fundamentos de logica

Unidad I:
Fundamentos de la Lógica
Lógica Proposicional
Área de la matemática que trata
las proposiciones y el
razonamiento lógico matemático.
La lógica son reglas que:
• Dan significado a enunciados y
sentencias matemáticas.
• Distinguen argumentos validos
y no validos.
• Se aplican en la construcción
de programas y circuitos de
computadores.
Proposición
Puede ser
Oración declarativa
Tiene un único valor lógico
Verdadero
Falso
Pero
No ambos a la vez
Simple Compuesta
Sin
conectivos
lógicos
Con
conectivos
lógicos
Ejemplo:
El Sol es una
estrella
Ejemplo:
El Sol es una
estrella y la Tierra
gira alrededor del
Sol
Proposición
Una proposición es toda oración o
enunciado respecto de la cual se
puede decir si es verdadera o
falsa, pero no ambas a la vez.
No son consideradas proposiciones
lógicas…
• Las preguntas.
• Oraciones que no son
falsas ni verdaderas.
• Oraciones imprecisas.
• Oraciones que son
falsas y verdaderas al
mismo tiempo.
• Oraciones que carecen
de sentido.
Ejemplos
Estructuras discretas es muy fácil .
Pi=3,1416.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a
480.
¿A qué hora salimos, profe?
X+Y=Z.
¡Presta atención!
La dirección de mi blog es
www.edlugome.wordpress.com
Profe, tengo sueño.
Ejemplos
Estructuras discretas es mi materia favorita .
Pi=3,1416.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a
480.
¿A qué hora salimos, profe?
X+Y=Z.
¡Presta atención!
La dirección de mi blog es
www.edlugome.wordpress.com
Profe, tengo sueño.
Lógica Proposicional
• Las proposiciones simples
se denotan con letras
minúsculas: p, q, r, s.
• Las proposiciones
compuestas se denotan con
letras mayúsculas: P, Q, R, S.
Valor de la verdad
• El valor de verdad de
una proposición puede
ser verdadero (1) o falso
(0), también pueden ser
denotados con V y F,
respectivamente.
Ejercicios
Determine cuáles de las siguientes son
proposiciones lógicas y su valor de la verdad.





p: Mañana es viernes.
q: Existe el premio Nobel de informática.
r: Hola ¿Cómo estás?
s: 4+5= Maracaibo.
t: La tierra es el único planeta que tiene vida.
Ejercicios










p: Mañana es viernes.
p:Es una proposición lógica verdad.
q: Existe el premio Nobel de informática.
q:Es una proposición lógica, su valor de la verdad es 0.
r: Hola ¿Cómo estás?
r:No es una proposición lógica, es una pregunta.
s: 4+5= Maracaibo.
s:No es una proposición lógica, carece de contexto.
t: La tierra es el único planeta que tiene vida.
t:No es una proposición lógica, no se sabe si hay vida en
otros planetas, por lo tanto no sabemos si es verdadera o
falsa.
Proposiciones Compuestas
Si las proposiciones p, q, r, s se combinan para
formar la proposición P, diremos que P es una
proposición compuesta de p, q, r, s.
Ejemplo:
p: Isaac Newton es el padre de la física.
q: Estructuras Discretas es mi materia
favorita.
r: Él es inteligente.
s: Él estudia todos los días.
Proposiciones Compuestas
«Isaac Newton es el padre de la física y
Estructuras Discretas es mi materia
Favorita»
«Él es inteligente o Él estudia todos los
días»
Proposiciones Compuestas
• La
propiedad
fundamental de una
proposición compuesta
es que su valor de
verdad
está
completamente
determinado por los
valores de verdad de las
proposiciones que la
componen junto con la
forma en la que están
conectadas.
Tabla de Verdad
• Es una tabla que muestra el
valor de verdad de
una proposición compuesta,
para cada combinación de
verdad que se pueda asignar.
• La tabla de verdad de una
proposición compuesta P
enumera todas las posibles
combinaciones de los valores
de verdad para las
proposiciones p, q, r, s,…
Tabla de Verdad
Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por
las proposiciones simples p, q y r, entonces la tabla de
verdad de P deberá recoger los siguientes valores de
verdad.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Tabla de Verdad
Otro ejemplo..
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Operadores y Conectores
Lógicos
Los Operadores Lógicos:
Son operadores aplicados a las proposiciones,
para generar nuevas proposiciones.
Los Conectivos Lógicos:
son operadores lógicos que se usan para formar
nuevas proposiciones a partir de 2 o mas
proposiciones existentes.
Tipos de operadores Lógicos
Negación
Sea p una proposición, el enunciado:
<< no se cumple p >>
Es otra proposición llamada “Negación de p”.
Se denota: ¬p y se lee <<no p >>. Su tabla de
verdad es:
p
¬p
1
0
0
1
Negación EJEMPLOS:
p: «Samsung fabrica teléfonos celulares»
¬p: «Samsung no fabrica teléfonos celulares»
¬p: «Es falso que Samsung fabrica teléfonos
celulares»
q: «2+4=8»
¬q: «Es falso que 2+4=8»
¬q: «2+4 ≠ 8»
Conjunción
Sean p y q proposiciones. La proposición << p y q >>,
denotada por p  q, es la proposición que es verdadera
cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en
cualquier otro caso. Su tabla de verdad es:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p^q
0
0
0
1
Conjunción EJEMPLOS:
p: «Hoy es viernes.»
q: «Hoy llueve.»
p ^ q: «Hoy es viernes y hoy llueve.»
Verdad: Los viernes con lluvia.
Falso: Cualquier día diferente de viernes y
los viernes que no llueve.
Disyunción
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q
>>, denotada por p  q, es la proposición que es
falsa cuando tanto p como q son falsas y
verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de
verdad es:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
pq
0
1
1
1
Disyunción EJEMPLOS:
p: «Hoy es viernes.»
q: «Hoy llueve.»
p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
Verdad: Cualquier día que sea viernes o
llueva, incluyendo los viernes con lluvia.
Falso: Los días que ni son viernes, ni llueve.
Disyunción Excluyente
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q
(pero no ambas) >>, denotada por p q, es la
proposición que es verdadera cuando solo una de
las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa
cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.
Su tabla de verdad es:
p q
0
0
1
1
0
1
0
1
p q
0
1
1
0
Disyunción Excluyente
EJEMPLO:
p: «Hoy es viernes.»
q: «Hoy llueve.»
p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
Verdad: Cualquier día que sea viernes o llueva,
pero no ambos.
Falso: Los viernes con lluvia, y los otros días que
no llueve.
Implicación o Condicional
Sean p y q proposiciones. La implicación pq es
la proposición que es falsa cuando p es verdadera
y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso.
pq
(Hipótesis o Causa)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(Conclusión o Consecuencia)
pq
1
1
0
1
Implicación o Condicional
FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL
EN LENGUAJE NATURAL:
• «Si p, entonces q»
• «p implica q»
• «q si p»
• «p solo si q»
• «p siempre que q»
Bicondicional o Doble
Implicación
Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o
Doble Implicación, p  q es la proposición que es
verdadera cuando p y q tienen los mismos valores
de verdad y falsa en los otros casos.
Su tabla de verdad es:
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
p q
1
0
0
1
Bicondicional o Doble
Implicación
FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL
EN LENGUAJE NATURAL:
• «p si, y solo si q»
• «p es necesario y suficiente para q»
Bicondicional o Doble
Implicación
FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL
EN LENGUAJE NATURAL:
• «p si, y solo si q»
• «p es necesario y suficiente para q»
Bicondicional o Doble
Implicación Ejemplo:
p: «Puedes tomar el vuelo.»
q: «Compras un pasaje.»
p  q: «Puedes tomar el vuelo si, y
solo si, compras un pasaje»
Esta expresión es verdadera si p y q son
ambas verdaderas o ambas falsas.
Precedencia de Operadores
Lógicos.
Orden
Operador
Nombre
1
2
¬

Negación
Conjunción
3

Disyunción
4

Implicación
5

Bicondicional
Formalización
Consiste en pasar del lenguaje natural al
lenguaje formal.
Ejemplo:
p
«Puedes acceder a internet desde el LC1
solo si estudias Computación o no eres
alumno del primer período.»
q
r
p q ¬r)
Equivalencias
Proposicionales
Dos formulas son lógicamente
equivalentes si tienen los mismos
valores de verdad en todos los
casos. También se dice que p y q
son lógicamente equivalentes si p
q es una tautología y se denota
por p  q.
Tautologías y
Contradicciones
Sea P una proposición compuesta de las
proposiciones simples p, q, r,…
P es una Tautología si es verdadera para todos
los valores de verdad que se asignen a p, q, r, …
P es una Contradicción si es falsa para todos los
valores de verdad que se asignen a p, q, r,…
Una proposición P que no es tautología ni
contradicción se llama, usualmente,
Contingencia.
Tautologías y
Contradicciones
Tautología
Contradicción
p
¬p
p¬p
p¬p
1
0
0
1
1
1
0
0
Ejercicios:
• ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes
enunciados?
a)
b)
c)
d)
Hoy es martes.
No hay contaminación en Ciudad Ojeda.
2 + 1 = 3.
El clima en Mérida es cálido y soleado.
• Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el
examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una
de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.
a) p  q
b) ¬p  r
c) q  ¬r
d) p  q  r
e) (p ¬r) q ¬r)
• Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por
hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente.
Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos
lógicos:
a) No conduces a más de 100 Km. por hora.
b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan
por exceso de velocidad.
c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de
100 Km. Por hora.
d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán
por exceso de velocidad.
• Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:
a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.
b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.
c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.
d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.
• Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No
suspendes el examen final» y r: «Apruebas la
asignatura», expresa en lenguaje natural la
expresión:
((p q)  (p r))
• Simboliza las siguientes proposiciones:
a) No vi la película pero leí la novela.
b) Ni vi la película ni leí la novela.
c) No es cierto que viese la película y leyese la
novela.
d) Vi la película aunque no leí la novela.
• Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La
salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la
impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural
las siguientes proposiciones:
a) q  p
b) ¬ q  r
c) r p q)
• Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior,
escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que
simbolice cada una de las siguientes afirmaciones:
a)
Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y
la salida va a la pantalla.
b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a
la impresora.
c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la
pantalla.
d) Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados
se dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.