Subido por Victor Brando Graus Aguilar

Pares Lab 1

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Solución:
Derivamos y:
𝑥
1
𝒚′ = − 2 𝑒 −2
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
𝑥
1
2
𝑥
2 [− 𝑒 −2 ] + 𝑒 −2 = 0
𝑥
𝑥
−𝑒 −2 + 𝑒 −2 = 0
,
𝐼 =< −∞, ∞ >
𝑥
∴ 𝑦 = 𝑒 −2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Solución:
Derivamos y:
6
𝑦 ′ = [0 − (−20) ∗ 5 𝑒 −20𝑡 ] = 24𝑒 −20𝑡
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
6
6
(24𝑒 −20𝑡 ) + 20 [ − 𝑒 −20𝑡 ] = 24?
5
5
24𝑒 −20𝑡 + 24 − 24𝑒 −20𝑡 = 24
𝑥𝜖 < −∞, ∞ >
6
6
∴ 𝑦 = 5 − 5 𝑒 −20𝑡 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Hallamos la primera derivada de y:
𝑦 ′ = (𝑒 3𝑥 )′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (𝑐𝑜𝑠2𝑥)′𝑒
3𝑥
𝑦 ′ = 3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑦 ′′ = 𝟑[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥]′ − 𝟐[(2𝑠𝑒𝑛2𝑥)′ 𝑒 3𝑥 + (𝑒 3𝑥 )′ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)]
𝑦 ′′ = 𝟑[3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] − 𝟐[(2𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑒 3𝑥 + 3𝑒 3𝑥 (𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑦 ′′ = 9𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 6(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 − 4(𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑒3𝑥 − 6𝑒3𝑥 (𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑦 ′′ = 5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
[5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] − 6[3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] + 13[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥] = 0?
5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 − 18𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 + 13[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥] = 0?
𝑥𝜖 < −∞, ∞ >
Derivamos:
𝑦 ′ = (−𝑐𝑜𝑠𝑥)′ ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + [ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥)]′(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) +
𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) +
(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥)′
(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥
(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑡𝑔𝑥) + sec 2 𝑥
(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥
𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) +
(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑡𝑔𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥)
(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥
𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) − 1
𝑑2 𝑦
Hallamos 𝑑𝑥 2 :
𝑦 ′′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + [𝐥𝐧(𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒈𝒙)]′(𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑦 ′′ = (𝑐𝑜𝑠𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(𝑠𝑒𝑛𝑥)
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
(𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝐥𝐧(𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒈𝒙) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(𝒔𝒆𝒏𝒙) + (−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 ?
(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑡𝑔𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑦) = [−2, ∞ >
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠:
1
𝑦 = 𝑥 + 4(𝑥 + 2)2
1
1
𝑦 ′ = 1 + 4 ∗ (𝑥 + 2)−2 ∗ 1
2
1
𝑦 ′ = 1 + 2(𝑥 + 2)−2
𝑦′ = 1 +
2
√𝑥 + 2
𝐷𝑜𝑚(𝑦) =< −2, ∞ >
Intersección de los dominios:
𝐼 =< −2, ∞ >
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
1
[𝑥 + 4(𝑥 + 2)2 − 𝑥] [1 +
2
√𝑥 + 2
1
] = 𝑥 + 4(𝑥 + 2)2 − 𝑥 + 8
1
4(𝑥 + 2)2 [1 +
1
2
√𝑥 + 2
1
] = 4(𝑥 + 2)2 + 8
1
4(𝑥 + 2)2 + 8 = 4(𝑥 + 2)2 + 8
𝑦 = 5𝑡𝑎𝑛5𝑥 , 𝑥 ∈< −∞, ∞ >
Derivando y:
𝑦 ′ = 25 sec 2 𝑥
Reemp:
𝑦 ′ = 25 + 𝑦 2
25 sec 2 𝑥 = 25 + (5𝑡𝑎𝑛𝑥)2
25 sec 2 𝑥 = 25 + 25 tan2 𝑥
25 sec 2 𝑥 = 25(1 + tan2 𝑥)
25 sec 2 𝑥 = 25 sec 2 𝑥
𝐼 =< −∞, ∞ >
Esta mal!
La 17 lo expone el grupo 2
Derivamos y:
𝑦 = (4 − 𝑥 2 )−1
𝑦 ′ = −(4 − 𝑥 2 )−2 (4 − 𝑥 2 )′
𝑦 ′ = 2𝑥(4 − 𝑥 2 )−2
𝑦′ =
2𝑥
(4 − 𝑥 2 )2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝:
𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 2
2𝑥
= 2𝑥 ∗ [(4 − 𝑥 2 )−1 ]2
(4 − 𝑥 2 )2
2𝑥
= 2𝑥 ∗ (4 − 𝑥 2 )−2
(4 − 𝑥 2 )2
2𝑥
2𝑥
=
2
2
(4 − 𝑥 )
(4 − 𝑥 2 )2
Derivamos y:
1
𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2
3
1
𝑦′ = − (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 (−𝑐𝑜𝑠𝑥)
2
𝑦′ =
1
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
∗
2 √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3
Reemplazando:
1 3
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
1
2[ ∗
] = [(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 ] 𝑐𝑜𝑠𝑥
2 √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
√(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
√(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3
Solución:
Derivamos implícitamente:
−𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏
−2[2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 ′ ] + 2𝑦𝑦 ′ = 0
−4𝑥𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 0
3
= (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 𝑐𝑜𝑠𝑥
=
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
√(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3
−2𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 4𝑥𝑦
Factorizamos 2y’
−2𝑦′(𝑥 2 − 𝑦) = 4𝑥𝑦
−𝑦′(𝑥 2 − 𝑦) = 2𝑥𝑦
𝑑𝑦 2
(𝑥 − 𝑦) = −2𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦(𝑥 2 − 𝑦) = −2𝑥𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑦(𝑥 2 − 𝑦) + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0
Hallamos una solución explícita:
−𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏
𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 − 1 = 0
𝑦=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑦=
2𝑥 2 ± √(−2𝑥 2 )2 − 4(1)(−1)
2
𝑦=
2𝑥 2 ± √4𝑥 4 + 4
2
𝑦=
2𝑥 2 ± 2√𝑥 4 + 1
2
𝑦 = 𝑥 2 ± √𝑥 4 + 1
𝐼 =< −∞, ∞ >
Solución:
Derivamos implícitamente:
′
𝑥
𝑑𝑦
2
2
2 ′
= [𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡] + [𝑐1 𝑒 −𝑥 ]
𝑑𝑥
0
𝑥
𝑑𝑦
2
2
2
2
2
= −2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒 −𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
0
𝑥
𝑑𝑦
2
2
2
= −2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 1 − 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
0
𝑥
𝑑𝑦
2
2
2
+ 2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥 = 1
𝑑𝑥
0
Factorizamos 2x
𝑥
𝑑𝑦
2
2
2
+ 2𝑥 [𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐1 𝑒 −𝑥 ] = 1
𝑑𝑥
0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 = 1
, 𝐼 =< −∞, ∞ >
Solución:
Derivamos 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥
Reemplazando:
5(𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) = 2(𝑒 𝑚𝑥 )
𝑚=
2
5
2
∴ 𝑦 = 𝑒 5𝑥
Solución:
Derivamos 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥
𝑦 ′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥
Reemplazando:
2(𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 ) + 7(𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) − 4(𝑒 𝑚𝑥 ) = 0
2𝑚2 + 7𝑚 − 4 = 0
(2𝑚 − 1)(𝑚 + 4) = 0
Luego:
𝑚=
1
∨ 𝑚 = −4
2
2
∴ 𝑦 = 𝑒 5𝑥
Solución:
Derivamos 𝑦 = 𝑥 𝑚
𝑦 ′ = 𝒎𝒙𝒎−𝟏
𝑦 ′′ = 𝒎(𝒎 − 𝟏)𝒙𝒎−𝟐
Reemplazando:
𝑥 2 [𝒎(𝒎 − 𝟏)𝒙𝒎−𝟐 ] − 7𝑥(𝒎𝒙𝒎−𝟏 ) + 15(𝑥 𝑚 ) = 0
𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 ∗ 𝑥 −2 − 7𝑥𝑚𝑥 𝑚 ∗ 𝑥 −1 + 15𝑥 𝑚 = 0
𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 − 7𝑚𝑥 𝑚 + 15𝑥 𝑚 = 0
[𝑚(𝑚 − 1) − 7𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0
[𝑚2 − 𝑚 − 7𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0
[𝑚2 − 8𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0
(𝑚 − 5)(𝑚 − 3)𝑥 𝑚 = 0
Donde:
𝑚=5 ∨𝑚=3
𝑥𝑚 = 0 ↔ 𝑥 = 0
Por lo tanto:
∴ 𝑦 = 𝑥5
∴ 𝑦 = 𝑥3
Solución:
𝑦 = 𝑐 ↔ 𝑦′ = 0
Reemplazamos.
0 = 𝑐 2 + 2𝑐 − 3
0 = (𝑐 + 3)(𝑐 − 1)
𝑐 = −3 ∨ 𝑐 = 1
Por lo tanto:
∴𝑦 =3,
∴𝑦=1
Solución:
𝑦 = 𝑐 ↔ 𝑦′ = 0
Reemplazamos.
0 + 4(0) + 6𝑐 = 10
𝑐=
5
3
Por lo tanto:
∴𝑦=
5
3
Solución:
Hallamos la segunda derivada de x
1
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡
5
1
𝑥′ = −2𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑒 𝑡
5
𝟏
𝒙′′ = −𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕
𝟓
Hallamos la segunda derivada de y
1
𝑦 = −𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒 𝑡
5
1
𝑦 ′ = 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑒 𝑡
5
𝟏
𝒚′′ = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕
𝟓
Comprobamos en:
𝑑2 𝑥
= 4𝑦 + 𝑒 𝑡
𝑑𝑡 2
𝟏
1
−𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = 4 [−𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒𝑡 ] + 𝑒𝑡
𝟓
5
𝟏
4
−𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = −4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡
𝟓
5
𝟏
1
−𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = −4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡
𝟓
5
Luego comprobamos en:
𝑑2 𝑦
= 4𝑥 − 𝑒 𝑡
𝑑𝑥 2
𝟏
1
𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4 [𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 ] − 𝑒 𝑡
𝟓
5
𝟏
4
𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡
𝟓
5
𝟏
𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 1
𝟓
Ejemplo 1:
𝑦 = 𝑒 𝑥 → 𝑦′ = 𝑒 𝑥
𝑦′ − 𝑦 = 0
Ejemplo 2:
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑘𝑒 𝑥
Derivamos implícitamente:
2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ − 6 + 10𝑦 ′ + 0 = 0
2𝑦𝑦 ′ + 10𝑦 ′ = −2𝑥 + 6
[2𝑦 + 10]𝑦′ = −2𝑥 + 6
𝑦′ =
−2𝑥 + 6
[2𝑦 + 10]
𝑦′ =
−𝑥 + 3
[𝑦 + 5]
𝑌1′′ + 3𝑌1′ − 4𝑌1 = 0
𝑌2′′ + 3𝑌2′ − 4𝑌2 = 0
Despejamos Y en cada ecuación:
𝑌1 =
−𝑌1′′ − 3𝑌1′
4
𝑌2 =
−𝑌2′′ − 3𝑌2′
4
𝑌1 + 𝑌2 =
−𝑌1′′ − 3𝑌1′ −𝑌2′′ − 3𝑌2′
+
4
4
𝑌1 + 𝑌2 =
𝑌1 + 𝑌2 =
−𝑌1′′ − 3𝑌1′ −𝑌2′′ − 3𝑌2′
4
4
−(𝑌1′′ + 𝑌2′′ ) − 3(𝑌1′′ + 𝑌2′′ )
4
𝑦 ′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦 ′′ = −𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑦
= 𝑦3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑑𝑥
𝑦3
∫
𝑑𝑦
= ∫ 𝑑𝑥
𝑦3
∫ 𝑦 −3 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥
𝑦 −2
+ 𝐶1 = 𝑥 + 𝐶2
−2
𝑦 −2
=𝑥+𝐶
−2
𝑦 −2 = 𝑥 − 2𝐶
𝑦 −2 = 𝑥 + 𝐶
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