (ℚ): És el conjunt de tots els nombres que es poden escriure com
una fracció a/b, en que a i b són nombres enters i b és diferent a 0
Classificació dels nombres racionals:
-
Nombres Racionals
- Nombres enters
- Nombres naturals. Ex: 1, 2, 3…
- El nombre zero. Ex: 0
- Enters negatius. Ex: -1, -2, -3…
- Nombres decimals
- Decimals exactes. Ex: 0,1; -2,33…
- Decimals periòdics. Ex: 1,3333333…
- Decimals periòdics purs. Ex: 1,3333333…
-
Decimals periòdics. Ex:
Nombres irracionals: està format pels nombres que no es poden expressar com a
fracció. La seva expressió decimal té una quantitat infinita de xifres que no es repeteixen de
manera periòdica.
Nombres Reals: Està format pels nombres racionals i irracionals
-
-
-
Recta real: Es la recta númerica on és representen tots els nombre reals
Propietats: Les propietats que es compleixen els nombres reals són les mateixes
que en el cas dels nombres racionals.
Propietats
Suma
Multiplicació
Associativa
(a+b)+c = a+(b+c)
(a·b)·c = a·(b·c)
Element neutre
a+0 = 0
a·1 = a
Element oposat/invers
a+(-a) = 0
a·(1/a) = a
Commutativa
a+b = b+a
a·b = b·a
Distrivutiva
a·(b+c) = a·b+a·c
a·(b+c) = a·b+a·c
Relació d’ordre:
-
a és més petit que b → a<b, quan b-a és positiu
-
a és més gran que b→ a>b, quan b-a és negatiu
La relació d'ordre entre nombres reals compleix les propietats següents:
- Transitiva:
-
Si a
bib
c, es compleix que a
c
-
Relació total:
- S’estableix un ordre entre tots els nombres: a<b, a = b o a>b
Monòtona respecte de la suma:
-
- Si a b, dona el valor de c, es compleix que a+c
Respecte del producte:
-
-
Si a
b i c>0, es compleix que a·c
b·c
-
Si a
b i c<0, es compleix que a·c
b·c
b+c
Intervals: Conjunt de nombres reals que es correspon amb els punts d’un segment o una
semirrecta de la recta real
- Cada interval està determinat pels extrems corresponents:
- Segments: dos extrems
- Semirrectas: un extrem
- Els intervals poden ser oberts o tancats i això depèn de si s’inclou o no els punts
dels extrems
Interval obert (a,b)
{x:a<x<b}
Interval tancat [a,b]
{x:a
Interval semiobert (a,b]
{x:a<x
Interval semiobert [a,b)
{x:a
Semirecta oberta (a,∞)
{x:a<x}
semirecta tancada [a,∞)
{x:a
Semirecta oberta (-∞,b)
{x:x<b}
semirecta tancada (-∞,b]
{x:x
x
b}
b}
x<b}
x}
b}
Aproximacions i errors:
-
-
Aproximacions: Valors exactes que siguin pròxims al nombre i que simplifiquin els
càlculs
- Aproximació per defecte o truncament: Consisteix en eliminar les xifres a
partir de l’ordre considerat
- Aproximació per excés: Eliminem les xifres a partir de l’ordre considerat i
augmentem d’una unitat l’última xifra que deixem
Errors:
- Error absolut: és la diferencia en valor absolut entre el valor real i
l’aproximació
Error relatiu: és el quocient entre l’error absolut i el valor real
Radicals: Donat un nombre real a, s’anomena arrel n-èsima de a qualsevol nombre real b
que verifiqui que bn = a
- Valor numèric d’un radical: bn = a
- Potències d’exponent fraccionari (am/n): És un radical d’índex n i un radicand am.
Dos radicals són equivalents quan, si els expressem en forma de potència amb
exponent fraccionari, les seves bases són iguals i les fraccions dels seus exponents
són equivalents. Ex: am/n és equivalent a ap/q si m/n = p/q
Operacions amb radicals:
-
Reducció de radicals a índex comú: Reduir radicals a índex comú consisteix a
trobar altres radicals equivalents que tinguin el mateix índex
Operacions amb radicals:
- Per sumar o restar radicals, han de tenir el mateix índex i el mateix radicand
- Per multiplicar o dividir radicals, han de tenir el mateix índex o bé el mateix
radicand. Si els radicals no tenen el mateix índex, els reduïm a índex comú
- Per calcular la potència o l’arrel d’un radical, transformem els radicals en
potències i operem amb aquestes potències
Racionalització: La racionalització consisteix a transformar fraccions que tinguin radicals
en el denominador en altres fraccions equivalents que no en tinguin
-
Fraccions del tipus a/n√b: Perquè desaparegui el radical del denominador en
les fraccions del tipus a/n√b, multipliquem el numerador i el denominador per
√bn-1
n
-
Fraccions amb un binomi en el denominador: Els denominadors tenen
sumands que inclouen arrels quadrades a/b+n√c. Per eliminar-les,
multipliquem el seu numerador i denominador pel conjugat del denominador
(a/b-n√c)
POLINOMIS
Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma de dos o més monomis no
semblants que s’anomenen termes
Si no té termes semblants, el polinomi és reduït
El grau d’un polinomi és el del terme de grau més gran del seu polinomi reduït
El terme independent és el monomi sense part literal
El valor numèric d’un polinomi és el resultat que s’obté de substituir les variables per uns
nombres determinats i fer-ne l’operació
Per sumar o restar polinomis se sumen o es resten els monomis semblants i es deixen
indicades la resta d’operació
Per multiplicar dos polinomis es multiplica cada monomi del primer per tots els monomis del
segon i, després, se sumen els resultats, agrupant els monomis semblants
Productes notables:
- Quadrat d’un binomi:
- (a+b)2= a2+2ab+b2
- (a-b)2= a2-2ab+b2
- Suma per diferència:
- (a+b)(a-b)= a2-b2
- Cub d’un binomi:
- (a+b)3= a3+3a2b+3ab+b3
- (a-b)3= a3-3a2b+3ab-b3
- Binomi de newton: triangle de tartaglia:
1 → 0
1
1 → 1
1
2
1 → 2
1
3
3
1 → 3
1
4
6
4
1 → 4
1
5
10
10
5
1 → 5
1
6
15
20
15
6
1 → 6
1
7
21
35
35
21
7
1 → 7
1
8
28
56
70
56
28
8
1 → 8
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1 → 9
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10 1 → 10
-----------------------------------------------------------------------
UNITAT 5: Inequacions
És una desigualtat formada per dues expressions algebraiques separades per un d’aquests
signes: <,>,
o
. La solució d'una inequació està formada per tots els valors que fan que la
desigualtat numèrica sigui certa.
Inequació de 1º amb una incògnita
Aquest tipus de inequació es resol com si fos una equació i en determinem l’interval de la
solució. Tenir en compte
-
Si es multiplica la desigualtat per un nombre negatiu, el signe de la desigualtat cambia.
Ex: 2x<4 → · (-1) → -2x>-4
-
Quan aïllem la incògnita (x), si el coeficient que la companyia és negatiu, la desigualtat
canvia de signe. Ex: -2x<4 → x>4÷(-2)
Inequació de 2º amb una incògnita
Aquesta inequació es resol com si fos una equació. Les solucions de l’equació determinen
els punts extrems dels intervals o semirectes entre els quals hem de decidir quins són
solucions de la inequació i quines no.
Ineq amb fraccions: quan en el numerador o el denominador es pugui treure factor comú
tindrem dues possibilitats:
●
Que el factor comú sigui un coeficiente (un número)
●
Que el factor comú sigui una incógnita (x, y, z, etc)
Si el factor comú és un coeficiente, passarem aquest a l’altre membre de l’equació dividint o
multiplicant pel 0
Si el factor comú és una incógnita, afegim una línea en el tempteig
Successions
Una successió de nombres reals és un conjunt infinit de nombres, ordenats de tal manera que
segueixen que una regla de formació
-
an → terme general
-
a1 → primer terme
-
a2 → segon terme
-
a3 → tercer terme
-
I així successivament
A partir del terme general, una successió és pot definir de dues maneres
1. Fórmula o llei general que permeti calcular un terme a partir del “lloc que ocupa”.
2. A partir d’una llei de recurrència que permeti calcular cada terme a partir de l’anterior
o anteriors
Progressions aritmètiques: successió en que cada terme, elevat del primer, s’obté sumant a
l’anterior un nombre fix “d” anomenat diferència.
En una progressió aritmètica, el terme general (an) s’obté aplicant la fórmula següent:
an=a1+(n-1)·d
