TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS CÁLCULO II Y COMO RESOLVERLOS PROBLEMAS DE EXÁM MENES UMSA INGENIERÍA A ,U UNI PERÚ--U.TOKIO JAPON CODEX VOL.III INTEGRALES DE LÍNEA Y INTEGRALES MÚLTIPLES J&J PAYE Hnos. CÁLCULO II CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 5216-15 AUTORES: JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA PRIMERA EDICIÓN MAYO, 2015 LA PAZ- BOLIVIA QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL NO LUCRAR CON LA CIENCIA, PROMOVER LA INVESTIGACIÓN CON COMPROMISO NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR PROLOGO El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.III”, En su primera edición contiene básicamente los temas: INTEGRALES DE LÍNEA, INTEGRALES MÚLTIPLES Y APLICACIONES, son temas que se desarrollan en el Tercer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país. JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA DEDICATORIA “A mí inspiración Jackeline W. Salazar Flores, Eres mi único teorema fundamental y aunque tengas discontinuidades en ciertos puntos, asíntotas negativas o soluciones complejas, para mi eres la ecuación perfecta” ÍNDICE PAGINA 1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1 2. CAPITULO VI INTEGRALES DE LÍNEA ………………………………………....7 3. PROBLEMAS RESUELTOS INTEGRALES DE LÍNEA ……..………………..12 4. CAPITULO VII INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRAL DOBLE…………….18 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL DOBLE Y APLICACIONES.…25 6. CAPITULO VIII INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES……………………...50 7. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES ….53 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………………….61 JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De Umsa Ingeniería De (2007-2014) Y Algunos Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon) 1) (II/2014) Que condición debe cumplir f x, y para que f x, ydA se utilice para calcular el R área de una región R? 2) (II/2014) Escriba una propiedad de las integrales dobles y anote un ejemplo 3) (II/2014) Si f x, y g x, y ,en una región R, cual es el significado geométrico del Teorema: f x, y dA g x, y dA ? R R 4) (II/2014) Cual es el valor de la integral dV . S: es el solido x 2 y2 4 , z 0 , z 2 S 5) (II/2014) Calcular la integral y x 2 dA R= 2,2 0,4 R 2 2 6) (II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x y 2 18 x 2 y 2 2 2 2 2 2 2 7) (II/2014) Calcular el volumen encerrado por las superficies: 4 x y z 4 ; z 4 x y , z 0 interior a ambas 2 2 2 8) (II/2014) Calcular el área de parte del cono z x y ,que está en el interior del paraboloide z 2x 2 2 y 2 9) (II/2014) Calcular el valor de la integral e x y 2 dA R= 0,2 0,3 en cada rectángulo R 10) 11) (I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo (I/2014) Es integrable la función f x, y x 2 y definida en el rectángulo: 1 x 2 , 0 y 2? 12) (I/2014) Dibuje cuatro vectores del Campo Vectorial: f x, y 2 x y , x 2 y 13) (I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad: F G F G 14) (I/2014) Calcule la integral y x 1 dA , R 0,2 0,1 R 15) (I/2014) Una esfera metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material metálico queda? (dibuje adecuadamente su solido) 16) (I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x y z 4 , situada sobre el plano 2 2 2 z 1 17) (I/2014) Calcular el volumen del helado cos (esfera) y (cono coordenadas 4 esféricas) 1 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 18) (I/2014) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 2 x y ,3 x y , a lo largo de los lados del triangulo (0,0), (2,0), (0,2) 19) 20) (II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo. 21) (II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble? 22) (II/2013) Puede calcularse mediante integral doble el volumen de f x, y 2 x y , en la región R 0,1 0,2? 23) (II/2013) Cual es el significado del jacobiano en una transformación de coordenadas Aplicada a integrales Dobles. 4 24) (II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por: 25) 2 2 (II/2013) Calcular el área del paraboloide z 9 x y ; que se encuentra arriba del plano z5 26) (II/2013) Demuestre 1 y que el campo F cos x ln y, xy e ; es 4 cos CONSERVATIVO y calcule la función potencial 27) (II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x xy y 3 ; Haciendo el cambio 2 x uv y u v ;Calcule e ( x 2 xy y 2 ) 2 dA R 28) 29) (I/2013) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo (I/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble 30) (I/2013) Calcule f x, y dA , f x, y 2x y R 0,1 0,2? R 31) (I/2013) Graficar el campo vectorial: F 2 x y, x 2 y 32) (I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas. xy 2 xy 4 xy 3 3 (I/2013) Calcular el área de la superficie: x y z 4 z 2 33) z x2 y2 34) xy 3 6 ; y calcular el área 2 cortada por el cono 1/ 2 2 2 2 (I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x 4 y z 4 ; 4 x 2 4 y 2 z 2 16 35) 2 (I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 4 xy y ,2 x 2 xy ; a lo largo de la 2 2 curva r (t ) (t 2 ,2t ) ; 0 t 2 (Grafique la curva) 36) (II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a) y 2 1 dx x 2 1 dy c (b) 2 x y dydx (c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green R 2 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 37) x2 dydx; R: encerrada por: x 2 y 2 4 x (II/2012) calcular la integral 2 2 R x y 38) 2 2 (II/2012) calcular el área del cilindro: y z 25 comprendida entre los planos y 2 x ; x0 39) (II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z y x , y 4x 40) y 2 2 , z 0 , y x , y 3x , 2 x y2 z2 y2 z2 2 4 en el primer x (II/2012) calcular la integral: I x x dV ; V: 4 9 4 9 V 2 octante. 41) (I/2012) Hallar el volumen limitado por: y 6 , z 2 y , z x 2 , z 2 x 2 42) (I/2012) Calcular el área de la porción de la superficie z 2 x 2 y 2 2 , interior a x 2 y 2 2x 43) (I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad superficial está dada por x, y xy 2 y 4 2 x 2 44) (I/2012) 2 2 2 Calcular el área de la porción de la superficie z x ( y 2) ,interior a x 2 y 2 2x 45) x2 2y (I/2012) Calcular : x dy y dx , si c : x 2 y 20 , en el primer cuadrante c x0 46) (I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según 2 2 2 lo siguiente: Interior a la superficie x y z 4 47) 2 2 y exterior a x y 3z , z 0 2 4 (I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y x 4 x 4 16 x 2 48) (II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de: 4 16 x 2 (2 x 3 y)dydx 2 (2 x 3 y)dydx 4 0 0 0 justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas 49) (II/2011) Invertir el orden de integración en: I 4 8x 0 4 x x2 f ( x, y)dydx 3 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 50) CODEX-CÁLCULO II (II/2011) JOSUE PAYE CHIPANA Calcular : I 2 xz 2 y 3e cos y dx 3 y z 2 x e seny dy x 1 2 y z dz 3z 2 3x 2 2 3 C: camino C ABCD, A(0,0,0) ; B(2,0,0); C(2,0,0); D(2,3,1) 51) 2 2 2 (II/2011) Calcular el área de la superficie: x y z 0 en el primer octante y limitada por x y 6 52) (II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x y z 8z 2 2 2 e interior a: z 2 3x 2 3 y 2 53) x 2 y 2 z 2 25 ; (II/2011) En el solido semi esférico z 0 la densidad varia proporcionalmente a la distancia de todo punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de masa de este cuerpo 54) (II/2011) Calcular la integral: I donde: F x y 2 i 2 x j 2 yz k , S: F d S R superficial del plano 2x + y + 2z = 6 en el primer octante 55) (I/2011) Determinar el volumen limitado por: 9 x 2 4 y 2 36z 2 36 , 9 x 2 4 y 2 36z 2 144 , 9 x 2 4 y 2 36 z 2 56) x 2 y 2 4 xy 6 (I/2011) Calcular la integral doble: ( x y )dydx si R : 2 2 x y 1 xy 1 R 57) (I/2011) Resolver: 2 2 1 (2 x y ) 2 ( z x) 2 ( y 3z ) 2 dxdydz R: R (2 x y) ( z x) ( y 3z ) 2 1 2 2 58) 2 2 (I/2011) Determinar el área interior a x y 4 x y exterior a r 2sen3 59) (I/2011) Calcular la integral de línea e xy ysenx e xy cos x 2 xy 2 dx xe xy senx 2 yx 2 dy C 1 x que une los puntos A( 0, ) , B ( 2 ,1) 2 (II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia 5 y exterior a la cardioide Donde C: es y 60) 51 cos 61) (II/2010) Hallar el volumen del combustible que transporta una cisterna, cuya sección circular tiene un radio 1[m], su longitud es de 6[m] y sus extremos son esféricos. La altura del combustible respecto del fondo tiene 1[m] 62) 2 2 (II/2010) Calcular el Área del paraboloide z x y z 2 y 2 x 2 4z 63) (II/2010) Comprobar el Teorema de Green en el Plano que esta dentro de la esfera 2 xy x dx x y dy 2 2 siendo C C 2 la curva cerrada que limita la región entre: y x , y x 4 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 64) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 2 2 2 (II/2010) Hallar el volumen limitado por las superficies: x y z 9 ; x y z 25 y z 2 3x 2 3 y 2 ; 3z 2 x 2 y 2 65) 66) (II/2010) Calcular el volumen que se genera al hacer girar el área encerrada por las rectas: y 4 x , y x 10 y x 4 y alrededor del eje “y” x y4 2 0,x y4 2 0 y y x 4 2 0 : que sea exterior a la circunferencia y 2 x 2 16 67) x y4 2 0, (I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas: (I/2010) Calcular la integral: 2 zx 2 2 zy 2 dxdydz Siendo V el volumen exterior: a z 2 x 2 y 2 e interior a z x 2 y 2 68) 2 2 2 (I/2010) Calcular el área de la superficie z x y 16 que este al exterior de z 2 x2 y 2 69) calcule la integral una parametrización de la elipse: 4 x 1 y 0 (I/2010) Considere la curva “C” 2 2 x y dx y x dy C (a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO ELÑ TEOREMA DE GREEN –RIEMANN 70) (I/2010) Calcule el volumen de la porción del solido comprendido entre las superficies z 12 y 2 x 2 71) (I/2010) 2 2 ; 4 z y x situado por encima de XY Hallar el trabajo realizado por una fuerza F x, y, z 2 x y z; x y z ;3x 2 y 4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z 1 con centro en el eje z y con radio 9 2 2 72) (II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies 2az x y ; 2 x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta dada por x, y, z 15 1 z 73) (II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z x y , xy a , 2 xy 2a 2 , y 74) 2 2 2 x , y 2x , z 0 2 2 2 (II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x y 4 y a la derecha de la recta x 1 75) 2 2 2 2 (II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x y z R es perforada por agujero cilíndrico x y r 2 76) 2 2 donde R r 2 2 (II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x 1 y 0 la integral , si calcule x y dx x y dy c 5 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 77) CODEX-CÁLCULO II (II/2009) Calcular la circulación JOSUE PAYE CHIPANA f d r del campo de velocidades de un fluido dado por c 2 2 2 f x, y , z arctan x 2 ,3 x , e 3 z tan z , a lo largo de la intersección de la esfera x y z 4 con el cilindro x y 1 considerar z 0 2 78) 2 (I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x y 1 , x y 9 , 2 2 x y 4 y x y 6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u x y 79) 2 2 v x y ) (I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2 x 2 y 2 2 que es el interior a x 2 y 2 2x 0 80) (I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y b a 2 x 2 ; z n donde n a es una constante. 81) x2 y (I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a x, y e , sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x y 1 4 2 82) (I/2009) Calcular: I e x2 dxdy 0 y 2 6 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II CAPITULO VI JOSUE PAYE CHIPANA INTEGRALES DE LÍNEA r t x t i y t j z t k t t1 ,t 2 es suave si x' t , y ' t , z ' t son continuas y no simultáneamente nulas en t t1 ,t 2 Definición: Sea una Curva C del espacio R3 representada por Si f ( x, y ) es función definida en una región del PLXY que contiene una curva C de longitud finita: se define f x, y ds lim f xi , x j si [INTEGRAL DE LINEA DE n 0 C i 1 LA FUNCION f x , y A LARGO DE LA CURVA C ] ds : Diferencial de longitud de curva (longitud de arco) -se generaliza para el espacio R3 I f x, y, z ds dx 2 dy 2 ds dx 2 dy 2 dz 2 ds C PROPIEDADES Si K R ; di f,g son integrales sobre 1) kf x, y ds k f x, y ds C 2) C f g x, y ds f x, y ds g x, y ds C 3) 4) C C f x, y ds f x, y ds C C (sentido de anti horario positivo) C f x, y ds f x, y ds f x, y ds C C1 (donde: C C1 C 2 ) C2 CALCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA Para calcular I f x, y ds se debe parametrizar C la Curva C x x(t ) C y y (t ) t2 I f x, y ds f x (t ), y (t ) x (t ) y (t ) dt C LA INTEGRAL 2 2 REAL Y SE t1 ES DEFINIDA CONOCIDOS YA EN CÁLCULO I PUEDE CALCULAR POR CAMINOS En General se puede parametrizar C de 3 maneras y f ( x) I fdx C 7 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA x g ( y) I fdy C x x(t ) C I fdt (recomendable) y y (t ) C f t f1 t , f 2 t representa un campo vectorial continuo sobre una curva Definición: Si suave C dado por r t x t i y t j z t k t t1 ,t 2 entonces w f d r d r dx i dx j c Representa al TRABAJO Total efectuado por el campo de fuerzas f t f1 t , f 2 t sobre una partícula que se mueve a lo largo de una curva INDEPENDECIA DE LA TRAYECTORIA TEOREMA: Sea la integral I f d r P( x, y), Q( x, y ) d r P( x, y)dx Q( x, y)dy C C -Sean P,Q línea continuas en una C región R que contiene a una curva C - Sean P1 y P2 puntos inicial y final de Si se cumple de C P Q (CONDICIÓN DE EULER) y x Si cumple la (CONDICIÓN DE EULER) LA INTEGRAL NO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA C solo depende de P1 y P2 puntos inicial y final de - Si el camino C de la curva es cerrada y y cumple con la CONDICIÓN I P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 DE EULER C -Un campo vectorial f x, y P( x, y ), Q x, y es f t F función escalar F ( x, y ) se cumple: CONSERVATIVO si para alguna P( x, y), Qx, y F , F x y F ( x, y ) se denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f 8 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA C INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA I f d r P( x, y)dx Q( x, y )dy es En este caso si cumple la condición de Euler C C I f d r F d r dFd ( x, y ) F x, y P1 F x, y P 2 F x, y P1 C P2 C C I F x, y P 2 F x, y P1 CALCULO DE LA INTEGRAL DE LINEA DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE 1) PRIMERA ESPECIE Caso I x x(t ) I f x, y ds C I fdt Los límites de t son dados por la Curva C y y (t ) C C Caso II Cuando en la ecuación Cartesiana de la curva se encuentra expresiones de la forma: x r cos x n y n si: : cos 2 sen 2 1 y rsen x r cosh : cosh 2 senh 2 1 y rsenh CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “y” 3.5 y r(t)=2sin(t ) 3 x 2 y 2 ay 2.5 2 ECUACION POLAR r asen 0 1.5 1 0.5 x -2 -1.5 -1 ECUACION ALGEBRAICA -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 -1 CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “x” y r(t) =2cos(t) 2 x 2 y 2 ax 1.5 1 ECUACION POLAR r a cos 0.5 x -1 -0.5 ECUACION ALGEBRAICA 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.5 -1 -1.5 -2 2 2 -2.5 LEMNISCATA ECUACION ALGEBRAICA 8 6 ( x2 y 2 )2 a 2 ( x 2 y 2 ) 4 2 -8 -6 -4 -2 ECUACION POLAR 2 4 6 r a cos 2 (LIMITE SOLO 4 4 -2 -4 -6 9 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PARA EL LAZO X>0) FOLIUM DE DESCARTE y 6 ECUACION ALGEBRAICA r (t)=(3(2 )(sin(t) )(co s(t) ))/(( cos(t)) ^(3) +(sin(t) )^3) x3 y 3 3axy 4 ECUACION POLAR 3asen cos cos3 sen 3 0 2 2 r x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -4 -6 MARIPOSA: Templey H. Fay. 4 ECUACION POLAR y r e cos 2 cos 4 0 24 r(t )=e^(cos(t))-2cos(4t ) 3 2 1 x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -2 -3 -4 LIMITES DE DE LOS ANGULOS Vamos a y realizar una regla por analogía tomamos una recta real: tenemos como referencia al cero ........ 7 6 5 4 3 2 1 REF X 1 2 3 4 5 6 7........ 0 x de la misma manera trabajan con los ángulos tomamos como referencia al eje X como 0ºo 0 en radianes GRAFICO y LIMITE DE ANGULO REF X x 0 2 10 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA y REF X x 2 2 y REF X 0 x y REF X x 0 2 Si se puede obtener la ECUACIÓN POLAR de la curva C r r entonces 2 dr I fdt f r , d s si ds r d d C C 2 2) SEGUNDA ESPECIE x x (t ) I P( x, y)dx Q( x, y)dy Solo es necesario paramétrica: C Los límites y y (t ) C de t son dados por la Curva C I P( xt , yt )dxt Q( xt , yt )dyt C 11 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 83) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PROBLEMAS (II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ Un campo vectorial f x, y P( x, y ), Q x, y es f t F función escalar F ( x, y ) se cumple: CONSERVATIVO si para alguna P( x, y), Qx, y F , F x y F ( x, y ) se denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f 84) (II/2013) Demuestre 1 y que el campo F cos x ln y, xy e ; es CONSERVATIVO y calcule la función potencial SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ 12 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 85) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 4 xy y ,2 x 2 xy ; a lo largo de la curva r (t ) (t 2 ,2t ) ; 0 t 2 (Grafique la curva) SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 86) (II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a) y 2 1 dx x 2 1 dy c (b) 2 x y dydx (c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green R SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 13 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 14 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 87) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x y 4 y a la derecha de la recta x 1 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 15 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 88) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x 1 y 0 la integral calcule x y dx x y dy c SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 16 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 6) (I/2014) Dibuje cuatro vectores del Campo Vectorial: f x, y 2 x y, x 2 y SOLUCIÓN______________________________________________________________ 6 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 7) (I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad: F G F G SOLUCIÓN______________________________________________________________ 7 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 89) (I/2010) CODEX-CÁLCULO II Hallar el trabajo realizado JOSUE PAYE CHIPANA por una fuerza F x, y, z 2 x y z; x y z ;3x 2 y 4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z 1 con centro en el eje z y con radio 9 2 SOLUCIÓN__________________________________________________________________ 17 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II CAPITULO VII JOSUE PAYE CHIPANA INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRAL DOBLE DEFINICIÓN: Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R esta dada por: n f ( x, y)dA lim f ( xi , yi )Ai R 0 i 1 siempre que el límite exista Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R VOLUMEN DE UNA REGIÓN SOLIDA Si f integrable sobre una región plana R f ( x, y) 0 para todo ( x, y) en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se define como: V f ( x, y )dA R NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que se encuentra sobre R z = f(x,y) f(i, i) 18 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE TEOREMA Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y : F c.f(x,y).dA = c. F f(x,y).dA TEOREMA Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces: F [f(x,y) + g(x,y)].dA = F f(x,y).dA + F g(x,y).dA El resultado de este teorema se puede extender a cualquier número finito de funciones integrables. Las demostraciones de los teoremas anteriores resultan directamente de la definición. TEOREMA Supongamos que f es integrable sobre una región cerrada F y m f(x,y) M (x,y) F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos: m . A(F) F f(x,y).dA M . A(F) TEOREMA Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) g(x,y) (x,y) F, entonces F f(x,y).dA F g(x,y).dA TEOREMA Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F1 y F2; es decir F1 F2 = 0 y F1 F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene: F f(x,y).dA = F1f(x,y).dA + F2f(x,y).dA INTEGRALES ITERADAS Sea: I f ( x, y)dA ,el vector diferencial Flecha (Limite Superior) R Cola (limite inferior) 19 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA I f ( x, y )dA Caso I: R f (x) R h( x) y f ( x) a xb Entonces la Región R : h ( x, y ) a I f ( x, y )dA b R f (x) b f ( x, y)dydx h( x ) a I f ( x, y )dA Caso II: R h( y ) f ( y) a R h( y ) x f ( y) b ya Entonces la Región R : b I f ( x, y )dA R f ( y) a f ( x, y)dxdy h( y ) b TRANSFORMACIONES (CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES) Sea f ( x, y).dx.dy R de donde x (u , v) y (u , v ) (1) y que esta transformación posee una ( , ) ( x , y ) u u ( x , y) inversa única dada por: por lo que el Jacobiano de (1) J 0 (u, v ) (u, v ) v v( x, y) (JACOBINAO ES UN FACTOR DE DEFORMACIÓN DILATACIÓN O CONTRACCIÓN)Al recinto R del plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v. 20 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1). v y R Ri R Ri R u x A un subrecinto Ri de R le corresponde un subrecinto Ri de R. Buscamos la relación que existe entre las áreas de Ri y Ri ; para lo cual podemos considerar a Ri compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a Ri. ( , ) f ( x, y)dx.dy F (u , v). J .du.dv F (u, v). (u, v) .du.dv R R R Con lo que hemos obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v). 1 x, y u, v u.v J x. y x, y dvdu I f ( x, y)dydx f (x ,y ) J (u,v) (u,v) u.v R R' Donde: J TRASFORMACIONES ESPECIALES CASO I) COORDENADAS POLARES: Cuando existe expresiones de la forma: y rsen ; x r cos x 2 y 2 por tanto JACOBIANO: J r CASO II) POLARIZACIÓN GENERALIZADA (COORDENADAS POLARES) Cuando existe expresiones de la forma: ( Ax) K ( By) K 1 por tanto x Ar cos P 2 2 cos sen 1 P y Brsen J ABpr cos p1 sen p 1 21 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II COORDENADAS POLARES si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección. JACOBIANO: CIRCULO: r asen ; r a cos J r r asen 3.5 r 2 sen y JOSUE PAYE CHIPANA r a cos r 2 cos y r (t)=2sin( t) r(t)=2 co s(t) 2 3 1.5 2.5 1 2 0.5 x 1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 -0.5 0.5 -1 x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 -1 2 2 0 r asen -1.5 0 -2.5 -2 x r cos 3 2 ASTROIDE: x 3 y 3 a 3 y rsen 3 0 r a cos 2 2 2 2 2 2 2 2 LEMNISCATA: ( x y ) a ( x y ) ; r a cos 2 r 2 a 2 cos 2 JACOBIANO: J r 2 2 JACOBIANO: J 3r cos sen y 8 x(t)=4cos(t)^(3) , y(t)=4sin(t)^(3) 6 6 4 4 x 4 cos 3 2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 y 4 sen3 -1 1 2 3 4 5 6 x 7 -8 -6 -4 4 2 -2 2 4 6 -2 -2 -4 -4 -6 -6 0 r a cos 2 0 0 4 4 solo es para los limites de 0ra 0 2 un cuarto de la región por existir asíntotas para el total se debe multiplicar por cuatro CARDIOIDE: si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección. la intersección con el eje x la realiza en +a y -a la intersección con el eje x la realiza en 2a y la intersección en el eje y en 2a" y la intersección en el eje y en +a y -a " r a(1 sen ) 8 r a (1 cos ) y y r(t)=2 (1 + sin(t)) r( t)=2( 1+ cos(t) ) 5 r a (1 sen ) 6 r a(1 cos ) 4 3 2 4 1 x -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 -1 -2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -4 -2 -4 0 r a (1 sen ) 0 2 0 r a (1 cos ) 0 2 22 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA LIMACON: CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA r a(1 bsen ) si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección. r a(1 b cos ) y 8 6 8 6 y r(t)=2(1+ 2COS(t)) f(x)=-X f(x)=0 6 4 2 4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -2 3 4 r a (1 bsen ) 6 -4 -6 0 r a (1 b cos ) r a (1 b cos ) Lazo mayor 0 2 6 Lazo mayor 0 r a (1 bsen ) 6 2 los limites de 6 los limites de 0 solo es para un medio de la región 2 2 solo es para un medio de la región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos Lazo menor 2 2 6 3 3 FOLIUM DE DESCARTE: x y 3axy ; 6 y 6 3asen cos cos3 sen 3 r JACOBIANO: J r r (t)=(3(2 )(sin(t) )(co s(t) ))/(( cos(t)) ^(3) +(sin(t) )^3) 3asen cos cos3 sen 3 0 2 4 0r 2 x -6 -5 -4 -3 -2 6 por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos Lazo menor 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 solo para el lazo -4 -6 ROSAS DE n PETALOS: si n es par entonces 2n pétalos si n es impar entonces n pétalos r a cos n r a cos n rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados r cos 2 par JACOBIANO: J r r cos 3 y rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados impar JACOBIANO: J r y r(t)=2 cos(3 t) 2.5 f(x)=(0.57735 )x r(t)=cos(2 t) 2 1 1.5 1 0.5 0.5 6 x x -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 1 -0.5 -1 -0.5 -1.5 -2 -1 0 r cos 2 0 2 0 r cos 3 los limites de 0 solo es para un sexto de la 0 6 6 región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por seis 23 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA r asen( n ) r asen( n ) rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados r sin 2 par JACOBIANO: J r rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados r sin 3 impar . JACOBIANO: J r y r(t)=sin (3 t) 1 y r(t)=sin (2 t) 1 0.5 0.5 x -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5 -0.5 -1 0 r a(1 sen ) 0 -1 0 r a (1 sen ) 0 2 CURVAS ESPECIALES: MARIPOSA: Templey H. Fay. r a cos( ) 2 r 3 cos( ) 2 JACO BIANO: J r r e cos 2 cos 4 y 4 r(t)=3cos(t)^2 y r(t)=e^(cos(t ))-2cos(4t) 3 3 2 2 1 x -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 3.5 -1 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -2 -1 -3 -2 -4 0 r a cos( ) 2 -3 0 2 -4 0 r e cos 2 cos 4 0 24 24 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA APLICACIONES INTEGRAL DOBLE Teorema o corolario de Green: Donde la curva es cerrada para calcular el área de la región R I (P( x, y) dx Q( x, y ) dy) ( c R ÁREA DE SUPERFICIES: para z f ( x, y) MASA: A 1 (Z x )2 (Z y )2 dA R m ( x, y)dA si es homogénea R CENTROIDE (CENTRO DE GRAVEDAD) : MOMENTOS DE INERCIA: Q P )dydx x y ( x, y) 1 x 1 x ( x, y)dA mR y I x y2(x, y)dA I y x2(x, y)dA R R 1 y ( x, y)dA mR En el origen: I 0 Ix Iy PROBLEMAS 90) (II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble? SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ V f ( x, y )dA R NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que se encuentra sobre R z = f(x,y) f(i, i) 25 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 4 2 91) (I/2009) Calcular: I e x dxdy 2 0 y 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 26 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 4 16 x 2 92) (II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de: 4 16 x 2 (2 x 3 y)dydx 2 (2 x 3 y)dydx 4 0 0 0 justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 27 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 5) (I/2014) Es integrable la función f x, y x 2 y definida en el rectángulo: 1 x 2 , 0 y 2? SOLUCIÓN______________________________________________________________ 5 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 1) (II/2014) Calcular la integral CODEX-CÁLCULO II y x 2 JOSUE PAYE CHIPANA dA R= 2,2 0,4 R SOLUCIÓN_______________________________________________________________ 1 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 4) (I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo SOLUCIÓN_______________________________________________________________ 4 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 93) CODEX-CÁLCULO II (II/2011) Invertir el orden de integración en: I 4 8x 0 4 x x2 JOSUE PAYE CHIPANA f ( x, y)dydx SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 94) (I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas: x y4 2 0,x y4 2 0 x y4 2 0, y y x 4 2 0 : que sea exterior a la circunferencia y 2 x 2 16 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 28 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 29 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 95) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x xy y 3 ; Haciendo el cambio x uv y u v ;Calcule e ( x 2 xy y 2 ) dA R SOLUCIÓN____________________________________________________________ 30 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 96) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas. xy 2 xy 4 xy 3 3 xy 3 6 ; y calcular el área SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ 31 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 97) (II/2012) calcular la integral CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA x2 2 2 R x 2 y 2 dydx; R: encerrada por: x y 4x SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 32 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 98) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 2 I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x y 1 , x y 9 , x y 4 y x y 6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u x y v x y ) SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 33 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA APLICACIONES 99) x2 y (I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a x, y e , sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x y 1 34 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 100) (I/2010) Considere la curva “C” calcule la integral 2 2 una parametrización de la elipse: 4 x 1 y 0 x y dx y x dy C (a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN –RIEMANN 35 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2) (II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x y 2 2 2 18x 2 y 2 SOLUCIÓN_______________________________________________________________ 2 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 101) 2 2 2 2 (II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x y z R , si 2 2 2 es perforada por agujero cilíndrico x y r donde R r SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 36 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 37 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 102) CODEX-CÁLCULO II 2 2 2 (I/2013) Calcular el área de la superficie: x y z 4 z z x2 y2 JOSUE PAYE CHIPANA cortada por el cono 1/ 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 38 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 39 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 103) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (II/2012) calcular el área del cilindro: y z 25 comprendida entre los planos y 2 x ; x0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 40 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 104) CODEX-CÁLCULO II (II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z y x , y 4x JOSUE PAYE CHIPANA y 2 2 , z 0 , y x , y 3x , 2 x SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 41 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 105) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (I/2012) Hallar el volumen limitado por: y 6 , z 2 y , z x 2 , z 2 x 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 42 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 106) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad 2 superficial está dada por x, y xy y 4 2 2 x SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 43 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 107) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA x2 2y (I/2012) Calcular : x dy y dx , si c : x 2 y 20 , en el primer cuadrante c x0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 44 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 108) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 (I/2010) Calcular el área de la superficie z x y 16 que este al exterior de z 2 x2 y 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 45 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2 x 2 y 2 2 109) que es el interior a x y 2x 0 2 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 46 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 47 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 110) CODEX-CÁLCULO II (I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y JOSUE PAYE CHIPANA b a 2 x 2 ; z n donde n a es una constante. SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 48 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 111) CODEX-CÁLCULO II 2 2 (II/2010) Calcular el Área del paraboloide z x y JOSUE PAYE CHIPANA que esta dentro de la esfera z 2 y 2 x 2 4z SOLUCIÓN__________________________________________________________________ 49 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II CAPITULO VII JOSUE PAYE CHIPANA INTEGRAL TRIPLE Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en subregiones Ri (i = 1,......,n) sin elementos interiores comunes, siendo los Ri de los modelos antes citados. Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es : R n f ( x, y, z ) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz i 1 Ri CAMBIO DE VARIABLE (TRANSFORMACIÓN) Sean R* y R dos regiones en los espacios (u,v,w) y (x,y,z) x x (u , v, w) respectivamente Sea : y (u , v, w) z (u , v, w) un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable sobre R* y tal que el JACOBIANO J del mismo no cambie de signo en R*. Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces R f ( x, y, z )dxdydz * f x(u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w) J (u , v, w) dudvdw R El J representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al aplicar . El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es : dV= J (u , v, w) dudvdw 50 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA COORDENADAS CILÍNDRICAS: Cuando existe expresiones de la forma: x2 y 2 x r cos ____r 0, y rsen ____ 0,2 _ o _ , z z ________z R JACOBIANO: J r COORDENADAS CILÍNDRICAS GENERALIZADAS x Ar cos P y Brsen P z Cz JACOBIANO: J ABC Pr cos p 1 sen p 1 COORDENADAS ESFÉRICAS: 2 2 2 Cuando existe expresiones de la forma: x y z x sen cos ____ 0, y sensen ____ 0,2 z cos ________ 0, JACOBIANO: J r 2 sen COORDENADAS ESFÉRICAS GENERALIZADAS x arsen p cos q ____ r 0, y brsen psen q ____ 0, 2 z cr cos p ________ 0, JACOBIANO: J abcpqr2 sen2 p1 cos p1 senq1 cosq1 51 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA APLICACIONES A INTEGRALES TRIPLES MASA: m (x, y, z)dv v MOMENTOS DE INERCIA: I ( y 2 z 2 ) (x, y, z)dv x v 2 2 I y ( x z ) (x, y, z)dv v 2 2 I z (x y ) (x, y, z)dv v CENTRO DE MASA x 1 x ( x, y, z)dv mv y 1 y ( x, y, z)dv mv z 1 z ( x, y, z )dv mv 52 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PROBLEMAS 112) (II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por: 4 4 cos SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ 53 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 113) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 (I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x 4 y z 4 ; 4 x 2 4 y 2 z 2 16 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 54 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 114) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según 2 2 2 lo siguiente: Interior a la superficie x y z 4 2 2 y exterior a x y 3z , z 0 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 55 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 56 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 115) (I/2010) Calcular la integral: CODEX-CÁLCULO II 2 zx 2 2 zy 2 dxdydz JOSUE PAYE CHIPANA Siendo V el volumen exterior: a z 2 x 2 y 2 e interior a z x 2 y 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 57 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 116) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA (II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies 2az x 2 y 2 ; x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta 2 dada por x, y, z 15 1 z SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 58 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 3) (II/2014) Calcular el volumen encerrado por las superficies: 4 x y z 4 ; z 4 x y , 2 z 0 2 2 2 2 2 interior a ambas SOLUCIÓN_______________________________________________________________ 3 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 59 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II 8) (I/2014) Calcular el volumen del helado cos (esfera) y JOSUE PAYE CHIPANA 4 (cono coordenadas esféricas) SOLUCIÓN______________________________________________________________ 8 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA 117) CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 (II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z x y , xy a , xy 2a 2 , y x , y 2x , z 0 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________ 60 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA EXÁMENES ( U.TOKIO – JAPON) 118) (I/2010) Evaluar x 2 2 x 2 y 2 dV donde “S” es el sólido exterior a x y 2 y y limitado S x 2 y 2 , x 2 y 2 z 12 , x y 0 por las superficies z 1 1 x 119) e (I/2010) Calcular: y x y y 2 dydx dA ,donde R es la región limitada por: x 5 e R 0 0 y 2 y 2 y , 2 y x e y , x y e 5, x y e2 2 2 (I/2010) (a) T u, v u v, u v x, y , A UV limitada por u v 1 , u v 1 , u 0 , v 0 Graficar la región R T ( A) en XY y calcular su área (b) la siguiente suma de integrales 120) está dada en coordenadas esféricas 3 4 2 6 cos sen 2 0 0 0 0 F , , d dd F , , d dd 0 3 3 2 donde F , , sen cos sen expresarla como una sola integral y calcular su valor 61 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 2 (I/2010) (a)Hallar el trabajo que realiza el campo de fuerzas F x, y x y ,2 xy x al 121) desplazar una particula de masa “m” en sentido anti-horario a lo largo de la frontera de la región limitada y 4 x2 x y 2, por (b) Dado el campo vectorial F x, y, z 1 2 x 2 e x seny, xe x cos y 2 y 2 z, f y .Hallar la función escalar f de modo que F 2 2 F x d x donde es la trayectoria que une los puntos A(0,0,9), sea gradiente y calcular B 5e, ,10 , C ln 7,5,6 y D1,2 ,1 desde A hasta D 4 2 (I/2009) Dadas la trasformación T u, v u v, u v y la región A contenida en el plano 122) UV y acotada por u v 1 , u 0 v 0 , (a) Determinar el área la región R T ( A) donde T u, v x, y (b) Usando la transformación T, calcular R 1 x y2 2 dxdy 123) (I/2009) La siguiente suma de integrales está dada en coordenadas cilíndricas, Usando un cambio adecuado, expresar como una sola integral y luego evaluar: 2 2 4 z z 2 2 r 0 1 2 2 1 2 3z r 0 0 4 r 2 r 0 0 124) 2 0 2 2 sen r cos z drdzd 2 2 sen r 2 cos 2 z 2 drdzd 0 sen r 2 cos 2 z 2 dzdrd 2 (I/2009) Usando coordenadas esféricas, calcular la masa total del solido S interior al elipsoide 4 x y z 16 y exterior al paraboloide y z 12x si f x, y, z y z 2 2 2 2 2 2 1 2 2 es la densidad de masa en cada punto sólido S. 125) (I/2009) Calcular e x cos ydx e x senydy Donde “C” esta expresada paramétricamente por C x(t ) cos t 3 126) y(t ) sen3t (I/2009) Dados los campos F x, y, z 2 xyz , x z z cos yz ,2 x yz y cos yz 2 2 2 2 vectoriales y x 1 Calcular las integrales de línea de F y G a lo largo G x, y 2 , 2 2 2 x y 2x 1 x y 2x 1 de las curvas 1 y 1 respectivamente, si 1 es una trayectoria que va desde A(0,0,1) hasta B (1, , 2) 2 2 c' 2 c' '2 c' ' ' 2 , siendo c' 2 el contorno del rectángulo de vértices 5,1 , 2,1 , c' ' 2 la curva cerrada y formada por las partes de las rectas x y 2 0 , x y 2 0 y la parábola x 4 y 2 2 3 y c' ' ' 2 : x 5 y 1 2 3 62 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA 2 2 (I/2006) Sea T u, v u v ,2uv una transformación y sea A una región en el plano UV 127) limitada por u v 1 , u 0 , v 0 (a) Calcular el área de la región R T ( A) (b) Hallar el valor de x 2 y 2 dxdy R 128) (I/2006) Calcular x2 z 2 y x y z x y z x y z dV arctg S1 S2 dV Donde S1 esta limitado por x y z 0 , x y z 0 , x y z 0 , 2 x z 1 S2 es el solido que se obtiene al rotar alrededor del eje Y la región del primer cuadrante acotado 2 2 por: x 3 y , y 3 x y x y 4 , 2 2 (I/2006) Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z x y 4 x 6 y 17 y 129) el plano z x 8 130) (I/2006) (a)Calcular y 2 e x dx x arctg y dy Donde es la frontera de la región 2 comprendida entre las parábolas 4 x y 2 , 2 x 8 y con orientación antihoraria, (b) Aplicar el Teorema de Green para hallar el área encerrado por el lazo de la curva Descrita por: x t t 2 1, t 3 t . 131) (I/2005) Hallar x 2 R1 y y x 3 y 2 dA exp dxdy ,donde x R2 R1 Es la región acotada por las curvas y x 3 , y x R2 Es la región acotada por las curvas y x , y 2 x , x 1 , x 2 2 2 (I/2005) La región acotada por las curvas y 3 , x y 1 , y 3 gira alrededor del 132) eje Y (a) Hallar las ecuaciones esféricas de las superficies de revolución (b) Hallar el volumen del sólido de revolución (I/2005) Calcular y S1 2 y 1 dV x 2 y 2 z 2 dV Donde S2 y y S1 es el solido limitado por los cilindros 2 x y 2e 2 , y x y e2 , x y e2 5, y 2 2x y 10 2e y los planos z 4 , z 4 S2 es el solido acotado por las superficies z 133) x2 y 2 . z 3 2 2 2 (I/2005) Hallar el centro de masa del solido S limitada superiormente por x y z 9 e interiormente por z x 2 y 2 ,si la densidad de masa en cada punto de S es x 2 y 2 z 2 xyz 134) (I/2005) Hallar el trabajo que realiza el campo de fuerzas F x, y 2 x 5 x 3 6 xy 1 y 2 , 5 sen 2 y 5 3 x 2 al mover una partícula de masa “m” a lo largo 63 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA de la curva CODEX-CÁLCULO II C: x2 y 2 4 x dx x(2 y 1)dy zdz donde 2 135) recorrida en JOSUE PAYE CHIPANA sentido anti horario. (b) calcular es la espiral x cos t , y sent , z t , t 0,2 (I/2003) (a) Hallar el valor de la siguiente suma de integrales: y y 0 3 f y 3 x 0 x y y dxdy y x 2 y 2 dxdy 3 y 0 f y x2 y2 3 y dxdy x 2 y 2 dxdy g y x2 3 3 2 2 2 Donde f y 3 9 y , g y 3 9 y (b)Hallar 2 f x , y 2 f x, y R x 2 y 2 dxdy Donde R 2 2 es la región limitada x y 1 , x y , x y 1 , y x 2 y f c R TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES TABLA DE DERIVADAS TABLA DE INTEGRALES Potencias 1. y u n (n R) y' n u n1 u' u n 1 k u u ' dx n 1 n (n 1) Exponenciales 2. y eu 3. u ya y' eu u' u u e u ' dx e k y ' a Lna u ' au a u ' dx Ln a k u u Logarítmicas 4. y Lnu 5. y lg a u y' y' u' u dx Ln | u | k u' u u' lg a e u Recuerda que: lg a b lg c b lg c a 64 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO II JOSUE PAYE CHIPANA Trigonométricas cos u u' dx sen u k sen u u' dx cos u k sec u u ' dx tg u k 6. y sen u y ' cos u u ' 7. y cos u y ' sen u u ' 8. y tg u y' sec2 u u ' 9. y arc sen u y' 10. y arc cos u y' 11. y arc tg u 12. y ku y' k u' (u v ) dx u dx v dx 13. y uv y ' u ' v' Integración por partes: 14. y u v y ' u ' v u v' 15. 16. y' u' 1 u u ' 2 1 u2 2 u ' dx 1 u u ' dx 1 u 2 2 arc sen u k arc cos u k u ' dx 1 u 2 arc tg u k u' 1 u2 Operaciones más usuales en derivadas e integrales y u v y uv y' v u ' u v ' v 2 y' v uv1 u' uv Lnu v' u dv u v v du Regla de la cadena: Si y(x)=y[u(v(x))] dy dy du dv dx du dv dx Derivada de la función inversa: Si y = f(x) ; x = g(y) g =1/f 65 INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA