Formulario A ➟ Integrales 277 ➠ Formulario A: Integrales En este formulario: a, b, p, q, C ∈ son constantes reales, m, n ∈ N son enteros positivos y u = u ( x ) y v = v( x ) son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. 2. ∫ k dx = kx + C 3. ∫ ( a ⋅ u ± b ⋅ v )dx = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C 4. n ∫ u du = 5. ∫ u dv = uv − ∫ v du 6. a +C ln(a ) n du = 22. ∫ csc(u )cot(u ) du = − csc(c) + C 20. ∫ 0 dx = C ∫a 21. u sen(2u ) + +C 2 4 2 ∫ cos (u ) du = 1 [ u + sen(u )cos(u )] + C 2 sec( u ) tan( u ) du = sec(u ) + C ∫ u n+1 + C; ∀ n ≠ −1 regla de la potencia n +1 integración por partes Fórmulas trigonométricas hiperbólicas n 23. ∫ sen h(u ) du = cosh(u ) + C 7. du ∫ u = ln | u | +C 24. 8. ∫ cosh(u ) du = sen h(u ) + C ∫e 25. ∫ tanh(u ) du = ln [ cosh(u )] + C 26. ∫ coth(u ) du = ln [sen h(u )] + C 27. sen −1 [ tanh(u )] + C sech( u ) du = ∫ u −1 2 tanh e + C 28. u ln tanh + C ∫ csch(u ) du = 2 −2 coth −1 eu + C u dx = e + C u Fórmulas trigonométricas 9. ∫ sen(u ) du = − cos(u ) + C 10. ∫ cos(u ) du = sen(u ) + C 11. ∫ tan(u )du = 12. ∫ cot(u ) du = ln [sen(u )] + C 29. ∫ sech (u ) du = tanh(u ) + C 13. ln [ sec(u ) + tan(u )] + C sec( u ) du = u π ∫ ln tan 2 + 4 + C 30. ∫ csch (u ) du = − coth(u ) + C 31. ∫ tanh (u ) du = u − tanh(u ) + C 32. ∫ coth 14. ln [ csc(u ) − cot(u )] + C csc( u ) du = u ∫ ln tan + C 2 33. sen h(2u ) u − +C 4 2 ∫ sen h (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) − u ] + C 2 34. sen h(2u ) u + +C 4 2 ∫ cosh (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) + u ] + C 2 35. ∫ sech(u ) tanh(u ) du = − sech(u ) + C 36. ∫ csch(u )coth(u ) du = − csch(u ) + C 15. ln [ sen(u )] + C − ln [ cos(u )] + C ∫ sec (u ) du = tan(u ) + C 2 16. ∫ csc (u ) du = − cot(u ) + C 17. ∫ tan (u ) du = tan(u ) − u + C 2 2 18. ∫ cot 19. u sen(2u ) − +C 2 4 ∫ sen (u ) du = 1 [ u − sen(u )cos(u )] + C 2 2 (u ) du = − cot(u ) − u + C 2 Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán ( ) ( ) 2 2 2 2 (u ) du = u − coth(u ) + C 2 2 Alfaomega 3 278 Formulario A ➟ Integrales Fórmulas con Fórmulas con 1 du 37. ∫ au + b = a ln ( au + b ) + C 56. ∫ 38. u b u ∫ au + b du = a − a ln ( au + b ) + C 2 au + b du = +C a au + b 57. ∫ u 2(au − 2b ) du = au + b + C 3a 2 au + b 58. ∫ u2 2(3a 2 u 2 − 4 abu + 8b 2 ) du = au + b + C 15 a 3 au + b 59. 1 au + b − b +C ln b au + b + b du ∫ u au + b = au + b 2 tan −1 +C −b b − 39. 2 u2 ∫ au + b du = u3 40. ∫ au + b du = − (au + b )2 2b(au + b ) b 2 + 3 ln ( au + b ) + C − a3 a 2a 3 (au + b )3 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 − 4 ln(au + b ) + C − + a4 a 3a 4 2a 4 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 + − 4 ln(au + b ) + C 2a 4 a4 a du = 1 du u 41. ∫ u(au + b) = b ln au + b + C 42. du 1 a au + b ∫ u 2 (au + b) = − bu + b2 ln u + C 43. ∫ (au + b) 44. ∫ (au + b) 45. ∫ (au + b) 46. 47. du u du ∫ (au + b) 49. ∫ (au + b) 50. u 52. 53. =− 2 du = b 1 + ln(au + b ) + C a 2 (au + b ) a 2 2b au + b b2 − ln(au + b ) + C − 3 a3 a (au + b ) a 3 du 1 1 u ∫ u(au + b)2 = b(au + b) + b2 ln au + b + C du a 1 2 a au + b ∫ u 2 (au + b)2 = − b2 (au + b) − b2u + b 3 ln u + C u2 48. 51. 1 +C a(au + b ) 2 u 2 1 +C 2(au + b )2 3 =− 3 du = − 2 ∫ (au + b) du = 3 du = 1 b + +C a 2 (au + b ) 2 a 2 (au + b )2 2b b 1 + ln(au + b ) + C − a 3 (au + b ) 2 a 3 (au + b )2 a 3 (au + b ) +C 2a n+1 (au + b ) n ∫ (au + b) du = (n + 1)a + C ∫ (au + b) du = n ∫ u(au + b) du = ∀ n ≠ −1 (au + b )n+2 b(au + b )n+1 − (n + 2)a 2 (n + 1)a 2 2 n 54. ∫ u (au + b) du = (au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 1)a 3 (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 ∫u 2 61. ∫ au + b du = 62. ∫u 63. ∫u 64. ∫ au + b du du = 2 au + b + b ∫ u u au + b 65. ∫ au + b au + b a du + ∫ du = − u2 u 2 u au + b 66. ∫ um 2u m au + b 2 mb u m−1 du = du − (2 m + 1)a (2 m + 1)a ∫ au + b au + b 67. ∫u m 68. ∫u 69. ∫ au + b au + b a du du = − + ( m − 1)u m−1 2( m − 1) ∫ u m−1 au + b um ∫ au + b au + b (au + b ) 2 (2 m − 5)a du = − − du um ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 2 2 2 (au + b )3 +C 3a au + b du = 2 m 2(3au − 2b ) (au + b )3 + C 15 a 2 au + b du = 2(15 a 2 u 2 − 12 abu + 8b 2 ) (au + b )3 + C 105 a 3 du au + b (2 m − 3)a du =− − ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 au + b au + b au + b du = 3 2u m 2 mb (au + b ) 2 − u m−1 au + bdu (2 m + 3)a (2 m + 3)a ∫ 3 ∀ n ≠ −1, −2 (au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 (n + 1)a 3 ∀n ≠ −1, −2, −3 du au + b a du =− − bu 2b ∫ u au + b au + b 60. 70. m+ 2 ∀n ≠ −1, −2, −3 m 2(au + b ) 2 +C 71. ∫ (au + b) 2 du = a( m + 2) 72. m+ 4 m+ 2 2(au + b ) 2 2b(au + b ) 2 ∫ u(au + b) du = a2 (m + 4) − a2 (m + 2) + C m 2 u m+1 (au + b )n nb m+ 6 m+ 4 m+ 2 + u m (au + b )n−1 du 55. m 2b 2 (au + b ) 2 2(au + b ) 2 4 b(au + b ) 2 m + n +1 m + n +1∫ 2 2 ∫ u (au + b) du = a 3 (m + 6) − a 3 (m + 4) + a 3 (m + 2) + C 73. u m (au + b )n+1 mb m −1 n m n ( ) − u au + b du u au + b du = ( ) ∫ ∫ m+ 6 m+ 4 m+ 2 ( m + n + 1)a ( m + n +m 1)a 2 2 2 2 2 b ( au + b ) 2( au + b ) 4 b ( au b ) + u m+1 (au + bu)n2+(1au m 2 + 2= m +C + n+1 − 3au + b ) 3 3 ∫ + + b+) n du ( u du − a ( m + 2) a ( m + 4) (n + 1)b (n + 1)b ∫ a ( m + 6) Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 279 Formulario A ➟ Integrales m m 74. (au + b ) 2 2(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u du = m + b ∫ u 75. (au + b ) 2 (au + b ) ∫ u 2 du = − bu m 76. ∫ du u (au + b ) = m 2 m+ 2 2 m− 2 2 du m am (au + b ) 2 + du 2b ∫ u 2 b( m − 2)(au + b ) m− 2 2 + 1 b∫ du u (au + b ) 93. ∫u 94. ∫ 95. ∫u m− 2 2 (u (u du +a 2 um +a 2 (u m ) du = ∫ ) 2 n du 2 1 1 du + 2 a 2 (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 a 2 ∫ u (u 2 + a 2 )n−1 = 2 n +a ) 2 n (u u m− 2 2 +a ) 2 n−1 du − a 2 ∫ 1 du a2 ∫ u m u 2 + a2 = ( 96. 1 u − a ln +C du 2a u + a ∫ u 2 − a2 = 1 −1 u − coth + C a a 97. ∫u 2 98. ∫u 2 81. u2 du 1 ∫ u(u 2 + a2 ) = 2a2 ln u 2 + a2 + C 99. ∫u 2 82. du 1 1 −1 u ∫ u 2 (u 2 + a2 ) = − a2u − a 3 tan a + C 100. ∫ 2 2 = 2 ln u (u − a ) 2 a 83. u2 du 1 1 ∫ u 3 (u 2 + a2 ) = − 2a2u 2 − 2a 4 ln u 2 + a2 + C du 1 u = tan −1 + C a + a2 a 77. ∫u 2 78. ∫u 2 79. u2 −1 u ∫ u 2 + a2 du = u − a tan a + C 80. u3 u 2 a2 2 2 ∫ u 2 + a2 du = 2 − 2 ln u + a + C 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. u 1 du = ln u 2 + a 2 + C + a2 2 ( ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ (u (u (u (u ∫u ∫u ∫u 91. ∫ 92. ∫ 2 u 2 3 (u (u + a2 u2 2 + a2 u 2 (u 2 + a2 ) 2 2 du = − 2 ) +a du 2 + a2 du 2 + a2 du + a2 u +a ) ) n 2 n ) ) 2 103. ∫ 1 +C 2(u 2 + a 2 ) 2 du = − 1 1 1 u−a 1 (u du − a2 2 ) =− 2 u2 u 1 u − a − ln +C 2 a 2 (u 2 − a 2 ) 4 a 3 u + a 1 u 105. ∫ 106. ∫ ∫ (u 1 +C 2(n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán du 2 + a2 ( ( u2 u − a2 2 u3 u 2 − a2 107. ∫ u 1 1 1 u2 − 4 2 − 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u 2 a (u + a ) a u + a 2 u 2n − 3 =− 2 + 2 a (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 (2 n − 2)a 2 u 2 − a2 +C u 2 104. ∫ 2 2 2 du = − 2 2 + C (u − a ) 2(u − a ) 1 u 3 u =− 4 − 4 2 − tan −1 + C a a u 2 a (u + a 2 ) 2 a 5 =− 1 du 1 1 u = 2 2 + +C 2 a (u + a 2 ) 2 a 4 u 2 + a 2 ) u3 u 2 a2 du = + ln(u 2 − a 2 ) + C 2 −a 2 2 102. ∫ 3 2 2 = 2 2 − 4 ln 2 2 + C u (u − a ) 2 a u 2a u −a 2 2 2 n u2 a u − a du = u + ln +C − a2 2 u + a du a 1 du = + ln(u 2 + a 2 ) + C 2(u 2 + a 2 ) 2 2 ) 101. ∫ 2 2 2 = 2 + 3 ln +C u (u − a ) a u 2 a u + a u 1 u du = − + tan −1 + C a 2(u 2 + a 2 ) 2 a 2 ( u 1 du = ln(u 2 − a 2 ) + C − a2 2 du 2 du (u 2 ) ) u 1 u = 2 2 + tan −1 + C a 2 a (u + a 2 ) 2 a 3 3 + a2 (u 2 ) 1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 + a 2 Fórmulas con Fórmulas con du ) − n−1 u m−2 du (u 2 + a 2 )n ) n−1 (u ) 2 du = − a 1 + ln u 2 − a 2 + C 2 2 u 2 − a2 109. ∫ 3 u (u 2 ) − a2 du −a du − a2 =− 2 2 du 2 2 u 1 u − a + ln +C 4a u + a 2 u 2 − a2 −a (u (u du = − du 2 108. ∫ 2 u 110. ∫ ) 2 ) n ) ) 2 2 2 ( ) ( ( ) ) u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2a u − a 2 2a2 u 2 − a2 ( ) =− u 3 1 u − a − − 5 ln +C u + a 4a a 4 u 2a 4 u 2 − a2 =− 1 1 1 u2 − + 6 ln 2 +C 2a 4 u 2 2a 4 u 2 − a2 a u − a 2 =− ( ) ( u ( 2 a 2 ( n − 1) u 2 − a 2 ) ) n−1 − 2n − 3 du ( 2n − 2 ) a 2 ∫ (u 2 − a 2 )n−1 Alfaomega 280 Formulario A ➟ Integrales 111. ∫ (u 112. ∫ u 113. ∫ u −a 2 du (u (u −a 2 um −a 2 114. ∫ m u ) 2 n (u du = − ) ) 2 n − a2 ) = n 2 ( n − 1) u − a 2 ) 2 n−1 1 ( 2 a ( n − 1) u − a 2 du = ∫ du 2 =− 2 n ( 1 (u u m− 2 2 −a 2 ) 2 n−1 ) 2 n−1 du + a 2 ∫ 1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 − a 2 ( ) n + 128. ∫ 3 u +C 1 du − 2∫ a u u 2 − a2 ( (u u m−2 2 − a2 ) n ) n−1 130. ∫ du 1 du a2 ∫ u m u 2 − a2 ( ) n−1 115. (a 2 −u (a 2 − u2 131. ∫ 1 a + u ln +C 2a a − u 1 u tanh −1 + C a a u u 1 u 116. ∫ 2 2 du = − ln ( a 2 −∫uu22) +uC2 + a 2 du = ( 2 a −u +a 4 3 2 2 ) = ) 2 n u ) u +a 2 133.∫ u 2 − ) 118. ∫ 2 u 2 du = − u 2 a −u 119. − ( ) 135. ∫ u2 du 1 ∫ u a2 − u 2 = 2a2 ln a2 − u 2 + C ( ) 1 du 1 a+u 120. ∫ 2 2 2 = 2 + 3 ln +C a − u u ( a − u ) a u 2a 1 du 1 u2 136. ∫ 121. ∫ 3 2 2 = − 2 2 + 4 ln 2 2 + C 2a u 2a a −u u (a − u ) 122. ∫ 123. ∫ 124. ∫ 125. ∫ (a du 2 −u ) u ( a2 − u 2 ( a − u2 u2 2 (a 126. ∫ u u 2 (a 127. ∫ 2 u ) du = ) 2 du = ) 2 2 du 2 (a −u −u Alfaomega du = ) 2 2 du 2 u 1 a + u + 3 ln +C 4a a − u 2a a2 − u 2 2 2 3 −u = 2 2 ) 2 2 = ( ) 1 +C 2 a2 − u 2 ( ) ) a 1 + ln a 2 − u 2 + C 2 2 a − u2 2 ( 2 ( ) ) u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2 2 2a a − u 2 2a a − u =− 2 ( ) 1 u 3 a + u + + 5 ln +C a − u 4a a 4 u 2a 4 a2 − u 2 ( ) ( ) 2n − 3 du ( 2n − 2 ) a 2 ∫ ( a 2 − u 2 )n−1 n−1 +C ( ) 2 + a2 2 3 ( ) 3 2 +C u u 2 + a2 4 ) 3 2 − ( 137. ∫ 138. ∫ 3 u +a 2 2 (u du = 2 + a2 5 ) 5 2 − ( ( a2 u 2 + a2 3 ) 3 2 +C ) 2 2 ln u + u + a + C = u u 2 + a2 sen h −1 + C a du u u 2 + a2 u2 u 2 + a2 u3 u 2 + a2 du = u 2 + a 2 + C du = du = ( ) u u 2 + a2 a2 − ln u + u 2 + a 2 + C 2 2 (u 2 + a2 3 ) 3 2 − a2 u 2 + a2 + C 1 a + u 2 + a2 = − ln +C a u u +a du 2 140. ∫ 2 u 141. ∫ u 3 2 du u +a 2 du 2 u 2 + a2 =− u 2 + a2 +C a 2u =− a + u 2 + a2 u 2 + a2 1 + 3 ln +C 2 2 2a u 2a u 142. ∫ a + u 2 + a2 u 2 + a2 du = u 2 + a 2 − a ln +C u u 143. ∫ u 2 + a2 u 2 + a2 + ln u + u 2 + a 2 + C du = − 2 u u ( ) a 2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 ) 139. ∫ u u 1 a + u − ln +C 4a a − u 2 a2 − u 2 ( 1 + u u 2 + a2 a2 + ln u + u 2 + a 2 + C 2 2 u + a du = 2 ( 134. ∫ u a ln a 2 − u 2 + C 2 2 ) 2 n−1 2 a 2 ( n − 1) a 2 − u 2 (u du = 2 2 2 2 ) a2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 117. ∫ 2 u 2 du = −u + a ln a + u + C a −u 2 a − u 3 ( 2 a ( n − 1) a − u 2 du = n ( u u 2 + a 2 du = 132. ∫ u 2 −u du 1 1 1 u2 + 4 2 + 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u a a − u 2 2a a − u =− 2 2 Fórmulas con Fórmulas con du = ∫ a2 − u 2 129. ∫ (a du 2 ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Formulario A ➟ Integrales u 2 + a2 u 2 + a2 1 a + u 2 + a2 du = − − ln +C 3 2 u 2u 2a u 144. ∫ 145. ∫ 146. ∫ 147. ∫ 148. ∫ 149. ∫ 150. ∫ 151.∫ u 1 u +a 2 (u 2 2 +a 3 2 2 ) 4 2 − 2a 3 4 u +a 2 2 + du (u +a 2 u (u +a 2 u2 ( u +a 2 u (u ) ) ) ) ( u u +a ) du ( u 2 u 2 + a2 ) du ( u 3 u 2 + a2 ) 152.∫ (u 3 2 3 2 2 +a 3 2 2 ) ( a 2u u 2 + a 24 ) − 2 +a u ) + a ( u u 2 + a2 4 du = (u du = 2 +a 3 2 2 +C − (u 2 + a2 u 2 +a u2 3 2 du = 3 2 2 ) (u 2 du = − 3 2 du = − 2u + a2 3 (u 2 ) 3 2 u −a 2 u3 u 2 − a2 2a 4 +a ) ) ( 2 ( u + ) u u 2 − a2 a2 + ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 du = (u du = u −a 2 2 2 − a2 3 ) 3 2 + a2 u 2 − a2 + C u 2 − a2 1 u + 3 sec −1 + C a 2a 2u 2 2a = u 2 − a 2 du = ∫ ( (u 3 2 2 2 () 3 24 2 u − a du = 2 2 2 ) 2 2 6 ( 2 − a2 2 3 ( ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán ) 2 2 3 2 +C u u 2 − a2 4 ) u −a 3 ) (u du = 2 − a2 5 ) ) 5 2 3 2 + + ( ( a u 2 − a2 3 ) 3 2 +C u 2 − a2 u du = u 2 − a 2 − a sec −1 + C a u 170. ∫ u 2 − a2 u 2 − a2 + ln u + u 2 − a 2 + C du = − 2 u u 171. ∫ u 2 − a2 u 2 − a2 1 u + du = − sec −1 + C 3 a u 2u 2 2a 172. ∫ ( du (u 2 −a 3 2 2 ) =− u a2 u 2 − a2 ) a 2u u 2 − a 2 a 4 − ln u + u 2 − a 2 + C 8 8 169. ∫ 3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2 ( ) ( ) u u 2 − a2 a2 − ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2 2 ∫ u u − a du = 167.∫ u a + u 2 + a2 + a 2 u 2 + a 2 − a 3 ln +C u ) a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u + du = u 2 − a 2 + C du 164. ∫ 3 u 168. ∫ u 3 2 2 2 3 2 ( u u +a a u u + ua u − aa u u +2 a 2 a 2 a u u− − aln ua+4 u 2 + a 2 2+ C 2 2 2 2 − + − ln u + u − a + C ∫6 u u −− a du24= 16 4 8 16 8 2 ) + a2 = ln u + u 2 − a 2 + C +C ) 2 du 1 u = sec −1 + C a + u 2 +162. 3 a2 ∫ u u 2 − a2 a a + 5 ln +C u u 2 + a2 2a 2 2 163. ∫ 2 du2 2 = u 2− a + C au u u −a 166. 5 2 2 (u 3 3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2 ( u2 2 161. ∫ ) ) u u 2 − a2 160. ∫ ( ) u 2 − a2 159. ∫ 3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 165. 5 2 2 5 ( ) u 3 ) du 158. ∫ 1 a + u 2 + a2 ln +C a3 u − + a2 a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u ) u 2 + a2 2a 2u 2 u 2 + a 2 ( ∫ (u + + ln u + u 2 + a 2 + C u + a2 ) 156. (u − 2u ) 2 a4u u 2 + a2 a6 − ln u + u 2 + a 2 + C 16 16 155. ∫ 3 2 2 +a 2 Fórmulas con 1 =− ( 2 2 154.∫ u (u + a ) 2 u 2 + a2 u =− − +C 4 a4u a u 2 + a2 du = 3 2 2 (u ( u 2 a2 u 2 + a2 du = − 3 2 2 +C u + a2 3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 3 2 2 u ) 3 a + u 2 + a2 3 ln +C 5 2a u 153. ∫ u (u 2 + a ) − 1 2 1 = 3 2 2 3 2 2 5 2 ∫ du = u 2 + a 2 + 3 2 2 2 ( 2 + Cu + a u 2 + a2 du = − 3 2 2 du a u 2 du = − 3 2 2 3 +a 2 = 3 2 2 3 2 2 157.∫ (u 281 ) +C Alfaomega 282 173. ∫ 174. ∫ 175. ∫ 176. ∫ 177. ∫ 178. ∫ Formulario A ➟ Integrales u (u −a 2 u2 (u −a 2 3 2 2 ) 3 2 2 ) u3 (u ) − a2 2 ( ) du ( ( u u −a + ln u + u − a u 2 − a2 =− 3 2 ) 3 2 2 a2 u 2 − a2 ) 1 − 3 2a 4 u 2 − a2 3 u sec −1 + C a 2a5 ( ) 5 3 1 = 2u u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln − u + u 2 − a 2 + C 8 16 8 5 2 180. ∫ u (u −a 3 2 2 ) (u du = + ( a 2u u 2 − a (u =− 24 ) − ( ( 183. ∫ −a u ) 5 2 2 ) 6 + ( a 2u u 2 − a 24 ) 3 2 +C a4u u 2 − a2 a6 + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 3 2 2 182. ∫ u (u − a ) 2 du = 3 2 2 5 5 2 u u2 − a 3 181.∫ u 2 (u 2 − a2 ) 2 du = 3 2 2 ) − a2 2 184.∫ ( u −a 2 3 2 2 ) u (u 2 −a 3 2 2 u2 ) du = ( (u 2 u −a du = − 2 185. ∫ (u 2 − a2 2 u3 3 2 (u du = − ) −a 2 − a2 2u 2 + ) ) 3 2 + 187. ∫ 5 ) 2 u = sen −1 + C a a2 − u 2 u a −u Alfaomega 2 du = − a 2 − u 2 + C a2 − u 2 +C a2u =− a + a2 − u 2 a2 − u 2 1 − 3 ln +C 2 2 2a u 2a u a2 − u 2 u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2 a 2 − u 2 du = a −u 2 2 (a du = − 195. ∫ u 2 a − u du = − 196. ∫ u 3 a −u 199. ∫ +C 200. ∫ 201. ∫ ( ) 202. ∫ 203. ∫ 204. ∫ du 2 =− 2 du 2 2 2 ( 3u u − a 3 − a 2 ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2 − a2 a2 − u 2 + C 3 ( ) 3 2 +C u a2 − u 2 (a du = 2 − u2 2 2 4 − u2 5 ) 5 2 ) 3 2 a 2u a 2 − u 2 a 4 u + sen −1 + C a 8 8 + ( a2 a2 − u 2 − 3 ) 3 2 +C a + a2 − u 2 a2 − u 2 du = a 2 − u 2 − a ln +C u u a4u u 2 − a2 a6 − + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 2 2 2 2 198. ∫ a −2 u du = − a − u − sen −1 u + C u u a 3 u 2 − a2 3 u + − a sec −1 + C a 2 2 Fórmulas con 186. ∫ ( a2 u 2 − a 5 2 2 ) a −u 2 197. ∫ u − a 2 u 2 − a 2 + a 3 sec −1 + C a 3 2 2 u ) ) 3 2 2 3 (u ) 7 3u u 2 − a 2 3 2 + − a ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 ( −a 7 2 2 3 2 2 3 2 2 du 194. ∫ u ) 3 ) 1 a + a2 − u 2 = − ln +C a u a −u 2 192. ∫ 3 u − − u2 2 du 191. ∫ 2 u 193. ∫ u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2 (a du = a2 − u 2 190. ∫ u +C du = − 2 u3 5 3 1 u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln −u + u 2 − a 2 + C 8 16 8 3 179.∫ (u 2 − a 2 ) 2 du = 2u 2 a −u 2 189. ∫ 1 u − 3 sec −1 + C a u 2 − a2 a 2a 2u 2 u 2 − a 2 ( )+C 2 u 2 − a2 u − +C a4u a4 u 2 − a2 =− = 2 1 a2 u2 188. ∫ ( u du = − 3 2 2 u2 u2 − a du +C 2 2 u u 2 − a2 2 u −a 2 du = u 2 − a 2 − 3 du 3 1 du = − 205. ∫ ) a2 − u 2 a2 − u 2 1 a + a2 − u 2 du = − + ln +C 3 2 u 2u 2a u du (a 2 (a 2 −u u −u 3 2 2 ) 3 2 2 ) u2 (a 2 2 ) −u u3 (a 3 2 2 −u 3 2 2 ) du ( u a2 − u ( u a −u 2 u a2 a2 − u 2 +C 1 du = +C a2 − u 2 u du = u − sen −1 + C a a2 − u 2 a2 du = a 2 − u 2 + 3 2 2 du 2 = ) 3 2 2 ) = a 1 2 =− a −u 2 2 a − u2 2 − +C 1 a + a2 − u 2 ln +C a3 u a2 − u 2 u + +C a4u a4 a2 − u 2 Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 206.∫ 1 a 2u 2 a 2 − u 2 3 2 283 Formulario A ➟ Integrales + 2a 4 du ( u 3 a2 − u 3 2 2 ) =− 2a u 2 2 − u2 2 ) −u 3 2 6 ) 5 2 + ( a 2u a 2 − u 2 24 ) 3 2 + 3 ) 3 2 2 3 2 2 ) −u 2 − u2 2 −u − u2 2u 2 ) 3 2 au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac a + a2 − u 2 du b du 3 − + 218. ln + C ∫ u 2 au 2 + bu + c = 2 c 2 ln 5 u2 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c cu 2a u ( ( 219.∫ ) ( au 2 + bu + c 3a 2u a 2 − u 2 3 4 u + + a sen + C du 2a du 4 8 8 2 au + ba ∫ au 2 + bu + c 2 = 4 ac − b2 au 2 + bu + c + 4 ac − b2 ∫ au 2 + bu + c du = − (a ( 2 −u ) ( 5 2 2 5 ) ( u a 2u− u )( +C 5 2 2 ) 220.∫ ( a 2u a 2 − u 2 au + b 2a du + 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c 2 = 2 du = − ) ( 4 ac − b )( au ) 2 ) 3 2 2 ) bu a+ 2uc a 4 2 − u2 a6 b ( au u 221. ∫ u + bu + c 2 ) bu + 2 c b du − 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c ( 4 ac − b )( au ) 2 du ( au 2c ( a − uu ) a ( a − u ) (b − 2ac) u + bc ) du =∫ ( au 7+ bu +−c) du =5 a ( 4 ac++Cb )( au + bu + c) + 4 ac − b ∫ au 2 7 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 2 (a du = 2 − u2 ) 3 2 u2 + bu + c 2 ) 2 3 2 2 ) ( ) (a 2 −u 3 2 2 ) ) ( ( ) du = ( (b 2 ) − 2 ac u + bc )( a 4 ac + b 2 au 2 + bu + c ) + du 2c 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c du + bu + c 2 ( ) 2 = 1 b du − 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c ( ) ( ) 2 + 1 du c ∫ u au 2 + bu + c ( 223. ∫ u 2 au 2 + bu + c 2 ( ) du = − ( ) ( − ) ) 2 ( ) ( =− 1 3a du − c ∫ au 2 + bu + c cu au 2 + bu + c ( ) ( ) 2 − 2b du c ∫ u au 2 + bu + c 214. ∫ 2 du = au + bu + c 2 ) ( 2 au + b − b 2 − 4 ac ln +C b − 4 ac 2 au + b + b 2 − 4 ac 1 2 1 u b du u2 u b b 2 − 2 ac du du = − 2 ln au 2 + bu + c + au + bu + c a 2a 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c ( 2 ) b b − 2 ac du ln au 2 + bu + c + 2a2 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c 2 b du 1 u2 du ∫ u au 2 + bu + c = 2c ln au 2 + bu + c − 2c ∫ au 2 + bu + c ( ) 1 b du a du du 1 2 = − −1 2 au n+−1b− ∫ n−1 − ∫ n− 2 c + uC au 2 + bu + c c u + bu + c 2 tanc ( n − 1) u au 2 + bu + c 2 4 ac − b 4 ac − b 215. ∫ au 2 + bu + c du = 2a ln ( au 2 + bu + c ) − 2a ∫ au 2 + bu + c 217. ( du n ) ) ( b du a du 225.∫ u n ( au 2 + bu + c ) = − c ( n − 1) u n−1 − c ∫ u n−1 ( au 2 + bu + c ) − c ∫ u n−2 ( au 2 + bu + c ) ∫ u ( au 216.∫ ) ) du 2 Fórmulas con ( ) 3u a − u 3 u + a 2sen + C 212. ∫ u 2 a 3a u 2 12 2b du du du ∫ u 2 au 2 + bu + c 2 = − cu au 2 + bu + c − c ∫ au 2 + bu + c 2 − c ∫ u au 2 + bu + c 2 3 3 a + a2 − u 2 a2 − u 2 2 a2 − u 2 2 3 a2 − u 2 3 m +C 213.∫ u 3 du = − 2u 2 − 2 + 2 a ln u m−1 c u m− 2 b u m−1 u du = − ∫ 2 du − ∫ 2 du 224. ∫ 2 u au + bu + c a ( m − 1) a au + bu + c a au + bu + c 2 2 2 2 3 a −u 3 a+ a −u − + a ln um u m−1 c u m− 2 b u m−1 +C 2 2 u ∫ au 2 + bu + c du = a ( m − 1) − a ∫ au 2 + bu + c du − a ∫ au 2 + bu + cdu ( 2 − 3 2 2 ( + a2 (a (a du = − − − u2 2 du a + a2 − u 2 222. ∫ 2 3 2 2 2 + + − − u a ln a a C u au + bu + c 211. ∫ u 3 u 1 du b du du 1 = − + ∫ a + a 2 −∫u 2 2 2 2 c u au 2 + bu + c 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c u au+ C+ bu + c a 2 − u 2 − a 3 ln u (a 2 a −u 2 a4u a2 − u 2 a6 u + sen −1 + C a 16 16 210. ∫ u ( a (a 2a 3 4 2 2 2 +− sen −1 2 ∫ +2C + 209. ∫ u ( a − u ) 2 du ∫=( −au 2 + bu6 + c )2 +du = − (24 4 ac − b a au + bu + c 4 ac − b 2 )( au 2 +16 bu + c ) 16 3 du = + ) u a2 − u du = 3 ( 2 ( 208. ∫ u ( a u a2 − u 2 a −u 2 au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac du b du = 2 ln ∫ − cu + 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c 2 2 2 2 a + a − u u au + bu + c 2c u2 3 3 − 5 ln +C u a2 − u 2 2a du 207. ∫ ( a =− 1 2 ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán ) ( ) Fórmulas con du 1 ( a + u )2 226. ∫ u 3 + a 3 = 6a2 ln u 2 − au + a2 + a 2 u 1 1 3 2u − a +C tan −1 a 3 u 2 − au + a 2 1 2u − a +C tan −1 + a 3 a 3 227. ∫ u 3 + a 3 du = 6a ln (u + a )2 u2 1 228. ∫ u 3 + a 3 du = 3 ln (u 3 + a 3 ) + C Alfaomega ) 2 284 Formulario A ➟ Integrales 229. ∫ u u ( 230. 241. ∫ 4 u 4 du = 1 ln (u 4 + a 4 ) + C u +a 4 u3 du 1 = 3 ln 3 +C 3a u + a 3 + a3 3 ) 3 u 2 − au + a 2 du 1 1 1 242. −1 2u − a ∫ u 2 u 3 + a 3 = − a 3u − 6a 4 ln (u + a )2 − a 4 3 tan a 3 + C ( ) 231.∫ (u 3 + a3 ) 2 = 1 u2 ( u + a )2 u a 1 2 2u − 244. +C + 5 ln 2 + 5 tan −1 2 3 3 3 a 3 9a 3a u + a u − au + a 3a 3 ( ) u2 du 1 1 = − 4 2 − 6 tan −1 2 + C 4 4 a u a 2 2 a +a ∫ u (u 3 du 245. ∫ u 4 − a 4 ) = 1 1 u − a u ln tan −1 + C − a 4 a 3 u + a 2a 3 u 2 − a2 u 1 du = 2 ln 2 +C 246. 4 4 ∫ u 2 − au + a 2 u2 1 2 − 1 u a u − a 4 a u + a 2 −1 232. ∫ u 3 + a 3 2 du = 3a5 u 3 + a 3 + 18a 4 ln (u + a )2 + 3a 4 3 tan a 3 + C u2 1 u − a 1 u ln tan −1 + C du = 247. + 2 2 4 ∫ u − au + a a 1 1 4 a u + a 2a u − a4 −1 2u − a +C + tan ln + a 3 18 a 4 ( u + a )2 3a 4 3 3 248. ∫ 4 u 4 du = 1 ln u 4 − a 4 + C u −a 4 2 233. ∫ 3 u 3 2 du = − 31 3 + C 3 u +a u 4 − a4 1 du u +a 249. ∫ u u 4 − a 4 = 4 a 4 ln u 4 + C u3 du 1 1 234. ∫ 3 3 2 = 3a 3 u 3 + a 3 + 3a 6 ln u 3 + a 3 + C du 1 1 u−a 1 u u u +a 250. ∫ u 2 u 4 − a 4 = a 4 u + 4 a5 ln u + a + 2a5 tan −1 a + C u ( ) ) 243. ∫ u 4 + a 4 du = 2a2 tan −1 a 2 + C ( u + a )2 1 2 2u − a +C + 5 ln 2 tan −1 5 2 a 3 9a u − au + a 3a 3 u2 u 3 + a3 u4 du 1 = 2 ln 4 +C 4a u + a 4 + a4 4 u u 2 − au + a 2 1 1 2u − a +C ln tan −1 − 4 2 4 a 3 6a (u + a ) a 3 du ∫ u (u u 2 + au n 2 u − au u 2 − au ln 2 u + au ( 2 du 3 + a3 ) ( ) (u ) ( ) ( 235. ∫ u ( ) ) 2 ( ) 1 u2 4 u =− 6 − 6 3 − 6∫ 3 du 3a u + a 3 a u 3a u + a 3 ( ) 236. ∫ 3u 3 du = u − a 3 ∫ u3 3 du u +a m−2 u +a m− 2 m ) 1 1 ) ( ) du u 2 − a2 251. ∫ u 3 u 4 − a 4 = 2a 4 u 2 + 4 a 6 ln u 2 + a 2 + C ( ) m− 3 1 du ( 1 du 237. ∫ u n (u 3 + a 3 ) = − a 3 ( n − 1) u n−1 − a 3 ∫ u n−3 (u 3 + a 3 ) Fórmulas con 252. ∫ sen ( au )du = − cos ( au ) +C a 253. ∫ usen ( au ) du = sen ( au ) u cos ( au ) − +C a2 a u 2 + au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 ln 2 − − tan −1 1 + tan 1 − 2 +C a 4 a 2 u − au 2 + a 2 2 a 3 2 ( au ) du = 2u sen ( au ) + 2 − u cos ( au ) + C 254. ∫au 2sen a2 a 3 a 2 + a2 1 −1 u 2 u 2 − tan −1 1 + − 3 tan 1 − +C 2 a a 2 + a 2 a 2 3u 2 6 6u u 3 255. ∫ u 3sen ( au ) du = a 2 − a 4 sen ( au ) + a 3 − a cos ( au ) + C u 2 − au 2 + a 2 u2 1 1 −1 u 2 u 2 −1 239.∫ u 4 + a 4 du = 4 a 2 ln u 2 + au 2 + a2 − 2a 2 tan 1 − a − tan 1 + an + C u n cos ( au ) n n−1 + ∫ u cos ( au ) du 256. ∫ u sen( au ) du = − a a 2 2+a 1 −1 u 2 u 2 −1 tan 1 tan 1 + − + − − C u n cos ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 a a 2 + a 2 2 a 2 + 2 sen ( au ) − u sen ( au ) du 257. ∫ u nsen ( au ) du = − a a a2 ∫ du 238.∫ u 4 + a 4 = 3 n−1 u n cos n ( nu −21) n−2 −1 u=2 −− au n du 1 1 2 +( au a 2)+ nu 1 sen ( au−)1 − u 2 ) du + 25 + ) du + C = − 4 ∫−u sen5 ( auln tan 1 − a 2 ∫−utansen 1( au 2 2 4 4 a u 4 a 2 u + au 2a+ a 2aa 2 a a +a 240.∫ u (u 2 1 Fórmulas con ) u 2 − au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 n 2 + 5 − tan −1 1 + tan 1 − +C 2 a a u + au 2 + a 2 a 2 Alfaomega u 258. ∫ sen 2 ( au )du = 2 − sen ( 2 au ) +C 4a Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Formulario A ➟ Integrales cos ( au ) cos 3 ( au ) + +C a 3a 3 259. ∫ sen ( au )du = − 3u 4 260. ∫ sen ( au ) du = 8 − Fórmulas con 275. ∫ cos ( au ) du = sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a 261. 262. sen ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − ... 263. sen ( au ) sen ( au ) cos ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ u du 3 sen ( au ) +C a 276. ∫ u cos ( au )du = u 2 usen ( 2 au ) cos ( au ) − − +C 4 4a 8a2 2 ∫ usen ( au )du = 285 cos ( au ) usen ( au ) + +C a2 a 2u u2 2 − sen ( au ) + C a a 3 277. ∫ u 2 cos ( au )du = a 2 cos ( au ) + 5 3u 2 6 u 3 6u − 4 cos ( au ) + − 3 sen ( au ) + C 2 a a a a 278. ∫ u 3 cos ( au )du = u n sen ( au ) n n−1 1 u n cos ( au )du = − ∫ u sen ( au ) du 279. ∫ ln ( csc ( au ) − cot ( au )) + C a a du a ∫ sen ( au ) = 1 au u n sen ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 n ln tan + C 280.∫ u cos ( au )du = − a + a 2 cos ( au ) − a 2 ∫ u cos ( au )du a 2 264. n n−1 u sen ( au ) nu n ( n − 1) n−2 n ∫ u cos ( au )du3 = − 5a + a22n−1cos ( au ) − 2 n+a12 ∫ u cos ( au )du 2 2 − 1 Bn ( au ) 1 u ( au ) 7 ( au ) + ... 265. ∫ sen ( au ) du = a2 au + 18 + 1800 + ... + 2 n 1 ! + ( ) u sen ( 2 au ) 2 281. ∫ cos ( au )du = 2 + 4 a + C 2 n+1 1 ( au )3 + 7 ( au )5 + ... + 2 2 2 n−1 − 1 Bn ( au ) + ... sen ( au ) sen 3 ( au ) du = 2 au + − +C cos 3 ( au )du = 18 1800 2 n + 1)! a ( 282. ∫ a 3a ( ( ) ) 1 du 3u 4 283. ∫ cos ( au ) du = 8 + 266. ∫ sen 2 ( au ) = − a cot ( au ) + C cos ( au ) du 1 u 2 284. ∫ u cos ( au )du = 4 2 au +C 2 267. ∫ sen 3 ( au ) = − 2asen 2 ( au ) + 2a ln tan 268. ∫ sen ( au )sen (bu ) du = 1 du sen (( a − b ) u ) 2 (a − b) π 269. ∫ 1 − sen ( au ) = a tan 4 + u u 1 π π 271. ∫ 1 + sen ( au ) = − a tan 4 − 272. sen (( a + b ) u ) 2 (a + b) +C a≠b au +C 2 270. ∫ 1 − sen ( au ) du = a tan 4 + du − au 2 π au + ln sen + + C 2 a 2 4 2 au +C 2 u u π au 2 π au ∫ 1 + sen ( au )du = − a tan 4 − 2 + a2 ln sen 4 + 2 + C 273. ∫ 274. ∫ du du (1 + sen ( au )) + usen ( 2 au ) cos ( 2 au ) + +C 4a 8a2 2 4 6 285. ∫ cos ( au ) ( au ) + ( au ) − ( au ) + ... du = ln ( u ) − u 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6! 286. ∫ cos ( au ) cos ( au ) sen ( au ) − a∫ du = − du u2 u u 287. 1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C du a = ∫ cos ( au ) 1 π au ln tan + + C a 4 2 u 2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) + + + ... + n + ... 2 8 144 ( 2n + 2 )( 2n )! 288. ∫ cos ( au ) du = a 2 2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) u + + ... + n + ... 1 π au 1du =3 2π au + + ) tan a + 2 + C 8 tan +∫ cos( au 144 ( 2n + 2 )( 2n )! 4 2 6a 4 2 2a 2 = 2 =− (1 − sen ( au )) sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a 1 π au 1 π au tan − − tan 3 − + C 4 2 6a 4 2 2a du tan ( au ) +C a du sen ( au ) 289. ∫ cos2 ( au ) = 1 π 290. ∫ cos3 ( au ) = 2a cos2 ( au ) + 2a ln tan 4 + Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán au +C 2 Alfaomega 286 Formulario A ➟ Integrales sen (( a − b ) u ) 291. ∫ cos ( au ) cos (bu ) du = 2 (a − b) 1 du 292. ∫ 1 − cos ( au ) = − a cot u u 1 du u u 297. ∫ du (1 − cos ( au )) du 2 (1 + cos ( au )) 2 =− = 2 (a + b) +C a≠b au 2 au + ln sen + C 2 a 2 2 au 2 au + ln cos + C 2 a 2 2 312. Fórmulas con 300. sen ( au ) +C 2a cos ( p − q ) u 2 ( p − q) − cos ( p + q ) u 2 ( p + q) sen n+1 ( au ) ∫ sen ( au ) cos ( au )du = a ( n + 1) + C cosn+1 ( au ) 301. ∫ cosn ( au ) sen ( au ) du = − a ( n + 1) +C sen ( 4 au ) +C 32 a 1 π au 1 du ∫ sen2 ( au ) cos ( au ) = a ln tan 4 + 2 − asen ( au ) + C du 1 305. ∫ sen ( au ) cos2 ( au ) = a ln tan du 306. ∫ sen 2 ( au ) cos2 ( au ) = − au 1 +C + 2 a cos ( au ) 2 cot ( 2 au ) +C a 307. ∫ sen 2 ( au ) sen ( au ) 1 π au + ln tan + + C du = − cos ( au ) a a 4 2 308. ∫ cos2 ( au ) cos ( au ) 1 au + ln tan + C du = sen ( au ) a a 2 Alfaomega cos ( au ) 1 1 u 1 − ln cos ( au ) + C a = au du tan ( ) ∫ 1 ln sec ( au ) + C a 2 313. ∫ tan ( au ) du = tan ( au ) −u+C a 3 314. ∫ tan ( au ) du = tan 2 ( au ) 1 + ln cos ( au ) + C 2a a tan n+1 au +C ( ) n 2 316. ∫ tan ( au ) sec ( au )du = a ( n + 1) + C 317. ∫ sec 2 ( au ) 1 du = ln tan ( au ) + C tan ( au ) a du 1 318. ∫ tan ( au ) = a ln sen ( au ) + C 2 319. ∫ u tan ( au )du = u tan ( au ) 1 u2 + 2 ln cos ( au ) − +C 2 a a 1 303. ∫ sen ( au ) cos ( au ) = a ln tan ( au ) + C 304. u tan n−1 au n du sen ( au ) π au ln tan ± + C 8 2 ( ) n n− 2 315. ∫ tan ( au ) du = a ( n − 1) − ∫ tan ( au )du 2 u 2 2 302. ∫ sen ( au ) cos ( au ) du = 8 − 2 Fórmulas con 1 au 1 au tan + tan 3 + C 2 6a 2 2a 299. ∫ sen ( pu ) cos ( qu )du = − 1 311. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) ± 2 + C 1 au 1 au cot − cot 3 + C 2 6a 2 2a 298. ∫ sen ( au ) cos ( au )du = du 309. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) = a 310. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2 ∓ 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) + C au +C 2 295. ∫ 1 + cos ( au )du = a tan 296. ∫ sen (( a + b ) u ) au +C 2 293. ∫ 1 − cos ( au ) du = − a cot 294. ∫ 1 + cos ( au ) = a tan − Fórmulas con 1 320. ∫ cot ( au ) du = a ln sen ( au ) + C 321. ∫ cot 2 ( au ) du = − cot ( au ) −u+C a 3 322. ∫ cot ( au ) du = − cot 2 ( au ) 1 − ln sen ( au ) + C 2a a cot n−1 au ( ) n 2 323. ∫ cot ( au ) csc ( au ) du = − a ( n + 1) + C 324. ∫ csc 2 ( au ) 1 du = − ln cot ( au ) + C cot ( au ) a Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Formulario A ➟ Integrales du 1 325. ∫ cot ( au ) = − a ln cos ( au ) + C 2 326. ∫ u cot ( au ) du = − u cot ( au ) 1 u2 + 2 ln sen ( au ) − +C 2 a a u cot ( au ) 1 + 2 ln sen ( au ) + C a a 2 340. ∫ u csc ( au ) du = − n 341. ∫ csc ( au ) du = − 287 csc n−2 ( au ) cot ( au ) n − 2 + csc n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1 ∫ cot n−1 au ( ) n n− 2 327. ∫ cot ( au ) du = − a ( n − 1) − ∫ cot ( au ) du Fórmulas con u 328. 1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C a ∫ sec ( au )du = 1 π au ln tan + + C a 4 2 329. 2 ∫ sec ( au ) du = tan ( au ) +C a 330. 3 ∫ sec ( au ) du = sec ( au ) tan ( au ) 1 + ln sec ( au ) + tan ( au ) + C 2a 2a n 331. ∫ sec ( au ) tan ( au ) du = 332. u sec ( au ) +C an 2 2 u 2 a2 u u a − u − sen −1 + +C 2 4 4 a 1 sec n−2 ( au ) tan ( au ) n − 2 + sec n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1∫ 3 345. 1 ln csc ( au ) − cot ( au ) + C a ∫ csc ( au ) du = 1 au ln tan + C a 2 cot ( au ) +C a csc ( au ) cot ( au ) 1 au + ln tan + C ∫ csc ( au ) du = − 2a 2 a 2 3 338. ∫ cscn ( au ) cot ( au ) du = − 339. 5 7 346. 347. u u sen −1 sen −1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u − a ln u 2 2 −1 u −1 u 2 2 −1 u ∫ sen a dx = u sen a − 2u + 2 a − a sen a + C u u 348. ∫ cos−1 a du = u cos−1 a − a2 − u 2 + C 2 2 u 2 a2 u u a − u − cos−1 − +C 2 4 4 a 349. ∫ u cos−1 du = a Fórmulas con 337. ) u u u u sen −1 1 ⋅ 3 1⋅ 3⋅ 5 a a a u a ∫ u du = a + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 + ⋅ ⋅ ⋅ u 2 336. ∫ csc ( au ) du = − ( 2 2 a2 − u 2 u3 u u + 2a +C sen −1 + 3 a 9 n u 335. a2 − u 2 + C 343. ∫ usen −1 du = a u 333. ∫ u sec2 ( au ) du = a tan ( au ) + a 2 ln cos ( au ) + C 334. u 342. ∫ sen −1 a du = usen −1 a + 344. ∫ u 2sen−1 a du = sen ( au ) du ∫ sec ( au ) = a + C n ∫ sec ( au ) du = Fórmulas con funciones trigonométricas inversas csc ( au ) +C na n cos ( au ) du ∫ csc ( au ) = − a + C Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán u 350. ∫ u 2 cos−1 a du = 351. 352. ( )( ) u 2 − 2a2 a2 − u 2 u3 u +C cos −1 − a 3 9 u u cos−1 sen −1 a a π ∫ u du = 2 ln (u ) − ∫ u du u u cos−1 cos−1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u + a ln u 353. ∫ cos −1 2 2 u −1 u 2 2 −1 u du = u cos − 2u − 2 a − u cos + C a a a u u a 354. ∫ tan −1 a du = u tan −1 a − 2 ln (u 2 + a 2 ) + C Alfaomega 288 Formulario A ➟ Integrales 1 u u 355. ∫ u tan −1 a du = 2 (u 2 + a 2 ) tan −1 a − u 356. ∫ u 2 tan −1 a du = 371. au +C 2 2 u3 a3 u au tan −1 − + ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6 ( 3 5 ) 7 357. u u u u tan −1 a u a a a ∫ u du = a − 32 + 52 − 72 + ⋅ ⋅ ⋅ 358. u tan −1 a u −1 u 1 u 2 + a 2 ∫ u 2 du = − a tan a − 2a ln u 2 + C 372. ∫ 360. 1 2 au u 2 −1 u ∫ u cot a du = 2 u + a cot a + 2 + C ( −1 u 361. ∫ u 2 cot −1 a du = au ) 375. ∫ ) 363. u u cot −1 cot −1 a a 1 u 2 + a2 ∫ u 2 du = − u + 2a ln u 2 + C m +1 365. ∫ u m cos−1 u du = u cos−1 u + 1 ∫ a m +1 a m +1 m +1 ( u m+1 a −u 2 2 u m+1 a −u 2 2 ( du sen ( bu )du = du 378. ∫ e au cos ( bu ) du = du 379. ∫ e au ln ( u )du = 369. ∫ ueau du = e a +C au 370. ∫ u 2 eau du = Alfaomega 1 u − + C a eau 2 2u 2 + +C u − a a a2 q p +C q + − p − − a2 − b2 +C eau a cos ( bu ) + bsen ( bu ) a2 + b2 +C eau ln ( u ) 1 eau − ∫ du a a u m +1 Fórmulas con 380. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) − u + C 2 au ) p au e +C q eau asen ( bu ) − b cos ( bu ) 381. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) Fórmulas con ( ) 1 tan −1 a pq au = e 1 ln 2 a − pq au e au u m+1 a u m+1 m −1 u −1 u ∫ u cot a du = m + 1 cot a + m + 1 ∫ u 2 + a2 du 368. ∫ eau du = e a ) u 1 1 + − 2 ln p + qeau + C p 2 ap p + qeau ap = 377. ∫ e 366. ∫ u m tan −1 u du = u tan −1 u − a ∫ 2u 2 du a m +1 a m +1 u + a m +1 ) 2 au u 1 ln p + qeau + C − p ap 376. ∫ peau + qe− au u u cot tan −1 a a π = − du u du ln ( ) ∫ ∫ u u 2 364. ∫ u msen −1 u du = u sen −1 u − 1 ∫ a m +1 a m +1 367. ( du = ) −1 362. au p + qeau 2 u3 a3 u au cot −1 + − ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6 ( 3 373. ∫ e n du = − e n−1 + a ∫ en−1 du u n −1 u ( n − 1) u du 359. ( 2 eau au ( au ) ( au ) + + + ⋅⋅⋅ du = ln ( u ) + u 1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3! 374. ∫ p + peau a u −1 u 2 2 ∫ cot a du = u cot a + 2 ln u + a + C −1 u n eau u n enau nn−1 au n−1 au − ∫−u ∫e u due du a aa a n au n au u e u du e = du = n− 2 n− 2 au au n−1 n−1 ∫ ∫ n ( n −n1()nu− 1) u (⋅ −⋅ ⋅1+)n(n−!1)n+n! + C ∀ =∀n = e uen − unun − nu + + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + + n C a a a a a a2 a n a n 382. ∫ ln (u ) n 2 − 2u ln ( u ) + 2u + C n n−1 du = u ln ( u ) − n ∫ ln ( u ) du 383. ∫ u ln (u )du = u2 2 1 ln ( u ) − 2 + C 384. ∫ u m ln (u )du = u ln (u ) − 1 + C m +1 m +1 m +1 385. ∫ ln ( u ) 1 du = ln 2 ( u ) + C u 2 Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Formulario A ➟ Integrales 386. ∫ ln ( u ) ln ( u ) 1 − +C du = − u2 u u 404. ∫ 387. ∫ ln 2 (u )du = u ln 2 (u ) − 2u ln (u ) + 2u + C 388. ∫ du 390. 391. u + a 2 2 2 2 ∫ ln u − a du = u ln u − a − 2u + a ln u − a + C ( ) ( ) 2 2 ( ) 407. ∫ u cosh ( au ) du = ) Fórmulas con 1 392. ∫ senh ( au )du = a cosh ( au ) + C 393. u cosh ( au ) senh ( au ) ∫ usenh ( au ) du = a − a2 + C 394. u2 2 2u ∫ u senh ( au ) du = a + a 3 cosh ( au ) − a2 senh ( au ) + C 395. senh ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au + 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! + ⋅ ⋅ ⋅ 396. senh ( au ) senh ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ cosh ( au ) du 3 399. usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) u 2 ∫ usenh ( au )du = 4 a − 8a2 − 4 + C 400. coth ( au ) du ∫ senh2 ( au ) = − a + C 2 2 u 2 412. ∫ cosh ( au )du = 2 + senh ( au ) cosh ( au ) +C 2a u 2 413. ∫ u cosh ( au )du = 4 + − usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) − +C 4a 8a2 tanh ( au ) +C a n 417. ∫ cosh ( au )du = 2 ( p − q) +C u m cosh ( au ) m m−1 m − ∫ u cosh ( au ) du ∫ u senh ( au ) du = a a n 403. ∫ senh ( au )du = cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) + a∫ du = − du u2 u u 416. ∫ u m cosh ( au )du = 2 senh ( p − q ) u 6 410. ∫ 415. ∫ cosh ( pu ) cosh ( qu ) du = 398. 4 cosh ( au ) ( au ) + ( au ) + ( au ) + ⋅ ⋅ ⋅ du = ln ( u ) + 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6! u du senh ( au ) cosh ( au ) u − +C ∫ senh ( au )du = 2a 2 402. 2 409. ∫ 414. ∫ cosh 2 ( au ) = au +C 2 2 ( p + q) 2u cosh ( au ) u 2 2 + + 3 senh ( au ) + C a2 a a 2 397. ∫ senh ( au ) = a ln tanh 401. ∫ senh ( pu ) senh ( qu ) du = cosh ( au )du = − du 5 senh ( p + q ) u 2 usenh ( au ) cosh ( au ) − +C a a2 411. ∫ cosh ( au ) = a tan −1 ( eau ) + C 2 1 du senh ( au ) +C a 406. ∫ cosh ( au )du = −1 408. ∫ u du n−2 Fórmulas con u ∫ ln u + a du = u ln u + a − 2u + 2a tan a + C ( cosh ( au ) du 389. ∫ u ln (u ) = ln ( ln (u )) + C 2 senh ( au ) senh ( au ) cosh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1 405. ∫ senh n ( au ) = − a ( n − 1) senh n−1 ( au ) − n − 1 ∫ senh n−2 ( au ) ln n ( u ) ln n+1 ( u ) +C du = u n +1 2 289 418. ∫ senh ( p − q ) u 2 ( p − q) + senh ( p + q ) u 2 ( p + q) +C u m senh ( au ) m m−1 − ∫ u senh ( au ) du a a cosh n−1 ( au ) senh ( au ) n − 1 + cosh n−2 ( au ) du an n ∫ cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1 senh au n−2 du ( ) = + 419. ∫ dun cosh ( au ) a ( n − 1) cosh n−1 ( au ) n − 1 ∫ cosh n−2 ( au ) senh n−1 ( au ) cosh ( au ) n − 1 − senh n−2 ( au ) du an n ∫ Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Alfaomega Formulario B ➟ Derivadas 291 ➠ Formulario B: Derivadas En este formulario: c es una constante real, f , g y u son funciones derivables en x . FÓRMULAS GENERALES 1. d (c) = 0 dx 2. d d ( cf ( x )) = c ( f ( x )) dx dx 3. d [ f ( x ) ± g( x ) ] = f ′ ( x ) ± g′ ( x ) dx 4. d [ f ( x )g ( x ) ] = f ( x )g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) dx 5. d f ( x ) g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x )g ′ ( x ) = dx g( x ) [ g( x )]2 6. d du f ( u ) = f ′(u ) dx dx 7. d n du u = nu n−1 dx dx ( ) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. d (sen x ) = cos x dx FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20. x x e )=e ( dx 21. x x a ) = a ln a ( dx 22. 23. 24. 25. 26. d d d dx d dx ( ln x ) = 1 x (log a x ) = 1 x ln a x x e )=e ( dx d d dx d (a x ) = a x ln a ( ln x ) = 1 9. d (cos x ) = −sen x dx 10. d ( tan x ) = sec2 x dx 11. d (cot x ) = − csc2 x dx FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 12. d (sec x ) = sec x tan x dx 28. 13. d (csc x ) = − csc x cot x dx −1 sen x ) = ( dx 14. d du (sen u ) = cos u dx dx 29. −1 cos x ) = − ( dx 15. d du ( cos u ) = −senu dx dx 30. 16. d du ( tan u ) = sec2 u dx dx 1 −1 tan x ) = ( 2 dx 1+ x 31. 1 −1 cot x ) = − ( 2 dx 1+ x 32. (sec−1 x ) = x dx 17. d du ( cot u ) = − csc2 u dx dx 18. d du (sec u ) = sec u tan u dx dx 19. d du ( csc u ) = − csc u cot u dx dx Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 27. dx d dx x (log a x ) = 1 x ln a d 1 1− x 2 1 d 1− x 2 d d d 1 x 2 −1 Alfaomega 292 33. Formulario B ➟ Derivadas d dx ( csc −1 ) x =− 1 x x 2 −1 34. d (sen−1u ) = 1 2 du dx 1 − u dx 35. du d 1 cos−1 u = − dx 1 − u 2 dx 36. d ( tan−1 u ) = 1 +1u 2 du dx dx 37. ( ) 49. d du ( coth u ) = − csc h 2u dx dx 50. d du (sec hu ) = − sec hu tanh u dx dx 51. d du ( csc hu ) = − csc hu coth u dx dx FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52. d 1 du cot −1 u = − dx 1 + u 2 dx d 1 sen h −1 x = dx 1 + x2 53. 38. du d 1 sec −1 u = dx u u 2 − 1 dx d 1 cosh −1 x = 2 dx x −1 54. 39. d ( csc−1 u ) = − 12 du dx u u − 1 dx 1 d tanh −1 x = dx 1 − x2 55. 1 d coth −1 x = − dx 1 − x2 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 56. d 1 sec h −1 x = − dx x 1 − x2 57. d csc h −1 x = − dx x 58. d du 1 sen h −1 u = 2 dx 1 + u dx 59. d du 1 cosh −1 u = dx u 2 − 1 dx 60. 1 du d tanh −1 u = dx 1 − u 2 dx 61. 1 du d coth −1 u = − dx 1 − u 2 dx 62. d du 1 sec h −1u = − dx u 1 − u 2 dx 63. du d 1 csc h −1u = − 2 dx u u + 1 dx 40. ( ( ) ) d (sen h x ) = cosh x dx 41. d ( cosh x ) = sen h x dx 42. d ( tanh x ) = sec h2 x dx 43. d (coth x ) = − csc h2 x dx 44. d (sec hx ) = − sec hx tanh x dx 45. d (csc hx ) = − csc hx coth x dx 46. d du (sen h u ) = cosh u dx dx 47. d du ( cosh u ) = sen h u dx dx 48. d du ( tanh u ) = sec h 2u dx dx Alfaomega ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) 1 x2 + 1 ) ) ) ) ) ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293 ➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría Figuras geométricas Triángulo rectángulo b Triángulo equilátero a a Cuadrado b a h A= 1 1 ch = ab 2 2 c , P = a + b + c , c2 = a2 + b2 h= Rectángulo 3 a 2 a , A= a 3 2 a , P = 3a 4 A = a2 , P = 4a Romboide Trapezoide a h h h b b b P = 2b + 2 h, A = bh A = bh 1 A = (a + b )h 2 Círculo Corona circular Sector circular r r θ R s r A = π r 2 , P = 2π r A = π ( R − r ), P = 3a Esfera Cono circular recto 2 A= 2 1 2 r θ, s = rθ 2 Cilindro circular recto h h r 4 V = π r 3 , S = 4π r 2 3 CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN r r 1 V = π r 3, S = π r r 2 + h 2 3 V = π r h , S = 2π rh lateral 2 S = 2π rh + 2π r 2 total Alfaomega 294 FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Elipse Elipsoide Paralelepípedo rectangular b b h a c a a b A = π ab V = abh, S = 2 ( ab + ah + bh ) 4 A = π abc 3 Pirámide Cono truncado Pirámide Regular r1 h h h H r2 V= 1 V = π h(r12 + 2 r1 r2 + r22 ) 3 1 abh 3 V= a aH 1 h 2 3 ➠ Álgebra Fórmula cuadrática ax 2 + bx + c = 0 −b ± b − 4 ac 2a Discriminante b 2 − 4 ac x1,2 = 2 Desarrollo de productos notables y factorización ( x ± y )2 = x 2 ± 2 xy + y2 ( x ± y )3 = x 3 ± 3( x )2 ( y ) + 3( x )( y )2 ± y 3 n 1 n−1 n n n n n n−1 1 n n−2 2 x + x y + x y + ⋅⋅⋅ + x y + y ∀n = 0 1 2 n n − 1 ( x + y )n = n n! = Donde k k ! ( n − k )! (x (x Alfaomega 2 3 ) ± y ) = ( x ± y)( x − y 2 = ( x + y )( x − y ) 3 2 ∓ xy + y 2 ) CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Reglas de exponentes y radicales x m x n = x m+n (x ) m n =x Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos e− n = 1 e0 = 1 xn = n x m⋅n x = x m−n xn 1 x−m = m x n m x = m ( xy ) = n x n y n x = y ( xy )n = x n yn m n x n n e∞ → ∞ n n n xn x y = y n ( x) 1 en e−∞ → 0 n x m = m xn m 295 eln( x ) = x a loga x = x log a ( x ) = x y log10 ( x ) log10 ( a ) ln ( x ) = log e x = mn x ln ( x ) + ln ( y ) = ln ( xy ) x ln ( x ) − ln ( y ) = ln y ( ) n ln ( x ) = ln x n log a ( x ) + log a ( y ) = log a ( xy ) x log a ( x ) − log a ( y ) = log a y ( ) b log a ( x ) = log a x b ➠ Geometría analítica Distancia entre dos puntos d= Pendiente de una recta m= ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 y ∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1 y (x2 , y2) P2 P2 (x2 , y2) ∆y (x1 , y1) (x1 , y1) P1 P1 ∆x P3 (x2 , y1) x Ecuación de la recta punto-pendiente Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán x Puntos de intersección de la recta Alfaomega 296 Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Ecuación de la recta punto-pendiente y − y1 = m ( x − x1 ) Puntos de intersección de la recta x y + =1 a b (x1 , y1) ∀a ≠ 0; b ≠ 0 y y (0 , b) x x (a , 0) Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. x 2 + y2 = r 2 ( x − h )2 + ( y − k ) 2 = r 2 y y r r x (h , k) x Parábola x Parábola p p p x 2 = 2 py; Foco F= 0, ; Extremos Izq − p, ; Der p, 2 2 2 p p p x 2 = −2 py; Foco F= 0, − ; Extremos Izq − p, − ; Der p, − 2 2 2 Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = − Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = p 2 y y y= F (-h , p 2 ) (0 , p ) 2 y = - 2p Alfaomega p 2 ( p, p 2 ) x (-p , 2p ) p 2 x F (0 ,- 2p ) ( p ,- 2p ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Parábola Parábola p p p y 2 = 2 px; Foco F= , 0 ; Extremos Inf , − p ;Sup , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = − 2 p p p y 2 = −2 px; Foco F= − , 0 ; Extremos Inf − , − p ;Sup − , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = 2 y y p ,p) 2 ( p x=-2 ((- x F ( p ,0 ) 2 ( p ,- p ) 2 (- Elipse centro en el origen x 2 y2 + =1 a2 b2 p , p) 2 p ,0 ) 2 x p ,- p ) 2 y2 x 2 + =1 a2 b2 dF= a 2 − b 2 dF= a 2 − b 2 F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF ) y y b p x=2 Elipse centro en el origen F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF, 0 ) ( 0, dF ) F2 a F2 F1 (- dF, 0) 297 dF x a dF (dF, 0) A x b ( 0, -dF ) Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán F1 Alfaomega 298 Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Hipérbola Hipérbola x 2 y2 − =1 a2 b2 y2 x 2 − =1 a2 b2 dF= a 2 + b 2 F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF , 0 ) dF= a 2 + b 2 F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF ) y y F2 ( 0, dF ) F1 F2 (- dF, 0) dF dF x x (dF, 0) F1 ( 0, -dF ) División de un segmento en una razón r= x2 − x1 xr − x1 r= Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 y2 − y1 yr − y1 y P ( x1, y1 ) B ( x2 , y2 ) ( xr , yr ) R Alfaomega Entonces: dPr = Ax1 + Bx2 + C A2 + B2 y P ( x1 , y1 ) D ( x2 , yr ) S A ( x1 , y1 ) Distancia de un punto a una recta dPr x x E( xr , y1 ) C ( x2 , y1 ) Ax +By +C =0 Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán