Solución: Derivamos y: 𝑥 1 𝒚′ = − 2 𝑒 −2 Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: 𝑥 1 2 𝑥 2 [− 𝑒 −2 ] + 𝑒 −2 = 0 𝑥 𝑥 −𝑒 −2 + 𝑒 −2 = 0 , 𝐼 =< −∞, ∞ > 𝑥 ∴ 𝑦 = 𝑒 −2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Solución: Derivamos y: 6 𝑦 ′ = [0 − (−20) ∗ 5 𝑒 −20𝑡 ] = 24𝑒 −20𝑡 Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: 6 6 (24𝑒 −20𝑡 ) + 20 [ − 𝑒 −20𝑡 ] = 24? 5 5 24𝑒 −20𝑡 + 24 − 24𝑒 −20𝑡 = 24 𝑥𝜖 < −∞, ∞ > 6 6 ∴ 𝑦 = 5 − 5 𝑒 −20𝑡 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Hallamos la primera derivada de y: 𝑦 ′ = (𝑒 3𝑥 )′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (𝑐𝑜𝑠2𝑥)′𝑒 3𝑥 𝑦 ′ = 3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑦 ′′ = 𝟑[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥]′ − 𝟐[(2𝑠𝑒𝑛2𝑥)′ 𝑒 3𝑥 + (𝑒 3𝑥 )′ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)] 𝑦 ′′ = 𝟑[3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] − 𝟐[(2𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑒 3𝑥 + 3𝑒 3𝑥 (𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑦 ′′ = 9𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 6(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 − 4(𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑒3𝑥 − 6𝑒3𝑥 (𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑦 ′′ = 5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: [5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] − 6[3𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 ] + 13[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥] = 0? 5𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 − 18𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 12(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑒 3𝑥 + 13[𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥] = 0? 𝑥𝜖 < −∞, ∞ > Derivamos: 𝑦 ′ = (−𝑐𝑜𝑠𝑥)′ ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + [ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥)]′(−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + 𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥)′ (−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑡𝑔𝑥) + sec 2 𝑥 (−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑡𝑔𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥) (−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 ′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) − 1 𝑑2 𝑦 Hallamos 𝑑𝑥 2 : 𝑦 ′′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + [𝐥𝐧(𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒈𝒙)]′(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦 ′′ = (𝑐𝑜𝑠𝑥) ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(𝑠𝑒𝑛𝑥) Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝐥𝐧(𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒈𝒙) + (𝒔𝒆𝒄𝒙)(𝒔𝒆𝒏𝒙) + (−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 ? (𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝐷𝑜𝑚(𝑦) = [−2, ∞ > 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠: 1 𝑦 = 𝑥 + 4(𝑥 + 2)2 1 1 𝑦 ′ = 1 + 4 ∗ (𝑥 + 2)−2 ∗ 1 2 1 𝑦 ′ = 1 + 2(𝑥 + 2)−2 𝑦′ = 1 + 2 √𝑥 + 2 𝐷𝑜𝑚(𝑦) =< −2, ∞ > Intersección de los dominios: 𝐼 =< −2, ∞ > Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: 1 [𝑥 + 4(𝑥 + 2)2 − 𝑥] [1 + 2 √𝑥 + 2 1 ] = 𝑥 + 4(𝑥 + 2)2 − 𝑥 + 8 1 4(𝑥 + 2)2 [1 + 1 2 √𝑥 + 2 1 ] = 4(𝑥 + 2)2 + 8 1 4(𝑥 + 2)2 + 8 = 4(𝑥 + 2)2 + 8 𝑦 = 5𝑡𝑎𝑛5𝑥 , 𝑥 ∈< −∞, ∞ > Derivando y: 𝑦 ′ = 25 sec 2 𝑥 Reemp: 𝑦 ′ = 25 + 𝑦 2 25 sec 2 𝑥 = 25 + (5𝑡𝑎𝑛𝑥)2 25 sec 2 𝑥 = 25 + 25 tan2 𝑥 25 sec 2 𝑥 = 25(1 + tan2 𝑥) 25 sec 2 𝑥 = 25 sec 2 𝑥 𝐼 =< −∞, ∞ > Esta mal! La 17 lo expone el grupo 2 Derivamos y: 𝑦 = (4 − 𝑥 2 )−1 𝑦 ′ = −(4 − 𝑥 2 )−2 (4 − 𝑥 2 )′ 𝑦 ′ = 2𝑥(4 − 𝑥 2 )−2 𝑦′ = 2𝑥 (4 − 𝑥 2 )2 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝: 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 2 2𝑥 = 2𝑥 ∗ [(4 − 𝑥 2 )−1 ]2 (4 − 𝑥 2 )2 2𝑥 = 2𝑥 ∗ (4 − 𝑥 2 )−2 (4 − 𝑥 2 )2 2𝑥 2𝑥 = 2 2 (4 − 𝑥 ) (4 − 𝑥 2 )2 Derivamos y: 1 𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 3 1 𝑦′ = − (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 (−𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 𝑦′ = 1 (𝑐𝑜𝑠𝑥) ∗ 2 √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 Reemplazando: 1 3 (𝑐𝑜𝑠𝑥) 1 2[ ∗ ] = [(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 ] 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 (𝑐𝑜𝑠𝑥) √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 (𝑐𝑜𝑠𝑥) √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 Solución: Derivamos implícitamente: −𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 −2[2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 ′ ] + 2𝑦𝑦 ′ = 0 −4𝑥𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 0 3 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑐𝑜𝑠𝑥) √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 −2𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 4𝑥𝑦 Factorizamos 2y’ −2𝑦′(𝑥 2 − 𝑦) = 4𝑥𝑦 −𝑦′(𝑥 2 − 𝑦) = 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 2 (𝑥 − 𝑦) = −2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦(𝑥 2 − 𝑦) = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦(𝑥 2 − 𝑦) + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0 Hallamos una solución explícita: −𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 − 1 = 0 𝑦= −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑦= 2𝑥 2 ± √(−2𝑥 2 )2 − 4(1)(−1) 2 𝑦= 2𝑥 2 ± √4𝑥 4 + 4 2 𝑦= 2𝑥 2 ± 2√𝑥 4 + 1 2 𝑦 = 𝑥 2 ± √𝑥 4 + 1 𝐼 =< −∞, ∞ > Solución: Derivamos implícitamente: ′ 𝑥 𝑑𝑦 2 2 2 ′ = [𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡] + [𝑐1 𝑒 −𝑥 ] 𝑑𝑥 0 𝑥 𝑑𝑦 2 2 2 2 2 = −2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒 −𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 𝑥 𝑑𝑦 2 2 2 = −2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 1 − 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 𝑥 𝑑𝑦 2 2 2 + 2𝑥𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 2𝑥𝑐1 𝑒 −𝑥 = 1 𝑑𝑥 0 Factorizamos 2x 𝑥 𝑑𝑦 2 2 2 + 2𝑥 [𝑒 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐1 𝑒 −𝑥 ] = 1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 1 , 𝐼 =< −∞, ∞ > Solución: Derivamos 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 Reemplazando: 5(𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) = 2(𝑒 𝑚𝑥 ) 𝑚= 2 5 2 ∴ 𝑦 = 𝑒 5𝑥 Solución: Derivamos 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 Reemplazando: 2(𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 ) + 7(𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) − 4(𝑒 𝑚𝑥 ) = 0 2𝑚2 + 7𝑚 − 4 = 0 (2𝑚 − 1)(𝑚 + 4) = 0 Luego: 𝑚= 1 ∨ 𝑚 = −4 2 2 ∴ 𝑦 = 𝑒 5𝑥 Solución: Derivamos 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑦 ′ = 𝒎𝒙𝒎−𝟏 𝑦 ′′ = 𝒎(𝒎 − 𝟏)𝒙𝒎−𝟐 Reemplazando: 𝑥 2 [𝒎(𝒎 − 𝟏)𝒙𝒎−𝟐 ] − 7𝑥(𝒎𝒙𝒎−𝟏 ) + 15(𝑥 𝑚 ) = 0 𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 ∗ 𝑥 −2 − 7𝑥𝑚𝑥 𝑚 ∗ 𝑥 −1 + 15𝑥 𝑚 = 0 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 − 7𝑚𝑥 𝑚 + 15𝑥 𝑚 = 0 [𝑚(𝑚 − 1) − 7𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0 [𝑚2 − 𝑚 − 7𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0 [𝑚2 − 8𝑚 + 15]𝒙𝒎 = 0 (𝑚 − 5)(𝑚 − 3)𝑥 𝑚 = 0 Donde: 𝑚=5 ∨𝑚=3 𝑥𝑚 = 0 ↔ 𝑥 = 0 Por lo tanto: ∴ 𝑦 = 𝑥5 ∴ 𝑦 = 𝑥3 Solución: 𝑦 = 𝑐 ↔ 𝑦′ = 0 Reemplazamos. 0 = 𝑐 2 + 2𝑐 − 3 0 = (𝑐 + 3)(𝑐 − 1) 𝑐 = −3 ∨ 𝑐 = 1 Por lo tanto: ∴𝑦 =3, ∴𝑦=1 Solución: 𝑦 = 𝑐 ↔ 𝑦′ = 0 Reemplazamos. 0 + 4(0) + 6𝑐 = 10 𝑐= 5 3 Por lo tanto: ∴𝑦= 5 3 Solución: Hallamos la segunda derivada de x 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 5 1 𝑥′ = −2𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑒 𝑡 5 𝟏 𝒙′′ = −𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 𝟓 Hallamos la segunda derivada de y 1 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒 𝑡 5 1 𝑦 ′ = 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑒 𝑡 5 𝟏 𝒚′′ = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 𝟓 Comprobamos en: 𝑑2 𝑥 = 4𝑦 + 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 2 𝟏 1 −𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = 4 [−𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒𝑡 ] + 𝑒𝑡 𝟓 5 𝟏 4 −𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = −4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝟓 5 𝟏 1 −𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 = −4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 𝟓 5 Luego comprobamos en: 𝑑2 𝑦 = 4𝑥 − 𝑒 𝑡 𝑑𝑥 2 𝟏 1 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4 [𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 ] − 𝑒 𝑡 𝟓 5 𝟏 4 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 𝟓 5 𝟏 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 1 𝟓 Ejemplo 1: 𝑦 = 𝑒 𝑥 → 𝑦′ = 𝑒 𝑥 𝑦′ − 𝑦 = 0 Ejemplo 2: 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑘𝑒 𝑥 Derivamos implícitamente: 2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ − 6 + 10𝑦 ′ + 0 = 0 2𝑦𝑦 ′ + 10𝑦 ′ = −2𝑥 + 6 [2𝑦 + 10]𝑦′ = −2𝑥 + 6 𝑦′ = −2𝑥 + 6 [2𝑦 + 10] 𝑦′ = −𝑥 + 3 [𝑦 + 5] 𝑌1′′ + 3𝑌1′ − 4𝑌1 = 0 𝑌2′′ + 3𝑌2′ − 4𝑌2 = 0 Despejamos Y en cada ecuación: 𝑌1 = −𝑌1′′ − 3𝑌1′ 4 𝑌2 = −𝑌2′′ − 3𝑌2′ 4 𝑌1 + 𝑌2 = −𝑌1′′ − 3𝑌1′ −𝑌2′′ − 3𝑌2′ + 4 4 𝑌1 + 𝑌2 = 𝑌1 + 𝑌2 = −𝑌1′′ − 3𝑌1′ −𝑌2′′ − 3𝑌2′ 4 4 −(𝑌1′′ + 𝑌2′′ ) − 3(𝑌1′′ + 𝑌2′′ ) 4 𝑦 ′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 ′′ = −𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑦3 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 𝑦3 ∫ 𝑦 −3 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 𝑦 −2 + 𝐶1 = 𝑥 + 𝐶2 −2 𝑦 −2 =𝑥+𝐶 −2 𝑦 −2 = 𝑥 − 2𝐶 𝑦 −2 = 𝑥 + 𝐶