Examenes Mecanica Fundamental 9

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.
1. Deducción de la ecuación de equilibrio de un cable sometido a su propio peso.
2. Movimiento rectilíneo de un punto material alrededor de su posición de equilibrio
estable.
3. Demostración de la expresión de la energía cinética de un sólido rígido con un punto
fijo.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Sobre un suelo rugoso inclinado a 45º se encuentra un disco de centro O, masa M y
radio R. Un cable de peso propio q se encuentra amarrado a la periferia del disco
mediante una articulación B y pasa por una polea D de dimensiones despreciables. La
longitud total del cable es 10R y la del tramo BD es 5R.
Sabiendo que el disco se encuentra en equilibrio estricto en la posición indicada en la
figura (OB vertical), calcular:
El coeficiente de rozamiento entre disco y suelo.
D
4R
B
0
45º
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Un columpio sin masa que puede oscilar alrededor de un eje horizontal que pasa
por su extremo O, lleva soldado en su base un disco de centro G, radio R y masa M.
Una barra de masa M igual que la del disco y de sección transversal
despreciable, se encuentra apoyada sobre el disco no existiendo deslizamiento entre
ambos.
Determinar la relación que debe existir entre L y R para que la posición indicada
sea de equilibrio estable.
O
L
A
B
Mg
G
R
Mg
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 50'
Tres masas puntuales iguales A, B y C de valor M están unidas mediante dos
hilos flexibles e inextensibles de longitudes 3a y 2a, como muestra la figura. En el
instante inicial la masa A permanece fija y las B y C se mueven sobre un plano
horizontal describiendo circunferencias de centro O.
Estando el sistema en las condiciones anteriores, se corta el hilo que une las masas B y
C, comenzado el movimiento de la masa A. Sabiendo que no existe rozamiento y que el
máximo descenso de la masa A corresponde a la posición r = a, determinar:
1) Valor de r0, es decir, valor de r en el instante inicial (6 puntos).
2) Tensión máxima del hilo que une A y B durante el movimiento (4 puntos).
2a
r0
C
B
O
3a-r0
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Un disco de masa M y radio R se encuentra apoyado sobre un suelo horizontal
rugoso, siendo el coeficiente de rozamiento f=1/4. Sobre el disco se apoya una barra
OB, de masa M y longitud 2R 3 , no existiendo rozamiento entre barra y disco.
Estando el sistema en la posición indicada en la figura, comienza el movimiento.
Determinar, en el instante inicial, el valor de la aceleración del centro G del
disco.
B
M
A
M
R
R
3
G
O
Mg
30º
30º
C
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.
1. Sólido con eje fijo sometido a percusiones: centro de percusiones.
2. Estabilidad vertical del giroscopio de Lagrange.
Datos:
a
f
ϕ&+ ψ&cos θ f
B=I a
aA − B cos θ f + MgL cos θ
V =
A = I x ψ&sen 2 θ + I z ϕ&+ ψ&cos θ cos θ
z
2
ef
2 I x sen 2 θ
3. Deducción de las ecuaciones de Euler.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50'
Un semiaro de masa M y radio R está soldado a un eje vertical. En el mismo
plano vertical, también soldado al eje, está una placa cuadrada de masa M, lado R y de
espesor despreciable. El sistema gira con velocidad angular w = sent alrededor del eje
vertical. Determinar:
1. Par que se debe aplicar sobre el eje para que se cumpla la ley de movimiento.
2. Reacciones en los apoyos A y B.
3. Posición de una masa puntual de valor M para equilibrar estática y dinámicamente el
sistema.
A
R
R
O
R
R
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50'
El sistema de la figura está constituido por un disco homogéneo de masa M y
radio R, en cuyo centro se halla soldada una varilla sin masa perpendicular a su plano
de longitud 2R, unida en su otro extremo a una masa puntual de valor 5M/11.
El centro de gravedad del sistema es una rótula esférica fija. En un instante dado, se
comunica al sistema una velocidad angular como la indicada en la figura. Determinar:
1. Velocidad de precesión (3 puntos).
2. Semiángulo en el vértice de los conos correspondientes al axoide fijo y axoide móvil
del movimiento (4 puntos).
3. Si M=1 y R=1, calcular la distancia entre el centro de gravedad del sistema y el plano
que contiene a la herpolodia (3 puntos).
M,R
ωο
A
G
5M/11
ωο
3
2R
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Una barra AB de longitud L y masa despreciable esta articulada en A a un punto
fijo y en B a otra barra BC de longitud L y masa M. Estando ambas barras en reposo y
en posición vertical, se lanza contra la barra BC un disco de radio R y masa M,
animado de movimiento de traslación con velocidad V como muestra la figura.
Sabiendo que entre disco y barra se produce un choque con rozamiento muy elevado y
1
coeficiente de restitución ε = , determinar el campo de velocidades de los tres sólidos
2
inmediatamente después del impacto.
A
B
O
C
60º
V
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'
Una barra OA homogénea de masa M y longitud 2L se encuentra en posición
vertical, suspendida de su extremo O. Otra masa M, que puede deslizar libremente a lo
largo de la barra, está unida al extremo A mediante un muelle de constante K=Mg/L y
longitud sin tensión 2L.
Determinar las frecuencias naturales de oscilación en los pequeños movimientos en el
entorno de la posición vertical de equilibrio estable.
O
Mg
Mg
K
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.
1)
Calcular la aceleración del centro instantáneo de rotación.
2)
3)
Demostrar el Teorema de los trabajos virtuales.
Demostrar el Teorema de Köenig de la energía cinética.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una circunferencia de centro C y radio R gira alrededor del punto O de su
periferia con velocidad angular constante ω . Una barra OA gira alrededor de O con
velocidad angular constante ω de sentido contrario al anterior. Otra barra AB articulada
en A es siempre tangente a la circunferencia.
Determinar en el instante en que OA pasa sobre el centro C:
1) Velocidad angular de la barra AB respecto al suelo y velocidad relativa de C respecto
a la barra AB.(4 puntos)
2) Aceleración angular de la barra AB respecto al suelo y aceleración relativa de C
respecto de la barra AB. (6 puntos)
A
30º
B
C
ΩOA=ω
O
Ωcirc=ω
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El tubo sin masa de la figura gira alrededor del eje vertical e con velocidad angular
6g
. En un instante dado, se introduce por el extremo A una bola de
constante ω =
R
masa M y dimensiones despreciables, con una velocidad relativa al tubo vo. No existe
rozamiento entre masa y tubo. La masa sale por el extremo B con una velocidad relativa
v
de módulo o . Calcular:
2
1. Velocidad vo con que se introduce la bola (6 puntos).
2. Reacción entre tubo y bola cuando ésta se halla en el punto más bajo del tubo (4
puntos).
B
e
Vo
R
A
θ
ω
M
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Un disco homogéneo de radio R y masa M, que tiene soldada en su periferia una
masa puntual de valor M, está apoyado en un bloque de masa M. Entre el disco y el
bloque existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura, no habiendo rozamiento
entre bloque y suelo.
Sabiendo que el sistema está situado en un plano vertical y que parte del reposo cuando
ϕ = π 2 , calcular:
1.
2.
3.
4.
5.
Energía potencial para una posición cualquiera del sistema (1 punto).
Energía cinética para una posición cualquiera del sistema (2 puntos).
Ecuaciones diferenciales del movimiento (3 puntos).
Razonar qué valores de ϕ son compatibles con el movimiento (2 puntos).
Máximo desplazamiento del bloque (2 puntos).
ϕ
M
O
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 50’
El sistema de la figura, situado en un plano vertical, está constituido por :
- una barra OA de masa M y longitud L articulada en O y unida a 2 muelles iguales de
L
constante K y longitud sin tensión
a la altura del centro de gravedad G de la barra
2 2
y cuyos otros extremos C y D están fijos en el suelo.
- dos barras AB y BM de masas despreciables articuladas entre sí en el punto B, y de
longitudes respectivas, a y L/2,
- una masa puntual de valor M en el punto M.
Sabiendo que la barra OA es siempre perpendicular a AB, determinar:
1. Las condiciones que deben verificar a y K para que la posición de la figura sea de
equilibrio estable. (4 puntos).
2. Las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de
16Mg
. (6 puntos).
equilibrio estable tomando K =
L
a
B
A
L/2
G
M
D
L/2
O L/2
C
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.
1)
2)
3)
Demostrar la expresión de la velocidad de sucesión en función de la rotación del
sólido y de los radios de curvatura de base y ruleta.
Ecuaciones intrínsecas del equilibrio de un cable.
Demostrar el Teorema de Köenig del momento cinético.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Una masa puntual M se mueve sin rozamiento sobre el interior de una superficie
cónica de eje vertical, y semiángulo en el vértice de 45º. La masa está unida a un resorte
de constante K y longitud sin tensión 2 2 h, cuyo otro extremo se halla unido al vértice
del cono.
Cuando la masa se halla a una altura h sobre el vértice, la velocidad es
horizontal de valor gh . La máxima altura que alcanza la masa es 2h.
Determinar el valor de la constante del muelle.
z
45º
M
K
y
x
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’
El mecanismo de la figura se mueve en un plano vertical por la acción del par P,
de manera que la barra OA gira con velocidad angular constante de valor ω en el
sentido indicado. Sabiendo que no existe rozamiento y que las dos barras son iguales, de
masa M y longitud L, calcular:
1. Valor del par P en función del ángulo ϕ y de ω (5 puntos).
2. Reacción del suelo sobre la barra AB en un instante cualquiera (3 puntos).
3. Valor máximo de ω para que la barra AB permanezca siempre en contacto con
el suelo (2 puntos).
A
P
O
ϕ
ω
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 50’
Un disco de centro O y radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano de modo
que su centro avanza hacia la izquierda con velocidad V a determinar. Sobre el disco se
apoya permanentemente una barra BC articulada en el punto B a la barra AB de
longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto A (ver
figura).
Para el instante indicado en la figura calcular:
1. Valor de V para que no exista deslizamiento entre el disco y la barra BC. (3 puntos)
2. Aceleración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra BC. (3
puntos)
3. Aceleración angular de la barra BC. (4 puntos)
C
D
R
V
30º
B
O
ω
R
2R
I
R
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Un disco de centro O y radio R está en contacto con un suelo plano de modo que
su centro avanza hacia la izquierda con velocidad constante V=2ωR. Sobre el disco se
apoya permanentemente una barra BC articulada en el punto B a la barra AB de
longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto A (ver
figura).
Sabiendo que no existe deslizamiento entre el disco y la barra BC, calcular para
el instante indicado en la figura:
1. Rotación angular de la barra BC. (3 puntos)
2. Aceleración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra BC. (3
puntos)
3. Aceleración angular de la barra BC. (4 puntos)
C
D
R
V
30º
B
O
ω
R
2R
R
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
El sistema plano de la figura está constituido por un aro de radio R, masa M y
centro O, dos resortes ideales iguales de constante K unidos al punto O y a los puntos
fijos A y B, y una barra de masa M y longitud L articulada en O.
Sabiendo que la posición de la figura es de equilibrio estable y que el aro puede
rodar sin deslizar sobre el suelo fijo, determinar:
1. La energía potencial reducida del sistema (2 puntos).
2. La energía cinética reducida del sistema (3 puntos).
9Mg
3. Tomando K =
, las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema
4L
alrededor de la posición de equilibrio estable (5 puntos).
M,R
A
B
O
K
M,L
K
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:
1. Teoremas de Steiner.
2. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo.
3. Giroscopio simétrico con movimiento por inercia. (Giroscopio de Euler)
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
La barra OA, de longitud L, tiene una articulación plana fija en O, está unida en A
mediante una articulación plana a la barra AB de igual longitud y masa M y el punto B
está unido mediante otra articulación plana, a un bloque que se traslada sobre el eje x.
Sabiendo que la barra OA gira con una velocidad angular ω constante, se pide:
1. Base y ruleta del movimiento de la barra AB.
(2 puntos)
2. Aceleración del punto A relativa al bloque.
(2 puntos)
3. Energía cinética de la barra AB.
(2 puntos)
Considerando el movimiento arriba indicado, como un movimiento relativo respecto del
sistema XYZ y suponiendo que el movimiento de dicho sistema de referencia está
→
→
→
→
definido mediante VO = v i y ω XYZ = Ω j , obtener:
4. Ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
(2 puntos)
5. Energía cinética de la barra AB.
(2 puntos)
y
A
L
ϕ
O
B
x
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Una barra AB de masa M y longitud 4R está suspendida en un plano vertical mediante
Mg
que forma 45º con la vertical.
un hilo BC y un muelle ideal OA de constante K =
2R
Sobre el punto medio de la barra se apoya un disco de masa M y radio R, no existiendo
rozamiento entre ambos.
Estando el sistema en equilibrio con la barra AB horizontal, se corta el hilo BC.
Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento):
1. Aceleración del punto medio de la barra (2 puntos).
2. Aceleración angular de la barra (2 puntos).
3. Aceleración del centro del disco (2 puntos).
4. Aceleración angular del disco (2 puntos).
5. Reacción entre disco y barra (2 puntos).
O
C
D
45º
B
A
2R
4R
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Un sistema plano, formado por un cuadrado CDEF de masa M, lado 2L y espesor
despreciable, y por una barra CH de masa 2M y longitud 2L; gira alrededor del eje AB
vertical y fijo. Sabiendo que el apoyo A no admite esfuerzos axiales, determinar en el
g
g
instante en que la velocidad angular es ω =
y la aceleración angular α = :
L
L
1. Reacciones en los apoyos A y B y valor del par P necesario.
2. Posición en la que ha de colocarse una masa puntual M para equilibrar el sistema.
A
L
L
L
H
C
2Mg
D
L
ω,α
L
Mg
F
P
B
E
L
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
La barra de la figura, de masa M y longitud 4R, puede rodar sin deslizar sobre la
circunferencia fija de radio 2R, Sobre la barra, puede rodar sin deslizar un disco de
masa M y radio R, cuyo centro está unido a los extremos de la barra mediante 2 resortes
ideales de constante K.
Determinar qué condición debe cumplir K para que la posición indicada en la figura sea
de equilibrio estable.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:
1. Circunferencias notables.
2. Teorema de Carnot.
3. Teorema de Koenig de la energía cinética.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50’
El sistema de la figura está constituido por una barra de masa M y longitud 2R,
articulada sin rozamiento en su extremo B a un disco de masa M y radio R. El sistema
parte del reposo con la barra en posición vertical, iniciándose el movimiento al separarla
ligeramente de esta posición. Entre el disco y el suelo existe rozamiento suficiente para
asegurar la rodadura.
Se pide:
1. Ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema (6 puntos).
2. Velocidad y aceleración del centro del disco, cuando la barra está paralela al suelo
(4 puntos).
θ
A
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’
El sistema de la figura está constituido por una barra AB de longitud L, cuyo extremo A
está fijado al suelo mediante una articulación plana, y el B se halla siempre en contacto
con la barra CD mediante una deslizadera rígida en el punto B. Ambas barras forman
permanentemente 90º. El extremo C desliza por la recta horizontal que pasa por A.
Calcular:
1. Base de la barra CD (6 puntos).
2. Ruleta de la barra CD (4 puntos).
D
B
90º
A
C
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 50’
Una circunferencia de alambre de masa M y radio R puede oscilar alrededor de
un eje horizontal que pasa por su punto O.
Una masa puntual M igual a la anterior puede deslizar a lo largo de un diámetro
sin masa, estando unida a los extremos A y B de éste mediante dos muelles iguales de
1 Mg
constante K = ⋅
y longitud natural R cada uno.
4 R
Determinar las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de
su posición de equilibrio estable.
O
B
K
G
Mg
K
A
Mg
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Una barra AB de masa M y longitud 2R está articulada en su extremo B al
centro de un disco de radio R y masa M. El sistema se apoya en el suelo en A y C,
3
siendo en ambos puntos el coeficiente de rozamiento f =
.
2
Obtener el par P aplicado al disco en la situación de equilibrio estricto.
P
B
Mg
Mg
30º
A
C
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98.
SOLUCIONES
2.
2.1
Siendo x la coordenada del centro del disco.
5
x& + Rθ& cos θ = 0
2
&x& cos θ +
Por Lagrange:
Por Conservación de la Energía:
3.
4.
5 2
2R 2 & 2
x& + Rx&θ& cos θ +
θ + gR cos θ = gR
4
3
x& = 0
2.2
4 R &&
θ − g sen θ = 0
3
&x& =
3g
5
L
L
;Y =
tg θ
cos θ
cos θ
3.1
Base
Sist. Ref. en A.
X=
3.2
Ruleta
Sist. Ref. en C.
x = L tg 2 θ ; y = L tg θ
Siendo x la distancia de la masa a G y α el ángulo de OG con la vertical.
V = −2 MgR cos α + Mgx sen α + Kx 2
T=
3
M 2
MR 2α& 2 +
x& + MRx&α&
2
2
ω 12 = 0
5.
ω 22 =
3g
4R
Rodadura en C y deslizamiento en A. P =
3
MgR
6
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:
1. Tensor axil de inercia.
2. Teorema de Köenig de la energía.
3. Angulos de Euler.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO:50’
Una barra OA de masa M y longitud
2 L está suspendida en un plano vertical
mediante un hilo h en el extremo A y una articulación a una pared en el extremo O. En
2M
el extremo A se articula otra barra AB de longitud L y masa
libre en el extremo B.
3
Estando el sistema en equilibrio con la barra OA a 45º y la barra AB vertical calcular:
1. Reacciones en la articulación O y fuerza en el hilo h (2 puntos).
Si ahora se corta el hilo h. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que
se inicie el movimiento):
2. Aceleración angular de las barras (4 puntos).
3. Reacciones en las articulaciones (4 puntos).
h
A
2L
M
L
2M
3
45º
O
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50’
Un disco de radio R y centro G se encuentra entre el suelo y una barra OA que
gira con velocidad angular ω constante alrededor de su extremo O. Determinar en el
instante que indica la figura la velocidad y aceleración angular del disco en los dos
casos:
- rodadura entre disco y suelo
- rodadura entre disco y barra
A
G
ω
30º
O
30º
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Una barra OA de masa M y longitud 2L está articulada en O al suelo y en el
otro extremo A a otra barra AB igual a la anterior. La barra AB está apoyada en B sobre
el suelo con coeficiente de rozamiento f. En el centro de la barra AB actúa un par P.
Determinar entre qué valores debe oscilar el par P para que el sistema esté en
equilibrio.
A
P
Mg
O
45º
Mg
45º
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40’
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos barras articuladas entre
sí: la barra OA de longitud L sin masa y la barra AB de masa M y longitud L. Las
barras pueden oscilar en el plano vertical del dibujo. Se pide determinar alrededor de la
posición de equilibrio estable:
1. La energía potencial reducida del sistema.(3 puntos)
2. La energía cinética reducida del sistema. (3 puntos)
3. La frecuencias naturales de oscilación del sistema. (4 puntos)
O
L
A
M,L
B
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98.
SOLUCIONES
2.-
1.
H o = 0 ; Vo =
2.
α OA = −
T=
3.
7g
7g
; α AB = −
9L
6L
41Mg
14 Mg
Ho =
; Vo =
27
54
7 Mg
4 Mg
;V A = −
HA = −
54
27
1.
Ω Disco = −2ω k
2.
Ω Disco = ω k
→
3.
Mg
;
2
→
→
7 Mg
6
→
→
α Disco = −2 3ω 2 k
→
→
→
α Disco = 2 3ω 2 k
⎛ 2 f + 1⎞
⎞
⎟⎟
⎟⎟ ≤ P ≤ MgL 2 ⎜⎜
⎝ 1− f ⎠
⎠
4.
⎛1 − 2 f
MgL 2 ⎜⎜
⎝ 1+ f
5.-
1.
V reducida =
2.
Treducida
3.
ω2 =
1
(MgL )θ 2 + 1 ⎛⎜ Mg L ⎞⎟ϕ 2
2
2⎝
2⎠
1
1 ⎛ ML2 ⎞ 2 ⎛ ML2
⎟ϕ& + ⎜⎜
= (ML2 )θ& 2 + ⎜⎜
2
2 ⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 2
(
g
5 ± 19
L
)
⎞ &
⎟⎟ϕ&θ
⎠
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’
Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:
4. Tensor axil de inercia.
5. Teorema de Köenig de la energía.
6. Angulos de Euler.
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO:40’
Una barra AB de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo
rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal AC de
constante K y la barra rígida BD, observándose que ésta soporta un esfuerzo de
magnitud Mg.
Determinar:
1. El valor de la constante K en el equilibrio. (2 puntos)
2. La reacción entre la masa puntual y la barra AB en el instante subsiguiente al de
eliminar la barra BD. (8 puntos)
D
L
L/2
O
A
M
B
K
Lo=0
L
C
M, 3L
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’
Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y
a una barra CD de masa M y longitud 2 2 L como se indica en la figura. Todo el
sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω
alrededor del eje vertical. Se pide calcular:
1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos)
2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=M/2, dando sus coordenadas.
(4 puntos)
B
D
L
z
ω
L
2L
45º
O
y
L
C
L
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
El centro C de un disco de radio R avanza por el eje X con velocidad v constante. El
extremo A de una barra AB desciende por el eje Y. La barra es siempre tangente al
disco, no hay deslizamiento entre ambos, y la rotación de la barra respecto al sistema
XY es ω = v/R, constante.
En el instante en que la barra es paralela al eje X, la distancia OC vale L. Determinar
para dicho instante:
1. Velocidad angular del disco respecto al sistema XOY (3 puntos).
2. Velocidad angular del disco respecto a la barra (1 punto).
3. Aceleración angular del disco respecto al sistema XOY (6 puntos).
Y
A
90º
r
v r
ω AB = k
R
B
C
O
v
R
X
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una circunferencia de alambre de centro O y radio R puede rodar sin deslizar sobre un
suelo plano S. AB es un diámetro fijo de la circunferencia a lo largo del cual puede
deslizar una masa M unida a los extremos A y B del diámetro mediante dos muelles
iguales de longitud natural R y de constante elástica K=Mg/R.
Definir las posiciones de equilibrio estable.
B
K
K
M
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 50'
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
1. Deducir a partir de las siguientes ecuaciones y = αch⎜ ⎟, ch 2 ⎜ ⎟ − sh 2 ⎜ ⎟ = 1
⎝α ⎠
⎝α ⎠
⎝α ⎠
las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria (2 puntos).
2. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro
instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 20 m/s2. ¿Cuánto
valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular
de 5 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s2 , si el centro instantáneo de rotación es el
mismo? (1 punto).
3. Definir componente de pivotamiento y
Z
rodadura de la velocidad angular
45º
relativa entre dos sólidos. Calcularlas
en el ejemplo siguiente para el contacto
C
sin deslizamiento entre los sólidos 1 y
2 de velocidad angular absoluta, 1
→
→
→
→
2
→
Ω 1 = ω k y Ω 2 = ω i + 2ω k
X
(2 puntos).
4. Calcular gráficamente la velocidad
absoluta de M (1 punto).
V
Y
A
45º
Y
L/2
M
L/2
B
X
5. En las siguientes figuras calcular el
valor de la fuerza de rozamiento
indicando si existe equilibrio o no.
(1 punto)
Mg
Mg
f=1/2
30º
f=1/2
6. Enunciar las condiciones de equilibrado estático y dinámico de rotores. (1 punto)
7. Definición del coeficiente de restitución de Newton en la dinámica de percusiones.
(2 puntos)
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una barra AB de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo
rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal AC de
constante K y la barra rígida BD, observándose que ésta soporta un esfuerzo de
magnitud Mg.
Determinar:
1. El valor de la constante K en el equilibrio.(2 puntos)
2. La reacción entre la masa puntual y la barra AB en el instante subsiguiente al de
eliminar la barra BD. (8 puntos)
D
L
L/2
O
A
M
B
K
Lo=0
L
C
M, 3L
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su
centro O es V constante. Una barra AB de longitud 4R está articulada al disco en A y su
extremo B recorre el suelo. En B está articulada otra barra BC en cuyo extremo C se
articula la barra CD que puede girar alrededor del extremo D fijo. La longitud de la
barra CD es 2R.
Determinar en la posición que se muestra en la figura:
1. Velocidad angular de la barra CD. (3 puntos)
2. Aceleración angular de la barra CD. (7 puntos)
A
C
V
O
4 3
R
3
4R
90º
R
60º
30º
B
2R
D
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio R
articuladas en los vértices A y B. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de
valor P = 2 MgR en el sentido indicado en la figura. La rueda 2 tiene una masa
despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación.
Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, ¿qué valor mínimo del
coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en C
al bloque?
T
P
C
4R
A M
1
5Mg
3
2R
B
45º
2
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y
a una barra CD de masa M y longitud 2 2 L como se indica en la figura. Todo el
sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω
alrededor del eje vertical. Se pide calcular:
1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos)
2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=M/2, dando sus coordenadas.
(4 puntos)
B
D
L
z
ω
L
2L
45º
O
y
L
C
L
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 3-09-99.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 50'
1. Ecuaciones de Euler (2 puntos).
2. Determinar el par necesario para que el
M
disco de masa M esté en equilibrio (1
punto).
f= 1
3
30º
3. Indicar cuáles son el eje instantáneo de
rotación y deslizamiento y los axoides
fijo y móvil en el movimiento relativo
O
entre el cono 2 y el 1, si entre ambos no
2
hay deslizamiento (1 punto).
1
4. Indicar, si el disco rueda sin deslizar,
cuál de los siguientes movimientos
corresponde al de la barra AB y por
qué (1 punto):
a) Rotación instantánea.
b) Traslación instantánea
c) Rotación permanente
d) Traslación permanente.
A
V
O
R
30º
I
B
5. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo (2 puntos).
6. Comprobar si es posible que los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) de un sólido
r r r
r r r
r
r
rígido tengan las siguientes velocidades: VA = 2 i + j, VB = i − k, VC = j − 2k (1
punto).
7. Dos sólidos S1 y S2 animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades
r r
r
r
angulares: ω1 = 3tk, ω 2 = (3t 2 + 1)k , respectivamente. Calcular la aceleración
angular relativa del sólido S2 respecto al S1. (2 puntos)
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 3-09-99.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50'
El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 30º gira a
velocidad angular 3ω constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono 2 de eje
vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y
un cilindro interior fijo de radio R.
Si entre el tronco de cono 2, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio R
no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto A, B, y D.
Calcular:
1. Velocidad angular del sólido 2. (1 punto)
2. Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. (3 puntos)
3. Aceleración angular del sólido 2 y de la esfera. (3 puntos)
4. Aceleración del centro de la esfera. (1 punto)
5. Aceleración del punto A de la esfera. (2 puntos)
1
Z
3ω
O
30º
1
A
3
C
B
X
R
3R
D
2
Y
4 3R
E
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 3-09-99.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45'
La barra OA, de masa M y longitud L, está rígidamente unida al disco de masa M y
radio L/4. El centro del disco, está unido a un muelle de constante elástica 4Mg/L y
longitud sin tensión L. Sobre la barra OA hay una deslizadera de masa M que está
unida a su vez a un muelle de constante elástica Mg/L y longitud sin tensión L cuyo
otro extremo se encuentra en el punto A de la barra. El disco rueda sin deslizar sobre un
suelo horizontal. Se pide:
1. Obtener la posición de equilibrio estable vertical. (3 puntos)
2. En esa posición obtener la energía cinética y potencial reducida. (4 puntos)
3. Calcular las frecuencias naturales del sistema. (3 puntos)
L
M
R= L/4
O
K´= 4Mg/L
Lo= L
M, L
M
K= Mg/L
Lo= L
A
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 3-09-99.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Dos barras iguales AB y CD de masa M y longitud L están articuladas a los
puntos fijos A y D respectivamente, el extremo C de la barra CD está en contacto con el
punto medio de la barra AB y el punto medio E de la barra CD está unido a un extremo
del resorte ideal EF de constante elástica K.
Sabiendo que en C existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la
longitud del resorte es L, calcular:
1. Módulo de la fuerza de rozamiento en C, en el supuesto de que K =
3Mg
1
yf= ,
L
2
para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos)
2. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el
coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale f =
1
. (4 puntos)
2
3. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el
resorte por un hilo. (2 puntos)
A
B
C
45º
F
E
45º
45º
D
MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 3-09-99.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El sistema de la figura está situado en el plano vertical y constituido por dos barras
iguales de masa M y longitud L articuladas en A y posicionadas como se indica en la
figura, un disco de masa M y radio R y un muelle de longitud sin tensión L0 y constante
K cuyos extremos están unidos al suelo y al punto medio E de la barra AB.
Se lanza el disco contra la barra AB y se produce un choque elástico y sin
rozamiento en el extremo B de dicha barra. En el instante anterior al choque, el disco
r
posee una velocidad angular conocida ω y la velocidad de su centro de gravedad es
vertical, conocida y de valor v.
Determinar, inmediatamente después del choque:
1. Energía cinética del sistema constituido por las barras, el muelle y el disco (1 punto).
2. Velocidad angular del disco (1 punto).
3. Velocidad angular de las barras OA y AB (8 puntos).
ω
45º
C
A
E
B
K,Lo
O
D
v